分段函数的几种常见题型及解法好

分段函数的几种常见题型及解法

1．求分段函数的定义域和值域

例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x x

x x +∈-⎧⎪

=-∈⎨⎪∈+∞⎩

的定义域、值域.

【解析】

作图, 利用“数形结合”易知()f x 的定义域为

[1,)-+∞, 值域为(1,3]-.

2．求分段函数的函数值

例2．（05年浙江理）已知函数2

|1|2,(||1)

()1,(||1)1x x f x x x --≤⎧⎪

=⎨>⎪+⎩求12[()]

f f . 【解析】

因为311222()|1|2f =--=-, 所以31

222

3214

[()]()1()13

f f f =-=

=+-.

3．求分段函数的最值

例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤⎧⎪

=+<≤⎨⎪-+>⎩

的最大值.

【解析】当0x ≤时, max ()(0)3f x f ==, 当01x <≤时, max ()(1)4f x f ==, 当1x >时, 5154x -+<-+=, 综上有max ()4f x =.

4．求分段函数的解析式

例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对

称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ）

222(10)

.()2(02)x

x x A f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 222(10)

.()2(02)x

x x B f x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 222(12)

.()1(24)x

x x C f x x -≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 2

26(12)

.()3(24)x

x x D f x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 【解析】

当[2,0]x ∈-时, 121y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下平移

1

个单位, 得解析式为11

22(2)111

y x x =-+-=-, 所以()22([f x x x =+∈-, 当[0,1]x ∈时, 21y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2

个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式2(2)1124y x x =-+-=-, 所以

1

()2([0,2])

f x x x =+∈, 综上可得2

22(10)

()2(02)x x x f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩, 故选A .

5．作分段函数的图像

例5．函数|ln ||1|x y e x =--的图像大致是（ ）

A

y

x

C

D

6．求分段函数得反函数

例6已知()y f x =是定义在R 上的奇函数, 且当0x >时, ()31x f x =-, 设

()f x 得反函数为()y g x =, 求()g x 的表达式.

【解析】

设0x <, 则0x ->, 所以()31x f x --=-, 又因为()f x 是定义在R 上的奇函数, 所以()()f x f x -=-, 且(0)0f =, 所以()13x f x -=-, 因此

31(0)()0(0)13(0)

x x x f x x x -⎧->⎪

==⎨⎪-<⎩

, 从而可得33log (1)(0)

()0

(0)log (1)(0)x x g x x x x +>⎧⎪==⎨⎪--<⎩.

7．判断分段函数的奇偶性

例7．判断函数2

2(1)(0)

()(1)(0)

x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩的奇偶性.

【解析】

当0x >时, 0x -<, 22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---+=-=, 当0x =时,

(0)(0)0f f -==, 当0x <, 0x ->, 22()()(1)(1)()

f x x x x x f x -=---=-+=因此, 对于任意x R ∈都有()()f x f x -=, 所以()f x 为偶函数.

8．判断分段函数的单调性

例8．判断函数32(0)

()(0)x x x f x x

x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的单调性.

【解析】

显然()f x 连续. 当0x ≥时, '2()311f x x =+≥恒成立, 所以()f x 是单调递增函数, 当0x <时, '()20f x x =->恒成立, ()f x 也是单调递增函数, 所以()f x 在R 上是单调递增函数; 或画图易知()f x 在R 上是单调递增函数.

例9．写出函数()|12||2|f x x x =++-的单调减区间.

【解析】121231()()3(2)

31(2)x x f x x x x x -+≤-⎧⎪

=+-<<⎨⎪-≥⎩

, 画图易知单调减区间为12(,]

-∞-.

9．解分段函数的方程

例10．（01年上海）设函数812(,1]()log (1,)

x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩, 则满足方程1

()4f x =的x 的

值为

【解析】 若14

2x -=, 则222x

--=, 得2(,1]x =∉-∞, 所以2x =（舍去）, 若1814log x =,

则1

4

x =, 解得3(1,)x =∈+∞, 所以3x =即为所求.

10．解分段函数的不等式

例11．设函数1221(0)

()(0)x x f x x

x -⎧-≤⎪

=⎨⎪>⎩, 若

0()1f x >, 则0x 得取值范围是（ ）

.(1,1)A - .(1,)B -+∞ .(,2)(0,)C -∞-⋃+∞ .(,1)(1,)D -∞-⋃+∞

【解析1】

x

x

y