常见分段函数问题求解策略

常见分段函数问题求解策略
【方法综述】
分段函数：(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.
分段函数是一类特殊的函数，有着广泛的应用，课本中并没有进行大篇幅的介绍，但是它是高考的必考内容，下面就常见分段函数问题解决方法举例说明．
【题型展示】
1．求分段函数的函数值
例1. 已知函数⎩⎨⎧>-≤+=)
0(2)
0(1)(2x x x x x f ，则[(1)]f f =
解：因为()21-=f ,所以[(1)]f f ()()51222
=+-=-=f .
解题策略 求分段函数的函数值时，关键是判断所给出的自变量所处的区间，再代入相应的解析式；另一方面，如果题目中含有多个分层的形式，则需要由里到外层层处理．
2．求解分段函数的解析式
例2.某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x (分钟)与相应话费y (元)之间的函数图象如图所示．则：(1)月通话为50分钟时，应交话费多少元；(2)求y 与x 之间的函数关系式．
解： (1)由题意可知当0＜x ≤100时，设函数的解：析式y ＝kx ，又因过点(100,40)，得解析式为y ＝2
5
x ，当月通话为50分钟时，0＜50＜100，
所以应交话费y ＝2
5
×50＝20(元)．
(2)当x ＞100时，设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b ，由图知x ＝100时，y ＝40；x ＝200时，y ＝60.
则有⎩⎪⎨
⎪⎧
40＝100k ＋b ，60＝200k ＋b ，
解：得⎩⎪⎨⎪⎧
k ＝15
，
b ＝20，
所以解：析式为y ＝1
5
x ＋20，
故所求函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
25x ，0＜x ≤100，
1
5x ＋20，x ＞100.
解题策略 以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现在试题中，解决此类问题
的关键是正确地理解：题目(或图象)给出的信息，确定合适的数学模型及准确的自变量的分
界点．
3.求分段函数的定义域、值域、画出分段函数的图象
例3.已知函数()|21|f x x =+.
（Ⅰ）用分段函数的形式表示该函数； （Ⅱ）在下边所给的坐标系中画出该函数的图象；并根据图象直接写出该函数的定义域、值域（不要求证明
).
x
y
O
【答案】（Ⅰ）121,2()121,2
x x f x x x ⎧
+≥-⎪⎪=⎨⎪--<-
⎪⎩ ；
（Ⅱ）图象见解：析，定义域：R ，值域：
[0,)+∞.
【解析】（Ⅰ）121,2()121,2
x x f x x x ⎧+≥-⎪⎪=⎨
⎪--<-⎪⎩
（Ⅱ）图象如下图：
观察得到定义域为R ，值域为[0,)+∞.
解题策略
（1）分段函数有几段，其图象就由几条曲线组成，作图的关键是根据定义域的不同分别由表达式作出其图象，作图时一要注意每段自变量的取值范围，二要注意判断函数图象每段端点的虚实．
（2）分段函数的定义域是各段函数解：析式中自变量取值集合的并集；分段函数的值域是各段函数值集合的并集．
【针对训练】
1．已知函数
则
的值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 1
【答案】A 【解析】 由题得f(-1)=.
故答案为：A
2. 已知符号函数sgn
= ,是R 上的增函数，
，则（ ）
A ． sgn sgn
B ． sgn - sgn
C ． sgn sgn
D ． sgn
- sgn
【答案】B 【解析】 当时，，由单调性：，此时，
当时，，此时：， 当时，
，由单调性：
，此时
，
所以.
故选B.
3.已知函数))((+∈N n n f 满足⎩⎨
⎧<+≥-=100
)],5([100
,3)(n n f f n n n f ，则=)1(f （ ）
A ．97
B ．98
C ．99
D ．100
【答案】B
【解析】∵,98)101()]104([)99(,97)100(====f f f f f
,
98)99()]102([)97(,97)100()]103([)98(======f f f f f f f f ,97)98()]101([)96(===f f f f 依此类推，得98)1()97()99(==⋅⋅⋅==f f f ，∴选B.
4．已知函数()()1,0
{11,02
ln x x f x x x +>=+≤，若m n <，且()()f m f n =，则n m -的取值
范围是（ ）
A . [)32ln2,2-
B . []32ln2,2-
C . []1,2e -
D . [
)1,2e - 【答案】A 【解析】
作出函数f (x )的图象如图， 若m <n ,且f (m )=f (n )，
则当ln (x +1)=1时，得x +1=e ，即x =e −1，则满足0<n ⩽e −1，−2<m ⩽0，
则ln (n +1)=
1
2
m +1,即m =2ln (n +1)−2，则n −m =n +2−2ln (n +1)， 设h (n )=n +2−2ln (n +1)，0<n ⩽e −1则()2121
'1111
n n h n n n n +--=-==
+++ ， 当h ′(x )>0得1<n ⩽e −1，
当h ′(x )<0得0<n <1，
即当n=1时,函数h(n)取得最小值h(1)=1+2−2ln2=3−2ln 2， 当n =0时,h (0)=2−2ln 1=2，
当n =e −1时,h (e −1)=e −1+2−2ln (e −1+1)=1+e −2=e −1<2，则3−2ln 2⩽h (n )<2， 即n −m 的取值范围是[3−2ln 2,2)，本题选择A 选项.
5.已知函数 的图象如下图所示，则 的解：析式是
________________．
【答案】
【解析】依据函数的图象，将函数的解：析式写为分段函数的形式为：
.
6.已知函数，若
，则实数的值为__________．
【答案】5
【解析】由题可得：故答案为5.
7.已知f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －2，x ＞10，
f (f (x ＋6))，x ＜10，求f (5)的值．
【答案】11
【解析】∵5＜10，∴f (5)＝f (f (5＋6))＝f (f (11))， ∵11＞10，∴f (f (11))＝f (9)，
又∵9＜10，∴f (9)＝f (f (15))＝f (13)＝11.即f (5)＝11.
8. 已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x ，x ≥0
x 2
，x ＜0，作出此函数的图象．
【答案】见解析.
【解析】由于分段函数有两段，所以这个函数的图象应该由两条线组成，一条是抛物线的左侧，另一条是射线，画出图象如图所示．
9．画出分段函数的图象，并求
，
，
的值．
【答案】，
，
【解析】由题意画出分段函数的图象如下图所示．
由分段函数的解：析式可得：
，
，．
10.如图，已知底角为o 45的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7cm ，腰长为cm
22，当一条垂直于底边BC
（垂足为F ）的直线l 从左至右移动（与梯形ABCD 有公共点）时，直线l 把梯形分成两部分，令x BF =，
（1）试写出直线l 左边部分的面积)(x f 与x 的函数．
（2）已知}4)(|{<=x f x A ，}32|{+<<-=a x a x B ,若B B A =⋃，求a 的取值范围．
【答案】（1）⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≤<+--≤<-≤<=75,10)7(2152,2220,
212
2
x x x x x x y （2）}21|{≤≤a a
【解析】（1）函数解：析式为⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≤<+--≤<-≤<=75,10)7(2152,2220,
212
2
x x x x x x y
（2）}30|{,4)(<<=∴<x x A x f ，
由B A ⊆，得⎩⎨
⎧≤-≥+0
23
2a a 21≤≤∴a
∴a 的取值范围为}21|{≤≤a a ．。