高三数学：n次独立重复试验与二项分布经典教案

n 次独立重复试验与二项分布

[最新考纲] 1.了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念.2.理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单问题．

1．条件概率的定义 条件概率的性质

设A ，B 为两个事件，且P (A )＞0，称P (B |A )

＝P (AB )P (A )

为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率 (1)0≤P (B |A )≤1；

(2)如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )

2.(1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )·P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立． (2)性质：①若事件A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )，P (A |B )＝P (A )．

②如果事件A 与B 相互独立，那么A 与–B ，–A 与B ，–A 与–

B 也相互独立． 3．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验

在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，其中A i (i ＝1,2，…，n )是第i 次试验结果，则 P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)…P (A n )． (2)二项分布

在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k

(1－p )n －k (k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相互独立事件就是互斥事件． ( )

(2)若事件A ，B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )． ( ) (3)公式P (AB )＝P (A )P (B )对任意两个事件都成立． ( )

(4)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k

，k ＝0,1,2，…，n 表示的概率分布列，它表示了n 次独立重复试验中事件A 发生的次数的概率分布． ( )

[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√

2．设随机变量X ～B ⎝⎛⎭

⎫6，1

2，则P (X ＝3)等于( )

A.516

B.316

C.58

D.38

A [∵X ～

B ⎝⎛⎭⎫6，12，∴P (X ＝3)＝

C 36

⎝⎛⎭⎫126＝516.故选A.]

3．已知P (B |A )＝12，P (AB )＝3

8

，则P (A )等于( )

A.316

B.1316

C.34

D.14

C [由P (AB )＝P (A )P (B |A )，得38＝1

2

P (A )，

∴P (A )＝3

4.]

4．某人射击，一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为________． 81125 [P ＝C 230.620.4＋C 330.63

＝81125.]

5．天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为________．

0.38 [设甲地降雨为事件A ，乙地降雨为事件B ，则两地恰有一地降雨为A –B ＋–

A B ，

∴P (A –B ＋–A B )＝P (A –B )＋P (–A B )

＝P (A )P (–B )＋P (–

A )P (

B ) ＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝

0.38.]

条件概率

1．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )

A.18

B.14

C.25

D.12

B [法一：P (A )＝

C 23＋C 22C 25＝410＝25，P (AB )＝C 22

C 25

＝110.由条件概率计算公式，得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1

1025

＝14.

法二：事件A 包括的基本事件：(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)共4个． 事件AB 发生的结果只有(2,4)一种情形，即n (AB )＝1.

故由古典概型概率P (B |A )＝n (AB )n (A )＝1

4

.]

2．某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A 和B 都不是第一个出场，B 不是最后一个出场”的前提下，学生C 第一个出场的概率为( )

A.13

B.15

C.19

D.320

A [因为“A 和

B 都不是第一个出场，B 不是最后一个出场”的安排方法中，另外3人中任何一个第一个

出场的概率相等，故“C 第一个出场”的概率是1

3

.]

3．(2019·运城模拟)有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．

0.72 [设“种子发芽”为事件A ，“种子成长为幼苗”为事件AB (发芽，又成活为幼苗)．出芽后的幼苗成活率为P (B |A )＝0.8，P (A )＝0.9，根据条件概率公式得P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.8×0.9＝0.72，即这粒种子能[规律方法] 1.利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝

，这是求条件概率的通法.

2.借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件A 与事件B 的交事件中包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝

相互独立事件的概率

【例1】 某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出

线和未出线两种情况．规定一名运动员出线记1分，未出线记0分．假设甲、乙、丙出线的概率分别为23，3

4，3

5，他们出线与未出线是相互独立的．

(1)求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；

(2)记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员的得分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列．

[解] (1)记“甲出线”为事件A ，“乙出线”为事件B ，“丙出线”为事件C ，“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件D ，