2013年贵州高考数学理科卷(纯WORD)

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2013年高考(新课标I卷)理科数学试卷(word版精编精校含答案详解)供河北、河南、山西、陕西使用

2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（新课标I 卷）使用省份：河北、河南、山西、陕西注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.（1）已知集合{}022>-=x x x A ，{}55B <<-=x x ，则（A ）=B A ∅ （B ）R =B A （C ）A B ⊆ （D ）B A ⊆（2）若复数z 满足()i 34i 43+=-z（A ）4- （B ）54- （C ）4 （D ）54 （3）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（A ）简单的随机抽样（B ）按性别分层抽样（C ）按学段分层抽样（D ）系统抽样（4）已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为25，则C 的渐近线方程为（A ）x y 41±= （B ）x y 31±= （C ） x y 21±= （D ）x y ±=（5）执行右面的程序框图，如果输入的[]31t ，-∈，则输出的s 属于（A ）[]43，- （B ）[]25，- （C ）[]34，- （D ）[]52，-（6）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如不计容器的厚度，则球的体积为（A ）3cm 3500π （B ）3cm 3866π （C ）3cm 31372π （D ）3cm 32048π（7）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21-=-m S ，0=m S ，31=+m S ，则=m（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A ）8π16+（B ）8π8+（C ）π6116+（D ）16π8+（9）设m 为正整数，()m y x 2+展开式的二项式系数的最大值为a ，()12++m y x 展开式的二项式系数的最大值为b ，若b a 713=，则m ＝（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8（10）已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)03(,F ，过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点。

2013年高考理科数学试卷及答案---全国卷(新课标版)word版

2013年全国卷新课标数学（理）一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合}5,4,3,2,1{=A ，},,|),{(A y x A y A x y x B ∈-∈∈=，则B 中所含元素的个数为A. 3B. 6C. 8D. 102. 将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 A. 12种 B. 10种 C. 9种 D. 8种3. 下面是关于复数iz +-=12的四个命题： :1P 2||=z:2P i z 22= :3P z 的共轭复数为i +1:4P z 的虚部为1-其中的真命题为A. 2P ，3PB. 1P ，2PC. 2P ，4PD. 3P ，4P4. 设21,F F 是椭圆:E 12222=+by a x )0(>>b a 的左右焦点，P 为直线23a x =上的一点，12PF F △是底角为︒30的等腰三角形，则E 的离心率为A.21B.32 C.43 D.54 5. 已知}{n a 为等比数列，274=+a a ，865-=a a ，则=+101a aA.7B. 5C.5-D. 7-6. 如果执行右边的程序框图，输入正整数N )2(≥N 和实数N a a a ,,,21 ，输出A ，B ，则A. B A +为N a a a ,,,21 的和B.2BA +为N a a a ,,,21 的算术平均数 C. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最大的数和最小的数D. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最小的数和最大的数7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 A. 6 B. 9 C. 12 D. 188. 等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于A ，B ，两点，34||=AB ，则的实轴长为A.2B. 22C. 4D. 89. 已知0>ω，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减，则ω的取值范围是A. ]45,21[B. ]43,21[C. ]21,0(D. ]2,0(10. 已知函数xx x f -+=)1ln(1)(，则)(x f y =的图像大致为11. 已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC △是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2=SC ，则此棱锥的体积为A.62 B.63 C.32 D.22 12. 设点P 在曲线xe y 21=上，点Q 在曲线)2ln(x y =上，则||PQ 的最小值为A. 2ln 1-B.)2ln 1(2- C. 2ln 1+D.)2ln 1(2+二、填空题.本大题共4小题，每小题5分.13.已知向量a ，b 夹角为︒45，且1=||a ，102=-||b a ，则=||b .14. 设y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+-≥-0031y x y x y x 则y x Z 2-=的取值范围为 .15. 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布)50,1000(2N ，且各元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 .16. 数列}{n a 满足12)1(1-=-++n a a n n n ，则}{n a项和为 . 三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，0sin 3cos =--+c b C a C a . (Ⅰ) 求A ；(Ⅱ) 若2=a ，ABC △的面积为3，求b ，c .18. （本小题满分12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.(Ⅰ) 若花店某天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，N n ∈）的函数解析式；(Ⅱ) 花店记录了100以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. （ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差；（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.19. （本小题满分12分）如图，直三棱柱111C B AABC -中，121AA BC AC ==，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1 (Ⅰ) 证明：BC DC ⊥1(Ⅱ) 求二面角11C BD A --的大小.20. （本小题满分12分）设抛物线:C py x 22=)0(>p 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B 、D 两点(Ⅰ) 若90BFD ∠=︒，ABD △面积为24，求p 的值及圆F 的方程；(Ⅱ)若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 的距离的比值.21. （本小题满分12分）已知函数121()(1)(0)2x f x f ef x x -'=-+. (Ⅰ) 求)(x f 的解析式及单调区间；(Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分，作答时请写清题号. 22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为ABC △边AB ，AC 的中点，直线DE 交ABC △的外接圆于F ，G 两点.若AB CF //，证明： (Ⅰ) BC CD =；(Ⅱ) GBD BCD ∽△△.23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ.正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为)3,2(π.(Ⅰ)点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(Ⅱ) 设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围.24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数|2|||)(-++=x a x x f .(Ⅰ) 当3a =-时，求不等式3)(≥x f 的解集；(Ⅱ) |4|)(-≤x x f 的解集包含]2,1[，求a 的取值范围.参考答案1-12：DACCD CBCAB AB 13、 14、[]3,3-. 15、3816、1830. 17、解：(Ⅰ)由cos sin 0a C C b c --=及正弦定理可得sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=,()sin cos sin sin sin 0A C A C A C C +-+-=,sin cos sin sin 0A C A C C --=,sin 0C >,cos 10A A --=,2sin 106A π⎛⎫∴--= ⎪⎝⎭,1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,0A π<< ，5666A πππ∴-<-<，66A ππ∴-=3A π∴=(Ⅱ)ABC S = △1sin 2bc A ∴==4bc ∴=， 2,3a A π==，222222cos 4a b c bc A b c bc ∴=+-=+-=， 228b c ∴+=. 解得2b c ==.18、解：(Ⅰ) ()()1080,1580,16 n n y n -≤⎧⎪=⎨≥⎪⎩（n N ∈）； (Ⅱ) （ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 的分布列为X 的数学期望()E X =60×0.1+70×0.2+80×0.7=76，X 的方差()D X =(60-762)×0.1+(70-762)×0.2+(80-762)×0.7=44.（ⅱ）若花店计划一天购进17枝玫瑰花，XX 的数学期望()E X =55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4，因为76.4>76，所以应购进17枝玫瑰花. 19、(Ⅰ) 证明：设112AC BC AA a ===，直三棱柱111C B A ABC -， 1DC DC ∴==， 12CC a =，22211DC DC CC ∴+=，1DC DC ∴⊥. 又1DC BD ⊥ ，1DC DC D =，1DC ∴⊥平面BDC .BC⊂ 平面BDC ,1DC BC ∴⊥.(Ⅱ)由 (Ⅰ)知，1DC =，1BC =，又已知BD DC ⊥1，BD ∴=. 在Rt ABD △中，,,90BD AD a DAB =∠= ， AB ∴=.222AC BC AB ∴+=，AC BC ∴⊥.取11A B 的中点E ，则易证1C E ⊥平面1BDA ，连结DE ，则1C E ⊥BD ，已知BD DC ⊥1，BD ∴⊥平面1DC E ，BD ∴⊥DE ，1C DE ∴∠是二面角11C BD A --平面角.在1Rt C DE △中，1111sin 2C EC DE C D∠===，130C DE ∴∠= .即二面角11C BD A --的大小为30.20、解: (Ⅰ)由对称性可知,BFD △为等腰直角三角形,斜边上的高为p ,斜边长2BD p =.点A 到准线l的距离d FB FD ===.由ABD S =△,11222BD d p ⨯⨯=⨯=2p ∴=.圆F 的方程为()2218x y +-=.(Ⅱ)由对称性,不妨设点(),A A A x y 在第一象限,由已知得线段AB 是圆F 的在直径,90o ADB ∠=,2BD p ∴=,32A y p ∴=,代入抛物线:C py x 22=得A x . 直线m的斜率为3AF k ==.直线m的方程为0x =. 由py x 22= 得22x y p=,x y p '=.由3x y p '==, 3x p =.故直线n 与抛物线C的切点坐标为6p ⎫⎪⎪⎝⎭, 直线n的方程为06x -=. 所以坐标原点到m ，n3=. 21、解: (Ⅰ) 1()(1)(0)x f x f ef x -''=-+,令1x =得,(0)1f =, 再由121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+,令0x =得()1f e '=. 所以)(x f 的解析式为21()2x f x e x x =-+. ()1x f x e x '=-+,易知()1x f x e x '=-+是R 上的增函数,且(0)0f '=.所以()00,()00,f x x f x x ''>⇔><⇔<所以函数)(x f 的增区间为()0,+∞,减区间为(),0-∞.(Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(恒成立,即()()21()102x h x f x x ax b e a x b =---=-+-≥恒成立， ()()1x h x e a '=-+ ,(1)当10a +<时,()0h x '>恒成立, ()h x 为R 上的增函数,且当x →-∞时, ()h x →-∞,不合题意;(2)当10a +=时,()0h x >恒成立, 则0b ≤,(1)0a b +=;(3)当10a +>时, ()()1xh x e a '=-+为增函数,由()0h x '=得()ln 1x a =+, 故()()()0ln 1,()0ln 1,f x x a f x x a ''>⇔>+<⇔<+当()ln 1x a =+时, ()h x 取最小值()()()()ln 111ln 1h a a a a b +=+-++-.依题意有()()()()ln 111ln 10h a a a a b +=+-++-≥,即()()11ln 1b a a a ≤+-++, 10a +> ,()()()()22111ln 1a b a a a ∴+≤+-++,令()()22ln 0 u x x x x x =->,则()()22ln 12ln u x x x x x x x '=--=-, ()00()0u x x u x x ''>⇔<<⇔,所以当x =, ()u x取最大值2e u =.故当12a b+==时, ()1a b+取最大值2e.综上, 若baxxxf++≥221)(，则ba)1(+的最大值为2e.22、证明：(Ⅰ) ∵D，E分别为ABC△边AB，AC的中点，∴//DE BC.//CF AB,//DF BC,CF BD∴ 且=CF BD，又∵D为AB的中点，CF AD∴ 且=CF AD，CD AF∴=.//CF AB，BC AF∴=.CD BC∴=.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，BC GF，GB CF BD∴==，BGD BDG DBC BDC∠=∠=∠=∠BCD GBD∴△∽△.23、解：(Ⅰ)依题意，点A，B，C，D的极坐标分别为.所以点A，B，C，D的直角坐标分别为、(、(1,-、1)-；(Ⅱ) 设()2cos,3sinPϕϕ，则2222||||||||PDPCPBPA+++())2212cos3sinϕϕ=-+()()222cos13sinϕϕ++-()()2212cos3sinϕϕ+--+)()222cos13sinϕϕ++--2216cos36sin16ϕϕ=++[]23220sin32,52ϕ=+∈.所以2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围为[]32,52.24、解：(Ⅰ) 当3a =-时，不等式3)(≥x f ⇔ |3||2|3x x -+-≥⇔ ()()2323x x x ≤⎧⎪⎨----≥⎪⎩或()()23323x x x <<⎧⎪⎨-++-≥⎪⎩或()()3323x x x ≥⎧⎪⎨-+-≥⎪⎩⇔或4x ≥.所以当3a =-时，不等式3)(≥x f 的解集为{1x x ≤或}4x ≥. (Ⅱ) ()|4|f x x ≤-的解集包含]2,1[，即|||2||4|x a x x ++-≤-对[]1,2x ∈恒成立，即||2x a +≤对[]1,2x ∈恒成立，即22a x a --≤≤-对[]1,2x ∈恒成立，所以2122a a --≤⎧⎨-≥⎩，即30a -≤≤.所以a 的取值范围为[]3,0-.。

2013年高考理科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷I)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )． A ．A ∩B ＝ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆A D ．A ⊆B2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )．A ．－4B ．45-C ．4D ．45 3．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样4．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x± D ．y ＝±x5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．A ．500π3cm3B ．866π3cm3C ．1372π3cm3D ．2048π3cm37．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．68．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π9．(2013课标全国Ⅰ，理9)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )．A ．5B ．6C ．7D ．8 10．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y +B ．22=13627x y +C ．22=12718x y + D ．22=1189x y +11．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]12．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n n b a +，则( )． A ．{Sn}为递减数列 B ．{Sn}为递增数列C ．{S2n －1}为递增数列，{S2n}为递减数列D ．{S2n －1}为递减数列，{S2n}为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝__________.14．(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n 项和2133n n S a =+，则{an}的通项公式是an ＝_______.15．(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝__________.16．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax ＋b)的图像关于直线x ＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，ABBC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ； (2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA.18．(2013课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．(2013课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．20．(2013课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|. 21．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)．若曲线y ＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(2013课标全国Ⅰ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．(2013课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(2013课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲：已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x ＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a＞－1，且当x∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：B解析：∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2.∴集合A 与B 可用图象表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ，故选B.2．答案：D解析：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|， ∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+. 故z 的虚部为45，选D. 3．答案：C解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．4．答案：C解析：∵c e a ==，∴22222254c a b e a a +===. ∴a 2＝4b 2，1=2b a ±. ∴渐近线方程为12b y x x a =±±.5．答案：A解析：若t ∈[－1,1)，则执行s ＝3t ，故s ∈[－3,3)．若t ∈[1,3]，则执行s ＝4t －t 2，其对称轴为t ＝2.故当t ＝2时，s 取得最大值4.当t ＝1或3时，s 取得最小值3，则s ∈[3,4]．综上可知，输出的s ∈[－3,4]．故选A.6．答案：A解析：设球半径为R ，由题可知R ，R －2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA 为直角三角形，如图．BC ＝2，BA ＝4，OB ＝R －2，OA ＝R ，由R 2＝(R －2)2＋42，得R ＝5，所以球的体积为34500π5π33=(cm 3)，故选A. 7．答案：C解析：∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，∴a m ＝S m －S m －1＝0－(－2)＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3－0＝3.∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.∵S m ＝ma 1＋12m m (-)×1＝0，∴112m a -=-. 又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3，∴132m m --+=. ∴m ＝5.故选C.8．答案：A解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r ＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr 2×4×12＋4×2×2＝8π＋16.故选A. 9．答案：B解析：由题意可知，a ＝2C m m ，b ＝21C m m +，又∵13a ＝7b ，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)，即132171m m +=+.解得m ＝6.故选B. 10．答案：D解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上， ∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ①－②，得1212121222=0x x x x y y y y a b(+)(-)(+)(-)+，即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2，而1212y y x x --＝k AB ＝011=312-(-)-，∴221=2b a . 又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9. ∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D. 11．答案：D解析：由y ＝|f (x )|的图象知：①当x ＞0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax ，可排除B ，C.②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x .故由|f (x )|≥ax 得x 2－2x ≥ax .当x ＝0时，不等式为0≥0成立．当x ＜0时，不等式等价于x －2≤a .∵x －2＜－2，∴a ≥－2.综上可知：a ∈[－2,0]．12．答案：B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：2解析：∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )|b |2.又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60°，b ⊥c ，∴0＝t |a ||b |cos 60°＋(1－t )，0＝12t ＋1－t . ∴t ＝2.14．答案：(－2)n －1解析：∵2133n n S a =+，① ∴当n ≥2时，112133n n S a --=+.② ①－②，得12233n n n a a a -=-，即1n n a a -＝－2. ∵a 1＝S 1＝12133a +， ∴a 1＝1.∴{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，a n ＝(－2)n －1.15．答案：5- 解析：f (x )＝sin x －2cos xx x ⎫⎪⎭，令cos αsin α＝- 则f (x )α＋x )，当x ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x )即θ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )，所以cos θ＝πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin α＝=. 16．答案：16解析：∵函数f (x )的图像关于直线x ＝－2对称，∴f (x )满足f (0)＝f (－4)，f (－1)＝f (－3)，即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩∴f (x )＝－x 4－8x 3－14x 2＋8x ＋15.由f ′(x )＝－4x 3－24x 2－28x ＋8＝0，得x 1＝－2x 2＝－2，x 3＝－2易知，f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－22)上为减函数，在(－2，－2上为增函数，在(－2∴f (－2＝[1－(－22][(－22＋8(－2)＋15]＝(－8－－＝80－64＝16.f (－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]＝－3(4－16＋15)＝－9.f (－2)＝[1－(－22][(－22＋8(－2＋15]＝(－8＋＋＝80－64＝16.故f (x )的最大值为16.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝11732cos 30424+-︒=.故PA . (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA 中，由正弦定理得sin sin150sin(30)αα=︒︒-，cos α＝4sin α.所以tan α＝4，即tan ∠PBA ＝4. 18．(1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B .因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)解：由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB .又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，|OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题设知A (1,0,0)，A 1(0，3，0)，C (0,0，B (－1,0,0)．则BC ＝(1,0，1BB ＝1AA ＝(－1，0)，1AC ＝(0，．设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，2013 全国新课标卷1理科数学第11页则10,0,BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,30.x x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩可取n ＝1，－1)．故cos 〈n ，1AC 〉＝11A CA C ⋅n n ＝5-. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为5. 19．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以 P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2) ＝41113161616264⨯+⨯=. (2)X 可能的取值为400,500,800，并且 P (X ＝400)＝41111161616--=，P (X ＝500)＝116，P (X ＝800)＝14. 所以X 的分布列为EX ＝1111400+500+80016164⨯⨯⨯＝506.25. 20．解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2的椭圆(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP R QM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y＝k (x ＋4)．由l 与圆M ，解得k ＝当k y x =代入22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x1,2＝47-±.所以|AB|2118|7x x-=.当k=|AB|＝187.综上，|AB|＝|AB|＝187.21．解：(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝e x(cx＋d＋c)，故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2e x(x＋1)．设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2k e x(x＋1)－x2－4x－2，则F′(x)＝2k e x(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(k e x－1)．由题设可得F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)＝0得x1＝－ln k，x2＝－2.①若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0.从而当x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0；当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0.即F(x)在(－2，x1)单调递减，在(x1，＋∞)单调递增．故F(x)在[－2，＋∞)的最小值为F(x1)．而F(x1)＝2x1＋2－21x－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．②若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(e x－e－2)．从而当x＞－2时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)单调递增．而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．③若k＞e2，则F(－2)＝－2k e－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0.从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上，k的取值范围是[1，e2]．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(1)证明：连结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为直径，∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂线，所以BG设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°.从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF.23．解：(1)将45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.2013 全国新课标卷1理科数学第12页2013 全国新课标卷1理科数学第13页将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩ 解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩ 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 24．解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立．故2a -≥a －2，即43a ≤. 从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.。

2013年贵州省贵阳市高考数学二模试卷(理科)(J)

2013年贵州省贵阳市高考数学二模试卷（理科）(J)副标题一、选择题（本大题共12小题，共12.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D. 1，【答案】D【解析】解：集合，1，2，3，4，5，6，7，8，，则1，，故选：D．解分式不等式的解法求得A，再用列举法求得B，再根据两个集合的交集的定义求得．本题主要考查绝对值不等式的解法，两个集合的交集的定义和求法，属于中档题．2.已知i是虚数单位，m和n都是实数，且，则A. iB.C. 1D.【答案】A【解析】解：由，得，所以．则．故选：A．利用复数相等的条件求出m和n的值，代入后直接利用复数的除法运算进行化简．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．3.在边长为3的正方形ABCD内任取一点P，则P到正方形四边的距离均不小于1的概率为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：满足条件的正方形ABCD，如下图示：其中满足动点P到正方形四边的距离均不小于1的平面区域如图中阴影所示：则正方形的面积正方形阴影部分的面积阴影故P到正方形四边的距离均不小于1的概率阴影正方形故选：A．本题考查的知识点是几何概型，我们要根据已知条件，求出满足条件的正方形ABCD的面积，及P到正方形四边的距离均不小于1对应平面区域的面积，代入几何概型计算公式，即可求出答案．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”，再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据求解．4.若﹙，﹚，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由于﹙，﹚，则，即得，又由则．故选：C．依据对数的性质，分别确定a、b、c数值的大小，然后判定选项．本题考查对数值大小的比较，是基础题．5.已知命题：函数在R为增函数，：函数在R为减函数，则在命题：，：，：￢和：￢中，真命题是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】解：易知是真命题，而对：，当时，，又，所以，函数单调递增；同理得当时，函数单调递减，故是假命题．由此可知，真，假，假，真故选：C．先判断命题是真命题，是假命题，故为真命题，为真命题，为真命题．只有与都是真命题时，才是真命题只要与中至少有一个真命题，就是真命题．6.定积分的值等于A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，故选：B．利用微积分基本定理即可求得结果．本题考查定积分的计算、微积分基本定理的应用，考查学生的计算能力．7.已知函数，其导函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为A. B.C. D.【答案】B【解析】解：根据题意，对函数求导，可得，由导函数的图象可得，再由，求得则，即，导函数，把代入得：，且，解得，故函数的解析式为故选：B．对函数求导，可得，由导函数的最值求出A，由周期求出，由特殊点的坐标求出的值，从而求得函数的解析式．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出，由特殊点的坐标求出的值，从而求得函数的解析式，属于中档题．8.已知曲线：及两点和，其中过，分别作x轴的垂线，交曲线C于，两点，直线与x轴交于点，那么A. 成等差数列B. 成等比数列C. ，，成等差数列D. ，，成等比数列【答案】A【解析】解：由题得：，直线的方程为：令，即，故选：A．先求出，两点的坐标，进而得到直线的方程，再令求出，即可得出结论．本题主要考查直线方程的求法，点的坐标的求法以及等差关系的确定问题，是对基础知识的考查，属于基础题目．9.设偶函数满足，则A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】B【解析】解：由偶函数满足，可得，则，要使，只需，解得，或．应选：B．由偶函数满足，可得，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案．本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力，解答本题的关键是利用偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，从而简化计算．10.若，是第三象限的角，则A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】解：，为第三象限角，，，，则．故选：D．由的值及为第三象限角，求出与的值，进而求出的值，代入所求式子中计算即可求出值．此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．11.已知半径为1的球，若以其一条半径为正方体的一条棱作正方体，则此正方体内部的球面面积为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：根据题意，经过球心0作出三条两两互相垂直的三条半径OA、OB、OC再分别以OA、OB、OC为长、宽、高作正方体，可得球表面位于正方体内部的部分，恰好等于上面半球的，因此球表面位于正方体内部的面积等于球面积的球的半径为1，得球的表面积为球表面位于正方体内部的面积为故选：B．根据题意，球表面位于正方体内部的面积等于球面积的，由此结合球的表面积公式，即可算出所求的面积．本题给出半径为1的球，以其一条半径为正方体的棱作正方体，求正方体内部的球面面积着重考查了正方体的性质和球的表面积公式等知识，属于基础题．12.已知点P是双曲线C：上一点，过P作C的两条逐渐近线的垂线，垂足分别为A，B两点，则等于A. B. C. 0 D. 1【答案】A【解析】解：由条件可知：两条渐近线分别为：，：设双曲线C上的点，则点P到两条渐近线的距离分别为，，所以因为在双曲线C上，所以，即故设与的夹角为，得，则．故选：A．确定两条渐近线方程，设双曲线C上的点，求出点P到两条渐近线的距离，利用在双曲线C上，及向量的数量积公式，即可求得结论．本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共4.0分）13.的二项展开式中的常数项是______．【答案】15【解析】解：的二项展开式的通项公式为令，求得，故二项展开式中的常数项是，故答案为12．先求得的二项展开式的通项公式，再令x的幂指数等于零，求得r 的值，可得二项展开式中的常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．14.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是______．【答案】【解析】解：根据几何体的三视图判定，几何体为四棱锥，其直观图为：．棱锥故答案是．根据几何体的三视图判断几何体的形状，画出其直观图，再根据棱锥的体积公式计算即可．本题考查由几何体的三视图求面积与体积．15.已知F是抛物线C：的焦点，直线l：与抛物线C交于A，B两点，记直线FA，FB的斜率分别为，，则______．【答案】0【解析】解：由，得抛物线焦点，联立，得．设，，则．．故答案为0．由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，把直线方程和抛物线方程联立后化为关于x的一元二次方程，由根与系数关系求出两个交点的横坐标的和与积，写出斜率后作和，通分整理，把两个交点横坐标的乘积代入即可得到答案．本题考查了直线的斜率，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了一元二次方程的根与系数关系，属中档题．16.设的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且，，则的面积等于______．【答案】【解析】解：中，，，则由正弦定理可得，，解得．再由余弦定理可得，解得．，解得，故，，，，的面积等于，故答案为．由条件利用正弦定理及二倍角公式求得，再由余弦定理求得，可得，解得a的值，可得三角形的三边长以及、的值，再根据的面积等于，运算求得结果．本题主要考查正弦定理、余弦定理、二倍角公式的应用，求三角形的面积，属于中档题．三、解答题（本大题共8小题，共8.0分）17.已知公差不为0的等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ设，数列的最小项是第几项，并求出该项的值．【答案】解：设公差为d且，则有，即，解得或舍去，．由Ⅱ得，，，当且仅当，即时取等号，故数列的最小项是第4项，该项的值为23．【解析】Ⅰ根据等差等比数列对应的前n项和、通项公式和性质，列出关于和d 方程，进行求解然后代入通项公式；Ⅱ由Ⅱ的结果求出，代入进行化简后，利用基本不等式求出最小项以及对应的项数．本题是数列与不等式结合的题目，考查了等差等比数列对应的前n项和、通项公式和性质等，注意利用基本不等式求最值时的三个条件的验证．18.如图，在四棱锥中，矩形ABCD所在的平面与平面AEB垂直，且，，，F，G，H分别为BE，AE，BC的中点Ⅰ求证：平面FGH；Ⅱ若点P在直线GF上，，且二面角的大小为，求的值．【答案】解：Ⅰ证明：取AD的中点M，连接MH，MG．、H、F分别是AE、BC、BE的中点，，，，即G、F、H、M四点共面，平面FGH即平面MGFH，又中，MG是中位线，平面MGFH，平面MGFH，平面MGFH，即直线DE与平面FGH平行．Ⅱ在平面ABE内，过A作AB的垂线，记为AP，则平面ABCD．以A为原点，AP、AB、AD所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立建立空间直角坐标系，如图所示．可得0，，4，，0，，，，1，2，，，由，可得．设平面PBD的法向量为y，，则，取，得，，，又平面ABP的一个法向量为0，，，解之得或4即的值等于1或4．【解析】Ⅰ欲证明平面FGH，先找直线与直线平行，即在平面FGH内找一条直线与直线DE平行因此，取AD得中点M，连接GM，可证出，结合线面平行的判定定理可得平面FGH；Ⅱ建立空间直角坐标系，根据题中数据得出相应点的坐标进而得到、的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法，求出是平面BDP的一个法向量，结合0，是平面ABP的一个法向量和二面角的大小为，利用空间向量的夹角公式建立关于的方程，解之可得实数的值．本题在特殊四棱锥中证明线面平行，并求满足二面角的等于的点P的位置着重考查了线面平行的判定定理，利用空间坐标系研究二面角大小等知识点，属于中档题．19.某次大型抽奖活动，分两个环节进行：第一环节从10000人中随机抽取10人，中奖者获得奖金1000元，并获得第二环节抽奖资格；第二环节在取得资格的10人中，每人独立通过电脑随机产生两个数x，2，，并按如图运行相应程序若电脑显示“中奖”，则该抽奖者获得9000元奖金；若电脑显示“谢谢”，则不中奖．已知甲在第一环节中奖，求甲在第二环节中奖的概率；若乙参加了此次抽奖活动，求乙在此次活动中获得奖金的期望．【答案】解：Ⅰ从1，2，3三个数字中有重复取2个数字，其基本事件有，，，，，，，，共9个，分设“甲在第二环节中奖”为事件A，则事件A包含的基本事件有，，共2个，分Ⅱ设乙参加此次抽奖活动获得奖金为X元，则X的可能取值为0，1000，分，，．分【解析】Ⅰ确定从1，2，3三个数字中有重复取2个数字的基本事件，甲在第二环节中奖的基本事件，即可求得概率；Ⅱ确定乙参加此次抽奖活动获得奖金的取值，求出相应的概率，可得分布列与数学期望．本题考查概率的计算，考查分布列与期望的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．20.设椭圆C：过点，离心率，O为坐标原点．求椭圆C的方程．Ⅱ若直线l是圆O：的任意一条切线，且直线l与椭圆C相交于A，B 两点，求证：为定值．【答案】解：Ⅰ由题意可得，解得，椭圆C的方程为．Ⅱ当圆O的切线l的斜率存在时，设直线l的方程为，则圆心O到直线l的距离，．将直线l的方程和椭圆C的方程联立，得到．设直线l与椭圆C相交于，两点，则，．，当圆的切线l的斜率不存在时，验证得．综合上述可得，为定值0．【解析】利用离心率的计算公式、a、b、c的关系及点满足椭圆的方程可得，解出即可；分切线的斜率存在与不存在讨论，把直线的方程与椭圆的方程联立得到根与系数的关系及利用数量积即可得出．本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆的相交问题转化为方程联立及根与系数的关系、数量积等基础知识与基本技能，考查了分类讨论的思想方法推理能力和计算能力．21.已知函数在处取得极值，且在处的切线的斜率为1．Ⅰ求b，c的值及的单调减区间；Ⅱ设，，，求证：．【答案】解：Ⅰ，分，即，，，又，，，综上，，，分，由定义域知，，，的单调减区间为分Ⅱ先证即证即证，分令，，，，即证令，则，，分当即时，，即0'/>在上递增，，分当，即时，，即，在上递减，，分当，即时，，综合知，即，分即，，第11页，共13页第12页，共13页综上，得分【解析】 Ⅰ，，故，由此能求出b ，c 的值及的单调减区间． Ⅱ 先证，即证，再证明．本题考查函数的减区间的求法，考查不等式的证明，考查等价转化思想，考查运算推导能力，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的灵活运用．22. 如图，直线AB 经过上的点C ，并且，，交直线OB 于E 、D ，连接EC 、CD ．求证：直线AB 是的切线；若，的半径为3，求OA 的长．【答案】解：如图，连接OC ，，，．是的切线；是圆O 切线，且BE 是圆O 割线，，，． ∽ ，，设，又，，解得，，，，分．【解析】要想证AB 是的切线，只要连接OC ，求证即可；先由三角形判定定理可知， ∽ ，得BD 与BC 的比例关系，最后由切割线定理列出方程求出OA 的长．本题考查的是切线的判定、相似三角形的判定和性质，以及切割线定理的综合运用，属于基础题．23. 选修：坐标系与参数方程在极坐标系下，已知圆O ：和直线：，求圆O 和直线l 的直角坐标方程；当时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．【答案】解：圆O ：，即圆O 的直角坐标方程为：，即直线：，即则直线l的直角坐标方程为：，即由得故直线l与圆O公共点的一个极坐标为．【解析】利用；；，利用两角差公式求解即可．联立直线l与圆的方程，求出交点，转化为极坐标即可．本题是基础题，考查简单曲线的极坐标方程，考查化简计算能力．24.选修：不等式选讲已知函数．证明：；求不等式的解集．【答案】解：．当时，．所以．由可知，当时，的解集为空集；当时，的解集为；当时，的解集为．综上，不等式的解集为．【解析】通过对x的范围分类讨论将函数中的绝对值符号去掉，转化为分段函数，即可解决；结合对x分，与三种情况讨论解决即可．本题考查绝对值不等式的解法，通过对x的范围分类讨论去掉函数式中的绝对值符号是关键，考查转化与分类讨论思想，属于中档题．第13页，共13页。

【备战】高考数学_2013全国统考区(甘肃、贵州、云南)精选试题分类汇编9_圆锥曲线_理

F1、 F2 是一对
相关曲线的焦点， P 是它们在第一象限的交点，当 F1PF2
曲线的离心率是（
）
60 时，这一对相关曲线中双
A． 3
B． 2
C． 2 3 3
D．2
【答案】 A【解析】设椭圆的半长轴为
a1，椭圆的离心率为 e1 ，则 e1
c , a1
a1
c
. 双曲线
e1
的实半轴为 a ，双曲线的离心率为
又
因
为
y2
t2 9(1 ) 9
9 t2
25
25
，
所
以
FP FQ (t 4) 2 y2 t 2 8t 16 9 9 t 2 34 t 2 8t 7 ，所以当 t
b
50
25 25
2a 17
时， FP FQ 取值最小，选 B.
错误！未指定书签。．（云南省玉溪一中 2013 届高三第三次月考理科数学）已知点 F1 ， F2 分
25 9
取最小值的 t 值为
A．— 100 17
B．— 50 17
C． 50 D． 100
17
17
【答案】 B【解析】椭圆的左焦点 F ( 4,0) ，根据对称性可设 P (t , y) ， Q(t, y) , 则
2
2
FP (t 4, y) ， FQ (t 4, y) ，所以 FP FQ (t 4, y) (t 4, y) (t 4) y ，
设 F 是双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0) 的右焦点，双曲线两条渐近线分别为
l1, l2 ，过 F 作
直线 l1 的垂线，分别交 l1, l2 于 A 、 B 两点，且向量 BF 与 FA 同向．若 | OA |,| AB |,| OB | 成等差数列，则双曲线离心率 e 的大小为

2013年高考全国Ⅰ理科数学试题及答案(word解析版)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2013年全国Ⅰ，理1，5分】已知集合{}{2|20,|A x x x B x x =->=<，则（）（A ）A B =∅ （B ）A B =R （C ）B A ⊆ （D ）A B ⊆ 【答案】B【解析】∵2()0x x ->，∴0x <或2x >．由图象可以看出A B =R ，故选B ．（2）【2013年全国Ⅰ，理2，5分】若复数z 满足(34i)|43i |z -=+，则z 的虚部为（）（A ）4- （B ）45- （C ）4 （D ）45【答案】D【解析】∵(34i)|43i |z -=+，∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+．故z 的虚部为45，故选D ．（3）【2013年全国Ⅰ，理3，5分】为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）（A ）简单随机抽样（B ）按性别分层抽样（C ）按学段分层抽样（D ）系统抽样【答案】C【解析】因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样，故选C ．（4）【2013年全国Ⅰ，理4，5分】已知双曲线C ：()2222=10,0x y a b a b->>C 的渐近线方程为（）（A ）14y x =± （B ）13y x =± （C ）12y x =± （D ）y x =±【答案】C【解析】∵c e a ==，∴22222254c a b e a a +===．∴224a b =，1=2b a ±． ∴渐近线方程为12b y x x a =±±，故选C ．（5）【2013年全国Ⅰ，理5，5分】执行下面的程序框图，如果输入的[]1,3t ∈-，则输出的s 属于（）（A ）[3,4]- （B ）[5,2]- （C ）[4,3]- （D ）[2,5]- 【答案】D【解析】若[)1,1t ∈-，则执行3s t =，故[)3,3s ∈-．若[]1,3t ∈，则执行24s t t =-，其对称轴为2t =．故当2t =时，s 取得最大值4．当1t =或3时，s 取得最小值3，则[]3,4s ∈．综上可知，输出的[]3,4s ∈-，故选D ．（6）【2013年全国Ⅰ，理6，5分】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为（）（A ）35003cm π （B ）38663cm π （C ）313723cm π（D ）320483cm π【答案】B【解析】设球半径为R ，由题可知R ，2R -，正方体棱长一半可构成直角三角形，即OBA ∆为直角三角形，如图，2BC =，4BA =，2OB R =-，OA R =，由()22224R R =-+，得5R =，所以球的体积为34500533ππ=(cm 3)，故选B ．（7）【2013年全国Ⅰ，理7，5分】设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==，则m =（）（A ）3（B ）4 （C ）5 （D ）6【答案】C 【解析】∵12m S -=-，0m S =，13m S +=，∴()1022m m m a S S -=-=--=，11303m m m a S S ++=-=-=．∴1321m m d a a +=-=-=．∵()11102m m m S ma -=+⨯=，∴112m a -=-．又∵1113m a a m +=+⨯=，∴132m m --+=．∴5m =，故选C ．（8）【2013年全国Ⅰ，理8，5分】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）（A ）168π+ （B ）88π+ （C ）1616π+ （D ）816π+ 【答案】A【解析】由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径2r =，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为24422816r ππ⨯⨯+⨯⨯=+，故选A ．（9）【2013年全国Ⅰ，理9，5分】设m 为正整数，()2m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ， ()21m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ，若137a b =，则m =（）（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 【答案】B【解析】由题意可知，2m m a C =，21mm b C +=，又∵137a b =，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)，即132171m m +=+．解得6m =，故选B ．（10）【2013年全国Ⅰ，理10，5分】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点．若AB 的中点坐标为(1,1)-，则E 的方程为（）（A ）2214536x y +=（B ）2213627x y += （C ）2212718x y += （D ）221189x y +=【答案】D【解析】设11()A x y ，，22()B x y ，，∵A ，B 在椭圆上，∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②，①-②，得 1212121222=0x x x x y y y y a b (+)(-)(+)(-)+，即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为()1,1-，∴122y y +=-，122x x +=，而1212011=312AB y y k x x --(-)==--， ∴221=2b a ．又∵229a b -=，∴218a =，29b =．∴椭圆E 的方程为22=1189x y +，故选D ．（11）【2013年全国Ⅰ，理11，5分】已知函数()()220ln 10x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩，若()f x a x ≥|，则a 的取值范围是（）（A ）(],0-∞ （B ）(],1-∞ （C ）[2,1]- （D ）[2,0]-【答案】D【解析】由()y f x =的图象知：①当0x >时，y ax =只有0a ≤时，才能满足()f x ax ≥，可排除B ，C ．②当0x ≤时，()2222y f x x x x x ==-+=-．故由()f x ax ≥得 22x x ax -≥．当0x =时，不等式为00≥成立．当0x <时，不等式等价于2x a -≤．∵22x -<-，∴2a ≥-．综上可知：[]2,0a ∈-，故选D ．（12）【2013年全国Ⅰ，理12，5分】设n n n A B C ∆的三边长分别为n a ，n b ，n c ，n n n A B C ∆的面积为n S ，1,2,3.n =⋯，若11b c >，1112b c a +=，1n n a a +=，12n n n c a b ++=，12n nn b a c ++=，则（）（A ）{}n S 为递减数列（B ）{}n S 为递增数列（C ）{}21n S -为递增数列，{}2n S 为递减数列（D ）{}21n S -为递减数列，{}2n S 为递增数列【答案】B第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）【2013年全国Ⅰ，理13，5分】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，()1t t =+-c a b ．若·0=b c ，则t = ．【答案】2【解析】∵()1t t =+-c a b ，∴()2··1t t =+-bc ab b ．又∵1==a b ，且a 与b 夹角为60°，⊥b c ， ∴()0 601t cos t =︒+-a b ，1012t t =+-．∴2t =．（14）【2013年全国Ⅰ，理14，5分】若数列{}n a 的前n 项和2133n n S a =+，则{}n a 的通项公式是n a = ．【答案】()12n --【解析】∵2133n n S a =+，① ∴当2n ≥时，112133n n S a --=+．② ①-②，得12233n n n a a a -=-，即12n n aa -=-．∵1112133a S a ==+，∴11a =．∴{}n a 是以1为首项，-2为公比的等比数列，()12n n a -=-．（15）【2013年全国Ⅰ，理15，5分】设当x θ=时，函数()2f x sinx cosx =-取得最大值，则cos θ= ．【答案】【解析】()s 2x f x sinx cosx x ⎫⎪==⎭-，令cos α=，sin α=，则()()f x x α=+，当22()x k k ππα=+-∈Z 时，()sin x α+有最大值1，()f x，即22()k k πθπα=+-∈Z ，所以cos θ=πcos =cos 2π+cos sin 22k πθααα⎛⎫⎛⎫-=-=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（16）【2013年全国Ⅰ，理16，5分】若函数()()()221f x x x ax b =-++的图像关于直线2x =-对称，则()f x 的最大值为．【答案】16【解析】∵函数()f x 的图像关于直线2x =-对称，∴()f x 满足()()04f f =-，()()13f f -=-，即151640893b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩，得815a b =⎧⎨=⎩∴()432814815f x x x x x =---++．由()324242880f x x x x '=---+=，得12x =-22x =-，32x =-．易知，()f x在(,2-∞-上为增函数，在()22--上为减函数，在(2,2--上为增函数，在()2-+-∞上为减函数．∴(((((222122821588806416f ⎡⎤⎡⎤-=---+-+=---=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．()()()()()22212282153416915f ⎡⎤⎡-=---+⨯⎤==-⎣⎦⎣⎦-+--+(((((222122821588806416f ⎡⎤⎡⎤-=---++-++=-++=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．故f (x )的最大值为16．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）【2013年全国Ⅰ，理17，12分】如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，AB =，1BC =，P为ABC ∆内一点，90BPC ∠=︒．（1）若12PB =，求PA ；（2）若150APB ∠=︒，求tan PBA ∠．解：（1）由已知得60PBC ∠=︒，30PBA ∴∠=︒．在PBA ∆中，由余弦定理得211732cos 30424PA =+-︒=．故PA =（2）设PBA α∠=，由已知得sin PB α=．在PBA ∆sin sin(30)αα=︒-，4sin αα=．所以tan α，即tan PBA ∠= （18）【2013年全国Ⅰ，理18，12分】如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AB AA =，160BAA ∠=︒．（1）证明：1AB A C ⊥；（2）若平面ABC ⊥平面11AA B B ，AB CB =，求直线1A C 与平面11BB C C 所成角的正弦值．解：（1）取AB 的中点O ，连结OC ，1OA ，1A B ．因为CA CB =，所以OC AB ⊥．由于1AB AA =，160BAA ∠=︒，故1AA B ∆为等边三角形，所以1OA AB ⊥．因为1OC OA O = ，所以AB ⊥平面1OA C ．又1A C 平面1OA C ，故1AB A C ⊥．（2）由（1）知OC AB ⊥，1OA AB ⊥．又平面ABC ⊥平面11AA B B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面11AA B B ，故OA ，1OA ，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，OA为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．由题设知()1,0,0A，1()0A ，(0,0C ，()1,0,0B -．则(1,03BC =，11()BB AA =-=，(10,A C = ．设()n x y z =，，是平面11BB C C 的法向量，则100BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0x x ⎧=⎪⎨-=⎪⎩可取1)n =-．故111cos ,n AC n AC n AC ⋅==⋅ ．所以1A C 与平面11BB C C．（19）【2013年全国Ⅰ，理19，12分】一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n ．如果n =3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n =4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位：元)，求X 的分布列及数学期望．解：（1）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件1A ，第一次取出的4件产品全是优质品为事件2A ，第二次取出的4件产品都是优质品为事件1B ，第二次取出的1件产品是优质品为事件2B ，这批产品通过检验为事件A ，依题意有()()1122A A B A B = ，且11A B 与22A B 互斥，所以 ()()()()()()()112211122241113||161616264P A P A B P A B P A P B A P A P B A ==⨯++⨯==+．（2）X 可能的取值为400，500，800，并且()41114001161616P X ==--=，()500116P X ==，()80140P X ==．所以X 的分布列为()111400+500+800506.2516164E X =⨯⨯⨯=．（20）【2013年全国Ⅰ，理20，12分】已知圆()2211M x y ++=：，圆()2219N x y -+=：，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程；（2）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求AB ．解：由已知得圆M 的圆心为()1,0M -，半径11r =；圆N 的圆心为()1,0N ，半径23r =．设圆P 的圆心为(),P xy ，半径为R ．（1）因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以()()12124PM PN R r r R r r +=++-=+=．由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2(左顶点除外)，其方程为()22=1243x y x +≠-．（2）对于曲线C 上任意一点()P x y ，，由于222PM PN R -=-≤，所以2R ≤，当且仅当圆P 的圆心为()2,0时，2R =．所以当圆P 的半径最长时，其方程为()2224x y -+=．若l 的倾斜角为90︒，则l 与y 轴重合，可得AB =l 的倾斜角不为90︒，由1r R ≠知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP R QM r =，可求得()4,0Q -，所以可设()4l y k x =+：．由l 与圆M ，解得k =．当k =时，将y =+22=13x y +，并整理得27880x x +-=，解得1,2x =． 2118|7AB x x =-=．当k =时，由图形对称性可知187AB =．综上，AB =187AB =．（21）【2013年全国Ⅰ，理21，12分】设函数()2f x x ax b =++，()()x g x e cx d =+．若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点()0,2P ，且在点P 处有相同的切线42y x =+．（1）求a ，b ，c ，d 的值；（2）若2x ≥-时，()()f x kg x ≤，求k 的取值范围．解：（1）由已知得()02f =，()02g =，()04f '=，()04g '=．而()2f x x a '=+，()()x g x e cx d c '=++，故2b =，2d =，4a =，4d c +=．从而4a =，2b =，2c =，2d =．（2）由（1）知，()242f x x x =++，()()21x g x e x =+．设函数()()()()22142x F x kg x f x ke x x x =-=+---，()()()()2224221x x F x ke x x x ke '=+--=+-．()00F ≥ ，即1k ≥．令()0F x '=得1ln x k =-，22x =-． ①若21k e ≤<，则120x -<≤．从而当12()x x ∈-，时，()0F x '<；当1()x x ∈+∞，时，()0F x '>．即()F x 在1(2)x -，单调递减，在1()x +∞，单调递增．故()F x 在[)2-+∞，的最小值为()1F x ．而()()11111224220F x x x x x =+---=-+≥．故当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f x kg x ≤恒成立． ②若2k e =，则()()()2222x F x e x e e -'=+-．∴当2x >-时，()0F x '>，即()F x 在()2-+∞，单调递增．而()20F -=，故当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f x kg x ≤恒成立． ③若2k e >，则()()22222220F k eek e ---=-+=--<．从而当2x ≥-时，()()f x kg x ≤不可能恒成立．综上，k 的取值范围是2[1]e ，．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（22）【2013年全国Ⅰ，理22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，ABC ∠的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D ．（1）证明：DB DC =；（2）设圆的半径为1，BC =CE 交AB 于点F ，求BCF ∆外接圆的半径．解：（1）连结DE ，交BC 于点G ．由弦切角定理得，ABE BCE ∠=∠．而ABE CBE ∠=∠，故CBE BCE ∠=∠，BE CE =．又因为DB BE ⊥，所以DE 为直径，90DCE ∠=︒，DB DC =．（2）由（1）知，CDE BDE ∠=∠，DB DC =，故DG 是BC的中垂线，所以BG =设DE 的中点为O ，连结BO ，则60BOG ∠=︒．从而30ABE BCE CBE ∠=∠=∠=︒，所以CF BF ⊥，故Rt BCF ∆．（23）【2013年全国Ⅰ，理23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程为45cos 55sin x ty t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=．（1）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（2）求1C 与2C 交点的极坐标(0ρ≥，02θπ≤<)．解：（1）将45cos 55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程()()224525x y -+-=，即221810160C x y x y +--+=：．将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入22810160x y x y +--+=得28cos 10sin 160ρρθρθ--+=．所以1C 的极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+=．（2）2C 的普通方程为2220x y y +-=．由222281016020x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩，所以1C 与2C交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．（24）【2013年全国Ⅰ，理24，10分】（选修4-5：不等式选讲）已知函数()212f x x x a =-++，()3g x x =+．（1）当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集；（2）设1a >-，且当1,22a x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围．解：（1）当2a =-时，()()f x g x <化为212230x x x -+---<．设函数21223y x x x =-+---，则y =15,212,1236,1x x y x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩，其图像如图所示．从图像可知，当且仅当()0,2x ∈时，0y <．所以原不等式的解集是{}2|0x x <<．（2）当1,22x a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭∈时，()1f x a =+．不等式()()f x g x ≤化为13a x +≤+．所以2x a ≥-，对1,22x a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭∈都成立．故22a a -≥-，即43a ≤．从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦．。

2013年全国高考理科数学试题分类汇编13：排列、组合及二项式定理(T)

2013年高考数学（理）真题分类解析汇编13：排列、组合及二项式定理一、选择题1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））已知5)1)(1(x ax ++的展开式中2x 的系数为5,则=a （）A ．4-B ．3-C ．2-D ．1- 【答案】D【解析】已知（1+ax ）（1+x ）5的展开式中x 2的系数为+a •=5，解得a=﹣12 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））用0,1,,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数（）A ．243B ．252C ．261D ．279【答案】B【解析】有重复数字的三位数个数为91010900⨯⨯=。

没有重复数字的三位数有1299648C A =,所以有重复数字的三位数的个数为900648=252-，选B.3 ．（2013年高考新课标1（理））设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ,若137a b =,则m =（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【天利解析】因为m 为正整数，由（x+y ）2m展开式的二项式系数的最大值为a ，以及二项式系数的性质可得a=，同理，由（x+y ）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b ，可得 b=．再由13a=7b ，可得13=7，即 13×=7×，即 13=7×，即 13（m+1）=7（2m+1）．解得m=6，故选B ．4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））()()8411+x y +的展开式中22x y 的系数是（）A ．56B ．84C ．112D ．168【答案】D【解析】（x+1）3的展开式的通项为T r+1=C 3r x r令r=2得到展开式中x 2的系数是C 32=3，（1+y ）4的展开式的通项为T r+1=C 4r y r令r=2得到展开式中y 2的系数是C 42=6，（1+x ）3（1+y ）4的展开式中x 2y 2的系数是：3×6=18，故选D ．5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））满足{},1,0,1,2a b ∈-,且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数（） A ．14 B ．13C ．12D ．10【答案】B【天利解析】方程220ax x b ++=有实数解，分析讨论①当0a =时，很显然为垂直于x 轴的直线方程，有解．此时b 可以取4个值．故有4种有序数对②当0a ≠时，需要440ab ∆=-≥，即1ab ≤．显然有3个实数对不满足题意，分别为（1,2），（2,1），（2,2）．(,)a b 共有4*4=16中实数对，故答案应为16-3=13．6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））使得()3nx n N n+⎛+∈ ⎝的展开式中含有常数项的最小的为（） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】展开式的通项公式为521(3)3k n kn kkk n kk nnT C x C x---+==。

贵州省2013届高三年级六校第一次联考试卷理科数学参考答案

贵州省2013届高三年级六校第一次联考试卷理科数学参考答案贵州省2013届高三年级六校第一次联考试卷理科数学参考答案一、选择题．题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项C D C B A C D A A B C A 二、填空题．13、80 14、40- 15、21n n + 16、[0,2]三、解答题．17、解：（I ）由//a b 得22cos 3cos 0x x y +-= ············· 2' 即22cos23cos cos 23212sin(2)16y x x x x x π=+=+=++所以()2sin(2)16f x x π=++ ， ·································· 4' 又222T πππω=== 所以函数()f x 的最小正周期为.π ······················· 6' （II ）由（I ）易得3M = ································ 7'于是由()3,2A f M ==即2sin()13sin()166A A ππ++=⇒+=，因为A 为三角形的内角，故3A π= ······················ 9'由余弦定理2222cos a b c bc A=+-得2242bc bc bc bc bc=+-≥-= ···· 11'解得4bc ≤于是当且仅当2b c ==时，bc 的最大值为4． ········· 12'18、解：（I ）“从这18名队员中随机选出两名，两人来自于同一班级”记作事件A ，则2222423321213()66C C C C P A C +++== ···································· 6'（II ）ξ的所有可能取值为0,1,2 ························ 7'则02112048484822212121214163(0),(1),(2)333333C C C C C C P P P C C C ξξξ========= ∴ξ的分布列为：ξ 0 1 2P 1433 1633 333····························································· 10'∴1416320123333333E ξ=⨯+⨯+⨯= ··································· 12' 19、解：【法一】（I ）证明：如图，取PC 的中点O ，连接,OF OE ．由已知得//OF DC 且12OF DC =，又E是AB 的中点，则//OF AE 且OF AE =，AEOF∴是平行四边形，······························ 4'∴//AF OE又OE ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PECExyzD FBA//AF ∴平面PEC ······································· 6' （II ）如图，作AM CE ⊥交CE 的延长线于M .连接PM ，由三垂线定理得PM CE ⊥，PMA∠∴是二面角P EC D --的平面角．即oPMA 45=∠∴ ····· 9' 11PA AM =⇒=，设AE x =，由AME CBE ∆≅∆可得2(2)1x x =-+⇒54x =故，要使要使二面角P EC D --的大小为45o，只需54AE = ····························································· 12'【法二】（I ）由已知，,,AB AD AP 两两垂直，分别以它们所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系A xyz -．则(0,0,0)A ，11(0,,)22F ，则11(0,,)22AF = ························ 2' (1,0,0)E ，(2,1,0)C ，(0,0,1)P ，设平面PEC的法向量为(,,)m x y z =则0000m EC x y x z m EP ⎧=+=⎧⎪⇒⎨⎨-+==⎩⎪⎩，令1x =得(1,1,1)m =-………………………………………4'由11(0,,)(1,1,1)022AF m =-=，得AF m ⊥ 又AF ⊄平面PEC ，故//AF 平面PEC ······················· 6'（II ）由已知可得平面DEC 的一个法向量为(0,0,1)AP =，设(,0,0)E t =，设平面PEC 的法向量为(,,)m x y z = 则0(2)000m EC t x y tx z m EP ⎧=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-+==⎩⎪⎩，令1x =得(1,2,)m t t =- ············ 10'由5cos 45||4||||oAP n t AP n =⇒=⨯，故，要使要使二面角P EC D --的大小为45o，只需54AE = ····························································· 12' 20、（I ）依题意，可设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．由222212,32c a c ba c c a =⇒==-=∵ 椭圆经过点3(1,)2，则22191412cc +=，解得21c=∴ 椭圆的方程为22143x y += ······························· 4'（II ）联立方程组222143y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y整理得22(43)1640k x kx +-+= ··········································· 5'∵ 直线与椭圆有两个交点，∴22(16)16(43)0k k ∆=--+>，解得214k>① ················ 6'∵ 原点O 在以MN 为直径的圆外， ∴MON ∠为锐角，即0OM ON ⋅>．而M 、N 分别在OA 、OB 上且异于O 点，即0OA OB ⋅> ·· 8'设,A B 两点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则11221212(,)(,)OA OB x y x y x x y y ==+21212(1)2()4k x x k x x =+-++222416(1)2404343kk k k k ==+-+>++ 解得243k<， ② ····· 11'综合①②可知：231123,22k ⎛⎫⎛∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭·················· 12'21、解：（Ⅰ）由2(1)(ln )ln ()()1(1)bx a b x a b x xf x f x x x +-++=⇒'=++而点))1(,1(f 在直线2=+y x 上1)1(=⇒f ，又直线2=+y x 的斜率为1(1)1f -⇒'=- 故有⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧-==⇒-=-=1214212b a a b a ······································ 6'（Ⅱ）由（Ⅰ）得)0(1ln 2)(>+-=x x xx f 由x m x f <)(及m x x x x x <+-⇒>1ln 20 令22/)1(ln 1)1()ln 2()1)(ln 1()(1ln 2)(+--=+--+-=⇒+-=x xx x x x x x x x g x x x x x g 令1()1ln ()10(0)h x x x h x x x =--⇒'=--<>，故)(x h 在区间),0(+∞上是减函数，故当10<<x 时，0)1()(=>h x h ，当1>x 时，0)1()(=<h x h从而当10<<x 时，()0g x '>，当1>x 时，0)(/<x g)(x g ⇒在)1,0(是增函数，在),1(+∞是减函数，故1)1()(max==g x g 要使m x xx x <+-1ln 2成立，只需1>m 故m 的取值范围是),1(+∞ ································· 12' 22、解：（I ）∵AC 是⊙O 1的切线，∴∠BAC ＝∠D ，又∵∠BAC ＝∠E ，∴∠D ＝∠E ，∴AD ∥EC . · 5'（II ）设BP ＝x ，PE ＝y ，∵PA ＝6，PC ＝2，∴xy ＝12 ①∵AD ∥EC ，∴PD PE ＝APPC ，∴9＋x y ＝62②由①、②解得⎩⎨⎧x ＝3y ＝4(∵x >0，y >0)∴DE ＝9＋x ＋y ＝16，∵AD 是⊙O 2的切线，∴AD 2＝DB ·DE ＝9×16，∴AD ＝12. ····················································· 10'23、解：（I ）由=cos =sin x y ϕϕ⎧⎨⎩得x 2＋y 2＝1， ··············· 2' 又∵ρ＝2cos(θ＋π3)＝cos θ－3sin θ，∴ρ2＝ρcos θ－3ρsin θ.∴x 2＋y 2－x ＋3y ＝0，即2213()(122x y -++= ··········· 5'（II ）圆心距2213(0)(0)1222d =-++=<，得两圆相交 ··· 7'由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1x 2＋y 2－x ＋3y ＝0得，A (1,0)，B 13(,22--， · 9'∴ 2213||(1+)+(0+)=322AB =································· 10'24、解：（I ）函数()f x 可化为3,2()21,213,2x f x x x x -≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩············································ 3'其图象如下：y=f(x)1xO 1······································· 5'（II ）关于x 的不等式()+4|12|f x m ≥-有解等价于()max()+4|12|f x m ≥- ············································· 6' 由（I ）可知max()3f x =，（也可由()()()|2||1|21|3,f x x x x x =+--≤+--=得max()3f x =） ··············································· 8'于是 |12|7m -≤，解得 [3,4]m ∈- ············································ 10'。

2013年全国高考理科数学试题分类汇编8：不等式

2013年全国高考理科数学试题分类汇编8：不等式一、选择题1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设正实数,,x y z满足22340x xy y z-+-=,则当xyz取得最大值时,212x y z+-的最大值为（）A．0 B．1 C．94D．3【答案】B2 ．（2013年高考陕西卷（理））设[x]表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x, y, 有（）A．[-x] = -[x] B．[2x] = 2[x] C．[x+y]≤[x]+[y] D．[x-y]≤[x]-[y]【答案】D3 ．（2013年高考湖南卷（理））若变量,x y满足约束条件211y xx yy≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,2x y+则的最大值是（）A．5-2B．0C．53D．52【答案】C4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知函数()(1||)f x x a x=+. 设关于x的不等式()()f x a f x+<的解集为A, 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦,则实数a的取值范围是（）A．⎫⎪⎪⎝⎭B．⎫⎪⎪⎝⎭C．⎛⋃⎝⎫⎪⎝⎭⎪⎭D．⎛-⎝⎭∞【答案】A5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））已知a>,,x y满足约束条件13(3)xx yy a x≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若2z x y=+的最小值为1,则a=（）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】B6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y -2x 的最小值为（）A ．-7B ．-4C ．1D ．2【答案】A7 ．（2013年高考湖北卷（理））一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度()25731v t t t=-++(t 的单位:s ,v 的单位:/m s )行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位;m )是（）A ．125ln 5+B ．11825ln 3+ C ．425ln 5+ D ．450ln 2+【答案】C8 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））已知一元二次不等式()<0f x 的解集为{}1|<-1>2x x x 或,则(10)>0x f 的解集为（）A ．{}|<-1>lg2x x x 或B ．{}|-1<<lg2x xC ．{}|>-lg2x x D ．{}|<-lg2x x【答案】D9 ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）如果0a b <<,那么下列不等式成立的是（） A ．11a b< B ．2ab b <C ．2ab a -<-D ．11a b-<- 【答案】D10．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））在平面直角坐标系xoy 中,M 为不等式组220,210,380,x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的区域上一动点,则直线OM 斜率的最小值为（）A ．2B ．1C ．13-D ．12-【答案】C11．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））设357log 6,log 10,log 14a b c ===,则（）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．a b c >>【答案】12．（2013年高考北京卷（理））设关于x ,y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点P (x 0,y 0),满足x 0-2y 0=2,求得m 的取值范围是（） A ．4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C 二、填空题13．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））记不等式组0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为D ,若直线()1y a x =+与D 公共点,则a 的取值范围是______.【答案】1[,4]214．（2013年高考陕西卷（理））若点(x , y )位于曲线|1|y x =-与y =2所围成的封闭区域, 则2x -y 的最小值为___-4_____.【答案】- 415．（2013年高考四川卷（理））已知()f x 是定义域为R 的偶函数,当x ≥0时,2()4f x x x =-,那么,不等式(2)5f x +<的解集是____________.【答案】(7,3)-16．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））给定区域D :4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈,是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定______条不同的直线.【答案】617．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））设y kx z +=,其中实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+04204202y x y x y x ,若z 的最大值为12,则实数=k ________【答案】218．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））设a + b = 2, b >0,则当a = ______时,1||2||a a b+取得最小值. 【答案】2-19．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））不等式220x x +-<的解集为___________.【答案】()2,1-20．（2013年高考湖南卷（理））已知222,,,236,49a b c a b ca b c ∈++=++则的最小值为______.【答案】12 三、解答题21．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）如图,某校有一块形如直角三角形ABC 的空地,其中B ∠为直角,AB 长40米, BC 长50米,现欲在此空地上建造一间健身房,其占地形状为矩形,且B 为矩形的一个顶点,求该健身房的最大占地面积.【答案】[解]如图,设矩形为EBFP , FP 长为x 米,其中040x <<,ABC健身房占地面积为y 平方米.因为CFP ∆∽CBA ∆,以FP CF BA CB =,504050x BF -=,求得5504BF x =-, 从而255(50)5044y BF FP x x x x =⋅=-=-+25(20)5005004x =--+≤,当且仅当20x =时,等号成立.答:该健身房的最大占地面积为500平方米. 22．（2013年高考上海卷（理））(6分+8分)甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求110x ≤≤),每小时可获得利润是3100(51)x x+-元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,求x 的取值范围;(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润.【答案】(1)根据题意,33200(51)30005140x x x x+-≥⇒--≥ 又110x ≤≤,可解得310x ≤≤ (2)设利润为y 元,则4290031161100(51)910[3()]612y x x x x =⋅+-=⨯--+ 故6x =时,max 457500y =元.ABC FP E。

2013年高考真题——理科数学(全国卷大纲版)精校版 Word版无答案

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中元素的个数为（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（2）()3=（A ）8- （B ）8 （C ）8i - （D ）8i （3）已知向量()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则（A ）4- （B ）-3 （C ）2- （D ）-1 （4）已知函数()()()-1,021f x f x -的定义域为，则函数的定义域为（A ）()1,1- （B ）11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）()-1,0 （D ）1,12⎛⎫⎪⎝⎭（5）函数()()1=log 10f x x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的反函数()1=f x - （A ）()1021x x >- （B ）()1021xx ≠- （C ）()21x x R -∈ （D ）()210x x -> （6）已知数列{}n a 满足{}12430,,103n n n a a a a ++==-则的前项和等于（A ）()-10-61-3 （B ）()-1011-39（C ）()-1031-3 （D ）()-1031+3（7）()()342211+x y x y +的展开式中的系数是（A ）56 （B ）84 （C ）112 （D ）168（8）椭圆22122:1,,46x y C A A P C PA +=的左、右顶点分别为点在上且直线斜率的取值范围是[]12,1,PA --那么直线斜率的取值范围是（A ）1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（B ）3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（C ）112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（D ）314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（9）若函数()211=,2f x x ax a x ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭在是增函数，则的取值范围是（A ）[]-1，0 （B ）[]-∞1，（C ）[]0，3 （D ）[]3∞，+ （10）已知正四棱锥1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于（A ）23 （B）3 （C）3（D ）13 （11）已知抛物线()2:82,2,C C y x M k C =-与点过的焦点，且斜率为的直线与交于,0,A B MA MB k ==两点,若则（A ）12 （B）2（C（D ）2 （12）已知函数()=cos sin 2,f x x x 下列结论中正确的是（A ）()(),0y f x π=的图像关于中心对称（B ）()2y f x x π==的图像关于对称（C ）()f x （D ）()f x 既是奇函数，又是周期函数二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）已知1sin ,cot 3a a a =-=是第三象限角，则 . （14）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种.（用数字作答）（15）记不等式组0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为.D 若直线()1y a x D a =+与有公共点，则的取值范围是 .（16）已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，3602OK O K = ，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O 的表面积等于 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）等差数列{}n a 的前n 项和为232124.=,,,n S S a S S S 已知且成等比数列，求{}n a 的通项式.18．（本小题满分12分）设()(),,,,,.ABC A B C a b c a b c a b c ac ∆++-+=的内角的对边分别为（I ）求;B（II ）若sin sin C.A C =求19．（本小题满分12分）如图，四棱锥902,P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD -∠=∠==∆∆ 中，，与都是等边三角形.（I ）证明：;PB CD ⊥（II ）求二面角.A PD C --的大小20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为1,2各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.（I ）求第4局甲当裁判的概率；（II ）X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望.21．（本小题满分12分）已知双曲线()221222:10,0x y C a b F F a b-=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线2y C =与（I ）求,;a b ；（II ）2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且11,AF BF -证明：22.AF AB BF 、、成等比数列22．（本小题满分12分）已知函数()()()1=ln 1.1x x f x x xλ++-+（I ）若()0,0,x f x λ≥≤时求的最小值;；（II ）设数列{}211111,ln 2.234n n n n a a a a n n=+++⋅⋅⋅+-+>的通项证明：。

2013年全国高考理科数学试题分类汇编13：排列、组合及二项式定理(S)

2013年高考数学（理）真题分类解析汇编10：排列、组合及二项式定理一、选择题1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））已知5)1)(1(x ax ++的展开式中2x 的系数为5,则=a （）A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-【答案】D2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））用0,1,,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数（）A ．243B ．252C ．261D ．279【答案】B3 ．（2013年高考新课标1（理））设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ,若137a b =,则m =（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））()()8411+x y +的展开式中22x y 的系数是（） A ．56B ．84C ．112D ．168【答案】D5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））满足{},1,0,1,2a b ∈-,且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数（） A ．14 B ．13 C ．12 D ．10【答案】B6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））使得()3nx n N n+⎛+∈ ⎝的展开式中含有常数项的最小的为（） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】B7 ．（2013年高考四川卷（理））从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别为,a b ,共可得到lg lg a b -的不同值的个数（） A ．9B ．10C ．18D ．20【答案】C8 ．（2013年高考陕西卷（理））设函数61,00.,()x x f x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝≥⎭⎨⎪⎩ , 则当x >0时, [()]f f x 表达式的展开式中常数项为（）A ．-20B ．20C ．-15D ．15【答案】A9．（2013年高考江西卷（理））(x 2-32x )5展开式中的常数项为（） A ．80 B ．-80C ．40D ．-40【答案】C二、填空题10．（2013年高考四川卷（理））二项式5()x y +的展开式中,含23xy 的项的系数是_________.(用数字作答【答案】1011．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排,且B A ,均在C 的同侧,则不同的排法共有________种(用数字作答) 【答案】48012．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））从3名骨科.4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科.脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是___________(用数字作答) 【答案】59013．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））6x ⎛⎝的二项展开式中的常数项为______.【答案】1514．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））设二项式53)1(xx -的展开式中常数项为A ,则=A ________.【答案】10-15．（2013年高考上海卷（理））设常数a R ∈,若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-,则______a =【答案】2a =-16．（2013年高考北京卷（理））将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是_________.【答案】9617．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））若8x ⎛+ ⎝的展开式中4x 的系数为7,则实数a =______.【答案】2118．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有____________种.(用数字作答).【答案】48019 ．2013年上海市春季高考数学试卷.10(1)x +的二项展开式中的一项是（）A ．45xB ．290xC ．3120xD ．4252x【答案】C 二、填空题1．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）36的所有正约数之和可按如下方法得到:因为2236=23⨯,所以36的所有正约数之和为22222222(133)(22323)(22323)(122)133)91++++⨯+⨯++⨯+⨯=++++=（参照上述方法,可求得2000的所有正约数之和为________________________【答案】48362．（2013年高考四川卷（理））二项式5()x y +的展开式中,含23x y 的项的系数是_________.(用数字作答)【答案】103．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动,选出的3人中男女同学都有的概率为________(结果用数值表示).【答案】454．（2013年高考北京卷（理））将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是_________.【答案】96。

贵州省六校联盟2013届高三第二次联考理科数学 Word版含答案

秘密★考试结束前【考试时间：3月25日15：00－17：00】贵州省六校联盟2013届高三第二次联考试题理科数学命题学校：清华中学联考学校：贵阳六中清华中学遵义四中凯里一中都匀一中都匀二中本试题卷分第I 卷(选择题)和第11卷(非选择题表达题)两部分，满分150分，考试用时150分钟。

. 注意事项：1.答题时，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、班级、考场号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目，在规定的位置贴好条形码。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

在本试题卷上答题无效。

参考公式：球的表面积公式:24s R π= 其中R 表示球的半径球的体积公式:243v R π=其中R 表示球的半径如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率n ()(1)(0,1,2,...)kkn knP k C p p k n -=-=第Ⅰ卷一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合}1)1(log |{},2|1||{2≤-=≤-∈=x x B x Z x A ，则集合A ∩B 的元素个数为A ．0B ．2C ．5D ．8 2、已知i 为虚数单位，复数121iz i +=-，则复数z 的虚部是A ．i 23B ．23C ．i 21-D ．21-3、将5名支教志愿者分配到3所学校，每所学校至少分1人，至多分2人，且其中甲、乙2人不到同一所学校，则不同的分配方法共有 A ．78种 B ．36种 C ．60种 D ．72种4、执行如图所示的程序框图，若输入2x =，则输出y 的值为 A ．2 B ．5C ．11D ．235、已知:命题p ：“1=a 是2,0≥+>xax x 的充分必要条件”；命题q ：“02,0200>-+∈∃x x R x ”．则下列命题正确的是A ．命题“p ∧q ”是真命题B ．命题“（┐p ）∧q ”是真命题C ．命题“p ∧（┐q ）”是真命题D ．命题“（┐p ）∧（┐q ）”是真命题6、双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线的倾斜角为3π，离心为率e ，则2a e b +的最小值为A.C.D.7、设X 为随机变量，X ～1(,)3B n ，若X 的方差为4()3D X =则(2)P X =等于 13.16A 13.243B 6.243C 80.243D 8、函数()3log (0)()cos()(0)x x f x x x π-⎧<=⎨≥⎩的图像关于y 轴对称的点共有.0A 对 .1B 对 .2C 对 .3D 对9、在数列{}n a 中，已知5,394==a a ，且)2,(9*11≥∈=+++-n N n a a a n n n ，则2013a 的值是A.3B.1C.5D.9 10、函数3211()(1)132f x x ax a x =-+-+在区间)(1,5上为减函数，在区间)(6,+∞上为增函数，则实数a 的取值范围是A. []5,4B. []5,3C. []6,5D. []7,611、定义在R 上的函数)(x f 不是常数函数，且满足对任意的x 有)1()1(+=-x f x f ，)()2(x f x f =-，现得出下列5个结论：①)(x f 是偶函数，②)(x f 的图像关于1=x 对称，③)(x f 是周期函数，④)(x f 是单调函数，⑤)(x f 有最大值和最小值.其中正确的是贵州省六校联盟2013届高三第二次联考试题理科数学第3页（共5页）贵州省六校联盟2013届高三第二次联考试题理科数学第4页（共5页）A. ① ② ⑤B. ② ③ ⑤C. ② ③ ④D. ① ② ③12．过椭圆C ：22221(0)x ya b a b+=>>的一个顶点作圆222x y b +=的两条切线，切点分别为A ，B ，若090AOB ∠=（O 是坐标原点），则椭圆C 的离心率为第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

【Word版解析】贵州省六校联盟2013届高三第一次联考理科数学试题

秘密★考试结束前【考试时间： 12月26日15：00—17：00】贵州省六校联盟2013届高考第一次联考试题理科数学命题单位：凯里一中本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合2{|6<0}M x x x =--,2{|=log (1)}N x y x =-，则N M 等于（）A ．(1,2)B ．(1,2)-C ．(1,3)D ．(1,3)-【答案】C【解析】2{|6<0}{23}M x x x x x =--=-<<，2{|=log (1)}{10}{1}N x y x x x x x =-=->=>，所以{13}M N x x =<< ，选C.2．i 是虚数单位，则复数2=1iz i -在复平面内对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D 【解析】22(1)22=11(1)(1)2i i i i z i i i i +-===---+-，所以对应点位(1,1)-，在第四象限，选D. 3．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知6,835==S a ，则9a =（）A ．8B ．12C ．16D ．24【答案】C【解析】在等差数列数列中，513113248,33362a a d S a d a d ⨯=+==+=+=，即12a d +=，解得10,2a d ==.所以9188216a a d =+=⨯=，选C.4．投掷一枚质地均匀的骰子两次，若第一次面向上的点数小于第二次面向上的点数我们称其为前效实验，若第二次面向上的点数小于第一次面向上的点数我们称其为后效实验，若两次面向上的点数相等我们称其为等效试验.那么一个人投掷该骰子两次后出现等效实验的概率是（）A ．12B ．16C ．112D ．136【答案】B【解析】投掷该骰子两次共有66=36⨯中结果，两次向上的点数相同，有6种结果，所以投掷该骰子两次后出现等效实验的概率是611=666⨯⨯，选B. 5．阅读图1所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为5-，则输出的y 值是（）A ．1-B ．1C ．2D ．41【答案】A【解析】第一次输入5x =-，满足3x >，538x =--=，第二次满足3x >，835x =-=，第三次满足3x >，532x =-=，，第四次不满足3x >，此时1122log log 21y x ===-，输出1y =-，选A.6．设曲线220x y -=与抛物线24y x =-的准线围成的三角形区域（包含边界）为D ，),(y x P 为D 内的一个动点，则目标函数52+-=y x z 的最大值为（）A ．4B ．5C ．8D ．12【答案】C【解析】由220x y -=得曲线为y x =±.抛物线的准线为1x =，所以它们围成的三角形区域为三角形BOC .由52+-=y x z 得11(5)22y x z =+-，作直线12y x =，平移直线12y x =，当直线11(5)22y x z =+-经过点C 时，直线11(5)22y x z =+-的截距最小，此时z 最大.由1x y x=⎧⎨=-⎩得1,1x y ==-，即(1,1)C -，代入52+-=y x z 得8z =，选C.7．若点(1,1)P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为（）A ．230x y +-=B ．210x y -+=C ．230x y +-=D ．210x y --=【答案】D【解析】圆的标准方程为22(3)9x y -+=，圆心为(3,0)A ,因为点(1,1)P 弦MN 的中点，所以AP MN ⊥,AP 的斜率为101132k -==--，所以直线MN 的斜率为2，所以弦MN 所在直线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，选D.8．某几何体的三视图如图2所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A ．203B ．163 C ． 86π- D ．83π- 【答案】A【解析】由三视图知，原几何体为一个正方体挖掉一个正四棱锥其中正方体的棱为2，正四棱俯视图侧视图正视图图2锥的底面边长为正方体的上底面，高为1.9．设0.53a =，3log 2b =，2cos =c ，则（）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b c a <<【答案】A 【解析】0.531a =>,30log 21<<,cos 2cos02c π=<=，所以c b a <<，选A.10．给出下列四个命题： ①命题“若4πα=，则1tan =α”的逆否命题为假命题；②命题1sin ,:≤∈∀x R x p ．则R x p ∈∃⌝0:，使1sin 0>x ；③“()2k k Z πϕπ=+∈”是“函数)2sin(ϕ+=x y 为偶函数”的充要条件；④命题:p “R x ∈∃0，使23cos sin 00=+x x ”；命题:q “若sin sin αβ>，则αβ>”，那么q p ∧⌝)(为真命题．其中正确的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】①中的原命题为真，所以逆否命题也为真，所以①错误.②根据全称命题的否定式特称命题知，②为真.③当函数为偶函数时，有2k πϕπ=+，所以为充要条件，所以③正确.④因为sin cos )4x x x π+=+32<，所以命题p 为假命题，p ⌝为真，三角函数在定义域上不单调，所以q 为假命题，所以q p ∧⌝)(为假命题，所以④错误.所以正确的个数为2个，选B.11．已知函数()y xf x ='的图象如图3所示（其中()f x '是函数)(x f 的导函数）．下面四个图象中，)(x f y =的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由条件可知当01x <<时，'()0f x <，函数递减，当1x >时，'()0f x >，函数递增，所以当1x =时，函数取得极小值.当1x <-时，'()0xf x <，所以'()0f x >，函数递增，当10x -<<，'()0xf x >，所以'()0f x <，函数递减，所以当1x =-时，函数取得极大值.所以选C.12．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知1F 、2F 是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当6021=∠PF F 时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（）A ．3B ．2C ．332 D ．2 【答案】A【解析】设椭圆的半长轴为1a ，椭圆的离心率为1e ，则1111,c ce a a e ==.双曲线的实半轴为a ，双曲线的离心率为e ，,c ce a a e==.12,,(0)PF x PF y x y ==>>，则由余弦定理得2222242cos60c x y xy x y xy =+-=+- ，当点P 看做是椭圆上的点时,有22214()343c x y xy a xy =+-=-，当点P 看做是双曲线上的点时,有2224()4c x y xy a xy =-+=+，两式联立消去xy 得222143c a a =+，即22214()3()c c c e e=+，所以22111()3()4e e+=，又因为11e e =，所以22134e e+=，整理得42430e e -+=，解得23e =，所以e A.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．某同学学业水平考试的9科成绩如茎叶图4所示，则根据茎叶图可知该同学的平均分为．【答案】80 【解析】1720(6872737828189292)8099+++⨯++⨯+==. 14．5(+1)(12)x x -展开式中，3x 的系数为（用数字作答）．【答案】40-【解析】5(12)x -的展开式的通项为15(2)k k kk T C x +=-，所以222235(2)40T C x x =-=，333345(2)80T C x x =-=-，所以3x 的系数为，408040-=-.15．已知等比数列}{n a 中，⎰-=62)232(dx x a ，2433=a ，若数列}{n b 满足n n a b 3log =，则数列}1{1+n n b b 的前n 项和=n S ．【答案】21nn + 【解析】62620033(2)()2722a x dx x x =-=-=⎰，所以32a a q =，解得9q =，所以222122793n n n n a a q ---==⨯=，所以2133log log 321n n n b a n -===-，所以111111()(21)(21)22121n n b b n n n n +===--+-+，所以数列的前n 项和121111111111()213352121n n n S b b b b n n +=++=-+-++--+ 11112()212122121n nn n n =-=⨯=+++. 16．正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时，∙的取值范围是．【答案】[0,2]【解析】因为MN 是它的内切球的一条弦，所以当弦MN 经过球心时，弦MN 的长度最大，此时2MN =.以'A 为原点建立空间直角坐标系如图.根据直径的任意性，不妨设,M N 分别是上下底面的中心，则两点的空间坐标为(1,12),(1,10)M N ，，，设坐标为(,,)P x y z ，则(1,1,2)PM x y z =--- ,(1,1,)PN x y z =---,所以22(1)(1)(2)PM PN x y z z =-+--- ，即222(1)(1)(1)1PM PN x y z =-+-+-- .因为点P 为正方体表面上的动点，，所以根据,,x y z 的对称性可知，PM PN的取值范围与点P 在哪个面上无关，不妨设，点P 在底面''''A B C D 内，此时有02,02,0x y z ≤≤≤≤=，所以此时22222(1)(1)(1)1(1)(1)PM PN x y z x y =-+-+--=-+- ，,所以当1x y ==时，0PM PN = ，此时PM PN 最小，当但P 位于正方形的四个顶点时，PM PN最大，此时有22(1)(1)2PM PN x y =-+-= ，所以PM PN 的最大值为2. ，所以02PM PN ≤≤ ，即PM PN的取值范围是[0,2].三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知(2cos ,1)a x x =+ ，(,cos )b y x =，且//a b ．（I ）将y 表示成x 的函数()f x ，并求()f x 的最小正周期；（II ）记()f x 的最大值为M ，a 、b 、c 分别为ABC ∆的三个内角A 、B 、C 对应的边长，若(),2Af M =且2a =，求bc 的最大值．18．（本小题满分12分）为了参加2012年贵州省高中篮球比赛，某中学决定从四个篮球较强的班级中选出12人组成男子篮球队代表所在地区参赛，队员来源人数如下表：（I （II ）该中学篮球队经过奋力拼搏获得冠军．若要求选出两位队员代表冠军队发言，设其中来自高三（7）班的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望ξE19．（本小题满分12分）如图5，已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1PA AD ==，2AB =，F 是PD 的中点，E 是线段AB 上的点．（I ）当E 是AB 的中点时，求证：//AF 平面PEC ；（II ）要使二面角P EC D --的大小为45，试确定E 点的位置．20．(本小题满分12分)已知椭圆E 的焦点在x 轴上，离心率为12，对称轴为坐标轴，且经过点3(1,)2．（I ）求椭圆E 的方程；（II ）直线2y kx =-与椭圆E 相交于A 、B 两点， O 为原点，在OA 、OB 上分别存在异于O 点的点M 、N ，使得O 在以MN 为直径的圆外，求直线斜率k 的取值范围．21．(本小题满分12分)已知函数1ln )(++=x xb a x f 在点))1(,1(f 处的切线方程为2=+y x ．（I ）求a ，b 的值；（II ）对函数)(x f 定义域内的任一个实数x ，xmx f <)(恒成立，求实数m 的取值范围．请考生在第22、23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.图522．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】如图6，已知⊙1O 与⊙2O 相交于A 、B 两点，过点A 作⊙1O 的切线交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交⊙1O 、⊙2O 于点D 、E ，DE 与AC 相交于点P . （I ）求证：//AD EC ；（II ）若AD 是⊙2O 的切线，且6,2PA PC ==，9BD =，求AD 的长．23．（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】已知圆1C 的参数方程为=cos =sin x y ϕϕ⎧⎨⎩（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆2C 的极坐标方程为)3cos(2πθρ+=.（I ）将圆1C 的参数方程化为普通方程，将圆2C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（II ）圆1C 、2C 是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由. 24．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】设函数()|2||1|f x x x =+--（I ）画出函数()y f x =的图象；（II ）若关于x 的不等式()+4|12|f x m ≥-有解，求实数m 的取值范围．贵州省2013届高三年级六校第一次联考试卷图6理科数学参考答案一、选择题．二、填空题．13、8014、40- 15、 21nn + 16、[0,2] 三、解答题．17、解：（I ）由//a b 得22cos cos 0x x y +-= ······························································ 2'即22cos cos cos 2212sin(2)16y x x x x x π=+=+=++所以()2sin(2)16f x x π=++ ， ····································································································· 4' 又222T πππω=== 所以函数()f x 的最小正周期为.π ··································································································· 6' （II ）由（I ）易得3M = ··················································································································· 7' 于是由()3,2Af M ==即2sin()13sin()166A A ππ++=⇒+=，因为A 为三角形的内角，故3A π=································································································· 9'由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得2242b c bc bc bc bc =+-≥-= ································ 11' 解得4bc ≤于是当且仅当2b c ==时，bc 的最大值为4． ·········································································· 12' 18、解：（I ）“从这18名队员中随机选出两名，两人来自于同一班级”记作事件A ，则2222423321213()66C C C C P A C +++== ································································································ 6' （II ）ξ的所有可能取值为0,1,2······································································································· 7'则02112048484822212121214163(0),(1),(2)333333C C C C C C P P P C C C ξξξ========= ∴ξ的分布列为：···························································································································································· 10' ∴1416320123333333E ξ=⨯+⨯+⨯= ······························································································ 12'19、解：【法一】（I ）证明：如图，取PC 的中点O ，连接,OF OE ．由已知得//OF DC 且12OF DC =，又E 是AB 的中点，则//OF AE 且OF AE =，AEOF ∴是平行四边形，············································································· 4'∴//AF OE又OE ⊂ 平面PEC ，AF ⊄平面PEC//AF ∴平面PEC ···················································································································· 6' （II ）如图，作AM CE ⊥交CE 的延长线于M .连接PM ，由三垂线定理得PM CE ⊥，PMA ∠∴是二面角P EC D --的平面角．即o PMA 45=∠∴ ·················································· 9' 11PA AM =⇒= ，设AE x =，由AME CBE ∆≅∆可得x =⇒54x =故，要使要使二面角P EC D --的大小为45o，只需54AE =·················································· 12' 【法二】（I ）由已知，,,AB AD AP 两两垂直，分别以它们所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系A xyz -．则(0,0,0)A ，11(0,,)22F ，则11(0,,)22AF = ····························· 2'(1,0,0)E ，(2,1,0)C ，(0,0,1)P ，设平面PEC 的法向量为(,,)m x y z =则0000m EC x y x z m EP ⎧=+=⎧⎪⇒⎨⎨-+==⎩⎪⎩ ，令1x =得(1,1,1)m =-………………………………………4'由11(0,,)(1,1,1)022AF m =-= ，得AF m ⊥又AF ⊄平面PEC ，故//AF 平面PEC ····················································································· 6'（II ）由已知可得平面DEC 的一个法向量为(0,0,1)AP =，设(,0,0)E t =，设平面PEC 的法向量为(,,)m x y z =则0(2)000m EC t x y tx z m EP ⎧=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-+==⎩⎪⎩，令1x =得(1,2,)m t t =- ················································ 10' 由5cos 45||4||||oAP n t AP n =⇒=⨯，故，要使要使二面角P EC D --的大小为45o，只需54AE =·················································· 12' 20、（I ）依题意，可设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．由222212,32c a c b a c c a =⇒==-= ∵ 椭圆经过点3(1,)2，则22191412c c +=，解得21c = ∴ 椭圆的方程为22143x y += ··········································································································· 4' （II ）联立方程组222143y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得22(43)1640k x kx +-+= ······························ 5'∵ 直线与椭圆有两个交点，∴ 22(16)16(43)0k k ∆=--+>，解得214k >① ································································· 6' ∵ 原点O 在以MN 为直径的圆外，∴MON ∠为锐角，即0OM ON ⋅>．而M 、N 分别在OA 、OB 上且异于O 点，即0OA OB ⋅>····················································· 8'设,A B 两点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则11221212(,)(,)OA OB x y x y x x y y ==+21212(1)2()4k x x k x x =+-++222416(1)2404343kk k k k ==+-+>++解得243k <， ② ··········································································· 11'综合①②可知：11,,3223k ⎛⎫⎛∈-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭·········································································· 12'21、解：（Ⅰ）由2(1)(ln )ln ()()1(1)bx a b x a b x x f x f x x x +-++=⇒'=++ 而点))1(,1(f 在直线2=+y x 上1)1(=⇒f ，又直线2=+y x 的斜率为1(1)1f -⇒'=- 故有⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧-==⇒-=-=1214212b a a b a ········································································································· 6' （Ⅱ）由（Ⅰ）得)0(1ln 2)(>+-=x x xx f由x m x f <)(及m x xx x x <+-⇒>1ln 20令22/)1(ln 1)1()ln 2()1)(ln 1()(1ln 2)(+--=+--+-=⇒+-=x xx x x x x x x x g x x x x x g令1()1ln ()10(0)h x x x h x x x=--⇒'=--<>，故)(x h 在区间),0(+∞上是减函数，故当10<<x 时，0)1()(=>h x h ，当1>x 时，0)1()(=<h x h从而当10<<x 时，()0g x '>，当1>x 时，0)(/<x g)(x g ⇒在)1,0(是增函数，在),1(+∞是减函数，故1)1()(m ax ==g x g要使m x x x x <+-1ln 2成立，只需1>m故m 的取值范围是),1(+∞ ··············································································································· 12' 22、解：（I ）∵AC 是⊙O 1的切线，∴∠BAC ＝∠D ，又∵∠BAC ＝∠E ，∴∠D ＝∠E ，∴AD ∥EC . ·················································································· 5'（II ）设BP ＝x ，PE ＝y ，∵P A ＝6，PC ＝2， ∴xy ＝12 ①∵AD ∥EC ，∴PD PE ＝APPC ，∴9＋x y ＝62②由①、②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝4 (∵x >0，y >0)∴DE ＝9＋x ＋y ＝16，∵AD 是⊙O 2的切线，∴AD 2＝DB ·DE ＝9×16，∴AD ＝12. ·························································· 10'23、解：（I ）由=cos =sin x y ϕϕ⎧⎨⎩得x 2＋y 2＝1， ······················································································· 2'又∵ρ＝2cos(θ＋π3)＝cos θ－3sin θ，∴ρ2＝ρcos θ－3ρsin θ.∴x 2＋y 2－x ＋3y ＝0，即221()(12x y -++= ······································································ 5' （II）圆心距12d ==<，得两圆相交 ···················································· 7'由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1x 2＋y 2－x ＋3y ＝0得，A (1,0)，B 1(,2-， ··································································· 9'∴||AB =··························································································· 10'24、解：（I ）函数()f x 可化为3,2()21,213,2x f x x x x -≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩················································································································ 3' 其图象如下：1xO ··································································································· 5'（II ）关于x 的不等式()+4|12|f x m ≥-有解等价于()max ()+4|12|f x m ≥- ·························· 6' 由（I ）可知max ()3f x =，（也可由()()()|2||1|21|3,f x x x x x =+--≤+--=得max ()3f x =） ···································································································································· 8'于是 |12|7m -≤，。

2013年全国高考理科数学试题和答案(新课标卷)

极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sinθ。（Ⅰ）把 C1 的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求 C1 与 C2 交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）
（24）（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲已知函数 f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)=x+3. （Ⅰ）当 a=-2 时，求不等式 f(x)＜g(x)的解集；（Ⅱ）设 a＞－1，且当 x∈[－错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。)时，f(x)≤g(x)，求 a 的取值范围.
4
4 2 俯视图
9、设 m 为正整数，(x＋y)2m 展开式的二项式系数的最大值为 a，(x＋y)2m 系数的最大值为 b，若 13a=7b，则 m＝ ( ) A、5 B、6 错误！未找到引用源。 C、7 D、8
＋1
展开式的二项式
x2 y2 10、已知椭圆 2＋ 2＝1(a>b>0)的右焦点为 F(1,0)，过点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点。若 a b AB 的中点坐标为(1，－1)，则 E 的方程为 ( ) 2 2 2 2 x y x y x2 y2 A、＋＝1 B、＋＝1 错误！未找到引用源。 C、＋＝1 45 36 36 27 27 18 x2 y2 D、＋＝1 18 9
（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为 1，BC=错误！未找到引用源。，延长 CE 交 AB 于点 F，求△BCF 外接圆的半径。
（23）（本小题 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程
x=4+5cost 已知曲线 C1 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为 y=5+5sint
(20)(本小题满分 12 分) 已知圆 M：(x＋1)2＋y2=1，圆 N：(x－1)2＋y2=9，动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C （Ⅰ）求 C 的方程；（Ⅱ）l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A，B 两点，当圆 P 的半径最长时，求|AB|.

2013年高考数学(理)真题(word版)— —贵州用卷(试题+答案解析)

14．答案：8 解析：从1,2，…，n中任取两个不同的数共有种取法，两数之和为 5的有(1,4)，(2,3)2种，所以，即，解得n＝8. 15．答案：
解析：由，得tan θ＝，即sin θ＝cos θ. 将其代入sin2θ＋cos2θ＝1，得. 因为θ为第二象限角，所以cos θ＝，sin θ＝，sin θ＋cos θ＝. 16．答案：－49 解析：设数列{an}的首项为a1，公差为d，则S10＝＝10a1＋45d＝ 0，① S15＝＝15a1＋105d＝25.② 联立①②，得a1＝－3，，所以Sn＝. 令f(n)＝nSn，则，. 令f′(n)＝0，得n＝0或. 当时，f′(n)＞0,时，f′(n)＜0，所以当时，f(n)取最小值，而n∈N＋，则f(6)＝－48，f(7)＝－49，所以当n＝7时，f(n)取最小值－49. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解：(1)由已知及正弦定理得 sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B．① 又A＝π－(B＋C)，故 sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．② 由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B，又B∈(0，π)，所以. (2)△ABC的面积. 由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－. 又a2＋c2≥2ac，故，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为. 18．解：(1)连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF. 因为DF⊂平面A1CD，BC1
C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减
D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0
11．(2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点

2013年高考(新课标I卷)理科数学试卷(word版精编精校含答案详解)供河北、河南、山西、陕西使用

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

2013年高考理科数学全国大纲卷试题与答案word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013大纲全国，理1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为( )．A ．3B ．4C ．5D ．6 2．(2013大纲全国，理2)3＝( )．A ．－8B ．8C ．－8iD ．8i3．(2013大纲全国，理3)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－14．(2013大纲全国，理4)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )．A ．(－1,1)B ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．(－1,0) D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 5．(2013大纲全国，理5)函数f (x )＝21log 1x ⎛⎫+⎪⎝⎭(x ＞0)的反函数f －1(x )＝( )． A ．121x -(x ＞0) B ．121x-(x≠0) C ．2x －1(x ∈R) D ．2x －1(x ＞0)6．(2013大纲全国，理6)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝43-，则{a n }的前10项和等于( )．A ．－6(1－3－10)B ．19(1－310) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)7．(2013大纲全国，理7)(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( )．A ．56B ．84C ．112D ．1688．(2013大纲全国，理8)椭圆C ：22=143x y+的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )．A ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 9．(2013大纲全国，理9)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数，则a 的取值范围是( )． A ．[－1,0] B ．[－1，＋∞) C ．[0,3] D ．[3，＋∞)10．(2013大纲全国，理10)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )．A ．23 B．3 C．3 D ．1311．(2013大纲全国，理11)已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若0MA MB ⋅=，则k ＝( )．A ．12 B． CD ．212．(2013大纲全国，理12)已知函数f (x )＝cos x sin 2x ，下列结论中错误的是( )．A ．y ＝f(x)的图像关于点(π，0)中心对称B ．y ＝f(x)的图像关于直线π=2x 对称C ．f(x)的最大值为 D ．f(x)既是奇函数，又是周期函数二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013大纲全国，理13)已知α是第三象限角，sin α＝13-，则cot α＝__________.14．(2013大纲全国，理14)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__________种．(用数字作答)15．(2013大纲全国，理15)记不等式组0,34,34xx yx y≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为D.若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，则a的取值范围是__________．16．(2013大纲全国，理16)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，OK＝32，且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O的表面积等于__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013大纲全国，理17)(本小题满分10分)等差数列{a n}的前n项和为S n.已知S3＝22a，且S1，S2，S4成等比数列，求{a n}的通项公式．18．(2013大纲全国，理18)(本小题满分12分)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.(1)求B；(2)若sin A sin CC.19．(2013大纲全国，理19)(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形．(1)证明：PB⊥CD；(2)求二面角A－PD－C的大小．20．(2013大纲全国，理20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．21．(2013大纲全国，理21)(本小题满分12分)已知双曲线C：2222=1x yb(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C.(1)求a，b；(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．22．(2013大纲全国，理22)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝1ln(1+)1x xxxλ(+)-+.(1)若x≥0时，f(x)≤0，求λ的最小值；(2)设数列{a n}的通项111=1+23nan+++，证明：a2n－a n＋14n＞ln 2.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：B解析：由题意知x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，则x 的可能取值为5,6,7,8.因此集合M 共有4个元素．故选B. 2．答案：A解析：323=13=8-.故选A. 3．答案：B解析：由(m ＋n )⊥(m －n )⇒|m |2－|n |2＝0⇒(λ＋1)2＋1－[(λ＋2)2＋4]＝0⇒λ＝－3.故选B. 4．答案：B解析：由题意知－1＜2x ＋1＜0，则－1＜x ＜12-.故选B. 5．答案：A解析：由题意知11+x＝2y⇒x ＝121y -(y ＞0)，因此f －1(x )＝121x-(x ＞0)．故选A. 6．答案：C解析：∵3a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋1＝13n a -.∴数列{a n }是以13-为公比的等比数列．∵a 2＝43-，∴a 1＝4. ∴S 10＝101413113⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+＝3(1－3－10)．故选C.7．答案：D解析：因为(1＋x )8的展开式中x 2的系数为28C ，(1＋y )4的展开式中y 2的系数为24C ，所以x 2y 2的系数为2284C C 168=.故选D.8．答案：B解析：设P 点坐标为(x 0，y 0)，则2200=143x y +， 2002PA y k x =-，1002PA y k x =+，于是122200222003334244PA PA x y k k x x -⋅===---. 故12314PA PA k k ＝－.∵2PA k ∈[－2，－1]， ∴133,84PA k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选B.解析：由条件知f ′(x )＝2x ＋a －21x ≥0在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即212a x x ≥-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立．∵函数212y x x =-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数，∴max 211<23212y -⨯=⎛⎫⎪⎝⎭.∴a ≥3.故选D. 10．答案：A解析：如下图，连结AC 交BD 于点O ，连结C 1O ，过C 作CH ⊥C 1O 于点H .∵11BD ACBD AA AC AA A ⊥⎫⎪⊥⎬⎪=⎭1111BD ACC A CH ACC A ⊥⎫⎬⊂⎭平面平面11=CH BD CH C O BD C O O ⊥⎫⎪⊥⎬⎪⎭CH ⊥平面C 1BD ， ∴∠HDC 为CD 与平面BDC 1所成的角．设AA 1＝2AB ＝2，则==22AC OC，1C O =由等面积法，得C 1O ²CH ＝OC ²CC 1，即222CH ⋅＝， ∴2=3CH . ∴sin ∠HDC ＝223==13HC DC .故选A.11．答案：D解析：由题意知抛物线C 的焦点坐标为(2,0)，则直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，将其代入y 2＝8x ，得k 2x2－4(k 2＋2)x ＋4k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2242k k(+)，x 1x 2＝4.① 由112222y k x y k x =(-)⎧⎨=(-)⎩121221212124,[24].y y k x x k y y k x x x x +=(+)-⎧⎨=-(+)+⎩①② ∵0MA MB ⋅=，∴(x 1＋2，y 1－2)²(x 2＋2，y 2－2)＝0. ∴(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0，即x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0.④ 由①②③④解得k ＝2.故选D.解析：由题意知f (x )＝2cos 2x ²sin x ＝2(1－sin 2x )sin x . 令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，则g (t )＝2(1－t 2)t ＝2t －2t 3.令g ′(t )＝2－6t 2＝0，得=t ±. 当t ＝±1时，函数值为0；当3t =-时，函数值为9-；当3t =时，函数值为9.∴g (t )max ＝9，即f (x )的最大值为9.故选C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：解析：由题意知cos α＝3==-.故cot α＝cos sin αα14．答案：480解析：先排除甲、乙外的4人，方法有44A 种，再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有25A 种排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有4245A A 480⋅=(种)． 15．答案：1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析：作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．∵直线y ＝a (x ＋1)过定点C (－1,0)，由图并结合题意可知12BC k =，k AC ＝4，∴要使直线y ＝a (x ＋1)与平面区域D 有公共点，则12≤a ≤4. 16．答案：16π解析：如下图，设MN 为两圆的公共弦，E 为MN 的中点，则OE ⊥MN ，KE ⊥MN ，结合题意可知∠OEK ＝60°.又MN ＝R ，∴△OMN 为正三角形．∴OE R .又OK ⊥EK ，∴32＝OE R . ∴R ＝2.∴S ＝4πR 2＝16π.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：设{a n }的公差为d .由S 3＝22a 得3a 2＝22a ，故a 2＝0或a 2＝3. 由S 1，S 2，S 4成等比数列得22S ＝S 1S 4.又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ，故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )．若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0，此时S n ＝0，不合题意；若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝0或d ＝2. 因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1. 18．解：(1)因为(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝－ac .由余弦定理得cos B ＝222122a cb ac +-=-，因此B ＝120°.(2)由(1)知A ＋C ＝60°，所以cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝cos A cos C －sin A sin C ＋2sin A sin C ＝cos(A ＋C )＋2sin A sinC ＝1+22=，故A －C ＝30°或A －C ＝－30°，因此C ＝15°或C ＝45°. 19．(1)证明：取BC 的中点E ，连结DE ，则ABED 为正方形．过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O .连结OA ，OB ，OD ，OE .由△PAB 和△PAD 都是等边三角形知PA ＝PB ＝PD ，所以OA ＝OB ＝OD ，即点O 为正方形ABED 对角线的交点，故OE ⊥BD ，从而PB ⊥OE .因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE ∥CD .因此PB ⊥CD .(2)解法一：由(1)知CD ⊥PB ，CD ⊥PO ，PB ∩PO ＝P ，故CD ⊥平面PBD .又PD ⊂平面PBD ，所以CD ⊥PD .取PD 的中点F ，PC 的中点G ，连结FG ，则FG ∥CD ，FG ⊥PD .连结AF ，由△APD 为等边三角形可得AF ⊥PD . 所以∠AFG 为二面角A －PD －C 的平面角．连结AG ，EG ，则EG ∥PB . 又PB ⊥AE ，所以EG ⊥AE .设AB ＝2，则AE ＝EG ＝12PB ＝1，故AG ＝3.在△AFG 中，FG ＝12CD =AF =AG ＝3，所以cos ∠AFG ＝2222FG AF AG FG AF +-=⨯⨯因此二面角A －PD －C 的大小为π-解法二：由(1)知，OE ，OB ，OP 两两垂直．以O 为坐标原点，OE的方向为x 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .设|AB|＝2，则A(0,0)，D (0，0)，C(0)，P (0,0． PC ＝(，PD＝(0，． AP ＝，0，AD ＝，0)．设平面PCD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则n 1²PC＝(x ，y ，z)²(，＝0，n 1²PD＝(x ，y ，z)²(0，＝0，可得2x －y －z ＝0，y ＋z ＝0.取y ＝－1，得x ＝0，z ＝1，故n 1＝(0，－1,1)．设平面PAD 的法向量为n 2＝(m ，p ，q )，则n 2²AP ＝(m ，p ，q，0＝0，n 2²AD＝(m ，p ，q0)＝0，可得m ＋q ＝0，m －p ＝0.取m ＝1，得p ＝1，q ＝－1，故n 2＝(1,1，－1)．于是cos 〈n 1，n 2〉＝1212||||=·n n n n .由于〈n 1，n 2〉等于二面角A －PD －C 的平面角，所以二面角A －PD －C的大小为πarccos 3-20．解：(1)记A 1表示事件“第2局结果为甲胜”，A 2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”．则A ＝A 1²A 2.P (A )＝P (A 1²A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝14. (2)X 的可能取值为0,1,2.记A 3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B 1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B 2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B 3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．则P (X ＝0)＝P (B 1²B 2²A 3)＝P (B 1)P (B 2)²P (A 3)＝18，P (X ＝2)＝P (1B ²B 3)＝P (1B )P (B 3)＝14，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)＝1151848--=，EX ＝0²P (X ＝0)＋1²P (X ＝1)＋2²P (X ＝2)＝98.21．(1)解：由题设知c a＝3，即222a b a +＝9，故b 2＝8a 2.所以C 的方程为8x 2－y 2＝8a 2. 将y ＝2代入上式，求得x =由题设知，=a 2＝1. 所以a ＝1，b＝(2)证明：由(1)知，F 1(－3,0)，F 2(3,0)，C 的方程为8x 2－y 2＝8.①由题意可设l 的方程为y ＝k (x －3)，k (k 2－8)x 2－6k 2x ＋9k 2＋8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≤－1，x 2≥1，x 1＋x 2＝2268k k -，x 1²x 2＝22988k k +-.于是|AF 1|＝－(3x 1＋1)，|BF1|3x2＋1.由|AF1|＝|BF1|得－(3x1＋1)＝3x2＋1，即x1＋x2＝23 -.故226283kk=--，解得k2＝45，从而x1²x2＝199-.由于|AF2|＝1－3x1，|BF2|3x2－1，故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，|AF2|²|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16. 因而|AF2|²|BF2|＝|AB|2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．22．(1)解：由已知f(0)＝0，f′(x)＝22121x xxλλ(-)-(+)，f′(0)＝0.若12λ<，则当0＜x＜2(1－2λ)时，f′(x)＞0，所以f(x)＞0.若12λ≥，则当x＞0时，f′(x)＜0，所以当x＞0时，f(x)＜0.综上，λ的最小值是12.(2)证明：令12λ=.由(1)知，当x＞0时，f(x)＜0，即2ln(1) 22x xxx(+)>++．取1xk=，则211>ln21k kk k k++(+).于是212111422(1)nn nk na an k k-=⎡⎤-+=+⎢⎥+⎣⎦∑＝2121211ln21n nk n k nk kk k k --==++>(+)∑∑＝ln 2n－ln n＝ln 2.所以21ln24n na an-+>.2013 全国大纲卷理科数学第11页。

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