【高考导航】2018届高三数学理一轮复习第9章第8节n次独立重复试验与2项分布

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高考数学(理)总复习讲义： n次独立重复试验及二项分布

第七节n 次独立重复试验及二项分布1.条件概率及其性质(1)条件概率的定义：对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号P (B |A )来表示，其公式为P (B |A )＝P (AB )P (A )(P (A )＞0).(2)条件概率的性质 ①非负性：0≤P (B |A )≤1；②可加性：如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A ). 2.相互独立事件(1)对于事件A ，B ，若事件A 的发生与事件B 的发生互不影响，则称事件A ，B 是相互独立事件.(2)若P (AB )＝P (A )P (B )，则A 与B 相互独立.(3)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立. (4)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )， P (AB )＝P (B |A )P (A )＝P (A )P (B ).(5)一般地，如果事件A 1，A 2，…，A n (n ＞2，n ∈N *)相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)·…·P (A n ).互斥事件与相互独立事件的相同点与不同点(1)相同点：二者都是描述两个事件间的关系；(2)不同点：互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P (AB )＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.3.独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验. 独立重复试验的条件：①每次试验在相同条件下可重复进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.(2)二项分布：一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，则事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k ，k ＝0,1,2，…，n ，则称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率.判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：,(1)是否为n 次独立重复试验；,(2)随机变量是否为某事件在这n 次独立重复试验中发生的次数.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)P (B |A )表示在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，P (AB )表示事件A ，B 同时发生的概率，一定有P (AB )＝P (A )P (B ).( )(2)相互独立事件就是互斥事件.( )(3)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n 表示的概率分布列，它表示了n 次独立重复试验中事件A 发生的次数的概率分布.( )答案：(1)× (2)× (3)√ 二、选填题1.打靶时甲每打10次，可中靶8次；乙每打10次，可中靶7次.若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是( )A.35 B.34 C.1225D.1425解析：选D 由题意知甲中靶的概率为45，乙中靶的概率为710，两人打靶相互独立，同时中靶的概率P ＝45×710＝1425.2.设随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (X ＝3)＝( ) A.516 B.316 C.58D.38解析：选A 因为X ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，由二项分布可得， P (X ＝3)＝C 36⎝⎛⎭⎫123·⎝⎛⎭⎫1－123＝516.3.根据历年气象统计资料，宜都三月份吹东风的概率为310，下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为830，则在吹东风的条件下下雨的概率为( )A.911B.89C.25D.811解析：选B 设事件A 表示宜都三月份吹东风，事件B 表示三月份下雨，根据条件概率计算公式可得在吹东风的条件下下雨的概率P (B |A )＝830310＝89.4.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为________.解析：设目标被击中为事件B ，目标被甲击中为事件A ，则由P (B )＝0.6×0.5＋0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.8，得P (A |B )＝P (AB )P (B )＝P (A )P (B )＝0.60.8＝0.75.答案：0.755.位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是________.解析：因为质点移动五次后位于点(2,3)，所以质点P 必须向右移动2次，向上移动3次.故其概率为C 35⎝⎛⎭⎫123·⎝⎛⎭⎫122＝C 35⎝⎛⎭⎫125＝516. 答案：516考点一条件概率[师生共研过关][典例精析](1)(2019·合肥模拟)将三颗骰子各掷一次，记事件A 为“三个点数都不同”，B 为“至少出现一个6点”，则条件概率P (A |B )＝__________，P (B |A )＝________.(2)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝________.[解析] (1)P (A |B )的含义是在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率，即在“至少出现一个6点”的条件下，“三个点数都不相同”的概率，因为“至少出现一个6点”有6×6×6－5×5×5＝91种情况，“至少出现一个6点，且三个点数都不相同”共有C 13×5×4＝60种情况，所以P (A |B )＝6091.P (B |A )的含义是在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，即在“三个点数都不相同”的条件下，“至少出现一个6点”的概率，因为“三个点数都不同”有6×5×4＝120种情况，所以P (B |A )＝12.(2)P (A )＝C 23＋C 22C 25＝410＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110，由条件概率公式，得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝11025＝14. [答案] (1)6091 12 (2)14[解题技法]条件概率的3种求法[过关训练]1.(2019·石家庄摸底)某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为________.解析：设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“开关第二次闭合后出现红灯”为事件B ，则“开关两次闭合后都出现红灯”为事件AB ，“开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯”为事件B |A ，由题意得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝25. 答案：252.现有3道理科题和2道文科题共5道题，若不放回地一次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为________.解析：法一：设第1次抽到理科题为事件A ，第2次抽到理科题为事件B ，则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝3×2A 2535＝12.法二：在第1次抽到理科题的条件下，还有2道理科题和2道文科题，故在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为12.答案：1 2考点二相互独立事件的概率[师生共研过关][典例精析](1)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少3人需使用设备的概率为________.(2)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________.[解析](1)设甲、乙、丙、丁需使用设备分别为事件A，B，C，D，则P(A)＝0.6，P(B)＝P(C)＝0.5，P(D)＝0.4，恰好3人使用设备的概率P1＝P(A BCD＋A B CD＋AB C D＋ABC D)＝(1－0.6)×0.5×0.5×0.4＋0.6×(1－0.5)×0.5×0.4＋0.6×0.5×(1－0.5)×0.4＋0.6×0.5×0.5×(1－0.4)＝0.25，4人使用设备的概率P2＝0.6×0.5×0.5×0.4＝0.06，故所求概率P＝0.25＋0.06＝0.31.(2)依题意，该选手第2个问题回答错误，第3,4个问题均回答正确，第1个问题回答正误均有可能，则所求概率P＝1×0.2×0.82＝0.128.[答案](1)0.31(2)0.128[变式发散]1.(变设问)保持本例(2)条件不变，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为________.解析：依题意，该选手第3个问题的回答是错误的，第4,5个问题均回答正确，第1,2个问题回答均错误或有且只有1个错误，则所求概率P＝0.23×0.82＋2×0.2×0.8×0.2×0.82＝0.005 12＋0.040 96＝0.046 08.答案：0.046 082.(变设问)保持本例(2)条件不变，则该选手回答了5个问题(5个问题必须全部回答)就结束的概率为________.解析：依题意，设答对的事件为A，可分第3个回答正确与错误两类，若第3个回答正确，则有A A A A或A A A A两类情况，其概率为：0.8×0.2×0.8×0.2＋0.2×0.2×0.8×0.2＝0.025 6＋0.006 4＝0.032.若该选手第3个问题的回答是错误的，第1,2个问题回答均错误或有且只有1个错误，则所求概率P＝0.23＋2×0.2×0.8×0.2＝0.008＋0.064＝0.072.所以所求概率为0.032＋0.072＝0.104.答案：0.104[解题技法]利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路 (1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和.(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件.(3)代入概率的积公式求解.[过关训练]1.在高三的某次模拟考试中，对于数学选修4系列的考查中，甲同学选做《不等式选讲》的概率为13，乙同学选做《不等式选讲》的概率为14，假定二人的选择相互之间没有影响，那么这次模拟考试中甲、乙两个同学至少有1人选做《不等式选讲》的概率为________.解析：记高三的某次模拟考试中“甲同学不选做《不等式选讲》”为事件A ，“乙同学不选做《不等式选讲》”为事件B ，且A ，B 相互独立.依题意，P (A )＝1－13＝23，P (B )＝1－14＝34，所以P (AB )＝P (A )·P (B )＝23×34＝12.又因为甲、乙二人至少有一人选做《不等式选讲》的对立事件为甲、乙二人都不选做《不等式选讲》，所以所求概率为1－P (AB )＝1－12＝12.答案：122.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率. 解：(1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3，则P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＝14， P (X ＝1)＝12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×14＝1124， P (X ＝2)＝⎝⎛⎭⎫1－12×13×14＋12×⎝⎛⎭⎫1－13×14＋12×13×⎝⎛⎭⎫1－14＝14， P (X ＝3)＝12×13×14＝124.所以随机变量X 的分布列为(2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0) ＝P (Y ＝0)P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)P (Z ＝0) ＝14×1124＋1124×14 ＝1148. 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.考点三独立重复试验与二项分布[师生共研过关][典例精析]九节虾的真身是虎斑虾，虾身上有一深一浅的横向纹路，煮熟后有明显的九节白色花纹，肉味鲜美.某酒店购进一批九节虾，并随机抽取了40只统计质量，得到的结果如下表所示：(1)若购进这批九节虾35 000 g ，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批九节虾的数量(所得结果保留整数)；(2)以频率估计概率，若在本次购买的九节虾中随机挑选4只，记质量在[5,25)间的九节虾的数量为X ，求X 的分布列.[解] (1)由表中数据可以估计每只九节虾的质量为140×(4×10＋12×20＋11×30＋8×40＋5×50)＝29.5(g)，因为35 000÷29.5≈1 186(只)，所以这批九节虾的数量约为1 186只.(2)由表中数据知，任意挑选1只九节虾，质量在[5,25)间的概率p ＝4＋1240＝25，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，则P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫354＝81625，P (X ＝1)＝C 14×25×⎝⎛⎭⎫353＝216625， P (X ＝2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫252×⎝⎛⎭⎫352＝216625，P (X ＝3)＝C 34×⎝⎛⎭⎫253×35＝96625， P (X ＝4)＝⎝⎛⎭⎫254＝16625. 所以X 的分布列为[解题技法]独立重复试验与二项分布问题的类型及解题策略(1)在求n 次独立重复试验中事件恰好发生k 次的概率时，首先要确定好n 和k 的值，再准确利用公式求概率.(2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n 和变量的概率，求得概率.[过关训练]1.甲、乙两名运动员练习定点投球，已知在该点每次投篮甲命中的概率是0.8，乙命中的概率是0.9，每人投两次，则甲、乙都恰好命中一次的概率为( )A.0.32B.0.18C.0.50D.0.057 6解析：选D 甲命中一次的概率为C 12×0.8×(1－0.8)＝0.32，乙命中一次的概率为C 12×0.9×(1－0.9)＝0.18，他们投篮命中与否相互独立，所以甲、乙都恰好命中一次的概率为P ＝0.32×0.18＝0.057 6.2.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分).设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为多少？解：(1)X 可能的取值为10,20,100，－200. 根据题意，有P (X ＝10)＝C 13×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫1－122＝38， P (X ＝20)＝C 23×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫1－121＝38，P (X ＝100)＝⎝⎛⎭⎫123＝18， P (X ＝－200)＝⎝⎛⎭⎫1－123＝18. 所以X 的分布列为(2)设“第i 盘游戏没有出现音乐”为事件A i (i ＝1,2,3)，则P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为 1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝⎛⎭⎫183＝1－1512＝511512. 因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为511512.[课时跟踪检测]一、题点全面练1.如果生男孩和生女孩的概率相等，则有3个小孩的家庭中女孩多于男孩的概率为( )A.23 B.12 C.34D.14解析：选B 设女孩个数为X ，女孩多于男孩的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝C 23×⎝⎛⎭⎫122×12＋C 33×⎝⎛⎭⎫123＝3×18＋18＝12. 2.(2018·广西三市第一次联考)某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如下：寿命在30天以上的概率为( )A.1316B.2764C.2532D.2732解析：选D 由表可知元件使用寿命在30天以上的频率为150200＝34，则所求概率为C 23⎝⎛⎭⎫342×14＋⎝⎛⎭⎫343＝2732. 3.(2019·武汉调研)小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“4个人去的景点不相同”，事件B 为“小赵独自去一个景点”，则P (A |B )＝( )A.29B.13C.49D.59解析：选A 小赵独自去一个景点共有4×3×3×3＝108种情况，即n (B )＝108,4个人去的景点不同的情况有A 44＝4×3×2×1＝24种，即n (AB )＝24，∴P (A |B )＝n (AB )n (B )＝24108＝29. 4.甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩如下(单位：分). 甲组：76,90,84,86,81,87,86,82,85,83 乙组：82,84,85,89,79,80,91,89,79,74现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件A ；“抽出的学生的英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B ，则P (AB )，P (A |B )的值分别是( )A.14，59 B.14，49 C.15，59D.15，49解析：选A 由题意知，P (AB )＝1020×510＝14，根据条件概率的计算公式得P (A |B )＝P (AB )P (B )＝14920＝59. 5.在一个质地均匀的小正方体的六个面中，三个面标0，两个面标1，一个面标2，将这个小正方体连续抛掷两次，若向上的数字的乘积为偶数，则该乘积为非零偶数的概率为( )A.14B.89C.116D.532解析：选D 两次数字乘积为偶数，可先考虑其反面——只需两次均出现1向上，故两次数字乘积为偶数的概率为1－⎝⎛⎭⎫262＝89；若乘积非零且为偶数，需连续两次抛掷小正方体的情况为(1,2)或(2,1)或(2,2)，概率为13×16×2＋16×16＝536.故所求条件概率为53689＝532.6.设由0,1组成的三位编号中，若用A 表示“第二位数字为0的事件”，用B 表示“第一位数字为0的事件”，则P (A |B )＝________.解析：因为第一位数字可为0或1，所以第一位数字为0的概率P (B )＝12，第一位数字为0且第二位数字也是0，即事件A ，B 同时发生的概率P (AB )＝12×12＝14，所以P (A |B )＝P (AB )P (B )＝1412＝12.答案：127.事件A ，B ，C 相互独立，如果P (AB )＝16，P (B C )＝18，P (AB C )＝18，则P (B )＝________，P (A B )＝________.解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧P (A )·P (B )＝16， ①P (B )·P (C )＝18， ②P (A )·P (B )·P (C )＝18， ③由③÷①得P (C )＝34，所以P (C )＝1－P (C )＝1－34＝14.将P (C )＝14代入②得P (B )＝12，所以P (B )＝1－P (B )＝12，由①可得P (A )＝13，所以P (A B )＝P (A )·P (B )＝23×12＝13.答案：12 138.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第17,18,19,20层停靠，若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这四层的每一层下电梯的概率为14，用ξ表示5位乘客在第20层下电梯的人数，则P (ξ＝4)＝________.解析：考查一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，14，即有P (ξ＝k )＝C k 5⎝⎛⎭⎫14k ×⎝⎛⎭⎫345－k ，k ＝0,1,2,3,4,5.故P (ξ＝4)＝C 45⎝⎛⎭⎫144×⎝⎛⎭⎫341＝151 024. 答案：151 0249.挑选空军飞行员可以说是“万里挑一”，要想通过需要过五关：目测、初检、复检、文考(文化考试)、政审.若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学能通过复检关的概率分别是0.5,0.6,0.75，能通过文考关的概率分别是0.6,0.5,0.4，由于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关之间通过与否没有影响.(1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检的概率； (2)设只要通过后三关就可以被录取，求录取人数X 的分布列.解：(1)设A ，B ，C 分别表示事件“甲、乙、丙通过复检”，则所求概率P ＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝0.5×(1－0.6)×(1－0.75)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.75)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.75＝0.275.(2)甲被录取的概率为P 甲＝0.5×0.6＝0.3，同理P 乙＝0.6×0.5＝0.3，P 丙＝0.75×0.4＝0.3.∴甲、乙、丙每位同学被录取的概率均为0.3，故可看成是独立重复试验，即X ～B (3,0.3)，X 的可能取值为0,1,2,3，其中P (X ＝k )＝C k 3(0.3)k·(1－0.3)3－k ，k ＝0,1,2,3. 故P (X ＝0)＝C 03×0.30×(1－0.3)3＝0.343， P (X ＝1)＝C 13×0.3×(1－0.3)2＝0.441， P (X ＝2)＝C 23×0.32×(1－0.3)＝0.189， P (X ＝3)＝C 33×0.33＝0.027，故X 的分布列为10.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别为23和34.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响.(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率； (3)假设每人连续2次未击中目标，则终止其射击.问：乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为多少？解：(1)记“甲连续射击4次，至少有1次未击中目标”为事件A 1，则事件A 1的对立事件A 1为“甲连续射击4次，全部击中目标”.由题意知，射击4次相当于做4次独立重复试验.故P (A 1)＝C 44⎝⎛⎭⎫234＝1681. 所以P (A 1)＝1－P (A 1)＝1－1681＝6581. 所以甲连续射击4次，至少有一次未击中目标的概率为6581. (2)记“甲射击4次，恰好有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击4次，恰好有3次击中目标”为事件B 2，则P (A 2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－232＝827， P (B 2)＝C 34⎝⎛⎭⎫343×⎝⎛⎭⎫1－341＝2764. 由于甲、乙射击相互独立，故P (A 2B 2)＝P (A 2)P (B 2)＝827×2764＝18. 所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为18.(3)记“乙恰好射击5次后，被终止射击”为事件A 3，“乙第i 次射击未击中”为事件D i (i ＝1,2,3,4,5)，则A 3＝D 5D 4D 3(D 2D 1∪D 2D 1∪D 2D 1)，且P (D i )＝14.由于各事件相互独立，故 P (A 3)＝P (D 5)P (D 4)P (D 3)P (D2D 1＋D 2D 1＋D 2D 1)＝14×14×34×⎝⎛⎭⎫1－14×14＝451 024.所以乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为451 024.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1.箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( )A.C 35C 14C 45B.⎝⎛⎭⎫593×49C.35×14 D.C 14×⎝⎛⎭⎫593×49解析：选B 由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为⎝⎛⎭⎫593×49.2.已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( )A.310 B.29 C.78D.79解析：选D 设事件A 为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B 为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P (A )＝310，P (AB )＝310×79＝730.则所求概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝730310＝79.3.为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响.若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元.已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X 元，则P (X ≥－80)＝________.解析：由题意得该产品能销售的概率为⎝⎛⎭⎫1－16⎝⎛⎭⎫1－110＝34.易知X 的所有可能取值为－320，－200，－80,40,160，设ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，34，所以P (ξ＝k )＝C k 4⎝⎛⎭⎫34k ⎝⎛⎭⎫144－k ，所以P (X ＝－80)＝P (ξ＝2)＝C 24⎝⎛⎭⎫342⎝⎛⎭⎫142＝27128， P (X ＝40)＝P (ξ＝3)＝C 34⎝⎛⎭⎫343⎝⎛⎭⎫141＝2764， P (X ＝160)＝P (ξ＝4)＝C 44⎝⎛⎭⎫344⎝⎛⎭⎫140＝81256，故P (X ≥－80)＝P (X ＝－80)＋P (X ＝40)＋P (X ＝160)＝243256.答案：243256(二)交汇专练——融会巧迁移4.[与统计交汇]从某市的高一学生中随机抽取400名同学的体重进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.(1)估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60 kg 的概率； (2)假设该市高一学生的体重X 服从正态分布N (57，σ2).①利用(1)的结论估计该高一某个学生体重介于54～57 kg 之间的概率；②从该市高一学生中随机抽取3人，记体重介于54～57 kg 之间的人数为Y ，利用(1)的结论，求Y 的分布列.解：(1)这400名学生中，体重超过60 kg 的频率为(0.04＋0.01)×5＝14，由此估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60 kg 的概率为14.(2)①∵X ～N (57，σ2)，由(1)知P (X ＞60)＝14，∴P (X ＜54)＝14，∴P (54＜X ＜60)＝1－2×14＝12，∴P (54＜X ＜57)＝12×12＝14，即高一某个学生体重介于54～57 kg 之间的概率为14.②∵该市高一学生总体很大，∴从该市高一学生中随机抽取3人，可以视为独立重复试验，其中体重介于54～57 kg 之间的人数Y ～B ⎝⎛⎭⎫3，14，其中P (Y ＝i )＝C i 3⎝⎛⎭⎫14i ⎝⎛⎭⎫343－i，i ＝0,1,2,3. ∴Y 的分布列为5.[与最值交汇]为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，某省于2018年推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期、月度滚动使用，第一阶梯电量：年用电量2 160度以下(含2 160度)，执行第一档电价0.565 3元/度；第二阶梯电量：年用电量2 161至4 200度(含4 200度)，执行第二档电价0.615 3元/度；第三阶梯电量：年用电量4 200度以上，执行第三档电价0.865 3元/度.某市的电力部门从本市的用电户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如下表：(2)现要在这10户家庭中任意选取4户，对其用电情况作进一步分析，求取到第二阶梯电量的户数的分布列；(3)以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电情况，现从全市居民用电户中随机地抽取10户，若抽到k 户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k 的值.解：(1)因为第二档电价比第一档电价多0.05元/度，第三档电价比第一档电价多0.3元/度，编号为10的用电户一年的用电量是4 600度，则该户本年度应交电费为4 600×0.565 3＋(4 200－2 160)×0.05＋(4 600－4 200)×0.3＝2 822.38(元).(2)由题表可知，10户中位于第二阶梯电量的有4户，设取到第二阶梯电量的用户数为ξ，则ξ可取0,1,2,3,4.P (ξ＝0)＝C 04C 46C 410＝114，P (ξ＝1)＝C 14C 36C 410＝821，P (ξ＝2)＝C 24C 26C 410＝37，P (ξ＝3)＝C 34C 16C 410＝435，P (ξ＝4)＝C 44C 06C 410＝1210，故ξ的分布列为(3)由题意可知从全市中抽取10户，用电量为第一阶梯的户数满足X ～B ⎝⎛⎭⎫10，25，可知P (X ＝k )＝C k 10⎝⎛⎭⎫25k ·⎝⎛⎭⎫3510－k (k ＝0,1,2,3，…，10). 由⎩⎨⎧C k 10⎝⎛⎭⎫25k ⎝⎛⎭⎫3510－k ≥C k ＋110⎝⎛⎭⎫25k ＋1⎝⎛⎭⎫359－k ，Ck 10⎝⎛⎭⎫25k ⎝⎛⎭⎫3510－k ≥C k －110⎝⎛⎭⎫25k －1⎝⎛⎭⎫3511－k，解得175≤k ≤225.又k ∈N *，所以当k ＝4时概率最大，故k ＝4.。

高考数学一轮复习 n次独立重复试验与二项分布基础知识检测理

n 次独立重复试验与二项分布基础热身1．下列说法正确的是( ) A ．P (A |B )＝P (B |A ) B ．0<P (B |A )<1C ．P (AB )＝P (A )·P (B |A )D ．P (B |A )＝12．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )A.12B.512C.14D.163．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( )A.512B.12C.712D.344．将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面的概率等于出现k ＋1次正面的概率，那么k 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3能力提升5．位于直角坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为23，向右移动的概率为13，则质点P 移动五次后位于点(1,0)的概率是( )A.4243B.8243C.40243D.802436．在4次独立重复试验中，事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( )A ．[0.4,1)B ．(0,0.4)C ．(0,0.6]D ．[0.6,1)7．在5道题中有三道数学题和两道物理题，如果不放回的依次抽取2道题，则在第一次抽到数学题的条件下，第二次抽到数学题的概率是( )A.35B.25C.12D.138．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A 表示“取到的2个数之和为偶数”，事件B 表示“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A.18B.14C.25D.129．一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为p 1和p 2.则( )A ．p 1＝p 2B ．p 1<p 2C．p1>p2D ．以上三种情况都有可能10．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170、169、168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为____________．11．如图K63－1，EFGH 是以O 为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则(1)P (A )＝________；(2)P (B |A )＝________.图K63－112．三支球队中，甲队胜乙队的概率为0.4，乙队胜丙队的概率为0.5，丙队胜甲队的概率为0.6，比赛顺序是：第一局是甲队对乙队，第二局是第一局的胜者对丙队，第三局是第二局胜者对第一局的败者，第四局是第三局胜者对第二局败者，则乙队连胜四局的概率为________．13．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是__________(写出所有正确结论的序号)．①P ()B ＝25；②P ()B |A 1＝511；③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．14．(10分) 某果园要用三辆汽车将一批水果从所在城市E 运至销售城市F ，已知从城市E 到城市F 有两条公路．统计表明：汽车走公路Ⅰ堵车的概率为110，不堵车的概率为910；走公路Ⅱ堵车的概率为35，不堵车的概率为25，若甲、乙两辆汽车走公路Ⅰ，第三辆汽车丙由于其他原因走公路Ⅱ运送水果，且三辆汽车是否堵车相互之间没有影响．(1)求甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车的概率；(2)求三辆汽车中至少有两辆堵车的概率．15．(13分)[2011·长安一中质检] 甲、乙两人进行围棋比赛，规定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p >12，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59. (1)求p 的值；(2)设X 表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量X 的分布列和数学期望EX .难点突破16．(12分)某人向一目标射击4次，每次击中目标的概率为13.该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1∶3∶6.击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比．(1)设X 表示目标被击中的次数，求X 的分布列；(2)若目标被击中2次，A 表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P (A )．答案解析【基础热身】1．C [解析] 由P(B|A)＝P ABP A，可得P(AB)＝P(A)·P(B|A)．2．B [解析] 设两个实习生每人加工一个零件为一等品分别为事件A ，B ，则P(A)＝23，P(B)＝34，于是这两个零件中恰有一个一等品的概率为：P(A B ＋A B)＝P(A B )＋P(A B)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×34＝512.3．C [解析] 本题涉及古典概型概率的计算．本知识点在考纲中为B 级要求．由题意得P(A)＝12，P(B)＝16，则事件A ，B 至少有一件发生的概率是1－P(A )·P(B )＝1－12×56＝712.4．C [解析] 根据题意，本题为独立重复试验，由概率公式得：C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫12k×⎝ ⎛⎭⎪⎫125－k ＝C k ＋15⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫124－k ，解得k ＝2.【能力提升】5．C [解析] 左移两次，右移三次，概率是C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝40243.6．A [解析] 根据题意，C 14p(1－p)3≤C 24p 2(1－p)2，解得p≥0.4，0<p<1，∴0.4≤p<1.7．C [解析] 第一次抽到数学题为事件A ，第二次抽到数学题为事件B ，n(AB)＝A 23＝6，n(A)＝A 13×A 14＝12.则所求的概率为P(B|A)＝n AB n A ＝612＝12.8．B 【解析】由于n(A)＝1＋C 23＝4，n(AB)＝1，所以P(B|A)＝n AB n A ＝14，故选B .9．B [解析] 按方法一，在各箱任意抽查一枚，抽得枚劣币的概率为1100＝0.01，所以p 1＝1－(1－0.01)10，按方法二，在各箱任意抽查一枚，抽得枚劣币的概率为C 199C 2100＝0.02，所以p 2＝1－(1－0.02)5，易计算知p 1<p 2，选B .10.370 [解析] 加工出来的正品率为P 1＝6970×6869×6768＝6770，∴次品率为P ＝1－P 1＝370. 11．(1) 2π (2)14[解析] (1)S 圆＝π，S 正方形＝(2)2＝2，根据几何概型的求法有P(A)＝S 正方形S 圆＝2π；(2)由∠EOH＝90°，S △EOH ＝14S 正方形＝12，故P( |B A)＝S △EOH S 正方形＝122＝14.12．0.09 [解析] 设乙队连胜四局为事件A ，有下列情况：第一局中乙胜甲(A 1)，其概率为1－0.4＝0.6；第二局中乙胜丙(A 2)，其概率为0.5；第三局中乙胜甲(A 3)，其概率为0.6；第四局中乙胜丙(A 4)，其概率为0.50，因各局比赛中的事件相互独立，故乙队连胜四局的概率为：P(A)＝P(A 1A 2A 3A 4)＝0.62×0.52＝0.09.13．②④ [解析] 根据题意可得P(A 1)＝510，P(A 2)＝210，P(A 3)＝310，可以判断④是正确的；A 1、A 2、A 3为两两互斥事件，P(B)＝P(B|A 1)＋P(B|A 2)＋P(B|A 3)＝510×511＋210×411＋310×411＝922，则①是错误的； P(B|A 1)＝P A 1BP A 1＝510×511510＝511，则②是正确的；同理可以判断出③和⑤是错误的．14．[解答] 记“汽车甲走公路Ⅰ堵车”为事件A ， “汽车乙走公路Ⅰ堵车”为事件B ， “汽车丙走公路Ⅱ堵车”为事件C.(1)甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车的概率为P 1＝P(A·B )＋P(A ·B)＝110×910＋910×110＝950.(2)甲、乙、丙三辆汽车中至少有两辆堵车的概率为P 2＝P(A·B·C )＋P(A·B ·C)＋P(A ·B·C)＋P(A·B·C)＝110×110×25＋110×910×35＋910×110×35＋110×110×35＝59500.15．[解答] (1)当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，故p2＋(1－p)2＝59，解得p ＝23或＝13.又p>12，所以p ＝23.(2)依题意知X 的所有可能取值为2,4,6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为59，若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有P(X ＝2)＝59，P(X ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－59×59＝2081，P(X ＝6)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－59×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－59×1＝1681，则随机变量的分布列为故EX ＝2×59＋4×81＋6×81＝81.【难点突破】16．[解答] (1)依题意X 的分布列为(2)i B i 表示事件”第二次击中目标时，击中第i 部分”，i ＝1,2.依题意知P(A 1)＝P(B 1)＝0.1，P(A 2)＝P(B 2)＝0.3，A ＝A 1B 1∪A 1B 1∪A 1B 1∪A 2B 2，所求的概率为P(A)＝P(A 1B 1)＋P(A 1B 1)＋P(A 1B 1)＋P(A 2B 2)＝P(A 1)P(B 1)＋P(A 1)P(B 1)＋P(A 1)P(B 1)＋P(A 2)P(B 2)＝0.1×0.9＋0.9×0.1＋0.1×0.1＋0.3×0.3＝0.28.欢迎您的下载，资料仅供参考！。

山东高考数学一轮总复习学案设计-第九章第八讲n次独立重复试验与二项分布含答案解析

第八讲 n次独立重复试验与二项分布知识梳理·双基自测知识梳理知识点一条件概率及其性质条件概率的定义条件概率的性质设A 、B 为两个事件，且P (A )＞0，称P (B |A )＝P (AB )P (A )为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率 (1)0≤P (B |A )≤1(2)若B 、C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝__P (B |A )＋P (C |A )__ 设A 、B 为两个事件，如果P (AB )＝__P (A )P (B )__，则称事件A 与事件B 相互独立．若事件A 、B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )；事件A 与B ，A 与B ，A 与B 都相互独立．知识点三独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验：在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，若用A i (i ＝1,2，…，n )表示第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝__P (A 1)P (A 2)P (A 3)…P (A n )__.(2)二项分布：在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记为X ～B (n ，p )．重要结论1．A ，B 中至少有一个发生的事件为A ∪B ． 2．A ，B 都发生的事件为AB ． 3．A ，B 都不发生的事件为A －B －.4．A ，B 恰有一个发生的事件为(A B －)∪(A B )．5．A ，B 至多有一个发生的事件为(A B )∪(A B －)∪(A －B －)．双基自测题组一走出误区1．(多选题)下列结论中正确的是( ABC ) A ．若事件A ，B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )B ．二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n 次独立重复试验中事件A 发生的次数的概率分布C ．袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是0.5D ．小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰好第3次测试获得通过的概率是P ＝C 13·(13)1·(1－13)3－1＝49题组二走进教材2．(P 55T3)天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为( C )A ．0.2B ．0.3C ．0.38D ．0.56[解析] 设甲地降雨为事件A ，乙地降雨为事件B ，则两地恰有一地降雨为A B －＋A －B ， ∴P (A B －＋A －B )＝P (A B －)＋P (A －B ) ＝P (A )P (B －)＋P (A －)P (B ) ＝0.2×0.7＋0.8×0.3 ＝0.38.题组三考题再现3．(2020·石家庄质检)甲、乙独立地解决同一数学问题，甲解决这个问题的概率是0.8，乙解决这个问题的概率是0.6，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是( D )A ．0.48B ．0.52C ．0.8D ．0.92[解析] 1－0.2×0.4＝0.92，选D 项．4．(2019·福建厦门模拟)袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( D )A ．25B ．35C ．18125D ．54125[解析] 袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率P 1＝35，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率是P ＝C 23(35)2(1－35)＝54125. 5．(2019·安徽安庆二模)甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传四个项目，每人限报其中一项，记事件A 为“四名同学所报项目各不相同”，事件B 为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则P (A |B )的值为( C )A ．14B ．34C ．29D ．59[解析] 公式法：P (B )＝3344，P (AB )＝A 3344，P (A |B )＝P (AB )P (B )＝29.故选C ．直接法：P (A |B )＝A 3333＝29.KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破·互动探究考点一条件概率——自主练透例1 (1)(2019·大庆模拟)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( B )A ．18B ．14C ．25D ．12(2)(2020·重庆市诊断)某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为( A )A ．313B ．413C ．14D ．15(3)(2019·辽宁沈阳东北育才学校模拟)已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有23的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率( C )A ．1320B ．920C ．15D ．120[解析] (1)P (A )＝C 23＋C 22C 25＝25，P (B )＝C 22C 25＝110，又A ⊇B ，则P (AB )＝P (B )＝110，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝P (B )P (A )＝14. 另解：“取到的2个数之和为偶数”有C 23＋1＝4种取法，“取到的2个数均为偶数”有1种取法，故所求概率P ＝14.故选B ．(2)公式法：设事件A 为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”；事件B 为“学生丙第一个出场”则P (A )＝A 44＋C 13C 13A 33A 55＝78A 55，P (AB )＝C 13A 33A 55＝18A 55，则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1878＝313，本题选A ．直接法：“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出师”有A 44＋C 13C 13A 33＝78种；“学生丙第一个出场，学生乙不最后一个出场”有C 13A 33＝18种，故所求概率为P ＝1878＝313. (3)记“三人中至少有两人解答正确”为事件A ；“甲解答不正确”为事件B ，则P (A )＝C 23(23)2(13)＋C 33(23)3＝2027； P (AB )＝13×23×23＝427，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝15.故选C ．名师点拨 ☞条件概率的求法(1)利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝P (AB )P (A ).这是通用的求条件概率的方法．(2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数，即n (AB )，得P (B |A )＝n (AB )n (A ). 〔变式训练1〕(2019·银川模拟)由0,1组成的三位编号中，若用A 表示“第二位数字为0的事件”，用B 表示“第一位数字为0的事件”，则P (A |B )＝( A )A ．12B ．14C ．16D ．18[解析] 因为第一位数字可为0或1，且可能性相同，所以第一位数字为0的概率P (B )＝12，第一位数字为0且第二位数字也是0，即事件A ，B 同时发生的概率P (AB )＝12×12＝14，所以P(A|B)＝P(AB)P(B)＝1412＝12.考点二相互独立事件的概率——师生共研例2 (1)(2019·全国)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”，设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以41获胜的概率是__0.18__.(2)(2019·课标Ⅱ)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成1010平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方1010平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．①求P(X＝2)；②求事件“X＝4且甲获胜”的概率．[解析](1)前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以41获胜的概率是0.63×0.5×0.5×2＝0.108，前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以41获胜的概率是0.4×0.62×0.52×2＝0.072，综上所述，甲队以41获胜的概率是q＝0.108＋0.072＝0.18.(2)①X＝2就是1010平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.②X＝4且甲获胜，就是1010平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．因此所求概率为[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.[引申]本例(1)中乙以40获胜的概率为__0.04__，甲以42获胜的概率为__0.171__.[解析]P1＝0.42×0.52＝0.04；P2＝(C230.42×0.6×0.52＋0.63×0.52＋C130.4×0.62×C120.52)×0.5＝0.171.名师点拨☞利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和．(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件．(3)代入概率的积、和公式求解．〔变式训练2〕(1)(2020·四川资阳诊断)某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为23，则由此估计甲获得冠军的概率为__2027__.(2)(2019·贵阳模拟)某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况．规定一名运动员出线记1分，未出线记0分．假设甲、乙、丙出线的概率分别为23，34，35，他们出线与未出线是相互独立的．①求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；②记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员的得分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E (ξ)．[解析] (1)因为甲获胜的方式有20和21两种，所以甲获得冠军的概率 P ＝(23)2＋C 12×23×13×23＝2027. 故答案为：2027.(2)①记“甲出线”为事件A ，“乙出线”为事件B ，“丙出线”为事件C ，“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件D ．则P (D )＝1－P (A －B －C －)＝1－13×14×25＝2930.②由题意可得，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，则P (ξ＝0)＝P (A －B －C －)＝13×14×25＝130；P (ξ＝1)＝P (A B －C －)＋P (A －B C －)＋P (A －B －C )＝23×14×25＋13×34×25＋13×14×35＝1360；P (ξ＝2)＝P (AB C －)＋P (A B －C )＋P (A －BC )＝23×34×25＋23×14×35＋13×34×35＝920；P (ξ＝3)＝P (ABC )＝23×34×35＝310.所以ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3 P1301360920310E (ξ)＝0×130＋1×1360＋2×920＋3×310＝12160.考点三独立重复试验的概率与二项分布——师生共研例 3 (2020·山东新高考质量测评联盟联考)甲、乙两位同学参加诗词大会，设甲、乙两人每道题答对的概率分别为23和34.假定甲、乙两位同学答题情况互不影响，且每人各次答题情况相互独立．(1)用X 表示甲同学连续三次答题中答对的次数，求随机变量X 的分布列和数学期望； (2)设M 为事件“甲、乙两人分别连续答题三次，甲同学答对的次数比乙同学答对的次数恰好多2”，求事件M 发生的概率．[解析] (1)X 的所有可能取值为0,1,2,3，则P (X ＝0)＝(13)3＝127；P (X ＝1)＝C 13·23×(13)2＝29； P (X ＝2)＝C 23(23)2×13＝49； P (X ＝3)＝(23)3＝827.∴随机变量X 的分布列为∴E (X )＝0×127＋1×29＋2×49＋3×827＝2.(2)设Y 为乙连续3次答题中答对的次数，由题意知Y ～B (3，34)，P (Y ＝0)＝(14)3＝164，P (Y ＝1)＝C 13(34)1(14)2＝964，所以P (M )＝P (X ＝3且Y ＝1)＋P (X ＝2且Y ＝0) ＝827×964＋49×164＝7144. 即事件M 发生的概率为7144.名师点拨 ☞独立重复试验概率求解的策略(1)独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且每次试验中发生的概率都是一样的．(2)二项分布满足的条件：①每次试验中，事件发生的概率是相同的；②各次试验中的事件是相互独立的；③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；④随机变量是这n 次独立重复试验中事件发生的次数．(3)解此类题时常用互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式．〔变式训练3〕(2019·成都模拟)某人向一目标射击4次，每次击中目标的概率为13.该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为136，击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比．(1)设X 表示目标被击中的次数，求X 的分布列；(2)若目标被击中2次，A 表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P (A )．[解析] (1)依题意知X ～B (4，13)，P (X ＝0)＝C 04(13)0(1－13)4＝1681； P (X ＝1)＝C 14(13)1(1－13)3＝3281； P (X ＝2)＝C 24(13)2(1－13)2＝2481； P (X ＝3)＝C 34(13)3(1－13)1＝881； P (X ＝4)＝C 44(13)4(1－13)0＝181； ∴X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P168132812481881181(2)设A i B i 表示事件“第二次击中目标时，击中第i 部分”i ＝1,2. 依题意知P (A 1)＝P (B 1)＝0.1，P (A 2)＝P (B 2)＝0.3， A ＝A 1B 1∪A 1B 1∪A 1B 1∪A 2B 2，所求的概率为P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 1B 1)＋P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)＋P (A 2)P (B 2)＝0.1×0.9＋0.9×0.1＋0.1×0.1＋0.3×0.3＝0.28.MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG名师讲坛·素养提升独立重复试验的概率的综合应用例 4 (2020·山西长治联考)2019年春节期间，当红影视明星翟天临“不知‘知网’”学术不端事件在全国闹得沸沸扬扬，引发了网友对亚洲最大电影学府北京电影学院乃至整个中国学术界高等教育乱象的反思。

2018高三数学(理)高考总复习课件：第九章第八节 n次独立重复试验与二项分布

2 C2 ＋ C 4 2 C2 1 3 2 2 解析：法一：P(A)＝＝＝，P(AB)＝ 2＝ .由条 C2 10 5 C5 10 5 1 PAB 10 1 件概率计算公式，得 P(B|A)＝＝＝ . 2 4 PA 5 2 法二：取到的 2 个数之和为偶数基本事件数 n(A)＝C2 ＋ C 3 2＝ 4，在事件 A 发生的条件下求事件 B 包含的基本事件数 n(AB) nAB 1 ＝1，则 P(B|A)＝＝ . 答案：B nA 4
解析：设目标被击中为事件 B，目标被甲击中为事件 A，则由 P(B)＝0.6×0.5＋0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.8， PAB PA 0.6 得 P(A|B)＝＝＝＝0.75. PB PB 0.8
答案：D
2．从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件 A＝“取到的 2 个数之和为偶数”，事件 B＝“取到的 2 个数均为偶数”，则 P(B|A)＝ ( ) 1 1 2 1 A. B. C. D. 8 4 5 2
在相同条件下重复定做的n次试验称为n 义次独立重复试验
计算公式
Ai(i＝1,2，…，n)表在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰示第i次试验结果，好发生 k 次的概率为 P(X＝k)＝Ck n 则P(A1A2A3…An)＝ pk(1－p)n－k(k＝0，1,2，…，n) P(A1)P(A2)…P(An)
2．有一批种子的发芽率为 0.9，出芽后的幼苗成活率为 0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．
解析：由题意可得所求概率为 0.8×0.9＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为 0.72.
答案：0.72
考点一
条件概率

高中数学新课标人教A版选修2：n次独立重复试验及二项分布课件

＝P(A)P( B )＋P( A )P(B)
＝0.2×0.7＋0.8×0.3
＝0.38.答案：0.38ຫໍສະໝຸດ 重点三独立重复试验与二项分布
独立重复试验
二项分布
在n次独立重复试验中，用X表示
在相同条件下重复做定
的n次试验称为n次独义
立重复试验
事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～
答案：B
4．(选修2－3第55页练习3题改编)天气预报，在元旦假期甲地降雨
概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降
雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为
________．
解析：设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有
一地降雨为A B ＋ A B，
∴P(A B ＋ A B)＝P(A B )＋P( A B)
都相互独立．
[逐点清]
3．(选修2－3第54页例3改编)两个实习生每人加工一个零件，加工
成一等品的概率分别为23和34，两个零件能否被加工成一等品相
互独立，则这两个零件恰好有一个一等品的概率为
()
A．12
B．152
C．14
D．16
解析：因为两人加工成一等品的概率分别为
2 3
和
3 4
，且相互独立，
所以两个零件恰好有一个一等品的概率为P＝23×14＋13×34＝152.
B(n，p)，并称p为成功概率
计用Ai(i＝1,2，…，n)表在n次独立重复试验中，事件A恰
算示第i次试验结果，则
公 P(A1A2A3…An)＝
好发生k次的概率为P(X＝k)＝Ckn pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)

高考数学大一轮复习第九章第八节 n次独立重复试验与二项分布课件

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12
[题组练透]
1．(2015·丽江高三检测)把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正
面”为事件 A，“第二次出现反面”为事件 B，则 P(B|A)等于
()
A．12
B．14
C．16
D．18
解析：由古典概型知 P(A)＝12，P(AB)＝14，则由条件概率知
1 P(B|A)＝PPAAB＝41＝12.
事件”,用 B 表示“第一位数字为 0 的事件”,则 P(A|B)＝__2___.
解析：因为第一位数字可为 0 或 1，
所以第一位数字为 0 的概率 P(B)＝12，
第一位数字为 0 且第二位数字也是 0，
即事件 A，B 同时发生的概率 P(AB)＝12×12＝14，
1
所以 P(A|B)＝PPABB＝41＝12.
2
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基础盘查二相互独立事件 (一)循纲忆知
了解两个事件相互独立事件的概率． (若A，B独立，则P(AB)＝P(A)P(B))
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(二)小题查验
1．判断正误 (1)若条件A与B独立，则A与－B ，－A 与B，－A 与－B 也相互独立．
(√ ) (2)抛掷2枚质地均匀的硬币，“第1枚为正面”为事件A，“第
第八节 n 次独立重复试验与二项分布
基础盘查一条件概率 (一)循纲忆知
了解条件概率PB|A＝PPAAB.
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1
(二)小题查验
1．判断正误
(1)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)
(√ )
(2)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，
P(AB)表示事件A，B同时发生的概率，一定有P(AB)＝

2018届高考理科数学第一轮考点总复习课件18相互独立事件和独立重复试验精品推荐

• 1. 事件 A( 或 B) 是否发生对事件 B( 或 A) 发生的概率①_________，这样的两个事件没有影响叫做相互独立事件. • 2. 事件A、B是相互独立事件，它们同时发生记作② _____. 两个相互独立事件同 A · B 时发生的概率，等于每个事件发生的概率的③____，即P(A· B)=④__________. P(A)· P(B) 积
C C
k 5 k 1 5
• 2.一道数学竞赛试题，甲解出它的概率 1 1 为，乙解出它的概率为，丙解出它 2 3 1 的概率为，由甲、乙、丙三人独立 4 解答此题只有一人解出的概率为 B ( ) • A. 49 • C.
13 24
11 B. 24
D. 59
• 解：
1 2 3 1 1 3 1 2 1 11 P 2 3 4 2 3 4 2 3 4 24
上至多遇到两次红灯”，所以事件B的概率为 P(B)=P(B0)+P(B1)+P(B2)= 8 . 9 点评：独立重复试验的概率计算直接按公式计算即可.
3. 一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的⑤____ 积，即 P(A1)· P(A2)·…·P(An) P(A1· A2·…·An)=⑥____________________. 4. 如果在n次重复试验中，每次试验结果的概率都⑦_________ 不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立重复试验. 5. 如果在1次试验中某事件发生的概率为 p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好 k k n -k 发生k次的概率为Pn(k)=⑧C ___________. n p (1- p )

2018届高三数学理一轮复习课后作业第9章第8节 n次独

课时作业 A 组基础对点练1．(2017·郑州模拟)设X ～B (4，p )，其中0＜p ＜12，且P (X ＝2)＝827，那么P (X ＝1)＝( ) A.881 B ．1681 C.827D ．3281解析：P (X ＝2)＝C 24p 2(1－p )2＝827，即p 2(1－p )2＝(13)2·(23)2，解得p ＝13或p ＝23(舍去)，故P (X ＝1)＝C 14p ·(1－p )3＝3281. 答案：D2．(2017·大连模拟)把一枚骰子连续抛两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为( ) A ．1 B ．12 C.13D ．14解析：设事件A ：第一次抛出的是偶数点，B ：第二次抛出的是偶数点，则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝12×1212＝12. 答案：B3．设两个独立事件A 和B 同时不发生的概率是p ，A 发生B 不发生与A 不发生B 发生的概率相同，则事件A 发生的概率为( ) A ．2p B ．p 2 C ．1－pD ．1－2p解析：据题意设事件A 发生的概率为a ，事件B 发生的概率为b ，则有⎩⎨⎧(1－a )(1－b )＝p ，①a (1－b )＝(1－a )b .②由②知a ＝b ，代入①即得a ＝1－p . 答案：C4．(2017·江西鹰潭一中模拟)端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙、丙回老家过节的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为( ) A.5660 B ．35 C.12D ．160解析：“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件A ，B ，C ，则P (A )＝13，P (B )＝14，P (C )＝15，所以P (A )＝23，P (B )＝34，P (C )＝45.由题知A ，B ，C 为相互独立事件，所以三人都不回老家过节的概率P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝23×34×45＝25，所以至少有一人回老家过节的概率P ＝1－25＝35. 答案：B5．(2017·天津南开调研)一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X 次球，则P (X ＝12)等于( )A ．C 1012⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582B ．C 912⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫58238C ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫582⎝ ⎛⎭⎪⎫382D ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582解析：由题意知第12次取到红球，前11次中恰有9次红球2次白球，由于每次取到红球的概率为38，所以P (X ＝12)＝C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389×⎝ ⎛⎭⎪⎫582×38.答案：D6．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是________．解析：移动五次后位于点(2,3)，所以质点P 必须向右移动2次，向上移动3次．故其概率为C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫123·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝516. 答案：5167．若随机变量ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，则P (ξ＝k )最大时，k 的值为__________．解析：根据题意得P (ξ＝k )＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－135－k ，k ＝0,1,2,3,4,5，则P (ξ＝0)＝32243，P (ξ＝1)＝80243，P (ξ＝2)＝80243，P (ξ＝3)＝40243，P (ξ＝4)＝10243，P (ξ＝5)＝1243，故当k ＝1或2时，P (ξ＝k )最大．答案：1或28．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为________．解析：记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，则事件A 的对立事件为B ，若小球落入B 袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，故P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝14，从而P (A )＝1－P (B )＝1－14＝34.答案：349．如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过T 1，T 2，T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.(1)求p ；(2)求电流能在M 与N 之间通过的概率．解析：记A i 表示事件“电流能通过T i ”，i ＝1,2,3,4，A 表示事件“T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流”，B 表示事件“电流能在M 与N 之间通过”． (1)A ＝A 1A 2A 3，A 1，A 2，A 3相互独立， P (A )＝P (A 1A2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝(1－p )3，又P (A )＝1－P (A )＝1－0.999＝0.001，故(1－p )3＝0.001，解得p ＝0.9. (2)B ＝A 4∪(A 4A 1A 3)∪(A4A 1A 2A 3)，P (B )＝P (A 4)＋P (A 4A 1A 3)＋P (A 4 A 1A 2A 3)＝P (A 4)＋P (A 4)P (A 1)P (A 3)＋P (A4)P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9＝0.989 1.10．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立． (1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率．解析：(1)设“每盘游戏中击鼓三次后，出现音乐的次数为ξ”．依题意，ξ的取值可能为0,1,2,3，且ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，则P (ξ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫123－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＝C k 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫123. 又每盘游戏得分X 的取值为10,20,100，－200.根据题意则P (X ＝10)＝P (ξ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38，P (X ＝20)＝P (ξ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38，P (X ＝100)＝P (ξ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，P (X ＝－200)＝P (ξ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18.所以X 的分布列为(2)设“第i i 则P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以，“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫183＝1－1512＝511512.因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.B 组能力提速练1．设随机变量X 服从二项分布X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，则函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 存在零点的概率是( ) A.56 B ．45 C.3132D ．12解析：∵函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 存在零点， ∴Δ＝16－4X ≥0，∴X ≤4.∵X 服从X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，∴P (X ≤4)＝1－P (X ＝5)＝1－125＝3132. 答案：C2．若同时抛掷两枚骰子，当至少有5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在3次试验中至少有1次成功的概率是( ) A.125729 B ．80243 C.665729D ．100243解析：一次试验中，至少有5点或6点出现的概率为1－⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝1－49＝59，设X 为3次试验中成功的次数，所以X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，59，故所求概率P (x ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫590×⎝ ⎛⎭⎪⎫493＝665729，故选C.答案：C3．已知事件A ，B ，C 相互独立，若P (A ·B )＝16，P (B ·C )＝18，P (A ·B ·C )＝18，则P (B )＝( ) A.12 B ．13 C.14D ．16解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ P (A )P (B )＝16，[1－P (B )]P (C )＝18，P (A )P (B )[1－P (C )]＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧P (A )＝13，P (B )＝12，P (C )＝14.故选A.答案：A4．(2017·海淀期末)已知甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7,0.6，且每次试跳成功与否之间没有影响．(1)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率是________； (2)若甲、乙各试跳两次，则甲比乙的成功次数多一次的概率是________．解析：(1)记“甲在第i 次试跳成功”为事件A i ，“乙在第i 次试跳成功”为事件B i ，“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C .法一：P (C )＝P (A 1B 1)＋P (A 1B 1)＋P (A 1B 1)＝P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)＝0.7×0.4＋0.3×0.6＋0.7×0.6＝0.88.法二：由对立事件的概率计算公式得P (C )＝1－P (A 1B 1)＝1－P (A 1)P (B 1)＝1－0.3×0.4＝0.88.(2)设“甲在两次试跳中成功i 次”为事件M i ，“乙在两次试跳中成功i 次”为事件N i ，所以所求概率P ＝P (M 1N 0)＋P (M 2N 1)＝P (M 1)P (N 0)＋P (M 2)P (N 1)＝C 12×0.7×0.3×0.42＋0.72×C 12×0.6×0.4＝0.302 4.答案：0.88 0.302 45．(2017·河北衡水中学质检)将一个大正方形平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)，投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A ，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B ，求P (A |B )．解析：依题意，随机试验共有9个不同的基本结果，由于随机投掷，且小正方形的面积大小相等，所以事件B 包含4个基本结果，事件AB 包含1个基本结果．所以P (B )＝49，P (AB )＝19. 所以P (A |B )＝P (AB )P (B )＝1949＝14.。

优化探究高考数学一轮复习第九章第八节 n次独立重复

【优化探究】2017届高考数学一轮复习第九章第八节 n 次独立重复试验与二项分布课时作业理新人教A 版A 组考点能力演练1．打靶时甲每打10次，可中靶8次；乙每打10次，可中靶7次．若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是( )A.35 B.34 C.1225D.1425解析：甲中靶的概率为45，乙中靶的概率为710，两人打靶相互独立，同时中靶的概率为45×710＝1425. 答案：D2．若某人每次射击击中目标的概率均为35，此人连续射击三次，至少有两次击中目标的概率为( )A.81125B.54125C.36125D.27125解析：本题考查概率的知识．至少有两次击中目标包含仅有两次击中，其概率为C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35；或三次都击中，其概率为C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫353，根据互斥事件的概率公式可得，所求概率为P ＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＋C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝81125，故选A. 答案：A3．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( )A.310B.29C.78D.79解析：设事件A 为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B 为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P (A )＝310，P (AB )＝310×79＝730.则所求概率为P (B |A )＝P ABP A ＝730310＝79.答案：D4．设随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，则P (X ＝3)等于( ) A.516B.316C.58D.38解析：∵X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12， ∴P (X ＝3)＝C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫123·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝516.答案：A5．(2016·广州模拟)甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为( )A ．0.12B ．0.42C ．0.46D ．0.88解析：因为甲、乙两人是否被录取相互独立，又因为所求事件的对立事件为“两人均未被录取”，由对立事件和相互独立事件概率公式知，P ＝1－(1－0.6)(1－0.7)＝1－0.12＝0.88.答案：D6．在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是________．解析：由题意知，两个人都不去此地的概率是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＝35，∴至少有一个人去此地的概率是1－35＝25.答案：257．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠，若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率为13，用ξ表示5位乘客在第20层下电梯的人数，则P (ξ＝4)＝________.解析：考查一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故ξ～B ⎝⎛⎭⎪⎫5，13，即有P (ξ＝k )＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫235－k，k ＝0,1,2,3,4,5. 故P (ξ＝4)＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫134×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝10243.答案：102438．高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙相邻的概率是________．解析：设“甲、乙二人相邻”为事件A ，“甲、丙二人相邻”为事件B ，则所求概率为P (B |A )，由于P (B |A )＝P ABP A，而P (A )＝2A 44A 55＝25.答案：259．如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过T 1，T 2，T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.(1)求p ；(2)求电流能在M 与N 之间通过的概率．解：记A i 表示事件“电流能通过T i ”，i ＝1,2,3,4，A 表示事件“T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流”，B 表示事件“电流能在M 与N 之间通过”．(1)A ＝A1A 2A 3，A 1，A 2，A 3相互独立，P (A )＝P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝(1－p )3，又P (A )＝1－P (A )＝1－0.999＝0.001，故(1－p )3＝0.001，解得p ＝0.9.(2)B ＝A 4∪(A 4A 1A 3)∪(A4A 1A 2A 3)，P (B )＝P (A 4)＋P (A 4A 1A 3)＋P (A 4 A 1A 2A 3)＝P (A 4)＋P (A 4)P (A 1)P (A 3)＋P (A 4)P (A1)P (A 2)P (A 3)＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9＝0.989 1.10．(2016·石家庄模拟)某市的教育研究机构对全市高三学生进行综合素质测试，随机抽取了部分学生的成绩，得到如图所示的成绩频率分布直方图．(1)估计全市学生综合素质成绩的平均值；(2)若评定成绩不低于80分为优秀，视频率为概率，从全市学生中任选3名学生(看作有放回的抽样)，变量ξ表示3名学生中成绩优秀的人数，求变量ξ的分布列及期望E (ξ)．解：(1)依题意可知55×0.12＋65×0.18＋75×0.40＋85×0.22＋95×0.08＝74.6，所以综合素质成绩的平均值为74.6.(2)由频率分布直方图知优秀率为10×(0.008＋0.022)＝0.3，由题意知，ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，310，P (ξ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫310k ⎝ ⎛⎭⎪⎫7103－k，故其分布列为ξ 0 1 2 3 P3431 0004411 0001891 000271 000E (ξ)＝3×310＝10.B 组高考题型专练1．(2014·高考陕西卷)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量(kg)300 500 概率0.50.5作物市场价格(元/kg)6 10 概率0.40.6(1)设X(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率．解：(1)设A表示事件“作物产量为300 kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，∵利润＝产量×市场价格－成本，∴X所有可能的取值为500×10－1 000＝4 000,500×6－1 000＝2 000，300×10－1 000＝2 000,300×6－1 000＝800.P(X＝4 000)＝P(A)P(B)＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P(X＝2 000)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，所以X的分布列为(2)设C i表示事件“第i，由题意知C1，C2，C3相互独立，由(1)知，P(C i)＝P(X＝4 000)＋P(X＝2 000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1，2,3)，3季的利润均不少于2 000元的概率为P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝0.512；3季中有2季利润不少于2 000元的概率为P(C1C2C3)＋P(C1C2C3)＋P(C1C2C3)＝3×0.82×0.2＝0.384，所以，这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.512＋0.384＝0.896.2．(2015·高考北京卷)A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A组：10,11,12,13,14,15,16；B组：12,13,15,16,17,14，a.假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；(2)如果a＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(3)当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)解：设事件A i为“甲是A组的第i个人”，事件B i为“乙是B组的第i个人”，i＝1,2， (7)由题意可知P (A i )＝P (B i )＝17，i ＝1,2， (7)(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A 组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是P (A 5∪A 6∪A 7)＝P (A 5)＋P (A 6)＋P (A 7)＝37.(2)设事件C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”．由题意知，C ＝A 4B 1∪A 5B 1∪A 6B 1∪A 7B 1∪A 5B 2∪A 6B 2∪A 7B 2∪A 7B 3∪A 6B 6∪A 7B 6.因此P (C )＝P (A 4B 1)＋P (A 5B 1)＋P (A 6B 1)＋P (A 7B 1)＋P (A 5B 2)＋P (A 6B 2)＋P (A 7B 2)＋P (A 7B 3)＋P (A 6B 6)＋P (A 7B 6)＝10P (A 4B 1)＝10P (A 4)P (B 1)＝1049.(3)a ＝11或a ＝18.。

高三数学,一轮复习人教A版, 第9章第8节, n次独立重复试验,与2项分布 ,课件

目录
CONTENTS
1 高考导航考纲下载
第九章计数原理与概率、
随机变量及其分布第八节 n次独立重复试验与二项分布
2 3 4 5
主干知识自主排查核心考点互动探究
真题演练明确考向
课时作业
1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念． 2.理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布，能解决一些简单的实际问题．
解析：设事件 A：甲实习生加工的零件为一等品；事件 B：乙实习生加工的零件为一等品． 2 3 则 P(A)＝3，P(B)＝4，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为 P(A B )＋P( A B)＝P(A)P( B )＋P( A )P(B)
3 2 2 3 5 ＝3×1－4＋1－3 × 4＝12.
1 1 5 3 313 解析：X～B 6，2，由二项公布可得，P(X＝3)＝C62 · 1－＝ 2 16.
3．袋中装有标号为 1,2,3 的三个小球，从中任取一个，记下它的号码，放回袋中，这样连续做三次．若抽到各球的机会均等，事件 A 表示“三次抽到的号码之和为 6”，事件 B 表示“三次抽到的号码都是 2”，则 P(B|A)＝( A ) 1 A.7 1 C.6 2 B．7 7 D．27
5．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的 5 个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8，且每个问题的回答结果相互独立．则该选手恰好回答了 4 个问题就
0.128 ．晋级下一轮的概率等于________
解析：依题意，该选手第 2 个问题回答错误，第 3、第 4 个问题均回答正确，第 1 个问题回答正误均有可能．由相互独立事件概率计算公式得，所求概率 P＝1×0.2×0.82＝0.128.

2018-2019学年高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习课件：第九章第八节 n次独立重复试验与二项分布

试题
解析
由古典概型知 P(A) 1 1 ＝， P(AB) ＝，则 2 4 由条件概率知 P(B|A)
题组训练
则 P(B|A)等于( A ) 1 A. 2 1 C. 6 B. 1 4
1 D. 8
1 PAB 4 1 ＝＝＝ . P A 1 2 2
考点一
2.如图， EFGH 是以 O 为圆心，半径为 1 的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆
知识点三
计算公式
Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝ P(A1)P(A2)…P(An)
在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好
k 发生 k 次的概率为 P(X＝k)＝Ck np (1
－p)n k(k＝0,1,2，…，n)－来自知识点三知识点一
易误提醒
知识点二
PAB PA 概率为 P(B|A)＝_________.
知识点一
知识点一
易误提醒
(1)条件概率不一定不等于非条件概率．若
A，B 相互独立，则 P(B|A)＝P(B)．
知识点二
(2)P(B|A)与 P(A|B)易混淆为等同．前者是在 A 发生的条件下 B 发生的概率，后者是在 B
知识点三
知识点二
第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为
知识点三
4 ________ 99 ．
知识点二
知识点一
事件的相互独立性
1．定义设 A，B 为两个事件，如果 P(AB)＝ P(A)P(B) ，则称事件 A 与事件 B 相互独立．
知识点二
2．性质 (1)若事件 A 与 B 相互独立，则 P(B|A)＝ P(B) ， P(A|B)＝P(A)， P(AB)＝ P(A)P(B) ． (2)如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与 B ， A 与 B ，

2018年高考数学总复习高考研究课(一)n次独立重复试验与二项分布课件理

1 由条件概率计算公式，得 P(B|A)＝PPAAB＝140＝14. [答案] B
10
(2)如图，EFGH 是以 O 为圆心，半径为 1 的圆的内
接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用 A 表示
事件“豆子落在正方形 EFGH 内”，B 表示事件“豆
子落在扇形 OHE(阴影部分)内”，则 P(B|A)＝________.
二项分布
[典例] 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
(1)求在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个的概率；
(2)用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数，求随机变量 X 的分布列．
2
3
P 0.064 0.288 0.432 0.216
[方法技巧] 判断某随机变量是否服从二项分布的方法
(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同． (2)各次试验中的事件是相互独立的． (3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．
[即时演练] 某气象站天气预报的准确率为 80%，计算(结果保留到小数点后第 2 位)： (1)5 次预报中恰有 2 次准确的概率； (2)5 次预报中至少有 2 次准确的概率； (3)5 次预报中恰有 2 次准确，且其中第 3 次预报准确的概率．解：令 X 表示 5 次预报中预报准确的次数，则 X～B5，54，故概率 P(X＝k)＝Ck545k1－545－k(k＝0,1,2,3,4,5)． (1)“5 次预报中恰有 2 次准确”的概率为 P(X＝2)＝C25×452×1－453＝ 10×1265×1215≈0.05.

高考数学一轮复习第九章计数原理与概率、随机变量及其分布课时达标62 条件概率、n次独立重复试验

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课时达标62 条件概率、n次独立重复试验与二项分布理[解密考纲］对事件的独立性与条件概率、独立重复试验与二项分布的考查在高考中三种题型均有呈现．一、选择题1．（2017·陕西西安模拟）甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩如下（单位：分）．甲组:76，90,84，86,81，87,86,82，85，83乙组：82，84，85,89,79，80，91，89,79，74现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲组学生"记为事件A；“抽出学生的英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B，则P（AB），P（A|B)的值分别是( A ）A．错误!，错误!B．错误!，错误!C．错误!，错误!D．错误!，错误!解析：∵P(A|B）＝错误!,P（B）＝错误!，∴P(AB)＝P(A|B)·P（B）＝错误!。

2．已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( B ）A．0.85 B．0.819 2C．0.8 D．0。

75解析:P＝C3，40。

83·0。

2＋C4，40.84＝0。

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