整式的乘除
专题04 整式的乘除(原卷版)
专题04整式的乘除【热考题型】【知识要点】知识点一幂的运算同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
nm n m a a a +=·（其中m、n 为正整数）【注意事项】1）当底数为负数时,先用同底数幂乘法法则计算，再根据指数的奇偶来确定结果的正负，并且化简到底。
2）不能疏忽指数为1的情况。
例：a·a 2＝a 1＋2＝a 33）乘数a 可能是有理数、单项式或多项式。
4）如果底数互为相反数时可先变成同底后再运算。
5）逆用公式：n m n m a a a ·=+（m,n 都是正整数）【扩展】三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即pn m p n m a a a a ++=··（m，n，p 都是正整数）考查题型一同底数幂的乘法典例1．（2022·浙江嘉兴·中考真题）计算a 2·a （）A．aB．3aC．2a2D．a3变式1-1．（2022·河南·中考真题）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（）A．810B．1210C．1610D．2410变式1-2．（2022·内蒙古包头·中考真题）若42222m ⨯=，则m 的值为（）A．8B．6C．5D．2变式1-3．（2022·湖南邵阳·中考真题）5月29日腾讯新闻报道，2022年第一季度，湖南全省地区生产总值约为11000亿元，11000亿用科学记数法可表示为1210a ⨯，则a 的值是（）A．0.11B．1.1C．11D．11000易错点总结：幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.mnnm a a =)((其中m，n 都是正整数).【注意事项】1）负号在括号内时,偶次方结果为正,奇次方为负,负号在括号外结果都为负。
整式的乘除知识点归纳
整式的乘除知识点归纳整式是数学中常见的一类代数表达式，包含了整数、变量和基本运算符（加、减、乘、除）。
一、整式的定义整式由单项式或多项式组成。
单项式是一个数字或变量的乘积，也可以包含指数。
例如，3x^2是一个单项式，其中3和x表示系数和变量，2表示指数。
多项式是多个单项式的和。
例如，2x^2 + 3xy + 5是一个多项式，其中2x^2，3xy和5分别是单项式，+表示求和运算符。
二、整式的乘法整式的乘法遵循以下几个重要的法则：1.乘积的交换法则：a×b=b×a，即乘法运算符满足交换定律。
2.乘积的结合法则：(a×b)×c=a×(b×c)，即乘法运算符满足结合定律。
3.乘积与和的分配法则：a×(b+c)=(a×b)+(a×c)，即乘法运算符对加法运算符满足分配律。
在进行整式的乘法运算时，要注意变量之间的乘积也需要按照乘法法则进行处理。
例如，(2x^2)×(3y)=6x^2y。
三、整式的除法整式的除法是乘法的逆过程。
除法运算中，被除数除以除数得到商。
以下是几个重要的除法规则：1.除法的整除法则：若a能被b整除，则a/b为整数。
例如，6除以3得到22.除法的商式法则：若x为任意非零数，则x/x=1、例如，2x^2/2x^2=13.除法的零律：任何数除以0都是没有意义的，即不可除以0。
例如，5/0没有意义。
在进行整式的除法运算时，要注意约分和消去的原则。
例如，(4x^2+ 2xy)/(2x) 可以约分为2x + y。
四、整式的运算顺序在解决整式的复杂运算问题时，需要遵循一定的运算顺序。
常见的运算顺序规则如下：1.先解决括号内的运算。
2.然后进行乘法和除法的运算。
3.最后进行加法和减法的运算。
五、整式的因式分解因式分解是将一个整式拆解为多个因式的乘积的过程。
对于给定的整式，可以通过以下步骤进行因式分解：1.先提取其中的公因式。
整式的乘除法
整式的乘除法整式是指由数字、字母和运算符号（加减乘除和括号）组成的代数式。
在数学中，整式的乘除法是学习代数运算的重要一环。
本文将介绍整式的乘法和除法，并提供相应的解题方法和技巧。
一、整式的乘法整式的乘法是指将两个或多个整式相乘得到一个新的整式。
在进行整式的乘法时，需要注意以下几点：1. 符号相乘：当两个整式相乘时，需要根据乘法法则对各项进行符号相乘。
同号相乘得正，异号相乘得负。
2. 同类项合并：在得到乘积后，需要对乘积中的同类项进行合并。
即将相同指数的字母项合并，并将系数相加。
下面通过一个示例来展示整式的乘法：例题：计算乘积 $(3x-4y)(2x+5)$。
解答：按照乘法法则，我们将每一项进行符号相乘，得到乘积：$$6x^2+15x-8xy-20y$$然后，我们将乘积中的同类项进行合并：$$6x^2+15x-8xy-20y$$至此，我们得到了乘积的最简形式。
二、整式的除法整式的除法是将一个整式除以另一个整式，得到商和余数的过程。
在进行整式的除法时，需要遵循以下几个步骤：1. 确定除数和被除数：将要除以的整式称为除数，被除的整式称为被除数。
2. 用除法定律进行整式的除法：将整式的除法转化为有理数的除法。
3. 化简商式：对除法得到的商式进行化简，即将商式中的同类项合并。
4. 找到余式：将化简后的商式与被除数相乘，得到乘积后减去除数，得到余式。
下面通过一个示例来展示整式的除法：例题：计算商和余数 $\frac{4x^3-7x^2+10}{x-2}$。
解答：按照除法的步骤，我们首先确定除数为 $x-2$，被除数为$4x^3-7x^2+10$。
然后，我们用除法定律进行整式的除法：```4x^2 -5x___________________x-2 | 4x^3 -7x^2 +10- (4x^3 -8x^2)_______________x^2 +10- (x^2 -2x)____________12x +10- (12x -24)__________34```化简商式得到商 $4x^2-5x+1$，余数为 $34$。
人教版八年级上册数学整式的乘除全章课件
3个10
通过观察可以发现1014、 103这两个因数是同底数 幂的形式，所以我们把 像1014×103的运算叫做
同底数幂的乘法 .
请同学们先根据自己的理解，解答下列各题. 103 ×102 =（10×10×10）×（10×10） = 10（ 5 ） 23 ×22 =（2×2×2）×（2×2）=2×2×2×2×2 =2（ 5 ）
2.计算：（1）23×24×25
（2）y · y2 · y3
【解析】（1）23×24×25=23+4+5=212 （2）y · y2 · y3 = y1+2+3=y6
3.计算:（-a）2×a4
【解析】原式 = a2×a4 =a6
（-2）3×22 原式 = -23 ×22
= -25
当底数互为相反数时， 先化为同底数形式.
（an）3·（bm）3·b3=a9b15 a3n ·b3m·b3=a9b15 a3n ·b3m+3=a9b15 3n=9，3m+3=15
n=3,m=4.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
积的乘方法则 (ab)n =anbn （n为正整数） 积的乘方等于把积的每个因式分别乘方，再把 所得的幂相乘.
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.am·an =am+n(m、n都是正整数) 2.am·an·ap = am+n+p （m、n、p都是正整数）
14.1.2 幂的乘方
1.经历探索幂的乘方运算性质的过程，进一步体会幂 的意义，发展推理能力和有条理的表达能力. 2.了解幂的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题.
【解析】xm·x2m= x3m =2 x9m =(x3m)3 = 23 =8 6.若a3n=3，求（a3n）4的值.
第14章整式知识点
第十四章 整式的乘除与分解因式一、知识概念：1.基本运算：⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a +⨯= （m 、n 为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．⑵幂的乘方：()n m mn a a =（m 、n 为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．⑶幂的乘方：()nn n ab a b =（n 为正整数）积的乘方等于各因式乘方的积．（4）幂的除法：n m a a ÷＝ a m －n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ） 同底数幂相除，底数不变，指数相减．（5）零指数幂的概念： a 0＝1 （a ≠0） 任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ．（6）负指数幂的概念：a －p ＝p a 1（a ≠0，p 是正整数）任何一个不等于零的数的－p （p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数． 也可表示为：pp n m m n ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-（m ≠0，n ≠0，p 为正整数） 2.整式的乘法：⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式.⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.3.整式的除法：⑴同底数幂的除法：m n m n a a a -÷=⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式.⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.⑷多项式÷多项式：用其中一个多项式除以另一个多项式再把所得的商相加4.计算公式：⑴平方差公式：()()22a b a b a b -⨯+=-⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++； ()2222a b a ab b -=-+ 二、因式分解：因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
初二八年级数学整式的乘除法
在数学和其他学科中的应用
整式乘除法是数学中的一个基本概念，它在代数、几何和三角学等数学领域中有广泛的应用。例如， 在代数中，我们可以使用整式乘除法来化简多项式、解方程和证明代数恒等式等。在几何中，我们可 以使用整式乘除法来计算图形的面积和周长等。
对整式乘除法的理解更加深入
通过本章的学习，我对整式的乘除法有了更深入的 理解，掌握了其基本法则和应用技巧。
增强了数学运算能力
整式乘除法涉及较多的数学运算，通过不断练习， 我的运算能力得到了提高。
学会了解决实际问题
通过解决实际问题，我学会了如何运用整式乘除法 来解决生活中的数学问题。
下一步学习计划
深入学习分式的运算法则
初二八年级数学整式的乘除法
目
CONTENCT
录
• 引言 • 整式乘法规则 • 整式除法规则 • 整式乘除法的实际应用 • 练习与巩固 • 总结与回顾
01
引言
主题简介
整式乘除法是初中数学中的重要内容，是代数运算 的基础之一。
通过学习整式的乘除法，学生可以掌握代数式的基 本运算规则，为后续学习方程、不等式、函数等打 下基础。
学习几何学知识
在掌握了整式的乘除法后，我将继续 学习分式的运算法则，包括分式的加、 减、乘和除等。
在掌握了整式和分式的运算法则后， 我将开始学习几何学知识，包括平面 几何和立体几何等。
强化数学思维能力
通过练习更多的数学题目，提高自己 的数学思维能力，为后续的学习打下 坚实的基础。
THANK YOU
感谢聆听
整式的乘除
第一章：整式的乘除单项式式多项式同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘方同底数幂的除法 零指数幂 负指数幂 整式的加减单项式与单项式相乘 单项式与多项式相乘 整式的乘法 多项式与多项式相乘 整式运算 平方差公式 完全平方公式 单项式除以单项式 整式的除法多项式除以单项式 一、单项式1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。
2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。
3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。
4、单独一个数或一个字母也是单项式。
5、只含有字母因式的单项式的系数是1或―1。
6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。
7、单独的一个非零常数的次数是0。
8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。
9、单项式的系数包括它前面的符号。
10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。
11、单项式的系数是1或―1时，通常省略数字“1”。
12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。
二、多项式1、几个单项式的和叫做多项式。
2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。
3、多项式中不含字母的项叫做常数项。
4、一个多项式有几项，就叫做几项式。
5、多项式的每一项都包括项前面的符号。
6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。
7、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
三、整式1、单项式和多项式统称为整式。
2、单项式或多项式都是整式。
3、整式不一定是单项式。
4、整式不一定是多项式。
5、分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。
四、整式的加减1、整式加减的理论根据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配率。
2、几个整式相加减，关键是正确地运用去括号法则，然后准确合并同类项。
3、几个整式相加减的一般步骤：（1）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。
（2）按去括号法则去括号。
（3）合并同类项。
4、代数式求值的一般步骤：（1）代数式化简。
（2）代入计算（3）对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算。
整式的乘除(重点、难点、考点复习总结)
整式的乘除（重点、难点、考点复习总结）1．知识系统总结2．重点难点易错点归纳（1）几种幂的运算法则的推广及逆用例1：（1）已知52x=4,5y=3,求(53x)2; 54x+2y-2练习：1. 已知a x=2,a y=3, a z=4求a3x+2y-z（2）46×0.256= （-8）2013×0.1252014 =（2）同底数幂的乘除法：底数互为相反数时如何换底能使计算简便判断是否同底：判断底数是否互为相反数：看成省略加号的和，每一项都相反结果就互为相反数换底常用的两种变形：例2：（1）-x7÷（-x）5·（-x）2 (2)(2a-b)7·（-b+2a）5÷（b-2a）8（3）区分积的乘方与幂的乘方例3：计算（1）（x3）2 (2) (-x3）2 (3)（-2x3）2（4）-（2x3）2（4）比较法：逆用幂的乘方的运算性质求字母的值（或者解复杂的、字母含指数的方程）例4：（1）如果2×8n×16n=28n ,求n的值（2）如果（9n）2=316，求n的值（3）3x=,求x的值（4）（-2）x= -,求x的值（5）利用乘方比较数的大小指数比较法：833，1625, 3219底数比较法：355,444,533乘方比较法：a2=5,b3=12，a>0,b>0,比较a,b的大小比较840与6320的大小（6）分类讨论思想例6：是否存在有理数a，使（│a│-3）a =1成立，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由整式的乘法（1）计算法则明确单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的计算法则，尤其注意符号的问题，结果一定要是最简形式。
单项式乘以多项式、多项式乘以多项式最终都是要转化为单项式乘以单项式，通过省略加号的和巧妙简化符号问题。
【例1】计算：（1）(-3x2y)(-xz4)(-2y3zt) (2)-5x n y n+2(3x n+2y-2x n y n-1+y n) （3）（-x+2）(x3-x2)练一练：先化简再求值：[xy(x2-3y)+3xy2](-2xy)+x3y2(2x-y),其中x=-0.25,y=4(2)利用整式的乘法求字母的值①指数类问题：②系数类问题：【例2】已知-2x3m+1y2n与7x m-6y-3-n的积与x4y是同【例3】在x2+ax+b与2x2-3x-1的积中，x3项项，求m与n的值的系数为—5，x2项的系数为-6，求a,b的值（3）新定义题【例4】现规定一种新运算：a*b=ab+a-b，其中a,b为有理数，则（a*b）+[(b-a)*b]=练一练：现规定一种新运算：a※b=ab+a-b，其中a,b为有理数，计算：[（m+n）※n]+[(n-m)※n] 课后提升：1.（-0.7×104）×（0.4×103）×（-10）=2.若（2x-3）（5-2x）=ax2+bx+c,则a= ,b=3.若（-2x+a）(x-1)的结果不含x的一次项，则a=4.计算：(1)（-5x-6y+z）(3x-6y) (2)-2xy(x2-3y2)- 4xy(2x2+y2)平方差公式（1）公式：（a+b）(a-b)=a2-b2注意：公式中的a,b既可以是具体的数字，也可以是单项式或多项式，只要不是单独的数字或字母，写成平方的差时都要加括号公式的验证：根据面积的不同表达方式是验证整式乘法公式常用的方法(2)平方差公式的不同变化形式【例1】计算下列各式：（1）（-5x+2y）(-2y-5x)= （2）（2a-1）(2a+1)(4a2+1)=（3）20132-2012×2014 =练一练：1、（2y-x-3z）(-x-2y-3z)=2、99×101×10001=3、 3×（22+1）×（24+1）×（28+1）×…×（232+1）+1=（3）平方差公式的逆用【例2】∣x+y-3∣+(x-y+5)2=0,求3x2-3y2的值练一练：已知实数a,b满足a+b=2，a-b=5，求（a+b）3（a-b）3的值.课后提升：1.已知下列式子：①（x-y）（-x-y）；②（-x+y）(x-y)；③（-x-y）（x+y）；④（x-y）（y-x）.其中能利用平方差公式计算的是2.(-a-3)( )=9-a23.如果a2-2k=(a-0.5)（a+0.5），那么k=4.为了美化城市，经统一规划，将一正方形的南北方向增加3米，东西方向缩短3米，将改造后的长方形草坪面积与原来的正方形草坪面积相比（）A.增加6平方米B.增加9平方米C.减少9平方米D.保持不变5.解方程：（3x+4）（3x-4）=9（x-2）26.计算：（2+1）×（22+1）×（24+1）×…×（22014+1）完全平方公式（1）公式：（a±b）2=a2±2ab +b2首平方，尾平方，2倍乘积放中央，同号加，异号减注意：公式中的a,b既可以是具体的数字，也可以是单项式或多项式【例1】计算下列各式：（2x-5y）2 = (-mn+1)2 =(-t2-2)2=（2）完全平方公式的推广应用①直接推广②间接推广【例2】计算（a-2b+3c)2【例3】已知x+y+z=10,xy+xz+yz=8,求x2+y2+z2的值（3）利用完全平方公式求字母的值【例4】两数和的平方的结果是x2+(a-1)x+25,则a的值是（）A.-9B.1C.9或-11D.-9或11（4）利用完全平方公式进行简化计算【例5】计算：（1）1992 （2）3.012（5）完全平方公式的变形应用【例6】（1）已知m+n=7,mn=10,求8m2+8n2的值（2）已知（x+y）2=16,(x-y)2=4,求xy的值课后提升：1.下列展开结果是2mn-m2-n2的式子是（）A.（m+n）2B.(-m+n)2C.-(m-n)2D.-(m+n)22.(x+2y-z)2=3.若∣x+y-7∣+(xy-6)2=0,则3x2+3y2=4.若代数式x2+3x+2可以表示为 (x-1)2+a（x-1）+b的形式，则a+b的值是5.计算：（2x-y）2（2x+y）2整式的除法（1）计算法则整式乘法的逆运算，可以互相验证。
整式的乘除
整式的乘除整式是指由常数、变量及它们的乘、除运算符号经有限次组合而成的代数表达式。
整式是代数学中一个重要的概念，掌握整式的乘除运算是解决代数问题的关键。
一、整式的乘法整式的乘法是指将两个或多个整式相乘的运算。
在整式的乘法中，我们需要遵循如下规则：1.同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。
例如：am* an = am+n2.乘法满足交换律和结合律。
3.不同底数幂相乘时，可以将其视为两个不同的因数。
例如：am * bn = abn下面是一个整式乘法的示例：假设有整式 a = 2ab2，b = 3a2b，c = 4a2b2。
要求计算整式 d = a * (b + c) 的值。
根据乘法分配律，我们可以将乘法转化为加法运算，即：d = a * b + a * c。
将 a、b、c 的值代入计算，有：d = 2ab2 * 3a2b + 2ab2 * 4a2b2化简上式，将幂相加，并化简系数，得到：d = 6a3b3 + 8a3b4因此，整式 d 的值为 6a3b3 + 8a3b4。
二、整式的除法整式的除法是指将一个整式除以另一个整式的运算。
在整式的除法中，我们需要遵循如下规则：1.除法满足结合律，但不满足交换律。
2.同底数的幂相除，底数不变，指数相减。
例如：am/ an = am-n3.除法中，除数不为零。
下面是一个整式除法的示例：假设有整式 p = 5a3b2c 和 q = 10a2c2。
要求计算整式 r = p / q 的值。
根据整式除法的规则，我们需要将p 和q 化简到最简形式，然后进行除法运算。
首先，我们将 p 和 q 化简，并将指数按照从大到小的顺序排列：p = 5a3b2c，q = 10a2c2进行除法运算，将 p 中每一项除以 q 中的对应项，并将指数进行相减：r = (5a3b2c) / (10a2c2)再化简这个分式，我们可以将分子和分母都除以其最大公因式 5ac，得到最简形式：r = (a2b2) / (2c)因此，整式 r 的值为 (a2b2) / (2c)。
华师大版八年级上册电子课本 第13章 整式的乘除(新版)-
第13章整式的乘除§13.1幂的运算1. 同底数幂的乘法2. 幂的乘方3. 积的乘方4. 同底数幂的除法§13.2整式的乘法1. 单项式与单项式相乘2. 单项式与多项式相乘3. 多项式与多项式相乘§13.3乘法公式1. 两数和乘以这两数的差2. 两数和的平方阅读材料贾宪三角§13.4整式的除法1. 单项式除以单项式2. 多项式除以单项式§13.5因式分解阅读材料你会读吗小结复习题课题学习面积与代数恒等式第13章整式的乘除某地区在退耕还林期间，将一块长m米、宽a米的长方形林区的长、宽分别增加n米和b米．用两种方法表示这块林区现在的面积，可得到：（m＋n）（a＋b）＝ma＋mb＋na＋nb你知道上面的等式蕴含着什么样的运算法则吗?·§13.1 幂的运算1. 同底数幂的乘法试一试（1）23×２4＝（２×２×２）×（２×２×２×２）＝２()；（2） 53×５4＝5()；（3） a3·a4＝a()．a m·a n＝（a·a·…·a）（a·a·…·a）＝a·a·…·a＝a n m+．可得a m·a n＝a n m+（m、n为正整数）．这就是说，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．例1计算：（1） 103×１０4；（2） a·a3；（3） a·a3·a5．解（1） 103×１０4＝１０43+＝１０7．（2）a·a3＝a31+＝a4．（3）a·a3·a5＝a4·a5＝a9．练习1. 判断下列计算是否正确，并简要说明理由．（1） a·a2＝a2；（2） a＋a2＝a3；（3）a3·a3＝a9；（4）a3＋a3＝a6．2. 计算：（1） 102×105；（2） a3·a7；（3） x·x5·x7．2. 幂的乘方试一试根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空：（1）（23）2＝23×２3＝２()；（2）（32）3＝32×３2×３2＝３()；（3）（a3）4＝a3·a3·a3·a3＝a()．（a m）n＝a m·a m·…·a m（n个）＝a m++...（n个）m+m=a mn可得（a m）n＝a mn（m、n为正整数）．这就是说，幂的乘方，底数不变，指数相乘．例2计算：（1）（103）5；（2）（b3）4．解（1）（103）5＝105*3＝１０15．（2）（b3）4＝b4*3＝b12．练习1. 判断下列计算是否正确，并简要说明理由．（1）（a3）5＝a8；（2） a5·a5＝a15；（3）（a2）3·a4＝a9．2. 计算：（1）（22）2；（2）（y2）5；（3）（x4）3；（4）（y3）2·（y2）3．3. 积的乘方试一试（1）（ab）2＝（ab）·（ab）＝（aa）·（bb）＝a()b()；（2）（ab）3＝＝＝a()b()；（3）（ab）4＝＝＝a()b()．概括（ab）n＝（ab）·（ab）·…·（ab）（n个）＝（a·a·…·a）·（b·b·…·b）＝a n b n．可得（ab）n＝a n b n（n为正整数）．这就是说，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．例3计算：（1）（2b）3；（2）（2×a3）2；（3）（－a）3；（4）（－3x）4．解（1）（2b）3＝23b3＝8b3．（2）（2×a3）2＝22×（a3）2＝4×a6．（3）（－a）3＝（－1）3·a3＝－a3．（4）（－3x）4＝（－3）4·x4＝81x4．练习1. 判断下列计算是否正确，并说明理由．（1）（xy3）2＝xy6；（2）（－2x）3＝－2x3．2. 计算：（1）（3a）2；（2）（－3a）3；（3）（ab2）2；（4）（－2×１０3）3．4. 同底数幂的除法我们已经知道同底数幂的乘法法则： a m·a n＝a n m ，那么同底数幂怎么相除呢?试一试用你熟悉的方法计算：（1） 25÷２2＝；（2） 107÷103＝；（3） a7÷a3＝（a≠0）．概括由上面的计算，我们发现：25÷２2＝23＝225-；107÷103＝ 104＝1037-；a7÷a3＝ a4＝a37-．一般地，设m、n为正整数，m＞n， a≠0，有a m÷a n＝a n m-．这就是说，同底数幂相除，底数不变，指数相减．我们可以利用除法的意义来说明这个法则的道理：因为除法是乘法的逆运算，a m÷a n实际上是要求一个式子（），使 a n·（）＝a m．而由同底数幂的乘法法则，可知a n· a n m-＝a)n-+＝a m，m(n所以要求的式子（），就是a n m-，从而有a m÷a n＝a n m-．例4计算：（1） a8÷a3；（2）（－a）10÷（－a）3；（3）（2a）7÷（2a）4．解（1） a8÷a3＝a38-＝a5．（2）（－a）10÷（－a）3＝（－a）310-＝（－a）7＝－a7．（3）（2a）7÷（2a）4＝（2a）47-＝（2a）3＝8a3．思考你会计算（a＋b）4÷（a＋b）2吗?练习1. 填空：（1） a5·（）＝a9；（2）（）·（－b）2＝（－b）7；（3） x6÷（）＝x；（4）（）÷（－y）3＝（－y）7．2. 计算：（1） a10÷a2；（2）（－x）9÷（－x）3；（3） m8÷m2·m3；（4）（a3）2÷a6．习题13.11. 计算（以幂的形式表示）：（1） 93×95；（2） a7·a8；（3） 35×２7；（4） x2·x3·x4．2. 计算（以幂的形式表示）：（1）（103）3；（2）（a3）7；（3）（x2）4；（4）（a2）3·a5．3. 判断下列等式是否正确，并说明理由．（1） a2·a2＝（2a）2；（2） a2·b2＝（ab）4；（3） a12＝（a2）6＝（a3）4＝（a5）7．4. 计算（以幂的形式表示）：（1）（3×１０5）2；（2）（2x）2；（3）（－2x）3；（4） a2·（ab）3；（5）（ab）3·（ac）4．5. 计算：（1） x12÷x4；（2）（－a）6÷（－a）4；（3）（p3）2÷p5；（4） a10÷（－a2）3．6. 判断下列计算是否正确，错误的给予纠正．（1）（a2b）2＝a2b2；（2） a5÷b2＝a3b；（3）（3xy2）2＝6x2y4；（4）（－m）7÷（－m）2＝m5．7. 计算：（1）（a3）3÷（a4）2；（2）（x2y）5÷（x2y）3；（3） x2·（x2）3÷x5；（4）（y3）3÷y3÷（－y2）2．8. 用多少张边长为a的正方形硬纸卡片，能拼出一个新的正方形?试写出三个答案，并用不同的方法表示新正方形的面积．从不同的表示方法中，你能发现什么?§13.2 整式的乘法1. 单项式与单项式相乘计算： 2x3·5x2．（1） 3x2y·（－2xy3）；（2）（－5a2b3）·（－４b2c）．解（1） 3x2y·（－2xy3）＝［３·（－２）］·（x2·x）·（y·y3）（2）（－5a2b3）·（－４b2c）＝［（－５）·（－４）］·a2·（b3·b2）·c ＝ 20a2b5c．概括单项式与单项式相乘，只要将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式．例2卫星绕地球表面做圆周运动的速度（即第一宇宙速度）约为7.9×１０3米/秒，则卫星运行3×１０2秒所走的路程约是多少?解 7.9×１０3×３×１０2＝ 23.7×１０5＝２.３７×１０6（米）．答：卫星运行3×１０2秒所走的路程约是2.37×１０6米．讨论你能说出a·b,3a·2a,以及3a·5ab的几何意义吗?练习（1） 3a2·2a3；（2）（－9a2b3）·8ab2；（3）（－3a2）3·（－2a3）2；（4）－3xy2z·（x2y）2．2. 光速约为３×１０8米/秒，太阳光射到地球上的时间约为５×１０2秒，则地球与太阳的距离约是多少米?3. 小明的步长为a厘米，他量得一间屋子长15步，宽14步，这间屋子的面积有多少平方厘米?2. 单项式与多项式相乘试一试计算： 2a2·（3a2－5b）．例3计算：（－2a2）·（３ab2－5ab3）．解（－2a2）·（３ab2－5ab3）＝（－2a2）·3ab2＋（－2a2）·（－５ab3）＝－6a3b2＋10a3b3．概括单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加．练习1. 计算：（1） 3x3y·（2xy2－3xy）；（2） 2x·（3x2－xy＋y2）．2. 化简： x（x2－1）＋2x2（x＋1）－3x（2x－5）．3. 多项式与多项式相乘回忆我们再来看一看本章导图中的问题：图13.2.1某地区在退耕还林期间，将一块长m米、宽a米的长方形林区的长、宽分别增加n米和b米．用两种方法表示这块林区现在的面积．这块林区现在长为（m＋n）米，宽为（a＋b）米，因而面积为（m ＋n）（a＋b）米2．也可以这样理解：如图13.2.1所示，这块地由四小块组成，它们的面积分别为ma米2、mb米2、na米2、nb米2，故这块地的面积为（ma＋mb＋na＋nb）米2．由于（m＋n）（a＋b）和（ma＋mb＋na＋nb）表示同一块地的面积，故有（m＋n）（a＋b）＝ma＋mb＋na＋nb．实际上，把（m＋n）看成一个整体，有（m＋n）（a＋b）＝（m＋n）a＋（m＋n）b＝ ma＋mb＋na＋nb．如下式所示，等式的右边可以看作左边用线相连各项乘积的和：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb概括这个等式实际上给出了多项式乘以多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．例4计算：（1）（x＋2）（x－3）；（2）（3x－1）（2x＋1）．解（1）（x＋2）（x－3）＝ x2－3x＋2x－6＝ x2－x－6．（2）（3x－1）（2x＋1）＝ 6x2＋3x－2x－1＝ 6x2＋x－1．例5计算：（1）（x－3y）（x＋7y）；（2）（2x＋5y）（3x－2y）．解（1）（x－3y）（x＋7y）＝ x2＋7xy－3yx－21y2＝ x2＋4xy－21y2．（3）（2x＋5y）（3x－2y）＝ 6x2－4xy＋15yx－10y2＝ 6x2＋11xy－10y2．练习1. 计算：（1）（x＋5）（x－7）；（2）（x＋5y）（x－7y）；（3）（2m＋3n）（2m－3n）；（4）（2a＋3b）（2a＋3b）．2. 小东找来一张挂历纸包数学课本．已知课本长a厘米，宽b厘米，厚c厘米，小东想将课本封面与封底的每一边都包进去m厘米．问小东应在挂历纸上裁下一块多大面积的长方形?习题13.21. 计算：（1） 5x3·8x2；（2） 11x12·（－12x11）；（3） 2x2·（－3x）4；（4）（－8xy2）·－(1/2x)3．2. 世界上最大的金字塔——胡夫金字塔高达146.6米，底边长230.4米，用了约2.3×１０6块大石块，每块重约2.5×１０3千克．请问：胡夫金字塔总重约多少千克?3. 计算：（1）－3x·（2x2－x＋4）；（2） 5/2xy·(－x3y2＋4/5x2y3)．4. 化简：（1） x(1/2x＋1)－3x(3/2x－2)；（2） x2（x－1）＋2x（x2－2x＋3）．5. 一块边长为xcm的正方形地砖，被裁掉一块2cm宽的长条．问剩下部分的面积是多少?6. 计算：（1）（x＋5）（x＋6）；（2）（3x＋4）（3x－4）；（3）（2x＋1）（2x＋3）；（4）（9x＋4y）（9x－4y）．7. 一块长a厘米、宽b厘米的玻璃，长、宽各减少c厘米后恰好能铺盖一张办公桌台面（玻璃与台面一样大小）．问台面面积是多少?§13.3 乘法公式1.两数和乘以这两数的差做一做计算：（a＋b）（a－b）．这两个特殊的多项式相乘，得到的结果特别简洁：（a＋b）（a－b）＝a2－b2．这就是说，两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差．试一试图13.3.1先观察图13.3.1，再用等式表示下图中图形面积的运算：＝－．例1计算：（1）（a＋3）（a－3）；（2）（2a＋3b）（2a－3b）；（3）（1＋2c）（1－2c）；（4）（－2x－y）（2x－y）．解（1）（a＋3）（a－3）＝ a2－32＝ a2－9．（2）（2a＋3b）（2a－3b）＝（2a）2－（3b）2＝ 4a2－9b2．（3）（1＋2c）（1－2c）＝ 12－（2c）2＝ 1－4c2．（4）（－2x－y）（2x－y）＝（－y－2x）（－y＋2x）＝（－y）2－（2x）2＝ y2－4x2．例2计算： 1998×２００２．解 1998×２００２＝（2000－2）×（2000＋2）＝ 200０2－22＝ 4000000－4＝ 3999996．例3街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北向要加长2米，而东西向要缩短2米．问改造后的长方形草坪的面积是多少?解（a＋2）（a－2）＝a2－4（平方米）．答：改造后的长方形草坪的面积是（a2－4）平方米．练习1. 计算：（1）（2x＋1/2）（2x－1/2）；（2）（－x＋2）（－x－2）；（3）（－2x＋y）（2x＋y）；（4）（y－x）（－x－y）．2. 计算：（1） 498×502；（2） 999×1001．3. 用一定长度的篱笆围成一个矩形区域，小明认为围成一个正方形区域时面积最大，而小亮认为不一定．你认为如何?2.两数和的平方做一做计算：（a＋b）2．经计算，我们又得到一个漂亮的结果：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2．这就是说，两数和的平方，等于它们的平方和加上这两数积的2倍．试一试先观察图13.3.2，再用等式表示下图中图形面积的运算：图13.3.2 ＝＋＋．例4计算：（1）（2a＋3b）2；（2）（ 2a＋b/2）2．解（1）（2a＋3b）2＝（2a）2＋2·２a·3b＋（3b）2＝ 4a2＋12ab＋9b2．（2）（2a＋b/2）2＝（2a）2＋2·2a·b/2＋b/22＝ 4a2＋2ab＋b2/4．例5计算：（1）（a－b）2；（2）（2x－3y）2．解（1）（a－b）2＝［a＋（－b）］2＝ a2＋2·a·（－b）＋（－b）2＝ a2－2ab＋b2．（2）（2x－3y）2＝［２x＋（－3y）］2＝（2x）2＋2·（2x）·（－3y）＋（－3y）2＝ 4x2－12xy＋9y2．本题也可直接运用小题（1）的结果（两数差的平方公式）来计算：（2x－3y）2＝（2x）2－2·（2x）·（3y）＋（3y）2＝ 4x2－12xy＋9y2．图13.3.3讨论你能从图13.3.3中的面积关系来解释小题（1）的结果吗?练习1. 计算：（1）（x＋3）2；（2）（2x＋y）2．2. 计算：（1）（x－3）2；（2）（2m－n）2．3. 计算：（1）（－2m＋n）2；（2）（－2m－n）2．4. 要给一边长为a米的正方形桌子铺上正方形的桌布，桌布的四周均超出桌面0.1米，问需要多大面积的桌布?习题13.31. 计算：（1）（a＋2b）（a－2b）；（2）（2a＋5b）（2a－5b）；（3）（－2a－3b）（－2a＋3b）；（4）（－1/3a＋1/2b）（1/3a＋1/2b）．2. 计算：（1）（3a＋b）2；（2）（2a＋1/3b）2；（3）（2a＋1）（－2a－1）．3. 计算：（1）（2a－4b）2；（2）（ 1/2a－1/3b）2．4. 填空：（1） a2＋6a＋＝（a＋）2；（2） 4x2－20x＋＝（2x－）2；（3） a2＋b2＝（a－b）2＋；（4）（x－y）2＋＝（x＋y）2．5. 有一块边长为a米的正方形空地，现准备将这块空地四周均留出b米宽修筑围坝，中间修建喷泉水池．你能计算出喷泉水池的面积吗?阅读材料贾宪三角贾宪三角（如图1）最初于11世纪被发现，原图载于我国北宋时期数学家贾宪图1的《黄帝九章算法细草》一书中，原名“开方作法本源图”，用来作开方运算，在数学史上占有领先地位．我国南宋时期数学家杨辉对此有着记载之功，他于1261年写下的《详解九章算法》一书中记载着这一图表．因此，后人把这个图表称作贾宪三角或杨辉三角．在欧洲，贾宪三角则被人们称为“帕斯卡三角”，这是因为法国数学家帕斯卡于1654年发表了此“三角”，并且影响较大．但这比我国已经迟了近600年．其实，数学史上有不少人各自独立地绘制过类似图表，如1427年阿拉伯的数学家阿尔·卡西，1527年德国的阿皮亚纳斯，1544年德国的施蒂费尔，1545年法国的薛贝尔等．贾宪三角在历史上被不同时代的人绘制出来，是有着不同的应用趋向的．贾宪将它应用于开方运算，注重增乘方法并把这种方法推向求高次方根；帕斯卡关心数字三角阵的性质探讨以及把这种性质推广到组合数的性质上；而施蒂费尔则注重二项展开式系数间的关系；还有我国元代数学家朱世杰于13世纪巧妙地利用贾宪三角得出了一系列级数求和的重要公式，并且利用这些公式求出许多更为复杂的级数之和，这在当时世界上也处于领先水平．与我们现在的学习联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律．如图2，在贾宪三角中，第三行的三个数（1， 2， 1）恰好对应着两数和的平方公式（a＋b）2的展开式a2＋2ab＋b2的系数．类似地，通过计算可以发现：第四行的四个数（1， 3， 3， 1）恰好对应着两数和的立方（a＋b）3的展开式a3＋３a2b＋3ab2＋b3的系数，第五行的五个数（1， 4， 6， 4， 1）恰好对应着两数和的四次方（a＋b）4的展开式a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4的系数，等等．由此可见，贾宪三角可以看作是对我们现在学习的两数和的平方公式的推广而得到的．（a＋b）0…………（a＋b）1…………（a＋b）2…………（a＋b）3…………（a＋b）4…………（a＋b）5…………（a＋b）6…………11121133114641151010511615201561图2同学们，贾宪三角告诉了我们二项式乘方展开式的系数规律，你发现其中的字母及字母指数的排列规律了吗?如果发现了，请你试着写出（a＋b）5、（a＋b）6与（a＋b）77的展开式．§13.4 整式的除法1. 单项式除以单项式计算： 12a5c2÷３a2．根据除法的意义，上式就是要求一个单项式，使它与３a2相乘的积等于12a5c2．∵（4a3c2）·３a2＝12a5c2，∴ 12a5c2÷３a2＝4a3c2．概括单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．例1计算：（1） 24a3b2÷３ab2；（2）－21a2b3c÷３ab；（3）（６xy2）2÷３xy．解（1） 24a3b2÷3ab2＝（24÷３）（a3÷a）（b2÷b2）＝ 8a13-·１＝ 8a2．（2）－21a2b3c÷３ab＝（－21÷３）a12-b13-c＝－7ab2c．（3）（6xy2）2÷３xy＝ 36x2y4÷３xy＝ 12xy3．思考你能用a－b的幂表示下式的结果吗?12（a－b）5÷３（a－b）2．例2地球的质量约为5.98×１０24千克，木星的质量约为1.9×１０27千克．问木星的质量约是地球的多少倍?（结果保留三个有效数字）分析本题只需做一个除法运算：（1.9×１０27）÷（５.９８×１０24），我们可以先将1.9除以5.98，再将１０27除以１０24，最后将商相乘．解（1.9×１０27）÷（5.98×１０24）＝（1.9÷５.９８）×１０27 ≈ 0.318×１０3＝３１８．24答：木星的质量约是地球的318倍．练习1. 填表：的缘故．已知光在空气中的传播速度约为3×１０8米/秒，而声音在空气中的传播速度约为3.4×１０2米/秒．请计算一下，光速是声速的多少倍?（结果保留两个有效数字）2. 多项式除以单项式试一试计算：（1）（ax＋bx）÷x；（2）（ma＋mb＋mc）÷m．根据除法的意义，容易探索、计算出结果．以小题（2）为例，（ma＋mb＋mc）÷m就是要求一个多项式，使它与m的积是ma＋mb＋mc．∵m（a＋b＋c）＝ma＋mb＋mc，∴（ma＋mb＋mc）÷m＝a＋b＋c．概括多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．例3计算：（1）（9x4－15x2＋6x）÷３x；（2）（28a3b2c＋a2b3－14a2b2）÷（－7a2b）．解（1）（9x4－15x2＋6x）÷３x＝ 9x4÷３x－15x2÷３x＋6x÷３x＝ 3x3－5x＋2．（2）（28a3b2c＋a2b3－14a2b2）÷（－7a2b）＝ 28a3b2c÷（－7a2b）＋a2b3÷（－7a2b）－14a2b2÷（－7a2b）＝－4abc－1/7b2＋2b．练习1. 计算：（1）（3ab－2a）÷a；（2）（5ax2＋15x）÷5x；（3）（12m2n＋15mn2）÷6mn；（4）（x3－2x2y）÷（－x2）．2. 计算：（1）（4a3b3－6a2b3c－2ab5）÷（－２ab2）；（2） x2y3－1/2x3y2＋2x2y2÷1/2xy2．习题13.41.计算：（1）－21a2b3÷7a2b；（2） 7a5b2c3÷（－3a3b）；（3）－1/2a4x4÷－1/6a3x2；（4）（16x3－8x2＋4x）÷（－2x）．2.计算：（1）（6a3b－9a2c）÷３a2；（2）（4a3－6a2＋9a）÷（－2a）（3）（－4m4＋20m3n－m2n2）÷（－4m2）；（4） x2y－1/2xy2－2xy÷1/2xy．3.计算：（1）（12p3q4＋20p3q2r－6p4q3）÷（－2pq）2；（2）［４y（2x－y）－2x（2x－y）］÷（2x－y）．4. 一颗人造地球卫星的速度是８×１０3米/秒，一架喷气式飞机的速度是5×１０2米/秒，试问：这颗人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的多少倍?5. 聪聪在一次数学课外活动中发现了一个奇特的现象：他随便想一个非零的有理数，把这个数平方，再加上这个数，然后把结果除以这个数，最后减去这个数，所得结果总是1．你能说明其中的道理吗?§13.5 因式分解回忆运用前面所学的知识填空：〖〗你能发现这两组等式之间的联系和区别吗?（1） m（a＋b＋c）＝；（2）（a＋b）（a－b）＝；（3）（a＋b）2＝．试一试填空：（1） ma＋mb＋mc＝（）（）；（2） a2－b2＝（）（）；（3） a2＋2ab＋b2＝（）2．概括我们“回忆”的是已熟悉的整式乘法运算，而“试一试”中的问题，其过程正好与整式的乘法相反，它是把一个多项式化为几个整式的积的形式．把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解（factorization）．多项式ma＋mb＋mc中的每一项都含有一个相同的因式m，我们称之为公因式（common factor）．把公因式提出来，多项式ma＋mb ＋mc就可以分解成两个因式m和（a＋b＋c）的乘积了．像这种因式分解的方法，叫做提公因式法．“试一试”中的（2）、（3）小题，实际上是将乘法公式反过来用，对多项式进行因式分解的，这种因式分解的方法称为公式法．做一做把下列多项式分解因式：（1） 3a＋3b＝；（2） 5x－5y＋5z＝；（3） x2－4y2＝；（4） m2＋6mn＋9n2＝．例1把下列多项式分解因式：（1）－5a2＋25a；（2） 3a2－9ab；（3） 25x2－16y2；（4） x2＋4xy＋4y2．解（1）－5a2＋25a＝－5a（a－5）．（2） 3a2－9ab＝ 3a（a－3b）．（3） 25x2－16y2＝（5x）2－（4y）2＝（5x＋4y）（5x－4y）．（4） x2＋4xy＋4y2＝ x2＋2·x·2y＋（2y）2＝（x＋2y）2．例2把下列多项式分解因式：（1） 4x3y＋4x2y2＋xy3；（2） 3x3－12xy2．解（1） 4x3y＋4x2y2＋xy3＝ xy（4x2＋4xy＋y2）＝ xy（2x＋y）2．（2）3x3－12xy2＝3x（x2－4y2）＝3x［x2－（2y）2］＝3x（x＋2y）（x－2y）．练习1. 判断下列因式分解是否正确，并简要说明理由．如果不正确，请写出正确答案．（1） 4a2－4a＋1＝4a（a－1）＋1；（2） x2－4y2＝（x＋4y）（x－4y）．2. 把下列各式分解因式：（1） a2＋a；（2） 4ab－2a2b；（3） 9m2－n2；（4） 2am2－8a；（5） 2a2＋4ab＋2b2．3. 丁丁和冬冬分别用橡皮泥做了一个长方体和圆柱体，放在一起，恰好一样高．丁丁和冬冬想知道哪一个体积较大，但身边又没有尺子，只找到了一根短绳，他们量得长方体底面的长正好是3倍绳长，宽是2倍绳长，圆柱体的底面周长是10倍绳长．你知道哪一个体积较大吗?大多少?（提示：可设绳长为a厘米，长方体和圆柱体的高均为h厘米）习题13.51. 把下列多项式分解因式：（1） 3x＋3y；（2）－24m2x－16n2x；（3） x2－1；（4）（xy）2－1；（5） a4x2－a4y2；（6） 3x2＋6xy＋3y2；（7）（x－y）2＋4xy；（8） 4a2－3b（4a－3b）．2. 先将下列代数式分解因式，再求值：2x（a－2）－y（2－a），其中a＝0.5， x＝1.5， y＝－2．3. 在一块边长为a＝6.6米的正方形空地的四角均留出一块边长为b ＝1.7米的正方形修建花坛，其余的地方种草坪．问草坪的面积有多大?4. 一块边长为a米的正方形广场，扩建后的正方形边长比原来长2米，问扩建后的广场面积增大了多少?你会读吗阅读材料你会读吗数学中有不少运算符号与记号，如何用英语准确地表达这些符号与记号呢?读一读，看看你能读懂多少?A＋B＝C……A plus B equals CA－B＝C……A minus B equals CA×B＝C……A multiplied by B equals C ……A times B equals CA÷B＝C……A divided by B equals C1/2……one half 2/3……two thirdsA2……A squared A3……A cubedA＞B……A is greater than BA∶B……the ratio of A to Bl∥m……l is parallel to m小结一、知识结构二、概括1. 本章主要研究整式的乘法与除法运算，其运算法则从根本上说是运用了数的运算律，最终都可以归结为单项式乘以单项式与单项式除以单项式，其中幂的运算是它们的基础．2. 在多项式乘以多项式中，有一些特殊形式的乘法运算结果较为简洁，在计算中可以作为乘法公式直接运用．学习中要注意掌握这些公式的结构特点，以便能准确地运用公式来简化计算．3. 因式分解与因数分解类似，它与整式乘法的过程恰好相反，我们可以运用整式的乘法得到因式分解的方法，也可以运用整式乘法来检验因式分解的正确性．复习题A组1. 计算：（1） a10·a8；（2）（xy）2·（xy）3；（3）［（－x）3］2；（4）［（－x）2］3；（5）（－2mn2）3；（6）（y3）2·（y2）4．2. 计算：（1）（4×１０4）×（２×１０3）；（2） 2a·３a2；（3）（－3xy）·（－４yz）；（4）（－2a2）2·（－５a3）；（5）（－3x）·（2x2－x－1）；（6）（x＋2）（x＋6）；（7）（x－2）（x－6）；（8）（2x－1）（3x＋2）．3. 计算：（1）（x＋2）（x－2）；（2）（m＋n）（m－n）；（3）（－m－n）（－m＋n）；（4）（－m－n）（m＋n）；（5）（－m＋n）（m－n）；（6） 2/3x＋3/4y2．4. 计算：（1） 20012－2002×2000；（2）（2x＋5）2－（2x－5）2；（3）－12xy·３x2y－x2y·（－3xy）；（4） 2x·1/2x－1－3x1/3x＋2/3；（5）（－2x2）·（－y）＋3xy·1－1/3x；（6）（－6x2）2＋（－3x）3·x．5. 计算：（1） a·a4÷a3；（2）（－x）6÷（－x）2·（－x）3；（3） 27x8÷3x4；（4）－12m3n3÷4m2n3；（5）（6x2y3z2）2÷4x3y4；（6）（－6a2b5c）÷（－2ab2）2．6. 计算：（1）（6a4－4a3－2a2）÷（－2a2）；（2）（4x3y＋6x2y2－xy3）÷２xy；（3）（x4＋2x3－1/2x2）÷（－1/2x）2；（4）（2ab2－b3）2÷２b3．7. 计算：［（x－2y）2＋（x－2y）（x＋2y）－2x（2x－y）］÷2x．8. 把下列多项式分解因式：（1） x2－25x；（2） 2x2y2－4y3z；（3） am－an＋ap；（4） x3－25x；（5） 1－4x2；（6） 25x2＋20xy＋4y2；（7） x3＋4x2＋4x．9. 先化简，再求值：（1） 3a（2a2－4a＋3）－2a2（3a＋4），其中a＝－2；（2）（a－3b）2＋（3a＋b）2－（a＋5b）2＋（a－5b）2，其中a ＝－8， b＝－6．10. 一个正方形的边长增加3cm，它的面积增加了45cm2．求这个正方形原来的边长．若边长减少3cm，它的面积减少了45cm2，这时原来边长是多少呢?11. 1千克镭完全蜕变后，放出的热量相当于3.75×１０5千克煤放出的热量，据估计地壳里含1×１０10千克镭．试问这些镭完全蜕变后放出的热量相当于多少千克煤放出的热量．B组12. 求下列各式的值：（1）（3x4－2x3）÷（－x）－（x－x2）·３x，其中x＝－1/2；（2）［（ab＋1）（ab－2）－2a2b2＋2］÷（－ab），其中a＝3/2，b＝－4/3．13. 已知（x＋y）2＝1，（x－y）2＝49，求x2＋y2与xy的值．14. 已知a＋b＝3， ab＝2，求a2＋b2的值．15. 已知a－b＝1， a2＋b2＝25，求ab的值．16. 把下列各式分解因式：（1） x（x＋y）－y（x＋y）；（2）（a＋b）2＋2（a＋b）＋1；（3） 4x4－4x3＋x2；（4） x2－16ax＋64a2；（5）（x－1）（x－3）＋1；（6）（ab＋a）＋（b＋1）．C组17. 一个长方形的长增加4cm，宽减少1cm，面积保持不变；长减少2cm，宽增加1cm，面积仍保持不变．求这个长方形的面积．18. 当整数k取何值时，多项式x2＋4kx＋4恰好是另一个多项式的平方?19. 试判断下列说法是否正确，并说明理由．（1）两个连续整数的平方差必是奇数；（2）若a为整数，则a3－a能被6整除．课题学习面积与代数恒等式在前面的学习中，我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释这些代数恒等式．例如，图1可以用来解释（2a）2＝4a2，图2可以用来解释（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2．〖〗图1〖〗图2〖〗图３还有很多代数恒等式可以用硬纸片拼成的图形面积来说明其正确性．现在让我们一起参加下面的实践与探索活动．（1）尽可能多地做一些如图3所示的正方形与长方形的硬纸片．（2）利用制作的硬纸片拼成一些长方形或正方形，并用所拼成的图形面积来说明所学的乘法公式及某些幂的运算公式的正确性．图４（3）根据图4，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式来．（4）试写出一个代数恒等式，比如（a＋2b）（2a－b）＝2a2＋3ab －2b2，然后用上述方法来说明它的正确性．。
北师大版本七年级下册第一单元《整式的乘除》全章知识讲解+经典练习
《整式的乘除》全章复习与巩固【要点梳理】要点一、幂的运算1.同底数幂的乘法：(m n ，为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方：(m n ，为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方：(n 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：(a ≠0, m n ，为正整数，并且m n >).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：()010.a a =≠即任何不等于零的数的零次方等于1. 6.负指数幂：1n na a -=（a ≠0，n 是正整数）. 要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；需灵活地双向应用运算性质.要点二、整式的乘法和除法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项包含前面的“＋”“－”号．根据多项式的乘法，能得出一个应用广泛的公式：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++. 4.单项式相除单项式相除、把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++要点三、乘法公式1.平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：1.在这里，a b ，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.2.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2. 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是三项，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.【典型例题】类型一、幂的运算1、已知：2m +3n ＝5，则4m •8n ＝（ ）A ．16B ．25C ．32D ．64 【解答】解：4m •8n ＝22m •23n ＝22m +3n ＝25＝32，故选：C ．2．下列各式正确的有（ ）①x 4+x 4＝x 8；②﹣x 2•（﹣x ）2＝x 4；③（x 2）3＝x 5；④（x 2y ）3＝x 3y 6；⑤（﹣3x 3）3＝﹣9x 9；⑥2100×（﹣0.5）99＝﹣2；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：①x 4+x 4＝2x 4，此计算错误；②﹣x 2•（﹣x ）2＝﹣x 4，此计算错误；③（x 2）3＝x 6，此计算错误；④（x 2y ）3＝x 6y 3，此计算错误；⑤（﹣3x 3）3＝﹣27x 9，此计算错误；⑥2100×（﹣0.5）99＝2×299×（﹣0.5）99＝2×（﹣0.5×2）99＝2×（﹣1） ＝﹣2，此计算正确；故选：A ．3、阅读下列两则材料，解决问题：材料一：比较322和411的大小．解：∵411＝（22）11＝222，且3＞2∴322＞222，即322＞411小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小材料二：比较28和82的大小解：∵82＝（23）2＝26，且8＞6∴28＞26，即28＞82小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小【方法运用】（1）比较344、433、522的大小（2）比较8131、2741、961的大小（3）已知a 2＝2，b 3＝3，比较a 、b 的大小（4）比较312×510与310×512的大小【解答】解；（1）∵344＝（34）11＝8111，433＝（43）11＝6411，522＝（52）11＝2511， ∵81＞64＞25，∴8111＞6411＞2511，即344＞433＞522；（2）∵8131＝（34）31＝3124，2741＝（33）41＝3123，961＝（32）61＝3122，∵124＞123＞122，∴3124＞3123＞3122，即8131＞2741＞961；（3）∵a 2＝2，b 3＝3，∴a 6＝8，b 6＝9，∵8＜9，∴a 6＜b 6，∴a ＜b ；（4）∵312×510＝（3×5）10×32，310×512＝（3×5）10×52，又∵32＜52，∴312×510＜310×512．类型二、整式的乘除法运算1、要使()()621x a x -+的结果中不含x 的一次项，则a 等于( )A.0B.1C.2D.3【答案】D ；【解析】先进行化简，得：，要使结果不含x 的一次项，则x 的一次项系数为0，即：62a -＝0.所以3a =.【总结升华】代数式中不含某项，就是指这一项的系数为0.2．如图，一个边长为（m +2）的正方形纸片剪去一个边长为m 的正方形，剩余的部分可以拼成一个长方形，若拼成的长方形的一边长为2，则另一边长为 2m +2 ．【解答】解：设另一边长为x ，根据题意得，2x ＝（m +2）2﹣m 2，解得x ＝2m +2．故答案为：2m +2．3．如图，现有A ，C 两类正方形卡片和B 类长方形卡片各若干张，用它们可以拼成一些新的长方形．如果要拼成一个长为（3a+2b），宽为（a+b）的长方形，那么需要B类长方形卡片5张．【解答】解：长为3a+2b，宽为a+b的长方形的面积为：（3a+2b）（a+b）＝3a2+5ab+2b2，∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为ab，C类卡片的面积为b2，∴需要A类卡片3张，B类卡片5张，C类卡片2张，故答案为：5．类型三、乘法公式1．如果x2﹣2（m+1）x+4是一个完全平方公式，则m＝．【解答】解：∵x2﹣2（m+1）x+4是一个完全平方公式，∴﹣2（m+1）＝±4，则m＝﹣3或1．故答案为：﹣3或1．2、用简便方法计算：（1）1002﹣200×99+992（2）2018×2020﹣20192 （3）计算：（x﹣2y+4）（x+2y﹣4）【解答】解：（1）1002﹣200×99+992＝1002﹣2×100×（100﹣1）+（100﹣1）2＝[100﹣（100﹣1）]2＝12＝1；（2）2018×2020﹣20192＝（2019﹣1）（2019+1）﹣20192＝20192﹣1﹣20192＝﹣1．（3）原式＝x2﹣（2y﹣4）2＝x2﹣4y2+16y﹣16；3．图①是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称抽）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A．ab B．a2+2ab+b2C．a2﹣b2D．a2﹣2ab+b2【解答】解：图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，∴正方形的边长为：a +b ，∴正方形的面积为（a +b ）2，∵原矩形的面积为4ab ，∴中间空的部分的面积＝（a +b ）2﹣4ab ＝a 2﹣2ab +b 2．故选：D ．4、已知222246140x y z x y z ++-+-+=，求代数式2012()x y z --的值.【思路点拨】将原式配方，变成几个非负数的和为零的形式，这样就能解出,,x y z .【答案与解析】解：222246140x y z x y z ++-+-+= ()()()2221230x y z -+++-= 所以1,2,3x y z ==-=所以20122012()00x y z --==.【总结升华】一个方程，三个未知数，从理论上不可能解出方程，尝试将原式配方过后就能得出正确答案.类型四、综合类大题1．在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．请你利用上述方法解决下列问题：（1）请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2【拓展应用】提出问题：47×43，56×54，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：（1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面．（2）分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．请你参照上述几何建模步骤，计算57×53．要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）：证明上述速算方法的正确性．【解答】解：（1）图（1）所表示的代数恒等式：（x+y）•2x＝2x2+2xy，图（2）所表示的代数恒等式：（x+y）（2x+y）＝2x2+3xy+y2图（3）所表示的代数恒等式：（x+2y）（2x+y）＝2x2+5xy+2y2．（2）几何图形如图所示：拓展应用：（1）①几何模型：②用文字表述57×53的速算方法是：十位数字5加1的和与5相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果；即57×53＝（50+10）×50+3×7＝6×5×100+3×7＝3021；十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；故答案为十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；2．阅读下列材料并解决后面的问题材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707﹣﹣1783）才发现指数与对数之间的联系，我们知道，n个相同的因数a相乘a•a…，a记为a n，如23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28，即log28＝3一般地若a n＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b，即log a b＝n．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381，即log381＝4．（1）计算下列各对数的值：log24＝，log216＝，log264＝（2）通过观察（1）中三数log24、log216、log264之间满足的关系式是；（3）拓展延伸：下面这个一股性的结论成立吗？我们来证明log a M+log a N＝log，a MN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）证明：设log a M＝m，log a N＝n，由对数的定义得：a m＝M，a n＝N，∴a m•a n＝a m+n＝M•N，∴log a MN＝m+n，又∵log a M＝m，log a N＝n，∴log a M+log a N＝log a MN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（4）仿照（3）的证明，你能证明下面的一般性结论吗？log a M﹣log a N＝log a（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（5）计算：log34+log39﹣log312的值为．【解答】解：（1）log24＝log222＝2，log216＝log224＝4，log264＝log226＝6；故答案为：2，4，6；（2）通过观察（1）中三数log24、log216、log264之间满足的关系式是：log24+log216＝log264；（4）证明：设log a M＝m，log a N＝n，由对数的定义得：a m＝M，a n＝N，∴a m÷a n＝a m﹣n＝，∴log a＝m﹣n，又∵log a M＝m，log a N＝n，∴log a M﹣log a N＝log a（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（5）log34+log39﹣log312，＝log3，＝log33，＝1，故答案为：1．。
八年级数学人教版上册第14章整式的乘除与因式分解14.1.4整式的乘法(第1课时图文详解)
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
1.下列计算中，正确的是（ B ）
A.2a3·3a2=6a6
B.4x3·2x5=8x8
C.2x·2x5=4x5
D.5x3·4x4=9x7
2.下列运算正确的是（ D ）
A.x2·x3=x6
B.x2+x2=2x4
C.(-2x)2=-4x2
D.(-2x2)(-3x3)=6x5
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
第14章 整式的乘除与因式分解
八年级上册
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
14.1.4 整式的乘法
第1课时
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
1.探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则， 并运用它们进行运算． 2.让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主 动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题 的能力.
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
2.填空：
a4 26
(1)6 2
a9 28
9 x2 y4 4
1
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需 要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是 多少千米吗？ 分析：距离=速度×时间，即（3×105）×（5×102）； 怎样计算（3×105）×（5×102）? 地球与太阳的距离约是： （3×105）×（5×102）=(3 ×5)×(105×102) =15×10７=1.5×108（千米）
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
2.单项式与多项式相乘的法则: 单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多 项式的每一项，再将所得的积相加即可.
整式的乘除与因式分解
华贤书院 教学过程补充表 主题整式的乘除与因式分解 序 教学过程一、整式的乘除：1、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.例如：_______3=-a a ；________22=+a a ；________8253=+-+b a b a__________________210242333222=-++-+-x xy x y x xy xy y x 2、同底数幂的乘法法则：a m ·a n =a m+n (m ，n 是正整数).同底数幂相乘，底数不变，指数相加.例如：________3=⋅a a ；________32=⋅⋅a a a3、幂的乘方法则：(a m )n =a mn (m ，n 是正整数).幂的乘方，底数不变，指数相乘.例如：_________)(32=a ；_________)(25=x ；()334)()(a a =4、积的乘方的法则：(a b)m =a m b m (m 是正整数).积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.例如：________)(3=ab ；________)2(32=-b a ；________)5(223=-b a5、同底数幂的除法法则：a m ÷a n =a m-n (a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m ＞n).同底数幂相除，底数不变，指数相减. 规定：10=a例如：________3=÷a a ；________210=÷a a ；________55=÷a a6、单项式乘法法则y x 32⋅ )5)(2(22xy y x - )2()3(22xy xy -⋅ 2232)()(b a b a ⋅-7、单项式除法法则单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. y x y x 2324÷ ()xy y x 6242-÷ ()()58103106⨯÷⨯8、单项式与多项式相乘的乘法法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.)(c b a m ++ )532(2+--y x x )25(32b ab a ab +--9、多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.10、多项式除以单项式的除法法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.()x x xy ÷+56； ()()a ab a 4482-÷-()b a b a b a 232454520÷-c c b c a 2121222÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-11、整式乘法的平方差公式：(a +b)(a -b)=a 2-b 2.两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.例如：（4a －1）（4a+1）=___________； （3a －2b ）（2b+3a ）=___________；()()11-+mn mn = ； =--+-)3)(3(x x ；12、整式乘法的完全平方公式：(a +b)2=a 2+2a b+b 2，(a -b)2=a 2-2a b+b 2.两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍. 例如：()____________522=+b a ； ()_______________32=-y x ()_____________22=+-ab ； ()______________122=--m二、因式分解：1、提公因式法：4y xy - 32x x + x 2+12x 3+4x )1()1(-+-a n a m2、公式法.：（1）、平方差公式：))((22b a b a b a -+=-12-x 2294b a - 22)(16z y x +- 22)2()2(b a b a --+（2）、完全平方公式：222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+-442+-m m 2269y xy x ++ 924162++x x 36)(12)(2++-+b a b a3、分组分解法：1a b ab +++ ab －c ＋b －ac a 2－2ab ＋b 2－c 24、“十字相乘法”：即式子x 2+(p+q)x+pq 的因式分解. x 2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).x 2＋7x ＋6 （2）、x 2－5x －6 （3）、x 2－5x ＋6因式分解技巧专题一分解因式的常用方法：一提二用三查 ，即先考虑各项有无公因式可提；再考虑能否运用公式来分解；最后检查每个因式是否还可以继续分解，以及分解的结果是否正确。
七(下)第1章整式的乘除(全章复习与巩固)知识讲解与专项讲练
2023七（下）第1章整式的乘除知识讲解与专项讲练2023.06.12~6.15【学习目标】1.掌握正整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2.会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3.掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算。
【知识要点】要点一、幂的运算1.同底数幂的乘法：a m ·a n ＝a m ＋n (m 、n 为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.2.幂的乘方：(a m )n ＝a mn ＝a nm ＝(a n )m (m 、n 为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.3.积的乘方：(ab )n ＝a n b n ，(a x b y )n ＝a nx b ny (n 、x 、y 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.4.同底数幂的除法：a m ÷a n ＝a m －n (a ≠0，m 、n 为正整数，并且m ＞n ).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：()010.a a =≠即：任何不等于零的数的零次方等于1.6.负整数次幂：p p a a 1=-(a ≠0，p 为正整数），a n 与a －n 互为倒数，n m m n pp a b b a ,a b b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---即：任何一个不等于零的数的－p (p 是正整数)次幂，等于这个数的p 次幂的倒数.特别说明：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.要点二、整式的乘除1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.特别说明：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++要点三、乘法公式1.平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.特别说明：在这里，a b ，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2.完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；2222)(b ab a b a +-=-两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.【典型例题】类型一、整式的乘除➽➼幂的运算✭✭幂的逆运算1．计算：（1）()3201113823π-⎛⎫⎛⎫-+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()2331233282a a a a -⋅-÷举一反三：【变式1】计算：101|2|(2023667)3π-⎛⎫---+ ⎪⎝⎭（2）()()223234(6)x y xy ⋅-÷【变式2】计算：(1)22012()272--+-(2)2642135(2)5x x x x x⋅--+÷(1)253()()[()]a b b a a b -⋅-÷--；(2)先化简，再求值：426223225(3)()(2)a a a a a ⎡⎤⋅-÷÷-⎣⎦，其中5a =-．2．（2022春·福建泉州·八年级福建省永春第三中学校联考期中）阅读：已知正整数a 、b 、c ，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂b a 和b c ，当a c >时，则有b b a c >，根据上述材料，回答下列问题(1)比较大小：205______204（填写>、<或=）(2)比较332与223的大小（写出具体过程）(3)已知23a =，86b =求()322a b +的值【答案】(1)>(2)332223<，见分析(3)972【分析】（1）根据同指数，不同底数的两个幂b a 和b c ，当a c >时，则有b b a c >，即可进行解答；（2）将根据幂的乘方的逆运算，将332与223转化为同指数的幂，再比较大小即可；（3）根据同底数幂乘法的逆运算，将()322a b +转化为()3222a b ⨯，再根据积的乘方的逆运算，整理为含有2a 和8b 的性质，进行计算即可．（1）解：∵54>，∴202054>，故答案为：>．（2）∵()1133311228==，()1122211339==，89<，∴332223<．（3）原式()3222a b =⨯()()33222a b =⨯()()32322ba =⨯()2338b =⨯3236=⨯=972．【点拨】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方的运算法则和逆运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则及其逆运算法则．举一反三：【变式1】已知，若实数a 、b 、c 满足等式54a =，56b =，59c =．(1)求25a b +的值；(2)求25b c -的值；(3)求出a 、b 、c 之间的数量关系．【变式2】（2022春·全国·八年级专题练习）按要求解答下列各小题．(1)已知1012m =，103n =，求10m n -的值；(2)如果33a b +=，求327a b ⨯的值；(3)已知682162m m ⨯÷=，求m 的值．类型二、整式的乘除➽➼整式的乘法3．计算：(1)()()()2332ab a a b --- ；(2)()()221a a -+；(3)()()212x x +-．【答案】(1)446a b -(2)3222a a --(3)2232x x --【分析】（1）按照单项式乘以单项式的法则进行运算即可；（2）按照单项式乘以多项式的法则进行运算即可；（3）按照多项式乘以多项式的法则进行运算即可；（1）解：()()()2332ab a a b --- ()2236a b a b =- 44a b =-．（2）()()221a a -+3222a a =--；（3）()()212x x +-2242x x x =-+-2232x x =--．【点拨】本题考查的是单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，掌握“整式的乘法运算的运算法则”是解本题的关键．举一反三：【变式1】计算：(1)()()202024311202323π-⎛⎫-+-+-- ⎪⎝⎭（2）()()()222x y x y x x y -++--【变式2】（2022春·河南周口·七年级校联考期中）如图，把8张长为a ，宽为b 的小长方形纸片摆放在一个大长方形纸盒内，空白部分分别用A ，B 表示，两个摆放小纸片的长方形（阴影）公共的部分边长为m ，（用a ，b ，m 分别表示周长和面积）(1)填空：①空白部分A 的周长A P =__________，面积A S =_____________，②空白部分B 的周长B P =______________，面积B S =________________；(2)若5a b =，求A B P P -，A B S S -的代数式．类型三、整式的乘除➽➼平方差公式✭✭完全平方公式4．（2022春·山西大同·八年级大同一中校考阶段练习）化简下列多项式：(1)()()()214121x x x +---；（2）()()223223a b a b +--+.【答案】(1)72x -(2)2244129a b b -+-【分析】（1）先计算乘法，再合并同类项，即可求解；（2）利用平方差公式计算，即可求解．（1）解：()()()214121x x x +---22441441x x x x x =-+--+-72x =-（2）解：()()223223a b a b +--+()()223223a b a b =+---⎡⎤⎣⎦()()22223a b =--2244129a b b =-+-【点拨】本题主要考查了整式的混合运算，灵活利用乘法公式计算是解题的关键．举一反三：【变式1】（2022春·重庆·八年级重庆市育才中学校考阶段练习）计算：(1)()()()y x y x y x y +--+;(2)()()224x x x ++-【变式2】运用公式进行简便计算：(1)210.210.2 2.4 1.44-⨯+；(2)2222111111112342022⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．5．（2022春·四川内江·八年级校考阶段练习）（1）已知实数x ，y 满足2296x y -=，8x y -=，求x y +的值．（2）已知实数a 、b 满足()23a b +=，()227a b -=，求22a b ab ++的值．【答案】（1）12x y +=；（2）229a b ab ++=．【分析】（1）利用平方差公式，化简求解即可；（2）利用完全平方公式进行化简，分别求得22a b +和ab 的值，即可求解．解：（1）∵2296x y -=，∴()()96x y x y +-=，∵8x y -=，∴12x y +=；（2）∵()23a b +=，()227a b -=，∴2223a ab b ++=，22227a ab b -+=，∴222a 2b 30+=，424ab =-，∴22a b 15+=，6ab =-，∴()221569a b ab ++=+-=．【点拨】此题考查了完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．举一反三：【变式1】已知5a b +=，3ab =．求下列各式的值：(1)22a b +；(2)()2a b -；(3)()()()()1111a b a b ++--．【变式2】已知：221x x +=，将()()()()2(1)3331x x x x x --+----先化简，再求它的值．类型四、整式的乘除➽➼整体的除法6．（2022春·八年级课时练习）计算下列各题：(1)()()322432714x y xy x y ⋅-÷；(2)()()222x y x y y x ⎡⎤+-+÷．【变式1】先化简，再求值：()()()21242x y x y x y y ⎡⎤+--+÷⎣⎦，其中1x =，2y =．【变式2】已知24750a a -+=，求代数式()2232(21)a a a a -÷--的值．类型五、整式的乘除➽➼图形问题7．（2021春·陕西延安·八年级陕西延安中学校考阶段练习）如图所示，两个长方形用不同形式拼成图1和图2两个图形．(1)若图1中的阴影部分面积为22a b -；则图2中的阴影部分面积为_________．（用含字母a ，b 的式子且不同于图1的方式表示）(2)由（1）你可以得到乘法公式____________．(3)根据你所得到的乘法公式解决下面的问题：计算：①10397⨯；②()()22a b c a b c +---．【变式1】图a 是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b 的形状拼成一个正方形．(1)你认为图b 中的阴影部分的正方形的边长等于多少？(2)请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．方法1：方法2：(3)观察图b 你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：()()22,,m n m n mn+-(4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若75a b ab +==，，则2()a b -=．（请直接写出计算结果）【变式2】（2022春·八年级课时练习）如图，在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a b >），把余下的部分剪拼成一个矩形．(1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是：_________A ．()2222a ab b a b -+=-B ．()()22a b a b a b -=+-C ．()2a ab a a b +=+D ．()222a b a b -=-(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知：3a b -=，2221a b -=，求a b +的值；②计算：22222111111111123420202021⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【中考真题专练】【1】（2022·江苏常州）计算：(1)201(3)3---+π；(2)2(1)(1)(1)+--+x x x ．【2】（2022·广西·统考）先化简，再求值()()()22x y x y xy xy x +-+-÷，其中11,2x y ==．【3】（2022·河北·统考）发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证：如，()()22212110++-=为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和．探究：设“发现”中的两个已知正整数为m ，n ，请论证“发现”中的结论正确．a+，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵【4】（2022·浙江金华）如图1，将长为23爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．(2)当3a=时，该小正方形的面积是多少？2023七（下）第1章整式的乘除知识讲解与专项讲练2023.06.12~6.15【学习目标】1.掌握正整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2.会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3.掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算。
整式的乘除知识点及题型复习
整式运算考点1、幂的有关运算①=⋅nm a a （m 、n 都是正整数）②=n m a )( （m 、n 都是正整数）③=n ab )( （n 是正整数） ④=÷nm a a （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m>n ） ⑤=0a （a ≠0）⑥=-p a （a ≠0，p 是正整数） 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
积的乘方法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
同底数幂相除，底数不变，指数相减。
例：在下列运算中，计算正确的是（ ）（A ）326a a a ⋅= （B ）235()a a =（C ）824a a a ÷=（D ）2224()ab a b =练习：1、()()103x x -⨯-=________.2、()()()32101036a a a a -÷-÷-÷ = 。
3、23132--⎛⎫-+ ⎪⎝⎭= 。
4、322(3)---⨯- = 。
5、下列运算中正确的是（ ）A ．336x y x =；B ．235()m m =；C ．22122x x-=； D ．633()()a a a -÷-=- 6、计算()8pm n a aa ⋅÷的结果是（ ）A 、8mnp a - B 、()8m n p a ++ C 、8mp np a+- D 、8mn p a+-7、下列计算中，正确的有（ ）①325a a a ⋅= ②()()()4222ab ab ab ab ÷= ③()322a a a a ÷÷= ④()752a a a -÷=。
A 、①②B 、①③C 、②③D 、②④ 8、在①5x x ⋅ ②7x y xy ÷ ③()32x - ④()233x y y ÷中结果为6x 的有（ ）A 、①B 、①②C 、①②③④D 、①②④ 提高点1：巧妙变化幂的底数、指数 例：已知：23a =，326b =，求3102a b+的值；1、 已知2a x =，3bx =，求23a bx-的值。
八年级上册数学- 整式的乘除
第十四章 整式的乘法与因式分解第19讲 整式的乘除知识导航1．幂的运算：同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方；2．整式的乘法：单项式乘单项式，单项式乘多项式，多项式乘多项式；3．整式的除法：单项式除以单项式，多项式除以单项式，多项式除以多项式【板块一】幂的运算运算法则：（1）同底数幂相乘：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，用式子表示为：m n m n a a a +⋅=（m ，n 都是正整数）．（2）幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘，用式子表示为：()n m mn a a =（m ，n 都是正整数）．（3）积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，用式子表示为：()n n n ab a b =（n 都是正整数）．（4）同底数幂相除：同底数的幂相除，底数不变，指数相减，用式子表示为：m n m n a a a -÷=（m ＞n ）（5）规定：01a =（a ≠0），零的零次幂无意义．（6）负整数幂的运算法则：1n na a -=（n 是正整数，a ≠0）．方法技巧：1．从已知出发，构造出结果所需要的式子；2．从结果出发，构造符合已知条件的式子．题型一 基本计算【例1】计算：（1）()()32x x -⋅-；（2）()()2332a a -⋅-；（3）()22248x yy ÷； （4）323221334a b ab ⎛⎫⎛⎫÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【例2】计算：()()()2014201420150.12524-⨯-⨯-．题型二 逆向运用幂运算 【例3】（1）已知2228162x x ⋅⋅=，求x 的值；（2）已知4a y =，16b y =，求22a b y +的值．题型三 灵活进行公式变形【例4】已知：5210a b ==，求11a b+的值．题型四 比较大小【例5】已知552a =，334b =，225c =，试比较a ，b ，c 的大小．针对练习11．计算：（1）3224a a a a a ⋅⋅+⋅；（2）()57x x -⋅；（3）()()57x y x y +⋅--；（4）()()2332y y ⋅．2．计算：（1）6660.12524⨯⨯；（2）599329961255⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭；（3）()()2018201720172 1.513⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭；（4）4322023452%3%4%5%103456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．3．（1）若()3915n m a b ba b =，求m ，n 的值；（2）已知27a =，86b =，求()322a b +的值；（3）若a +3b -2=0，求327a b ⋅的值；（4）已知：21233324m m ++=，求m 的值；（5）已知124x y +=，1273x -=，求x －y 的值；（6）已知129372n n +-=，求n 的值．4．已知252000x =，802000y =，求11x y+的值．5．已知k ＞x ＞y ＞z ，且16522228k x y z +++=，k ，x ，y ，z 是整数，求k 的值．6．是否存在整数a ，b ，c 使9101628915a b c⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭？若存在，求出a ，b ，c 的值；若不存在，说明理由．7．比较653，524，396，2615四个数的大小．8．你能比较两个数20122011和20112012的大小吗？为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较1n n +与(1)n +n 的大小(n 是自然数），然后，我们分析1n =，2n =，3n =，⋯中发现规律，经过归纳，猜想得出结论．（1）通过计算，比较下列各组中两个数的大小（在空格内填写“>”、“ =”、“<”号）①21 12；②32 23；③43 34；④54 45；⑤65 56…．（2）从第（1）题的结果经过归纳，可猜想出1n n +与(1)n n +的大小关系是 ．（3）根据上面的归纳猜想得到的一般结论，试比较下面两个数的大小20122011，20112012．9．（1）已知()432a =，()342b =，()423c =，()234d =，()324e =，比较a ，b ，c ，d ，e 的大小关系；（2）已知：220002001200220012002200120022001200220012002a =+⨯+⨯++⨯+⨯，20022002b =，试比较a 与b 的大小．【板块二】整式的乘法方法技巧：（1）单项式与单项式相乘：系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个单项式里还有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．（2）单项式与多项式相乘：单项式分别与多项式中的每一项相乘，然后把所得的积相加，公式为：()m a b c ma mb mc ++=++，其中m 为单项式，a +b +c 为单项式．（3）多项式与多项式相乘：将一个多项式中的每一个单项式分别与多项式中的每一个单项式相乘，然后把积相加，公式为：()()m n a b ma mb na nb ++=+++．题型一 基本计算【例6】计算：（1）()()23234x y x y -⋅＝ ；（2）()()223234x y x y -⋅＝ ； （3）()254342x x y xy -⋅-＝ ；（4）()()22323253a b ab a b ⋅-+＝ ；（5）()()322a b x y +-＝ ；（6）()()332a b a b +-＝ ．题型二 混合运算 【例7】计算：()()()()242422325235333x x x x x x +++-+++．题型三 展开后不含某项【例8】若()()2283x ax x x b ++-+的乘积中不含x 2项和x 3项，则a ＝ ，b ＝ ．题型四 比较对应项的系数求值【例9】已知()()2226x my x ny x xy y ++=+-，求()m n mn +的值．【板块二】整式的乘法方法技巧（1）单项式与单项式相乘：系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个单项式里还有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.（2）单项式与多项式相乘：单项式分别与多项式中的每一项相乘，然后把所得的积相加，公式为: m (a＋b＋c) ＝ma＋mb＋mc，其中m为单项式，a＋b＋c为多项式.（3）多项式与多项式相乘：将一个多项式中的每一个单项式分别与另一个多项式中的每一个单项式相乘，然后把积相加，公式为：(m＋n)( a＋b) ＝ma＋mb＋na＋nb.题型一基本计算【例6】计算：（1）(－3x2y)·(4x3y2)＝__________;（2）(－3x2y) 2·(4x3y2)＝__________;（3）－3x2·(4x5y－2xy4)＝__________;（4）(2a2b3)·(－5ab2＋3a3b)＝__________;（5）(3a＋2b)·(2x－y)＝__________;（6）(3a＋b)·(3a－2b)＝__________;题型二混合运算【例7】计算：(3x2＋2)( 5x4＋2x2＋3)－(5x4＋x2＋3)( 3x2＋3)题型三展开后不含某项【例8】若(x2＋ax＋8)( x2－3x＋b)的乘积中不含x2和x3项，则a＝__________，b＝__________.题型四比较对应项的系数求值【例9】已知(x＋my)( x－ny)＝x2＋2xy－6y2，求(m＋n) mn的值题型五巧设特殊值【例10】设()5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a 1x＋a0（1）a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a0的值；（2）a0－a1＋a2－a3＋a4－a5的值；（3）a0＋a2＋a4的值；针对练习21．计算：（1）(x＋2y)(4a＋3b)＝__________；（2）(3x－y)( x＋2y)＝__________；（3）(x＋3)( x－4)＝__________；（4）(43a2b－83a3b2＋1)×(－0.25ab)＝__________；（5）3a b2 [(－ab) 2－2b2 (a2－23a3b)]＝__________；（6）(5x3＋2x－x2－3)(2－x＋4x2)＝__________；2．计算：（1）(x2－2x＋3)(x－1)( x＋1)；（2）[(12x－y)2＋(12x＋y)2] (12x2－2y2);（3）(－x3＋2x2－5)(2x2－3x＋1);（4）(x＋y)( x2－xy＋y2);（5）(x－y)( x2＋xy＋y2);（6）(－2x－y)(4x2－2xy＋y2).3．（1）多项式x2＋ax＋2和x2＋2x－b的积中没有x2和x3两项，求a，b的值；（2）若(1＋x)(2x2＋ax＋1)的结果中x2项的系数为－2，求a的值；（3）已知多项式3x2＋ax＋1与bx2＋x＋2的积中不含x2和x项，求系数a，b的值.4．（1）已知多项式x4＋x3＋x2＋2＝(x 2＋m x＋1)( x 2＋n x＋2)，求m与n的值；（2）若不论x取何值，多项式x3－2x3－4x－1与(x＋1)(x2＋m x＋n)都相等，求m和n的值；（3）已知(x＋a y)(2 x－b y)＝2x2－3xy－5y 2，则2a2b－ab2的值.5．已知ab2＝6，求ab (a 2b5－ab3－b)的值.6．已知x－y＝－1，xy＝2，求(x－1)( y＋1)的值.7．已知2 a 2＋3 a－6，求3a (2a＋1)－(2a＋1)( 2a－1)的值.8．已知x2－8x－3＝0，求(x－1)( x－3)( x－5)( x－7)的值.9．已知2 x＋3x (x＋1)( x＋2)( x＋3)的值.【板块三】整式的除法方法技巧（1）单项式除以单项式：系数、同底数的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.（2）多项式除以单项式：多项式中的每一项分别除以单项式，然后把所得的商相加，公式为：（3）多项式除以多项式：大除法.题型一基本计算【例11】计算：（1）(23a4b2－19a2b8)÷(－12ab3)2（2）(35a3b7－65a3b4－1.8a2b3)÷0.6ab2题型二大除法【例12】计算：（1）(x3－1)÷(x－1);（2）(3 x4－5x3＋x2＋2)÷(x2＋3);。
整式的乘除知识点总结及针对练习题
整式的乘除知识点总结及针对练习题思维辅导：整式的乘除知识点及练基础知识：1.单项式：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。
数字因数叫做系数，所有字母指数和叫次数。
例如，-2abc的系数为-2，次数为4，单独的一个非零数的次数是0.2.多项式：几个单项式的和叫做多项式。
多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。
例如，a-2ab+x+1，项有a、-2ab、x、1，二次项为a、-2ab，一次项为x，常数项为1，各项次数分别为2、2、1、0，系数分别为1、-2、1、1，叫二次四项式。
3.整式：单项式和多项式统称整式。
凡分母含有字母代数式都不是整式。
4.多项式按字母的升（降）幂排列：例如，x-2xy+xy-2y-1，按x的升幂排列为-1-2y+xy-2xy+x，按x的降幂排列为x-2xy+xy-2y-1.知识点归纳：一、同底数幂的乘法法则：a^m * a^n = a^(m+n)（m、n都是正整数）。
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
基础过关】1.下列计算正确的是（）A。
y^3 * y^5 = y^8B。
y^2 + y^3 = y^5C。
y^2 + y^2 = 2y^4D。
y^3 * y^5 = y^82.下列各式中，结果为(a+b)^3的是（）A。
a^3 + b^3B。
(a+b)(a^2+b^2)C。
(a+b)(a+b)^2D。
a+b(a+b)^23.下列各式中，不能用同底数幂的乘法法则化简的是（）A。
(a+b)(a+b)^2B。
(a+b)(a-b)^2C。
-(a-b)(b-a)^2D。
(a+b)(a+b)^3(a+b)^24.下列计算中，错误的是（）A。
2y^4 + y^4 = 2y^8B。
(-7)^5 * (-7)^3 * 74 = 712C。
(-a)^2 * a^5 * a^3 = a^10D。
(a-b)^3(b-a)^2 = (a-b)^5应用拓展】5.计算：1) 64*(-6)^52) -a^4(-a)^43) -x^5 * x^3 * (-x)^44) (x-y)^5 * (x-y)^6 * (x-y)^76.已知ax=2，ay=3，求ax+y的值。
整式的乘除
整式的乘除一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】1.整式的运算之 整式的乘除法：①幂的运算：0;;();()11,(0,)m n m n m n m n m n mn n n npp a a a a a a a a ab a b a a a p a+--⋅=÷=====≠为整数 ②整式的乘法法则：单项式乘以单项式： 。
单项式乘以多项式：()m a b += 。
单项式乘以多项式：()()m n a b ++= 。
③乘法公式：平方差： 。
完全平方公式： 。
2()()()a b x a x b x a b x ab ++=+++、型公式：④整式的除法：单项式相除：把它们的系数、相同字母分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，相同字母相除要用到同底数幂的运算性质。
多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．（二）：【课前练习1. 下列计算中，正确的是（ ）A ．2a+3b=5ab ；B ．a ·a 3=a 3 ；C ．a 6÷a 2=a 3 ；D ．（－ab ）2=a 2b 22. 下列两个多项式相乘，可用平方差公式（ ）． ①（2a －3b ）（3b －2a ）；②（－2a ＋3b ）（2a+3b ） ③（－2a +3b ）（－2a －3b ）；④（2a+3b ）（－2a －3b ）．A ．①②；B ．②③；C ．③④ ；D ．①④3 (1)(-5xy 2)3 (2)(-2a 2b 3)4 (3)(-3×102)3(4)若x n =3,y n =2,则(xy)n= ；(5)若10x =2,10y =3,则10 2x+3y= .（6）(x+y+z)(x+y-z)1．下列运算错误的是 ( )A ．x 2+2x 2=3x 2B ．2x 3(-x 2)=-2x 5C ．(x 2)3=x 5D ．6x 2÷2x 2=3x 2．2．按下面图示的程序计算，若开始输入的值为x=3，则最后输出的结果是 ( )A ．6B ．21C ．231D ．1563．若x 2+kx+9是完全平方式，则k 等于 ( )A ．3B ．-6C ．6D ．6或-64．下列分解因式正确的是 ( )A ．B ．3x 3+2x 2+x=x(3x 2+2x)C ．x 2-2xy-y 2=(x-y)2D ．9m 2-1=(9m+1)(9m-1)5．如图，在矩形ABCD 中，两个阴影部分都是矩形，依照右图中标出的数据，计算图中空白部分的面积，其面积是( )A ．bc-ab+ac+c 2B ．a 2+ab+bc-acC ．ab-bc-ac+c 2D ．b 2-bc+a 2-ab6．用火柴棒按如下图所示的方式搭三角形，搭1个三角形需要3根火柴棒，搭2个三角形需5根火柴棒，搭3个三角形需7根火柴棒……按此规律搭下去，搭n 个三角形需要火柴棒根数是 ( )A ．3nB ．2n+1C ．n 2+2n-1D ．n 2+n+1二：【经典考题剖析】1. 若3m 3n x =4,y =5,求(x 2m )3+(y n)3－x 2m·y n的值．2. 如图所示是杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如（a+b ）2（其中n 为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出（a+b ）4展开式中的系数：(a+b)1=a +b ；(a+b)2=a 2+2ab+b 2(a+b)3=a 3 +3a 2 b+3ab 2+b 3则(a+b)4=____a 4+____a 3 b+___ a 2 b 2+_____(a+b)6= 3. 阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：(2a ＋b)(a+b)=2a 2＋3ab+ b 2就可以用图l －l －l 或图l －l －2等图形的面积表示．（1）请写出图l －1－3所表示的代数恒等式： （2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示：（a+b ）（a+3b ）＝a 2＋4ab 十3b 2．（3）请仿照上述方法另写一下个含有a 、b 的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形．三：【课后训练】1. 下列计算错误的个数是（ ）333+36663503582432439x +x =x m m =2m a a a =a =a ; (-1)(-1)(-1)=(-1)=(-1)++++⋅⋅⋅⑴；⑵；⑶⑷A ．l 个B ．2个C ．3个D ．4个4. 下列各题计算正确的是（ ）A 、x 8÷x 4÷x 3=1B 、a 8÷a -8=1 C. 3100÷399=3 D.510÷55÷5-2=547. 求值：（1－212）（1－213）（1－214）…（1－219）（1－2110） 8. 化学课上老师用硫酸溶液做试验，第一次实验用去了a 2毫升硫酸，第二次实验用去了b 2毫升硫酸，第三次用去了2ab 毫升硫酸，若a=3．6，b=l ．4．则化学老师做三次实验共用去了多少毫升硫酸？ 9. ⑴观察下列各式：⑵由此可以猜想：(b a)n=____(n 为正整数，且a ≠0) ⑶证明你的结论：10. 阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+4+5+…+100=？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+4+5+…+n=12n(n+1)，其中n 是正整数．现在我们来研究一个类似的问题： 观察下面三个特殊的等式： 1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)=?1×2=13(1×2×3－0×1×2) 2×3=13(2×3×4－1×2×3) 3×4=13 (3×4×5－2×3×4)将这三个等式的两边分别相加，可以得到1×+2×3 3×4=13×3×4×5=20 读完这段材料，请你思考后回答：⑴1×2+2×3+3×4+…+100×101=_________. ⑵1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)=___________. ⑶1×2×3+2×3×4+……+n(n+1)(n+2)=______-. （只需写出结果，不必写中间的过程）因式分解一：【课前预习】（一）：【知识梳理】1．分解因式：把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．2．分解困式的方法：⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．⑵运用公式法：平方差公式: ； 完全平方公式: ；3．分解因式的步骤：（1）分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解．（2）在用公式时，若是两项，可考虑用平方差公式；若是三项，可考虑用完全平方公式；若是三项以上，可先进行适当的分组，然后分解因式。
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整式的乘除
考点一 单项式乘单项式
运算法则：系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只有一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
以下举例说明单项式与单项式相乘的规则如下：23234233ab a b c a b c ⋅=，两个单项式的系数分别为1和3，乘积的系数是3，两个单项式中关于字母a 的幂分别是a 和2a ，乘积中a 的幂是3a ，同理，乘积中b 的幂是4b ，另外，单项式ab 中不含c 的幂，而2323a b c 中含2c ，故乘积中含2c 。
【例1】计算：（1）863a a a a ⋅⋅⋅ （2）32)2
1(y x -
（3）3223)()(b a
【巩固】计算：（1）mx x ⋅ （2）3232ab b a ⋅⋅ （3）c b abc 2)(⋅
【例2】计算：（1）)2(332xy y x -⋅ （2）)4()5(232c b b a -⋅-
（3）卫星绕地球运动的速度约为37.910⨯米/秒,则卫星运行2
103⨯秒所走的路程约是多少?
【巩固】 计算: （1）)3)(2(22y x xy -
（2）)25)(51(2
22mnt t n m --
（3）)4()3(32x y x -⋅ （4）)10)(51)(5(2y x xz xy --
（5）)43)(32)(3(232z y y x x --
- （6）222)6()()3()5(ab ab b b a -⋅-+-⋅
考点二 单项式与多项式相乘
运算法则：单项式分别与多项式中的每一项相乘，然后把所得的积相加。
公式为：()m a b c ma mb mc ++=++，其中m 为单项式，a b c ++为多项式。
【例3】 计算
（1）)12(-a a （2）)1(2--x x x
（3）)2
53()2(322ab ab x -
⋅-
（4）解方程：)34(217)5(8--=-x x x x
【巩固】计算：
（1）)25(3b a a - （2）)6()3(x y x -⋅-
（3）)3(162y x x -- （4）)21(242b ab a +-
（5）)832(5322+-x x x （6）2322
1)1632(xy xy y x ⋅
-
考点三 多项式与多项式相乘
运算法则：将一个多项式中的每一个单项式分别与另一个多项式中的每一个单项式相乘，然后把积相加。
公式为：()()m n a b ma mb na nb ++=+++。
【例4】利用右图证明()()m n a b ma mb na nb ++=+++。
n m
a b
【巩固】有一长为a m ，宽为b m 的长方形空地，因基建用去了一部分，用去的这块地长、宽分别为a 32m 、b 2
1m ，用去的这块地面积是多少？剩下的面积又是多少？ ①
② ③ ④
【例5】计算
（1）()3)(2-+x x （2）()12)(13+-x x （3）())(22y xy x y x +-+
（4）()7)(3y x y x +- （5）()23)(52y x y x -+
【巩固】计算
（1）(2)4)(12--x x （2）()3)(872222y x y x +---
【例6】求)2()2(2222b a ab b b ab a a -+----，其中2=a ，2
1=b 。
【巩固】（1）求()2)(3()2)(2y x y x y x y x +--++，其中 9=x ，21=
y 。
（2）求ab b a ab ab 321362⋅⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
⎪⎭⎫ ⎝⎛--的值，其中2a =-，13b =-。
【例7】2(1)(21)x x ax +++的结果中2
x 项的系数为2-，则a 为多少?
【例8】如果22(8)(3)x px x x q ++-+的结果中不含2x 和3x 项，试求p ，q 的值。
【巩固】在22()(231)x ax b x x ++--的积中，3x 的系数是5-，2x 的系数是6-，求a ，b 的值。
考点四 单项式除以单项式
运算法则：系数、同底数的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
如：2322233a b c ab ab c ÷=，被除式为2323a b c ，除式为ab ，系数分别为3和1，故商中的系数为3，a 的幂分别为2a 和a ，故商中a 的幂为21a a -=，同理，b 的幂为2b ，另外，被除式中含2c ，而除式中不含关于c 的幂，故商中c 的幂为2c 。
【例9】计算（1）222(4)8x y y ÷
（2）4225)5(r r ÷-
（3）)25(1032xy y x -÷
（4）2322(0.8)(4)n n x y x y ÷
【巩固】（1）3232213()()34a b ab ÷ （2）2322393m n m n n m a b c a b ---÷。