高等数学公式定理整理

高等数学公式定理整理

1.01版

本定理，公式整理仅用于参考，具体学习请多做题目以增进对知识的掌握。 蓝色为定理 红色为公式 三角函数恒等公式：

两角和差

tan αanα·ta

+tan βanβ)-(tan α=β)-tan(αtan αanα·ta

-(1tan βa +(tan α=

β)+tan(αcos αosα·s

±sin αinα·c =β)±sin(αsin αinα·s +cos αosα·c =β)-cos(αβsin αsin βcos αcos )βαcos(∙-∙=+

和差化积

]

2

β)

-(α]sin[2β)+(α-2sin[=cos β-cos α]2β)

-(α]cos[2β)+(α2cos[=cos β+cos α]

2β)

-(α]sin[2β)+(α2cos[=sin β-sin α]

2β)-(α]cos[2β)+(α2sin[=sin β+sin α

积化和差

β)]

-cos(α-β)+[cos(α2

1

-=sin αinα·s β)]-cos(α+β)+[cos(α21

=cos αosα·c β)]

-sin(α-β)+[sin(α21

=cos αosα·s β)]

-sin(α+β)+[sin(α21

=sin αinα·c

倍角公式（部分）：很重要！

α

tan -1α

tan 2=

tan2αα2sin -1=1-α2cos =αsin -αcos =α2cos cot αo +(tan α2

=

2sin αsinα·=sin2α22222

一、函数 函数的特性： 1.有界性：

假设函数在D 上有定义，如果存在正数M ，使得对于任何的x ∈D 都满足|f(x)|≤M 。则称f （x ）是D 的有界函数。 如果正数M 不存在，则称这个函数是D 上的无界函数。 2.单调性

设f （x ）的定义域为D ，区间I D 。X1，x2∈I ，那么，如果x1x2,那么就是单调减少函数。 3.奇偶性

如果f(-x)=f(x),那就成为偶函数，如果f(-x)=-f(x)，那就是奇函数。

4.周期性

设函数的定义域为D，若存在不为零的数T，使得任一x∈D 有（x±T）∈D，且f（x±T）=f（x）总是成立，就称该函数为周期函数，如sin x，cos x，它们就是以2π为周期的周期函数。

反函数：

就是用自变量X来表示原函数Y，如下列式子：

原函数f(x)=x+5，它的反函数为x=f(x)-5,也就是f（x）=x-5；复合函数和初等函数：

重要！：六个基本初等函数是：幂函数（x a）,指数函数（a x），对数函数（log a x，lg x【log10x】，ln x【log e x】），三角函数（sinx，cosx，tanx，ctnx，secx，cscx），反三角函数（常见反三角函数为arcsinx，arccosx，arctanx）

复合函数就是初等函数，初等函数是基本初等函数经过有限次的运算后得到的，分段函数不是初等函数。

二、极限与连续

极限就是一个数无限趋近于一个值，函数极限就是函数无限趋近于一个值，用lim x→x0 f（x）=A

如何得知一个函数有极限？算出左极限和右极限。并且左右

极限相等。 极限运算法则

lim x →x0 [f （x ）±g(x)]=lim x →x0 f （x ）±lim x →x0 g （x ）=A ±B

lim x →x0 [cf （x ）]=clim x →x0 f （x ）=cA

lim x →x0 f （x ）·lim x →x0 g （x ）=lim x →x0 f （x ）·g （x ）=A ·B

)(lim )

(lim

)()(lim 0

00

x g x x x f x x x g x f x x →→=→=B A

（B ≠0）

n 0

)](lim [

)]([lim A x f x x x f x x n n

=→=→

n n

n

A x f x x n f x x =→=→)(lim

)(lim 0

重要！：两个重要极限 1.夹逼准则

如果x n ，y n ，z n 满足x n ≤y n ≤z n 那么

a x n lim

z n lim y n lim n n n =∞

→=∞→=∞→这就是夹逼准则。 2.1x

1x 1

sin x lim x sin x 0x lim =∞→→或者

图 1

如图1，∠AOC=x （0

x x x tan 2

1

21sin 21<< 化简x x tan sinx << 两边同时除以sinx 1sin cosx cos sin 1sin tan sin 1<<<<<<

x

x

x x x x x x x 即即 根据夹逼准则得出

10

lim sin 0lim cos 0lim =→=→=→x x x x x x 所以

1x

sinx

0x lim =→

3.e x

11x lim e x 10x lim x

x

1

=+∞→=+→）（或）（（这是标准公式，题目有类似的把它转换成标准公式即可） 4.无穷大量和无穷小量

（1）性质1，无穷小量和有界函数的积仍为无穷小量 （2）性质2，两个无穷小量之积仍为无穷小量