高考重难点训练不等式1
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《不等式》难题汇编含答案
一、选择题
1．设 ， 满足 ，向量 ， ，则满足 的实数 的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据平面向量垂直的坐标表示，得 ，根据约束条件画出可行域，再利用 的几何意义求最值，只需求出直线 过可行域内的点C时，从而得到 的最小值即可．
【详解】
解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为 ， ，
6．已知 、 满足约束条件 ，若 ，则实数 的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
作出不等式组所表示的可行域，利用目标函数的几何意义求出 的最小值，进而可得出实数 的最小值.
【详解】
作出不等式组 所表示的可行域如下图所示，
表示原点到可行域内的点 的距离的平方，
原点到直线 的距离的平方最小， .
10．已知实数 ， 满足 ，且 ，则 的最小值为（）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
令 ，用 表示出 ，根据题意知 ，利用 的代换后根据基本不等式即可得 的最小值.
【详解】
，
令 ，解得 ，则 ， ，
当且仅当 ，即 ，即
即 时取等号.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查的是利用基本不等式求最值的问题，换元后根据1的代换是解题的关键，考查学生的计算能力，是中档题.
【详解】
当 时，即当 时，则有 ，该不等式恒成立，合乎题意；
当 时，则 ，解得 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
故选：D.
【点睛】
本题考查利用变系数的二次不等式恒成立求参数，要注意对首项系数是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.
高考数学含绝对值不等式专题训练(一)
1、(长葛市第三实验高中2012届高三数学调研)已知函数()|2|,()|3|.f x x g x x m =-=-++（1）解关于x 的不等式()10()f x a a R +->∈；（2）若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，求m 的取值范围。
【解析】（1）不等式()10f x a +->，即210x a -+->。
当1a =时，不等式的解集是(,2)(2,)-∞+∞ ；当1a >时，不等式的解集为R ；当1a <时，即21x a ->-，即21x a -<-或者21x a ->-，即1x a <+或者3x a >-，解集为(,1)(3,)a a -∞+-+∞ 。
（5分）（2）函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，即23x x m ->-++对任意实数x 恒成立。
即23x x m -++>对任意实数x 恒成立。
由于23(2)(3)5x x x x -++≥--+=，故只要5m <。
所以m 的取值范围是(,5)-∞。
2、（濮阳市华龙区高级中学2012届高三数学上学期摸底）3、（哈尔滨市第六中学2011届高三数学第三次模拟）若关于x 的方程 243x x a a -++-=0有实根（1）求实数a 的取值集合A（2）若存在a A ∈，使得不等式22120t a t -+<成立，求实数t 的取值范围。
（1）0)3(416≥-+-=∆a a 即 2721≤≤-a所以 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=27,21A ---------5分（2）令212)(t t a a f ++-= 即 0)(m in <a f 即可 430127)27(2<<∴<+-=t t t f所以 4334<<-<<-t t 或----10分4、已知关于x 的不等式a a x x 2|||2|≥-+-.（I ）若1=a ，求不等式的解集；（II ）若不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围。
高考数学压轴专题最新备战高考《不等式》难题汇编及答案
取 ，则 ，可排除B项；
因为满足 条件的排除法，可得A、B、D是错误的.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了不等式与不等关系，以及不等式的的基本性质，其中解答中合理赋值，代入排除是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
7．对于函数 ，若 满足 ，则称 为函数 的一对“线性对称点”．若实数 与 和 与 为函数 的两对“线性对称点”，则 的最大值为（）
给出下列结论：①曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2；③曲线C围成区域的面积大于 ；④方程 表示的曲线C在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( )
A．①③B．②④C．①②③D．②③④
【答案】B
【解析】
【分析】
利用基本不等式得 ，可判断②； 和 联立解得 可判断①③；由图可判断④.
⑤已知 的三个零点分别为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则 为定值.
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
①根据特称命题的否定的知识来判断；②根据基本不等式的知识来判断；③根据充要条件的知识来判断；④求得入射光线来判断；⑤利用抛物线的离心率判断.
【详解】
①，命题“ ，使得 ”的否定是“ ，均有 ”，故①错误.
4．设 ， 满足约束条件 ，若 的最大值为 ，则 的展开式中 项的系数为( )
A．60B．80C．90D．120
【答案】B
【解析】
【分析】
画出可行域和目标函数，根据平移得到 ，再利用二项式定理计算得到答案.
【详解】
如图所示：画出可行域和目标函数，
，即 ，故 表示直线与 截距的 倍，
根据图像知：当 时， 的最大值为 ，故 .
(word完整版)高考重难点专题突破——不等式.docx
高考重难点专题突破之——不等式一、综述（内容、地位、作用）：在教版高中数学教科必修系列中，直接涉及“不等式”内容的部分必修5第三章《不等式》。
另外，在教学程中，在学到必修5《不等式》之前的某些章（如集合、函数的域等），无文理科班，基于教学内容的关性和完整性，老基本上都要修 4-5中的部分基性内容行。
所以“不等式”的内容主要来自必修 5 第三章《不等式》以及修系列4-5 《不等式》。
合来看，不等式的内容主要可分不等式的求解、明和用三部分，它又分以一元二次不等式的求解、均不等式相关的明、不等式在用以及性划中的用主。
不等式是中学数学的主干内容之一，它不是中学数学的基知，而且在中学数学中起着广泛的工具性作用，学生步入大学之后的数学学也具有基性的作用。
在年的高考中，不等式很少独命（理科附加卷除外），但无从它所涉及到的知点或是量来看，有关不等式的分布范极广（甚至有些目很界定其中不等式的考所占到的比重，所以我也很准确出高考中不等式所占分），不考了不等式的基知、基本技能、基本思想方法，考了运算能力、思能力以及分析和解决的用能力等数学素养。
在高考命上，不等式的考极其突出工具性，淡化独立性、突出解，是不等式命的体取向。
高考中不等式的落脚点主要有：一，不等式的性，常与指数函数、数函数、三角函数等合起来，考不等式的性、函数的性、最等；二，不等式的明，多以函数、数列、解析几何等知背景，在知网的交命，合性，能力要求高；三，解不等式，往往与公式、根式和参数的系在一起，考学生的等价化能力和分能力；四，不等式的用，以当前、社会生、生活背景与不等式合的用是高考的点，主要考学生理解能力以及分析、解决的能力。
二、考试要求与教学建议：（一）必修5部分新在“必修5”《不等式》一章的明中指出：“不等关系与相等关系都是本方法，并能解决一些实际问题；能用二元一次不等式组表示平面区域，并尝试解决一些简单的二元线性规划问题；认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间的联系。
基本不等式中“1”的妙用(高考专题)
解：由图得
1 3 3 x y 0 当过 的交点（1, ）时，z=ax+by取得最大值6，即a+ b 6 2 2 2 6 x 2 y 3 0 2 3 2 3 3 1 13 3b 3a 25 则 a b a b a b 2 6 2 a b 12 12 当且仅当a=b= 时等号成立 5 2 3 25 即 的最小值为 a b 12
练习
已知a,b是实数，且a+b=-2，求 a 2 + b 2的最大值
已知a,b,c都是正实数，且a+b+c=3，求证：a + b + c 3．
总结
1.体验1的妙用，拓展数学思想，有利于解题。 2.反复理解基本不等式的“一正，二定，三相等”，验证避 免进入错误陷阱。
2 1 1 3a a 10 2 10 2b b 2 a 3b a 3b 2 3 a 2b 3 2b a 当且仅当 时，等号成立取最小值，即a=2b代入（1）得 a 2b 1 1 1 1 1 b= , a , c 1 4 2 2 4 4
基本不等式中“1”的妙用
高三数学复习
知识点复习：
a＋b 1．基本不等式 ab≤ 2
a ，b∈R ＋ (1)基本不等式成立的条件： ________ ． a＝b 时取等号． (2)等号成立的条件：当且仅当________
2．几个重要的不等式
2ab a，b∈R)． (1)a2＋b2≥________(
解：
a b c 1 1 1 1 a b c a b c a b c 1 1 1 1 1 1 a b c a b c bc ac ab b c a c a b 2 2 2 2 2 2 8 a b c a a b b c c 当且仅当a b c时，等号成立 1 1 1 1 1 1 的值域为[8,+) a b c
高考一轮复习之绝对值不等式(1)
课时9 绝对值不等式(1)复习目标：1、掌握绝对值不等式的解法，理解其基本思想是去绝对值以及去绝对值符号的常用方法；2、掌握绝对值不等式定理||a |-|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |，理解其中等号成立的条件，并运用其证明含绝对值的不等式。
知识要点：1、绝对值不等式的解法：解绝对值不等式的思路是去绝对值的符号，去绝对值符号的常用方法有：（1）定义法：由定义⎩⎨⎧<-≥=)0()0(a a a a a 分段讨论，一般地，形如c b x a x ≥-+-含有两个以上绝对值符号的不等式，通常采用“零点讨论法”求解．（2）同解变形法：利用绝对值不等式的性质，常用的同解形式有： ①a x a a x ≤≤-⇔≤； ②a x a x -≤⇔≥或a x ≥； ③)()()()()(x g x f x g x g x f ≤≤-⇔≤； ④)()()()(x g x f x g x f -≤⇔≥或)()(x g x f ≥．（3）平方法：)()()()(22x g x f x g x f ≤⇔≤．2、绝对值不等式定理：||a |-|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |（思考两边等号何时成立？）推论：n n a a a a a a +++≤+++ 2121一、基础训练：1、如果a 、b 都是非零实数，则下列不等式中不成立的是 （ ） A b a b a -≥+ B )0(2>+≤ab b a ab C b a b a +≤+ D 2≥+ab b a 2、若h >0，命题甲：两实数a 、b 满足h b a 2<-，命题乙：两实数a 、b 满足h a <-1且h b <-1，则甲是乙的 （ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件3、不等式1<x 2-≤7的解集是 。
4、如果等式xx x x --=--1212成立，那么实数x 的取值范围是 。
高考数学重点难点讲解之解不等式
难点19 解不等式不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点，解不等式的应用非常广泛，如求函数的定义域、值域，求参数的取值范围等，高考试题中对于解不等式要求较高，往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切联系，应重视；从历年高考题目看，关于解不等式的内容年年都有，有的是直接考查解不等式，有的则是间接考查解不等式. ●难点磁场(★★★★)解关于x 的不等式2)1(--x x a ＞1(a ≠1).●案例探究［例1］已知f(x)是定义在［－1，1］上的奇函数，且f(1)=1，若m 、n ∈［－1，1］，m+n ≠0时n m n f m f ++)()(＞0.(1)用定义证明f(x)在［－1，1］上是增函数；(2)解不等式：f(x+21)＜f(11-x )；(3)若f(x)≤t2－2at+1对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，求实数t 的取值范围. 命题意图：本题是一道函数与不等式相结合的题目，考查学生的分析能力与化归能力，属★★★★★级题目.知识依托：本题主要涉及函数的单调性与奇偶性，而单调性贯穿始终，把所求问题分解转化，是函数中的热点问题；问题的要求的都是变量的取值范围，不等式的思想起到了关键作用.错解分析：(2)问中利用单调性转化为不等式时，x+21∈［－1，1］，11-x ∈［－1，1］必不可少，这恰好是容易忽略的地方.技巧与方法：(1)问单调性的证明，利用奇偶性灵活变通使用已知条件不等式是关键，(3)问利用单调性把f(x)转化成“1”是点睛之笔.(1)证明：任取x1＜x2，且x1，x2∈［－1，1］，则f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)=2121)()(x x x f x f --+·(x1－x2)∵－1≤x1＜x2≤1，∴x1+(－x2)≠0，由已知2121)()(x x x f x f --+＞0，又 x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x)在［－1，1］上为增函数. (2)解：∵f(x)在［－1，1］上为增函数，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<+≤-≤-≤+≤-112111111211x x x x 解得：{x|－23≤x ＜－1，x ∈R} (3)解：由(1)可知f(x)在［－1，1］上为增函数，且f(1)=1，故对x ∈［－1，1］，恒有f(x)≤1，所以要f(x)≤t2－2at+1对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，即要t2－2at+1≥1成立，故t2－2at ≥0，记g(a)=t2－2at ，对a ∈［－1，1］，g(a)≥0，只需g(a)在［－1，1］上的最小值大于等于0，g(－1)≥0，g(1)≥0，解得，t ≤－2或t=0或t ≥2.∴t 的取值范围是：{t|t ≤－2或t=0或t ≥2}.［例2］设不等式x2－2ax+a+2≤0的解集为M ，如果M ⊆［1，4］，求实数a 的取值 范围.命题意图：考查二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关系，属★★★★级题目. 知识依托：本题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系，以及分类讨论的数学思想.错解分析：M=∅是符合题设条件的情况之一，出发点是集合之间的关系考虑是否全面，易遗漏；构造关于a 的不等式要全面、合理，易出错.技巧与方法：该题实质上是二次函数的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在；数形结合的思想使题目更加明朗.解：M ⊆［1，4］有n 种情况：其一是M=∅，此时Δ＜0；其二是M ≠∅，此时Δ＞0，分三种情况计算a 的取值范围.设f(x)=x2 －2ax+a+2，有Δ=(－2a)2－(4a+2)=4(a2－a －2)(1)当Δ＜0时，－1＜a ＜2，M=∅［1，4］ (2)当Δ=0时，a=－1或2.当a=－1时M={－1}1，4］；当a=2时，m={2}［1，4］.(3)当Δ＞0时，a ＜－1或a ＞2.设方程f(x)=0的两根x1，x2，且x1＜x2，那么M=［x1，x2］，M ⊆［1，4］⇔1≤x1＜x2≤4⎩⎨⎧>∆≤≤>>⇔0,410)4(,0)1(且且a f f 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<>>->+-210071803a a a a a 或，解得：2＜a ＜718，∴M ⊆［1，4］时，a 的取值范围是(－1，718).●锦囊妙计解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题： (1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法.(2)掌握用序轴标根法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法. (3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法. (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法.(5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式.(6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论. ●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★★)设函数f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-+-≤+)1(11)11(22)1()1(2x x x x x x ，已知f(a)＞1，则a 的取值范围是( )A.(－∞，－2)∪(－21，+∞)B.(－21，21)C.(－∞，－2)∪(－21，1)D.(－2，－21)∪(1，+∞)二、填空题2.(★★★★★)已知f(x)、g(x)都是奇函数，f(x)＞0的解集是(a2，b)，g(x)＞0的解集是(22a ，2b)，则f(x)·g(x)＞0的解集是__________.3.(★★★★★)已知关于x 的方程sin2x+2cosx+a=0有解，则a 的取值范围是__________. 三、解答题4.(★★★★★)已知适合不等式|x2－4x+p|+|x －3|≤5的x 的最大值为3. (1)求p 的值；(2)若f(x)=11+-xx p p ，解关于x 的不等式f-－1(x)＞k xp +1log (k ∈R+) 5.(★★★★★)设f(x)=ax2+bx+c ，若f(1)=27，问是否存在a 、b 、c ∈R ，使得不等式：x2+21≤f(x)≤2x2+2x+23对一切实数x 都成立，证明你的结论.6.(★★★★★)已知函数f(x)=x2+px+q ，对于任意θ∈R ，有f(sin θ)≤0，且f(sin θ+2)≥2.(1)求p 、q 之间的关系式； (2)求p 的取值范围；(3)如果f(sin θ+2)的最大值是14，求p 的值.并求此时f(sin θ)的最小值.7.(★★★★)解不等式loga(x －x 1)＞18.(★★★★★)设函数f(x)=ax 满足条件：当x ∈(－∞，0)时，f(x)＞1；当x ∈(0，1]时，不等式f(3mx －1)＞f(1+mx －x2)＞f(m+2)恒成立，求实数m 的取值范围. 参考答案难点磁场解：原不等式可化为：2)2()1(--+-x a x a ＞0，即［(a －1)x+(2－a)］(x －2)＞0.当a ＞1时，原不等式与(x －12--a a )(x －2)＞0同解.若12--a a ≥2，即0≤a ＜1时，原不等式无解；若12--a a ＜2，即a ＜0或a ＞1，于是a ＞1时原不等式的解为(－∞，12--a a )∪(2，+∞).当a ＜1时，若a ＜0，解集为(12--a a ，2)；若0＜a ＜1，解集为(2，12--a a )综上所述：当a ＞1时解集为(－∞，12--a a )∪(2，+∞)；当0＜a ＜1时，解集为(2，12--a a )；当a=0时，解集为∅；当a ＜0时，解集为(12--a a ，2）.歼灭难点训练一、1.解析：由f(x)及f(a)＞1可得：⎩⎨⎧>+-≤1)1(12a a ① 或⎩⎨⎧>+<<-12211a a ② 或⎪⎩⎪⎨⎧>-≥1111a a ③解①得a ＜－2，解②得－21＜a ＜1，解③得x ∈∅ ∴a 的取值范围是(－∞，－2)∪(－21，1）答案：C 二、2.解析：由已知b ＞a2∵f(x)，g(x)均为奇函数，∴f(x)＜0的解集是(－b ，－a2)，g(x)＜0的解集是(－2,22a b -).由f(x)·g(x)＞0可得：⎪⎩⎪⎨⎧-<<--<<-⎪⎩⎪⎨⎧<<<<⎩⎨⎧<<⎩⎨⎧>>2222,0)(0)(0)(0)(2222a x b a x b b x a b x a x g x f x g x f 或即或 ∴x ∈(a2，2b )∪(－2b，－a2) 答案：(a2，2b )∪(－2b，－a2)3.解析：原方程可化为cos2x －2cosx －a －1=0，令t=cosx ，得t2－2t －a －1=0，原问题转化为方程t2－2t －a －1=0在［－1，1］上至少有一个实根.令f(t)=t2－2t －a －1，对称轴t=1，画图象分析可得⎩⎨⎧≤≥-0)1(0)1(f f 解得a ∈［－2，2］.答案：［－2，2］ 三、4.解：(1)∵适合不等式|x2－4x+p|+|x －3|≤5的x 的最大值为3， ∴x －3≤0，∴|x －3|=3－x.若|x2－4x+p|=－x2+4x －p ，则原不等式为x2－3x+p+2≥0，其解集不可能为{x|x ≤3}的子集，∴|x2－4x+p|=x2－4x+p.∴原不等式为x2－4x+p+3－x ≤0，即x2－5x+p －2≤0，令x2－5x+p －2=(x －3)(x －m)，可得m=2，p=8.(2)f(x)=1818+-xx ，∴f-－1(x)=log8x x-+11 (－1＜x ＜1)，∴有log8x x -+11＞log8k x+1，∴log8(1－x)＜log8k ，∴1－x ＜k ，∴x ＞1－k.∵－1＜x ＜1，k ∈R+，∴当0＜k ＜2时，原不等式解集为{x|1－k ＜x ＜1}；当k ≥2时，原不等式的解集为{x|－1＜x ＜1}.5.解：由f(1)=27得a+b+c=27，令x2+21=2x2+2x+23x ⇒=－1，由f(x)≤2x2+2x+23推得 f(－1)≤23.由f(x)≥x2+21推得f(－1)≥23，∴f(－1)=23，∴a －b+c=23，故 2(a+c)=5，a+c=25且b=1，∴f(x)=ax2+x+(25－a). 依题意：ax2+x+(25－a)≥x2+21对一切x ∈R 成立，∴a ≠1且Δ=1－4(a －1)(2－a)≤0，得(2a －3)2≤0，∴f(x)=23x2+x+1易验证：23x2+x+1≤2x2+2x+23对x ∈R 都成立.∴存在实数a=23，b=1，c=1，使得不等式：x2+21≤f(x)≤2x2+2x+23对一切x ∈R 都成立.6.解：(1)∵－1≤sin θ≤1，1≤sin θ+2≤3，即当x ∈［－1，1］时，f(x)≤0，当x ∈［1，3］时，f(x)≥0，∴当x=1时f(x)=0.∴1+p+q=0，∴q=－(1+p) (2)f(x)=x2+px －(1+p)，当sin θ=－1时f(－1)≤0，∴1－p －1－p ≤0，∴p ≥0(3)注意到f(x)在［1，3］上递增，∴x=3时f(x)有最大值.即9+3p+q=14，9+3p －1－p=14，∴p=3.此时，f(x)=x2+3x －4，即求x ∈［－1，1］时f(x)的最小值.又f(x)=(x+23)2－425，显然此函数在［－1，1］上递增.∴当x=－1时f(x)有最小值f(－1)=1－3－4=－6.7.解：(1)当a ＞1时，原不等式等价于不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-a x x 11011由此得1－a ＞x 1.因为1－a ＜0，所以x ＜0，∴a -11＜x ＜0.① ②(2)当0＜a ＜1时，原不等式等价于不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-a x x 11011由 ①得x ＞1或x ＜0，由②得0 ＜x ＜a -11，∴1＜x ＜a -11.综上，当a ＞1时，不等式的解集是{x|a -11＜x ＜0}，当0＜a ＜1时，不等式的解集为{x|1＜x ＜a -11}.8.解：由已知得0＜a ＜1，由f(3mx －1)＞f(1+mx －x2)＞f(m+2)，x ∈(0，1]恒成立.⎪⎩⎪⎨⎧+<-+-+<-⇔2111322m x mx x mx mx 在x ∈(0，1]恒成立.整理，当x ∈(0，1)时，⎪⎩⎪⎨⎧+<--<1)1(1222x x m xx 恒成立，即当x ∈(0，1]时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+>-<112122x x m xx m 恒成立，且x=1时，⎪⎩⎪⎨⎧+<--<1)1(1222x x m x mx 恒成立，∵2121212-=-x xx 在x ∈(0，1]上为减函数，∴x x 212-＜－1， ∴m ＜x x 212-恒成立⇔m ＜0.又∵2112)1(112+-+-=-+x x x x ，在x ∈(0，1]∴112-+x x ＜－1.∴m ＞112-+x x 恒成立⇔m ＞－1当x ∈(0，1)时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+>-<112122x x m x x m 恒成立⇔m ∈(－1，0)①当x=1时，⎪⎩⎪⎨⎧+<--<1)1(1222xxmxmx，即是⎩⎨⎧<<1m∴m＜0 ②∴①、②两式求交集m∈(－1，0）,使x∈(0，1]时，f(3mx－1)＞f(1+mx－x2)＞f(m+2)恒成立，m的取值范围是(－1，0)。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《不等式》难题汇编附答案解析
高中数学《不等式》期末考知识点一、选择题1．若变量x ，y 满足2,{239,0,x y x y x +≤-≤≥则x 2+y 2的最大值是A ．4B ．9C ．10D ．12【答案】C 【解析】试题分析：画出可行域如图所示，点A （3，-1）到原点距离最大，所以22max ()10x y +=，选C.【考点】简单线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间的距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学知识解决实际问题的能力.2．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为( ) A ．2 B ．52C ．3D ．32【答案】A 【解析】()220{,440a f x acb b ac >≥∴∴≥∆=-≤Q 恒成立，,且0,0c a >> 又()()()2,00,1f x ax b f b f a b c =+∴'='=>++，()()221241111120b f a c ac f b b +∴=+≥+≥=+='当且仅当()()120f a c f ='时，不等式取等号，故的最小值为3．已知,x y 满足约束条件23023400x y x y y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩，若目标函数2z mx ny =+-的最大值为1（其中0,0m n >>），则112m n+的最小值为（ ） A ．3 B ．1C ．2D ．32【答案】D 【解析】 【分析】画出可行域，根据目标函数z 的最大值求得,m n 的关系式23m n +=，再利用基本不等式求得112m n +的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，由于0,0m n >>，所以基准直线0mx ny +=的斜率为负数，故目标函数在点()1,2A 处取得最大值，即221m n +-=，所以23m n +=.()111111515193222323232322n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=⨯++≥⨯+⋅=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当,1n m m n m n ===时等号成立，所以112m n +的最小值为32. 故选：D【点睛】本小题主要考查根据目标函数的最值求参数，考查基本不等式求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.4．已知点P ，Q 分别是抛物线28x y =和圆22(2)1x y +-=上的动点，点(0,4)A ，则2||||PA PQ 的最小值为( ) A ．10 B ．4C．2 D．1【答案】B 【解析】 【分析】设出点P 的坐标()00,x y ，用0y 表示出PA ；根据圆上一点到定点距离的范围，求得PQ 的最大值，再利用均值不等式求得目标式的最值. 【详解】设点()00,P x y ，因为点P 在抛物线上，所以()200080x y y =≥，因为点(0,4)A ，则()()2222200000||48416PA x y y y y =+-=+-=+.又知点Q 在圆22(2)1x y +-=上，圆心为抛物线的焦点(0,2)F ，要使2||||PA PQ 的值最小，则||PQ 的值应最大，即0max 13PQ PF y =+=+.所以()()222000003632516||||33y y y PA PQ y y +-+++==++ ()002536643y y =++-≥=+ 当且仅当02y =时等号成立.所以2||||PA PQ 的最小值为4.故选：B. 【点睛】本题考查抛物线上一点到定点距离的求解，以及圆上一点到定点距离的最值，利用均值不等式求最值，属综合中档题.5．已知实数x ，y 满足不等式||x y +≥，则22x y +最小值为（ ）A ．2B ．4C ．D ．8【答案】B 【解析】 【分析】先去掉绝对值，画出不等式所表示的范围，再根据22xy +表示圆心在原点的圆求解其最小圆的半径的平方，即可求解. 【详解】 由题意，可得当0y ≥时，22xy +≥； （2）当0y <时，22x y -≥，如图所示，画出的图形，可得不等式表示的就是阴影部分的图形， 又由22xy +最小值即为原点到直线的垂线段的长度的平方，又由2222211d -==+，所以24d =，即22xy +最小值为4.故选：B .【点睛】本题主要考查了线性规划的知识，以及点到直线的距离公式的应用，着重考查了数形结合思想，以及计算能力.6．已知x ，y 满足约束条件1,22,326,x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，若22x y z +≥恒成立，则实数z 的最大值为（ ） A ．22B ．25C ．12D ．2【答案】C 【解析】 【分析】画出约束条件所表示的平面区域，根据22xy +的几何意义，结合平面区域求得原点到直线10x y +-=的距离的平方最小，即可求解．由题意，画出约束条件122326x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域，如图所示，要使得22x y z +≥恒成立，只需()22minz x y≥+，因为22xy +表示原点到可行域内点的距离的平方，结合平面区域，可得原点到直线10x y +-=的距离的平方最小， 其中最小值距离为2212211d -==+，则212d =，即12z ≤所以数z 的最大值12． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了简单的线性规划的应用，其中解答中正确作出约束条件所表示的平面区域，结合22x y +的几何意义求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及计算能力．7．已知实数x 、y 满足约束条件103300x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．1-B ．2C ．7D ．8【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点C 时，z 取得最大值.【详解】解：作出约束条件表示的可行域是以(1,0),(1,0),(2,3)-为顶点的三角形及其内部，如下图当目标函数经过点()2,3C 时，z 取得最大值，最大值为7.故选：C. 【点睛】本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识,属于中档题.8．已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()R A B =I ð（ ）A ．{}13x x -≤<B ．{}19x x -≤≤C ．{}13x x -<≤D ．{}19x x -<<【答案】C 【解析】 【分析】解出集合A 、B ，再利用补集和交集的定义得出集合()R A B ⋂ð. 【详解】解不等式2230x x -->，得1x <-或3x >；解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤.{}13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤ð，因此，(){}13R A B x x ⋂=-<≤ð，故选：C. 【点睛】本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.9．变量,x y 满足约束条件1{2314y x y x y ≥--≥+≤，若使z ax y =+取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的取值集合是（ ） A ．{3,0}- B ．{3,1}-C ．{0,1}D ．{3,0,1}-【答案】B 【解析】若0a =，结合图形可知不合题设，故排除答案A ，C ，D ，应选答案B ．10．已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断. 【详解】22x y +≥Q 且224x y+≤ ，422x y ∴≤≤⇒+≤ ， 等号成立的条件是x y =，又x y +≥Q ，0,0x y >>21xy ∴≤⇒≤ ， 等号成立的条件是x y =,2241x y xy ∴+≤⇒≤，反过来，当12,3x y ==时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件. 故选:C 【点睛】本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型.11．若0a >，0b >，23a b +=，则36a b+的最小值为（ ） A ．5 B ．6C ．8D ．9【答案】D 【解析】 【分析】 把36a b +看成（36a b +）×1的形式，把“1”换成()123a b +，整理后积为定值，然后用基本不等式求最小值．【详解】∵3613a b+=（36a b+）（a+2b）＝13(366b aa b+++12)≥13×(15+266b aa b⋅=）9等号成立的条件为66b aa b=，即a=b=1时取等所以36a b+的最小值为9．故选：D．【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，解决本题的关键是“1”的代换，是基础题12．已知变量,x y满足约束条件121x yx+⎧⎨-⎩剟„，则x yy+的取值范围是( )A．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．20,3⎛⎤⎥⎝⎦C．11,3⎛⎤--⎥⎝⎦D．3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】【分析】作出不等式121x yx+⎧⎨-⎩剟„表示的平面区域，整理得：x yy+1xy=+，利用yx表示点(),x y 与原点的连线斜率，即可求得113xy-<-„，问题得解．【详解】将题中可行域表示如下图，整理得：x yy+1xy=+易知ykx=表示点(),x y与原点的连线斜率，当点(),x y在()1.3A-处时，ykx=取得最小值-3.且斜率k小于直线1x y+=的斜率-1，故31k-≤<-，则113xy-<-„，故23x yy+<„.故选B【点睛】本题主要考查了利用线性规划知识求分式型目标函数的取值范围，考查转化能力，属于中档题．13．已知x，y满足约束条件234x yx yy-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y=+的最大值为4，则a=（）A．2 B．12C．-2 D．12-【答案】A【解析】【分析】由约束条件可得到可行域，根据图象可知最优解为()2,0A，代入可构造方程求得结果.【详解】由约束条件可知可行域如下图阴影部分所示：当直线:l y ax z=-+经AOBV区域时，当l过点()2,0A时，在y轴上的截距最大，即()2,0A为最优解，42a∴=，解得：2a=.故选：A.【点睛】本题考查线性规划中的根据目标函数的最值求解参数值的问题，关键是能够通过约束条件准确得到可行域，根据数形结合的方式确定最优解.14．若、a b均为实数，则“()0->ab a b”是“0a b>>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】通过列举，和推理证明可以推出充要性. 【详解】若()0ab a b -＞中，取12a b --＝，＝，则推不出0a b ＞＞； 若0a b ＞＞，则0a b -＞，则可得出()0ab a b -＞； 故“()0ab a b -＞”是“0a b ＞＞”的必要不充分条件， 故选：B. 【点睛】本题考查充分必要不条件的定义以及不等式的性质，可通过代入特殊值解决．15．已知2(0,0)x y xy x y +=>>，则2x y +的最小值为（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．7【答案】B 【解析】 【分析】 由已知等式得到211x y +=，利用()2122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭可配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值. 【详解】 由2x y xy +=得：211x y+=()212222559x y x y x y x y y x ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭（当且仅当22x y y x =，即x y =时取等号） 2x y ∴+的最小值为9故选：B 【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活对等于1的式子进行应用，配凑成符合基本不等式的形式.16．已知正数x ，y 满足144x y+=，则x y +的最小值是（ ）A ．9B ．6C ．94D ．52 【答案】C【解析】【分析】先把x y +转化成114()4x y x y ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭，展开后利用均值不等式即可求解. 【详解】 Q 正数x ，y 满足144x y +=，1141419()1454444y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫∴+=+⋅+=++++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝…， 当且仅当4144y x x y x y⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即34x =，32y =时，取等号. 故选：C【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，基本不等式一定要把握好“一正，二定，三相等”的原则，属于基础题.17．设集合{}20,201x M xN x x x x ⎧⎫=≤=-<⎨⎬-⎩⎭，则M N ⋂为（ ） A ．{}01x x ≤<B ．{}01x x <<C ．{}02x x ≤<D ．{}02x x << 【答案】B【解析】【分析】 根据分式不等式和一元二次不等式的解法，求得集合{01},{|02}M x x N x x =≤<=<<，再结合集合交集的运算，即可求解.【详解】 由题意，集合{}20{01},20{|02}1x M x x x N x x x x x x ⎧⎫=≤=≤<=-<=<<⎨⎬-⎩⎭， 所以{}01M N x x ⋂=<<.故选：B .【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中结合分式不等式和一元二次不等式的解法，准确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了计算能力.18．若 x y ，满足约束条件02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则z x y =-的最小值是（ ）A ．0B ．3-C ．32D ．3 【答案】B【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部,其中3(0,),(0,3),(1,1)2A B C ，所以直线z x y =-过点B 时取最小值3-，选B.19．已知,a b 都是正实数，则222a b a b a b +++的最大值是（ ） A．23- B．3- C．1 D ．43【答案】A【解析】【分析】设2,2m a b n a b =+=+，将222a b a b a b +++，转化为2222233a b n m a b a b m n +=--++，利用基本不等式求解.【详解】设2,2m a b n a b =+=+， 所以22,33m n n m a b --==，所以2222222333a b n m a b a b m n +=--≤-=-++， 当且仅当233n m m n =时取等号. 所以222a b a b a b +++的最大值是23-. 故选：A【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.20．某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在A B 、两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时. A B 、两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（ ） A ．320千元B ．360千元C ．400千元D ．440千元 【答案】B【解析】设生产甲、乙两种产品x 件,y 件时该企业每月利润的最大值，由题意可得约束条件： 2348069600,0,x y x y x y x N y N+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥≥⎪⎪∈∈⎩， 原问题等价于在上述约束条件下求解目标函数2z x y =+的最大值.绘制目标函数表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知：目标函数在点()150,60B 处取得最大值：max 2215060360z x y =+=⨯+=千元. 本题选择B 选项.点睛：含有实际背景的线性规划问题其解题关键是找到制约求解目标的两个变量，用这两个变量建立可行域和目标函数，在解题时要注意题目中的各种相互制约关系，列出全面的制约条件和正确的目标函数．。
高考数学《不等式》题型归纳与训练
高考数学《不等式》题型归纳与训练【题型归纳】题型一一元二次不等式解法及其应用例1若0a b >>，0c d <<，则一定有（）A ．a b c d>B ．a b c d <C ．a b d c>D ．a b d c<【答案】D【解析】由1100c d d c<<⇒->->，又0a b >>，由不等式性质知：0a b d c ->->，所以a bd c<例2关于x 的不等式22280x ax a --<（0a >）的解集为12(,)x x ，且2115x x -=，则a =（）A ．52B ．72C ．154D ．152【答案】A【解析】∵由22280x ax a --<(0a >)，得(4)(2)0x a x a -+<，即24a x a -<<，∴122,4x a x a =-=.∵214(2)615x x a a a -=--==，∴15562a ==．故选A ．例3不等式2902x x ->-的解集是___________．【答案】(3,2)(3,)-⋃+∞【解析】不等式可化为(3)(2)(3)0x x x +-->采用穿针引线法解不等式即可．例4已知函数,1)(2-+=mx x x f 若对于任意]1,[+∈m m x ，都有0)(<x f 成立，则实数m 的取值范围是．【答案】(,0)2-【解析】由题意可得()0f x <对于[,1]x m m ∈+上恒成立，即22()210(1)230f m m f m m m ⎧=-<⎨+=+<⎩，解得02m -<<．题型二应用基本不等式求函数最值例1已知54x <，则函数14245y x x =-+-的最大值.【答案】1【解析】因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项.5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =.【易错点】注意54x <,则4x-5为负数，要提“-”使其变“+”.【思维点拨】本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值.例2当40<<x 时，则(82)y x x =-的最大值是.【答案】8.【解析】因为8)2282(21)]28(2[21)28(y 2=-+≤-=-=x x x x x x 当且仅当x x 282-=，即2=x 时取等号，所以当2=x 时，(82)y x x =-的最大值为8.【思维点拨】由40<<x 知，028>-x ，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
重难点1-1 利用基本不等式求最值8大题型(原卷版)
重难点1-1 利用基本不等式求最值8大题型基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点，在解决数学问题中有着广泛的应用，尤其是在函数最值问题中。
题型通常为选择题与填空题，但它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等。
在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点。
在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用。
利用基本不等式求最值的方法1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。
3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型2：分母为多项式时方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系；方法2：待定系数法，适用于所有的形式，如分母为34+a b 与3+a b ，分子为2+a b ，设()()()()2343343+=+++=+++a b a b a b a b λμλμλμ∴31432+=⎧⎨+=⎩λμλμ，解得：1525⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩λμ4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。
5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。
【题型1 直接法求最值】【例1】（2022春·辽宁锦州·高三校考阶段练习）已知0,0x y >>，且12x y +=，则xy 的最大值为（ ）A ．16B ．25C ．36D ．49【变式1-1】（2022·四川广安·广安二中校考模拟预测）已知3918x y +=，当2x y +取最大值时，则xy 的值为（ ）A 2B ．2C ．3D ．4【变式1-2】（2023·河南郑州·高三校联考阶段练习）已知正数,a b 满足2221a b +=,则2ab 的最大值是（ ） A ．13B 3C 3D ．19【变式1-3】（2022·上海·高三统考学业考试）已知x >1，y >1且lg x ＋lg y ＝4，那么lg x ·lg y 的最大值是（ ） A ．2 B ．12 C ． 14D ．4【变式1-4】（2022春·云南·高三校联考阶段练习）已知正数,a b 满足()()5236a b a b ++=，则2+a b 的最小值为（ ）A ．16B ．12C ．8D ．4【题型2 配凑法求最值】【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知30x -<<，则()f x =________．【变式2-1】（2022春·上海静安·高三上海市市西中学校考期中）函数9()(1)1=+>-f x x x x 的值域为______.【变式2-2】（2022春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知0,0x y >>，且7x y +=，则()()12x y ++的最大值为（ ） A ．36 B ．25 C ．16 D ．9【变式2-3】（2022春·山东济宁·高三统考期中）已知向量()()5,1,1,1m a n b =-=+，若0,0a b >>，且m n ⊥，则113223a b a b+++的最小值为（ ） A ．15 B ．110 C ．115D ．120【题型3 消元法求最值】【例3】（2022春·湖南永州·高三校考阶段练习）设220,0,12y x y x ≥≥+=，则的最大值为（ ）A．1 B ．2C D【变式3-1】（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知正数,a b 满足2240a ab -+=，则4ab -的最小值为（ ） A．1 B C ．2 D ．【变式3-2】（2022春·广东广州·高三执信中学校考阶段练习）设正实数x 、y 、z满足22430x xy y z -+-=，则xyz的最大值为（ ） A ．0 B ．2 C ．1 D ．3【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ）A ．0B ．3C ．94D ．1【变式3-4】（2022春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）（多选）已知a ，b ，c 均为正实数，2ab ac +=，则118ab c a b c+++++的取值不可能是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【变式3-5】（2022春·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）若22221122124,4,2x y x y x y +=+=⋅=-，则21x y ⋅的最大值为___________．【题型4 代换法求最值】【例4】（2022春·上海崇明·高三上海市崇明中学校考阶段练习）已知0,0x y >>，且41x y +=，则19x y+的最小值是_____．【变式4-1】（2022春·江西·高三九江一中校联考阶段练习）已知0a >，0b >，2a b +=，则4ba b +的最小值为_______.【变式4-2】（2022春·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）若正实数x ，y 满足2x y xy +=，则2x y +的最小值为______．【变式4-3】（2022春·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考阶段练习）已知2x >-，0y >，23x y +=，则2272x y x y++++的最小值为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10【变式4-4】（2022·广西·统考一模）如图，在△ABC 中，M 为线段BC 的中点，G 为线段AM 上一点且2AG GM =，过点G 的直线分别交直线AB 、AC 于P 、Q 两点，(0)AB x AP x =>，(0AC y AQ y =>），则111x y ++的最小值为（ ）A ．34B ．1C ．43D ．4【题型5 双换元法求最值】【例5】（2022春·天津河西·高三天津市新华中学校考阶段练习）设1,2x y >->-，且4x y +=，则2212x y x y +++的最小值是__________.【变式5-1】（2022春·江西南昌·高三南昌二中校考阶段练习）已知正数x ，y 满足()()381232x y y x y x +=++，则xy 的最小值是（ ）A ．54B ．83C ．43D ．52【变式5-2】（2022·全国·高三专题练习）设正实数, x y 满足1,12x y >>，不等式224121x y m y x +≥--恒成立，则m 的最大值为（ ） A．8 B ．16 C ． D ．【变式5-3】（2022春·浙江·高三浙江省新昌中学校联考期中）已知0,0x y >>，若1x y +=，则313213x y y +++的最小值是___________.【题型6 齐次化求最值】【例6】（2020春·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考阶段练习）已知,a b 都是负实数，则2a ba b a b+++的最小值是____________ .【变式6-1】（2021春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知对任意正实数x ，y ，恒有()2222x y a x xy y +-+≤，则实数a 的最小值是___________.【变式6-2】（2022·全国·高三专题练习）已知0x >，0y >，则2223x y xy y ++的最小值为____．【题型7 构造不等式法求最值】【例7】（2013春·浙江嘉兴·高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足212ab a b =++，则ab 的最小值是___________.【变式7-1】已知0x >，0y >，24xy x y =++，则x y +的最小值为______．【变式7-2】（2022·全国·高三专题练习）若2241x y xy ++=，则2x y +的最大值是___________．【变式7-3】（2020春·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）若0x >，0y >，1425y x x y+++=，则2x y +的最小值为___________.【题型8 多次使用不等式求最值】【例8】（2022春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知0,0a b >>，则242ba b a ++的最小值为（ ） A． B ． C ．1 D ．1【变式8-1】（2022春·江苏淮安·高三校联考期中）当02,x a <<不等式()221112x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．(0C ．(]0,2D ．[)2,+∞【变式8-2】（2022·全国·模拟预测）已知0a >，0b >，1c >，22a b +=，则1221c a b c ⎛⎫++ ⎪-⎝⎭的最小值为（ ） A ．92 B ．2 C ．6 D ．212【变式8-3】（2022春·安徽·高三校联考阶段练习）已知,,a b c +∈R ，,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，不等式()2222cos 4b a c a b c θ+++恒成立，则θ的取值范围是（ ）A ．,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【变式8-4】（2023·全国·高三专题练习）若a ，b ，c 均为正实数，则2222ab bca b c +++的最大值为（ ）A ．12 B ．14C ．22 D ．32（建议用时：60分钟）1．（2022春·江苏徐州·高三学业考试）若正实数x ，y 满足121x y +=，则x +2y 的最小值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10 2．（2022春·广东湛江·高三校考阶段练习）已知12,2x y x x >=+-，则y 的最小值为（ ）A ．2B ．1C ．4D ．33．（2022春·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知1a >，1b >，且ln 4ln 2a b +=，则4log lo e e g a b +的最小值为（ ）A ．9lg 2B ．212 C ．252D ．12 4．（2022春·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知正数,a b 满足494a b +=，则ab 的最大值为（ ）A ．19 B ．16 C ．13D ．125．（2022春·黑龙江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末）已知0a >，0b >，9是3a 与27b的等比中项，则22231a b a b+++的最小值为（ ）A ．9+BC ．7 D6．（2022春·河南南阳·高三校考阶段练习）在ABC 中，过重心E 任作一直线分别交AB ，AC 于M ，N 两点，设AM xAB =，AN yAC =，（0x >，0y >），则4x y +的最小值是（ ） A ．43B ．103C ．3D ．2 7．（2022春·四川德阳·高三阶段练习）已知实数0a b >、，且函数()f x R ，则22a b a+的最小值是（ ） A．4 B ．6 C ． D ．28．（2022春·江西宜春·高三校考阶段练习）设x y z >>，且11()nn x y y z x z +≥∈---N 恒成立，则n 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59．（2022春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）（多选）已知实数a ，b 满足2241a ab b -+=，以下说法正确的是（ ）A ．a ≤B ．1a b +<C ．2244453a b ≤+≤D ．2a b -≤10．（2022·浙江·模拟预测）（多选）已知a ，b 为正数，且220a b +-=，则（ ）A ．2168a a +>B ．219ab+≥ CD ．35422a b a +-<<- 11．（2022春·山西·高三校联考阶段练习）（多选）若1a b >>，且35a b +=，则（ ） A ．141a b b +--的最小值为24 B ．141a b b +--的最小值为25 C ．2ab b a b --+的最大值为14D ．2ab b a b --+的最大值为11612．（2022春·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）（多选）在下列函数中，最小值是4的是（ ）A ．4y xx=+ B ．0)y x >C ．4sin sin y x x =+，0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D ．144xx y -=+ 13．（2022春·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）已知正实数x ，y 满足474x y +=，则2132x y x y+++的最小值为______. 14．（2022春·天津静海·高三静海一中校考阶段练习）若,a b ∈R ，且221b a -=，则22a b a b+-的最大值为___________.15．（2022春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知正数,x y 满足22831322x xy xy y +=++，则xy 的最小值是_________．16．（2022春·陕西商洛·高三校联考阶段练习）已知正实数,,a b c 满足222120a ab b c ++-=，则当a bc+取得最大值时，2a b c -+的最大值为______.。
A新高考数学 高考重难专攻(一) 导数与不等式的证明
成立．
适当放缩法
已知函数f(x)＝aex－ln x－1． (1)设x＝2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间； (2)证明：当a≥1e时，f(x)≥0． [解] (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－1x． 由题设知，f′(2)＝0，所以a＝21e2． 从而f(x)＝21e2ex－ln x－1，f′(x)＝21e2ex－1x． 当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0． 所以f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)．
1．待证不等式的两边含有相同的变量时，一般地，可以直接构造“左减右” 或“右减
2．利用构造差函数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数g(x)； (3)利用导数研究g(x)的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
x＝ln 2．
于是当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，ln 2)
ln 2
(ln 2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
2(1－ln 2＋a)
故 f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)． 所以 f(x)在 x＝ln 2 处取得极小值，极小值为 f(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)，无极大值．
(2)证明：当a＝0，x∈(0,1)时，x2－1x<fexx等价于－elnx x＋x2－1x<0， ∵当x∈(0,1)时，ex∈(1，e)，－ln x>0，∴－elnx x<－ln x， ∴只需要证－ln x＋x2－1x<0在(0,1)上恒成立． 令g(x)＝－ln x＋x2－1x，x∈(0,1)， ∴g′(x)＝－1x＋2x＋x12＝2x3－x2x＋1>0， 则函数g(x)在(0,1)上单调递增，于是g(x)<g(1)＝－ln 1＋1－1＝0， ∴当x∈(0,1)时，x2－1x<fexx．
专题1.7 基本不等式-重难点题型精讲(新高考地区专用)(解析版)
专题1.7 基本不等式-重难点题型精讲1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤(a +a 2)2(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥(a +a 2)2(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)【题型1 利用基本不等式求最值（拼凑法）】【例1】（2020•德阳模拟）已知x ，y 为正实数，则4x x+3y+3y x的最小值为（ ）A ．53B ．103C ．32D ．3【分析】根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可． 【解答】解：∵x ，y 为正实数， ∴4x x+3y+3y x=41+3y x+（1+3yx ）﹣1 ≥2√41+3y x(1+3yx )−1＝4﹣1＝3， 当且仅当(1+3yx )2=4即x ＝3y 时“＝”成立， 故选：D ．【点评】本题考查了基本不等式的性质，注意应用性质的条件，本题是一道基础题． 【变式1-1】（2020•天津模拟）设x ＞y ＞0，则x +4x+y +1x−y 的最小值为（ ） A ．3√2B ．2√3C ．4D ．3√102【分析】原式可变形为x +4x+y +1x−y =[12(x +y)+4x+y ]+[12(x −y)+1x−y]，然后根据基本不等式即可求出原式的最小值． 【解答】解：∵x ＞y ＞0， ∴x ﹣y ＞0，∴x +4x+y +1x−y =[12(x +y)+4x+y ]+[12(x −y)+1x−y ]≥2√2+√2=3√2，当且仅当12(x +y)=4x+y，12(x −y)=1x−y，即x =3√22，y =√22时取等号．故选：A ．【点评】本题考查了基本不等式求最小值的方法，利用基本不等式时需说明等号成立的条件，考查了计算能力，属于基础题．【变式1-2】（2021•浙江模拟）已知正实数a ，b 满足a +2b ＝2，则a 2+1a+2b 2b+1的最小值是（ ）A ．94B ．73C ．174D ．133【分析】变形利用基本不等式即可得出结论． 【解答】解：∵正实数a ，b 满足a +2b ＝2, ∴a 2+1a +2b 2b+1=a +1a +2b +2﹣4+2b+1=1a +2b+1, =14(a +2b +2)(1a+2b+1)=14(1+4+2b+2a +2a b+1)≥14×(5+2√2b+2a ×2a b+1)=94, 当且仅当a =43，b =13时，取得最小值， 故选：A ．【点评】本题考查了基本不等式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 【变式1-3】（2021•和平区校级模拟）实数a ，b 满足a ＞0，b ＞0，a +b ＝4，则a 2a+1+b 2b+1的最小值是（ ）A ．4B ．6C ．32D ．83【分析】利用基本不等式得到ab 的范围，可解决此题． 【解答】解：∵a ＞0，b ＞0，∴4＝a +b ≥2√ab ，∴0＜ab ≤4． ∴a 2a+1+b 2b+1=a 2(b+1)+b 2(a+1)(a+1)(b+1)=a 2+b 2+ab(a+b)ab+a+b+1=(a+b)2−2ab+4abab+5=16+2ab ab+5=2(ab+5)+6ab+5=2+6ab+5∈[83，165）．∴最小值为83． 故选：D ．【点评】本题考查基本不等式应用、转化思想，考查数学运算能力，属于中档题． 【题型2 利用基本不等式求最值（常数代换法）】【例2】（2021•丙卷模拟）若a ＞0，b ＞0，且ab ＝a +b ，则4a +9b 的最小值为（ ） A ．25B ．5C ．26D ．13【分析】由ab ＝a +b 可得1a+1b =1，再由4a +9b 转化（1a+1b）（4a +9b ）可解决此题．【解答】解：由ab ＝a +b 可得1a +1b=1，又a ＞0，b ＞0，∴4a +9b =(4a +9b)(1a +1b )=13+9b a +4a b ≥13+2×√9b a ×4a b=13+12=25， 当且仅当9b a=4a b，且1a+1b=1，即a =52，b =53时，等号成立，所以4a +9b 的最小值为25，故选：A ．【点评】本题考查基本不等式应用，考查数学运算能力，属于中档题．【变式2-1】（2021•沙坪坝区校级模拟）已知正实数m ，n 满足m （n ﹣1）＝4n ，则m +4n 的最小值是（ ） A ．25B ．18C ．16D ．8【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：因为m （n ﹣1）＝4n ，可得mn ﹣m ＝4n ，整理可得1=4m +1n， 所以m +4n ＝（m +4n ）（4m+1n）＝8+m n +16n m ≥8+2√m n ⋅16n m=16， 当且仅当m n=16n m时，即m ＝8，n ＝2时等号成立，所以m +4n 的最小值为16． 故选：C ．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑，属于基础题． 【变式2-2】（2021•辽阳一模）已知a ＞0，b ＞0，a +4b ＝4，则4a+9b 的最小值为 ．【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式转化求解即可． 【解答】解：因为4a+9b=14(a +4b)(4a+9b)=14(40+16b a+9a b)，16b a+9a b ≥2√16b a⋅9a b=24，当且仅当a ＝1，b =34时，等号成立．所以4a+9b≥16．故答案为：16．【点评】本题考查均值不等式的应用，考查运算求解能力，是基础题． 【变式2-3】（2021•红桥区二模）已知正实数a ，b 满足a +b ＝1，则a 2+4a+b 2+1b的最小值为 ．【分析】将a 2+4a+b 2+1b变形再代入a +b ＝1，利用基本不等式可得答案．【解答】解：已知正实数a ，b 满足a +b ＝1， 则a 2+4a+b 2+1b=a +4a +b +1b =a +b +4a +1b =1+4a +1b =1+（a +b ）（4a +1b）＝1+5+ab +4b a ≥6+2√a b ⋅4b a=10， 当且仅当a b=4b a且a +b ＝1时，取等号，即a =23，b =13时取等号，则a 2+4a+b 2+1b的最小值为10；故答案为：10．【点评】本题考查基本不等式的运用，属于基础题． 【题型3 利用基本不等式求最值（消元法）】【例3】（2021•浙江模拟）若正实数x ，y 满足1x +1y+x y=4，则x +1x +1y的最小值为 ．【分析】先由已知关系式求出y 的表达式，代入所求的关系式中化简，然后利用基本不等式即可求解． 【解答】解：由1x +1y+x y=4可得：x+1y=4−1x=4x−1x,所以y =x(x+1)4x−1, 则x +1x+1y =x +1x +4x−1x(x+1)＝x +x+1+4x−1x(x+1)=x +5x+1=(x +1)+5x+1−1 ≥2√(x +1)⋅5x+1−1=2√5−1,当且仅当x +1=5x+1,即x =√5−1时取等号， 此时x +1x+1y的最小值为2√5−1, 故答案为：2√5−1．【点评】本题考查了基本不等式求最值的问题，考查了学生的运算转化能力，属于基础题． 【变式3-1】（2021•海曙区校级模拟）已知正数a ，b 满足1a +1b=2，则3b+1−a 的最大值为 ．【分析】利用已知的等式，将所求的式子进行消元，得到关于a 的关系式，然后利用基本不等式求解最值即可．【解答】解：因为1a+1b=2，所以a +b ＝2ab ，当a =12时，1b=0，不符合题意，所以b =a 2a−1(a ＞12)， 则3b+1−a =3a2a−1+1−a =2−(13a−1+3a−13)−13，因为a ＞12,则a ＞13，所以3a ﹣1＞0，则13a−1+3a−13≥2√13a−1⋅3a−13=2√33， 当且仅当13a−1=3a−13，即a =1+√33时取等号， 所以2−(13a−1+3a−13)−13≤2−2√33−13=5−2√33, 则3b+1−a 的最大值为5−2√33． 故答案为：5−2√33． 【点评】本题考查了基本不等式的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，属于中档题．【变式3-2】（2021•鄞州区校级模拟）若实数x ，y 满足2x 2+xy ﹣y 2＝1，则5x 2﹣2xy +2y 2的最小值为 ． 【分析】由已知2x 2+xy ﹣y 2＝（2x ﹣y ）(x +y )＝1，而5x 2﹣2xy +2y 2＝（2x ﹣y ）2+(x +y )2，然后利用基本不等式即可求解，【解答】解：因为2x 2+xy ﹣y 2＝（2x ﹣y ）(x +y )＝1， 令t ＝2x ﹣y ,则x +y =1t,则5x 2﹣2xy +2y 2＝（2x ﹣y ）2+(x +y )2=t 2+1t 2≥2√t2⋅1t 2=2, 当且仅当t 2=1t 2，即t ＝±1时取等号，此时5x 2﹣2xy +2y 2取最小值2． 故答案为：2．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是基本不等式的应用条件的配凑，属于基础题．【变式3-3】（2021•嵊州市二模）已知x ＞0，y ＞0，若x •（y +1）＝2，则x −1y的最大值为 ． 【分析】根据条件可得x −1y =x−x 22−x ，设t ＝2﹣x ，则x −1y =−（t +2t ）+3，然后利用基本不等式求出最大值即可．【解答】解：因为x ＞0，y ＞0，x •（y +1）＝2，所以y=2−xx，则x−1y=x−x2−x=x−x22−x，设t＝2﹣x，则由0＜x＜2，得0＜t＜2，所以x−1y=−(2−t)2+2−tt=−（t+2t）+3≤3−2√2，当且仅当t=2t，即t=√2时取等号，所以x−1y的最大值3﹣2√2．故答案为：3﹣2√2．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想，属于中档题．【题型4 基本不等式的综合（求参数）】【例4】（2021•广东模拟）当x＞4时，不等式x+4x−4≥m恒成立，则m的取值范围是（）A．m≤8B．m＜8C．m≥8D．m＞8【分析】当x＞4时，不等式x+4x−4≥m恒成立，只需m≤（x+4x−4）min，求出x+4x−4的最小值即可．【解答】解：∵x＞4，∴x﹣4＞0，∴x+4x−4=x﹣4+4x−4+4≥2√(x−4)⋅4x−4+4=8当且仅当x−4=4x−4，即x＝6时取等号，∵当x＞4时，不等式x+4x−4≥m恒成立，∴只需m≤（x+4x−4）min＝8．∴m的取值范围为：（﹣∞，8]．故选：A．【点评】本题考查了利用基本不等式求最值和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属基础题．【变式4-1】（2020•藁城区校级模拟）若两个正实数x，y满足1x +4y=2，且不等式x+y4＜m2﹣m有解，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）【分析】将不等式x+y4＜m2﹣m有解转化为m2﹣m＞（x+y4）min即可，利用1的代换结合基本不等式进行求解即可．【解答】解：若不等式x +y 4＜m 2﹣m 有解，即m 2﹣m ＞（x +y 4）min 即可， ∵1x +4y=2，∴12x+2y =1，则x +y4=（x +y4）（12x +2y）=12+24+2xy +y8x ≥1+2√2xy ⋅y8x =1+2×√14=1+2×12=1+1＝2， 当且仅当2x y=y 8x，即y 2＝16x 2，即y ＝4x 时取等号，此时x ＝1，y ＝4，即（x +y 4）min ＝2，则由m 2﹣m ＞2得m 2﹣m ﹣2＞0，即（m +1）（m ﹣2）＞0， 得m ＞2或m ＜﹣1，即实数m 的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）， 故选：D ．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，利用不等式有解转化为最值问题是解决本题的关键． 【变式4-2】（2020•湖北模拟）若不等式1x +11−4x−m ≥0对x ∈（0，14）恒成立，则实数m 的最大值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【分析】根据题意，由基本不等式的性质分析可得1x+11−4x 的最小值为9，据此分析可得答案．【解答】解：根据题意，x ∈（0，14），则1﹣4x ＞0，则1x+11−4x=44x+11−4x=[4x +（1﹣4x ）]（44x+11−4x）＝5+4(1−4x)4x +4x1−4x≥5+2×√4(1−4x)4x ×4x 1−4x=9，当且仅当1﹣4x ＝2x 时等号成立， 则1x +11−4x 的最小值为9，若不等式1x+11−4x−m ≥0对x ∈（0，14）恒成立，即式1x+11−4x≥m 恒成立，必有m ≤9恒成立，故实数m 的最大值为9； 故选：C ．【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，注意原式的变形，属于基础题． 【变式4-3】（2021•浙江模拟）已知x ＞0、y ＞0，且2x +1y=1，若2x +y ＞m 2+8m 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．（﹣1，9）B ．（﹣9，1）C ．[﹣9，1]D ．（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）【分析】先把2x +y 转化为（2x +y ）（2x+1y）展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据2x +y ＞m 2+8m 恒成立求得m 2+7m ≤9，进而求得m 的范围． 【解答】解：∵x ＞0，y ＞0，且2x +1y=1，∴（2x +y ）（2x+1y）＝5+2x y +2y x ≥5+2√2x y ⋅2yx=9，当且仅当x ＝3，y ＝3时取等号， ∵2x +y ＞m 2+8m 恒成立， ∴m 2+8m ＜9，解得﹣9＜m ＜1， 故选：B ．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力． 【题型5 基本不等式与其他知识综合】【例5】（2021•河北模拟）已知函数f （x ）＝x +21+e x ，若正实数m 、n 满足f （m ﹣9）+f （2n ）＝2，则2m+1n的最小值为（ ） A ．8B ．4C ．83D ．89【分析】直接利用函数的单调性和对称性的应用及基本不等式的应用求出结果． 【解答】解：函数f （x ）＝x +21+e x ， 所以f （﹣x ）＝﹣x +21+e −x ， 所以f （x ）+f （﹣x ）＝2．由于函数f （x ）＝x +21+e x 在定义域上单调递增， 故正实数m 、n 满足f （m ﹣9）+f （2n ）＝2， 故9﹣m ＝2n ， 所以m +2n ＝9， 所以2m+1n=19⋅（m +2n ）（2m +1n）=19(4+4n m +m n )≥19×(4+2√4)=89（当且仅当买m ＝2n 时，等号成立）． 故选：D ．【点评】本题考查的知识要点：关系式的恒等变换，函数的单调性和对称性的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．【变式5-1】（2021•金凤区校级一模）已知函数f （x ）＝log a （x +3）﹣1（a ＞0且a ≠1）的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny +4＝0上，其中mn ＞0，则1m +2n的最小值为（ ） A ．23B ．43C ．2D ．4【分析】由对数函数的性质可求A （﹣2，﹣1），代入直线方程可得2m +n ＝4，从而有1m+2n=14（1m+2n）（2m +n ），利用基本不等式即可求解．【解答】解：f （x ）＝log a （x +3）﹣1（a ＞0且a ≠1）的图象恒过定点A （﹣2，﹣1）， ∵点A 在直线mx +ny +4＝0上， ﹣2m ﹣n +4＝0即2m +n ＝4， ∵mn ＞0， ∴m ＞0，n ＞0， ∴1m+2n=14（1m +2n ）（2m +n ）=14(4+n m +4m n )≥14(4+4)=2，当且仅当4m n=n m且2m +n ＝4即m ＝1，n ＝2时取得最小值2．故选：C ．【点评】本题主要考查了对数函数的性质及基本不等式在求解最值中的应用，试题具有一定的综合性． 【变式5-2】（2020•济宁模拟）已知首项与公比相等的等比数列{a n }中，若m ，n ∈N *，满足a m a n 2＝a 42，则2m+1n的最小值为 ，等号成立时m ，n 满足的等量关系是 ．【分析】设首项与公比为a ，则通项为a n =a n (a ≠0)，根据a m a n 2＝a 42，可得到m ，n 的关系式，然后结合基本不等式求解即可．【解答】解：设首项与公比为a ，则通项为a n =a n (a ≠0)， ∵a m a n 2＝a 42，∴a m +2n ＝a 8，∴m +2n ＝8，m ，n ∈Z +． ∴2m+1n=18(m +2n)(2m+1n)=18(4+4n m+m n)≥18(4+2√4n m×m n)=1．当且仅当n ＝2，m ＝4时取等号，此时m ＝2n ． 故答案为：1，m ＝2n ．【点评】本题主要是考查了基本不等式的应用．注意适用条件的判断．属于中档题．【变式5-3】（2020•河南三模）存在正数m ，使得方程√3sin x ﹣cos x ＝m 的正根从小到大排成一个等差数列．若点A （1，m ）在直线ax +by ﹣2＝0（a ＞0，b ＞0）上，则1a+2b 的最小值为 ．【分析】运用两角差的正弦公式，化简可得y ＝2sin （x −π6），可得0＜m ≤2，讨论m 的范围，结合三角函数的图象和等差数列的定义，可得m ＝2，将A 代入直线方程，可得a +2b ＝2，再由乘1法和基本不等式即可得到所求最小值． 【解答】解：由√3sin x ﹣cos x ＝2（√32sin x −12cos x ）＝2sin （x −π6）， 存在正数m ，使得方程√3sin x ﹣cos x ＝m 的正根从小到大排成一个等差数列， 即有0＜m ≤2．若0＜m ＜2，由y ＝2sin （x −π6）的图象可得：直线y ＝m 与函数y ＝2sin （x −π6）的图象的交点的横坐标不成等差数列，若m ＝2，即有x −π6=2k π+π2，即为x ＝2k π+2π3，k ∈Z ， 可得所有正根从小到大排成一个等差数列，公差为2π， 则m ＝2，由点A （1，2）在直线ax +by ﹣2＝0上， 可得a +2b ＝2，a ，b ＞0， 即b +12a ＝1， 则1a +2b =（1a+2b）（b +12a ）＝2+12+b a +ab≥52+2√b a ⋅ab =52+2=92．当且仅当a ＝b =23时，取得最小值92．故答案为：92．【点评】本题考查最小值的求法，注意运用基本不等式，运用乘1法，同时考查三角函数的化简，以及等差数列的定义，考查运算能力，属于中档题． 【题型6 利用基本不等式解决实际问题】【例6】（2021•湖南模拟）某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，当工厂和仓库之间的距离为 千米时，运费与仓储费之和最小，最小值为 万元．【分析】先求出比例系数，再得出运费与仓储费之和，利用基本不等式可求最值．【解答】解：设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万元，则y 1＝k 1x ，y 2=k2x∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元， ∴k 1＝5，k 2＝20， ∴运费与仓储费之和为5x +20x∵5x +20x ≥2√5x ×20x =20，当且仅当5x =20x ，即x ＝2时，运费与仓储费之和最小为20万元 故答案为：2，20【点评】本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，正确确定函数解析式是关键．【变式6-1】（2020秋•浙江期中）某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在150吨至250吨之间时，其生产的总成本y （万元）与年产量（吨）之间的函数关系式近似地表示为y =x 210−30x +4000．问：（1）每吨平均出厂价为16万元，年产量为多少吨时，可获得最大利润？并求出最大利润； （2）年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并求出最低成．【分析】（1）根据题意得出z ＝16x ﹣（x 210−30x +4000）=−x 210+46x ﹣4000=−110（x ﹣230）2+1290，（150≤x ≤250），利用二次函数求解即可． （2）得出函数式子W =y x =x 104000x −30=110（x +40000x）﹣30，（150≤x ≤250），运用基本不等式求解即可．【解答】解：（1）年产量为x ，年利润为z 万元，根据题意得： z ＝16x ﹣（x 210−30x +4000）=−x 210+46x ﹣4000=−110（x ﹣230）2+1290，（150≤x ≤250）， 当x ＝230时，z max ＝1290（万元），（2）年产量为x 吨时，每吨的平均成本为W 万元，为y =x 210−30x +4000．∴W =y x =x 104000x −30=110（x +40000x）﹣30，（150≤x ≤250）， ∵x +40000x≥2√40000=400，（x ＝200等号成立）， ∴x ＝200时，W 最小=110×400﹣30＝10．故年产量为200吨时，每吨的平均成本最低为10万元．【点评】本题考查了函数，基本不等式在实际问题中的应用，属于中档题．【变式6-2】（2020秋•虹口区期末）某居民小区欲在一块空地上建一面积为1200m 2的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m ，东西的人行通道宽4m ，如图所示（图中单位：m ），问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？【分析】设矩形车场南北侧边长为xm ，则其东西侧边长为1200xm ，人行道占地面积为S ＝（x +6）（8+1200x ）﹣1200＝8x +7200x+48，然后结合基本不等式即可求解．【解答】解：设矩形车场南北侧边长为xm ，则其东西侧边长为1200xm ，人行道占地面积为S ＝（x +6）（8+1200x ）﹣1200＝8x +7200x +48≥2√8x ⋅7200x+48＝528， 当且仅当8x =7200x ，即x ＝30（m ）时取等号，S min ＝96（m 2），此时1200x=40（m ）， 所以矩形停车场的南北侧边长为30m ，则其东西侧边长为40m ，才能使人行通道占地面积最小， 最小面积是528m 2．【点评】本题主要考查了基本不等式在实际问题中的应用，体现了转化思想的应用．【变式6-3】（2020秋•大丰区校级期末）合肥六中德育处为了更好的开展高一社团活动，现要设计如图的一张矩形宣传海报，该海报含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000cm 2，四周空白的宽度为10cm ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm ．（1）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，并求最小值；（2）如果要求矩形栏目的宽度不小于高度的2倍，那么怎样确定海报矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，并求最小值．【分析】（1）根据矩形栏目面积确定高与宽的关系，可得整个矩形广告面积，再利用基本不等式，即可求得最值．（2）由题意得b ≥2a ，b =20000a ，求得a 的范围，由（1）可得S ＝30（a +40000a）+60600，函数确定为减区间，即可得到何时取得最小值．【解答】解：（1）设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则ab＝20000，所以b=20000a，广告的高为（a+20）cm，宽为（3b+30）cm（其中a＞0，b＞0），广告的面积S＝（a+20）（3b+30）＝30（a+2b）+60600＝30（a+40000a）+60600≥30×2√a×40000a+60600＝72600，当且仅当a=40000a，即a＝200时，取等号，此时b＝100．故当广告矩形栏目的高为200cm，宽为100cm，时可使广告的面积最小为72600cm2．（2）由题意得，b≥2a，b=20000a，解得0＜a≤100，由（1）可得S＝30（a+40000a）+60600，当a＝100时，广告的面积最小为75600cm2．故当广告矩形栏目的高为100cm，宽为200cm，可使广告的面积最小为75600cm2．【点评】本题考查函数模型的构建，基本不等式的运用，解题的关键是正确表示整个矩形广告面积，属于中档题．。
高考数学压轴专题专题备战高考《不等式》难题汇编含答案解析
【最新】《不等式》专题一、选择题1．若、a b 均为实数，则“()0->ab a b ”是“0a b >>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】通过列举，和推理证明可以推出充要性. 【详解】若()0ab a b -＞中，取12a b --＝，＝，则推不出0a b ＞＞； 若0a b ＞＞，则0a b -＞，则可得出()0ab a b -＞； 故“()0ab a b -＞”是“0a b ＞＞”的必要不充分条件， 故选：B. 【点睛】本题考查充分必要不条件的定义以及不等式的性质，可通过代入特殊值解决．2．变量,x y 满足约束条件1{2314y x y x y ≥--≥+≤，若使z ax y =+取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的取值集合是（ ） A ．{3,0}- B ．{3,1}-C ．{0,1}D ．{3,0,1}-【答案】B 【解析】若0a =，结合图形可知不合题设，故排除答案A ，C ，D ，应选答案B ．3．在平面直角坐标系中，不等式组20{200x y x y y +-≤-+≥≥，表示的平面区域的面积是（ ）A ．42B ．4C ．22D ．2【答案】B 【解析】试题分析：不等式组表示的平面区域如图所示的三角形ABC 及其内部．可得，A （2，0），B （0，2），C （-2，0），显然三角形ABC 的面积为．故选B ．考点：求不等式组表示的平面区域的面积．4．已知实数x ，y 满足不等式||2x y +≥，则22x y +最小值为（ ）A ．2B ．4C ．22D ．8【答案】B 【解析】 【分析】先去掉绝对值，画出不等式所表示的范围，再根据22x y +表示圆心在原点的圆求解其最小圆的半径的平方，即可求解. 【详解】 由题意，可得当0y ≥时，2x y +≥ （2）当0y <时，2x y -≥如图所示，画出的图形，可得不等式表示的就是阴影部分的图形， 又由22xy +最小值即为原点到直线的垂线段的长度的平方，又由2222211d -==+，所以24d =，即22xy +最小值为4.故选：B .【点睛】本题主要考查了线性规划的知识，以及点到直线的距离公式的应用，着重考查了数形结合思想，以及计算能力.5．已知x、y满足约束条件122326x yx yx y+≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，若22z x y=+，则实数z的最小值为（）A 2B．25C．12D．2【答案】C【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，利用目标函数的几何意义求出22x y+的最小值，进而可得出实数z的最小值.【详解】作出不等式组122326x yx yx y+≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩所表示的可行域如下图所示，22z x y =+表示原点到可行域内的点(),x y 的距离的平方，原点到直线10x y +-=的距离的平方最小，()222min212x y+==⎝⎭. 由于22z x y =+，所以，min 12z =. 因此，实数z 的最小值为12. 故选：C. 【点睛】本题考查线性规划中非线性目标函数最值的求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.6．在锐角ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222cos 3a ab C b +=，则tan 6tan tan tan A B C A+⋅的最小值为（ ）A 73B 35C 33D ．32【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理得到4cos c b A =，再根据正弦定理得到sin cos 3sin cos A B B A =，故tan 3tan A B =，3t 53tan 4an 6ta 3ta tan tan n n B A B C AB ⎛⎫=+ ⎪⎝+⎭⋅，计算得到答案. 【详解】由余弦定理及222cos 3a ab C b +=可得222223a a b c b ++-=，即22222a b b c -=+，得22222cos a b a bc A -=+，整理得22 2cos a b bc A =+.2222cos a b c bc A =+-Q ，2222cos 2cos b bc A b c bc A ∴+=+-，得4cos c b A =.由正弦定理得sin 4sin cos C B A =，又()sin sin C A B =+，()sin 4sin cos A B B A ∴+=， 整理得sin cos 3sin cos A B B A =.易知在锐角三角形ABC 中cos 0A ≠， cos 0B ≠，tan 3tan A B ∴=， 且tan 0B >.πA B C ++=Q ， ()tan tan C A B =-+tan tan 1tan tan A B A B +=--⋅24tan 3tan 1BB =-，tan 6tan tan tan A B C A ∴+⋅()233tan 124tan tan B B B -=+353tan 43tan B B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭34≥⨯当且仅当tan B 时等号成立. 故选：B . 【点睛】本题考查了正余弦定理，三角恒等变换，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.7．已知函数()2222,2{log ,2x x x f x x x -+≤=> ，若0R x ∃∈，使得()2054f x m m ≤- 成立，则实数m 的取值范围为 （ ） A ．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】由函数的解析式可得函数的最小值为：()11f =,则要考查的不等式转化为：2154m m ≤-，解得：114m ≤≤，即实数m 的取值范围为 1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 本题选择B 选项.点睛： (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．8．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，若s 满足不等式()()222323f s s f s s -+--+…，则s 的取值范围是（ ）A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B ．[3,2]--C ．[2,3)-D ．[3,2]-【答案】D 【解析】 【分析】由已知可分析出()f x 在R 上为减函数且()y f x =关于原点对称，所以不等式等价于()()222323f s s f s s -+-+-…，结合单调性可得222323s s s s -+≥-+-，从而可求出s 的取值范围. 【详解】解：因为对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，所以()f x 在R 上为减函数；又(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =关于原点对称， 则()()()222232323f s s f s s f s s -+--+=-+-…，所以222323s s s s -+≥-+-，整理得260s s +-≤，解得32s -≤≤. 故选：D. 【点睛】本题考查了函数的单调性，考查了函数的对称性，考查了一元二次不等式的求解.本题的关键是由已知得到函数的单调性和对称性，从而将不等式化简.9．设a b c ，，为非零实数，且a c b c >>，，则（ ） A ．a b c +> B ．2ab c >C ．a b2c +> D ．112a b c+> 【答案】C 【解析】 【分析】取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误，根据不等式性质知C 正确，得到答案. 【详解】,a c b c >>，故2a b c +>，2a bc +>，故C 正确； 取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误； 故选：C . 【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.10．若实数x ，y ，对任意实数m ，满足()()222122211x y m x y m x y m ⎧-≤-⎪⎪+≥+⎨⎪-+-≤⎪⎩，则由不等式组确定的可行域的面积是( )A．1 4πB．12πC．πD．32π【答案】A【解析】【分析】画出约束条件的可行域，然后求解可行域的面积．【详解】实数x，y，对任意实数m，满足2221222(1)()1x y mx y mx y m--⎧⎪++⎨⎪-+-⎩………的可行域如图：可行域是扇形，14个圆，面积为：211144ππ⨯⨯=．故选：A．【点睛】本题考查线性规划的应用，考查数形结合以及计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．11．函数log(3)1ay x=-+（0a>且1a≠）的图像恒过定点A，若点A在直线10mx ny+-=上，其中·0m n>，则41m n+的最小值为（）A．16 B．24 C．50 D．25【答案】D【解析】【分析】由题A（4，1），点A在直线上得4m+n＝1，用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值．【详解】令x﹣3＝1，解得x＝4，y＝1，则函数y ＝log a （x ﹣3）+1（a ＞0且a≠1）的图象恒过定点A （4，1）， ∴4m+n ＝1， ∴41m n +=（41m n +）（4m+n ）＝16+14n 4m m n++=17+8＝25，当且仅当m ＝n 15=时取等号，故则41m n +的最小值为25， 故选D ． 【点睛】本题考查均值不等式，在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握．12．已知直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（ ）A ．12k >B ．16k <-或12k > C ．62k -<< D ．1162k -<< 【答案】D 【解析】 【分析】联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，可解得交点坐标(,)x y ，由于直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，可得00x y >⎧⎨>⎩，解得即可． 【详解】解：联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得24216121k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， Q 直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限， ∴2402161021kk k k -⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩，解得：1162k -<<．故选：D ． 【点睛】本题考查两直线的交点和分式不等式的解法，以及点所在象限的特征．13．若集合()(){}130M x x x =+-<，集合{}1N x x =<，则M N ⋂等于（ ） A ．()1,3 B ．(),1-∞-C ．()1,1-D ．()3,1-【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得M ，然后求两个集合的交集. 【详解】由()()130x x +-<解得13x -<<，故()1,1M N ⋂=-，故选C. 【点睛】本小题主要考查集合交集的概念以及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.14．若实数x ，y 满足不等式组11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最小值是( )A ．3B ．32C ．0D ．3-【答案】D 【解析】 【分析】根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再由目标函数2z x y =+可得2y x z =-+，此时Z 为直线在y 轴上的截距，根据条件可求Z 的最小值．【详解】解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示得阴影部分的ABC ∆， 由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 为直线在y 轴上的截距把直线:2l y x =-向上平移到A 时，z 最小，此时由1y xy =⎧⎨=-⎩可得(1,1)A --此时3z =-，故选：D ．【点睛】本题考查用图解法解决线性规划问题，分析题目的已知条件，找出目标函数中的z 的意义是关键，属于中档题．15．实数,x y 满足020360x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则2x y -的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到答案. 【详解】如图所示，画出可行域和目标函数，2z x y =-，则2y x z =-，z 表示直线与y 轴截距的相反数，根据平移知：当3,3x y ==时，2z x y =-有最大值为3. 故选：C .【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.16．设集合{}20,201x M x N x x x x ⎧⎫=≤=-<⎨⎬-⎩⎭，则M N ⋂为（ ） A ．{}01x x ≤<B ．{}01x x <<C ．{}02x x ≤<D ．{}02x x << 【答案】B【解析】【分析】 根据分式不等式和一元二次不等式的解法，求得集合{01},{|02}M x x N x x =≤<=<<，再结合集合交集的运算，即可求解.【详解】 由题意，集合{}20{01},20{|02}1x M x x x N x x x x x x ⎧⎫=≤=≤<=-<=<<⎨⎬-⎩⎭， 所以{}01M N x x ⋂=<<.故选：B .【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中结合分式不等式和一元二次不等式的解法，准确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了计算能力.17．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则263n n S a ++的最小值为（ ） A ．4B ．3 C．2 D ．2【答案】D【解析】【分析】由题意得2(12)112d d +=+，求出公差d 的值，得到数列{}n a 的通项公式，前n 项和，从而可得263n n S a ++，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值． 【详解】解：11a =Q ，1a 、3a 、13a 成等比数列，2(12)112d d ∴+=+．得2d =或0d =（舍去），21n a n ∴=-，2(121)2n n n S n +-∴==， ∴()()22211426263322112n n n n S n n a n n n ++++++===+-+++． 令1t n =+，则2642223n n S t a t +=+-≥=+ 当且仅当2t =，即1n =时，∴263n n S a ++的最小值为2． 故选：D ．【点睛】 本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．18．已知,a b 都是正实数，则222a b a b a b +++的最大值是（ ） A．23- B．3- C．1 D ．43【答案】A【解析】【分析】设2,2m a b n a b =+=+，将222a b a b a b +++，转化为2222233a b n m a b a b m n +=--++，利用基本不等式求解.【详解】设2,2m a b n a b =+=+， 所以22,33m n n m a b --==，所以2222222333a b n m a b a b m n +=--≤-=-++， 当且仅当233n m m n =时取等号. 所以222a b a b a b +++的最大值是2-. 故选：A【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.19．已知函数()2814f x x x =++，()()2log 4g x x =，若[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则a 的最大值为（ ）A ．-4B ．-3C ．-2D ．-1 【答案】C【解析】【分析】由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，从而28142a a ++≤，故可求a 的最大值为2-.【详解】由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，由()()2log 4g x x =(]20,1x ∈()2g x ⇒≤ ，所以(](),2g x ∈-∞当43a --≤≤ 时，()21f x -＃-，此时()f x 的值域为()g x 的值域的子集成立.当3a >-时，()22814f x a a -≤≤++，须满足()f x 的值域为()g x 的值域的子集，即28142a a ++≤，得62a -≤≤-所以a 的最大值为2-.故选：C.【点睛】本题主要考查恒成立和存在性问题，注意把两类问题转化为函数值域的包含关系，此问题属于中档题目.20．已知函数1()cos 2(2)sin 2f x m x m x =+-，其中12m ≤≤，若函数()f x 的最大值记为()g m ，则()g m 的最小值为（ ）A ．14-B ．1 C．D1【答案】D【解析】【分析】2()sin (2)sin 2m f x m x m x =-+-+，令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2m y mt m t =-+-+，结合12m ≤≤可得()221122(2)31144t m m m g m y m m m=-+-===+-，再利用基本不等式即可得到答案.【详解】 由已知，221()(12sin )(2)sin sin (2)sin 22m f x m x m x m x m x =-+-=-+-+， 令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2m y mt m t =-+-+，因为12m ≤≤， 所以对称轴为2111[0,]222m t m m -==-∈，所以 ()221122(2)3111144t m m m g m y m m m =-+-===+-≥=，当且仅当m =. 故选：D【点睛】本题考查换元法求正弦型函数的最值问题，涉及到二次函数的最值、基本不等式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《不等式》知识点训练及答案
高中数学《不等式》复习知识点(1)一、选择题1．已知,x y 满足约束条件24030220x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩则目标函数22x y z -=的最大值为（ ）.A ．128B ．64C ．164D ．1128【答案】B 【解析】 【分析】画出可行域,再求解2x y -的最大值即可. 【详解】不等式组表示的平面区域如下图阴影部分所示.设2x y μ=-,因为函数2xy =是增函数,所以μ取最大值时,z 取最大值.易知2x y μ=-在A 点处取得最大值.联立220,30x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得4,1.x y =⎧⎨=-⎩即(4,1)A -.所以max 42(1)6μ=-⨯-=,所以6max 264z ==.故选：B 【点睛】本题考查线性规划,考查化归与转化思想以及数形结合思想.2．若33log (2)1log a b ab +=+42a b +的最小值为（ ）A ．6B ．83C ．163D ．173【答案】C 【解析】 【分析】由33log (2)1loga b ab +=+213b a+=，且0,0a b >>，又由12142(42)3a b a b b a ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开之后利用基本不等式，即可得到本题答案.【详解】因为33log (2)1loga b ab +=+，即()()3333log 2log 3log log 3a b ab ab +=+=，所以，23a b ab +=，等式两边同时除以ab 得213b a+=，且0,0a b >>， 所以12118211642(42)()(8)(8216)3333a b a b a b b a b a +=++=++≥+=， 当且仅当82a b b a=，即2b a =时取等号，所以42a b +的最小值为163.故选：C. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，其中涉及对数的运算，考查计算能力，属于中等题.3．在平面直角坐标系中，不等式组20{200x y x y y +-≤-+≥≥，表示的平面区域的面积是（ ）A ．42B ．4C ．22D ．2【答案】B 【解析】试题分析：不等式组表示的平面区域如图所示的三角形ABC 及其内部．可得，A （2，0），B （0，2），C （-2，0），显然三角形ABC 的面积为．故选B ．考点：求不等式组表示的平面区域的面积．4．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为( )A ．2B ．52C ．3D ．32【答案】A 【解析】()220{,440a f x acb b ac >≥∴∴≥∆=-≤Q 恒成立，,且0,0c a >> 又()()()2,00,1f x ax b f b f a b c =+∴'='=>++，()()11111120f a c f b +∴=+≥≥=+=' 当且仅当()()120f a c f ='时，不等式取等号，故的最小值为5．已知实数x ，y满足不等式||x y +≥，则22x y +最小值为（ ）A ．2B ．4C．D ．8【答案】B 【解析】 【分析】先去掉绝对值，画出不等式所表示的范围，再根据22x y +表示圆心在原点的圆求解其最小圆的半径的平方，即可求解. 【详解】 由题意，可得当0y ≥时，x y +≥ （2）当0y <时，x y -≥如图所示，画出的图形，可得不等式表示的就是阴影部分的图形， 又由22xy +最小值即为原点到直线的垂线段的长度的平方，又由2d ==，所以24d =，即22xy +最小值为4.故选：B .【点睛】本题主要考查了线性规划的知识，以及点到直线的距离公式的应用，着重考查了数形结合思想，以及计算能力.6．已知点()4,3A ，点B 为不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示平面区域上的任意一点，则AB 的最小值为（ ）A ．5B 45C 5D 25【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的平面区域，标出点A 的位置，利用图形可观察出使得AB 最小时点B 的位置，利用两点间的距离公式可求得AB 的最小值.【详解】作出不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如下图所示：联立0260x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，由图知AB 的最小值即为()4,3A 、()2,2B 两点间的距离， 所以AB 的最小值为()()2242325-+-=.故选：C ． 【点睛】本题考查目标函数为两点之间的距离的线性规划问题，考查数形结合思想的应用，属中等题．7．若，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】 【分析】 【详解】试题分析：用特殊值法，令，，得，选项A 错误，，选项B 错误，，选项D 错误，因为选项C 正确，故选C ． 【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.8．已知ABC V 是边长为1的等边三角形，若对任意实数k ，不等式||1k AB tBC +>u u u r u u u r恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）.A ．,33⎛⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．,33⎛⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭D ．,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算，将目标式转化为关于k 的二次不等式恒成立的问题，由0<n ，即可求得结果. 【详解】因为ABC V 是边长为1的等边三角形，所以1cos1202AB BC ⋅=︒=-u u u r u u u r ，由||1k AB tBC +>u u u r u u u r 两边平方得2222()2()1k AB kt AB BC t BC +⋅+>u u u r u u u r u u u r u u u r ，即2210k kt t -+->，构造函数22()1f k k tk t =-+-， 由题意，()22410t t ∆--<=，解得3t <-或3t >. 故选：B. 【点睛】本题考查向量数量积的运算，以及二次不等式恒成立问题求参数范围的问题，属综合中档题.9．已知点(2,0)M ，点P 在曲线24y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2||||1PM PF -的最小值为（ ）A B ．1)C ．D ．4【答案】D 【解析】 【分析】如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，设(),P x y ，0x >，则2||4||1PM x PF x=+-，利用均值不等式得到答案.【详解】如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，设(),P x y ，0x >，则()()22222224||||44||1x yx x PM P P M x F x Q P x x-+-+====+≥-，当4x x =，即2x =时等号成立. 故选：D .【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.10．已知0a >，0b >，且()122y a b x =+为幂函数，则ab 的最大值为（ ） A ．18B ．14C ．12D ．34【答案】A 【解析】 【分析】根据()122y a b x =+为幂函数，得到21a b +=，再将ab 变形为ab 122a b =⋅利用基本不等式求解. 【详解】因为()122y a b x =+为幂函数，所以21a b +=， 又因为0a >，0b >，所以ab 2112122228a b a b +⎛⎫=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当21a b +=，2a b =即11,24a b ==取等号. 所以ab 的最大值为 18. 故选：A 【点睛】本题主要考查幂函数的定义和基本不等式的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.11．已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是 A ．3 B ．4 C ．92D ．112【答案】B 【解析】 【详解】解析：考察均值不等式2228(2)82x y x y x y +⎛⎫+=-⋅≥- ⎪⎝⎭，整理得2(2)4(2)320x y x y +++-≥即(24)(28)0x y x y +-++≥，又x+2 y>0，24x y ∴+≥12．已知函数()2f x ax bx =+，满足()()241f f -≥≥，()12f -≤，则()2f 的最大值为（ ） A ．12 B ．13C ．14D ．15【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件可得,a b 满足的不等式2242a b a b a b -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，作出不等式组所表示的平面区域，又()242f a b =+，利用线性规划即可求出()2f 的最大值．【详解】由已知得2242a b a b a b -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，可得(),P a b 的表示的平面区域如图：可求出()3,1A ，()2,2B ，()0,2C -， 目标函数()242z f a b ==+，可化为122b a z =-+，当直线过点A 时，max 14z =. 故选：C. 【点睛】本题主要考查求线性约束条件下的最值计算，关键是根据,a b 满足的不等式作出可行域，并将目标函数()242z f a b ==+变形为122b a z =-+进行平移，找到截距的最大值．13．在区间[]0,1内随机取两个数m ､n ，则关于x 的方程20x nx m +=有实数根的概率为（ ） A ．18B ．17C ．16D ．15【答案】A 【解析】 【分析】根据方程有实根可得到约束条件，根据不等式组表示的平面区域和几何概型概率公式可求得结果. 【详解】若方程20x nx m +=有实数根，则40n m ∆=-≥.如图，400101n m m n -≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域与正方形0101m n ≤≤⎧⎨≤≤⎩的面积之比即为所求的概率，即111124118S P S ⨯⨯===⨯阴影正方形.故选：A . 【点睛】本题考查几何概型中面积型概率问题的求解，涉及到线性规划表示的平面区域面积的求解，关键是能够根据方程有实根确定约束条件.14．已知点()2,1A ，O 是坐标原点，点(), P x y 的坐标满足：202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，设z OP OA =⋅u u u r u u u r，则z 的最大值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，转化目标函数的解析式，利用目标函数的最大值，判断最优解，代入约束条件求解即可. 【详解】解：由不等式组202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩可知它的可行域如下图：Q ()2,1A ，(), P x y∴2z OP OA x y =⋅=+u u u r u u u r，可图知当目标函数图象经过点()1,2B 时，z 取最大值，即24z x y =+=.故选：C.【点睛】本题考查线性规划的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用，属于中档题.15．某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是( )A ．169πB ．89πC ．1627πD ．827π 【答案】A【解析】【分析】根据条件求出圆柱的体积，利用基本不等式研究函数的最值即可．【详解】解：设圆柱的半径为r ，高为x ，体积为V ， 则由题意可得323r x -=， 332x r ∴=-， ∴圆柱的体积为23()(3)(02)2V r r r r π=-<<， 则33333163331616442()(3)()9442939r r r V r r r r πππ++-=-=g g g g …． 当且仅当33342r r =-，即43r =时等号成立． ∴圆柱的最大体积为169π， 故选：A ．【点睛】本题考查圆柱的体积和基本不等式的实际应用，利用条件建立体积函数是解决本题的关键，是中档题．16．若实数x ，y 满足不等式组11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最小值是( )A ．3B．32 C ．0 D ．3- 【答案】D【解析】【分析】根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再由目标函数2z x y =+可得2y x z =-+，此时Z 为直线在y 轴上的截距，根据条件可求Z 的最小值．【详解】解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示得阴影部分的ABC ∆，由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 为直线在y 轴上的截距把直线:2l y x =-向上平移到A 时，z 最小，此时由1y x y =⎧⎨=-⎩可得(1,1)A -- 此时3z =-，故选：D ．【点睛】本题考查用图解法解决线性规划问题，分析题目的已知条件，找出目标函数中的z 的意义是关键，属于中档题．17．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程()223221)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( )A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④ 【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式得224x y +≤，可判断②；224x y +=和()3222216x y x y +=联立解得222x y ==可判断①③；由图可判断④.【详解】()2223222216162x y x yx y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭， 解得224x y +≤（当且仅当222x y ==时取等号），则②正确；将224x y +=和()3222216x y x y +=联立，解得222x y ==， 即圆224x y +=与曲线C 相切于点2,2，(2,2-，(2,2，2,2-， 则①和③都错误；由0xy <，得④正确.故选：B.【点睛】本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.18．已知实数x y ，满足1030350x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则()22(4)2z x y =-+-的最小值为（ ） A ．5 B．5 C ．3 D ．52【答案】D【解析】【分析】由题意作出其平面区域，22(4)(2)z x y =-+-可看成阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方，求阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方最小值即可．【详解】 解：由题意作出实数x ，y 满足1030350x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩……„平面区域， 22(4)(2)z x y =-+-可看成阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方，则22(4)(2)z x y =-+-的最小值为P 到350x y --=的距离的平方，解得，2222523(1)d -⎛⎫+ ⎪= ⎝⎭=⎪； 所以min 52z =故选：D ．【点睛】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，用到了表达式的几何意义的转化，属于中档题．19．设集合{}20,201x M x N x x x x ⎧⎫=≤=-<⎨⎬-⎩⎭，则M N ⋂为（ ） A ．{}01x x ≤<B ．{}01x x <<C ．{}02x x ≤<D ．{}02x x << 【答案】B【解析】【分析】 根据分式不等式和一元二次不等式的解法，求得集合{01},{|02}M x x N x x =≤<=<<，再结合集合交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合{}20{01},20{|02}1x M x x x N x x x x x x ⎧⎫=≤=≤<=-<=<<⎨⎬-⎩⎭， 所以{}01M N x x ⋂=<<.故选：B .【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中结合分式不等式和一元二次不等式的解法，准确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了计算能力.20．以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直，且该三棱锥外接球的表面积为8π，则以A 为顶点，以面BCD 为下底面的三棱锥的侧面积之和的最大值为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．7【答案】B【解析】【分析】根据题意补全几何图形为长方体，设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ，即可由外接球的表面积求得对角线长，结合侧面积公式即可由不等式求得面积的最大值.【详解】将以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直的三棱锥补形成为一个长方体，如下图所示：长方体的体对角线即为三棱锥A BCD -外接球的直径，设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ，因为三棱锥外接球的表面积为8π，则284R π=π，解得R =，所以体对角线为， 所以2228x y z ++=，111222S yz xy xz =++侧面积 由于()()()()222222240x y z S x y y x x z ++-=-+-+-≥，所以416S ≤，故4S ≤，即三棱锥的侧面积之和的最大值为4，故选：B.【点睛】本题考查了空间几何体的综合应用，三棱锥的外接球性质及应用，属于中档题.。
高考数学重难点培优讲义之基本不等式求最值典型题型(含答案解析)
基本不等式求最值【题型1 直接法求最值】 (2)【题型2 配凑法求最值】 (3)【题型3 常数代换法求最值】 (3)【题型4 消元法求最值】 (4)【题型5 构造不等式法求最值】 (5)【题型6 多次使用基本不等式求最值】 (6)【题型7 实际应用中的最值问题】 (6)【题型8 与其他知识交汇的最值问题】 (9)基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点.题型通常为选择题或填空题，但它的应用范围很广，涉及到函数、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何、导数等内容，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等.在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点.在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用.【知识点1 利用基本不等式求最值的方法】1．利用基本不等式求最值的几种方法(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.(5)构造不等式法：构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解.【知识点2 基本不等式的实际应用】1．基本不等式的实际应用的解题策略(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.(3)在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.【题型1 直接法求最值】【例1】（2023上·北京·高一校考阶段练习）已知a>0，则a+1+1的最小值为（）aA．2B．3C．4D．5【变式1-1】（2023·北京东城·统考一模）已知x>0，则x−4+4的最小值为（）xA．－2B．0C．1D．2√2【变式1-2】（2023上·山东·高一统考期中）函数y=x2−x+9（x>0）的最小值为（）xA．1B．3C．5D．9【变式1-3】（2023下·江西·高三校联考阶段练习）(3+1)(1+4x2)的最小值为（）x2A．9√3B．7+4√2C．8√3D．7+4√3【题型2 配凑法求最值】【例2】（2023·浙江·校联考模拟预测）已知a>1，则a+16a−1的最小值为（）A．8B．9C．10D．11【变式2-1】（2023上·吉林·高一校考阶段练习）已知x>3，则y=2x−3+2x的最小值是（）A．6B．8C．10D．12【变式2-2】（2023上·海南省直辖县级单位·高三校联考阶段练习）设x>2，则函数y=4x−1+4x−2，的最小值为（）A．7B．8C．14D．15【变式2-3】（2023上·辽宁·高一校联考期中）若x>0，y>0且满足x+y=xy，则2xx−1+4yy−1的最小值为（）A．6+2√6B．4+6√2C．2+4√6D．6+4√2【题型3 常数代换法求最值】【例3】（2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）已知a>0，b>0，若2a +3b=1，则2a+b3的最小值是（）A．8B．9C．10D．11【变式3-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知正实数a，b，点M(1,4)在直线xa +yb=1上，则a+b的最小值为（）A．4B．6C．9D．12【变式3-2】（2023上·重庆·高一统考期末）若正实数x，y满足2x+8y−xy=0，则2x+y的最大值为（）A．25B．16C．37D．19【变式3-3】（2023·重庆·统考一模）已知a，b为非负实数，且2a+b=1，则2a2a+1+b2+1b的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【题型4 消元法求最值】【例4】（2023上·江苏·高一校联考阶段练习）已知正数x，y满足3x−4=9y，则x+8y的最小值为.【变式4-1】（2023上·安徽池州·高一统考期中）已知x,y∈R+，若2x+y+xy=7，则x+2y的最小值为.【变式4-2】（2023上·山东淄博·高一校考阶段练习）已知正实数a,b，且2a+b+6=ab，则a+2b的最小值为.【变式4-3】（2023·上海崇明·统考一模）已知正实数a, b, c, d满足a2 −ab+1=0，c2 +d2 =1，则当(a−c)2 +(b−d)2取得最小值时，ab=．【题型5 构造不等式法求最值】【例5】（2023下·河南·高三校联考阶段练习）已知2a+b=ab(a>0,b>0)，下列说法正确的是（）A．ab的最大值为8B．1a−1+2b−2的最小值为2C．a+b有最小值3+√2D．a2−2a+b2−4b有最大值4【变式5-1】（2022上·山东青岛·高一青岛二中校考期中）已知x>0，y>0，且x+y+xy−3=0；则下列结论正确的是（）A．xy的最小值是1B．x+y的最小值是2C．x+4y的最小值是8D．x+2y的最大值是4√2−3【变式5-2】（2023上·江苏·高一专题练习）下列说法正确的是（）A．若x>2，则函数y=x+1x−1的最小值为3B．若x>0，y>0，3x +1y=5，则5x+4y的最小值为5C．若x>0，y>0，x+y+xy=3，则xy的最小值为1D．若x>1，y>0，x+y=2，则1x−1+2y的最小值为3+2√2【变式5-3】（2023上·广东中山·高三校考阶段练习）设正实数x,y满足x+2y=3，则下列说法错误的是（）A．yx +3y的最小值为4B．xy的最大值为98C．√x+√2y的最大值为2D．x2+4y2的最小值为92【题型6 多次使用基本不等式求最值】【例6】（2023·河南·校联考模拟预测）已知正实数a，b，满足a+b≥92a +2b，则a+b的最小值为（）A．5B．52C．5√2D．5√22【变式6-1】（2023·山东菏泽·统考一模）设实数x,y满足x+y=1，y>0，x≠0，则1|x|+2|x|y的最小值为（）A．2√2−1B．2√2+1C．√2−1D．√2+1【变式6-2】（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）已知实数x,y,z>0，满足xy+zx =2，则当4y+1z取得最小值时，y+z的值为（）A．1B．32C．2D．52【变式6-3】（2023上·辽宁大连·高一期末）若a>0,b>0,a+b=1，则a2+3aba+2b +2b+1−1b的最大值为（）A．√2B．2−√2C．3−√2D．3−2√2【题型7 实际应用中的最值问题】【例7】（2023上·四川眉山·高一校联考期中）如图，高新区某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为400m2的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为8400元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为420元/m2；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为160元/m2.设总造价为y（单位：元），AD长为x（单位：m）.(1)用x表示AM的长度，并求x的取值范围；(2)当x为何值时，y最小？并求出这个最小值.【变式7-1】（2023上·山东·高一校联考期中）某校地势较低，一遇到雨水天气校园内会有大量积水，不但不方便师生出行，还存在严重安全问题.为此学校决定利用原水池改建一个深3米，底面面积16平方米的长方体蓄水池.不但能解决积水问题，同时还可以利用蓄水灌溉学校植被.改建及蓄水池盖儿固定费用800元，由招标公司承担.现对水池内部地面及四周墙面铺设公开招标.甲工程队给出的报价如下：四周墙面每平方米150元，地面每平方米400元.设泳池宽为x米.(2≤x≤6)(1)当宽为多少时，甲工程队报价最低，并求出最低报价.元(a>0)（整体报价中含固定费用）.若无论(2)现有乙工程队也要参与竞标，其给出的整体报价为900a(x+2)x宽为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围.【变式7-2】（2023上·江苏苏州·高一校考阶段练习）因新冠疫情零星散发，某实验中学为了保障师生安全，同时考虑到节省费用，拟借助校门口一侧原有墙体建造一间高为4米、底面积为24平方米、背面靠墙体的．因此室的后长方体形状的隔离室．隔离室的正面需开一扇安全门，此门高为2米，且此门高为此门底的13背面靠墙，故无需建墙费用，但需粉饰．现学校面向社会公开招标，甲工程队给出的报价：正面为每平方米360元，左右两侧面为每平方米300元，已有墙体粉饰为每平方米100元，屋顶和地面以及安全门报价共计12000元．设隔离室的左右两侧面的底边长度均为x米(1≤x≤5)．(1)记y为甲工程队整体报价，求y关于x的关系式；元，问是否存在实数t，使得(2)现有乙工程队也要参与此隔离室建造的竞标，其给出的整体报价为4800t(x+1)x无论左右两侧底边长为多少，乙工程队都能竞标成功（注：整体报价小者竞标成功），若存在，求出t满足的条件；若不存在，请说明理由．【变式7-3】（2023上·重庆·高一校考阶段练习）为宜传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张面积为36000cm2的矩形海报纸（记为矩形ABCD，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形），为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm，设DC=x cm．(1)将四个宣传栏的总面积y表示为x的表达式，并写出x的范围；(2)为充分利用海报纸空间，应如何选择海报纸的尺寸（AD和CD分别为多少时），可使用宣传栏总面积最大？并求出此时宣传栏的最大面积．【题型8 与其他知识交汇的最值问题】【例8】（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足c+bcos2A= 2acosAcosB(A≤B).(1)求A；(2)若角A的平分线交BC于D点，且AD=1，求△ABC面积的最小值.【变式8-1】（2023上·安徽铜陵·高二校联考期中）已知圆C的圆心在坐标原点，面积为9π．(1)求圆C的方程；(2)若直线l，l′都经过点(0,2)，且l⊥l′，直线l交圆C于M，N两点，直线l′交圆C于P，Q两点，求四边形PMQN 面积的最大值．【变式8-2】（2023上·江苏盐城·高一校考阶段练习）已知在定义域内单调的函数f(x)满足f(f(x)+1−2x+1恒成立．ln x)=23(1)设f(x)+1−ln x=k，求实数k的值；2x+1(2)解不等式f(7+2x)>−2x+ln(−ex)；2x+1(3)设g(x)=f(x)−ln x，若g(x)≥mg(2x)对于任意的x∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．【变式8-3】（2023下·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，点P是长方形A1B1C1D1内一点，∠APC是二面角A−PD1−C的平面角.(1)证明：点P在A1C1上；(2)若AB=BC，求直线PA与平面PCD所成角的正弦的最大值.1．（2022·全国·统考高考真题）若x，y满足x2+y2−xy=1，则（）A．x+y≤1B．x+y≥−2C．x2+y2≤2D．x2+y2≥12．（2020·山东·统考高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（）A．a2+b2≥12B．2a−b>12C．log2a+log2b≥−2D．√a+√b≤√23．（2020·全国·统考高考真题）设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（）A．4B．8C．16D．324．（2021·天津·统考高考真题）若a>0,b>0，则1a +ab2+b的最小值为．5．（2020·天津·统考高考真题）已知a>0,b>0，且ab=1，则12a +12b+8a+b的最小值为．6．（2020·江苏·统考高考真题）已知5x2y2+y4=1(x,y∈R)，则x2+y2的最小值是．7．（2019·天津·高考真题）设x>0,y>0,x+2y=5，则√xy的最小值为. 8．（2017·江苏·高考真题）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是．基本不等式求最值【题型1 直接法求最值】 (2)【题型2 配凑法求最值】 (3)【题型3 常数代换法求最值】 (4)【题型4 消元法求最值】 (6)【题型5 构造不等式法求最值】 (8)【题型6 多次使用基本不等式求最值】 (11)【题型7 实际应用中的最值问题】 (13)【题型8 与其他知识交汇的最值问题】 (17)基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点.题型通常为选择题或填空题，但它的应用范围很广，涉及到函数、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何、导数等内容，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等.在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点.在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用.(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.(5)构造不等式法：构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解.【知识点2 基本不等式的实际应用】1．基本不等式的实际应用的解题策略(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.(3)在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.【题型1 直接法求最值】【例1】（2023上·北京·高一校考阶段练习）已知a>0，则a+1a+1的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【解题思路】用基本不等式求解即可.【解答过程】因为a>0，所以a+1a +1≥2√a⋅1a+1=3，当且仅当a=1a即a=1时取等号；故选：B.【变式1-1】（2023·北京东城·统考一模）已知x>0，则x−4+4x的最小值为（）A．－2B．0C．1D．2√2【解题思路】由基本不等式求得最小值．【解答过程】∵x>0，∴x+4x −4≥2√x×4x−4=0，当且仅当x=4x即x=2时等号成立．故选：B．【变式1-2】（2023上·山东·高一统考期中）函数y=x2−x+9x（x>0）的最小值为（）A．1B．3C．5D．9【解题思路】利用均值不等式求最小值即可.【解答过程】y=x2−x+9x =x+9x−1≥2√x⋅9x−1=5，当且仅当x=9x，即x=3时等号成立，故选：C.【变式1-3】（2023下·江西·高三校联考阶段练习）(3+1x2)(1+4x2)的最小值为（）A．9√3B．7+4√2C．8√3D．7+4√3【解题思路】依题意可得(3+1x2)(1+4x2)=7+1x2+12x2，再利用基本不等式计算可得.【解答过程】(3+1x2)(1+4x2)=7+1x2+12x2≥7+2√1x2⋅12x2=7+4√3，当且仅当1x2=12x2，即x4=112时，等号成立，故(3+1x2)(1+4x2)的最小值为7+4√3.故选：D.【题型2 配凑法求最值】【例2】（2023·浙江·校联考模拟预测）已知a>1，则a+16a−1的最小值为（）A．8B．9C．10D．11【解题思路】运用基本不等式的性质进行求解即可.【解答过程】因为a>1，所以由a+16a−1=a−1+16a−1+1≥2√(a−1)⋅16a−1+1=9，当且仅当a−1=16a−1时取等号，即a=5时取等号，故选：B.【变式2-1】（2023上·吉林·高一校考阶段练习）已知x>3，则y=2x−3+2x的最小值是（）A．6B．8C．10D．12【解题思路】利用基本不等式求和的最小值，注意取值条件.【解答过程】由x−3>0，则y=2x−3+2(x−3)+6≥2√2x−3⋅2(x−3)+6=10，当且仅当x=4时等号成立，故最小值为10.故选：C.【变式2-2】（2023上·海南省直辖县级单位·高三校联考阶段练习）设x>2，则函数y=4x−1+4x−2，的最小值为（）A．7B．8C．14D．15【解题思路】利用基本不等式求解.【解答过程】因为x>2，所以x−2>0，所以y=4x−1+4x−2=4(x−2)+4x−2+7≥2√4(x−2)⋅4x−2+7=15，当且仅当4(x−2)=4x−2，即x=3时等号成立，所以函数y=4x−1+4x−2的最小值为15，故选:D．【变式2-3】（2023上·辽宁·高一校联考期中）若x>0，y>0且满足x+y=xy，则2xx−1+4yy−1的最小值为（）A．6+2√6B．4+6√2C．2+4√6D．6+4√2【解题思路】结合条件等式，利用基本不等式求和的最小值.【解答过程】若x>0，y>0且满足x+y=xy，则有1x +1y=1，所以x>1，y>1，2x x−1+4yy−1=2(x−1)+2x−1+4(y−1)+4y−1=6+2x−1+4y−1≥6+2√2x−1⋅4y−1=6+2√8xy−(x+y)+1=6+4√2，当且仅当2x−1=4y−1，即x=1+√22,y=1+√2时等号成立.所以2xx−1+4yy−1的最小值为6+4√2.故选：D.【题型3 常数代换法求最值】【例3】（2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）已知a>0，b>0，若2a +3b=1，则2a+b3的最小值是（）A．8B．9C．10D．11【解题思路】利用基本不等式“1”的应用即可求解.【解答过程】由题意得a>0，b>0，2a +3b=1，所以2a+b3=(2a+b3)(2a+3b)=4+1+2b3a+6ab≥5+2√2b3a×6ab=9，当且仅当2b3a =6ab时，即a=3，b=9，取等号，故B项正确.故选：B.【变式3-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知正实数a ，b ，点M (1,4)在直线x a+yb=1上，则a +b 的最小值为（ ）A ．4B ．6C ．9D ．12【解题思路】根据题意可得1a+4b=1，结合基本不等式运算求解. 【解答过程】由题意得1a +4b =1，且a >0,b >0， 故a +b =(a +b )⋅(1a +4b )=5+ba +4a b≥5+2√b a ×4a b=9，当且仅当ba =4a b，即a =3，b =6时，等号成立.故选：C.【变式3-2】（2023上·重庆·高一统考期末）若正实数x ，y 满足2x +8y −xy =0，则2x+y 的最大值为（ ）A ．25B ．16C ．37D ．19【解题思路】根据等式计算得出1，再结合常值代换求和的最值，计算可得最大值. 【解答过程】∵x >0,y >0,2x +8y −xy =0,∴2y +8x =1, x +y=(x +y )(2y +8x )=2x y+8+2+8y x≥2√2x y×8y x+10=18,∴2x+y ≤218=19. 故选:D.【变式3-3】（2023·重庆·统考一模）已知a ，b 为非负实数，且2a +b =1，则2a 2a+1+b 2+1b的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解题思路】首先根据题意求出0≤a <12，0<b ≤1，然后将原式变形得2a 2a+1+b 2+1b=2a+1+1b−1，最后利用1的妙用即可求出其最值.【解答过程】∵2a +b =1，且a ,b 为非负实数，b ≠0， 则a ≥0,b >0则b =1−2a >0，解得0≤a <12，2a =1−b ≥0，解得0<b ≤1，∴2a2a+1+b2+1b=2(a+1)2−4(a+1)+2a+1+b2+1b=2(a+1)−4+2a+1+b+1b=(2a+b−2)+2a+1+1b=2a+1+1b−12 a+1+1b=42a+2+1b=13[(2a+2)+b]⋅(42a+2+1b)=13(5+4b2a+2+2a+2b)≥13(5+2√4b2a+2⋅2a+2b)=3，当且仅当4b2a+2=2a+2b即2a+2=2b，2a+b=1时,即b=1,a=0时等号成立，故(2a+1+1b−1)min=2，故选：B.【题型4 消元法求最值】【例4】（2023上·江苏·高一校联考阶段练习）已知正数x，y满足3x−4=9y，则x+8y的最小值为12 .【解题思路】根据指数方程，得出x,y的关系式，运用消元法将所求式化成关于y的关系式，再利用基本不等式求解.【解答过程】由3x−4=9y，可得x−4=2y，即x=2y+4，代入x+8y中，可得2y+4+8y =2y+8y+4≥2√2y⋅8y+4=12,当且仅当y=2,x=8所以x+8y的最小值为12.故答案为：12.【变式4-1】（2023上·安徽池州·高一统考期中）已知x,y∈R+，若2x+y+xy=7，则x+2y的最小值为6√2−5.【解题思路】根据题意，化简得到x+2y=x2−3x+14x+1，设t=x+1，求得x2−3x+14x+1=t+18t−5，结合基本不等式，即可求解.【解答过程】由x,y∈R+，且2x+y+xy=7，可得y=7−2xx+1，则x+2y=x+2×7−2xx+1=x2−3x+14x+1，设t=x+1，可得x=t−1且t>1，可得x2−3x+14x+1=t2−5t+18t=t+18t−5≥2√t⋅18t−5=6√2−5，当且仅当t=18t时，即t=3√2时，等号成立，所以x+2y的最小值为6√2−5.故答案为：6√2−5.【变式4-2】（2023上·山东淄博·高一校考阶段练习）已知正实数a,b，且2a+b+6=ab，则a+2b的最小值为13 .【解题思路】根据基本不等式即可求解.【解答过程】由2a+b+6=ab可得a=b+6b−2>0，由于b>0，所以b>2，故a+2b=b+6b−2+2b=8b−2+2(b−2)+5，由于b>2，所以8b−2+2(b−2)≥2√16=8，当且仅当b=4时等号成立，故a+2b=8b−2+2(b−2)+5≥13，故a+2b的最小值为13，故答案为：13.【变式4-3】（2023·上海崇明·统考一模）已知正实数a, b, c, d满足a2−ab+1=0，c2+d2=1，则当(a−c)2+(b−d)2取得最小值时，ab=√22+1．【解题思路】将(a−c)2+(b−d)2转化为(a,b)与(c,d)两点间距离的平方，进而转化为(a,b)与圆心(0,0)的距离，结合基本不等式求得最小值，进而分析求解即可.【解答过程】可将(a−c)2+(b−d)2转化为(a,b)与(c,d)两点间距离的平方，由a2−ab+1=0，得b=a+1a，而c2+d2=1表示以(0,0)为圆心，1为半径的圆，(c,d)为圆上一点，则(a,b)与圆心(0,0)的距离为：√a2+b2=√a2+(a+1a )2=√2a2+1a2+2≥√2√2a2⋅1a2+2=√2√2+2，当且仅当2a2=1a2，即a=±√124时等号成立，此时(a,b)与圆心(0,0)的距离最小，即(a,b)与(c,d)两点间距离的平方最小，即(a −c)2+(b −d)2取得最小值. 当a =√124时，ab =a 2+1=√22+1，故答案为：√22+1.【题型5 构造不等式法求最值】【例5】（2023下·河南·高三校联考阶段练习）已知2a +b =ab(a >0,b >0)，下列说法正确的是（ ）A ．ab 的最大值为8B ．1a−1+2b−2的最小值为2 C ．a +b 有最小值3+√2 D ．a 2−2a +b 2−4b 有最大值4【解题思路】根据基本不等式运用的三个条件“一正､二定､三相等”，可知ab ≥8，所以A 错误；将原式化成(a −1)(b −2)=2，即可得1a−1+2b−2=1a−1+(a −1)≥2，即B 正确；不等式变形可得2b+1a=1，利用基本不等式中“1”的妙用可知a +b ≥3+2√2，C 错误；将式子配方可得a 2−2a +b 2−4b =(a −1)2+(b −2)2−5，再利用基本不等式可得其有最小值−1，无最大值，D 错误. 【解答过程】对于A 选项，ab =2a +b ≥2√2ab ，即√ab ≥2√2，故ab ≥8， 当且仅当a =2,b =4时等号成立，故ab 的最小值为8，A 错误； 对于B 选项，原式化为(a −1)(b −2)=2,b =2a a−1>0，故a −1>0；a =b b−2>0，故b −2>0；所以1a−1+2b−2=1a−1+(a −1)≥2，当且仅当a =2,b =4时等号成立，B 正确；对于C 选项，原式化为2b +1a =1，故a +b =(a +b )(2b +1a )=2a b+1+2+ba ≥3+2√2，当且仅当a =√2+1,b =2+√2时等号成立，C 错误；对于D 选项，a 2−2a +b 2−4b =(a −1)2+(b −2)2−5≥2(a −1)(b −2)−5=−1， 当且仅当a =1+√2,b =2+√2时等号成立，故有最小值−1，D 错误． 故选：B.【变式5-1】（2022上·山东青岛·高一青岛二中校考期中）已知x>0，y>0，且x+y+xy−3=0；则下列结论正确的是（）A．xy的最小值是1B．x+y的最小值是2C．x+4y的最小值是8D．x+2y的最大值是4√2−3【解题思路】利用基本不等式得x+y+xy−3≥(√xy+3)(√xy−1)、x+y+xy−3≤(x+y)24+(x+y)−3分别求xy、x+y的最值，注意取等条件；由题设有x=3−yy+1且0<y<3代入x+4y、x+2y，结合基本不等式求最值，注意取等条件.【解答过程】由x+y+xy−3≥xy+2√xy−3=(√xy+3)(√xy−1)，当且仅当x=y=1时等号成立，即(√xy+3)(√xy−1)≤0，又x>0，y>0，故0<√xy≤1，仅当x=y=1时等号成立，所以0<xy≤1，故xy的最大值是1，A错误；由x+y+xy−3≤(x+y)24+(x+y)−3，当且仅当x=y=1时等号成立，所以(x+y)24+(x+y)−3≥0，即(x+y+6)(x+y−2)≥0，又x>0，y>0，则x+y≥2，仅当x=y=1时等号成立，故x+y的最小值是2，B正确；由x+y+xy−3=0，x>0，y>0，可得x=3−yy+1，且0<y<3，所以x+4y=3−yy+1+4y=4y2+3y+3y+1=4(y+1)2−5(y+1)+4y+1=4(y+1)+4y+1−5≥2√4(y+1)⋅4y+1−5=3，当且仅当y+1=1，即y=0、x时等号成立，故x+4y>3，C错误；同上，x+2y=3−yy+1+2y=2y2+y+3y+1=2(y+1)2−3(y+1)+4y+1=2(y+1)+4y+1−3≥2√2(y+1)⋅4y+1−3=4√2−3，当且仅当y+1=√2，即y=√2−1、x=2√2−1时等号成立，故x+2y≥4√2−3，D错误；故选：B.【变式5-2】（2023上·江苏·高一专题练习）下列说法正确的是（）A．若x>2，则函数y=x+1x−1的最小值为3B．若x>0，y>0，3x +1y=5，则5x+4y的最小值为5C．若x>0，y>0，x+y+xy=3，则xy的最小值为1D．若x>1，y>0，x+y=2，则1x−1+2y的最小值为3+2√2【解题思路】选项A：将函数变形再利用基本不等式进行判断最值即可，选项B：由基本不等式进行判断即可，选项C：结合换元法与基本不等式求最值进行判断即可，选项D：对式子进行变形得到1+yx−1+2(x−1)y+2，再利用基本不等式进行判断即可．【解答过程】解：选项A：y=x+1x−1=x−1+1x−1+1⩾2√x−1·1x−1+1=3，当且仅当(x−1)2=1时可以取等号，但题设条件中x>2，故函数最小值取不到3，故A错误；选项B：若x>0，y>0，3x +1y=5，则5x+4y=15(3x+1y)(5x+4y)=15(19+5xy+12yx)⩾15(19+2√5xy·12yx)=19+4√155，当且仅当5xy=12yx时不等式可取等号，故B错误；选项C：3−xy=x+y⩾2√xy⇒xy+2√xy−3⩽0当且仅当x=y时取等号，令√xy=t(t⩾0)，t2+2t−3⩽0，解得−3⩽t⩽1，即0<√xy⩽1，故xy的最大值为1，故C错误；选项D：x+y=2，(x−1)+y=1，1 x−1+2y=(1x−1+2y)·[(x−1)+y]=1+yx−1+2(x−1)y+2⩾3+2√yx−1·2(x−1)y=3+2√2，当且仅当y=√2x−√2时取等号，又因为x+y=2，故{x=√2y=2−√2时等号成立，即1x−1+2y最小值可取到3+2√2，故D正确．故选：D．【变式5-3】（2023上·广东中山·高三校考阶段练习）设正实数x,y满足x+2y=3，则下列说法错误的是（）A．yx +3y的最小值为4B．xy的最大值为98C．√x+√2y的最大值为2D．x2+4y2的最小值为92【解题思路】根据基本不等式以及“1”的妙用判断各选项.【解答过程】对于A，yx +3y=yx+x+2yy=yx+xy+2≥2√yxxy+2=4，当且仅当x=y=1时取等号，故A正确；对于B，xy=12⋅x⋅2y≤12×(x+2y2)2=12×94=98，当且仅当x=2y，即x=32,y=34时取等号，故B正确；对于C，(√x+√2y)2=x+2y+2√2xy≤3+2√2×98=3+3=6，则√x+√2y≤√6，当且仅当x=2y，即x=32,y=34时，故C错误；对于D，x2+4y2=(x+2y)2−4xy≥9−4×98=92，当且仅当x=32,y=34时取等号，故D正确.故选：C.【题型6 多次使用基本不等式求最值】【例6】（2023·河南·校联考模拟预测）已知正实数a，b，满足a+b≥92a +2b，则a+b的最小值为（）A．5B．52C．5√2D．5√22【解题思路】先根据基本不等式求出(92a +2b)(a+b)≥252.然后即可根据不等式的性质得出(a+b)2≥(9 2a +2b)(a+b)≥252，列出两个等号同时成立的条件，即可得出答案.【解答过程】由已知可得，a>0，b>0，a+b>0.因为(92a +2b)(a+b)=92+2+9b2a+2ab≥2√9b2a×2ab+132=6+132=252，当且仅当9b2a =2ab，即2a=3b时等号成立.所以，(a+b)2≥(92a +2b)(a+b)≥252，当且仅当{2a=3ba+b=92a+2b，即{a=3√22b=√2时，两个等号同时成立.所以，a+b≥3√22+√2=5√22.故选：D.【变式6-1】（2023·山东菏泽·统考一模）设实数x,y满足x+y=1，y>0，x≠0，则1|x|+2|x|y的最小值为（）A．2√2−1B．2√2+1C．√2−1D．√2+1【解题思路】分为x>0与x<0，去掉绝对值后，根据“1”的代换，化简后分别根据基本不等式，即可求解得出答案.【解答过程】当x>0时，1|x|+2|x|y=x+yx+2xy=yx+2xy+1≥2√yx⋅2xy+1=2√2+1，当且仅当yx =2xy，即x=√2−1，y=2−√2时等号成立，此时有最小值2√2+1；当x<0时，1|x|+2|x|y=x+y−x+−2xy=y−x+−2xy−1≥2√y−x⋅−2xy−1=2√2−1.当且仅当y−x =−2xy，即x=−1−√2，y=2+√2时等号成立，此时有最小值2√2−1.所以，1|x|+2|x|y的最小值为2√2−1.故选：A.【变式6-2】（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）已知实数x,y,z>0，满足xy+zx =2，则当4y+1z取得最小值时，y+z的值为（）A．1B．32C．2D．52【解题思路】两次应用基本不等式，根据两次不等式等号成立的条件列方程求解即可.【解答过程】因为实数x,y,z>0，满足xy+zx=2，所以xy+zx =2≥2√xy×zx=2√yz⇒yz≤1，当且仅当z=yx2时，yz=1，所以4y +1z≥2√4y×1z=2√4yz≥2√41=4，当且仅当4y=1z且yz=1时，等号成立；所以当yz=1且4y =1z时，4y+1z取得最小值4，此时解得{y=2z=12⇒y+z=52，故选：D.【变式6-3】（2023上·辽宁大连·高一期末）若a>0,b>0,a+b=1，则a2+3aba+2b +2b+1−1b的最大值为（）A．√2B．2−√2C．3−√2D．3−2√2【解题思路】由已知可得a2+3aba+2b +1b+1=3−2b−1b+1，进而有a2+3aba+2b+2b+1−1b=3−2b−1b，结合基本不等式求最大值，注意取值条件.【解答过程】由题设，a2+3aba+2b +1b+1=a(a+3b)+1b+1=a(2b+1)+1b+1，而a=1−b>0，b>0，所以a(2b+1)+1b+1=2+b−2b2b+1=1+1−2b2b+1=1+2(1−b2)−1b+1=3−2b−1b+1，所以a2+3aba+2b +2b+1−1b=3−2b−1b且0<b<1，又2b+1b ≥2√2b⋅1b=2√2，当且仅当b=√22时取等号，所以a2+3aba+2b +2b+1−1b≤3−2√2，当且仅当a=1−√22,b=√22时取等号，即目标式最大值为3−2√2.故选：D.【题型7 实际应用中的最值问题】【例7】（2023上·四川眉山·高一校联考期中）如图，高新区某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为400m2的十字形地域.计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为8400元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为420元/m2；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为160元/m2.设总造价为y（单位：元），AD长为x（单位：m）.(1)用x表示AM的长度，并求x的取值范围；(2)当x为何值时，y最小？并求出这个最小值.【解题思路】（1）由题意可得矩形AMQD的面积，即可得出AM=400−x24x；（2）先表示出总造价y，再由基本不等式求解即可.【解答过程】（1）由题意可得，矩形AMQD的面积为S AMQD=400−x24,因此AM=400−x24x，∵AM>0，∴0<x<20.（2）y=8400x2+420×(400−x2)+160×4×12×（400−x24x）2=8000x2+3200000x2+152000，0<x<20，由基本不等式y ≥2√8000x 2×3200000x 2+152000=472000，当且仅当8000x 2=3200000x 2，即x =2√5时，等号成立，故当x =2√5时，总造价y 最小，最小值为472000元.【变式7-1】（2023上·山东·高一校联考期中）某校地势较低，一遇到雨水天气校园内会有大量积水，不但不方便师生出行，还存在严重安全问题.为此学校决定利用原水池改建一个深3米，底面面积16平方米的长方体蓄水池.不但能解决积水问题，同时还可以利用蓄水灌溉学校植被.改建及蓄水池盖儿固定费用800元，由招标公司承担.现对水池内部地面及四周墙面铺设公开招标.甲工程队给出的报价如下：四周墙面每平方米150元，地面每平方米400元.设泳池宽为x 米.(2≤x ≤6) (1)当宽为多少时，甲工程队报价最低，并求出最低报价. (2)现有乙工程队也要参与竞标，其给出的整体报价为900a (x+2)x元(a >0)（整体报价中含固定费用）.若无论宽为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a 的取值范围.【解题思路】（1）根据题意，列出函数关系式，结合基本不等式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，列出不等式，分离参数，再结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【解答过程】（1）设甲工程队的总造价为y 元，则 y =150×2(x +16x)×3+400×16+800 =900(x +16x )+7200≥900×2√x ⋅16x+7200 =14400当且仅当x =16x时，即x =4时等号成立.即当宽为4m 时，甲工程队的报价最低，最低为14400元. （2）由题意可得900(x +16x)+7200>900a (x+2)x.对∀x ∈[2,6]恒成立.即a <x 2+8x+16x+12令y =x 2+8x+16x+2=(x +2)+4x+2+4∵2≤x ≤6,∴4≤x +2≤8. 令t =x +2,t ∈[4,8]，则y=t+4t+4在[4,8]上单调递增.且t=4时，y min=9.∴0<a<9.即a的取值范围为(0,9).【变式7-2】（2023上·江苏苏州·高一校考阶段练习）因新冠疫情零星散发，某实验中学为了保障师生安全，同时考虑到节省费用，拟借助校门口一侧原有墙体建造一间高为4米、底面积为24平方米、背面靠墙体的长方体形状的隔离室．隔离室的正面需开一扇安全门，此门高为2米，且此门高为此门底的13．因此室的后背面靠墙，故无需建墙费用，但需粉饰．现学校面向社会公开招标，甲工程队给出的报价：正面为每平方米360元，左右两侧面为每平方米300元，已有墙体粉饰为每平方米100元，屋顶和地面以及安全门报价共计12000元．设隔离室的左右两侧面的底边长度均为x米(1≤x≤5)．(1)记y为甲工程队整体报价，求y关于x的关系式；(2)现有乙工程队也要参与此隔离室建造的竞标，其给出的整体报价为4800t(x+1)x元，问是否存在实数t，使得无论左右两侧底边长为多少，乙工程队都能竞标成功（注：整体报价小者竞标成功），若存在，求出t满足的条件；若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）根据题意分别计算正面和侧面以及其它各面的费用，相加，可得答案;（2）由题意可得不等关系240(184x +10x)−3120>4800t(x+1)x,对任意x∈[1,5]都成立，进而转化t<10x2−13x+18420(x+1)恒成立，采用换元法，结合基本不等式求得答案.【解答过程】（1）由题意，隔离室的左右两侧的长度均为x米(1≤x≤5)，则底面长为24x米，正面费用为360(4×24x−2×6),故y=360(4×24x −2×6)+4×24x×100+2×300×4x+1200=240(184x+10x)−3120，1≤x≤5.（2）由题意知, 240(184x +10x)−3120>4800t(x+1)x，对任意x∈[1,5]都成立,即t<10x2−13x+18420(x+1)对任意x∈[1,5]恒成立，令k=x+1,则x=k−1,k∈[2,6]，。
高考数学压轴专题人教版备战高考《不等式》难题汇编及答案
【最新】数学《不等式》复习资料一、选择题1．已知函数1()cos 2(2)sin 2f x m x m x =+-，其中12m ≤≤，若函数()f x 的最大值记为()g m ，则()g m 的最小值为（ ） A ．14-B ．1 C．D1【答案】D 【解析】 【分析】2()sin (2)sin 2mf x m x m x =-+-+，令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2my mt m t =-+-+，结合12m ≤≤可得()221122(2)31144t m m m g m y m m m=-+-===+-，再利用基本不等式即可得到答案.【详解】 由已知，221()(12sin )(2)sin sin (2)sin 22m f x m x m x m x m x =-+-=-+-+， 令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2my mt m t =-+-+，因为12m ≤≤， 所以对称轴为2111[0,]222m t m m -==-∈，所以 ()221122(2)3111144t m m m g m y m m m =-+-===+-≥=，当且仅当m =. 故选：D 【点睛】本题考查换元法求正弦型函数的最值问题，涉及到二次函数的最值、基本不等式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.2．在平面直角坐标系中，不等式组20{200x y x y y +-≤-+≥≥，表示的平面区域的面积是（ ）A．B ．4C．D ．2【答案】B【解析】试题分析：不等式组表示的平面区域如图所示的三角形ABC 及其内部．可得，A （2，0），B （0，2），C （-2，0），显然三角形ABC 的面积为．故选B ．考点：求不等式组表示的平面区域的面积．3．设变量,x y 满足约束条件0211x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则目标函数5z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D 【解析】 【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案. 【详解】根据约束条件0211x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩画出可行域如图：目标函数z ＝5x +y 可化为y ＝-5x +z ，即表示斜率为-5，截距为z 的动直线，由图可知，当直线5z x y =+过点()1,0A 时，纵截距最大，即z 最大，由211x y x y +=⎧⎨+=⎩得A （1，0）∴目标函数z ＝5x +y 的最小值为z ＝5 故选D【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4．已知0a b >>，则下列不等式正确的是（ ） A ．ln ln a b b a ->- B ．|||a b b a < C ．ln ln a b b a -<- D ．|||a b b a ->【答案】C 【解析】 【分析】利用特殊值代入法，作差比较法，排除不符合条件的选项，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，因为0a b >>，取,1a e b ==，则ln 0,ln a b b a e -=-=，1a b e b a e ==-，可排除A 、D 项；取11,49a b ==711812a b b a ==，可排除B 项； 因为满足0a b >>条件的排除法，可得A 、B 、D 是错误的.故选：C . 【点睛】本题主要考查了不等式与不等关系，以及不等式的的基本性质，其中解答中合理赋值，代入排除是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.5．在ABC V 中，,,a b c 分别为A ∠，B Ð，C ∠所对的边，函数22323()13a c ac f x x bx x +-=+++的导函数为()f x '，当函数[]()ln ()g x f x '=的定义域为R 时，B Ð的取值范围为( )A ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．0,6π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】首先求出函数的导数，依题意即2()320f x x bx '=+>恒成立，所以()222(2)40b a c ∆=-+-<，再结合余弦定理即可求出B 的取值范围；【详解】解：因为32()1f x x bx x =+++，所以2()32f x x bx '=++()g x 的定义域为R，则有()222(2)40b a c ∆=-+-<，即222a c b +->，结合余弦定理，222cos 2a c b B ac +-=>，故0,6B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：D. 【点睛】本题考查导数的计算，对数函数的定义域以及不等式恒成立问题，属于中档题.6．已知变量,x y 满足2402400x y x y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则24x y --的最小值为（ ）AB ．8 CD ．163【答案】D 【解析】 【分析】24x y --=表示点(,)x y 到直线240x y --=的距离，作出可行域，数形结合即可得到答案. 【详解】因为24x y --=，所以24x y --可看作为可行域内的动点到直线240x y --=点44(,)33A 到直线240x y --=的距离d 最小，此时224424333512d -⨯-==+， 所以24x y --1653d =. 故选：D. 【点睛】本题考查目标函数的含绝对值的线性规划问题，考查学生数形结合与转化与化归的思想，是一道中档题.7．对于函数()f x ，若12,x x 满足()()()1212f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点”．若实数a 与b 和+a b 与c 为函数()3xf x =的两对“线性对称点”，则c的最大值为（ ） A ．3log 4 B ．3log 41+C ．43D ．3log 41-【答案】D 【解析】 【分析】根据已知有333b c a b c a ++++=，可得13131ca b+=+-，只需求出3a b +的最小值，根据333a b a b +=+，利用基本不等式，得到3a b +的最小值，即可得出结论.【详解】依题意知，a 与b 为函数()3xf x =的“线性对称点”，所以33323323a b a b a b a b ++=+=≥⋅ 故34a b +≥（当且仅当a b =时取等号）.又+a b 与c 为函数()3xf x =的“线性对称点，所以333b c a b c a ++++=，所以3143131313a b ca b a b +++==+≤--，从而c 的最大值为3log 41-. 故选:D. 【点睛】本题以新定义为背景，考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式，理解新定义含义，正确求出c 的表达式是解题的关键，属于中档题.8．以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直，且该三棱锥外接球的表面积为8π，则以A 为顶点，以面BCD 为下底面的三棱锥的侧面积之和的最大值为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．7 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意补全几何图形为长方体，设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ，即可由外接球的表面积求得对角线长，结合侧面积公式即可由不等式求得面积的最大值. 【详解】将以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直的三棱锥补形成为一个长方体，如下图所示：长方体的体对角线即为三棱锥A BCD -外接球的直径， 设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ， 因为三棱锥外接球的表面积为8π， 则284R π=π， 解得2R =，所以体对角线为2，所以2228x y z ++=，111222S yz xy xz =++侧面积 由于()()()()222222240x y zS x y y x x z ++-=-+-+-≥，所以416S ≤，故4S ≤，即三棱锥的侧面积之和的最大值为4，故选：B. 【点睛】本题考查了空间几何体的综合应用，三棱锥的外接球性质及应用，属于中档题.9．若直线过点，则的最小值等于（ ）A ．5B ．C ．6D ．【答案】C 【解析】∵直线过点，∴，∴，∵，∴，，，当且仅当时，等号成立，故选C.点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．10．若变量x ，y 满足2,{239,0,x y x y x +≤-≤≥则x 2+y 2的最大值是A ．4B ．9C ．10D ．12【答案】C 【解析】试题分析：画出可行域如图所示，点A （3，-1）到原点距离最大，所以22max ()10x y +=，选C.【考点】简单线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间的距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学知识解决实际问题的能力.11．若圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >）始终平分圆2C ：()()22112x y +++=的周长，则12m n+的最小值为（ ） A ．92B ．9C ．6D ．3【答案】D 【解析】 【分析】把两圆的方程相减，得到两圆的公共弦所在的直线l 的方程，由题意知圆2C 的圆心在直线l 上，可得()123,213m n m n +=∴+=，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】把圆2C ：()()22112x y +++=化为一般式，得22220x y x y +++=，又圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >），两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线l 的方程：()()12150m x n y ++++=.Q 圆1C 始终平分圆2C 的周长，∴圆心()21,1C --在直线l 上，()()12150m n ∴-+-++=，即()123,213m n m n +=∴+=. ()112225331212121n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=+⨯=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+=++ ⎪⎝⎝⎭⎭()115522333⎛≥+=+⨯= ⎝. 当且仅当2322m n n m mn +=⎧⎪⎨=⎪⎩即1m n ==时，等号成立.12m n ∴+的最小值为3. 故选：D . 【点睛】本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式，属于中档题.12．若实数x ，y ，对任意实数m ，满足()()222122211x y m x y m x y m ⎧-≤-⎪⎪+≥+⎨⎪-+-≤⎪⎩，则由不等式组确定的可行域的面积是( ) A ．14πB ．12πC ．πD ．32π 【答案】A 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，然后求解可行域的面积． 【详解】实数x ，y ，对任意实数m ，满足2221222(1)()1x y m x y m x y m --⎧⎪++⎨⎪-+-⎩………的可行域如图：可行域是扇形，14个圆，面积为：211144ππ⨯⨯=．故选：A ．【点睛】本题考查线性规划的应用，考查数形结合以及计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．13．已知x ，y 满足约束条件02340x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a =（ ）A ．2B ．12C ．-2D ．12-【答案】A 【解析】【分析】由约束条件可得到可行域，根据图象可知最优解为()2,0A ，代入可构造方程求得结果. 【详解】由约束条件可知可行域如下图阴影部分所示：当直线:l y ax z =-+经AOB V 区域时，当l 过点()2,0A 时，在y 轴上的截距最大， 即()2,0A 为最优解，42a ∴=，解得：2a =. 故选：A . 【点睛】本题考查线性规划中的根据目标函数的最值求解参数值的问题，关键是能够通过约束条件准确得到可行域，根据数形结合的方式确定最优解.14．过抛物线24x y =的焦点F 作倾斜角为锐角的直线l ，与抛物线相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则直线OM 的斜率的取值范围是（ ） A ．22⎫+∞⎪⎪⎣⎭B ．[)1,+∞C ．)2,⎡+∞⎣D ．[)2,+∞【答案】C 【解析】 【分析】假设直线l 方程，代入抛物线方程，利用韦达定理和直线方程求得M 点坐标，利用两点连线斜率公式和基本不等式可求得结果. 【详解】由抛物线方程知：()0,1F ，设直线l 的方程为()10y kx k =+>，代入抛物线方程得：2440x kx --=， 设点()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，则124x x k +=，M Q 为线段AB 的中点，12022x x x k +∴==， M Q 在直线l 上，200121y kx k ∴=+=+，200211122222OMy k k k k x k k k +∴===+≥⋅=22k =时取等号）， 即直线OM 斜率的取值范围为)2,⎡+∞⎣.故选：C .【点睛】本题考查直线与抛物线综合应用问题，涉及到利用基本不等式求解最值的问题；关键是能够结合韦达定理，利用一个变量表示出所求的斜率，进而利用基本不等式求得最值.15．已知点()2,1A ，O 是坐标原点，点(), P x y 的坐标满足：202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，设z OP OA =⋅u u u r u u u r ，则z 的最大值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】【分析】画出约束条件的可行域，转化目标函数的解析式，利用目标函数的最大值，判断最优解，代入约束条件求解即可.【详解】 解：由不等式组202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩可知它的可行域如下图：Q ()2,1A ，(), P x y∴2z OP OA x y =⋅=+u u u r u u u r ，可图知当目标函数图象经过点()1,2B 时，z 取最大值，即24z x y =+=.故选：C.【点睛】本题考查线性规划的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用，属于中档题.16．若两个正实数x ，y 满足142x y +=，且不等式2m 4y x m +<-有解，则实数m 的取值范围是 ( )A ．(1,2)-B ．(,2)(1,)-∞-+∞UC ．()2,1-D ．(,1)(2,)-∞-+∞U【答案】D【解析】【分析】 将原问题转化为求最值的问题，然后利用均值不等式求最值即可确定实数m 的取值范围.【详解】 若不等式24y x m m +<-有解，即2()4min y m m x ->+即可， 142x y +=Q ，1212x y∴+=， 则121221112121124422482y y x y x x x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+=+=+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当28x y y x =，即2216y x =，即4y x =时取等号，此时1x =，4y =， 即()24min y x +=， 则由22m m ->得220m m -->，即()()120m m +->，得2m >或1m <-，即实数m 的取值范围是()(),12,-∞-⋃+∞，故选D ．【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，利用不等式有解转化为最值问题是解决本题的关键．17．已知在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos b C c B =，则111tan tan tan A B C ++的最小值为（ ）A B C D ．【答案】A【解析】【分析】先根据已知条件，把边化成角得到B,C 关系式，结合均值定理可求.【详解】∵2cos cos b C c B =，∴2sin cos sinCcos B C B =，∴tan 2tan C B =.又A B C π++=，∴()()tan tan tan A B C B C π=-+=-+⎡⎤⎣⎦22tan tan 3tan 3tan 1tan tan 12tan 2tan 1B C B B B C B B +=-=-=---， ∴21112tan 111tan tan tan 3tan tan 2tan B A B C B B B-++=++27tan 36tan B B =+. 又∵在锐角ABC ∆中, tan 0B >,∴27tan 36tan B B +≥=，当且仅当tan 2B =时取等号，∴min111tan tan tan 3A B C ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，故选A. 【点睛】本题主要考查正弦定理和均值定理，解三角形时边角互化是求解的主要策略，侧重考查数学运算的核心素养.18．已知直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（ ） A ．12k > B ．16k <-或12k > C ．62k -<< D ．1162k -<< 【答案】D【解析】【分析】 联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，可解得交点坐标(,)x y ，由于直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，可得00x y >⎧⎨>⎩，解得即可． 【详解】 解：联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得24216121k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，Q 直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限， ∴2402161021k k k k -⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩，解得：1162k -<<． 故选：D ．【点睛】本题考查两直线的交点和分式不等式的解法，以及点所在象限的特征．19．某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是( )A ．169πB ．89πC ．1627πD ．827π 【答案】A【解析】【分析】根据条件求出圆柱的体积，利用基本不等式研究函数的最值即可．【详解】解：设圆柱的半径为r ，高为x ，体积为V ， 则由题意可得323r x -=， 332x r ∴=-， ∴圆柱的体积为23()(3)(02)2V r r r r π=-<<， 则33333163331616442()(3)()9442939r r r V r r r r πππ++-=-=g g g g …． 当且仅当33342r r =-，即43r =时等号成立． ∴圆柱的最大体积为169π， 故选：A ．【点睛】本题考查圆柱的体积和基本不等式的实际应用，利用条件建立体积函数是解决本题的关键，是中档题．20．设x ，y 满足102024x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m的最小值为（ ）A ．125B ．125-C ．32D ．32- 【答案】B【解析】【分析】先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可．【详解】 解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，由a b ⊥r r 得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，由242x y x y +=⎧⎨=⎩，得8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴84,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴416122555m y x =-=-=-， 故选：B.【点睛】本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．。
新高考(2019)高一数学提高练习3.2基本不等式专题辅导(1)公式的理解
基本不等式专题辅导（1）一、基本不等式ab ≤a ＋b 2成立的条件a>0，b>0；等号成立的条件a ＝b. 二、常用的几个重要不等式(1)a 2＋b 2≥2ab(取等号的条件是当且仅当a ＝b)． (2)22a b ab +⎛⎫ ⎪⎝⎭≤(a ，b ∈R )． (3))2(a 2＋b 2)≥(a ＋b)2⇒a 2＋b 22≥(a ＋b 2)2(a ，b ∈R) (4)b a ＋a b≥2(a ，b 同号且不为零) 上述四个不等式等号成立的条件都是a ＝b. 三、四个“平均数”的关系：若*,R b a ∈，则2211222b a b a ab b a +≤+≤≤+,其中211a b +称为几何平均数，2a b +（一）、基本不等式的理解1.若R b a ∈，，且0>ab ，则下列不等式中，恒成立的是（ ）A ．ab b a 222>+B ．ab b a 2≥+C ．ab b a 211>+D ．2≥+ba ab 2.已知b a ，为互不相等的正实数，则下列四个数中最大的数是（ ）A ．b a +4B ．b a 11+C ．ab 2D ．228ba + 3.设b a <<0，则下列不等式中正确的是（ ）A ．2ab ab b a <<< B ．b b a ab a <+<<2 C ．2b a b ab a +<<< D ．b b a a ab <+<<2 4.若200=+>>b a b a ，，，则下列不等式对一切满足条件的b a ，恒成立的是 ①1≤ab ；②2≤+b a ；③222≥+b a ；④333≥+b a ；⑤211≥+ba ．5．下列不等式一定成立的是（ ）A ．132x x +≥B ．22132x x +≥C ．()()2213121x x ++≥+D ．()()2213121x x -+≥- 6．若0<a<1,0<b<1，且b a ≠，则a+b ，ab 2 ，2ab ，22b a + 中最大的一个是（ ）A ．22b a +B ．ab 2C ．2abD ．a+b 7. 下列命题中：①若222=+b a ，则a+b 的最大值为2；②当a ＞0，b ＞0时，4211≥++ab b a ； ③14-+=x x y 的最小值为5； ④当且仅当a,b 均为正数时，2≥+ab b a 恒成立. 其中是真命题的是__________．(填上所有真命题的序号)8．下列不等式中，正确的是( )A ．a ＋4a ≥4B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥a ＋b 2 D ．x 2＋3x 2≥2 39．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( )A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3 10．已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则在①a 2＋b 22≥ab ；②b a ＋a b ≥2；③ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ； ④22222b a b a +≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+这四个不等式中，恒成立的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．411.《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB.设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b 2≥ab(a>0，b>0) B ．a 2＋b 2≥2ab(a>0，b>0) C.2ab a ＋b ≤ab(a>0，b>0) D .a ＋b 2≤a 2＋b 22(a>0，b>0)12．给出下列不等式：①x ＋1x ≥2； ②|1|xx +≥2； ③x 2＋y 2xy ≥2； ④x 2＋y 22>xy ； ⑤|x ＋y|2≥|xy|. 其中正确的是________(写出序号即可)．13．下列推导过程，正确的为 （ ）A ．因为a 、b 为正实数，所以22=⋅≥+b a a b b a a b B ．因为R x ∈，所以2111x >+ C ．A<0，所以4424a a a a+≥⋅= D ．因为x 、R y ∈，xy<0，所以22x y x y x y y x y x y x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--+-≤--⋅-=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 14．对于a>0，b>0，下列不等式中不正确的是（ ）A ．b a ab 112+<B ．222b a ab +≤C ．22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a abD ．22222b a b a +≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 15．已知0a ≠,下列各不等式恒成立的是A ．12a a +> B ．12a a +≥ C ．12a a +≤- D ．12a a+≥。
高考数学压轴专题人教版备战高考《不等式》难题汇编含解析
数学《不等式》高考复习知识点一、选择题1．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，若s 满足不等式()()222323f s s f s s -+--+„，则s 的取值范围是（ ）A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B ．[3,2]--C ．[2,3)-D ．[3,2]-【答案】D 【解析】 【分析】由已知可分析出()f x 在R 上为减函数且()y f x =关于原点对称，所以不等式等价于()()222323f s s f s s -+-+-„，结合单调性可得222323s s s s -+≥-+-，从而可求出s 的取值范围. 【详解】解：因为对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，所以()f x 在R 上为减函数；又(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =关于原点对称， 则()()()222232323f s s f s s f s s -+--+=-+-„，所以222323s s s s -+≥-+-，整理得260s s +-≤，解得32s -≤≤. 故选：D. 【点睛】本题考查了函数的单调性，考查了函数的对称性，考查了一元二次不等式的求解.本题的关键是由已知得到函数的单调性和对称性，从而将不等式化简.2．某企业生产甲、乙两种产品需用到A,B 两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用总量如下表所示.若生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得的最大利润为( )A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元【答案】D 【解析】 【分析】根据条件列可行域与目标函数，结合图象确定最大值取法，即得结果. 【详解】设每天甲、乙产品的产量分别为x 吨、y 吨由已知可得3212,28,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩目标函数34z x y =+，作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，可得目标函数在点P 处取得最大值，由28,3212,x y x y +=⎧⎨+=⎩得()2,3P ，则max 324318z =⨯+⨯=（万元）.选D.【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.3．若,x y 满足约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则122yx⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的最小值为( )A ．116B ．18C ．1D ．2【答案】A 【解析】 【分析】画出约束条件所表示的可行域，结合指数幂的运算和图象确定出目标函数的最优解，代入即可求解．【详解】由题意，画出约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域，如图所示，其中可得(3,1)A -，(5,1)B ，(3,3)C ，因为1222yx x y -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，令z x y =-，当直线y x z =-经过A 时，z 取得最小值， 所以z 的最小值为min 314z =--=-，则1222yx x y -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭的最小值为41216-=. 故选：A ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．4．在ABC V 中，,,a b c 分别为A ∠，B Ð，C ∠所对的边，函数22323()1a c ac f x x bx x +-=+++的导函数为()f x '，当函数[]()ln ()g x f x '=的定义域为R 时，B Ð的取值范围为( )A ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．0,6π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】首先求出函数的导数，依题意即2223()320a c acf x x bx +-'=+>恒成立，所以()222(2)430b a c ac ∆=-+-<，再结合余弦定理即可求出B 的取值范围；【详解】解：因为22323()1a c acf x x bx x +-=+++，所以2223 ()32a c ac f x xbx+-'=++，若()g x的定义域为R，则有()222(2)430b ac ac∆=-+-<，即2223a cb ac+->，结合余弦定理，2223cos2a c bBac+-=>，故0,6Bπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：D.【点睛】本题考查导数的计算，对数函数的定义域以及不等式恒成立问题，属于中档题.5．已知点()4,3A，点B为不等式组260yx yx y≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示平面区域上的任意一点，则AB的最小值为（）A．5B．45C．5D．25【答案】C【解析】【分析】作出不等式组所表示的平面区域，标出点A的位置，利用图形可观察出使得AB最小时点B的位置，利用两点间的距离公式可求得AB的最小值.【详解】作出不等式组260yx yx y≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如下图所示：联立260x yx y-=⎧⎨+-=⎩，解得22xy=⎧⎨=⎩，由图知AB 的最小值即为()4,3A 、()2,2B 两点间的距离， 所以AB=故选：C ． 【点睛】本题考查目标函数为两点之间的距离的线性规划问题，考查数形结合思想的应用，属中等题．6．已知α，β均为锐角，且满足()sin 2cos sin αβαβ-=，则αβ-的最大值为（ ）A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式，将已知等式化简得到tan 3tan αβ=，由α，β均为锐角，则,22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，要求出αβ-的最大值，只需求出tan()αβ-的最大值，利用两角差的正切公式，将tan()αβ-表示为tan β的关系式，结合基本不等式，即可求解. 【详解】 由()sin 2cos sin αβαβ-=整理得()sin 2cos sin αβαβ-=，即sin cos cos sin 2cos sin αβαβαβ-=，化简得sin cos 3cos sin αβαβ=，则tan 3tan αβ=， 所以()2tan tan 2tan 2tan 11tan tan 13tan 3tan tan αββαβαββββ--===+++，又因为β为锐角，所以tan 0β>，根据基本不等式2133tan tan ββ≤=+，当且仅当tan β=时等号成立， 因为,22ππαβ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，且函数tan y x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则αβ-的最大值为6π. 故选:B .【点睛】本题考查两角差最值，转化为求三角函数最值是解题的关键，注意应用三角恒等变换、基本不等式求最值，考查计算求解能力，属于中档题.7．已知ABC V 是边长为1的等边三角形，若对任意实数k ，不等式||1k AB tBC +>u u u r u u u r恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）.A ．,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭D ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算，将目标式转化为关于k 的二次不等式恒成立的问题，由0<n ，即可求得结果. 【详解】因为ABC V 是边长为1的等边三角形，所以1cos1202AB BC ⋅=︒=-u u u r u u u r ， 由||1k AB tBC +>u u u r u u u r 两边平方得2222()2()1k AB kt AB BC t BC +⋅+>u u u r u u u r u u u r u u u r，即2210k kt t -+->，构造函数22()1f k k tk t =-+-， 由题意，()22410t t ∆--<=，解得t <或t >. 故选：B. 【点睛】本题考查向量数量积的运算，以及二次不等式恒成立问题求参数范围的问题，属综合中档题.8．以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直，且该三棱锥外接球的表面积为8π，则以A 为顶点，以面BCD 为下底面的三棱锥的侧面积之和的最大值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．7 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意补全几何图形为长方体，设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ，即可由外接球的表面积求得对角线长，结合侧面积公式即可由不等式求得面积的最大值. 【详解】将以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直的三棱锥补形成为一个长方体，如下图所示：长方体的体对角线即为三棱锥A BCD -外接球的直径， 设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ， 因为三棱锥外接球的表面积为8π， 则284R π=π， 解得2R =，所以体对角线为2，所以2228x y z ++=，111222S yz xy xz =++侧面积 由于()()()()222222240x y zS x y y x x z ++-=-+-+-≥，所以416S ≤，故4S ≤，即三棱锥的侧面积之和的最大值为4， 故选：B. 【点睛】本题考查了空间几何体的综合应用，三棱锥的外接球性质及应用，属于中档题.9．变量,x y 满足约束条件1{2314y x y x y ≥--≥+≤，若使z ax y =+取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的取值集合是（ ） A ．{3,0}- B ．{3,1}-C ．{0,1}D ．{3,0,1}-【答案】B 【解析】若0a =，结合图形可知不合题设，故排除答案A ，C ，D ，应选答案B ．10．某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在A B 、两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时. A B 、两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（ ） A ．320千元 B ．360千元C ．400千元D ．440千元【答案】B 【解析】设生产甲、乙两种产品x 件,y 件时该企业每月利润的最大值，由题意可得约束条件：2348069600,0,x y x y x y x N y N+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥≥⎪⎪∈∈⎩， 原问题等价于在上述约束条件下求解目标函数2z x y =+的最大值. 绘制目标函数表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知： 目标函数在点()150,60B 处取得最大值：max 2215060360z x y =+=⨯+=千元. 本题选择B 选项.点睛：含有实际背景的线性规划问题其解题关键是找到制约求解目标的两个变量，用这两个变量建立可行域和目标函数，在解题时要注意题目中的各种相互制约关系，列出全面的制约条件和正确的目标函数．11．函数log (3)1a y x =-+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny +-=上，其中·0m n >，则41m n+的最小值为（） A ．16 B ．24C ．50D ．25【答案】D【分析】由题A （4，1），点A 在直线上得4m+n ＝1，用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值． 【详解】令x ﹣3＝1，解得x ＝4，y ＝1，则函数y ＝log a （x ﹣3）+1（a ＞0且a≠1）的图象恒过定点A （4，1）， ∴4m+n ＝1， ∴41m n +=（41m n +）（4m+n ）＝16+14n 4m m n++=17+8＝25，当且仅当m ＝n 15=时取等号，故则41m n +的最小值为25， 故选D ． 【点睛】本题考查均值不等式，在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握．12．已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断. 【详解】22x y +≥Q 且224x y+≤ ，422x y ∴≤≤⇒+≤ ， 等号成立的条件是x y =，又x y +≥Q ，0,0x y >>21xy ∴≤⇒≤ ， 等号成立的条件是x y =,2241x y xy ∴+≤⇒≤，反过来，当12,3x y ==时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件.【点睛】本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型.13．在区间[]0,1内随机取两个数m ､n ，则关于x 的方程20x nx m -+=有实数根的概率为（ ） A ．18B ．17C ．16D ．15【答案】A 【解析】 【分析】根据方程有实根可得到约束条件，根据不等式组表示的平面区域和几何概型概率公式可求得结果. 【详解】若方程20x nx m -+=有实数根，则40n m ∆=-≥.如图，400101n m m n -≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域与正方形0101m n ≤≤⎧⎨≤≤⎩的面积之比即为所求的概率，即111124118S P S ⨯⨯===⨯阴影正方形.故选：A . 【点睛】本题考查几何概型中面积型概率问题的求解，涉及到线性规划表示的平面区域面积的求解，关键是能够根据方程有实根确定约束条件.14．已知2(0,0)x y xy x y +=>>，则2x y +的最小值为（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．7【答案】B 【解析】 【分析】由已知等式得到211x y +=，利用()2122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭可配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值.【详解】由2x y xy +=得：211x y+= ()212222225529x y x y x y x y x y y x y x ⎛⎫∴+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭（当且仅当22x y y x =，即x y =时取等号）2x y ∴+的最小值为9故选：B【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活对等于1的式子进行应用，配凑成符合基本不等式的形式.15．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程()223221)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( )A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④ 【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式得224x y +≤，可判断②；224x y +=和()3222216x y x y +=联立解得222x y ==可判断①③；由图可判断④.【详解】()2223222216162x y x yx y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭， 解得224x y +≤（当且仅当222x y ==时取等号），则②正确；将224x y +=和()3222216x y x y +=联立，解得222x y ==， 即圆224x y +=与曲线C相切于点，(，(，， 则①和③都错误；由0xy <，得④正确.故选：B.【点睛】本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.16．实数,x y 满足020360x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则2x y -的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到答案.【详解】如图所示，画出可行域和目标函数， 2z x y =-，则2y x z =-，z 表示直线与y 轴截距的相反数，根据平移知：当3,3x y ==时，2z x y =-有最大值为3.故选：C .【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.17．已知实数x y ，满足1030350x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则()22(4)2z x y =-+-的最小值为（ ） A 5B ．5 C ．3 D ．52【答案】D【解析】【分析】由题意作出其平面区域，22(4)(2)z x y =-+-可看成阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方，求阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方最小值即可．【详解】 解：由题意作出实数x ，y 满足1030350x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩……„平面区域， 22(4)(2)z x y =-+-可看成阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方，则22(4)(2)z x y =-+-的最小值为P 到350x y --=的距离的平方， 解得，2222523(1)d -⎛⎫+==； 所以min 52z =故选：D ．【点睛】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，用到了表达式的几何意义的转化，属于中档题．18．设m ，n 为正数，且2m n +=，则1312n m n ++++的最小值为（ ） A ．32 B ．53 C ．74 D ．95【答案】D【解析】【分析】根据2m n +=，化简135112(1)(2)n m n m n ++=++++⋅+，根据均值不等式，即可求得答案；【详解】当2m n +=时， Q 131111212n m n m n ++=++++++ 3511(1)(2)(1)(2)m n m n m n ++=+=++⋅++⋅+ Q 21225(1)(2)24m n m n +++⎛⎫+⋅+≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当12m n +=+时，即3122m n ==，取等号， ∴139125n m n ++≥++. 故选：D【点睛】本题主要考查了根据均值不等式求最值，解题关键是灵活使用均值不等式，注意要验证等号的是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.19．在三角形ABC 中，给出命题:p “2ab c >”，命题:q “3C π<”，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-，整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>，求出C 范围，即可判断充分性，取4a =，7b =，6c =，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项.【详解】充分性：由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-，所以2ab c >，即222cos ab a b ab C >+-， 整理得，2212cos a b C ab++>，由基本不等式，222a b ab +≥=， 当且仅当a b =时等号成立，此时，12cos 2C +>，即1cos 2C >，解得3C π<， 充分性得证；必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291cos 247562C +-==>⨯⨯， 故3C π<，但228ab c =<，故3C π<推不出2ab c >.故必要性不成立；故p 是q 的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.20．若实数x ，y 满足40,30,0,x y x y y --≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则2x y y +=的最大值为（ ）A ．512B ．8C ．256D ．64【答案】C【解析】【分析】 作出可行域，如下图阴影部分所示，令x y m +=，可知要使2m z =取到最大值，只需m 取到最大值即可，根据图像平移得到答案.【详解】作出可行域，如下图阴影部分所示，令x y m +=，可知要使2m z =取到最大值，只需m 取到最大值即可， 观察图像可知，当直线x y m +=过点()6,2A 时m 取到最大值8， 故2x y y +=的最大值为256.故选：C ．【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.。
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《不等式》1
一、选择题。
1．若R c b a ∈,,，且b a >，则下列不等式一定成立的是 （ ）
A ．c b c a -≥+
B ．bc ac >
C ．
02
>-b
a c
D ．0)(2≥-c b a
2．若0<<b a ，则下列不等关系中，不能成立的是
（ ）
A ．b
a
11> B ．a
b
a 11>
- C ．3
3b a > D ．32
32b a >
3．若实数a 、b 满足a+b=2，是b
33+a
的最小值是 （ ）
A ．18
B ．6
C ．23
D ．243
4．如果不等式ax 2+bx+c<0 (a≠0)的解集是φ,那么 ( )
A ．a<0，且b 2-4ac>0
B ．a<0且b 2-4ac≤0
C ．a>0且b 2-4ac≤0
D ．a>0且b 2-4ac>0
5．若角α，β满足－2
π＜α＜2
π，－2
π＜β＜2
π则2α＋β的取值范围是 （ ）
A ．（－π，0）
B ．（－π，π）
C ．（－2
3π，2
π）
D ．（－π2
3，2
3π）
6．有以下四个命题，其中真命题为 （ ） A ．原点与点（2,3）在直线２x ＋y+3＝０异侧 B ．点（2,3）与点（3,2）在直线x －y=0的同侧 C ．原点与点（2,1）在直线y －3x ＋2 =0的异侧 D ．原点与点（2,1）在直线y －3x ＋2 =0的同侧 7．不等式3x －2y －6>0表示的区域在直线3x －2y －6＝0 的 （ ） A ．右上方 B ．右下方 C ．左上方 D ．左下方
8．由⎪⎩
⎪
⎨⎧>>≤-+0004x y y x 所确定的平面区域内整点的个数是 （ ）
A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．6个
9．已知x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧-≥≤≤+11y x y y x ，Z=2x+y 的最大值是 （ ）
A ．－5
B ．
2
3 C ．3 D ．5
10．下列选项正确的是
A ．函数y=sin 2a+ 4/sin 2a 的最小值是 4
B ．函数y=sina+ 1/sina 的最小值是 2
C ．6+11>3+14
D ．58 > 312
二、填空题。
（4×4分=16分）
11、用三条直线x+2y=2，2x+y=2，x-y=3围成一个三角形，则三角形内部区域（不包括边界）
可用不等式表示为___________
12、已知：0＜x ＜1，则函数y=x （3－2x ）的最大值是___________ 13、若x >5/4 ，则y=4x －1+
-5
4x 1
的最小值是___________
14、某校伙食长期以面粉和大米为主食，而面食每100克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单
位，米食每100克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，学校要求给学生配制盒饭，每盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，设每盒盒饭需要面食x （百克），米
食y （百克）.用数学关系式表示上述要求的x,y: __________ 三、解答题。
（共44分）
15、比较下列各组中两个代数式的大小：
⑴x 2+3与3x ；
⑵已知a,b 为正数，且a ≠b ，比较a 3
+b 3
与a 2
b+ab
2
16、已知A={xㄧx2-3x-4<0 }，B={xㄧx2-4x+3>0 }，
求A∩B
17、不等式mx2－m x＋1>0，对任意实数x都成立，求m的取值范围。
18、某养鸡厂想筑一个面积为144平方米的长方形围栏。
围栏一边靠墙，筑成这样的围栏最少要用多少米铁丝网？此时利用墙多长？
19、某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型的汽车，若A厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车。
今欲制造40辆甲型车和乙型车，问这两家工厂各工作几小时，才能使所费的总工作时数最小
《不等式》单元测试1参考答案
一、选择题
二、填空题。
11、⎪⎩
⎪
⎨⎧<>+<+3y -x 2y 2x 22y x 12、
8
9 13、6 14、⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨⎧≥≥≥+≥+0y 0x 10
y 74x 83y 6x
三、解答题。
15、解：（1）x 2+3－3x （2）a 3 +b 3－（a 2b+ab 2）
= x 2－3x+
4
9－
49+3 =（a 3－a 2b ）+（b 3－ab 2） =（x －
2
3
）2 +
4
3＞0 = a 2（a －b ）+ b 2 (b －a )
∴ x 2+3＞3x =( a 2－b 2)( a －b ) =( a －b)2( a +b )
∵ a,b 为正数，且a ≠b ∴ ( a －b)2＞0, a +b ＞0 ∴ ( a －b)2( a +b ) ＞0 ∴ a 3 +b 3＞a 2b+ab 2 16、解：A={x ㄧx 2-3x-4<0 }={x ㄧ-1< x <4 }
B={x ㄧx 2-4x+3>0 }={x ㄧx >3或x <1} A ∩B={x ㄧ-1< x <4 }∩{x ㄧx >3或x <1} ={x ㄧ-1< x <1 或3< x <4}
17、解：当m=0时，1>0，不等式成立，∴ m=0
当m ≠0时,则有
⎩⎨⎧<∆>00m 即⎩⎨⎧<-=∆>0
402
m m m ⇒0<m<4 ∴m 的取值范围｛m ㄧ0≤m<4 ｝
18、解：设长方形围栏的长为x 米，宽为y 米，要用铁丝网s 米，则xy=144 S=x+2y ≥2xy 2=21442⨯=242(米)
当x=2y,即x=122, y=62时,等号成立，S min =242
∴筑成这样的围栏最少要用242米铁丝网,此时利用墙122米。
19、解：设A 厂工作x 小时，B 厂生产y 小时，总工作时数为T 小时，则它的目标函数为
T=x ＋y 且x ＋3y≥40 ，2x+y≥40 ，x≥0 ，y≥0 可行解区域如图，
由图知当直线l ：y ＝－x ＋T 过Q 点时，纵截距T 最小，
解方程组⎩
⎨⎧=+=+40y 2x 40
y 3x 得Q （16,8）
故A 厂工作16小时，B 厂工作8小时，可使所费的总工作时数最少。