高中数学对数与对数函数知识点及例题讲解
高一 对数与对数函数知识点+例题+练习 含答案
1．对数的概念一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，N 叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log am M n ＝nm log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0)．(2)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N ＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3．对数函数的图象与性质a >10<a <1图象性 质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当0<x <1时，y <0 (4)当x >1时，y >0 当0<x <1时，y >0 (6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线__y ＝x __对称． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( × )(3)函数y ＝log 2x 及y ＝log 133x 都是对数函数．( × )(4)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (5)函数y ＝ln 1＋x 1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( √ )(6)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．( √ )1．(2015·湖南改编)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则有关f (x )的性质判断正确的是________(填序号)．①奇函数，且在(0,1)上是增函数； ②奇函数，且在(0,1)上是减函数； ③偶函数，且在(0,1)上是增函数； ④偶函数，且在(0,1)上是减函数． 答案 ①解析 易知函数定义域为(－1，1)，f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，又f (x )＝ln 1＋x 1－x＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－2x －1，由复合函数单调性判断方法知，f (x )在(0,1)上是增函数．2．设a ＝log 1312，b ＝log 1323，c ＝log 343，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 c <b <a解析 ∵a ＝log 1312＝log 32，b ＝log 1323＝log 332，c ＝log 343.log 3x 是定义域上的增函数，2>32>43，∴c <b <a .3．函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图象是________．(填图象序号)答案 ②解析 由函数f (x )＝lg(|x |－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，值域为R .又当x >1时，函数单调递增，所以只有②正确．4．(2015·浙江)若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________. 答案4 33解析 2a＋2－a ＝4log 32＋4log 32－＝3log log 322＋＝3＋33＝4 33. 5．(教材改编)若log a 34<1(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞) 解析 当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，∴0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，∴a >1.∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞).题型一 对数式的运算例1 (1)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝________.(2)lg 5＋lg 20的值是________． 答案 (1)10 (2)1解析 (1)∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. ∴m ＝10.(2)原式＝lg 100＝lg 10＝1.思维升华 在对数运算中，要熟练掌握对数的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算．(1)计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝________.(2)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n ＝________. 答案 (1)1 (2)12 解析 (1)原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋(1－log 63)(1＋log 63)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.(2)∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n ＝3， ∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝22×3＝12.题型二 对数函数的图象及应用例2 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是________．(填序号)(2)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是____________．答案 (1)③ (2)(22，1) 解析 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除①、②； 又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除④.故③正确．(2)构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在⎝⎛⎦⎤0，12上的图象， 可知f ⎝⎛⎭⎫12<g ⎝⎛⎭⎫12， 即2<log a 12，则a >22，所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1. 思维升华 应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．(1)已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是________．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是____________． 答案 (1)② (2)(10,12)解析 (1)∵lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∵g (x )＝－log b x 的定义域是(0，＋∞)，故排除①. 若a >1，则0<b <1，此时f (x )＝a x 是增函数，g (x )＝－log b x 是增函数，②符合，排除④.若0<a <1，则b >1，g (x )＝－log b x 是减函数，排除③，故填②.(2)作出f (x )的大致图象(图略)．由图象知，要使f (a )＝f (b )＝f (c )，不妨设a <b <c ，则－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6，∴lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∴abc ＝c .由图知10<c <12，∴abc ∈(10,12)．题型三 对数函数的性质及应用命题点1 比较对数值的大小例3 设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则a ，b ，c 的大小关系为__________． 答案 a >b >c解析 由对数运算法则得a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，由对数函数图象得log 32>log 52>log 72，所以a >b >c . 命题点2 解对数不等式例4 若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是__________． 答案 (12，1)解析 由题意得a >0，故必有a 2＋1>2a ， 又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1， 同时2a >1，所以a >12.综上，a ∈(12，1)．命题点3 和对数函数有关的复合函数 例5 已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由． 解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ， 当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立． ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数． ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a (3－a )＝1，即⎩⎨⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.思维升华 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．(1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则a ，b ，c 的大小关系为____________．(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为__________． (3)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是__________________．答案 (1)c >a >b (2)[1,2) (3)(－1,0)∪(1，＋∞) 解析 (1)∵3<2<3,1<2<5，3>2，∴log 33<log 32<log 33，log 51<log 52<log 55，log 23>log 22， ∴12<a <1,0<b <12，c >1，∴c >a >b . (2)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．(3)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 2a >log 12a或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，log 12(－a )>log 2(－a )，解得a >1或－1<a <0.2．比较指数式、对数式的大小典例 (1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是__________． (2)设a ＝log 2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则a ，b ，c 的大小关系为____________．(3)已知324log 0.3log 3.4log 3.6155()5，＝，＝，＝a b c 则a ，b ，c 大小关系为__________．思维点拨 (1)可根据幂函数y ＝x 0.5的单调性或比商法确定a ，b 的大小关系，然后利用中间值比较a ，c 大小．(2)a ，b 均为对数式，可化为同底，再利用中间变量和c 比较．(3)化为同底的指数式．解析 (1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性， 可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1；根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1.所以b <a <c . (2)∵a ＝log 2π>log 22＝1，b ＝log 12π＝log 21π<log 21＝0,0<c ＝1π2<1，∴b <c <a .(3)c ＝(15)3log 0.3＝53log 0.3－＝5310log 3.方法一 在同一坐标系中分别作出函数y ＝log 2x ，y ＝log 3x ，y ＝log 4x 的图象，如图所示．由图象知：log 23.4>log 3103>log 43.6.方法二 ∵log 3103>log 33＝1，且103<3.4，∴log 3103<log 33.4<log 23.4.∵log 43.6<log 44＝1，log 3103>1，∴log 43.6<log 3103.∴log 23.4>log 3103>log 43.6.由于y ＝5x 为增函数， ∴52log 3.4>5310log 3>54log 3.6.即52log 3.4>(15)3log 0.3 >54log 3.6，故a >c >b . 答案 (1)b <a <c (2)a >c >b (3)a >c >b温馨提醒 (1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.[方法与技巧]1．对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <1且0<b <1时，log a b >0； 当a >1且0<b <1或0<a <1且b >1时，log a b <0. 2．对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性和a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论．3．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性． 4．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定． [失误与防范]1．在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N *，且α为偶数)．2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x 12-＝________.答案24解析 由条件知，log 3(log 2x )＝1，∴log 2x ＝3， ∴x ＝8，∴x12-＝24. 2．已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e 12-，则x ，y ，z 的大小关系为____________．答案 y <z <x解析 ∵x ＝ln π>ln e ，∴x >1. ∵y ＝log 52<log 55，∴0<y <12.∵z ＝e12-＝1e >14＝12，∴12<z <1.综上可得，y <z <x .3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1， x ≤0，log 2x ， x >0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是__________．答案 (－1,0]∪(2，＋∞)解析 当x ≤0时，3x ＋1>1⇒x ＋1>0，∴－1<x ≤0；当x >0时，log 2x >1⇒x >2，综上所述：－1<x ≤0或x >2.4．设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是__________． 答案 (－1,0)解析 由f (x )是奇函数可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x 1－x，定义域为(－1,1)． 由f (x )<0，可得0<1＋x 1－x<1，∴－1<x <0. 5．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝________.答案 －1解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x )＝f (x ＋4)，因为4＜log 220＜5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f (log 245)＝－(224log 5＋15)＝－1. 6．(2015·安徽)lg 52＋2lg 2－⎝⎛⎭⎫12－1＝________. 答案 －1解析 lg 52＋2lg 2－⎝⎛⎭⎫12－1＝lg 52＋lg 22－2 ＝lg ⎝⎛⎭⎫52×4－2＝1－2＝－1.7．设函数f (x )满足f (x )＝1＋f (12)log 2x ，则f (2)＝_____________________. 答案 32解析 由已知得f (12)＝1－f (12)·log 22，则f (12)＝12，则f (x )＝1＋12·log 2x ，故f (2)＝1＋12·log 22＝32.8．(2015·福建)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是_____________________________________．答案 (1,2]解析 由题意f (x )的图象如右图，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，3＋log a 2≥4，∴1＜a ≤2. 9．已知函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，求a 的取值范围．解 函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )是由函数y ＝log 12t 和t ＝x 2－ax ＋a 复合而成．因为函数y ＝log 12t 在区间(0，＋∞)上单调递减，而函数t ＝x 2－ax ＋a 在区间(－∞，a 2)上单调递减，又因为函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2≤a 2，(2)2－2a ＋a ≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥22，a ≤2(2＋1)，即22≤a ≤2(2＋1)．10．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间[0，32]上的最大值．解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1,3)， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在[0，32]上的最大值是f (1)＝log 24＝2. B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．(2015·陕西改编)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则p 、q 、r 的大小关系是____________．答案 p ＝r <q解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b 2＞ab ， 又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p . 又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p ， 故p ＝r ＜q .12．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则f ⎝⎛⎭⎫13，f ⎝⎛⎭⎫12，f (2)的大小关系是______________．答案 f (12)<f (13)<f (2) 解析 由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝2－x ＋x 2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大，∵|2－1|>|13－1|>|12－1|， ∴f (12)<f (13)<f (2)． 13．若函数f (x )＝lg(－x 2＋8x －7)在区间(m ，m ＋1)上是增函数，则m 的取值范围是__________． 答案 [1,3]解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤4，－m 2＋8m －7≥0，解得1≤m ≤3， 所以答案应填[1,3]．14．已知函数f (x )＝ln x 1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫0，14 解析 由题意可知ln a 1－a ＋ln b 1－b ＝0， 即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14， 又0<a <b <1，∴0<a <12，故0<－⎝⎛⎭⎫a －122＋14<14. 15．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2) ＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12(log a x ＋32)2－18. 当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32. 又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)．∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得．若12(log a 2＋32)2－18＝1，则a ＝2－13， 此时f (x )取得最小值时，x ＝1332(2)＝--2∉[2,8]，舍去．若12(log a 8＋32)2－18＝1，则a ＝12，此时f(x)取得最小值时，x＝(12)32＝22∈[2,8]，符合题意，∴a＝12.。
对数与对数函数知识点及例题讲解
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N Ûlog a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N . ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1）④对数换底公式：log b N =bNN a a log log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）. 2.对数函数（1）对数函数的定义）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）. 注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1 对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。
但是，根据对数定义: : loglog a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象）对数函数的图象O xyy = l o g x a > Oxy<a <a y = l o g x a 1111( ())底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R . ③过点（1，0），即当x =1时，y =0. ④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数. 基础例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是的图象是1 1 1-1 1111 1 xxxxy y y y O OOOA BC D解析：f （x ）=îíì<<-³.10,log ,1,log 22x x x x答案：A 2.若f －－1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －－1（x ）的值域为___________________. 解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －－1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________. 解析：由0≤log 21（3－x ）≤1Þlog 211≤log 21（3－x ）≤log 2121Þ21≤3－x ≤1Þ2≤x ≤25. 答案：［2，25］4.若log x7y=z ，则x 、y 、z 之间满足之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由logx 7y=z Þx z=7y Þx 7z=y ，即y =x 7z. 答案：B 5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则，则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D 6.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于等于 A.42 B.22 C.41 D.21解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42. 答案：A 7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于A. 21 B.－21 C.2 D.－2 解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a1）|，对称轴为x =a1，由a1=－2 得a =－21. 答案：B 注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4）， 可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1. ∵a ≠0，∴a =－21. 8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是能是OxyOxyOxyOxyABC D解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，)111-1O xy注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观. 【例3】 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间. 解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x －1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增. 注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域. 【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23. 【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|. （1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0； （2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|. 【例6】 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值. 解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x . 又∵3)2(2--x x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4， ∴当x ＝4时，y min ＝lg4. 【例7】 （2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f（x 1）+f （x 2）］＜f （221x xx x +）成立的函数是）成立的函数是A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A 探究创新1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？）？ 解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2，127m +m －+m ）－+m+2m ≥+xm+2m ）+x m ≥2m （当且仅当=xm ，即=m 时等号成立）+x m +2m ）=4m ，即4m ≥≥169. 可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较. 3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用. 。
对数函数知识点及典型例题讲解
对数函数知识点1．对数：(1) 定义：如果N a b =)1,0(≠>a a 且，那么称 为 ，记作 ，其中a 称为对数的底，N 称为真数. ① 以10为底的对数称为常用对数，N 10log 记作___________．② 以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称为自然对数，N e log 记作_________． (2) 基本性质：① 真数N 为 (负数和零无对数)；② 01log =a ；③ 1log =a a ； ④ 对数恒等式：N a N a =log ． (3) 运算性质：① log a (MN)＝___________________________； ② log a NM ＝____________________________；③ log a M n＝ (n ∈R).④ 换底公式：log a N ＝ (a >0，a ≠1，m >0，m ≠1，N>0)⑤ log m na a nb b m = .2．对数函数：① 定义：函数 称为对数函数，1) 函数的定义域为( ；2) 函数的值域为 ；3) 当______时，函数为减函数，当______时为增函数；4) 函数x y a log =与函数)1,0(≠>=a a a y x且互为反函数. ② 1) 图象经过点( )，图象在 ；2) 对数函数以 为渐近线(当10<<a 时，图象向上无限接近y 轴；当1>a 时，图象向下无限接近y 轴)；4) 函数y ＝log a x 与 的图象关于x 轴对称． ③ 函数值的变化特征：例1 计算：（1）)32(log32-+（2）2(lg 2)2+lg 2·lg5+12lg )2(lg 2+-;（3）21lg 4932-34lg 8+lg 245.例2 比较下列各组数的大小. （1）log 332与log 556;2）log 1.10.7与log 1.20.7;（3）已知log 21b ＜log 21a ＜log 21c,比较2b,2a,2c的大小关系.例3已知函数f(x)=log a x(a ＞0,a ≠1)，如果对于任意x ∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立， 试求a 的取值范围.函数y=log 2x 的图象交于C 、D 两点.例4 已知过原点O 的一条直线与函数y=log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过A 、B 作y 轴的平行与 （1）证明:点C 、D 和原点O（2）当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标.1解：（1）方法一设)32(log32-+=x,(2+3)x=2-3=321+=（2+3）-1,∴x=-1.方法二)32(log 32-+=32log +321+=32log+(2+3)-1=-1.（2）原式=lg 2（2lg 2+lg5）+12lg 2)2(lg 2+-=lg 2(lg2+lg5)+|lg 2-1|=lg 2+(1-lg 2)=1. （3）原式=21（lg32-lg49）-34lg821+21lg245=21 (5lg2-2lg7)-34×2lg 23+21 (2lg7+lg5)=25lg2-lg7-2lg2+lg7+21lg5=21lg2+21lg5=21lg(2×5)= 21lg10=21.2解：（1）∵log 332＜log 31=0,而log 556＞log 51=0,∴log 332＜log 556.(2)方法一 ∵0＜0.7＜1,1.1＜1.2,∴0＞2.1log 1.1log7.00.7>,2.1log 11.1log 17.07.0<,即由换底公式可得log 1.10.7＜log 1.20.7.方法二 作出y=log 1.1x 与y=log 1.2x 的图象.如图所示两图象与x=0.7相交可知log 1.10.7＜log 1.20.7. (3)∵y=x 21log 为减函数，且c a b 212121log log log <<,b ＞a ＞c,而y=2x 是增函数，∴2b ＞2a ＞2c.3解：当a ＞1时，对于任意x ∈［3，+∞），都有f(x)＞0.|f(x)|=f(x),而f(x)=log a x 在［3，+∞）上为增函数，∴对于任意x ∈［3，+∞），有f(x)≥log a 3. 因此，要使|f(x)|≥1对于任意x ∈［3，+∞）都成立.只要log a 3≥1=log a a 即可，∴1＜a ≤3. 当0＜a ＜1时，对于x ∈［3，+∞），有f(x)＜0, ∴|f(x)|=-f(x). ∵f （x ）=log a x 在［3，+∴-f （x ）在［3，+∞）上为增函数.x ∈［3，+|f(x)|=-f(x)≥-log a 3.因此，要使|f(x)|≥1对于任意x ∈［3，+只要-log a 3≥1log a 3≤-1=log aa1,即a 1≤3,∴31≤a ＜1.综上，使|f(x)|≥1对任意x ∈［3，+∞）都成立的a 的取值范围是：(1，3］∪［31，1）. 例4（1）证明 设点A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2,x 1＞1,x 2＞1,则点A 、B 的纵坐标分别为log 8x 1、log 8x 2.因为A 、B 在过点O 的直线上，所以228118log log x x x x =点C 、D 的坐标分别为(x 1,log 2x 1)、(x 2,log 2x 2),由于log 2x 1=2log log 818x =3log 8x 1,log 2x 2=3log 8x 2,OC 的斜率为k 1=118112log 3log x x x x =,OD 的斜率为,log 3log 2282222x x x x k ==由此可知k 1=k 2,即O 、C 、D 在同一直线上.（2）解： 由于BC 平行于x 轴，知log 2x 1=log 8x 2，即得log 2x 1=31log 2x 2,x 2=x 31,x 2log 8x 1=x 1log 8x 2，得x 31log 8x 1=3x 1log 8x 1,由于x 1＞1,知log 8x 1≠0,故x 31=3x 1,x 1＞1,解得x 1=3,于是点A 的坐标为（3，log 83).训练1：化简求值.（1）log2487+log 212-21log 242-1; （2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25;（3）(log32+log 92)·(log 43+log 83).训练2：已知0＜a ＜1,b ＞1,ab ＞1，则log a bb bba1log ,log ,1的大小关系是 （ ）A.log a bb bba1loglog 1<< B.b b b b aa 1log 1loglog << C.b bb aba1log 1log log << D.b bba ablog 1log 1log <<训练3：已知函数f （x ）=log 2(x 2-ax-a)在区间（-∞,1-3］上是单调递减函数.求实数a 的取值范围.训练4：已知函数f(x)=log211-+x x +log 2(x-1)+log 2(p-x).（1）求f(x)的定义域；（2）求f(x)的值域.1解：(1)原式=log 2487+log 212-log 242-log 22=log 2.232log 221log 242481272322-===⨯⨯⨯-（2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2. （3）原式=(.452lg 63lg 5·3lg 22lg 3)2lg 33lg 2lg 23lg (·)3lg 22lg 3lg 2lg ==++ 2解： C3解：令g(x)=x 2-ax-a,则g(x)=（x-2a ）2-a-42a ,由以上知g(x ）的图象关于直线x=2a对称且此抛物线开口向上.因为函数f(x)=log 2g(x)的底数2＞1,在区间（-∞,1-3］上是减函数， 所以g(x)=x 2-ax-a 在区间（-∞,1-3］上也是单调减函数，且g(x)＞0.∴⎪⎩⎪⎨⎧>-----≥⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-0)31()31(3220)31(2312a a a g a ，即解得2-23≤a ＜ 2.故a 的取值范围是{a|2-23≤a ＜2}.4解：（1）f(x)有意义时，有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->->-+,③0,②01,①011x p x xx由①、②得x ＞1,由③得x ＜p,因为函数的定义域为非空数集，故p ＞1,f(x)的定义域是(1,p). （2）f(x)=log 2［(x+1)(p-x)］=log 2［-（x-21-p ）2+4)1(2+p ］ (1＜x ＜p),①当1＜21-p ＜p ，即p ＞3时，0＜-(x-4)1(4)1()21222+≤++-p p p ,∴log 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---4)1()21(22p p x ≤2log 2(p+1)-2.②当21-p ≤1，即1＜p ≤3时，∵0＜-(x-),1(24)1()2122-<++-p p p ∴log 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---4)1()21(22p p x ＜1+log 2(p-1).综合①②可知：当p ＞3时，f(x)的值域是（-∞,2log 2(p+1)-2］;当1＜p ≤3时，函数f(x)的值域是(-∞,1+log 2(p-1)). 1．处理对数函数的有关问题，要紧密联系函数图象，运用数形结合的思想进行求解.2．对数函数值的变化特点是解决含对数式问题时使用频繁的关键知识，要达到熟练、运用自如的水平，使用时常常要结合对数的特殊值共同分析.3．含有参数的指对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类. 4．含有指数、对数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现，与其它函数(特别是二次函数)形成的函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要注意知识的相互渗透或综合.。
专题10 对数与对数函数 (学生版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇
【考点预测】1.高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题10对数与对数函数对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果(0x a N a =>且1)a ≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，读作以a 为底N 的对数，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)常见对数：①一般对数：以(0a a >且1)a ≠为底，记为log Na ，读作以a 为底N 的对数；②常用对数：以10为底，记为lg N ；③自然对数：以e 为底，记为ln N ；(3)对数的性质和运算法则：①1log 0a =；log 1a a =；其中0a >且1a ≠；②log Na a N =(其中0a >且1a ≠，0N >)；③对数换底公式：log log log c a c bb a=；④log ()log log a a a MN M N =+；⑤log log log aa a MM N N=-；⑥log log (m na a nb b m m=，)n R ∈；⑦log a b a b =和log b a a b =；⑧1log log a b b a=；2.对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数log a y x =(0a >且1)a ≠叫做对数函数．对数函数的图象过定点(10)，，即1x =时，0y =在(0)+∞，上增函数在(0)+∞，上是减函数当01x <<时，0y <，当1x ≥时，y≥当01x <<时，0y >，当1x ≥时，0y≤【方法技巧与总结】1.对数函数常用技巧在同一坐标系内，当1a >时，随a 的增大，对数函数的图象愈靠近x 轴；当01a <<时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴．(见下图)a 增大a 增大【题型归纳目录】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式题型二：对数函数的图像题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））题型四：对数函数中的恒成立问题题型五：对数函数的综合问题【典例例题】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式例1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算331log 2327lg 50lg 2+++；（2）已知()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，求实数x 的值；（3）若185a =，18log 9b =，用a ，b ，表示36log 45．例2．（2022·全国·高三专题练习）（1）求23151log log 8log 2725⋅⋅的值.（2）已知9log 5=a ，37b =，试用a ，b 表示21log 35例3．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知a ，b ，c 均为正数，且3a ＝4b ＝6c ，求证：212a b c +=；（2）若60a ＝3，60b ＝5，求12(1)12a b b ---的值．例4．（2022·全国·模拟预测）若e 4a =，e 25b =，则（）A ．a ＋b ＝100B ．b －a ＝eC ．28ln 2ab <D ．ln 6b a ->例5．（2022·全国·模拟预测）已知实数x ，y 满足0x >，0y >，1x ≠，1y ≠，y x x y =，log 4y xx y+=，则x y +=（）A ．2B ．4C ．6D ．8例6．（2022·北京昌平·二模）已知函数2()42(0)f x ax ax a =-+<，则关于x 的不等式2()log f x x >的解集是（）A ．(,4)-∞B ．(0,1)C ．(0,4)D ．(4,)+∞例7．（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））已知函数()122log ,1,1,1,x x f x x x >⎧⎪=⎨⎪-≤⎩则不等式()(1)f x f x <-的解集为______．例8．（2022·辽宁·东北育才学校二模）若函数()f x 满足：（1）1x ∀，()20,x ∈+∞且12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-；（2）()()1122x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x =___________.（写出满足这些条件的一个函数即可）例9．（2022·全国·高三专题练习）设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠）的图像经过点()3,1.（1）解关于x 的方程()()22(1)10f x m f x m +-+-=；（2）不等式()()10f x a f x +⋅->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的解集是1,93⎛⎫⎪⎝⎭，试求实数a 的值.【方法技巧与总结】对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.题型二：对数函数的图像例10．（2022·山东潍坊·二模）已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠）的图像如图所示，则以下说法正确的是（）A ．0a b +<B ．1ab <-C ．01b a <<D ．log 0a b >例11．（2022·江苏省高邮中学高三阶段练习）函数log (3)1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则11+m n的最小值为（）A ．3-B ．1C ． 3+D ．2+（多选题）例12．（2022·福建·莆田二中模拟预测）已知函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）的图象如下所示．函数()()1x xf x k a a -=--的图象上有两个不同的点()11,A x y ，()22,B x y ，则（）A ．1a >，2k >B ．()f x 在R 上是奇函数C ．()f x 在R 上是单调递增函数D ．当0x ≥时，()()22f x f x ≤例13．（2022·全国·高三专题练习）已知223,20(){1ln ,021x x x f x x x -+-≤<=≤≤+，若()()g x f x ax a =--的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围为______.【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））例14．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））函数()22log 43y x x =+-的一个单调增区间是（）A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．3,2 ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭例15．（2022·天津·南开中学二模）已知函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（）A ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭例16．（2022·浙江·模拟预测）己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（）Ab a<<B．b a<<Ca b<<D．a b <例17．（2022·全国·高三专题练习（理））函数f (x )＝log ax (0＜a ＜1)在[a 2，a ]上的最大值是（）A ．0B ．1C ．2D ．a例18．（2022·重庆·模拟预测）若函数()2()log 341a f x x ax =-+-有最小值，则实数a 的取值范围是（）A．⎫⎪⎪⎝⎭B．C．⎛ ⎝⎭D．)+∞【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型四：对数函数中的恒成立问题例19．（2022·北京·高三专题练习）若不等式2log 0a x x -<在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，则a 的取值范围是（）A ．1116a ≤<B ．1116a <<C ．1016a <≤D ．1016a <<例20．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤⎥⎝⎦，若不等式()()log 4log 2x a x a t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，则t 的取值范围是（）A ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．()0,2例21．（2022·浙江·高三阶段练习）已知函数()29x f x x+=，()2log g x x a =+，若存在[]13,4x ∈，任意[]24,8x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是___________.例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln f x x x =-，已知实数0a >，若2()e ln 0x f x a a ++≥在()0+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围.例23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()log (0,1)x a f x a x a a =+>≠在[1,2]上的最大值与最小值之和为6log 2a +．（1）求实数a 的值；（2）对于任意的[2,)x ∈+∞，不等式()10kf x -≥恒成立，求实数k 的取值范围．例24．（2022·陕西安康·高三期末（文））已知函数()()()2log 2log 30,1a a f x x x a a =++>≠.(1)若()32f =，求a 的值；(2)若对任意的[]8,12x ∈，()6f x >恒成立，求a 的取值范围.例25．（2022·上海·高三专题练习）已知2()32log f x x =-，2()log g x x =.（1）当[]1,4x ∈时，求函数[]()1()y f x g x =+⋅的值域；（2）对任意12,2n n x +⎡⎤∈⎣⎦，其中常数n N ∈，不等式()2()f x f kg x ⋅>恒成立，求实数k的取值范围.【方法技巧与总结】（1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；（2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.（3）涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.题型五：对数函数的综合问题例26．（2022·河北·张家口市第一中学高三阶段练习）已知定义域为()0, +的单调递增函数()f x 满足：()0,x ∀∈+∞，有()()ln 1f f x x -=，则方程()242f x x x =-+-的解的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0例27．（2022·四川雅安·三模（文））设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意R x ∈，都有()()4f x f x +=，且当[]2,0x ∈-时，()163xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是（）．A ．()1,2B ．()2,+∞C ．(D ．)2例28．（2022·广西柳州·高一期中）已知0a b >>，且1a b +=，则（）A ．sin sin a b>B ．11a b>C ．22a b +>D ．lg lg 0a b +=例29．（2022·河北保定·二模）已知函数2332xxy =-在()0,∞+上先增后减，函数3443xxy =-在()0,∞+上先增后减.若()231log log x =()321log log 0x a =>，()()242422log log log log x x b ==，()()343433log log log log 0x x c ==>，则（）A ．a c<B ．b a<C ．c a<D ．a b<例30．（2022·广东·三模）已知,R a b ∈，e 是自然对数的底，若e ln b b a a +=+，则ab的取值可以是（）A ．1B ．2C ．3D ．4例31．（2022·全国·高三专题练习）已知0x 是函数()22e ln 2xf x x x -=+-的零点，则020e ln x x -+=_______．【过关测试】一、单选题1．（2022·辽宁辽阳·二模）区块链作为一种新型的技术，被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B ，则密码一共有5122种可能，为了破解该密码，在最坏的情况下，需要进行5122次运算.现在有一台计算机，每秒能进行142.510⨯次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需的时间大约为（参考数据lg20.3≈ 1.58≈）（）A ．1393.1610s ⨯B ．1391.5810s ⨯C ．1401.5810s⨯D ．1403.1610s⨯2．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知1log 3m p =，9p n =，其中0m >且1m ≠，0n >且1n ≠，若20m n -=，则p 的值为（）A ．3log 2B ．2log 3C ．2D ．33．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知正实数x ，y ，z 满足(34zx y ==，则（）A ．111x y z+=B ．111y z x+=C ．112x y z +=D ．112x z y+=4．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知函数()()()ln 22ln 33f x x x =++-，则()f x （）A ．是奇函数，且在()0,1上单调递增B ．是奇函数，且在()0,1上单调递减C ．是偶函数，且在()0,1上单调递增D ．是偶函数，且在()0,1上单调递减5．（2022·全国·高三专题练习）函数()log (1)2a f x x =-+的图象恒过定点A ．（2，2）B ．（2，1）C ．（3，2）D ．（2，0）6．（2022·安徽六安·一模（文））设函数()2f x =，()()2ln 41g x ax x =-+，若对任意的1R x ∈，都存在实数2x ，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围为（）A ．(],4-∞B ．(]0,4C ．[]0,4D ．(]0,27．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）设0a >且1a ≠，sin cos a x x x >+对(0,)4x π∈恒成立，则a 的取值范围是（）A ．(0,)4πB ．(0,]4πC ．(,1)(1,)42ππ⋃D ．[,1)4π8．（2022·浙江·模拟预测）己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（）A b a<<B ．b a<<C a b<<D ．a b <二、多选题9．（2022·重庆市天星桥中学一模）已知0,0a b >>，且1a b +=，则下列结论正确的是（）A ．11a b+的最小值是4B ．1ab ab+的最小值是2C ．22a b +的最小值是D ．22log log a b +的最小值是2-10．（2022·广东汕头·二模）设a ，b ，c 都是正数，且469a b c ==，则下列结论正确的是（）A ．2ab bc ac+=B ．ab bc ac+=C ．4949b b a c⋅=⋅D ．121c b a=-11．（2022·河北·高三阶段练习）下列函数中，存在实数a ，使函数()f x 为奇函数的是（）A ．()(lg f x x =B ．()2f x x ax=+C ．()21xaf x e =--D ．()()2ln 2xx f x x e a =+-12．（2022·江苏·南京师大附中高三开学考试）当102x <≤时，4log xa x ≤，则a 的值可以为（）ABCD三、填空题13．（2022·天津·二模）已知()42log 41log x y +=+，则2x y +的最小值为__________.14．（2022·全国·高三专题练习）已知23e ln 3x x x -+=，则3e ln x x -+=__________．15．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()241,1log ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若1()2f a <≤，则实数a的取值范围为___________.16．（2022·河南·开封高中模拟预测（文））已知函数()y f x =为奇函数，且对定义域内的任意x 都有()()11f x f x +=--．当()1,2x ∈时，()21log f x x =-．给出以下4个结论：①函数()y f x =的图象关于点()(),0k k ∈Z 成中心对称；②函数()y f x =是以2为周期的周期函数；③当()0,1x ∈时，()()2log 21f x x =--；④函数()y f x =在()(),1k k k +∈Z 上单调递减．其中所有正确结论的序号为______．四、解答题17．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0),1)a f x x a a =>≠且，设1a >，函数log a y x =的定义域为[m ，n ](m <n )，值域为[0，1]，定义“区间[m ，n ]的长度等于n －m ”，若区间[m ，n ]长度的最小值．．．为5,6求实数a 的值；18．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1．(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集．19．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0)1)a f x x a a =>≠且，作出|()|y f x =的大致图像并写出它的单调性；20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()44log 3log 4f x x x =-⋅.当1,164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求该函数的值域；21．（2022·全国·高三专题练习）已知：函数()0.51log 1ax f x x -=-在其定义域上是奇函数，a 为常数．(1)求a 的值．(2)证明：()f x 在()1,+∞上是增函数．(3)若对于[]3,4上的每一个x 的值，不等式()12xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围．22．（2022·北京东城·高三期末）曲线ln y x =在点(,ln )A t t 处的切线l 交x 轴于点M .(1)当t e =时，求切线l 的方程；(2)O 为坐标原点，记AMO 的面积为S ，求面积S 以t 为自变量的函数解析式，写出其定义域，并求单调增区间.。
对数及对数函数知识点总结及题型分析
对数及对数函数1、对数的基本概念（1）一般地，如果a （1,0≠>a a ）的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 叫做以a 为底N 的对数， 记作b N a=log ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式（2）常用对数：N 10log ，记作N lg ； 自然对数N e log （e =2.71828…），记作N ln .（3）指数式与对数式的关系：log xa a N x N =⇔=（0>a ，且1≠a ，0N >）（4）对数恒等式：2、对数的性质（1）负数和零没有对数，即0>N ； （2）1的对数是零，即01log =a ； （3）底的对数等于1，即1log =a a3、对数的运算性质（1）如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么①N M MN a a a log log )(log +=； ②N M NMa a alog log log -=； ③M n M a n alog log =（2）换底公式： 推论：① b N N b log 1log =； ② ； ③ 1log log =⋅a b b a4、对数函数的定义：函数 叫做对数函数，其中x 是自变量（1）研究对数函数的图象与性质：由于对数函数 与指数函数 互为反函数，所以 的图像和 的图像关于直线 对称。
（2）复习)10(≠>=a a a y x且的图象和性质()010log >≠>=N a a N aNa ，且bNN a a b log log log =b mn b a na m log log =a y log x =(a 0a 1)>≠且a y log x =x y a =a y log x=xy a =y x =2．对数函数的图像：3．对数函数的性质：【回顾一下】① 定义：函数 称为对数函数，1) 函数的定义域为 ；2) 函数的值域为 ； 3) 当____ __时，函数为减函数，当_________时为增函数； 4) 函数与函数 ______ 互为反函数.① 1) 图象经过点( )，图象在 ；2) 对数函数以 为渐近线(当时，图象向上无限接近y 轴；当时，图象向下无限接近y 轴)； 4) 函数y ＝log a x 与 的图象关于x 轴对称． ① 函数值的变化特征：题型一、对数式的运算 例题1：填空（1）[])81(log loglog 346＝_____ ___； （2）19lg 3lg 2+-＝ ；（3）04.0log 10log 222+＝_____ ___； （4）3log 28log 316161+＝_____ ___； （5）=⋅⋅⋅4log 5log 7log 3log 7352例题2：若a y x =-lg lg ，则=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛332lg 2lg y x （ ）.A a 3 .Ba 23 .C a .D 2a 题型二 变式、对数运算性质运用 变式1：计算变式2：3128x y ==，则11x y-= .xy a log =)1,0(≠>=a a a y x 且10<<a 1>a 2(lg 2)lg 2lg 50lg 25+⋅+题型三、解对数式方程例题1：已知216log =x ，则=x （ ）.A 2 .B 4 .C 8 .D 32例题2：已知 ① 3log 1log 266-=x ，求x 的值 ； ② 2)25(log 22=--x x ，求x 的值。
对数与对数函数知识点及题型归纳总结
对数与对数函数知识点及题型归纳总结对数与对数函数知识点及题型归纳总结知识点精讲⼀、对数概念a xN(N 0) n log a N(a 0且a 1) ，叫做以 a 为底 N 的对数. 注：① N 0，负数和零没有对数；② log a 1 0,log a a 1 ；③lg N log 10 N,ln N log e N .⼆、对数的运算性质(1) log a (MN) log a M log a N(M,N R ); (2)log a M log a M log a N(M,N R );N(3) log a M nnlog a M(M R ); (4) log a b log cb (a 0且a 1,b 0,c 0且c 1() 换底公式) log c a(5) log a mb nn log a b(a,b 0,m 0,a 1,n R)； am (6) a loga NN(N 0,a 0且a 1)；(6)log a a NN(N R,a 0且a 1). 化常数为指数、对数值常⽤这两个恒等式 .三、对数函数1)般地，形如 y log a x(a 0且a1) 的函数叫对数函数特殊地 log a b1 log b a题型归纳及思路提⽰题型 1 对数运算及对数⽅程、对数不等式思路提⽰对数的有关运算问题要注意公式的顺⽤、逆⽤、变形⽤等 .对数⽅程或对数不等式问题是要将其化为同底，利⽤对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这⾥必须注意对数的真数为正 . ⼀、对数运算例 2.56 2log 510 log 5 0.25 (解析 2log 510 log 5 0.25 log 5 102 log 5 0.25 log 5 (100 0.25) 故选 C .评注熟记对数的各种运算性质是求解本类问题的前提变式 1 已知 x, y 为正实数，则（A.2lg x lg y 2lg x 2lgyB.2lg( x y)解析 5lg30 (1)lg0.5 x,3A.0B.1C.2D.4分析 nlog a x mlog a y log a x nlog am n mymlog a (x ny m).log 5 5222lg x 2lgy 2lgx 2lg y变式 2 (lg 2)2lg4变式 32lg83 例 2.57log2781log 48解析log 27 81 log 33 34所以原式 4 3 17.(lg 2)243,log 4 8 log 22 2332log2 2变式 1log 2 ( 6 4 2 6 4 2)例 2.58 5lg30 (1)lg0.53分析 a b(a,b 0) log c a log c b.lg5 lg 20264 3log 33lg5 (lg5) 2C.2lg x lgy 2lgx 2lg yD.2lg(xy) 32)若 a 4，求函数 f(x)的零点 .三、对数不等式log a a 2x2a x2 ，则使 f(x) 0的 x 的取值范围是()C.( ,log a 3)D.(log a 3, )分析先将对数不等式化为同底的形式，再利⽤单调性转化为指数不等式求解 . 解析 f(x) log a a 2x 2a x 2 0 log a 1，⼜ 0 a 1，函数 y log a x 在 (0, )上单调递减，得则lg x lg 5lg30 ( 1)lg0.5lg 5lg30lg13lg0.5lg30 lg5 lg 0.5 lg 1(lg30 lg3) lg5 (lg5 lg10)(lg1 lg3) lg5 lg3 lg5 lg 3 lg5 lg3lg15所以 x ⼆、对数⽅程例 2.59 解下列⽅151(1) (lg x lg3) lg5 2 2 (2)log x 2 1(2x 23x 1)1lg(x 10); 2 1.分析利⽤对数的运算性质化简后求解 .11解析(1) (lg x lg3) lg5 lg(x22xlgx lg3 2lg5 lg(x 10) ，即lg10) lg ，⾸先⽅程中的 x 应满⾜x 10，原⽅程可变形为 25 x 2525 ，得 x 25 ，从⽽ x 15或 x 5(舍)，经检验，x 10 3 x 10x 15 是原⽅程的解 .1(2x 3x1) 1 ，x 21 0且 x 212x 23x 1 x 21，解得 x 2.1经检验 x 2 是⽅程的解 . 评注解对数⽅程⼀定要注意对数⽅程成⽴条件下 x 的取值范围，是检验求出的解是否为增根的主要依据变式 1 函数 f (x) log 2(4x 1)ax.1)若函数 f (x) 是R 上的偶函数，求实数a 的值；例 2.60 设 0 a 1，函数 f (x)所以 x log a 3. 故选 C.的解集为 .例 2.61 设 a log 5 4,b （log 5 3）2,c log 45,则（）A.a c bB.b c aC.a b c Db. a c分析利⽤对数函数的单调性来⽐较对数的⼤⼩，通常借助 0和 1作为分界点解析因为y log 5 x 在（0, ）上单调递增，所以log 5 3 log 54 1,且 log 4 5 1 (log 5 3)2log 53 log 54 1 log 45 b a c故选 D .变式1设a lg e,b (lg e)2,c lg e ，则( )C.c a b Dc. b alog 3 0.3变式 2 设 a 5log 23.4,b 5log 43.6,c1 5，则（）A.a b cB.b a cC.a c bD.ca b1, y log 5 2,z e 2，则()变式4（2012 ⼤纲全国理 9）已知x lnA.x yz B.z xyC.z y xD.y z x题型 2 对数函数的图像与性质思路提⽰研究和讨论题中所涉及的函数图像与性质是解决有关函数问题最重要的思路和⽅法问题是数和形结合的护体解释 .它为研究函数问题提供了思维⽅向、对数函数的图像例 2.62如图 2-15所⽰，曲线 C 1,C 2,C 3,C 4是底数分别为 a,b,c,d 的对数函数的图像，对应的底数 a, b, c, d 的取值依次为（）a 2x2a x2 1即a 2x2a x3 0 (a x3)(a x1) 0，因为 a x1 0 ，故 a x变式 1 已知函数 f （x ）为R 上的偶函数，且在 0, 上为增函数，10 ，则不等式 3log 1 x 0.图像与性质则曲线 C 1,C 2,C 3,C 4分析给出曲线的图像，判定 C 1,C 2,C 3,C 4所对应的 a,b,c,d 的值，可令 y 1求解.解析如图 2-16所⽰，作直线 y 1交C 1,C 2,C 3,C 4于A,B,C,D ，其横坐标⼤⼩为 0 c d 1 a b ， 11 那么C 1,C 2,C 3,C 4所对应的底数 a,b,c,d 的值可能⼀次为 2,3, , .故选 B .32评注对数函数在同⼀直⾓坐标系中的图像的相对位置与底数⼤⼩的关系如图 2-16 所⽰，则 0 c d 1 a b .ylog a x(a 0且a 1)在第⼀象限的图像， a 越⼤，图像越靠近 x 轴； a 越⼩，图像越靠近 y 轴.变式 1 若函数 f(x) a x (a 0且a 1)是定义域为 R 的增函数，则函数 f (x) log a (x 1)的图像⼤致是( )11A.3, 2, ,32 11C.2,3, 1 , 123 B.2,3, 1,13,2D.3, 2, 21 , 1323y log a (x 1) 2恒过顶点 (0, 2) .变式 1 函数 y log a (x 2) 2x 1 的图像过定点⼆、对数函数的性质(单调性、最值(值域) )分析本题考查对数函数的单调性和最值变式 2 设 a,b,c 均为正数，且 2alog 1 a, 2log 1 b, 21log 2 c，则解析因为 y log a x(a 0且a 1) 恒过点 (1,0) ，故令 x 1 1,即 x 0 时， y log a (x 1) 0 ，故例 2.64 设 a 1，函数 f (x) log a x 在区间 a,2a 上的最⼤值与最⼩值之差为1，则 a ( ) 2令t log 2 x12,3，则 f (x)2g(t) t 23t 2当t 3 ,即 x 222时， f ( x) min 11;当t 3,即 x48时, f ( x)max 2.变式 1 已知f (x) 2 log 3 x(x1,9 ) ，求函数 22g(x) f (x) f (x 2) 的最⼤值与最⼩值⼜ f (x) (log 2 x 1)(log 2 x 2) 3log 2 x 2. (log 2 x)2解析因为对数函数的底 a 1 ，所以函数f (x) log a x 在区间a,2a 上单调递增，故 f (x)minlog a a1,log a 2a1，即 log a 2 1 解得 22a 4 故选 D .变式 1若函数 f (x)log a x(0 a1)在区间 a,2a 上的最⼤值是最⼩值的 3倍，则 a 等于( )A. 2 4B. 22C.14D.12例 2.65 设 2(log 1 x)2 27log 1 x20,求f(x)log 2 x log 2 x 24的最⼤值和最⼩值 .解析 2(log 1 x)227log 1 x2(2log 1 x 21) (log 1 x 3) 023 log 1 x22解得8.3xxx xlog 2 x(x 0)log ( x)(x 0)，且f(a) f( a) 则实数 a 的取值范围是 .2C.(3, )D. 3,0,2 ，则区间 a,b 的长度的最⼤值与最⼩值的差为题型 3 对数函数中的恒成⽴问题思路提⽰ (1)利⽤数形结合思想，结合对数函数的图像求解； (2)分离⾃变量与参变量，利⽤等价转化思想，转化为函数的最值问题,1 上恒成⽴ .解析依题意，函数 f (x)的图像如图 2-17所⽰，知 f (x)为奇函数，由 f(a) f( a) 的得 f(a) 0 ，解得A.(2 2, )B. 3 2,a b ，且 f (a) f (b) ，则2b 的取值范围是(例 2.67 已知函数 f(x) lg 1 2 a 4 ，若 x ,1 时有意义，a 得取值范围 .解析因为f(x) lgxx 1 2x a 4x 在x340 在 ,1 上恒成⽴ .令g(x),x ,1 .例 2.66 若函数 f (x)变式 2 定义区间x 1,x 2 (x 1 x 2) 的长度为 x 2 x 1 ，已知函数 f(x) log 1 x 的定义域为 a,b 2，值域为所以 a。
备战高考数学复习考点知识与题型讲解14---对数与对数函数
备战高考数学复习考点知识与题型讲解第14讲对数与对数函数考向预测核心素养以比较对数函数值大小的形式考查函数的单调性；以复合函数的形式考查对数函数的图象与性质，各种题型均可能出现，中档难度.数学抽象、数学运算一、知识梳理1．对数的概念(1)定义：一般地，如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．(2)常用对数与自然对数2．对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)log a(MN)＝log a M＋log a N．(2)log a MN＝log a M－log a N．(3)log a M n ＝n log a M(n∈R)．3．换底公式log a b＝log c blog c a(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．4．对数函数的概念一般地，函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．5．对数函数的图象及性质a的范围0<a<1a>1图象性质定义域(0，＋∞)值域R定点过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0单调性在(0，＋∞)上是减函数在(0，＋∞)上是增函数常用结论1．换底公式的三个重要结论(1)log a b＝1log b a；(2)log a m b n＝nmlog a b；(3)log a b·log b c·log c d＝log a d. 2．对数函数的图象与底数大小的关系如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数． 故0<c <d <1<a <b .由此我们可得到此规律：在第一象限内与y ＝1相交的对数函数从左到右底数逐渐增大．二、教材衍化1．(人A 必修第一册P 126练习T 3(2)改编)(log 43＋log 83)·log 32＝________． 解析：(log 43＋log 83)·log 32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2·lg 2lg 3＝56. 答案：562．(人A 必修第一册P 131练习T 1改编)函数y ＝log 711－3x的定义域为________． 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x <133．(人A 必修第一册P 135练习T 2改编)比较下列两个值的大小： (1)log 0.56________log 0.54； (2)log 213________log 123.答案：(1)< (2)＝一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( )(2)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ) (3)函数y ＝log a x 2与函数y ＝2log a x 是同一个函数．( ) (4)若M >N >0，则log a M >log a N .( )(5)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 二、易错纠偏1．(对数函数图象不清致误)函数f (x )＝log a |x |＋1(0<a <1)的图象大致为( )解析：选A.由函数f (x )的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y 轴对称．设g (x )＝log a |x |，先画出当x >0时，g (x )的图象，然后根据g (x )的图象关于y 轴对称画出x <0时g (x )的图象，最后由函数g (x )的图象向上整体平移一个单位长度即得f (x )的图象，结合图象知选A.2．(对数函数单调性不清致误)函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是________________．解析：由log 23(2x －1)≥0，得0<2x －1≤1.所以12<x ≤1.所以函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤12，13．(忽视对底数的讨论致误)若log a 34<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________．解析：当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，所以0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，所以a >1.综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)考点一 对数式的化简与求值(自主练透)复习指导：理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．1．计算：lg 427－lg 823＋lg 75＝________．解析：原式＝lg 4＋12lg 2－lg 7－23lg 8＋lg 7＋12lg 5＝2lg 2＋12(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝12.答案：122．计算：(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝________．解析：原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＝lg 4＋lg 25＝2. 答案：23．(2022·德州高三期中)声音大小(单位：分贝)取决于声波通过介质时，所产生的压力变化(简称声压，单位：N/m 2)．已知声音大小y 与声压x 的关系式为y ＝10×lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2×10－52，且根据我国《城市区域环境噪音标准》规定，在居民区内，户外白昼噪声容许标准为50分贝，夜间噪声容许标准为40分贝，则在居民区内，户外白昼噪声容许标准的声压是户外夜间噪声容许标准的声压的________倍．解析：当y ＝50时，lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2×10－52＝5，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2×10－52＝105，解得x ＝2×10－52，当y ＝40时，lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2×10－52＝4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2×10－52＝104，解得x ＝2×10－3，所以户外白昼噪声容许标准的声压是户外夜间噪声容许标准的声压的2×10－522×10－3＝1012＝10倍．答案：104．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝________．解析：由2a ＝5b ＝m 得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， 所以1a ＋1b＝log m 2＋log m 5＝log m 10.因为1a ＋1b＝2，所以log m 10＝2.所以m 2＝10，所以m ＝10.答案：10对数式化简与求值的基本原则和方法(1)基本原则对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．(2)两种常用的方法①“收”：将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．考点二 对数函数的图象及应用(思维发散)复习指导：理解对数函数概念，掌握对数函数图象的特征并求解有关问题．(1)(链接常用结论2)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1 B.a >1，0<c <1 C ．0<a <1，c >1D.0<a <1，0<c <1(2)方程4x＝log a x 在⎝⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为________．【解析】 (1)由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，所以0<a <1；因为图象与x 轴的交点在区间(0，1)之间，所以该函数的图象是由函数y ＝log a x的图象向左平移不到1个单位长度后得到的，所以0<c <1.(2)若方程4x ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则函数y ＝4x 和函数y ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有交点，由图象知⎩⎨⎧0<a <1，log a12≤2，解得0<a ≤22. 【答案】 (1)D (2)⎝⎛⎦⎥⎤0，22本例(2)改为若4x <log a x 在⎝⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：当0<x ≤12时，函数y ＝4x的图象在函数y ＝log a x 图象的下方．又当x ＝12时，412＝2，即函数y ＝4x 的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.把点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2代入y ＝log a x ，得a ＝22.若函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需22<a <1(如图所示)． 当a >1时，不符合题意，舍去． 所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．|跟踪训练|1．(2022·河北高三考试)函数y ＝1ln （x ＋1）的大致图象为( )解析：选A.当x ＝1时，y ＝1ln 2>0，排除C ，D. 当x ＝－12时，y ＝1ln12＝1－ln 2<0，排除B.故选A.2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．解析：问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a >1.答案：(1，＋∞)考点三 对数函数的性质及应用(多维探究)复习指导：利用对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性，知道指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a ＞0，a ≠1)．角度1 单调性的应用(1)(2020·高考全国卷Ⅲ)设a ＝log 32，b ＝log 53，c ＝23，则( )A ．a <c <b B.a <b <c C ．b <c <aD.c <a <b(2)若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A ．(0，1) B.⎝⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D.(0，1)∪(1，＋∞)(3)已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，n ＝4x ，则log 4m ＝________；满足log n m >1的实数x 的取值范围是________．【解析】 (1)因为a ＝13log 323<13log 39＝23＝c ，b ＝13log 533>13log 525＝23＝c ，所以a <c <b .(2)由题意得a >0且a ≠1，故必有a 2＋1>2a ，又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1，同时2a >1，得a >12，所以12<a <1.(3)由于m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，则log 4m ＝12log 2m ＝12log 22－23＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－13；由于m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223＝2－23<1，由log n m >1可得m <n <1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1223＝2－23<22x <1，则－23<2x <0，解得－13<x <0.【答案】 (1)A (2)C (3)－13⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0角度2 和对数函数有关的复合函数已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )的最小值为0，求a 的值．【解】 (1)因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，即a ＝－1， 所以f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3>0得－1<x <3，即函数f (x )的定义域为(－1，3)． 令g (x )＝－x 2＋2x ＋3.则g (x )在(－1，1]上单调递增，在[1，3)上单调递减． 又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1，1]，单调递减区间是[1，3)．(2)若f (x )的最小值为0，则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此应有⎩⎨⎧a >0，3a －1a＝1，解得a ＝12.故实数a 的值为12.对数函数性质的应用利用对数函数的性质，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．|跟踪训练|1．(2022·宁夏月考)已知函数f (x )＝lg(x 2－2x －3)在(a ，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1] B.(－∞，2] C ．[5，＋∞)D.[3，＋∞)解析：选D.由题意，得x <－1或x >3，设g (x )＝x 2－2x －3，根据二次函数的性质，可得函数g (x )在(3，＋∞)上单调递增，根据复合函数的单调性的判定方法，可得函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)，又由函数f (x )＝lg(x 2－2x －3)在(a ，＋∞)上单调递增，可得a ≥3，即实数a 的取值范围是[3，＋∞)．2．不等式log 2(2x ＋3)>log 2(5x －6)的解集为________．解析：由⎩⎨⎧2x ＋3>0，5x －6>0，2x ＋3>5x －6，解得65<x <3，故不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪65<x <3.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪65<x <3 3．函数f (x )＝log a (ax －3)在[1，3]上单调递增，则a 的取值范围是________． 解析：由于a >0，且a ≠1， 所以u ＝ax －3为增函数，所以若函数f (x )为增函数，则y ＝log a u 必为增函数， 所以a >1.又u ＝ax －3在[1，3]上恒为正， 所以a －3>0，即a >3. 答案：(3，＋∞)4．已知函数f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则0<m <1，n >1，所以log 12m＝－log 12n ，所以mn ＝1，所以m ＋3n ＝m ＋3m .令h (m )＝m ＋3m，则易知h (m )在(0，1)上单调递减．当m ＝1时，m ＋3n ＝4，所以m ＋3n >4.答案：(4，＋∞)[A 基础达标]1．设a ＝30.7，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <c B.b <a <c C ．b <c <aD.c <a <b解析：选D.由题知c ＝log 0.70.8<1，b ＝(13)－0.8＝30.8，易知函数y ＝3x 在R 上单调递增，所以b ＝30.8>30.7＝a >1，所以c <a <b ，故选D.2．函数y ＝ln1|2x －3|的图象为( )解析：选A.易知2x －3≠0，即x ≠32，排除C ，D.当x >32时，函数为减函数；当x <32时，函数为增函数，故选A.3．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞) B.(－∞，0) C ．(2，＋∞)D.(－∞，－2)解析：选D.函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y ＝f (x )由y ＝log 12t 与t ＝g (x )＝x 2－4复合而成，又y ＝log 12t 在(0，＋∞)上单调递减，g (x )在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y ＝f (x )在(－∞，－2)上单调递增．4．(2021·高考全国卷甲)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足L ＝5＋lg V ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)( )A ．1.5 B.1.2 C.0.8D.0.6解析：选C.由题意知4.9＝5＋lg V ，得lg V ＝－0.1，得V ＝10－110≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.5．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫log 12x 2＋a log 12x ＋4，若对任意的x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1，f (x )≤6恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．－1 B.1 C.－2D.2解析：选A.令t ＝log 12x ，因为x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1，所以t ∈(0，2]，则问题可转化为对任意的t ∈(0，2]，t 2＋at ＋4≤6恒成立，即a ≤2－t 2t＝2t－t 对任意的t ∈(0，2]恒成立．因为y ＝2t－t 在t ∈(0，2]上单调递减，所以y min ＝1－2＝－1，所以a ≤－1，即实数a 的最大值为－1.6．(2022·四川南充月考)已知a ＝213，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，则log 2(ab )＝________．解析：由题意，得log 2(ab )＝log 2(213·2－23)＝log 22－13＝－13.答案：－137．已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则m ＝________，n ＝________．解析：因为f (x )＝|log 3x |＝⎩⎨⎧－log 3x ，0<x <1，log 3x ，x ≥1，所以f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0<m <n 且f (m )＝f (n )，可得⎩⎨⎧0<m <1，n >1，log 3n ＝－log 3m ，则⎩⎨⎧0<m <1，n >1，mn ＝1，所以0<m 2<m <1，则f (x )在[m 2，1)上单调递减，在(1，n ]上单调递增，所以f (m 2)>f (m )＝f (n )，则f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)＝－log 3m 2＝2，解得m ＝13，则n ＝3.答案：1338．(2022·甘肃平凉月考)已知a >0且a ≠1，若函数f (x )＝log a (ax 2－x )在[3，4]上是减函数，则a 的取值范围是________．解析：令g (x )＝ax 2－x ，当a >1时，由题意得⎩⎨⎧12a ≥4，g （4）＝16a －4>0，无解，当0<a <1时，由题意得⎩⎨⎧12a ≤3，g （3）＝9a －3>0，解得13<a <1，综上，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，19．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，且a ≠1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若－1<f (1)<1，求实数a 的取值范围．解：(1)当x <0时，－x >0，由题意知f (－x )＝log a (－x ＋1)，又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (－x )＝f (x )．所以当x <0时，f (x )＝log a (－x ＋1)，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧log a （x ＋1），x ≥0，log a （－x ＋1），x <0.(2)因为－1<f (1)<1，所以－1<log a 2<1，所以log a1a<log a2<log aa .①当a >1时，原不等式等价于⎩⎨⎧1a <2，a >2，解得a >2；②当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎨⎧1a >2，a <2，解得0<a <12.综上，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)．10．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0且a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求实数a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值．解：(1)因为f (1)＝2，所以log a 4＝2(a >0，a ≠1)，所以a ＝2. 由⎩⎨⎧1＋x >0，3－x >0，解得－1<x <3， 所以函数f (x )的定义域为(－1，3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]， 所以当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数；当x ∈[1，3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.[B 综合应用]11．(多选)(2022·湖南长沙期末)设函数f (x )＝log 12x ，下列四个命题正确的是( )A ．函数f (x )为偶函数B ．若f (a )＝|f (b )|，其中a >0，b >0，a ≠b ，则ab ＝1C ．函数f (－x 2＋2x )在(1，2)上为单调递增函数D ．若0<a <1，则|f (1＋a )|>|f (1－a )|解析：选BC.A 选项，f (x )的定义域为(0，＋∞)，所以f (x )是非奇非偶函数，A 错误．B 选项，由于f (a )＝|f (b )|，a ≠b ，a >0，b >0，所以log 12a ＝－log 12b ，log 12a ＋log 12b ＝0，log 12ab ＝0，ab ＝1，B 正确．C 选项，f (－x 2＋2x )＝log 12(－x 2＋2x )，由－x 2＋2x >0，解得0<x <2，又y ＝－x 2＋2x 的开口向下，对称轴为x ＝1， 根据复合函数单调性同增异减可知函数f (－x 2＋2x )在(1，2)上为单调递增函数，C 正确．D 选项，由于0<a <1，所以1＋a >1>1－a ，所以|f (1＋a )|>|f (1－a )|，则－log 12(1＋a )>log 12(1－a )，即log 12(1－a )(1＋a )＝log 12(1－a 2)<0，由于1－a2∈(0，1)，所以log1(1－a2)>0，所以|f(1＋a)|>|f(1－a)|不成立，D错2误．12．(多选)已知函数f(x)＝log1(2－x)－log2(x＋4)，则下列结论中正确的是2( )A．函数f(x)的定义域是[－4，2]B．函数y＝f(x－1)是偶函数C．函数f(x)在区间[－1，2)上是减函数D．函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称解析：选BD.函数f(x)＝log1(2－x)－log2(x＋4)＝－log2(2－x)－log2(x＋4)＝－2[(2－x)(4＋x)]，由2－x>0，x＋4>0，可得－4<x<2，即函数f(x)的定义域为(－log24，2)，故A错误；由y＝f(x－1)＝－log2[(3－x)(3＋x)]＝－log2(9－x2)，定义域为(－3，3)，显然y＝f(x－1)为偶函数，B正确；由x∈[－1，2)，f(－1)＝－log29，f(0)＝－log8知f(－1)<f(0)，故C错误；y＝f(x－1)为偶函数，y＝f(x－1)向左平移1个2单位得y＝f(x)，故y＝f(x)的图象关于x＝－1对称，D正确，故选BD.13．若函数y＝log a(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是( )A．0<a<1 B.0<a<2，a≠1C．1<a<2 D.a≥2解析：选C.当a>1时，y有最小值，则说明x2－ax＋1有最小值，故x2－ax＋1＞0中Δ<0，即a2－4<0，所以1<a<2.当0<a<1时，y有最小值，则说明x2－ax＋1有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去．综上可知，故选C.14．已知函数f(x)＝x2＋ln(|x|＋1)，若对于x∈[1，2]，f(ax2)<f(3)恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：易知f (x )＝x 2＋ln(|x |＋1)是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，故原问题等价于|ax 2|<3对x ∈[1，2]恒成立，即|a |<3x 2对x ∈[1，2]恒成立，所以|a |<34，解得－34<a <34.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，34[C 素养提升]15．(2022·日照高三联考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <－12，log a（2x ＋3），x ≥－12的值域为R ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的取值范围是________．解析：当x <－12时，f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1≥－1，而f (x )的值域是R ，所以当x ≥－12时，f (x )＝log a (2x ＋3)的取值范围应包含(－∞，－1)，又x ≥－12时，2x ＋3≥2，所以0<a ≤12.此时f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log a 4∈[－2，0)．答案：[－2，0)16．已知奇函数f (x )＝log a b ＋ax1－ax (a >0且a ≠1)．(1)求b 的值，并求出f (x )的定义域；(2)若存在区间[m ，n ]，使得当x ∈[m ，n ]时，f (x )的取值范围为[log a 6m ，log a 6n ]，求a 的取值范围．解：(1)由已知f (x )＋f (－x )＝0，得b ＝±1， 当b ＝－1时，f (x )＝log a －1＋ax 1－ax＝log a (－1)，舍去， 当b ＝1时，f (x )＝log a 1＋ax 1－ax ，定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1a . 故f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1a .(2)当0<a <1时，f (x )＝log a 1＋ax1－ax ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－ax －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1a 上单调递减．故有⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝log a 1＋am1－am ＝log a6n ，f （n ）＝log a 1＋an 1－an ＝log a 6m ，而y ＝1＋ax1－ax ＝21－ax －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1a 上单调递增，所以1＋am1－am <1＋an1－an ，又6m <6n 与⎩⎪⎨⎪⎧1＋am1－am ＝6n ，1＋an1－an ＝6m矛盾，故a >1，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝log a 1＋am1－am＝log a 6m ，f （n ）＝log a 1＋an 1－an ＝log a 6n .故方程1＋ax1－ax ＝6x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1a 上有两个不等实根，即6ax 2＋(a －6)x ＋1＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1a 上有两个不等实根． 设g (x )＝6ax 2＋(a －6)x ＋1(a >1)，则⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧Δ＝（a －6）2－24a >0，－1a <－a －612a <1a，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝12a >0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝2>0，化简得⎩⎨⎧a 2－36a ＋36>0，0<a <18， 解得0<a <18－122，又a >1，故1<a <18－12 2. 所以a 的取值范围是(1，18－122)．。
对数与对数运算知识点及例题解析
对数与对数运算知识点及例题解析1、对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． 2、以10为底的对数叫做常用对数,log 10N 记作lg N .3、以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数，logeN 记作ln N4、对数的性质: (1)log 10,log 1a a a ==(2)对数恒等式①a log aN ＝N ；②log a a N ＝N (a >0，且a ≠1)．5、对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN +=②减法：log log log a a a M M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈⑤log a m M n ＝n mlog a M . ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且特殊情形：log a b ＝1log b a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .类型一、指数式与对数式互化及其应用例1、将下列指数式与对数式互化：（1）；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).思路点拨：运用对数的定义进行互化. 解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).例2、求下列各式中x 的值：(1) (2) (3)lg100=x (4)思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.解：(1)；(2)；(3)10x =100=102，于是x=2； (4)由例3、若x＝log43，则(2x－2－x)2等于( )A.94B.54C.103D.43解由x＝log43，得4x＝3，即2x＝3，2－x＝33，所以(2x－2－x)2＝⎝⎛⎭⎪⎫2332＝43.类型二、利用对数恒等式化简求值例4、求值：解：.总结升华：对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数例5、求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.解：.类型三、积、商、幂的对数例6、已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式.(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15解：(1)原式=lg32=2lg3=2b（2）原式=lg26=6lg2=6a（3）原式=lg2+lg3=a+b（4）原式=lg22+lg3=2a+b（5）原式=1-lg2=1-a（6）原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a例7、(1) (2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2解：(1)(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.例8、已知3a=5b=c，，求c的值.解：由3a=c得：同理可得.例9、设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：.证明：.例10、已知：a2+b2=7ab，a>0，b>0. 求证：.证明：∵a2+b2=7ab，∴a2+2ab+b2=9ab，即(a+b)2=9ab，∴lg(a+b)2=lg(9ab)，∵a>0，b>0，∴2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb即 .类型四、换底公式的运用例11、(1)已知log x y=a，用a表示；(2)已知log a x=m，log b x=n，log c x=p，求log abc x.解：(1)原式=；(2)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底.方法一：a m=x，b n=x，c p=x，；方法二：.例12、求值：(1)；(2)；(3).解：(1)（2）；（3)法一：法二：.总结升华：运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可.类型五、对数运算法则的应用例13、求值(1) log89·log2732(2)(3)(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)解：(1)原式=.(2)原式=(3)原式=(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)例14、已知：log23=a，log37=b，求：log4256=?解：∵∴，。
高中数学对数与对数函数知识点与经典例题讲解
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果 a b=N （a ＞ 0，a ≠ 1），那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 log a N=b. （2）指数式与对数式的关系： a b=N log a N=b （a ＞0，a ≠ 1，N ＞0）.两个式子表示的 a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化 .（3）对数运算性质 : ① log a （MN ）=log a M+log a N.② log a M=log a M －log a N.N③ log a M n =nlog a M.（M ＞0，N ＞ 0，a ＞ 0，a ≠1）④对数换底公式： log b N= loglog a a N （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.b 2.对数函数（1）对数函数的定义函数 y=log a x （a ＞0，a ≠ 1）叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是（ 0，+∞） .注意： 真数式子没根号那就只要求真数式大于零 ,如果有根号 ,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1在一个普通对数式里 a<0, 或=1 的时候是会有相应 b 的值的。
但是，根据对数定义 : log a a=1 ；如果 a=1 或 =0 那么 log a a 就可以等于一切实数（比如 log 1 1 也可以等于 2 ，3， 4，5，等等）第二，根据定义1运算公式： log a M^n = nlog a M 如果 a<0, 那么这个等式两边就不会成立（比如， log(-2)4^(-2) 就不等于 (-2)*log (-2) 4 ；一个等于 1/16 ，另一个等于 -1/16 ）（2）对数函数的图象y yy=l og a x(a> 1)1O 1 x O xy=l og a x(0<a<1)底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称 .（3）对数函数的性质 :①定义域：（ 0，+∞）.②值域： R .③过点（ 1， 0），即当 x=1 时， y=0.④当 a＞1 时，在（ 0，+∞）上是增函数；当0＜a＜1 时，在（ 0，+∞）上是减函数 .基础例题1.函数 f（x）=|log2x|的图象是 ?2.若 f －1（x）为函数 f（x）=lg（x+1）的反函数，则 f －1（x）的值域为___________________.23.已知 f（ x）的定义域为［ 0，1］，则函数 y=f［log 1 （ 3－x）］的定义2域是 __________.4.若 log x 7 y =z，则 x、y、z 之间满足A. y7=x zB.y=x7zC.y=7x zD.y=z x5.已知 1＜m＜n，令 a=（log n m）2，b=log n m2，c=log n（log n m），则A. a＜b＜ cB.a＜c＜bC.b＜a＜cD.c＜ a＜b6.若函数f（ x）=logax（ 0＜a＜1）在区间［ a，2a］上的最大值是最小值的 3 倍，则 a 等于A. 2B. 2C. 1D. 14 2 4 27.函数 y＝log2｜ax－1｜（ a≠0）的对称轴方程是x＝－ 2，那么 a 等于(x=-2 非解 )A. 1B.－1C.2D.－22 28.函数 f（x）=log2|x|，g（x） =－x2+2，则 f（x）·g（ x）的图象只可能是y yO xOxA By yO x O x C D39.设 f －1（x）是 f（x）=log2（ x+1）的反函数，若［ 1+ f －1（a）］［1+ f －1（b）］=8，则 f（a+b）的值为A.1B.2C.3D.log2310.方程 lgx+lg （x+3）=1 的解 x=___________________.典型例题【例 1】已知函数 f（x）= (1x2), x4, 则 f（2+log23）的值为f( x 1), x 4 ,A. 1B. 1C. 1D. 13 6 12 24【例 2】求函数 y＝ log2｜ x｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间 .【例 3】已知 f（x）=log 1［3－（ x－ 1）2］，求 f（x）的值域及单调3区间 .4【例 4】已知 y=log a（3－ax）在［ 0，2］上是 x 的减函数，求 a 的取值范围 .【例 5】设函数 f（x）=lg（1－ x），g（x）=lg（1+x），在 f（x）和g（x）的公共定义域内比较 |f（x）|与 |g（ x）|的大小 .【例 6】求函数 y=2lg（x－2）－ lg（ x－3）的最小值 .1【例 7】在 f1（x）=x 2 ， f2（x）=x2，f3（x） =2x，f4（x）=log 1x 四2个函数中， x ＞ x ＞1 时，能使1［f（x ）+f（x ）］＜ f（x1 x 2）成1 2 1 22 2立的函数是1A. f1（x） =x 2 (平方作差比较 )B.f2 （x）=x2C.f3（x）=2xD.f4（x） =log 1 x25探究创新1.若 f（x）=x2－x+b，且 f（log2a）=b， log2［ f（ a）］=2（a≠1）.（1）求 f（log2x）的最小值及对应的 x 值；（2）x 取何值时， f（log2x）＞ f（ 1）且 log2［f（x）］＜ f（1）？2.已知函数 f（x）=3x+k（k 为常数），A（－ 2k，2）是函数 y= f －1（x）图象上的点 .（1）求实数 k 的值及函数 f －1（x）的解析式；（2）将 y= f －1（ x）的图象按向量a=（3， 0）平移，得到函数y=g（x）的图象，若 2 f －1（x+ m －3）－ g（x）≥ 1 恒成立，试求实数 m 的取值范围 .6。
对数函数考点分析及经典例题讲解
对数函数考点分析及经典例题讲解1． 对数函数的定义：函数 x y log =)10(≠>a a 且叫做对数函数,定义域是 (0,)+∞a 的取值 0＜a ＜1a ＞1定义域(0,)+∞图 象图像特征在y 轴的右侧，过定点（1，0）即x =1时，y =0当x>0且x →0时,图象趋近于 y 轴正半轴. 当x>0且x →0时，图象趋近于 y 轴负半轴.值域 R性 质 过定点（1，0），在（0，+∞）上是减函数在（0，+∞）上是增函数 函数值的变化规律当0<x<1时，y ∈(0,+∞)当x=1 时，y=0; 当x>1 时, y<0.当0<x<1时，y<0; 当x=1时， y=0 ; 当x>1时， y>0 .3.对数函数y=log a x(a>0,且a ≠1)与指数函数y=a x(a>0,且a ≠1)互为反函数 .它们的图象关于x y =对称.案例分析： 考点一、比较大小例1、比较下列各组数中两个值的大小：（1）log 23.4，log 23.8； （2）log 0.51.8，log 0.52.1；（3）log a 5.1，log a 5.9； （4）log 75，log 67.(5)； (6)6log ,7log 768.0log ,log 23π变式训练：1、已知函数x y 2log =，则当1>x 时，∈y ；当10<<x 时，∈y .考点二、求定义域例2、求下列函数的定义域（1）0.2log (4);y x =-； （2）log ay =(0,1).a a >≠；（3）2(21)log (23)x y x x -=-++ （4）y =例3、选择题：若03log 3log <<n m 则m 、n 满足的条件是（ ）A 、m>n>1B 、n>m>1C 、0<m<n<1D 、0<n<m<1例4 、函数)352(log 221++-=x x y 在什么区间上是增函数？在什么区间上是减函数？1、函数f (x )＝log a [(a －1)x ＋1]在定义域上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．先增后减D ．先减后增 2、方程)13lg()3lg(222+-=x x 的解集是 ．3、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1x ≤0log 2x x ＞0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是________．4、若0<)12(log )1(log 22-<+a a ，则实数a 的取值范围是 .5、方程()lg 3x +-()lg 3x -＝()lg 1x -的解是 ．考点三、求值域例1、（1）、12);4x -(-x log y 221+=（2）、3);-2x -(x log y 221=（3）y=log a (a-a x)(a>1).1、求下列函数的定义域、值域：⑴ ⑵⑶⑷41212-=--x y )52(log 22++=x x y )54(log 231++-=x x y )(log 2x x y a --=)10(<<a2、求函数y ＝log 2(x 2－6x ＋5)的定义域和值域．3、已知x 满足条件09log 9)(log 221221≤++x x ，求函数)4(log )3(log )(22xx x f ⋅=的最大值．4、已知)23lg(lg )23lg(2++=-x x x ，求222log x 的值。
对数与对数函数知识点与例题讲解
对数与对数函数知识点与例题讲解知识梳理： 一、对数1、定义：一般地，如果()0,1x a N a a =>≠，那么实数x 叫做以a 为底N 的对数，记作a x log N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做对数的真数.2、特殊对数⑴通常以10为底的对数叫做常用对数，并把10log N 记为lgN ； ⑵通常以e 为底的对数叫做自然对数，并把e log N 记为lnN . 3、对数的运算⑴运算性质：如果0,1,0,0a a M N >≠>>且，那么：①()a a a log MN log M log N =+；②a a a Mlog log M log N N=-；③()n a a log M nlog M n R =∈；④(),0m na a n log M log M n R m m=∈≠；⑤1a b log b log a =；⑥a log N a N =.⑵换底公式：c a c log blog b log a=.二、对数函数1、定义：一般地，函数()01a y log x a a =>≠，且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是()0,+∞.2、图像和性质1>a10<<a图像性质定义域： 值域：过定点 ，即当1=x 时，0=y在R 上是在R 上是非奇非偶函数3、同底的指数函数xa y =与对数函数x y a log =互为反函数，它们的图像关于直线x y =对称.【课前小测】1、2193-⎛⎫= ⎪⎝⎭写成对数式，正确的是（ ）A 、9123log =- B 、1392log =- C 、()1329log -= D 、()9123log -= 2、函数()0,1a y log x a a =>≠的图像过定点（ ）A 、()1,1B 、()1,0C 、()0,1D 、()0,0 3、49343log 等于（ ） A 、7 B 、2 C 、23 D 、324、函数()()31f x lg x =+的定义域是（ ）A 、1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B 、()0,+∞ C 、(),0-∞ D 、1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭5、函数()21f x log x =+的定义域是（ ）A 、(),-∞+∞B 、()0,+∞C 、1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D 、10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦考点一、化简和求值例1、⑴552log 10log 0.25+=（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、4 解析：2log 510＋log 50.25＝log 5100＋log 50.25＝log 525＝2 ⑵计算：3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+． 解：原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3()()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2=+⋅+=+⋅+3lg 25lg 352lg 36lg 24=⋅=． 变式、⑴（辽宁卷文10）设25abm +=，且112a b+=，则m =（ ） A 、10 B 、10 C 、20 D 、100 ⑵已知32a=，用a 表示33log 4log 6-；⑶已知3log 2a =，35b=，用a 、b 表示 30log 3．考点二、比较大小例2、较下列比较下列各组数中两个值的大小：⑴6log 7，7log 6； ⑵3log π，2log 0.8； ⑶0.91.1， 1.1log 0.9，0.7log 0.8； ⑷5log 3，6log 3，7log 3． 答案：⑴>；⑵>；⑶>，>；⑷>，>．变式、⑴已知函数()|lg |f x x =，若11a b c>>>，则()f a 、()f b 、()f c 从小到大依次为 ；a c b <<⑵已知log 4log 4m n <，比较m ，n 的大小． 解：∵log 4log 4m n <， ∴4411log log m n <，当1m >，1n >时，得44110log log m n<<，∴44log log n m <， ∴1m n >>．当01m <<，01n <<时，得44110log log m n<<，∴44log log n m <， ∴01n m <<<．当01m <<，1n >时，得4log 0m <，40log n <， ∴01m <<，1n >， ∴01m n <<<．综上所述，m ，n 的大小关系为1m n >>或01n m <<<或01m n <<<． 考点三、解与对数相关的不等式 例3、⑴解不等式2)1(log 3≥--x x ．解：原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧-≥->->-2)3(11301x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧-≤-<-<>-2)3(113001x x x x解之得：4＜x ≤5 ∴原不等式的解集为{x |4＜x ≤5}⑵解关于x 的不等式：)1,0(,2log )12(log )34(log 2≠>>---+a a x x x a a a ． 解：原不等式可化为)12(2log )34(log 2->-+x x x a a当a ＞1时有221234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧->-+>-+>-x x x x x x x x x x（其实中间一个不等式可省,为什么？让学生思考）当0＜a ＜1时有42234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-+>-+>-x x x x x x x x x x x 或∴当a ＞1时不等式的解集为221<<x ；当0＜a ＜1时不等式的解集为42<<x ⑶解不等式24log ax x xxa > 解：两边取以a 为底的对数：当0<a <1时原不等式化为：2log 29)(log 2-<x x a a ∴0)1log 2)(4(log <--x x a a ，4log 21<<x a ， ∴a x a <<4 当a >1时原不等式化为：2log 29)(log 2->x x a a ∴0)1log 2)(4(log >--x x a a ，∴ 21log 4log <>x x a a 或 ，∴a x a x <<>04或 ∴原不等式的解集为}10,|{4<<<<a a x a x 或}1,0|{4><<>a a x a x x 或考点四、对数型函数的性质 ① 定义域、值域例4、⑴函数2()lg(31)f x x ++的定义域是（ ） A 、1(,)3-+∞ B 、1(,1)3- C 、11(,)33- D 、1(,)3-∞-⑵函数(21)log x y -= ）A 、()2,11,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B 、()1,11,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C 、2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ D 、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭⑶函数()()2log 31xf x =+的值域为（ ）A 、()0,+∞B 、[)0,+∞C 、()1,+∞D 、[)1,+∞ 变式、求函数y =的定义域.② 单调性、奇偶性例5、⑴函数y ＝log 3(x 2－2x )的单调减区间是________． 解： 令u ＝x 2－2x ，则y ＝log 3u . ∵y ＝log 3u是增函数，u ＝x 2－2x ＞0的减区间是(－∞，0)，∴y ＝log 3(x 2－2x )的减区间是(－∞，0)．⑵设0＜a ＜1，函数f (x )＝log a (a 2x －2a x －2)，则使f (x )＜0的x 的取值范围是（ ） A 、(－∞，0) B 、(0，＋∞) C 、(－∞，log a 3)D 、(log a 3，＋∞)解：由f (x )＜0，即a 2x －2a x －2＞1，整理得(a x －3)(a x ＋1)＞0，则a x ＞3.∴x ＜log a 3. ⑶函数y ＝log 22－x2＋x 的图象（ ）A 、关于原点对称B 、关于直线y ＝－x 对称C 、关于y 轴对称D 、关于直线y ＝x 对称解：∵f (x )＝log 22－x 2＋x ，∴f (－x )＝log 22＋x 2－x ＝－log 22－x2＋x∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．故选A .变式、⑴若011log 22<++aa a，则a 的取值范围是（ ） A 、),21(+∞ B 、),1(+∞ C 、)1,21( D 、)21,0(⑵若02log )1(log 2<<+a a a a ，则a 的取值范围是 ．⑶若函数)2(log )(22a x x x f a ++= 是奇函数，则a = ．③综合应用例6、设函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫1－ax ，其中0＜a ＜1. ⑴证明：f (x )是(a ，＋∞)上的减函数； ⑵解不等式f (x )＞1.解析：⑴证明：设0＜a ＜x 1＜x 2，g (x )＝1－ax ，则g (x 1)－g (x 2)＝1－a x 1－1＋a x 2＝a (x 1－x 2)x 1x 2＜0，∴g (x 1)＜g (x 2)．又∵0＜a ＜1，∴f (x 1)＞f (x 2)． ∴f (x )在(a ，＋∞)上是减函数．⑵∵log a ⎝⎛⎭⎫1－a x ＞1，∴0＜1－ax ＜a ，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＞a ，x ＜a 1－a ，∴不等式的解集为：{x |a ＜x ＜a1－a}．变式、已知函数22()log (32)f x x x =+-.⑴求函数()f x 的定义域；⑵求证()f x 在(1,3)x ∈上是减函数；⑶求函数()f x 的值域. 随堂巩固1、6632log log +等于（ ）A 、6B 、5C 、1D 、65log 2、在()23a b log -=中，实数a 的取值范围是（ ）A 、2a <B 、2a >C 、23,3a a <<>或D 、3a > 3、下列格式中成立的是（ ）A 、22a a log b log b = B 、a a a log xy log x log y =+C 、()()()a a a log xy log x log y =•D 、a a a xlog log y log x y=- 4、213alog > ，则a 的取值范围是（ ） A 、312a <<B 、30112a a <<<<或C 、213a <<D 、2013a a <<>或 5、已知ab M =()0,0,1a b M >>≠，且log M b x =，则log M a 等于（ ） A 、1x - B 、1x + C 、1xD 、1x - 6、(08山东济宁)已知8log 9a =，2log 5b =，则lg 3等于（ ） A 、1ab - B 、()321a b - C 、()321a b + D 、()312a b -7、已知函数()()32f x lg x =+的定义域为F ，函数()()()12g x lg x lg x =-+-的定义域为G ，那么（ ）A 、G F ≠⊂B 、G F =C 、F G ⊆D 、FG =∅8、(08山东)已知函数()2300x x f x log x x ⎧≤=⎨>⎩，，，12f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ） A 、1- B、log CD 、139、若()6430log log log x =⎡⎤⎣⎦，则12x -等于（ ）A 、9B 、91C 、3D 、3310、若M =⋅32log 4log 3log 3132 ，则M 的值是（ ） A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 11、已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ）A 、2a -B 、5a -C 、23(1)a a -+ D 、231a a -- 12、已知偶函数()x f 在[]4,2上单调递减,那么)8(log 21f 与)(π-f 的大小关系是（ ）A 、)8(log 21f >)(π-f B 、)8(log 21f =)(π-fC 、)8(log 21f < )(π-f D 、不能确定13、若312log 19x-=，则x = ； 14、已知：lg 21.3a =，则lg0.213=___________；15、()2211log log 1a a x x -->+，则a 的取值范围为________________； 16、比较大小⑴8.1log 3 7.2log 3；⑵5log 6 7log 6； 17、若14log 3=x ，则=+-xx44___________；18、已知log 1a x =，log 2b x =，log 4c x =，则log abc x =____________； 19、(08山东) 知()lg lg 2lg 2x y x y +=-，求的值.20、⑴已知a =2lg ，b =3lg ，试用b a 、表示5log 12；⑵已知a =3log 2，b =7log 3，试用b a 、表示56log 14.21、已知())lgf x x =.⑴求()f x 的定义域； ⑵求证：()f x 是奇函数.22、解关于x 的不等式：)1,0(,2log )12(log )34(log 2≠>>---+a a x x x a a a 解：原不等式可化为)12(2log )34(log 2->-+x x x a a当a >1时有221234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧->-+>-+>-x x x x x x x x x x当0<a <1时有42234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-+>-+>-x x x x x x x x x x x 或∴ 当a >1时不等式的解集为221<<x ； 当0<a <1时不等式的解集为42<<x课后巩固1、()0,1,0log >≠>=N b b a N b 对应的指数式是（ ）A 、N a b =B 、N b a =C 、b a N= D 、a b N =2、设255lg =x，则x 的值等于（ ）A 、10B 、0.01C 、100D 、1000 3、()[]0log log log 234=x ，那么21-x等于（ ）A 、2B 、21C 、4D 、414、化简9log 8log 5log 4log 8543•••的结果是（ ） A 、1 B 、23C 、2D 、3 5、函数()1log 21-=x y 的定义域是（ ）A 、()+∞,1B 、()2,∞-C 、()+∞,2D 、(]2,1 6、若09log 9log <<n m ，那么n m ,满足的条件是（ ）A 、1>>n mB 、1>>m nC 、10<<<m nD 、10<<<n m7、若132log <a ，则a 的取值范围是（ ）A 、()+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛,132,0B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,32C 、⎪⎭⎫⎝⎛1,32 D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛,3232,08、函数()176log 221+-=x x y 的值域是（ ）A 、RB 、[)+∞,8C 、()3,-∞-D 、[)+∞,39、函数⎪⎭⎫⎝⎛--=112lg x y 的图像关于（ ） A 、y 轴对称 B 、x 轴对称 C 、原点对称 D 、直线x y =对称 10、图中的曲线是x y a log =的图像，已知a 的值为51,103,34,2，则相应曲线4321,,,C C C C 的a 依次为（ ）A 、103,51,34,2B 、51,103,34,2C 、2,34,103,51D 、51,103,2,3411、比较两个对数值的大小：7ln 12ln ；7.0log 5.0 8.0log 5.0. 12、计算()=•+50lg 2lg 5lg 2.13、函数()()x xx f -+=1lg2是 函数.（填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）.14、函数xa y =的反函数的图像经过点()2,9，则a 的值为 . 15、已知函数()()1log +=x x f a ，()()x x g a -=1log ()10≠>a a ，且 ⑴求函数()()x g x f +的定义域；（10分） ⑵判断函数()()x g x f +的奇偶性.（10分）16、已知log 4log 4m n <，比较m ，n 的大小。
高考数学复习考点知识与题型专题讲解9---对数与对数函数
高考数学复习考点知识与题型专题讲解对数与对数函数考试要求1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数．知识梳理1．对数的概念一般地，如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N.以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N.2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：log a1＝0，log a a＝1，log a Na＝N(a>0，且a≠1，N>0)．(2)对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M (n∈R)．(3)换底公式：log a b ＝log c blog c a(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．3．对数函数的图象与性质y＝log a x a>10<a<1图象定义域(0，＋∞)值域R性质过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．常用结论1．log a b·log b a＝1，log n m ba ＝nm log a b.2．如图给出4个对数函数的图象则b >a >1>d >c >0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 3．对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象恒过点(1,0)，(a ,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .(×)(2)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(×) (3)函数y ＝log a 1＋x1－x与函数y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )是同一个函数．(×)(4)函数y ＝log 2x 与y ＝121log x的图象重合．(√) 教材改编题1．函数y ＝log a (x －2)＋2(a >0且a ≠1)的图象恒过定点． 答案(3,2) 解析∵log a 1＝0， 令x －2＝1，∴x ＝3， ∴y ＝log a 1＋2＝2，∴原函数的图象恒过定点(3,2)． 2．计算：(log 29)·(log 34)＝. 答案4解析(log 29)·(log 34)＝lg9lg2×lg4lg3＝2lg3lg2×2lg2lg3＝4.3．若函数y＝log a x(a>0，a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝.答案12或2解析当a>1时，log a4－log a2＝log a2＝1，∴a＝2；当0<a<1时，log a2－log a4＝－log a2＝1，∴a＝12，综上有a＝12或2.题型一对数式的运算例1(1)设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m等于()A.10B．10C．20D．100 答案A解析2a＝5b＝m，∴log2m＝a，log5m＝b，∴1a＋1b＝1log2m＋1log5m＝log m2＋log m5＝log m10＝2，∴m2＝10，∴m＝10(舍m＝－10)．(2)计算：log 535＋212log 2－log 5150－log 514＝.答案2解析原式＝log 535－log 5150－log 514＋12log (2)2＝log 535150×14＋12log 2＝log 5125－1＝log 553－1＝3－1＝2. 教师备选计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝.答案1解析原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.思维升华 解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．跟踪训练1(1)已知a>b>1，若log a b＋log b a＝52，ab＝b a，则a＋b＝.答案6解析设log b a＝t，则t>1，因为t＋1t＝52，所以t＝2，则a＝b2.又a b＝b a，所以b2b＝2b b，即2b＝b2，又a>b>1，解得b＝2，a＝4.所以a＋b＝6.(2)计算：lg25＋lg50＋lg2·lg500＋(lg2)2＝.答案4解析原式＝2lg5＋lg(5×10)＋lg2·lg(5×102)＋(lg2)2＝2lg5＋lg5＋1＋lg2·(lg5＋2)＋(lg2)2＝3lg5＋1＋lg2·lg5＋2lg2＋(lg2)2＝3lg5＋2lg2＋1＋lg2(lg5＋lg2)＝3lg5＋2lg2＋1＋lg2＝3(lg5＋lg2)＋1＝4.题型二对数函数的图象及应用例2(1)已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是()A ．0<a －1<b <1B ．0<b <a －1<1C ．0<b －1<a <1D ．0<a －1<b －1<1 答案A解析由函数图象可知，f (x )为增函数，故a >1.函数图象与y 轴的交点坐标为(0，log a b )，由函数图象可知－1<log a b <0，解得1a <b <1.综上有0<1a <b <1. (2)若方程4x＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为．答案⎝⎛⎦⎥⎤0，22解析若方程4x＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则函数y ＝4x和函数y ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有交点，由图象知⎩⎨⎧0<a <1，log a 12≤2，解得0<a ≤22.教师备选已知x 1，x 2分别是函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x －2的零点，则1e x ＋ln x 2的值为()A．e2＋ln2B．e＋ln2C．2D．4答案C解析根据题意，已知x1，x2分别是函数f(x)＝e x＋x－2，g(x)＝ln x＋x－2的零点，函数f(x)＝e x＋x－2的零点为函数y＝e x的图象与y＝2－x的图象的交点的横坐标，则两个函数图象的交点为(x1，1e x)，函数g(x)＝ln x＋x－2的零点为函数y＝ln x的图象与y＝2－x的图象的交点的横坐标，则两个函数图象的交点为(x2，ln x2)，又由函数y＝e x与函数y＝ln x互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，而直线y＝2－x也关于直线y＝x对称，则点(x1，1e x)和(x2，ln x2)也关于直线y＝x对称，则有x1＝ln x2，则有1e x＋ln x2＝1e x＋x1＝2.思维升华对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 跟踪训练2(1)已知函数f (x )＝log a x ＋b 的图象如图所示，那么函数g (x )＝a x ＋b 的图象可能为()答案D解析结合已知函数的图象可知， f (1)＝b <－1，a >1，则g (x )单调递增，且g (0)＝b ＋1<0，故D 符合题意．(2)(2022·西安调研)设x 1，x 2，x 3均为实数，且1e x -＝ln x 1，2e x -＝ln(x 2＋1)，3e x -＝lg x 3，则()A ．x 1<x 2<x 3B ．x 1<x 3<x 2C ．x 2<x 3<x 1D ．x 2<x 1<x 3答案D解析画出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x，y ＝ln x ，y ＝ln(x ＋1)，y ＝lg x 的图象，如图所示．数形结合，知x 2<x 1<x 3.题型三 对数函数的性质及应用 命题点1比较指数式、对数式大小 例3(1)设a ＝log 3e ，b ＝e 1.5，c ＝131log 4，则() A ．b <a <c B ．c <a <b C ．c <b <a D ．a <c <b 答案D 解析c ＝131log 4＝log 34>log 3e ＝a . 又c ＝log 34<log 39＝2，b ＝e 1.5>2， ∴a <c <b .(2)(2022·昆明一中月考)设a ＝log 63，b ＝log 126，c ＝log 2412，则() A ．b <c <a B ．a <c <b C ．a <b <c D ．c <b <a 答案C解析因为a ，b ，c 都是正数，所以1a ＝log 36＝1＋log 32，1b ＝log 612＝1＋log 62，1c ＝log 1224＝1＋log 122，因为log 32＝lg2lg3，log 62＝lg2lg6，log 122＝lg2lg12，且lg3<lg6<lg12，所以log 32>log 62>log 122，即1a >1b >1c ，所以a <b <c .命题点2解对数方程不等式例4若log a (a ＋1)<log a (2a )<0(a >0，a ≠1)，则实数a 的取值范围是．答案⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 解析依题意log a (a ＋1)<log a (2a )<log a 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，a ＋1<2a <1或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a ＋1>2a >1，解得14<a <1.命题点3对数性质的应用例5已知函数f (x )＝ln2x ＋12x －1，下列说法正确的是________．(填序号) ①f (x )为奇函数；②f (x )为偶函数；③f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减； ④f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递增． 答案①③解析f (x )＝ln 2x ＋12x －1，令2x ＋12x －1>0， 解得x >12或x <－12，∴f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞， 又f (－x )＝ln －2x ＋1－2x －1＝ln 2x －12x ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋12x －1－1 ＝－ln 2x ＋12x －1＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数，故①正确，②错误；又f (x )＝ln 2x ＋12x －1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22x －1， 令t ＝1＋22x －1，t >0且t ≠1，∴y ＝ln t ， 又t ＝1＋22x －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减， 且y ＝ln t 为增函数，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减，故③正确； 又f (x )为奇函数，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减，故④不正确． 教师备选1．(2022·安徽十校联盟联考)已知a ＝log 23，b ＝2log 53，c ＝13log 2，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a >c >bB ．a >b >cC ．b >a >cD ．c >b >a答案B解析∵a ＝log 23>1，b ＝2log 53＝log 59>1，c ＝13log 2<0，∴a b ＝log 23log 59＝lg3lg2×lg5lg9＝lg3lg2×lg52lg3＝lg52lg2＝lg5lg4＝log 45>1，∴a >b ，∴a >b >c .2．若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为()A ．[1,2)B ．[1,2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)答案A解析令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数f (x )在(－∞，1]上单调递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．思维升华 求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．跟踪训练3(1)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2<0，则下列关系中正确的是()A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．a <c <b答案C解析根据不等式的性质和对数的换底公式可得1log 2a <1log 2b <1log 2c <0， 即log 2c <log 2b <log 2a <0，可得c <b <a <1.(2)若函数f (x )＝⎩⎨⎧log a x ，x ≥2，－log ax －4，0<x <2存在最大值，则实数a 的取值范围是． 答案⎝⎛⎦⎥⎤0，22 解析当a >1时，函数f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上单调递增，无最值，不满足题意， 故0<a <1.当x ≥2时，函数f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上单调递减，f (x )≤f (2)＝log a 2；当0<x <2时，f (x )＝－log a x －4在(0,2)上单调递增，f (x )<f (2)＝－log a 2－4，则log a 2≥－log a 2－4，即log a 2≥－2＝log a a －2，即1a 2≥2,0<a ≤22， 故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22. 课时精练1．(2022·重庆巴蜀中学月考)设a ＝12，b ＝log 75，c ＝log 87，则()A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >b >aD ．c >a >b答案D解析a＝12＝log77>b＝log75，c＝log87>log88＝12＝a，所以c>a>b.2．若函数y＝f(x)是函数y＝a x(a>0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)等于()A．log2x B.12x C．12log x D．2x－2答案A解析函数y＝a x(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝log a x，又f(2)＝1，即log a2＝1，所以a＝2.故f(x)＝log2x.3.函数y＝log a(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是()①a>1；②0<c<1；③0<a<1；④c>1.A．①②B．①④C．②③D．③④答案C解析由图象可知函数为减函数，∴0<a<1，令y ＝0得log a (x ＋c )＝0，x ＋c ＝1，x ＝1－c ，由图象知0<1－c <1，∴0<c <1.4．(2022·银川模拟)我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．一般地，声音的强度用(W/m 2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L 1＝10lg I I 0(单位：分贝，L 1≥0，其中I 0＝1×10－12是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．某新建的小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，则声音强度I 的取值范围是()A ．(－∞，10－7)B ．[10－12，10－5)C ．[10－12，10－7)D ．(－∞，10－5)答案C解析由题意可得，0≤10·lg I I 0<50， 即0≤lg I －lg(1×10－12)<5，所以－12≤lg I <－7，解得10－12≤I <10－7，所以声音强度I 的取值范围是[10－12,10－7)．5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，12log (－x )，x <0.若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是() A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)答案C解析由题意得⎩⎨⎧a >0，log 2a >12log a 或⎩⎨⎧a <0，12log (－a )>log 2(－a )， 解得a >1或－1<a <0.6．(2022·汉中模拟)已知log 23＝a ,3b ＝7，则log 2156等于() A.ab ＋3a ＋ab B.3a ＋b a ＋ab C.ab ＋3a ＋b D.b ＋3a ＋ab答案A解析由3b ＝7，可得log 37＝b ，所以log 2156＝log 3(7×23)log 3(3×7)＝log 37＋log 323log 33＋log 37＝b ＋3×1a1＋b ＝ab ＋3a ＋ab .7．(2022·海口模拟)log 327＋lg25＋lg4＋7log 27＋13(8)-的值等于． 答案72解析原式＝log 3323＋lg52＋lg22＋2＋133(2)⨯-＝32＋2lg5＋2lg2＋2＋(－2)＝32＋2(lg5＋lg2)＋2＋(－2)＝32＋2＋2＋(－2)＝72.8．已知函数y ＝log a (x －3)－1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是． 答案(4，－1)解析令x －3＝1，则x ＝4，∴y ＝log a 1－1＝－1，故点P 的坐标为(4，－1)．9．设f (x )＝log 2(a x －b x )，且f (1)＝1，f (2)＝log 212.(1)求a ，b 的值；(2)当x ∈[1,2]时，求f (x )的最大值．解(1)因为f (x )＝log 2(a x －b x )， 且f (1)＝1，f (2)＝log 212，所以⎩⎪⎨⎪⎧ log 2(a －b )＝1，log 2(a 2－b 2)＝log 212，即⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝2，a 2－b 2＝12，解得a ＝4，b ＝2. (2)由(1)得f (x )＝log 2(4x －2x )， 令t ＝4x －2x ，则t ＝4x －2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －122－14， 因为1≤x ≤2，所以2≤2x ≤4，所以94≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －122≤494，即2≤t ≤12， 因为y ＝log 2t 在[2,12]上单调递增， 所以y max ＝log 212＝2＋log 23， 即函数f (x )的最大值为2＋log 23.10．(2022·枣庄模拟)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1.(1)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(2)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集． 解(1)f (x )是奇函数，证明如下：因为f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1，f (x )的定义域为(－1,1)．f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (1＋x )－log a (－x ＋1)]＝－f (x )，故f (x )是奇函数．(2)因为当a >1时，y ＝log a (x ＋1)是增函数，y ＝log a (1－x )是减函数，所以当a >1时，f (x )在定义域(－1,1)内是增函数，f (x )>0即log a (x ＋1)－log a (1－x )>0， log a x ＋11－x >0，x ＋11－x >1，2x 1－x>0， 2x (1－x )>0，解得0<x <1，故使f (x )>0的x 的解集为(0,1)．11．设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则()A ．a ＋b <ab <0B ．ab <a ＋b <0C ．a ＋b <0<abD ．ab <0<a ＋b答案B解析∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0，b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0. ∵a ＋b ab ＝1a ＋1b ＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4，∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0，∴0<a ＋b ab <1，∴ab <a ＋b <0.12．若实数x ，y ，z 互不相等，且满足2x ＝3y ＝log 4z ，则()A ．z >x >yB ．z >y >xC ．x >y ，x >zD ．z >x ，z >y答案D解析设2x ＝3y ＝log 4z ＝k >0，则x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝4k ，根据指数、对数函数图象易得4k >log 2k ，4k >log 3k ，即z >x ，z >y .13．函数f (x )＝log 2x ·2log (2x )的最小值为．答案－14解析依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14， 当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，所以函数f (x )的最小值为－14. 14．已知函数f (x )＝|log 2x |，实数a ，b 满足0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋b 的取值范围是________．答案(2，＋∞)解析∵f (x )＝|log 2x |，∴f (x )的图象如图所示，又f (a )＝f (b )且0<a <b ，∴0<a <1，b >1且ab ＝1，∴a ＋b ≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b 时取等号．又0<a <b ，故a ＋b >2.15．(2022·贵阳模拟)若3a＋log3a＝9b＋2log9b，则()A．a>2b B．a<2bC．a>b2D．a<b2答案B解析f(x)＝3x＋log3x，易知f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵3a＋log3a＝32b＋log3b，∴f(2b)＝32b＋log3(2b)>32b＋log3b＝3a＋log3a＝f(a)，∴2b>a.16．已知函数f(x)＝log2(2x＋k)(k∈R)．(1)当k＝－4时，解不等式f(x)>2；(2)若函数f(x)的图象过点P(0,1)，且关于x的方程f(x)＝x－2m有实根，求实数m的取值范围．解(1)当k＝－4时，f(x)＝log2(2x－4)．由f(x)>2，得log2(2x－4)>2，得2x－4>4，得2x>8，解得x >3.故不等式f (x )>2的解集是(3，＋∞)．(2)因为函数f (x )＝log 2(2x ＋k )(k ∈R )的图象过点P (0,1)， 所以f (0)＝1，即log 2(1＋k )＝1，解得k ＝1.所以f (x )＝log 2(2x ＋1)．因为关于x 的方程f (x )＝x －2m 有实根， 即log 2(2x ＋1)＝x －2m 有实根． 所以方程－2m ＝log 2(2x ＋1)－x 有实根． 令g (x )＝log 2(2x ＋1)－x ，则g (x )＝log 2(2x ＋1)－x＝log 2(2x ＋1)－log 22x＝log 22x ＋12x ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x . 因为1＋12x >1，log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x >0， 所以g (x )的值域为(0，＋∞)．所以－2m>0，解得m<0.所以实数m的取值范围是(－∞，0)．。
对数及对数函数-知识点及题型归纳
●高考明方向1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．3.知道对数函数是一类重要的函数模型．4.了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数(a>0，且a≠1)．★备考知考情通过对近几年高考试题的统计分析可以看出，本节内容. 资料. .. .在高考中属于必考内容，且占有重要的分量，主要以选择题的形式命题，也有填空题和解答题．主要考查对数运算、换底公式等．及对数函数的图象和性质．对数函数与幂、指数函数结合考查，利用单调性比较大小、解不等式是高考的热点.一、知识梳理《名师一号》P27注意：知识点一对数及对数的运算性质1.对数的概念一般地，对于指数式a b＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作log a N，即b＝log a N(a>0，且a≠1)．其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”．. 资料. .. .. 资料. .. .注意：(补充)关注定义---指对互化的依据2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a (MN)＝log a M ＋log a N ；②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝nlog a M(n ∈R)；④log a m M n＝n m log a M.(2)对数的性质①a logaN ＝N ；②log a a N ＝N (a>0，且a≠1)．. 资料. .. .(3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a N log a b(a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1log b a，推广log a b·log b c·log c d ＝log a d. 注意：(补充)特殊结论:log 10,log 1a a a ==知识点二 对数函数的图象与性质1.对数函数的图象与性质（注意定义域!）a>1 0<a<12.反函数指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．(补充)设y＝f(x)存在反函数，并记作y＝f－1(x)，1) 函数y＝f(x)与其反函数y＝f－1(x)的图象. 资料. .. .. 资料. .. .关于直线y x 对称．2) 如果点P(x 0，y 0)在函数y ＝f(x)的图象上，则必有f －1(y 0)＝x 0 ，反函数的定义域、值域分别为原来函数的值域、定义域．3) 函数y ＝f(x)与其反函数y ＝f －1(x)的单调性相同．二、例题分析：（一）对数式的运算 例1.(1)《名师一号》P27 对点自测1(2013·陕西文3)设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )A ．log a b·log c b ＝log c aB ．log a b·log c a ＝log c b. 资料. .. .C ．log a (bc)＝log a b·log a cD ．log a (b ＋c)＝log a b ＋log a c解析 由对数的运算性质：log a (bc)＝log a b ＋log a c ， 可判断选项C ，D 错误；选项A ，由对数的换底公式知，log a b·log c b ＝log c a ⇒lgb lga ·lgb lgc ＝lga lgc⇒lg 2b ＝lg 2a ，此式不恒成立，故错误；对选项B ，由对数的换底公式知，log a b·log c a ＝lgb lga ·lga lgc ＝lgb lgc＝log c b ，故恒成立． 答案 B. 资料. .. .例1.(2) (补充) 计算下列各式的值 (1) 2lg 2lg 3111lg 0.36lg823+=++ (2) 温故知新P22 第8题()22log 3lg5lg 2lg504+⋅+= (3) 235111log log log 2589⋅⋅=答案：(1) 1 (2)10 (3)-12注意： 准确熟练记忆对数运算性质多练. 资料. .. .lg 2lg51+=《名师一号》P28 高频考点 例1【规律方法】 在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式．例2.(1)《名师一号》P27 对点自测2(2014·陕西卷)已知4a ＝2，lgx ＝a ，则x ＝________.解析 ∵4a ＝2，∴a ＝log 42＝12.由lgx ＝12， 得x ＝10 12 ＝10.. 资料. .. .例2.（2）《名师一号》P28 高频考点 例1(1)若x ＝log 43，则(2x －2－x )2等于( )A.94B.54C.103D.43解析:由x ＝log 43，得4x ＝3，即2x ＝3，2－x ＝33， 所以(2x －2－x )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝43. 注意：指数与对数的互化a b ＝N ⇔b ＝log a N (a>0，a ≠1，N>0)．. 资料. .. .练习:(补充)已知1135,2a bk a b ==+=求k答案: k =例3.《名师一号》P28 高频考点 例1(2)已知函数f(x)＝⎩⎨⎧log 2x ，x>0，3－x ＋1，x≤0，则f(f(1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312的值 是( )A ．5B ．3C ．－1 D.72. 资料. .. .因为f(1)＝log 21＝0，所以f(f(1))＝f(0)＝2.因为log 312<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝3－log 312 ＋1 ＝3log 32 ＋1＝2＋1＝3.所以f(f(1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝2＋3＝5.二、对数函数的图象及性质的应用例1. (补充)求下列函数的定义域．(1)y ＝log 0.5(4x －3).(2)y ＝log (x ＋1)(16－4x )．. 资料. .. .解析：(1)由函数定义知：⎩⎨⎧ log 0.5(4x －3)≥04x －3>0 ∴⎩⎨⎧ 4x －3≤14x －3>0，即34<x≤1. 故原函数的定义域是{x|34<x≤1}． (2)由函数有意义知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0x ＋1≠116－4x >0∴⎩⎪⎨⎪⎧ x>－1x≠0x<2即－1<x<2，且x≠0.. 资料. .. . 故原函数的定义域为{x|－1<x<0，或0<x<2}．练习：已知集合(){}22log x y x ax a R =--=求实数a 的取值范围．解析：设f(x)＝x 2－ax －a ，则y ＝log 2f(x)，依题意，f(x)>0恒成立，∴Δ＝a 2＋4a<0∴－4<a<0，即a 的范围为(－4,0)例2.《名师一号》P27 对点自测5(2014·重庆卷)函数f(x)＝log 2x ·log 2(2x)的最小值为________．. 资料. .. .解析 根据对数运算性质，f(x)＝log 2x ·log 2 (2x)＝12log 2x·[2log 2(2x)]＝log 2x(1＋log 2x)＝(log 2x)2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14，当x ＝22时，函数取得最小值－14.注意：换元后“新元”的取值范围．. 资料. .. .练习：1、求下列函数的值域（1）y ＝log 15(－x 2＋2x ＋4)[答案] [－1，＋∞)（2）f(x)＝log 22x －3log 2x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x≤2 [解析] 令t ＝log 2x ，∵12≤x≤2∴－1≤t≤1. ∴函数化为y ＝t 2－6t ＋2＝(t －3)2－7∵－1≤t≤1.∴当t ＝－1，即x ＝12时，y max ＝9. 当t ＝1，即x ＝2时，y min ＝－3，. 资料. .. . ∴函数的值域为[－3,9].2、已知集合(){}22log y y x ax aR =--=求实数a 的取值范围．[分析]当且仅当f(x)＝x 2－ax －a 的值能够取遍一切正实数时，y ＝log 2(x 2－ax －a)的值域才为R.而当Δ<0时，f(x)>0恒成立，仅仅说明函数定义域为R ，而f(x)不一定能取遍一切正实数(一个不漏)．要使f(x)能取遍一切正实数，作为二次函数，f(x)图像应与x 轴有交点(但此时定义域不再为R)[正解] 要使函数y ＝log 2(x 2－ax －a)的值域为R ，应使f(x)＝x 2－ax －a 能取遍一切正数，要使f(x)＝x 2－ax －a能取遍一切正实数，应有Δ＝a2＋4a≥0，∴a≥0或a≤－4，∴所求a的取值范围为(－∞，－4]∪[0，＋∞)例3. （1）《名师一号》P27 对点自测4已知a＞0且a≠1，则函数y＝log a(x＋2 015)＋2的图象恒过定点________．解析令x＋2 015＝1，即x＝－2 014时，y＝2，故其图象恒过定点(－2 014,2)．. 资料. .. .. 资料. .. .练习:无论a 取何正数(a≠1)，函数()33log a y x =-+恒过定点【答案】()43,注意：对数函数()01log ,a y x a a =>≠且图象都经过定点(1, 0)例3. （2） (补充)如右下图是对数函数①y ＝log a x ，②y ＝log b x ，③y ＝log c x ，④y ＝log d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是 ( )A．a>b>1>c>dB．b>a>1>d>cC．1>a>b>c>dD．a>b>1>d>c【答案】B在上图中画出直线y＝1，分别与①、②、③、④交于A(a,1)、B(b,1)、C(c,1)、D(d,1)，由图可知c<d<1<a<b.注意：(补充)两个单调性相同的对数函数，. 资料. .. .. 资料. .. .它们的图象在位于直线x＝1右侧的部分是“底大图低”.利用1logaa=，图象都经过()1,a点，作直线1y=，则该直线与图象的交点的横坐标即为底数a。
对数及对数函数 知识点总结及典例
对数及对数函数一．知识梳理 （一）．对数的概念①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是ba ＝ N ，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作log a N ＝ b 其中a 称对数的底，N 称真数。
1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ；2）以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，log e N ，记作N ln ；3）指数式与对数式的互化 ba ＝ N ⇔log a N ＝b ②基本性质：1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）log 10a =；3）1log =a a ；4）对数恒等式：N a Na =log 。
③运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 1）N M MN a a a log log )(log +=； 2）N M N M a a a log log log -=；3）∈=n M n M a na (log log R ）。
④换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=N m m a a aNN m m a1）1log log =⋅a b b a ；2）b mnb a na m log log =。
（二）对数函数1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．2三．【例1】比较下列各组数的大小：（1）3log 2与()23log 3x x -+（2） 1.1log 0.7与 1.2log 0.7（3）32log 3与56log 5【变式训练1】比较大小：4.0lg 4.0log 4.0log 4.0log 3211.0【变式训练2】已知01a <<，log log 0a a m n <<，则（ ）.A 1n m << .B 1m n << .C 1m n << .D 1n m <<【例2】下列指数式与对数式互化不正确的一组是 （ ） A 、0lg11100==与 B 、3131log 31272731-==-与 C 、39921log 213==与 D 、5515log 15==与【变式训练1】.若()125log -=-x，则x 的值为 （ ）A 、25-B 、25+C 、2525+-或D 、52- 【变式训练2】.若()log lg ,x ______x ==20则【变式训练3】=-+7log 3log 49log 212121 。
高中数学对数和对数函数知识点与例题讲解
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b=N（a＞0，a≠1），那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b.（2）指数式与对数式的关系：a b=NlogaN=b（a＞0，a≠1，N＞0）.两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.（3）对数运算性质:①log a（MN）=log a M+log a N.②log aMN=log a M－log a N.③logaM n=nlogaM.（M＞0，N＞0，a＞0，a≠1）④对数换底公式：logbN= l oglogaaNb（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y=log a x（a＞0，a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里a<0,或=1的时候是会有相应b的值的。
但是，根据对数定义:log a a=1；如果a=1或=0那么log a a就可以等于一切实数（比如log11也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n=nlogaM如果a<0,那么这个等式两边就不会成立（比如，log(-2)4^(-2)就不等于(-2)*log(-2)4；一个等于1/16，另一个等于-1/16）（2）对数函数的图象yyy =l ogxa>(1)a1O1xOxy =l o g a x (<a <1) 0底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R.③过点（1，0），即当x=1时，y=0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题题型1（对数的计算） 1．求下列各式的值． （1）35 log ＋25log2－1 21 50log － 514 log ；（2）log5 2 1 25 ×lo g 3 1 8 ×lo g 5 1 9. 练习题1．计算：lg 1 2 －lg5 8 ＋lg12.5－log 89·log 278；3.log535＋21log2－log51502 －log514；3.log2125×log318×log519.1loglog4log3 4.399222．5.lg5lg2lg41(6).log24lglog27lg2log33222 7.2lg2lg3111lg0.36lg823例2．已知实数x、y、z满足3x＝4y＝6z＞1.(1)求证：2x＋1y＝2z；(2)试比较3x、4y、6z的大小．练习题．已知log189＝a，18b＝5，用a、b表示log3645.题型二：（对数函数定义域值域问题）例1．已知函数fxlog22xx1aax的定义域为集合A，关于x的不等式22 的解集为B，若AB，求实数a的取值范围．2．设函数2ylog(ax2x2)定义域为A．2（1）若AR，求实数a的取值范围；（2）若2log(ax2x2)2在x[1,2]上恒成立，求实数a的取值范围．2练习题1．已知函数2 fxlgax2x1（1）若fx的定义域是R,求实数a的取值范围及fx的值域；（2）若fx的值域是R，求实数a的取值范围及fx的定义域2求函数y=2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.题型三（奇偶性及性） 例题1．已知定义域为R 的函数f (x )为奇函数足f(x ＋2)＝－f(x)，当x ∈[0,1]时，f(x)＝2x －1.(1)求f(x)在[－1,0)上的解析式； (2)求f(1 log24)的值． 2 4.已知f （x ）=l o g 1［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域.3 5.已知y =l o g a （3－a x ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的围.4．已知函数f(x)lg(2x)lg(2x).（Ⅰ）求函数yf(x)的定义域；（Ⅱ）判断函数yf(x)的奇偶性；（Ⅲ）若f(m2)f(m)，求m的取值范围.练习题1．已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)(a＞0，a≠1)(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性，并给出证明；(3)当a＞1时，求使f(x)＞0的x的取值范围2．函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)0，当x0时，1f(x)logx.2 （1）求函数f(x)的解析式；（2）解不等式2f(x1)2；3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且x0时，1f(x)log(x1)．2 （Ⅰ）求f(0)，f(1)；（Ⅱ）求函数f(x)的表达式；（Ⅲ）若f(a1)1，求a的取值范围．题型4（函数图像问题）例题1.函数f（x）=|log2x|的图象是yy111x-11xOOAByy111x1xOOCD6.求函数y＝log2｜x｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.f(x)＝|lgx|，a，b为实数，且0＜a＜b.(1)求方程f(x)＝1的解；(2)若a，b满足f(a)＝f(b)＝2fa b2，求证：a·b＝1，a b2 ＞1.练习题：1．已知a0且a1，函数f(x)log(x1)a，1g(x)log a，记F(x)2f(x)g(x)1x（1）求函数F(x)的定义域及其零点；（2）若关于x的方程2 F2．已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．(1)求k的值；(2)设g(x)＝log44xa?237.函数y＝log2｜ax－1｜（a≠0）的对称轴方程是x＝－2，那么a等于题型五：函数方程1方程lgx+lg（x+3）=1的解x=___________________.5.已知函数f（x）= 1()2x,x4,则f（2+log23）的值为f(x1),x4,4．已知函数f(x)log a(axx)(a0,a1为常数）. （Ⅰ）求函数f(x)的定义域；（Ⅱ）若a2，x1,9,求函数f(x)的值域；（Ⅲ）若函数f(x)ya的图像恒在直线y2x1的上方，求实数a的取值范围.1xxyloglog(2x8).5．已知函数22242（Ⅰ）令tlog2x，求y关于t的函数关系式及t的取值范围；（Ⅱ）求函数的值域，并求函数取得最小值时的x的值.8.设函数f（x）=lg（1－x），g（x）=lg（1+x），在f（x）和g（x）的公共定义域内比较|f（x）|与|g（x）|的大小.您好，欢迎您阅读我的文章，本WORD文档可编辑修改，也可以直接打印。
对数函数知识点及典型例题
( x )－ ( x ) = lg + －lg － = lg + ，
∵－1＜x ＜x ＜1，∴ x －x ＞0， 1－x ＞1－x ＞0，1 + x ＞1 + x ＞0，
∴ ＞1， ＞0，即 ( x )－ ( x )＞0，
∴函数 (x)是单调递减函数．
（3） lg - lg +lg .
解：（1）方法一 利用对数定义求值
设 =x, 则(2+ )x=2- = =（2+ ）-1,∴x=-1.
方法二 利用对数的运算性质求解
= = (2+ )-1=-1.
（2）原式=lg （2lg +lg5）+ =lg (lg2+lg5)+|lg -1|
=lg +(1-lg )=1.
⑴当－4＜a＜0时， ＜0，恒有g(x)＞0，函数y的定义域为R，又y与g(x)单调性一致．所以在(－∞， ]上，y单调递减；在[ ，+∞)上，y单调递增；
⑵当a=－4时， = 0，y = lg(x + 1) ，其定义域为{x | x≠－1，x∈R}，
∴在(－∞，－1)上y单调递减；在(－1，+∞)上，y单调递增；
⑶当a= 0时， = 0，y = lg(x－1) ，其定义域为{x | x≠1，x∈R}，
∴在(－∞，1)上y单调递减；在(1，+∞)上，y单调递增；
⑷当a＜－4或a＞0时， ＞0，函数的定义域为：
(－∞， )∪( ，+∞)．
∴在(－∞， )上，y单调递减；在( ，+∞)上，y单调递增．
例7 已知函数 (x) = lg + ，x∈(－1，1 )，问y = (x) 的图象上是否存在两个不同的点A、B，使AB⊥y轴，若存在，求A、B的坐标，若不存在，说明理由．
高中数学对数与对数函数知识点及经典例题讲解
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b .（2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.（3）对数运算性质:①log a （MN ）=log a M +log a N .②log a =log a M －log a N .NM ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1）④对数换底公式：log b N =（a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.bN a a log log 2.对数函数（1）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。
但是，根据对数定义: log a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16）（2）对数函数的图象11))底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称.（3）对数函数的性质:①定义域：（0，+∞）.②值域：R .③过点（1，0），即当x =1时，y =0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是?2.若f－1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f－1（x ）的值域为___________________.3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log（3－x ）］的定21义域是__________.4.若log x =z ，则x 、y 、z 之间满足7y A.y 7=x z B.y =x 7z C.y =7x zD.y =z x5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b6.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于A.B.C. D.422241217.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于 (x=-2非解)A.B.－C.2D.－221218.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是AB9.设f－1（x ）是f （x ）=log 2（x +1）的反函数，若［1+ f－1（a ）］［1+ f －1（b ）］=8，则f （a +b ）的值为A.1B.2C.3D.log 2310.方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________.典型例题【例1】 已知函数f （x ）=则f （2+log 23）的值为⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,21(x x f x xA.B.C.D.3161121241【例2】 求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.【例3】已知f （x ）=log ［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单31调区间.【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围.【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小.【例6】 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.【例7】 在f 1（x ）=x ，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log x 四2121个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使［f （x 1）+f （x 2）］＜f （）成21221x x 立的函数是A.f 1（x ）=x(平方作差比较)B.f 2（x ）21=x 2C.f3（x）=2xD.f4（x）=log x12探究创新1.若f（x）=x2－x+b，且f（log2a）=b，log2［f（a）］=2（a≠1）.（1）求f（log2x）的最小值及对应的x值；（2）x取何值时，f（log2x）＞f（1）且log2［f（x）］＜f（1）？2.已知函数f（x）=3x+k（k为常数），A（－2k，2）是函数y=f －1（x）图象上的点.（1）求实数k的值及函数f－1（x）的解析式；（2）将y= f－1（x）的图象按向量a=（3，0）平移，得到函数y=g（x）的图象，若2f－1（x+－3）－g（x）≥1恒成立，试求m实数m的取值范围.。
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对数与对数函数
1.对数
（1）对数的定义：
如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.
（3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a N
M =log a M －log a N .
③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =b
N
a a log log （a ＞0，a ≠1，
b ＞0，b ≠1，N ＞0）.
2.对数函数
（1）对数函数的定义
函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.
注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1
对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？
在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。
但是，根据对数定义: log a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切
实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象
a <11))
底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R .
③过点（1，0），即当x =1时，y =0.
④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.
基础例题
1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是
C D
解析：f （x ）=⎩
⎨
⎧<<-≥.10,log ,
1,log 22x x x x
2.若f －1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －1（x ）的值域为___________________.
3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 2
1（3－x ）］的定义
域是__________.
4.若log x 7y =z ，则x 、y 、z 之间满足
A.y 7=x z
B.y =x 7z
C.y =7x z
D.y =z x
5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则
A.a ＜b ＜c
B.a ＜c ＜b
C.b ＜a ＜c
D.c ＜a ＜b
6.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于 A.
4
2
B.
2
2
C.4
1
D.2
1
7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于 A.
2
1
B.－2
1
C.2
D.－2
8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是
A
B
9.设f －1（x ）是f （x ）=log 2（x +1）的反函数，若［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=8，则f （a +b ）的值为 A.1
B.2
C.3
D.log 23
10.方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________.
典型例题
【例1】 已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,
4),1(,
4,)2
1(x x f x x
则f （2+log 23）的值为 A.3
1
B.6
1
C.
12
1
D.
24
1
【例2】 求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.
【例3】 已知f （x ）=log 3
1［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调
区间.
【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围.
【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小.
【例6】 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.
【例7】 （2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 2
1，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 2
1x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使2
1［f
（x 1）+f （x 2）］＜f （
2
2
1x x ）成立的函数是 A.f 1（x ）=x 2
1
B.f 2（x ）=x 2
C.f 3（x ）=2x
D.f 4（x ）=log 2
1x
探究创新
1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；
（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？
2.已知函数f （x ）=3x +k （k 为常数），A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点.
（1）求实数k 的值及函数f －1（x ）的解析式；
（2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）的图象，若2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，试求
实数m 的取值范围.。