2.3函数的极限(3)--点极限

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微积分2.3 函数极限的性质及运算法则

x→ A x→ X
lim f [ g ( x ) ] =
x→ X
令g ( x ) = y
lim f ( y ) = B .
y→ A
变量替换法这一性质是用变量替换求极限的理论基础
例
证明: lim 证明: f ( x ) = 0 的充要条件是 lim f ( x ) = 0.
x→ X x→ X
必要性: 证明必要性: 变量替换求极限
lim f ( x )
x→ X →
y = f ( x)
lim y = 0,
y →0
充分性: 充分Leabharlann :由于 f ( x ) ≤ f ( x ) ≤ f ( x )
根据夹逼定理可得 lim f ( x ) = 0.
x→ X
如果存在求出其值: 例判别下列极限是否存在 ,如果存在求出其值: (1) lim 2 ; ( 2) lim e ; ( 3) lim e
x→ X
lim [ f ( x ) ± g ( x )] = lim f ( x ) ± lim g ( x ) = A ± B;
x→ X x→ X
x→ X
lim [ f ( x ) g ( x )] = lim f ( x ) lim g ( x ) = AB;
x→ X x→ X
lim f ( x ) x→ X f ( x ) A lim (这里要求 B ≠ 0). = = x→ X g( x ) lim g ( x ) B
2x + 7 3 ( 3) lim 3 . x →1 x 1 m key : ;4;1. n
P43/2(1,2)
x3 + ax2 x + 4 2.设lim 有限限 l,求 ,l. 有极值 a x→ 1 x +1 a = 4,l =10.

函数极限的定义的多种表达

函数极限的定义林芳 20101101903数学科学学院 2010级（1）班指导教师韩刚摘要极限是数分中的重要内容，用定义证明极限类型题都要用到它。

本文就给出二十四个函数极限的定义。

关键词极限1函数在一点的极限的定义1.1函数在0x 点的极限的定义设函数f(x)在0x 点的附近（但可能除掉点本身）有定义，又设A 是一个定数。

如果对任意给定的ε>0，一定存在δ>0，使得当0<0x x -<δ时，总有A x f -)(<ε，我们就称A 是函数在点0x 的极限，记为A x f x x =→0)(lim ,或者记为 f(x)→A(x 0x →).这时也称函数f(x)在0x 点极限存在，其极限值是A.1.2函数在点0x 右侧的极限的定义设函数f(x)在（0x ，η+0x ）内有定义，η是一个确定的正数，又设A 是一个定数。

如果对任意给定的ε>0,总存在δ>0，当0<x-x 0<δ时，有A x f -)(<ε，我们就称A 是函数f(x)在点x 0的右极限，记为0)(lim +→x x x f =A 或f(x 0+0)=A或 f(x)→A (x 0x →+0)这时也称函数f(x)在点0x 右极限存在。

1.3函数在0x 点左侧的极限的定义设函数f(x)在（00,x x η-）内有定义，η是一个确定的正数，又设A 是一个定数。

如果对任意给定的ε>0,总存在δ>0，当0<δ<-x x 0时，有A x f -)(<ε,我们就称A 是函数f(x)在点的左极限，记为0)(lim -→x x x f =A 或 f(00-x )=A或 f(x))0(0-→→x x A这时也称函数f(x)在0x 点左极限存在.2函数在无限远处的极限2.1函数在无限远处极限的定义若对任意给定的ε>0，存在X>0，当X x >时，总有ε<-A x f )(，我们说A 是f(x)在无限远处的极限，或者说A 是当x 的极限时)(x f ∞→,记为)()()()(lim ∞→→=∞=∞→x A x f Af A x f x 或这时也称函数f(x)在无限远处极限存在2.2函数在正无限远处的极限的定义若对任意给定的0>ε，存在X>0,当x>X 时，总有ε<-A x f )(，就称A 为f(x)在无限远处的极限，或者称A 是当+∞→x 时f(x)的极限，记为A f A x f x =+∞=+∞→)()(lim 或或 f(x))(+∞→→x A这时也称函数f(x)在正无限远处的极限存在。

函数的极限(高等数学课件

极限存在的充分条件
通过研究极限存在的充分条件，我们能够判断函数极限是否存在，从而分析函数的性质。
极限不存在的充分条件
极限不存在的充分条件揭示了函数在某一点无法达到收敛状态的原因，帮助我们理解函数的特性。
极限的计算方法
通过掌握极限的计算方法，我们能够简化复杂函数的分析，快速求得函数在某一点的极限值。
无穷远处的极限研究函数在无穷远处的行为，了解函数在无穷远的趋势和特征。
函数连续的定义
函数连续的定义是描述函数在一个区间内各点之间没有突变，平滑过渡的性质。
极限的性质
通过研究极限的性质，我们能够推导出一些重要的定理和计算方法，深入理解函数的行为。
夹逼定理
夹逼定理是一种重要的判断函数极限存在与计算的方法，让我们能够找到极限或证明其不存在。
极限的唯一性
极限的唯一性告诉我们，函数在某一点的极限只可能有一个确定的值，没有歧义性。
极限的应用：导数和积分的概念
函数极限的应用非常广泛，例如在微积分中，导数和积分的概念都是基于极限的。
中值定理
中值定理是一组重要的定理，它揭示了函数在某一区间内的行为特点，是函数研究的重要工具。
极值和最值的定义
极限与无的行为，探讨函数的无限增长和无限减小。
极限与无穷小
极限与无穷小研究函数在某一点附近的变化，帮助我们分析函数的微小变化和趋势。
L'Hôpital法则
L'Hôpital法则是一种处理函数极限的重要方法，适用于特定的极限计算。
渐近线的定义与分类
渐近线研究函数在无穷远处的趋势，分为水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线三种。
函数的极限(高等数学课件)
探索函数极限的奥秘，从基本的概念到应用、定理和计算方法，打开数学世界的大门。

极限基础知识点总结

极限基础知识点总结一、极限的概念1.1 极限的概念极限是微积分中的基本概念，它描述了函数在某一点附近的行为。

在数学中，极限通常表示某一数列或函数在自变量取某一值时，与另一给定值（通常是无穷大或无穷小）的距离在很小的范围内。

1.2 极限的符号表示当趋近的过程是无穷远时，称为无穷极限。

常用符号表示：1.3 极限的定义数列极限的定义：对于任意给定的正数ε，存在正整数N，当n>N时， a_n与特定数a的距离小于ε，即 |a_n - a|<ε。

函数在x=a处的极限定义：若对于任意ε>0，存在δ>0，当0< |x-a|<δ时， |f(x)-L|<ε。

1.4 极限的性质（1）唯一性：若极限存在，则唯一。

（2）局部有界性：若函数在某点处有极限，则函数在该点的去心邻域内有界。

（3）局部保号性：若函数在某一点有极限，则该点的去心邻域内函数与该点的极限保持同号。

二、极限的求解2.1 函数在无穷远处的极限当x趋于无穷大时，通常分析函数的渐近行为，例如当x趋近无穷大时，若函数趋近某一有限值，则说明函数有水平渐近线；若函数趋近无穷大，则说明函数有垂直渐近线。

2.2 无穷小的性质与判定无穷小在极限的计算中占有重要地位，一些基本的无穷小性质与无穷小的判定方法：2.3 函数的极限存在性判定对于一些特殊类型的函数，判断其在某一点是否存在极限，例如当x趋近某一值时，函数的变化趋势是否稳定，是否可以利用夹逼定理进行求解等。

2.4 极限存在性的定理弦截定理、单调有界定理、闭区间上连续函数的性质等有助于判断函数在某一点的极限是否存在。

三、极限的计算方法3.1 函数极限的基本运算法则函数极限的基本运算法则包括极限的四则运算法则、复合函数的极限、函数乘积与函数商的极限等。

3.2 极限的计算方法极限的计算方法包括利用函数的性质、夹逼定理、洛必达法则、泰勒展开等方法。

3.3 极限的分析对于一些复杂函数极限的计算问题，需要先进行极限的分析，例如观察函数的泰勒级数展开式，取其前几项进行计算等。

函数极值的概念

5
2.3.3
y M
函数最值的求法
y=f(x)
观察极值与最值的关系：
m O a x1 x2 x3 x5
x4
b x
问：最大值与最小值可能在何处取得？怎样求最大值与最小值？
函数的最值一般分为两种情况：
（1）如果函数 f (x)在[a, b]上单调增加(减少)，
则 f (a)是 f(x)在[a, b]上的最小值(最大值)，f (b)
探究
f ( x ) <0 a
f ’(a)=0
f ( x) >0
o 极小值点 b
首页上页
x y-=f(x)
返回下页
进一步探究:极值点两侧函数图像单调性有何特点?
极大值
极小值
即: 极值点两侧单调性互异
首页上页返回下页
探究:极值点两侧导数正负符号有何规律?
y y=f(x) f (x)<0 极大值点两侧 f (x)>0 f (x)<0
y f(x)=x3
O
x
函数极值的判定定理
设函数 f (x)在点 x0 的近旁可导且 f ´(x0) = 0
(1) 若在点 x0 的左侧近旁 f ´(x) 恒为正；在点 x0 的右侧近旁 f ´(x)恒为负，则函数 f (x)在点 x0 处取得极大值 f ´( x0 ) (2)若在点 x0 的左侧近旁 f ´(x) 恒为负；
x5
在极值点处，曲线如果有切线，则切线是水平的。
取得极值的必要条件：
如果函数 f (x) 在点 x0 处有极值，且 f (x0)存在，则必有 f (x0)=0。驻点：使导数 f (x)为零的点叫函数 f(x)的驻点。说明：可导函数 f(x)的极值点必定是函数的驻点。但函数 f(x)的驻点却不一定是极值点。对于函数 f(x)=x3可知， x=0是函数的驻点，不是函数的极值点。

（完整版）高中数学《函数的极限》教案

（完整版）⾼中数学《函数的极限》教案课题：2.3函数的极限(⼆)教学⽬的：1.理解函数在⼀点处的极限，并会求函数在⼀点处的极限．2.已知函数的左、右极限，会求函数在⼀点处的左右极限．3.理解函数在⼀点处的极限与左右极限的关系教学重点：掌握当0x x →时函数的极限教学难点：对“0x x ≠时，当0x x →时函数的极限的概念”的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：上节课我们学习了当x 趋向于∞即x →∞时函数f (x )的极限.当x 趋向于∞时，函数f (x )的值就⽆限趋近于某个常数a .我们可以把∞看成数轴上的⼀个特殊的点.那么如果对于数轴上的⼀般的点x 0，当x 趋向于x 0时，函数f (x )的值是否会趋近于某个常数a 呢？教学过程：⼀、复习引⼊： 1.数列极限的定义：⼀般地，如果当项数n ⽆限增⼤时，⽆穷数列}{n a 的项n a ⽆限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -⽆限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞=，读作“当n 趋向于⽆穷⼤时，n a 的极限等于a ”“n →∞”表⽰“n 趋向于⽆穷⼤”，即n ⽆限增⼤的意思n a a →∞=有时也记作：当n →∞时，n a →a ． 2.⼏个重要极限：（1）01lim=∞→n n （2）C C n =∞→lim （C 是常数）（3）⽆穷等⽐数列}{nq （1""→q q nn3.函数极限的定义:(1)当⾃变量x 取正值并且⽆限增⼤时，如果函数f (x )⽆限趋近于⼀个常数a ，就说当x 趋向于正⽆穷⼤时，函数f (x )的极限是a . 记作：+∞→x lim f (x )=a ，或者当x →+∞时，f (x )→a .(2)当⾃变量x 取负值并且绝对值⽆限增⼤时，如果函数f (x )⽆限趋近于⼀个常数a ，就说当x 趋向于负⽆穷⼤时，函数f (x )的极限是a . 记作-∞→x lim f (x )=a 或者当x →－∞时，f (x )→a .(3)如果+∞→x lim f (x )=a 且-∞→x lim f (x )=a ，那么就说当x 趋向于⽆穷⼤时，函数f (x )的极限是a ，记作：∞→x lim f (x )=a 或者当x →∞时，f (x )→a .4.常数函数f (x )=c .(x ∈R )，有∞→x lim f (x )=c .∞→x lim f (x )存在，表⽰+∞→x lim f (x )和-∞→x lim f (x )都存在，且两者相等.所以∞→x lim f (x )中的∞既有+∞，⼜有－∞的意义，⽽数列极限∞→x lim a n 中的∞仅有+∞的意义⼆、讲解新课： 1.研究实例(1)探讨函数2x y =，当x ⽆限趋近于2时的变化趋势．当x 从左侧趋近于2时，记为：-→2x ．当x 从右侧趋近于2时, 记为：+→2x .发现（左极限）22lim 2x x -→=,（右极限）22lim 2x x +→=,因此有22lim 2x x →=． (2)我们再继续看112--=x x y ,当x ⽆限趋近于1（1≠x ）时的变化趋势:211,(1)1x y x x x -==+≠-,当x 从左侧趋近于1时，即1x -→时，2y →．当x 从右侧趋近于1时, 即1x +→时，2y →．即（左极限）2111(1)21lim lim x x x x x --→→-=+=-，（右极限）2111(1)21lim lim x x x x x ++→→-∴=+=- 2111(1)21lim lim x x x x x →→-∴=+=-(3)分段函数1(0)()0(0)1(0)x x f x x x x +>??==??-当x →0的变化趋势.①x 从0的左边⽆限趋近于0，则()f x 的值⽆限趋近于－1.即0lim ()1x f x -→=- ②x 从0的右边⽆限趋近于0，则()f x 的值⽆限趋近于1. 即0lim ()1x f x +→= 可以看出00lim ()lim ()x x x x f x f x -+→→≠，并且都不等于(0)0f =．象这种情况，就称当0x →时，()f x 的极限不存在．2. 趋向于定值的函数极限概念：当⾃变量x ⽆限趋近于0x （0x x ≠）时，如果函数)(x f y =⽆限趋近于⼀个常数a ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是a ，记作0lim ()x x f x →=特别地，C C x x =→0lim ；00lim x x x x =→3. 0lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=?==其中0lim ()x x f x a -→=表⽰当x 从左侧趋近于0x 时的左极限，0lim ()x x f x a +→=表⽰当x 从右侧趋近于0x 时的右极限三、讲解范例：例1求下列函数在X ＝0处的极限（1）121lim 220---→x x x x （2）x x x 0lim →（3）=)(x f 22,00,01,0x x x x x ?>?=??+解：（1）220011lim lim 12121x x x x x x x →→-+==--+ （2）000lim 1,lim 1lim x x x x x xx x x-+→→→=-=?不存在．（3）=)(x f 22,00,01,0x x x x x ?>?=??+20lim ()lim(1)1,lim ()lim 21xx x x x f x x f x --++→→→→?=+=== 0lim ()lim ()1lim ()1x x x f x f x f x -+→→→?==?=．四、课堂练习：1．对于函数12+=x y 填写下表，并画出函数的图象，观察当x ⽆限趋近于1时的变化趋势，说出当1→x 时函数12+=x y 的极限2．对于函数12-=x y 填写下表，并画出函数的图象，观察当x ⽆限趋近于3时的变化趋势，说出当3→x 时函数12-=x y 的极限3.求如下极限：⑴121lim 221---→x x x x ; ⑵32302)31()1(lim x x x x x +-+-→; ⑶)cos (sin 2lim 22x x x x --→π⑷2321lim4--+→x x x ;⑸xa x a x -+→20lim（0>a ）; ⑹x x 1lim 0→答案：⑴2211112lim lim 21213x x x x x x x →→-+==--+ ⑵ 323 00(1)(13)3lim lim 3212x x x x x x x x →→-+--==-++ ⑶222lim 2(sin cos )22x x x x ππ→--=-⑷443x x →→==⑸012x x a x a→→== ⑹x x 1lim 0→不存在．五、⼩结：六、课后作业：七、板书设计（略）⼋、课后记：。

函数的极限及连续性

函数的极限及连续性函数的极限与连续性是微积分学中重要的概念，它们在求解导数、积分以及研究函数性质等方面具有重要的应用。

本文将针对函数的极限与连续性展开讨论，并介绍相关的定义、性质和计算方法。

一、函数的极限1.1 定义对于给定函数f(x)，当自变量x无限接近某一特定值a时，函数值f(x)的极限被定义为函数f(x)在x趋近于a时的极限值，记作：lim(x→a)f(x) = L其中，L可以是一个实数或无穷大。

当不同方向的极限存在且相等时，函数的极限存在。

若函数在该点的左、右极限均存在且相等，则称函数在该点处连续。

1.2 性质（1）极限值唯一性：函数的极限值是唯一的，即对于给定函数f(x)和特定值a，极限lim(x→a)f(x)存在时，其极限值L是唯一确定的。

（2）局部性质：函数的极限是局部性质，即仅仅与函数在某一点附近的取值有关。

（3）极限与函数值的关系：函数在某一点处连续，意味着函数在该点的极限值等于函数在该点的函数值。

1.3 计算方法计算函数的极限可以通过直接代入、无穷小量无穷大代换法、夹逼定理等方法进行。

（1）直接代入法：对于一些简单的函数，可以直接将自变量代入函数，求解得到极限值。

（2）无穷小量无穷大代换法：对于一些复杂的极限问题，可利用一些常用极限的性质和等价无穷小量、等价无穷大量的代换方法，简化极限的计算。

（3）夹逼定理：对于一些无法直接求解的函数极限问题，可通过夹逼定理来间接求解，即通过构造两个函数，使得它们的极限分别等于给定函数的极限。

二、函数的连续性2.1 定义对于给定函数f(x)，若函数在某一区间上的每一点都满足极限lim(x→a)f(x)存在且等于函数在该点的函数值f(a)，则称函数在该区间上连续。

2.2 性质（1）连续函数与极限：连续函数的极限与函数值相等，即lim(x→a)f(x) = f(a)。

（2）连续函数的运算：连续函数的加减、乘法运算结果仍为连续函数，但除法运算需要排除除数为零的情况。

2.3极限性质、法则

x →0
(2) lim e
x →∞
(3) lim e
x→0
解：（1）：（）
Q lim 2 +
x→0
1 x
1 y = x
y→+∞ →+∞
lim 2 y
= +∞
x→0
lim− 2
1 x
1 y = x
1 x
y→−∞ →−∞
lim 2
y
1 t = − y lim =0 t t →+∞ 2
∴ lim 2 不存在
令δ = min{δ 1 , δ 2 }, 则当x ∈ Oδ ( x0 ) \ { x0 }时有
A+ B g( x ) < < f ( x) 2
【2-3-3】
3、推论1：、推论：
若 lim f ( x ) = A > B(或 < B ), 则∃δ > 0, 使得
x → x0
当x ∈ Oδ ( x0 ) \ { x0 }时, 有f ( x ) > B(或 < B )
即A − 1 < f ( x ) < A + 1, 所以f ( x )局部有界
【2-3-1】
二、局部保序性 1、定理： lim 、定理：若
x → x0
f ( x ) = A, lim g( x ) = B , 且A > B , 则∃δ > 0,
x → x0
使得当x ∈ Oδ ( x0 ) \ { x0 }时, 有f ( x ) > g( x )
【2-3-5】
2、※证明：、证明：
x → x0
对 ∀ε > 0
Q lim g ( x ) = A,∴ ∃δ 1 > 0, 使当x ∈ Oδ 1 ( x0 ) \ { x0 }时,

函数极限的性质及运算法则

=
23 -1 22 -10+3
=
-
7 3
x2
二、函数极限的运算法则
例例33
求 lim x3
x-3 x2 -9
解
解 lim
x 3
x-3 = lim x2 -9 x3
x-3 = lim (x-3)(x+3) x3
1 x+3 =
lim 1
xx33
=1
lim (x+3) 6
xx33
例例44
求 lim 2x-3 x1 x2 -5x+4
x
3 sin = 3 lim x x 3
x
= 31
=3
三、两个重要极限
(2)
lim(1 + 1 )x = e
x
x
lim(1 + 1 )n = e
n
n
三、两个重要极限
证明：当 x 1时, 有 [ x] x [ x] + 1,
(1 + 1 )[ x] (1 + 1 ) x (1 + 1 )[ x]+1 ,
解因解解为 limlimx2x-25-x5+x4+4==121-25-51+14+4==0 0 xx11 2x2-x3-3 221-13-3
根据无穷大与无穷小的关系得
lim
x1
2x-3 x2 -5x+4
=
二、函数极限的运算法则
•讨论
有理函数的极限 lim P(x) = ? xx0 Q(x)
•提示
§2.3 函数极限的性质及运算法则
一、函数极限的性质二、函数极限的运算法则三、两个重要极限

微积分23函数极限的性质及运算法则

（类似可定义其他过程下的有界性）
性质2.5（局部有界li性 mf(） x)若 A,则f(x)在
xX
极限过 x 程X所允许的某一界邻 . 域内有
性质2.6（局部保号 lim 性 f(x） )A若 ,limg(x)
xX
xX
B, AB,则f(x)与g(x)在极限x过 X 程所允许
解 x 时, 分母 , 分子 . “ 抓大头”
分子分母同除以 x 2 , 则
原式
lim431x 9x12
x
521x
1 x2

4 5
练习l： im 5 x3求 3x220 x x1
lim(x2)7 x2 x (2x 1)9

1 29
lim(x 2)2 x
故只 x 需 0 且 x 讨 0 的论情 y 形 D 。
C
作单位圆，如右.图
设 AO xC (0x)
2
x
O A Bx
A s C x i,n B tD a x , n
O的 B C 扇面 O的形积 B C 面 O的 B 积， D 面
1sin x1x1taxn
lim f(x)x l iX m f(x)A(这里B要 0).求 x Xg(x) lim g(x) B
x X
说明: 性质可推广到有限个函数的情形 .
应用极限四则时运，算要法注则意:使用条
(1)参加求极限的函数应为有限个; (2)每个函数的极限都必须存在;
(3)考虑商的极限时，还需要求分母的极限不为零。
, 当nm
此结论成立注意： (1)必须为型!!!
(2)结论也可适m,用 n不于是正整数的情
复合函数求极限：

函数极限和连续知识点总结

函数极限和连续知识点总结一、函数极限1.1 函数极限的定义在数学中，我们常常要研究函数在某一点的“趋于”某一值的情况。

这种趋向的性质称为函数的极限。

在正式介绍函数极限的定义之前，我们先来看一个例子。

例：设函数f(x)=2x+3，当x趋于2时，f(x)的取值如下：当x向2的左侧靠近时，f(x)的取值逐渐减小，但始终没有超过7；当x向2的右侧靠近时，f(x)的取值逐渐增加，但始终没有超过7。

这种情况下，我们会说f(x)当x趋近2时“趋近7”，即f(x)的极限是7。

现在，我们来正式介绍函数极限的定义。

定义：设函数f(x)在点x=a的某个去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正实数ε，总存在另一正实数δ，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)-A|<ε成立。

那么常数A 叫做函数f(x)当x趋于a时的极限，记作lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗=A1.2 函数极限的性质在函数极限的研究中，我们需要了解一些极限的性质，其中最重要的包括以下几点：（1）唯一性：如果极限存在，那么这个极限是唯一的；（2）有界性：如果函数在某点的极限存在，那么该函数在该点附近必定有界；（3）性态：如果一个函数在某点的左极限和右极限都存在，且相等，那么函数在该点一定有极限；（4）夹逼准则：如果函数在某点的左右两极限都趋于同一值L，且有另外一个函数g(x)与f(x)相夹，且g(x)的极限也趋于L，那么f(x)的极限也趋于L。

1.3 常见函数的极限在函数极限的研究中，有一些常见的函数的极限是需要我们掌握的。

这些函数包括：（1）多项式函数的极限：当x趋于某个常数时，多项式函数的极限等于该常数的某个幂次的项系数；（2）指数函数和对数函数的极限：当x趋于正无穷时，指数函数的极限为正无穷；当x 趋于0时，对数函数的极限为负无穷；（3）三角函数的极限：当x趋于某些特定值时，三角函数的极限存在，且具有特定的值。

1.4 函数极限的求解方法在求解函数极限的过程中，可以使用以下几种方法：（1）直接代入法：即直接将x的值代入函数中，求出随着x的变化，函数的取值情况；（2）因子分解法：将一个不定式进行因式分解，从而更好地求出函数的极限；（3）洛必达法则：在求解不定式极限问题时，可以使用洛必达法则来简化问题，从而更好地求解函数的极限；（4）泰勒展开法：对于一些复杂的函数，可以使用泰勒展开公式来求解函数的极限。

函数的极限

(lim x) 3 lim x
2
x x0
lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x)
x x0 x x0
x x0
2 3 2 10
x 2 2
x 2
lim x x0
n
n
x x0
lim [Cf ( x)] C lim f ( x)
2 2 x
lim
2 解：（） 1 3 f ( x)
g ( x)
(2)0
x
的求解（分式函数当自变量x 时的极限）其实质是
“ ”型极限的求解；通常是分子分母同时除以变量的最高次数后再结合极限的四则运算法则求解；若分子的最高次数等于分母的最高次数，则结果为最高次数之比；若分子的最高次数小于分母的最高次数，则结果为0；若分子的最高次数大于分母的最高次数，则结果不存在（极限不存在）。
2.3 函数的极限
宜良二中
陈东
一、承前启后，复习回顾
想一想
存在性；
x
如何求函数f（x）当x 时的极限？
x x
（）先结合函数f（x）的图象讨论 lim f（x）及 lim f（x） 1
（2）若 lim f（x）及 lim f（x）存在且值相等则 lim f（x）的
1
-1 0 1 x
(2)结论：自变量x从x轴上点x=1的左右两边无限趋近
x 1 于1，函数 y 的值无限趋近于2. x 1
2
强调：虽然在x＝1处没有定义，但仍有极限．
定义：当自变量x无限趋近于常数x0（但不等于x0）时，如果函数 f(x) 无限趋近于一个常数a，就说当x lim 趋近于 x0 时，函数 f(x) 的极限是a，记作 x x f ( x) a

极限相关知识点总结

极限相关知识点总结一、极限的定义1.1 数列的极限数列是一连串数的有序集合，数学中常常用来研究连续变化的现象。

数列的极限定义如下：对于一个数列${a_n}$，如果对于任意给定的正数$\varepsilon$，都存在正整数$N$，使得当$n>N$时，$|a_n - A| < \varepsilon$，则称数列${a_n}$的极限为$A$，记作$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = A$。

1.2 函数的极限函数的极限是指当自变量趋于某一特定值时，函数的取值趋于某一确定的值。

函数的极限定义如下：对于函数$f(x)$，如果对于任意给定的正数$\varepsilon$，都存在正数$\delta$，使得当$0<|x-a|<\delta$时，$|f(x)-L|<\varepsilon$，则称函数$f(x)$的极限为$L$，记作$\lim\limits_{x\to a}f(x)=L$。

1.3 无穷极限当自变量趋于无穷大时，函数的极限称为无穷极限。

无穷极限可以写成以下形式：$\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = L$或$\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = \infty$二、极限的性质2.1 极限的唯一性若一个函数存在极限，则其极限唯一。

2.2 有界性如果一个函数在某个区间内存在极限，则该函数在该区间内有界。

2.3 保号性如果一个函数在某个点的极限存在且大于（小于）零，则该点附近函数的取值也大于（小于）零。

2.4 保号性如果一个函数在某个点的极限存在且大于（小于）零，则该点附近函数的取值也大于（小于）零。

2.5 两个函数的极限之和等于两个函数极限的和$\lim\limits_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \lim\limits_{x \to a} f(x) + \lim\limits_{x \to a} g(x)$ 2.6 两个函数的极限的乘积等于两个函数极限的乘积$\lim\limits_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim\limits_{x \to a} f(x) \cdot \lim\limits_{x \to a} g(x)$2.7 两个函数的商的极限等于两个函数极限的商$\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim\limits_{x \to a} f(x)}{\lim\limits_{x \to a} g(x)}$，当$\lim\limits_{x \to a} g(x) \neq 0$时成立。

极限计算公式

极限计算公式极限计算是微积分的重要内容之一，它用于求解函数在某一点或趋于无穷时的极限值。

在数学中，各种极限计算公式被广泛应用于解决各类数学问题。

本文将介绍一些常见的极限计算公式，并分析其应用场景。

1. 极限的定义在开始介绍极限计算公式之前，我们首先回顾一下极限的定义。

对于函数 f(x) 当 x 趋于某一点 a 时的极限，我们用以下符号表示：lim (x→a) f(x) = L其中，lim 表示极限，x→a 表示 x 趋于 a，f(x) 是待求的函数，L 表示极限值。

2. 常见的极限计算公式2.1 代数运算法则在进行极限计算时，可以利用代数运算法则简化问题。

以下是一些常见的代数运算法则：- 四则运算法则：对于任意的两个函数 f(x) 和 g(x)，当 x 趋于 a 时，有以下公式：- lim (x→a) [f(x) + g(x)] = lim (x→a) f(x) + lim (x→a) g(x)- lim (x→a) [f(x) - g(x)] = lim (x→a) f(x) - lim (x→a) g(x)- lim (x→a) [f(x) * g(x)] = lim (x→a) f(x) * lim (x→a) g(x)- lim (x→a) [f(x) / g(x)] = lim (x→a) f(x) / lim (x→a) g(x) （其中 g(x) 不等于 0）- 幂运算法则：对于任意的函数 f(x) 和自然数 n，当 x 趋于 a 时，有以下公式：- lim (x→a) [f(x)]ⁿ = [lim (x→a) f(x)]ⁿ2.2 基本初等函数的极限- 幂函数的极限：当 x 趋于无穷时，有以下公式：- lim (x→∞) xⁿ = +∞ （当 n > 0 时）- lim (x→∞) xⁿ = 0 （当 0 < n < 1 时）- 指数函数和对数函数的极限：当 x 趋于无穷时，有以下公式：- lim (x→∞) aˣ = +∞ （当 a > 1 时）- lim (x→∞) aˣ = 0 （当 0 < a < 1 时）- lim (x→∞) logₐx = +∞ （当 a > 1 时）- lim (x→∞) logₐx = 0 （当 0 < a < 1 时）2.3 三角函数的极限- 正弦函数和余弦函数的极限：当 x 趋于 0 时，有以下公式：- lim (x→0) sin(x) / x = 1- lim (x→0) (1 - cos(x)) / x = 02.4 常见的极限计算公式除了上述的基本公式外，还有一些其他常见的极限计算公式：- 自然对数的极限：当 x 趋于无穷时，有以下公式：- lim (x→∞) ln(x) = +∞- 高斯函数的极限：当 x 趋于无穷时，有以下公式：- lim (x→∞) e⁻ˣ = 0- 阶乘函数的极限：当 n 趋于无穷时，有以下公式：- lim (n→∞) n! / nⁿ = 03. 应用场景极限计算公式在解决各类数学问题时起到了重要作用。

lim极限函数公式总结

lim极限函数公式总结极限函数是微积分中一种重要的数学概念，它在描述函数在某一点的逼近过程中具有重要的作用。

lim极限函数公式是用来求解极限函数的常用方法，本文将对极限函数公式进行总结和详细解析。

1. 极限函数的定义在介绍极限函数公式之前，我们首先要了解极限函数的定义。

对于一个函数f(x)，当自变量 x 趋近于某个值 a 时，如果存在常数 L，使得对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当 0 < |x - a| < δ 时，有 |f(x) - L| < ε 成立，则称函数 f(x) 在 x = a处的极限为 L，记作 lim(f(x)) = L 或f(x)→L (x→a)。

2. 极限函数的基本性质在求解极限函数时，我们需要了解一些基本的性质。

以下为常用的极限函数性质总结：2.1 极限函数的唯一性：若极限存在，则极限唯一。

2.2 极限函数的局部有界性：若函数在某一点的极限存在，则该点的函数值是局部有界的。

2.3 极限函数的四则运算法则：若函数 f(x) 和 g(x) 在 x = a 处的极限分别存在为L 和 M，则有以下公式成立：- lim(f(x) + g(x)) = L + M- lim(f(x) - g(x)) = L - M- lim(f(x) * g(x)) = L * M- lim(f(x) / g(x)) = L / M (前提条件是M ≠ 0)3. 常见极限函数公式在求解极限函数时，我们可以借助一些常见的公式进行计算。

以下为常见的极限函数公式总结：3.1 基本初等函数极限：- lim(x→0) sin(x)/x = 1- lim(x→0) (e^x - 1)/x = 1- lim(x→0) ln(1 + x)/x = 13.2 幂函数极限：- lim(x→0) (1 + x)^a = 1 (其中 a 为常数)- lim(x→∞) (1 + 1/x)^x = e3.3 指数函数和对数函数极限：- lim(x→0) (a^x - 1)/x = ln(a) (其中 a > 0)- lim(x→0) log(a + x)/x = 1/a (其中 a > 0)3.4 三角函数和反三角函数极限：- lim(x→0) sin(x)/x = 1- lim(x→0) arcsin(x)/x = 1- lim(x→0) tan(x)/x = 1- lim(x→0) arctan(x)/x = 14. 套用极限函数公式的步骤在实际应用中，使用极限函数公式求解极限时，可以按照以下步骤进行操作：4.1 将给定的函数表达式化简为符合公式的形式。

有关极限知识点总结

有关极限知识点总结一、极限的概念1.1 极限的定义在微积分中，我们通常用极限来描述函数在某一点附近的行为。

如果一个函数f(x)在x趋向于a的过程中，当x足够接近a时，f(x)的取值也趋向于一个确定的常数L，那么我们就说f(x)在x趋向于a时的极限存在，记作lim(x→a)f(x)=L。

这个定义还可以用符号ε和δ来表达，即对任意给定的ε>0，都存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立。

1.2 极限的几何意义极限可以理解为函数在某一点附近的局部平均值。

当x趋向于a时，函数f(x)在a点的极限就是当x趋近a时，f(x)对应的y值所形成的一个集合，而这个集合的平均值即为该点的极限值。

这也可以理解为函数在某一点附近的近似值，通过这个近似值，我们可以更好地了解函数在该点的行为。

1.3 极限的存在性极限并不是所有函数都存在的，有些函数在某些点处可能不存在极限。

一般来说，函数在某一点处的极限是否存在取决于该点的邻域内函数的性质和变化规律。

我们需要通过一些定理和性质来判断函数在某一点的极限是否存在。

二、极限的性质2.1 极限的唯一性如果函数f(x)在x趋向于a时的极限存在且是唯一的，那么这个极限值是确定的，记作lim(x→a)f(x)=L。

这说明函数在某一点的极限只可能有一个值，如果存在多个值，则说明函数在该点的极限不存在。

2.2 极限的局部性极限具有局部性的特点，即函数在某一点的极限与该点的邻域内的函数值相关。

当x趋向于a时，函数f(x)的极限值只与a点邻域内的函数值有关，与该点的邻域外的函数值无关。

这也说明了极限可以通过邻域内的近似值来确定。

2.3 极限的分段性如果一个函数可以分成若干个区间，每个区间内函数的极限存在且是确定的，那么这个函数在整个定义域内的极限也是存在的。

这说明了极限的存在性与区间的分割是有密切关系的，通过区间的极限可以得到整个函数的极限。

函数的极限性质及计算方法

函数的极限性质及计算方法函数的极限性质是微积分学中的重要内容，它描述了函数在特定条件下趋向于某个确定值的特点。

通过研究极限性质，我们可以深入理解函数的行为，并进一步应用于微积分的相关计算中。

本文将介绍函数的极限性质及其计算方法。

1. 极限的定义函数f(x)在点x=a处的极限表示为lim┬(x→a)⁡〖f(x)。

如果对于任意给定的ε>0〗，存在对应的δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<ε。

其中L为常数，表示函数f(x)在x=a处的极限值。

2. 极限的性质函数极限具有以下性质：- 唯一性：函数的极限值唯一，即lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗唯一存在。

- 局部性：如果lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗存在，那么f(x)在点x=a的某个足够小的邻域内都接近于lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗。

- 保号性：如果lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗=L且L>0，则存在点x=a的某个足够小的邻域，使得f(x)>0。

- 四则运算性质：设lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗=A，lim┬(x→a)⁡〖g(x)〗=B，那么lim┬(x→a)⁡〖(f(x)±g(x))〗=A±B，lim┬(x→a)⁡〖(f(x)·g(x))〗=A·B，lim┬(x→a)⁡〖(f(x)/g(x))〗=A/B（若B≠0）。

3. 常见函数的极限计算方法- 多项式函数的极限：对于多项式函数f(x)=aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+...+a₁x+a₀，当x→a时，lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗=f(a)。

- 有理函数的极限：对于有理函数f(x)=p(x)/q(x)，其中p(x)和q(x)都是多项式函数，当x→a时，如果q(a)≠0，则lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗=p(a)/q(a)。

- 指数函数与对数函数的极限：当x→∞时，lim┬(x→∞)⁡〖a^x=∞〗，lim┬(x→∞)⁡〖logₐ⁡x=∞〗。