因式分解、分式及二次根式

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因式分解分式二次根式含解析-中考各地试题分类汇编

专题1.4 因式分解分式二次根式一、单选题1．【湖南省邵阳市2018年中考数学试卷】将多项式x﹣x3因式分解正确的是（）A． x（x2﹣1） B． x（1﹣x2） C． x（x+1）（x﹣1） D． x（1+x）（1﹣x）【答案】D【解析】【分析】直接提取公因式x，然后再利用平方差公式分解因式即可得出答案．【详解】x﹣x3=x（1﹣x2）=x（1﹣x）（1+x）．故选D．【点睛】本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式法是解题关键．2．【台湾省2018年中考数学试卷】已知某文具店贩售的笔记本每本售价均相等且超过10元，小锦和小勤在此文具店分别购买若干本笔记本．若小锦购买笔记本的花费为36元，则小勤购买笔记本的花费可能为下列何者？（）A． 16元 B． 27元 C． 30元 D． 48元【答案】D点睛：此题主要考查了质因数分解，正确得出笔记本的单价是解题关键．3．【湖南省郴州市2018年中考数学试卷】下列运算正确的是（）A． a3•a2=a6 B． a﹣2=﹣ C． 3﹣2= D．（a+2）（a﹣2）=a2+4【答案】C【解析】【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、负指数幂的性质、二次根式的加减运算法则、平方差公式分别计算即可得出答案．【详解】A、a3•a2=a5，故A选项错误；B、a﹣2=，故B选项错误；C、3﹣2=，故C选项正确；D、（a+2）（a﹣2）=a2﹣4，故D选项错误，故选C．【点睛】本题考查了同底数幂的乘除运算以及负指数幂的性质以及二次根式的加减运算、平方差公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．4．【河北省2018年中考数学试卷】若2n+2n+2n+2n=2，则n=（）A．﹣1 B．﹣2 C． 0 D．【答案】A【点睛】本题考查了乘法的意义以及同底数幂的乘法，熟知相关的定义以及运算法则是解题的关键.同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a m•a n=a m+n（m，n是正整数）．5．【湖北省孝感市2018年中考数学试题】已知，，则式子的值是（）A． 48 B． C． 16 D． 12【答案】D【解析】分析：先通分算加法，再算乘法，最后代入求出即可．详解：（x-y+）（x+y-）===（x+y）（x-y），当x+y=4，x-y=时，原式=4×=12，故选：D．点睛：本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．6．【湖南省邵阳市2018年中考数学试卷】据《经济日报》2018年5月21日报道：目前，世界集成电路生产技术水平最高已达到7nm（1nm=10﹣9m），主流生产线的技术水平为14～28nm，中国大陆集成电路生产技术水平最高为28nm．将28nm用科学记数法可表示为（）A．28×10﹣9m B． 2.8×10﹣8m C．28×109m D． 2.8×108m【答案】B【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．7．【四川省内江市2018年中考数学试卷】已知：﹣=，则的值是（）A． B．﹣ C． 3 D．﹣3【答案】C【解析】分析：已知等式左边两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，变形后即可得到结果．详解：∵﹣=，∴=，则=3，故选：C．点睛：此题考查了分式的化简求值，化简求值的方法有直接代入法，整体代入法等常用的方法，解题时可根据题目具体条件选择合适的方法，当未知的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式的各分式都有意义，且除数不能为0.8．【四川省内江市2018年中考数学试卷】小时候我们用肥皂水吹泡泡，其泡沫的厚度是约0.000326毫米,用科学记数法表示为（）A．毫米 B．毫米 C．厘米 D．厘米【答案】A点睛：此题考查了科学记数法—表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．9．【河北省2018年中考数学试卷】老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是（）A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁【答案】D【解析】【分析】根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断．【详解】∵=====，∴出现错误是在乙和丁，故选D．【点睛】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式乘除法的运算法则是解题的关键. 10．【四川省达州市2018年中考数学试】题二次根式中的x的取值范围是（）A． x＜﹣2 B．x≤﹣2 C． x＞﹣2 D．x≥﹣2【答案】D点睛：本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．11．【台湾省2018年中考数学试卷】算式×（﹣1）之值为何？（）A． B． C． 2- D． 1【答案】A【解析】分析：根据乘法分配律可以解答本题．详解：×（﹣1）=×﹣1=，故选：A．点睛：本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．12．【山东省聊城市2018年中考数学试卷】下列计算正确的是（）A． B．C． D．【答案】B点睛：本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算顺序和运算法则. 13．【湖南省张家界市2018年初中毕业学业考试数学试题】下列运算正确的是（）A． B． C． D．=【答案】D【解析】分析：根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；=a （a≥0）；完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘进行计算即可．详解：A、a2和a不是同类项，不能合并，故原选项错误；B、=|a|，故原选项错误；C、（a+1）2=a2+2a+1，故原选项错误；D、（a3）2=a6，故原选项正确.故选：D．点睛：此题主要考查了二次根式的性质、合并同类项、完全平方公式、幂的乘方，关键是掌握各计算法则和计算公式．二、填空题14．【山东省东营市2018年中考数学试题】分解因式：x3﹣4xy2=_____．【答案】x（x+2y）（x﹣2y）【解析】分析：原式提取x，再利用平方差公式分解即可．详解：原式=x（x2-4y2）=x（x+2y）（x-2y），故答案为：x（x+2y）（x-2y）点睛：此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．15．【湖南省郴州市2018年中考数学试卷】因式分解：a3﹣2a2b+ab2=_____．【答案】a（a﹣b）2．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．16．【湖南省怀化市2018年中考数学试题】因式分解：ab+ac=_____．【答案】a（b+c）【解析】分析：直接找出公因式进而提取得出答案．详解：ab+ac=a（b+c）．故答案为：a（b+c）．点睛：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．17．【河北省2018年中考数学试卷】若a，b互为相反数，则a2﹣b2=_____．【答案】0【解析】【分析】直接利用平方差公式分解因式进而结合相反数的定义分析得出答案．【详解】∵a，b互为相反数，∴a+b=0，∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=0，故答案为：0．【点睛】本题考查了公式法分解因式以及相反数的定义，正确分解因式是解题关键．18．【山东省威海市2018年中考数学试题】分解因式：﹣a2+2a﹣2=__．【答案】﹣（a﹣2）2【解析】分析：原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．详解：原式=﹣（a2﹣4a+4）=﹣（a﹣2）2，故答案为：﹣（a﹣2）2点睛：此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．19．【湖南省湘西州2018年中考数学试卷】要使分式有意义，则x的取值范围为_____．【答案】x≠﹣2【解析】【分析】根据分式有意义的条件可得x+2≠0，解这个不等式即可求出答案．【详解】由题意可知：x+2≠0，∴x≠﹣2，故答案为：x≠﹣2.【点睛】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件：分母不为0.20．【湖北省襄阳市2018年中考数学试卷】计算的结果是_____．【答案】【点睛】本题考查了同分母分式的加减法，熟练掌握同分母公式加减法的法则是解题的关键，注意结果要化成最简分式.21．【湖北省武汉市2018年中考数学试卷】计算的结果是_____．【答案】【解析】【分析】根据分式的加减法法则进行计算即可得答案．【详解】原式===，故答案为：.【点睛】本题考查分式的加减运算，熟练掌握分式加减的运算法则是解题的关键，本题属于基础题.22．【山东省滨州市2018年中考数学试题】若分式的值为0，则x的值为______．【答案】-3点睛：本题主要考查分式的值为0的条件，注意分母不为0．23．【新疆自治区2018年中考数学试题】如果代数式有意义，那么实数x的取值范围是_____．【答案】x≥1．【解析】分析：直接利用二次根式的定义分析得出答案．详解：∵代数式有意义，∴x-1≥0，解得，x≥1．∴实数x的取值范围是：x≥1．故答案为：x≥1．点睛：此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．24．【山东省烟台市2018年中考数学试卷】与最简二次根式5是同类二次根式，则a=_____．【答案】2【解析】分析：先将化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于a的方程，解出即可．详解：∵与最简二次根式5是同类二次根式，且=2，∴a+1=3，解得：a=2．故答案为2．点睛：本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．25．【黑龙江省哈尔滨市2018年中考数学试题】计算6﹣10的结果是_____．【答案】【解析】分析：首先化简，然后再合并同类二次根式即可．详解：原式=6-10×=6-2=4，故答案为：4．点睛：此题主要考查了二次根式的加减，关键是掌握二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．三、解答题26．【浙江省杭州市临安市2018年中考数学试卷】阅读下列题目的解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4（A）∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）（B）∴c2=a2+b2（C）∴△ABC是直角三角形问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：；（2）错误的原因为：；（3）本题正确的结论为：．【答案】（1）C；（2）没有考虑a=b的情况；（3）△ABC是等腰三角形或直角三角形．（2）错误的原因为：没有考虑a=b的情况，故答案为：没有考虑a=b的情况；（3）本题正确的结论为：△ABC是等腰三角形或直角三角形，故答案为：△ABC是等腰三角形或直角三角形．【点睛】本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，写出相应的结论，注意考虑问题要全面．27．【上海市2018年中考数学试卷】先化简，再求值：（﹣）÷，其中a=．【答案】原式=【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式化简求值的步骤是解题的关键.28．【吉林省长春市2018年中考数学试卷】先化简，再求值：，其中x=﹣1．【答案】【解析】【分析】根据分式的加法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】====x+1，当x=﹣1时，原式=﹣1+1=．【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式化简求值的方法是解答本题的关键.29．【云南省昆明市2018年中考数学试题】先化简，再求值：（+1）÷，其中a=tan60°﹣|﹣1|．【答案】原式=【解析】分析：根据分式的运算法则即可求出答案．详解：当a=tan60°-|-1|时，∴a=-1∴原式===.点睛：本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式运算法则.30．【黑龙江省哈尔滨市2018年中考数学试题】先化简，再求代数式（1﹣）÷的值，其中a=4cos30°+3tan45°．【答案】点睛：本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．31．【广西钦州市2018年中考数学试卷】计算：|﹣4|+3tan60°﹣﹣（）﹣1【答案】+2【解析】【分析】按顺序先进行绝对值的化简、特殊角的三角函数值、二次根式的化简、负指数幂的计算，然后再按运算顺序进行计算即可得出答案．【详解】|﹣4|+3tan60°﹣﹣（）﹣1=4+3﹣2﹣2=+2．【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及到特殊角的三角函数值、二次根式的化简、负指数幂的运算等，熟练掌握各运算的运算法则以及实数混合运算的运算法则是解题的关键.32．【江苏省徐州巿2018年中考数学试卷】计算：（﹣1）2008+π0﹣（）﹣1+．【答案】1【解析】【分析】按顺序分别进行乘方的运算、0次幂的运算、负指数幂的运算、立方根的运算，然后再按去处顺序进行运算即可.【详解】（﹣1）2008+π0﹣（）﹣1+=1+1﹣3+2=1．【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及到0次幂、负指数幂，熟练掌握0次幂的运算法则、负指数幂的运算法则以及实数混合运算的运算法则是解题的关键.33．【湖北省荆门市2018年中考数学试卷】先化简，再求值：（x+2+）÷，其中x=2．【答案】，4-2.【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则是解题的关键.34．【四川省达州市2018年中考数学试题】化简代数式：，再从不等式组的解集中取一个合适的整数值代入，求出代数式的值．【答案】0【解析】分析：直接将所给式子进行去括号，利用分式混合运算法则化简，再解不等式组，进而得出x的值，即可计算得出答案．点睛：此题主要考查了分式的化简求值以及不等式组解法，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．35．【湖南省邵阳市2018年中考数学试卷】计算：（﹣1）2+（π﹣3.14）0﹣|﹣2|【答案】【解析】【分析】按顺序先分别进行乘方的计算，零指数幂的运算、绝对值的化简，然后再按运算顺序进行计算即可.【详解】（﹣1）2+（π﹣3.14）0﹣|﹣2|=1+1-（2-）=1+1-2+=.【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．36．【湖北省随州市2018年中考数学试卷】先化简，再求值：，其中x为整数且满足不等式组．【答案】，.【解析】【分析】括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的乘除法运算，由x为整数且满足不等式组可以求得x的值，然后代入化简后的结果进行计算即可得答案.【详解】===，由得，2＜x≤3，∵x是整数，∴x=3，∴原式=.【点睛】本题考查分式的化简求值、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，熟练掌握分式的化简求值的方法是解答本题的关键.37．【山东省烟台市2018年中考数学试卷】先化简，再求值：（1+）÷，其中x满足x2﹣2x ﹣5=0．【答案】5点睛：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．38．【江苏省淮安市2018年中考数学试题】先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=﹣3．【答案】原式==﹣2．【解析】分析：原式利用分式混合运算顺序和运算法则化简，再将a的值代入计算可得．详解：原式===，当a=﹣3时，原式==﹣2．点睛：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．39．【贵州省（黔东南，黔南，黔西南）2018年中考数学试题】（1）计算：|﹣2|﹣2cos60°+（）﹣1﹣（2018﹣）0（2）先化简（1﹣）•，再在1、2、3中选取一个适当的数代入求值．【答案】（1）6；（2）-2（2）（1﹣）•，===，当x=2时，原式=．点睛：本题考查分式的化简求值、绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．40．【湖北省黄石市2018年中考数学试卷】先化简，再求值：．其中x=sin60°．【答案】【解析】分析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据三角函数值代入计算可得．详解：原式==，当x=sin60°=时，原式==．点睛：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．41．【江苏省盐城市2018年中考数学试题】先化简，再求值：，其中.【答案】原式=x-1=点睛：本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解，再进行通分或约分，得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值．42．【湖北省恩施州2018年中考数学试题】先化简，再求值：，其中x=2﹣1．【答案】【解析】分析：直接分解因式，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．详解：==，把x=2-1代入得，原式==．点睛：此题主要考查了分式的化简求值，正确进行分式的混合运算是解题关键．43．【新疆自治区2018年中考数学试题】先化简，再求值：（+1）÷，其中x是方程x2+3x=0的根．【答案】-2点睛：本题考查分式的化简求值、一元二次方程的解，解答本题的关键是明确分式的化简求值的计算方法．44．【山东省聊城市2018年中考数学试卷】先化简，再求值：，其中.【答案】-4【解析】分析: 首先计算括号里面的减法，然后再计算除法，最后再计算减法，化简后，再代入a的值可得答案.详解:原式====-当a=-时，原式=-4.点睛：此题主要考查了分式的化简求值，关键是掌握化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值.45．【四川省眉山市2018年中考数学试题】先化简，再求值：，其中x满足x2－2x－2=0.【答案】点睛：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．46．【湖南省常德市2018年中考数学试卷】先化简，再求值：，其中.【答案】【解析】【分析】括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的乘除运算，最后把数值代入化简后的结果进行计算即可得.【详解】原式=[+]×（x﹣3）2=×（x﹣3）2=x﹣3，当x=时，原式=﹣3=﹣．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．47．【湖南省常德市2018年中考数学试卷】计算：.【答案】-2.【解析】【分析】按顺序先分别进行零指数幂运算、绝对值化简、二次根式化简、负指数幂的运算，然后再按运算顺序进行计算即可得.【详解】原式=1﹣（2﹣1）+2﹣4，=1﹣2+1+2﹣4，=﹣2．【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等的运算．48．【2018年湖南省湘潭市中考数学试卷】先化简，再求值：（1+）÷．其中x=3．【答案】x+2，5点睛：本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．49．【江苏省泰州市2018年中考数学试题】（1）计算：π0+2cos30°﹣|2﹣|﹣（）﹣2；（2）化简：（2﹣）÷．【答案】（1）2﹣5；（2）【解析】分析：（1）先计算零指数幂、代入三角函数值，去绝对值符号、计算负整数指数幂，再计算乘法和加减可得；（2）根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．详解：（1）原式=1+2×﹣（2﹣）﹣4=1+﹣2+-4=2﹣5；（2）原式=,=，=．点睛：本题主要考查分式和实数的混合运算，解题的关键是掌握零指数幂、三角函数值、绝对值性质、负整数指数幂及分式的混合运算顺序和运算法则．50．【山东省菏泽市2018年中考数学试题】先化简，再求值：，其中，.【答案】7点睛：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．。

数学中的二次根式与分式方程

数学中的二次根式与分式方程二次根式是数学中的一种重要概念，与之相关的分式方程也是数学中一个常见且有挑战性的问题。

本文将介绍二次根式的定义、性质以及与分式方程的关系，并通过例题进行具体说明。

一、二次根式的定义与性质1. 定义：二次根式是形如√a 的数，其中 a 为非负实数。

其中，√a 可以理解为满足b^2 = a 的非负实数b。

在二次根式中，a 称为根式的被开方数，b 称为根式的值。

2. 性质：（1）二次根式的值是不唯一的，因为一个数的平方可能有两个相反的值。

（2）二次根式的乘法：√a * √b = √(a * b)。

即根式的乘积等于被开方数的乘积的二次根式。

（3）二次根式的除法：√a / √b = √(a / b)。

即根式的商等于被开方数的除法的二次根式。

二、分式方程的概念与解法1. 概念：分式方程是一个含有分式的方程，其中方程中至少有一个变量（未知数）存在于分式中。

2. 解法：解决分式方程的关键是将方程中的分式转化为整式，从而得到更简化的等式。

下面将介绍三种常见的解法。

（1）通分法：将方程中的所有分式的分母找出最小公倍数，并使每个分式的分母都等于最小公倍数，然后将方程两边同乘以最小公倍数，消去分母。

（2）消去法：通过观察可以将分式方程进行简化，将分子或分母中某些数值相同的项通过消去的方式，从而得到一个更简单的等式，进而求解。

（3）代换法：对于某些特定的分式方程，可以通过适当的代换使得方程更加简洁，然后利用已知的数学性质求解。

三、例题分析1. 题目：求解方程 3 / (x+2) + 2 / (x-1) = 1解法：采用通分法解此方程。

首先，找到最小公倍数为 (x+2)*(x-1)，然后将方程两边同时乘以(x+2)*(x-1)，得到 3*(x-1) + 2*(x+2) = (x+2)*(x-1)。

经过展开和整理后，得到 7x - 7 = x^2 + x - 2。

进一步整理后变为 x^2 - 6x + 5 = 0。

(完整版)八年级下册数学--二次根式知识点整理

二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。

2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。

如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。

不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。

如｛3、分式有意义的条件：分母≠04、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。

★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。

如25 可以写作 5 。

（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。

（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。

其中a≥0是 a 有意义的前提条件。

（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。

（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。

要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成 2232 。

练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ；（2）-18 ；（3）x2+1 ；（4）3-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜-12）X≥-2X＜5的解集为-2≤x＜5。

二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x ；（2）4x 2+4x+1二、二次根式的性质：二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意a （a ≥0）的性质a ≥0 （a ≥0）一个非负数的算术平方根是非负数。

（1）二次根式的非负性（a ≥0，a ≥0）应用较多，如：a+1 +b-3 =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x 的取值范围是x-a ≥0，a-x ≥0，解得x=a 。

中考数学考前满分计划：整式、分式、二次根式、因式分解(含解析)

○热○点○考○点○解○读一、整式1．单项式与多项式单独的一个数或一个字母也是单项式．2．合并同类项合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变，例如：合并同类项3x 2y 和4x 2y 为3x 2y +4x 2y =（3+4）x 2y =7x 2y ．3．整式的运算（1）整式的加减运算实际就是合并同类项．（2）整式的乘法：()()a b m n am an bm bn ++=+++．（3）整式的除法：单项式除以单项式时，把系数、相同字母的幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则照抄下来；多项式除以单项式时，用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．（4）乘法公式①平方差公式：22()()a b a b a b +-=-．②完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+．4．幂的运算性质（1）同底数幂相乘法则：m n m n a a a +⋅=（,m n 为整数，0a ≠）（2）幂的乘方法则：()m n mn a a =（,m n 为整数，0a ≠）（3）积的乘方法则：()n n n ab a b =（n 为整数，0ab ≠）整式、分式、二次根式、因式分解常识必背语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．5．用十字相乘法分解因式利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用（ax ＋b ）（cx ＋d ）乘法法则．它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式（2）对于二次项系数不是1的二次三项式（a ，b ，c 都是整数且a ≠0）来说，如果存在四个整数，使，，且，那么．一个式子是分式需满足的三个条件：q px x ++2))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++c bx ax ++22121,,,c c a a a a a =⋅21c c c =⋅21b c a c a =+1221c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=易错易混2．约分（1）分式约分时，要注意不注意符号导致的错误．（2）要注意约分不彻底导致的错误．（3）约分时需注意分式的分子、分母都是乘积形式时才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常先将分子、分母分解因式，再约分．（4）约分的结果是整式或最简分式．（5）分式的约分是恒等变形，约分前后分式的值不变．3．分解因式要彻底．方法必知1．同类项（1）几个项是不是同类项，一看所含字母是否完全相同．二看相同字母的指数是否相同．“二同”缺一不可．（2）同类项与单项式的系数无关，与字母顺序无关，几个常数项也是同类项．（3）同类项不一定是两项，也可以是三项，四项……但至少为两项．2．合并同类项（1）合并同类项时，注意合并的只是系数，字母部分不变，不要漏掉．（2）合并同类项时，注意各项系数的符号，尤其系数为负数时，不要遗漏负号，同时不要丢项．（3）如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项的结果为0．3．整式的加减的最后结果的要求：（1）不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；（2）一般按照某一字母的降幂或升幂排列；（3）不能出现带分数，带分数必须要化为假分数．4．整式的化简求值（1）化简求值题一般先按整式的运算法则进行化简，然后再代入求值．（2）在求整式的值时，代入负数时应用括号括起来，作为底数的分数也应用括号括起来5．约分时需要注意的问题：（1）如果分子、分母中至少有一个是多顶式，就应先分解因式，然后找出分子、分母的公因式，再约分．（2）注意发现分式的分子和分母的一些隐含的公因式，如a﹣5与5﹣a表面虽不相同，但通过提取“﹣”可发现含有公因式（a﹣5）．（3）当分式的分子或分母的系数是负数时，可利用分式的基本性质，把负号提到分式的前面．通分时确定了分母乘什么，分子也必须随之乘什么，要防止只对分母变形而忽略了分子，导致变形前后分式的值发生变化而出错．6．分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，在运算过程中要注意正确地运用运算法则，灵活地运用运算律，使运算尽量简便．7．因式分解（1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式；（2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式；（3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止；（4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算．8．提公因式法（1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式．（2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样．（3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数．9．十字相乘法这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数之积；（3）一次项系数是常数项的两个因数之和．◇以◇练◇带◇学1．（鞍山）下列运算正确的是( )A ．222(4)8ab a b =B ．22423a a a +=C ．642a a a ÷=D ．222()a b a b +=+2．（攀枝花）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．（邵阳）下列计算正确的是( )A ．623a a a =B ．235()a a =C ．22()()a ba ba b a b +=+++D ．01()13-=4．（内蒙古）下列运算正确的是( )A+=B ．236()a a -=C ．11223a a a+=D ．21133b ab a b÷=5．（成都）若23320ab b --=，则代数式2222(1)ab b a ba a b---÷的值为．6．x 的取值范围是．7．（扬州）分解因式：24xy x -= ．8．（内蒙古）分解因式：34x x -= ．9．（盐城）先化简，再求值：2(3)(3)(3)a b a b a b +++-，其中2a =，1b =-．10．（滨州）先化简，再求值：22421()244a a a a a a a a -+-÷---+，其中a 满足211(6cos6004a a --⋅+︒=．1．（官渡区校级模拟）按一定规律排列的式子：a ，32a ，54a ，78a ，916a ，⋯，则第2024个式子为( )A ．202320252a B ．20244047(21)a -C ．202340472a D ．202440492a 2．（济南一模）下列运算正确的是( )A ．22a b ab+=B ．2222a b a b a b-=C ．238()a a =D ．84222a a a ÷=3．（金山区二模）单项式22a b -的系数和次数分别是( )A ．2-和2B ．2-和3C ．2和2D ．2和34．（龙岗区模拟）下列计算正确的是( )A ．236a a a ⋅=B ．2323a a a +=C ．2234(3)218ab ab a b -⋅=-D ．326(2)3ab ab b ÷-=-5．（中山市校级一模）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是( )A ．2()a a b a ab+=+B ．23()3a ab a a b +-=+-C ．22282(4)ab a a b -=-D ．228(2)(4)a a a a --=+-6．（钱塘区一模）下列因式分解正确的是( )A ．241(41)(41)a a a -=+-B ．225(5)(5)a a a -+=+-C ．22269(3)a ab b a b --=-D ．22816(8)a a a -+=-7．（新乡一模）化简2422a a a ---的结果是( )A ．2a +B ．2a -C ．12a +D ．12a -8．（东莞市校级模拟）分式23x x --的值为0时，x 的值是( )A ．0x =B ．2x =C ．3x =D ．2x =或3x =9．（碑林区校级一模）先化简，再求值：2[(2)(2)(2)](4)a b b a b a a --+-÷，其中12a =，2b =．10．（龙湖区校级一模）先化简，再求值：2344(111x x x x -+-÷++，其中3x =．1．按一定规律排列的单项式：3x ，54x -，79x ，916x -，⋯，第n 个单项式是( )A ．1221(1)n n n x ---B ．1221(1)n n n x ++-C ．1221(1)(1)n n n x ---+D ．1221(1)(1)n n n x ++-+2．下列运算正确的是( )A ．22(4)16x x -=-B ．325x y xy +=C ．432x x x ÷=D ．2224()xy x y =3．下列语句正确的是( )A ．5-不是单项式B ．a 可以表示负数C ．25a b -的系数是5，次数是2D ．221a ab ++是四次三项式4．下列因式分解正确的一项是( )A ．222()x y x y +=+B ．24(2)(2)x x x -=+-C ．2221(1)x x x --=-D ．242(2)xy x xy x +=+5．要使分式11x x -+有意义，则x 应满足的条件是( )A ．1x ≠-B ．1x ≠C ．1x <-D ．1x >-6．下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )AB C D7．计算：0|1tan 60|(2024-︒+．8．先化简，再求值：2344(111x x x x -+-÷++，其中3x =．9．先化简，再求值：2(2)(4)a a a -++，其中a =．10．先化简，再求值：(2)(2)4()a b a b a a b -+--，其中2a =-，1b =．1．【答案】C【分析】根据积的乘方，合并同类项，同底数幂的除法法则，完全平方公式进行计算，逐一判断即可解答．【解答】解：A 、222(4)16ab a b =，故A 不符合题意；B 、22223a a a +=，故B 不符合题意；C 、642a a a ÷=，故C 符合题意；D 、222()2a b a ab b +=++，故D 不符合题意；故选：C ．2．【答案】D【分析】观察各个图形及相应的代数恒等式即可得到答案．【解答】解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④，故选：D ．3．【答案】D【分析】分别根据分式的加减法则、幂的乘方与积的乘方法则、零指数幂的运算法则对各选项进行逐一计算即可．【解答】解：A 、633a a a=，原计算错误，不符合题意；B 、236()a a =，原计算错误，不符合题意；C 、221()()a b a b a b a b+=+++，原计算错误，不符合题意；D 、01()13-=，正确，符合题意．故选：D ．4．【答案】D【分析】根据二次根式的加法、幂的乘法与积的乘方以及分式的运算的计算方法解题即可．【解答】解：A +=≠B ．2366()a a a -=-≠，故该选项不正确，不符合题意；C ．11123222223a a a a a a+=+=≠，故该选项不正确，不符合题意；21131.333b a D ab a ab b b ÷=⨯=，故该选项正确，符合题意；故选：D ．5．【答案】23．【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．【解答】解：2222(1ab b a b a a b---÷2222(2)a ab b a b a a b--=⋅-222()a b a b a a b-=⋅-()b a b =-2ab b =-，23320ab b --= ，2332ab b ∴-=，223ab b ∴-=，∴原式23=．故答案为：23．6．【答案】3x >．【分析】根据记二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：30x ->，解得：3x >，故答案为：3x >．7．【分析】原式提取x ，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式2(4)(2)(2)x y x y y =-=+-，故答案为：(2)(2)x y y +-8．【分析】应先提取公因式x ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：34x x -，2(4)x x =-，(2)(2)x x x =+-．故答案为：(2)(2)x x x +-．9．【分析】依据题意，利用平方差公式和完全平方公式将原式进行化简，再将a ，b 的值代入计算即可求解．【解答】解：2(3)(3)(3)a b a b a b +++-2222699a ab b a b =+++-226a ab =+．当2a =，1b =-时，原式22262(1)=⨯+⨯⨯-812=-4=-．10．【答案】244a a -+，1．【分析】将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算，结合负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值化简，整体代入得出答案．【解答】解：原式2421[(2)(2)a a a a a a a -+-=÷---224(2)(2)(1)[](2)(2)a a a a a a a a a a -+--=÷---22244(2)a a a a a a a ---+=÷-24(2)4a a a a a --=⋅-2(2)a =-244a a =-+， 211()6cos6004a a --⋅+︒=，2430a a ∴-+=，243a a ∴-=-，∴原式341=-+=．1．【答案】C【分析】由题目可得式子的一般性规律：第n 个式子为：1212n n a --⋅，当2024n =时，第2024个式子为：202340472a ⋅，即可得出答案．【解答】解：式子的系数为1，2，4，8，16，，则第n 个式子的系数为：12n -；式子的指数为1，3，5，7，9，，则第n 个式子的指数为：21n -，∴第n 个式子为：1212n n a --⋅，当2024n =时，第2024个式子为：202340472a ⋅，故选：C ．2．【答案】B【分析】根据合并同类项法则、幂的乘方法则、单项式除以单项式法则分别判断即可．【解答】解：A 、2a 与b 不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；B 、2222a b a b a b -=，故此选项符合题意；C 、236()a a =，故此选项不符合题意；D 、84422a a a ÷=，故此选项不符合题意；故选：B．3．【答案】B【分析】数字与字母的积叫做单项式，其中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；由此计算即可．【解答】解：单项式22a b -的系数和次数分别是2-和3，故选：B ．4．【答案】D【分析】根据整式相关运算法则逐项判断即可．【解答】解：235a a a ⋅=，故A 错误，不符合题意；a 与22a 不能合并，故B 错误，不符合题意；2234(3)218ab ab a b -⋅=，故C 错误，不符合题意；326(2)3ab ab b ÷-=-，故D 正确，符合题意；故选：D ．5．【答案】D【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【解答】解：A ．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B ．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；C ．22282(4)2(2)(2)ab a a b a b b -=-=+-，分解不彻底，从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；D ．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意．故选：D ．6．【答案】B【分析】根据平方差公式和完全平方公式逐个判断即可．【解答】解：A ．241(21)(21)a a a -=+-，故本选项不符合题意；B ．225(5)(5)a a a -+=+-，故本选项符合题意；C ．22269(3)a ab b a b -+=-，故本选项不符合题意；D ．22816(4)a a a -+=-，故本选项不符合题意；故选：B ．7．【答案】A【分析】根据分式的加减法运算法则计算即可．【解答】解：2244(2)(2)22222a a a a a a a a a --+-===+----，故选：A ．8．【分析】分式的值为零时：分子等于零且分母不为零．据此求得x 的值．【解答】解：依题意得：20x -=，解得2x =．经检验当2x =时，分母30x -≠，符合题意．故选：B ．9．【答案】2a b -，1-．【分析】先利用平方差公式和完全平方公式进行计算，再根据多项式除以单项式的法则进行计算，最后把12a =，2b =代入计算即可．【解答】解：原式2222[44(4)](4)a ab b b a a =-+--÷2222(444)(4)a ab b b a a =-+-+÷2(84)(4)a ab a =-÷2a b =-，当12a =，2b =时，原式12212=⨯-=-．10．【答案】12x -，1．【分析】先算小括号里面的，然后算括号外面的，最后代入求值．【解答】解：原式213(2)()111x x x x x +-=-÷+++2211(2)x x x x -+=⋅+-12x =-，当3x =时，原式1132==-．1．【答案】B【分析】根据单项式的数字系数的符号，数字系数和指数的变化规律即可得出结果．【解答】解：在上述单项式中，可以发现：奇数项的数字系数的符号为正，偶数项的数字系数的符号为负，∴可得：第n 个单项式的数字系数的符号为：1(1)n --或1(1)n +-，单项式的数字系数为：1，4，9，16，，∴第n 个单项式的数字系数为：2n ，单项式的指数为：3，5，7，9，，∴第n 个单项式的指数为：21n +，∴第n 个单项式是1221(1)n n n x ++-，故选：B ．2．【答案】D【分析】根据整式的运算法则逐项分析判断即可．【解答】解：A 、22(4)816x x x -=-+，原计算错误，不符合题意；B 、3x 与2y 不是同类项，不能合并，故原计算错误，不符合题意；C 、43x x x ÷=，原计算错误不符合题意；D 、2224()xy x y =，正确，符合题意；故选：D ．3．【答案】B【分析】根据单项式的定义可判断A ，根据字母表示数的意义可判断B ，根据单项式系数和次数的定义可判断C ，根据多项式的项和次数的定义可判断D ，进而可得答案．【解答】解：A 、5-是单项式，故本选项错误，不符合题意；B 、a可以表示负数，故本选项正确，符合题意；C 、25a b -的系数是5-，次数是3，故本选项错误，不符合题意；D 、221a ab ++是二次三项式，故本选项错误，不符合题意；故选：B ．4．【答案】B【分析】根据因式分解的定义进行判断即可．【解答】解：A 、222()x y x y +≠+不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；B 、24(2)(2)x x x -=+-符合因式分解的定义，且因式分解正确，故本选项符合题意；C 、2221(1)x x x --≠-，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；D 、242(2)xy x x y +=+，原因式分解错误，故本选项不符合题意；故选：B ．5．【分析】先根据分式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可．【解答】解：由题意，得10x +≠，解得1x ≠-，故选：A ．6．【分析】直接利用最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，进而得出答案．【解答】解：A =，不是最简二次根式，故此选项错误；B ，是最简二次根式，故此选项正确；C 2=，不是最简二次根式，故此选项错误；D =故选：B ．7．．【分析】根据二次根式的混合运算法则和零指数幂与特殊的三角函数值等知识点计算即可．【解答】解：原式11=---+11=-+=．8．【答案】12x -，1．【分析】先算小括号里面的，然后算括号外面的，最后代入求值．【解答】解：原式213(2)()111x x x x x +-=-÷+++2211(2)x x x x -+=⋅+-12x =-，当3x =时，原式1132==-．9．【答案】224a +，原式8=．【分析】先利用完全平方公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把a 的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．【解答】解：2(2)(4)a a a -++22444a a a a=-+++224a =+，当a =224224448=⨯+=⨯+=+=．10．【答案】24ab b -，原式9=-．【分析】先利用平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把a ，b 的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．【解答】解：(2)(2)4()a b a b a a b -+--222444a b a ab=--+24ab b =-，当2a =-，1b =时，原式24(2)11819=⨯-⨯-=--=-．。

根式及其运算.

根式及其运算二次根式的概念、性质以及运算法则是根式运算的基础，在进行根式运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法，也就是说，根式的运算，可以培养同学们综合运用各种知识和方法的能力．下面先复习有关基础知识，然后进行例题分析．二次根式的性质：二次根式的运算法则：设a，b，c，d，m是有理数，且m不是完全平方数，则当且仅当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式．例1 化简：法是配方去掉根号，所以因为x-2＜0，1-x＜0，所以原式=2-x+x-1=1．＝a-b-a+b-a+b=b-a．说明若根式中的字母给出了取值范围，则应在这个范围内进行化简；若没有给出取值范围，则应在字母允许取值的范围内进行化简．例2 化简：分析两个题分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，这样计算化简较繁．我们可以先将分母因式分解后，再化简．解法1 配方法．配方法是要设法找到两个正数x，y(x＞y)，使x+y=a，xy=b，则解法2 待定系数法．例4 化简：(2)这是多重复合二次根式，可从里往外逐步化简．分析被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是2，可以看成解设两边平方得②×③×④得(xyz)2=5×7×35=352．因为x，y，z均非负，所以xyz≥0，所以xyz=35．⑤⑤÷②，有z=7．同理有x=5，y=1．所求x，y，z显然满足①，所以解设原式=x，则解法1 利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)来解．将方程左端因式分解有(x-4)(x2＋4x＋10)＝0．因为x2＋4x＋10＝(x＋2)2＋6＞0，所以x-4＝0，x＝4．所以原式＝4．解法2说明解法2看似简单，但对于三次根号下的拼凑是很难的，因此本题解法1是一般常用的解法．例8 化简：解(1)本小题也可用换元法来化简．解用换元法．解直接代入较繁，观察x，y的特征有所以3x2-5xy＋3y2＝3x2＋6xy＋3y2-11xy＝3(x＋y)2-11xy＝3×102-11×1＝289．例11 求分析本题的关键在于将根号里的乘积化简，不可一味蛮算．解设根号内的式子为A，注意到1＝(2-1)，及平方差公式(a＋b)(a-b)＝a2-b2，所以A＝(2-1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(2256＋1)＋1＝(22-1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(2256＋1)＋1＝(24-1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)…(2256＋1)＋1＝…＝(2256-1)(2256＋1)＋1＝22×256-1＋1＝22×256，的值．分析与解先计算几层，看一看有无规律可循．解用构造方程的方法来解．设原式为x，利用根号的层数是无限的特点，有两边平方得两边再平方得x4-4x2＋4＝2＋x，所以x4-4x2-x＋2＝0．观察发现，当x＝-1，2时，方程成立．因此，方程左端必有因式(x ＋1)(x-2)，将方程左端因式分解，有(x＋1)(x-2)(x2＋x-1)＝0．解因为练习1．化简：2．计算：3．计算：。

整式乘法与因式分解、分式、二次根式 (1)

第十四章整式的乘法与因式分解整式的乘法：),(都是正整数n m a a a n m n m +=•),(都是正整数）（n m a a mn nm = )()(都是正整数n b a ab nn n = 22))((b a b a b a -=-+2222)(b ab a b a ++=+2222)(b ab a b a +-=-整式的除法：)0,,(≠=÷-a n m a a a n m n m 都是正整数注意：（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。

（2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。

（3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号。

（4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。

（5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。

（6）),0(1);0(10为正整数p a aa a a p p ≠=≠=- （7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。

考点三、因式分解（11分）1、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

2、因式分解的常用方法（1）提公因式法：)(c b a ac ab +=+（2）运用公式法：))((22b a b a b a -+=- 222)(2b a b ab a +=++222)(2b a b ab a -=+-（3）分组分解法：))(()()(d c b a d c b d c a bd bc ad ac ++=+++=+++（4）十字相乘法：))(()(2q a p a pq a q p a ++=+++ 3、因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。

（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。

二次根式的化简和运算

二次根式的化简和运算二次根式是数学中的一种特殊表示形式，可以表示一个数的平方根。

在代数运算中，我们常常需要对二次根式进行化简和运算，以便更方便地进行数学推导和计算。

本文将介绍二次根式的化简和运算方法，并提供相关的例题解析，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

一、二次根式的化简方法当我们遇到具有平方根的表达式时，有时候我们会希望将其化简为更简洁的形式。

下面介绍几种常见的二次根式化简方法。

1. 因式分解法当二次根式中的被开方数可以进行因式分解时，我们可以利用因式分解法来化简。

例如，对于√12，我们可以将其写成√(4×3)，再利用平方根的乘法法则和化简原则，化简为2√3。

2. 合并同类项法当二次根式中含有相同的根号内部表达式时，可以使用合并同类项法进行化简。

例如，对于√(11+4√7+7)，我们可以发现根号内部表达式11和7都是平方数，而4√7是平方根的形式。

根据合并同类项法则，我们可以将其化简为(√7+1)²，即7+2√7+1，结果为8+2√7。

3. 有理化的方法当二次根式中含有分母时，我们可以使用有理化方法进行化简。

有理化的基本思想是利用分子有理数与分母实数的乘法，将分母中的根号消去。

例如，对于1/√3，我们可以用√3/√3的形式乘以1，得到√3/3，即为化简的结果。

二、二次根式的运算法则除了化简，我们还需要学习二次根式的运算法则，以便进行数学计算和推导。

下面是几个常见的二次根式运算法则。

1. 加减法法则当二次根式满足相同根号内部表达式时，可以采用加减法法则进行运算。

例如，√2 + √2 = 2√2，√7 - √7 = 0。

2. 乘法法则二次根式的乘法法则为：√a × √b = √(a × b)。

例如，√3 × √5 = √15。

3. 除法法则二次根式的除法法则为：√a ÷ √b = √(a ÷ b)。

例如，√6 ÷ √2 = √(6 ÷ 2) = √3。

二次根式化简定律

二次根式化简定律二次根式化简定律是求解和简化含有二次根式的表达式的数学法则。

二次根式是指形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。

本文将介绍如何利用二次根式化简定律来简化这类表达式，以及一些化简的常见技巧。

一、二次根式化简定律介绍二次根式化简定律主要包括以下两个基本规则：1. 乘法法则：当a和b均为非负实数时，有√a * √b = √(a * b)。

2. 除法法则：当a和b均为非负实数且b不等于零时，有√a / √b = √(a / b)。

通过这两个基本法则，我们可以化简二次根式并简化其形式。

二、二次根式的化简技巧1. 因式分解：当二次根式中的被开方数可以进行因式分解时，可以先进行因式分解，再利用乘法法则或除法法则进行化简。

例如：√(4 * 9) = √(2^2 * 3^2) = 2 * 3 = 62. 整数与二次根式的相互转化：当二次根式中的被开方数可以被整数整除时，可以将二次根式转化为整数，或将整数转化为二次根式。

例如：√16 = 4，4可以写成√43. 有理化分母：当二次根式作为分母时，可以利用有理化分母的方法进行化简。

有理化分母的基本思想是将二次根式的分母乘以分子的共轭形式，以消去分母中的二次根式。

例如：1 / √3 = (√3 / √3) / √3 = √3 / 3三、例题演练为了更好地理解和应用二次根式化简定律，我们来看一些例题。

例题1：将√25 * √5化简为最简形式。

解：根据乘法法则，有√25 * √5 = √(25 * 5) = √125。

将125进行因式分解可得√(5^2 * 5) = 5√5。

因此，√25 * √5 = 5√5。

例题2：将√27 / √3化简为最简形式。

解：根据除法法则，有√27 / √3 = √(27 / 3) = √9 = 3。

因此，√27 / √3 = 3。

例题3：将√12转化为最简形式。

解：根据整数与二次根式的相互转化，有√12 = √(4 * 3) = √4 * √3 = 2√3。

2017中考数学专题复习数与式因式分解+分式+二次根式

第四讲因式分解【基础知识回顾】一、因式分解的定义：1、把一个式化为几个整式的形式，叫做把一个多项式因式分解。

2、因式分解与整式乘法是运算，即：多项式整式的积【名师提醒：判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否为的形式。

】二、因式分解常用方法： 1、提公因式法：公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。

提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= 。

【名师提醒：1、公因式的选择可以是单项式，也可以是，都遵循一个原则：取系数的，相同字母的。

2、提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为，不能漏掉。

3、提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要。

】 2、运用公式法：将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。

①平方差公式：a 2-b 2= , ②完全平方公式：a 2±2ab+b 2= 。

【名师提醒：1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，找准里面的a 与b 。

如：x 2-x+14符合完全平方公式形式，而x 2- x+12就不符合该公式的形式。

】三、因式分解的一般步骤1、一提：如果多项式的各项有公因式，那么要先。

2、二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用法来分解。

3、三查：分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止。

【名师提醒：分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两步，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】【重点考点例析】考点一：因式分解的概念对应训练1．（2015•河北）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（） A ．a （x-y ）=ax-ay B ．x 2+2x+1=x （x+2）+1 C ．（x+1）（x+3）=x 2+4x+3 D ．x 3-x=x （x+1）（x-1）考点二：因式分解例2 （2015•无锡）分解因式：2x 2-4x= ．例3 （2015•南昌）下列因式分解正确的是（） A ．x 2-xy+x=x （x-y ） B ．a 3-2a 2b+ab 2=a （a-b ）2 C ．x 2-2x+4=（x-1）2+3 D ．ax 2-9=a （x+3）（x-3）例4 （2015•湖州）因式分解：mx 2-my 2．（）（）对应训练2．（2015•温州）因式分解：m2-5m= ．3．（2015•西宁）下列分解因式正确的是（）A．3x2-6x=x（3x-6）B．-a2+b2=（b+a）（b-a）C．4x2-y2=（4x+y）（4x-y）D．4x2-2xy+y2=（2x-y）24．（2015•北京）分解因式：ab2-4ab+4a= ．考点三：因式分解的应用例5 （2015•宝应县一模）已知a+b=2，则a2-b2+4b的值为．对应训练5．（2015•鹰潭模拟）已知ab=2，a-b=3，则a3b-2a2b2+ab3= ．【2016中考名题赏析】1．（2016•台湾）已知a、b、c 为三正整数，且a、b的最大公因子为12，a、c的最大公因子为18．若a介于50与100之间，则下列叙述何者正确？（）A．8是a的因子，8是b的因子B．8是a的因子，8不是b的因子C．8不是a的因子，8是c的因子D．8不是a的因子，8不是c的因子2．（2016•自贡）把a2﹣4a多项式分解因式，结果正确的是（）A．a（a﹣4）B．（a+2）（a﹣2）C．a（a+2）（a﹣2）D．（a﹣2）2﹣4 3．（2016•长春）把多项式x2﹣6x+9分解因式，结果正确的是（）A．（x﹣3）2B．（x﹣9）2C．（x+3）（x﹣3）D．（x+9）（x﹣9）4．（2016•聊城）把8a3﹣8a2+2a进行因式分解，结果正确的是（）A．2a（4a2﹣4a+1）B．8a2（a﹣1）C．2a（2a﹣1）2D．2a（2a+1）2 5．（2016•台湾）多项式77x2﹣13x﹣30可因式分解成（7x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c之值为何？（）A．0 B．10 C．12 D．226．（2016•滨州）把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3）则a，b的值分别是（）A．a=2，b=3 B．a=﹣2，b=﹣3 C．a=﹣2，b=3 D．a=2，b=﹣3【真题过关】一、选择题1．（2015•张家界）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．x2+x+1 B．x2+2x-1 C．x2-1 D．x2-6x+9 2．（2015•佛山）分解因式a3-a的结果是（）A．a（a2-1）B．a（a-1）2C．a（a+1）（a-1）D．（a2+a）（a-1）3．（2015•恩施州）把x2y-2y2x+y3分解因式正确的是（）A．y（x2-2xy+y2）B．x2y-y2（2x-y）C．y（x-y）2D．y（x+y）2二、填空题4．（2015•自贡）多项式ax2-a与多项式x2-2x+1的公因式是．5．（2015•太原）分解因式：a2-2a= ．6．（2015•广州）分解因式：x2+xy= ．7．（2015•盐城）因式分解：a2-9= ．8．（2015•厦门）x2-4x+4=（）2．第五讲分式【基础知识回顾】一、分式的概念若A，B表示两个整式，且B中含有那么式子就叫做分式【名师提醒：①若则分式AB无意义②若分式AB=0，则应且】二、分式的基本性质分式的分子分母都乘以（或除以）同一个的整式，分式的值不变。

专题1.2 因式分解、分式、二次根式(全国中考23个考点真题训练)(解析版)

2023年中考数学考前30天迅速提分复习方案（全国通用）专题1.2 因式分解、分式、二次根式（全国中考23个考点真题训练）一．因式分解的意义（共1小题）1．（2022•济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A ．x 2﹣x 1﹣＝x （x 1﹣）﹣1B ．x 21﹣＝（x 1﹣）2C ．x 2﹣x 6﹣＝（x 3﹣）（x +2）D ．x （x 1﹣）＝x 2﹣x【分析】根据因式分解的定义判断即可．【解答】解：A 选项不是因式分解，故不符合题意；B 选项计算错误，故不符合题意；C 选项是因式分解，故符合题意；D 选项不是因式分解，故不符合题意；故选：C ．【点评】本题主要考查因式分解的知识，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．二．因式分解-提公因式法（共1小题）2．（2022•青海）下列运算正确的是（）A ．3x 2+4x 3＝7x 5B ．（x +y ）2＝x 2+y 2C ．（2+3x ）（23﹣x ）＝9x 24﹣D ．2xy +4xy 2＝2xy （1+2y ）【分析】利用合并同类项法则、完全平方公式、平方差公式、提公因式法分别计算各题，根据计算结果得结论．【解答】解：A ．3x 2与4x 3不是同类项不能加减，故选项A 计算不正确；B ．（x +y ）2＝x 2+2xy +y 2≠x 2+y 2，故选项B 计算不正确；C ．（2+3x ）（23﹣x ）＝49﹣x 2≠9x 24﹣，故选项C 计算不正确；D ．2xy +4xy 2＝2xy （1+2y ），故选项D 计算正确．故选：D ．【点评】本题主要考查了整式的运算，掌握整式的运算法则和整式的提取公因式法是解决本题的关键．三．因式分解-运用公式法（共1小题）3．（2022•荆门）对于任意实数a ，b ，a 3+b 3＝（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）恒成立，则下列关系式正确的是（）A ．a 3﹣b 3＝（a ﹣b ）（a 2+ab +b 2）B．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2）C．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2）D．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2）【分析】把所给公式中的b换成﹣b，进行计算即可解答．【解答】解：∵a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2），∴a3﹣b3＝a3+（﹣b3）＝a3+（﹣b）3＝[a+（﹣b）][（a2﹣a•（﹣b）+（﹣b）2]＝（a﹣b）（a2+ab+b2）故选：A．【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，把所给公式中的b换成﹣b是解题的关键．四．提公因式法与公式法的综合运用（共1小题）﹣xy2＝　3x（x+2y）（x24．（2022•绵阳）因式分解：3x312﹣y）　．【分析】先提取公因式，再套用平方差公式．﹣y2）【解答】解：原式＝3x（x24﹣y）．＝3x（x+2y）（x2故答案为：3x（x+2y）（x2﹣y）．【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键．五．因式分解-十字相乘法等（共1小题）﹣）　．﹣＝　（a2+1）（a+2）（a2﹣a245．（2022•内江）分解因式：a43【分析】先利用十字相乘法因式分解，再利用平方差公式进行因式分解．【解答】解：a4﹣3a2﹣4＝（a2+1）（a2﹣4）＝（a2+1）（a+2）（a﹣2），﹣）．故答案为：（a2+1）（a+2）（a2【点评】本题考查的是十字相乘法因式分解，掌握十字相乘法、平方差公式因式分解是解题的关键．六．因式分解的应用（共5小题）6．（2022•广安）已知a+b＝1，则代数式a2﹣b2+2b+9的值为 10　．【分析】方法一：直接将a2﹣b2进行因式分解为（a+b）（a﹣b），再根据a+b＝1，可得a 2﹣b2＝a﹣b，由此可得原式＝a+b+9＝10．﹣b+1）+10，把前两部分利用平方差进行因式分方法二：将原式分为三部分，即a2﹣（b22﹣＝0．从而得出原式的值．解，其中得到一因式a+b1【解答】方法一：解：∵a2﹣b2+2b+9＝（a+b）（a﹣b）+2b+9又∵a+b＝1，∴原式＝a﹣b+2b+9＝a+b+9＝10．方法二：解：∵a2﹣b2+2b+9﹣b+1）+10＝a2﹣（b22﹣）2+10＝a2﹣（b1﹣）+10．＝（a﹣b+1）（a+b1又∵a+b＝1，∴原式＝10．【点评】本题考查了因式分解应用，用到的知识为平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．7．（2022•西宁）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：﹣b因式分解．﹣ab4+6将2a3【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：﹣b）解法一：原式＝（2a3﹣ab）﹣（46﹣b）＝a（23﹣b）﹣2（23﹣）﹣b）（a2＝（23﹣b）﹣）﹣（3ab6解法二：原式＝（2a4﹣）﹣）﹣3b（a2＝2（a2﹣b）﹣）（23＝（a2【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】（1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解；【挑战】（2）请用分组分解法将ax +a 22﹣ab ﹣bx +b 2因式分解；【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a 和b （a ＞b ），斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将a 42﹣a 3b +2a 2b 22﹣ab 3+b 4因式分解，再求值．【分析】（1）用分组分解法将x 2﹣a 2+x +a 因式分解即可；（2）用分组分解法将ax +a 22﹣ab ﹣bx +b 2因式分解即可；（3）先将a 42﹣a 3b +2a 2b 22﹣ab 3+b 4因式分解，再求值即可．【解答】解：（1）原式＝（x 2﹣a 2）+（x +a ）＝（x +a ）（x ﹣a ）+（x +a ）＝（x +a ）（x ﹣a +1）；（2）原式＝（ax ﹣bx ）+（a 22﹣ab +b 2）＝x （a ﹣b ）+（a ﹣b ）2＝（a ﹣b ）（x +a ﹣b ）；（3）原式＝（a 4+2a 2b 2+b 4）﹣（2ab 3+2a 3b ）＝（a 2+b 2）2﹣2ab （a 2+b 2）＝（a 2+b 2）（a 2+b 2﹣2ab ）＝（a 2+b 2）（a ﹣b ）2，∵直角三角形的两条直角边长分别是a 和b （a ＞b ），斜边长是3，小正方形的面积是1，∴a 2+b 2＝32＝9，（a ﹣b ）2＝1，∴原式＝9．【点评】本题主要考查因式分解的知识，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键．8．（2022•台湾）健康生技公司培养绿藻以制作「绿藻粉」，再经过后续的加工步骤，制成绿藻相关的保健食品．已知该公司制作每1公克的「绿藻粉」需要60亿个绿藻细胞．请根据上述信息回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释：（1）假设在光照充沛的环境下，1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞，且分裂后的细胞亦可继续分裂．今从1个绿藻细胞开始培养，若培养期间绿藻细胞皆未死亡且培养环境的光照充沛，经过15天后，共分裂成4k 个绿藻细胞，则k 之值为何？（2）承（1），已知60亿介于232与233之间，请判断4k个绿藻细胞是否足够制作8公克的「绿藻粉」？【分析】（1）由1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞，可知经过15天，即360小时，分裂成418个绿藻细胞，故k之值为18；（2）根据每1公克的「绿藻粉」需要60亿个绿藻细胞，60亿介于232与233之间，可得制作8公克的「绿藻粉」需要60×8亿个绿藻细胞，且235＜60×8亿＜236，又418＝（22）18＝2 36，即得418个绿藻细胞足够制作8公克的「绿藻粉」．【解答】解：（1）15天＝15×24小时＝360小时，∵1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞，∴从1个绿藻细胞开始培养，经过20小时分裂成4个绿藻细胞，经过20×2＝40（小时），分裂成42个绿藻细胞，经过20×3＝60（小时），分裂成43个绿藻细胞，.....．经过20×18＝360（小时），分裂成418个绿藻细胞，∴k之值为18；（2）∵每1公克的「绿藻粉」需要60亿个绿藻细胞，∴制作8公克的「绿藻粉」需要60×8亿个绿藻细胞，∵60亿介于232与233之间，∴232×8＜60×8亿＜233×8，即235＜60×8亿＜236，而418＝（22）18＝236，∴60×8亿＜418，∴418个绿藻细胞足够制作8公克的「绿藻粉」．【点评】本题考查有理数的乘方，解题的关键是读懂题意，根据已知找到规律求出k的值．9．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a＞b＞c．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两位数记为G（A），若为整数，求出满足条件的所有数A．【分析】（1）根据“和倍数”的定义依次判断即可；（2）根据“和倍数”的定义表示F（A）和G（A），代入中，根据为整数可解答．【解答】解：（1）∵357÷（3+5+7）＝357÷15＝23……12，∴357不是“和倍数”；∵441÷（4+4+1）＝441÷9＝49，∴441是9的“和倍数”；（2）由题意得：a+b+c＝12，a＞b＞c，由题意得：F（A）＝，G（A）＝，∴＝＝＝，∵a+c＝12﹣b，为整数，∴＝＝＝＝7+（1﹣b），∵1＜b＜9，∴b＝3，5，7，∴a+c＝9，7，5，①当b＝3，a+c＝9时，（舍），，则A＝732或372；②当b＝5，a+c＝7时，，则A＝516或156；③当b＝7，a+c＝5时，此种情况没有符合的值；综上，满足条件的所有数A为：732或372或516或156．【点评】本题考查了新定义问题，根据新定义问题进行计算是解题关键．﹣）会徽的主题图案有着丰富的数学10．（2022•常州）第十四届国际数学教育大会（ICME14元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进﹣的举办年份．制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME14（1）八进制数3746换算成十进制数是 2022　；（2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．【分析】（1）根据已知，从个位数字起，将八进制的每一位数分别乘以80，81，82，83，再把所得结果相加即可得解；（2）根据n进制数和十进制数的计算方法得到关于n的方程，解方程即可求解．【解答】解：（1）3746＝3×83+7×82+4×81+6×80＝1536+448+32+6＝2022．故八进制数字3746换算成十进制是2022．故答案为：2022；（2）依题意有：n2+4×n1+3×n0＝120，解得n1＝9，n2＝﹣13（舍去故n的值是9．【点评】本题主要考查因式分解的应用，有理数的混合运算，解题的关键是弄清各个进制数转化为十进制数的计算方法．七．分式的定义（共1小题）11．（2022•怀化）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式叫做分式判断即可．【解答】解：分式有：，，，整式有：x，，x2﹣，分式有3个，故选：B．【点评】本题考查了分式的定义，掌握一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式是解题的关键，注意π是数字．八．分式有意义的条件（共1小题）12．（2022•无锡）分式中x的取值范围是（）﹣D．x≤2 A．x≠2B．x≠2﹣C．x≤2【分析】由分母不等于0列式计算即可．【解答】解：∵分式有意义，∴2﹣x≠0，解得x≠2，故选：A．【点评】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义时，分母不等于0．九．分式的值为零的条件（共1小题）13．（2022•广西）当x＝　0　时，分式的值为零．【分析】根据分式值为0的条件：分子为0，分母不为0，可得2x＝0且x+2≠0，然后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：2x＝0且x+2≠0，﹣，∴x＝0且x≠2∴当x＝0时，分式的值为零，故答案为：0．【点评】本题考查了分式值为0的条件，熟练掌握分式值为0的条件是解题的关键．一十．分式的值（共1小题）14．（2022•湖州）当a＝1时，分式的值是 2　．【分析】把a＝1代入分式计算即可求出值．【解答】解：当a＝1时，原式＝＝2．故答案为：2．【点评】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．一十一．分式的乘除法（共1小题）15．（2022•德阳）下列计算正确的是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣b2B．＝1C．a÷a•＝a D．（﹣ab2）3＝﹣a3b6【分析】根据分式的乘除法，算术平方根，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，进行计算即可进行判断．【解答】解：A．（a﹣b）2＝a22ab+b2，故A选项错误，不符合题意；B.＝＝1，故B选项正确，符合题意；C．a÷a•＝1×＝，故C选项错误，不符合题意；D．（﹣ab2）3＝﹣a3b6，故D选项错误，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了分式的乘除法，算术平方根，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，解决本题的关键是掌握以上知识熟练进行计算．一十二．分式的加减法（共2小题）16．（2022•天津）计算+的结果是（）A．1B．C．a+2D．【分析】按同分母分式的加减法法则计算即可．【解答】解：原式＝＝＝1．故选：A．【点评】本题考查了分式的加减，掌握同分母分式的加减法法则是解决本题的关键．17．（2022•襄阳）化简分式：+＝　m　．【分析】根据分式的加减运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝＝＝m，故答案为：m．【点评】本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算，本题属于基础题型．一十三．分式的混合运算（共218．（2022•威海）试卷上一个正确的式子（+）÷★＝被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为（）A．B．C．D．【分析】根据已知分式得出被墨汁遮住部分的代数式是（+）÷，再根据分式的运算法则进行计算即可；【解答】解：（+）÷★＝，∴被墨汁遮住部分的代数式是（+）÷＝•＝•＝；故选：A．【点评】本题考查了分式的化简，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．19．（2022•自贡）化简：•+　．【分析】先将原分式的分子、分母分解因式，然后约分，再计算加法即可．【解答】解：•+＝+＝+＝，故答案为：．【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确因式分解的方法和分式加法的运算法则．一十四．分式的化简求值（共7小题）20．（2022•玉林）若x是非负整数，则表示﹣的值的对应点落在如图数轴上的范围是（）A．①B．②C．③D．①或②【分析】原式第二项约分后，利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，即可作出判断．【解答】解：原式＝﹣＝﹣＝＝＝＝1，则表示﹣的值的对应点落在如图数轴上的范围是②．故选：B ．【点评】此题考查了分式的化简求值，以及数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．（2022•菏泽）若a 22﹣a 15﹣＝0，则代数式（a ﹣）•的值是 15 ．【分析】利用分式的相应的法则对分式进行化简，再把相应的值代入运算即可．【解答】解：（a ﹣）•＝＝＝a 22﹣a ，∵a 22﹣a 15﹣＝0，∴a 22﹣a ＝15，∴原式＝15．故答案为：15．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．22．（2022•内蒙古）先化简，再求值：（﹣x 1﹣）÷，其中x ＝3．【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，化简后将x＝3代入计算即可．【解答】解：原式＝•＝﹣•＝﹣，当x＝3时，原式＝﹣＝﹣5．【点评】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的性质，将所求式子化简．23．（2022•阜新）先化简，再求值：÷（1﹣），其中a＝4．【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把a的值代入计算即可．【解答】解：原式＝÷（﹣）＝÷＝•＝，当a＝4时，原式＝＝．【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．24．（2022•资阳）先化简，再求值．，其中a＝﹣3．【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案．【解答】解：原式＝＝＝，当a＝﹣3时，原式＝．【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．25．（2022•黑龙江）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中a＝2cos30°+1．【分析】利用分式的减法法则和除法法则对分式进行计算化简，把特殊角的三角函数值代入计算求出a的值，代入化简后的分式进行计算，即可得出答案．【解答】解：（﹣1）÷＝÷＝×＝，当a＝2cos30°+1＝2×+1＝时，原式＝＝﹣．【点评】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，掌握分式的混合计算及特殊角的三角函数值是解决问题的关键．26．（2022•黑龙江）先化简，再求值：（）÷，在﹣2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．【分析】先算括号内的减法，同时把除法变成乘法，再算乘法，最后代入求出即可．【解答】解：原式＝•＝2x+8，分母不能为0，则x≠±2，除数不能为0，则x≠0，当x＝1时，原式＝2+8＝10．【点评】本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．一十五．零指数幂（共2小题）27．（2022•娄底）若10x＝N，则称x是以10为底N的对数．记作：x＝lgN．例如：102＝100，则2＝lg100；100＝1，则0＝lg1．对数运算满足：当M＞0，N＞0时，lgM+lgN＝lg（MN）．例如：lg3+lg5＝lg15，则（lg5）2+lg5×lg2+lg2的值为（）A．5B．2C．1D．0【分析】首先根据定义运算提取公因式，然后利用定义运算计算即可求解．【解答】解：原式＝lg5（lg5+lg2）+lg2＝lg5×lg（5×2）+lg2＝lg5lg10+lg2＝lg5+lg2＝lg10＝1．故选：C．【点评】本题主要考查了定义运算，实际上是对数的运算，读懂题目意思是关键．28．（2022•百色）计算：32+（﹣2）017﹣．【分析】首先计算乘方、零指数幂，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．﹣【解答】解：32+（﹣2）017﹣＝9+117＝﹣7．【点评】此题主要考查了有理数的乘方的运算方法，以及零指数幂的运算，解答此题的关键是要明确：a0＝1（a≠0）．一十六．负整数指数幂（共2小题）29．（2022•南充）比较大小：22﹣30．（选填＞，＝，＜）【分析】先分别计算22﹣和30的值，再进行比较大小，即可得出答案．【解答】解：∵22﹣＝，30＝1，∴22﹣＜30，故答案为：＜．【点评】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，掌握负整数指数幂的意义，零指数幂的意义是解决问题的关键．﹣（）﹣1﹣（）2+20350．30．（2022•长沙）计算：|4|+【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．﹣（）﹣1﹣（）2+20350【解答】解：|4|+﹣＝4+32+1＝6．【点评】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，绝对值，实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．一十七．二次根式有意义的条件（共2小题）31．（2022•湘西州）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞2B．x＜2C．x≤2D．x≥2【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．﹣，【解答】解：∵3x6≥0∴x≥2，故选：D．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键．32．（2022•菏泽）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 x＞3　．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．﹣＞0，【解答】解：由题意得，x3解得x＞3．故答案为：x＞3．【点评】本题考查的是代数式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．一十八．二次根式的性质与化简（共2小题）33．（2022•聊城）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v＝进行计算，其中a为子弹的加速度，s为枪筒的长．如果a＝5×105m/s2，s＝0.64m，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（）A．0.4×103m/s B．0.8×103m/s C．4×102m/s D．8×102m/s【分析】把a＝5×105m/s2，s＝0.64m代入公式v＝，再根据二次根式的性质化简即可．【解答】解：v＝＝＝8×102（m/s），故选：D．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．34．（2022•桂林）化简的结果是（）A．2B．3C．2D．2【分析】将被开方数12写成平方数4与3的乘积，再将4开出来为2，易知化简结果为2．【解答】解：＝2，故选：A．【点评】本题考查了二次根式的化简，关键在于被开方数要写成平方数乘积的形式再进行化简．一十九．最简二次根式（共1小题）35．（2022•杭州）计算：＝　2　；（﹣2）2＝　4　．【分析】根据二次根式的性质、有理数的乘方法则计算即可．【解答】解：＝2，（﹣2）2＝4，故答案为：2，4．【点评】本题考查的是二次根式的化简、有理数的乘方，掌握二次根式的性质是解题的关键．二十．二次根式的乘除法（共2小题）36．（2022•随州）已知m为正整数，若是整数，则根据＝＝3可知m有最小值3×7＝21．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 3　，最大值为 75　．【分析】先将化简为10，可得n最小为3，由是大于1的整数可得越小，越小，则n越大，当＝2时，即可求解．【解答】解：∵＝＝10，且为整数，∴n最小为3，∵是大于1的整数，∴越小，越小，则n越大，当＝2时，＝4，∴n＝75，故答案为：3；75．【点评】本题考查二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，解题的关键是读懂题意，根据关键词37．（2022•山西）计算：×的结果为 3　．【分析】按照二次根式的乘法法则计算即可．【解答】解：原式＝＝3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的运算法则：乘法法则＝（a≥0，b≥0）．二十一．二次根式的加减法（共1小题）38．（2022•哈尔滨）计算+3的结果是 2　．【分析】先化简各二次根式，再根据混合运算的顺序依次计算可得答案．【解答】解：原式＝+3×＝＝2．故答案为：2．【点评】此题考查的是二次根式的运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．二十二．二次根式的混合运算（共3小题）39．（2022•安顺）估计（+）×的值应在（）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间【分析】直接利用二次根式的性质结合估算无理数的大小方法得出答案．【解答】解：原式＝2+，∵3＜＜4，∴5＜2+＜6，故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，正确估算无理数是解题关键．40．（2022•天津）计算（+1）（﹣1）的结果等于 18　．【分析】根据平方差公式即可求出答案．【解答】解：原式＝（）212﹣＝191＝18，故答案为：18．【点评】本题考查平方差公式与二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．41．（2022•襄阳）先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a2﹣b）+2a（b﹣a），其中a＝﹣，b＝+．【分析】直接利用完全平方公式、平方差公式化简，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案．【解答】解：原式＝a2+4b2+4ab+a2﹣4b2+2ab﹣2a2＝6ab，∵a＝﹣，b＝+，∴原式＝6ab＝6×（﹣）（+）＝6．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算与整式的混合运算——化简求值，正确掌握整式的混合运算法则是解题关键．二十三．二次根式的化简求值（共1小题）42．（2022•内蒙古）已知x，y是实数，且满足y＝++，则．【分析】根据负数没有平方根求出x的值，进而求出y的值，代入计算即可求出值．【解答】解：∵y＝++，﹣，2﹣x≥0，∴x2≥0∴x＝2，y＝，则原式＝×＝＝，故答案为：【点评】此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。

初高衔接第一至第五课《绝对值》《乘法公式》《因式分解》《分式》《二次根式的化简》

第一课绝对值一、知识点1.绝对值的定义：2.绝对值的代数意义：a3.绝对值的几何意义：4.两个数的差的绝对值的几何意义：5.绝对值的性质：二、例题例1 解方程：（1）13x += （2）5665x x +=-例2 解方程：156x x ++-=例3 解不等式：（1）5x < （2）3x >（3） |1|2x -≤ （4）257x +>例4 解不等式：134x x -+->三、练习 1．解方程：（1）2334x x +=- （2）525x x -+=-（3）311x x x +--=+ （4） 352x x -+-=2．解下列不等式：（1）125x -< （2）3215x -≥（3）3233x x ++-≥ （4）134x x +-->-第二课乘法公式，多项式的除法一、知识点我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 ()()a b a b +-=________________（2）完全平方公式 2()a b ±=________________ 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 22()()a b a ab b +-+=________________ （2）立方差公式 22()()a b a ab b -++=________________ （3）三数和平方公式 2()a b c ++=________________ （4）两数和立方公式 3()a b +=________________ （5）两数差立方公式 3()a b -=________________ 二、例题例1 计算：（1）()223a b c ++ （2）2(23)a b c --例2 计算：（1）22(23)(469)a b a ab b -++（2）22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++（3）因式分解：338a b +=______________________________338a b -=______________________________例3 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．例4 计算：（1）3(2)x y + （2）3(2)x y -例5 计算：（1）32(28147)7a a a a -+÷ （2）4332222(36243)(6)x y x y x y x y -+÷-例6 计算：422(619175)(225)a a a a a -+-÷+-三、练习 1.计算：（1）3(23)a b - （2）2(23)x y +-（3）22(2)(42)x y x xy y +-+ （4）42(2)(2)(416)a a a a +-++（5）2222()()()()x y x y x xy y x xy y +--+---（6）22222(2)()x xy y x xy y ++-+2.当a b 、为实数时，试判断22248a b a b +--+的值的符号．3.计算：（1）22(1510)5x y xy xy -÷ （2）32322(4127)(4)a a b a b a -+-÷-4.已知多项式2267372a ab b a b +----是多项式231a b ++与多项式A 的积，求多项式A .5.求多项式4324856x x x x +--除以23x +的余式.6.已知321311x mx x n +++能被21365x x -+整除，求,m n 的值.第三课因式分解一、知识点因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，求根法．二、例题例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2 （2）x 2＋4x －12 （3）2273x x -+（4）2672x x -+ （5）22()x a b xy aby -++变式：分解因式：（1）256x x +- （2）256x x -+ （3）256x x ++（4）256x x -- （5）2273x x ++ （6）()21x a x a -++例2 分解因式：（1）32933x x x +++ （2）1xy x y -+-（３）222456x xy y x y +--+-例3 分解因式：（1）221x x +-；（2）2244x xy y +-．例4 分解因式:（1）3221x x -+ （2）32231x x -+三、练习1．分解因式： ⑴1242-+x x⑵31a +⑶222x x +-⑷2220y xy x --⑸2244y xy x --⑹bc ac ab a -+-2⑺ay ax y x ++-22⑻22865y xy x -+ （9）15)(2)(2-+++b a b a2.分解因式： ⑴c b ac ab -+- ⑵c b ac ab 6834-+-⑶25912422-++b ab a⑷ y xy y x 862-+- ⑸22916y xy x -+⑹161024+-p p⑺2)1(6)1(75+-++a a ⑻ 222(3)2(3)8x x x x ---- ⑼22()x x a a +--⑽ 3276x x +- ⑾ 223x xy x y -++- ⑿2235294x xy y x y +-++-（13）4(1)(2)x y y y x -++- （14） 22222b c ab ac bc ++++（15） 22(1)(1)4a b ab --- （16）2222(1)(1)a a a a ++++第四课分式一、知识点1．分式的意义；形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式A B具有下列性质：A A MB B M⨯=⨯；A A MB B M÷=÷ 2．繁分式：像ab c d+，2m n pm n p+++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．二、例题例1 ⑴ 代数式1111++x 有意义，则x 需要满足的条件是_________；（2）化简：2112111x x x x x +--++-（3）已知1()23f x x =-，求11()()2f f x x --的值．例2 若54(2)2x A B x x x x +=+++，求常数,A B 的值．例3 （1）试证：111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）；（2）证明：对任意大于1的正整数n ，有11112334(1)2n n +++<⨯⨯+．例4 设ce a=，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值．例5 已知13x x+=，求33222x x x x --+++的值．三、练习 1．填空题：（1）1(2)n n =+ (112n n -+) （2）若223x y x y -=+，则x y ＝（3）12a =，13b =，则2223352a ab a ab b -=+- （4）若2220x xy y +-=，则22223x xy y x y++=+ 2．解方程22112()3()10x x x x+-+-=． 3．已知3(1)(2)12x A B x x x x -=+----，求2A B +的值．4．已知21610x x --=，试求下列各式的值：（1）221x x + （2）331x x -5．正数,x y 满足222x y xy -=，求x yx y-+的值． 6．计算1111 (12233499100)++++⨯⨯⨯⨯．7．试证：对任意的正整数n ，有111123234(1)(2)n n n +++⨯⨯⨯⨯++＜14．第五课二次根式的化简一、知识点1．分母（子）有理化；2．二次根式a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩二、例题例1 把下列各式分母有理化：⑴753+ ⑵2323+-例2 试比较下列各组数的大小：（1 ⑵，例3 将下列式子化为最简二次根式：⑴ ⑵0)a ≥； ⑶ 0)x < （4）2例4 化简：（1 （2 （3）549+ （4例5 化简：20042005+⋅．例 6 当25=x 时，求11111111--+-+++-++--+x x x x x x x x 的值．例7 已知x y ==22353x xy y -+的值．三、练习 1．填空题：（1＝__ ___；（2(x -x 的取值范围是_ _ ___；（3）比较大小：2－4（填“＞”，或“＜”）．（4）18(2(2；（52=，则a 的取值范围是________；（6=________． 2. 化简：（1）1222--（2）23625++ （3）3636-+ （4）(0)x y x y ->>（5）223-（6 （7 （8）625+3．已知：11,23x y ==的值．4.当2x =时，求代数式3243x x x +++的值．。

初中数学中的代数知识有哪些

初中数学中的代数知识有哪些代数是数学中重要的一个分支，它研究了数量关系、未知数和变量之间的运算规律。

在初中数学教学中，代数知识是必不可少的内容。

本文将介绍一些初中数学中常见的代数知识。

一、代数表达式代数表达式是由运算符、变量和数的乘积、和、差、商组成的算式。

代数表达式中的变量表示未知数，可以用字母表示。

例如，3x^2 - 2y表示一个代数表达式，其中x和y是变量。

代数表达式主要有以下几种常见形式：1. 单项式：由一个常数或一个变量的乘积组成，如4x、-3a^2等。

2. 多项式：由多个单项式的和或差组成，如5x^2 + 2xy - 3。

3. 系数：代数表达式中每个项的系数是该项的常数因子，如2x^2中的系数是2。

4. 次数：代数表达式中每个项的次数是指该项中变量的指数，如2x^2中的次数是2。

5. 常数项：代数表达式中不含变量的项称为常数项，如5x^2 + 2xy- 3中的-3。

二、方程与不等式方程和不等式是代数学中重要的概念。

它们用于表示数的相等和大小关系，并通过解方程和不等式来求解问题。

1. 方程：方程是一个含有未知数的等式，通常用于描述两个量之间的关系。

例如，2x + 3 = 7是一个方程，求解该方程可以得到未知数x 的值。

2. 不等式：不等式是一个含有不等号的算式，由两个代数表达式相比较得到。

例如，2x - 5 > 10是一个不等式，求解该不等式可以得到满足条件的x的取值范围。

三、线性方程与一次函数线性方程和一次函数是初中数学中代数知识的重要部分，它们描述了一个变量与另一个变量之间的关系。

1. 线性方程：线性方程是只含有一次幂的方程，通常可以表示为y = kx + b的形式，其中x和y是变量，k和b是常数。

例如，y = 2x + 3就是一个线性方程，它表示了y和x之间的线性关系。

2. 一次函数：一次函数是指函数的自变量和因变量之间的关系是线性的函数。

一次函数的表达式通常为y = kx + b，其中k和b为常数。

初中数学重点梳理：根式及其运算

根式及其运算知识定位根式是初中数学的重要内容之一，也是近年各类初中数学竞赛中常常涉及到的知识点.解此类有关根式计算题的关键在于将无理式进行有理化.但是在很多竞赛题中我们遇到的计算式子却非常复杂和灵活，其中对根式的计算要求技巧性较强，因而计算的难度较大.在进行根式运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法，也就是说，根式的运算，可以培养同学们综合运用各种知识和方法的能力．知识梳理二次根式的概念：式子a (a ≥0)叫二次根式。

二次根式的性质：（1）()()02≥=a a a ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==00002a ,a a ,a ,a a a二次根式的运算法则：（1）c )b a (c b c a ±=± (0≥c )；（2）ab b a =⋅ (00≥≥b ,a )；（3）baba =(00>≥b ,a )；（4）()()0≥=a a a m m若0>>b a ，则b a >。

设m ,d ,c ,b ,a 是有理数,且m 不是完全平方数，则当且仅当d b ,c a ==时，m d c m b a +=+ 。

形如b a x +=，b a y -=的这两个根式互称为共轭根式。

当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式．例题精讲◆专题一：共轭因式法【试题来源】2006年第十七届“希望杯”数学竞赛第二试【题目】设0>m ，m x x =--+13，则代数式13-++x x 的值是 (用m 表示).【答案】m4 【解析】观察此题中13--+x x 与13-++x x 恰是共轭因式，因此想到将两式相乘得：()()()()413131322=--+=-++•--+x x x x x x即()433=-++•x x m ,所以mx x 413=-++. 点评：我们把形如b a +、b a -的两个根式互称为共轭因式,共轭因式相乘就恰好将无理式化为有理式，从而此题轻松解决. 【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】2◆专题二：有理化法【试题来源】2008年全国初中数学联赛第一试【题目】已知实数x 、y 满足()()20082008200822=----y y x x ，则2007332322--+-y x y x 的值为( )【选项】(A)－2008 (B) 2008 (C)－1 (D)1 【答案】D 【解析】由已知()()20082008200822=----y y x x 可得：200820081200822--=--y y x x然后将等式左边分子有理化得：()()200820082008200820082222--=-+-+--y y x x x x x x()20082008200820082222--=-+--y y x x x x200820082008200822--=-+y y x x∴ 2008200822--=-+y y x x ①同理可得：2008200822-+=--y y x x ②由①、②得：x = y ∴ ()2008200822=--x x变形得： 20082008200822--=--x x x x将等式的左边分子有理化得：200820082008200822--=-+x x x x∴ 2008200822-+=--x x x x∴020082=-x ,即20082=x∴原式=120072008200720073323222=-=-=--+-x x x x x .故选D.点评：有理化法是解二次根式计算题的常用方法，就其形式来说可分为分母有理化和分子有理化两类.具体方法是在分式的分母(或分子)同时乘以原二次根式的有理化因式，从而达到化无理式为有理式的目的. 【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】2◆专题三：因式分解法常用方法：利用配方法将被开方数配成完全平方式或者立方式【试题来源】2006年第十七届“希望杯”数学竞赛第二试【题目】计算-++++12862231286223+---，得 .【答案】2-【解析】此题分子、分母均含根式，如果按照通常的做法是先分母有理化，这样计算较繁.若观察到分母可进行因式分解，先将分母因式分解后，再化简.原式()()32432223++++=()()32432223-----()()423223+++=()()423223----421421-++=222222-++-=2-=点评：从此题我们可得到这样的启发：当分子分母均含有根式时，可用因式分解法先将式子化简，再进行计算，这样能起到化繁为简的作用. 【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】化简：2008200820082008100435715337++⎪⎭⎫⎝⎛，得到 . 【答案】1 【解析】解:原式.【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】化简：)23)(36(23346++++,最后得_________【答案】23+【解析】原式633332(32)(63)(63)(32)(63)(32)(32)(63)++===+++++++62【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂练习题【难度系数】3◆专题四：换元法【试题来源】2004年全国初中数学联赛【题目】已知8a ≥1, 则333183131831-+-+-++a a a a a a 的值是( )【选项】 (A)1 (B) 23a (C)a 8 (D)不能确定【答案】A【解析】解析：设318-=a x ,则8132+=x a ,83312+=+x a原式()3228313x x x +++=()3228313xx x +-++3238133+++=x x x 3238133+-+-+x x x ()3381+=x ()3381x -+2121x x -++==1 选A.点评：此题若用常规方法根本无法入手进行解答，此处换元法的运用妙在能达到化无理式为有理式的目的，从而使问题迎刃而解. 【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】2◆专题五：裂项法【试题来源】2003年第十四届“希望杯”全国数学竞赛第二试【题目】对于正整数n,有111111+-=+++n nn n n )n (，若某个正整数k 满足32111433413223121121=+++++++++k k k )k (,则k=______. 【答案】8【解析】解析：由公式111111+-=+++n nn n n )n (，因此有()111433413223121121++++++++++k k k k11131212111+-++-+-=k k111+-=k32111=+-k 3111=+∴k 8=∴k点评：裂项法在很多有关分式和分数的计算题中经常用到，我们仔细观察会发现能应用此方法进行计算的式子都有着某种特殊的规律.常用的裂项形式主要有以下几种： (1)()11111+-=+n n n n .如：200820071431321211⨯++⨯+⨯+⨯ 200812007131212111-++-+-= 200811-= 20082007=(2)()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+k n n k k n n 1111.如：2008200511071741411⨯++⨯+⨯+⨯ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+-⨯=2008120051714141131 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=20081131 2008200731⨯= 2008669=(3)111111+-=+++n n n n n )n (.如本题中()111433413223121121++++++++++k k k k11131212111+-++-+-=k k111+-=k .【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】4947474917557153351331++++++++【答案】73 【解析】考虑一般情形(21)(21)(21)(21)2121(2121)n n n n n n n n ==+-+-++-++-(2121)(2121)1(22121(2121)221212121n n n n n n n n n n n n +--+--===+-+-++--+原式11113{()(()2217713354749=+++-=-=【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂练习题【难度系数】3◆专题六：条件转化法【试题来源】2006年第十七届“希望杯”数学竞赛第一试【题目】已知x ＝22＋1，则分式15119232----x x x x 的值等于__________．【答案】2【解析】由x ＝22＋1得：221=-x两边平方得：()()22221=-x ,即722+=x x所以原式()()1511729272--+--+=x x x x x 154222---=x x()1547222--+-=x x12--==2点评：此题先通过乘方的方法将已知条件中的无理式x ＝22＋1，转化为有理式722+=x x .再代入所求代数式中，通过逐步降次，从而求得代数式的值，因此这种方法称为条件转化法. 【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】设215-=a ,则=-+---+aa a a a a a 3234522 . 【答案】－2 【解析】解:,,因此，本题正确答案是-2.【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂练习题【难度系数】3◆专题七：配方及平方法【试题来源】2008年第十九届“希望杯”数学竞赛第二试【题目】当2>x 时，化简代数式1212--+-+x x x x ，得 .【答案】12-x【解析】法一:解析：应用配方法可得：()112112+-+-=-+x x x x()2211121+•-+-=x x()211+-=x 同理可得：=--12x x ()211--x∴1212--+-+x x x x()()221111--++-=x x1111--++-=x x∵2>x∴原式12-=x .点评：配方法是化简多重根式的常用方法.其根本做法是把被开方式b a 2±配方成完全平方式()2y x ±的形式()0,0≥≥y x ,即是要设法找到两个正数x ，y(x ＞y)，使x+y=a ，xy=b ，则()y x yx xy y x b a ±=±=±+=±222,其中(x ＞y).法二: 对于上面的例子还可以进行另一种思考：由于12-+x x 与12--x x 互为有理化因式(共轭因式)，则有()()2222121212-=--=--•-+x x x x x x x ,因此原式平方后是一个有理式，所以上题还可以用平方法. 解析：设1212--+-+=x x x x y ，则y ＞0.将上式两边分别平方得：()()1212122122--+--•-++-+=x x x x x x x x y()221222--+=x x x44222+-+=x x x ()2222-+=x x222-+=x x∵2>x ，∴442-=x y ∴1244-=-=x x y点评：解答含根式的计算题，关键在于如何将无理式转化成有理式.如果原无理式直接平方后就能从无理式转化为有理式，那么我们不妨用平方法，这种方法的解题思路更加自然流畅，计算过程也更加简便易行.【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】武汉市选拔赛试题【题目】化简22)1(111+++n n ，所得的结果为（）A ．1111+++n nB ．1111++-n nC ．1111+-+n nD ．1111+--n n【答案】C【解析】待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式．原式222221*********(1)()()(1)(1)11n n n n n n n n n n n n n ++++-+-+=-=-++++选（C ）【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂练习题【难度系数】3◆专题八：巧用乘法公式解题【试题来源】2004年第十五届“希望杯”数学竞赛第二试【题目】对于任意的自然数n ，有f(n)=323232121121+-+-+++n n n n n , 则f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(999)＝ . 【答案】5【解析】注意到f(n)表达式的分母可整理成：()()2333231111-+-•+++n n n n ，形如22b ab a ++的形式，类似于立方差公式的一部份，因此考虑用立方差公式. 由立方差公式：()()2233bab a b a b a ++-=-有()()333311--+n n()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-•+++--+=23332333111111n n n n n n即()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-•+++•--+=233323331111112n n n n n n∴1=()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-•+++•--+2333233311111121n n n n n n将其代入f(n)表达式得：f(n ）=()()()()()23332323332333111111111121-+-•+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-•+++•--+•n n n n n n n n n n=()331121--+•n n∴f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(999)()()()()33333333998100021462124210221-•++-•+-•+-•=()3333333310009989984422021+-++-+-+-= 1021⨯= 5=点评：此题用常规方法无法入手进行解答，已知条件中的表达式也比较复杂，这时我们从表达式的形式上进行分析，得到22b ab a ++的形式，自然联想到立方差公式，然后运用乘法公式将条件进行转化，从而找到解决问题的捷径. 【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】3◆专题九：活用整数、根式的性质解题【试题来源】2006年第十七届“希望杯”数学竞赛第一试【题目】计算2200612008200720062005-+⨯⨯⨯的结果是__________．【答案】2005【解析】：注意到此题中2005、2006、2007、2008是四个连续的正整数，而四个连续的正整数的积与1的和是一个完全平方数.因此本题有了如下的简便解法：原式()()()2200612200612006200612006-++⨯+⨯⨯-==()[]()()[]2200612200612006120062006-++⨯-⨯+⨯=()()2222006122006200620062006-+-+⨯+()()22222006120062006220062006-++-+= ()2222006120062006--+=222006120062006--+==2005点评：正整数具有这样的性质“四个连续的正整数的积与1的和是一个完全平方数”，而本题恰是灵活运用了正整数的这一性质进行解答的.我们可以看到正整数的某些性质恰是解决有关正整数问题的金钥匙.【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】重庆市竞赛题【题目】已知254245222+-----=xx x x y ，则22y x += ．【答案】6【解析】因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足，不妨从二次根式的定义入手．二次根式有如下重要性质：(1)0≥a ，说明了a 与a 、n a 2一样都是非负数；(2) a a =2)( (≥a 0)，解二次根式问题的途径——通过平方，去掉根号有理化；(3) a a =2)(，揭示了与绝对值的内在一致性．著名数学教育家玻利亚曾说，“回到定义中去”，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解题．提示：22222205420,262045x x x y x y x x⎧-≥⎪⎪-→-==→+=⎨-⎪≥⎪-⎩ 【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】3习题演练【试题来源】【题目】计算：（11014152110141521+--+++；（23151026332185231--+-+++【答案】（1）562- （2）233-【解析】（1）原式101415212(57)3(57)(23)(57)101415212(57)3(57)(23)(57)+--+-+-+==++++++++(23)(32)(526)265==--=（2315102633218(31510)(1826)(332)52315231--+-+-+-+-=++++5(332)23(332)(332)(332)(5231)33252315231-+-+--++===++++【知识点】根式及其运算【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】“希望杯”邀请赛试题【题目】计算223810++ 【答案】24+【解析】原式222108122(2)108(12)108(12)=+++++++2224242(2)(42)42=++=+=【知识点】根式及其运算【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】湖北省孝感市“英才杯”竞赛题【题目】计算1212--+-+a a a a 【答案】见解析【解析】通过配方可以简化一重根号，本题的关键是就a 的取值情况讨论，解决含根号、绝对值符号的综合问题．原式222222121(1)121(1)(11)(11)a a a a a a =+-+---+-=+---2111112112a a a a a a a ⎧-≤≤≤⎪=--=⎨-->⎪⎩ 当1，即12时当>1，即时【知识点】根式及其运算【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】山东省竞赛题【题目】已知521332412---=----+c c b a b a ，求c b a ++的值．【答案】20【解析】思路点拨已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试．原式可化为：222221[(1)211][(2)2212][(3)2339]2a ab ac c ---+---+=----+即2221(11)(22)]33)02a b c -+-+-=，因此有110a -=，得2a =；220b -=，得6b =330c -=，得12c =。

整式,分式,因式分解,二次根式解题技巧

1.整式用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式．只含有数与字母的积的代数式叫单项式．注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如：ba 2314-这种表示就是错误的，应写成：b a 2313-．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．如：c b a 235-是六次单项式．几个单项式的和叫多项式．其中每个单项式叫做这个多项式的项．多项式中不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数．2. n 都是正整数)．．()n ab =再把注意：①单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同．②计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号．多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．注意：多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项． ①平方差公式：22))((b a b a b a -=-+；②完全平方公式：2222)(b ab a b a ++=+，2222)(b ab a b a +-=-；③立方和公式：3322))((b a b ab a b a +=+-+ ④立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++-；⑤ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++．注意：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式．同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．如：n m n m a a a -=÷(n m ,为正整数，0≠a )．注意：10=a (0≠a )；p a aa p p ,0(1≠=-为正整数)．单项式的除法法则：单项式相除，把系数和同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里面含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式的运算法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．注意：这个法则的适用范围必须是多项式除以单项式，反之，单项式除以多项式是不能这么计算的 322a ⨯；1=+a a ，不是)．123、分组分解法：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键是合理的选择分组的方法，分组时要预先考虑到分组后是否能直接提公因式或直接运用公式．4、十字相乘法：()()()q x p x pq x q p x ++=+++2．5、求根法：当二次三项式c bx ax ++2不易或不能写成用公式法或十字相乘法分解因式时，可先用求根公式求出一元二次方程02=++c bx ax 的两个根21,x x ，然后写成：()()212x x x x a c bx ax --=++．运用求根法时，必须注意这个一元二次方程02=++c bx ax 要有两个实数根．因式分解的一般步骤是：(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；(2)在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的次数：二项式可以尝试运用公式法分解因式；三项式可以尝试运用公式法、十字相乘法或求根法分解因式；四项式及四项式以上的可以尝试分组分解法分解因式；(3)分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止．4.分式一般的，用B A ,表示两个整式，B A ÷就可以表示成BA的形式．如果B 中含有字母，式子B A 就叫做分式．其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.分式和整式通称为有理式．注意：(1)分母中含有字母是分式的一个重要标志，它是分式与分数、整式的根本区别；(2)分式的分母的值也不能等于零．若分母的值为零，则分式无意义； (3)当分子等于零而分母不等于零时，分式的值才是零．把一个分式的分子与分母的公因式约去，把分式化成最简分式，叫做分式的约分．B A =这个“适解：(1)b a b a b a 34124131413132-=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎭⎝=-； (2)()()()2222222222222222125568560253040100)6.025.0(1003.04.06.0411034.0y x y x y x y x y x y x y x y x -+=-+=⨯-⨯+=-+ 222212568yx y x -+=． 1、分式的乘除法则：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示是：bd ac d c b a =⨯；bcadc d b a d c b a =⨯=÷． 2、分式的乘方法则：分式乘方是把分子、分母各自乘方．用式子表示是：n n nb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛(n 为整数)．3、分式的加减法则：①同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．用式子表示是：cba cbc a ±=±； ②异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减．用式子表示是：除运算，此类a 必①如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简．②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来．几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式．注意：当几个二次根式的被开方数相同时，也可以直接看出它们是同类二次根式．如24和243一定是同类二次根式．合并同类二次根式就是把几个同类二次根式合并成一个二次根式．合并同类二次根式的方法和合并同类项类似，把根号外面的因式相加，根式指数和被开方数都不变．把分母中的根号化去，叫分母有理化．如=+131)13)(13(13-+-2131313-=--=．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．如1313-+和；2323-+和；a 和a ；a b a a b a -+和都是互为有理化因式．注意：二次根式的除法，往往是先写成分子、分母的形式，然后利用分母有理化来运算．如22133)7(32133)73)(73()73(3733)73(322+=-+=+-+=-=-÷． (1))0()(2≥=a a a ．(4)b a 号里的(例烦，解：6321263212--+++--232+=．例2、计算：()()()()751755337533225++++-+++-．分析：按一般的方法做起来比较麻烦，注意题目的结构特点，逆用分式加、减法的运算法则“aba b b a ±=±11”进行变换，进而运用“互为相反数的和为零”的性质来化简．解：()233525+-+=- ；()355737+-+=-，∴原式751751531531321+++-+++-+=23-=．例3、已知273-=x ，a 是x 的整数部分，b 是x 的小数部分，求b a ba +-的值．分析：先将x 分母有理化，求出b a ,的值，再求代数式的值．解： 27273+=-=x ，又372<< ， 54<<∴x ．一、例1故有a 例2于是可以发现3+22=()221+，且()21363+=+，通过因式分解，分子所含的1+32-的因式就出来了。

二次根式与因式分解

二次根式与因式分解二次根式1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）；（2）==a a 25.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）； b b a a=（b ≥0，a >0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．经典例题 1. 把下列二次根式化成最简二次根式(1) 27923x x - (2) a a b 1122-解析：（1）27923x x -=()x x -392，对二次根式有3≤x ；当03==x x 或时，27923x x -=0，当30<<x 时，27923x x -=x x -33；当0<x 时，27923x x -=x x --33（2）a a b 1122-=2222b a a b a -=22a b ab a -，当0>ab ，为221a b b-；当0<ab ，为221a b b --2. 已知两个最简二次根式x a +22和21x a b ++是同类二次根式，求a . b . x 的值. 解析：由题可知22=+=b a a ，122+=+x x 故1=a ,2=b ,1=x举一反三1. 把下列二次根式化成最简二次根式(1)23927x x - (2)32536x a x a x -a （a ＞0）a -（a ＜0） 0 （a =0）；经典例题1. 已知两个最简二次根式x a +22和21x a b ++是同类二次根式，求a . b . x 的值. 解析：由题可知22=+=b a a ，122+=+x x 故1=a ,1=b ,1=x2. 化简2a －（3-a ）2－a -3解析:(原式只有当a －3≥0才有意义，因此a ≥3，于是a -3=a －3，原式=2a －（a －3）－（a －3）=2a.3. 化简2a －()23-a －a -3解析:(1)当a ≥3，于是a -3=a －3，()332-=-a a ，原式=2a －（a －3）－（a －3）=6 （2）当a ≥3，于是a -3=3－a ，()a a -=-332，原式=2a －（a －3）－（a －3）=4a -6. 举一反三化简5522+-a a （a <5）经典例题已知：a =-+3131，b =+-3131求代数式4222-++ab b a 的值解析：a =-+-=-()()()31313142322 =2－3b =+-+=+()()()31313142322=2＋3 ∴a ＋b =4，ab =1则 4222-++ab b a举一反三已知x =-+3131，y =+-3131求x y 225+-的值. 因式分解1. 乘法公式：①平方差公式：（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2文字语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．②完全平方公式：（a ＋b 2 ＝a 2＋2ab ＋b 2（a －b 2 ＝a 2－2ab ＋b 2文字语言叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍．2. 因式分解：因式分解的定义．把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．掌握其定义应注意以下几点：（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；（2）因式分解必须是恒等变形；（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．弄清因式分解与整式乘法的内在的关系．因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．二、熟练掌握因式分解的常用方法．1. 提公因式法2. 公式法: 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：①平方差公式：a2－b2 ＝（a＋b）（a－b）②完全平方公式：a2＋2ab＋b2 ＝（a＋b）2a2－2ab＋b2 ＝（a－b）23. 十字相乘法。

二次根式与二次方程的解法与因式分解

二次根式与二次方程的解法与因式分解一、二次根式的定义及性质二次根式是指形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。

二次根式与二次方程有着密切的联系，因为在解二次方程的过程中，我们经常会遇到涉及到二次根式的计算和化简。

对于形如√a的二次根式，可以通过以下性质进行化简或计算：1. 二次根式的乘法性质：√a * √b = √(a * b)（其中a和b为非负实数）。

2. 二次根式的除法性质：√a / √b = √(a / b)（其中a和b为非负实数，且b不为0）。

3. 二次根式的加法与减法性质：√a ± √b 无法进行简化，但可以根据需要合并或分开。

二、二次方程的解法二次方程是指形如ax² + bx + c = 0（其中a、b、c为实数，且a≠0）的方程。

求解二次方程的一般步骤如下：1. 将方程移项，将其转化为标准形式：ax² + bx + c = 0。

2. 利用求根公式：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a，计算方程的解。

3. 根据判别式Δ = b² - 4ac的取值情况，可以得到方程的解的个数与性质：a) 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数解。

b) 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数解。

c) 当Δ < 0时，方程没有实数解，但可能有复数解。

三、二次方程的因式分解在解二次方程时，有时我们需要进行因式分解，以便更好地理解和计算方程的解。

当方程为完全平方时，即存在实数k使得(ax + k)² = 0，可以通过因式分解求解得到方程的解。

例如，对于方程x² - 4x + 4 = 0，可以进行因式分解得到(x - 2)² = 0，进而得到x = 2为方程的唯一解。

此外，在某些情况下，我们可以通过对方程进行配方法式进行因式分解。

具体的配方法式可根据具体问题而定，不同的问题可能采用不同的配方法。

初中数学二次根式公式定理,因式分解等公式定理汇总

初中数学二次根式公式定理，因式分解等公式定理汇总因式分解公式定理1 因式分解11 因式如果一个次数不低于一次的多项式因式,除这个多项式本身和非零常数外,再也没有其他的因式,那么这个因式(即该多项式)就叫做质因式12 因式分解把一个多项式写成几个质因式乘积形式的变形过程叫做多项式的因式分解1 提取公因式法2 运用公式法3 分组分解法4 十字相乘法5 配方法6 求根公式法13 用待定系数法分解因式2 余式定理及其应用21 余式定理f(x)除以(x-a)的余式是常数f(a)如果f(a)=0,那么f(x)必定含有因式x-a;反过来,如果f(x)含有因式x-a,那么f(a)=0这个结论叫做因式定理22 余式定理的应用23 因式分解法解一元方程24 根与系数的关系如果x1,x2时二次三项式ax²+bx+c(a不等于)0的两个根,那么x1+x2=-b/a,x1x2=c/a二元二次方程组公式定理第七章二元二次方程组1 二元二次方程与二元二次方程组11 二元二次方程含有两个未知数,并且未知数最高次数是2的整式方程,称为二元二次方程关于x,y的二元二次方程的一般形式是ax²+bxy+cy²+dy+ey+f=0其中ax²,bxy,cy²叫做方程的二次项,d,e叫做一次项,f叫做常数项12 二元二次方程组2 二元二次方程组的解法21 第一种类型的二元二次方程组的解法当二元二次方程组的二元二次方程可分解成两个一次方程的时候,我们就可以把分解得到的各方程与原方程组的另一个方程组组成两个新的方程组来解这种解方程组的方法,称为分解降次法22 第二种类型的二元二次方程组的解法分式与二次根式公式定理第六章分式与二次根式1 分式与分式方程11 指数的扩充12 分式和分式的基本性质设f,g是一元或多元多项式,g的次数高于零次,则称f,g之比f/g为分式分式的基本性质分数的分子与分母都乘以或除以同一个不等于0的数,分数的值不变13 分式的约分和通分分式的约分是将分子与分母的公因式约去,使分式化简如果一个分式的分子与分母没有一次或一次以上的公因式,且各系数没有大于1的公约数,则此分式成为既约分式既约分式也就是最简分式对于分母不相同的几个分式,将每个分式的分子与分母乘以适当的非零多项式,使各分式的分母相同,而各分式的值保持不变,这种运算叫做通分14 分式的运算15 分式方程方程的两遍都是有理式,这样的方程成为有理方程如果有理方程中含有分式,则称为分式方程2 二次根式21 根式在实数范围内,如果n个x相乘等于a,n是大于1的整数,则称x为a的n次方根含有数字与变元的加,减,乘,除,乘方,开方运算,并一定含有变元开方运算的算式成为无理式22 最简二次根式与同类根式具备下列条件的二次根式称为最简二次根式:(1)被开方式的每一个因式的指数都小于开方次数(2)根号内不含有分母如果几个二次根式化成最简根式以后,被开方式相同,那么这几个二次根式叫做同类根式23 二次根式的运算24 无理方程根号里含有未知数的方程叫做无理方程资料来源：初中数学。

人教版五四《轴对称,整式乘除因式分解,分式,二次根式》全册知识点

整式乘除及因式分解知识点归纳：1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。

如：bc a 22-的系数为2-，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。

2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。

多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。

如：122++-x ab a ，项有2a 、ab 2-、x 、1，二次项为2a 、ab 2-，一次项为x ，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。

3、整式：单项式和多项式统称整式。

注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。

也不是单项式和多项式。

5n m ,都是正整数）逆运算为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

注意底数可以是多项式或单项式。

________3=⋅a a ；________32=⋅⋅a a a 532)()()(b a b a b a +=+∙+，6n m ,幂的乘方，底数不变，指数相乘。

如：10253)3(=-23326)4()4(4==_________)(32=a ；_________)(25=x ；（）)()(334a a =7、积的乘方法则：n 是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。

如：（523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=∙∙∙-________)(3=ab ；________)2(32=-b a ；________)5(223=-b a8n m a ,,0≠都是正整数，且)n m 同底数幂相除，底数不变，指数相减。

如：3334)()()(b a ab ab ab ==÷________3=÷a a ；________210=÷a a ；________55=÷a a91。

p a ,0≠是正整数），即一个不等于零的数的p -次方等于这个数的p 次方的倒数。