第七章离散控制系统
离散控制系统的基本原理与应用
离散控制系统的基本原理与应用离散控制系统是一种用于控制连续或离散过程的系统。
它在许多工程领域中得到广泛应用，例如自动化工业生产、交通运输、机械制造等。
本文将介绍离散控制系统的基本原理和应用，探讨其在工程实践中的重要性和实际应用。
一、离散控制系统的基本原理离散控制系统的基本原理包括输入、输出、控制器和执行器等几个关键组成部分。
1. 输入：离散控制系统的输入是指传感器从被控制对象中获取的信息。
传感器将物理量转化为电信号，并通过接口传递给控制器。
2. 控制器：控制器是系统的智能核心，它根据输入信息和事先设定的控制策略来执行控制任务。
常见的控制器包括PID控制器、PLC等。
3. 输出：离散控制系统的输出是指控制器根据输入信息计算得出的控制信号，它会通过执行器对被控制对象进行调节。
4. 执行器：执行器根据控制信号对被控制对象进行操作，使其达到预定的控制目标。
例如，电机、阀门、气缸等都可以作为执行器。
离散控制系统基于这些基本原理，通过对输入信息的处理计算和输出信号的控制，实现对被控制对象的准确控制。
二、离散控制系统的应用离散控制系统在各个领域中都有重要应用，下面我们将针对几个常见的应用示例进行具体介绍。
1. 工业自动化生产离散控制系统在工业自动化生产中起到至关重要的作用。
通过控制器对生产线上的各个设备进行控制和协调，可以实现生产过程的自动化。
例如，在装配线上，离散控制系统可以控制机械臂的运动，完成各种零部件的组装任务。
2. 交通运输系统离散控制系统在交通运输系统中也有广泛应用。
例如，信号灯控制系统可以通过离散控制实现对道路交通的调度和管控，提高交通效率和安全性。
另外，智能交通系统也是离散控制系统的重要应用领域，通过对车辆流量、道路状态等信息的感知和控制，实现对交通系统的智能管理。
3. 机械制造离散控制系统在机械制造中的应用非常广泛。
例如，数控机床可以通过离散控制系统对其进行精密调控，实现高精度加工。
另外，机器人也是离散控制系统在机械制造中的重要应用领域，通过对机器人的运动、姿态等参数进行控制，实现各种复杂的操作任务。
自动控制原理第7章离散控制系统
Z变换
01
Z变换是分析离散时间信号和系统 的有力工具，它将离散时间信号 或系统转化为复平面上的函数或 传递函数。
02
Z变换的基本思想是通过将离散时 间信号或系统进行无限次加权和 ，将其转化为一个复数域上的函 数或传递函数。
离散状态方程
离散状态方程是描述离散控制系统动 态行为的数学模型，它的一般形式为 $mathbf{dot{x}}(k) = Amathbf{x}(k) + Bu(k)$，其中 $mathbf{x}(k)$表示在时刻$k$的系 统状态向量，$u(k)$表示在时刻$k$ 的输入向量，$A$和$B$是系统的系 数矩阵。
稳态误差主要来源于系统本身的结构 和参数，以及外部干扰和测量噪声。
离散控制系统的动态响应分析
动态响应定义
动态响应是指系统在输入信号作 用下，系统输出信号随时间变化 的特性。
动态响应的描述方
式
动态响应可以通过系统的传递函 数、频率特性、根轨迹图等方式 进行描述。
优化动态响应的方
法
通过调整系统参数、改变系统结 构、引入反馈控制等方法，可以 优化系统的动态响应。
离散控制系统的仿真工具与实例
仿真工具介绍
离散控制系统的仿真工具用于模拟和测试系统的性能和稳定性。常见的仿真工具包括MATLAB/Simulink、 LabVIEW等。这些工具提供了丰富的数学函数库和图形化界面，方便用户进行系统建模和仿真。
仿真实例分析
通过具体的仿真实例，可以深入了解离散控制系统的性能和特点。例如，可以设计一个温度控制系统，通过调整 系统参数和控制算法，观察系统在不同工况下的响应特性和稳定性。通过对比不同方案，可以评估各种参数和控 制策略对系统性能的影响，为实际应用提供参考和依据。
离散控制系统的基本原理和概念
离散控制系统的基本原理和概念离散控制系统是指通过离散的方式对连续的物理过程进行控制的系统。
它通过在不连续的时间间隔内对物理过程的状态进行采样和决策，以实现对系统行为的调节和优化。
离散控制系统在工业生产、交通运输、电力系统等领域都有重要的应用。
本文将介绍离散控制系统的基本原理和概念。
一、离散控制系统的基本原理离散控制系统的基本原理可以概括为以下几点：1. 状态采样：离散控制系统通过在特定的时间间隔内对系统的状态进行采样，获取系统当前的信息。
采样可以通过传感器或者测量设备实现，常用的采样方法有周期性采样和事件驱动采样。
2. 状态量量化：离散控制系统通过量化采样得到的状态量，将连续的物理量转化为离散的数字信号。
量化可以通过模拟-数字转换器（ADC）或者编码器来实现，将模拟信号或者连续的物理量转化为数字信号或者离散的状态。
3. 控制决策：离散控制系统通过对采样得到的状态量进行处理和分析，根据预先设定的控制策略和算法，决策出下一时刻的系统控制指令。
常见的控制策略有比例控制、积分控制、微分控制等。
4. 控制执行：离散控制系统根据决策出的控制指令，通过执行机构对系统进行控制。
执行机构可以是电机、执行器、调节器等，它们根据控制指令调节系统的输入、输出或者参数，使系统达到预期的控制目标。
5. 反馈调节：离散控制系统通常配备反馈机制，通过对系统输出或者状态的反馈信息进行采样和分析，实时调节控制策略和参数。
反馈控制可以提高系统的鲁棒性和稳定性，使系统能够自动适应外部扰动和变化。
二、离散控制系统的概念1. 离散事件：离散控制系统所控制的物理过程通常是由一系列离散事件组成的。
离散事件可以是系统状态变化、信号发生改变、控制指令变化等。
2. 采样周期：采样周期是离散控制系统进行状态采样和控制决策的时间间隔。
采样周期的选择需要考虑到系统的动态特性、采样准确性和计算开销等因素。
3. 控制周期：控制周期是离散控制系统执行控制指令的时间间隔，它决定了系统对外部扰动和变化的响应速度。
自动控制原理第7章离散系统题库习题
⾃动控制原理第7章离散系统题库习题7-1已知下列时间函数()c t ，设采样周期为T 秒，求它们的z 变换()C z 。
（a ）2()1()c t t t = （b ）()()1()c t t T t =- （c ）()()1()c t t T t T =-- （d ）()1()atc t t te -=（e ）()1()sin atc t t et ω-= （f ）()1()cos atc t t te t ω-=7-2已知()x t 的拉⽒变换为下列函数，设采样周期为T 秒，求它们的z 变换()X z 。
（a ）21()C s s = （b ）()()aC s s s a =+（c ）2()()aC s s s a =+（d ）1()()()()C s s a s b s c =+++（e ）2221()()C s s s a =+（f ）()1()1sT C s e s-=-7-3求下列函数的z 反变换。
（a ）0.5(1)(0.4)zz z --（b ）2()()T T zz e z e ----（c ）22(1)(2)z z z ++7-4已知0k <时，()0c k =，()C z 为如下所⽰的有理分式120121212()1nn nn b b z b z b z C z a z a z a z------++++=++++L L 则有0(0)c b =以及[]1()()nk i i c kT b a c k i T ==--∑式中k n >时，0k b =。
（a ）试证明上⾯的结果。
（b ）设23220.5()0.5 1.5z z C z z z z +-=-+-应⽤（a ）的结论求(0)c 、()c T 、(2)c T 、(3)c T 、(4)c T 、(5)c T 。
7-5试⽤部分分式法、幂级数法和反演积分法，求下列函数的z 反变换：（a ）10()(1)(2) zE z z z =--（b ）1123()12z E z z z ----+=-+（c ）2()(1)(31)zE z z z =++（d ）2()(1)(0.5)zE z z z =-+7-6⽤z 变换法求下⾯的差分⽅程(2)3(1)2()0,(0)0,(1)1x k x k x k x x ++++===并与⽤迭代法得到的结果(0)x 、(1)x 、(2)x 、(3)x 、(4)x 相⽐较。
第7章 线性离散控制系统分析
f * (t )
7. 3 Z 变换
7.3.1 Z变换的定义
连续信号 f (t ) 经过采样后的离散信号 f * (t ) 为
f * (t ) f (nT ) (t nT )
其拉普拉斯变换为 令
z e Ts
F (s) L[ f (t )] f (nT )e nTs
* * n 0
的根都位于[W] 的左半部。
7. 5 线性离散系统的稳定性与稳态误差
7.5.1 线性定常离散系统稳定的充要条件
7. 5 线性离散系统的稳定性与稳态误差
7.5.2开环增益和采样周期对离散系统稳定性的影响
开环增益与采样周期对离散系统稳定性的影响： （1）采样周期一定时，增大开环增益会使离散系统的稳 定性变差，甚至使系统不稳定； （2）开环增益一定时，采样周期越长，丢失的信息越 多，离散系统的稳定性及动态性能变差，甚至使系
7. 6 线性离散系统的动态性能分析
7.6.1 线性离散系统的单位阶跃响应
离散系统的闭环脉冲传递函数为 式中，
R( z ) z /( z 1)
。系统输出的变换式为
将上式按幂级数展开，进行Z反变换，可求出输出信号的 脉冲序列 c* (t ) ，绘制单位阶跃响应曲线 c* (t ) ，从而分析 离散系统的动态性能。若不能求出离散系统的闭环脉冲传 递函数 ( z ) ，而R( z) 是已知的，可直接写出 C ( z ) 的表达式。
在线性采样系统理论中，把初始条件为零情况下，系统的离 散输出信号的变换与离散输入信号的变换之比，定义为脉冲 C ( z) 传递函数，记为 G(z)
R( z)
系统输出采样的脉冲序列为 c* (t ) z 1[C ( z)] z 1[G( z) R( z)]
自动控制原理胡寿松第七章解析
1、线性定理 齐次性 Z [ae (t)] aE(z ) Z[e1 (t) e 2 (t)] E1 (z ) E 2 (z ) 叠加性 2、实数位移定理
Z[e(t- kT )] z -k E(z)
Z [e(t kT)] z k [E(z)- e(nT)z -n ]
n 0
k -1
z变换实际上是采样函数拉氏变换的变形，
因此又称为采样拉氏变换
z变换只适用于离散函数，或者说只能表征
连续函数在采样时刻的特性，而不能反映其 在采样时刻之间的特性。
24
成都信息工程学院控制工程系
第七章 线性离散系统的分析与校正
25
成都信息工程学院控制工程系
第七章 线性离散系统的分析与校正
二、Z变换的性质
0T
*
采样器可以用一个周期性闭合的采样开关S来表示。
理想采样开关S： T (t ) (t nT )
n 0
11
成都信息工程学院控制工程系
第七章 线性离散系统的分析与校正
理想单位脉冲序列 采样过程可以看成是一个幅值调制过程。
12
成都信息工程学院控制工程系
第七章 线性离散系统的分析与校正
1 jns t T ( t ) e T n -
1 jns t * 代入采样信号表达式：e ( t ) e( t ) T (t ) e( t )e T n
对采样信号表达式取拉氏变换： 1 E* (s) E(s jns ) T n 采样信号的付氏变换： 1 E* ( j ) E[j( ns )] T n
T (t)的付氏级数形式：
T (t)
n -
(t - nT) C e
自动控制原理(第三版)第七章线性离散系统分析与设计
要点二
离散系统稳态误差的计算方法
离散系统稳态误差的计算方法包括解析法和仿真法，其中 解析法是通过求解差分方程得到稳态误差，仿真法则是通 过模拟系统的动态过程得到稳态误差。
05
线性离散系统的控制器设计
离散系统的状态反馈控制
01
状态反馈控制
通过测量系统的状态变量，并利 用这些信息来产生控制输入，以 实现系统的期望性能。
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01
离散系统响应的分类
离散系统的响应可以根据不同的标准进行分类，如根据时间响应可以分
为瞬态响应和稳态响应，根据系统参数可分为超调和调节时间等。
02
离散系统响应的数学模型
离散系统的数学模型通常采用差分方程或状态方程表示，通过求解这些
方程可以得到系统的响应。
03
离散系统响应的分析方法
离散系统响应的分析方法包括时域分析和频域分析，其中时域分析主要
基于系统的输出方程和性能指标，通过设计适当的观测器来估计状 态变量，并利用这些估计值来设计输出反馈控制器。
输出反馈控制的局限性
对于非线性系统和不确定性可能存在较大的误差，并且对于状态变 量的测量可能存在噪声和延迟。
离散系统的最优控制
最优控制
01
通过优化性能指标来选择控制策略，以实现系统性能的最优化。
自动控制原理(第三版)第七章 线性离散系统分析与设计
• 线性离散系统概述 • 线性离散系统的数学模型 • 线性离散系统的稳定性分析 • 线性离散系统的动态性能分析
• 线性离散系统的控制器设计 • 线性离散系统设计案例分析
01
线性离散系统概述
定义与特点
离散控制系统的基本原理和应用
离散控制系统的基本原理和应用离散控制系统是一种运用数字技术进行控制的系统，通过采样和量化输入信号，然后进行逻辑判断和计算，最后输出控制信号来实现对被控对象的精确控制。
本文将介绍离散控制系统的基本原理和应用。
一、离散控制系统的基本原理离散控制系统是通过离散时间和离散信号来进行控制的。
它的基本原理可以分为以下几个方面：1. 采样与量化：离散控制系统需要从被控对象中获取输入信号并进行离散采样，然后对采样得到的模拟信号进行量化，将其转换为数字信号。
2. 信号传输与处理：经过量化后的数字信号通过通信线路传输给控制器进行处理。
控制器对输入信号进行滤波、放大等操作，使其适合于后续的逻辑判断和计算。
3. 逻辑运算与控制算法：离散控制系统采用逻辑运算和控制算法来对输入信号进行处理和判断。
逻辑运算可以包括比较、与、或、非等操作，而控制算法可以是PID控制、模糊控制、遗传算法等。
4. 输出控制信号：根据逻辑运算和控制算法的结果，控制器输出相应的控制信号。
这些控制信号通过数字-模拟转换器或数字输出模块发送给被控对象，实现对被控对象的控制。
二、离散控制系统的应用离散控制系统广泛应用于工业自动化、交通运输、航空航天等领域。
以下是几个常见的应用场景：1. 工业自动化：离散控制系统在工业自动化领域起着至关重要的作用。
它可以控制各种工业过程，如流水线生产、机器人操作、微观电子元件制造等。
离散控制系统通过对生产过程进行监控和调节，提高了生产效率和产品质量。
2. 交通信号控制：离散控制系统被广泛应用于交通信号灯的控制。
通过对交通流量的检测和分析，离散控制系统可以智能地控制交通信号的切换，优化交通流畅度，减少交通拥堵。
3. 航空航天：离散控制系统在航空航天领域的应用十分重要。
它可以控制飞机、导弹、卫星等航空航天器的飞行姿态、导航、自动驾驶等。
离散控制系统的高精度和可靠性使得航空航天器能够在复杂的环境中完成各种任务。
4. 电力系统：离散控制系统在电力系统中用于监测和控制电网的运行状态。
自动控制系统—— 第7章-1 离散系统的基本概念
第7章 线性离散系统的 分析与校正
7.1离散系统的基本概念
1
7.1离散系统的基本概念 7.1.1 信号分类 7.1.2 采样控制系统 7.1.3 离散控制系统的特点 7.1.4 信号采样与保持
2
7.1离散系统的基本概念
7.1.1 信号分类 1）连续时间，连续幅度信号（CT signal），又称 为模拟信号（Analog Signal）
D/ A
对象
f (t)
反馈装置
2）A/D转换器：将连续信号转换为离散信号
采样间隔： T
采样频率：Leabharlann fs1 TT 2
fs 2
是采样角频率
8
r(t) e(t)
e(kT) 数字 u(kT)
u1(t) 被控 c(t)
A/ D
计算机
D/ A
对象
f (t)
反馈装置
3）D/A转换器：将离散信号转换为连续信号
采样脉冲序列
采样的离散信号
1.5 e*(t) e(t)T (t)
13
采样信号为
e*(t) e(t)T (t) e(t) (t nT ) n0
e(t) 只在 t nT时取值，所以
e*(t) e(nT ) (t nT ) n0
采样定理： 若采样器的采样频率ωs大于或等于其输入
连续信号f(t)的频谱中最高频率ωmax的两倍,即 ωs≥ωmax，则能够从采样信号 f(t)中完全复现
离散信号中存在高频信号，一般在D/A转换 后需要加滤波器虑除高频噪声
4）计算机实现数字控制器
9
数字控制系统的典型结构
r (t )
e(t )
e* (t)
u (t )
《自动控制原理》第七章 离散控制系统
式中， ( z ) 称为离散信号e* (t ) 的z变换，记为 E( z) Z[e* (t )] E
7.3.2 z变换的方法
常用的求取离散函数的z变换方法有级数求和法、部分分式法和留数计算法。
1.级数求和法
根据z变换的定义，将连续信号 e(t ) 按周期 T 进行采样，级数展开可得
教学难点
离散时间函数的数学表达式及采样定理， 线性常系数差分方程与脉冲传递函数，采 样控制系统的时域分析，采样控制系统的 频域分析。
概述：
近年来，随着脉冲技术、数字式元器件、数字计算机，特别是微处理器
的迅速发展，数字控制器在许多场合取代了模拟控制器，比如微型数字 计算机在控制系统中得到了广泛的应用。离散系统理论的发展是非常迅 速的。 因此，深入研究离散系统理论，掌握分析与综合数字控制系统的基 础理论与基本方法，从控制工程特别是从计算机控制工程角度来看，是 迫切需要的。
图7-3 信号复现过程
7.1.2 数字控制系统
数字控制系统是一种以数字计算机为控制器去控制具有连续工作状态的 被控对象的闭环控制系统。 其原理方框图如图7-4所示。
图7-4 数字控制系统方框图
过程分析：A/D转换器将连续信号转换成数字序列，经数字控制器处理后生 成离散控制信号，再通过D/A转换器转换成连续控制信号作用于 被控对象。
第7章 离散控制系统
教学重点
了解线性离散系统的基本概念和基本定理，把握 线性连续系统与线性离散系统的区别与联系； 熟练掌握Z变换的方法、Z变换的性质和Z反变换； 了解差分方程的定义，掌握差分方程的解法； 了解脉冲传递函数的定义，熟练掌握开环与闭环 系统脉冲传递函数的计算方法； 与线性连续系统相对应，掌握线性离散系统的时 域和频域分析方法和原则。
自动控制原理第7章 离散控制系统
b(t )
H (s)
图7.5 数字控制系统的简化框图
2019/2/19
7
数字控制系统较之一般的连续控制系统具有如下一 些优点： 能够保证足够的计算精度； 在数字控制系统中可以采用高精度检测元件和执 行元件，从而提高整个系统的精度； 数字信号或脉冲信号的抗干扰性能好，可以提高 系统的抗干扰能力； 可以采用分时控制方式，提高设备的利用率，并 且可以采用不同的控制规律进行控制； 可以实现一些模拟控制器难以实现的控制律，特 别对复杂的控制过程，如自适应控制、最优控制、 智能控制等，只有数字计算机才能完成。
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7.2.1 采样过程及其数学描述
将连续信号通过采样开关(或采样器)变换成离 散信号的过程称为采样过程。相邻两次采样的时间 间隔称为采样周期T。 采样频率：f s 1/ T 采样角频率： s 2 /T 采样可分为：
等速采样:采样开关以相同的采样周期T动作，又 称为周期采样 多速采样:系统中有n个采样开关分别按不同周期 动作 随机采样:采样开关动作是随机的 本章仅限于讨论等速同步采样过程。
j t xj ( ) xt () e d t
1 X( s ) Xs ( j k s) T k
*
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(7-7)
15
X ( j )
max
2max
(a)
o
max
图7.7 连续信号及离散信号的频谱
式中ω s=2π/T为采样频率，X(s)为x(t)的拉氏变 换。若X*(s)的极点全都位于s左平面，可令s=jω ， 求得x*(t)的傅氏变换为
离散控制系统最常见形式是数字控制系统。图 7.4是数字控制系统的结构图。图中用于控制的计算 机D工作在离散状态，被控对象G(s)工作在模拟状态。
离散控制系统：分析离散控制系统的特点、设计和实现
离散控制系统：分析离散控制系统的特点、设计和实现导语：离散控制系统是一种在离散时间点进行操作和控制的系统。
它在现代自动化系统中起着至关重要的作用。
本文旨在深入探讨离散控制系统的特点、设计和实现，并提供一些实际应用例子。
1. 什么是离散控制系统？离散控制系统是一种以离散时间点为基础进行操作和控制的系统。
与连续控制系统相比，离散控制系统通过在离散时间点上获取和处理输入信号，并输出相应的控制信号来实现对系统的控制。
2. 离散控制系统的特点2.1 离散性离散控制系统的最显著特点就是离散性。
它通过间隔固定的时间点来采样输入信号，并在每个时间点上计算输出信号。
这种离散的特性使得系统的分析和设计更容易，同时也更适合数字计算机进行实现。
2.2 有限性离散控制系统是有限的，它只能处理有限数量的采样和输出。
这意味着在系统的设计中，需要考虑到系统的存储容量和计算能力。
2.3 确定性离散控制系统具有确定性，即在给定的输入条件下，它的输出是确定的。
这使得系统的行为可以预测和分析，有助于系统的稳定性和可靠性。
2.4 抗干扰性离散控制系统相对于连续控制系统具有更好的抗干扰性。
在离散时间点上进行采样和处理可以有效地过滤掉噪声和干扰信号，从而提高系统的稳定性和可靠性。
3. 离散控制系统的设计3.1 系统建模在设计离散控制系统之前，首先需要对待控制的系统进行建模。
系统建模是通过数学方程或差分方程描述系统的动态行为和输入输出关系。
根据系统的特性，可以选择不同的数学模型，如线性模型、非线性模型等。
3.2 控制器设计控制器是离散控制系统设计中最关键的部分之一。
控制器根据输入信号、系统模型和输出误差等信息，计算出相应的控制信号来控制系统的运行。
根据系统的要求和特性，可以选择不同的控制算法，如比例控制、积分控制、PID控制等。
3.3 信号采样和处理离散控制系统通过对输入信号进行采样和处理来获取和处理系统状态和误差信号。
采样频率和采样周期的选择对系统的性能和稳定性有重要影响。
自动控制原理胡寿松--第7章
采样周期的选取： 原则上采样周期的选取应该保证能够复现系统所能通过 的最高频率的信号，一般需要经过实验确定。对于伺服
系统一般认为频率超过c的信号将被滤除，因而一般选 择采样周期s 10c
信号的复现D/A转换
x (t)
T 2T 3T
解码，将数字信号折算成对应的电压或电流值 x(KT )
1- e-aT a(z - e-aT )
二.线性离散系统的闭环传函
• 在分析离散系统脉冲传递函数时，应注意在 闭环的各个通道以及环节之间是否有采样开关， 因为有、无采样开关所得的闭环脉冲传递函数是 不相同的。
试求右图所示系统的闭环传函
R(s) (s)
-
Y(s)
G1(s)
G2(s)
C* (s)
f () lim f (t) lim(z 1)F(z)
t
z1
(7) 卷积定理
若：Z[ f1(t)] F1(z), Z[ f2 (t)] F2 (z)，
则 F1(z) F2 (z) Z[ f1(mT ) f2(kT mT )] m0
4. Z反变换
(1) 幂级数展开法
第七章 线性离散控制系统分析初步
•学习重点
了解线性离散系统的基本概念和基本定理，把握线性连 续系统与线性离散系统的区别与联系；
熟练掌握Z变换、Z变换的性质和Z反变换方法
了解脉冲传递函数的定义，熟练掌握开环与闭环系统脉 冲传递函数的计算方法；
掌握线性离散系统的时域分析方法
7.1 线性离散系统的基本概念
(2) 延迟定理 设t<0时f(t)=0，令Z[f(t)]=F(z)，则
Z f (t nT) znF(z)
自动控制原理：第7章 离散控制系统
式中δ(t–kT)为t=kT(k=0,1,2,∙∙∙)时刻具有单位强 度的理想脉冲。
2020/12/17
12
需要指出，具有无穷大幅值和持续时间无穷小 的理想单位脉冲只是数学上的假设，在实际物理系 统中是不存在的。因此，在实际应用中，对理想单 位脉冲(面积为1)来说，只有讨论其面积，或强度才 有意义。式(7-3)就是基于这种观点，从矩形脉冲及 理想脉冲的面积来考虑的。
动作
随机采样:采样开关动作是随机的
本章仅限于讨论等速同步采样过程。
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采样过程如图7.6所示。连续信号x(t)经过采 样开关转换成离散信号x*(t)。如果x*(t)的幅值经 整量化用数字(或数码)来表示，则x*(t)在幅值上 也是离散的。考虑到采样开关的闭合时间远小于采 样周期T和系统连续部分的最大时间常数，可认为 采样时间τ=0，x(t)在τ内变化很小，因此x*(t) 可用幅值为x(kT)，宽度为τ的脉冲序列近似表示。
可以实现一些模拟控制器难以实现的控制律，特 别对复杂的控制过程，如自适应控制、最优控制、 智能控制等，只有数字计算机才能完成。
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7.2 采样过程与采样定理
离散系统的特点是：系统中一处或数处的信号 是脉冲序列或数字序列。为了将连续信号变换为离 散信号，需要使用A/D转换器(采样器)；另一方面， 为了控制连续的被控对象，又需使用D/A转换器(保 持器)将离散信号转换为连续信号。因此，为了定量 地研究离散系统，有必要对信号的采样和恢复过程 进行描述。
H (s)
图7.5 数字控制系统的简化框图
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7
数字控制系统较之一般的连续控制系统具有如下一
些优点：
自动控制原理 第七章 第三讲 离散系统的动态性能分析
4 不同典型输入作用下， D(z)的确定 不同典型输入作用下， 的确定
a. 单位阶跃 (m=1, A(z)=1)
−1
R(z) =
1 1 − z −1
z −1 [1 − Φ ( z )] = (1 − z ) D ( z ) = (1 − z −1 )G ( z ) 1 误差的Z变换 变换： 误差的 变换： E ( z ) = [1 − Φ ( z )] =1 −1 (1 − z )
输输输输
1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 2 4 6 10 12 时时(sec) 8 14 16 18
den=［1 ［
－0.104 0.368］ ］
dstep(num, den)
MATLAB绘制的阶跃响应曲线
二、闭环极点与动态响应的关系 （1）闭环实数极点分布与相应的动态响应形式 ）
z=
w=
z +1 z −1
w +1 w −1
代入特征方程中，应用 代入特征方程中，应用Routh判据判稳 判据判稳
离散系统的稳态误差计算
1. 终值定理法
R(s) ＋ E(s) T E *(s) C(s)
G(s)
－
系统的误差
E (z) =
1 R( z) 1 + G( z )
设闭环系统稳定, 根据终值定理 终值定理可以求出在输入信号作用下采样 设闭环系统稳定 根据终值定理可以求出在输入信号作用下采样 系统的稳态误差终值 系统的稳态误差终值: 稳态误差终值
t →∞ z →1 z →1
(*)
b.
当典型输入信号分别为单位阶跃 、 单位斜坡和 单位加速度信号时 当典型输入信号分别为 单位阶跃、 单位斜坡 和 单位加速度信号 时 , 单位阶跃 变换分别如下所示 其Z变换分别如下所示 变换分别如下所示: 1 Tz − 1 T 2 z − 1 (1 + z − 1 ) R(z) = , R(z) = , R(z) = 1 − z −1 (1 − z − 1 ) 2 2 (1 − z − 1 ) 3
第七章离散控制系统
n i 1
Ai z z e piT
【例7-3】已知 F (s) 1 ，试求其z变换
s(s a)
解 将F（s）展开成部分分式形式
F(s) 1 1 (1 1 ) s(s a) a s s a
其对应的时间函数为 由例7-1和7-2可得
f (t) 1 [1 eat ] a
F(z) 1 [ z z ]
初始条件y(0)=0，y(1)=1，输入为单位阶跃函数 解 利用超前定理，对差分方程进行z变换，得 z2Y (z) z2 y(0) zy(1) 3[zY (z) zy(0)] 2Y (z) R(z)
将已知条件代入上式，得
所以
(z2 3z 2)Y (z) z z z2 z 1 z 1
解 因为 f (nT ) eanT 代入定义式中，得
F (z) 1 eaT z1 e2aT z2 enaT zn
利用级数求和公式写成闭合形式，得
Z (eaT
)
F
(
z)＝ 1
1 eaT
z
1
z
z eaT
eaT z1 1
2、部分分式法
F(s)
n i 1
Ai s pi
z F (z)
z(1 eaT )
a z 1 z eaT a[z2 (1 eaT )z eaT ]
三、z反变换
由F（z）求 f*（t）的过程称为 z 反变换，表示为
Z 1[F (z)] f *(t) f (nT )
或表示为 Z1 F(z) f *(t)
z变换只表征连续函数在采样时刻的特性，并不 反映采样时刻之间的特性，所以z反变换也只能求 出采样函数f*（t），不能求出连续函数f（t）。
Z[ s
1 ]• Z[ 1 ] a sb
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j T 2
)
T
sin(T
2
T
)
e
j T 2
2
幅频特性
sin(T )
Gh ( j) T
2
T
2
相频特性
Gh
(
j
)
T
2
幅频特性的幅值随频率ω的增大而衰减，具有明 显低通滤波特性。
零阶保持器不是一个理想的低通滤波器，它除 了允许主频谱通过外，还允许部分高频频谱通过。 因此，由零阶保持器恢复的连续信号eh（t）与原来 的连续信号e（t）是有差别的。
【例7-1】求单位阶跃函数1（t）的z变换
解 单位阶跃函数的采样函数为
f (nT ) 1(t) 1
n=0、1、2、…
代入上式，得
F (z) 11* z1 1* z2 L 1* zn L
对上式进行级数求和，写成闭合形式，得
Z[1(t)]
F(z)
1 1 z1
z
z 1
（|z|>1）
【例7-2】求 f (t) eat 的z 变换
e*(t) e(t) (t nT ) e(t) (t nT ) e(nT ) (t nT )
n0
n0
n0
采样过程相当于一个 脉冲调制过程，其中输 入信号e（t）为被调制
信号，载波信号 T (t) 决
定采样时刻。即采样开
关输出信号 e* (t) 的幅
值由e（t）决定，存在 的时刻由 T (t) 决定。
二、 采样定理
E * (
j)
1 T
n
E(s
jns )
E*（jω）——采样信号e*（t）的频谱；
E（jω）——连续信号e（t） 的频谱
由图可见，相临两部分频谱彼此不能重叠的条 件是： 采样频率ωs 必须大于或等于采样开关输 入连续信号e（t）频谱中最高频率ωmax的2倍，即：
s 2max ——香农（Shannon）采样定理
根据同样的道理，又会造成反方向超调，这样 引起炉温震荡。
采用离散控制，在误差信号与电动机之间加一个 采样开关，它周期性的闭合和断开。
当炉温出现误差时，误差信号只有在开关闭合时 才能使执行电动机旋转，进行炉温调节。当采样开关 断开，执行电动机立即停下来，阀门位置固定，炉温 自动变化，直到下次采样开关闭合，根据炉温误差大 小再进行调节。
采用零阶保持器还将产生滞后相移，这将使系统 的相对稳定性降低。从零阶保持器输出关系图中也 可看出，将阶梯信号的中点连接起来形成的虚线的 形状与原连续信号e（t）相同，相位滞后T/2，该 曲线的数字表达式为e（t-T/2）。与他各阶保持器 相比，零阶保持器产生的相位滞后最小。
7.2 z变换与反变换
一、z 变换的定义
解 因为 f (nT ) eanT 代入定义式中，得
F (z) 1 eaT z1 e2aT z2 L enaT zn L
利用级数求和公式写成闭合形式，得
Z (eaT
)
F
(
z)＝ 1
1 eaT
z
1
z
z eaT
eaT z1 1
2、部分分式法
F(s)
n i 1
Ai s pi
z F (z)
z变换实质上是拉氏变换的一种扩展，也称作采 样拉氏变换。在采样系统中，连续函数信号 f (t)经过 采样开关，变成采样信号 f *(t)
F (s) L[ f (t)] f (t)estdt 0
L[ f *(t)] F *(s) f (nT )enTs n0 将F *(s)记作F(z)
采样值经过保持器即不 放大，也不衰减，保存一 个采样周期T。
单位脉冲响应如图所示 零阶保持器脉冲响应可表示为
gh (t) 1(t) 1(t T )
零阶保持器的传递函数为
Gh
(s)
1
e s
Ts
令s=jω，可以求得零阶保持器的频率特性为
Gh
(
j
)
1
e jT
j
2e
j T 2
j T
(e 2 e
2 j
试用终值定理确定终值
解：由终值定理得
e() lim (z 1)
0.792z 2
z 1
(z 1)(z 2 0.416z 0.208)
0.792z 2 lim
z1 z 2 0.416z 0.208 1
二、z变换的方法
1、级数求和法
F (z) f (0) f (T )z1 L f (nT )zn L
如果 ωs <2ωmax ，不能满足采样定理，发生相 邻部分频谱重叠的现象，即使通过理想滤波器， 也难以准确的恢复原来的连续信号。
三、 保持器
1、 零阶保持器
把 前 一 个 采 样 时 刻 nT 的采样值不增不减的保持 到 下 一 个 采 样 时 刻 （ n+1 ） T的保持器称为零阶保持 器。其输入信号与输出信 号之间的关系如图所示。
令 z eTs L[ f *(t)] F (z)＝ f (nT )zn n0
和差
乘常数
变
换 相
时位移
关
定 复变换
理
初值定理
终值定理
Z r1(kT) r2(kT) R1(z) R2(z)
Z ar(kT) aZ r(kT) aR(z)
Z r(kT nT ) znR(z)
Z
r(kT
nT
)
zn
R(z)
n1 k 0
r (kT
)zk
Z emakT r(kT ) R(z(z)
k 0
z
lim r(kT ) lim(1 z1)R(z)
k
z1
例7-0：设Z变换函数为
E(z)
0.792z2
(z 1)(z2 0.416z 0.208)
第七章 离散控制系统
控制系统中有一部分信号不是时间的连续函数， 而是一组离散的脉冲序列或数字序列，这样的系统 称为离散控制系统。
离散控制系统又分为采样控制系统和数字控制系统
离散控制系统概述
以常规的炉温系统为例
由于炉子本身时间常数较大，炉温上升很慢， 当炉温升高到给定值时，阀门早已超过规定的开 度，因此炉温继续上升，造成超温，又导致电动 机反过来旋转。
由于电动机时转时停，超调现象受到控制，即使 采用较大的开环放大系数仍能保持系统稳定。
7.1 信号的采样与复现
一、 采样过程
采样过程就是对连续信号进行采样得到一个脉冲 序列的过程。采样开关或采样器可以看作是产生脉 冲序列的元件，采样过程可以理解为脉冲调制过程 ，下图表示采样的基本过程。
采样开关的输出信号：
n i 1
Ai z z e piT
【例7-3】已知 F (s) 1 ，试求其z变换
s(s a)
解 将F（s）展开成部分分式形式
F(s) 1 1 (1 1 ) s(s a) a s s a