离散控制系统
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n 0
令
ze
Ts
L[ f * (t )] F ( z )＝ f (nT ) z n
n 0
将F *(s)记作F ( z)
和差 乘常数
Z r1 (kT ) r2 (kT ) R1 ( z) R2 ( z)
变 换 相 关 定 理
Z ar(kT ) aZ r(kT ) aR( z)
gh (t ) 1(t ) 1(t T )
零阶保持器的传递函数为
1 eTs Gh ( s) s
令s=jω，可以求得零阶保持器的频率特性为
1 e Gh ( j ) j
jT
2e
j
T
2
(e e 2 j
2
j
T
j
T
2
)
T
sin(
T
2 e T 2
)
j
T
2
幅频特性
相频特性
Gh ( j ) T
sin(
T
2 T 2
)
Gh ( j )
T
2
幅频特性的幅值随频率ω的增大而衰减，具有明 显低通滤波特性。 零阶保持器不是一个理想的低通滤波器，它除 了允许主频谱通过外，还允许部分高频频谱通过。 因此，由零阶保持器恢复的连续信号eh（t）与原来 的连续信号e（t）是有差别的。
三、 保持器
1、 零阶保持器
把 前 一个采 样时刻 nT 的采样值不增不减的保持 到下一个采样时刻（ n+1 ） T 的保持器称为零阶保持 器。其输入信号与输出信 号之间的关系如图所示。 采样值经过保持器即不 放大，也不衰减，保存一 个采样周期T。
单位脉冲响应如图所示 零阶保持器脉冲响应可表示为
z变换实质上是拉氏变换的一种扩展，也称作采 样拉氏变换。在采样系统中，连续函数信号 f (t )经过 采样开关，变成采样信号 f *(t )
F (s) L[ f (t )] f (t )e dt
st 0
L[ f * (t )] F * ( s) f (nT )e nTs
0.792 z 2 e() lim ( z 1) z 1 ( z 1)( z 2 0.416 z 0.208) 0.792 z 2 lim 2 z 1 z 0.416 z 0.208 1
二、z变换的方法
1、级数求和法
F ( z) f (0) f (T ) z
lim r (kT ) lim R( z )
z
lim r (kT ) lim(1 z 1 ) R( z )
k z 1
例7-0：设Z变换函数为
0.792 z 2 E( z) ( z 1)( z 2 0.416 z 0.208)
试用终值定理确定终值 解：由终值定理得
n 0 n 0 n 0
采样过程相当于一个 脉冲调制过程，其中输 入信号 e （ t ）为被调制 信号，载波信号 T (t ) 决 定采样时刻。即采样开 * e 关输出信号 (t ) 的幅 值由 e （ t ）决定，存在 的时刻由 T (t ) 决定。
二、 采样定理 1 E * ( j ) E ( s jns ) T n
采用零阶保持器还将产生滞后相移，这将使系统 的相对稳定性降低。从零阶保持器输出关系图中也 可看出，将阶梯信号的中点连接起来形成的虚线的 形状与原连续信号e（t）相同，相位滞后T/2，该 曲线的数字表达式为e（t-T/2）。与他各阶保持器 相比，零阶保持器产生的相位滞后最小。
7.2 z变换与反变换
一、z 变换的定义
Z r (kT nT ) z n R ( z )
n 1 Z r (kT nT ) z n R( z ) r (kT ) z k k 0
时位移
复变换
初值定理 终值定理
Z e
k 0
akT
aT r (kT ) R ( ze )
第七章 离散控制系统
控制系统中有一部分信号不是时间的连续函数， 而是一组离散的脉冲序列或数字序列，这样的系统 称为离散控制系统。 离散控制系统又分为采样控制系统和数字控制系统
离散控制系统概述
以常规的炉温系统为例
由于炉子本身时间常数较大，炉温上升很慢， 当炉温升高到给定值时，阀门早已超过规定的开 度，因此炉温继续上升，造成超温，又导致电动 机反过来旋转。 根据同样的道理，又会造成反方向超调，这 样引起炉温震荡。
解
1
f (nT ) z
n
【例7-1】求单位阶跃函数1（t）的z变换 单位阶跃函数的采样函数为 n=0、1、2、… f (nT ) 1(t ) 1
代入上式，得
F ( z) 1 1* z 1 1* z 2
1 z Z [1(t )] F ( z ) 1 1 z z 1
E*（jω）——采样信号e*（t）的频谱； E（jω）——连续信号e（t） 的频谱
由图可见，相临两部分频谱彼此不能重叠的条 件是： 采样频率ωs 必须大于或等于采样开关输 入连续信号e（t）频谱中最高频率ωmax的2倍，即：
s 2max
——香农（Shannon）采样定理
如果 ωs <2ωmax ，不能满足采样定理，发生相 邻部分频谱重叠的现象，即使通过理想滤波器， 也难以准确的恢复原来的连续信号。
采用离散控制，在误差信号与电动机之间加一个 采样开关，它周期性的闭合和断开。
当炉温出现误差时，误差信号只有在开关闭合 时才能使执行电动机旋转，进行炉温调节。当采样 开关断开，执行电动机立即停下来，阀门位置固定， 炉温自动变化，直到下次采样开关闭合，根据炉温 误差大小再进行调节。 由于电动机时转时停，超调现象受到控制，即 使采用较大的开环放大系数仍能保持系统稳定。
7.1 信号的采样与复现
一、 采样过程
采样过程就是对连续信号进行采样得到一个脉冲 序列的过程。采样开关或采样器可以看作是产生脉 冲序列的元件，采样过程可以理解为脉冲调制过程 ，下图表示采样的基本过程。
Leabharlann Baidu
采样开关的输出信号：
e* (t ) e(t ) (t nT ) e(t ) (t nT ) e(nT ) (t nT )
令
ze
Ts
L[ f * (t )] F ( z )＝ f (nT ) z n
n 0
将F *(s)记作F ( z)
和差 乘常数
Z r1 (kT ) r2 (kT ) R1 ( z) R2 ( z)
变 换 相 关 定 理
Z ar(kT ) aZ r(kT ) aR( z)
gh (t ) 1(t ) 1(t T )
零阶保持器的传递函数为
1 eTs Gh ( s) s
令s=jω，可以求得零阶保持器的频率特性为
1 e Gh ( j ) j
jT
2e
j
T
2
(e e 2 j
2
j
T
j
T
2
)
T
sin(
T
2 e T 2
)
j
T
2
幅频特性
相频特性
Gh ( j ) T
sin(
T
2 T 2
)
Gh ( j )
T
2
幅频特性的幅值随频率ω的增大而衰减，具有明 显低通滤波特性。 零阶保持器不是一个理想的低通滤波器，它除 了允许主频谱通过外，还允许部分高频频谱通过。 因此，由零阶保持器恢复的连续信号eh（t）与原来 的连续信号e（t）是有差别的。
三、 保持器
1、 零阶保持器
把 前 一个采 样时刻 nT 的采样值不增不减的保持 到下一个采样时刻（ n+1 ） T 的保持器称为零阶保持 器。其输入信号与输出信 号之间的关系如图所示。 采样值经过保持器即不 放大，也不衰减，保存一 个采样周期T。
单位脉冲响应如图所示 零阶保持器脉冲响应可表示为
z变换实质上是拉氏变换的一种扩展，也称作采 样拉氏变换。在采样系统中，连续函数信号 f (t )经过 采样开关，变成采样信号 f *(t )
F (s) L[ f (t )] f (t )e dt
st 0
L[ f * (t )] F * ( s) f (nT )e nTs
0.792 z 2 e() lim ( z 1) z 1 ( z 1)( z 2 0.416 z 0.208) 0.792 z 2 lim 2 z 1 z 0.416 z 0.208 1
二、z变换的方法
1、级数求和法
F ( z) f (0) f (T ) z
lim r (kT ) lim R( z )
z
lim r (kT ) lim(1 z 1 ) R( z )
k z 1
例7-0：设Z变换函数为
0.792 z 2 E( z) ( z 1)( z 2 0.416 z 0.208)
试用终值定理确定终值 解：由终值定理得
n 0 n 0 n 0
采样过程相当于一个 脉冲调制过程，其中输 入信号 e （ t ）为被调制 信号，载波信号 T (t ) 决 定采样时刻。即采样开 * e 关输出信号 (t ) 的幅 值由 e （ t ）决定，存在 的时刻由 T (t ) 决定。
二、 采样定理 1 E * ( j ) E ( s jns ) T n
采用零阶保持器还将产生滞后相移，这将使系统 的相对稳定性降低。从零阶保持器输出关系图中也 可看出，将阶梯信号的中点连接起来形成的虚线的 形状与原连续信号e（t）相同，相位滞后T/2，该 曲线的数字表达式为e（t-T/2）。与他各阶保持器 相比，零阶保持器产生的相位滞后最小。
7.2 z变换与反变换
一、z 变换的定义
Z r (kT nT ) z n R ( z )
n 1 Z r (kT nT ) z n R( z ) r (kT ) z k k 0
时位移
复变换
初值定理 终值定理
Z e
k 0
akT
aT r (kT ) R ( ze )
第七章 离散控制系统
控制系统中有一部分信号不是时间的连续函数， 而是一组离散的脉冲序列或数字序列，这样的系统 称为离散控制系统。 离散控制系统又分为采样控制系统和数字控制系统
离散控制系统概述
以常规的炉温系统为例
由于炉子本身时间常数较大，炉温上升很慢， 当炉温升高到给定值时，阀门早已超过规定的开 度，因此炉温继续上升，造成超温，又导致电动 机反过来旋转。 根据同样的道理，又会造成反方向超调，这 样引起炉温震荡。
解
1
f (nT ) z
n
【例7-1】求单位阶跃函数1（t）的z变换 单位阶跃函数的采样函数为 n=0、1、2、… f (nT ) 1(t ) 1
代入上式，得
F ( z) 1 1* z 1 1* z 2
1 z Z [1(t )] F ( z ) 1 1 z z 1
E*（jω）——采样信号e*（t）的频谱； E（jω）——连续信号e（t） 的频谱
由图可见，相临两部分频谱彼此不能重叠的条 件是： 采样频率ωs 必须大于或等于采样开关输 入连续信号e（t）频谱中最高频率ωmax的2倍，即：
s 2max
——香农（Shannon）采样定理
如果 ωs <2ωmax ，不能满足采样定理，发生相 邻部分频谱重叠的现象，即使通过理想滤波器， 也难以准确的恢复原来的连续信号。
采用离散控制，在误差信号与电动机之间加一个 采样开关，它周期性的闭合和断开。
当炉温出现误差时，误差信号只有在开关闭合 时才能使执行电动机旋转，进行炉温调节。当采样 开关断开，执行电动机立即停下来，阀门位置固定， 炉温自动变化，直到下次采样开关闭合，根据炉温 误差大小再进行调节。 由于电动机时转时停，超调现象受到控制，即 使采用较大的开环放大系数仍能保持系统稳定。
7.1 信号的采样与复现
一、 采样过程
采样过程就是对连续信号进行采样得到一个脉冲 序列的过程。采样开关或采样器可以看作是产生脉 冲序列的元件，采样过程可以理解为脉冲调制过程 ，下图表示采样的基本过程。
Leabharlann Baidu
采样开关的输出信号：
e* (t ) e(t ) (t nT ) e(t ) (t nT ) e(nT ) (t nT )