2019届苏教版(理科数学) 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 单元测试

(三十三） 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

[练基础小题——强化运算能力]

1．不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

x ≥0，x ＋3y ≥4，

3x ＋y ≤4

所表示的平面区域的面积等于________．

解析：平面区域如图中阴影部分所示．

解⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得A (1,1)，易得B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎫0，43，|BC |＝4－43＝83.∴S △ABC ＝12×8

3×1＝4

3

. 答案：4

3

2．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪

⎧

x －y ≤0，x ＋y ≤1，

x ≥0，

则z ＝x ＋2y 的最大值为________．

解析：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．作直线x ＋2y ＝0并上下平移，易知当直线过点A (0,1)时，z ＝x ＋2y 取最大值，即z max ＝0＋2×1＝2.

答案：2

3．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x －y ＋2≥0，y ＋2≥0，

x ＋y ＋2≥0，

则(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为________．

解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，由题意可知点P (－2，－3)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－2－3＋2|2＝3

2

，所以(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为

⎝⎛⎭⎫322＝92

.

答案：9

2

4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x ≥1，x ＋y －4≤0，

x －3y ＋4≤0，

则目标函数z ＝3x －y 的最大值为

________．

解析：根据约束条件作出可行域如图中阴影部分所示，∵z ＝3x －y ，∴y ＝3x －z ，当该直线经过点A (2,2)时，z 取得最大值，即z max ＝3×2－2＝4.

答案：4

5．(2018·常州月考)已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x －y ≥0，x ＋y ≥0，

x ≤1，则y －⎝⎛⎭⎫12x

的最大值为

________．

解析：令z ＝y －⎝⎛⎭⎫12x ，作出不等式组对应的区域，作出指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ，

平移函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象，可知当函数y ＝⎝⎛⎭

⎫12x ＋z 的图象经过点A 时z 取最大值．由⎩

⎪⎨⎪⎧

x －y ＝0，x ＝1，得A (1,1)，所以x ＝y ＝1时，y －⎝⎛⎭⎫12x 取最大值1

2. 答案：1

2

[练常考题点——检验高考能力]

一、填空题

1．(2018·东台中学月考)在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋y －1≥0，x －1≤0，

ax －y ＋1≥0(a 为常数)

所表示的平面区域的面积等于2，则a ＝________.

解析：

不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋y －1≥0，x －1≤0，

ax －y ＋1≥0，

所围成的区域如图所示．

则A (1,0)，B (0,1)，C (1,1＋a )，且a ＞－1， ∵ S △ABC ＝2，∴ 1

2(1＋a )×1＝2，解得a ＝3.

答案：3

2．(2018·江苏八市高三质检)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x ≥2，x ＋y ≤4，

－2x ＋y ＋c ≥0，目标函数z

＝6x ＋2y 的最小值是10，则z 的最大值是________．

解析：

由z ＝6x ＋2y ，得y ＝－3x ＋z

2，作出不等式组所表示可行域的大致图形如图中阴影部分

所示，由图可知当直线y ＝－3x ＋z

2

经过点C 时，直线的纵截距最小，即z ＝6x ＋2y 取得最

小值10，由⎩⎪⎨⎪⎧ 6x ＋2y ＝10，x ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝2，y ＝－1，

即C (2，－1)，将其代入直线方程－2x ＋y ＋c ＝0，得c ＝5，即直线方程为－2x ＋y ＋5＝0，平移直线3x ＋y ＝0，当直线经过点D 时，直

线的纵截距最大，此时z 取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋y ＋5＝0，x ＋y ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝3，

y ＝1，

即D (3,1)，将点D 的坐标代入目标函数z ＝6x ＋2y ，得z max ＝6×3＋2＝20.

答案：20

3．(2017·浙江高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x ≥0，x ＋y －3≥0，

x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是

________．

解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所

示，由z ＝x ＋2y ，得y ＝－1

2x ＋z 2

，

∴z 2是直线y ＝－1

2x ＋z 2

在y 轴上的截距，根据图形知，当直线y ＝－1

2x ＋z 2过A 点时，z 2取得最小值．由⎩

⎪⎨⎪⎧

x －2y ＝0，x ＋y －3＝0，得x

＝2，y ＝1，即A (2,1)，此时，z ＝4，∴z ＝x ＋2y 的取值范围是[4，＋∞)．

答案：[4，＋∞)