材料力学第9章--梁挠度和刚度计算

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材料力学简明教程(景荣春)课后答案第九章

解设各杆与铅垂线夹角为 θ ，则由平衡的各杆的受力
130
3FN cosθ = F ， FN =
设钢管材料为 Q235，则
F F 2 .5 5 F = ⋅ = = 0.417 F 3 cos θ 3 2 12
= 269 > λp D2 + d 2 30 2 + 22 2 × 10 −3 π 2 EI π 3 E (D 4 − d 4 ) π 3 × 210 × 10 9 × (30 2 − 22 2 )× 10 −12 Fcr = = = = 9.37 kN 2 64 × 2.5 2 (μl )2 64(μl ) Fcr F 1 1 9.37 × 10 3 [F ] = = × = × = 7.49 kN 0.417 0.417 [n]st 0.417 3 i = =
2
127
比值差不多时较有利。 9-8 从稳定性的角度考虑，一般压杆截面的周边取圆形较为合理，但可以是空心或实心的。如规定压杆横截面面积相同，则： (1) 从强度方面看，它们有无区别？为什么？ (2) 从稳定性方面看，哪一种截面形式较为合理？为什么？ (3) 如果空心圆形截面较合理的话，是否其内、外半径越大越好？答 (1) 从强度方面看，它们无区别。因为 σ = F / A 。 (2) 从稳定性方面看，空心截面形式较为合理，因空心截面惯性矩较大。 (3) 如果空心圆形截面较合理的话，其内、外半径不是越大越好，因为在面积一定的情况下，内、外半径太大了会造成薄壁失稳。 9-9 如何进行压杆的合理设计？答（1）选择合理的截面形状；（2）改变压杆的约束条件；（3）合理选择材料。 9-10 满足强度条件的等截面压杆是否满足稳定性条件？满足稳定性条件的压杆是否满足强度条件？为什么？答（1）因为强度条件是 σ < [σ ] =

第9章__梁的挠度和刚度计算

第9章__梁的挠度和刚度计算在结构分析中，梁的挠度和刚度是非常重要的参数，它们能够帮助我们了解和评估梁的性能和稳定性。

本章主要介绍了梁的挠度和刚度的计算方法。

首先，我们需要了解梁的挠度是什么。

简单来说，梁的挠度指的是梁在承受荷载时的弯曲和垂直变形程度。

挠度大小反映了梁的柔软性和变形能力，对于结构工程来说，挠度必须在允许范围内，以保证结构的安全和稳定。

梁的挠度计算可以通过简化的工程解析方法或者数值计算方法来进行。

这里主要介绍两种常用的方法。

第一种方法是基于简化的工程解析方法，即梁的挠度计算公式。

根据梁的几何形状和受力情况，可以得到不同类型梁的挠度计算公式。

例如，对于简支梁，其挠度可以用以下公式计算：δ=(5*q*L^4)/(384*E*I)其中，δ是梁的最大挠度，q是梁的单位长度荷载，L是梁的长度，E是梁的弹性模量，I是梁的截面惯性矩。

对于其他类型的梁，如悬臂梁、连续梁等，也有相应的挠度计算公式。

通过这些公式可以得到梁的最大挠度。

第二种方法是使用数值计算方法，主要是有限元法。

有限元法是一种通过将结构分割成若干小单元，然后进行位移解和力学分析的方法。

通过有限元软件，可以模拟梁在荷载作用下的变形情况，并得到挠度的数值解。

此外，在梁的挠度计算中，还需要考虑梁的边界条件。

梁的边界条件决定了梁的约束程度，也会影响梁的挠度大小。

常见的边界条件包括简支、悬臂、固支等。

在梁的刚度计算中，主要考虑的是梁的弯曲刚度和剪切刚度。

弯曲刚度指的是梁在弯曲过程中对外力的抵抗能力，可以用弯矩-曲率关系来表示。

剪切刚度指的是梁在受剪力作用下的变形能力，可以用剪力-变形关系来表示。

梁的弯曲刚度和剪切刚度分别可以通过以下公式计算：弯曲刚度：EI=M/θ剪切刚度：GA=T/ϕ其中，E是梁的弹性模量，I是梁的截面惯性矩，G是梁的剪切模量，A是梁的横截面积，M是梁的弯矩，θ是梁的曲率，T是梁的剪力，ϕ是梁的剪应变。

通过计算弯曲刚度和剪切刚度，我们可以评估梁在荷载作用下的响应和变形情况，进一步判断结构的性能和稳定性。

材料力学梁的挠度和刚度计算课件

桥梁刚度
桥梁刚度反映了桥梁结构抵抗变形的能力。刚度计算可以帮助工程师了解桥梁在不同载荷作用下的变形情况，从而优化结构设计，提高桥梁的承载能力和稳定性。
梁的挠度和刚度在房屋建筑中的应用
房屋挠度
在房屋建筑中，挠度对建筑物的安全性和稳定性具有重要影响。通过计算和分析挠度，可以确保建筑物在使用过程中不会发生过大的弯曲和变形，从而保证居住者的安全。
泊松比与挠度
泊松比是衡量材料横向变形能力的参数。泊松比越大，梁在受到压力时横向变形越大，导致挠度增加。
剪切模量与刚度
剪切模量反映了材料抵抗剪切应力的能力。剪切模量大的材料具有较大的刚度，能够更好地抵抗变形。
材料的弹性模量对挠度和刚度的影响
01
弹性模量与挠度
弹性模量是衡量材料抵抗弹性变形能力的参数。弹性模量越大，梁在受
03
梁的挠度计算方法
挠度的计算公式
挠度计算公式：$y = frac{Fl^4}{48EI}$
$I$：梁的惯性矩 $E$：材料的弹性模量
$F$：施加在梁上的力 $l$：梁的长度
挠度的计算步骤
确定施加在梁上的力 $F$和梁的长度$l$。
将已知数值代入挠度计算公式进行计算。
确定材料的弹性模量 $E$和梁的惯性矩$I$ 。
材料的泊松比对挠度和刚度的影响
泊松比与横向变形
泊松比描述了材料在受到压力时横向变形的程度。泊松比越大，横向变形越明显，这可能对梁的挠度和刚度产生影响。
泊松比与交叉应力
在分析梁的挠度和刚度时，需要考虑由于泊松比引起的交叉应力效应。这种效应会影响梁的剪切力和弯矩分布，从而影响挠度和刚度。
泊松比与材料非线性的考虑
梁的刚度定义
刚度

第9章钢筋混凝土构件的变形、裂缝及混凝土结构的耐久性习题答案

第9章钢筋混凝土构件的变形和裂缝9.1选择题1．下面的关于受弯构件截面弯曲刚度的说明错误的是（ D ）。

A ．截面弯曲刚度随着荷载增大而减小；B ．截面弯曲刚度随着时间的增加而减小；C ．截面弯曲刚度随着变形的增加而减小；D ．截面弯曲刚度不变；2．钢筋混凝土构件变形和裂缝验算中关于荷载、材料强度取值说法正确的是（B ）。

A ．荷载、材料强度都取设计值；B ．荷载、材料强度都取标准值；C ．荷载取设计值，材料强度都取标准值；D ．荷载取标准值，材料强度都取设计值；3．钢筋混凝土受弯构件挠度计算公式正确的是（ D ）。

A ．sk B l M S f 2=；B ．B l M S f k 2=；C ．sq B l M S f 2=；D ．B l M S f q 2=；4．下面关于短期刚度的影响因素说法错误的是（ B ）。

A ．ρ增加，sB 略有增加；B ．提高混凝土强度等级对于提高s B 的作用不大；C ．截面高度对于提高s B 的作用的作用最大；D ．截面配筋率如果满足承载力要求，基本上也可以满足变形的限值；5．《混凝土结构设计规范》定义的裂缝宽度是指：（ B ）。

A ．受拉钢筋重心水平处构件底面上混凝土的裂缝宽度；B ．受拉钢筋重心水平处构件侧表面上混凝土的裂缝宽度；C ．构件底面上混凝土的裂缝宽度；D ．构件侧表面上混凝土的裂缝宽度；6．减少钢筋混凝土受弯构件的裂缝宽度，首先应考虑的措施是（ A ）。

A ．采用直径较细的钢筋；B ．增加钢筋的面积；C ．增加截面尺寸；D．提高混凝土强度等级；7．混凝土构件的平均裂缝间距与下列哪个因素无关（ A ）。

A．混凝土强度等级；B．混凝土保护层厚度；C．纵向受拉钢筋直径；D．纵向钢筋配筋率；8．提高受弯构件截面刚度最有效的措施是（ D ）。

A．提高混凝土强度等级；B．增加钢筋的面积；C．改变截面形状；D．增加截面高度；9．关于受弯构件裂缝发展的说法正确的是（ C ）。

《材料力学》第9章压杆稳定习题解

第九章压杆稳定习题解之马矢奏春创作[习题9-1]在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆, 按图a所示坐标系及挠度曲线形状, 试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲线形状时,用下的挠曲线微分方程是否与图a情况下的相同,式又是否相同.解：挠曲线微分方程与坐标系的y轴正向规定有关, 与挠曲线的位置无关.因为（b）图与（a）图具有相同的坐标系, 所以它们的挠曲线微分方程相同, 都是（c）、(d)的坐标系相同, 它们具有相同的挠曲显然, 这微分方程与（a）的微分方程分歧.临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两真个支领情况有关, 与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关.因此, 以上四种情形的临界力具有相同的公式,[习题9-2]图示各杆资料和截面均相同, 试问杆能接受的压力哪根最年夜, 哪根最小（图f所示杆在中间支承处不能转动）？解：由这公式可知,和截面相同的压杆,平方成反比, 其中.（a（b（c（d（e（f故图e, 图f.[习题9-3]图a,b所示的两细长杆均与基础刚性连接, 但第一根杆（图a）的基础放在弹性地基上,刚性地基上.2.螺旋千斤顶（图c）的底座对丝杆（起顶杆）的稳定性有无影响？校核丝杆稳定性时, 把它看作下端固定（固定于底座解：临界力与压杆两真个支领情况有关.因为(a)的下支座分歧于(b)的下支座, .(b)为一端固, 其临界力为：可是, (a), 它因此, ., 我们无妨设下支座（B）且无侧向位移, 则：解得：用试算法得：因此, 2.这与弹性支座的转动刚度C有关, C越小, .螺旋千斤顶的底座与空中不是刚性连接, 即不是固定的.它们之间是靠摩擦力来维持相对的静止.当轴向压力不是很年夜, 或空中较滑时, 底座与空中之间有相对滑动, 此时, 不能看作固定端；当轴向压力很年夜, 或空中很粗拙时, 底座与空中之间无相对滑动, 此时, 可以看作是固定端.因此, 校核丝杆稳定性时, 把, 下端为具有一定转动刚度的弹性支座较合适.这种情况.譬因此, , 把它看作下端固定, 而是偏于危险.[习题9-4].[解]：设压杆向右弯曲.压杆处于临界状态时, 两真个竖向反力水平反力为0, 约束反力偶矩两端相等,, 下标end 的意思.若取下截离体为研究对象,逆转.则上述微分方程的通解为：.(a)把A 、B 的值代入（a ）得：因此：[习题9-5]长m 5的10号工字钢, 在温度为C 00时装置在两个固定支座之间, 这时杆不受力.已知钢的线膨胀系数107)(10125--⨯=C l α,GPa E 210=.试问当温度升高至几多度时, 杆将丧失稳定性？解：[习题9-6]两根直径为d 的立柱, 上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接, 如图所示.试根据杆真个约束条件, 分析在总压力F 作用下, 立柱可能发生的几种失稳形态下的挠曲线形状, 分别写出对应的总压力F 之临界值的算式（按细长杆考虑）, 确定最小临界力cr P 的算式.解：在总压力F 作用下, 立柱微弯时可能有下列三种情况：（a ）每根立柱作为两端固定的压杆分别失稳：（b ）两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在自身平面内失稳失稳时整体在面内弯曲, 则1, 2两杆组成一组合截面.（c ）两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在面外失稳故面外失稳时cr P 最小：243128l Ed P cr π=.[习题9-7]图示结构ABCD 由三根直径均为d 的圆截面钢杆组成, 在B 点铰支, 而在A 点和C 点固定, D为铰接点, π10=d l .若结构由于杆件在平面ABCD 内弹性失稳而丧失承载能力, 试确定作用于结点D 处的荷载F 的临界值.解：杆DB 为两端铰支, 杆DA 及DC 为一端铰支一端固定, 选取.此结构为超静定结构, 当杆DB 失稳时结构仍能继续承载, 直到杆AD 及DC 也失稳时整个结构才丧失承载能力, 故[习题9-8]图示铰接杆系ABC 由两根具有相同截面和同样资料的细长杆所组成.若由于杆件在平面ABC 内失稳而引起毁坏, 试确定荷载F 为最年夜时的θ角（假设20πθ<<）.解：要使设计合理, 必使AB 杆与BC 杆同时失稳,即：[习题9-9]下端固定、上端铰支、长m l 4=的压杆, 由两根10号槽钢焊接而成, 如图所示, 并符合钢结构设计规范中实腹式b 类截面中心受压杆的要求.已知杆的资料为Q235钢, 强度许用应力MPa 170][=σ, 试求压杆的许可荷载.解：查型钢表得：[习题9-10]如果杆分别由下列资料制成：（1）比例极限MPa P 220=σ, 弹性模量GPa E 190=的钢；（2）MPa P 490=σ, GPa E 215=, 含镍3.5%的镍钢；（3）MPa P 20=σ, GPa E 11=的松木.试求可用欧拉公式计算临界力的压杆的最小柔度.解：（1）（2）（3）[习题9-11]两端铰支、强度品级为TC13的木柱, 截面为150mm ×150mm 的正方形, 长度m l 5.3=, 强度许用应力MPa 10][=σ.试求木柱的许可荷载.解：由公式（9-12a ）：[习题9-12]图示结构由钢曲杆AB 和强度品级为TC13的木杆BC 组成.已知结构所有的连接均为铰连接, 在B 点处接受竖直荷载kN F 3.1=, 木材的强度许用应力MPa 10][=σ.试校核BC 杆的稳定性.解：把BC 杆切断, 代之以轴力N,则由公式（9—12b ）得：因为st ][σσ<, 所以压杆BC 稳定.[习题9-13]一支柱由4根mm mm mm 68080⨯⨯的角钢组成（如图）, 并符合钢结构设计规范中实腹式b 类截面中心受压杆的要求.支柱的两端为铰支, 柱长m l 6=, 压力为kN 450.若资料为Q235钢, 强度许用应力MPa 170][=σ,试求支柱横截面边长a 的尺寸.解：（查表：,） , 查表得：Am 4 =mm[习题9-14]某桁架的受压弦杆长4m,由缀板焊成一体, 并符合钢结构设计规范中实腹式b 类截面中心受压杆的要求, 截面形式如图所示, 资料为Q235钢, MPa 170][=σ.若按两端铰支考虑, 试求杆所能接受的许可压力.解：由型钢表查得角钢：得查表：故[习题9-15]图示结构中, BC 为圆截面杆, 其直径mm d80=；AC 边长mm a 70=的正方形截面杆.已知该结构的约束情况为A 端固定, B 、C 为球形铰.两杆的资料均为Q235钢, 弹性模量GPa E 210=, 可各自自力发生弯曲互不影响.若结构的稳定平安系数5.2=st n , 试求所能接受的许可压力.解：BC 段为两端铰支, 1=μ AB 杆为一端固定, 一端铰支, 7.0=μ故kN F 376][=[习题9-16]图示一简单托架, 其撑杆AB 为圆截面木杆, 强度品级为TC15.若架上受集度为的均布荷载作用, AB 两端为柱形铰, 资料的强度许用应力, 试求撑杆所需的直径d . 解：取m m -以上部份为分离体, 由, 有设, m 则求出的与所设基秘闻符, 故撑杆直径选用m.[习题9-17]图示结构中杆AC 与CD 均由Q235钢制成, C , D 两处均为球铰.已知mm, mm, mm ；,, ；强度平安因数, 稳定平安因数.试确定该结构的许可荷载.解：（1）杆CD 受压力3F F CD = 梁BC 中最年夜弯矩32F M B =（2）梁BC 中（3）杆CD（Q235钢的)100=P λ =（由梁力矩平衡得）故, 由（2）、（3）可知, kN F 5.15][=[习题9-18] 图示结构中, 钢梁AB 及立柱CD 分别由16号工字钢和连成一体的两根mm mm mm 56363⨯⨯角钢组成, 杆CD 符合钢结构设计规范中实腹式b 类截面中心受压杆的要求.均布荷载集度m kN q /48=.梁及柱的资料均为Q235钢, MPa 170][=σ,GPa E 210=.试验算梁和立柱是否平安.解：（1）求过剩约束力CD F把CD 杆去失落, 代之以约束反力CD F .由变形协调条件可知,查型钢表得：16号工字钢的41130cm I z =, 3141cm W z =mm mm mm 56363⨯⨯L 形角钢的面积：2143.6cm A =, 417.23cm I z =, cm i z 94.1=（2）梁的强度校核)(8165.36kN R B = （↑）AC 段：x x Q 488165.36)(-=；2248165.36)(x x x M -=令 0488165.36)(=-=x x Q , 得：那时m x 767.0=,创作时间：二零二一年六月三十日创作时间：二零二一年六月三十日 CBx0 1 2 3 4 M 0.000 14.119 12.817 -22.367 12.817 14.119 0.000所以符合正应力强度条件, 即平安.（3）立桩的稳定性校核而且所以压杆会失稳.不服安.。

材料力学——第9章(平面弯曲杆件的变形与刚度计算)

a
A
x1
F C
b
Fa l
当 a＞b 时——
6lEI
B
max
x2
Fab( l a ) max B 6lEI 当 a＞b 时——最大挠度发生在AC段
0 x l 2 b2 3 a( a 2b ) 3
xa
最大挠度一定在左侧段
x x
max 1
2 Fb 1 ( x x ) ( l b 2 )3 9 3 EIl
19
Fb l
讨论：1、此梁的最大挠度和最大转角。左 1 max 1 0 x1 0 右 2 max 2 0 x 2 l 侧侧 Fab( l b ) Fab( l a ) 段： 1 max A 段： 2 max B 6lEI
§9-1 挠曲线挠度和转角
§9-2 挠曲线的近似微分方程
§9-3 积分法求梁的变形 §9-4 叠加法求梁的变形 §9-5 梁的刚度条件与合理刚度设计 §9-6 用变形比较法解简单超静定梁
1
研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。研究目的：①对梁作刚度校核； ②解超静定梁（为变形几何条件提供补充方程）。
式中，C1、D1是积分常数，可通过梁的边界条件（支座的约束条件）确定。
梁上有集中力、集中力偶以及间断性分布荷载作用时，弯矩方程需分段写出，各梁段的挠曲线近似微分方程也不同。积分常数还要利用连续性条件，才能求出。 7
二、位移边界条件
A F C B F D
支座位移条件： A 0 B 0 Nhomakorabea

18
⑸跨中点挠度及两端端截面的转角

x L 2

材料力学-第9章能量法

材料力学里的虚功原理：变形体受力处于平衡状态时，外力在虚位移上所作的功（外力虚功）等于内力在虚变形上作的功（内力虚功）
外力q在虚位移上作功
q

=
应力在虚应变上作用 * 若外力虚功不等于内力虚功，则外力作功未完全转化为结构应变能，受力不平衡
材料力学－第9章能量法
§9-3 虚功原理、内力虚功
材料力学－第9章能量法
§9-1 功与应变能的基本概念
轴向拉压
dx
对于拉伸和压缩杆件，微段的应变能为
FN
FN
dVε
1 FN d 2
Vε＝
dx+dδ
l 1 l 1 l 1 F 1 FN d FN dx FN dx FN N dx 0 2 0 2 0 2 0 2 E EA l
材料力学－第9章能量法
§9-2 互等定理
思考题：
根据功的互等定理和位移互等定理对下列结构完成等式
?=?
材料力学－第9章能量法
§9-2 互等定理
思考题：
根据功的互等定理和位移互等定理对下列结构完成等式
?=?
材料力学－第9章能量法
§9-2 互等定理
思考题：
根据功的互等定理和位移互等定理对下列结构完成等式
?=?
材料力学－第9章能量法
§9-2 互等定理
例题
A
Me
B
l
图示静不定梁，承受弯矩作用。利用功的互等定理确定B端的支反力。设弯曲刚度EI为常数。
材料力学－第9章能量法
§9-2 互定理
解：
Me A B FR M e
将支座B解除，代以支反力FR
。
将力偶Me和支反力FR作为一组力，另外施加力F作为第二组力

材料力学第9章梁的挠度和刚度计算-挠度例题

6 梁的最大挠度：根据对称性
EIwmax
EIw
|l
2
1 24
q
l
4
2
ql 12
l
3
2
ql 3 24
l 2
5ql 2 384EI
7 梁两端的转角
EIq A
EIq
|x0
ql 3 24
EIqB
EIq
|xl
1 6
ql 3
ql 4
l2
ql 3 24
ql 3 24
例9.3 集中力下的简支梁，EI已知，求挠曲线方程
when w1 0
Fb x2 Fb l2 b2 0 2l 6l
x
l2 b2
al b
a a 2b
3
3
3
if a b then x a
Fb
wmax w1( x ) 9 3EIl
l2 b2 2
if a b then x a
wmax
Fl 3 48EI
例、试用积分法求图示梁的转角方程和挠曲线方程，并求
F
x
a 3
EIw1(a) EIw2(a)
积分成数为
D1 D2 0
D1 D2
C2 x D2
C1
C2
Fb 6l
l2 b2
5 梁的转角方程和挠曲线方程
EIw1
Fb 2l
x2
Fb 6l
l2 b2
EIw2
Fb 2l
x2
1 2
F
x
a2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Fb l2 b2 6l
EIw1
Fb 6l
和转角方程，最大挠度及最大转角。 a

材料力学第9章压杆稳定

材料力学
第9章压杆稳定
第9章压杆稳定
材料力学
第9章压杆稳定
第9章压杆稳定
9.1 概述 9.2 细长压杆的临界力 9.3 压杆的临界应力 9.4 压杆的稳定计算 9.5 提高压杆稳定性的措施
小结
材料力学
9.1 概述
第9章压杆稳定
在绪论中曾经指出，当作用在细长杆上的轴向压力达到或超过一定限度时，杆件可能突然变弯，即产生失稳现象。杆件失稳往往产生很大的变形甚至导致系统破坏。因此，对于轴向受压杆件，除应考虑其强度与刚度问题外，还应考虑其稳定性问题。
（4）临界状态的压力恰好等于临界力，而所处的微弯状态称为屈曲模态，临界力的大小与屈曲模态有关。
（5）n=2、3所对应的屈曲模态事实上是不能存在的，除非在拐点处增加支座。这些结论对后面讨论的不同约束情况一样成立。
材料力学
第9章压杆稳定
9.2 细长压杆的临界力
9.2.2 一端固定、一端自由细长压杆的临界力
w xl
coskl 0
材料力学
9.2 细长压杆的临界力
9.2.2 一端固定、一端自由细长压杆的临界力
coskl 0
kl nπ k nπ
2
2l
Fcr
n 2 π 2EI (2l ) 2
n 1,3,5,
取最小值，可得该压杆临界力Fcr的欧拉公式为:
Fcr
π2EI (2l ) 2
第9章压杆稳定
材料力学
第9章压杆稳定
9.2 细长压杆的临界力
计算临界力归结为计算压杆处于微弯状态临界平衡时的平衡方程及荷载值。用静力法计算临界力时应按以下的思路来考虑：（1）细长压杆失稳模态是弯曲，所以弯曲变形必须考虑；（2）假设压杆处在线弹性状态；（3）临界平衡时压杆处于微弯状态，即挠度远小于杆长，于是，梁近似挠曲线的微分方程仍然适用。（4）压杆存在纵向对称面，且在纵向对称面内弯曲变形。

材料力学-梁的挠度 PPT

最大挠度及最大转角
max(a)
Pa2 2EI
a
P
L
x
fmax f(L)6PE2aI3La
f
[例3] 试用积分法求图示梁的挠曲线方程和转角方程，并
求C截面挠度和A截面转角。设梁的抗弯刚度EI为常数。
解：1．外力分析：求支座约束反力。研究梁ABC，受力分析如图，列平衡方程：
m F yA R R A B R l B FF 1 .5 0 l0 R R B A 1 .0 5.F 5F
二、结构形式叠加（逐段刚化法）
2.位移边界条件
P
A
C
B
D
P
支点位移条件：
fA 0 fB 0
连续条件： fC fC
光滑条件：讨论：
C
C
fD 0 D 0
或写 fC 左成 fC 右
或写 C 左成C 右
①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。
②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。
③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条
件）确定。
④优点：使用范围广，直接求出较精确；缺点：计算较繁。
[例1] 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。
解：
P L
建立坐标系并写出弯矩方程
x
x
M (x)P(xL)
f
写出微分方程并积分
应用位移边界条件求积分常数
E f I M (x ) P (L x ) EfI1 2P(Lx)2C1
大家有疑问的，可以询问和交
对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：
EfI (x) M (x)
§7-3 积分法计算梁的位移

第9章梁的挠度和刚度计算

第9章梁的挠度和刚度计算梁的挠度和刚度是结构力学中的重要概念，它们能够帮助我们分析和设计梁结构的性能。

在这一章中，我们将讨论如何计算梁的挠度和刚度。

在梁的分析中，挠度是一个重要参数，用来描述梁在受力后产生的变形。

挠度的大小可以反映梁的刚度，即梁的抵抗变形的能力。

计算梁的挠度可以通过解析方法、数值方法和实验方法来进行。

在解析方法中，梁的挠度可以通过弯曲方程来计算。

对于简支梁的弯曲问题，我们可以使用梁的弯矩方程和挠度方程来计算梁的挠度。

对于集中载荷作用下的梁，挠度方程可以表示为：δ(x)=(F*x^2)/(6*E*I)其中，δ(x)表示距离梁端点x处的挠度，F表示施加在梁上的力，E表示梁的杨氏模量，I表示梁的截面惯性矩。

通过这个方程，我们可以计算任意位置处的梁挠度。

对于均布载荷作用下的梁，挠度方程可以表示为：δ(x)=(w*x^4)/(8*E*I)其中，w表示单位长度上施加的均布载荷。

通过这个方程，我们可以计算任意位置处的梁挠度。

数值方法是另一种计算梁挠度的常用方法，它基于数值近似和积分方法。

其中最常见的方法是有限元法。

有限元法将梁结构划分为许多小单元，并基于这些小单元的形状函数和位移函数来计算梁的挠度。

通过这种方法，我们可以得到梁在各个位置的近似挠度值。

实验方法是第三种计算梁挠度的方法。

这种方法需要在实验室使用悬臂梁等设备对梁结构进行实验。

通过施加不同的载荷并测量梁的变形，我们可以计算出梁在各个位置的挠度。

梁的刚度是另一个重要的参数，它描述了梁结构对于外部载荷的抵抗能力。

刚度通常用弹性系数表示，在梁结构中即为弹性模量。

弹性模量是梁材料的一个物理特性，它越大，则说明梁越硬，更难发生变形。

梁的刚度可以通过弯矩方程和挠度方程来计算。

对于简支梁的弯曲问题，弯矩方程可以表示为：M(x)=(F*x)/L其中，M(x)表示距离梁端点x处的弯矩，F表示施加在梁上的力，L 表示梁的长度。

通过这个方程，我们可以计算任意位置处的梁弯矩。

材料力学第9章梁的挠度和刚度计算

材料力学第9章梁的挠度和刚度计算梁的挠度和刚度计算材料力学第9章引言梁是一种常见的结构元素，在各个工程领域都有广泛的应用。

了解梁的挠度和刚度计算方法对于设计和分析梁的性能至关重要。

本文将介绍材料力学第9章中梁的挠度和刚度计算的相关内容。

1. 梁的挠度计算方法1.1 单点弯曲当梁受到单点弯曲时，可以使用梁的弯曲方程来计算梁的挠度。

梁的弯曲方程可以表达为：δ = (M * L^2) / (2 * E * I)其中，δ为梁的挠度，M为梁的弯矩，L为梁的长度，E为梁的弹性模量，I为梁的截面惯性矩。

1.2 均匀分布荷载当梁受到均匀分布荷载时，梁的挠度计算稍有不同。

可以使用梁的基本方程来计算梁的挠度。

梁的基本方程可以表达为：δ = (q * L^4) / (8 * E * I)其中，δ为梁的挠度，q为梁的均匀分布荷载，L为梁的长度，E为梁的弹性模量，I为梁的截面惯性矩。

2. 梁的刚度计算方法梁的刚度是指梁对外界荷载的抵抗能力。

梁的刚度可以通过计算梁的弯曲刚度和剪切刚度得到。

2.1 弯曲刚度梁的弯曲刚度可以通过梁的截面惯性矩来计算。

弯曲刚度可以表示为：EI = ∫(y^2 * dA)其中，EI为梁的弯曲刚度，y为离梁中性轴的距离，dA为微元面积。

2.2 剪切刚度梁的剪切刚度可以通过梁的截面两点间的剪力和相对位移关系来计算。

剪切刚度可以表示为：GJ = ∫(θ * dA)其中，GJ为梁的剪切刚度，θ为梁的剪切角，dA为微元面积。

3. 示例为了加深对梁的挠度和刚度计算的理解，下面以一根长度为L的梁为例进行计算。

假设梁受到均匀分布荷载q作用，并且梁的截面为矩形截面，梁的宽度为b，高度为h。

根据梁的挠度计算方法，可以得到梁的挠度公式为：δ = (q * L^4) / (8 * E * b * h^3)根据梁的刚度计算方法，可以得到梁的弯曲刚度和剪切刚度公式为： EI = (b * h^3) / 12GJ = (b * h * h^3) / 12通过计算梁的挠度和刚度，可以得到梁的性能参数，进而进行工程设计和分析。

梁的挠度公式

梁的挠度公式
梁的挠度公式是描述材料在作用力下产生的弯曲变形程度的数学公式。

挠度是指材料在受力作用下产生的弯曲变形的程度，即材料在受到扭矩或弯矩作用后的弯曲程度。

梁的挠度公式可以用来计算梁的挠度值。

对于简支梁来说，梁的挠度公式可以表示为：
δ = 5 * q * L^4 / (384 * E * I)
其中，δ是梁的挠度，q是分布载荷，L是梁的长度，E是杨氏模量，I是梁的截面转动惯量。

这个公式的推导基于梁的弯曲理论和力学原理，并假设梁的截面在弯曲时保持平面和线性弹性。

这个公式适用于简支梁，并不适用于其他类型的梁，如悬臂梁或连续梁。

梁的挠度公式在工程设计中具有重要的应用价值。

通过计算梁的挠度，工程师可以评估材料在受力作用下的变形程度，进而确定梁的设计参数，以确保结构的安全性和稳定性。

需要注意的是，梁的挠度公式是基于一些假设和理论前提推导得出的近似解，并不能考虑材料的非线性和复杂载荷情况。

在实际工程中，需要结合实际情况、材料特性和精确计算方法来评估梁的挠度和结构的性能。

总之，梁的挠度公式是描述梁的弯曲变形程度的数学公式，它在工程设计中具有重要的应用价值，但在实际应用中需要结合实际情况进行准确的分析和计算。

第九章：钢筋混凝土构件的裂缝和变形

MK 2 f =S l ––– 钢筋混凝土梁的挠度计算 B
的要求。（3）满足公式: f<[f] 的要求。满足公式:
混凝土结构设计原理
第9章
八.对受弯构件挠度验算的讨论
1.由计算公式可知：截面有效高度的影响最大； 1.由计算公式可知：截面有效高度的影响最大；由计算公式可知 2.配筋率对承载力和挠度的影响：在适筋范围内， 2.配筋率对承载力和挠度的影响：在适筋范围内，提高配筋配筋率对承载力和挠度的影响率能提高承载力，但提高刚度不明显，有时甚至加大挠度；率能提高承载力，但提高刚度不明显，有时甚至加大挠度； 3.跨高比：一般讲，跨度越大则挠度越大；梁高越大， 3.跨高比：一般讲，跨度越大则挠度越大；梁高越大，挠度跨高比越小；可选择适当的跨高比，可控制挠度；越小；可选择适当的跨高比，可控制挠度；减小挠度措施：减小挠度措施：提高刚度的有效措施 h0↑ 或As↑ 增加ρ'
gk+qk A Bmin Bmin(a) (b) Mlmax gk+qk B M Bmin (a) BBmin B1min
+
(b)
混凝土结构设计原理
第9章
七. 挠度计算步骤
（1）根据最小刚度原则确定所求刚度；根据最小刚度原则确定所求刚度；
Mk B = M q ( θ − 1) + M
Bs
k
（2）代入材料力学公式计算挠度；代入材料力学公式计算挠度；
混凝土结构设计原理
第9章
裂缝宽度和变形的验算表达式如下：裂缝宽度和变形的验算表达式如下：的验算表达式如下
主页
SK≤RK 式中: 式中:
…9-1 目录
SK —— 结构构件按荷载效应的标准组合、准永久结构构件按荷载效应的标准组合、组合或标准组合并考虑长期作用影响得到的裂缝宽组合或标准组合并考虑长期作用影响得到的裂缝宽上一章度或变形值；度或变形值；

材料力学-梁的挠度

F 3 Fl 2 x1 x1 12EI 12EI y 2 3 F 3 1 5 Fl Fl 2 3 ( lx2 x2 ) x2 6 6 EI 4 EI EI 4
F 2 Fl 2 (x ) x1 1 1 4 EI 12EI 2 F 3 1 Fl 2 2 ( x2 ) ( lx2 x2 ) EI 2 2 3EI Fl 2 由此可知： A 1 ( x1 0) (逆时针方向 )； 12 EI 3 Fl 3 yC y2 ( x2 l ) (向下) 2 8 EI
二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。
其方程为：v =f (x)
小变形
三、转角与挠曲线的关系：
df tg dx
f
(1)
§7-2
梁的挠曲线近似微分方程
M z ( x) EI z 1
(1)
小变形
3
一、挠曲线 0
f
1
梁的刚度校核

max

1 1 f (对土建工程 : ( ~ )) 250 1000 L
其中[]称为许用转角；[f/L]称为许用挠跨比。通常依此条件进行如下三种刚度计算：、校核刚度：
f
max
L
f L

max

、设计截面尺寸： (对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度
二、结构形式叠加（逐段刚化法）
P
A C
q B
[例4] 按叠加原理求A点转角和C点挠度。解、① 载荷分解如图
a
P A
a
②
由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。
=
B

材料力学9压杆稳定性标准

临界压力计算
Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics
—— 理想铰支中心压杆
问题：
思路：过程倒序
F
Fcr
Fcr
F
Fcr
Q
北京交通大学工程力学研究所汪越胜 Wang Yue-Sheng
1
理想铰支中心压杆
Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics
F w
w
wmax
F
M w
F
F
M = Fw
d2w = − M dx2 EI
= − Fw EI
（小挠度假设）
d2w dx2
+
k
2
w
=
0
⎛ ⎜⎝
k
2
=
F EI
⎞ ⎟⎠
w = Asin kx + B cos kx
（A, B: 积分常数）
北京交通大学工程力学研究所汪越胜 Wang Yue-Sheng
M0 Ｆ
M0 Ｆ
边界条件为: x = 0, w = w' = 0 ; x = L,w = w' = 0
北京交通大学工程力学研究所汪越胜 Wang Yue-Sheng
其他支座条件 — 例1
Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics
欧拉公式应用范围
Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics

材料力学第9章梁的挠度和刚度计算

材料力学第9章梁的挠度和刚度计算在工程结构中，梁是一种常见的构件，其在承受载荷时会发生弯曲变形。

而梁的挠度和刚度计算是材料力学中的重要内容，对于确保梁的正常工作和结构的安全性具有至关重要的意义。

首先，我们来理解一下什么是梁的挠度。

简单来说，梁的挠度就是梁在受力作用下，横截面形心沿垂直于轴线方向的位移。

想象一下一根水平放置的梁，在受到垂直向下的力时，它会向下弯曲，这个弯曲的程度就是挠度。

那么为什么要计算梁的挠度呢？这是因为过大的挠度可能会影响梁的正常使用功能。

比如，在桥梁结构中，如果梁的挠度过大，可能会导致桥面不平整，影响车辆行驶的舒适性和安全性；在机械零件中，过大的挠度可能会导致零件之间的配合出现问题，影响机器的正常运转。

接下来，我们谈谈梁的刚度。

梁的刚度是指梁抵抗变形的能力。

刚度越大，梁在相同载荷作用下产生的挠度就越小。

刚度与梁的材料特性（如弹性模量）、截面形状和尺寸以及梁的支撑方式等因素有关。

在计算梁的挠度时，通常需要运用一些基本的力学原理和公式。

比如，对于简单的静定梁，可以使用积分法或叠加法来求解挠度和转角方程。

积分法的基本思路是根据梁的弯曲微分方程，通过两次积分得到挠度和转角的表达式。

这个过程需要对梁的受力情况进行详细的分析，确定弯矩方程，然后进行积分运算。

叠加法则是基于线性叠加原理。

如果梁同时受到多个载荷的作用，可以先分别计算每个载荷单独作用时梁的挠度和转角，然后将这些结果进行叠加，得到最终的挠度和转角。

然而，实际工程中的梁往往比较复杂，可能是超静定梁，或者具有变截面、非均布载荷等情况。

对于这些复杂的梁，我们可能需要借助更高级的力学方法，如力法、位移法或者有限元法来进行分析。

在进行梁的挠度和刚度计算时，还需要考虑一些实际因素。

例如，材料的非线性特性在某些情况下不能忽略。

当梁所承受的载荷较大时，材料可能会进入塑性阶段，此时弹性模量不再是一个常数，需要采用相应的塑性力学理论进行分析。

另外，温度变化也可能会对梁的挠度产生影响。

梁跨中挠度的计算

2

EI w 2 F l3 48 F 12 3 l C 2l 0
，所以
C2
3F l3 48

所以其挠度方程为：
w1 Fx 48 EI
l 2
(3 l 2 - 4 x 2 )

l 0 x 2

在
x
处其挠度最大为：
F l3 48 EI
w max
三、Matlab编程

(1)基本思路：利用有限元原理分析：建立坐标系，划分单元；求出单元刚阵；根据局部坐标与整体坐标关系，求出系统总体刚度矩阵；求节点载荷向量；引入约束条件，根据力与节点位移的关系，求出位移向量，最后求出节点作用力。

(2)分析此题：如图所示，将梁划分成两个单元。

梁跨中挠度的计算
一、梁跨中挠度的计算

梁挠度的计算可以通过编写Matlab程序来求解。编程是基于我们学过的有限元分析。有限元法是适应电子计算机的使用而发展起来的一种比较新颖和有效的数值计算方法。有限元法实质上是把具体无限个自由度的连续系统，理想化为只有有限个自由度的单元集合体，使问题转化为适合于数值求解的结构型问题。

dd1=zeros(12) 建立一个6*6的空矩阵 dd1(1:6,1:6)=k1 将一单元的单刚扩阶成6*6的矩阵 dd2=zeros(12) 建立另一个6*6的空矩阵 dd2(4:9,4:9)=k1 将一单元的单刚扩阶成6*6的矩阵 zg=dd1+dd2 求总刚 kk=zg([3 4 5 6 7 9],[3 4 5 6 7 9]) 划行划列 f=[0 节点外力 -10*10^3 0] uu=inv(kk)*f 求位移

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