八年级数学下册18.1平行四边形18.1.2平行四边形的判定(第2课时)练习(新版)新人教版

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18.1.2 平行四边形的判定(2)

第十八章
平行四边形18.1.2Fra bibliotek平行四边形的判定（2）
义务教育课程标准实验教科书——人教版——八年级下册
平行四边形判定方法1：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
数学语言：
A B C
D
∵AB∥CD，AD∥BC（已知）
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分
别平行的四边形是平行四边形。）
平行四边形判定方法2：
如图，你有几种方法说明四边
形ABCD是平行四边形？
A 110° 70° 110° C D
B
如图：在
ABCD中，E、F、G、H分
别是各边上的点，且AE=CF，BG=DH ，求证：EF与GH互相平分。
D H
O
F
C
A
E
G
B
平行四边形
定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形对边平行边的性质对边相等对角相等性质角的性质邻角互补对角线的性质对角线互相垂直平分对称性中心对称图形两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
数学语言：
A B C
D
∵AB=CD，AD=BC（已知）
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分
别相等的四边形是平行四边形。）
方法二：将两根木条 AC ， BD 的中点 O 重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，为什么？
A
D
O B C
证明思路：平行四边形判定方法1、2
ABCD AD∥ BC AB∥ DC 平行线的判定：找角全等三角形（SAS） AD= BC AB= DC

人教版数学八年级下册 18 1 2平行四边形的判定分层练习(无答案)

18.1.2平行四边形的判定(1)例1 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠C．求证：四边形ABCD是平行四边形.例2 如图，在ABCD中，E，F，G，H分别是各边上的点，且AE=CG，BF=DH．求证：四边形EFGH是平行四边形．例3 如图，在ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．求证：∠EDF=∠FBE．基础巩固1．如图，在ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．(1)求证：DE=BF;(2)求证：四边形DEBF是平行四边形．2．如图，AE，CF分别是ABCD的内角∠DAB，∠BCD的平分线，求证：四边形AECF 是平行四边形．3．如图，过ABCD的对角线的交点O作直线EF，分别交AD于点E，交BC于点F，点G，H分别为OD，OB的中点．求证：四边形EHFG是平行四边形．能力提升1．下面给出四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD 是平行四边形的是( )A．1:2:3:4 B．2:3:2:3 C．2:3:3:2 D．1:2:2:32．如图，已知点O是四边形ABCD对角线的交点，下面给出的条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )A. AB∥CD，AD//BCB.AB=CD，AD=BCC. AB=AD，BC=CDD.AO=CO，BO=DO（2题图）（3题图）3．如图是由6个全等的正三角形拼成的图形，则图中平行四边形有( )A．6个B．8个C．10个D．12个4．下列命题：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；③两组对角相等的四边形是平行四边形；④有一个角与相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形．其中真命题有( )A．1个B．2个C．3个D．4个5．把两个全等的非等腰三角形拼成平行四边形，可拼成不同平行四边形的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．46．如图，在ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得到四边形AECF一定为平行四边形的是( )A．BE=DF B．AE=CF C．AF∥CE D．∠BAE=∠DCF（6题图）（7题图）7．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，点F在DE的延长线上．若DE=EF，AE=EC，则由可知四边形ADCF是平行四边形．8．在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O．(1)若AD=8cm，AB=4cm，则当BC= cm，CD= cm时，四边形ABCD为平行四边形；(2)若AC=6cm，BD=8cm，则当AO= cm，DO=____cm时，四边形ABCD为平行四边形．9．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点O，EF过点O交AB于点E，交CD于点F，且OE=OF．求证：四边形ABCD是平行四边形.10．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC交AC于点D，交AB于点E，EF∥AC 交BC于点F．求证：BE=CF．11．如图，在ABCD中，M，N分别是CD，AB上的点，E，F是AC上不同的两点，CM=AN，AE=CF．求证：四边形MENF是平行四边形．12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE上BC，CE∥AD．若AC=2，CE=4，求四边形ACEB的周长．13．如图，在ABCD中，E，F，G，H分别是四条边上的点，且AE=CF，BG=DH．求证：EF与GH互相平分．14．如图，在四边形PONM中，MO⊥ON于点O，各边长如图所示，则判定四边形PONM 是平行四边形的理由是（14题图）（15题图）15．如图，等边△ABC的边长为8，P是△ABC内一点，PD∥AC，PE∥AB，PF∥BC，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，则PD+PE+PF的长为16．一个四边形的四条边长依次是a、b、c、d，且满足a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，则这个四边形一定是17. 如图，在△ABC中，D为BC的中点，AB=5，AD=6．AC=13.(1)求证：AB⊥AD；(2)求△ABC的面积，18.1.2平行四边形的判定(2)例1如图，点E，F是平行四边形ABCD的对角线BD上的点，∠1=∠2．(1)求证：BE=DF；(2)求证：四边形AECF是平行四边形例2 如图，已知E、F、M、N分别是四边形ABCD四边的中点．求证：四边形EFMN是平行四边形．基础巩固1．如图，在ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且BE=DF，判定四边形AECF 是平行四边形最简单的方法是( )A.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形C.两组对边分别平行的四边形是平行四边形D.两组对角分别相等的四边形是平行四边形2．如图，为测量池塘边A，B两点间的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA,OB 的中点分别是点D，E，且DE=14m，则A，B两点间的距离是( )A.18m B．24m C．28m D．30m3．如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，BE=CF，连接AD．证：四边形ABED是平行四边形。

2021年人教版数学八年级下册18.1.2 《平行四边形的判定》同步练习(含答案)

人教版数学八年级下册18.1.2 《平行四边形的判定》同步练习一、选择题1.已知四边形ABCD中有四个条件：AB∥CD，AB=CD，BC∥AD，BC=AD.从中任选两个，不能使四边形ABCD成为平行四边形的选法是（）A.AB∥CD，AB=CDB.AB∥CD，BC∥ADC.AB∥CD，BC=ADD.AB=CD，BC=AD2.在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，还不能判定四边形ABCD为平行四边形，若想使四边形ABCD为平行四边形，要添加一个条件：①BC=AD；②∠BAD=∠BCD；③OA=OC；④∠ABD=∠CAB.这个条件可以是( )A.①或②B.②或③C.①或③或④D.②或③或④3.已知四边形ABCD中，AC与BD交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么可以判定四边形ABCD是平行四边形的是（）①再加上条件“BC=AD”，则四边形ABCD一定是平行四边形.②再加上条件“∠BAD=∠BCD”，则四边形ABCD一定是平行四边形.③再加上条件“AO=CO”，则四边形ABCD一定是平行四边形.④再加上条件“∠DBA=∠CAB”，则四边形ABCD一定是平行四边形.A.①②B.①③④C.②③D.②③④4.在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠A=∠C，添加下列一个条件后，能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )A.∠A=∠BB.∠C=∠DC.∠B=∠DD.AB=CD5.下列说法正确的是( )A.对角线相等的四边形是平行四边形B.对角线互相平分的四边形是平行四边形C.对角线互相垂直的四边形是平行四边形D.对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形6.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )A.AB∥CD，AD∥BCB.OA=OC,OB=ODC.AD=BC，AB∥CDD.AB=CD,AD=BC7.如图，在四边形ABCD中，点E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F点，AB=BF.添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形.你认为下面四个条件中可选择的是( )A.AD=BCB.CD=BFC.∠A=∠CD.∠F=∠CDE8.点A、B、C、D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③BC∥AD；④BC=AD这四个条件中任意选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的有( )A.3种B.4种C.5种D.6种9.已知四边形ABCD是平行四边形，再从：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）A.选①②B.选②③C.选①③D.选②④10.在如图所示的网格中，以格点A，B，C，D，E，F中的4个点为顶点，你能画出平行四边形的个数为( )A.2B.3C.4D.5二、填空题11.如图，已知AB∥DC，要使四边形ABCD是平行四边形，还需增加条件.（只填写一个条件即可，不再在图形中添加其它线段）.12.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC.其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有_____（添序列号即可）.13.如图，E，F是▱ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件：，使四边形AECF是平行四边形.14.在四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABD=∠CDB，要使四边形ABCD是平行四边形只须添加一个条件，这个条件可以是（只需写出一种情况）.15.如图，AC是□ABCD的对角线，点E、F在AC上，要使四边形BFDE是平行四边形，还需要增加的一个条件是 (只要填写一种情况).三、解答题16.如图，点E，F在□ABCD的边BC，AD上，BC=3BE，AD=3DF，连接BF，DE.求证：四边形BEDF是平行四边形.17.在△ABC中，D是AB边上任意一点，E是BC边的中点，过点C作AB的平行线，交DE的延长线于点F，连接BF，CD.（1）求证：四边形CDBF是平行四边形；（2）若DF=8，BC=6，DB=5，求▱CDBF的面积.参考答案1.答案为：C2.答案为：B3.答案为：C4.答案为：C5.答案为：B6.答案为：C7.答案为：D8.答案为：B9.答案为：B10.答案为：B.11.答案为：AB=DC或AD∥BC12.答案为:①②③.13.答案为：BE=DF或BF=DE或∠BAE=∠DCF14.答案为：AB=CD或AD∥BC15.答案为：AE=CF16.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵BC=3BE，AD=3DF，∴BE=FD，∴四边形BEDF是平行四边形.17.（1）证明：∵CF∥AB，∴∠ECF=∠EBD.∵E是BC中点，∴CE=BE.∵∠CEF=∠BED，∴△CEF≌△BED（ASA）.∴CF=BD.∴四边形CDBF是平行四边形；（2）解：∵四边形CDBF是平行四边形，∴BE=0.5BC=3，DE=0.5DF=4，∴∠BED=90°，∴BC⊥DE，∴四边形CDBF是菱形，∴S=0.5BC•DF=0.5×6×8=24.。

人教版八年级数学下册 18.1 ---18.2复习题(含答案)

人教版八年级数学18.1 平行四边形一、选择题1. 已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是()A. OE＝12DC B. OA＝OCC. ∠BOE＝∠OBAD. ∠OBE＝∠OCE2. 如图，在平行四边形ABCD中，5AD=，3AB=，AE平分BAD∠交BC边于点E，则线段BE，EC的长度分别为（）A．2和3B．3和2C．4和1D．1和4如图DCEBA3. 如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B为()A. 66°B. 104°C. 114°4. 如图，在ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B=60°，AB=3，则△ADE的周长为A．12 B．15 C．18 D．215. 如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＋BD＝16，CD＝6，则△ABO的周长是()A . 10B . 14C . 20D . 226. 点A 、B 、C 、D 在同一平面内，从①AB CD ∥，②AB CD =，③BC AD ∥，④BC AD =．这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有（）种A ．3B ．4C ．5D ．67. 在平行四边形ABCD 中，点1A 、2A 、3A 、4A 和1C 、2C 、3C 、4C 分别为AB 和CD 的五等分点，点1B 、2B 和1D 、2D 分别是BC 和DA 的三等分点，已知四边形4242A B C D 的面积为1，则平行四边形ABCD 面积为（）A ．2B ．35C ．53D ．158. 如图，D 是△ABC内一点，BD ⊥CD ，AD=7，BD=4，CD=3，E 、F 、G 、H分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点，则四边形EFGH 的周长为A ．12B ．14C ．24D ．219.已知四边形的四条边长分别a b c d ，，，其a b ，对边，并且满足222222a b c d ab cd +++=+）A ．任意四边形B ．平行四边形C ．对角线相等的四边形D ．对角线垂直的四边形10.（2020·P 是面积为S 的ABCD 内任意一点，PAD ∆的面积为1S，PBC∆的面积为2S，则（）A.122SS S+> B.122SS S+<C.212SS S+= D.21S S+的大小与P点位置有关二、填空题11. 如图，在平行四边ABCD中，120A∠=︒，则D∠=︒．EAB C图图1DCBA如图，在平行四边形ABCD中，DB DC=，65A∠=︒，CE BD⊥于E，则BCE∠=︒．EEAB C图AB CD图2D13. 如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB∥CD，请添加一个条件________(写一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形．14. （2020·凉山州）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E．若OA＝1，△AOE的周长等于5，则平行四边形ABCD的周长等于．OE DCBA15. 如图，已知等边三角形的边长为10，P是ABC∆内一点，PD AC∥，PE AB PF BC∥，∥，点D E F，，分别在AB BC AC，，上，则PD PE PF++=P FEDCBA16. 如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为________．三、解答题17. 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF.(1)求证:四边形ACDF是平行四边形;(2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由.18. （2020·淮安）如图，在□ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，AC与EF 相交于点O，且AO=CO．（1）求证∶△AOF≌△COE；（2）连接AE、CF，则四边形AECF_______________（填"是"或"不是"）平行四边形．19. 如图，在等腰ABC∆中，延长边AB 到点D ，延长边CA 到点E ，连接DE ，恰有AD BC CE DE ===．求证：100BAC ∠=︒．EDCB A20. 如图，在ABC ∆中，AB AC AD BC =⊥，于D ，点P 在BC 上， PE BC ⊥交BA 的延长线于E ，交AC KHF FABCD EPPE D C BA21. 如图所示，在平行四边形ABCD 中，求证222222AC BD AB BC CD DA +=+++．DCBA人教版八年级数学 18.1 平行四边形培优训练-答案一、选择题1. 【答案】D 【解析】A 、B 、C 均正确，因为OB 不一定等于OC ，所以∠OBE 不一定等于∠OCE .2. 【答案】B3. 【答案】C 【解析】设∠ACD ＝x ，∠B ＝y ，则根据题意可列方程组⎩⎨⎧x ＋y ＋44°＝180°180°－y －（44°－x ）＝44°，解得y ＝114°.4. 【答案】C【解析】由折叠可得，∠ACD=∠ACE=90°，∴∠BAC=90°，又∵∠B=60°，∴∠ACB=30°，∴BC=2AB=6，∴AD=6，由折叠可得，∠E=∠D=∠B=60°， ∴∠DAE=60°，∴△ADE 是等边三角形， ∴△ADE 的周长为6×3=18，故选C ．5. 【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD .由AC ＋BD ＝16可得OA ＋OB ＝8，又∵AB ＝CD ＝6，∴△ABO 的周长为OA ＋OB ＋AB ＝8＋6＝14.6. 【答案】B7. 【答案】C8. 【答案】A【解析】∵BD ⊥CD ，BD=4，CD=3， ∴BC=2222=43BD CD ++=5，∵E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点， ∴EH=FG=12BC ，EF=GH=12AD ， ∴四边形EFGH 的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC ，又∵AD=7，∴四边形EFGH 的周长=7+5=12．故选A ．9. 【答案】B10. 【答案】C然后使分割后的图形与PAD∆的面积1S ，PBC ∆的面积2S 发生关联，然后求出其数量关系，如下图，过点P 作AD 的平行线，分别交ABCD 的边于点M 、N ：2111(21222)AMND MbCN AMND MbCN SS S S S S S =+++==.11. 【答案】60︒12. 【答案】25︒【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴65A DCB ∠=∠=︒ 又∵DB DC =∴65DBC DCB ∠=∠=︒，∴50CDB ∠=︒ 又∵CE BD ⊥，∴40ECD ∠=︒ ∴654025BCE ∠=︒-︒=︒．13. 【答案】AD ∥BC (答案不唯一) 【解析】根据平行四边形的判定，在已有AB ∥DC 的条件下，可再加另一组对边平行即可证得它是平行四边形，即加“AD ∥BC”．14. 【答案】16【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，AB ＝CD ，AD ＝BC ．∵OE ∥AB ，∴OE 是△ACD 的中位线．∴AE，OE．∵OA ＝1，△AOE 的周长等于5，∴AE ＋OE ＝4．∴AD ＋8ABCD 的周长＝16．故答案为16．15.16. 【答案】36° 【解析】∵在▱ABCD 中，∠D ＝∠B ＝52°，∴∠AEF ＝∠DAE ＋∠D ＝20°＋52°＝72°，∴∠AED ＝180°－∠AEF ＝108°，由折叠的性质得，∠AED ′＝∠AED ＝108°，∴∠FED ′＝∠AED′－∠AEF ＝108°－72°＝36°.三、解答题17. 【答案】解:(1)证明:∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD ，∴∠F AE=∠CDE ， ∵E 是AD 的中点，∴AE=DE ，又∵∠FEA=∠CED ，∴△F AE ≌△CDE ，∴CD=F A ，又∵CD ∥AF ，∴四边形ACDF 是平行四边形. (2)BC=2CD.理由:∵CF 平分∠BCD ，∴∠DCE=45°， ∵∠CDE=90°，∴△CDE 是等腰直角三角形， ∴CD=DE ，∵E 是AD 的中点，∴AD=2CD ， ∵AD=BC ，∴BC=2CD.18. 【答案】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠FAO=∠ECO ，中∴△AOF和△COE（ASA）．（2）由（1）△AOF和△COE，∴OF=OE，又∵OA=OC，∴四边形AEOF为平行四边形．19.20. 【答案】分析：加倍中线构造平行四边形，然后再通过等量线段证明原式成立。

人教版八年级下册数学第18章平行四边形 18.1.2平行四边形的判定同步练习

人教版八年级下册数学第18章平行四边形 18.1.2平行四边形的判定同步练习1. 具备下列条件的四边形，不能判定是平行四边形的是（）A.相邻的角互补B.两组对角分别相等C.一组对边平行，另一组对边相等D.对角线的交点是两条对角线的交点2. 下列条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A.AB//CD,AD=BCB.∠A=∠B,∠C=∠DC. AB=CD,AD=BCD.AB=AD,CB=CD3.如图，在四边形ABCD中，AB//CD.添加下列一个条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A.AD=BCB.BC//ADC.∠A=∠CD.∠A+∠B=180°4. 下列条件，能判定四边形是平行四边形的是（）A.一组对边平行，一组对边相等B.一组对边平行，一组对角相等C.一组对边平行，一组邻角互补D.一组对边相等，一组邻角相等5. 四边形ABCD的对角线相交于点O,且AO=CO.添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A.CB=ODB.AB//CDC.AB=CDD.∠ADB=∠DBC6. 在四边形ABCD中，有下列条件：○1AB//CD;○2AD//CD;○3AB=CD;○4AD=BC若从这些条件中选择两个，能使四边形ABCD为平行四边形的选法共有（）A.3种B.4种C.5种D.6种中，D,E分别AB,AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数是（）7. 如图，在ABCA.50°B.60°C.70°D.80°8. 已知平面直角坐标系内有四个点O（0，0），A（3，0），B（1，1），C（x，1），若O,A,B,C为顶点的四边形是平行四边形，则x=_______.9. 如图，DE//BC,DF//AC,EF//AB,图中共有_____________个平心四边形。

10. 如图，∠1=∠2，∠3=∠4，则四边形ABCD_____（选填“是”或“不是”）平行四边形。

赵县五中八年级数学下册第18章平行四边形18.2 平行四边形的判定第2课时由对角线判定平行四边形

2x－3y＝5， 8．(2019·潍坊)已知关于 x，y 的二元一次方程组x－2y＝k 的解满足 x＞y，求 k 的取值范围．
解：2xx－－23y＝y＝k5②①，， ①－②，得 x－y＝5－k， ∵x＞y，∴x－y＞0. ∴5－k＞0.解得 k＜5
9．(2019·天门)不等式组x5－－12＞x≥01，的解集在数轴上表示正确的是( C)
13．如图，▱ ABCD 的对角线相交于点 O，直线 EF 经过点 O，分别与 AB、CD 的延长线交于点 E、F，求证：四边形 AECF 是平行四边形．
解：证△BOE≌△DOF 或△AOE≌△COF 得 OE＝OF，易知 OA＝OC， ∴四边形 AECF 是平行四边形．
14．如图，四边形 ABCD 是平行四边形，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为 E、F，BG ⊥AC，DH⊥AC，垂足分别为 G、H.判断四边形 GEHF 的形状，并说明理由．
请用这种方法解决下面的问题：如图，在△ABC 中，AB＝AC，延长 AB 到点 D，使 DB＝AB，E 是 AB 的中点．求证： CD＝2CE.
解：延长 CE 到点 F，使 EF＝CE，连结 AF、BF， ∵EF＝CE，E 是 AB 的中点，∴四边形 ACBF 是平行四边形， ∴AF 平行且等于 BC，∴∠FAB＝∠ABC. ∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝∠FAB， ∴∠FAC＝∠FAB＋∠BAC＝∠ACB＋∠BAC＝∠DBC. 又∵AC＝AB＝BD，AF＝BC，∴△AFC≌△BCD(S.A.S.)，∴CF＝CD＝2CE.
解：四边形 BECF 是平形四边形，理由如下：∵CF∥BE，∴∠FCD＝∠EBD. ∵D 是 BC 的中点，∴CD＝BD.∵∠FDC＝∠EDB，∴△CDF≌△BDE(A.S.A.)， ∴DF＝DE.又∵DC＝DB，∴四边形 BECF 是平形四边形．

人教版八年级数学下册优秀作业课件(RJ) 第十八章平行四边形第2课时平行四边形的判定2

6．(7分)(陕西中考改编)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C，E是边BC上的一点，且DE＝DC.求证：四边形ABED是平行四边形．
证明：∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠C＝∠B，∴AB∥DE.又∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形
7．(8分)如图，四边形ABCD和四边形AEFD都是平行四边形，求证：四边形 BEFC是平行四边形．
9．(威海中考)如图，E是▱ABCD的边AD延长线上的一点，连接BE，CE，BD， BE交CD于点F，添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是( C )
A．∠ABD＝∠DCE B．DF＝CF C．∠AEB＝∠BCD D．∠AEC＝∠CBD
二、填空题(共6分) 10．如图，在▱ABCD中，∠BAD＝120°，连接BD，作AE∥BD交CD的延长线于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，且CF＝1，则AB的长是__1__．
12．(14分)(教材P50习题18.1T4变式)如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB， CD上，且AE＝CF，AF，DE相交于点G，BF，CE相交于点H，求证：四边形 EHFG是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.又∵AE＝CF，∴ 四边形AECF是平行四边形，DF＝BE，∴GF∥EH，四边形BFDE是平行四边形， ∴GE∥FH，∴四边形EHFG是平行四边形
4．(4分)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( D )
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC C．OA＝OC，OB＝OD D．AB∥DC，AD＝BC
5．(4分)(黑龙江中考)如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件：__A__D_∥__B__C_(_答__案__不__唯__一__) _，使四边形ABCD是平行四边形．

18.1.4 平行四边形的判定(2)分层作业(解析版)

人教版初中数学八年级下册18.1.4 平行四边形的判定（2）同步练习夯实基础篇一、单选题：1．下列命题中，真命题的是（）A ．一组对角相等且一组对边相等的四边形是平行四边形B ．一组对边平行且一组对角互补的四边形是平行四边形C ．两组对角分别相等的四边形是平行四边形D ．一组邻边相等且一组对边平行的四边形是平行四边形【答案】C【分析】对各个命题逐一判断后找到正确的即可确定真命题．【详解】解：A 、一组对角相等且一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形，原命题是假命题,不符合题意；B 、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题,不符合题意；C 、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，原命题是真命题,符合题意；D 、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，原命题是假命题,不符合题意；故选：C【点睛】此题主要考查了命题与定理，熟练利用相关定理以及性质进而判定举出反例即可判定出命题正确性．2．已知四边形ABCD ，有以下四个条件：①AB CD ∥；②AB CD =；③BC AD ∥；④BC AD =．从这四个条件中选两个，下列不能确定四边形ABCD 为平行四边形的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④【答案】C【分析】根据平行四边形的判定方法即可找到所有组合方式．【详解】解：若选择①③，根据两组对边平行的四边形是平行四边形即可判定；若选择②④，根据两组对边相等的四边形是平行四边形即可判定；若选择①②或③④，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定；故选：C ．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．3．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，则不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是( )A ．AD BC ∥，AB DC∥B ．AB DC =，AD BC =C ．AO CO =，BO DO=D ．AD BC ∥，AB CD=【答案】D 【分析】利用所给条件结合平行四边形的判定方法对各个选项进行判断即可．【详解】解：A.∵AD ∥BC ，AB ∥DC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，故此选项不合题意；B.∵AB =DC ，AD =BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，故此选项不合题意；C.∵AO =CO ，BO =DO ，∴四边形ABCD 是平行四边形，故此选项不合题意；D.由AD ∥BC ，AB =CD ，不能判定四边形ABCD 是平行四边形，可能为等腰梯形，故此选项符合题意；故选：D ．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．4．如图，ABCD Y 中，直线EF BD ∥，并且与CD 、CB 的延长线分别交于E 、F ，交AD 于M ，交AB 于N ．下列结论错误的是（）A ．EN FM=B ．CE CF =C ．AM BF BC +=D ．BFN DME≌△△【答案】B 【分析】由平行四边形的性质与判定和全等三角形的判定分别对各个选项进行判断即可．【详解】解：A ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，AD ＝BC ，又∵EF ∥BD ，∴四边形BDMF 和四边形BDEN 是平行四边形，∴NE ＝BD ，FM ＝BD ，∴EN ＝FM ，故选项A 不符合题意；B ．当CD ＝CB 时，CE ＝CF ，故选项B 不正确，符合题意；C ．∵四边形BDMF 是平行四边形，∴DM ＝BF ，∵AM +DM ＝AD ，∴AM +BF ＝AD ，∴AM +BF ＝BC ，故选项C 不符合题意；D ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ABC ＝∠ADC ，AD ∥BC ，∴∠NBF ＝∠EDM ，∠F ＝∠DME ，又∵BF ＝DM ，∴△BFN ≌△DME （ASA ），故选项D 不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查平行四边形的判断和性质、全等三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．5．如图，AD BC ∥，AB CD P ，5,8,AD BE DCE ==V 的面积为6，则四边形ABCD 的面积为（）A ．32B ．20C ．12D ．6【答案】B 【分析】先判断四边形ABCD 为平行四边形得到5BC AD ==，则3CE =，再利用AD BE P 得到点A 和点D 到的距离相等，设点A 到BC 的距离为h ，利用DCE △的面积为6可计算出4h =，然后根据平行四边形的面6．如图，在ABCD Y 中，过对角线BD 上一点P 作EF BC ∥，GH AB ∥，且2CG BG =，1BPG S =V ，则AEPH Y 的面积是（）A ．1B ．2C ．4D ．6【答案】C 【分析】先证四边形HPFD 、BEPG 、AEPH 、CFPG 为平行四边形，可得PEB BGP S S ＝V V ，PHD DFP S S ＝V V ，ABD CDB S S ＝V V ，再利用面积的和差可得出AEPH PFCG S S ＝Y Y ，由已知条件求出PFCG S Y 即可．【详解】解：∵在ABCD Y 中，EF ∥BC ，GH ∥AB ，∴四边形HPFD 、BEPG 、AEPH 、CFPG 为平行四边形，∴PEB BGP S S ＝V V ，同理可得PHD DFP S S ＝V V ，ABD CDB S S ＝V V ，∴ABD PEB PHD CDB BGP DFP S S S S S S ----＝V V V V V V ，即AEPH PFCG S S ＝Y Y ．∵1BPG S ＝V ，∴22BEPG BPG S S =＝Y V ，∵CG ＝2BG ，∴2224PFCG BEPG S S ==´=Y Y ，∴4AEPH PFCG S S =＝Y Y ．故选：C ．【点睛】此题主要考查平行四边形的判定与性质，证明AEPH PFCG S S ＝Y Y 是解题关键．7．如图，点A 的坐标为(1, 4)，点B 在x 轴上，把△AOB 沿x 轴向右平移到△CED ，若四边形ABDC 的面积为8 ,则点C 的坐标为（）A ．（2，4）B ．（3，4）C ．（3，3）D ．（4，3）【答案】B 【分析】过点A 作AH ⊥x 轴于点H ，得到AH =4，根据平移的性质证明四边形ABDC 是平行四边形，得到AC =BD ，根据平行四边形的面积是8得到8BD AH ×=，求出BD 即可得到答案.【详解】过点A 作AH ⊥x 轴于点H ，∵A （1，4），∴AH =4，由平移得AB CD ∥，AB =CD ，∴四边形ABDC 是平行四边形，∴AC =BD ，∵平行四边形ABDC 的面积为8BD AH ×=，∴BD =2，∴AC =2，∴C (3，4)，故答案为：(3，4)．【点睛】此题考查平移的性质，平行四边形的判定及性质，直角坐标系中点到坐标轴的距离与点坐标的关系．二、填空题：8．下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的为__________(填序号)．①AB CD =，AD BC =；②AD BC =，AD ∥BC ；③AB CD =，B D Ð=Ð；④AB ∥CD ，∠A=∠C ．【答案】③【分析】根据所给条件结合平行四边形的判定定理进行分析即可．【详解】解：①AB ＝CD ，AD ＝BC 可根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定；②AD ＝BC ，AD ∥BC 可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定；③AB ＝CD ，∠B ＝∠D 不能判定四边形ABCD 是平行四边形；④AB ∥CD ，∠A ＝∠C 可证出∠B ＝∠D ，再根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形进行判定；故答案为：③．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．9．如图，在四边形ABCD 中，AE BD ^，CF BD ^，垂足分别为点E ，F ．请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF 为平行四边形，你添加的条件是______．【答案】AE=CF （答案不唯一）【分析】证AE ∥CF ，再由AE ＝CF ，即可得出结论．【详解】添加条件为：AE CF =，理由：AE BD ^Q ，CF BD ^，//AE CF \，AE CF =Q ，\四边形AECF 为平行四边形，故答案为：AE CF =．（答案不唯一）【点睛】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．10．如图，在▱ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上的两点且AE CF =，在BE DF =①；//BE DF ②；AB DE =③；④四边形EBFD 为平行四边形；ADE ABE S S =V V ⑤；AF CE =⑥这些结论中正确的是______．【答案】①②④⑤⑥【分析】连接BD 交AC 于O ，过D 作DM ⊥AC 于M ，过B 作BN ⊥AC 于N ，推出OE=OF ，得出平行四边形BEDF ，求出BN=DM ，即可求出各个选项．【详解】连接BD 交AC 于O ，过D 作DM AC ^于M ，过B 作BN AC ^于N ，11．如图，点A 的坐标为()1,3，点B 在x 轴上，把OAB D 沿x 轴向右平移到ECD D ，若四边形ABDC 的面积为9，则点C 的坐标为_______．【答案】(4，3)【分析】过点A 作AH ⊥x 轴于点H ，得到AH =3，根据平移的性质证明四边形ABDC 是平行四边形，得到AC =BD ，根据平行四边形的面积是9得到9BD AH ×=，求出BD 即可得到答案.【详解】过点A 作AH ⊥x 轴于点H ，∵A （1,3），∴AH =3，由平移得AB ∥CD ，AB =CD ，∴四边形ABDC 是平行四边形，∴AC =BD ，∵9BD AH ×=，∴BD =3，∴AC =3，∴C (4，3)，故答案为：(4，3).【点睛】此题考查平移的性质，平行四边形的判定及性质，直角坐标系中点到坐标轴的距离与点坐标的关系.12．如图，平行四边形ABCD 中，∠BAD =120°，E 、F 分别在CD 和BC 的延长线上，AE BD ∥，EF ⊥BC ，EF =AB 的长是______．【答案】3【分析】首先根据平行四边形的判定及性质，可证得D 为CE 中点，∠CEF =30°，再设CE =2x ，CF =x ，根据勾股定理即可求得CE =6，据此即可求得．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，13．如图，在□ABCD中，G是CD上一点，连接BG并延长，交AD的延长线于点E，点F在AB上，且AF=CG，∠E=30°，∠C=50°，则∠BFD=_________°．【答案】80【分析】根据平行四边形的对角相等可得∠A＝∠C，对边相等可得AB＝CD，利用三角形的内角和定理求出∠ABE，然后求出四边形BGDF是平行四边形，最后利用平行四边形的邻角互补列式计算即可得解．【详解】解：在▱ABCD中，∠A＝∠C＝50°，AB＝CD，AB//CD，∵∠E＝30°，∴∠ABE＝180°−50°−30°＝100°，∵AF＝CG，∴BF＝DG，又∵BF∥BG，∴四边形BGDF是平行四边形，∴DF∥BG，∴∠BFD＝180°−∠ABE＝180°−100°＝80°．故答案为：80．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行四边形的判定方法与性质是解题的关键．14．如图，点O是▱ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F是AB边上的点，且EF=12AB，G、H是BC边上的点，且GH=13BC，若3EOFSD=，则OGHSD=____．∵点O是▱ABCD的对称中心，∴AC、BD交于点O，三、解答题：15．如图，在ABCD Y 中，点E 、F 分别是AD BC 、边的中点，求证：BE DF ∥．16．如图，ABC V 中，90C Ð=°，30ABC Ð=°，8AB =．将ABC V 沿CB 方向向右平移得到DEF V ．若阴影部分平行四边形ABED 的面积为8，求BE 的长．17．已知：如图，在ABCD Y 中，点M ，N 分别在AD 和BC 上，点E ，F 在BD 上，且DM BN =，DF BE =．求证：EMF ENF ÐÐ=．【答案】见解析【分析】由平行四边形的性质可得MDF NBE Ð=Ð，可以证明BNE DMF V V ≌，进而推出四边形MENF 是平行四边形，利用平行四边形的性质可以得到结论．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴,AD BC EBN FDM Ð=Ð∥．在BNE V 和V DMF 中，,,,BN DM EBN FDM BE DF =ìïÐ=Ðíï=î∴()SAS BNE DMF V V ≌；∴,NE MF BEN DFM =Ð=Ð．∴NEF MFE Ð=Ð．∴EN FM ∥．∴四边形MENF 是平行四边形．∴EMF ENFÐÐ=【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键．18．如图，平行四边形ABCD 中，60ABC Ð=°，点E ，F 分别在CD 和BC 的延长线上，//AE BD ，EF BC ^，CF =．(1)求证：四边形ABDE 是平行四边形；(2)求AB 的长．能力提升篇一、单选题：1．在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为()5,0，()1,3--，()2,5-，当四边形ABCD 是平行四边形时，点D 的坐标为（）A ．()8,2-B ．()7,3-C ．()8,3-D ．()14,0【答案】A【分析】以AC 为对角线，可得AD ∥BC ，AD=BC ；以AB 为对角线，可得AD ∥BC ，AD=BC ；以AD 为对角线，可得AB ∥CD ，AB=CD ．【详解】解：①以AD 为对角线时，可得AB ∥CD ，AB ＝CD ，∴A 点向左平移6个单位，再向下平移3个单位得B 点，∴C 点向左平移6个单位，再向下平移3个单位得D₁(-4，-8)；②以AC 为对角线时，可得AD ∥BC ，AD=BC ，∴B 点向右平移6个单位，再向上平移3个单位得B 点，∴C 点向右平移6个单位，再向上平移3个单位得D₂(8，-2)；③以AB 为对角线时，可得AD ∥BC ，AD=BC ，∴C 点向右平移3个单位，再向上平移5个单位得A ，∴B 点向右平移3个单位，再向上平移5个单位得D₃(2，2)；综上可知，D 点的坐标可能为：D₁(-4，-8)、D₂(8，-2)、D₃(2，2)，故选：A ．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，利用平行四边形的判定：对边平行且相等的四边形是平行四边形，要分类讨论，以防遗漏．2．如图，在ABCD Y 中，AC 与BD 交于点M ，点F 在AD 上，6cm AF =，12cm BF =，FBM CBM Ð=Ð，点E 是BC 的中点，若点P 以1cm/秒的速度从点A 出发，沿AD 向点F 运动；点Q 同时以2cm/秒的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动，点P 运动到F 点时停止运动，点Q 也同时停止运动，当点P 运动（）秒时，以P 、Q 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形．A ．3B ．3或5C ．5D ．4或5【答案】B 【分析】由四边形ABCD 是平行四边形得出：,,AD BC AD BC =∥∠ADB =∠CBD ，又由∠FBM =∠CBM ，即可证得FB =FD ，求出AD 的长，得出CE 的长，设当点P 运动t 秒时，点P 、Q 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形，根据题意列出方程并解方程即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴,,AD BC AD BC =∥∴∠ADB =∠CBD ，∵∠FBM =∠CBM ，3．如图，分别以Rt ABC △的斜边AB 、直角边AC 为边向外作等边ABD △和等边ACE △，F 为AB 的中点，连接DF 、EF ，DE 与AB 相交于点G ，若30BAC Ð=°，下列结论：①EF AC ^；②四边形ADFE 为平行四边形；③4AD AG =；④DBF EFA ≌△△．其中正确结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】首先证明Rt △ADF ≌Rt △BAC ，结合已知得到AE =DF ，然后根据内错角相等两直线平行得到DF P AE ，由一组对边平行且相等可得四边形ADFE 是平行四边形，故②正确；由∠DAC =∠DAB +∠BAC =90°，可得∠AHE =90°，故①正确；由2AG =AF 可知③正确；在Rt △DBF 和Rt △EFA 中，BD ＝FE ，DF ＝EA ，可证Rt △DBF ≌Rt △EFA ，故④正确．BD ＝FE ，DF ＝EA ，∴Rt △DBF ≌Rt △EFA （HL ）．故④正确，综上，①②③④都正确．故选：D ．【点睛】本题考查全等三角形的判定、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、平行四边形的判定及性质等，综合性较强，熟练掌握上述性质、定理是解题的关键．二、填空题：4．如图，已知ABC V 的面积为a ，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4BF CF =，四边形DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为______．5．如图，在Rt ABC V 中，90BCA Ð=°，6BC =，8AC =，E 为斜边AB 边上的一动点，以EA ，EC 为边作平行四边形EADC ．（1）AB 的长为________．（2）线段ED 长度的最小值为______．6．如图，在等边ABC V 中，8cm BC =，射线//AG BC ，点E 从点A 出发沿射线AG 以1cm/s 的速度运动；点F 从点B 出发沿射线BC 以3cm/s 的速度运动．设运动时间为()s t ，当t 为__________s 时，以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形．【答案】2或4【分析】分别从当点F 在C 的左侧时与当点F 在C 的右侧时去分析，由当AE =CF 时，以A 、C 、E 、F 为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．【详解】解：当点F 在C 的左侧时，根据题意得：AE =t cm ，BF =3t cm ，则CF =BC -BF =（8-3t ）cm ，∵AG ∥BC ，∴当AE =CF 时，四边形AECF 是平行四边形，即t =8-3t ，解得：t =2；当点F 在C 的右侧时，根据题意得：AE =t cm ，BF =3t cm ，则CF =BF -BC =（3t -8）cm ，∵AG ∥BC ，∴当AE=CF 时，四边形AEFC 是平行四边形，即t =3t -8，解得：t =4；综上可得：当t =2或4s 时，以A 、C 、E 、F 为顶点四边形是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．三、解答题：7．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，12cm AD =，15cm BC =，动点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，点P 以1cm/s 的速度由A 向D 运动，点Q 以3cm/s 的速度由C 向B 运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t 秒(1)AP =______，BQ =______，（分别用含有t 的式子表示）；(2)当四边形PQCD的面积是四边形ABQP面积的2倍时，求出t的值(3)当点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，直接写出t的值∵AD BC∥∴AP BQ =，即153t t =-，解得：∵AD BC∥PD BQ =8．如图，矩形OABC 的边OC 、OA 分别在x 轴、y 轴上，且AO 、OC 的长满足2|2|(4)0OA OC -+-=(1)求B ，C 两点的坐标；(2)把ABC V 沿AC 翻折，点B 落在B ¢处，线段AB 与x 轴交于点D ，求CD 的长；(3)在平面内是否存在点P ，使以A ，D ，C ，P 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．由（1）知，OA=2，∴A（0，2），由（1）知，OC=4，由（2）知，CD=52，∴OD=OC-CD=32，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．。

人教版八年级数学下册18.1.1平行四边形的性质(第二课时)对角线同步练习题

平行四边形的性质（第二课时）同步练习题一、单选题1．平行四边形的一边长为10，那么它的两条对角线的长可以是（）A ．4和6B ．6和8C ．8和12D ．20和302．平行四边形的一组对角的平分线（）A ．一定相互平行B ．一定相交C ．可能平行也可能相交D ．平行或共线 3．有下列说法：①平行四边形具有四边形的所有性质： ②平行四边形是中心对称图形：③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形．其中正确说法的序号是（）．A ．①②④B ．①③④C ．①②③D ．①②③④4．如图，在▱ABCD 中，已知90ODA =∠°，10cm AC =，6cm BD =，则AD 的长为（）第4题第5题第7题第9题 A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．8cm5．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 的顶点A ，B ，D 的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C 的坐标是（）A ．(3，7)B ．(5，3)C ．(7，3)D ．(8，2)6．平行四边形一边的长是10cm ，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（）A ．4cm ，6cmB ．6cm ，8cmC ．8cm ，12cmD ．20cm ，30cm7．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥BC 于E ，AB 3AC ＝2，BD ＝4，则AE 的长为（）A 3B ．32C ．217D ．2178．已知四边形ABCD 是平行四边形，则下列各图中1∠与2∠一定不相等的是（）A ．B ．C ．D ．9．如图，已知平行四边形ABCD 中，4B A ∠=∠，则C ∠=（）A．18°B．36°C．72°D．144°10．如图，设M是ABCD边AB上任意一点，设AMD∆的面积为1S，BMC∆的面积为2S，CDM∆的面积为S，则（）第10题第12题第13题第14题A．12S S S=+B．12S S S>+C．12S S S<+D．不能确定二、填空题11．在平行四边形ABCD中，BC边上的高为AE＝4，AB＝5，EC＝7，则平行四边形ABCD的周长等于_____．12．如图，在中，．以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接并延长交于点，则____．13．如图，直线EF经过平行四边形ABCD的对角线的交点O，若四边形AEFB的面积为20cm2，则平行四边形ABCD的面积为___cm2．14．如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠DBC＝45°，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE、BF 相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，下列结论：①CE＝BE；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；④∠BHD＝∠BDG．其中正确的结论是 ___．15．如图，在一个平行四边形中，两对平行于边的直线将这个平行四边形分为九个小平行四边形，如果原来这个平行四边形的面积为，而中间那个小平行四边形（阴影部分）的面积为20平方厘米，则四边形的面积是________．三、解答题16、如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝25，且AO∶BO＝2∶3.(1)求AC的长；(2)求▱ABCD的面积．17．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F，连接EC.ABCD50D∠=︒B AB BA BC PQ P Q12PQ ABC∠M BM AD E AEB∠=122100cmABDC(1)求证：OE＝OF；(2)若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求▱ABCD的周长．。

2020年春季人教版八年级数学下册18.1专题训练平行四边形的证明 (含答案)

18.1 专题训练平行四边形的证明1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C.求证：四边形ABCD 是平行四边形．2．如图，在▱ABCD中，点E在AB的延长线上，且EC∥BD.求证：四边形BECD是平行四边形．3．已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，点E，F在AC 上，且AF＝CE.求证：四边形BEDF是平行四边形．4．如图，DE是△ABC的中位线，延长DE到F，使EF＝DE，连接BF.求证：(1)BF＝DC；(2)四边形ABFD是平行四边形．5．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F.求证：四边形AECF是平行四边形．6．如图，在△ABC中，D，E，F分别为边AB，BC，CA的中点．求证：四边形DECF是平行四边形．7．如图，▱ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，EF 过点O，与AD，BC 分别相交于点E，F，GH 过点O，与AB，CD 分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.求证：四边形EGFH 是平行四边形．8．已知：如图，在▱ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE ＝DF.连接EF，与对角线AC交于点O.求证：OE＝OF.9．如图1，在▱ABCD中，∠ABC，∠ADC的平分线分别交AD，BC于点E，F.(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索．连接AF，CE，分别交BE，FD 于点G，H，得到四边形EGFH.此时，他猜想四边形EGFH是平行四边形，请在框图(图2)中补全他的证明思路．图1小明的证明思路由(1)可知BE∥DF，要证明四边形EGFH是平行四边形，只需证GF∥EH．由(1)可证ED＝BF，则AE＝FC，又由AE∥CF，故四边形AFCE是平行四边形，从而可证得四边形EGFH是平行四边形．10．如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF＝12BC，求证：四边形OCFE是平行四边形．11．如图，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA 的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形EFGH叫中点四边形．求证：四边形EFGH是平行四边形．12．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF，EF，BD相交于点O，求证：OE＝OF.13．如图，在▱ABCD中，AE＝CF，M，N分别是BE，DF的中点，求证：四边形MFNE是平行四边形．14．如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G，H.求证：AG＝CH.15.如图，在▱ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，试判断四边形AECF是不是平行四边形，并说明理由．16.如图，已知□ABCD的对角线AC ，BD相交于点O ，直线EF经过点O ，且分别交AB ，CD于点E ， F.求证：四边形BFDE是平行四边形．17.如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．求证：四边形BCEF是平行四边形．18．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝24 cm，BC＝30 cm，点P从点A向点D以1 cm/s的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B 以2 cm/s的速度运动，到点B即停止．直线PQ将四边形ABCD截成两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？参考答案18.1 专题训练平行四边形的证明1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C.求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明：∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°.∵∠A＝∠C，∴∠B＝∠D.∴四边形ABCD是平行四边形．2．如图，在▱ABCD中，点E在AB的延长线上，且EC∥BD.求证：四边形BECD是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，即BE∥DC.又∵EC∥BD，∴四边形BECD是平行四边形．3．已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，点E，F在AC 上，且AF＝CE.求证：四边形BEDF是平行四边形．证明：连接BD交AC于O，∵AB＝CD，BC＝AD，∴四边形ABCD是平行四边形．∴AO＝CO，BO＝DO.∵AF＝CE，∴AF－AO＝CE－CO，即OF＝OE.又∵OB＝OD，∴四边形BEDF是平行四边形．4．如图，DE是△ABC的中位线，延长DE到F，使EF＝DE，连接BF.求证：(1)BF＝DC；(2)四边形ABFD是平行四边形．证明：(1)∵DE是△ABC的中位线，∴CE＝BE.在△DEC和△FEB中，⎩⎨⎧CE ＝BE ，∠CED ＝∠BEF ，DE ＝FE ，∴△DEC ≌△FEB(SAS )． ∴BF ＝DC.(2)∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥AB ，且DE ＝12AB. 又∵EF ＝DE ， ∴DE ＝12DF. ∴DF ＝AB. 又∵DF ∥AB ，∴四边形ABFD 是平行四边形．5．如图，▱ABCD 的对角线相交于点O ，直线EF 经过点O ，分别与AB ，CD 的延长线交于点E ，F.求证：四边形AECF 是平行四边形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OD ＝OB ，OA ＝OC ，AB ∥CD. ∴∠DFO ＝∠BEO ，∠FDO ＝∠EBO. 在△FDO 和△EBO 中，⎩⎨⎧∠DFO ＝∠BEO ，∠FDO ＝∠EBO ，OD ＝OB ，∴△FDO ≌△EBO(AAS)． ∴OF ＝OE .又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．6．如图，在△ABC中，D，E，F分别为边AB，BC，CA的中点．求证：四边形DECF是平行四边形．证明：∵D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，∴DF，DE为△ABC的中位线．∴DF∥BC，DE∥AC.∴四边形DECF是平行四边形．7．如图，▱ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，EF 过点O，与AD，BC 分别相交于点E，F，GH 过点O，与AB，CD 分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.求证：四边形EGFH 是平行四边形．证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD∥BC.∴∠EAO＝∠FCO.∵O为AC的中点，∴OA＝OC.在△OAE和△OCF中，⎩⎨⎧∠EAO ＝∠FCO ，OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ，∴△OAE ≌△OCF(ASA )．∴OE ＝OF.同理可证得OG ＝OH.∴四边形EGFH 是平行四边形．8．已知：如图，在▱ABCD 中，延长AB 至点E ，延长CD 至点F ，使得BE ＝DF.连接EF ，与对角线AC 交于点O.求证：OE ＝OF.证明：证法一：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD.∵BE ＝DF ，∴AB ＋BE ＝CD ＋DF ，即AE ＝CF.∵AB ∥CD ，∴AE ∥CF.∴∠E ＝∠F.又∵∠AOE ＝∠COF ，∴△AOE ≌△COF(AAS )．∴OE ＝OF.证法二：连接AF ，CE.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD.∵BE ＝DF ，∴AB ＋BE ＝CD ＋DF ，即AE ＝CF.∵AB ∥CD ，∴AE ∥CF.∴四边形AECF是平行四边形．∴OE＝OF.9．如图1，在▱ABCD中，∠ABC，∠ADC的平分线分别交AD，BC于点E，F.(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索．连接AF，CE，分别交BE，FD 于点G，H，得到四边形EGFH.此时，他猜想四边形EGFH是平行四边形，请在框图(图2)中补全他的证明思路．图1小明的证明思路由(1)可知BE∥DF，要证明四边形EGFH是平行四边形，只需证GF∥EH．由(1)可证ED＝BF，则AE＝FC，又由AE∥CF，故四边形AFCE是平行四边形，从而可证得四边形EGFH是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，AD＝BC.∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC＝12∠ABC.∵DF平分∠ADC，∴∠ADF＝∠CDF＝12∠ADC.∴∠EBC＝∠ADF.∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC.∴∠AEB＝∠ADF.∴EB∥DF.又∵ED∥BF，∴四边形EBFD是平行四边形．10．如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF＝12BC，求证：四边形OCFE是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴点O是BD的中点．又∵点E是边CD的中点，∴OE是△BCD的中位线．∴OE∥BC，且OE＝12BC.又∵CF＝12BC，∴OE＝CF.又∵点F在BC的延长线上，∴OE∥CF.∴四边形OCFE是平行四边形．11．如图，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA 的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形EFGH叫中点四边形．求证：四边形EFGH是平行四边形．证明：连接BD.∵E，H分别是AB，AD的中点，∴EH是△ABD的中位线．∴EH＝12BD，EH∥BD.同理FG＝12BD，FG∥BD.∴EH＝FG，EH∥FG.∴四边形EFGH是平行四边形．12．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF，EF，BD相交于点O，求证：OE＝OF.证明：连接BE，DF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.∵AE＝CF，∴DE＝BF.又∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形．∴OE＝OF.13．如图，在▱ABCD中，AE＝CF，M，N分别是BE，DF的中点，求证：四边形MFNE是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.又∵AE＝CF，∴AD－AE＝BC－CF，即DE＝BF.∴四边形BEDF是平行四边形．∴BE∥DF，BE＝DF.∵M，N分别是BE，DF的中点，∴EM＝12BE＝12DF＝NF.∴四边形MFNE是平行四边形．14．如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G，H.求证：AG＝CH.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC.∴∠HCF ＝∠GAE.又∵E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，∴AE ＝FC ，DE ＝BF.又∵DE ∥BF ，∴四边形BFDE 是平行四边形．∴∠BED ＝∠BFD.∴∠AEG ＝∠CFH.在△AGE 和△CHF 中，⎩⎨⎧∠GAE ＝∠HCF ，AE ＝CF ，∠AEG ＝∠CFH ，∴△AGE ≌△CHF(ASA )．∴AG ＝CH.15.如图，在▱ABCD 中，BD 是对角线，AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F ，试判断四边形AECF 是不是平行四边形，并说明理由．解：四边形AECF 是平行四边形．理由如下：∵AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F ，∴∠AEF=∠CFE=90°，∴AE∥CF（内错角相等，两直线平行），在平行四边形ABCD中，AB=CD，AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF，在△ABE与△DCF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）16.如图，已知□ABCD的对角线AC ，BD相交于点O ，直线EF经过点O ，且分别交AB ，CD于点E ， F.求证：四边形BFDE是平行四边形．证明：∵□ABCD的对角线AC ，BD相交于点O ，∴OA＝OC ，OB＝OD ，∠DCO=∠BAO又∵∠AOE=∠COD，∴△AOE≌△COF ，得OE＝OF ，∴四边形BFDE是平行四边形．17.如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．求证：四边形BCEF是平行四边形．证明：在△AFB和△DCE中，{AB=DE∠A=∠DAF=DC∴△AFB≌△DCE（SAS），∴FB=CE，∴∠AFB=∠DCE，∴FB∥CE，∴四边形BCEF是平行四边形．18．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝24 cm，BC＝30 cm，点P从点A向点D以1 cm/s的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B 以2 cm/s的速度运动，到点B即停止．直线PQ将四边形ABCD截成两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？解：设当P，Q两点同时出发t s后，四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形．根据题意，得AP＝t cm，PD＝(24－t)cm，CQ＝2t cm，BQ＝(30－2t)cm(0≤t≤15)．①若四边形ABQP是平行四边形，∵AD∥BC，∴还需满足AP＝BQ.∴t＝30－2t.解得t＝10.∴10 s后四边形ABQP是平行四边形；②若四边形PQCD是平行四边形，∵AD∥BC，∴还需满足PD＝CQ.∴24－t＝2t.解得t＝8.∴8 s后四边形PQCD是平行四边形．综上所述：当P，Q两点同时出发8秒或10秒后，所截得两个四边形中其中一个四边形为平行四边形．。

18.1.2平行四边形的判定(2)

学以致用
判断下面的命题是否正确,若正确，说明理由，若错误，请举出反例：（1）在四边形ABCD中，AB=CD且AB//CD，则四边形ABCD是平行四边形；（2）在四边形ABCD中，AB=CD且AD//BC，则四边形ABCD是平行四边形；
过关检测
1、课本47页练习第4题； 2、课本50页习题第6题。要求： 1.仿照例题，过程规范、书写工整。 2.10分钟独立完成。比谁做的又对又快，谁先完成先举手。
18.1.2平行四边形的判定（第二课时）
学习目标
理解并会正确运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法。
自学指导
1、认真阅读课本46页的“思考”，及后面的证明过程，理解“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”； 2、看课本47页例4是怎样运用这一判定定理来进行证明的，尤其注意证明过程和格式。（6分钟后看哪些同学能快速完成与例题类似的检测题。）
当堂检测
2. 已知：AD为△ABC的角平分线，DE∥AB ，在AB上截取BF＝AE。求证：EF＝BD
A F E
必做题：1.平行四边形ABCD中，E、F分别在 DC、 AB上，且DE=BF 求证：四边形AFCE是平行四边形。（第1题）B源自（第2题）DC
（第3题）
选做题： 3.已知：如图，在四边形 ABCD中，对角线AC和BD相交于O，AO=OC，BA⊥AC，DC⊥AC. 求证：四边形ABCD是平行四边形

18.1.1 平行四边形的性质(第2课时)

18.1平行四边形
18.1.1平行四边形的性质（第2课时）
动手探究
如图□ ABCD 的两条对角线AC、BD相交于点O （1）图中有哪些三角形是全等的？有哪些线段是相等的？
A A
o
C C
D D
（2）能设法验证你的结论吗？
B B
你可以用测量的方法,也可以用复制纸片并借助旋转的方法. 其中 OA = OC OB= OD
A．1：2：3：4 C．1：1：2：2
4、平行四边形的一边长为5cm，则它的对角线可能是（ A、4cm和6cm B、4cm和14cm
C、4cm和8cm
D、10㎝和2 ㎝
思考题
• 你能画一条直线将一个平行四边形分成两个形状和大小完全相同的两部分吗？ • 试一试，这样的直线你能画几条？
A D收获？
A E D
3
4
O B
7
F
C
练一练
2.已知: □ ABCD的对角线AC、BD相交于点 O，AC =16㎝，BD =12㎝，BC =10㎝，则□ABCD 的周长是_______ 40cm ， □ ABCD的面积是__________ 。 96cm
D C
6 10
O
10
8
A B
练一练
3、在 ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可能是（ B．1：2：2：1 D．2：1：2：1 ））
想一想
由上题你又能得出平行四边形怎样的性质？
平行四边形的对角线互相平分
几何语言：
如图□ ABCD 的两条对角线AC、BD相交于点O
1 AO＝OC＝ AC 2 1 BO＝OD＝ BD 2
A o B C
D
例题赏析
1 OB BD 3 2

八年级数学下册 18.1.2 平行四边形的判定练习2 新人教版(2021年整理)

八年级数学下册18.1.2 平行四边形的判定练习2 （新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级数学下册18.1.2 平行四边形的判定练习2 （新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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平行四边形的判定一、选择题1.在四边形ABCD中，AD//BC,如果要添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形，那么这个条件可能是( ）A。

∠A+∠C=180° B.∠B+∠C=180°C。

∠A+∠B-=180° D.∠A+∠D=180°2.（江西抚州一中月考)下面给出的是四边形ABCD中AB，BC，CD，DA的长度之比。

其中能满足四边形ABCD是平行四边形的是（）A.1：2：3：4。

B.2：2:3：3C。

2:3：2：3 . D。

2：3:3：23．能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是：∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值为（ )．A.1∶2∶3∶4 B。

1∶4∶2∶3C.1∶2∶2∶1 D。

1∶2∶1∶24．□ABCD的对角线的交点在坐标原点,且AD平行于x轴,若A点坐标为(－1，2），则C 点的坐标为( ）．A。

(1,－2）B。

(2，－1) C。

（1，－3） D.(2，－3）5．已知：园边形ABCD中，AC与BD交于点O,如果只给出条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下四种说法：①如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形;②如果再加上条件“∠BAD＝∠BCD"，那么四边形ABCD一定是平行四边形；③如果再加上条件“OA＝OC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；④如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形．其中正确的说法是（）．A。

八年级数学下册第十八章平行四边形18.1平行四边形18.1.2平行四边形的判定练习人教版

18.1.2 平行四边形的判定第1课时平行四边形的判定（1）1．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，（1）若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC= cm，CD= cm时，四边形ABCD为平行四边形；（2）若AC=10cm，BD=8cm，那么当AO=CO = cm，DO=BO= cm时，四边形ABCD为平行四边形．（3）若∠A=65°，∠B=115°，那么当∠C=°，∠D= °时，四边形ABCD为平行四边形．2、一个四边形的三个内角的度数依次如下选项，其中是平行四边形的是（）A、88°，108°，88°B、88°，104°，108°C、88°，92°，92°D、88°，92°，88°3、在四边形ABCD中，ADBC，要使四边形ABCD是平行四边形，则应满足的条件是（）A、∠A+∠C=180°B、∠B+∠D=180°C、∠A+∠B=180°D、∠A+∠D=180°4、下列能判定四边形一定为平行四边形的个数有（）（1）两组对边分别相等的四边形。

（2）两组对边分别平行的四边形。

（3）两组对角分别相等的四边形。

（4）有两组邻角分别互补的四边形。

（5）两组对角线互相平分的四边形。

（6）两条对角线相等的四边形。

A、2B、3C、4D、55、已知：如图，ABCD中，点E、F分别在CD、AB上，DF∥BE，EF交BD于点O．求证：EO=OF．6、如图，在平行四边形ABCD中，E、F、G、H分别是各边中点。

PFED CBA求证：四边形EFGH 是平行四边形。

7、如图，在四边形ABCD 中，AD=12，DO=BO=5，AC=26，∠ADB=90°。

求BC 的长和四边形ABCD 的面积。

8、如图，ABC ∆是等边三角形，P 是三角形内任一点，,//,//BC PE AB PDAC PF //，若ABC ∆周长为12，求PD+PE+PF 的值．18.1.2 平行四边形的判定第2课时平行四边形的判定（2）一、选择——基础知识运用1．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（） A ．两组对边分别平行B．一组对边平行，另一组对边相等C．两组对边分别相等D．一组对边平行且相等2．如图，在四边形ABCD中，∠DAC=∠ACB，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应增加的条件不能是（）A．AD=BC B．OA=OCC．AB=CD D．∠ABC+∠BCD=180°3．分别过一个三角形的3个顶点作对边的平行线，这些平行线两两相交，则构成的平行四边形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．已知四边形ABCD中，AC与BD交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么可以判定四边形ABCD是平行四边形的是（）①再加上条件“BC=AD”，则四边形ABCD一定是平行四边形．②再加上条件“∠BAD=∠BCD”，则四边形ABCD一定是平行四边形．③再加上条件“AO=CO”，则四边形ABCD一定是平行四边形．④再加上条件“∠DBA=∠CAB”，则四边形ABCD一定是平行四边形．A．①和② B．①③和④C．②和③D．②③和④5．如图，在平面直角坐标系中，以A（-1，0），B（2，0），C（0，1）为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（）A．（3，1）B．（-4，1） C．（1，-1） D．（-3，1）二、解答——知识提高运用6．如图，凸四边形ABCD中，AB∥CD，且AB+BC=CD+AD．求证：ABCD是平行四边形。

18.1~18.2平行四边形的性质与判定练习题

E D C OF B A 18.1~18.2平行四边形的性质与判定一、选择题1、下面各条件中，能判定四边形是平行四边形的是（）A 、对角线互相垂直B 、对角线互相平分C 、一组对角相等D 、一组对边相等2、已知下列四个命题：①一组对边平行且相等的四边形；②两组对角分别相等的四边形；③对角线相等的四边形；④对角线互相平分的四边形。

其中能判定平行四边形的命题的个数为（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个3、下列说法中错误的是（）A ．平行四边形的对角线互相平分B ．有两对邻角互补的四边形为平行四边形C ．对角线互相平分的四边形是平行四边形D ．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形4、平行四边形的两条对角线及一边的长可依次取（）A 、6、6、6B 、6、4、3C 、6、4、6D 、3、4、55、以不共线三点为三个顶点作平行四边形，一共可作平行四边形的个数是（）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个6、四边形ABCD 的四个角∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 满足下列哪一条件时，四边形ABCD 是平行四边形？（）A 、1∶2∶2∶1B 、2∶1∶1∶1C 、1∶2∶3∶4D 、2∶1∶2∶17、四边形ABCD 中，AD ∥BC ，要判定四边形ABCD 是平行四边形，还应满足（）A 、∠A ＋∠C ＝180°B 、∠B ＋∠D ＝180°C 、∠A ＋∠B ＝180°D 、∠A ＋∠D ＝180°8、根据下列条件，得不到平行四边形的是（）A 、AB ＝CD ，AD ＝BC B 、AB ∥CD ，AB ＝CD C 、AB ＝CD ，AD ∥BC D 、AB ∥CD ，AD ∥BC9、如图，在□ABCD 中，EF 过对角线的交点，若AB ＝4，BC ＝7，OE ＝3，则四边形EFDC 的周长是（）A 、14B 、11C 、10D 、179题图 10题图 11题图 12题图10、如图，线段a 、b 、c 的端点分别在直线l 1、l 2上，则下列说法中正确的是（）A ．若l 1∥l 2，则a=bB ．若l 1∥l 2，则a=cC ．若a∥b，则a=bD ．若l 1∥l 2，且a∥b，则a=b11、如图，△ABC 中，AB=AC=15，D 在BC 边上，DE∥BA，DF∥CA，那么四边形AFDE 的周长是（）A .30B ． 25C ． 20D ． 1512、如图，AB=CD ，BF=ED ，AE=CF ，由这些条件能得出图中互相平行的线段共有（）A ．1组 B ． 2组 C ． 3组 D ． 4组13、若□ABCD 的周长为40cm ，ΔABC 的周长为27cm ，则AC 的长是（）A 、13cmB 、3cmC 、7cmD 、11.5cm14、平行四边形的对角线长分别是x 和y ，一边长为12，则下列各组数据可能是x 与y 的值的是（）A 、8与14B 、10与14C 、18与20D 、10与3615、□ABCD 中,∠A:∠B=13：5，则∠A 和∠B 的度数分别为（）A ．80° ，100°B ．130°，50°C ．160°，20°D ．60°，120°16、一个平行四边形的两条对角线把它分成的全等三角形的对数是( )A.2B.4C.6D.817、E 、F 分别是□ABCD 的边AB 、DC 中点，DE 、BF 交AC 于M 、N ，则( )A.AM=MEB.AM=DFC.AM=NCD.AM ⊥MD18、在□ABCD 中若∠A ＞∠B ，则∠A 的补角与∠B 的余角之和( )A.小于90°B.等于90°C.大于90°D.不能确定19、从等腰三角形底边上任意一点分别作两腰的平行线与两腰所围成的平行四边形的周长等于三角形( )A B E C F DO A B D C A.周长 B.周长的一半 C.腰长 D.两腰长的和20、已知平行四边形两条邻边的长分别是6厘米和4厘米，它们的夹角是60°，则它的面积是( )A.123cm 2B.73cm 2C.63cm 2D.43cm 221、下列说法正确的有（）①平行四边形的对角线相等；②平行四边形的对边相等；③平行四边形的对角线互相垂直；④平行四边形的对角线互相平分；⑤两组对边分别相等的四边形是平行四边形；⑥一组对边平行而且另一组对边相等的四边形是平行四边形．A ．4个 B ． 3个 C ． 2个 D ． 1个22、平行四边形的一条对角线与一边垂直，且此对角线为另一边的一半，则此平行四边形两邻角之比为( )A.1∶2B.1∶3C.1∶4D.1∶523、如图，□ABCD 和□EAFC 的顶点D 、E 、F 、B 在一条直线上，则下列关系中一定正确的是( )A.DE ＞BFB.DE=BFC.DE ＜BFD.DE=EF=BF23题图 24题图 25题图24、如图，□ABCD 中，∠ABC=60°，AE∥BD，EF⊥BC 交BC 的延长线于点F ，DF=2，则EF 的长为（） A ．2 B ． 2 C ． 4 D ． 425、如图，∠BAC=120°，AD⊥AC，BD=CD ，则下列结论正确的是（）A ． A D=ACB ． A B=AC C ． A B=2ACD ． A B=AC二、填空题1、□ABCD 中，∠B －∠A ＝40°，则∠D ＝________.2、□ABCD 的周长是44cm ，AB 比AD 大2cm ，则AB ＝________cm ，AD ＝________cm.3、平行四边形的两个相邻内角的平分线相交所成的角的度数是________.4、平行四边形的两条邻边的比为2∶1，周长为60cm ，则这个四边形较短的边长为________.5、如右上图，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，∠BAD ＝120°，BE ＝2，FD ＝3，则∠EAF ＝________，□ABCD 的周长为________.6、若平行四边形的两邻边的长分别为16和20，两长边间的距离为8，则两短边间的距离为________．7、□ABCD 中，AB=6cm,BC=8cm ，∠B=70°,则AD=__________,CD=__________, ∠D=__________,∠A=__________,∠C=__________.8、平行四边形周长为50cm ，两邻边之差为5cm,各边长为 . 9、如右图，平行四边形ABCD 的周长为30cm,它的对角线AC 和BD 相交于O,且△AOB 的周长比△BOC 的周长大5cm,则AB=________，BC=________. 10、□ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O,则其中全等的三角形有________对.(1)由平行四边形的一个顶点在形内向两边引垂线，二垂线夹角为65°，则这个平行四边形各内角的度数分别为________.(2)在□ABCD 中，∠A 的补角与∠B 的和等于210°，则∠A=________,∠B=________.(3)在□ABCD 中，AB ∶BC=1∶2，∠D=30°，AE ⊥BC 于E ，AE=3cm,则AB=________cm.这个平行四边形的周长是________cm.(4)平行四边形周长是40cm ，二邻边的比为3∶2，则两邻边长分别是________.(5)在□ABCD 中，两邻边AB 、AD 的比是1∶2，M 是大边AD 的中点，则∠BMC 的度数是________.(6)平行四边形的周长为50厘米，那么它两邻边之和是______cm ，每条对角线的长不能超过______cm.(7)□ABCD 中，周长为50厘米，AB=15cm ，∠A=30°，则此平行四边形的面积为______cm 2.(8)□ABCD 的周长为50厘米，对角线交于O 点，△AOB 的周长比△BOC 的周长大5厘米，则AB 、BC 的长分别是______、______.(9)有五条平行的直线，每相邻两条的距离相等，有一条直线和这组平行线相交成30°角，它介于相邻两条A BF CD EA BE CFDA BFOC DE平行线之间的线段长是10厘米，则这一组平行线最外面两条之间的距离是______厘米.(10)已知平行四边形周长为68厘米，被两条对角线分成两个不同的三角形的周长的和等于82厘米，两条对角线的长度比为2∶1，则两条对角线的长分别为______厘米，______厘米.11、等腰△ABC底边上任意一点D，AB=AC=5cm，过D作DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，则四边形AEDF的周长为．12、如图（在下页），已知等边△ABC的边长为8，P是△ABC内一点，PD∥AC，PE∥AD，PF∥BC，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，则PD+PE+PF= ．第12题第13题第14题13、如图，在□ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连接DE，EF，FB，则图中共有个平行四边形．14、如图，在□ABCD中，E，F是对角线AC上的两点且AE=CF，在①BE=DF；②BE∥DF；③AB=DE；④四边形EBFD为平行四边形；⑤S△ADE=S△ABE；⑥AF=CE这些结论中正确的是．15、如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，∠B+∠C=90°，EF=10，E，F分别是AD，BC的中点，则BC﹣AD= ．第15题第16题第17题16、如图，六边形ABCDEF的每个内角都是120°，AB∥DE，BC∥EF，CD∥FA，且AB=4，BC=5，CD=6，DE=7，那么，六边形ABCDEF的周长是．17、如图，△ABC中，如果AB=30，BC=24，AC=27，DN∥GM∥AB，EG∥DF∥BC，FM∥EN∥AC，则图中阴影部分的三个三角形周长之和为．18、如右图所示，木工师傅把曲尺的一边紧靠木板边缘，从曲尺的另一边上可以读出木板另一边缘的刻度，然后将曲尺移动到另一处（紧靠木板边缘），如果两次读数相同，说明木板两个边缘平行，其中道理是 .三、解答题与证明题1、在□ABCD中，E、F分别在DC、AB上，且DE＝BF。

人教版八年级数学下《第十八章平行四边形》课时作业(含答案)

人教版八年级数学下《第十八章平行四边形》课时作业（含答案）第十八章平行四边形18．1平行四边形18．1.1平行四边形的性质第1课时平行四边形的边、角特征01基础题知识点1平行四边形的概念1．如图，在▱ABCD中，EF∥BC，则图中平行四边形有3个．第1题图第2题图2．如图，AB∥EG，EF∥BC，AC∥FG，图中有3个平行四边形，它们分别是▱ABCE，▱ABGC，▱AFBC．知识点2平行四边形的边、角特征3．(教材P43T1的变式)在▱ABCD中，AD＝3 cm，AB＝2 cm，则▱ABCD的周长等于(A) A．10 cm B．6 cmC．5 cm D．4 cm4．(2016·衢州)如图，在▱ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A＝135°，则∠MCD的度数是(A)A．45°B．55°C．65°D．75°5．在▱ABCD中，两邻边的差为4 cm，周长为32 cm，则两邻边长分别为10__cm，6__cm．6．(1)在▱ABCD 中，若∠A∶∠B＝5∶4，则∠C＝100°；(2)已知▱ABCD 的周长为28 cm，若AB∶BC＝3∶4，则AB＝6__cm，BC＝8__cm．7．如图，在▱ABCD中，CM⊥AD于点M，CN⊥AB于点N，若∠B＝45°，求∠MCN的大小．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠B＝∠D.∵∠B＝45°，∴∠BCD＝135°，∠D＝45°.∵CM⊥AD，CN⊥AB，∴∠BNC＝∠DMC＝90°.∴∠BCN＝∠DCM＝45°.∴∠MCN＝∠BCD－∠BCN－∠DCM＝45°.8．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，B，D，F在同一直线上，且BE＝DF.求证：AE＝CF.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AB ＝CD. ∴∠ABD ＝∠CDB. ∴∠ABE ＝∠CDF.在△ABE 和△CDF 中，⎩⎨⎧AB ＝CD ，∠ABE ＝∠CDF ，BE ＝DF ，∴△ABE ≌△CDF(SAS )． ∴AE ＝CF.知识点3 平行线间的距离9．如图，a ∥b ，AB ∥CD ，CE ⊥b ，FG ⊥b ，点E ，G 为垂足，则下列说法不正确的是(D )A ．AB ＝CD B ．EC ＝GFC ．A ，B 两点的距离就是线段AB 的长度D ．a 与b 的距离就是线段CD 的长度第9题图第10题图10．(2016·柳州)如图，若▱ABCD 的面积为20，BC ＝5，则边AD 与BC 间的距离为4．02 中档题11．在▱ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的值可能是(A)A ．2∶5∶2∶5B ．3∶4∶4∶5C ．4∶4∶3∶2D ．2∶3∶5∶612．如图，在▱ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，AC 的垂直平分线交AD 于点E ，则△CDE 的周长是(B )A ．7B ．10C ．11D ．12第12题图第13题图13．如图所示，直线a ∥b ，A 是直线a 上的一个定点，线段BC 在直线b 上移动，那么在移动过程中△ABC 的面积(C )A ．变大B ．变小C ．不变D ．无法确定 14．(2017·鹤岗)在▱ABCD 中，∠A 的平分线把BC 边分成长度是3和4的两部分，则▱ABCD 的周长是(C)A ．22B ．20C ．22或20D ．18 15．(2017·武汉)如图，在▱ABCD 中，∠D ＝100°，∠DAB 的平分线AE 交DC 于点E ，连接BE .若AE ＝AB ，则∠EBC 的度数为30°．第15题图第16题图16．如图，▱ABCD 与▱DCFE 的周长相等，且∠BAD ＝60°，∠F ＝110°，则∠DAE 的度数为25°．17．如图，在▱ABCD 中，点P 是对角线BD 上的一个动点(点P 与点B 、点D 不重合)，过点P 作EF ∥BC ，GH ∥AB ，则图中面积始终相等的平行四边形有3 对． 18．(2016·温州)如图，E 是▱ABCD 的边CD 的中点，延长AE 交BC 的延长线于点F.(1)求证：△ADE ≌△FCE ；(2)若∠BAF ＝90°，BC ＝5，EF ＝3，求CD 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC.∴∠DAE ＝∠F ，∠D ＝∠ECF. ∵E 是CD 的中点， ∴DE ＝CE.在△ADE 和△FCE 中，⎩⎨⎧∠DAE ＝∠F ，∠D ＝∠ECF ，DE ＝CE ，∴△ADE ≌△FCE(AAS )． (2)∵△ADE ≌△FCE ， ∴AE ＝EF ＝3. ∵AB ∥CD ，∴∠AED ＝∠BAF ＝90°. 在▱ABCD 中，AD ＝BC ＝5， ∴DE ＝AD 2－AE 2＝52－32＝4. ∴CD ＝2DE ＝8.03 综合题19．如图，四边形ABCD 是平行四边形，P 是CD 上一点，且AP 和BP 分别平分∠DAB 和∠CBA.(1)求∠APB 的度数；(2)如果AD ＝5 cm ，AP ＝8 cm ，求△APB 的周长．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥CB ，AB ∥CD ，AD ＝BC ，AB ＝DC. ∴∠DAB ＋∠CBA ＝180°.又∵AP 和BP 分别平分∠DAB 和∠CBA ， ∴∠PAB ＋∠PBA ＝12(∠DAB ＋∠CBA)＝90°.∴∠APB ＝180°－(∠PAB ＋∠PBA)＝90°. (2)∵AP 平分∠DAB ，AB ∥CD ， ∴∠DAP ＝∠PAB ＝∠DPA. ∴AD ＝DP ＝5 cm .同理：PC ＝BC ＝AD ＝5 cm . ∴AB ＝DC ＝DP ＋PC ＝10 cm .在Rt △APB 中，AB ＝10 cm ，AP ＝8 cm ， ∴BP ＝102－82＝6(cm )．∴△APB 的周长为6＋8＋10＝24(cm )．第2课时平行四边形的对角线性质01 基础题知识点1 平行四边形的对角线互相平分1．如图，在▱ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，下列结论错误的是(C )A ．AB ∥CD B ．AB ＝CDC ．AC ＝BD D ．OA ＝OC第1题图第2题图2．(教材P 44T 1的变式)如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，已知AD ＝8，BD ＝12，AC ＝6，则△OBC 的周长为(B)A ．13B ．17C ．20D ．263．如图，在▱ABCD 中，已知∠ODA ＝90°，AC ＝10 cm ，BD ＝6 cm ，则AD 的长为(A )A ．4 cmB ．5 cmC ．6 cmD ．8 cm第3题图第4题图4．如图，▱ABCD 的周长为16 cm ，AC ，BD 相交于点O ，EO ⊥BD 交AD 于点E ，则△ABE 的周长为(C)A ．4 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm5．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AC ，BD 相交于点O.若AC ＝6，则线段AO 的长度等于3.6．在▱ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5，对角线AC ，BD 相交于点O ，则OA 的取值范围是1＜OA ＜4．7．如图所示，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点M ，N 在对角线AC 上，且AM ＝CN ，求证：BM ∥DN.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD. ∵AM ＝CN ，∴OM ＝ON.在△BOM 和△DON 中，⎩⎨⎧OB ＝OD ，∠BOM ＝∠DON ，OM ＝ON ，∴△BOM ≌△DON(SAS )．∴∠OBM＝∠ODN.∴BM∥DN.知识点2平行四边形的面积8．如图，在▱ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，若△AOD的面积是5，则▱ABCD的面积是(C) A．10 B．15C．20 D．25第8题图第9题图9．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若DO＝1.5 cm，AB＝5 cm，BC＝4 cm，则▱ABCD的面积为12cm2.02中档题10．如图，▱ABCD的对角线交于点O，且AB＝5，△OCD的周长为23，则▱ABCD的两条对角线的和是(C) A．18 B．28C．36 D．46第10题图第11题图11．如图，▱ABCD的对角线AC的长为10 cm，∠CAB＝30°，AB的长为6 cm，则▱ABCD的面积为(B) A．60 cm2B．30 cm2C．20 cm2D．16 cm212．(2017·眉山)如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若▱ABCD的周长为18，OE ＝1.5，则四边形EFCD的周长为(C)A．14 B．13 C．12 D．10第12题图第13题图13．如图，若▱ABCD的周长为22 cm，AC，BD相交于点O，△AOD的周长比△AOB的周长小3 cm，则AD ＝4__cm，AB＝7__cm.14．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点E，∠AEB＝45°，BD＝2，将△ABC沿AC所在直线翻折，若点B的落点记为B′，则DB′15．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝25，且AO∶BO＝2∶3.(1)求AC 的长；(2)求▱ABCD 的面积．解：(1)∵AO ∶BO ＝2∶3， ∴设AO ＝2x ，BO ＝3x (x ＞0)．∵AC ⊥AB ，AB ＝25， ∴(2x)2＋(25)2＝(3x)2. 解得x ＝2. ∴AO ＝4.∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AC ＝2AO ＝8. (2)∵S △ABC ＝12AB·AC＝12×25×8 ＝85，∴S ▱ABCD ＝2S △ABC ＝2×85＝16 5.16．(2016·本溪)如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，EF 过点O 且与AB ，CD 分别相交于点E ，F ，连接EC.(1)求证：OE ＝OF ；(2)若EF ⊥AC ，△BEC 的周长是10，求▱ABCD 的周长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OD ＝OB ，DC ∥AB. ∴∠FDO ＝∠EBO.在△DFO 和△BEO 中，⎩⎨⎧∠FDO ＝∠EBO ，OD ＝OB ，∠FOD ＝∠EOB ，∴△DFO ≌△BEO(ASA )． ∴OE ＝OF.(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，OA ＝OC. ∵EF ⊥AC ，∴AE ＝CE. ∵△BEC 的周长是10，∴BC ＋BE ＋CE ＝BC ＋BE ＋AE ＝BC ＋AB ＝10. ∴C ▱ABCD ＝2(BC ＋AB)＝20.03综合题17．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上一动点，以P A，PC为边作▱P AQC，则对角线PQ长度的最小值为(D)A．6B．8C．2 2D．4 218.1.2平行四边形的判定第1课时平行四边形的判定01基础题知识点1两组对边分别相等的四边形是平行四边形1．如图，AB＝CD＝EF，且△ACE≌△BDF，则图中平行四边形的个数为(C)A．1B．2C．3D．42．若四边形ABCD的边AB＝CD，BC＝DA，则这个四边形是平行四边形，理由是两组对边分别相等的四边形是平行四边形．知识点2两组对角分别相等的四边形是平行四边形3．下面给出四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD为平行四边形的是(B)A．1∶2∶3∶4 B．2∶3∶2∶3C．2∶2∶3∶3 D．1∶2∶2∶34．一个四边形的三个相邻内角的度数依次如下，那么其中是平行四边形的是(D)A．88°，108°，88°B．88°，104°，108°C．88°，92°，92°D．108°，72°，108°知识点3对角线互相平分的四边形是平行四边形5．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO＝CO，请添加一个条件BO＝DO(答案不唯一)(只添一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形．6．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O，且AO＝CO.求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，∠BAO＝∠DCO.又∵AO＝CO，∴△ABO≌△CDO(AAS)．∴BO＝DO.∴四边形ABCD是平行四边形．7．如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是OB ，OD 的中点，求证：四边形AECF 是平行四边形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD.∵点E ，F 分别是OB ，OD 的中点， ∴OE ＝12OB ，OF ＝12OD.∴OE ＝OF.又∵OA ＝OC ，∴四边形AECF 是平行四边形．知识点4 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形8．如图所示，四边形ABCD 和AEFD 都是平行四边形，则四边形BCFE 是平行四边形，理由：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．9．(2016·新疆)如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ⊥AD 交BD 于点E ，CF ⊥BC 交BD 于点F ，且AE ＝CF.求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明：∵AE ⊥AD ，CF ⊥BC ， ∴∠EAD ＝∠FCB ＝90°.∵AD ∥BC ，∴∠ADE ＝∠CBF.在△AED 和△CFB 中，⎩⎨⎧∠ADE ＝∠CBF ，∠EAD ＝∠FCB ，AE ＝CF ，∴△AED ≌△CFB(AAS )． ∴AD ＝BC. 又∵AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．02 中档题10．小玲的爸爸在制作平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC ，BD 的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD 就是平行四边形，这种方法的依据是(A )A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形11．(2016·衢州)已知直角坐标系内有四个点O(0，0)，A(3，0)，B(1，1)，C(x，1)，若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝4或－2．12．已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，点E，F在AC上，且AF＝CE.求证：四边形BEDF是平行四边形．证明：连接BD交AC于O，∵AB＝CD，BC＝AD，∴四边形ABCD是平行四边形．∴AO＝CO，BO＝DO.∵AF＝CE，∴AF－AO＝CE－CO，即OF＝OE.又∵OB＝OD，∴四边形BEDF是平行四边形．13．(2017·南京)如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF，EF，BD相交于点O，求证：OE＝OF.证明：连接BE，DF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.∵AE＝CF，∴DE＝BF.又∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形．∴OE＝OF.14．(2016·张家界)已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F.试判断四边形ABFC的形状，并证明你的结论．解：四边形ABFC 是平行四边形．证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAE ＝∠CFE.∵E 是BC 的中点，∴BE ＝CE. 在△ABE 和△FCE 中，⎩⎨⎧∠BAE ＝∠CFE ，∠AEB ＝∠FEC ，BE ＝CE ，∴△ABE ≌△FCE(AAS)．∴AB ＝CF .又∵AB ∥CF ，∴四边形ABFC 是平行四边形．03 综合题15．如图所示，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝24 cm ，BC ＝30 cm ，点P 从点A 向点D 以1 cm /s 的速度运动，到点D 即停止．点Q 从点C 向点B 以2 cm /s 的速度运动，到点B 即停止．直线PQ 将四边形ABCD 截成两个四边形，分别为四边形ABQP 和四边形PQCD ，则当P ，Q 两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？解：设当P ，Q 两点同时出发t s 后，四边形ABQP 或四边形PQCD 是平行四边形．根据题意，得AP ＝t cm ，PD ＝(24－t)cm ，CQ ＝2t cm ，BQ ＝(30－2t)cm (0≤t ≤15)． ①若四边形ABQP 是平行四边形， ∵AD ∥BC ，∴还需满足AP ＝BQ. ∴t ＝30－2t.解得t ＝10.∴10 s 后四边形ABQP 是平行四边形； ②若四边形PQCD 是平行四边形， ∵AD ∥BC ，∴还需满足PD ＝CQ.∴24－t ＝2t.解得t ＝8.∴8 s 后四边形PQCD 是平行四边形．综上所述：当P ，Q 两点同时出发8秒或10秒后，所截得两个四边形中其中一个四边形为平行四边形．第2课时三角形的中位线01基础题知识点三角形的中位线1．如果等边三角形的边长为4，那么等边三角形的中位线长为(A)A．2 B．4C．6 D．82．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是(C) A．8 B．10C．12 D．14第2题图第3题图3．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A＝50°，∠ADE＝60°，则∠C的度数为(C) A．50°B．60°C．70°D．80°4．(2016·梧州)如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝2，D，E，F分别为AB，BC，AC中点，连接DF，FE，则四边形DBEF的周长是(B)A．5 B．7C．9 D．11第4题图第5题图5．如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD＝20 m，则A，B之间的距离是40m.6．(2017·怀化)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O，点E是AB的中点，OE＝5 cm，则AD的长为10cm.第6题图第7题图7．如图，CD是△ABC的中线，点E，F分别是AC，DC的中点，EF＝1，则BD＝2．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝8 cm，E，F分别为边AC，AB的中点．(1)求∠A的度数；(2)求EF的长．解：(1)∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.∴∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°.(2)在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，AB ＝8 cm ， ∴BC ＝12AB ＝4 cm .∵E ，F 分别是AC ，AB 的中点， ∴EF 是△ABC 的中位线． ∴EF ＝12BC ＝2 cm .9．如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别为边AB ，BC ，CA 的中点．求证：四边形DECF 是平行四边形．证明：∵D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点， ∴DF ，DE 为△ABC 的中位线． ∴DF ∥BC ，DE ∥AC.∴四边形DECF 是平行四边形．02 中档题10．如图，点D ，E ，F 分别为△ABC 各边中点，下列说法正确的是(C )A ．DE ＝DFB ．EF ＝12ABC ．S △ABD ＝S △ACD D ．AD 平分∠BAC11．如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC ，已知点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，量得EF ＝5米，他想把四边形BCFE 用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的长是(C )A ．15米B ．20米C ．25米D ．30米第11题图第12题图12．(2016·陕西)如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝8，BC ＝6.若DE 是△ABC 的中位线，延长DE 交△ABC 的外角∠ACM 的平分线于点F ，则线段DF 的长为(B)A ．7B ．8C ．9D ．1013．如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，点E 是AD 的中点，△BCD 的周长为18，则△DEO 的周长是9．第13题图第14题图14．如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AD ＝BC ，∠PEF ＝18°，则∠PFE 的度数是18°．15．如图，四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，顺次连接E ，F ，G ，H ，得到的四边形EFGH 叫中点四边形．求证：四边形EFGH 是平行四边形．证明：连接BD.∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点， ∴EH 是△ABD 的中位线． ∴EH ＝12BD ，EH ∥BD.同理FG ＝12BD ，FG ∥BD.∴EH ＝FG ，EH ∥FG.∴四边形EFGH 是平行四边形．16．如图，在▱ABCD 中，点O 是对角线AC ，BD 的交点，点E 是边CD 的中点，点F 在BC 的延长线上，且CF ＝12BC ，求证：四边形OCFE 是平行四边形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴点O 是BD 的中点．又∵点E 是边CD 的中点， ∴OE 是△BCD 的中位线． ∴OE ∥BC ，且OE ＝12BC.又∵CF ＝12BC ，∴OE ＝CF.又∵点F 在BC 的延长线上，∴OE ∥CF.∴四边形OCFE 是平行四边形．03 综合题17．如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，AD ，AE 分别为△ABC 的中线和角平分线，过点C 作CH ⊥AE 于点H ，并延长交AB 于点F ，连接DH ，求线段DH 的长．解：∵AE 为△ABC 的角平分线， ∴∠FAH ＝∠CAH. ∵CH ⊥AE ，∴∠AHF ＝∠AHC ＝90°. 在△AHF 和△AHC 中，⎩⎨⎧∠FAH ＝∠CAH ，AH ＝AH ，∠AHF ＝∠AHC ，∴△AHF ≌△AHC(ASA )． ∴AF ＝AC ，HF ＝HC. ∵AC ＝3，AB ＝5，∴AF ＝AC ＝3，BF ＝AB －AF ＝5－3＝2. ∵AD 为△ABC 的中线， ∴DH 是△BCF 的中位线． ∴DH ＝12BF ＝1.小专题(三) 平行四边形的证明思路类型1 若已知条件出现在四边形的边上，则考虑：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形1．如图，在▱ABCD 中，点E 在AB 的延长线上，且EC ∥BD.求证：四边形BECD 是平行四边形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，即BE ∥DC. 又∵EC ∥BD ，∴四边形BECD 是平行四边形．2．如图，已知：AB ∥CD ，BE ⊥AD ，垂足为点E ，CF ⊥AD ，垂足为点F ，并且AE ＝DF.求证：(1)BE ＝CF ；(2)四边形BECF 是平行四边形．证明：(1)∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ， ∴∠AEB ＝∠DFC ＝90°. ∵AB ∥CD ，∴∠A ＝∠D . 在△AEB 和△DFC 中，⎩⎨⎧∠AEB ＝∠DFC ，AE ＝DF ，∠A ＝∠D ，∴△AEB ≌△DFC (ASA)． ∴BE ＝CF .(2)∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ， ∴BE ∥CF . 又∵BE ＝CF ，∴四边形BECF 是平行四边形．3．如图，在▱ABCD 中，分别以AD ，BC 为边向内作等边△ADE 和等边△BCF ，连接BE ，DF.求证：四边形BEDF 是平行四边形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴CD ＝AB ，AD ＝CB ，∠DAB ＝∠BCD. 又∵△ADE 和△BCF 都是等边三角形，∴DE ＝AD ＝AE ，CF ＝BF ＝BC ，∠DAE ＝∠BCF ＝60°.∴BF ＝DE ，CF ＝AE ，∠DCF ＝∠BCD －∠BCF ，∠BAE ＝∠DAB －∠DAE ，即∠DCF ＝∠BAE. 在△DCF 和△BAE 中，⎩⎨⎧CD ＝AB ，∠DCF ＝∠BAE ，CF ＝AE ，∴△DCF ≌△BAE(SAS )． ∴DF ＝BE. 又∵BF ＝DE ，∴四边形BEDF 是平行四边形．4．(2016·钦州)如图，DE 是△ABC 的中位线，延长DE 到F ，使EF ＝DE ，连接BF.求证：(1)BF ＝DC ；(2)四边形ABFD 是平行四边形．证明：(1)∵DE 是△ABC 的中位线， ∴CE ＝BE.在△DEC 和△FEB 中，⎩⎨⎧CE ＝BE ，∠CED ＝∠BEF ，DE ＝FE ，∴△DEC ≌△FEB(SAS )． ∴BF ＝DC.(2)∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥AB ，且DE ＝12AB.又∵EF ＝DE ， ∴DE ＝12DF.∴DF ＝AB. 又∵DF ∥AB ，∴四边形ABFD 是平行四边形．5．如图，已知D ，E ，F 分别在△ABC 的边BC ，AB ，AC 上，且DE ∥AF ，DE ＝AF ，将FD 延长到点G ，使FG＝2DF，连接AG，则ED与AG互相平分吗？请说明理由．解：ED与AG互相平分．理由：连接EG，AD.∵DE∥AF，DE＝AF，∴四边形AEDF是平行四边形．∴AE∥DF，AE＝DF.又∵FG＝2DF，∴DG＝DF.∴AE＝DG.又∵AE∥DG，∴四边形AEGD是平行四边形．∴ED与AG互相平分.类型2若已知条件出现在四边形的角上，则考虑利用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C.求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°.∵∠A＝∠C，∴∠B＝∠D.∴四边形ABCD是平行四边形．类型3若已知条件出现在对角线上，则考虑利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”7．如图，▱ABCD 的对角线相交于点O ，直线EF 经过点O ，分别与AB ，CD 的延长线交于点E ，F.求证：四边形AECF 是平行四边形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OD ＝OB ，OA ＝OC ，AB ∥CD. ∴∠DFO ＝∠BEO ，∠FDO ＝∠EBO. 在△FDO 和△EBO 中，⎩⎨⎧∠DFO ＝∠BEO ，∠FDO ＝∠EBO ，OD ＝OB ，∴△FDO ≌△EBO(AAS)． ∴OF ＝OE . 又∵OA ＝OC ，∴四边形AECF 是平行四边形．8．如图，▱ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，EF 过点O ，与AD ，BC 分别相交于点E ，F ，GH 过点O ，与AB ，CD 分别相交于点G ，H ，连接EG ，FG ，FH ，EH.求证：四边形EGFH 是平行四边形．证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD ∥BC.∴∠EAO ＝∠FCO. ∵O 为AC 的中点， ∴OA ＝OC.在△OAE 和△OCF 中，⎩⎨⎧∠EAO ＝∠FCO ，OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ，∴△OAE ≌△OCF(ASA )． ∴OE ＝OF.同理可证得OG ＝OH.∴四边形EGFH 是平行四边形．周周练(18.1)(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题 4分，共32分)1．下面的性质中，平行四边形不一定具有的是(A )A ．对角互补B ．邻角互补C ．对角相等D ．对边相等2．平行四边形的周长为24 cm ，相邻两边的差为2 cm ，则平行四边形的各边长为(B )A ．4 cm ，8 cm ，4 cm ，8 cmB ．5 cm ，7 cm ，5 cm ，7 cmC ．5.5 cm ，6.5 cm ，5.5 cm ，6.5 cmD ．3 cm ，9 cm ，3 cm ，9 cm3．下列说法错误的是(D)A ．对角线互相平分的四边形是平行四边形B ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C ．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D ．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 4．(2017·丽水)如图，在▱ABCD 中，连接AC ，∠B ＝∠CAD ＝45°，AB ＝2，则BC 的长是(C)A. 2B ．2C ．2 2D ．4第4题图第5题图5．(2016·株洲)如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC ，BD 交于点O ，E 是BC 的中点，以下说法错误的是(D)A ．OE ＝12DCB ．OA ＝OCC ．∠BOE ＝∠OBAD ．∠OBE ＝∠OCE6．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点E ，∠CBD ＝90°，BC ＝4，BE ＝ED ＝3，AC ＝10，则四边形ABCD 的面积为(D )A ．6B ．12C ．20D ．247．在▱ABCD 中，AD ＝8，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，DF 平分∠ADC 交BC 于点F ，且EF ＝2，则AB 的长为(D)A ．3B ．5C ．2或3D ．3或58．如图，点A ，B 为定点，定直线l ∥AB ，P 是l 上一动点，点M ，N 分别为PA ，PB 的中点，对下列各值：①线段MN 的长；②△PAB 的周长；③△PMN 的面积；④直线MN ，AB 之间的距离；⑤∠APB 的大小．其中会随点P 的移动而变化的是(B )A．②③B．②⑤C．①③④D．④⑤二、填空题(每小题4分，共24分)9．如图所示，在▱ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连接DE，EF，FB，则图中共有4个平行四边形．第9题图第10题图10．(2016·江西)如图所示，在▱ABCD中，∠C＝40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为50°．11．(2016·河南)如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1＝20°，则∠2的度数是110°．12．在▱ABCD中，AB，BC，CD的长度分别为2x＋1，3x，x＋4，则▱ABCD的周长是32．13．如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB∥CD，请添加一个条件答案不唯一，如：AB＝CD(写一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形．第13题图第14题图14．(2017·河池)如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG，若AD＝5，DE＝6，则AG的长是8．三、解答题(共44分)15．(10分)(2017·山西)已知：如图，在▱ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE＝DF.连接EF，与对角线AC交于点O.求证：OE＝OF.证明：证法一：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.∵BE＝DF，∴AB＋BE＝CD＋DF，即AE＝CF.∵AB∥CD，∴AE∥CF.∴∠E＝∠F.又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF(AAS)．∴OE＝OF.证法二：连接AF，CE.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD.∵BE ＝DF ，∴AB ＋BE ＝CD ＋DF ，即AE ＝CF. ∵AB ∥CD ，∴AE ∥CF.∴四边形AECF 是平行四边形．∴OE ＝OF.16．(10分)(2016·黄冈)如图，在▱ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，对角线AC 分别交BE ，DF 于点G ，H.求证：AG ＝CH.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ，AD ∥BC.∴∠HCF ＝∠GAE.又∵E ，F 分别是边AD ，BC 的中点， ∴AE ＝FC ，DE ＝BF.又∵DE ∥BF ，∴四边形BFDE 是平行四边形． ∴∠BED ＝∠BFD.∴∠AEG ＝∠CFH. 在△AGE 和△CHF 中，⎩⎨⎧∠GAE ＝∠HCF ，AE ＝CF ，∠AEG ＝∠CFH ，∴△AGE ≌△CHF(ASA )．∴AG ＝CH.17．(12分)已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E ，F ，G 分别是AD ，BC ，BD 的中点，GH 平分∠EGF 交EF 于点H.(1)猜想：GH 与EF 间的关系是GH 垂直平分EF ； (2)证明你的猜想．证明：∵E ，G 分别是AD ，BD 的中点， ∴EG ＝12AB.∵F ，G 分别是BC ，BD 的中点， ∴GF ＝12CD.∵AB ＝CD ， ∴EG ＝GF.又∵GH 平分∠EGF ， ∴GH 垂直平分EF.18．(12分)如图1，在▱ABCD 中，∠ABC ，∠ADC 的平分线分别交AD ，BC 于点E ，F.(1)求证：四边形EBFD 是平行四边形； (2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索．连接AF ，CE ，分别交BE ，FD 于点G ，H ，得到四边形EGFH.此时，他猜想四边形EGFH 是平行四边形，请在框图(图2)中补全他的证明思路．图1小明的证明思路由(1)可知BE ∥DF ，要证明四边形EGFH 是平行四边形，只需证GF ∥EH ．由(1)可证ED ＝BF ，则AE ＝FC ，又由AE ∥CF ，故四边形AFCE 是平行四边形，从而可证得四边形EGFH 是平行四边形．图2证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，∠ABC ＝∠ADC ，AD ＝BC. ∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠EBC ＝12∠ABC.∵DF 平分∠ADC ，∴∠ADF ＝∠CDF ＝12∠ADC.∴∠EBC ＝∠ADF.∵AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠EBC. ∴∠AEB ＝∠ADF. ∴EB ∥DF. 又∵ED ∥BF ，∴四边形EBFD 是平行四边形．18.2特殊的平行四边形18．2.1矩形第1课时矩形的性质01基础题知识点1矩形的性质1．下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是(C)A．对边相等B．对角相等C．对角线相等D．对边平行2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是(D)A．∠ABC＝90°B．AC＝BDC．OA＝OB D．OA＝AD第2题图第3题图3．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是(C) A．8 B．6 C．4 D．24．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为(B) A．30°B．60°C．90°D．120°第4题图第5题图5．(2017·怀化)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝6 cm，则AB的长是(A)A．3 cm B．6 cmC．10 cm D．12 cm6．如果矩形的一边长为6，一条对角线的长为10，那么这个矩形的另一边长是8．7．如图，已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，若AO＝1，则BD＝2．第7题图第8题图8．(2016·昆明)如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB＝6，BC＝8，则四边形EFGH的面积是24．9．(2016·岳阳)已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE＝CF，EF⊥DF.求证：BF＝CD.证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝∠C＝90°.∴∠BFE＋∠BEF＝90°.∵EF ⊥DF ，∴∠DFE ＝90°.∴∠BFE ＋∠CFD ＝90°. ∴∠BEF ＝∠CFD .在△BEF 和△CFD 中，⎩⎨⎧∠BEF ＝∠CFD ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C ，∴△BEF ≌△CFD (ASA)．∴BF ＝CD .知识点2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半10．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10 cm ，D 为AB 的中点，则CD ＝5cm .第10题图第11题图11．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，若CD ＝5 cm ，则EF ＝5cm .12．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，AH 是高，如果ED ＝5 cm ，求HF 的长.解：由题意得：DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ＝12AC .∵HF 是Rt △AHC 的斜边AC 的中线， ∴HF ＝12AC .∴HF ＝DE ＝5 cm.02 中档题 13．(2016·荆门)如图，在矩形ABCD 中(AD>AB)，点E 是BC 上一点，且DE ＝DA ，AF ⊥DE ，垂足为点F.在下列结论中，不一定正确的是(B)A ．△AFD ≌△DCEB ．AF ＝12ADC ．AB ＝AFD ．BE ＝AD －DF第13题图第14题图14．(2016·绵阳)如图，▱ABCD 的周长是26 cm ，对角线AC 与BD 交于点O ，AC ⊥AB ，E 是BC 中点，△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ，则AE 的长度为(B)A ．3 cmB ．4 cmC ．5 cmD ．8 cm15．如图，已知在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE ⊥BD 于点E ，若∠DAE ∶∠BAE ＝3∶1，则∠EAC 的度数是(C )A ．18°B ．36°C ．45°D ．72°第15题图第16题图16．(2016·宜宾)如图，点P 是矩形ABCD 的边AD 上的一动点，矩形的两条边AB ，BC 的长分别是6和8，则点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是(A )A ．4.8B ．5C ．6D ．7.2 17．(2017·广西四市同城)如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 在BD 上，BE ＝DF.(1)求证：AE ＝CF ；(2)若AB ＝6，∠COD ＝60°，求矩形ABCD 的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ＝BD ，∠ABC ＝90°. ∵BE ＝DF ，∴OE ＝OF . 在△AOE 和△COF 中，⎩⎨⎧OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ，OE ＝OF ，∴△AOE ≌△COF (SAS)． ∴AE ＝CF .(2)∵OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ＝BD ，∴OA ＝OB . ∵∠AOB ＝∠COD ＝60°， ∴△AOB 是等边三角形．∴OA ＝AB ＝6.∴AC ＝2OA ＝12.在Rt △ABC 中，BC ＝AC 2－AB 2＝63，∴S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝6×63＝36 3.18．如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，延长CB 到点E ，使BE ＝BC ，连接AE.求证：(1)四边形ADBE 是平行四边形；(2)若AB ＝4，OB ＝52，求四边形ADBE 的周长．证明：(1)∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AD＝BC.又∵BE＝BC，且点C，B，E在一条直线上，∴AD∥BE，AD＝BE.∴四边形ADBE是平行四边形．(2)∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝90°，OB＝OD.∴BD＝2OB＝5.在Rt△BAD中，AD＝52－42＝3.又∵四边形ADBE为平行四边形，∴BE＝AD＝3，AE＝BD＝5.03综合题19．如图，将长8 cm，宽4 cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，则折痕EF的长为.习题解析第2课时矩形的判定01基础题知识点1有一个角是直角的平行四边形是矩形1．下列说法正确的是(D)A．有一组对角是直角的四边形一定是矩形B．有一组邻角是直角的四边形一定是矩形C．对角线互相平分的四边形是矩形D．对角互补的平行四边形是矩形2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形，求证：四边形ADBE 是矩形．解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.又∵四边形ADBE是平行四边形，∴四边形ADBE是矩形．3．(2016·内江)如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF.(1)求证：D是BC的中点；(2)若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．解：(1)证明：∵AF∥BC，∴∠AFC＝∠FCB.又∵∠AEF＝∠DEC，AE＝DE，∴△AEF≌△DEC(AAS)．∴AF＝DC.又∵AF＝BD，∴BD＝DC，即D是BC的中点．(2)四边形AFBD是矩形．证明：∵AF∥BC，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形．∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°.∴四边形AFBD是矩形．知识点2对角线相等的平行四边形是矩形4．能判断四边形是矩形的条件是(C)A．两条对角线互相平分B．两条对角线相等C．两条对角线互相平分且相等D．两条对角线互相垂直5．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，AC＝BD.试添加一个条件答案不唯一，如：AB ∥CD ，使四边形ABCD 为矩形．6．如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，点E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点，请问四边形EFGH 是矩形吗？请说明理由．解：四边形EFGH 是矩形．理由：∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝BD ，AO ＝CO ，BO ＝DO.∴AO ＝CO ＝BO ＝DO.∵点E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点， ∴EO ＝FO ＝GO ＝HO.∴OE ＝OG ，OF ＝OH. ∴四边形EFGH 是平行四边形．又∵EO ＋GO ＝FO ＋HO ，即EG ＝FH ，∴四边形EFGH 是矩形．知识点3 有三个角是直角的四边形是矩形7．已知O 为四边形ABCD 对角线的交点，下列条件能使四边形ABCD 成为矩形的是(D )A ．OA ＝OC ，OB ＝OD B ．AC ＝BD C ．AC ⊥BDD ．∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDA ＝90°8．已知：如图，在▱ABCD 中，AF ，BH ，CH ，DF 分别是∠BAD ，∠ABC ，∠BCD ，∠ADC 的平分线．求证：四边形EFGH 为矩形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠DAB ＋∠ADC ＝180°.∵AF ，DF 分别平分∠DAB ，∠ADC ， ∴∠FAD ＝∠BAF ＝12∠DAB ，∠ADF ＝∠CDF ＝12∠ADC.∴∠FAD ＋∠ADF ＝90°.∴∠AFD ＝90°. 同理可得：∠BHC ＝∠HEF ＝90°. ∴四边形EFGH 是矩形． 02 中档题9．以下条件不能判定四边形ABCD 是矩形的是(D )A．AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90°B．OA＝OB＝OC＝ODC．AB＝CD，AB∥CD，AC＝BDD．AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD10．(2016·菏泽)在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论：①AC＝5；②∠A＋∠C ＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD，正确的有(B)A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④11．如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是(A)A．2 3 B．3 3C．4 D．4 3第11题图第12题图12．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD 的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为12．13．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，F为DC上一点，且FC＝AB，E为AD上一点，EC交AF于点G.(1)求证：四边形ABCF是矩形；(2)若ED＝EC，求证：EA＝EG.证明：(1)∵AB∥DC，FC＝AB，∴四边形ABCF是平行四边形．又∵∠B＝90°，∴四边形ABCF是矩形．(2)∵四边形ABCF是矩形，∴∠AFC＝∠AFD＝90°.∴∠DAF＝90°－∠D，∠CGF＝90°－∠ECD.∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD.∴∠DAF＝∠CGF.又∵∠EGA＝∠CGF，∴∠DAF＝∠EGA.∴EA＝EG.14．如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使AB＝BE，连接BD，DE，EC，DE交BC于点O.(1)求证：△ABD≌△BEC；(2)若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．证明：(1)∵在▱ABCD 中，AD ＝BC ，AB ＝CD ，AD ∥CB ， ∴∠A ＝∠EBC.在△ABD 和△BEC 中，⎩⎨⎧AB ＝BE ，∠A ＝∠EBC ，AD ＝BC ，∴△ABD ≌△BEC(SAS )．(2)∵在▱ABCD 中，AB ∥ CD ，且AB ＝BE ， BE ∥CD.∴四边形BECD 为平行四边形． ∴OB ＝12BC ，OE ＝12ED.∵∠BOD ＝2∠A ＝2∠EBC ，且∠BOD ＝∠EBC ＋∠BEO ，∴∠EBC ＝∠BEO.∴OB ＝OE.∴BC ＝ED. ∴四边形BECD 是矩形．03 综合题15．如图，在△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过O 作直线MN ∥BC.设MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F.(1)求证：OE ＝OF ；(2)若CE ＝12，CF ＝5，求OC 的长；(3)当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由．视频讲解解：(1)证明：∵CF 平分∠ACD ，且MN ∥BD ， ∴∠ACF ＝∠FCD ＝∠CFO. ∴OF ＝OC.同理可证：OC ＝OE. ∴OE ＝OF.(2)由(1)，知∠OCF ＝∠OFC ，∠OCE ＝∠OEC ， ∴∠OCF ＋∠OCE ＝∠OFC ＋∠OEC.∵(∠OCF ＋∠OCE)＋(∠OFC ＋∠OEC)＝180°， ∴∠ECF ＝∠OCF ＋∠OCE ＝90°. ∴EF ＝CE 2＋CF 2＝122＋52＝13. 又∵OE ＝OF ， ∴OC ＝12EF ＝132.(3)当点O 移动到AC 中点时，四边形AECF 为矩形．理由：连接AE ，AF.当点O 移动到AC 中点时，OA ＝OC ，。

初中数学之第十八章平行四边形的判定

1第十八章：平行四边形 18.1.2 平行四边形的判定（第二课时）知识清单1、两组对角的四边形是平行四边形；2、两组对边或的四边形是平行四边形；3、对角线的四边形是平行四边形．4、一组对边的四边形是平行四边形．失分警示1.一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形.（）理由：2.两组邻角相等的四边形是平行四边形.（）理由：课堂练习1.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是( )A.一组对边平行，另一组对边相等B.一组对边平行，一组对角相等C.一组对边平行，一组邻角互补D.一组对边相等，一组邻角相等 2.如图，EF 过□ABCD 的对角线的交点O ，交AD 于E ，交BC 于F ，若AB ＝4，BC ＝5，OE ＝1.5，那么四边形EFCD 的周长是( )A.16B.14C.12D.10 3.两直角边不等的两个全等的直角三角形能拼成平行四边形的个数( ) A.4 B.3 C.2 D.14.过不在同一直线上的三点，可作平行四边形的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个D.4个 5.一个四边形的边长依次为a ，b ，c ，d ，且a 2+b 2+c 2+d 2＝2ac+2bd ，则这个四边形是 .6. □ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，∠B ，∠C 的平分线交AD 于E 、F ，则EF ＝ .百秒抢答(1)相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形； ( )(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ( )(3)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ( )(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ( )(5)对角线相等的四边形是平行四边形； ( )家庭作业必做题：1．下列不能判定一个四边形是平行四边形的是( )A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形C.一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形D.对角线互相平分的四边形是平行四边形2.平行四边形ABCD 的周长32,5AB=3BC,则对角线AC 的取值范围为( )A. 6<AC<10B. 6<AC<16C. 10<AC<16D. 4<AC<163．下列条件中，不能判定四边形ABCD 为平行四边形的条件是( )A.∠A=∠D ，∠B=∠CB.AB=CD ，AD=BCC.AB 平行且等于CDD.AB=AD ，BC=CD4．四边形ABCD 中，分别给出以下条件：①AB ∥CD ；②AB=CD ；③AD ∥BC ；④AD=BC ；⑤∠A=∠C ．则下列条件组合中，不能判定四边形ABCD 为平行四边形的是( )A.①②B.①④C.①③D.①⑤5．平行四边形ABCD 中，∠C=∠B+∠D ，则∠A= ．6．在平行四边形ABCD 中，∠A 的平分线交BC 于E ，若AB=10cm ，AD=12cm ，则EC= ．7．如图，已知E ，F ，G ，H 分别是平行四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且AE=CG ，BF=DH 求证：四边形EFGH 是平行四边形．8．如图，在平行四边形ABCD 中，已知点E 在AB 上，点F 在CD 上，且AE=CF ．求证：DE=BF ．1．如图，已知E、F分别是平行四边形ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．求证：四边形AECF是平行四边形．习题答案课堂练习答案1.B2.C3.B4.C5.平行四边形6.1必做答案1．C 2．D 3．D 4．B 5．120°．6．2cm7．证明：在平行四边形ABCD中，∠A=∠C（平行四边形的对边相等）；又∵AE=CG，AH=CF（已知），∴△AEH≌△CGF（SAS），∴EH=GF（全等三角形的对应边相等）；在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC（平行四边形的对边相等），∴AB﹣AE=CD﹣CG，AD﹣AH=BC﹣CF，即BE=DG，DH=BF．又∵在平行四边形ABCD中，∠B=∠D，∴△BEF≌△DGH；∴GH=EF（全等三角形的对应边相等）；∴四边形EFGH是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．8.证明∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD．∵AE=CF．∴BE=FD，BE∥FD∴四边形EBFD是平行四边形，∴DE=BF．选做答案1.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴AF∥EC，∵BE=DF，∴AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形．。