第二章 阶段训练二

阶段训练二(范围：§2.4～§2.5)一、选择题1．已知数列a ，a (1－a )，a (1－a )2，…是等比数列，则实数a 满足( )A ．a ≠1B ．a ≠0或a ≠1C ．a ≠0D ．a ≠0且a ≠1 答案 D解析 由于a ，a (1－a )，a (1－a )2，…是等比数列，则a 需满足a ≠0，a (1－a )≠0，a (1－a )2≠0，所以a ≠0且a ≠1.2．(多选)在等比数列{a n }中，已知a 1＝3，a 3＝27，则数列的通项公式是( )A ．a n ＝3nB ．a n ＝3n －1 C ．a n ＝(－1)n －13nD ．a n ＝2n －1 答案 AC解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 3＝a 1q 2，得q 2＝9，即q ＝±3.∴a n ＝a 1q n －1＝3×3n －1＝3n 或a n ＝a 1q n －1＝3×(－3)n －1＝(－1)n －13n .故数列的通项公式是a n ＝3n 或a n ＝(－1)n －13n .3．(多选)在等比数列{a n }中，a 4·a 8＝2，a 2＋a 10＝3，则a 12a 4等于( ) A ．2 B.12 C ．－2 D ．－12答案 AB解析 设数列{a n }的公比为q .由等比数列的性质可得a 2·a 10＝2，又a 2＋a 10＝3，所以a 2＝1，a 10＝2或a 2＝2，a 10＝1，所以q 8＝2或q 8＝12，所以a 12a 4＝2或a 12a 4＝12. 4．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( )A ．63B ．64C ．127D ．128 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝1，a 5＝a 1q 4＝16，得16＝q 4，由q >0，得q ＝2，则S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝1－271－2＝127，故选C.5．已知数列{a n }是首项为1的等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5B.3116或5C.3116D.158答案 C解析 由9S 3＝S 6，得q ≠1，且9(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q，即1＋q 3＝9，解得q ＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为1－⎝⎛⎭⎫1251－12＝3116，故选C. 6．已知等比数列{a n }的各项均为正数，且3a 12，a 34，a 2成等差数列，则a 2 021＋a 2 020a 2 019＋a 2 018的值为( ) A ．1 B ．3 C ．6 D ．9答案 D解析 设等比数列{a n }的公比为q ，因为3a 12，a 34，a 2成等差数列，所以a 32＝3a 12＋a 2，即a 1q 22＝3a 12＋a 1q ，解得q ＝3或q ＝－1，又{a n }的各项均为正数，所以q ＝3，故a 2 021＋a 2 020a 2 019＋a 2 018＝q 2＝9. 7．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( )A ．16B ．26C ．30D ．80答案 C解析 由题意得q >0且q ≠1，因为S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n 成等比数列． 设S 2n ＝x (x >0)，则2，x －2,14－x 成等比数列，(x －2)2＝2(14－x )，解得x ＝6. 由S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n 成等比数列，可得(6－2)×(S 4n －14)＝(14－6)2，解得S 4n ＝30.二、填空题8．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 4＝4，则a 7＝ .答案 8解析 由a 4＝a 1q 3，得q 3＝2，∴a 7＝a 1q 6＝a 1(q 3)2＝8.9．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 3＋a 2a 6＋2a 23＝36，则a 2＋a 4的值为 ． 答案 6解析 由于36＝a 1a 3＋a 2a 6＋2a 23＝a 22＋a 24＋2a 2a 4＝(a 2＋a 4)2，且a 2＋a 4>0，故a 2＋a 4＝6.10．若{a n }是等比数列，其中a 3，a 7是方程2x 2－3kx ＋5＝0的两个根，且(a 3＋a 7)2＝2a 2a 8＋11，则k 的值为 ．答案 ±83解析 由根与系数的关系可知a 3a 7＝52，a 3＋a 7＝32k ，所以(a 3＋a 7)2＝2a 2a 8＋11＝2a 3a 7＋11＝16，所以a 3＋a 7＝±4＝3k 2，k ＝±83. 11．在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝ ；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝ . 答案 －2 2n －1－12解析 ∵q 3＝a 4a 1＝－8，∴q ＝－2，∴a n ＝12×(－2)n －1， ∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝12＋1＋2＋…＋2n －2＝12(1－2n )1－2＝2n －1－12. 三、解答题12．已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n . (1)求{a n }的通项公式；(2)求{b n }的前n 项和．考点 等比数列前n 项和题点 求等比数列的前n 项和解 (1)由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，得a 1＝2. 所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为a n ＝3n －1.(2)由(1)和a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n 得b n ＋1＝b n 3， 因此{b n }是首项为1，公比为13的等比数列． 记{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13＝32－12×3n －1. 13．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＝4a n ＋1－3a n (n ∈N *)．(1)求a 3，a 4的值；(2)证明：数列{a n ＋1－a n }是等比数列；(3)求数列{a n }的通项公式．考点 递推数列通项公式求法题点 一阶线性递推数列(1)解 a 3＝4a 2－3a 1＝13，a 4＝4a 3－3a 2＝40.(2)证明 ∵a n ＋2＝4a n ＋1－3a n ，∴a n ＋2－a n ＋1＝3(a n ＋1－a n )．又a 1＝1，a 2＝4， ∴a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n ＝3， 则{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝3为首项，3为公比的等比数列．(3)解 由(2)得a n ＋1－a n ＝3n ，则当n ≥2时，a n －a n －1＝3n －1，故a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝3n －1＋3n －2＋…＋3＋1 ＝1－3n 1－3＝3n －12. 又a 1＝1适合上式，故a n ＝3n －12，n ∈N *.14．数列{a n }满足：a 1＝43，且a n ＋1＝4(n ＋1)a n 3a n ＋n(n ∈N *)，则1a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2 019a 2 019＝ . 考点 等比数列前n 项和的性质题点 等比数列前n 项和性质综合答案 2 01823＋13×42 019解析 由题意可知n ＋1a n ＋1＝34＋14·n a n， 即n ＋1a n ＋1－1＝14⎝⎛⎭⎫n a n －1， 又1a 1－1＝－14， 所以n a n ＝1－14n ，所以1a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋n a n ＝n －14⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14＝n －13＋13·14n ， 则1a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2 019a 2 019＝2 019－13＋13×142 019 ＝2 01823＋13×42 019. 15．设数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋n ，数列{b n }的通项公式为b n ＝x n －1(x ≠0)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n b n ，数列{c n }的前n 项和为T n ，求T n . 解 (1)∵a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，n ＝1，2n ，n ≥2. 当n ＝1时，a n ＝2n 也成立，∴a n ＝2n ，即数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .(2)由a n ＝2n ，b n ＝x n －1且c n ＝a n b n 可得c n ＝2nx n －1， T n ＝2＋4x ＋6x 2＋8x 3＋…＋2nx n －1，①则xT n ＝2x ＋4x 2＋6x 3＋8x 4＋…＋2nx n .②①－②，得(1－x )T n ＝2＋2x ＋2x 2＋…＋2x n －1－2nx n .当x ≠1时，(1－x )T n ＝2×1－x n1－x－2nx n ， ∴T n ＝2－2(n ＋1)x n ＋2nx n ＋1(1－x )2. 当x ＝1时，T n ＝2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝n 2＋n .综上，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－2(n ＋1)x n ＋2nx n ＋1(1－x )2，x ≠1且x ≠0，n 2＋n ，x ＝1.。