浙江省2018年中考数学总复习 第七章 数学思想与开放探索问题 第39讲 开放与探索型问题讲解篇
浙江省中考数学总复习 第七章 数学思想与开放探索问题
第37讲方案设计型问题内容特性方案设计型问题是指运用数学基础知识建模的方法，按题目所呈现的要求进行计算、论证、选择、判断、设计的一种数学试题．方案设计涉及问题的多解性，以函数、方程等思想的指导，利用最优化方法解决问题.解题策略建立数学模型，如方程模型、不等式模型、函数模型和几何模型等，依据所建立的数学模型求解，从而设计方案.基本思想运用方程思想、函数思想和数形结合解决方程或不等式方案设计问题，函数方案设计问题，几何方案设计问题.类型一利用计算和判断比较的方案设计例1某学校举行演讲比赛，选出了10名同学担任评委，并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分(满分为10分)：方案1：所有评委所给分的平均数；方案2：在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余所给分的平均数；方案3：所有评委所给分的中位数；方案4：所有评委所给分的众数．为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验．下面是这个同学的得分统计图：(1)分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分；(2)根据(1)中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分．【解后感悟】通过计算得出各个方案的数值，逐一比较；学会选用适当的统计量分析问题．1．一家特色煎饼店提供厚度相同、直径不同的两种煎饼，甲种煎饼直径20厘米卖价10元，乙种煎饼直径30厘米卖价15元，请问：买哪种煎饼划算？( ) A．甲B．乙C．一样D．无法确定类型二利用方程(组)的方案设计例2某乳制品厂现有鲜牛奶10吨，若直接销售，每吨可获利500元；若制成酸奶销售，每吨可获利1200元；若制成奶粉销售，每吨可获利2000元．该工厂的生产能力是：若制成酸奶，每天可加工鲜牛奶3吨；若制成奶粉，每天可加工鲜牛奶1吨(两种加工方式不能同时进行)．受气温条件限制，这批鲜牛奶必须在4天内全部销售或加工完成．为此该厂设计了以下两种可行方案：方案一：4天时间全部用来生产奶粉，其余直接销售鲜奶；方案二：将一部分制成奶粉，其余制成酸奶，并恰好4天完成．你认为哪种方案获利最多，为什么？【解后感悟】本题是一元一次方程的应用，注意仔细理解两种方案的内容，在求解方案二的获利时，要设出未知数，利用方程思想求解．2．某班组织班团活动，班委会准备用15元钱全部用来购买笔记本和中性笔两种奖品，已知笔记本2元/本，中性笔1元/支，且每种奖品至少买1件．(1)若设购买笔记本x本，中性笔y支，写出y与x之间的关系式；(2)有多少种购买方案？请列举所有可能的结果；(3)从上述方案中任选一种方案购买，求买到的中性笔与笔记本数量相等的概率．类型三利用不等式的方案设计例3(2016·资阳)某大型企业为了保护环境，准备购买A、B两种型号的污水处理设备共8台，用于同时治理不同成分的污水，若购买A型2台、B型3台需54万元，购买A型4台、B型2台需68万元．(1)求出A型、B型污水处理设备的单价；(2)经核实，一台A型设备一个月可处理污水220吨，一台B型设备一个月可处理污水190吨，如果该企业每月的污水处理量不低于1565吨，请你为该企业设计一种最省钱的购买方案．【解后感悟】此题是一元一次不等式的应用，根据已知得出不等式求出所有方案是解题关键．3．(2017·绍兴模拟)某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周3台5台1800元第二周4台10台3100元(进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本)(1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价；(2)若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？(3)在(2)的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．类型四利用函数的方案设计例4某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．(1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；(3)商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．【解后感悟】本题是二次函数的应用，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值(或最小值)，也就是说二次函数的最值不一定在x＝－b时取得．2a4．(2017·衢州)“五·一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．根据以上信息，解答下列问题：(1)设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，分别求出y1，y2关于x的函数表达式；(2)请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算．5．(2015·泸州)某小区为了绿化环境，计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵．两次共花费940元(两次购进的A、B两种花草价格均分别相同)．(1)A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？(2)若购买A、B两种花草共31棵，且B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．类型五利用图形的方案设计例5某校数学研究性学习小组准备做测量旗杆的数学实践活动，来到旗杆下，发现旗杆AB顶端A垂下一段绳子ABC如图．经研究发现，原来制定的一系列测量方案，在此都不需要．如今只借助垂下的绳子和一根皮尺，在不攀爬旗杆的情况下，测量相关数据，就可以计算出旗杆的高度．(1)请你给出具体的测量方案，并写出推算旗杆高度的过程；(2)推测这个数学研究性学习小组原来制定的一系列测量旗杆的方案是什么？【解后感悟】关于物体的测量是一个实际问题，因此必须考虑实际环境，结合实际环境，充分运用所学知识制定方案，制定方案时要遵循可操作性强、简单易行原则．第2个问题的测量方案还可有其他的，有兴趣的同学可自行进一步探讨．对于以上2种测量方案的相关计算方法，请同学们自己给出．6．(2017·镇江模拟)在棋盘中建立如图所示的直角坐标系，三颗棋子A，O，B的位置如图，它们的坐标分别是(－1，1)，(0，0)，(1，0)．(1)如图2，添加棋子C，使四颗棋子A，O，B，C成为一个轴对称图形，请在图中画出该图形的对称轴；(2)在其他格点位置添加一颗棋子P，使四颗棋子A，O，B，P成为轴对称图形，请直接写出棋子P的位置的坐标．(写出2个即可)7．(2016·海陵模拟)某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长分别为6m、8m.现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边长的直角三角形．请你设计出所有合适的方案，画出草图，并求出扩建后的等腰三角形花圃的面积．【探索研究题】要在一块长52m，宽48m的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路．下面分别是小亮和小颖的设计方案．(1)求小亮设计方案中甬路的宽度x；(2)求小颖设计方案中四块绿地的总面积(小颖设计方案中的x与小亮设计方案中的x 取值相同)．【方法与对策】本题是一元二次方程的应用，特别是图形的面积问题更是近几年中考中考查一元二次方程的应用的主要题型．该题型是实际应用和图形变换相结合，是中考命题的方式之一．【忽视变量前系数，导致解答不全而出错】为了迎接“五·一”小长假的购物高峰，某运动品牌服装专卖店准备购进甲、乙两种服装，甲种服装每件进价180元，售价320元；乙种服装每件进价150元，售价280元．(1)若该专卖店同时购进甲、乙两种服装共200件，恰好用去32400元，求购进甲、乙两种服装各多少件？(2)该专卖店为使甲、乙两种服装共200件的总利润(利润＝售价－进价)不少于26700元，且购进甲服装不超过80件，则该专卖店有几种进货方案？(3)在(2)的条件下，专卖店准备在5月1日当天对甲种服装进行优惠促销活动，决定对甲种服装每件优惠a(0＜a＜20)元出售，乙种服装价格不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？参考答案第37讲 方案设计型问题【例题精析】例1 (1)方案1最后得分：110×(3.2＋7.0＋7.8＋3×8＋3×8.4＋9.8)＝7.7；方案2最后得分：18×(7.0＋7.8＋3×8＋3×8.4)＝8；方案3最后得分：8；方案4最后得分：8或8.4. (2)因为方案1中的平均数受极端数值的影响，不能反映这组数据的“平均水平”，所以方案1不适合作为最后得分的方案；又因为方案4中的众数有两个，从而使众数失去了实际意义，所以方案4不适合作为最后得分的方案．例2 方案一获利：4×2000＋6×500＝11000(元)．方案二：设制奶粉x 天，则1×x ＋(4－x)×3＝10，解得x ＝1天．故1×1×2000＋3×3×1200＝12800(元)．故方案二获利最多．例3 (1)设A 型污水处理设备的单价为x 万元，B 型污水处理设备的单价为y 万元，根据题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝544x ＋2y ＝68，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ＝10.答：A 型污水处理设备的单价为12万元，B 型污水处理设备的单价为10万元； (2)设购进a 台A 型污水处理器，根据题意可得：220a ＋190(8－a)≥1565，解得：a≥1.5，∵A 型污水处理设备单价比B 型污水处理设备单价高，∴A 型污水处理设备买越少，越省钱，∴购进2台A 型污水处理设备，购进6台B 型污水处理设备最省钱．例4 (1)w ＝(x －20)(250－10x ＋250)＝－10x 2＋700x －10000； (2)w ＝－10x 2＋700x －10000＝－10(x －35)2＋2250所以，当x ＝35时，w 有最大值2250，即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大；(3)方案A ：由题可得20＜x≤30，因为a ＝－10＜0，对称轴为x ＝35，抛物线开口向下，在对称轴左侧，w 随x 的增大而增大，所以，当x ＝30时，w取最大值为2000元，方案B ：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧250－10（x －25）≥10，x ≥45，解得：45≤x≤49，在对称轴右侧，w 随x 的增大而减小，所以，当x ＝45时，w 取最大值为1250元，因为2000元＞1250元，所以选择方案A.例5 (1)测量方案设计如下：①测量绳子比旗杆多出的部分BC ＝a m ；②把绳子ABC 拉紧到地面D 处如图1，测量B 到D 的距离BD ＝b m .推算过程：设旗杆的高度为x m ，则AD 是(x ＋a)m .在直角△ABD 中，根据AB 2＋BD 2＝AD 2得x 2＋b 2＝(x ＋a)2，x 2＋b 2＝x 2＋a 2＋2ax ，解得x ＝b 2－a22a. (2)这个数学研究性学习小组原来制定的测量旗杆的方案可能有以下几个：【变式拓展】 1．B2. (1)根据题意得：2x ＋y ＝15，∴y 与x 之间的关系式为y ＝15－2x. (2)购买方案：x ＝1，y ＝13；x ＝2，y ＝11；x ＝3，y ＝9；x ＝4，y ＝7；x ＝5，y ＝5；x ＝6，y ＝3，x ＝7，y ＝1，∴共有7种购买方案． (3)∵买到的中性笔与笔记本数量相等的只有1种情况，∴买到的中性笔与笔记本数量相等的概率为：17. 3.(1)设A 、B 两种型号电风扇的销售单价分别为x 元、y 元，得：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝1800，4x ＋10y ＝3100，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝250，y ＝210，答：A 、B 两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元； (2)设采购A 种型号电风扇a 台，依题意得：200a ＋170(30－a)≤5400，得：a≤10.答：超市最多采购A 种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元；(3)依题意有：(250－200)a ＋(210－170)(30－a)＝1400，解得：a ＝20，∵a ＞10，∴在(2)的条件下超市不能实现利润1400元的目标．4. (1)设y 1＝k 1x ＋80，把点(1，95)代入，可得95＝k 1＋80，解得k 1＝15，∴y 1＝15x ＋80(x≥0)；设y 2＝k 2x ，把(1，30)代入，可得30＝k 2，即k 2＝30，∴y 2＝30x(x≥0)； (2)当y 1＝y 2时，15x ＋80＝30x ，解得x ＝163；当y 1＞y 2时，15x ＋80＞30x ，解得x ＜163；当y 1＜y 2时，15x ＋80＜30x ，解得x ＞163；∴当租车时间为163小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于163小时，选择乙公司合算；当租车时间大于163小时，选择甲公司合算．5. (1)设A 种花草每棵的价格x 元，B 种花草每棵的价格y 元，根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧30x ＋15y ＝67512x ＋5y ＝940－675，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20y ＝5，∴A 种花草每棵的价格是20元，B 种花草每棵的价格是5元． (2)设A 种花草的数量为m 株，则B 种花草的数量为(31－m)株，∵B 种花草的数量少于A 种花草的数量的2倍，∴31－m ＜2m ，解得：m ＞313，∵m 是正整数，∴m 最小值＝11，设购买树苗总费用为W ＝20m ＋5(31－m)＝15m ＋155，∵k ＞0，∴W 随m 的减小而减小，当m ＝11时，W 最小值＝15×11＋155＝320(元)．答：购进A 种花草的数量为11株、B 种20株，费用最省；最省费用是320元．6.(1)如图，答案不唯一； (2)(2，1)，(0，－1)．117．如图1所示：S △ABD ＝12×8×12＝48(m 2)；如图2所示：S △ABD ＝12×8×10＝40(m 2)；如图3所示：在Rt △ACD 中，AC 2＋DC 2＝AD 2，即82＋x 2＝(x ＋6)2，解得：x ＝73，故S △ABD ＝12×8×⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋73＝1003(m 2)． 【热点题型】【分析与解】(1)根据小亮的方案表示出矩形的长和宽，利用矩形的面积公式列出方程求解即可．根据小亮的设计方案列方程得：(52－x)(48－x)＝2300，解得：x ＝2或x ＝98(舍去)，∴小亮设计方案中甬道的宽度为2m ； (2)求得甬道的宽后利用平行四边形的面积计算方法求得两个阴影部分面积的和即可．作AI⊥CD，HJ ⊥EF ，垂足分别为I ，J ，∵AB ∥CD ，∠1＝60°，∴∠ADI ＝60°，∵BC ∥AD ，∴四边形ADCB 为平行四边形，∴BC ＝AD ，由(1)得x ＝2，∴BC ＝HE ＝2＝AD ，在Rt △ADI 中，AI ＝2sin 60°＝ 3.∴小颖设计方案中四块绿地的总面积为52×48－52×2－48×2＋(3)2＝2299平方米．【错误警示】(1)设购进甲种服装x 件，则乙种服装是(200－x)件，根据题意得：180x ＋150(200－x)＝32400，解得：x ＝80，200－x ＝200－80＝120(件)，则购进甲、乙两种服装分别为80件、120件； (2)设购进甲种服装y 件，则乙种服装是(200－y)件，根据题意得：(320－180)y ＋(280－150)(200－y)≥26700，解得：y≥70，而y≤80，∴70≤y≤80，又∵y 是正整数，∴共有11种方案； (3)设总利润为W 元，W ＝(140－a)y ＋130(200－y)，即w ＝(10－a)y ＋26000.①当0＜a ＜10时，10－a ＞0，W 随y 增大而增大，∴当y ＝80时，W 有最大值，即此时购进甲种服装80件，乙种服装120件；②当a ＝10时，(2)中所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以；③当10＜a ＜20时，10－a ＜0，W 随y 增大而减小．当y ＝70时，W 有最大值，即此时购进甲种服装70件，乙种服装130件．。
浙江省中考数学总复习第七章数学思想与开放探索问题第40讲实验与动态型问题讲解篇(2021学年)
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第40讲实验与动态型问题内容特性动态型问题是指以三角形、四边形、圆等几何图形或函数图象为载体，设计动态变化,并对变化过程中伴随着的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行实验、观察、猜想和归纳，进行推理的一类问题，这类问题信息量大,灵活多变，出现的结果往往有多种情况．涉及到平行线、相似三角形的性质，锐角三角函数,方程、不等式及函数的知识，以及几何变换,数形结合,分类讨论，函数与方程，特殊与一般的思想.解题策略解决此类问题需要运用运动和变化的观点,把握运动和变化的全过程,动中取静，静中求动，抓住运动中的某一瞬间,抓住变化过程中的特殊情形,确定运动变化过程中的数量关系、图形位置关系,从而建立方程、不等式、函数、几何模型,找到解决问题的途径。
基本思想解题时利用方程与函数的思想、转化思想、数形结合思想、分类讨论思想,恰当地使用分析综合法,挖掘题目的隐含条件,将复杂问题分解为基本问题,逐个击破,进一步得到新的结论.类型一由点运动产生的问题错误!(2０17·丽水)如图1,在△ABC中，∠A=30°，点Ｐ从点Ａ出发以2ｃm／s的速度沿折线A－Ｃ－Ｂ运动，点Q从点Ａ出发以a(ｃm/s）的速度沿AＢ运动，P，Ｑ两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动.设运动时间为x（s),△AＰQ的面积为y(cm2),ｙ关于ｘ的函数图象由C1,Ｃ2两段组成,如图２所示．（１）求a的值；（2)求图2中图象C2段的函数表达式;(3)当点P运动到线段BC上某一段时△ＡPＱ的面积大于当点P在线段AC上任意一点时△A ＰＱ的面积,求x的取值范围．【解后感悟】解题的关键是从运动图与描述图中获取信息,根据图象确定ｘ的运动时间与面积的关系，同时关注图象不同情况的讨论．这类问题往往探究点在运动变化过程中的变化规律,如等量关系、图形的特殊位置、图形间的特殊关系等,且体现分类讨论和数形结合的思想．1．(２016·白银)如图,△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°,ＢC＝4，点Ｐ是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动,过点P作PD⊥BC于点Ｄ，设BD=x,△BDＰ的面积为ｙ，则下列能大致反映ｙ与x函数关系的图象是（ )2.（1）如图,在平面直角坐标系中，点A在抛物线ｙ=ｘ２－2x＋2上运动,过点A作AＣ⊥x 轴于点C，以AＣ为对角线作矩形ABCD，连结BD,则对角线BD的最小值为。
浙江省中考数学总复习第七章数学思想与开放探索问题课后练习34归纳作业本(2021学年)
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课后练习３4 归纳、猜想与说理型问题Ａ组1．图1为雅婷左手拿着3张深灰色与２张浅灰色的牌叠在一起的情形．以下是她每次洗牌的三个步骤:步骤一:用右手拿出叠在最下面的2张牌,如图2.步骤二：将右手拿的２张牌依序交错插入左手拿的3张牌之间，如图3.步骤三:用左手拿着颜色顺序已改变的5张牌，如图4．第1题图若依上述三个步骤洗牌,从图1的情形开始洗牌若干次后,其颜色顺序会再次与图1相同，则洗牌次数可能为下列何者？( ）A。
１８ B.２0 C．25 D．27 2．(２０1７·重庆)下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第1个图形中一共有3个菱形,第2个图形中一共有7个菱形，第3个图形中一共有13个菱形,…，按此规律排列下去,第9个图形中菱形的个数为( ）第2题图A．73 B.81 C.9１ D.1093．(2017·丽水模拟）如图,在平面直角坐标系xOy中，Rt△ＯA１C１,Rt△OA2C２，Rt△OA３C，Rt△OＡ4C4…的斜边都在坐标轴上，∠A1OC1=∠A2OC２=∠Ａ3OC3=∠Ａ４OＣ4＝…=30°.若点Ａ3的坐标为（3,0）,OA１=OC２,OＡ２=OC３，OA3＝OC4…，则依此规律，点A２018的纵坐标为（)１第3题图A．0 B.－3×错误!错误! C.(2错误!）2018 D.3×错误!错误!4.请在图中这一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线上的空白处填上恰当的图形.第4题图５.观察下面的单项式：ａ,-2a2,4a３,－8a4,…根据你发现的规律,第8个式子是 .6．如图，边长为1的菱形ABＣＤ中，∠DAB＝60°．连结对角线AC，以AＣ为边作第二个菱形ACEＦ，使∠FAC=６０°。
备战中考--第39讲几何图形折叠问题--(附解析答案)
备战2019 中考初中数学导练学案50 讲第39 讲几何图形折叠问题【疑难点拨】1. 折叠（翻折）问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．2. 折叠（翻折）意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解．3. 矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度．矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角” 的模型（如图），从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数．4. 凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．1. 常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆. 2. 折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．【基础篇】一、选择题：1. . （2018?四川凉州?3 分）如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C′处，BC′交AD 于点E，则下到结论不一定成立的是（）A．AD=BC′ B．∠EBD=∠EDB C．△ABE∽△CBD D．sin ∠ABE=2. （2017 山东烟台）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图 2 所示的扇形AOB．已知OA=6，取OA的中点C，过点C作CD⊥OA交于点D，点F 是上一点．若将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F 重合，用剪刀沿着线段BD，DF，FA依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为（）．A．36π -108 B ．108-32 π C．2π D．π3. （2017浙江衢州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ ABC沿AC折叠，使点B 落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（）4. （2018·山东青岛· 3分）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF= ，则BC的长是（）A．B．3 2 C． 3 D．3 3D．5. （2017乌鲁木齐）如图，在矩形 ABCD 中，点 F 在 AD 上，点 E 在 BC 上，把这个矩形沿 EF 折叠后，使点 D 恰好落在 BC 边上的 G 点处，若矩形面积为 4 且∠AFG=60°， GE=2BG ， 则折痕 EF 的长为（）A ．1B ．C ． 2D ．、填空题：6. （2018·辽宁省盘锦市）如图，已知 Rt △ABC 中，∠ B=90°，∠ A=60°， AC=2 +4，点 M 、N 分别在线段 AC.AB 上，将△ANM 沿直线 MN 折叠， 使点 A 的对应点 D 恰好落在线段 BC 上，当△ DCM 为直角三角形时，折痕 MN 的长为．7. （2018·山东威海· 8 分）如图，将矩形 ABCD （纸片）折叠，使点 B 与 AD 边上的点 K 重合，EG 为折痕；点C 与AD 边上的点 K 重合， FH 为折痕．已知∠ 1=67.5°， ∠2=75°， EF=+1，则 BC 的长．处，点 C 落在点 H 处，已知∠ DGH=3°0，连接8. （2018·湖南省常德 ·3 分）如图，将矩形ABCD 沿 EF 折叠，使点 B 落在 AD 边上的点 GBG ，则∠ AGB=三、解答与计算题：9. （2018·广东· 7 分）如图，矩形ABCD中，AB>AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ ADE≌△ CED；（2）求证：△ DEF是等腰三角形．10. （2018?山东枣庄?10 分）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；（3）若AG=6，EG=2 ，求BE的长．能力篇】、选择题：11. （ 2018·辽宁省阜新市）如图，将等腰直角三角形 落在 BC 边的中点 A 1处， BC=8，那么线段 AE 的长度为 （ ）12. （ 2018·四川省攀枝花·3 分）如图，在矩形 ABCD 中， E 是 AB 边的中点，沿 EC 对折矩 形 ABCD ，使 B 点落在点 P 处，折痕为 EC ，连结 AP 并延长 AP 交 CD 于 F 点，连结 CP 并延长 CP 交 AD 于 Q 点．给出以下结论：① 四边形 AECF 为平行四边形；② ∠PBA=∠APQ ；③ △FPC 为等腰三角形；④ △APB ≌△EPC ．其中正确结论的个数为（ABC （∠ B=90°）沿 EF 折叠，使点 AD ．7A ．1B ． 2C ．3D ．413.2018·湖北省武汉 3 分）如图，在⊙ O 中，点 C 在优弧 上，将弧 沿 BC 折叠后刚好经过AB 的中点D．若⊙ O的半径为，AB=4，则BC的长是（）C．、填空题：14. （2018 ·辽宁省葫芦岛市）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，将△ BCE沿BE折叠后得到△ BEF、将BF 延长交AD 于点G ．若=，则且点 F 在矩形ABCD的内部，15. （2018·四川宜宾· 3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，CB=2，点E为线段AB上的动点，将△ CBE沿CE折叠，使点B 落在矩形内点F处，下列结论正确的是①②③ （写出所有正确结论的序号）①当E 为线段AB中点时，AF∥CE；②当E 为线段AB中点时，AF=9；5③当A、F、C三点共线时，AE=④当A、F、C三点共线时，△ CEF≌△．三、解答与计算题：16.（2018·湖北省宜昌·11 分）在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC 沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD 上，BE交PC于点F．（1）如图1，若点E是AD 的中点，求证：△AEB≌△DEC；（2）如图2，① 求证：BP=BF；② 当AD=25，且AE< DE 时，求cos∠ PCB的值；③ 当BP=9 时，求BE?EF的值．17. （2018·广东·7 分）如图，矩形ABCD中，AB>AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ ADE≌△ CED；（2）求证：△ DEF是等腰三角形．18. （2018?江苏盐城? 10 分）如图，在以线段为直径的上取一点，连接、. 将沿翻折后得到.（1）试说明点在上；（2）在线段的延长线上取一点，使. 求证：为的切线；（3）在（2）的条件下，分别延长线段、相交于点，若，，求线段的长.探究篇】19. （2018 年江苏省泰州市?12 分）对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE 折叠，使点B 落在CD边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E 恰好与点D重合（如图②）1）根据以上操作和发现，求的值；2）将该矩形纸片展开．①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H 重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开．求证：∠ HPC=9°0 ；②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P 点，要求只有一条折痕，且点P 在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）20. （2018 年江苏省宿迁）如图，在边长为 1 的正方形ABCD中，动点E、F 分别在边AB、CD上，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B 的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BE=x，1）当AM= 时，求x 的值；2）随着点M 在边AD上位置的变化，△ PDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；3）设四边形BEFC的面积为S，求S与x 之间的函数表达式，并求出S的最小值.第39 讲几何图形折叠问题疑难点拨】1. 折叠（翻折）问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．2. 折叠（翻折）意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解．3. 矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度．矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角” 的模型（如图），从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数．4. 凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．1. 常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆. 2. 折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．【基础篇】一、选择题：1. . （2018?四川凉州?3 分）如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C′处，BC′交AD于点E，则下到结论不一定成立的是（）A．AD=BC′ B．∠ EBD=∠EDB C．△ABE∽△CBD D．sin ∠ABE=【分析】主要根据折叠前后角和边相等找到相等的边之间的关系，即可选出正确答案．【解答】解：A、BC=BC′，AD=BC，∴ AD=BC′，所以正确．B、∠CBD=∠EDB，∠CBD=∠EBD，∴∠ EBD=∠EDB 正确．∴∠EBD=∠EDB∴BE=DE ∴sin ∠ABE= ．故选： C ．点评】本题主要用排除法，证明 A ，B ，D 都正确，所以不正确的就是 C ，排除法也是数学 中一种常用的解题方法．2. （2017 山东烟台） 如图 1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图 2 所示的扇形 AOB ．已知 OA=6，取 OA 的中点 C ，过点 C 作 CD ⊥OA 交 于点 D ，点 F 是 上一点．若将 扇形 BOD 沿 OD 翻折，点 B 恰好与点 F 重合，用剪刀沿着线段 BD ，DF ，FA 依次剪下，则剪下 的纸片（形状同阴影图形）面积之和为（ ）．A ．36π -108B ． 108-32 πC ．2πD ．π【考点】 MO ：扇形面积的计算； P9：剪纸问题．【分析】先求出∠ ODC ∠= BOD=3°0 ，作 DE ⊥OB 可得 DE= OD=3，先根据 S 弓形 BD =S 扇形BOD ﹣ S △ BOD 求得弓形的面积，再利用折叠的性质求得所有阴影部分面积．解答】解：如图，∵ CD ⊥ OA ，∴∠ DCO=∠AOB=9°0 ，D 、∵ sin ∠ABE= ，∴∠ ODC=∠BOD=3°0 ，作 DE ⊥ OB 于点 E ，则 DE= OD=3，则剪下的纸片面积之和为 12×（ 3π﹣ 9）=36π﹣ 108，故答案为： 36π﹣ 108．故选 A3. （2017浙江衢州） 如图，矩形纸片 ABCD 中， AB=4，BC=6，将△ ABC 沿 AC 折叠，使点 B 落在点 E 处， CE 交 AD 于点 F ，则 DF 的长等于（ ）A ．B ．C ．D ．考点】 PB ：翻折变换（折叠问题） ； LB ：矩形的性质．【分析】根据折叠的性质得到 AE=AB ，∠E=∠B=90°，易证 Rt △AEF ≌Rt △ CDF ，即可得到结 论 EF=DF ；易得 FC=FA ，设 FA=x ，则 FC=x ，FD=6﹣ x ，在 Rt △CDF中利用勾股定理得到关于∴S 弓形 BD =S 扇形 BOD ﹣ S △ BOD =×6×3=3π 9，∵OA=OD=OB=，6OC= OA= OD ，x 的方程x2=42+（6﹣x）2，解方程求出x．【解答】解：∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ ABC落在△ ACE的位置，∴AE=AB，∠ E=∠B=90°，又∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，∴AE=DC，而∠ AFE=∠DFC，∵在△ AEF与△ CDF中，，∴△ AEF≌△ CDF（AAS），∴EF=DF；∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=6，CD=AB=，4∵Rt △AEF≌Rt△CDF，∴FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6﹣x，在Rt△CDF中，CF2=CD2+DF2，即x2=42+（6﹣x）则FD=6﹣x=实用文档20故选：B ．4. （2018·山东青岛· 3分）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF= ，则BC的长是（）分析】由折叠的性质可知∠ B=∠EAF=45°，所以可求出∠ AFB=90°，再直角三角形的性质解答】解：∵沿过点E的直线折叠，使点B与点A 重合，∴∠ B=∠EAF=45°，∴∠AFB=90°，∵点E 为AB中点，∴EF= 1 AB，EF= 3，22∵∠BAC=90°，AB，所以AB=AC的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长．D． 3 3可知EF∴AB=AC=3，故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出∠AFB=90°是解题的关键．5. （2017乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4 且∠AFG=60°，GE=2BG，则折痕EF 的长为（）A．1 B．C．2 D．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．【分析】由折叠的性质可知，DF=GF、HE=CE、GH=DC、∠ DFE=∠ GFE，结合∠ AFG=60°即可得出∠ GFE=60°，进而可得出△ GEF为等边三角形，在Rt △GHE中，通过解含30 度角的直角三角形及勾股定理即可得出GE=2EC、DC= EC，再由GE=2BG结合矩形面积为4 ，即可求出EC的长度，根据EF=GE=2EC即可求出结论．解答】解：由折叠的性质可知，DF=GF，HE=CE，GH=DC，∠ DFE=∠GFE．∵∠ GFE+∠DFE=180°﹣∠ AFG=12°0 ，∴∠GFE=60°．∵AF∥ GE，∠ AFG=60°，∴∠ FGE=∠AFG=60°，∴△ GEF为等边三角形，∴EF=GE．∵∠ FGE=60°，∠ FGE+∠HGE=9°0 ，∴∠ HGE=3°0 ．在Rt△GHE中，∠HGE=3°0 ，∴GE=2HE=C，E∴GH= = HE= CE．∵GE=2BG，∴BC=BG+GE+EC=4．EC∵矩形ABCD的面积为4 ，∴4EC? EC=4 ，∴EC=1，EF=GE=2．故选C．二、填空题：6. （2018·辽宁省盘锦市）如图，已知Rt△ABC中，∠ B=90°，∠ A=60°，AC=2 +4，点M、N分别在线段AC.AB上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A 的对应点D恰好落在线段BC 上，当△ DCM为直角三角形时，折痕MN的长为．解答】解：分两种情况：①如图，当∠ CDM=9°0 时， △CDM 是直角三角形，∵在 Rt△ABC 中，∠ B=90°，∠ A=60°，AC=2 +4 ，∴∠ C=30°，AB= AC= 叠可得：∠ MDN= ∠ A=60°，∴∠ BDN=3°0 ，∴ BN= DN= AN ，∴ BN= AB=，∴∠ ANM= ∠ DNM=6°0 ，∴∠ AMN=6°0 ，∴ AN=MN=DN= AN ， BD\1AB= ，∴ AN=2 ，BN= ，过 N 作 NH ⊥AM 于 H ，则∠ ANH=30° ，∴AH=AN=1 ， HN= ，由折叠可得：∠ AMN= ∠DMN=45° ，∴△ MNH 是等腰直角三角形，∴HM=HN= ，∴ MN= ．，由折 ∵∠ DNB=6°0 AN=2BN= ②如图，当∠ CMD=9°0 时， △CDM 是直角三角形，由题可得： ∠CDM=6°0 ，∠ A= ∠ MDN=6°0 ，∴∠ BDN=6°0 ，∠BND=3°0 ，∴BD= BN故答案为：或．7. （2018·山东威海· 8 分）如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B 与AD边上的点K 重合，EG为折痕；点C与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠ 1=67.5°，∠2=75°，EF= +1，求BC的长．【分析】由题意知∠ 3=180°﹣2∠1=45°、∠ 4=180°﹣2∠2=30°、BE=KE、KF=FC，作KM⊥BC，设KM=x，知EM=x、MF= x，根据EF的长求得x=1，再进一步求解可得．解答】解：由题意，得：∠3=180°﹣2∠1=45°，∠4=180°﹣2∠2=30°，BE=KE、KF=FC，如图，过点K 作KM⊥BC于点M，设KM=x，则EM=x、MF= x，∴ x+ x= +1，解得：x=1，∴EK= 、KF=2，∴BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3+ + ，∴BC的长为3+ + ．点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．8. （2018·湖南省常德·3 分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G 处，点C落在点H处，已知∠ DGH=3°0 ，连接BG，则∠ AGB= 75° ．【分析】由折叠的性质可知：GE=BE，∠ EGH=∠ABC=90°，从而可证明∠ EBG=∠EGB．，然后再根据∠ EGH﹣∠ EGB=∠ EBC﹣∠ EBG，即：∠GBC=∠BGH，由平行线的性质可知∠AGB=∠GBC，从而易证∠ AGB=∠ BGH，据此可得答案．【解答】解：由折叠的性质可知：GE=BE，∠ EGH=∠ABC=90°，∴∠ EBG=∠EGB．∴∠ EGH﹣∠ EGB=∠EBC﹣∠ EBG，即：∠ GBC=∠BGH．又∵ AD∥ BC，∴∠ AGB=∠GBC．∴∠ AGB=∠BGH．∵∠DGH=3°0 ，∴∠ AGH=15°0 ，∴∠ AGB= ∠AGH=7°5 ，故答案为：75【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．三、解答与计算题：9. （2018·广东· 7 分）如图，矩形ABCD中，AB>AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ ADE≌△ CED；（2）求证：△ DEF是等腰三角形．【分析】（1）根据矩形的性质可得出AD=BC、AB=CD，结合折叠的性质可得出AD=CE、AE=CD，进而即可证出△ ADE≌△ CED（SSS）；（2）根据全等三角形的性质可得出∠ DEF=∠ EDF，利用等边对等角可得出EF=DF，由此即可证出△ DEF是等腰三角形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD．由折叠的性质可得：BC=CE，AB=AE，∴AD=CE，AE=CD．在△ ADE和△ CED中，，∴△ ADE≌△ CED（SSS）．∴∠ DEA=∠EDC ，即∠ DEF=∠EDF ，∴EF=DF ，∴△ DEF 是等腰三角形．点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是： 1）根据矩形的性质结合折叠的性质找出 AD=CE 、 AE=CD ；（ 2）利用全等三角形的性质找出 ∠DEF=∠EDF ．10. （2018?山东枣庄 ?10 分）如图，将矩形 ABCD 沿 AF 折叠，使点 D 落在 BC 边的点 E 处， 过点 E 作 EG ∥CD 交 AF 于点 G ，连接 DG ．（1）求证：四边形 EFDG 是菱形；（2）探究线段 EG 、GF 、 AF 之间的数量关系，并说明理由；（3）若 AG=6， EG=2 ，求 BE 的长．【分析】（ 1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠ DGF=∠DFG ，从而得到 GD=DF ，接下 来依据翻折的性质可证明 DG=GE=DF=E ；F（2）由（ 1）得△ ADE ≌△（2）连接DE，交AF 于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF= GF，接下来，证明△ DOF ∽△ ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO?AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△ FGH∽△ FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD﹣GH求解即可．【解答】解：（1）证明：∵ GE∥DF，∴∠ EGF=∠DFG．∵由翻折的性质可知：GD=G，E DF=EF，∠ DGF=∠EGF，∴∠ DGF=∠DFG．∴GD=DF．∴DG=GE=DF=E．F∴四边形EFDG为菱形．（2）EG2= GF?AF．理由：如图1 所示：连接DE，交AF 于点O．∵四边形EFDG为菱形，∴GF⊥ DE，OG=OF= GF．∵∠ DOF=∠ADF=90°，∠ OFD=∠ DFA，∴△ DOF∽△ ADF．，即DF2=FO?AF．∵FO= GF，DF=EG，∴EG2= GF?AF．3）如图2 所示：过点G作GH⊥ DC，垂足为H．∵EG2= GF?AF，AG=6，EG=2 ，∴20= FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40=0．解得：FG=4，FG=﹣10（舍去）∵DF=GE=2 ，AF=10，∴AD= =4 ．∵GH⊥ DC，AD⊥ DC，∴GH∥ AD．∴△ FGH∽△ FAD．∴GH=∴BE=AD ﹣ GH=4 ﹣ =【点评】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、 菱形的判定和性质、 相似三角形的性质和判定、 勾股定理的应用， 利用相似三角形的性质得 到DF 2=FO?AF 是解题答问题 （ 2）的关键，依据相似三角形的性质求得 GH 的长是解答问题 （3）的关键．能力篇】、选择题：11. （ 2018·辽宁省阜新市）如图，将等腰直角三角形 ABC （∠ B=90°）沿 EF 折叠，使点 A落在 BC 边的中点 A 1处， BC=8，那么线段 AE 的长度为 （ ） ．解答】解： 由折叠的性质可得 AE=A 1E ．∵△ ABC 为等腰直角三角形， BC=8，∴ AB=8．2∵A 1为 BC 的中点， ∴A 1B=4，设 AE=A 1E=x ，则 BE=8﹣ x ．在 Rt △A 1BE 中， 由勾股定理可得 42+（8﹣ x ） 2=x 2，解得 x=5．故答案为： 5．故选 BA ．4B ． 5C ． 6D ．7∴ ，即 = ．12. （2018·四川省攀枝花·3 分）如图，在矩形ABCD中，E 是AB 边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F 点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA=∠APQ；③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4解：①如图，EC，BP交于点G；∵点P是点B关于直线EC的对称点，∴ EC 垂直平分BP，∴ EP=EB，∴∠ EBP=∠EPB．∵点E为AB中点，∴ AE=EB，∴ AE=EP，∴∠ PAB=∠PBA．∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180°，即∠ PAB+∠PBA+∠APE+∠BPE=2（∠PAB+∠PBA）=180°，∴∠PAB+∠PBA=90°，∴ AP⊥BP，∴AF∥EC；∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，故①正确；∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠ ABC=∠ABP+∠PBC=90°，∴∠ ABP=∠APQ ，故②正确；③∵AF ∥EC ，∴∠ FPC=∠PCE=∠BCE ．∵∠PFC 是钝角，当△BPC 是等边三角形， 即∠BCE=30°时， 才有∠ FPC=∠FCP ，如右图，△PCF 不一定是等腰三角形，故③不正确；④∵AF=EC ， AD=BC=P ，C ∠ADF=∠EPC=90°，∴ Rt △EPC ≌△FDA （ HL ）．∵∠ADF=∠APB=90°，∠ FAD=∠AB P ，当 BP=AD 或△BPC 是等边三角形时，△ APB ≌△ FDA ， ∴△APB ≌△EPC ，故④不正确； 其中正确结论有①②， 2 个．故选 B ．13. （2018·湖北省武汉 ·3 分）如图，在⊙ O 中，点 C 在优弧 上，将弧沿 BC 折叠后刚好经过 AB 的中点 D ．若⊙ O 的半径为 ， AB=4，则 BC 的长是（）②∵∠ APB=90°，∴∠ APQ+∠BPC=90°，由折叠得： BC=PC ，∴∠ BPC=∠PBC ．【分析】连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥ CE于F，如图，利用垂径定理得到OD⊥ AB，则AD=BD= AB=2，于是根据勾股定理可计算出OD=1，再利用折叠的性质可判断弧AC和弧CD 所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到= ，所以AC=DC，利用等腰三角形的性质得AE=DE=1，接着证明四边形ODEF为正方形得到OF=EF=1，然后计算出CF后得到CE=BE=3，于是得到BC=3 2 ．【解答】解：连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥ AB于E，OF⊥CE于F，如图，∵D 为AB的中点，∴OD⊥ AB，∴AD=BD= AB=2，在Rt△OBD中，OD= ( 5)2 22=1，∵将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆，∴=，∴AC=DC，∴AE=DE=1，易得四边形ODEF为正方形，∴OF=EF=1，∴CE=CF+EF=2+1=，3而 BE=BD+DE=2+1=，3∴BC=3 ．故选： B ．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线， 必连 过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和垂径定理．二、填空题：∵点 E 是 CD 的中点，∴ EC=DE∵将△BCE 沿BE 折叠后得到 △BEF 、且点 F 在矩形 ABCD 的内部， ∴EF=DE ，∠ BFE=90° ．在14. （2018 ·辽宁省葫芦岛市 ） 如图，在矩形 折叠后得到△BEF 、 且点 F 在矩形 ABCD 的内将 BF 延长交 AD 于点 G ．若 = ，则在Rt △OCF 中，CF= ( 5)2 12 =2，ABCD 中，点 E 是 CD 的中点，将△ BCE 沿BE解答】 解：连接GE ．，∴Rt △EDG ≌Rt △EFG （HL ），∴FG=DG ．∵ = ，∴设 DG=FG=a ，则 AG=7a ，故 AD=BC=8a ，则 BG=BF+FG=9a ，∴ AB=15. （2018·四川宜宾· 3分）如图，在矩形 ABCD 中， AB=3，CB=2，点 E 为线段 AB 上的动点，将△ CBE 沿 CE 折叠，使点 B 落在矩形内点 F 处，下列结论正确的是 ①②③ （写出 所有正确结论的序号） ①当 E 为线段 AB 中点时， AF ∥CE ；②当E 为线段 AB 中点时， AF=9；5③当 A 、 F 、C 三点共线时， AE=④当 A 、 F 、 C 三点共线时，△ CEF ≌△ AEF ．=4 a ，故故答案为：考点】PB：翻折变换（折叠问题）；KB：全等三角形的判定；LB：矩形的性质．分析】分两种情形分别求解即可解决问题；解答】解：如图1 中，当AE=EB时，∵AE=EB=EF，∴∠ EAF=∠EFA，∵∠ CEF=∠CEB，∠ BEF=∠ EAF+∠EFA，∴∠ BEC=∠EAF，∴AF∥EC，故①正确，作EM⊥ AF，则AM=FM，在Rt△ECB中，EC= = ，∵∠ AME=∠B=90°，∠ EAM=∠ CEB，∴△ CEB∽△ EAM，=，∴AM= ，9∴AF=2AM= ，故②正确，5如图2 中，当A、F、C 共线时，设AE=x．则EB=EF=3﹣x，AF= 13 ﹣2，在Rt △ AEF中，∵ AE2=AF2+EF2，∴x =（﹣2）+（3﹣x）∴x=∴AE= ，故③正确，如果，△ CEF≌△ AEF，则∠ EAF=∠ECF=∠ECB=30°，显然不符合题意，故④错误，故答案为①②③．【点评】本题考查翻折变换、全等三角形的性质、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．16.（2018·湖北省宜昌 ·11 分）在矩形 ABCD 中，AB=12，P 是边 AB 上一点，把△PBC沿直线 PC 折叠，顶点 B 的对应点是点 G ，过点 B 作 BE ⊥CG ，垂足为 E 且在 AD 上，BE 交 PC 于点 F ．（1）如图 1，若点 E 是 AD 的中点，求证： △AEB ≌△DEC ； （2）如图 2，① 求证： BP=BF ；② 当 AD=25，且 AE < DE 时，求 cos ∠ PCB 的值；【分析】（1）先判断出 ∠ A=∠D=90°，AB=DC 再判断出 AE=DE ，即可得出结论；（2） ① 利用折叠的性质，得出 ∠PGC=∠PBC=9°0，∠BPC=∠GPC ，进而判断出 ∠GPF=∠PFB 即可得出结论；② 判断出 △ABE ∽ △DEC ，得出比例式建立方程求解即可得出 AE=9， DE=16，再 判断出 △ECF ∽△GCP ，进而求出 PC ，即可得出结论； ③ 判断出 △GEF ∽ △EAB ，即可得出结论．【解答】解：（1）在矩形 ABCD 中， ∠A=∠D=90°，AB=DC ， ∵E 是 AD 中点，∴AE=DE ， 在△ABE 和△DCE 中，三、解答与计算题：③ 当 BP=9 时，求 BE?EF 的值．∴△ABE≌△DCE（SAS）；（2）① 在矩形ABCD，∠ABC=9°0，∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，∴∠PGC=∠PBC=90，°∠BPC=∠GPC，∵BE⊥CG，∴BE∥PG，∴∠GPF=∠PFB，∴∠BPF=∠BFP，∴BP=BF；② 当AD=25 时，∵∠BEC=90，°∴∠AEB+∠CED=90，°∵∠AEB+∠ABE=90，°∴∠CED=∠ABE，∵∠A=∠D=90 ，° ∴△ABE∽△DEC，∴，∴，设AE=x，∴ DE=25﹣x，∴，∴，∴x=9 或x=16，∵AE<DE，∴AE=9，DE=16，∴CE=20，BE=15，由折叠得，BP=PG，∴BP=BF=PG，∵BE∥PG，∴△ECF∽△GCP，设BP=BF=PG=，y∴，∴y=在Rt△PBC中，PC= ，cos∠PCB= = ；③ 如图，连接FG，∵∠GEF=∠BAE=90，∵BF∥PG，BF=PG，∴?BPGF是菱形，∴BP∥GF，∴∠GFE=∠ABE，∴△GEF∽△EAB，∴ BE?EF=AB?GF=12 × 9．=108【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．17. （2018·广东·7 分）如图，矩形ABCD中，AB>AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ ADE≌△ CED；（2）求证：△ DEF是等腰三角形．分析】（1）根据矩形的性质可得出AD=BC、AB=CD，结合折叠的性质可得出AD=CE、AE=CD，进而即可证出△ ADE≌△ CED（SSS）；2）根据全等三角形的性质可得出∠DEF=∠ EDF，利用等边对等角可得出EF=DF，由此即可证出△ DEF是等腰三角形．解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD．由折叠的性质可得：BC=CE，AB=AE，∴AD=CE，AE=CD．在△ ADE和△ CED中，，∴△ ADE≌△ CED（SSS）．2）由（1）得△ ADE≌△ CED，∴EF=DF ，∴△ DEF 是等腰三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是： （1）根据矩形的性质结合折叠的性质找出 AD=CE 、 AE=CD ；（ 2）利用全等三角形的性质找出 ∠DEF=∠EDF ．18. （2018?江苏盐城? 10 分）如图，在以线段为直径的 上取一点，连接 、. 将 沿 翻折后得到 .（1）试说明点 在 上；（2）在线段 的延长线上取一点 ，使 . 求证： 为 的切线； （3）在（ 2）的条件下，分别延长线段、 相交于点 ，若 ， ，求线段 的长 . 【答案】（ 1）解：连接 OC ，OD，∴∠ DEA=∠EDC ，即∠ DEF=∠EDF ，由翻折可得OD=OC，∵OC是⊙ O的半径，∴点D在⊙ O上。
浙江省中考数学总复习第七章数学思想与开放探索问题第35讲方程、函数思想型问题讲解篇(2021学年)
浙江省2018年中考数学总复习第七章数学思想与开放探索问题第3５讲方程、函数思想型问题讲解篇编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(浙江省2018年中考数学总复习第七章数学思想与开放探索问题第35讲方程、函数思想型问题讲解篇)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第35讲方程、函数思想型问题(建议该讲放第1６讲后教学)内容特性1。
在解决问题时,把某一个未知量或几个未知量用字母来表示,根据已知的条件或有关的性质、定理或公式,建立起未知量和已知量之间的等量关系,列出方程或方程组，从而使问题获得解决的思想方法称为方程思想.２.函数思想是指用变量和函数来思考问题的一种方法，借助函数知识来探求变量之间关系的一种思维方式,以生产、生活和学科问题为背景,结合方程、几何图形等知识进行问题解决的一种解题策略，是刻画现实世界的一个有效的数学模型.解题策略(1)解决函数综合问题时,注意数形结合,在函数、方程、不等式之间灵活转化；（2）解决几何综合问题时,常从面积关系,勾股定理、相似性质寻求关系列方程、函数求解；(3)解决生活中应用问题时,从一些常见数量关系模型入手,建立方程、函数求解；(4)对于一个实际问题或数学问题,构建一个相应的函数，抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质，运用函数基本性质和方法，从而更快更好地解决问题．基本思想利用方程思想解决问题时,经常涉及函数思想和数形结合思想;利用函数思想解决问题时，充分运用函数数学思想分析问题,经常涉及函数与方程、不等式,函数与图象。
浙江省中考数学总复习第七章数学思想与开放探索问题第34讲归纳、猜想与说理型问题讲解篇(2021学年)
浙江省20１８年中考数学总复习第七章数学思想与开放探索问题第３4讲归纳、猜想与说理型问题讲解篇编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(浙江省201８年中考数学总复习第七章数学思想与开放探索问题第34讲归纳、猜想与说理型问题讲解篇)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第3４讲归纳、猜想与说理型问题(建议该讲放第１1讲后教学)内容特性所谓归纳、猜想，指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、分析、推理，探求其中所蕴含的规律,进而归纳或猜想出一般性的结论．解题策略解题中要求充分利用条件进行大胆而合理的猜想，得出结论．有时借助图形、实物或实际操作打开思路．解决这类题的基本思路是“观察→归纳→猜想→证明（验证)"，具体做法：（1）认真观察所给的一组数、式、图等,发现它们之间的关系；(２）根据它们之间的关系分析、概括，归纳它们的共性和蕴含的变化规律，猜想得出一个一般性的结论;(3）结合题目所给的材料情景证明或验证结论的正确性．基本思想观察、分析、归纳、猜想一般，给出一组具有某种有规律的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，通过认真观察、分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论.类型一通过数式变化产生规律错误! (2０16·淄博)(1）填空:(ａ-b)(a＋ｂ）＝；（a－b）（a2+ab＋b2)＝；(ａ－ｂ)(ａ３+a2 b＋ab2＋b3）= ;（2)猜想:（a－b)(a n－１+ａｎ－2b+…+ab n-2＋bｎ-１）= (其中n为正整数,且n≥２）;(3)利用（2）猜想的结论计算:2９－28＋27-…+23-2２＋２．【解后感悟】此类问题要从整体上观察各个式子的特点，猜想出式子的变化规律,并进行验证.对于本题来说，关键是先计算,再观察各等式的结构，猜想结果并验证.对于(3)根据结构特征进行设、列来构建等式求解.1.（1)(２016·资阳模拟）设一列数中相邻的三个数依次为m、n、p,且满足ｐ=m2－n,若这列数为－1,3，－2,a,－7,b…,则b= 。
浙江省2018届初三数学中考总复习讲练含答案
浙江省2018届初三数学中考总复习目录第1讲实数及其运算 (1)第2讲整式及其运算 (11)第3讲因式分解 (20)第4讲分式及其运算 (25)第5讲二次根式及其运算 (34)第6讲一元一次方程与分式方程及其应用 (43)第7讲二元一次方程组及其应用 (52)第8讲一元二次方程及其应用 (63)第9讲方程(组)的应用 (72)第10讲不等式与不等式组 (82)第12讲函数概念与平面直角坐标系 (99)第13讲一次函数及其图象 (112)第14讲反比例函数及其图象 (126)第15讲二次函数的图象与性质 (141)第16讲函数的应用 (154)第17讲线段、角、相交线和平行线 (168)第18讲三角形与全等三角形 (182)第19讲特殊三角形 (196)第20讲多边形与平行四边形 (222)第21讲矩形、菱形与正方形 (234)第23讲直线与圆的位置关系 (261)第24讲圆的有关计算 (272)第25讲几何作图 (280)第26讲三视图与展开图 (294)第27讲图形与变换 (303)第28讲图形的相似 (326)第29讲锐角三角函数与解直角三角形 (349)第30讲数据的收集与整理 (366)第31讲数据的分析及其应用 (380)第32讲简单事件的概率及其应用 (393)第33讲选择、填空题常用解法问题 (405)第34讲归纳、猜想与说理型问题 (414)第35讲方程、函数思想型问题 (422)第36讲分类讨论型问题 (434)第37讲方案设计型问题 (446)第38讲阅读理解型问题 (457)第39讲开放与探索型问题 (468)第40讲实验与动态型问题 (478)第41讲课本题改编型问题 (489)第1讲 实数及其运算1．实数的分类实数⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧有理数⎩⎪⎨⎪⎧整数⎩⎨⎧⎭⎪⎬⎪⎫正整数 自然数负整数分数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫正分数 有限小数或无限循环小数无理数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫正无理数 无限不循环小数 2．实数的有关概念3.科学记数法和近似数4.平方根、算术平方根、立方根5.实数的大小比较6.实数的运算1．(2016·金华)如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品(单位：mm)，其中不合格的是( )A ．∅45.02B ．∅44.9C ．∅44.98D ．∅45.01 2．(2017·金华)下列各组数中，把两数相乘，积为1的是( )A ．2和－2B ．－2和12C.3和33 D.3和－ 33．(2016·丽水)下列四个数中，与－2的和为0的数是( )A ．－2B ．2C ．0D ．－124．(2017·杭州)|1＋3|＋|1－3|＝( )A ．1 B. 3 C ．2 D ．2 3 5．计算：(1)(2016·衢州)计算：|－3|＋9－(－1)2＋⎝⎛⎭⎫－120；(2)(2017·金华)计算：2cos60°＋(－1)2017＋|－3|－(2－1)0；(3)(2015·台州)6÷(－3)＋|－1|－20150.【问题】在下图的集合圈中，有5个实数．(1)其中最大的数是________；(2)计算其中的有理数的和与无理数的积的差； (3)请你再提出有关实数的几个问题．【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理有理数、无理数有关的概念，以及实数的分类；实数的运算法则．类型一 与实数相关的概念例1 数字2，13，π，38，cos 45°，0.32中是无理数的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解后感悟】对无理数的判定，不能只被表面形式迷惑，而应从最后结果去判断．一般来说，用根号表示的数不一定就是无理数，如38＝2是有理数，用三角函数符号表示的数也不一定就是无理数，如sin 30°、tan 45°就是有理数，一个数是不是无理数关键在于不同形式表示的数的最终结果是不是无限不循环小数．1．(1)(2015·上海)下列实数中，是有理数的为( ) A.2B.34C ．πD ．0(2)(2017·河北)如图为张小亮的答卷，他的得分应是( )姓名__张小亮__ 得分__？__填空(每小题20分，共100分)①－1的绝对值是____．②2的倒数是____．③－2的相反数是____．④1的立方根是____．⑤－1和7的平均数是___．A．100分B．80分C．60分D．40分(3)数轴上有A，B，C，D四个点，其中绝对值相等的点是()A．点A与点D B．点A与点CC．点B与点C D．点B与点D类型二科学记数法与近似值例2(2017·绍兴)研究表明，可燃冰是一种替代石油的新型清洁能源，在我国某海域已探明的可燃冰存储量达150000000000立方米，其中数字150000000000用科学记数法可表示为()A．15³1010B．0.15³1012C．1.5³1011D．1.5³1012【解后感悟】科学记数法的表示形式为a³10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．2．(1)(2017·益阳)目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.00000004m，将0.00000004用科学记数法表示为()A．4³108B．4³10－8C．0.4³108D．－4³108(2)(2017·温州)下列选项中的整数，与17最接近的是()A．3 B．4 C．5 D．6类型三实数的运算例3(2015·绍兴)计算：2cos45°－(π＋1)0＋14＋(12)－1.【解后感悟】实数运算的一般步骤：(1)观察运算种类；(2)确定运算顺序；(3)把握每步运算法则和符号；(4)灵活运用运算律．3．(2016·舟山)13世纪数学家斐波那契的(计算书)中有这样一个问题：“在罗马有7位老妇人，每人赶着7头毛驴，每头驴驮着7只口袋，每只口袋里装着7个面包，每个面包附有7把餐刀，每把餐刀有7只刀鞘”，则刀鞘数为( )A ．42B ．49C ．76D ．77 4．计算：(1)(2015·菏泽)(－1)2015＋sin 30°－(π－3.14)0＋⎝⎛⎭⎫12－1；(2)(2017·衢州)计算：12＋(π－1)0³|－2|－tan 60°；(3)(2015·温州)20150＋12＋2³⎝⎛⎭⎫－12.类型四 实数的大小比较例4 (2015·丽水)在数－3，－2，0，3中，大小在－1和2之间的数是( ) A ．－3 B ．－2 C ．0 D ．3 【解后感悟】实数的大小比较常用以下方法：(1)数轴比较法：将两数表示在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大． (2)代数表示法：正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的数反而小．(3)差值比较法：设a 、b 是两个任意实数，则：a －b>0，a>b ；a －b ＝0，a ＝b ；a －b<0，a<b.5．(1)(2016·衢州)在2，－1，－3，0这四个实数中，最小的是()A.2B．－1 C．－3 D．0(2)设a＝20，b＝(－3)2，c＝3－27，d＝⎝⎛⎭⎫12－1，则a，b，c，d按由小到大的顺序排列正确的是()A．c<a<d<b B．b<d<a<c C．a<c<d<b D．b<c<a<d【新定义题】定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝a(a－b)＋1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5＝2³(2－5)＋1＝2³(－3)＋1＝－6＋1＝－5(1)求(－2)⊕3的值；(2)若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来．【方法与对策】这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果；同时利用所学知识解答综合问题是我们应具备的能力，是中考命题方式．【对科学记数法的精确的位数混淆不清；实数运算的顺序、符号处理不当】1．(2017·台州)人教版初中数学教科书共六册，总字数是978000，用科学记数法可将978000表示为()A．978³103B．97.8³104 C．9.78³105D．0.978³1062．(2015·遂宁)计算：－13－27＋6sin 60°＋(π－3.14)0＋|－5|.参考答案第1讲 实数及其运算【考点概要】1．零 负分数 负无理数 2.原点 正方向 单位长度 符号 两侧 距离 乘积为1 1a 3.a ³10n 4.相反数 负数 0 0 正的 负的 5.大于 小于小 小于 6.1 1a p 乘除 加减 括号内【考题体验】1．B 2.C 3.B 4.D 5.(1)6；(2)2；(3)－2. 【知识引擎】【解析】(1)32；(2)首先要弄清有理数和无理数的概念；有理数包括整数和分数；无理数指的是无限不循环小数．正确找到有理数和无理数后，再进行计算即可．有理数是32，－23，它们的和为32＋(－23)＝9－8＝1；无理数是12，π，8，它们的积为12³π³8＝2π.∴有理数的和与无理数的积的差等于1－2π.(3)写出其中的负整数；绝对值最小的数等．【例题精析】例1 C 例2 C 例3 原式＝2³22－1＋12＋2＝2＋32.例4 C 【变式拓展】 1．(1)D (2)B (3)C 2. (1)B (2)B 3.C4．(1)12； (2)2＋3； (3)2 3.5.(1)C (2)A 【热点题型】【分析与解】(1)按照定义新运算a ⊕b ＝a(a －b)＋1，求解即可．(－2)⊕3＝－2³(－2－3)＋1＝－2³(－5)＋1＝10＋1＝11. (2)先按照定义新运算a ⊕b ＝a(a －b)＋1，得出3⊕x ，再令其小于13，得到一元一次不等式，解不等式求出x 的取值范围，即可在数轴上表示．∵3⊕x<13，∴3(3－x)＋1<13，9－3x ＋1<13，－3x<3，x>－1，数轴表示如图所示【错误警示】1．C2．原式＝－1－33＋6³32＋1＋5＝ 5.第2讲整式及其运算1．整式的相关概念2.整式的运算1．(2017·衢州)下列计算正确的是(A ．2a ＋b ＝2abB ．(－a)2＝a 2C ．a 6÷a 2＝a 3D ．a 3²a 2＝a 62．(2017·台州)下列计算正确的是( ) A ．(a ＋2)(a －2)＝a 2－2 B ．(a ＋1)(a －2)＝a 2＋a－2 C ．(a ＋b)2＝a 2＋b 2 D ．(a －b)2＝a 2－2ab ＋b 23．(2016·宁波)下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，…，按此规律，图案⑦需____________________根火柴棒．4．(2015·嘉兴)化简：a(2－a)＋(a ＋1)(a －1)．【问题】(1)计算：(a ＋3)(a －3)＋a(3a －2)－(2a －1)2；(2)完成(1)计算后回答：①此计算过程中，用到了哪些乘法公式和法则； ②此计算过程中，要注意哪些问题．【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理实数相关概念、运算法则，以及要注意的问题．类型一 幂的运算例1 计算：(1)(a 2b)3＝________；(2)(3a)2²a 5＝________； (3)x 5÷x 3＝________．【解后感悟】(1)幂的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用法则；(2)在运算的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理．1．(2015·益阳)下列运算正确的是( )A ．x 2²x 3＝x 6B ．(x 3)2＝x 5C ．(xy 2)3＝x 3y 6D ．x 6÷x 3＝x 2 2．若3x ＝4，9y ＝7，则3x －2y的值为( )A .47B .74C ．－3D .27类型二 整式的加减运算例2 (1)若mn ＝m ＋3，则2mn ＋3m －5mn ＋10＝________．(2)已知(a －2)2＋|b ＋1|＝0，则代数式2a 2b －3ab 2－(a 2b －4ab 2)＝________．(3)若代数式5a －3b 的值是－2，则代数式2(a －b)＋4(2a －b)＋3的值等于________． 【解后感悟】整式的加减，实质上就是，有括号的，先去括号．只要算式中没有同类项，就是最后的结果．3．(1)化简：4a －(a －3b)＝____________________.(2)已知a ，b 互为相反数，则(4a －3b)－(3a －4b)＝____________________.(3)已知2x ＋y ＝－1，则代数式(2y ＋y 2－3)－(y 2－4x)的值为____________________． (4)(2015·巴中)若单项式2x 2y a ＋b与－13x a －b y 4是同类项，则a ＝____________________，b ＝____________________.类型三 整式的混合运算与求值例3 (1)(2x)3²(－2y 3)÷(－16xy 2)＝________；(2)已知x 2－4x ＋3＝0，则(x －1)2－2(1＋x)＝________； (3)已知m ＋n ＝－3，mn ＝5，则(2－m)(2－n)的值为________；(4)长方形的长为a cm ，宽为b cm ，若长增加了2cm ，面积比原来增加了________cm 2. 【解后感悟】(1)对于整式的加、减、乘、除、乘方运算，要充分理解其运算法则，注意运算顺序，正确应用乘法公式以及整体和分类等数学思想．(2)在应用乘法公式时，要充分理解乘法公式的结构特点，分析是否符合乘法公式的条件．4．(1)先化简，再求值：(4ab 3－8a 2b 2)÷4ab ＋(2a ＋b)(2a －b)，其中a ＝2，b ＝1.(2)化简：2[(m －1)m ＋m(m ＋1)][(m －1)m －m(m ＋1)]．若m 是任意整数，请观察化简后的结果，你发现原式表示一个什么数？类型四 乘法公式例4 (1)已知a ＋b ＝10，a －b ＝8，则a 2－b 2＝________； (2)若a 2＋b 2＝2，a ＋b ＝3，则ab 的值为________；(3)已知a ＝1，b ＝－12，则a(a －3b)＋(a ＋b)2－a(a －b)＝________．【解后感悟】对于整式乘法运算，能用乘法公式要充分运用公式；在应用时，要充分理解乘法公式的结构特点，分析是否符合乘法公式的条件．5．(2016·北京)如图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式：____________________.6．化简：(1)(2017·舟山)(m ＋2)(m －2)－m 3³3m ；(2)(2017·温州)(1＋a)(1－a)＋a(a －2)；(3)(2015·益阳)(x ＋1)2－x(x ＋1)．类型五 整式运算的应用及规律型问题例5 (2016·山西)如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n 个图案中有 个涂有阴影的小正方形(用含有n 的代数式表示)．【解后感悟】解决整式的规律性问题应充分发挥数形结合的作用，从分析图形的结构入手，分析图形结构的形成过程，从简单到复杂，进行归纳猜想，从而获得隐含的数学规律，并用代数式进行描述．7．(1)(2017·衢州)如图，从边长为(a＋3)的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形(不重叠无缝隙)，则拼成的长方形的另一边长是____________________．(2)一个大正方形和四个全等的小正方形按图1，2两种方式摆放，则图2的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是____________________(用a、b的代数式表示)．【阅读理解题】(2015·舟山)如图，多边形的各顶点都在方格纸的格点(横竖格子线的交错点)上，这样的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式S＝a＋12b－1(a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数)计算，这个公式称为“皮克定理”．现用一张方格纸共有200个格点，画有一个格点多边形，它的面积S＝40.(1)这个格点多边形边界上的格点数b＝________(用含a的代数式表示)；(2)设该格点多边形外的格点数为c，则c－a＝________．【方法与对策】本题需要先通过阅读掌握新定义方法，再利用类似方法解决问题．关键是观察问题，分析问题，解决问题的能力．该题型是中考命题的一种方式．【幂的运算的常见错误】计算：(1)x 3²x 5； (2)x 4²x 4； (3)(a m ＋1)2；(4)(－2a 2²b)2； (5)(m －n)6÷(n －m)3.参考答案第2讲 整式及其运算【考点概要】1．乘积 字母 数字 指数的 和 次数最高 多项式 相同 相同 同类 2.系数 不改变 改变 a m ＋n a mn a n b n a m －n 系数 指数 相加 ma ＋mb ＋mc 相加 ma ＋mb ＋na ＋nb 指数 相加 a 2－b 2 a 2±2ab ＋b 2【考题体验】1．B 2.D 3.50 4.2a －1. 【知识引擎】【解析】(1)2a —10；(2)①完全平方公式、平方差公式，去括号、合并同类项等；②去括号时，要注意变号等．【例题精析】例1 (1)a 6b 3；(2)9a 7；(3)x 2 例2 (1)1；(2)－2；(3)－1. 例3 (1)x 2y (2)－4 (3)15 (4)2b例4 (1)80；(2)72；(3)54.例5 由图可得，第1个图案涂有阴影的小正方形的个数为5，第2个图案涂有阴影的小正方形的个数为5³2－1＝9，第3个图案涂有阴影的小正方形的个数为5³3－2＝13，…，第n 个图案涂有阴影的小正方形的个数为5n －(n －1)＝4n ＋1.故答案为：4n ＋1.【变式拓展】1．C 2.A 3.(1)3a ＋3b (2)0 (3)－5 (4)3 1 4.(1)原式＝2a(2a －b)，将a ＝2，b ＝1代入得12.(2)原式＝2(m 2－m ＋m 2＋m)(m 2－m －m 2－m)＝－8m 3.原式＝(－2m)3，表示3个－2m 相乘的数．(答案不唯一) 5.m(a ＋b ＋c)＝am ＋bm ＋cm6．(1)－4； (2)1－2a ； (3)x ＋1. 7.(1)a ＋6 (2)ab 【热点题型】【分析与解】(1)∵S ＝a ＋12b －1，且S ＝40，∴a ＋12b －1＝40，整理得：b ＝82－2a ； (2)∵a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数，总格点数为200，∴边界上的格点数与多边形内的格点数的和为b＋a＝82－2a＋a＝82－a，∴多边形外的格点数c＝200－(82－a)＝118＋a，∴c－a＝118＋a－a＝118.【错误警示】(1)x3²x5＝x3＋5＝x8；(2)x4²x4＝x4＋4＝x8；(3)(a m＋1)2＝a(m＋1)³2＝a2m＋2；(4)(－2a2b)2＝(－2)2a4b2＝4a4b2；(5)(m－n)6÷(n－m)3＝(n－m)6÷(n－m)3＝(n－m)3.第3讲 因式分解因式分解1．(2015·台州)把多项式2x 2－8分解因式，结果正确的是( ) A ．2(x 2－8) B ．2(x －2)2 C ．2(x ＋2)(x －2) D ．2x(x －4x )2．(2017·台州)因式分解：x 2＋6x ＝____________________. 3．(2017·金华)分解因式：x 2－4＝____________________.4．(2016·绍兴)分解因式：a3－9a＝.【问题】给出三个多项式：12x2＋x－1，12x2＋3x＋1，12x2－x.(1)请你选择其中两个进行加法运算，并把结果分解因式．(2)结合以上解题的体验，回答因式分解有哪些方法，一般步骤怎样？【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理运用多种方法分解因式，其一般顺序是：首先提取公因式，然后再考虑用公式，最后结果一定要分解到不能再分解为止．类型一因式分解的意义例1下列式子从左到右变形是因式分解的是()A．a2＋4a－21＝a(a＋4)－21B．a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7)C．(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21D．a2＋4a－21＝(a＋2)2－25【解后感悟】此题主要考查因式分解的意义，正确把握因式分解的意义是解题关键．1．下面的多项式中，能因式分解的是()A．m2＋n B．m2－m＋1C．m2－n D．m2－2m＋12．(2016·滨州)把多项式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)(x－3)，则a，b的值分别是() A．a＝2，b＝3 B．a＝－2，b＝－3C．a＝－2，b＝3 D．a＝2，b＝－3类型二因式分解的几何性例2如图，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，若将图1的阴影部分拼成一个长方形，如图2，比较图1和图2的阴影部分的面积，你能得到的公式是____________________________．【解后感悟】利用图形的面积来解释代数式的恒等变形，这是数形结合思想的应用，是我们学习过程中，常见的列等量关系的依据．3．利用1个a³a的正方形，1个b³b的正方形和2个a³b的矩形可拼成一个正方形(如图所示)，从而可得到因式分解的公式____________________．类型三因式分解的方法例3分解因式：(1)(2017·绍兴)x2y－y＝__________．(2)(2017·安徽模拟)ax2－6ax＋9a＝________．(3)(x－1)2－9＝________．(4)(2016·荆门)(m＋1)(m－9)＋8m＝________．【解后感悟】多项式分解因式有公因式首先提取公因式，然后再用公式法或其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．第(4)题利用多项式的乘法运算法则展开整理成一般多项式是解题的关键．4．因式分解：(1)(2017·温州)m2＋4m＝____________________.(2)(2015·丽水)9－x2＝____________________．(3)a3－4a＝____________________.(4)(2017·杭州市江干区模拟)a3b－2a2b＋ab＝____________________.(5)(2015·南京)(a－b)(a－4b)＋ab＝____________________．类型四因式分解的应用例4(1)已知a＋b＝2，ab＝1，则a2b＋ab2的值为________；(2)已知x2－2x－3＝0，则2x2－4x的值为________．【解后感悟】此题是因式分解的应用，将所求式子进行适当的变形是解本题的关键．5．(1)(2015·衡阳)已知a ＋b ＝3，a －b ＝－1，则a 2－b 2的值为____________________． (2)(2015·盐城)若2m －n 2＝4，则代数式10＋4m －2n 2的值为____________________． 6．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x 2－4x ＋m 有一个因式是(x ＋3)，求另一个因式以及m 的值． 解：设另一个因式为(x ＋n)，得x 2－4x ＋m ＝(x ＋3)(x ＋n)，则x 2－4x ＋m ＝x 2＋(n ＋3)x＋3n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＋3＝－4m ＝3n .解得：n ＝－7，m ＝－21，∴另一个因式为(x －7)，m 的值为－21.问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x 2＋3x －k 有一个因式是(2x －5)，求另一个因式以及k 的值．【阅读理解题】 阅读下列文字与例题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如：(1)am ＋an ＋bm ＋bn ＝(am ＋bm)＋(an ＋bn)＝m(a ＋b)＋n(a ＋b)＝(a ＋b)(m ＋n)； (2)x 2－y 2－2y －1＝x 2－(y 2＋2y ＋1)＝x 2－(y ＋1)2＝(x ＋y ＋1)(x －y －1)． 试用上述方法分解因式a 2＋2ab ＋ac ＋bc ＋b 2＝________．【方法与对策】(1)当某项正好为公因式时，提取公因式后，该项应为1，不可漏掉；(2)首项系数为负数时，一般公因式的系数取负数，使括号内首项系数为正；(3)公因式也可以是多项式．该题型是中考命题方向．【忽视提系数的最大公约数、分解不彻底】 因式分解：(1)a 3－16a ； (2)4x 2－16y 2.参考答案第3讲 因式分解【考点概要】乘积 m (a ＋b ＋c ) (a ＋b )(a －b ) (a±b )2 提公因式 公式法 【考题体验】1．C 2.x (x ＋6) 3.(x ＋2)(x －2) 4.a (a ＋3)(a －3) 【知识引擎】【解析】(1)(12x 2＋x －1)＋(12x 2＋3x ＋1)＝x 2＋4x ＝x (x ＋4)；(12x 2＋x －1)＋(12x 2－x )＝x 2－1＝(x ＋1)(x －1)；(12x 2＋3x ＋1)＋(12x 2－x )＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2；(2)因式分解的方法：①提公因式法；②公式法．因式分解的步骤：一提、二套、三查．【例题精析】例1 B 例2 a 2－b 2＝(a ＋b)(a －b)． 例3 (1)y(x ＋1)(x －1)；(2)a(x －3)2；(3)(x ＋2)(x －4)；(4)(m ＋3)(m －3)．例4 (1)2；(2)6.【变式拓展】 1．D 2. B3.a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b)24.(1)m(m ＋4) (2)(3＋x)(3－x) (3)a(a ＋2)(a －2) (4)ab(a －1)2(5)(a －2b)25.(1)－3 (2)186.设另一个因式为(x ＋a)，得2x 2＋3x －k ＝(2x －5)(x ＋a)，则2x 2＋3x －k ＝2x 2＋(2a －5)x －5a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a －5＝3－5a ＝－k ，解得：a ＝4，k ＝20，故另一个因式为(x ＋4)，k 的值为20.【热点题型】【分析与解】原式＝(a 2＋2ab ＋b 2)＋(ac ＋bc)＝(a ＋b)2＋c(a ＋b)＝(a ＋b)(a ＋b ＋c)． 【错误警示】(1)a(a ＋4)(a －4)； (2)4(x ＋2y)(x －2y)．第4讲分式及其运算1．分式的概念2.分式的基本性质3.分式的运算1．(2015·丽水)分式－11－x 可变形为( )A ．－1x －1B .11＋xC ．－11＋xD .1x －12．(2016·台州)化简x 2－y 2（y －x ）2的结果是( )A ．－1B ．1C .x ＋y y －xD .x ＋yx －y3．(2017·湖州)要使分式1x －2有意义，x 的取值应满足______________________________． 4．(2017·舟山)若分式2x －4x ＋1的值为0，则x 的值为____________________．5．(2015·湖州)计算：a 2a －b －b 2a －b.【问题】(1)从三个代数式：①a 2－2ab ＋b 2，②3a －3b ，③a 2－b 2中任意选择两个代数式构造成分式，然后进行化简，并求当a ＝6，b ＝3时该分式的值．(2)通过对(1)的解答，你能想到与分式相关的哪些信息．【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理分式概念，以及分式相关的性质，探究分式化简方法．类型一 分式的概念例1 分式2x ＋6x 2－9.(1)若分式有意义，则x 的取值范围是________； (2)若分式的值为0，则x 的值为________； (3)把分式化为最简分式________．【解后感悟】分式有意义，首先求出使分母等于0的字母的值，然后让未知数不等于这些值，便可使分式有意义；分式的值为0的条件是：首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0，当它使分母的值不为0时，这就是所要求的字母的值；化为最简分式是分母、分子因式分解，再约分．1．已知分式x 2－4x －2，若分式无意义，则x 的取值范围是____________________；若分式的值为零，则x ＝____________________.2．(2016·滨州)下列分式中，最简分式是( ) A .x 2－1x 2＋1B .x ＋1x 2－1C .x 2－2xy ＋y 2x 2－xy D .x 2－362x ＋12类型二 分式的约分和通分例2 计算：(1)(2016·淄博)1－4a 22a ＋1＝________；(2)2xx －1＋x ＋11－x ＝________； (3)2x ＋1－x －2x 2－1＝________； (4)1－a －1a －1＝________.【解后感悟】分式化简关键是约分，约分的关键是找公因式，若分子和分母有多项式，先将其因式分解，然后将相同的因式约去即可．分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母．3．(1)(2016·丽水)1a ＋1b 的运算结果正确的是( )A .1a ＋bB .2a ＋b C .a ＋b abD ．a ＋b (2)(2015·绍兴)化简x 2x －1＋11－x 的结果是( )A ．x ＋1B .1x ＋1C ．x －1D .xx －1(3)若a 、b 都是正实数，且1a －1b ＝2a ＋b ，则aba 2－b 2＝____________________.(4)(2016·荆州)当a ＝2＋1，b ＝2－1时，代数式a 2－2ab ＋b 2a 2－b 2的值是 .(5)(2015·台州)先化简，再求值：1a ＋1－a（a ＋1）2，其中a ＝2－1.类型三 分式的运算与求值例3 (1)(2016·内江)化简：⎝⎛⎭⎫a 2a －3＋93－a ÷a ＋3a ＝________.(2)(2015·黄冈)化简：ba 2－b 2÷⎝⎛⎭⎫1－a a ＋b ＝________.(3)(2015·衢州)先化简，再求值：(x 2－9)÷x －3x ，其中x ＝－1.(4)先化简，再求值：⎝⎛⎭⎫x 2x －1－x ＋1÷4x 2－4x ＋11－x ，其中x 满足x 2＋x －2＝0.【解后感悟】(1)解决这类题关键是把握好通分与约分．分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分．(2)熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．化简求值题要将原式化为最简后再代值，从求出x 的两个数中选一个数代入求值，但要注意分式成立的条件．4．(2015·成都)化简：(a a ＋2＋1a 2－4)÷a －1a ＋2.5．先化简，再求值：x 2－4x ＋42x ÷x 2－2xx 2＋1，在0，1，2，三个数中选一个合适的，代入求值．类型四 与分式有关的变形和应用例4 观察下列等式： 第1个等式：a 1＝11³3＝12³(1－13)；第2个等式：a 2＝13³5＝12³(13－15)； 第3个等式：a 3＝15³7＝12³(15－17)； 第4个等式：a 4＝17³9＝12³(17－19)； …请解答下列问题：(1)按以上规律列出第5个等式：a 5＝______＝______；(2)用含有n 的代数式表示第n 个等式：a n ＝________＝________(n 为正整数)； (3)求a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100的值．【解后感悟】本题是数字变化规律，要求首先分析题意，通过观察、分类归纳、抽象出数列的规律，并进行推导得出答案．6．(1)如图，设k ＝甲图中阴影部分面积乙图中阴影部分面积(a ＞b ＞0)，则有( )A ．k ＞2B ．1＜k ＜2C .12＜k ＜1 D ．0＜k ＜12(2)一种商品原来的销售利润率是47%.现在由于进价提高了5%，而售价没变，所以该商品的销售利润率变成了____________________%.【注：销售利润率＝(售价－进价)÷进价】．【探索规律题】(2015·巴中)a 是不为1的数，我们把11－a 称为a 的差倒数，如：2的差倒数为11－2＝－1；－1的差倒数是11－（－1）＝12；已知a 1＝－12，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数．a 4是a 3的差倒数，…依此类推，则a 2015＝________．【方法与对策】此题是找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，找出规律是解题的关键，该题型是中考的热点．【分式的分母不能为零，除数不能为零】 分式x 2－4x 2－x －2的值是0，则x 的值为________．参考答案第4讲 分式及其运算【考点概要】1．字母 2.公因式 基本性质 同分母 【考题体验】1．D 2.D 3.x ≠2 4.2 5.a ＋b. 【知识引擎】【解析】(1)答案不唯一．选取①、②得a 2－2ab ＋b 23a －3b ＝（a －b ）23（a －b ）＝a －b3，当a ＝6，b＝3时，原式＝6－33＝1(有6种情况)． (2)分式概念、运算法则，注意点等．【例题精析】例1 (1)x ≠±3；(2)无解；(3)2x －3. 例2 (1)1－2a ；(2)1；(3)xx 2－1；(4)a 2－2a ＋21－a 例3 (1)a ；(2)1a －b ；(3)原式＝(x ＋3)(x －3)·xx －3＝x(x ＋3)＝x 2＋3x ，当x ＝－1时，原式＝(－1)2＋3³(－1)＝－2；(4)原式＝x 2－（x －1）（x －1）x －1²1－x （2x －1）2＝2x －1x －1²1－x（2x －1）2＝11－2x .由x 2＋x －2＝0，解得x 1＝－2，x 2＝1，∵x ≠1，∴当x ＝－2时，原式＝11－2³（－2）＝15. 例4 (1)19³11，12³(19－111)； (2)1()2n －1³()2n ＋1，12³(12n －1－12n ＋1)．(3)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100＝12³(1－13)＋12³(13－15)＋12³(15－17)＋…＋12³(1199－1201)＝12³⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋15－17＋…＋1199－1201＝12³⎝⎛⎭⎫1－1201＝12³200201＝100201.【变式拓展】 1．x ＝2 －2 2. A3. (1)C (2)A (3)－12(4)22 (5)1（a ＋1）2，12. 4. a －1a －2. 5.x 2.当x ＝1时，原式＝12. 6.(1)B (2)40 【热点题型】【分析与解】a 1＝－12，a 2是a 1的差倒数，即a 2＝11－（－12）＝23，a 3是a 2的差倒数，即a 3＝11－23＝3，a 4是a 3的差倒数，即a 4＝11－3＝－12，…依此类推，∵2015÷3＝671……2，∴a 2015＝a 2＝23.故答案为：23.【错误警示】当x 2－4x 2－x －2＝0时，x 2－4＝0且x 2－x －2≠0，∴x ＝－2.故答案为－2.第5讲二次根式及其运算1．二次根式的有关概念2.二次根式的性质3.二次根式的运算1．(2015·湖州)4的算术平方根是( )A ．±2B ．2C ．－2D . 22．(2017·宁波)要使二次根式x －3有意义，则x 的取值范围是( ) A ．x ≠3 B ．x ＞3 C ．x ≤3 D ．x ≥3 3．(2016·杭州)下列各式变形中，正确的是( ) A ．x 2²x 3＝x 6 B .x 2＝|x|C .⎝⎛⎭⎫x 2－1x ÷x ＝x －1 D ．x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋144．(2017·宁波)实数－8的立方根是____________________．5．(2017·湖州)计算：2³(1－2)＋8.【问题】下列各式已给出计算结果：①8－2＝6； ②（－3）2＝－3；③2³3＝6； ④8÷2＝4 (1)其中正确的是____________； (2)对于错误的结果，请给出正确答案；(3)通过以上的解答，联想二次根式有哪些性质、运算法则？【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理二次根式的性质和运算法则，以及注意的问题．类型一 平方根、算术平方根、立方根例1 (1)(2015·黄冈)9的平方根是( ) A ．±3 B ．±13C ．3 D ．－3(2)(2017·黄冈)16的算术平方根是________． (3)(2016·宁波)实数－27的立方根是________．【解后感悟】一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根；注意算术平方根易与平方根的概念混淆而导致错误；开立方和立方互为逆运算是解题的关键．1．(1)(2016·唐山模拟)下列式子中，计算正确的是( ) A ．－ 3.6＝－0.6 B .（－13）2＝－13 C .36＝±6 D ．－9＝－3(2)如果一个正数的两个平方根为a ＋1和2a －7，则这个数为____________________．类型二 二次根式的有关概念与性质例2 (1)式子2x ＋1x －1有意义的x 的取值范围是________； (2)(2017·邵阳模拟)将45化成最简二次根式是________． (3)计算：（1－2）2＝________.【解后感悟】(1)此类有意义的条件问题主要是根据：①二次根式的被开方数大于或等于零；②分式的分母不为零列不等式组，转化为求不等式组的解集．(2)此题根据二次根式的性质化简，是解本题的关键．2．(1)(2017·荆州)下列根式是最简二次根式的是( ) A .13B .0.3C .3D .20 (2)k 、m 、n 为三个整数，若135＝k 15，450＝15m ，180＝6n ，则下列有关于k 、m 、n 的大小关系，何者正确( )A ．k ＜m ＝nB ．m ＝n ＜kC ．m ＜n ＜kD ．m ＜k ＜n(3)(2016·金华)能够说明“x 2＝x 不成立”的x 的值是____________________(写出一个即可)．(4)若实数a 、b 满足||a ＋2＋b －4＝0，则a 2b＝____________________.(5)若整数x 满足|x|≤3，则使7－x 为整数的x 的值是____________________(只需填一个)．类型三 二次根式的运算与求值例3 (1)(2017·滨州)下列计算：(1)(2)2＝2，(2)（－2）2＝2，(3)(－23)2＝12，(4)(2＋3)(2－3)＝－1，其中结果正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 (2)计算：8－312＋2＝______； (3)化简：3(2－3)－24－|6－3|＝________.【解后感悟】(1)二次根式的加减运算，关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并；(2)二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．3．(1)下列计算正确的是()A．43－33＝1 B.2＋3＝ 5C．212＝2D．3＋22＝5 2(2)算式(6＋10³15)³3之值为()A．242B．125C．1213D．18 24．(1)计算(10－3)2018²(10＋3)2017＝____________________；(2)(2016·聊城)计算：27²83÷12＝.类型四二次根式的大小比较例4已知甲、乙、丙三数，甲＝5＋15，乙＝3＋17，丙＝1＋19，则甲、乙、丙的大小关系，下列何者正确()A．丙＜乙＜甲B．乙＜甲＜丙C．甲＜乙＜丙D．甲＝乙＝丙【解后感悟】比较两个二次根式大小时要注意：(1)负号不能移到根号内；(2)根号外的正因数要平方后才能从根号外移到根号内．5．(1)(2015·河北)在数轴上标注了四段范围，如图，则表示8的点落在()A．段①B．段②C．段③D．段④(2)(2015·杭州)若k＜90＜k＋1(k是整数)，则k＝()A．6 B．7 C．8 D．9(3)(2017·白银)估计5－12与0.5的大小关系是：5－12____________________0.5.(填“＞”、“＝”、“＜”)类型五二次根式的综合型问题例5(1)已知实数x，y满足||x－4＋y－8＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是________．(2)在日常生活中，取款、上网都需要密码，有的人把自己的出生年月作为密码，有的人把生活中的重要数字或自己认为吉利的数字作为密码，这样很容易被知情人窃用．有一种用二次根式法产生的密码，如：对于二次根式121，计算的结果是11，取被开方数和计算结果，再在中间加一个数字0，于是就得到一个六个数字的密码“121011”．对于二次根式0.81，用上述方法产生的密码是________．【解后感悟】常见的非负数有三种形式：|a|，a，a2；若几个非负数的和等于零，则这几个数都为零．6．(1)矩形相邻两边长分别为2，8，则它的周长是____________________，面积是____________________．(2)观察分析下列数据，寻找规律：0，3，6，3，23，…，那么第10个数据应是____________________．(3)若y＝3x－6＋6－3x＋x3，则10x＋2y的平方根为____________________．7．已知x＝3＋1，y＝3－1，求下列各式的值：(1)x2＋2xy＋y2；(2)x2－y2.【探索规律题】如图，以O(0，0)、A(2，0)为顶点作正△OAP1，以点P1和线段P1A的中点B为顶点作正△P1BP2，再以点P2和线段P2B的中点C为顶点作△P2CP3，…，如此继续下去，则第六个正三角形中，不在第五个正三角形上的顶点P6的坐标是________．【方法与对策】根据O(0，0)，A(2，0)为顶点作△OAP1，再以P1和P1A的中点B为顶点作△P1BP2，再以P2和P2B的中点C为顶点作△P2CP3，…，如此继续下去，结合图形求出点P6的坐标．本题由特殊到一般的规律解题是关键，这类题型是中考的热点．【二次根式的化简符号不明确】下列各式中，正确的是()A.（－3）2＝－3B．－32＝－3C.（±3）2＝±3D.32＝±3参考答案第5讲 二次根式及其运算【考点概要】 1．a ≥0 2. ≥0 a －a 3.最简二次根式 相同 abab乘除 【考题体验】 1．B 2. D 3. B 4. －25.原式＝2－22＋22＝2. 【知识引擎】【解析】(1)③； (2)①8－2＝2，②（－3）2＝3，④8÷2＝2； (3)主要从二次根式性质、运算法则方面去思考．【例题精析】例1 (1)A ；(2)4；(3)－3 例2 (1)根据题意得，2x ＋1≥0且x －1≠0，解得x ≥－12且x ≠1.(2)35；(3)2－1. 例3 (1)D ；(2)原式＝22－322＋2＝322，故答案为：322；(3)3(2－3)－24－|6－3|＝6－3－26－(3－6)＝－6.故答案为：－6.例4 ∵3＝9<15<16＝4， ∴8＜5＋15＜9，∴8＜甲＜9.∵4＝16＜17＜25＝5，∴7＜3＋17＜8，∴7＜乙＜8.∵4＝16＜19＜25＝5，∴5＜1＋19＜6，∴5＜丙＜6.∴丙＜乙＜甲．故选A . 例5 (1)由||x －4＋y －8＝0得，x －4＝0，y －8＝0，即x ＝4，y ＝8.若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形．若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4＋8＋8＝20；即等腰三角形的周长是20.(2)0.81＝0.9，所以得到一个六个数字的密码081009.【变式拓展】1．(1)D (2)9 2.(1)C (2)D (3)－1 (4)1(5)－2 3. (1)C (2)D 4.(1)10－3 (2)12 5．(1)C (2)D (3)＞ 6.(1)62 4 (2)33(3)±67.(1)因为x ＝3＋1，y ＝3－1，所以x ＋y ＝23，x －y ＝2.则(1)x 2＋2xy ＋y 2＝(x ＋y)2＝(23)2＝12. (2)x 2－y 2＝(x ＋y)(x －y)＝4 3.【热点题型】【分析与解】每一个正三角形的边长都是上个三角形的边长的12，第六个正三角形的边长是116，故顶点P 6的横坐标是6332，P 5纵坐标是3－34－38＝538，P 6的纵坐标为538＋332＝21332，故答案为：(6332，21332)．【错误警示】（－3）2＝9＝32＝3，选项A 错误；（±3）2＝9＝32＝3，选项C 错误；32＝3，选项D 错误．故选B .。
浙江省中考数学总复习第七章数学思想与开放探索问题课后练习36分类讨论型问题作业本(2021学年)
浙江省２０18年中考数学总复习第七章数学思想与开放探索问题课后练习3６分类讨论型问题作业本编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(浙江省２０１８年中考数学总复习第七章数学思想与开放探索问题课后练习３6 分类讨论型问题作业本)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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课后练习36 分类讨论型问题A组1.若等腰三角形的一个内角为5０°,则其他两个内角为（）A.50°,80°Ｂ．65°，65°C．50°，６5° D.50°，８０°或６5°,65°2．已知线段AＢ=8ｃｍ，在直线ＡB上画线段BＣ,使BＣ＝５cｍ,则线段AＣ的长度为（）A．３cｍ或１3ｃm Ｂ.3cｍＣ.1３cm D．18cm３．在同一坐标系中,正比例函数y＝－3ｘ与反比例函数y＝错误!的图象的交点的个数是( )A.０个或２个Ｂ．1个C．２个 D．3个4．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x,那么x的值( )Ａ．只有1个 B.可以有2个C．可以有3个Ｄ．有无数个5．若⊙Ｏ的弦AB所对的圆心角∠AOB＝60°，则弦AＢ所对的圆周角的度数为( )A．3０°Ｂ.60°C.15０° D．30°或150°6.一次函数ｙ＝kx＋b,当-３≤x≤1时，对应的ｙ值为1≤y≤９,则kb值为（）Ａ．14 B.－6C.-4或２1 D．-6或1４7．（２016·无锡模拟)在△ABＣ中，∠Ｂ=25°，AD是BC边上的高，并且AD2＝BD·ＤC，则∠BCA的度数为。
浙江省中考数学总复习第七章数学思想与开放探索问题第38讲阅读理解型问题讲解篇(2021学年)
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第38讲阅读理解型问题内容特性阅读理解型问题是指通过阅读材料，理解材料中所提供的新方法或新知识,并灵活运用这些新方法或新知识,去分析、解决类似或相关的问题.解题策略解决阅读理解问题的基本思路是“阅读→分析→理解→解决问题",具体做法:①认真阅读材料,把握题意,注意一些数据、关键名词;②全面分析,理解材料所蕴含的基本概念、原理、思想和方法，提取有价值的数学信息；③对有关信息进行归纳、整合，并且和方程、不等式、函数或几何等数学模型结合来解答．基本思想方程思想,类比思想,化归思想;分析法，比较法等．这是解决阅读理解题常用的数学思想方法.类型一应用型：阅读-理解－建模-应用错误! (２015·湖州）如图,已知抛物线C１∶ｙ=a1x2＋ｂ１x+c１和Ｃ2∶y＝a2x２+b2x＋c2都经过原点,顶点分别为Ａ,B,与ｘ轴的另一个交点分别为Ｍ、N，如果点A与点Ｂ,点M与点N都关于原点O成中心对称,则抛物线Ｃ1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C２,使四边形ANBM恰好是矩形,你所写的一对抛物线解析式是__________和__________．【解后感悟】此题通过阅读二次函数的图象与几何变换，用到的知识点是姐妹抛物线的定义、二次函数的图象与性质、矩形的判定，理解构建根据姐妹抛物线的定义得出姐妹抛物线的二次项的系数,一次项系数、常数项之间的关系，利用矩形知识对定义的应用．1.(20１5·孝感)我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形"．如图，四边形ABCD是一个筝形,其中AＢ=CＢ，AＤ＝CＤ.对角线AＣ，BD相交于点O，ＯE⊥AB，OF⊥CB,垂足分别是E,F.求证OE=ＯＦ.类型二猜想型:阅读－理解-归纳－验证错误!（2０1５·衢州)小明在课外学习时遇到这样一个问题:定义:如果二次函数y＝a1ｘ2+b1x+c１(a1≠０，a１,b1，c1是常数）与y＝ａ２x２+b2x＋c2(a2≠0,a2,b2，c２是常数)满足ａ１＋a2＝0,ｂ1＝b2，c１＋c2＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝-ｘ2＋3x-2的“旋转函数".小明是这样思考的:由函数ｙ＝-x2＋3x-2可知，a1＝－１,b1＝3，c1=-2，根据a1+a2=0,b1=ｂ2,c1+c2=0,求出ａ２,b2,c2，就能确定这个函数的“旋转函数”.请参考小明的方法解决下面问题：(１)写出函数y=-x２+3ｘ－２的“旋转函数”；(2)若函数ｙ＝－x2＋＼f(4，3）mｘ－2与y=x2－２nx＋n互为“旋转函数”,求(m+n）2015的值；(3)已知函数ｙ=-错误!(x+1)(x-4)的图象与x轴交于A、B两点,与ｙ轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1，B1,C1,试证明经过点A1，B１,Ｃ1的二次函数与函数y=－错误!(x ＋1)（x-4)互为“旋转函数”.【解后感悟】在仔细阅读后,正确理解新定义,理解其中的内容、方法和思想,阅读特殊范例,归纳验证一般结论．2.（20１5·株洲）Ｐ表示n边形的对角线的交点个数(指落在其内部的交点），如果这些交点都不重合，那么P与ｎ的关系式是:P=错误!·（n2-aｎ＋b)(其中,ａ,ｂ是常数，n≥４)(１）填空：通过画图可得:四边形时,Ｐ＝＿_＿_＿_＿________＿＿__＿（填数字）,五边形时,P=___＿_______＿__＿_____(填数字）;（2）请根据四边形和五边形对角线交点的个数，结合关系式,求a,b的值．（注:本题的多边形均指凸多边形）类型三概括型：阅读－理解－概括-拓展错误!(2０１６·台州)定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形．（1)三等角四边形ＡBCD中,∠A＝∠B＝∠C，求∠A的取值范围；(2)如图,折叠平行四边形纸片DEＢＦ,使顶点Ｅ,F分别落在边ＢE，BＦ上的点A，C处，折痕分别为DG,ＤＨ．求证:四边形AＢＣD是三等角四边形;（３）三等角四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C,若CB=CD=4，则当AD的长为何值时,ＡＢ的长最大,其最大值是多少?并求此时对角线ＡC的长.【解后感悟】本题要对新定义阅读和理解,通过前面问题的解答积累经验,再概括、拓展解决新问题,要注意分类讨论．解题时关键要领会题中所体现的解题方法,运用已有知识深刻理解解题方法的内涵,予以拓展、应用,解决所提问题．3．(20１7·绍兴）定义：有一组邻边相等,并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．（1）如图1，等腰直角四边形AＢＣD，ＡB=ＢC，∠ABＣ=90°,①若AB＝CD=１，AB∥CＤ,求对角线BＤ的长;②若AC⊥BD，求证:AＤ=CＤ;(2）如图2,在矩形ABCD中，AB=5,BC＝9，点P是对角线BD上一点，且BP=2PD,过点P作直线分别交边ＡＤ，BＣ于点E,Ｆ,使四边形AＢFE是等腰直角四边形,求ＡＥ的长．类型四探究型:阅读－理解-尝试－探究例4(2０15·绍兴)如果抛物线y＝ax2＋bx＋c过定点M(1，1）,则称此抛物线为定点抛物线.（1）张老师在投影屏幕上出示了一个题目:请你写出一条定点抛物线的一个解析式.小敏写出了一个答案:ｙ＝2x2+3x－4,请你写出一个不同于小敏的答案;(2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题:已知定点抛物线y=-x2＋２bx+c＋１,求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答.【解后感悟】此题是二次函数的知识基础上的新定义题,题目较新颖，解答本题的关键是仔细审题,理解题意所给的信息，尝试、探究新问题：抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式,即要构建一个函数，顶点纵坐标为y=（b-1)２＋1来解决问题.4．（201５·自贡）观察下表序号1２3图形我们把某格中字母和所得的多项式称为特征多项式,例如第1格的“特征多项式”为4x＋y,回答下列问题:(1)第3格的“特征多项式”为____＿_＿_____＿＿＿＿＿＿＿_，第4格的“特征多项式”为＿__＿__＿_________＿___,第ｎ格的“特征多项式”为_＿＿__＿＿＿__＿_＿__＿＿_＿_；(2)若第１格的“特征多项式"的值为－１0,第2格的“特征多项式”的值为-1６，①求x,y的值;②在此条件下，第ｎ格的特征多项式是否有最小值？若有,求出最小值和相应的n值，若没有,说明理由．【阅读理解题】已知坐标平面上的线段AB及点P,任取AB上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点Ｐ到线段AB的距离，记作ｄ（P→ＡＢ)．(1）如图所示,已知长度为2个单位的线段MN在x轴上，M点的坐标为(1,0），求点Ｐ(1，1)到线段MN的距离d(P→MN);(2）已知坐标平面上点G到线段DE:y=ｘ(0≤x≤3）的距离d（G→DＥ)=2，且点Ｇ的横坐标为1,试求点G的纵坐标.【方法与对策】此题属于一次函数的综合题,运用了点到直线的距离、等腰直角三角形的性质、待定系数法求一次函数的解析式等知识.注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．重视这种题型,该题型通过定义,使学生了解概念，再通过第(1)题解答，有更深入的感受来解答第(２)题.这是中考命题方向.【对材料的理解不正确,而造成解题错误】阅读下列材料,然后解答下面的问题：我们知道方程2ｘ+3y＝12有无数组解,但在实际生活中，我们往往只需要求出其正整数解，例:由2x+3y＝12,得y=错误!＝4－错误!x(x、y为正整数)，而错误!则有０<x〈6，又y＝４-错误!x为正整数，则23ｘ为正整数，由2与3互质,可知x为3的倍数，从而ｘ=3，则y=4-错误!ｘ＝２。
2018年中考数学总复习第七章数学思想与开放探索问题课后练习36分类讨论型问题作业本
课后练习36 分类讨论型问题A 组1．若等腰三角形的一个内角为50°，则其他两个内角为( )A ．50°，80°B ．65°，65°C ．50°，65°D ．50°，80°或65°，65°2．已知线段AB ＝8cm ，在直线AB 上画线段BC ，使BC ＝5cm ，则线段AC 的长度为( )A ．3cm 或13cmB ．3cmC ．13cmD ．18cm3．在同一坐标系中，正比例函数y ＝－3x 与反比例函数y ＝k x的图象的交点的个数是( )A ．0个或2个B ．1个C ．2个D ．3个4．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x ，那么x 的值( )A ．只有1个B ．可以有2个C ．可以有3个D ．有无数个5．若⊙O 的弦AB 所对的圆心角∠AOB ＝60°，则弦AB 所对的圆周角的度数为( )A ．30°B ．60°C ．150°D ．30°或150°6．一次函数y ＝kx ＋b ，当－3≤x ≤1时，对应的y 值为1≤y ≤9，则kb 值为( )A ．14B ．－6C ．－4或21D ．－6或147．(2016·无锡模拟)在△ABC 中，∠B ＝25°，AD 是BC 边上的高，并且AD 2＝BD ·DC ，则∠BCA 的度数为.8．(2017·无锡模拟)在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点．例如，图中过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，与坐标轴围成矩形OAPB 的周长与面积相等，则点P 是和谐点．(1)判断点M (1，2)，N (4，4)是否为和谐点，并说明理由；(2)若和谐点P (a ，3)在直线y ＝－x ＋b (b 为常数)上，求点a ，b 的值．第8题图B 组9．如图，已知函数y ＝2x 和函数y ＝k x的图象交于A 、B 两点，过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，若△AOE 的面积为4，P 是坐标平面上的点，且以点B 、O 、E 、P 为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的P 点坐标是.第9题图10．(2016·泰州模拟)如图，点A 、B 在直线l 上，AB ＝10cm ，⊙B 的半径为1cm ，点C 在直线l 上，过点C 作直线CD 且∠DCB ＝30°，直线CD 从A 点出发以每秒4cm 的速度自左向右平行运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r (cm)与时间t (秒)之间的关系式为r ＝1＋t (t ≥0)，当直线CD 出发秒直线CD 恰好与⊙B 相切．第10题图11．如图，点P 是反比例函数y ＝43x (x ＞0)图象上的动点，在y 轴上取点Q ，使得以P ，O ，Q 为顶点的三角形是一个含有30°角的直角三角形，则符合条件的点Q 的坐标是________________________________________________________________________．第11题图12．(2017·绍兴市上虞区模拟)如图，正方形ABCD 的边长为3cm ，E 为CD 边上一点，∠DAE ＝30°，M 为AE 的中点，过点M 作直线分别与AD 、BC 相交于点P 、Q .若PQ ＝AE ，则AP 等于____________________cm.。
2018年浙江中考数学复习难题突破专题一：规律归纳探索问题.doc
则2017在第行.（2）可知第/?行中最大的数是，〃=44时，最大数为;77=45 时，•因此2017在第g)难题突破专题一规律归纳探索问题近年来有关规律探索性题H 在浙江省初中数学考试题中频繁出现，这类题H 要求学生能根据给出的一组具有某种 特定关系的数、式、图形或与图形有关的操作、变化过程，通过观察、分析、推理，探究其中所蕴含的规律，进而归 纳或猜想出■•般性的结论.有利于促进学生对数学知识和数学方法的巩固和掌握，也有利于学生思维能力的提高和自 主探索、创新精神的培养.规律探究题一般分为数字规律题、数式规律题、图形规律题等.类型1数字规律熨1 2017 -淮安将从1开始的连续自然数按以下规律排列:®例题分层分析（1）观察发现，前5行中最大的数分别为®解题方法点析解决数字规律问题的突破口在于寻找隐含在图形或式子中的规律，数的规律主要有倍数关系、等差关系、等比关 系等.类型2数式规律最2我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是…例.如图Z1-2,这个三角形的构造 法则：两腰上的数都是1,其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了 3+5）〃（〃为正整数）的展开式（按a 的次数 由大到小的顺序排列）的系数规律.例如，在三角形中第三行的三个数1, 2, 1,恰好对应（打+〃2=疽+2》力+£展开式 中的系数；第四行的四个数1, 3, 3, 1,恰好对应S+Q3展开式中的系数等.（1）根据上面的规律，写出3+力尸的展开式;(2) 利用上面的规律计算:25-5X24+10X23-10X22+5X2-l.®例题分层分析⑴你能写出（a+/^, 3+/沪，（3+^）3, 3+力）4的展开式吗?⑵25-5X24+10X23-10X22+5X2-1和（a+力尸，（a+矿，（a+»,（》+力）\ （a+矿中哪个的展开式比较类似？此时a 等于什么？力等于什么？第一行 第二行 21 34 第三行 9 8 7 65 第四行 111 12 13 14 15 16 第五行25 2423 222120 19 18图勿一 1173(白+如(a+b)2A O务A O 图 Z1-3ABy图勿一4第1个图形 第2个图第3个图®解题方法点析数式规律要关注中学阶段所学的一些重要公式，此类问题主要考查学生的观察、分析、逻辑推理能力，读憧题意 并根据所给的式子寻找规律是快速解题的关键.类型3图形规律匡＞3 [2017 -衢州]如图21-3,正△时。
浙江省中考数学总复习 第七章 数学思想与开放探索问题
课后练习41 课本题改编型问题A组1．让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域，则两个数的和是2的倍数或3的倍数的概率等于( )A.316B.38C.58D.1316第1题图第2题图2．(2017·杭州市萧山区模拟)已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面积为( )A．12πcm2 B．15πcm2C．24πcm2 D．30πcm23．(2015·衢州)如图，在▱ABCD中，已知AD＝12cm，AB＝8cm，AE平分∠BAD交BC于点E，则CE的长等于( )A．8cm B．6cmC． 4cm D．2cm第3题图第4题图4．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则△ABC与△DCA 的面积比为( )A．2∶3 B．2∶5C．4∶9 D.2∶ 35．(2017·绍兴模拟)将一张正方形纸片，按如图步骤①，②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是( )第5题图6．(2017·金华模拟)设计师以y＝2x2－4x＋8的图形为灵感设计杯子如图所示，若AB ＝4，DE＝3，则杯子的高CE＝( )A．17 B．11 C．8 D． 7第6题图7．(2015·嘉兴)如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AB，BC上，AF＝DE，AF和DE 相交于点G.第7题图(1)观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角；(2)选择图中与∠AED相等的任意一个角，并加以证明．8．作为宁波市政府民生实事之一的公共自行车建设工作已基本完成，某部门对今年4月份中的7天进行了公共自行车日租车量的统计，结果如图：第8题图(1)求这7天日租车量的众数、中位数和平均数；(2)用(1)中的平均数估计4月份(30天)共租车多少万车次；(3)市政府在公共自行车建设项目中共投入9600万元，估计2017年共租车3200万车次，每车次平均收入租车费0.1元，求2017年租车费收入占总投入的百分率(精确到0.1%)．9．已知：如图，斜坡BQ坡度为i＝1∶2.4(即为QC与BC的长度之比)，在斜坡BQ上有一棵香樟树PQ，柳明在A处测得树顶点P的仰角为α，并且测得水平的AB＝8米，另外BQ＝13米，tanα＝0.75.点A、B、P、Q在同一平面上，PQ⊥AB于点C.求香樟树PQ的高度．第9题图B组10．(2015·河北)如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1.按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n ＝.第10题图11．(2016·金华)如图1表示同一时刻的韩国首尔时间和北京时间，两地时差为整数．(1)设北京时间为x(时)，首尔时间为y(时)，就0≤x≤12，求y关于x的函数表达式，并填写下表(同一时刻的两地时间)；(2)如图2表示同一时刻的英国伦敦时间(夏时制)和北京时间，两地时差为整数．如果现在伦敦(夏时制)时间为7∶30，那么此时韩国首尔时间是多少？第11题图12．如图是某公园的一滑梯，扶梯AB的坡比为1∶0.8，滑梯CD的坡角∠FDC＝35°，AE＝2.4m，BC＝1m.(1)求扶梯AB的高BE；(2)一男孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，经过的总路程是多少米？(结果精确到0.01m)备用数据：14.76≈3.8419，sin35°≈0.5736，cos35°≈0.8192，tan35°≈0.7002.第12题图C 组13．(2017·杭州)如图，在锐角三角形ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F ，∠EAF ＝∠GAC .(1)求证：△ADE ∽△ABC ；(2)若AD ＝3，AB ＝5，求AF AG的值．第13题图参考答案课后练习41 课本题改编型问题A 组1．C 2.B 3.C 4.C 5.B 6.B7．(1)与∠AED 相等的角有∠DAG ，∠AFB ，∠CDE .(2)选择∠AED ＝∠AFB ：正方形ABCD 中，∠DAB ＝∠B ＝90°，AD ＝AB ，又∵AF ＝DE ，∴△ADE ≌△BAF (HL )．∴∠AED ＝∠AFB .8．(1)众数为8万车次；中位数为8万车次；平均数为8.5万车次； (2)30×8.5＝255(万车次)；(3)3.3%. 9．10米B 组10．911．(1)从图1看出，同一时刻，首尔时间比北京时间多1小时，故y 关于x 的函数表达式是y ＝x ＋1.(2)从图2看出，7)时，由第(1)题，韩国首尔时间为(t ＋8)时，所以，当伦敦(夏时制)时间为7∶30，韩国首尔时间为15∶30.12．(1)∵BEAE＝1∶0.8，AE ＝2.4m ，∴BE ＝3m ，即高BE ＝3m. (2)∵AE ＝2.4m ，BE ＝3m ，∴AB ＝ 2.42＋32＝14.76m ，在Rt △CFD 中，sin ∠CDF ＝CF CD ＝3CD，∴CD ＝3sin35°.∴总路程为：AB ＋BC ＋CD ＝14.76＋1＋3sin35°≈10.07m.C 组13．(1)∵AG ⊥BC ，AF ⊥DE ，∴∠AFE ＝∠AGC ＝90°，∵∠EAF ＝∠GAC ，∴∠AED ＝∠ACB ，∵∠EAD ＝∠BAC ，∴△ADE ∽△ABC ； (2)由(1)可知：△ADE ∽△ABC ，∴AD AB ＝AE AC ＝35，由(1)可知：∠AFE ＝∠AGC ＝90°，∠EAF ＝∠GAC ，∴△EAF ∽△CAG ，∴AF AG ＝AE AC ，∴AF AG ＝35.。
浙江省中考数学总复习第七章数学思想与开放探索问题课后练习38阅读理解型问题作业本(2021学年)
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课后练习３8 阅读理解型问题A组1.若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变,则称这个代数式为完全对称式,如a＋b+c就是完全对称式.下列三个代数式：①（a-b）2；②ab+bc+ｃa；③a2ｂ＋b２c+c２a．其中是完全对称式的是( )A．①②Ｂ．①③C．②③D．①②③2.如果三角形满足一个角是另一个角的３倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是( )A.1,2,3B.1，1，错误!C.1,１,错误!D．1，2,错误!3.对点（x，y)的一次操作变换记为P1(x，ｙ),定义其变换法则如下：P1（ｘ，y)＝（x+y，x－y)；且规定P n(x，y)=Ｐ（Ｐn－1(ｘ，y))(ｎ为大于1的整数)．如P1(１，２)＝（3，-１),P2(1，12)=P1（P1（1,2））＝P1(3,-１)=（2,4），P3(1，2)=P1(P２(1,2)）=P1(2,4)=(6，－2）．则P2０1７(1,－1）=( ）Ａ.（0，2１０08） B．（0,－２100８）C．（0,-２1０0９) D.(0，210０9)4.张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论,推导出“式子x+错误!（ｘ＞０)的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为ｘ,则另一边长是错误!，矩形的周长是２(x+错误!)；当矩形成为正方形时，就有ｘ=＼f(1，x)(x>0），解得x=1，这时矩形的周长2(x+错误!)=4最小,因此x+错误!(x>0)的最小值是2。
浙江省2018年中考数学总复习阶段检测12 开放探索问题
阶段检测12 开放探索问题一、选择题(本大题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各小题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分)1．甲、乙两支同样的温度计如图所示放置，如果向左平移甲温度计，使其度数20正对着乙温度计的度数－10，那么此时甲温度计的度数－5正对着乙温度计的度数是( )A ．5B ．15C ．25D ．30第1题图 第2题图 第3题图2．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60°的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为( )A ．15°或30°B ．30°或45°C ．45°或60°D ．30°或60°3．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD 是一个筝形，其中AD ＝CD ，AB ＝CB ，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC ⊥BD ；②AO ＝CO ＝12AC ；③△ABD ≌△CBD ，其中正确的结论有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个4．对于反比例函数y ＝k x，如果当－2≤x ≤－1时有最大值y ＝4，则当x ≥8时，有( ) A ．最小值y ＝－12 B ．最小值y ＝－1 C ．最大值y ＝－12D ．最大值y ＝－1 5．如图，以矩形ABCD 的A 为圆心，AD 长为半径画弧，交AB 于F 点；再以C 为圆心，CD 长为半径画弧，交AB 于E 点．若AD ＝5，CD ＝173，则EF 的长度为何？( ) A ．2 B ．3 C.23 D.73第5题图 第6题图 第7题图 第8题图6．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 的中点，则PM 的最小值为( )A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．2.47．甲、乙两车从A 城出发匀速行驶至B 城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A 城的距离y (千米)与甲车行驶的时间t (小时)之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A ，B 两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距50千米时，t ＝54或154. 其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．如图，△ABC 与△A′B′C′都是等腰三角形，且AB ＝AC ＝5，A ′B ′＝A′C′＝3，若∠B ＋∠B′＝90°，则△ABC 与△A′B′C′的面积比为( )A ．25∶9B ．5∶3C .5∶ 3D ．55∶339．我区A ，B ，C ，D ，E 五校学生足球队参加区级足球邀请赛，五位同学对比赛结果进行了预测，每人预测两个名次如下：甲预测：B 校第2名，A 校第3名； 乙预测：D 校第2名，E 校第4名；丙预测：E 校第1名，C 校第5名； 丁预测：D 校第3名，C 校第4名；戊预测：A 校第2名，B 校第5名．结果表明每人都恰好猜对了一个名次，并且每一个名次都有一人猜对．则实际比赛各校足球队的名次为( )A.B.C.D.10．如图，CB ＝CA ，∠ACB ＝90°，点D 在边BC 上(与B 、C 不重合)，四边形ADEF 为正方形，过点F 作FG ⊥CA ，交CA 的延长线于点G ，连结FB ，交DE 于点Q ，给出以下结论：第10题图①AC ＝FG ；②S △FAB ∶S 四边形CBFG ＝1∶2；③∠ABC ＝∠ABF ；④AD 2＝FQ·AC ， 其中正确的结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题(本大题有6小题，每小题5分，共30分)11．如图1，折线段AOB 将面积为S 的⊙O 分成两个扇形，大扇形、小扇形的面积分别为S 1、S 2，若S 1S ＝S 2S 1＝0.618，则称分成的小扇形为“黄金扇形”，生活中的折扇(如图2)，大致是“黄金扇形”，则“黄金扇形”的圆心角约为 °.(精确到0.1)第11题图 第12题图 第13题图12．在平面直角坐标系中，▱OABC 的边OC 落在x 轴的正半轴上，且点C (4，0)，B (6，2)，直线y ＝2x ＋1以每秒1个单位的速度向下平移，经过 秒该直线可将▱OABC 的面积平分．13．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，点D 是斜边上的中点，点P 在AB 上，PE ⊥BD 于E ，PF ⊥AC 于F ，若AB ＝6，BC ＝3，则PE ＋PF ＝ .14．在平面直角坐标系中，有三条直线l 1，l 2，l 3，它们的函数解析式分别是y ＝x ，y ＝x ＋1，y ＝x ＋2.在这三条直线上各有一个动点，依次为A ，B ，C ，它们的横坐标分别为a ，b，c，则当a，b，c满足条件时，这三点不能构成△ABC.15．如图1是一个封闭的勾股水箱，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分是可盛水的正方形，且相互连通，已知∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4.开始时Ⅲ刚好盛满水，而Ⅰ，Ⅱ无水．(1)如图2摆放时，Ⅰ刚好盛满水，而Ⅱ无水，则Ⅲ中有水部分的面积为；(2)如图3摆放时，水面刚好经过Ⅲ的中心O，则Ⅱ中有水部分的面积为.第15题图16．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3，BO＝1，AB的垂直平分线交AB于点E，交射线BO于点F.点P从点A出发沿射线AO以每秒23个单位的速度运动，同时点Q从点O出发沿OB方向以每秒1个单位的速度运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动的时间为t秒．第16题图(1)当t＝时，PQ∥EF；(2)若P、Q关于点O的对称点分别为P′、Q′，当线段P′Q′与线段EF有公共点时，t 的取值范围是.三、解答题(本大题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22、23题每题12分，第24题14分，共80分)17．小航在正方形网格的格点上，用9粒围棋子摆成如图1所示图形．现请你去掉4颗棋子，使剩下的5颗棋子具有如下性质(去掉的棋子用“⊗”表示，即在棋子上加一个×)．(1)是轴对称图形但不是中心对称图形(在图2上作答)；(2)是中心对称图形但不是轴对称图形(在图3上作答)．第17题图18．如图，以△ABC 的一边AB 为直径的半圆与其他两边AC ，BC 的交点分别为D ，E ，且DE ︵＝BE ︵.(1)试判断△ABC 的形状，并说明理由；(2)已知半圆的半径为5，BC ＝12，求cos ∠BAD 的值．第18题图19．数学老师布置了这样一个问题：如果α，β都为锐角，且tan α＝13，tan β＝12，求α＋β的度数． 甲，乙两位同学想利用正方形网格构图来解决问题，他们分别设计了图1和图2.(1)请你分别利用图1，图2，求出α＋β的度数，并说明理由；第19题图(2)请参考以上思考问题的方法，选择一种方法解决下面问题：如果α，β都为锐角，当tan α＝5，tan β＝23时，在图3的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON ，使得∠MON ＝α－β，求出α－β的度数，并说明理由．20．如图，矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，动点P 从点A 出发，在AC 上以每秒5cm 的速度向点C 匀速运动，同时动点Q 从点D 出发，在DA 边上以每秒4cm 的速度向点A 匀速运动，运动时间为t 秒(0<t<2)，连结PQ.第20题图(1)若△APQ 与△ADC 相似，求t 的值；(2)连结CQ ，DP ，若CQ ⊥DP ，求t 的值；(3)连结BQ ，PD ，请问BQ 能和PD 平行吗？若能，求出t 的值；若不能，说明理由．21．如图1是一架菱形风筝，它的骨架由如图2的4条竹棒AC ，BD ，EF ，GH 组成，其中E ，F ，G ，H 分别是菱形ABCD 四边的中点，现有一根长为80cm 的竹棒，正好锯成风筝的四条骨架，设BD ＝xcm ，菱形ABCD 的面积为ycm 2.第21题图(1)写出y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；(2)如图3，在所给的直角坐标系中画出(1)中的函数图象；(3)为了使风筝在空中有较好的稳定性，骨架AC 长度必须大于骨架BD 长度且小于BD 长度的两倍，现已知菱形ABCD 的面积为375cm 2，则骨架BD 和AC 的长为多少？22．我们定义：有两边长度满足二倍关系的三角形叫做“倍长三角形”．第22题图(1)概念理解请你根据上述定义画一个倍长三角形，并注明相关数据；(2)问题探究如图1，等腰△ABC 是倍长三角形，点D 为AC 边上一动点，当DC ＝13AD 时，求证：△ABD 是倍长三角形；(3)应用拓展如图2，△ABC 为倍长三角形，∠ACB ＝120°，AC ＞BC ，BC ＝2，过点B 作CB 的垂线交∠ACB 的平分线于点D ，连结AD ，求AD 2的值．23．如图1，△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形，∠BAC ＝∠EAD ＝90°，点B 在线段AE 上，点C 在线段AD 上．(1)请直接写出线段BE 与线段CD 的关系： ；(2)如图2，将图1中的△ABC 绕点A 顺时针旋转角α(0°＜α＜360°)，①(1)中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；②当AC ＝12ED 时，探究在△ABC 旋转的过程中，是否存在这样的角α，使以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角α的度数；若不存在，请说明理由．第23题图24．如图，点O 为坐标原点，直线l ：y ＝kx ＋2(k ＜0)与x 轴、y 轴分别交于点G (m ，0)，点C (0，2)，B 是直线l 上的一点，且点A (2，0)．第24题图(1)若∠GCA ＝15°，m ＞2，求直线l 的解析式；(2)若AB ⊥BC ，AB ＝1，求m 的值；(3)若点B 在第一象限，且AB ＝AO ，△OBC 是等腰三角形．直接写出点B 的坐标．参考答案阶段检测12 开放探索问题一、1—5.BDDAA 6—10.ABACD二、11.137.5 12.6 13.65514.a ＋c ＝2b 15．(1)16 (2)72 16.(1)35 (2)23≤t ≤1 三、17.(1)略； (2)略．18．(1)连结AE ，∵DE ︵＝BE ︵，∴∠DAE ＝∠BAE.∵AB 为直径，∴∠AEB ＝90°.即∠AEB＝∠AEC ＝90°.∴∠ABC ＝∠C ，∴△ABC 为等腰三角形． (2)由(1)知AE ⊥BC.E 为BC中点，∴BE ＝12BC ＝12×12＝6.∵AB ＝10.∴AE ＝102－62＝8.∵BC·AE ＝AC·BD.∴BD ＝BC ·AE AC .∵∠ABC ＝∠C ，∴AC ＝AB ＝10.∴BD ＝12×810＝485.∴AD ＝102－⎝⎛⎭⎫4852＝145.∴cos ∠BAD ＝AD AB ＝14510＝725. 19．(1)如图1，α＋β＝45°.理由如下：连结BC ，则BC ＝AC ＝ 5.∵△AGC ≌△CFB.∴∠ACG ＝∠CBF.∵∠CBF ＋∠BCF ＝90°.∴∠ACG ＋∠BCF ＝90°.∴∠ACB ＝90°，∴△ACB 为等腰直角三角形，∴∠BAC ＝α＋β＝45°.如图2，α＋β＝45°.理由如下．如图2，连结AF ，BE ，则AF ＝2，FB ＝2，AB ＝10，CE ＝1，BE ＝2，BC ＝ 5.∴CE AF ＝BE FB ＝BC AB.∴△CEB ∽△AFB ，∴∠FAB ＝∠BCD ＝β，∵∠FAC ＝45°，∴α＋β＝45°.(2)如图3，∠MOC ＝α，∠NOC ＝β，∴∠MON ＝α－β.连结MN ，则MN ＝22＋32＝13.NO ＝22＋32＝13.∴MN ＝ON.∵△MDN ≌△NCO ，∴∠DMN ＝∠ONC.∵∠MND ＋∠NMD ＝90°，∴∠MND ＋∠ONC ＝90°，即∠MNO ＝90°，∴△MNO 为等腰直角三角形，∴∠MON ＝45°，即α－β＝45°.第19题图20.(1)①△APQ ∽△ADC 时，有AP AD ＝AQ AC.∵AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，∴AC ＝10cm .由题意得：AP ＝5t cm ，AD ＝8cm ，AQ ＝(8－4t)cm ，∴5t 8＝8－4t 10，∴t ＝3241；②△APQ ∽△ACD 时，有AP AC ＝AQ AD ，则5t 10＝8－4t 8，∴t ＝1.∴若△APQ 与△ADC 相似，则t ＝1或t ＝3241.(2)如图，过P 作PE ⊥AD.∵△APE ∽△ACD.∴AP ＝5t ，AE ＝4t ，PE ＝3t ，则ED ＝8－4t.∵CQ ⊥PD ，∠ADC ＝90°.∴∠EDP ＋∠PDC ＝90°，∠PDC ＋∠DCQ ＝90°，∴∠EDP ＝∠DCQ.∵∠PED ＝∠ADC ＝90°，∴△PED ∽△QDC ，∴PE QD ＝ED DC .∴3t 4t ＝8－4t 6，∴t ＝78.∴若CQ ⊥PD ，则t ＝78. (3)如图，若BQ ∥PD ，则可证△AGB ≌△CPD ，∵PC ＝10－5t ，∴AG ＝10－5t ，∵QB ∥PD ，∴△AGQ ∽△APD ，∴AG AP ＝AQ AD ，即10－5t 5t ＝8－4t 8，得(t －2)2＝0，t ＝2.这与0<t<2矛盾．∴BQ 不能和PD 平行．第20题图 21.(1)∵E ，F 为AB ，AD 中点，∴EF ＝12BD ＝12x ，同理GH ＝12BD ＝12x.∵四边形ABCD 是菱形，∴y ＝12x(80－2x)＝－x 2＋40x ，∴自变量x 的取值范围是：0<x<40. (2)如图所示． (3)y ＝－(x －20)2＋400＝375，∴(x －20)2＝25，解得x ＝25或x ＝15.∵AC 长度必须大于BD 长度且小于BD 长度的两倍，∴x ＝25，即BD ＝25cm ，AC ＝30cm .第21题图22．(1)答案不唯一，只要满足二倍关系即可． (2)∵等腰△ABC 是倍长三角形，∴AB＝AC ＝2BC ，∵DC ＝13AD ，∴DC BC ＝BC AC ＝12，∠C ＝∠C ，∴△DCB ∽△BCA ，∴BD AB ＝12，∴△ABD 是倍长三角形． (3)∵∠ACB ＝120°，∴AB ＞AC ＞BC ，需讨论①AC ＝2BC ；②AB ＝2BC ；③AB ＝2AC.①AC ＝2BC ＝4，如图1，作DE ⊥AC 于点E ，易证△ECD ≌△BCD ，∴CE ＝CB ＝2，∠ECD ＝∠BCD ＝60°，∴易得△ADC 为等边三角形，即AD ＝4，AD 2＝16.②AB ＝2BC ＝4，如图2，作DE ⊥AC 于点E ，BF ⊥AC 于点F ，易证△ECD ≌△BCD ，∴CE ＝CB ＝2，∠ECD ＝∠BCD ＝60°，∴DE ＝23，在直角△BCF 中，CF ＝1，BF ＝3，在直角△ABF 中，AB 2＝BF 2＋AF 2，解得AF ＝13.∴AE ＝13－3，在直角△AED 中，AD 2＝AE 2＋DE 2＝(13－3)2＋(23)2＝34－613.③AB ＝2AC.∵AB ＞AC ＞BC ，∴AC ＋BC ＜2AC ，即AC ＋BC ＜AB ，∴不符合题意，舍去，∴AD 2＝16或34－613.第22题图23．(1)BE ＝CD (2)①成立，理由如下：∵△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形，∠BAC ＝∠EAD ＝90°，∴AB ＝AC ，AE ＝AD ，由旋转的性质可得∠BAE ＝∠CAD ，在△BAE 与△CAD 中，∵AB ＝AC ，∠BAE ＝∠CAD ，AE ＝AD ，∴△BAE ≌△CAD(SAS)，∴BE ＝CD ； ②存在，α＝45°或225°.∵以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形是平行四边形，∴∠ABC ＝∠ADC ＝45°，∵AC ＝12ED ，∴∠CAD ＝45°，或360°－90°－45°＝225°，∴角α的度数是45°或225°.第23题图24．(1)∵∠GCA ＝15°，m ＞2，∴∠GCO ＝60°，Rt △GOC 中，CO ＝2，∴OG ＝23，∴G(23，0)，∴k ＝－33，∴y ＝－33x ＋2. (2)①m ＞2时，如图1，Rt △GOC ∽Rt △GBA ，∵AB ＝1，OC ＝2，AG ＝m －2，∴4＋m 2＝(2m －4)2，∴3m 2－16m ＋12＝0，∴3(m －83)2＝283，∴m ＝8±273，∴m ＝8＋273(m ＞2)；②0<m ＜2时，如图2，同理m ＝8－273.∴m ＝8＋273或m ＝8－273. (3)B 1(1，3)，B 2(2－3，1)，B 3(2＋3，1)第24题图。
浙江省中考数学总复习第七章数学思想与开放探索问题第39讲开放与探索型问题讲解篇(2021学年)
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第3９讲开放与探索型问题内容特性所谓开放题,即为答案不唯一的问题，其主要特征是答案的多样性和多层次性．解题策略从总体上看，解开放型题时，通过观察、比较、分析、综合及猜想，应尽可能地放开思维,大胆猜想，仔细论证,充分运用已学过的数学知识和数学方法,经过归纳、类比、联想等推理的手段,得出正确的结论．从方法上看,一般以分类讨论及反演推理等方法较为常见.基本方法（1）条件开放型问题:从结论出发,执果索因，逆向推理，逐步探求结论成立的条件或把可能产生结论的条件一一列出,逐个分析;(2)结论开放型问题：从剖析题意入手,充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想类比、猜测等，从而获得所求的结论；(3）条件和结论都开放型：此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，需将已知的信息集中进行分析，探索问题成立所必须具备的条件或特定的条件应该有什么结论，通过这一思维活动得出事物内在联系,从而把握事物的整体性和一般性。
类型一条件开放与探索型问题错误! (1)四边形ＡＢＣD中,对角线AC、BD相交于点O,给出下列四个条件:①AD∥BC；②AD＝BC;③OA=OC;④OＢ＝ＯD从中任选两个条件，能使四边形AＢＣD为平行四边形的选法有( )A.３种Ｂ．4种C．５种D.6种【解后感悟】判断一个四边形是平行四边形的基本依据是：平行四边形的定义及其判定定理.解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍,运用发散思维，多方思考,探究问题在不同条件下的结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件．（2）（2０1６·河北)如图，∠AOB=12０°，OP平分∠AOB，且OP=2。
2018年中考数学总复习第七章数学思想与开放探索问题课后练习39开放与探索型问题作业本
课后练习39 开放与探索型问题A 组1．(2015·丽水)平面直角坐标系中，过点(－2，3)的直线l 经过一、二、三象限，若点(0，a )，(－1，b )，(c ，－1)都在直线l 上，则下列判断正确的是( )A ．a ＜bB ．a ＜3C ．b ＜3D ．c ＜－22．(2016·河北)点A ，B 在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a 和b .对于以下结论：第2题图甲：b －a <0；乙：a ＋b >0；丙：|a |<|b |；丁：b a>0.其中正确的是( )A ．甲乙B ．丙丁C ．甲丙D ．乙丁3．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，∠ACB ＝40°，点P 在边BC 上，则∠PAB 的度数可能为(写出一个符合条件的度数即可)．第3题图4．(2015·绍兴)在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD 的边均平行于坐标轴，A 点的坐标为(a ，a )．如图，若曲线y ＝3x(x >0)与此正方形的边有交点，则a 的取值范围是.第4题图5．(2015·宁波)在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若多边形的各顶点都在方格纸的格点(横竖格子线的交错点)上，这样的多边形称为格点多边形．记格点多边形内的格点数为a ，边界上的格点数为b ，则格点多边形的面积可表示为S ＝ma ＋nb －1，其中m ，n 为常数．(1)在下面的方格纸中各画出一个面积为6的格点多边形，依次为三角形、平行四边形(非菱形)、菱形；(2)利用(1)中的格点多边形确定m ，n 的值．第5题图6．(2015·荆州)如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于F.(1)证明：PC＝PE；(2)求∠CPE的度数；(3)如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连结CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．第6题图B组7．(2017·衢州)问题背景：如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE＝∠ABF＝∠BCG＝∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．类比探究：如图2，在正△ABC的内部，作∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点(D，E，F三点不重合)．。
浙江省中考数学总复习第七章数学思想与开放探索问题第41讲课本题改编型问题讲解篇(2021学年)
浙江省20１8年中考数学总复习第七章数学思想与开放探索问题第4１讲课本题改编型问题讲解篇编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(浙江省2018年中考数学总复习第七章数学思想与开放探索问题第41讲课本题改编型问题讲解篇)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第41讲课本题改编型问题内容特性课本中例题、习题是针对教材内容而设置,具有示范性、典型性和代表性,例题、习题是学业考试试题和模拟试题编制的题源,这种“源于课本，又高于课本”的考题，既立足教材,又迁移了教材中解决问题的基本思想和方法,对教材中问题的适当拓展或延伸,改变题目的原有呈现形式,实现问题的推陈出新。
解题策略通过课本中例题、习题的基本解题思路和改编后问题的结构去进一步探索，结合纵向、横向思考，特殊到一般等数学方法.基本思想类比思想、特殊到一般、运动变换思想体现较多.类型一以题改题－情景不变,内容改变错误!课本的作业题中有这样一道题:把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗?请画示意图说明剪法.我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：定义:如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形,我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线.（1)请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线,并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形,则视为同一种）(2）△AＢC中，∠B＝30°,AＤ和DE是△ABC的三分线,点Ｄ在ＢC边上,点E在AC边上,且AD=BD,DE＝ＣE，设∠Ｃ=x°,试画出示意图,并求出x所有可能的值；(3）如图3,△AＢC中，ＡＣ＝２，BＣ=3,∠C=２∠B，请画出△ＡBC的三分线，并求出三分线的长．【解后感悟】本题的母题在浙教版教材八上第63页探究活动.问题通过课本题再赋予新的定义,进行了类比探究,丰富问题内含．考查了学生学习的理解能力及动手创新能力，知识方面重点考查三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，是一道体现能力的题目．（浙教版教材八上，第86页第16题）1.已知△ABＣ中，AB=AC,点E、F分别是直线ＢC，AC上的点，直线AＥ、BF相交于点Ｐ,且CF=k·BE，∠ＢAC＝α.（1)若点Ｅ、F分别是边BC,CA上的点.①如图１，k=１,α=６０°，求∠APF的度数;②如图２,k＝＼ｒ(3)，α=１20°,求∠APF的度数；(2)如图3,若点E在边BＣ上，点Ｆ在CA的延长线上，k=错误!，α=１20°，求∠APF的度数．类型二以题生题-借助习题，拓展问题错误!（２01５·温州）各顶点都在方格纸格点(横竖格子线的交错点)上的多边形称为格点多边形.如何计算它的面积？奥地利数学家皮克(G.Piｃk,１8５９～1９４２)证明了格点多边形的面积公式:S＝a+错误!b－1，其中a表示多边形内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积．如图,a＝４,b=６，S＝4+错误!×6－1=6.(1)请在图1中画一个格点正方形，使它内部只含有4个格点，并写出它的面积;（2）请在图2中画一个格点三角形,使它的面积为＼f(７，2），且每条边上除顶点外无．其他格点．．．．．【解后感悟】本题的母题在浙教版教材八下第１03页课题学习.本题是应用与设计作图，关键是理解皮克公式，根据题意求出ａ、b的值．（浙教版教材八下，第１3２页第11题)2．(20１7·湖州)已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点Ｏ。
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第39讲开放与探索型问题类型一条件开放与探索型问题例1(1)四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( )A．3种B．4种C．5种D．6种【解后感悟】判断一个四边形是平行四边形的基本依据是：平行四边形的定义及其判定定理．解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件．(2)(2016·河北)如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有( )A．1个B．2个C．3个D．3个以上【解后感悟】本题运用等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识的开放性问题，解题的关键是正确添加辅助线，构造全等三角形．1．(1)请举反例说明“对于任意实数x，x2＋5x＋5的值总是正数”是假命题，你举的反例是x＝(写出一个x的值即可)．(2)(2015·无锡)某商场在“五一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠方法：①如果不超过500元，则不予优惠；②如果超过500元，但不超过800元，则按购物总额给予8折优惠；③如果超过800元，则其中800元给予8折优惠，超过800元的部分给予6折优惠．促销期间，小红和她母亲分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款480元和520元；若合并付款，则她们总共只需付款元．类型二结论开放与探索型问题例2(2016·绍兴)如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形．(1)若固定三根木条AB，BC，AD不动，AB＝AD＝2cm，BC＝5cm，如图，量得第四根木条CD＝5cm，判断此时∠B与∠D是否相等，并说明理由；(2)若固定一根木条AB不动，AB＝2cm，量得木条CD＝5cm，如果木条AD，BC的长度不变，当点D移到BA的延长线上时，点C也在BA的延长线上；当点C移到AB的延长线上时，点A、C、D能构成周长为30cm的三角形，求出木条AD，BC的长度．【解后感悟】此题是动态开放探究型问题，通过画图转化为所求的图形，利用全等三角形、二元一次方程组和三角形三边关系解决问题．2．(2015·丽水)如图，在方格纸中，线段a，b，c，d的端点在格点上，通过平移其中两条线段，使得和第三条线段首尾相接组成三角形，则能组成三角形的不同平移方法有( )A．3种B．6种C．8种D．12种3．(2015·台州)关于x的方程mx2＋x－m＋1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是(填序号)．类型三条件、结论开放与探索型问题例3(2015·绍兴)正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG＝α，其中0°≤α≤180°，连结DF，BF，如图．(1)若α＝0°，则DF＝BF，请加以证明；(2)试画一个图形(即反例)，说明(1)中命题的逆命题是假命题；(3)对于(1)中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由．【解后感悟】本题通过条件的改变寻求新的结论，从特殊到一般来探求问题即α＝0°的情况，再逆命题的探究，以及补充一个条件后能使该命题为真命题的探究．逐步画图来解决问题．4．(2015·南京)如图，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连结EF，∠AEF、∠CFE 的平分线交于点G，∠BEF、∠DFE的平分线交于点H.(1)求证：四边形EGFH是矩形；(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索，过G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQ∥EF，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形MNQP，此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框中补全他的证明思路．由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易证四边形MNQP是平行四边形，要证MNQP是菱形，只要证MN＝NQ，由已知条件________，MN∥EF－－故只要证GM＝FQ，即证△MGE≌△QFH，易证________，________，故只要证∠MGE＝∠QFH，易证∠MGE＝∠GEF，∠QFH＝∠EFH，________，即可得证．类型四过程开放与探索型问题例4(1)如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，延长CD 到点G，使DG＝BE，连结EF，AG.求证：EF＝FG.(2)如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠M AN ＝45°，若BM＝1，CN＝3，求MN的长．【解后感悟】本题是几何综合题，通过观察、比较、分析、综合及猜想，运用正方形、全等三角形、等腰直角三角形以及勾股定理等几何图形的性质，经过归纳、类比、联想等推理的手段，得出正确的结论．5．(2015·河南)如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC＝PB，D是AC的中点，连结PD、PO.(1)求证：△CDP≌△POB；(2)填空：①若AB＝4，则四边形AOPD的最大面积为____________________；②连结OD，当∠PBA的度数为____________________时，四边形BPDO是菱形．6．(2017·绍兴)已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β.(1)如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．①如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么α＝____________________°，β＝____________________°；②求α，β之间的关系式；(2)是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，求出这个关系式(求出一个即可)；若不存在，说明理由【经验积累题】(2015·丽水)如图，在矩形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BE 上的一点，连结CF 并延长交AB 于点M ，MN ⊥CM 交射线AD 于点N.(1)当F 为BE 中点时，求证：AM ＝CE ；(2)若AB BC ＝EF BF ＝2，求AN ND的值； (3)若AB BC ＝EF BF＝n ，当n 为何值时，MN ∥BE?【方法与对策】本题是几何综合题，运用了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、同角的余角相等、三角形外角的性质等知识，本题三问的解题思路是一致的；即通过特殊到一般，利用全等三角形或相似三角形解决问题，这是中考常见的压轴题型．【考虑欠周，容易漏解】在一服装厂里有大量形状为等腰三角形的边角布料(如图)．现找出其中的一种，测得∠C ＝90°，AC ＝BC ＝4，现要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△ABC 的边上，且扇形与△ABC 的其他边相切．请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径(只要求画出图形，并直接写出扇形半径)．参考答案第39讲 开放与探索型问题【例题精析】例1 (1)①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD 为平行四边形；③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD 为平行四边形；①③可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD ＝CB ，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD 为平行四边形；①④可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD ＝CB ，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD 为平行四边形；故选：B .(2)如图在OA 、OB 上截取OE ＝OF ＝OP ，作∠MPN＝60°.∵OP 平分∠AOB，∴∠EOP ＝∠POF ＝60°，∵OP ＝OE ＝OF ，∴△OPE ，△OPF 是等边三角形，∴EP ＝OP ，∠EPO ＝∠OEP＝∠PON＝∠MPN＝60°，∴∠EPM ＝∠OPN，在△PEM 和△PON 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠PEM ＝∠PON，PE ＝PO ，∠EPM ＝∠OPN，∴△PEM ≌△PON.∴PM ＝PN ，∵∠MPN ＝60°，∴△PMN 是等边三角形，∴只要∠MPN＝60°，△PMN 就是等边三角形，故这样的三角形有无数个．故选D . 例2 (1)相等． 理由：连结AC ，在△ACD和△ACB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AC AD ＝AB CD ＝BC，∴△ACD ≌△ACB ，∴∠B ＝∠D.(2) 设AD ＝x ，BC ＝y ，当点C 在点D 右侧时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝y ＋5x ＋（y ＋2）＋5＝30，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13y ＝10，当点C 在点D 左侧时，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋5＋2x ＋（y ＋2）＋5＝30，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8y ＝15，此时AC ＝17，CD ＝5，AD ＝8，5＋8<17，∴不合题意，∴AD ＝13cm ，BC ＝10cm .例3 (1)证明：如图1，正方形ABCD 和正方形AEFG 中，∵GF ＝EF ，AG ＝AE ，AD ＝AB ，∴DG ＝BE.又∵∠DGF＝∠BEF＝90°，∴△DGF ≌△BEF(SAS)．∴DF＝BF. (2)反例图形如图2： (3)不唯一，如点F 在正方形ABCD 内，或α＜180°.例4 (1)证明：∠ABE＝∠ADG，AD ＝AB ，在△ABE 和△ADG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠ABE ＝∠ADG，BE ＝DG ，∴△ABE ≌△ADG(SAS)，∴∠BAE ＝∠DAG，AE ＝AG ，∴∠EAG ＝90°，在△F AE 和△FAG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AG ，∠EAF ＝∠FAG＝45°，AF ＝AF ，∴△FAE ≌△FAG(SAS)，∴EF ＝FG ；(2)如图2，过点C 作CE⊥BC，垂足为点C ，截取CE ，使CE ＝BM ，连结AE 、EN ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠B ＝∠ACB＝45°，∵CE ⊥BC ，∴∠ACE ＝∠B＝45°，在△ABM 和△ACE中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠B ＝∠ACE，BM ＝CE ，∴△ABM ≌△ACE(SAS)．∴AM＝AE ，∠BAM ＝∠CAE.∵∠BAC＝90°，∠MAN ＝45°，∴∠BAM ＋∠CAN＝45°.于是，由∠BAM＝∠CAE，得∠MAN＝∠EAN＝45°.在△MAN和△EAN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝AE ，∠MAN ＝∠EAN，AN ＝AN ，∴△MAN ≌△EAN(SAS)．∴MN＝EN.在Rt △ENC 中，由勾股定理，得EN 2＝EC 2＋NC 2.∴MN 2＝BM 2＋NC 2.∵BM ＝1，CN ＝3，∴MN 2＝12＋32，∴MN ＝10.【变式拓展】1．(1)－2 (2)838或910 2.B 3.①③4.(1)∵EH 平分∠BEF，∴∠FEH ＝12∠BEF ，∵FH 平分∠DFE，∴∠EFH ＝12∠DFE ，∵AB ∥CD ，∴∠BEF ＋∠DFE＝180°，∴∠FEH ＋∠EFH＝12(∠BEF＋∠DFE)＝12×180°＝90°，∵∠FEH ＋∠EFH＋∠EHF＝180°，∴∠EHF ＝180°－(∠FEH＋∠EFH)＝180°－90°＝90°，同理可得：∠EGF＝90°，∵EG 平分∠AEF，∴∠FEG ＝12∠AEF ，∵EH 平分∠BEF，∴∠FEH ＝12∠BEF ，∵点A 、E 、B 在同一条直线上，∴∠AEB ＝180°，即∠AEF＋∠BEF＝180°，∴∠FEG ＋∠FEH＝12(∠AEF＋∠BEF)＝12×180°＝90°，即∠GEH＝90°，∴四边形EGFH 是矩形； (2)答案不唯一：由AB∥CD，MN ∥EF ，PQ ∥EF ，易证四边形MNQP 是平行四边形，要证▱MNQP 是菱形，只要证MN ＝NQ ，由已知条件：FG 平分∠CFE，MN ∥EF ，故只要证GM ＝FQ ，即证△MGE≌△QFH，易证GE ＝FH 、∠GME＝∠FQH.故只要证∠MGE ＝∠QFH，易证∠MGE＝∠GEF，∠QFH ＝∠EFH，∠GEF＝∠EFH，即可得证． 5.(1)∵PC＝PB ，D 是AC 的中点，∴DP ∥AB ，DP ＝12AB ，∴∠CPD ＝∠PBO，∵BO ＝12AB ，∴DP ＝BO ，在△CDP 与△POB 中，⎩⎪⎨⎪⎧DP ＝BO ，∠CPD ＝∠PBO，PC ＝PB ，∴△CDP ≌△POB(SAS)； (2)①当四边形AOPD 的AO 边上的高等于半径时有最大面积，(4÷2)×(4÷2)＝2×2＝4；②如图：∵DP∥AB，DP ＝BO ，∴四边形BPDO 是平行四边形，∵四边形BPDO 是菱形，∴PB ＝BO ，∵PO ＝BO ，∴PB ＝BO ＝PO ，∴∠PBA 的度数为60°.6.(1)①∵AB＝AC ，∠ABC ＝60°，∴∠BAC ＝60°，∵AD ＝AE ，∠ADE ＝70°，∴∠DAE ＝180°－2∠ADE ＝40°，∴α＝∠BAD＝60°－40°＝20°，∴∠ADC ＝∠BAD＋∠ABD＝60°＋20°＝80°，∴β＝∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝10°，故答案为：20，10；②设∠ABC ＝x ，∠AED ＝y ，∴∠ACB ＝x ，∠ADE ＝y ，在△DEC 中，y ＝β＋x ，在△ABD 中，α＋x ＝y ＋β＝β＋x ＋β，∴α＝2β； (2)存在；答案不唯一，如：①当点E 在CA 的延长线上，点D 在线段BC 上，如图1，设∠ABC＝x ，∠ADE ＝y ，∴∠ACB ＝x ，∠AED ＝y ，在△ABD 中，x ＋α＝β－y ，在△DEC 中，x ＋y ＋β＝180°，∴α＝2β－180°，②当点E 在CA 的延长线上，点D 在CB 的延长线上，如图2，同①的方法可得α＝180°－2β.【热点题型】【分析与解】(1)∵F 为BE 的中点，∴BF ＝EF.∵AB∥CD，∴∠MBF ＝∠CEF，∠BMF ＝∠ECF.∴△BMF≌△ECF，∴MB ＝CE ，AB ＝CD ，CE ＝DE ，∴MB ＝AM.∴AM＝CE. (2)设MB ＝a ，∵AB ∥CD ，∴△BMF ∽△ECF.∵EF BF ＝2，∴CE MB＝2，∴CE ＝2a.∴AB＝CD ＝2CE ＝4a ，AM ＝AB －MB ＝3a.∵AB BC ＝2，∴BC＝AD ＝2a.∵MN⊥MC，∠A ＝∠ABC＝90°，∴△AMN ∽△BCM.∴AN MB ＝AM BC，即AN a ＝3a 2a ，∴AN ＝32a ，ND ＝2a －32a ＝12a ，∴AN ND ＝32a 12a ＝3. (3)方法一：∵AB BC ＝EF FB ＝n ，设MB ＝a ，由(2)可得BC ＝2a ，CE ＝na ，AM ＝(2n －1)a.由△AMN∽△BCM，AN ＝12(2n －1)a ，DN ＝（2n －5）a 2，∵DH ∥AM ，DN AN ＝DH AM，DH ＝(2n －5)a ，∴HE ＝(5－n )a.∵MBEH 是平行四边形，∴(5－n)a ＝a ，∴n ＝4.方法二：∵AB BC ＝EF FB＝n ，设MB ＝a ，由(2)可得BC ＝2a ：CE ＝na.当MN∥BE 时，CM ⊥BE ，可证△MBC∽△BCE，∴MB BC ＝BC CE ，∴a 2a ＝2a na，∴n ＝4.【错误警示】本文档仅供文库使用。