12-13学年全国高一数学3.3.3《点到直线的距离》学案(人教A版必修2)
.3.3.3点到直线的距离公式教案新人教A版必修2
课题：233.3点到直线的距离公式课 型：新授课 教学目标：知识与技能：理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式; 能力和方法： 会用点到直线距离公式求解两平行线距离-情感和价值： 认识事物之间在一定条件下的转化。
用联系的观点看问题教学重点：点到直线的距离公式 教学难点：点到直线距离公式的理解与应用 . 教学过程：教学过程 一、 情境设置，导入新课：前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件， 两直线的交点问题,两点间的距离公式。
逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法 •这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点 P 到直线I 的距离。
用POWERPOINT 打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学。
二、 讲解新课：1 •点到直线距离公式：I Ax 0 By 0 C点P(X o ,y 。
)到直线I ： Ax By C 0的距离为：d —0 0-J A 2 B 2(1 )提出问题在平面直角坐标系中， 如果已知某点P 的坐标为(X 0,y 。
)，怎样用点的坐标和直线的方 程直接求点P 到直线l 的距离呢？ 学生可自由讨论。
(2 )数行结合，分析问题，提出解决方案 学生已有了点到直线的距离的概念，即由点 段的长.这里体现了“画归”思想方法，把一个新问 转化为 一个曾经解决过的问题，一个自己熟悉的 题。
画出图形，分析任务，理清思路，解决问题。
方案一： 设点P 到直线I 的垂线段为PQ ,垂足为Q,由PQB可知，直线PQ 的斜率为一 (A 工0),根据点斜A写出直线PQ 的方程，并由l 与PQ 的方程求出点 QP 到直线I 的距离d 是点P 到直线l 的垂线的坐标；由此根据两点距离公式求出IAx i By。
C 0由得X i Ax°By2 C 0所以，1P R | =I X°X i IBy。
高中数学 3.3.3 点到直线的距离学案 新人教a版必修2
3.3.3 点到直线的距离课前预习学案一、预习目标让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离二、学习过程预习教材P 117~ P 119，找出疑惑之处问题1．已知平面上两点(0,3),(2,1)A B -，则AB 的中点坐标为 ，AB 间的长度为 .问题2．在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为00(,)x y ，直线的方程是:0l Ax By C ++=，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线的距离呢?5分钟训练1.点（0，5）到直线y=2x 的距离是( ) A.25 B.5 C.23 D.25 2.两条平行直线3x+4y-2=0,3x+4y-12=0之间的距离为________________.3.已知点(a,2)(a ＞0)到直线l ：x-y+3=0的距离为1,则a 的值等于( ) A.2 B.22- C.12- D.12+答案：C三．提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中课内探究学案一、学习目标1．理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式；2．会用点到直线距离公式求解两平行线距离3．认识事物之间在一定条件下的转化.用联系的观点看问题学习重点:点到直线距离公式的推导和应用.学习难点:对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立二、学习过程知识点1：已知点00(,)P x y 和直线:0l Ax By C ++=，则点P 到直线的距离为：d =注意：⑴点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离；⑵在运用公式时，直线的方程要先化为一般式.问题1：在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为00(,)x y ，直线方程0:=++C By Ax l 中，如果0A =，或0B =，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线的距离呢并画出图形来.例 分别求出点(0,2),(1,0)A B -到直线341x y --0=的距离.问题2：求两平行线1l ：2380x y +-=，2l ：23x y +10-=的距离.知识点2：已知两条平行线直线1l 10Ax By C ++=，2:l20Ax By C ++=，则1l 与2l 的距离为d =注意：应用此公式应注意如下两点：（1）把直线方程化为一般式方程；（2）使,x y 的系数相等.典型例题例1 求点P 0(-1，2)到下列直线的距离：(1)2x+y-10=0;(2)3x=2.变式训练点A(a，6)到直线3x－4y=2的距离等于4，求a的值.例2 已知点A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC的面积变式训练求两平行线l1:2x+3y-8=0,l2:2x+3y-10=0的距离当堂检测课本本节练习.拓展提升问题：已知直线l:2x-y+1=0和点O(0，0)、M(0，3)，试在l上找一点P，使得||PO|-|PM||的值最大，并求出这个最大值.学习小结1.点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式课后巩固练习与提高30分钟训练1.点（3,2）到直线l:x-y+3=0的距离为( )A.24B.2C.22D.32.点P(m-n,-m)到直线ny m x +=1的距离为( ) A.22n m + B.22n m - C.22n m +- D.22n m ±3.点P 在直线x+y-4=0上，O 为坐标原点，则|OP|的最小值为( ) A.13 B.22 C.6 D.24.到直线2x+y+1=0的距离为55的点的集合为( ) A.直线2x+y-2=0 B.直线2x+y=0C.直线2x+y=0或直线2x+y-2=0D.直线2x+y=0或直线2x+y+2=05.若动点A 、B 分别在直线l 1：x+y-7=0和l 2：x+y-5=0上移动,则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( ) A.23 B.22 C.33 D.246.两平行直线l 1、l 2分别过点P 1(1,0)、P 2(1,5),且两直线间的距离为５，则两条直线的方程分别为l 1：_________________,l 2：_______________.7.已知直线l 过点A(-2,3),且点B(1,-1)到该直线l 的距离为3，求直线l 的方程.8.已知直线l 过点(1,1)且点A(1,3)、B(5,-1)到直线l 的距离相等，求直线l 的方程.9.已知三条直线l 1：2x-y+a=0(a ＞0),直线l 2：4x-2y-1=0和直线l 3：x+y-1=0,且l 1与l 2的距离是5107. (1)求a 的值.(2)能否找到一点P,使得P 点同时满足下列3个条件:①P 是第一象限的点；②P 点到l 1的距离是P 到l 2的距离的21；③P 点到l 1的距离与P 点到l 3的距离之比是5:2？若能,求P 点的坐标;若不能,请说明理由.参考答案1.解析:由点到直线的距离公式可得d=222|323|=+-. 答案：C2.解析:⇒=+1ny m x nx+my-mn=0，由点到直线的距离公式，得 222222222|||)(|n m n m m n n m mn m n m n +=+--=+---.答案：A3.解析:根据题意知|OP|最小时，|OP|表示原点O 到直线x+y-4=0的距离.即根据点到直线的距离公式，得2224=.答案：B4.解析:根据图形特点，满足条件的点的集合为直线，且该直线平行于直线2x+y+1=0，且两直线间的距离为55.设所求直线的方程为2x+y+m=0,根据平行线间的距离公式，得⇒=-555|1|m ｜m-1｜=1，解得m=2或m=0. 故所求直线的方程为2x+y=0或2x+y+2=0.答案：D8.解：直线l 平行于直线AB 时，其斜率为k=k AB =1531---=-1， 即直线方程为y=-(x-1)+1⇒x+y-2=0；直线l 过线段AB 的中点M(2,1)时也满足条件，即直线l 的方程为y=1.综上，直线l 的方程为x+y-2=0或y=1.9.解：(1)根据题意得：l 1与l 2的距离d=⇒=+⇒=+27|21|51075|21|a a a=3或a=-4(舍).(2)设P 点坐标为(x 0,y 0),则x 0＞0,y 0＞0.若P 点满足条件②, 则2×⇒--=+-5|212|5|32|0000y x y x ｜8x 0-4y 0+12｜=｜4x 0-2y 0-1｜,8x 0-4y 0+12=4x 0-2y 0-1或8x 0-4y 0+12=-(4x 0-2y 0-1)⇒4x 0-2y 0+13=0或12x 0-6y 0+11=0; ①若P 点满足条件③, 则⇒--⨯=+-⨯2|12|25|32|20000y x y x ｜2x 0-y 0+3｜=｜x 0+y 0-1｜,2x 0-y 0+3=x 0+y 0-1或2x 0-y 0+3=-(x 0+y 0-1), x 0-2y 0+4=0或3x 0+2=0; ② 由①②得⎩⎨⎧=+=+-⎩⎨⎧=+=+-⎩⎨⎧=+-=+-023,011612023,01324042,013240000000000x y x x y x y x y x 或或⎩⎨⎧=+-=+-.042,0116120000y x y x 或解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=-=.1837,9121,32631,3221,300000000y x y x y x y x 或或或故满足条件的点P 为(-3,21)或(631,32-)或(21,32-)或(1837,91).。
人教高中数学A版必修二 第三章§3.3.3点到直线的距离教学设计
《点到直线的距离》教学设计一、教学内容分析《点到直线的距离》是人教A版必修2第三章第三节中的一个重要知识点||，是对平面图形进行定量研究的一个重要公式||。
点到直线的距离公式是解决理论和实际问题的重要工具||，它使学生对点与直线位置关系的认识从定性的认识上升到定量的认识||。
同时它可被用于研究曲线的性质||，如求两条平行线间的距离、三角形的高、圆心到直线的距离等等||，借助它也可以求点的轨迹方程||，如角平分线的方程、抛物线的方程等||，因此它具有承前启后的重要作用||。
另外||，点到直线的距离公式也体现了解析几何中的数学美||，在解决数学问题中所展现的逻辑美||。
二、学情分析在本节课之前学生已学习掌握了有关直线计算的相关知识||，如两直线交点、两点间距离公式等||，同时也学习了三角函数、平面向量、不等式等有关知识||，具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力||。
另外我校学生基础知识扎实、代数运算能力较强||，思维较活跃||，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高||。
由于学生刚刚学习解析几何||，对解析法不够熟练||，而且用解析法结合平面几何、三角的知识解决问题的例子不多||，综合运用知识的能力不高||，所以公式的推导是个难点||。
三、设计策略结合教学实际情况||，本节课采用探究式课堂教学方式||，在教师启发引导下||，学生自主探索推导“点到直线距离公式”||，同时思考如何在推导过程中简化运算||。
四、学法指导“授人以鱼||，不如授人以渔||。
”我体会到||，必须在传授知识给学生的同时||，教给他们好的学习方法||，就是让他们“会学习”||。
首先让学生明确“为什么在两直线的位置关系这一节讨论点到直线的距离公式”||，激发学生的学习兴趣||。
在公式的推导中||，比较两种推导思路的不同||，让他们体会到“思路1难在什么地方？”“思路2妙在哪里？”||，使他们熟悉解析法||，同时领会到用解析法结合其它数学方法的妙处||。
人教高中数学A版必修二 第三章§3.3.3点到直线的距离教学设计
《点到直线的距离》教学设计一、教学内容分析《点到直线的距离》是人教A版必修2第三章第三节中的一个重要知识点，是对平面图形进行定量研究的一个重要公式。
点到直线的距离公式是解决理论和实际问题的重要工具，它使学生对点与直线位置关系的认识从定性的认识上升到定量的认识。
同时它可被用于研究曲线的性质，如求两条平行线间的距离、三角形的高、圆心到直线的距离等等，借助它也可以求点的轨迹方程，如角平分线的方程、抛物线的方程等，因此它具有承前启后的重要作用。
另外，点到直线的距离公式也体现了解析几何中的数学美，在解决数学问题中所展现的逻辑美。
二、学情分析在本节课之前学生已学习掌握了有关直线计算的相关知识，如两直线交点、两点间距离公式等，同时也学习了三角函数、平面向量、不等式等有关知识，具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力。
另外我校学生基础知识扎实、代数运算能力较强，思维较活跃，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高。
由于学生刚刚学习解析几何，对解析法不够熟练，而且用解析法结合平面几何、三角的知识解决问题的例子不多，综合运用知识的能力不高，所以公式的推导是个难点。
三、设计策略结合教学实际情况，本节课采用探究式课堂教学方式，在教师启发引导下，学生自主探索推导“点到直线距离公式”，同时思考如何在推导过程中简化运算。
四、学法指导“授人以鱼，不如授人以渔。
”我体会到，必须在传授知识给学生的同时，教给他们好的学习方法，就是让他们“会学习”。
首先让学生明确“为什么在两直线的位置关系这一节讨论点到直线的距离公式”，激发学生的学习兴趣。
在公式的推导中，比较两种推导思路的不同，让他们体会到“思路1难在什么地方？”“思路2妙在哪里？”，使他们熟悉解析法，同时领会到用解析法结合其它数学方法的妙处。
这样，学生不仅学到了知识，而且通过公式推导思路的优化，深化了对数形结合思想的理解，提高了学生转化问题的能力。
五、教学目标1．知识与技能（1）理解点到直线的距离公式的推导过程；（2）掌握点到直线的距离公式；（3）掌握点到直线的距离公式的应用。
高中数学人教A版必修2导学案设计：3.3.3点到直线的距离(学生版)
章节
3.3.3 课题点到直线的距离教
学目标1.会利用两点间的距离公式推导点到直线的距离公式；
2.掌握点到直线距离公式的形式特点，并会灵活应用；
3.会用坐标法证明与点线距离有关的平面几何问题。
教学重点点到直线距离公式的灵活应用教学难点点到直线距离公式的推导方法【复习回顾】
22
x y
+的几何意义是；22
(1)(1)
x y
-+-的几何意义是。
课前预习案
【新知探究】
探究一、点到直线距离的定义
点
P到直线l的距离是指从点
P到直线l的的长度。
探究二、点到直线距离公式的推导
问题1：如图已知点
000
P(x,y)，直线l：A B0A B0
x y C
++=⋅≠
（），如何求点
P到直线l的距离？
问题2：当A=0或B=0时，点
000
P(x,y)到直线l：A B0A B0
x y C
++=（，不同时为）的距离是多少？是否符合上述公式？
新知1：点
000
P(x,y)，直线l：A B0
x y C
++=的距离公式是
22
d=
A+B
说明：（1）在使用该公式前，须将直线方程化为一般式．
（2）A=0或B=0，此公式也成立，但当A=0或B=0时一般不用此公式计算距离．y
x
O ·P0
Q·。
高一人教版高中数学必修二 3.3.3 点到直线的距离直线间的距离(2)学案
点到直线距离（2）学案
编写：鞠燕杰
审核：王艳 一 基础题
1．直线0743=-+y x 与直线0386=++y x 之间的距离是 ．
2．直角坐标系中第一象限内的点),(y x P 到x 轴，y 轴及直线02=-+y x 的距离 都相等，则x 值是 ．
3．直线2-=y 与023=+y 距离为 ．
4．直线
164=-y x 与直线y=123+x 之间距离为 ．
5．与两平行直线0543:1=--y x l 和0743:2=+-y x l 的距离之比为2:1的 直线方程为 ．
6．直线l 到两平行直线022=+-y x 和0324=+-y x 的距离相等，求直线l 的方程．
7．直线1l 过点)0,5(A ，2l 过点)1,0(B ，1l // 2l 且1l 与2l 间距离等于5，求1l 与2l 的方程．
二 提高题
8．两条平行直线1l ，2l 分别过点)0,1(1P 与)5,0(2P ．
（1）若1l 与2l 的距离为5，求两条直线的方程；
（2）设直线1l 与2l 的距离为d ，求d 的取值范围．
9．正方形的中心在)0,1(-C ，一条边所在直线的方程是053=-+y x ，求其它三边所在的直线方程．。
数学：3.3.3《点到直线的距离》教案(新人教A必修2)
3.3.3点到直线的距离教学目的：使学生了解点到直线距离公式的推导，能记住点到直线距离的公式，并会 应用公式解题。
教学重点：点到直线距离的公式及其应用。
教学难点：点到直线的距离公式的推导。
教学过程一、复习提问两点间的距离公式是什么？点到直线之间的距离能求吗？二、新课 已知点P 0（x 0，y 0），直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，求点P 0到直线l 的距离。
作P 0Q ⊥l ，P 0R 平行x 轴，交l 于点R ，P 0S 平行y 轴，交l 于点S ，设A ≠0，B ≠0，R 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+-00,y A C By ， 点S 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+-B C Ax x 00,，于是有： ∣P 0R ∣＝00x AC By -+-＝A C By Ax ++00， ∣P 0S ∣＝00y BC Ax -+-＝B C By Ax ++00， ∣RS ∣＝2020S P R P +＝C By Ax BA B A +++0022，设∣P 0D ∣=d,由三角形面积公式可得：d ·∣RS ∣＝∣P 0R ∣·∣P 0S ∣，于是得：d ＝2200B A CBy Ax +++点P 0（x 0，y 0）到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离为：d ＝2200B A CBy Ax +++思考：当A ＝0或B ＝0时，上述公式还成立吗？例5、求点P 0（－1,2）到直线3x ＝2的距离。
解：d ＝22032)1(3+--⨯＝35 例6、已知点A （1,3），B （3,1），C （－1,0），求△ABC 的面积。
解：由两点间的距离公式：∣AB ∣＝22)31()13(-+-＝22AB 边所在的直线方程为：131313--=--x y ，即x ＋y －4＝0 点C （－1,0）到直线x ＋y －4＝0的距离h 为：h ＝2211401)1(1+-⨯+-⨯＝25因此，S △ABC ＝21×22×25＝5 评述：求已知三点的三角形的面积，可以先求一边的长度，再求第三个顶点到这边的 距离（即该边上的高），涉及到三个知识点。
高中数学3.3.3点到直线的距离学案设计新人教A版必修2
第三章直线与方程直线的交点坐标与距离公式3.3.3 点到直线的距离学习目标1.理解点到直线的距离公式的推导进程;2.掌握点到直线的距离公式;3.掌握点到直线的距离公式的应用;4.会求两条平行线间的距离.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:已知直线l:x+y-2=0,O为坐标原点.问:直线l上是不是存在点P,到原点O的距离为,若存在,这样的点有几个?若不存在,请说明理由.二、信息交流,揭露规律问题2:通过问题1,咱们知道点在直线外时,可以用点到直线的距离定量地刻画点与直线的位置关系.你能将这个问题推行到一般情形,取得点到直线的距离公式吗?大家自己提出问题,并制定解决思路或方案.三、运用规律,解决问题【例1】求点P0(-1,2)到下列直线的距离:(1)y=10-2x;(2)3x=2.问题3:在公式的推导进程中,A,B可以为零吗?咱们取得的点到直线的距离公式中A,B 是不是可以为零?【例2】已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求△ABC的面积.四、变式演练,深化提高【例3】已知直线l1:2x-7y-8=0,l2:6x-21y-1=0,l1与l2是不是平行?若平行,求l1与l2间的距离.问题4:如何求两平行线之间的距离?为何?你能解决下面的问题吗?求两条平行直线l1:Ax+By+C1=0和l2:Ax+By+C2=0之间的距离.五、信息交流,教学相长问题5:点到直线的距离公式和两条平行直线之间的距离公式的推导进程表现出了如何的数学思想方式?六、反思小结,观点提炼问题6:本节课咱们学习了什么知识?布置作业讲义P109习题A组第9,10题,B组第2,4题.参考答案一、问题1:思路一:(函数思想)设点P(x,y)是直线l上任意一点,则y=2-x,所以|OP|2=x2+y2=x2+(2-x)2=2x2-4x+4=2(x-1)2+2≥2,所以|OP|≥.因此,直线l上到原点O的距离为的点P,仅有一个,即P(1,1).思路二:(转化为两点间的距离)直线l的斜率为-1,所以过原点且与直线l垂直的直线方程为y=x,与x+y-2=0联立,解得垂足Q的坐标为(1,1),所以原点到直线l的距离为.思路三:(解三角形)如图,易知∠OAQ=45°,在Rt△OAQ中,|OA|=2,所以|OQ|=|OA|sin∠OAQ=2×.思路四:(等面积法)如图,易知|OA|=|OB|=2,所以|AB|=2,|OQ|=.二、问题2:将问题推行到一般情形:求点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0距离.按照问题1的求解,制定以下思路:思路一(函数思想)步骤:①设出直线l上任意一点Q的坐标;②用两点间距离公式表示|P0Q|,并借助直线方程消元;③将|P0Q|关于横坐标x的二次函数后求最值.思路二(转化为两点间距离)的步骤:①肯定直线l的斜率k(k≠0);②求与l垂直的直线l'的斜率k'=-;③求过点P0垂直于l的直线l'的方程;④求l与l'的交点Q;⑤求点P0与点Q的距离,取得点P0到l的距离d=|PQ|.思路三(解三角形)的步骤(如图)①过点P0作x轴,y轴的垂线交l于点S,R;②用x0,y0表示点R,S的坐标;③求出|P0R|,|P0S|;④利用勾股定理求出|RS|,并计算sin∠P0SR=;⑤解△P0SQ得|P0Q|=|P0S|sin∠P0SR.思路四(等面积法)的步骤(如图):①过点P0作x轴、y轴的垂线交l于点R,S;②用x0,y0表示点R,S的坐标;③求出|P0R|,|P0S|;④利用勾股定理求出|RS|;⑤按照面积相等,求出|P0Q|=.推导公式:过点P0作x轴,y轴的垂线交l于点R,S;则直线P0R的方程为y=y0,R的坐标为(-,y0);同理S的坐标为(x0,-).于是有|P0R|=,|P0S|=,所以|RS|=.由三角形的面积公式可得|P0Q|=.三、【例1】解:(1)先将方程y=10-2x化为一般式为2x+y-10=0,由点到直线的距离公式得d==2.(2)d=.问题3:不能;可以,一方面A2+B2≠0,另一方面,可以验证,当A=0或B=0时,公式仍然成立.【例2】解:设AB边上的高为h,则S△ABC=|AB|h.|AB|==2.AB边上的高h就是点C到AB的距离.AB边所在的直线方程为,即x+y-4=0.点C(-1,0)到x+y-4=0的距离h=.因此, S△ABC=×2=5.四、【例3】解:l1的斜率k1=,l2的斜率k2=.l1的纵截距b1=-,l2的纵截距b2=-.因为k1=k2,b1≠b2,所以l1∥l2.求得l1与x的交点A的坐标为(4,0).点A到直线l2的距离d=.所以l1与l2间的距离.问题4:可以求一条直线上任意一点到另一条直线的距离;两条平行线之间的距离是指夹在两条平行线间的公垂线段的长,而所有公垂线段长度都相等.当A≠0时,求得l1与x轴的交点A的坐标为(-,0).点A到直线l2的距离d=.当A=0时,经验证上述公式也成立.五、问题5:表现了化归转化的数学思想和数形结合的数学思想.六、问题6:点到直线的距离公式的推导和简单应用;两条平行直线间的距离.。
高中数学 3.3.3点到直线的距离学案 新人教A版必修2
点到直线的距离点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式.例1 求两平行线l1：2x + 3y– 8 = 0l2：2x + 3y– 10 =0的距离.解法一：在直线l1上取一点P(4,0)，因为l1∥l2，所以P到l2的距离等于l1与l2的距离，于是d==d==2．两平行线间的距离d已知l1：Ax + By + C1 = 0l2：Ax + By + C2 = 0dd.即Ax0 + By0= –C2，∴d=例1 求过点M(–2，1)且与A(–1，2)，B(3，0)两点距离相等的直线的方程. 解法一：当直线斜率不存在时，直线为x = –2，它到A、B两点距离不相等. 所以可设直线方程为：y– 1 = k(x + 2)即kx–y + 2k + 1 = 0.由=解得k = 0或12k=-.故所求的直线方程为y – 1 = 0或x + 2y = 0.解法二：由平面几何知识：l∥AB或l过AB的中点.若l∥AB且12ABk=-，则l的方程为x + 2y = 0.若l过AB的中点N(1，1)则直线的方程为y = 1.所以所求直线方程为y– 1 = 0或x + 2y = 0.例2 （1）求直线2x + 11y + 16 = 0关于点P(0，1)对称的直线方程.（2）两平行直线3x + 4y– 1 = 0与6x + 8y + 3 = 0关于直线l对称，求l的方程.【解析】（1）当所求直线与直线2x + 11y + 16 = 0平行时，可设直线方程为2x + 11y + C=0由P点到两直线的距离相等，即，所以C = –38.所求直线的方程为2x + 11y– 38 = 0.（2）依题可知直线l的方程为：6x + 8y + C = 0.则它到直线6x + 8y– 2 = 0的距离1d=到直线6x + 8y + 3 = 0的距离为2d=所以d1 = d212C=.即l的方程为：16802x y++=.例3 等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x + 3y– 6 = 0上，顶点A的坐标是(1，–2).求边AB、AC所在直线方程.【解析】已知BC的斜率为23-，因为BC⊥AC所以直线AC 的斜率为32，从而方程32(1)2y x +=- 即3x – 2y – 7 = 0又点A (1，–2)到直线BC ：2x + 3y – 6 = 0的距离为||AC =且||||AC BC =.由于点B 在直线2x + 3y – 6 = 0上，可设2(,2)3B a a -，且点B 到直线AC2|32(2)7|a a ---=13|11|103a -= 所以1311103a -=或1311103a -=-，所以6313a =或313 所以6316(,)1313B -或324(,)1313B 所以直线AB 的方程为162132(1)63113y x -++=--或242132(1)3113y x ++=-- 即x – 5y – 11 = 0或5x + y – 3 = 0 所以AC 的直线方程为：3x – 2y – 7 = 0AB 的直线方程为：x – 5y – 11 = 0或5x + y – 3 = 0.。
高中数学 3.3.3点到直线的距离教案1 新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学教案
点到直线的距离教学目标：会推导点到直线的距离公式，会用公式求点到直线的距离。
教学设计：问题1:如何求点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离d ？直截了当，直奔主题，有利于学生的注意力集中在本节课的重点和难点。
问题2:由初中平面几何知识可知，什么叫点P 到直线l 的距离？目的是引导学生回到定义〔过点P 作直线l 的垂线，设垂足为Q ，那么线段PQ 的长度叫点P 到直线l 的距离〕，用定义来解决问题，体会数学是自然的。
问题3:如何将几何定义翻译成代数语言？课标指出，在平面解析几何的教学中，教师应帮助学生经历如下的过程：将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；解决几何问题。
本课例就是一个很好的机会，教师应该搭好脚手架，留时间和空间，让学生去探究。
当0,0≠≠B A 时，由l PQ ⊥以及直线l 的斜率为B A -,可得直线PQ 的斜率为AB ，设点Q 的坐标为),(y x ，那么2020)()(y y x x PQ d -+-==问题4:如何求点Q 的坐标？解下面的方程组即得点Q 的坐标为),(y x 。
⎪⎩⎪⎨⎧=--=++)1()2(000 AB x x y yC By Ax此处可留5分钟左右的时间给学生，让学生体会解析几何运算量大的特点。
教材上也说，思路十分自然，但具体运算较繁，从而采用其它思路。
然而笔者认为教师有责任、有义务帮助学生把运算量降下来，在学生有困难的时候帮助学生。
想的问题解决了，为什么不把精力花在算上呢？问题5:看到式子〔1〕，你是怎么想的？引导学生用设k 法，由目标可知，只需求出k 即可，从而体会整体思想，培养目标意识。
设Bk y y Ak x x =-=-00,，那么Bk y y Ak x x +=+=00,，代人〔2〕得0)()(00=++++C Bk y B Ak x A0)(2200=++++k B A C By Ax 所以2200BA C By Ax k +++-= 220022222222B A CBy Ax B A k B A k B k A d +++⋅+=⋅+=+=2200B A CBy Ax +++=当0,0≠=B A 时，点),(00y x P 到直线0=+C By 的距离BC y d +=0； 当0,0=≠B A 时，点),(00y x P 到直线0=+C Ax 的距离AC x d +=0. 综上所述，点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离2200B A CBy Ax d +++=. 至此，点到直线的距离公式已顺利推出。
【高中数学教案】人教A版必修2第三章3.3.3《点到直线的距离》教案1
《点到直线的距离》教案一、教学目标1．教材分析⑴ 教学内容《点到直线的距离》是人教A 版高中数学必修2第三章第三节内容，主要内容是点到直线的距离公式的推导过程和公式应用． ⑵ 地位与作用本节对“点到直线的距离”的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几何的定量计算，对“点到直线的距离”的研究，为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础，具有承前启后的重要作用． 2．学情分析高二年级学生已掌握了三角函数、平面向量等有关知识，具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力．根据我校学生基础知识较扎实、思维较活跃，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高的学习现状和认知特点，本课采用类比发现式教学法． 3．教学目标依据上面的教材分析和学情分析，制定如下教学目标． ⑴ 知识技能① 理解点到直线的距离公式的推导过程； ② 掌握点到直线的距离公式； ③ 掌握点到直线的距离公式的应用． ⑵ 数学思考① 通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，渗透算法的思想；② 通过自学教材上利用直角三角形的面积公式的证明过程，培养学生的数学阅读能力； ③ 通过灵活应用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力． ⑶ 解决问题① 通过问题获得数学知识，经历“发现问题—提出问题—解决问题”的过程； ② 由探索点()2,0P 到直线0x y -=的距离，推广到探索点()00,P x y 到直线0A x B y C ++=()22A B +≠0的距离的过程，使学生体会从特殊到一般、由具体到抽象的数学研究方法．⑷ 情感态度结合现实模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学生的学习兴趣．二、教学重点、难点1．教学重点⑴点到直线的距离公式的推导思路分析；⑵点到直线的距离公式的应用．2．教学难点点到直线的距离公式的推导思路和算法分析．三、教学过程(2, OP∴=2sin45222PQ OP∴==⨯=2y x y =⎧∴⎨=-⎩QP ∴=2,∴= OPPS∴=PQ SP:∴-PQ y(4,10∴R(),M x y 是直线上任意一点，教师：设PM 教师：结合图象，你能否表示出PQ ？ 对于法向量n 答案可能不统一．教师引导一点得(PM x =-设PM n 与的夹角为得cos PM n PM n θ⋅=cos PM n PM nθ⋅⋅垂直的向量(),n A B =PM⋅()13∴--+⨯(1,2∴-点P-3∴-:43l x y根据点到直线的距离公式，2a d -∴=12a -==⑵所得的两条直线互相平行且距离为2．例3学生：两条平行直线间的距离处处相等； 学生：将两平行直线之间的1C d A ∴=022x d ∴=0,=-12=板书设计：设计说明：1．对于这一节内容，有两种不同的处理方法：一种是仅让学生理解、记忆公式，直接应用而不讲公式的探寻过程，这样的教学不利于对学生数学思维的培养；另一种是本课所体现的方式，通过强调对公式的探索过程，提高学生利用代数方法处理几何问题的能力； 2．由于点到直线的距离公式的证明过程含字母运算，比较抽象．如果没有整体算法步骤的分析，学生的思路势必会缺乏连贯性，所以本课重点分析了三种算法思想：利用定义的算法、利用直角三角形的面积公式的算法、利用平面向量的算法．让学生在明晰算法步骤的前提下，再进行有效的公式证明和自学阅读；3．由于平面向量是一种重要的运算工具，同时根据我校学生能力较强、数学思维较活跃的学情特点，本课补充了利用向量的数量积证明点到直线的距离公式的方法．实际上，在以后立体几何的学习中，将利用这种算法思路得到点到平面的距离公式．但由于这种方法有一定思维难度，所以可以根据学生的实际情况，提出分层要求：基本要求是理解教材所给出的证明方法并能够应用公式，较高要求是能够利用向量的方法证明点到直线的距离公式； 4．现代数学认为“几何是可视逻辑”，所以应该重视在补充的例题中，突出几何直观和数形结合的思想方法；5．学生在练习中的“错误体验”将会有助于加深记忆，所以可将应用公式的前提条件等学生容易忽略的环节，设置在补充的例题练习中，以便达到强化训练的目的．课题：点到直线的距离 1． 问题1 如何求点(2,0)P 到直线0x y -=的距离？方法① 方法② 方法③ 方法④ 2． 问题2 如何求点(4,2)P 到直线220x y -+=的距离？ 3． 问题3 如何求点P 00(,)x y 到直线0Ax By C ++= 的距离（220A B +≠）？ 方法① 利用定义的算法框图 方法② 利用直角三角形的面积公式的算法框图 方法③ 利用平面向量的算法框图4．典型例题例1 例2 例3 例45．课堂练习 6．课堂小结 7．课后作业点到直线的距离公式。
新人教版A版必修二第三章3.3.3点到直线的距离学案
①公式中的直线方程必须化为一般式；
②若点 在直线 上，则 到直线 的距离为 ，此时公式仍适用；
③特别地，点 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 ．
5、评价案：不评不结（学习评价与结论）
本堂课学习效果自我评价：A□B□C□
课后作业：书本108页练习1、2
老师评价：A□B□C□
教后记：
2、导学案：不议不讲（思维探究与创新）
例题讲解：
例1、求点P(3，－2)到下列直线的距离：
(1)y＝ x＋ ；(2)y＝6；(3)x＝4.
3、固学案：不练不讲（技能应用与拓展）
堂堂清
1、求下列点到直线的距离：
2、若点P在直线3x+y-5=0上，且点P到直线x-y-1=0的距离为，则点P的坐标为( )
(A)(1,2) (B)(2,1)
(C)(1,2)或(2，-1) (D)(2，1)或(-1，2)
3、点(5)到直线y=2x的距离是（）
4、点P(x，y)在直线x+y－4=0上，O是原点，则|OP|的最
小值是（）
4、思学案：不思不复（课堂小结与复习）
课堂小结
点 到直线 ： （ ， 不同时为 ）的距离： ．
课题：第三章3.3.3点到直线的距离
主编：刘孝辉审核：高一备课组时间：12月20号本单元第8节
学习目标：
1、掌握点到直线的距离公式及其结构特征；
2、进一步体会“数形结合”与“化归”的数学思想方法.
第二次备课
学习步骤：
1、预学案：不学不讲（知识记忆与理解）
新课导入（阅读课本106-107页完成下了知识点）
新知：点 到直线 的距离： ．
仔细体会下面的证明思路：
高中数学 3.3.3《点到直线距离和两条平行直线间的距离》学案 新人教版必修2
3.3.3 点到直线距离和两条平行直线间的距离【学习目标】1．掌握点到直线的距离公式及两平行直线间的距离公式；2．能运用点到直线的距离公式及两平行直线间的距离公式灵活解决一些问题；3．掌握点、直线关于点成中心对称（或关于直线成轴对称）的点、直线的求解方法．【自主学习】一、基础知识1、点p （x 0，y 0）到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0距离d ＝ 。
2、两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0， l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0（C 1 ≠C 2）之间的距离d ＝ 。
二、辨析应用1．初步运用例1 求点p （－1，2）到直线2x +y ＝5的距离：例2 求两条平行平行直线1l ：01=++C By Ax 2l ：02=++C By Ax 间的距离练习：求下列两条平行线间的距离①3x －4y ＋15＝0与3x －4y ＋20＝0；②3x －5y ＋10＝0与9x －15y ＋12＝0。
（3）点P （2，m ）到直线l ：5x －12y ＋6＝0的距离等于4，求m 的值。
（4）已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2的距离为 2 ，求l 1的方程。
【典例精析】例1： 已知直线l 经过点A （2，4），且被直线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y －1＝0所截得的线段的中点M 在直线x ＋y －3＝0上，求l 的方程。
例2:分别过A （－4，0），B （0，－3）两点作两条平行线，求满足下列条件的两条直线方程：（1）两平行线间的距离为4；（2）这两条直线各自绕A 、B 旋转，使它们之间的距离取最大值．例3：已知直线l0： x＋y－1＝0（1）求l0关于点P（0，2）对称的直线方程．（2）求直线l0关于直线l1：2x－y＋3＝0对称的直线l2的方程．【当堂检测】1、已知点A（1，3），B（3，1），C（－1，0），求△ABC的面积。
2、已知正方形的中心为（－1，0），其中一条边所在的直线方程为x＋3y－2＝0．求其它三条边所在的直线方程。
人教A版高中数学必修二3.3.3点到直线的距离教学设计
教学过程总结：直线倾斜角要特殊，一般的应用不熟悉变换。
方法四：（函数法）设直线上任一点Q),(yx，522)2()1()2()1(||22222+-=-++=-++=xxxxyxPQ由二次函数可得当21=x时最小值223||=PQ总结：函数在一般式中有参数，较难确定最值。
方法五：（向量法）吩咐学生课后研究。
经上几种方法总结经验，可选等面积法推导公式。
由特殊到一般，推导点到直线距离公式。
),(=++cByAxyxP到直线点的距离R),(0yACBy+-，S),(00BCAxx+-两点，计算线段||||ACByAxPR++=||||BCByAxPS++=，据勾股定理得||||22ABCByAxBASR+++=；在直线三角形PSR中，等面积求高的方法：dRSPSPR•=•||||可得22||||||BACByAxRSPSPRd+++=•=完成课本例题练习，总结公式应用及应注意正确使用公式。
自己出题，发现公式变形应用。
课堂总结：由学生完成：这节课学到了什么？有什么最新认识。
研究课外讨论理论推导应用巩固多解法培养数学应用及数学思维，多种解法提高数学学习的兴趣。
数学化归思想应用，推导数学理论公式，学会数学学习由特殊到一般的理论方法。
熟练掌握应用。
点到直线的距离····。
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3.3.3 点到直线的距离
课前预习学案
一、预习目标
让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离
二、学习过程
预习教材P 117~ P 119，找出疑惑之处
问题1．已知平面上两点(0,3),(2,1)A B -，则AB 的中点坐标为 ，AB 间的长度为 .
问题2．在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为00(,)x y ，直线的方程是:0l Ax By C ++=，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线的距离呢?
5分钟训练
1.点（0，5）到直线y=2x 的距离是( )
A.
25 B.5 C.2
3
D.25
2.两条平行直线3x+4y-2=0,3x+4y-12=0之间的距离为________________.
3.已知点(a,2)(a ＞0)到直线l ：x-y+3=0的距离为1,则a 的值等于( ) A.2 B.22- C.12- D.12+
答案：C 三．提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中
课内探究学案
一、学习目标
1
2．会用点到直线距离公式求解两平行线距离
3．认识事物之间在一定条件下的转化.用联系的观点看问题 学习重点:点到直线距离公式的推导和应用.
学习难点:对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立 二、学习过程
知识点1：已知点00(,)P x y 和直线:0l Ax By C ++=，则点P 到直线的距离为：
d 注意：⑴点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离； ⑵在运用公式时，直线的方程要先化为一般式.
问题1：在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为00(,)x y ，直线方程0:=++C By Ax l 中，如果0A =，或0B =，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到
直线的距离呢并画出图形来.
例 分别求出点(0,2),(1,0)A B -到直线341x y -- 0=的距离.
问题2：求两平行线1l ：2380x y +-=，2l ：23x y + 10-=的距离.
知识点2：已知两条平行线直线1l 10Ax By C ++=，2:l
20Ax By C ++=，则1l 与2l 的距离为d 注意：应用此公式应注意如下两点：（1）把直线方程化为一般式方程；（2）使,x y 的系数相等.
典型例题
例1 求点P 0(-1，2)到下列直线的距离： (1)2x+y-10=0;(2)3x=2.
变式训练
点A(a ，6)到直线3x －4y=2的距离等于4，求a 的值.
例2 已知点A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC 的面积
变式训练
求两平行线l 1:2x+3y-8=0,l 2:2x+3y-10=0的距离
当堂检测
课本本节练习. 拓展提升
问题：已知直线l:2x-y+1=0和点O(0，0)、M(0，3)，试在l 上找一点P ，使得||PO|-|PM||的值最大，并求出这个最大值.
学习小结
1. 点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式
课后巩固练习与提高
30分钟训练
1.点（3,2）到直线l :x-y+3=0的距离为( )
A.24
B.2
C.22
D.3 2.点P(m-n,-m)到直线
n
y
m x =1的距离为( )
A.22n m +
B.22n m -
C.22n m +-
D.2
2n m ± 3.点P 在直线x+y-4=0上，O 为坐标原点，则|OP|的最小值为( )
A.13
B.22
C.6
D.2
4.到直线2x+y+1=0的距离为
5
5
的点的集合为( ) A.直线2x+y-2=0 B.直线2x+y=0
C.直线2x+y=0或直线2x+y-2=0
D.直线2x+y=0或直线2x+y+2=0
5.若动点A 、B 分别在直线l 1：x+y-7=0和l 2：x+y-5=0上移动,则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )
A.23
B.22
C.33
D.24 6.两平行直线l 1、l 2分别过点P 1(1,0)、P 2(1,5),且两直线间的距离为５，则两条直线的方程分别为l 1：_________________,l 2：_______________.
7.已知直线l 过点A(-2,3),且点B(1,-1)到该直线l 的距离为3，求直线l 的方程. 8.已知直线l 过点(1,1)且点A(1,3)、B(5,-1)到直线l 的距离相等，求直线l 的方程.
9.已知三条直线l 1：2x-y+a=0(a ＞0),直线l 2：4x-2y-1=0和直线l 3：x+y-1=0,且l 1与l 2的距离是
510
7
. (1)求a 的值.
(2)能否找到一点P,使得P 点同时满足下列3个条件:①P 是第一象限的点；②P 点到l 1的距离是P 到l 2的距离的
2
1
；③P 点到l 1的距离与P 点到l 3的距离之比是5:2？若能,求P 点的坐标;若不能,请说明理由.
参考答案
1.解析:由点到直线的距离公式可得d=222
|
323|=+-.
答案：C 2.解析:
⇒=+1n
y
m x nx+my-mn=0，由点到直线的距离公式，得 222
2222
22|||
)(|n m n m m n n m mn m n m n +=+--=
+---.
答案：A
3.解析:根据题意知|OP|最小时，|OP|表示原点O 到直线x+y-4=0的距离.即根据点到直线的距离
公式，得
222
4=.
答案：B
4.解析:根据图形特点，满足条件的点的集合为直线，且该直线平行于直线2x+y+1=0，且两直线间的距离为
5
5
.设所求直线的方程为2x+y+m=0,根据平行线间的距离公式，得⇒=
-5
5
5
|1|m ｜m-1｜=1，解得m=2或m=0. 故所求直线的方程为2x+y=0或2x+y+2=0. 答案：
D
8.解：直线l 平行于直线AB 时，其斜率为k=k AB =
1
53
1---=-1， 即直线方程为y=-(x-1)+1⇒x+y-2=0；直线l 过线段AB 的中点M(2,1)时也满足条件，即直线l 的方程为y=1.
综上，直线l 的方程为x+y-2=0或y=1.
9.解：(1)根据题意得：l 1与l 2的距离d=
⇒=+⇒=+
27|21|51075
|
21|a a a=3或a=-4(舍).
(2)设P 点坐标为(x 0,y 0),则x 0＞0,y 0＞0.若P 点满足条件②,
则2×
⇒-
-=
+-5
|
212|5
|
32|0000y x y x ｜8x 0
-4y 0
+12｜=｜4x 0
-2y 0
-1｜,
8x 0-4y 0+12=4x 0-2y 0-1或8x 0-4y 0+12=-(4x 0-2y 0-1)⇒4x 0-2y 0+13=0或12x 0-6y 0+11=0; ① 若P 点满足条件③, 则⇒--⨯
=+-⨯
2
|
12|25
|
32|20000y x y x ｜2x 0-y 0+3｜=｜x 0+y 0-1｜,
2x 0-y 0+3=x 0+y 0-1或2x 0-y 0+3=-(x 0+y 0-1),
x 0-2y 0+4=0或3x 0+2=0; ②
由①②得⎩⎨⎧=+=+-⎩⎨⎧=+=+-⎩⎨⎧=+-=+-023,
011612023,01324042,013240000000000x y x x y x y x y x 或或
⎩⎨⎧=+-=+-.042,0116120000y x y x 或解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
=-=⎪⎩⎪⎨⎧
=-=.1837,9121,32631,3221,300000000y x y x y x y x 或或或 故满足条件的点P 为(-3,21)或(631,32-)或(21,32-)或(18
37,91).。