电磁感应习题课

E感 R B 2r t
2
A
×
θ ×
C
θ′ B
则
AC
r dB h dB E感 dl E感dl cos＝ cosdl dl 2 dt 2 dt
h dB 3 2 dB 3 AC R ( AC R, h R sin60 R) 2 dt 4 dt 2 R 2 dB R 2 h dB CB E感 dl E感 dl cos ＝ cos dl 2 dl 2r dt 2r dt 3R/ 2 R 2 h dB R 2 h dB 1 l 3R/ 2 dl arctg R / 2 2 2 2( h l ) dt 2 dt h h R/2
2 R 2 dB 1 3 R dB 1 ( tg 3 tg ) ( ) 2 dt 3 2 dt 3 6 2 dB R 12 dt
AB AC CB
3 2 dB ( )R 4 12 dt
方向：从 A→C →B
解法二：作辅助线 OA，OB，OC，OB 与圆周交点 于 D，ΔAOC 和扇形 OCD 所围回路产生的电动势 即为 AB 产生的电动势，设方向为顺时针 d dB S dt dt 1 2 1 2 3 2 S S OAC S COD R sin 60 R ( )R 2 2 6 4 12
3 2 dB ( )R 4 12 dt 5 2.1 10 V
即从 A→C →B。
× × × × O × × × × Dr θθ R × r × h × < 0，方向为反时针， A × θ × C ×
θ′ B
4. 一三角形线框 ABC 与无限长直导线共面，其 AB 边与直导线平行，位置和尺寸如图，求二者之 间的互感系数。 0 I B 解：设长直导线电流为 I B 2 (a x ) I a 取面元 dS hdx (b a x )tgdx
D dS q 0 S B E dl dS t L S 麦克斯韦方程组的积分形式 B dS 0 S 要清楚每个式子的物理意义 D H dl ( j0 ) dS t L S
y
h=20cm d=5cm
B
0 Iydx dΦ 2 (d x ) b 0 Iydx 0 I Φ 2 ( d x ) 2 0
b
2 (d x )
0 I
, dS ydx,
A I h d
y
h=20cm d=5cm b=10cm x

0
b
ydx dx
2 (a x ) ba ba 0 I ba x 0 I b a x Φ tgθ dx tgθ ( ）dx 2 a＋x 2 a x a＋x 0 0 0 I b tgθ [b l n (b a )] 2 a
所以
Φ 0 b M tgθ （b ln a b) I 2 a
0 I 0 I B 2x 2 ( x r1 r2 )
Φ
r1 b

r1
0 Ia 1 1 ( )dx 2 x x r1 r2
O A
B r1
x
0 Ia r1 b r2 b (ln ln ) 2 r1 r2
I
I r2 r2 b cost (ln ln ) dt 2 r1 r2
位移电流密度
位移电流
D jD t D I D dS t S
四、特殊的结论 无限长螺线管的自感 同轴电缆的自感
E感 r B 2 t
L n V
2
R2 l L ln 2 R1 R 2 B E感 2r t
五、举例 1. 如图，两条平行导线和一个矩形导线框共 面，且导线框的一个边与长导线平行，到两长导 线的距离分别为 r1，r2，已知两导线中电流都为 I ＝ I0sint，I0， 为常数，导线框长为 a 宽为 b 求导线框中电动势。
方向：若 cost > 0，逆 时针方向；若 (2)线框中的互感电动势： cost < 0，顺 0a dI1 l n 3I 0 cost 时针方向。 2 M dt 2
0 I 1 0 I 1a b Ψ12 d adr ln 2r 2 c S c 12 0 a b 0 a M ln ln 3 I1 2 c 2
解：设导线为导体 1，带电流 0 I1 为 I1，螺绕环为导体 2，则 B1 2 r
i
R1
R2
b
O
代入数据，即可求出最后结果。
9. 有大小两个圆形线圈同心共轴放置，小线圈由 50 匝 表面绝缘的细导线绕成圆面积 S = 4.0cm2 ，大线圈由 100 匝表面绝缘的导线绕成，大圆半径 R = 20cm，求： (1)两线圈的互感系数； (2)当大线圈中的电流以 50A/s 的变化率减少时，小线 圈中的感应电动势的大小。 解：(1)设大线圈中的电流为 I1，小线圈较小，可以 认为大线圈产生的磁场在小线圈中是均匀的，则 0 N 1 I1 B1 2R 0 N 1 N 2 S2 R Ψ12 N 2 S 2 B1 I1 2R s 0 N 1 N 2 S2 Ψ 12 M 6.28 10 6 H I1 2R
2
3
4
L ( L1 L2 2 M ) dI dt
7. 一无限长直导线通以电流 I = I0sint，和直导线 在同一平面内有一矩形线框，其短边与直导线平行， b = 3c，如图所示. I I 0 sint 求：(1)直导线与线框的互感系数。 (2)线框中的互感电动势。 a 解：(1)设直导线为 1，带电流为 I1， 0 I1 线框为 2，则有 c b B1 2 r
dΦ 2.59 108 dI 5.18 108V
dt dt
其方向为反时针方向。
3. 在半径为 R = 10cm 的圆柱形空间充满磁感应强度 为 B 的均匀磁场，如图所示，B 的量值以 3.0×10-3T/s 的恒定速率增加。有一长为 L = 20cm 的金属棒放在图 示位置，一半在磁场内部，另一半在磁场外部，求感 应电动势 AB。 解法一：如图取 dl， × × 已知 AC 上的 E感 为 × × × r B O E感 × × × × 2 t R r θ θ′ r × CB 上的 E感 为 h × ×
ε11
L1
M
L2
I 增加
1 ε21
同理得 L2 中的电动势
2 22 21
dI dI ( L2 M ) dt dt
2 3
4
ε22
ε12
总电动势为
dI 2 1 2 ( L1 L2 2 M ) dt
L

I
dI
( L1 L2 2 M )
b
B
O xdx b
0 I 2 x 0.2 0 I x 0.1 dx dx 2 0 x 0.05 0 x 0.05 b 0 I x 0.05 0.15 8 ( )dx 2.59 10 I 0 x 0.05 x 0.05
电磁感应习题课 小 结
动生电动势（洛仑兹力) 感生电动势（感生电场） 2. 感生电场 二、基本规律 3. 自感 4. 互感 5. 位移电流
一、基本概念
1. 感应电动势
d d d , , N 1. 法拉第电磁感应定律 dt dt dt
2. 楞次定律（判定感应电流和感应电动势的方向） 3. 麦克斯伟方程组（积分形式）
b
8. 一矩形截面螺绕环由细导线密绕而成，内半径为 R1， 外半径为 R2，高为 b，共 N 匝；在螺绕环的轴线上另 有一无限长直导线 OO′，如图所示，在螺绕环内通以 交变电流 i = I0cost，求当 t =π/4 时，在无限长导体 中的感应电动势。
O
R2 I b 0 NI1b R2 0 1 12 N B dS N dr ln R1 2r 2 R1 S 0 Nb R2 Ψ 12 故： M ln I1 2 R1 dI2 0 NbI0 R2 1 M ln sint dt 2 R1
dI ③ 自感电动势的计算 L dt
dΦ (闭 合 、 一 段 ） dt
dI2 ④ 互感电动势的计算 1 M dt
dI1 2 M dt
2. 互感和自感的计算
2Wm Ψ Ψ 12 Ψ 21 L , M , L 2 I I1 I2 I
3. 磁场能量的计算 1 W m LI 2 2 1 1 2 2 Wm L1 I 1 L2 I 2 M 12 I 1 I 2 2 2 2 1B 1 1 1 2 wm H BH B H 2 2 2 2 1 Wm dWm wm dV B HdV 2 V V 4. 位移电流的计算
dt
1
增加
2
3
4
②反接时，每只线圈中的互 ε11 感电动势与自感电动势反向 dI dI 1 ( L1 M ) dt dt dI dI 2 ( L2 M ) dt dt
ε21
ε22
ε12
dI 2 1 2 ( L1 L2 2 M ) dt
1
I 增加
三、计算类型 1. 感应电动势的计算
（ v B） dl ； ① 动生电动势的计算
方向： (v B ) dl 正方向确定；楞次定律确定。
dΦ ( 闭合、一段） dt
② 感生电动势的计算 E 感 dl ；
方向：E 感 正方向确定；楞次定律确定。
解：对这类题目主要类型 有① I 不变，线圈以 v 运动； O A B ②线圈不动， I 变化 ；③ I 变 r1 化，线圈运动，都应先求出 B I I 分布，然后求出 ＝ ( t )， r2 最后求出 d / dt。