高中数学-分段函数的几种常见题型及解法

分段函数常见题型及解法

【解析】

3 •求分段函数的最值

4x 3 (x 0)

例3•求函数f(x) x 3 (0 x 1)的最大值

x 5 (x 1)

分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内 有不同的对应法则的函数

它是一个函数，却又常常被学生误认为是几个函数

；它的定义域是各段函数定义域的并

集，其值域也是各段函数值域的并集 •由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知 识的程度的考察上有较好的作用 ，时常在高考试题中“闪亮”登场，笔者就几种具体的题 型做了一些思考，解析如下：

1 •求分段函数的定义域和值域

例1.求函数f(x)

值域•

【解析】 2x 2 x [ 1,0];

1

x x (0,2);的定义域、

3 x [2，)；

作图，

利用“数形结合”易知f (x)的定义域为

[1，)，值域为(1,3].

2 •求分段函数的函数值

|x 1| 2，(|x|

例2 . ( 05年浙江理)已知函数 f(x)

1 1 x 2

(|x|

1)

1) 求f[®

因为 f(i)

11 1| 2 所以 f[f(b] f(

1 4 1 ( i)

2 13

【解析】当 X 0 时,f max (X ) f(0)

3,当 0 X 1 时，f max (X )

f(1) 4,

当 X 1 时, X 5

15 4,综上有 f max (x)

4.

4 •求分段函数的解析式

例4 .在同一平面直角坐标系中，函数y f (X )和y g(X )的图象关于直线 y X 对 称，现将y g(x)的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移1个单位，所得 的图象是由两条线段组成的折线(如图所示)

，则函数f (x)的表达式为()

5 •作分段函数的图像

例5•函数y e IM |X 1|的图像大致是()

2x 2 (1

X 0)

A. f(x)

2

X 2

(0 X 2)

2x 2 (1

X 0)

B. f(x)

2

X 2

(0 X 2)

2x 2 (1 X 2)

C. f(x)

X

2

1 (

2 X 4)

2x 6 (1 X 2)

D. f(x)

X

2

3 (2

X 4)

【解析】

将其图象沿X 轴向右平移2个单位,

再沿y 轴向下

平移 1 个单位

得解析式为y 今(x 2) 1 1

4 1

f(x) 2x 2 (x [ 1,0]),当 x [0,1]时,

y 2x 1,将其图象沿x 轴向右平移2

个单位，再沿y 轴向下平移

1个单位,

得解析式y 2(x

2) 1 1 2x 4,

所以

f(x) 2x 2 (x [0,2])

综上可得f(x)

2x 2 ( 1 x 0) ■2 2

(0 x 2)

故选A

当 X [ 2,0]时，y 1 x 1

6 •求分段函数得反函数

【解析】

设x 0, 则x

0,所以 f( x) 3 x 1

,又因为f (x)是定义在R 上的奇函数

所以f ( x)

f (x), 且 f (0) 0,

所以f(x)

1 3 x ,因此

x

3 1 (x 0)

Iog 3(x 1) (x 0)

f(x)

(x 0), 从而可得 g(x) 0

(x 0).

1 3 x (x 0)

Iog 3(1 x)(x 0)

7•判断分段函数的奇偶性

【解析】

0, x 0 , f ( x) ( x)2( x 1)

x 2(x 1) f (x)

例6已知y

f(x)是定义在R 上的奇函数， 且当x

0时，f(x)

3x 1 ,设

f(x)得反函数为y

g(x), 求g(x)的表达式.

例7 •判断函数 f(x)

x 2(x 1)

x 2(x 1)(x

(x

0)

的奇偶性.

0)

x 0,

f( x)(

x)2( x 1) x 2(x 1)

f (x),

f( 0) f(0) 0,

x

D

因此,对于任意x R 都有f( x) f(x),所以f(x)为偶函数.

&判断分段函数的单调性

9 •解分段函数的方程

10 •解分段函数的不等式

2 x 1 (x 0)

例11 •设函数f (x)

1

x 2 (x 0)

例8•判断函数f(x)

3

(

x x (x

x (x

0)

的单调性.

0)

【解析】

显然f (x)连续•当x 0时,

' 2

f (x) 3x 1 1恒成立，所以f (x)是单调递增函

数，当x 0时，f '(x) 2x 0恒成立，f (x)也是单调递增函数

所以f(x)在R

上是单调递增函数；

或画图易知f (x)在R 上是单调递增函数

例9 •写出函数 f(x) |1 2x| |2 x|的单调减区间.

3x 【解析】f (x)

3x 1

1 (x

( (x 1 2

彳x

2)

) 2)

，

画图易知单调

减区间为(

值为

例10.(01年上海)设函数

f(x)

2 x

log 81 x x (

x (1,

,1] )

1

则满足方程f(x) 的x 的

4

【解析】

7，则 2 x 22

,1], 所以x 2 (舍去)，若log 81 x

1

则 x 814,解得 x 3 (1,

)， 所以x