第4章_图形处理技术基础

第4章图形处理技术基础
4.1 图形的几何变换
•图形几何变换的基本原理
•二维图形的基本变换
•二维图形的组合变换
•三维图形的变换、工程图的生成
4.1.1 图形几何变换的基本原理
•图形：无论二维或图形，都是由组成图形的点、点之间的连线、连线构成的面、以及点、线、面之间的关系表达的。

•图形变换：只是改变图形顶点的坐标，不改变它们的拓扑关系。

•从原理上讲：图形的几何变换，实际上位点的变换。

•一个点的坐标可以用矩阵形式[x y]或表示，
坐标变换的矩阵表示形式为：•AT=B ，T 为变换矩阵
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡y x ][][][*
*
dy bx cy ax d c b a y x
y x
++=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⋅=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡=d c b a T 设4.1.2 二维图形的基本变换
⎩⎨⎧+=+=dy
bx y cy ax x *
*
变换类型
（1）比例变换
当b=c=0，a 、d>0，
][00][][*
*
dy ax d a y x
y x
=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⋅=1）等比例变换a=d 时
2）不等比例变换a ≠d 时
⎩⎨⎧+=+=dy
bx y cy ax x *
*
（2）对称变换1）对X轴
a=1，d＝－1；2）对Y轴
a＝－1，d＝1；3）对原点
A＝－1，d＝－1⎩
⎨
⎧
+
=
+
=
dy
bx
y
cy
ax
x
*
*
（4）旋转变换
]
cos sin sin cos [][,sin ,sin ,cos *
*
θθθ
θθθθy x y x y x
c b
d a +−=−====当绕原点的旋转，转角逆时针为正。

⎩
⎨⎧+=+=dy bx y cy ax x **
齐次坐标与射影几何
齐次坐标
•将一个n维空间的点用n+1维坐标来表示。

–如在直角坐标系中，二维点[x y]的齐次坐标
通常用三维坐标[Hx Hy H]表示；
–一个三维点[x y z] 的齐次坐标通常用四维坐
标[Hx Hy Hz H]表示。

–最后一维坐标H称为比例因子，H为不为零
的任意实数。

当a=d=s=1，b=c=p=q=0，l 、m 不全为0时，
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=s m l q d c p b a T :变换矩阵[][]]1
[101000111**m
y l x m l y x y x ++=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡
⋅=l 为X 方向的平移因子，m 为Y 方向的平移因子。

4.1.3 二维图形的组合变换
•工程应用中，仅用基本变换不能实现图形的变换；
•必须采用两种或两种以上的基本变换组合才能完成，即组合变换。

•设各次变换的变换矩阵分别为T1，
T2，…，Tn，则组合变换矩阵是各次变换矩阵的乘积。

绕任意一点对图形实施旋转变换
例1：三角形abc，坐标分别为a（6，4），b（9，4），c（6，6），绕A（5，3）点逆时针旋转90。

图形变换由如下
步骤组合：
（1）平移变换
（2）旋转变换
（3）平移变换
（1）将图形平移（－l，－m），使得旋转中心在原点
（2）三角形绕原点旋转变换
（3）将图形平移（l，m），得到满足要求的几何变换。

•组合变换矩阵
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=⋅⋅=13501000110000101013
501
000
1
321T T T T 则，变换后的顶点：
⎥⎥
⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎣⎡=⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1421
74144166149
146
111'
'
'
'
'
'
T y x y x y x a a a a a a
思考：当图形要对画面中的某一点A(x
0,y
)作
放大时，通过哪些基本变换复合而成？
(1) 首先将图形平移，使点A与坐标原点(0，0)重合；
(2) 然后图形以（0，0）为中心作放大；
(3)最后将图形平移，使点A回原处。

4.1.4 三维图形的几何变换
三维点坐标——三维点齐次坐标（x，y，z）——（x，y，z，1）
三维图形的几
何变换矩阵
正视图侧视图
俯视图
原理同于二维图形在三维空间，矢量
4.1.6 投影变换
•投影变换时各类变换中最重要的一种，是把n维坐标系中的点变成小于n维坐标系的点。

•术语：
–平面几何投影：投影面是平面
–投影线：物体发出的光线与投影中心的连线
–投影中心：投影线的汇聚点
–投影图：物体在投影面上的图形
–平行投影：投影中心与投影面距离无限远
–透视投影：投影中心与投影面距离有限
工程图的生成
三维图形转化为二维工程图的变换
X Z
Y
主视图的生成
•取XOZ 面为主视图的投影面，变化矩阵为
X Z Y
⎥⎥
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000010000000001Tv
俯视图的生成
•俯视图：取XOY 面为投影面，然后绕x 轴顺时针旋转90度，然后平移一定的距离d 。

Z Z Z
•俯视图变换矩阵为
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡
−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢
⎣⎡−−−−−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100010
001
00001
10000)
90cos()90sin(00)90sin()90cos(000
011000000000100001d T H Z Z Z
左视图的生成
•左视图：取YOZ 面为投影
面，然后绕Z 轴逆时针旋
转90度，然后平移d 。

X Z Y ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100010000100001100000000090cos 90sin 0090sin 90cos 1000010000100000d T H
2. 轴测投影
•CAD/CAM 设计的图形大多数为三维，轴测图的显示需要用到轴测投影变换。

•轴测投影变换实质是三维组合变换，先绕2个轴旋转，在向一个平面投影。

•例如先绕y 轴旋转φ角，再绕x 轴旋转θ角，最后向XOY 平面投影。

⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−=100000000010000110000cos sin 00sin cos 0000110000cos 0sin 00100sin 0cos θθθθφφφφT
•轴间角：∠X1O1Y1、∠X1O1Z1、∠Y1O1Z1•轴向变形系数：O1X1/ OX=ηx、O1Y1/ OY=ηy、O1Z1/ OZ=ηz
正二轴测投影变换
•当ηx =2ηy =ηz =1时，为正二轴测投影；•先绕y 轴旋转φ=19°28″，再绕x 轴旋转θ= 20°42″
•变换矩阵为：
⎥⎥
⎥
⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡−=100001312.0354.000943.0000118.0935.0T
正等轴测投影变换
•当ηx =ηy =ηz =0.82时，为正等轴测投影；•轴间角120°
•先绕y 轴旋转φ=45°，再绕
x 轴旋转θ= 35°16″
•变换矩阵为：
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−=100001
408.0707.000
816.0000
408.0707.0T
3 . 透视投影
•投影线从视点出发，投影线不平行。

•比轴测图更富立体感，投影位于投影中心和实体之间。

•灭点：任何一束不平行于投影面的平行线的透视投影的交汇点。

•主灭点：与坐标轴平行的平行线的灭点。

•根据主灭点的个数，分为一点透视、二点透视和三点透视。

d 1d 2
二点透视三点透视。