高三高考数学国步分项分类题及析答案代
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高三高考数学国步分项分类题及析答案为10-5古典概型与几何概型基础巩固强化1.(文)(2011·浙江文，8)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )A. 110B.310C.35D.910 [答案] D[解析] 3个红球记为a 、b 、c,2个白球记为1、2.则从袋中取3个球的所有方法是：abc ，ab 1，ab 2，ac 1，ac 2，a 12，bc 1，bc 2，b 12，c 12.共10个基本事件，则至少有一个白球的基本事件是ab 1，ab 2，ac 1，ac 2，a 12，bc 1，bc 2，b 12，c 12共9个．∴至少有一个白球的概率为910.故选D.[点评] (1)A ＝“至少有一个白球”的对立事件是B ＝“全是红球”，故所求概率为P (A )＝1－P (B )＝1－110＝910.(2)解决这类问题的基本方法就是给小球编号，用列举法写出基本事件空间(或用计数原理计算基本事件空间中基本事件的个数)，然后数(或求)出所求事件中含的基本事件的个数，再求概率．(理)(2011·德州模拟)一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是( )A.15B.310C.25D.12 [答案] C[解析] 从5个球中任取两个，有C 25＝10种不同取法，其中两球同色的取法有C 23＋1＝4种，∴P ＝410＝25.2．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，其中0≤b ≤4,0≤c ≤4，记函数f (x )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧f (2)≤12，f (－2)≤4，的事件为A ，则事件A 发生的概率为( )A.14B.58C.12D.38[答案] C [解析]由⎩⎪⎨⎪⎧f (2)≤12f (－2)≤4得， ⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c ≤8，－2b ＋c ≤0.画出0≤b ≤4,0≤c ≤4表示的平面区域和事件A 所表示的平面区域，由几何概型易知，所求概率P ＝12.3．(文)(2012·大连部分中学联考)用一平面截一半径为5的球得到一个圆面，则此圆面积小于9π的概率是( )A.45B.15 C.13 D.12[答案] B[解析] 依题意得截面圆面积为9π的圆半径为3，故球心到该截面的距离等于4，球的截面圆面积小于9π的截面到球心的距离大于4，因此所求的概率等于5－45＝15，选B.(理)在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择3个点，刚好构成直角三角形的概率是( )A.15B.14C.13D.12[答案] C[解析] 从10个点中任取三个有C 310种方法，能构成直角三角形时，必须有两点连线为直径，这样的直径有5条，∴能构成直角三角形5×8＝40个，∴概率P ＝40C 310＝13.4．(文)已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P －ABC <12V S －ABC 的概率是( )A.78B.34C.12D.14[答案] A[解析] 当P 在三棱锥的中截面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P ＝1－18＝78，故选A.(理)(2012·辽宁文，11)在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC 、CB 的长，则该矩形面积大于20cm 2的概率为( )A.16B.13 C.23 D.45[答案] C[解析] 在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ，设AC ＝x ，则BC ＝12－x ，∴x (12－x )>20，∴2<x <10，因此总的几何度量为12，满足矩形面积大于20cm2的点在C 1与C 2之间的部分，如图∴P ＝812＝23.关键在于找出总长度及事件“矩形的面积大于20cm 2”所表示区域的长度．5．若在区间[0，π2]上随机取一个数x ，则sin x 的值介于0到12之间的概率为( )A.13B.2πC.12D.23[答案] A[解析] 当0≤x ≤π2时，由0≤sin x ≤12得0≤x ≤π6，根据几何概型的概率计算公式得所求概率P ＝π6π2＝13.6．(2011·山东临沂)连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1，－1)的夹角为α，则α∈(0，π2]的概率为( )A.78B.1316C.316D.712[答案] D[解析] ∵θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，∴cos θ＝m －n 2·m 2＋n 2≥0， ∴m ≥n ，满足条件m ＝n 的概率为636＝16， m >n 的概率与m <n 的概率相等， ∴m >n 的概率为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16＝512， ∴满足m ≥n 的概率为P ＝16＋512＝712.7．(2011·浙江宁波八校联考)已知k ∈Z ，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,4)，若|AB→|≤4，则△ABC 是直角三角形的概率是________． [答案] 37[解析] ∵|AB→|＝k 2＋1≤4，∴－15≤k ≤15， ∵k ∈Z ，∴k ＝－3，－2，－1,0,1,2,3，当△ABC 为直角三角形时，应有AB ⊥AC ，或AB ⊥BC ，或AC ⊥BC ，由AB →·AC→＝0得2k ＋4＝0，∴k ＝－2， ∵BC →＝AC →－AB →＝(2－k,3)，由AB →·BC →＝0得k (2－k )＋3＝0，∴k ＝－1或3，由AC →·BC →＝0得2(2－k )＋12＝0，∴k ＝8(舍去)，故使△ABC 为直角三角形的k 值为－2，－1或3，∴所求概率p ＝37.8．(文)(2011·如皋模拟)连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，记“两次向上的数字之和等于m ”为事件A ，则P (A )最大时，m ＝________.[答案] 7[解析] 连续抛掷一枚骰子2次，共有36个基本事件，两次向上的点数之和及次数如表：(理)先后两次抛掷同一枚骰子，将得到的点数分别记为a 、b .将a 、b 、5分别作为三条线段的长，则这三条线段能构成等腰三角形的概率是________．[答案] 718[分析] 本题有两点要点：一是构成三角形，须满足较小的两个数的和大于第三个数；二是构成等腰三角形，须有两个数相等．[解析] 基本事件的总数为6×6＝36. ∵三角形的一边长为5，∴当a ＝1时，b ＝5符合题意，有1种情况； 当a ＝2时，b ＝5符合题意，有1种情况； 当a ＝3时，b ＝3或5符合题意，即有2种情况； 当a ＝4时，b ＝4或5符合题意，有2种情况； 当a ＝5时，b ∈{1,2,3,4,5,6}符合题意，即有6种情况； 当a ＝6时，b ＝5或6符合题意，即有2种情况． 故满足条件的不同情况共有14种，所求概率为 P ＝1436＝718.9．(文)从集合{(x ，y )|x 2＋y 2≤4，x ∈R ，y ∈R }内任选一个元素(x ，y )，则x 、y 满足x ＋y ≥2的概率为________．[答案] π－24π[解析] 即图中弓形面积占圆面积的比例，属面积型几何概型，概率为π－24π.(理)(2011·黑龙江五校联考)在体积为V 的三棱锥S －ABC 的棱AB上任取一点P ，则三棱锥S －APC 的体积大于V3的概率是________．[答案] 23 [解析]由题意可知V S －APC V S －ABC >13，三棱锥S －ABC 的高与三棱锥S －APC 的高相同．作PM ⊥AC 于M ，BN ⊥AC 于N ，则PM 、BN 分别为△APC 与△ABC 的高，所以V S －APC S S －ABC ＝S △APC S △ABC ＝PM BN >13，又PM BN ＝AP AB ，所以AP AB >13，故所求的概率为23(即为长度之比)．10．已知函数f (x )＝－x 2＋ax －b .(1)若a ，b 都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率；(2)若a ，b 都是从区间[0,4]上任取的一个数，求f (1)>0成立的概率．[解析] (1)a ，b 都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，则基本事件总数为N ＝5×5＝25个．函数有零点的条件为Δ＝a 2－4b ≥0，即a 2≥4b .因为事件“a 2≥4b ”包含(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，所以事件“a 2≥4b ”的概率为P ＝1225，即函数f (x )有零点的概率为1225.(2)a ，b 都是从区间[0,4]上任取的一个数， f (1)＝－1＋a －b >0，即a －b >1， 此为几何概型．如图可知，事件“f (1)>0”的概率为P ＝12×3×34×4＝932.能力拓展提升11.(文)(2011·金华十校联考)在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的5个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是( )A.110B.310C.25D.14[答案] C[解析] 从5个小球中随机取出两个小球，基本事件共10个：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．其中数字之差的绝对值为2的有：(1,3)，(2,4)，(3,5)，数字之差的绝对值为4的有：(1,5)，故所求概率P ＝3＋110＝25.(理)(2011·威海模拟)某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a 、b ，则椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e >32的概率是( )A.118B.536C.16D.13[答案] D[解析] 当a >b 时，e ＝1－b 2a 2>32⇒b a <12⇒a >2b ，符合a >2b 的情况有：当b ＝1时，有a ＝3,4,5,6四种情况；当b ＝2时，有a ＝5,6两种情况，总共有6种情况，则概率是636＝16.同理当a <b 时，e >32的概率也为16， 综上可知e >32的概率为13.12．(文)m ∈{－2，－1,0,1,2,3}，n ∈{－3，－2，－1,0,1,2}，且方程x 2m ＋y 2n ＝1有意义，则方程x 2m ＋y 2n ＝1可表示不同的双曲线的概率为( )A.3625 B ．1 C.925 D.1325[答案] D[解析] 由题设知⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n <0，或⎩⎨⎧m <0，n >0.1°⎩⎨⎧ m >0，n <0.时有不同取法3×3＝9种． 2°⎩⎨⎧m <0，n >0.时有不同取法2×2＝4种． ∴所求概率P ＝9＋45×5＝1325.(理)从－1、0、1、2这四个数中选出三个不同的数作为二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的系数组成不同的二次函数，其中使二次函数有变号零点的概率为( )A.79B.712 C.59 D.512[答案] A[解析] 首先取a ，∵a ≠0，∴a 的取法有3种，再取b ，b 的取法有3种，最后取c ，c 的取法有2种，∴共组成不同的二次函数3×3×2＝18个．f (x )若有变号零点，不论a >0还是a <0，均应有Δ>0，即b 2－4ac >0，∴b 2>4ac .①首先b 取0时，a 、c 须异号，a ＝－1，则c 有2种，a 取1或2，则c 只能取－1，∴共有4种．②b ＝1时，若c ＝0，则a 有2种，若c ＝－1，a 只能取2. 若c ＝2，则a ＝－1，共有4种． ③若b ＝－1，则c 只能取0，有2种．④若b ＝2，取a 有2种，取c 有2种，共有2×2＝4种． 综上所述，满足b 2>4ac 的取法有4＋4＋2＋4＝14种， ∴所求概率P ＝1418＝79.13．(文)设集合A ＝{x |x 2－3x －10<0，x ∈Z }，从集合A 中任取两个元素a ，b 且a ·b ≠0，则方程x 2a ＋y 2b ＝1表示焦点在x 轴上的双曲线的概率为________．[答案] 15[解析] A ＝{x |－2<x <5，x ∈Z }＝{－1,0,1,2,3,4}，由条件知，(a ，b )的所有可能取法有：(－1,1)，(－1，2)，(－1,3)，(－1,4)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)，(4，－1)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)，(4,3)，共20种，方程x 2a ＋y 2b ＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，应有a >0，b <0，满足条件的有：(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)，(4，－1)共4种，∴所求概率P ＝420＝15.(理)(2012·河北保定市模拟)在区间[－1,1]上随机取一个数k ，则直线y ＝k (x ＋2)与圆x 2＋y 2＝1有公共点的概率为________．[答案] 33[解析] ∵直线与圆有公共点，∴|2k |k 2＋1≤1，∴－33≤k ≤33. 故所求概率为P ＝33－(－33)1－(－1)＝33.14．若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数a 和b ，则方程x ＝22a －2bx 有不等实数根的概率为________．[答案]12 [解析]方程x ＝22a －2bx 化为x 2－22ax ＋2b ＝0， ∵方程有两个不等实根， ∴Δ＝8a －8b >0，∴a >b ， 如图可知，所求概率p ＝12.15．(2011·淄博模拟)对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：(1)求出表中M ，p 及图中a 的值；(2)若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；(3)在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率．[解析] (1)由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25知，10M ＝0.25，所以M ＝40.因为频数之和为40，所以10＋24＋m ＋2＝40，m ＝4.p ＝m M ＝440＝0.10.因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以a ＝2440×5＝0.12.(2)因为该校高三学生有240人，分组[10,15)内的频率是0.25， 所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为240×0.25＝60人．(3)参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m ＋2＝4＋2＝6人，设在区间[20,25)内的人为{a 1，a 2，a 3，a 4}，在区间[25,30)内的人为{b 1，b 2}．则任选2人有(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，a 4)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 4，b 1)，(a 4，b 2)，(b 1，b 2)共15种情况，而两人都在[25,30)内只能是(b 1，b 2)一种，所以所求概率为P ＝1－115＝1415.16．(文)(2011·天津文，15)编号分别为A 1，A 2，…，A 16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：(2) ①用运动员编号列出所有可能的抽取结果． ②求这2人得分之和大于50的概率． [解析] (1)4,6,6.(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A 3，A 4，A 5，A 10，A 11，A 13，从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 10}，{A 3，A 11}，{A 3，A 13}，{A 4，A 5}，{A 4，A 10}，{A 4，A 11}，{A 4，A 13}，{A 5，A 10}，{A 5，A 11}，{A 5，A 13}，{A 10，A 11}，{A 10，A 13}，{A 11，A 13}，共15种．②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”(记为事件B )的所有可能结果有：{A 4，A 5}，{A 4，A 10}，{A 4，A 11}，{A 5，A 10}，{A 10，A 11}，共5种．所以P (B )＝515＝13.(理)(2012·天津文，15)某地区有小学21所，中学14所，大学7所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， (ⅰ)列出所有可能的抽取结果； (ⅱ)求抽取的2所学校均为小学的概率． [分析] (1)根据抽样比例n N ＝621＋14＋7＝17进行抽取．(2)由(1)知抽取的6所学校中有小学3所，用列举法求出基本事件总数n 和2所均为小学的抽法数m ，用古典概型公式P ＝mn 求解．[解析] (1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目分别为6×2121＋14＋7＝3,6×1421＋14＋7＝2,6－3－2＝1. (2)(ⅰ)在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A 1，A 2，A 3,2所中学分别记为A 4，A 5，大学记为A 6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．(ⅱ)从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B )的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3种．所以P (B )＝315＝15.[点评] 本小题主要考查分层抽样方法、用列举法求基本事件数、古典概型及其概率计算公式，同时考查学生数据处理能力，运用概率知识解决实际问题的能力．1．(2012·皖南八校联考)一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6，将这颗骰子连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为( )A.112B.118 C.136 D.7108[答案] A[解析] 连续抛掷三次共有63＝216(种)情况，记三次点数分别为a ，b ，c ，则a ＋c ＝2b ，所以a ＋c 为偶数，则a 、c 的奇偶性相同，且a 、c 允许重复，一旦a 、c 确定，b 也唯一确定，故a ，c 共有2×32＝18(种)，所以所求概率为18216＝112，故选A.2．(2012·湖北理，8)如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA 、OB 为直径作两个半圆，在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A ．1－2π B.12－1π C.2π D.1π[答案] A[分析] 在扇形OAB 内随机取一点，此点落在阴影部分的概率属于几何概型问题，关键是求阴影部分的面积，如图设阴影部分两块的面积分别为S 1、S 2，OA ＝R ，则S 1＝2(S 扇形DOC－S △DOC )，S 2＝S 扇形OAB－S ⊙D ＋S 1.[解析] 设图中阴影面积分别为S 1，S 2，令OA ＝R ，由图形知，S 1＝2(S 扇ODC －S △ODC ) ＝2[π·(R 2)24－12·(R 2)2]＝πR 2－2R28， S 2＝S 扇形OAB －S ⊙D ＋S 1＝14πR 2－π·(R 2)2＋πR 2－2R 28＝πR 2－2R 28， ∴所求概率P ＝S 1＋S 2S 扇形OAB ＝πR 2－2R 2414πR2＝1－2π.[点评] (1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的计算，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．3．(2011·泉州、广州模拟)图(2)中实线部分是长方体(图(1))的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是14，则此长方体的体积是________．[答案] 3[解析] 设长方体的高为h ，则图(2)中虚线围成的矩形长为2＋2h ，宽为1＋2h ，面积为(2＋2h )(1＋2h )，展开图的面积为2＋4h ；由几何概型的概率公式知2＋4h (2＋2h )(1＋2h )＝14，得h ＝3，所以长方体的体积是V ＝1×3＝3.4．(2011·湘潭模拟)已知集合A ＝{－4，－2,0,1,3,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }，在集合B 中随机取点M .求：(1)点M 正好在第二象限的概率； (2)点M 不在x 轴上的概率； (3)点M 正好落在区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8<0，x >0，y >0上的概率．[解析] 满足条件的M 点共有36个．(1)正好在第二象限的点有(－4,1)，(－4,3)，(－4,5)，(－2,1)，(－2,3)，(－2,5)，故点M 正好在第二象限的概率 P 1＝636＝16.(2)在x 轴上的点有(－4,0)，(－2,0)，(0,0)，(1,0)，(3,0)，(5,0)， 故点M 不在x 轴上的概率P2＝1－636＝5 6.(3)在所给区域内的点有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(5,1)，故点M在所给区域上的概率P3＝636＝16.5．(2011·龙岩质检)小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为x；小李后掷一枚骰子，向上的点数记为y.(1)在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点共有几个？试求点(x，y)落在直线x＋y＝7上的概率；(2)规定：若x＋y≥10，则小王赢，若x＋y≤4，则小李赢，其他情况不分输赢．试问这个规定公平吗？请说明理由．[解析](1)因为x、y可取1、2、3、4、5、6，故以(x，y)为坐标的点共有36个．记“点(x，y)落在直线x＋y＝7上”为事件A，则事件A包含的点有(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)，共6个，所以事件A的概率P(A)＝636＝16.(2)记“x＋y≥10”为事件A1，“x＋y≤4”为事件A2.用数对(x，y)表示x、y的取值，则事件A1包含(4,6)、(5,5)、(5,6)、(6,4)、(6,5)、(6,6)，共6个数对；事件A2包含(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)，共6个数对．由(1)知基本事件总数为36，所以事件A1的概率P(A1)＝636＝16，事件A2的概率P(A2)＝636＝16.即小王和小李两位同学赢的可能性是均等的．所以这个规定是公平的．。
高三高考数学国步分项分类题及析答案这
高三高考数学国步分项分类题及析答案这10-4事件与概率基础巩固强化1.(文)(2011·长沙调研)甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件．那么()A．甲是乙的充分但不必要条件B．甲是乙的必要但不充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件[答案] B[解析]∵互斥事件一定是对立事件，∴甲⇒乙，但对立不一定互斥，∴乙⇒/ 甲，故选B.(理)袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是对立事件的为()A．①B．②C．③D．④[答案] B[解析]∵“至少一个白球”和“全是黑球”不可能同时发生，且必有一个发生．2．(文)甲、乙两人随意入住两个房间，则甲乙两人恰住在同一间房的概率为()A.13B.12C.14 D ．1[答案] B[解析] 将两个房间编号为(1,2)，则所有可能入住方法有：甲住1号房，乙住2号房，甲住2号房，乙住1号房，甲、乙都住1号房，甲、乙都住2号房，共4种等可能的结果，其中甲、乙恰住在同一房间的情形有2种，∴所求概率P ＝12.(理)从集合{1,3,6,8}中任取两个数相乘，积是偶数的概率是( ) A.56B.23C.12D.13[答案] A[解析] 所有可能取法有{(1,3)，(1,6)，(1,8)，(3,6)，(3,8)，(6,8)}，只有(1,3)构不成积是偶数，∴P ＝56，故选A.3．(2012·皖南八校第三次联考)某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是( )A.115B.35C.815D.1415[答案] B[解析] 记4听合格的饮料分别为A 1、A 2、A 3、A 4,2听不合格的饮料分别为B 1、B 2，则从中随机抽取2听有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，A 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共15种不同取法，而至少有一听不合格饮料有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共9种，故所求概率为P ＝915＝35，选B.4．(文)(2011·安徽“江南十校”联考)第16届亚运会于2010年11月12日在中国广州举行，运动会期间有来自A 大学2名和B 大学4名的大学生志愿者，现从这6名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A 大学志愿者的概率是( )A.115B.25C.35D.1415[答案] C[解析] 若这2名大学生来自两所大学，则P 1＝2×415＝815；若这2名大学生均来自A 大学，则P 2＝115.故至少有一名A 大学生志愿者的概率是815＋115＝35.[点评] 由对立事件概率公式知，有另解P ＝1－615＝35.(理)(2012·山西联考)连续投掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1,0)的夹角记为α，则α∈(0，π4)的概率为( )A.518B.512C.12D.712[答案] B[解析] 依题意得，连续投掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，可得到的向量a ＝(m ，n )共有6×6＝36个，由向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1,0)的夹角α∈(0，π4)得n <m ，向量a ＝(m ，n )可根据n 的取值分类计数：当n ＝1时，m 有5个不同的取值；当n ＝2时，m 有4个不同的取值；当n ＝3时，m 有3个不同的取值；当n ＝4时，m 有2个不同的取值；当n ＝5时，m 有1个值，因此满足向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1,0)的夹角α∈(0，π4)的(m ，n )共有1＋2＋3＋4＋5＝15个，所以所求的概率等于1536＝512，选B.[点评] m ＝n 有6个，m >n 与m <n 的一样多，有12(36－6)＝15个．或从1到6中任取两数，小的为n ，共有C 26＝15种． 5．(2011·大连模拟)一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键，则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为( )A.9100B.25C.3100D.425[答案] D [解析] 0～9这十个数字键，任意敲击两次共有10×10＝100种不同结果，在0～9中是3的倍数的数字有0,3,6,9，敲击两次都是3的倍数共有4×4＝16种不同结果，∴P ＝16100＝425.6．(2012·安徽文，10)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )A.15B.25C.35D.45[答案] B[解析] 1个红球记作R,2个白球记作B 1、B 2,3个黑球记作H 1、H 2、H 3，则从中任取2个球的所有方法种数有如下15种：RB 1，RB 2，RH 1，RH 2，RH 3，B 1B 2，B 1H 1，B 1H 2，B 1H 3，B 2H 1，B 2H 2，B 2H 3，H 1H 2，H 1H 3，H 2H 3，而两球颜色为一黑一白的种数有如下6种：B 1H 1，B 1H 2，B 1H 3，B 2H 1，B 2H 2，B 2H 3，所以所求概率为615＝25.[点评] 准确求出古典概型概率公式p ＝m n 中的m 、n 是解题关键，通常有列举法、树状图法、坐标系法等．7．(文)某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为________．[答案] 14[解析] 每人用餐有两种情况，故共有23＝8种情况．他们在同一食堂用餐有2种情况，故他们在同一食堂用餐的概率为28＝14.(理)抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1,2,3,4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x ，y ，则x y 为整数的概率是________．[答案] 12[解析] 将抛掷甲、乙两枚质地均匀的正四面体所得的数字x ，y记作有序实数对(x ，y )，共包含16个基本事件，其中x y 为整数的有：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)，共8个基本事件，故所求概率为P ＝816＝12.8．(2011·广东高州模拟)某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛，甲、乙两队夺取冠军的概率分别是37和14，则该市足球队夺得全省足球冠军的概率是________．[答案] 1928[解析] 设事件A ：甲球队夺得全省足球冠军，B ：乙球队夺得全省足球冠军，事件C ：该市足球队夺得全省足球冠军．依题意P (A )＝37，P (B )＝14，且C ＝A ＋B ，事件A 、B 互斥，所以P (C )＝P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝37＋14＝1928.9．(文)(2012·宁夏三市联考)将一颗骰子投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为________．[答案] 512[解析] 圆心(2,0)到直线ax －by ＝0的距离d ＝|2a |a 2＋b 2，当d <2时，直线与圆相交，解|2a |a 2＋b 2<2得b >a ，满足题意的b >a 共有15种情况，又易知将一颗骰子投掷两次分别得到点数a ，b 的基本情况共有36种，因此直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为P ＝1536＝512.(理)已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线方程为mx －y ＝0，若m 在集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取一个数，则双曲线的离心率大于3的概率是________．[答案] 79[解析] e >3，即c a >3，∴a 2＋b 2a 2>9，∴b a >22，即m >22，∴m 可取值3,4,5,6,7,8,9，∴p ＝79.10．(2012·河南六市模拟)某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组；第一组[50,60)，第二组[60,70)，…，第五组[90,100]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；(2)从测试成绩在[50,60)∪[90,100]内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m 、n ，求事件“|m －n |>10”的概率．[解析] (1)由直方图知，成绩在[60,80)内的人数为50×10×(0.018＋0.040)＝29，所以该班在这次数学测试中成绩合格的有29人．(2)由直方图知，成绩在[50,60)的人数为50×10×0.004＝2，设成绩为x 、y ；成绩在[90,100]的人数为50×10×0.006＝3，设成绩为a 、b 、c ，若m ，n ∈[50,60)，则只有xy 一种情况．若m ，n ∈[90,100]，则有ab ，bc ，ac 三种情况，若m ，n 分别在[50,60)和[90,100]内，则有a b cx xa xb xc 共6种情况．y ya yb yc所以基本事件总数为10种，事件“|m －n |>10”所包含的基本事件有6种，∴P (|m －n |>10)＝610＝35.[点评] (1)在频率分布直方图中，组距是一个固定值，各矩形面积和为1；(2)通过频率分布直方图的识读获取信息是解决这一类问题的关键.能力拓展提升11.下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )A.25B.710C.35D.910 [答案] C[解析] x －甲＝87＋88＋90＋92＋935＝90，x －乙＝83＋85＋87＋x ＋995.由x －甲>x －乙，得x <96，故被污损的数字可能是0,1，…，5，共6个数字，故甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为610＝35.12．(文)(2011·滨州月考)若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，则点P (m ，n )落在直线x ＋y ＝5下方的概率为( )A.16B.14C.112D.19 [答案] A[解析] 试验是连续掷两次骰子．故共包含6×6＝36个基本事件．事件“点P (m ，n )落在直线x ＋y ＝5下方”，包含(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)共6个基本事件，故P ＝636＝16.(理)(2012·河南质量调研)在区间[0,1]上任意取两个实数a ，b ，则函数f (x )＝13x 3＋ax －b 在区间[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为( )A.79B.59C.49D.29 [答案] A[解析] 由已知a 、b 在区间[0,1]上，所以f ′(x )＝x 2＋a ≥0，函数f (x )在[－1,1]内是增函数，∵f (x )在[－1,1]上有且仅有一个零点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝－13－a －b ≤0，f (1)＝13＋a －b ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋13≥0，a －b ＋13≥0.在坐标平面aOb 中，画出不等式组⎩⎨⎧ 0≤a ≤1，0≤b ≤1，与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋13≥0，a －b ＋13≥0，表示的平面区域，易知，这两个不等式组表示的平面区域的公共区域的面积等于12－12×(1－13)×23＝79，而不等式组⎩⎨⎧ 0≤a ≤1，0≤b ≤1，表示的平面区域的面积为1，因此所求的概率等于79，选A. 13．(2012·龙岩质检)若在区间[－5,5]内随机地取出一个数a ，则1∈{x |2x 2＋ax －a 2>0}的概率为________．[答案] 310[解析] ∵1∈{x |2x 2＋ax －a 2>0}，∴a 2－a －2<0，∴－1<a <2，故所求概率为P ＝310.14．把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2，只有一个解的概率为________．[答案] 1112[解析] 点(a ，b )取值的集合共有6×6＝36(个)元素．方程组只有一个解等价于直线ax ＋by ＝3与x ＋2y ＝2相交，即a 1≠b 2，即b ≠2a ，而满足b ＝2a 的点只有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3个，故方程组⎩⎨⎧ ax ＋by ＝3x ＋2y ＝2只有一个解的概率为3336＝1112.15．(文)(2011·山东济南一模)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ∈{－1,0,1,2}，y ∈{－1,0,1}，求向量a ∥b 的概率；(2)若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率．[解析] (1)设“a ∥b ”为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y .基本事件有：(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)．共包含12个基本事件；其中A ＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件．故P (A )＝212＝16.(2)设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角，可得a ·b <0，即2x ＋y <0，且x ≠2y .Ω＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎪ ⎩⎨⎧ －1≤x ≤2－1≤y ≤1， B ＝(x ，y )⎪⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤2，－1≤y ≤1，2x ＋y <0，x ≠2y .，作出可行域如图，可得P (B )＝μB μΩ＝12×(12＋32)×23×2＝13. (理)已知直线l 1：x －2y －1＝0，直线l 2：ax －by ＋1＝0，其中a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}．(1)求直线l 1∥l 2的概率；(2)求直线l 1与l 2的交点位于第一象限的概率．[解析] (1)由题知，直线l 1的斜率为k 1＝12，直线l 2的概率为k 2＝a b .记事件A 为“直线l 1∩l 2＝∅”．a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}的基本事件空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，…，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(2,6)，…，(5,6)，(6,6)}，其中共有36个基本事件．若l 1∥l 2，即k 1＝k 2，则有b ＝2a .满足条件的实数对(a ，b )有(1,2)、(2,4)、(3,6)，共3种情形．所以P (A )＝336＝112.即直线l 1∥l 2的概率为112.(2)设事件B 为“直线l 1与l 2的交点位于第一象限”，由于直线l 1与l 2有交点，所以b ≠2a .由⎩⎨⎧ ax －by ＋1＝0，x －2y －1＝0，解得，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝b ＋2b －2a ，y ＝a ＋1b －2a .因为直线l 1与l 2的交点位于第一象限，所以⎩⎨⎧ x >0，y >0，即⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋2b －2a>0，a ＋1b －2a >0.解得b >2a .∵a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，∴基本事件总数共有36种．满足b >2a 的有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，共6种，∴P ＝636＝16，即直线l 1与l 2交点在第一象限的概率为16.16．(文)已知实数a ，b ∈{－2，－1,1,2}．(1)求直线y ＝ax ＋b 不经过第四象限的概率；(2)求直线y ＝ax ＋b 与圆x 2＋y 2＝1有公共点的概率．[解析] 由于实数对(a ，b )的所有取值为：(－2，－2)，(－2，－1)，(－2,1)，(－2,2)，(－1，－2)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－2)，(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(2，－2)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)共16种．(1)设“直线y ＝ax ＋b 不经过第四象限”为事件A若直线y ＝ax ＋b 不经过第四象限，则必须满足a ≥0，b ≥0，则事件A 包含4个基本事件，∴P (A )＝416＝14，∴直线y ＝ax ＋b 不经过第四象限的概率为14.(2)设“直线y ＝ax ＋b 与圆x 2＋y 2＝1有公共点”为事件B ，则需满足|b |a 2＋1≤1，即b 2≤a 2＋1， ∴事件B 包含12个基本事件，∴P (B )＝1216＝34，∴直线y ＝ax ＋b 与圆x 2＋y 2＝1有公共点的概率为34. (理)(2011·山东聊城模拟)已知某单位有50名职工，现要从中抽取10名职工，将全体职工随机按1～50编号，并按编号顺序平均分成10组，按各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样．(1)若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工的号码；(2)分别统计这10名职工的体重(单位：kg)，获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差；(3)在(2)的条件下，从这10名职工的体重不轻于73kg(≥73kg)的职工中随机抽取2名，求体重为76kg的职工被抽取到的概率．[解析](1)由题意，第5组抽出的号码为22.因为2＋5×(5－1)＝22，所以第1组抽出的号码为2，抽出的10名职工的号码分别为：2,7,12,17,22,27,32,37,42,47.(2)因为10名职工的平均体重为x－＝110(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71所以样本方差为：s2＝110(102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122)＝52.(3)解法1：从10名职工中的体重不轻于73kg的职工中随机抽取2名，共有10种不同的取法：(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)．设A 表示“抽到体重为76kg 的职工”，则A 包含的基本事件有4个：(73,76)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，故所求概率为P (A )＝410＝25.解法2：10名职工中，体重不轻于73kg 的职工有5名，从中任取2名有C 25＝10种不同取法，其中体重76kg 的职工被抽到的有4种取法，∴所求概率P ＝410＝25.1．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从到会教师中随机挑选一人表演节目．如果每位教师被选到的概率相等，而且选到男教师的概率为920，那么参加这次联欢会的教师共有( )A ．360人B ．240人C ．144人D ．120人[答案] D[解析] 设到会男教师x 人，则女教师为x ＋12人，由条件知，x x ＋(x ＋12)＝920，∴x ＝54，∴2x ＋12＝120，故选D. 2．(2011·温州八校期末)已知α、β、γ是不重合平面，a 、b 是不重合的直线，下列说法正确的是( )A ．“若a ∥b ，a ⊥α，则b ⊥α”是随机事件B ．“若a ∥b ，a ⊂α，则b ∥α”是必然事件C ．“若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β”是必然事件D ．“若a ⊥α，a ∩b ＝P ，则b ⊥α”是不可能事件[答案] D[解析] ⎭⎬⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α，故A 错；⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊂α⇒b ∥α或b ⊂α，故B 错；当α⊥γ，β⊥γ时，α与β可能平行，也可能相交(包括垂直)，故C 错；如果两条直线垂直于同一个平面，则此二直线必平行，故D 为真命题．3．(2011·奉贤区检测)在一次读书活动中，一同学从4本不同的科技书和2本不同的文艺书中任选3本，则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为( )A.15B.12C.23D.45[答案] D[解析] 因为文艺书只有2本，所以选取的3本书中必有科技书，这样问题就等价于求选取的3本书中有文艺书的概率．设4本不同的科技书为a ，b ，c ，d,2本不同的文艺书为e ，f ，则从这6本书中任选3本的可能情况有：(a ，b ，c )，(a ，b ，d )，(a ，b ，e )，(a ，b ，f )，(a ，c ，d )，(a ，c ，e )，(a ，c ，f )，(a ，d ，e )，(a ，d ，f )，(a ，e ，f )，(b ，c ，d )，(b ，c ，e )，(b ，c ，f )，(b ，d ，e )，(b ，d ，f )，(b ，e ，f )，(c ，d ，e )，(c ，d ，f )，(c ，e ，f )，(d ，e ，f )，共20种，记“选取的3本书中有文艺书”为事件A ，则事件A －包含的可能情况有：(a ，b ，c )，(a ，b ，d )，(a ，c ，d )，(b ，c ，d )，共4种，故P (A )＝1－P (A －)＝1－420＝45.4．已知a 、b 、c 为集合A ＝{1,2,3,4,5,6}中三个不同的数，如下框图给出的一个算法运行后输出一个整数a ，则输出的数a ＝5的概率是( )A.130B.15C.310D.12 [答案] C[解析] 由程序框图知，输入a 、b 、c 三数，输出其中的最大数，由于输出的数为5，故问题为从集合A 中任取三个数，求最大数为56 20＝310.的概率，∴P＝。
高三高考数学国步分项分类题及析答案米
高三高考数学国步分项分类题及析答案米火12-3不等式选讲 基础巩固强化1.若关于x 的不等式|ax ＋2|<6的解集为(－1,2)，则实数a 的值等于( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4 [答案] D[解析] 由条件知－1、2都是方程|ax ＋2|＝6的根，代入解得a ＝－4.2．(文)已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b1＋b ，则M 、N 的大小关系是( )A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．不确定[答案] B[解析] ∵0<a <1b ，∴ab <1，a >0，b >0， ∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b1＋b＝(1－a )(1＋b )＋(1＋a )(1－b )(1＋a )(1＋b )＝2(1－ab )(1＋a )(1＋b )>0，∴M >N .(理)若a ，b ∈(0，＋∞)，且a ≠b ，M ＝a b ＋ba ，N ＝a ＋b ，则M ，N 的大小关系为( )A ．M >NB ．M <NC ．M ≥ND ．M ≤N [答案] A[解析] 解法一：∵a ≠b ，∴a b ＋b >2a ，ba＋a >2b . ∴a b ＋b ＋ba ＋a >2a ＋2b ， ∴a b ＋ba >a ＋b .即M >N ，故选A. 解法二：∵a >0，b >0，a ≠b ， ∴M －N ＝a －b b ＋b －a a＝(a －b )(a －b )ab＝(a －b )2·(a ＋b )ab>0，∴M >N .3．(文)(2011·皖南八校联考)不等式|x ＋3|＋|x －1|≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．[－2,5]D ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)[答案] A[解析] 由绝对值的几何意义易知：|x ＋3|＋|x －1|的最小值为4，所以不等式|x ＋3|＋|x －1|≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.(理)已知命题p ：∀x ∈R ，|x ＋2|＋|x －1|≥m ，命题q ：∃x ∈R ，x 2－2mx ＋m 2＋m －3＝0，那么，“命题p 为真命题”是“命题q 为真命题”的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 由绝对值不等式的几何性质可知，∀x ∈R ，|x ＋2|＋|x －1|≥|(x ＋2)－(x －1)|＝3，故若命题p 为真命题，则m ≤3；当命题q 为真命题时，方程x 2－2mx ＋m 2＋m －3＝0有根，则Δ＝(－2m )2－4(m 2＋m －3)＝12－4m ≥0，解得m ≤3；所以“命题p 为真命题”是“命题q 为真命题”的充要条件．4．若a ，b ∈R 且a ≠b ，则在①a 2＋ab >2b 2；②a 5＋b 5>a 3b 2＋a 2b 3；③a 2＋b 2≥2(a －b －1)；④b a ＋ab >2.这四个式子中一定成立的有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个[答案] D[解析] ①中a 2＋ab －2b 2＝(a ＋b 2)2－94b 2>0不一定成立，②中a 5＋b 5－a 3b 2－a 2b 3＝a 3(a 2－b 2)＋b 3(b 2－a 2) ＝(a 2－b 2)(a 3－b 3)＝(a －b )2(a ＋b )(a 2＋ab ＋b 2)． 当a ＋b <0时，不等式不成立，③中a 2＋b 2－2a ＋2b ＋2＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0 故③成立，④中ab <0时不成立，故只有③正确．5．若不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 2－a 对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞)[答案] B[解析] ∵|x －4|＋|x ＋5|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1， x ≥4，9， －5<x <4，－2x －1， x ≤－5，∴|x －4|＋|x ＋5|≥9，∴log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2， 由题设条件知a 2－a <2，∴－1<a <2.6．(2012·济南二模)对于实数x 、y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为( )A ．5B ．4C ．8D ．7[答案] A[解析] 由题得，|x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －2)－2|≤|x －1|＋|2(y －2)|＋2≤5，即|x －2y ＋1|的最大值为5.7．(2011·郑州二检)不等式|x ＋1|－|x －2|>k 的解集为R ，则实数k 的取值范围为________．[答案] (－∞，－3)[解析] 解法一：根据绝对值的几何意义，设数x ，－1,2在数轴上对应的点分别为P 、A 、B ，则原不等式等价于|P A |－|PB |>k 恒成立．∵|AB |＝3，∴－3≤P (A )－P (B )≤3，∴|x ＋1|－|x －2|的最小值为－3.故当k <－3时，原不等式恒成立．解法二：令y ＝|x ＋1|－|x －2|，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－12x －1，－1<x <2，3，x ≥2要使|x ＋1|－|x －2|>k 恒成立，从图象中可以看出，只要k <－3即可．故k <－3满足题意．8．已知a 、b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则4a ＋1＋4b ＋1的最大值是________．[答案] 2 3[解析] ∵a 、b ∈R ＋，a ＋b ＝1， ∴4a ＋1＋4b ＋1≤2[(4a ＋1)2＋(4b ＋1)2]＝2 3.9．设m ＝a 2b 2＋5，n ＝2ab －a 2－4a ，若m >n ，则实数a ，b 满足的条件是________．[答案] ab ≠1或a ≠－2[解析] ∵m －n ＝a 2b 2＋5－(2ab －a 2－4a ) ＝a 2b 2－2ab ＋1＋a 2＋4a ＋4＝(ab －1)2＋(a ＋2)2>0， ∴ab ≠1或a ≠－2.10．(文)(2012·吉林省实验中学模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|.(1)求不等式f (x )≤6的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )>a 恒成立，求实数a 的取值范围． [解析] (1)原不等式等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧x >32，(2x ＋1)＋(2x －3)≤6，或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤32，(2x ＋1)－(2x －3)≤6，或⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，－(2x ＋1)－(2x －3)≤6.解得32<x ≤2或－12≤x ≤32或－1≤x <－12， ∴不等式的解集为{x |－1≤x ≤2}．(2)∵|2x ＋1|＋|2x －3|≥|(2x ＋1)－(2x －3)|＝4，若不等式f (x )>a 恒成立，只需a ＜4，故a 的取值范围是(－∞，4)．(理)(2012·昆明一中测试)已知函数f (x )＝|x －a |＋a ，若不等式f (x )≤4的解集为{x |2≤x ≤4}．(1)求a 的值；(2)若不等式f (x )≤mx 的解集非空，求m 的取值范围． [解析] (1)由|x －a |＋a ≤4得：|x －a |≤4－a ，∴a－4≤x－a≤4－a，即∴2a－4≤x≤4，又不等式f(x)≤4的解集为{x|2≤x≤4}，∴2a－4＝2，∴a＝3.(2)由函数y＝f(x)与函数y＝mx的图象可知，当且仅当m≥1或m<－1时，函数y＝f(x)与函数y＝mx的图象有交点．故不等式f(x)≤mx的解集非空时，m的取值范围为：(－∞，－1)∪[1，＋∞).能力拓展提升11.(文)(2011·课标全国文，24)设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0，(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集．(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．[解析] (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1. 故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为 {x |x ≥3或x ≤－1}． (2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0.此不等式化为不等式组⎩⎨⎧x ≥a ，x －a ＋3x ≤0，或⎩⎨⎧x <a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4，或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a2.因为a >0，所以x ≤－a2，所以原不等式的解集为{x |x ≤－a2}． 由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.(理)(2011·大同市高三模拟)已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝－|x ＋3|＋m .(1)解关于x 的不等式f (x )＋a －1>0(a ∈R )；(2)若函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，求m 的取值范围． [解析] (1)不等式f (x )＋a －1>0 即|x －2|＋a －1>0，当a ＝1时，解集为(－∞，2)∪(2，＋∞)； 当a >1时，解集为R ；当a <1时，解集为(－∞，a ＋1)∪(3－a ，＋∞)(2)f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方， 即为|x －2|>－|x ＋3|＋m 对任意实数x 恒成立， 即|x －2|＋|x ＋3|>m 恒成立，又对任意实数x 恒有|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5，于是得m <5，即m 的取值范围是(－∞，5)．12．(文)(2011·山西省四校联考)设对于任意实数x ，不等式|x ＋7|＋|x －1|≥m 恒成立．(1)求m 的取值范围；(2)当m 取最大值时，解关于x 的不等式|x －3|－2x ≤2m －12. [解析] (1)设f (x )＝|x ＋7|＋|x －1|， 则有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－6－2x ，x ≤－78，－7<x <12x ＋6，x ≥1.当x ≤－7时，f (x )有最小值8， 当－7<x <1时，f (x )恒等于8， 当x ≥1时，f (x )有最小值8， 综上可知，f (x )有最小值8， 所以m ≤8.(2)当m 取最大值8时，原不等式等价于：|x －3|－2x ≤4.即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3x －3－2x ≤4或⎩⎪⎨⎪⎧x <33－x －2x ≤4，解得x ≥3或－13≤x <3.所以原不等式的解集为{x |x ≥－13}．(理)(2012·河北保定市模拟)设f (x )＝ln(|x －1|＋m |x －2|－3)(m ∈R )．(1)当m ＝0时，求函数f (x )的定义域；(2)当0≤x ≤1时，是否存在m 使得f (x )≤0恒成立，若存在求出实数m 的取值范围，若不存在，说明理由．[解析] (1)当m ＝0时，|x －1|－3>0，∴x >4或x <－2，∴函数f (x )的定义域为 {x |x >4或x <－2}．(2)当0≤x ≤1时，f (x )＝ln[2m －(m ＋1)x －2]，f (x )≤0恒成立等价于0<2m －(m ＋1)x －2≤1恒成立，∴m >2＋x 2－x 且m ≤x ＋32－x.①∵0≤x ≤1，∴2＋x 2－x ＝－1＋42－x ∈[1,3]，∴m >(2＋x2－x)max ＝3，②∵0≤x ≤1，∴x ＋32－x ＝－1＋52－x ∈[32，4]，∴m ≤(x ＋32－x)min ＝32，∴不存在m 使得f (x )≤0恒成立．13．已知x ，y ，z 均为正数，求证：x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z . [证明] 因为x ，y ，z 都为正数， 所以x yz ＋y zx ＝1z (x y ＋y x )≥2z . 同理可得y zx ＋z xy ≥2x ，z xy ＋x yz ≥2y ，当且仅当x ＝y ＝z 时，以上三式等号都成立． 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2得， x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z .14．(2011·福建质检)已知a ，b 为正实数． (1)求证：a 2b ＋b 2a ≥a ＋b ；(2)利用(1)的结论求函数y ＝(1－x )2x ＋x 21－x (0<x <1)的最小值．[解析] (1)证法一：∵a >0，b >0， ∴(a ＋b )(a 2b ＋b 2a )＝a 2＋b 2＋a 3b ＋b 3a ≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2.∴a 2b ＋b 2a ≥a ＋b ，当且仅当a ＝b 时等号成立． 证法二：∵a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2ab ＝a 3－a 2b －(ab 2－b 3)ab ＝a 2(a －b )－b 2(a －b )ab ＝(a －b )2(a ＋b )ab. 又∵a >0，b >0，∴(a －b )2(a ＋b )ab ≥0，当且仅当a ＝b 时等号成立．∴a 2b ＋b 2a ≥a ＋b . (2)∵0<x <1，∴1－x >0，由(1)的结论，函数y ＝(1－x )2x ＋x 21－x ≥(1－x )＋x ＝1.当且仅当1－x ＝x 即x ＝12时等号成立． ∴函数y ＝(1－x )2x ＋x 21－x (0<x <1)的最小值为1.15．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8.[证明] 证法一：∵a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＋1ab ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＋1ab ＝2＋b a ＋a b ＋1ab ≥2＋2b a ·a b ＋1(a ＋b 2)2＝8，等号成立时，⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝ab ，a ＝b ，a ＋b ＝1，∴a ＝b ＝12.综上1a ＋1b ＋1ab ≥8.证法二：∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴ab ≤(a ＋b 2)2＝14， ∴1a ＋1b ＋1ab ＝a ＋b ＋1ab ＝2ab ≥8.1．(2011·山东烟台调研)实数x 满足log 3x ＝1＋sin θ，则|x －1|＋|x －9|的值为( )A ．8B ．－8C ．0D ．10[答案] A[解析] ∵－1≤sin θ≤1，∴log 3x ＝1＋sin θ∈[0,2]，∴1≤x ≤9， ∴|x －1|＋|x －9|＝(x －1)＋(9－x )＝8，故选A. 2．f (x )＝2x ＋31－x 的最大值为( ) A ．5B.121313C.13D.522[答案] C [解析] (2x ＋31－x )2≤(22＋32)[(x )2＋(1－x )2]＝13，∴2x ＋31－x ≤13，等号在x2＝1－x 3，即x ＝413时成立．3．已知M ＝a 2＋b 2，N ＝ab ＋a ＋b －1，则M ，N 的大小关系为( )A ．M >NB ．M <NC ．M ≥ND ．M ≤N[答案] C[解析] ∵(a 2＋b 2)－(ab ＋a ＋b －1)＝a 2＋b 2－ab －a －b ＋1 ＝12(2a 2＋2b 2－2ab －2a －2b ＋2)＝12[(a 2－2ab ＋b 2)＋(a 2－2a ＋1)＋(b 2－2b ＋1)] ＝12[(a －b )2＋(a －1)2＋(b －1)2]≥0， ∴a 2＋b 2≥ab ＋a ＋b －1，故选C.4．(2011·南昌调研)若不等式|x －2|＋|x ＋3|≥a ＋4a 对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．[答案] a <0或1≤a ≤4[解析] 令y ＝|x －2|＋|x ＋3| (x ∈R )，易知y ≥5，由题意可知，a ＋4a ≤5， 变形为(a －1)(a －4)a ≤0， 解之得，a <0或1≤a ≤4.5．若a >0，b >0，则p ＝(ab )a +b 2，q ＝a b ·b a 的大小关系是________．[答案] p ≥q[解析] ∵a >0，b >0，∴p ＝(ab )a +b 2>0，q ＝a b ·b a >0，pq ＝(ab )a +b2a b b a ＝aa -b 2·bb- a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ba +b 2.若a >b ，则ab >1，a －b 2>0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a +b 2>1；若a <b ，则0<ab <1，a －b 2<0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a +b 2>1；若a ＝b ，则ab ＝1，a －b 2＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a +b 2＝1.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a +b 2≥1，即pq ≥1.∵q >0，∴p ≥q .[点评] 可运用特值法，令a ＝1，b ＝1，则p ＝1，q ＝1，有p ＝q ；令a＝2，b＝4，有p＝83＝512，q＝24×42＝256，∴p>q，故填p≥q.。
高三高考数学国步分项分类题及析答案长
高三高考数学国步分项分类题及析答案长12-1几何证明选讲基础巩固强化1.如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，正方形DEFG 的边长是6cm ，且四个顶点都在△ABC 的各边上，CE ＝3 cm ，则BC 的长为( )A ．12cmB ．21cmC ．18cmD ．15cm[答案] B[解析] ∵四边形DEFG 是正方形，∴∠GDB ＝∠FEC ＝90°，GD ＝DE ＝EF ＝6 cm ，又∵∠B ＋∠C ＝90°，∠B ＋∠BGD ＝90°，∴∠C ＝∠BGD ，∴△BGD △FCE ， ∴BD EF ＝GD EC ，即BD ＝EF ·GD EC ＝12cm ，∴BC ＝BD ＋DE ＋EC ＝21cm.2．(文)如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，DE ∥BC 且AD DB ＝2，那么△ADE 与四边形DBCE 的面积比是( )A.23B.25C.45D.49[答案] C[解析] ∵DE ∥BC ，∴△ADE △ABC ，∴S △ADE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD AB 2， ∵AD DB ＝2，∴AD AB ＝23，∴S △ADE ＝49S △ABC ，∴S 四边形DEBC ＝59S △ABC ，∴S △ADES 四边形DBCE＝45，故选C. (理)如图所示，在▱ABCD 中，BC ＝24，E 、F 为BD 的三等分点，则BM －DN ＝( )A ．6B ．3C ．2D ．4[答案] A[解析] ∵E 、F 为BD 的三等分点，四边形为平行四边形，∴M 为BC 的中点，连CF 交AD 于P ，则P 为AD 的中点，由△BCF △DPF 及M 为BC 中点知，N 为DP 的中点，∴BM －DN ＝12－6＝6，故选A.3．(2012·天津十二校联考)如图所示，EA 是圆O 的切线，割线EB 交圆O 于点C ，C 在直径AB 上的射影为D ，CD ＝2，BD ＝4，则EA ＝( )A ．4B.52 C ．3D.12 [答案] B[解析] 根据题意可得BC 2＝CD 2＋BD 2＝22＋42＝20，即BC ＝2 5.由射影定理得BC 2＝AB ·BD ，即20＝4AB ，解得AB ＝5，所以AC ＝52－20＝5，设EA ＝x ，EC ＝y ，根据切割线定理可得x 2＝y (y ＋25)，即x 2＝y 2＋25y ，在Rt △ACE 中，x 2＝y 2＋(5)2，故25y＝5，解得y ＝52，故x 2＝54＋5＝254，得x ＝52，即EA ＝52.4.如图所示，矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝10，将此矩形折叠使点B 落在AD 边的中点E 处，则折痕FG 的长为( )A ．13 B.635 C.656 D.636[答案] C[解析] 过点A 作AH ∥FG 交DG 于H ，则四边形AFGH 为平行四边形．∴AH ＝FG .∵折叠后B 点与E 点重合，折痕为FG ，∴B 与E 关于FG 对称．∴BE ⊥FG ，∴BE ⊥AH .∴∠ABE ＝∠DAH ，∴Rt △ABE Rt △DAH . ∴BE AB ＝AH AD .∵AB ＝12，AD ＝10，AE ＝12AD ＝5，∴BE ＝122＋52＝13，∴FG ＝AH ＝BE ·AD AB ＝656. 5．(文)如图，⊙O 与⊙O ′相交于A 和B ，PQ 切⊙O 于P ，交⊙O ′于Q 和M ，交AB 的延长线于N ，MN ＝3，NQ ＝15，则PN ＝( )A．3 B.15C．3 2 D．3 5[答案] D[解析]由切割线定理知：PN2＝NB·NA＝MN·NQ＝3×15＝45，∴PN＝3 5.(理)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AP和过C的切线互相垂直，垂足为P，过B的切线交过C的切线于T，PB交⊙O于Q，若∠BTC＝120°，AB＝4，则PQ·PB＝()A ．2B ．3 C. 3 D ．2 3[答案] B[解析] 连接OC 、AC ，则OC ⊥PC ，则O 、C 、T 、B 四点共圆，∵∠BTC ＝120°，∴∠COB ＝60°，故∠AOC ＝120°.由AO ＝OC ＝2知AC ＝23，在Rt △APC 中，∠ACP ＝12∠AOC ＝60°，因此PC ＝ 3.根据切割线定理得PQ ·PB ＝PC 2＝3.6．两个相似三角形，面积分别为16cm 2和49cm 2，它们的周长相差6cm ，则较大三角形的周长为( )A ．21cmB ．2cmC ．14cm D.9811cm[答案] C[解析] 由相似三角形面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比知，周长之比为：4916＝74，设周长分别为7x 和4x ，则7x －4x＝6，∴x ＝2，∴较大三角形的周长为14cm.7．(文)(2011·西安质检)如图是某高速公路一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB ＝10m ，净高CD ＝7m ，则此圆的半径OA ＝________m.[答案] 377[解析] 设⊙O 的半径为R ，则在Rt △OAD 中，OA 2＝OD 2＋AD 2，即R 2＝(102)2＋(7－R )2，解得R ＝377m.(理)(2011·深圳调研)如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上异于A ，B 的点，CD ⊥AB ，垂足为D ，已知AD ＝2，CB ＝43，则CD ＝________.[答案]2 3[解析]根据射影定理得CB2＝BD×BA，即(43)2＝BD(BD＋2)，得BD＝6，又CD2＝AD×BD＝12，所以CD＝12＝2 3.8．(文)(2012·湖南理，11)如下图，过点P的直线与⊙O相交于A、B两点．若P A＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________．[答案] 6[解析]设圆半径为r，由割线定理：P A·PB＝(3－r)·(3＋r)，即1×3＝9－r2，r2＝6，∴r＝ 6.(理)(2011·北京西城区模拟)如图，从圆O外一点P引圆O的切线P A和割线PBC，已知P A＝22，PC＝4，圆心O到BC的距离为3，则圆O的半径为________．[答案] 2[解析] 设圆O 的半径为R .依题意得P A 2＝PB ·PC ，∴PB ＝P A 2PC ＝2，BC ＝PC －PB ＝2，∴R ＝(12BC )2＋(3)2＝2，即圆O 的半径为2.9．(2012·江南十校联考)如图，在圆的内接四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，∠ABD ＝30°，∠BDC ＝45°，AD ＝1，则BC ＝________.[答案] 2[解析] 连接AC .因为∠ABC ＝90°，所以AC 为圆的直径．又∠ACD ＝∠ABD ＝30°，所以AC ＝2AD ＝2.又∠BAC ＝∠BDC ＝45°，故BC ＝ 2.10．(2011·杭州市高三联考)如图，圆O 的直径AB ＝10，弦DE ⊥AB 于点H ，AH ＝2.(1)求DE的长；(2)延长ED到P，过P作圆O的切线，切点为C，若PC＝25，求PD的长．[解析](1)连接AD，DB，由于AB为圆O的直径，∴AD⊥DB.又AB⊥DE，DH＝HE，∴DH2＝AH×BH＝2×(10－2)＝16，DH＝4，DE＝8.(2)PC切圆O于点C，PC2＝PD×PE，∴(25)2＝PD(PD＋8)，∴PD＝2.能力拓展提升11.(文)(2011·佛山质检)如图，AB ，CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，PD ＝23a ，∠OAP ＝30°，则CP ＝________.[答案] 9a 8[解析] 因为点P 是AB 的中点，由垂径定理知，OP ⊥AB .在Rt △OP A 中，BP ＝AP ＝a cos30°＝32a .由相交弦定理知，BP ·AP ＝CP ·DP ，即32a ·32a ＝CP ·23a ，所以CP ＝98a .(理)(2012·广东理，15)如右图，圆O 的半径为1，A 、B 、C 是圆周上的三点，满足∠ABC ＝30°，过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ，则P A ＝________.[答案] 3[解析] 本题考查圆的相关知识，连结OA ，则∠AOC ＝60°，∵OA ＝1，OA ⊥P A ，∴AP ＝ 3.12．(文)(2012·天津，13)如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，EF ＝32，则线段CD 的长为________．[答案] 43[解析] 如图，由相交弦定理得AF ·FB ＝EF ·FC ，∴FC ＝AF ·FB EF ＝2，∵FC ∥BD ，∴FC BD ＝AF AB ，BD ＝FC ·AB AF ＝83.又由切割线定理知BD 2＝DC ·DA ，又由DA ＝4CD 知4DC 2＝BD 2＝649，∴DC ＝43.明确相交弦定理、切割线定理等是解题的关键．(理)(2011·惠州市模拟)如图，⊙O 的割线P AB 交⊙O 于A 、B 两点，割线PCD 经过圆心O ，已知P A ＝6，AB ＝223，PO ＝12，则⊙O的半径是________．[答案] 8[解析] 设⊙O 的半径是R ，∵P A ·PB ＝PC ·PD ＝(PO －R )(PO ＋R )＝PO 2－R 2，∴P A (P A ＋AB )＝PO 2－R 2，将P A ＝6，AB ＝223，PO ＝12代入得R ＝8.13．(文)(2012·湖北理，15)如下图，点D 在⊙O 的弦AB 上移动，AB ＝4，连接OD ，过点D 作OD 的垂线交⊙O 于点C ，则CD 的最大值为________．[答案] 2[解析] 本题考查圆的性质及勾股定理，∵CD ⊥OD ，∴OC 2＝OD 2＋CD 2，当OD 最小时，CD 最大，而OE 最小(E 为AB 的中点)，∴CD max ＝EB ＝2.(理)(2012·广州测试)如图，AB 是圆O 的直径，延长AB 至C ，使BC ＝2OB ，CD 是圆O 的切线，切点为D ，连接AD 、BD ，则AD BD 的值为________．[答案] 2[解析] 连接OD ，则OD ⊥CD .设圆O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝OD ＝r ，BC ＝2r .所以OC ＝3r ，CD ＝OC 2－OD 2＝22r .由弦切角定理得，∠CDB ＝∠CAD ，又∠DCB ＝∠ACD ，所以△CDB △CAD .所以AD BD＝AC CD ＝4r 22r＝ 2. 14．(文)如图以Rt △ABC 的直角边AB 为直径作⊙O ，与斜边AC 交于点D ，E 为BC 边的中点．(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)连结OE 、AE ，当∠CAB 为何值时，四边形AOED 是平行四边形，并在此条件下求sin ∠CAE 的值．[解析] (1)在△OBE 与△ODE 中，OB ＝OD ，OE ＝OE .∵E 、O 分别为BC 、AB 中点．∴EO∥AC，∴∠EOB＝∠DAO，∠DOE＝∠ADO，又∠OAD＝∠ADO，∴∠EOB＝∠DOE，∴△OBE△ODE，∴∠ODE＝∠OBE＝90°，∴ED是⊙O的切线．(2)∠CAB＝45°，sin∠CAE＝10 10.(理)如图，已知过△ABC顶点A的直线交BC的延长线于D，交△ABC的外接圆于点F，连结FB、FC，且FB＝FC.(1)求证：AD平分∠EAC；(2)若AB是△ABC的外接圆的直径，AD＝43，∠EAC＝120°，求BC的长．[解析](1)因为FB＝FC，所以∠FBC＝∠FCB，因为四边形AFBC 内接于圆，所以∠DAC＝∠FBC，又因为∠EAD＝∠F AB＝∠FCB.所以∠EAD＝∠CAD，所以AD平分∠EAC.(2)因为AB是△ABC的外接圆的直径，所以∠ACD＝90°，因为∠EAC＝120°，所以∠DAC＝12∠EAC＝60°，∠D＝30°，所以AC＝23，在Rt△ACB中，因为∠BAC＝60°，所以BC＝23tan60°＝6.15．(文)(2011·山西太原模拟)如图，AB是半圆O的直径，C是圆周上一点(异于A、B)，过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线AD，垂足为D，AD交半圆于点E.求证：CB＝CE.[证明]证法一：连结BE.因为AB是半圆O的直径，E为圆周上一点，所以∠AEB＝90°，即BE⊥AD.又因为AD⊥l，所以BE∥l.所以∠DCE＝∠CEB.因为直线l是圆O的切线，所以∠DCE＝∠CBE，所以∠CBE＝∠CEB，所以CE＝CB.证法二：连结AC，BE，在DC延长线上取一点F.因为AB是半圆O的直径，C为圆周上一点．所以∠ACB＝90°，即∠BCF＋∠ACD＝90°.又因为AD⊥l，所以∠DAC＋∠ACD＝90°，所以∠BCF＝∠DAC.又因为直线l是圆O的切线，所以∠CEB＝∠BCF.又∠DAC＝∠CBE，所以∠CBE＝∠CEB.所以CE＝CB.(理)如图，AB是圆O的直径，C是半径OB的中点，D是AB延长线上一点，且BD＝OB，直线MD与圆O相交于点M，T(不与A、B重合)，DN与圆O相切于点N，连接MC，MB，OT.(1)求证：DT·DM＝DO·DC；(2)若∠DOT＝60°，试求∠BMC的大小．[解析](1)证明：因MD与圆O相交于点T，由切割线定理得，DN2＝DT·DM，DN2＝DB·DA，所以DT·DM＝DB·DA，设半径OB＝r(r>0)，因BD＝OB，且BC＝OC＝r2，则DB ·DA ＝r ·3r ＝3r 2，DO ·DC ＝2r ·3r 2＝3r 2. 所以DT ·DM ＝DO ·DC .(2)由(1)可知，DT ·DM ＝DO ·DC ，且∠TDO ＝∠CDM ，故△DTO △DCM ，所以∠DOT ＝∠DMC .根据圆周角定理得，∠DOT ＝2∠DMB ，则∠BMC ＝30°.16．(文)(2011·新课标全国文，22)如图，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合，已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0的两个根．(1)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径．[解析] (1)连结DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD ×AB ＝mn ＝AE ×AC ，即ADAC＝AEAB.又∠DAE＝∠CAB，从而△ADE△ACB.因此∠ADE＝∠ACB.所以C，B，D，E四点共圆．(2)m＝4，n＝6时，方程x2－14x＋mn＝0的两根为x1＝2，x2＝12.故AD＝2，AB＝12.取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连结DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH，由于∠A＝90°，故GH∥AB，HF∥AC.从而HF＝AG＝5，DF＝12(12－2)＝5.故C，B，D，E四点所在圆的半径为5 2.(理)(2012·乌鲁木齐地区诊断)如图，已知P A与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，D为⊙O上一点，AD、BC相交于点E.(1)若AD＝AC，求证：AP∥CD；(2)若F为CE上一点使得∠EDF＝∠P，已知EF＝1，EB＝2，PB＝4，求P A的长．[解析](1)∵P A是⊙O的切线，AD是弦，∴∠P AD＝∠ACD.∵AD ＝AC ，∴∠ADC ＝∠ACD ，∴∠P AD ＝∠ADC ，∴AP ∥CD .(2)∵∠EDF ＝∠P ，又∠DEF ＝∠PEA ，∴△DEF △PEA ，有EF EA ＝ED EP ，即EF ·EP ＝EA ·ED .而AD 、BC 是⊙O 的相交弦，∴EC ·EB ＝EA ·ED ，故EC ·EB ＝EF ·EP ，∴EC ＝EF ·EP EB ＝1×(2＋4)2＝3. 由切割线定理有P A 2＝PB ·PC ＝4×(3＋2＋4)＝36，∴P A ＝6.1．(2011·广东湛江高考调研)如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，AD ＝2，AC ＝25，则AB ＝________.[答案] 10[解析] 由射影定理知，AC 2＝AD ·AB ，所以AB ＝(25)22＝10.2．如图所示，已知AB 为半⊙O 的直径，直线MN 切半圆于点C ，AD ⊥MN 于点D ，BE ⊥MN 于点E ，BE 交半圆于点F ，AD ＝3cm ，BE ＝7cm.(1)则⊙O 的半径为________；(2)则线段DE 的长为________．[答案] 5cm 221cm[解析] (1)连接OC .∵MN 切半圆于点C ，∴OC ⊥MN .∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴AD ∥OC ∥BE .∵OA ＝OB ，∴CD ＝CE .∴OC ＝12(AD ＋BE )＝5cm.∴⊙O 的半径为5cm.(2)连接AF .∵AB 为半⊙O 的直径，∴∠AFB ＝90°.∴∠AFE ＝90°.又∵∠ADE ＝∠DEF ＝90°，∴四边形ADEF 为矩形．∴DE ＝AF ，AD ＝EF ＝3cm.在Rt △ABF 中，BF ＝BE －EF ＝4cm ，AB ＝2OC ＝10cm.∴AF ＝AB 2－BF 2＝102－42＝221，∴DE ＝221cm.3．如图，已知P A 是⊙O 的切线，A 是切点，直线PO 交⊙O 于B 、C 两点，D 是OC 的中点，连接AD 并延长交⊙O 于点E .若P A ＝23，∠APB ＝30°，则AE ＝________.[答案] 1077[解析] ∵P A 是⊙O 的切线，∴OA ⊥P A ，在直角三角形P AO 中，tan30°＝AO P A ＝33.∵P A ＝23，∴AO ＝P A ·33＝2，即圆O 的半径为r ＝2，同理sin30°＝AO PO ＝12，∴PO ＝4.∵D 是OC 的中点，∴OD ＝DC ＝1，从而BD ＝BO ＋OD ＝2＋1＝3，PD ＝PO ＋OD ＝4＋1＝5，在三角形P AD 中，由余弦定理得：AD 2＝P A 2＋PD 2－2P A ·PD ·cos30°＝(23)2＋52－2×23×5×32＝7，∴AD ＝7，再由相交弦定理得：AD ·DE ＝BD ·DC ，即7·DE ＝3×1＝3，DE ＝377，∴AE ＝AD ＋DE ＝7＋377＝1077.4．(2012·保定市调研)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB ＝AC ，延长BC 到点D ，使得CD ＝AC ，连结AD 交⊙O 于点E ，连结BE .求证：(1)BE ＝DE ；(2)∠D ＝∠ACE .[证明] (1)∵CD ＝AC ，∴∠D ＝∠DAC ，又∠DAC＝∠EBC，∴∠D＝∠EBC，∴BE＝DE.(2)∵∠D＝∠DAC，∴∠ACB＝2∠DAC＝2∠D，又∠DAC＝∠EBC，∴∠ACB＝2∠EBC，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC.∴∠ABE＝∠EBC，∠D＝∠ABE，又∠ABE＝∠ACE，∴∠D＝∠ACE.5．(2012·河北郑口中学模拟)如图，已知直线AB过圆心O，交⊙O于A、B两点，直线AF交⊙O于F(不与B重合)，直线l与⊙O 相切于C，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连结AC.求证：(1)∠BAC＝∠CAG；(2)AC2＝AE·AF.[证明](1)连结BC，∵GC是⊙O的切线，∴∠CBA＝∠ACG，故在Rt △ACG 和Rt △ABC 中，∠GAC ＝∠BAC .(2)由(1)可知∠EAC ＝∠CAF ，连结CF ，又因为GE 与⊙O 相切于C ，所以∠GCF ＝∠CAG ＝∠EAC ＝∠ECB ，所以∠AFC ＝90°＋∠GCF ＝90°＋∠ECB ＝∠ACE .所以△AFC △ACE ，所以AC AE ＝AF AC .所以AC 2＝AE ·AF .6．如图AB 是⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，过点D 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点C ，若DA ＝DC ，求证：AB ＝2BC .[解析] 连结OD 、BD .因为AB 是圆O 的直径，所以∠ADB ＝90°，AB ＝2OB ，因为DC 是圆O 的切线，所以∠CDO ＝90°.又因为DA ＝DC ，所以∠A ＝∠C ，于是△ADB△CDO ，从而AB ＝CO ，即2OB ＝OB ＋BC ，得OB＝BC .故AB ＝2BC .7．如图，已知圆上的弧AC ︵＝BD ︵，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：(1)∠ACE ＝∠BCD ；(2)BC 2＝BE ×CD .[解析] (1)因为AC ︵＝BD ︵.所以∠BCD ＝∠ABC .又因为EC 与圆相切于点C ，故∠ACE ＝∠ABC ，所以∠ACE ＝∠BCD .(2)因为∠ECB ＝∠CDB ，∠EBC ＝∠BCD ，所以△BDC △ECB ，故BC BE ＝CD BC ，即BC 2＝BE ×CD .8．(2012·山西联考)已知点C 在⊙O 的直径BE 的延长线上，CA 切⊙O 于A 点，CD 是∠ACB 的角平分线且交AE 于点F ，交AB 于点D .(1)求∠ADF 的度数；(2)若AB ＝AC ，求AC BC 的值．[解析] (1)∵AC 是⊙O 的切线，∴∠B ＝∠EAC .CD 是∠ACB 的角平分线，∴∠ACD ＝∠DCB ，∴∠ACD ＋∠EAC ＝∠B ＋∠DCB ，得∠ADF ＝∠AFD .又∵∠BAE ＝90°，∴∠ADF ＝12∠BAE ＝45°.(2)∵AB ＝AC ，∴∠ACB ＝∠B ＝∠EAC ，∠ACB ＝∠ACB .∴△ACB △ECA ，∴AE ＝EC ，AC BC ＝EC AC ＝AE AB ，又∵∠ACE ＋∠ABC ＋∠CAE ＋∠BAE ＝180°，∴∠ACB ＝∠B ＝30°，∴在Rt △ABE 中，AC BC ＝AE AB ＝tan30°＝33.9.(2012·郑州市质检)如图，在正△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，且BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，AD 、BE 相交于点P ，求证：(1)四点P 、D 、C 、E 共圆；(2)AP ⊥CP .[证明] (1)在△ABC 中，由BD ＝13BC ，CE ＝13AC ，知：△ABD △BCE ，∴∠ADB ＝∠BEC ，即∠ADC ＋∠BEC ＝π.所以四点P 、D 、C 、E 共圆；(2)如图，连结DE .在△CDE中，CD＝2CE，∠ACD＝60°，由正弦定理知∠CED＝90°.由四点P、D、C、E共圆，知∠DPC＝∠DEC，所以AP⊥CP.。
高三高考数学国步分项分类题及析答案月
高三高考数学国步分项分类题及析答案月8-7圆锥曲线的综合问题(理)基础巩固强化1.(2012·潍坊教学质量监测)椭圆x 24＋y 23＝1的离心率为e ，点(1，e )是圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是( )A ．3x ＋2y －4＝0B ．4x ＋6y －7＝0C ．3x －2y －2＝0D ．4x －6y －1＝0[答案] B[解析] 依题意得e ＝12，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点(1，12)的连线的斜率为2－122－1＝32，则所求直线的斜率等于－23，所以所求直线方程是y －12＝－23(x －1)，即4x ＋6y －7＝0，选B.2．(2011·宁波十校联考)已知抛物线y ＝－x 2＋3上存在关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于( )A ．3B ．4C ．3 2D ．4 2[答案] C[解析] 设A (x 1,3－x 21)，B (x 2,3－x 22)，由于A 、B 关于直线x ＋y ＝0对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝x 22－3，3－x 21＝－x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－2，x 2＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝－2，设直线AB 的斜率为k AB ，∴|AB |＝1＋k 2AB |x 1－x 2|＝3 2.故选C.3．设F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A 是抛物线C 1与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的一个公共点，且AF⊥x 轴，则双曲线的离心率为( )A ．2 B. 3 C.52 D. 5[答案] D[解析] 由题意可知，抛物线C 1的焦点为F (p2，0)，因为AF ⊥x轴，则A (p 2，±p )，不妨取A (p 2，p )，则双曲线C 2的渐近线的斜率为pp2＝b a ，∴b a ＝2，令a ＝1，则b ＝2，c ＝a 2＋b 2＝5，∴e ＝ca＝ 5. 4．(2011·南昌检测)过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.22 B.33 C.12 D.13 [答案] B[解析] 记|F 1F 2|＝2c ，则|PF 1|＝2c 3，|PF 2|＝4c3，所以椭圆的离心率为|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝2c 2c 3＋4c 3＝33，选B.5．(2011·台州二模)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则|AF ||BF |的值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2 [答案] C[解析] 由题意设直线l 的方程为y ＝3(x －p 2)，即x ＝y 3＋p2，代入抛物线方程y 2＝2px 中，整理得3y 2－2py －3p 2＝0，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则y A ＝3p ，y B ＝－33p ，所以|AF ||BF |＝|y Ay B|＝3.6．(2012·东北三校一模)已知直线y ＝12x 与双曲线x 29－y 24＝1交于A 、B 两点，P 为双曲线上不同于A ，B 的点，当直线PA ，PB 的斜率k P A ，k PB 存在时，k P A ·k PB ＝( )A.49 B.12C.23 D ．与P 点位置有关[答案] A[解析]设点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、P (x 0，y 0)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ，x 29－y 24＝1，消去x 得y 2＝367，y 1＋y 2＝0，y 1y 2＝－367，(y 1＋y 0)(y 2＋y 0)＝y 1y 2＋y 20＋y 0(y 1＋y 2)＝y 20－367，(x 1＋x 0)(x 2＋x 0)＝(2y 1＋x 0)(2y 2＋x 0)＝4y 1y 2＋x 20＋2x 0(y 1＋y 2)＝4y 1y 2＋x 20＝x 2－4×367＝9(y 204＋1)－4×367＝94(y 20－367)，x 1＋x 0y 1＋y 0·x 2＋x 0y 2＋y 0＝94. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 219－y 214＝1x 209－y 204＝1得x 21－x 209＝y 21－y 204，即y 1－y 0x 1－x 0＝49·x 1＋x 0y 1＋y 0，同理有y 2－y 0x 2－x 0＝49·x 2＋x 0y 2＋y 0，于是有k P A ·k PB ＝y 1－y 0x 1－x 0·y 2－y 0x 2－x 0＝(49)2·x 1＋x 0y 1＋y 0·x 2＋x 0y 2＋y 0＝(49)2×94＝49，选A. 7．已知过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率e 的取值范围是________．[答案] (1，2)[解析] 由条件知，渐近线的倾斜角小于45°，即ba <1，∴c 2－a 2a 2<1，∴c 2a2<2， 即e 2<2，∵e >1，∴1<e < 2.8．设直线l ：y ＝2x ＋2，若l 与椭圆x 2＋y24＝1的交点为A 、B ，点P 为椭圆上的动点，则使△PAB 的面积为2－1的点P 的个数为________．[答案] 3[解析] 设与l 平行且与椭圆相切的直线方程为y ＝2x ＋b ，代入x 2＋y 24＝1中消去y 得，8x 2＋4bx ＋b 2－4＝0，由Δ＝16b 2－32(b 2－4)＝0得，b ＝±22，显见y ＝2x ＋2与两轴交点为椭圆的两顶点A (－1,0)，B (0,2)，∵直线y ＝2x ＋22与l 距离d ＝22－25，∴欲使S △ABP ＝12|AB |·h ＝52h ＝2－1，须使h ＝22－25，∵d ＝h ，∴直线y ＝2x ＋22与椭圆切点，及y ＝2x ＋4－22与椭圆交点均满足，∴这样的点P 有3个．9．已知F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，若椭圆上存在点P ，使得直线PF 与圆x 2＋y 2＝b 2相切，当直线PF 的倾斜角为2π3时，此椭圆的离心率是________．[答案]277[解析] 依题意得OP ⊥PF ，∵直线PF 的倾斜角为2π3，∴∠OFP＝π3，∴sin π3＝b c ＝32，椭圆的离心率e ＝c a ＝c c 2＋b 2＝11＋(b c)2＝11＋(32)2＝277.10．(2012·昆明一中测试)过抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，当点A 的纵坐标为1时，|AF |＝2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 的斜率为2，问抛物线C 上是否存在一点M ，使得MA ⊥MB ，并说明理由．[解析] (1)由抛物线的定义得|AF |等于点A 到准线y ＝－p 2的距离，∴1＋p2＝2，∴p ＝2，∴抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)抛物线C 的焦点为F (0,1)，直线l 的方程y ＝2x ＋1，设点A 、B 、M 的坐标分别为(x 1，x 214)、(x 2，x 224)、(x 0，x 24)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4yy ＝2x ＋1消去y 得，x 2＝4(2x ＋1)，即x 2－8x －4＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝－4. ∵MA ⊥MB ，∴MA →·MB →＝0，∴(x 1－x 0)(x 2－x 0)＋(x 214－x 204)(x 224－x 204)＝0，∴(x 1－x 0)(x 2－x 0)＋116(x 1－x 0)(x 2－x 0)(x 1＋x 0)(x 2＋x 0)＝0.∵M 不与A ，B 重合，∴(x 1－x 0)(x 2－x 0)≠0，∴1＋116(x 1＋x 0)(x 2＋x 0)＝0，x 1x 2＋(x 1＋x 2)x 0＋x 20＋16＝0， ∴x 20＋8x 0＋12＝0，∵Δ＝64－48>0.∴方程x 20＋8x 0＋12＝0有解，即抛物线C 上存在一点M ，使得MA ⊥MB .能力拓展提升11.(2011·大纲全国理，10)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )A.45B.35 C ．－35D ．－45[答案] D[解析] 方法一：联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝2x －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，不妨设A 在x 轴上方，∴A (4,4)，B (1，－2)，∵F 点坐标为(1,0)，∴FA →＝(3,4)，FB →＝(0，－2)， cos ∠AFB ＝FA →·FB →|FA →|·|FB →|＝－85×2＝－45.方法二：同上求得A (4,4)，B (1，－2)，|AB |＝35，|AF |＝5，|BF |＝2，由余弦定理知，cos ∠AFB ＝|AF |2＋|BF |2－|AB |22·|AF |·|BF |＝－45.12.(2012·江西七校联考)如图，有公共左顶点和公共左焦点F 的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a 1和a 2，半焦距分别为c 1和c 2.则下列结论不正确的是( )A ．a 1＋c 1>a 2＋c 2B ．a 1－c 1＝a 2－c 2C ．a 1c 2<a 2c 1D ．a 1c 2>a 2c 1[答案] D[解析] 依题意得，a 1>a 2，c 1>c 2，a 1＋c 1＞a 2＋c 2；两个椭圆的左焦点到左顶点的距离相等，即有a 1－c 1＝a 2－c 2；由a 1>a 2，得1a 1<1a 2，又a 1－c 1＝a 2－c 2，因此a 1－c 1a 1<a 2－c 2a 2，即有c 2a 2<c 1a 1，a 1c 2<a 2c 1.因此，不正确的结论是D ，选D.13．若直线mx ＋ny －5＝0与圆x 2＋y 2＝5没有公共点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 27＋y 25＝1的公共点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无法确定 [答案] C[解析] 因为直线mx ＋ny －5＝0与圆x 2＋y 2＝5没有公共点，所以5m 2＋n2>5，即m 2＋n 2<5，所以点P (m ，n )在圆x 2＋y 2＝5的内部，而该圆在椭圆x 27＋y 25＝1内部，故点P (m ，n )在椭圆x 27＋y 25＝1的内部，所以过点P (m ，n )的直线与椭圆x 27＋y 25＝1一定相交，故公共点的个数是2.14．(2012·安徽文，14)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．若|AF |＝3，则|BF |＝________.[答案] 32[解析] 本题考查抛物线定义、直线与抛物线的位置关系． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由|AF |＝3及抛物线定义可知x 1＋1＝3，x 1＝2，∴A (2,22)，则直线AF 斜率为k ＝22－02－1＝22，所以AB 方程为y ＝22(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝22(x －1)，联立消去y 得，2x 2－5x ＋2＝0，解之得x 1＝2，x 2＝12，∴B (12，－2)，所以|BF |＝x 2＋1＝12＋1＝32.15．已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F 与x 轴不垂直的直线l 交椭圆于P ，Q 两点．(1)求椭圆的方程；(2)当直线l 的斜率为1时，求△POQ 的面积；(3)在线段OF 上是否存在点M (m,0)，使得以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．[解析] (1)由已知，椭圆方程可设为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，∴b ＝c ＝1，a ＝ 2.所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)右焦点F (1,0)，直线l 的方程为y ＝x －1. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2，y ＝x －1，消去x 得，3y 2＋2y －1＝0， 解得y 1＝－1，y 2＝13.∴S △POQ ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12|y 1－y 2|＝23.(3)假设在线段OF 上存在点M (m,0)(0<m <1)，使得以MP 、MQ 为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x 轴不垂直，所以设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2y ＝k (x －1)可得，(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0. ∴x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k2. MP →＝(x 1－m ，y 1)，MQ →＝(x 2－m ，y 2)，PQ →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．其中x 2－x 1≠0以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形⇔(MP →＋MQ →)⊥PQ →⇔(MP →＋MQ →)·PQ →＝0 ⇔(x 1＋x 2－2m ，y 1＋y 2)·(x 2－x 1，y 2－y 1)＝0 ⇔(x 1＋x 2－2m )(x 2－x 1)＋(y 1＋y 2)(y 2－y 1)＝0⇔(x 1＋x 2－2m )＋k (y 1＋y 2)＝0⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 21＋2k 2－2m ＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 21＋2k 2－2＝0 ⇔2k 2－(2＋4k 2)m ＝0⇔m ＝k 21＋2k 2(k ≠0)． ∴0<m <12. 16．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，坐标原点到直线AB 的距离为32，其中A (0，－b )，B (a,0)． (1)求双曲线的标准方程；(2)设F 是双曲线的右焦点，直线l 过点F 且与双曲线的右支交于不同的两点P 、Q ，点M 为线段PQ 的中点．若点M 在直线x ＝－2上的射影为N ，满足PN →·QN →＝0，且|PQ →|＝10，求直线l 的方程．[解析] (1)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝2，ab a 2＋b 2＝32，a 2＋b 2＝c 2.解得a ＝1，b ＝3，c ＝2.所以，所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1. (2)当直线l ⊥x 轴时，|PQ →|＝6，不合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)．由⎩⎨⎧ x 2－y 23＝1(x >0)，y ＝k (x －2)，消去y 得，(3－k 2)x 2＋4k 2x －4k 2－3＝0.①因为直线与双曲线的右支交于不同两点，所以3－k 2≠0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则x 1、x 2是方程①的两个正根，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝4k 2k 2－3>0，x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3>0，Δ＝(4k 2)2－4(3－k 2)(－4k 2－3)>0，所以k 2>3.②因为PN →·QN →＝0，则PN ⊥QN ，又M 为PQ 的中点，|PQ →|＝10，所以|PM |＝|MN |＝|MQ |＝12|PQ |＝5. 又|MN |＝x 0＋2＝5，∴x 0＝3，而x 0＝x 1＋x 22＝2k 2k 2－3＝3，∴k 2＝9，解得k ＝±3. ∵k ＝±3满足②式，∴k ＝±3符合题意．所以直线l 的方程为y ＝±3(x －2)．即3x －y －6＝0或3x ＋y －6＝0.1．(2011·辽宁文，7)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1C.54D.74[答案] C[解析] 如图所示：∵|AF |＝|AK |，|BF |＝|BM |，∴|AK |＋|BM |＝|AF |＋|BF |＝3，∴AB 的中点P 到准线的距离为：|PN |＝12(|AK |＋|BM |)＝32∴点P 到y 轴的距离为32－14＝54.2.(2012·镇江调研)已知抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，过它的顶点O 作两条互相垂直的弦OA ，OB .(1)证明直线AB 过定点；(2)求抛物线顶点O 在AB 上射影M 的轨迹方程．[解析] (1)不妨设A (2px 21，2px 1)，B (2px 22，2px 2)(x 1≠x 2)，则直线AB 的斜率是1x 1＋x 2， 于是l AB ：y －2px 2＝1x 1＋x 2(x －2px 22)， 即(x 1＋x 2)y ＝2px 1x 2＋x ，又∵OA ⊥OB ，∴1x 1·1x 2＝－1. 因此，直线方程为(x 1＋x 2)y ＝－2p ＋x ，令y ＝0得x ＝2p ， ∴l AB 恒过定点(2p,0)．(2)由(1)的结论可知，AB 过定点N (2p,0)．设M (x ，y )，当AB 斜率存在时，由K OM ·K AB ＝－1可知， y x ·y x －2p＝－1，即(x －p )2＋y 2＝p 2. 当AB ⊥x 轴时，点M 与点N 重合，方程也满足．∴点M 的轨迹方程是(x －p )2＋y 2＝p 2.它表示以点(p,0)为圆心，p 为半径的圆(去掉坐标原点)．3．已知动点P 到定点F (2，0)的距离与点P 到定直线l ：x ＝22的距离之比为22. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设M 、N 是直线l 上的两个点，点E 与点F 关于原点O 对称，若EM →·FN →＝0，求|MN |的最小值．[解析] (1)设点P (x ，y )，依题意有，(x －2)2＋y 2|x －22|＝22，整理得x 24＋y 22＝1， 所以动点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)∵点E 与点F 关于原点O 对称，∴点E 的坐标为(－2，0)．∵M 、N 是直线l 上的两个点，∴可设M (22，y 1)，N (22，y 2)(不妨设y 1>y 2)． ∵EM →·FN →＝0，∴(32，y 1)·(2，y 2)＝0，∴6＋y 1y 2＝0，即y 2＝－6y 1由于y 1>y 2，∴y 1>0，y 2<0.∴|MN |＝y 1－y 2＝y 1＋6y 1≥2y 1·6y 1＝2 6. 当且仅当y 1＝6，y 2＝－6时，等号成立． 故|MN |的最小值为2 6.。
高三高考数学国步分项分类题及析答案工
高三高考数学国步分项分类题及析答案工11-3推理与证明基础巩固强化1.(文)(2012·江西理，6)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝() A．28B．76C．123 D．199[答案] C[解析]本题考查了归纳推理能力，∵1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11,7＋11＝18,11＋18＝29，…，47＋76＝123，故选C.[点评]解答本题时，可能因为分析不出右边数字与前两式的数字关系，从而无从下手，导致无法解题或错选，要注意训练观察分析、归纳概括能力．(理)已知函数f(x)＝sin x＋e x＋x2013，令f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，f n＋1(x)＝f n′(x)，则f2014(x)＝()A．sin x＋e x B．cos x＋e xC．－sin x＋e x D．－cos x＋e x[答案] C[解析]f1(x)＝f′(x)＝cos x＋e x＋2013x2012，f2(x)＝f1′(x)＝－sin x＋e x＋2013×2012x2011，f3(x)＝f2′(x)＝－cos x＋e x＋2013×2012×2011x2010，f4(x)＝f3′(x)＝sin x＋e x＋2013×2012×2011×2010x2009，由此可以看出，该函数前2项的和成周期性变化，周期T＝4；而f2014(x)＝f′2013(x)，此时其最后一项的导数将变为0.故求f2014(x)的值，只需研究该函数前2项和的变化规律即可，于是，f 2014(x )＝f (2＋4×503)(x )＝－sin x ＋e x .2．(文)(2011·惠州模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)、P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3|[答案] C[解析]如图所示，y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，P 1A ⊥l ，P 2B ⊥l ，P 3C ⊥l . 由抛物线定义知：|P 1F |＝|P 1A |＝x 1＋p 2，|P 2F |＝|P 2B |＝x 2＋p 2，|P 3F |＝|P 3C |＝x 3＋p 2，∴2|P 2F |＝2(x 2＋p 2)＝2x 2＋p ，|P 1F |＋|P 3F |＝(x 1＋p 2)＋(x 3＋p 2)＝x 1＋x 3＋p .又∵2x 2＝x 1＋x 3，∴2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|.(理)(2011·山东实验中学期末)具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ，②y ＝x ＋1x ，③y ＝⎩⎨⎧ x ，(0<x <1)0，(x ＝1)－1x ，(x >1)中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①②B ．②③C ．①③D ．只有①[答案] C [解析] ①对于函数f (x )＝x －1x ，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝－f (x )，∴①是“倒负”变换的函数，排除B ；②对于函数f (x )＝x ＋1x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )不满足“倒负”变换，排除A ；③，当0<x <1时，1x >1，∵f (x )＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－11x＝－x ＝－f (x )； 当x >1时，0<1x <1，∵f (x )＝－1x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＝－f (x )；当x ＝1时，1x ＝1， ∵f (x )＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝f (1)＝0＝－f (x )， ∴③是满足“倒负”变换的函数，故选C.3.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝a ，CD ＝b (a >b )．若EF ∥AB ，EF 到CD 与AB 的距离之比为m n ，则可推算出：EF ＝ma ＋nb m ＋n，试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形ABCD 中，延长梯形两腰AD 、BC 相交于O 点，设△OAB 、△OCD 的面积分别为S 1、S 2，EF ∥AB ，且EF 到CD 与AB 的距离之比为m n ，则△OEF 的面积S 0与S 1、S 2的关系是( )A ．S 0＝mS 1＋nS 2m ＋nB ．S 0＝nS 1＋mS 2m ＋n C.S 0＝m S 1＋n S 2m ＋nD.S 0＝n S 1＋m S 2m ＋n[答案] C[解析] 根据面积比等于相似比的平方求解．4．(2011·咸阳市高考模拟考试)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16…这样的数称为“正方形数”．如图，可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式是( )①13＝3＋10；②25＝9＋16；③36＝15＋21；④49＝18＋31；⑤64＝28＋36.A．①④B．②⑤C．③⑤D．②③[答案] C[解析]这些“三角形数”依次是1,3,6,10,15,21,28,36,45，…且“正方形数”是“三角形数”中相邻两数之和，很容易得到：15＋21＝36,28＋36＝64，只有③⑤是对的．5．设⊕是R上的一个运算，A是R的非空子集，若对任意a、b ↔A，有a⊕b↔A，则称A对运算⊕封闭，下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是()A．自然数集B．整数集C．有理数集D．无理数集[答案] C[解析]令a＝1，b＝2，ab＝12，可排除A、B.令a＝2，b＝32，ba＝3，可排除D，故选C.[点评]这是一个信息给予题，用筛选法(即排除法解)更加简便．6．规定一机器狗每秒钟只能前进或后退一步，现程序设计师让机器狗以“前进3步，然后再退2步”的规律移动．如果将此机器狗放在数轴原点，面向正方向，以1步的距离为1个单位长度移动，令P(n)表示第n s时机器狗所在的位置坐标，且P(0)＝0，则下列结论中正确的是( )A ．P (2012)＝404B ．P (2013)＝404C ．P (2014)＝405D ．P (2015)＝405 [答案] A[解析] 显然每5s 前进一个单位，且P (1)＝1，P (2)＝2，P (3)＝3，P (4)＝2，P (5)＝1，∴P (2012)＝P (5×402＋2)＝402＋2＝404，P (2013)＝405，P (2014)＝404，P (2015)＝403，故选A.7．已知整数对排列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，…，按以上构造规律，第2014个数对是________．[答案] (61,3)[解析] 所给各数对依次为对整数2,3,4,5，…的分解，且是第一个数从小到大依次分解，2的分解有一个(1,1)，3的分解有两个(1,2)，(2,1)，4的分解有(1,3)，(2,2)，(3,1)，n (n ≥2，n ∈N )的分解有n －1个，由(n －1)[1＋(n －1)]2≤2014得，n ≤63， ∵n ＝63时，(63－1)×632＝1953，故第2014个数对为64的分解第61对，由(1,63)，(2,62)，(3,61)，(4,60)，…知，第61对为(61,3)．8．(2011·湘潭五模)已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若6＋a t ＝6at ，(a ，t 均为正实数)，类比以上等式，可推测a ，t 的值，则a ＋t ＝________.[答案] 41[解析]根据题中所列的前几项的规律可知其通项应为n＋nn2－1＝nnn2－1，所以当n＝6时a＝6，t＝35，a＋t＝41.9．(2011·江西吉安期末)请阅读下列材料：若两个正实数a1，a2满足a21＋a22＝1，那么a1＋a2≤ 2.证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x －a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1.因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤ 2.类比上述结论，若n个正实数满足a21＋a22＋…＋a2n＝1，你能得到的结论为________．[答案]a1＋a2＋…＋a n≤n(n↔N*)[解析]构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－a n)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋a n)x＋1，∵f(x)≥0对任意实数x都成立，∴Δ＝4(a1＋a2＋…＋a n)2－4n≤0，∵a1，a2，…，a n都是正数，∴a1＋a2＋…＋a n≤n.10．设{a n}是公比为q的等比数列，S n是它的前n项和．(1)求证：数列{S n}不是等比数列；(2)数列{S n}是等差数列吗？为什么？[证明](1)证法一(反证法)：若{S n}是等比数列，则S22＝S1S3，即a21(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)．∵a1≠0，∴(1＋q)2＝1＋q＋q2，∴q＝0，与q≠0矛盾，故{S n}不是等比数列．证法二：只需证明S n S n＋2≠S2n＋1.∵S n＋1＝a1＋qS n，S n＋2＝a1＋qS n＋1，∴S n S n＋2－S2n＋1＝S n(a1＋qS n＋1)－(a1＋qS n)S n＋1＝a1(S n－S n＋1)＝－a1a n＋1≠0.故{S n}不是等比数列．(2)当q ＝1时，{S n }是等差数列．当q ≠1时，{S n }不是等差数列，否则由S 1，S 2，S 3成等差数列得，2S 2＝S 1＋S 3.∴2a 1(1＋q )＝a 1＋a 1(1＋q ＋q 2)．由于a 1≠0，∴2(1＋q )＝2＋q ＋q 2，q ＝q 2，∵q ≠1，∴q ＝0，与q ≠0矛盾.能力拓展提升11.下图为某三岔路口交通环岛的简化模型．在某高峰时段，单位时间进出路口A 、B 、C 的机动车辆数如图所示，图中x 1、x 2、x 3分别表示该时段单位时间通过路段AB ︵、BC ︵、CA ︵的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)，则( )A ．x 1>x 2>x 3B ．x 1>x 3>x 2C ．x 2>x 3>x 1D ．x 3>x 2>x 1[答案] C[解析] ∵x 1＝50＋(x 3－55)＝x 3－5⇒x 3>x 1，x 2＝30＋(x 1－20)＝x 1＋10⇒x 2>x 1，x 3＝30＋(x 2－35)＝x 2－5⇒x 2>x 3，∴x 2>x 3>x 1，∴选C.[点评] 抓住“同一路段上驶入与驶出的车辆数相等”这一信息是解题的关键，考查阅读理解能力．12．(文)(2011·泉州模拟)考察下列一组不等式：23＋53>22·5＋2·52,24＋54>23·5＋2·53,2 52 ＋5 52 >22·5 12 ＋2 12·52，….将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为________________________．[答案] a m ＋n ＋b m ＋n >a m b n ＋a n b m (a ，b >0，a ≠b ，m ，n >0)[解析] 由“23＋53>22·5＋2·52”，“24＋54>23·5＋2·53”，“2 52 ＋5 52 >22·5 12 ＋2 12 ·5”，可得推广形式的最基本的印象：应具有“□□＋□□>□□·□□＋□□·□□”的形式．再分析底数间的关系，可得较细致的印象：应具有“a □＋b □>a □·b □＋a □·b □”的形式．再分析指数间的关系，可得准确的推广形式：a m ＋n ＋b m ＋n >a m b n ＋a n b m (a ，b >0，a ≠b ，m ，n >0)．(理)观察等式：sin 230°＋cos 260°＋sin30°cos60°＝34，sin 220°＋cos 250°＋sin20°cos50°＝34和sin 215°＋cos 245°＋sin15°cos45°＝34，…，由此得出以下推广命题，则推广不正确的是( )A ．sin 2α＋cos 2β＋sin αcos β＝34B ．sin 2(α－30°)＋cos 2α＋sin(α－30°)cos α＝34C ．sin 2(α－15°)＋cos 2(α＋15°)＋sin(α－15°)cos(α＋15°)＝34 D ．sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34 [答案] A[解析] 观察已知等式不难发现，60°－30°＝50°－20°＝45°－15°＝30°，推广后的命题应具备此关系，但A 中α与β无联系，从而推断错误的命题为A.选A.13．(文)(2011·江苏苏州测试、南宁模拟)已知结论：“在三边长都相等的△ABC 中，若D 是BC 的中点，G 是△ABC 外接圆的圆心，则AG GD ＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD 中，若M 是△BCD 的三边中线的交点，O 为四面体ABCD 外接球的球心，则AO OM ＝________.”[答案] 3[解析]如图，易知球心O 在线段AM 上，不妨设四面体ABCD 的边长为1，外接球的半径为R ，则BM ＝32×23＝33，AM ＝12－(33)2＝63， R ＝(63－R )2＋(33)2，解得R ＝64.于是，AOOM ＝6463－64＝3.(理)如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i ＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为h i (i ＝1,2,3,4)，若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ，则∑i ＝14 (i h i )＝2Sk .类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i ＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i 个面的距离记为H i (i ＝1,2,3,4)，若S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝k，则∑i ＝14 (i H i )的值为( )A.4V kB.3V kC.2V kD.V k[答案] B[解析] 在平面四边形中，连接P 点与各个顶点，将其分成四个小三角形，根据三角形面积公式，得S ＝12(a 1h 1＋a 2h 2＋a 3h 3＋a 4h 4)＝12(kh 1＋2kh 2＋3kh 3＋4kh 4)＝k 2∑i ＝14(i h i )．所以∑i ＝14 (i h i )＝2Sk .类似地，连接Q 点与三棱锥的四个顶点，将其分成四个小三棱锥，则有V ＝13(S 1H 1＋S 2H 2＋S 3H 3＋S 4H 4) ＝13(kH 1＋2kH 2＋3kH 3＋4kH 4) ＝k 3(H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4)＝k 3∑i ＝14(i H i )，∴∑i ＝14(i H i )＝3Vk . [点评] 类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类相类似的对象之间的推理，类比的关键是能把两个系统之间的某种一致性(相似性)确切地表达出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚．类比推理能够为我们提供发现的思路和方向，但类比推理的结论不一定正确．14．已知命题：若数列{a n }为等差数列，且a m ＝a ，a n ＝b (m ≠n ，m 、n ↔N *)，则a m ＋n ＝bn －amn －m；现已知等比数列{b n }(n ↔N *)，b m ＝a ，b n ＝b (m ≠n ，m 、n ↔N *)，先类比上述结论，得出在等比数列{b n }中b n ＋m 的表达式，再证明你所得出的结论．[解析] 等差数列中的bn 和am 可以类比等比数列中的b n 和a m ，等差数列中的bn －am 可以类比等比数列中的b na m ，数列中的bn －am n －m 可以类比等比数列中的n －m b na m ，故b m ＋n ＝n －m b na m .证明如下：设b n ＝b 1q n －1，则 b n ＋m ＝b 1q n ＋m －1，∵b m ＝a ，b n ＝b ，∴b n a m ＝b n n b m m＝(b 1q n －1)n (b 1q m －1)m ＝b n －m 1·q n (n －1)－m (m －1)＝b n －m 1·q (n －m )(n ＋m －1)，∴n －m b nam ＝b 1q n ＋m －1＝b m ＋n . 15．(2011·上海模拟)冬天，洁白的雪花飘落时非常漂亮．为研究雪花的形状，1904年，瑞典数学家科克(Koch Heige V on)把雪花理想化，得到了雪花曲线，也叫科克曲线．它的形成过程如下：(ⅰ)将正三角形(图①)的每边三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边，得到图②；(ⅱ)将图②的每三边等分，重复上述作图方法，得到图③； (ⅲ)再按上述方法无限多次继续作下去，所得到的曲线就是雪花曲线．将图①、图②、图③……中的图形依次记作M 1，M 2，…，M n ，…，设M 1的边长为1.记M n 的边数为a n ，边长b n ，周长为L n . (1)写出a 1，a 2，a 3；b 1，b 2，b 3； (2)求a n ，b n ，L n .[解析] (1)a 1＝3，a 2＝12，a 3＝48， b 1＝1，b 2＝13，b 3＝19.(2)其边数与边长的变化规律是：一条边变为4条边，边长为原来的13，如图∴a n ＋1＝4a n ，b n ＋1＝13b n . 又a 1＝3，∴a n ＝3×4n －1， ∵b 1＝1，∴b n ＝13n －1.∴L n ＝a n ·b n ＝3×4n －1×13n －1 ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1. 16．已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a . [证明] 要证b 2－ac <3a ， 只需证b 2－ac <3a 2， 因为a ＋b ＋c ＝0，只需证b 2＋a (a ＋b )<3a 2，只需证2a 2－ab －b 2>0， 只需证(a －b )(2a ＋b )>0，只需证(a －b )(a －c )>0. 因为a >b >c ，所以a －b >0，a －c >0，所以(a －b )(a －c )>0，显然成立，故原不等式成立．1．(2011·江西理，7)观察下列各式：55＝3125, 56＝15625, 57＝78125，…，则52011 的末四位数字为( )A ．3125B ．5625C ．0625D ．8125[答案] D[解析] 因为58＝390625,59＝1953125. 所以5n (n ≥5)的末四位数字周期为4，2011＝502×4＋3，故52011的末四位数字为8125，故选D. 2．将正整数排成下表：则在表中数字2014出现在()A．第44行第78列B．第45行第78列C．第44行第77列D．第45行第77列[答案] B[解析]第n行有2n－1个数字，前n行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1936,452＝2025，且1936<2014,2025>2014，∴2014在第45行．2014－1936＝78，∴2014在第78列，选B.3．(2011·清远模拟)定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应图中的(1)(2)(3)(4)，那么下图中(A)(B)所对应的运算结果可能是()A．B*D，A*D B．B*D，A*CC．B*C，A*D D．C*D，A*D[答案] B[解析]观察图形及对应运算分析可知，基本元素为A→|，B→□，C→——，D→○，从而可知图(A)对应B*D，图B对应A*C.4．(2011·皖南八校联考)为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i↔{0,1}(i＝0,1,2)，传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0＝a0⊕a1，h1＝h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.例如原信息为111，则传输信息为01111，信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是() A．11010 B．01100C．10111 D．00011[答案] C[解析]对于选项C，传输信息是10111，对应的原信息是011，由题目中运算规则知h0＝0⊕1＝1，而h1＝h0⊕a2＝1⊕1＝0，故传输信息应是10110.5．n个连续自然数按规律排成下表：根据规律，从2012到2014的箭头方向依次为()A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓[答案] A[解析]观察图例可见，位序相同的数字都是以4为公差的等差数列，故从2012至2014，其位序应与012相同，故选A.6．(2012·陕西文，12)观察下列不等式1＋122<3 2，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，……照此规律，第五个．．．不等式为__________________．[答案]1＋122＋132＋142＋152＋162<116[解析]本题考查了归纳的思想方法．观察可以发现，第n(n≥2)个不等式左端有n＋1项，分子为1，分母依次为12,22,32，…，(n＋1)2；右端分母为n＋1，分子成等差数列，因此第n个不等式为1＋122＋132＋…＋1(n＋1)2<2n＋1n＋1，所以第五个不等式为：1＋122＋132＋142＋152＋162<116.[点评]在用归纳法归纳一般性结论的时候，要养成检验意识．7．(2011·盐城市高三第一次调研)观察下列几个三角恒等式：①tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝1；②tan5°tan100°＋tan100°tan(－15°)＋tan(－15°)tan5°＝1；③tan13°tan35°＋tan35°tan42°＋tan42°tan13°＝1.一般地，若tanα，tanβ，tanγ都有意义，你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为__________________________．[答案]当α＋β＋γ＝90°时，tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanγtanα＝1[解析]所给三角恒等式都为tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanγtanα＝1的结构形式，且α，β，γ之间满足α＋β＋γ＝90°.8．设f(x)＝13x＋3，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．[解析] f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33， 同理可得：f (－1)＋f (2)＝33，f (－2)＋f (3)＝33， 注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1. 归纳猜想得：当x 1＋x 2＝1时，均有f (x 1)＋f (x 2)＝33. 证明如下： 设x 1＋x 2＝1，f (x 1)＋f (x 2)＝13x 1＋3＋13x 2＋3＝(3x 1＋3)＋(3x 2＋3)(3x 1＋3)(3x 2＋3) ＝3x 1＋3x 2＋233x 1＋x 2＋3(3x 1＋3x 2)＋3 ＝3x 1＋3x 2＋233(3x 1＋3x 2＋23)＝33.9．已知：a >0，b >0，a ＋b ＝1.求证：a ＋12＋b ＋12≤2.[证明] 要证a ＋12＋b ＋12≤2， 只需证a ＋12＋b ＋12＋2(a ＋12)(b ＋12)≤4，又a ＋b ＝1，故只需证(a ＋12)(b ＋12)≤1，只需证(a ＋12)(b ＋12)≤1，只需证ab ≤14.∵a >0，b >0,1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14，故原不等式成立． 10．(2012·福建理，17)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．[解析] (1)选择(2)式，计算如下： sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15° ＝1－12sin30° ＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.解法二：(1)同解法一．(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝1－cos2α2＋1＋cos(60°－2α)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－32sinαcosα－12sin2α＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34sin2α－34sin2α－14(1－cos2α)＝1－14cos2α－14＋14cos2α＝34.。
高三高考数学国步分项分类题及析答案代
高三高考数学国步分项分类题及析答案代10-7二项式定理(理) 基础巩固强化1.(2011·北京模拟)(x 2－1x )n的展开式中，常数项为15，则n ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6 [答案] D[解析] T r ＋1＝C r n(x 2)n －r ·(－1x )r＝(－1)r ·C r nx 2n －3r，令2n －3r ＝0得，r ＝2n 3，∴n 能被3整除，结合选项，当n ＝3时，r ＝2，此时常数项为(－1)2·C 23＝3，不合题意，当n ＝6时，r ＝4，常数项为(－1)4C 46＝15，∴选D.2．(2012·东北三校二模)在(x ＋13x)30的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有( )A ．4项B ．5项C ．6项D ．7项[答案] C[解析] 展开式的通项T r ＋1＝C r 30(x )30－r·(13x)r＝C r 30x90－5r6，∵90－5r6是整数，0≤r ≤30，且90能被6整除，∴r 能被6整除，∴r ＝0,6,12,18,24,30时，x 的幂指数是整数，故选C.3．(2012·湖北，5)设a ∈Z ，且0≤a <13，若512012＋a 能被13整除，则a ＝( )A ．0B ．1C ．11D ．12[答案] A[解析] 本题考查二项展开式的应用．512012＝(52－1)2012＝C 020********－C 12012522011＋C 22012522010＋…＋C 20112012×52×(－1)2011＋C 20122012×(－1)2012，若想被13整除需加12，∴a ＝12.4．(2012·天津理，5)在(2x 2－1x )5的二项展开式中，x 的系数为( )A ．10B ．－10C ．40D ．－40 [答案] D[解析] 本小题考查二项式展开式的系数求法，考查运算能力． (2x 2－1x )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x 2)5－r (－1x )r ＝C r 525－r (－1)r x 10－3r ，令10-3r ＝1得，r ＝3，∴T 4＝C 3522(－1)3x ＝－40x .∴x 的系数是－40. [点评] 把二项式系数等同于项的系数是易犯的错误． 5．(2012·陕西礼泉一中期末)在(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中，含x 4项的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的( )A ．第11项B ．第13项C ．第18项D ．第20项[答案] D[解析] (1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中，含x 4项的系数为C 45＋C 46＋C 47＝C 15＋C 26＋C 37＝5＋6×52＋7×6×53×2＝55，以－2为首项，3为公差的等差数列的通项公式a n ＝－2＋3(n －1)＝3n －5，令a n ＝55，即3n －5＝55，n ＝20，故选D.6．(2011·河北石家庄一模)多项式x 10＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2·(x －1)2＋…＋a 10(x －1)10，则a 8的值为( )A ．10B ．45C ．－9D ．－45 [答案] B[解析] x 10＝[1＋(x －1)]10＝1＋C 110(x －1)＋C 210(x －1)2＋…＋C 1010(x －1)10＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 10(x －1)10对任意实数x 都成立，∴a 8＝C 810＝C 210＝45.7．(2012·河南商丘市模拟)二项式(1＋sin x )6的展开式中二项式系数最大的一项的值为 52，则x 在[0,2π]内的值为________．[答案] π6或5π6 [解析] 由题意得T 4＝C 36·sin 3x ＝20sin 3x ＝52，∴sin x ＝12，∵x ∈[0,2π]，∴x ＝π6或5π6.8．(2011·广东六校联考)若(x －a )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，且a 5＝56，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8＝________.[答案] 256[解析] (x －a )8的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8·x 8－r ·(－a )r ＝(－1)r C r 8·a r ·x 8－r，令8－r ＝5，则r ＝3，于是a 5＝(－1)3C 38·a 3＝56，解得a ＝－1，即(x ＋1)8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8， 令x ＝1得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8＝28＝256.9．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1ax 6的二项展开式中，x 3的系数为52，则二项式系数最大的项为________．[答案] 52x 3[解析] ∵T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax r ＝C r 6a －r x12－3r ， 令12－3r ＝3，得r ＝3，∴C 36a －3＝52，解得a ＝2. 故二项式系数最大的项为T 4＝C 36(x 2)3(12x )3＝52x 3.10．(2011·上海十三校第二次联考)在二项式(x ＋3x )n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则n ＝________.[答案] 3[解析] 由题意可知，B ＝2n ，A ＝4n ，由A ＋B ＝72，得4n ＋2n＝72，∴2n ＝8，∴n ＝3.能力拓展提升11.(2012·河南豫东、豫北十所名校联考)已知n ＝∫e 611x d x ，那么(x －3x )n展开式中含x 2项的系数为( )A ．125B ．135C ．－135D ．－125 [答案] B [解析]12．(2012·山西六校模拟)若(x ＋y )9按x 的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x ＋y ＝1，xy <0，则x 的取值范围是( )A ．(－∞，15) B ．[45，＋∞) C ．(－∞，－45] D ．(1，＋∞)[答案] D[解析] 二项式(x ＋y )9的展开式的通项是T r ＋1＝C r 9·x 9－r ·y r .依题意有⎩⎨⎧C 19·x 9－1·y ≤C 29·x 9－2·y 2x ＋y ＝1xy <0，由此得⎩⎨⎧x 8·(1－x )－4x 7·(1－x )2≤0x (1－x )<0，由此解得x >1，即x 的取值范围是(1，＋∞)，选D.13．(2011·安徽宣城模拟)在(x －2)5(2＋y )4的展开式中x 3y 2的系数为________．[答案]480[解析](x－2)5的展开式的通项为T r＋1＝C r5x5－r(－2)r，令5－r＝3得r＝2，得x3的系数C25(－2)2＝40；(2＋y)4的展开式的通项公式为T r＋1＝C r4(2)4－r y r，令r＝2得y2的系数C24(2)2＝12，于是展开式中x3y2的系数为40×12＝480.14．在(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)的展开式中，含x4的项的系数是________．[答案]－15[解析]从4个因式中选取x，从余下的一个因式中选取常数，即构成x4项，即－5x4－4x4－3x4－2x4－x4，所以x4项的系数应是－1－2－3－4－5＝－15.15．(2011·安徽理，12)设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________.[答案]0[解析]a10＝C1021(－1)11＝－C1021，a11＝C1121(－1)10＝C1021，所以a10＋a11＝C1121－C1021＝C1021－C1021＝0.16．已知数列{a n}满足a n＝n·2n－1(n∈N*)，是否存在等差数列{b n}，使a n＝b1C1n＋b2C2n＋b3C3n＋…＋b n C n n对一切正整数n成立？并证明你的结论．[解析]假设等差数列{b n}使等式n·2n－1＝b1C1n＋b2C2n＋b3C3n＋…＋b n C nn 对一切正整数n 成立，当n ＝1时，得1＝b 1C 11，∴b 1＝1，当n ＝2时，得4＝b 1C 12＋b 2C 22，∴b 2＝2，当n ＝3时，得12＝b 1C 13＋b 2C 23＋b 3C 33，∴b 3＝3，可猜想b n ＝n 时，n ·2n －1＝C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋n C n n .∵k C kn ＝k ·n ！k ！(n －k )！＝n ·(n －1)！(k －1)！(n －k )！＝n C k －1n －1.∴C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋n C n n ＝n (C 0n －1＋C 1n －1＋…＋C n －1n －1)＝n ·2n －1.故存在等差数列{b n }(b n ＝n )，使已知等式对一切n ∈N *成立．1．(2011·辽宁沈阳质检)若(3x －1x )n 展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含x 3的项的系数为( )A ．－5B ．5C ．－405D ．405[答案] C[解析] 令x ＝1得2n ＝32，所以n ＝5， 于是(3x －1x )5展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r C r 5(3x )5－r (1x )r ＝(－1)r C r 535－r x 5－2r， 令5－2r ＝3，得r ＝1，于是展开式中含x 3的项的系数为(－1)1C 1534＝－405，故选C.2．设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[答案] A[解析] 依题意，令x ＋2＝1，等式右边为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11.把x ＝－1代入等式左边，得[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝2×(－1)9＝－2，即a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝－2.3．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 6展开式中x 6项的系数为60，其中a 是小于零的常数，则展开式中各项的系数之和是________．[答案] 1[解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 6展开式中的第r ＋1项T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a xr ＝a r C r 6x 12－3r， 令12－3r ＝6得，r ＝2，∴a 2C 26＝60，∴a 2＝4.∵a <0，∴a ＝－2，令x ＝1得展开式各项系数之和为⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋－216＝1. 4．将⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 2n (n ∈N *)的展开式中x －4的系数记为a n ，则1a 2＋1a 3＋…＋1a 2014＝________.[答案] 20131007 [解析] 第r ＋1项T r ＋1＝C r n ·⎝⎛⎭⎪⎫－1x 2r＝(－1)r C r nx －2r ，令－2r ＝－4，∴r ＝2， ∴a n ＝(－1)2C 2n ＝n (n －1)2，∴1a 2＋1a 3＋…＋1a 2014＝21×2＋22×3＋…＋22013×2014＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12013－12014＝2×⎝⎛⎭⎪⎫1－12014＝20131007.5．(2012·沈阳市二模)若(x －ax 2)n 展开式中二项式系数之和是1024，常数项为45，则实数a 的值是________．[答案] ±1[解析] 由条件知，2n ＝1024，∴n ＝10，二项展开式的通项T r ＋1＝C r 10(x )10－r·(－a x 2)r ＝(－a )r ·C r10·x10－5r2，令10－5r2＝0得r ＝2，∴常数项为T 3＝(－a )2·C 210＝45a 2＝45，∴a ＝±1.。
高三高考数学国步分项分类题及析答案一五
高三高考数学国步分项分类题及析答案一五3-4定积分与微积分基本定理(理)基础巩固强化1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d yD ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y[答案] B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .2．如图，阴影部分面积等于()A ．2 3B ．2－ 3C.323D.353[答案] C[解析] 图中阴影部分面积为S ＝⎠⎛-31 (3－x 2－2x )d x ＝(3x －13x 3－x 2)|1－3＝323.3.⎠⎛024－x 2d x ＝( )A ．4πB ．2πC ．π D.π2[答案] C [解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S ＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是()A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．在t1时刻，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面[答案] A[解析]判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t0，t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v(t)的图象与t轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t0时刻，v甲的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积大于v乙的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C，D错误；同样，在t1时刻，v甲的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，仍然大于v 乙的图象与t 轴和t ＝t 1围成区域的面积，所以，可以断定：在t 1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．(2012·山东日照模拟)向平面区域Ω＝{(x ，y )|－π4≤x ≤π4，0≤y ≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( )A.π4B.12C.π2－1 D.2π[答案] D[解析] 平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区6． (sin x －cos x )d x 的值是( )A ．0 B.π4 C ．2 D ．－2 [答案] D[解析] (sin x －cos x )d x ＝(－cos x －sin x ) ＝－2.7．(2010·惠州模拟)⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝________.[答案] 3 [解析]∵y ＝⎩⎨⎧1＋x 0≤x ≤13－x 1<x ≤2，∴⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝⎠⎛01(1＋x )d x ＋⎠⎛12(3－x )d x＝(x ＋12x 2)|10＋(3x －12x 2)|21＝32＋32＝3.8．(2010·芜湖十二中)已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f (x )d x＝2f (a )成立，则a ＝________.[答案] －1或13[解析] ∵⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛1－1(3x 2＋2x ＋1)d x ＝(x 3＋x 2＋x )|1－1＝4，⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )，∴6a 2＋4a ＋2＝4，∴a ＝－1或13.9．已知a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ，则二项式(a x －1x )6的展开式中含x 2项的系数是________．[答案] －192[解析] 由已知得a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x )|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C r 6×26－r ×x 3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解析] 设直线与抛物线的两个交点分别为A (a ，a 2)，B (b ，b 2)，不妨设a <b ，则直线AB 的方程为y －a 2＝b 2－a2b －a(x －a )，即y ＝(a ＋b )x －ab .则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎛ab [(a ＋b )x －ab －x 2]d x＝(a ＋b 2x 2－abx －x 33)|b a ＝16(b －a )3，∴16(b －a )3＝43，解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P (x ，y )， 其中⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a 2＋b 22.将b －a ＝2代入得⎩⎨⎧x ＝a ＋1，y ＝a 2＋2a ＋2.消去a 得y ＝x 2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x 2＋1.能力拓展提升11.(2012·郑州二测)等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝⎠⎛034x d x ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12 C ．1或－12 D ．－1或－12[答案] C[解析] 因为S 3＝⎠⎛034x d x ＝2x 2|30＝18，所以6q ＋6q 2＋6＝18，化简得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．(2012·太原模拟)已知(x ln x )′＝ln x ＋1，则⎠⎛1e ln x d x ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1 [答案] A[解析] 由(x ln x )′＝ln x ＋1，联想到(x ln x －x )′＝(ln x ＋1)－1＝ln x ，于是⎠⎛1e ln x d x ＝(x ln x －x )|e 1＝(e ln e －e )－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．[答案] 18 [解析]由方程组⎩⎨⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y 22、x ＝4－y ，∴S ＝⎠⎛-42 [(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y 36)|2－4＝18.14.已知函数f (x )＝e x －1，直线l 1：x ＝1，l 2：y ＝e t －1(t 为常数，且0≤t ≤1)．直线l 1，l 2与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S 2表示．直线l 2，y 轴与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S 1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案] (e －1)2[解析] 由题意得S 1＋S 2＝⎠⎛0t (e t －1－e x ＋1)d x ＋⎠⎛t1(e x －1－e t ＋1)d x ＝⎠⎛0t (e t －e x )d x ＋⎠⎛t1(e x －e t )d x ＝(xe t －e x )|t 0＋(e x －xe t )|1t ＝(2t －3)e t ＋e＋1，令g (t )＝(2t －3)e t ＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g ′(t )＝2e t ＋(2t －3)e t ＝(2t －1)e t ，令g ′(t )＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g ′(t )<0，g (t )是减函数，当t ∈(12，1]时，g ′(t )>0，g (t )是增函数，因此g (t )的最小值为g (12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2.15．求下列定积分． (1)⎠⎛1－1|x |d x;(2)⎠⎛0πcos 2x2d x ；(3)∫e ＋121x －1d x . [解析] (1)⎠⎛1－1|x |d x ＝2⎠⎛01x d x ＝2×12x 2|10＝1.(2)⎠⎛0πcos 2x2d x ＝⎠⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |π0＋12sin x |π＝π2. (3)∫e ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝1.16．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，求a 的值．[解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0， ∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)． ∴S 阴影＝⎠⎛a0[0－(－x 3＋ax 2)]d x＝(14x 4－13ax 3)|0a ＝112a 4＝112， ∵a <0，∴a ＝－1.1．(2011·龙岩质检)已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求f (x )d x 的值，结果是( )A.16＋π2 B ．π C ．1 D ．0 [答案] B[解析]f (x )d x ＝sin 5x d x ＋1d x ，由于函数y ＝sin 5x 是奇函数，所以sin 5x d x ＝0，而1d x ＝x |π2－π2＝π，故选B. 2．若函数f (x )＝⎩⎨⎧ －x －1 (－1≤x <0)，cos x (0≤x <π2)，的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a ，则a 的值为( ) A.2＋π4 B.12C ．1D.32 [答案] D[解析] 由图可知a ＝12＋⎠⎜⎜⎛0π2cos x d x ＝12＋sin x |π20＝32.3．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝________.[答案] 22[解析] ∵⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2>2， ∴2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝2⊗2＝2－12＝22. 4．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．[答案] 33[解析] ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝(ax 33＋cx )|10＝a 3＋c ，故a 3＋c ＝ax 20＋c ，即ax 20＝a 3，又a ≠0，所以x 20＝13，又0≤x 0≤1，所以x 0＝33.故填33.5．设n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ，则(x －2x )n 展开式中含x 2项的系数是________．[答案] 40[解析] ∵(x 3－2x )′＝3x 2－2，∴n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ＝(x 3－2x )|21 ＝(23－2×2)－(1－2)＝5.∴(x －2x )5的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r (－2x)r ＝(－2)r C r 5x 5－3r 2 ，令5－3r 2＝2，得r ＝2， ∴x 2项的系数是(－2)2C 25＝40.。
高三高考数学国步分项分类题及析答案同
高三高考数学国步分项分类题及析答案同同9-5线面、面面垂直的判定与性质基础巩固强化1.(2011·北京西城模拟)已知两条不同的直线a ，b 和两个不同的平面α，β，且a ⊥α，b ⊥β，那么α⊥β是a ⊥b 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C⎭⎬⎫ ⎭⎪⎬⎪⎫[解析] α⊥β a ⊥α⇒a ∥β或a ⊂β b ⊥β⇒a ⊥b ；⎭⎬⎫ ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ⊥b ⇒b ∥α或b ⊂α b ⊥β⇒α⊥β.2．(文)(2011·唐山模拟)已知一个平面α，那么对于空间内的任意一条直线a ，在平面α内一定存在一条直线b ，使得a 与b ( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．垂直[答案] D[解析] 当a 与α相交时，平面内不存在直线与a 平行；当a ∥α时，平面内不存在直线与a 相交；当a ⊂平面α时，平面α内不存在直线与a 异面；无论a 在何位置，a 在平面α内总有射影a ′，当b ⊂α，b ⊥a ′时，有b ⊥a ，故选D.(理)(2011·青岛模拟)设两个平面α，β，直线l ，下列三个条件：①l ⊥α；②l ∥β；③α⊥β.若以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确命题的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0[答案] C[解析] ⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥αl ∥β⇒α⊥β； ⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl ⊥α⇒/ l ∥β，此时可能l ⊂β， ⎭⎪⎬⎪⎫l ∥βα⊥β⇒/ l ⊥α，此时l 与α还可能平行、斜交，故选C.3．(文)(2011·安徽省皖南八校联考)设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )A ．若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥αB ．若l ⊥α，m ⊂α，则l ⊥mC ．若l ∥α，l ∥m ，则m ∥αD ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m[答案] B[解析] 直线垂直于平面中两条相交直线，才能垂直于平面，故A 错；C 中m 可能包含在平面α中；D 中两条直线可能平行、相交或异面．(理)(2011·东莞模拟)若l 为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；③l ∥α，l ⊥β⇒α⊥β.其中的真命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[答案] C[解析] ①中α与β可能平行，故①错，②③正确．4．(2012·河北邯郸临漳一中模拟)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是( )A.12B ．3 C.32D ．2[答案] A[解析] 由三视图知，该几何体是一个横放的四棱锥P －ABCD ，其底面ABCD 为直角梯形，AB ＝1，CD ＝2，高BC ＝1，棱锥的高PC ＝1，∴体积V ＝13×[12×(1＋2)×1]×1＝12.5.(2012·广东深圳一调)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，A 1A ＝AB ＝2，BC ＝1，AC ＝5，若规定正(主)视方向垂直平面ACC 1A 1，则此三棱柱的侧(左)视图的面积为( )A.455B ．2 5C ．4D ．2[答案] A[解析]过B 作BE ⊥AC ，垂足为E ，平面B 1BE 交A 1C 1于E 1，则BE ＝255，由题意根据三视图的规则知，几何体的侧视图表示长为255，宽为2的矩形，所以几何体的侧视图的面积为S ＝255×2＝455，故选A.6．(文)(2011·济宁三模)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若AB ＝2，AA 1＝1，则点A 到平面A 1BC 的距离为( )A.34B.32C.334D. 3[答案] B[解析] 解法1：取BC 中点E ，连接AE 、A 1E ，过点A 作AF ⊥A 1E ，垂足为F .∵A 1A ⊥平面ABC ，∴A 1A ⊥BC ，∵AB ＝AC .∴AE ⊥BC .∴BC ⊥平面AEA 1.∴BC ⊥AF ，又AF ⊥A 1E ，∴AF ⊥平面A 1BC .∴AF 的长即为所求点A 到平面A 1BC 的距离．∵AA 1＝1，AE ＝3，∴AF ＝32.解法2：V A 1－ABC ＝13S △ABC ·AA 1＝13×3×1＝33.又∵A 1B ＝A 1C ＝5，在△A 1BE 中，A 1E ＝A 1B 2－BE 2＝2.∴S △A 1BC ＝12×2×2＝2.∴V A －A 1BC ＝13×S △A 1BC ·h ＝23h . ∴23h ＝33，∴h ＝32.∴点A 到平面A 1BC 距离为32.(理)(2011·海淀检测)若正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AB 1与底面ABCD 成60°角，则A 1C 1到底面ABCD 的距离为( ) A.33B ．1 C. 2D. 3[答案] D[解析] 依题可知∠B 1AB ＝60°，平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ，A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，∴B 1B 即为所求距离，在△ABB 1中得，B1B＝ 3.故选D.7．(文)(2011·扬州模拟)已知直线l，m，n，平面α，m⊂α，n⊂α，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一) [答案]充分不必要[解析]若l⊥α，则l垂直于平面α内的任意直线，故l⊥m且l ⊥n，但若l⊥m且l⊥n，不能得出l⊥α.(理)(2011·揭阳模拟)设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③z是直线，x、y是平面；④x、y、z均为平面，其中使“x⊥z且y⊥z⇒x ∥y”为真命题的序号是________．[答案]②③[解析]当x、y为直线，z为平面时，有x⊥z，y⊥z⇒x∥y；当x、y为平面，z为直线时，有x⊥z，y⊥z⇒x∥y，故②③正确．[点评]由正方体交于同一个顶点的三条棱和三个面知①④均使命题为假命题．8．(2011·苏州模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n.其中正确的命题是(填上所有正确命题的序号)________．[答案]①④⎭⎬⎫ ⎭⎪⎬⎪⎫[解析] ①m ⊥α m ⊥n ⇒n ⊂α或n ∥α n ⊥β⇒α⊥β；②如图，m 为B 1C 1，n 为A 1B 1，α为平面ADD 1A 1，β为平面ABCD ，满足②的条件，故②错； ③在上图中，将A 1B 1、B 1C 1改为m 、n ，满足m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，故③错；⎭⎬⎫ ⎭⎪⎬⎪⎫④n ⊥β α⊥β⇒n ∥α或n ⊂α m ⊥α⇒m ⊥n .9.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD ⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)[答案]DM⊥PC[解析]∵四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC，∵P A⊥平面ABCD，∴BD⊥P A，∵P A∩AC＝A，∴BD⊥平面P AC，∴BD⊥PC，故当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD，从而有平面PCD⊥平面MBD.10．(文)底面是平行四边形，侧棱垂直于底面的棱柱称为直平行六面体．如图，在直平行六面体AC1中，四边形ABCD是菱形，∠DAB ＝60°，AC∩BD＝O，AB＝AA1.(1)求证：C1O∥平面AB1D1；(2)求证：平面AB1D1⊥平面ACC1A1.[证明](1)连接A1C1交B1D1于O1，连接AO1.在平行四边形AA1C1C中，C1O1∥AO，C1O1＝AO，∴四边形AOC1O1为平行四边形，∴C1O∥AO1.∵C1O⊄平面AB1D1，AO1⊂平面AB1D1，∴C1O∥平面AB1D1.(2)在直平行六面体AC1中，A1A⊥平面A1B1C1D1，∴A1A⊥B1D1.∵四边形A1B1C1D1为菱形，∴B1D1⊥A1C1.∵A1C1∩AA1＝A1，A1C1⊂平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，∴B1D1⊥平面ACC1A1.∵B1D1⊂平面AB1D1，∴平面AB1D1⊥平面ACC1A1.(理)(2012·北京东城二模)如图，矩形AMND所在的平面与直角梯形MBCN所在的平面互相垂直，MB∥NC，MN⊥MB.(1)求证：平面AMB∥平面DNC；(2)若MC⊥CB，求证BC⊥AC.[解析](1)因为MB∥NC，MB⊄平面DNC，NC⊂平面DNC，所以MB∥平面DNC.因为四边形AMND是矩形，所以MA∥DN.又MA⊄平面DNC，DN⊂平面DNC，所以MA∥平面DNC.又MA∩MB＝M，且MA，MB⊂平面AMB，所以平面AMB∥平面DNC.(2)因为四边形AMND是矩形，所以AM⊥MN.因为平面AMND⊥平面MBCN，且平面AMND∩平面MBCN＝MN，所以AM⊥平面MBCN.因为BC⊂平面MBCN，所以AM⊥BC.因为MC⊥BC，MC∩AM＝M，所以BC⊥平面AMC.因为AC⊂平面AMC，所以BC⊥AC.能力拓展提升11.(2012·安徽理，6)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析]①∵α∩β＝m，b⊂β，α⊥β，b⊥m，∴b⊥α，又∵a⊂α，∴b⊥a.②当a⊂α，a∥m时，∵b⊥m，∴b⊥a，而此时平面α与平面β不一定垂直，故选A.12．(文)设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中，正确的命题是()A ．m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ⇒α⊥βB ．α∥β，m ⊥α，n ∥β⇒m ⊥nC ．α⊥β，m ⊥α，n ∥β⇒m ⊥nD ．α⊥β，α∩β＝m ，n ⊥m ⇒n ⊥β[答案] B[解析] 如下图(1)满足m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ，但β∥α，故A 错； ⎭⎬⎫ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥βm ⊥α⇒m ⊥β n ∥β⇒m ⊥n ，故B 对；如图(2)满足α⊥β，m ⊥α，n ∥β，但m ∥n ，故C 错；如图(3)α⊥β，α∩β＝m ，AB ⊥m 于B ，BC ⊥m 于B ，直线AC 为直线n ，显然满足D 的条件，但不能得出n ⊥β.故D 错．∴选B.(理)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，A 1D 与BC 1所成的角为π2，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )A.63 B.12 C.155 D.32[答案] B[解析] 连接B 1C ，∴B 1C ∥A 1D ，∵A 1D 与BC 1所成的角为π2，∴B 1C ⊥BC 1，∴长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，取B 1D 1的中点M ，连接C1M，BM，∴C1M⊥平面BB1D1D，∴∠C1BM为BC1与平面BB1D1D 所成的角，∵AB＝BC＝2，∴C1M＝2，BC1＝22，∴sin∠C1BM＝C1MC1B＝12，故选B.13．(文)(2010·河北唐山)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，∠ADC＝90°，且AA1＝AD＝DC＝2，M∈平面ABCD，当D1M⊥平面A1C1D时，DM＝________.[答案]2 2[解析]∵DA＝DC＝DD1且DA、DC、DD1两两垂直，故当点M使四边形ADCM为正方形时，D1M⊥平面A1C1D，∴DM＝2 2.(理)(2011·西安模拟)在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C 所成角的大小是________．[答案]60°[解析]如图，取BC中点E，连结DE、AE、AD，依题意知三棱柱为正三棱柱，易得AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为1，则AE＝32，DE＝12，tan∠ADE＝AEDE＝3212＝3，∴∠ADE＝60°.14．(2012·山西联考)已知四棱锥P－ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面P AD⊥底面ABCD，△P AD为正三角形，AB＝2AD＝4，则球O的表面积为________．[答案]64 3π[解析]过P作PE∥AB交球面于E，连结BE、CE，则BE∥AP，CE∥DP，∴三棱柱APD－BEC为正三棱柱，∵△P AD 为正三角形，∴△P AD 外接圆的半径为233，∴球O 的半径R ＝22＋(233)2＝43， ∴球O 的表面积S ＝4πR 2＝643π.15．(文)(2011·北京石景山测试)在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为棱BB 1，DD 1和CC 1的中点．(1)求证：C 1F ∥平面DEG ；(2)求三棱锥D 1－A 1AE 的体积；(3)试在棱CD 上求一点M ，使D 1M ⊥平面DEG .[解析] (1)证明：∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，F ，G 分别为棱DD 1和CC 1的中点，∴DF ∥GC 1，且DF ＝GC 1.∴四边形DGC 1F 是平行四边形．∴C 1F ∥DG .又C 1F ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ，∴C 1F ∥平面DEG .(2)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有A 1D 1⊥平面AA 1E .∴A 1D 1是三棱锥D 1－A 1AE 的高，A 1D 1＝1.∴VD 1－A 1AE ＝13·S △A 1AE ·D 1A 1＝13×12×1×1×1＝16.(3)当M 为棱CD 的中点时，有D 1M ⊥平面DEG .正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有BC ⊥平面CDD 1C 1，又∵D 1M ⊂平面CDD 1C 1，BC ∥EG ，∴EG ⊥D 1M .又∵tan ∠GDC ＝tan ∠MD 1D ＝12，∴∠GDC ＝∠MD 1D ，∴∠MD 1D ＋∠D 1DG ＝∠GDC ＋∠D 1DG ＝90°，∴D 1M ⊥DG .又DG ∩EG ＝G ，∴D 1M ⊥平面DEG .(理)如图，已知在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥DC，AB∥DC，DC＝DD1＝2AD＝2AB＝2.(1)求证：DB⊥平面B1BCC1；(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使得D1E∥平面A1BD，并说明理由．[解析](1)证明：∵AB∥DC，AD⊥DC，∴AB⊥AD，在Rt△ABD 中，AB＝AD＝1，∴BD＝2，易求BC＝2，又∵CD＝2，∴BD⊥BC.又BD⊥BB1，B1B∩BC＝B，∴BD⊥平面B1BCC1.(2)DC的中点即为E点．∵DE∥AB，DE＝AB，∴四边形ABED是平行四边形．∴AD綊BE.又AD綊A1D1，∴BE綊A1D1，∴四边形A1D1EB是平行四边形．∴D1E∥A1B.∵D1E⊄平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，∴D1E∥平面A1BD.16．(文)(2011·北京文，17)如图，在四面体P ABC中，PC⊥AB、P A⊥BC，点D、E、F、G分别是棱AP、AC、BC、PB的中点．(1)求证：DE∥平面BCP；(2)求证：四边形DEFG为矩形；(3)是否存在点Q，到四面体P ABC六条棱的中点的距离相等？说明理由．[解析](1)因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DE∥PC，又因为DE⊄平面BCP，PC⊂平面BCP，所以DE∥平面BCP.(2)因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF，所以四边形DEFG为平行四边形，又因为PC⊥AB，所以DE⊥DG，所以四边形DEFG为矩形．(3)存在点Q满足条件，理由如下：连接DF，EG，设Q为EG的中点，由(2)知，DF∩EG＝Q，且QD＝QE＝QF＝QG＝12EG，分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN. 与(2)同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QM＝QN＝12EG，所以Q为满足条件的点．(理)(2012·北京文，16)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E 分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE 折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE ∥平面A 1CB ；(2)求证：A 1F ⊥BE ；(3)线段A 1B 上是否存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ ？说明理由．[分析] (1)利用线面平行判定定理证明(关键证明DE ∥BC )．(2)由平面图形知⎩⎪⎨⎪⎧ DE ⊥AD DE ⊥CD 折叠后，⎩⎪⎨⎪⎧DE ⊥A 1D DE ⊥CD ，由线面垂直判定定理证得DE ⊥平面A 1CD ，则DE ⊥A 1F ，又由A 1F ⊥CD ，易证得A 1F ⊥平面BCDE ，则A 1F ⊥BE .(3)采取先找再证的办法处理．由DA 1＝DC 联想到等腰三角形底边上的中线是底面边上的高，可取A 1C 中点，再由“中点找中点”原则取A 1B 中点Q ，证明A 1C ⊥平面DEQ (利用(2)中的DE ⊥平面A 1DC 这一结论)．[解析] (1)因为D ，E 分别为AC ，AB 的中点，所以DE ∥BC .又因为DE ⊄平面A 1CB ，所以DE ∥平面A 1CB .(2)由已知得AC ⊥BC 且DE ∥BC ，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD，所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ，所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰直角三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.[点评](1)本题考查了线面平行，线面垂直的判定定理，性质定理，折叠问题，存在性问题等．(2)对于折叠问题，关键是看清折叠前后各量的变化与不变(包括长度、角度、位置关系等)，对于存在性问题，一般采取先找再证(取特例)的办法解决．1．定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC.那么，动点C在平面α内的轨迹是() A．一条线段，但要去掉两个点B．一个圆，但要去掉两个点C．一个椭圆，但要去掉两个点D．半圆，但要去掉两个点[答案] B[解析]连接BC，∵PB⊥α，∴AC⊥PB.又∵PC⊥AC，∴AC⊥BC.∴C在以AB为直径的圆上．故选B.2．(2011·北京海淀区期末)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中不正确的是()A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nB．若m∥n，m⊥α，则n⊥αC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β[答案] A[解析]选项A中，直线m与直线n也可能异面，因此A不正确．3.(2012·武汉市训练)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点E 为AA 1的中点，在对角面BB 1D 1D 上取一点M ，使AM ＋ME 最小，其最小值为________．[答案] 32a[解析] 过点M 作MN ⊥平面ABCD 交BD 于点N ，连结AN .设MN ＝x (0≤x ≤a )，AN ＝y (22a ≤y ≤a )，则AM ＋ME ＝x 2＋y 2＋(a 2－x )2＋y 2≥x 2＋(22a )2＋(a 2－x )2＋(22a )2＝x 2＋12a 2＋(a 2－x )2＋12a 2.设f (x )＝x 2＋12a 2＋(a 2－x )2＋12a 2，则f ′(x )＝x x 2＋12a 2＋x －a 2(a 2－x )2＋12a 2. 令f ′(x )＝0，得x ＝a 4；令f ′(x )>0，得a 4<x ≤a ；令f ′(x )<0，得0≤x <a 4.故当x ＝a 4时，f (x )min ＝32a .即AM ＋ME 的最小值为32a . 4.(2011·盘锦月考)如图所示，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，EC ＝CA ＝2BD ，M 是EA 的中点．求证：(1)DE ＝DA ；(2)平面BDM ⊥平面ECA .[证明] (1)如图所示，取EC 中点F ，连接DF .∵EC ⊥平面ABC ，BD ∥EC ，∴BD ⊥平面ABC ，∴BD ⊥AB ，∵BD ∥EC ，BD ＝12EC ＝FC ，∴EC ⊥BC .∴四边形FCBD 是矩形，∴DF ⊥EC .又BA ＝BC ＝DF ，∴Rt △DEF Rt △ADB ，∴DE ＝DA .(2)如图所示，取AC 中点N ，连接MN 、NB ，∵M 是EA 的中点，∴MN 綊12EC .由BD 綊12EC ，且BD ⊥平面ABC ，可得四边形MNBD 是矩形，于是DM ⊥MN .∵DE ＝DA ，M 是EA 的中点，∴DM ⊥EA .又EA ∩MN ＝M ，∴DM ⊥平面ECA ，而DM ⊂平面BDM ，∴平面ECA ⊥平面BDM .5．(2011·辽宁文，18)如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明：PQ ⊥平面DCQ ；(2)求棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值．[解析] (1)由条件知PDAQ 为直角梯形．因为QA ⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD .又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ，所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC .在直角梯形PDAQ 中可得DQ ＝PQ ＝22PD ，则PQ ⊥QD .所以PQ ⊥平面DCQ .(2)设AB ＝a .由题设知AQ 为棱锥Q －ABCD 的高，所以棱锥Q －ABCD 的体积V 1＝13a 3，由(1)知PQ 为棱锥P －DCQ 的高，而PQ ＝2a ，△DCQ 的面积为22a 2，所以棱锥P －DCQ 的体积V 2＝13a 3.故棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值为1. 6.已知点P 是菱形ABCD 外一点，∠DAB ＝60°，其边长为a ，侧面P AD 是正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD ，G 为AD 的中点．(1)求证：AD ⊥PB ；(2)若E 为BC 边中点，能否在棱PC 上找一点F ，使平面DEF ⊥平面ABCD .并证明你的结论．[分析] (1)要证AD ⊥PB ，∵△P AD 为正三角形，G 为AD 中点，∴AD ⊥PG ，故只需证明AD ⊥平面PBG 即可．(2)假设存在点F 使平面DEF ⊥平面ABCD ，则平面DEF 必过平面ABCD 的垂线，由于PG⊥平面ABCD，而PG不可能在平面DEF内，故需过直线DE作平面PBG的平行平面，由此可得点F的位置．[解析](1)证明：连接BG、PG.∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°.∴BG⊥AD.又△P AD为正三角形，且G是AD中点，∴PG⊥AD.∵PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PBG.又PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB.(2)当F是PC中点时，平面DEF⊥平面ABCD.证明如下：取PC的中点F，连接DE、EF、DF.在△PBC中，EF∥PB.在菱形ABCD中，BG∥DE.∴平面DEF∥平面PGB.∵平面P AD⊥平面ABCD，PG⊥AD.∴PG⊥平面ABCD.又PG⊂平面PGB.∴平面PGB⊥平面ABCD.∴平面DEF⊥平面ABCD.。
高三高考数学国步分项分类题及析答案呀
高三高考数学国步分项分类题及析答案呀9-6空间向量及其运算(理)基础巩固强化1.(2011·芜湖模拟)已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x 、y 、z 分别为( )A.337，－157，4 B.407，－157，4 C.407，－2,4 D ．4，407，－15[答案] B[解析] ∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即3＋5－2z ＝0，得z ＝4，又BP ⊥平面ABC ，∴BP ⊥AB ，BP ⊥BC ，BC →＝(3,1,4)，则⎩⎨⎧(x －1)＋5y ＋6＝0，3(x －1)＋y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407，y ＝－157.2．(2011·日照模拟)若a ＝(2，－2，－2)，b ＝(2,0,4)，则a 与b 的夹角的余弦值为( )A.48585 B.6985 C ．－1515 D ．0[答案] C[解析] cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝2×2－823×25＝－1515.3．空间直角坐标系中，A (1,2,3)，B (－2，－1,6)，C (3,2,1)，D (4,3,0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直[答案] B[解析] AB →＝(－3，－3,3)，CD →＝(1,1，－1)， AB →＝－3CD →，又BC →＝(5,3，－5)，AB →∥\'BC →， ∴AB ∥CD .4．(2011·天津模拟)已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627B.637C.647D.657 [答案] D[解析] 由于a 、b 、c 三向量共面，所以存在实数m ，n ，使得c ＝m a ＋n b ，即有⎩⎪⎨⎪⎧7＝2m －n ，5＝－m ＋4n ，λ＝3m －2n ，解得m ＝337，n ＝177，λ＝657.5．(2011·济宁月考)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，AM →＝12MC 1→，点N 为B 1B 的中点，则|MN |＝( )A.216aB.66aC.156aD.153a[答案] A[解析] MN →＝AN →－AM →＝AN →－13AC 1→＝AB →＋BN →－13⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋AD →＋AA 1→＝23AB →＋16AA 1→－13AD →. ∴|MN →|＝49|AB →|2＋136|AA 1→|2＋19|AD →|2＝216a .6.(2012·丽水调研)如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP →，AE →〉＝33，若以DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为( )A ．(1,1,1)B ．(1,1，12) C ．(1,1，32) D ．(1,1,2)[答案] A[解析] 由题意知A (2,0,0)，B (2,2,0)，设P (0,0,2m )(m >0)，则E (1,1，m )，∴AE →＝(－1,1，m )，DP →＝(0,0,2m )，∴|AE →|＝2＋m 2，|DP →|＝4m 2，AE →·DP →＝2m 2，∵cos 〈DP →，AB →〉＝33，∴2m 22＋m 2·4m 2＝33， 解之得m ＝1，故选A.7．若向量a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，满足条件(c －a )·(2b )＝－2，则x ＝______.[答案] 2[解析] ∵a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，∴(c －a )·(2b )＝(0,0,1－x )·(2,4,2)＝2(1－x )＝－2，解得x ＝2.8．若a ＝(3x ，－5,4)与b ＝(x,2x ，－2)之间夹角为钝角，则x 的取值范围为________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4[解析] ∵a 与b 的夹角为钝角， ∴a ·b <0，∴3x 2－10x －8<0，∴－23<x <4， 又当a 与b 方向相反时，a ·b <0， ∴存在λ<0，使a ＝λb ， ∴(3x ，－5,4)＝(λx,2λx ，－2λ)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝λx ，－5＝2λx ，4＝－2λ，此方程组无解，∴这样的λ不存在，综上知－23<x <4.9．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 、N 分别在直线AA 1和BD 1上运动．当M 、N 在何位置时，|MN |最小，且|MN |的最小值是________．[答案] 22[解析] 建立如图所示空间直角坐标系，则A (1,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，设M (1,0，t )，BN →＝λBD 1→，则0≤t ≤1,0≤λ≤1， 设N (x 0，y 0，z 0)，则(x 0－1，y 0－1，z 0)＝λ(－1，－1,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0－1＝－λ，y 0－1＝－λ，z 0＝λ，∴N (1－λ，1－λ，λ)，∴MN →＝(－λ，1－λ，λ－t )，|MN →|2＝λ2＋(1－λ)2＋(λ－t )2＝2λ2－2λ＋1＋(λ－t )2＝2(λ－12)2＋(λ－t )2＋12，当且仅当λ＝12＝t 时，|MN →|2取到最小值12， ∴|MN →|的最小值为22.10．(2011·福州模拟)已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．(1)求以AB →、AC →为边的平行四边形的面积；(2)若|a |＝3且a 分别与AB →、AC →垂直，求向量a 的坐标． [解析] AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)． (1)因为cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC→|AB →|·|AC →|＝－2＋3＋64＋1＋9·1＋9＋4＝12.所以sin 〈AB →，AC →〉＝32.所以S ＝|AB →|·|AC →|sin 〈AB →，AC →〉＝7 3. 即以AB →、AC →为边的平行四边形面积为7 3. (2)设a ＝(x ，y ，z )，由|a |＝3，a ⊥AB →，a ⊥AC →，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋z 2＝3，－2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，z ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，z ＝－1.所以a ＝(1,1,1)或(－1，－1，－1).能力拓展提升11.三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，已知CA ＝CB ＝CC 1，AC ⊥BC ，E 、F 分别是A 1C 1、B 1C 1的中点．则AE 与CF 所成角的余弦值等于( )A.45B.1213C.35D.513[答案] A[解析] 以C 为原点，CA →、CB →、CC 1→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设AC ＝1，则A (1,0,0)，B 1(0,1,1)，C (0,0,0)，C 1(0,0,1)，A 1(1,0,1)，∵E 、F 分别为A 1C 1、B 1C 1的中点，∴E (12，0,1)，F (0，12，1)，∴AE →＝(－12，0,1)，CF →＝(0，12，1)，∴cos 〈AE →，CF →〉＝AE →·CF →|AE →|·|CF →|＝152×52＝45，故选A.12．(2011·天津模拟)正四面体ABCD 的棱长为2，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，则EF 的长为( )A ．1 B.52 C. 2 D ．2[答案] C[解析] EF →＝EA →＋AF →＝－12(AB →＋AC →)＋12AD →，由条件知|AB →|＝|AC →|＝|AD →|＝2，AB →·AC →＝AB →·AD →＝AC →·AD →＝2， ∴|EF →|2＝14[|AD →|2＋|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →－2AB →·AD →－2AC →·AD →]＝2，∴|EF →|＝ 2.13．(2012·中山市模拟)如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是()A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋cC ．－12a －12b ＋c D.12a －12b ＋c[答案] A[解析] BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(B 1A 1→＋B 1C 1→) ＝AA 1→＋12(－AB →＋AD →)＝c －12a ＋12b ，故选A.14．(2011·泰安模拟)如图，空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN →等于________．[答案] －23a ＋12b ＋12c[解析] MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA →＝12(b ＋c )－23a ＝－23a ＋12b ＋12c .[点评] 空间向量的线性表示及运算与平面向量类似，要结合图形灵活运用三角形法则和平行四边形法则．15．(2011·东营期末)若a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．(1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k ；(2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，求k .(3)以坐标原点O 为起点作向量OA →＝a ，OB →＝b ，求O 到直线AB 的距离．[解析] k a ＋b ＝(k －2,5k ＋3，－k ＋5)，a －3b ＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．(1)∵(k a ＋b )∥(a －3b )，∴k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16，解得k ＝－13. (2)∵(k a ＋b )⊥(a －3b )，∴(k －2)×7＋(5k ＋3)×(－4)＋(－k ＋5)×(－16)＝0.解得k ＝1063.(3)由条件知A (1,5，－1)，B (－2,3,5)，∴AO →＝(－1，－5,1)，AB →＝(－3，－2,6)，AO →·AB →＝19，|AB →|＝7，∴O 到直线AB 的距离d ＝|AO →·AB →||AB →|＝197.16.如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12F A ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？(3)设AB ＝BE ，证明：平面ADE ⊥平面CDE .[解析]由题设知，F A 、AB 、AD 两两互相垂直．如图，以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系A －xyz .(1)设AB ＝a ，BC ＝b ，BE ＝c ，则由题设得A (0，0,0)，B (a,0,0)，C (a ，b,0)，D (0,2b,0)，E (a,0，c )，G (0,0，c )，H (0，b ，c )，F (0,0,2c )．所以，GH →＝(0，b,0)，BC →＝(0，b,0)，于是GH →＝BC →.又点G 不在直线BC 上，则GH 綊BC ，所以四边形BCHG 是平行四边形．(2)C 、D 、F 、E 四点共面．理由如下：由题设知，F (0,0,2c )，所以EF →＝(－a,0，c )，CH →＝(－a,0，c )，EF →＝CH →，又C ∉EF ，H ∈FD ，故C 、D 、F 、E 四点共面．(3)由AB ＝BE ，得c ＝a ，所以CH →＝(－a,0，a )，AE →＝(a,0，a )， 又AD →＝(0,2b,0)，因此CH →·AE →＝0，CH →·AD →＝0，即CH ⊥AE ，CH ⊥AD ，又AD ∩AE ＝A ，所以CH ⊥平面ADE .故由CH ⊂平面CDFE ，得平面ADE ⊥平面CDE .[点评] 如果所给问题中存在两两垂直的直线交于一点，容易将各点的坐标表示出来时，可用向量法求解．如果其所讨论关系不涉及求角，求距离或所求角、距离比较容易找(作)出时，可不用向量法求解，本题解答如下：(1)由题设知，FG ＝GA ，FH ＝HD ，所以GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，故GH 綊BC ，所以四边形BCHG 是平行四边形．(2)C 、D 、F 、E 四点共面．理由如下：由BE 綊12AF ，G 是F A 的中点知，BE 綊GF ，所以EF ∥BG ，由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH ，故EC 、FH 共面．又点D 直线FH 上，所以C 、D 、F 、E 四点共面．(3)连结EG ，由AB ＝BE ，BE 綊AG ，及∠BAG ＝90°知四边形ABEG是正方形，故BG ⊥EA .由题设知，F A 、AD 、AB 两两垂直，故AD ⊥平面F ABE ， 因此EA 是ED 在平面F ABE 内的射影，∴BG ⊥ED .又EC ∩EA ＝E ，所以BG ⊥平面ADE .由(1)知，CH ∥BG ，所以CH ⊥平面ADE .由(2)知F ∈平面CDE ，故CH ⊂平面CDE ，得平面ADE ⊥平面CDE .1．(2011·郑州一中月考)已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[答案] C[解析] a ＋b ＝(－1，－2，－3)＝－a ，故(a ＋b )·c ＝－a ·c ＝7，得a ·c ＝－7，而|a |＝12＋22＋32＝14， 所以cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝－12，〈a ，c 〉＝120°. 2．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →的值为( )A ．0 B.32 C ．1 D ．无法确定[答案] A[解析] AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝AB →·(BD →－BC →)＋(BC →－BA →)·DB →＋(BD →－BA →)·BC →＝AB →·BD →－AB →·BC →＋BC →·DB →－BA →·DB →＋BD →·BC →－BA →·BC →＝0，故选A.3．已知斜三棱柱ABC －A ′B ′C ′，设AB →＝a ，AC →＝b ，AA ′→＝c ，在面对角线AC ′和棱BC 上分别取点M 、N ，使AM →＝kAC ′→，BN→＝kBC →(0≤k ≤1)，求证：三向量MN →、a 、c 共面．[解析] AN →＝AB →＋BN →＝AB →＋kBC →＝AB →＋k (AC →－AB →)＝a ＋k (b －a )＝(1－k )a ＋k b ，AM →＝kAC ′→＝k (AA ′→＋AC →)＝k b ＋k c ，MN →＝AN →－AM →＝(1－k )a －k c .∵向量a 和c 不共线，∴MN →、a 、c 共面．。
高三高考数学国步分项分类题及析答案一六
高三高考数学国步分项分类题及析答案一六4-1角的概念的推广与任意角的三角函数地基加固加固1.(文)(2021绵阳二诊)已知角a同时满足sina>0且tana<0，则角a的终边一定落在()a、第一象限C.第三象限[答案]B[解析]由sina>0且tana<0可知，cosa<0，所以角a的终边一定落在第二象限．选b.cosα（科学）（2022广西天阳中学月考）如果sinαtanα<0，且<0，则角度αtanα是()a、第一象限角C第三三角形极限角[answer]C[解析]根据各象限内三角函数值的符号进行判断即可．由sinαtanα<0可知sinα，tanα异号，从而α为第二或第三象限角．cosα由<0可知cosα，tanα异号，从而α为第三或第四象限角．tanα综上可知，α为第三象限角．2π2π?? 2.（文本）（2022杭州模拟）已知角度αA点PSIN，cos？，然后33?b．第二象限d．第四象限b、第二象限角D.第四象限角角α的最小正值为()五a.π62c.π311b。
π65d。
π3[答案]b2ππ3[分析]根据条件，cosα＝sin＝sin＝sin3322ππ1sinα＝cos＝cos＝cos332∴角α为第四象限角，π11π∴ α＝2π-=，所以选择B66已知锐角α最终边上点P的坐标为（4sin3，-4cos3），然后α等于（）a．3πc、 3－2[答案]cπ[解析]∵<32π－cos3sin?3－2??π?∴tanα＝tan？3－?，sin3π?2?余弦？3－? 2π? π? π?? ∵3－∈0，，∴ α＝ 3－.2? 2.二3．若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径不可能等于() a、 5B。
2C。
3D。
4[答]B12【分析】假设扇形半径为r，中心角为α，则有2R+rα＝rα2144即2+α＝rαr=2+，因为≠ 0,2ααb．－3πd、－32∴r≠2.sinα＋cosα4．已知点p(－3,4)在角α的终边上，则的值为()3sinα＋2cosα1a.－67c.18[答案]b四[解析]由条件知tanα＝－，3sinα＋cosαtanα＋11∴＝＝.3sinα+2cosα3tanα+265．(文)设0≤θ<2π，如果sinθ>0且cos2θ>0，则θ的取值范围是()3πa．043πc.[分析]∵ 0≤ θ<2π，sinθ>0∴0又由cos2θ>0得，2kπ－<2θ<2kπ＋，22ππ即kπ－44π3π∴θ的取值范围是044(理)(2021海口模拟)已知点p(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是()ππa.（，）425πb．(π，)4π3πb．044d。
高三高考数学国步分项分类题及析答案一五
高三高考数学国步分项分类题及析答案一五3-4定积分与微积分基本定理(理)基础巩固强化1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d yD ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y[答案] B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .2．如图，阴影部分面积等于( )A ．2 3B ．2－ 3C.323D.353[答案] C[解析] 图中阴影部分面积为S ＝⎠⎛-31(3－x 2－2x )d x ＝(3x －13x 3－x 2)|1－3＝323. 3.⎠⎛024－x 2d x ＝( )A ．4πB ．2πC ．π D.π2[答案] C[解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S ＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是()A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．在t1时刻，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面[答案] A[解析]判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t0，t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v(t)的图象与t轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t0时刻，v甲的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积大于v乙的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C，D错误；同样，在t1时刻，v甲的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，仍然大于v乙的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，所以，可以断定：在t 1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．(2012·山东日照模拟)向平面区域Ω＝{(x ，y )|－π4≤x ≤π4，0≤y ≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( )A.π4B.12C.π2－1 D.2π[答案] D[解析] 平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区6． (sin x －cos x )d x 的值是( )A ．0 B.π4 C ．2 D ．－2 [答案] D[解析] (sin x －cos x )d x ＝(－cos x －sin x ) ＝－2.7．(2010·惠州模拟)⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝________.[答案] 3 [解析]∵y ＝⎩⎨⎧1＋x 0≤x ≤13－x 1<x ≤2，∴⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝⎠⎛01(1＋x )d x ＋⎠⎛12(3－x )d x＝(x ＋12x 2)|10＋(3x －12x 2)|21＝32＋32＝3.8．(2010·芜湖十二中)已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f (x )d x＝2f (a )成立，则a ＝________.[答案] －1或13[解析] ∵⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛1－1(3x 2＋2x ＋1)d x ＝(x 3＋x 2＋x )|1－1＝4，⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )，∴6a 2＋4a ＋2＝4， ∴a ＝－1或13.9．已知a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ，则二项式(a x －1x )6的展开式中含x 2项的系数是________．[答案] －192[解析] 由已知得a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x )|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C r 6×26－r×x 3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解析] 设直线与抛物线的两个交点分别为A (a ，a 2)，B (b ，b 2)，不妨设a <b ，则直线AB 的方程为y －a 2＝b 2－a 2b －a (x －a )，即y ＝(a ＋b )x －ab .则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎛ab [(a ＋b )x －ab －x 2]d x＝(a ＋b 2x 2－abx －x 33)|ba ＝16(b －a )3，∴16(b －a )3＝43，解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P (x ，y )， 其中⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a 2＋b 22.将b －a ＝2代入得⎩⎨⎧x ＝a ＋1，y ＝a 2＋2a ＋2.消去a 得y ＝x 2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x 2＋1.能力拓展提升11.(2012·郑州二测)等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝⎠⎛034x d x ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12 D ．－1或－12[答案] C [解析] 因为S 3＝⎠⎛034x d x ＝2x 2|30＝18，所以6q ＋6q 2＋6＝18，化简得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．(2012·太原模拟)已知(x ln x )′＝ln x ＋1，则⎠⎛1e ln x d x ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1 [答案] A[解析] 由(x ln x )′＝ln x ＋1，联想到(x ln x －x )′＝(ln x ＋1)－1＝ln x ，于是⎠⎛1e ln x d x ＝(x ln x －x )|e 1＝(e ln e －e )－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．[答案] 18 [解析]由方程组⎩⎨⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y 22、x ＝4－y ，∴S ＝⎠⎛-42 [(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y 36)|2－4＝18.14.已知函数f (x )＝e x －1，直线l 1：x ＝1，l 2：y ＝e t －1(t 为常数，且0≤t ≤1)．直线l 1，l 2与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S 2表示．直线l 2，y 轴与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S 1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案] (e －1)2[解析] 由题意得S 1＋S 2＝⎠⎛0t (e t －1－e x ＋1)d x ＋⎠⎛t1(e x －1－e t ＋1)d x ＝⎠⎛0t (e t －e x )d x ＋⎠⎛t1(e x －e t )d x ＝(xe t －e x )|t 0＋(e x －xe t )|1t ＝(2t －3)e t ＋e＋1，令g (t )＝(2t －3)e t ＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g ′(t )＝2e t ＋(2t －3)e t ＝(2t －1)e t，令g ′(t )＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g ′(t )<0，g (t )是减函数，当t ∈(12，1]时，g ′(t )>0，g (t )是增函数，因此g (t )的最小值为g (12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2.15．求下列定积分． (1)⎠⎛1－1|x |d x; (2)⎠⎛πcos 2x2d x ；(3)∫e ＋121x －1d x . [解析] (1)⎠⎛1－1|x |d x ＝2⎠⎛1x d x ＝2×12x 2|10＝1.(2)⎠⎛πcos 2x 2d x ＝⎠⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |π0＋12sin x |π0＝π2. (3)∫e ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝1. 16．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，求a 的值．[解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0， ∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)． ∴S 阴影＝⎠⎛a0[0－(－x 3＋ax 2)]d x＝(14x 4－13ax 3)|0a ＝112a 4＝112， ∵a <0，∴a ＝－1.1．(2011·龙岩质检)已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求f (x )d x 的值，结果是( )A.16＋π2 B ．π C ．1 D ．0 [答案] B[解析] f (x )d x ＝sin 5x d x ＋1d x ，由于函数y ＝sin 5x 是奇函数，所以sin 5x d x ＝0，而1d x ＝x |π2－π2＝π，故选B.2．若函数f (x )＝⎩⎨⎧ －x －1 (－1≤x <0)，cos x (0≤x <π2)，的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a ，则a 的值为( ) A.2＋π4 B.12C ．1D.32 [答案] D[解析] 由图可知a ＝12＋⎠⎜⎜⎛0π2cos x d x ＝12＋sin x |π20＝32.3．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝________.[答案] 22[解析] ∵⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2>2， ∴2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝2⊗2＝2－12＝22. 4．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．[答案] 33[解析] ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝(ax 33＋cx )|10＝a 3＋c ，故a 3＋c ＝ax 20＋c ，即ax 20＝a 3，又a ≠0，所以x 20＝13，又0≤x 0≤1，所以x 0＝33.故填33.5．设n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ，则(x －2x)n 展开式中含x 2项的系数是________．[答案] 40 [解析] ∵(x 3－2x )′＝3x 2－2， ∴n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ＝(x 3－2x )|21 ＝(23－2×2)－(1－2)＝5. ∴(x －2x )5的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r (－2x)r ＝(－2)r C r 5x 5－3r 2 ，令5－3r2＝2，得r ＝2， ∴x 2项的系数是(－2)2C 25＝40.。
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高三高考数学国步分项分类题及析答案代10-7二项式定理(理) 基础巩固强化1.(2011·北京模拟)(x 2－1x )n的展开式中，常数项为15，则n ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6 [答案] D[解析] T r ＋1＝C r n (x 2)n －r ·(－1x )r ＝(－1)r·C r nx 2n －3r，令2n －3r ＝0得，r ＝2n3，∴n 能被3整除，结合选项，当n ＝3时，r ＝2，此时常数项为(－1)2·C 23＝3，不合题意，当n ＝6时，r ＝4，常数项为(－1)4C 46＝15，∴选D.2．(2012·东北三校二模)在(x ＋13x)30的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有( )A ．4项B ．5项C ．6项D ．7项[答案] C[解析] 展开式的通项T r ＋1＝C r 30(x )30－r·(13x)r＝C r 30x 90－5r 6，∵90－5r6是整数，0≤r ≤30，且90能被6整除，∴r 能被6整除，∴r ＝0,6,12,18,24,30时，x 的幂指数是整数，故选C.3．(2012·湖北，5)设a ∈Z ，且0≤a <13，若512012＋a 能被13整除，则a ＝( )A ．0B ．1C ．11D ．12[答案] A[解析] 本题考查二项展开式的应用．512012＝(52－1)2012＝C 020********－C 12012522011＋C 22012522010＋…＋C 20112012×52×(－1)2011＋C 20122012×(－1)2012，若想被13整除需加12，∴a ＝12.4．(2012·天津理，5)在(2x 2－1x )5的二项展开式中，x 的系数为( ) A ．10 B ．－10 C ．40 D ．－40 [答案] D[解析] 本小题考查二项式展开式的系数求法，考查运算能力． (2x 2－1x )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x 2)5－r (－1x )r ＝C r 525－r (－1)r x 10－3r ，令10-3r ＝1得，r ＝3，∴T 4＝C 3522(－1)3x ＝－40x .∴x 的系数是－40.[点评] 把二项式系数等同于项的系数是易犯的错误． 5．(2012·陕西礼泉一中期末)在(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中，含x 4项的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的( )A ．第11项B ．第13项C ．第18项D ．第20项[答案] D[解析] (1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中，含x 4项的系数为C 45＋C 46＋C 47＝C 15＋C 26＋C 37＝5＋6×52＋7×6×53×2＝55，以－2为首项，3为公差的等差数列的通项公式a n ＝－2＋3(n －1)＝3n －5，令a n ＝55，即3n －5＝55，n ＝20，故选D.6．(2011·河北石家庄一模)多项式x 10＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2·(x －1)2＋…＋a 10(x －1)10，则a 8的值为( )A ．10B ．45C ．－9D ．－45 [答案] B[解析] x 10＝[1＋(x －1)]10＝1＋C 110(x －1)＋C 210(x －1)2＋…＋C 1010(x －1)10＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 10(x －1)10对任意实数x 都成立，∴a 8＝C 810＝C 210＝45.7．(2012·河南商丘市模拟)二项式(1＋sin x )6的展开式中二项式系数最大的一项的值为 52，则x 在[0,2π]内的值为________．[答案] π6或5π6[解析] 由题意得T 4＝C 36·sin 3x ＝20sin 3x ＝52， ∴sin x ＝12，∵x ∈[0,2π]，∴x ＝π6或5π6.8．(2011·广东六校联考)若(x －a )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，且a 5＝56，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8＝________.[答案] 256[解析] (x －a )8的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8·x 8－r ·(－a )r ＝(－1)r C r 8·a r ·x 8－r ， 令8－r ＝5，则r ＝3，于是a 5＝(－1)3C 38·a 3＝56，解得a ＝－1，即(x ＋1)8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8， 令x ＝1得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8＝28＝256.9．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1ax 6的二项展开式中，x 3的系数为52，则二项式系数最大的项为________．[答案] 52x 3[解析]∵T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax r＝C r 6a －r x 12－3r ， 令12－3r ＝3，得r ＝3，∴C 36a －3＝52，解得a ＝2.故二项式系数最大的项为T 4＝C 36(x 2)3(12x )3＝52x 3.10．(2011·上海十三校第二次联考)在二项式(x ＋3x )n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则n ＝________.[答案] 3[解析] 由题意可知，B ＝2n ，A ＝4n ，由A ＋B ＝72，得4n ＋2n＝72，∴2n ＝8，∴n ＝3.能力拓展提升11.(2012·河南豫东、豫北十所名校联考)已知n ＝∫e 611x d x ，那么(x －3x )n 展开式中含x 2项的系数为( )A ．125B ．135C ．－135D ．－125 [答案] B [解析]12．(2012·山西六校模拟)若(x ＋y )9按x 的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x ＋y ＝1，xy <0，则x 的取值范围是( )A ．(－∞，15) B ．[45，＋∞) C ．(－∞，－45] D ．(1，＋∞)[答案] D[解析] 二项式(x ＋y )9的展开式的通项是T r ＋1＝C r 9·x 9－r ·y r.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧C 19·x 9－1·y ≤C 29·x 9－2·y 2x ＋y ＝1xy <0，由此得⎩⎪⎨⎪⎧x 8·(1－x )－4x 7·(1－x )2≤0x (1－x )<0，由此解得x >1，即x 的取值范围是(1，＋∞)，选D.13．(2011·安徽宣城模拟)在(x －2)5(2＋y )4的展开式中x 3y 2的系数为________．[答案] 480[解析] (x －2)5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5x 5－r(－2)r ， 令5－r ＝3得r ＝2，得x 3的系数C 25(－2)2＝40； (2＋y )4的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 4(2)4－r y r ， 令r ＝2得y 2的系数C 24(2)2＝12，于是展开式中x 3y 2的系数为40×12＝480.14．在(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)的展开式中，含x 4的项的系数是________．[答案] －15[解析] 从4个因式中选取x ，从余下的一个因式中选取常数，即构成x 4项，即－5x 4－4x 4－3x 4－2x 4－x 4，所以x 4项的系数应是－1－2－3－4－5＝－15.15．(2011·安徽理，12)设(x －1)21＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 21x 21，则a 10＋a 11＝________.[答案] 0[解析] a 10＝C 1021(－1)11＝－C 1021，a 11＝C 1121(－1)10＝C 1021，所以a 10＋a 11＝C 1121－C 1021＝C 1021－C 1021＝0.16．已知数列{a n }满足a n ＝n ·2n －1(n ∈N *)，是否存在等差数列{b n }，使a n ＝b 1C 1n ＋b 2C 2n ＋b 3C 3n ＋…＋b n C n n 对一切正整数n 成立？并证明你的结论．[解析] 假设等差数列{b n }使等式n ·2n －1＝b 1C 1n ＋b 2C 2n ＋b 3C 3n ＋…＋b n C nn 对一切正整数n 成立，当n ＝1时，得1＝b 1C 11，∴b 1＝1，当n ＝2时，得4＝b 1C 12＋b 2C 22，∴b 2＝2，当n ＝3时，得12＝b 1C 13＋b 2C 23＋b 3C 33，∴b 3＝3，可猜想b n ＝n 时，n ·2n －1＝C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋n C n n .∵k C k n ＝k ·n ！k ！(n －k )！＝n ·(n －1)！(k －1)！(n －k )！＝n C k －1n －1. ∴C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋n C n n ＝n (C 0n －1＋C 1n －1＋…＋C n －1n －1)＝n ·2n －1.故存在等差数列{b n }(b n ＝n )，使已知等式对一切n ∈N *成立．1．(2011·辽宁沈阳质检)若(3x －1x )n 展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含x 3的项的系数为( )A ．－5B ．5C ．－405D ．405[答案] C[解析] 令x ＝1得2n ＝32，所以n ＝5， 于是(3x －1x )5展开式的通项为 T r ＋1＝(－1)rC r 5(3x )5－r (1x)r ＝(－1)r C r 535－r x 5－2r ， 令5－2r ＝3，得r ＝1， 于是展开式中含x 3的项的系数为(－1)1C 1534＝－405，故选C.2．设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[答案] A[解析] 依题意，令x ＋2＝1，等式右边为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11.把x ＝－1代入等式左边，得[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝2×(－1)9＝－2，即a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝－2.3．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 6展开式中x 6项的系数为60，其中a 是小于零的常数，则展开式中各项的系数之和是________．[答案] 1[解析] ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 6展开式中的第r ＋1项T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a xr ＝a r C r 6x 12－3r， 令12－3r ＝6得，r ＝2，∴a 2C 26＝60，∴a 2＝4.∵a <0，∴a ＝－2，令x ＝1得展开式各项系数之和为⎝⎛⎭⎪⎫1＋－216＝1.4．将⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 2n (n ∈N *)的展开式中x －4的系数记为a n ，则1a 2＋1a 3＋…＋1a 2014＝________. [答案] 20131007 [解析] 第r ＋1项T r ＋1＝C r n ·⎝⎛⎭⎪⎫－1x 2r＝(－1)r C r n x－2r，令－2r ＝－4，∴r ＝2， ∴a n ＝(－1)2C 2n ＝n (n －1)2，∴1a 2＋1a 3＋…＋1a 2014＝21×2＋22×3＋…＋22013×2014＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12013－12014＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12014＝20131007. 5．(2012·沈阳市二模)若(x －a x 2)n展开式中二项式系数之和是1024，常数项为45，则实数a 的值是________．[答案] ±1[解析] 由条件知，2n ＝1024，∴n ＝10，二项展开式的通项T r ＋1＝C r 10(x )10－r ·(－a x 2)r ＝(－a )r ·C r10·x10－5r2，令10－5r2＝0得r ＝2，∴常数项为T 3＝(－a )2·C 210＝45a 2＝45，∴a ＝±1.。