第六章6.2知能演练轻松闯关
人教版历史选修3：第六单元第1课知能演练轻松闯关
1.(2012·烟台高二测试)1945年10月，51国代表签署了《联合国宪章》，联合国正式成立，作为联合国的会员国()①各国主权平等②各国都在安理会上行使否决权③各国善意履行宪章义务④不得以武力分割他国领土完整和政治独立A．①②③④B．①②③C．①③④D．②③④解析：选C。
本题主要考查学生再认再现历史知识的能力。
①③④都是联合国各成员国必须遵循的原则；②错误，只有美、苏、英、法、中五个常任理事国在安理会上拥有否决权。
2.联合国成立初期被美国操纵的主要原因是()A．《联合国宪章》确定美国具有特殊的权力B．联合国总部设在美国C．在安理会常任理事国中资本主义国家占多数D．美国凭借政治军事力量控制了大多数成员国解析：选D。
联合国决议采用表决的方式，每个会员国都拥有一票表决权。
3.联合国是二战后建立的普遍性的国际组织，下面哪项不．属于这一组织维护世界和平的活动()A．1948年在巴勒斯坦建立停战监督组织B．1950年联合国军出兵朝鲜C．1978年召开第一届裁军特别联大D．派驻维和部队化解地区冲突解析：选B。
美国操纵联合国通过出兵朝鲜的决议，这是美国利用联合国称霸的表现。
4.2012年1月15日，济南军区首批赴南苏丹和第八批南苏丹维和部队，在位于西加扎勒河洲的瓦乌任务区举行轮换交接。
这标志着第八批赴苏丹维和部队圆满完成维和任务。
维和部队在执行任务时，其主要领导机关是()A．中国中央军委B．联合国C．派往国的军队最高统帅D．当地医院领导解析：选B。
本题考查学生的分析能力。
注意题目要求“执行任务”“主要领导机关”，以及关键信息“苏丹”“维和”，并结合所学知识可知B项正确。
一、选择题1.下列关于联合国的评价，不．正确的是()A．最具普遍性的国际组织B．规模最大的国家C．最重要的国际组织D．最有影响力的国际组织解析：选B。
联合国是国际组织，而不是一个国家，故B项不正确。
2.第一次向世界宣告要建立一个新的普遍性的国际组织，是在1943年10月苏、中、美、英四国共同签署的()A．《大西洋宪章》B．《联合国家宣言》C．《关于普遍安全的宣言》D．《联合国宪章》解析：选C。
第六章第5课时知能演练轻松闯关
1．下列说法正确的是()A．合情推理就是归纳推理B．合情推理的结论不一定正确，有待证明C．演绎推理的结论一定正确，不需证明D．类比推理是从特殊到一般的推理答案：B2．数列1,2,4,8,16,32的一个通项公式是()A．a n＝2n B．a n＝2n－1C．a n＝2n D．a n＝2n＋1答案：B3．(教材习题改编)下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n边形内角和是(n－2)·180°.A．①②B．①③C．①②④D．②④答案：C4．(2011·高考江西卷)观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72011的末两位数字为()A．01 B．43C．07 D．49解析：选B.因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2401,75＝16807,76＝117649，…，所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T＝4.又因为2011＝4×502＋3，所以72011的末两位数字与73的末两位数字相同，故选B.5．两条直线相交，对顶角相等，∠A和∠B是对顶角，则∠A＝∠B.该证明过程中大前提是________，小前提是________，结论是________．答案：两条直线相交，对顶角相等∠A和∠B是对顶角∠A＝∠B6．(2010·高考陕西卷)观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为________．解析：由前三个的规律即：左边为连续正整数的立方和，右边为连续正整数和的平方，可得结果．答案：13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152)1．下列平面图形中与空间平行六面体作为类比对象较合适的是()A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形解析：选C.因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C.2．由710>58，911>810，1325>921，…，若a >b >0且m >0，则b ＋m a ＋m 与b a 之间大小关系为( )A ．相等B ．前者大C ．后者大D ．不确定解析：选B.观察题设规律，由归纳推理易得b ＋m a ＋m >ba.3．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是( )A ．①B ．②C ．③D ．①和②解析：选B.由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论．故选B. 4．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x ) 解析：选D.由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (－x )＝－g (x )．5．在平面内有n (n ∈N *，n ≥3)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若这n 条直线把平面分成f (n )个平面区域，则f (5)的值是________，f (n )的表达式是__________．解析：由题意，n 条直线将平面分成n (n ＋1)2＋1个平面区域，故f (5)＝16，f (n )＝n 2＋n ＋22.答案：16 f (n )＝n 2＋n ＋226．在圆中有结论：如图所示，“AB 是圆O 的直径，直线AC ，BD 是圆O 过A ，B 的切线，P 是圆O 上任意一点，CD 是过P 的切线，则有PO 2＝PC ·PD ”．类比到椭圆：“AB 是椭圆的长轴，直线AC ，BD 是椭圆过A ，B 的切线，P 是椭圆上任意一点，CD 是过P 的切线，则有________．”解析：椭圆中的焦半径类比圆中的半径． 答案：PF 1·PF 2＝PC ·PD7．在锐角三角形ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，D 、E 是垂足，试用演绎推理求证：AB 的中点M 到D ，E 的距离相等．证明：因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，(大前提) 在△ABD 中，AD ⊥BC ，即∠ADB ＝90°，(小前提) 所以△ABD 是直角三角形．(结论) 同理，△AEB 也是直角三角形．因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，(大前提)而M 是Rt △ABD 斜边AB 的中点，DM 是斜边上的中线，(小前提)所以DM ＝12AB .(结论)同理，EM ＝12AB .所以，DM ＝EM ，即AB 的中点M 到D 、E 的距离相等．1．①由“若a ，b ，c ∈R ，则(ab )c ＝a (bc )”类比“若a 、b 、c 为三个向量，则(a ·b )c ＝a (b ·c )”；②在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2，猜想a n ＝2n －2；③在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”．上述三个推理中，正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：选C.①三个实数之积满足乘法的结合律，而三个向量之积是向量，而两个向量相等要满足方向和大小都相等，向量(a ·b )c 与向量a (b ·c )不一定满足，故①错误；②由a n ＋1＝2a n ＋2，可得a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，故数列{a n ＋2}为等比数列，易求得a n ＝2n －2，故②正确；③在四面体ABCD 中，设点A 在底面BCD 上的射影是O ，则三个侧面的面积都大于其在底面上的投影的面积，三个侧面的面积之和一定大于底面的面积，故③正确．2．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第7行第4个数(从左往右数)为( ) 11 12 12 13 16 1314 112 112 14 15 120 130 120 15 … A.1140 B.1105 C.160 D.142解析：选A.第6行从左到右各数依次为16，130，160，160，130，16，第7行从左到右各数依次为17，142，1105，1140，1105，142，17，故选A.3．(2012·太原重点中学联考)给出下列命题：命题1：点(1,1)是直线y ＝x 与双曲线y ＝1x 的一个交点；命题2：点(2,4)是直线y ＝2x 与双曲线y ＝8x 的一个交点；命题3：点(3,9)是直线y ＝3x 与双曲线y ＝27x的一个交点；……请观察上面命题，猜想出命题n (n 是正整数)为______________．解析：观察题中给出的命题易知，命题n 中交点坐标为(n ，n 2)，直线方程为y ＝nx ，双曲线方程为y ＝n 3x.答案：点(n ，n 2)是直线y ＝nx 与双曲线y ＝n 3x的一个交点4．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n(n ∈N *)，则a 3＝________，a 1·a 2·a 3·…·a 2013＝________.解析：分别求出a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，可以发现a 5＝a 1，数列{a n }以4为周期且a 1·a 2·a 3·a 4＝1.故a 1·a 2·a 3·…·a 2013＝a 1＝2.答案：－1225．已知等式：sin 25°＋cos 235°＋sin5°cos35°＝34；sin 215°＋cos 245°＋sin15°cos45°＝34；sin 230°＋cos 260°＋sin30°cos60°＝34；….由此可归纳出对任意角度θ都成立的一个等式，并予以证明． 解：归纳已知可得：sin 2θ＋cos 2(θ＋30°)＋sin θcos(θ＋30°)＝34.证明如下：sin 2θ＋cos 2(θ＋30°)＋sin θcos(θ＋30°)＝sin 2θ＋(32cos θ－12sin θ)2＋sin θ(32cos θ－12sin θ)＝sin 2θ＋34cos 2θ＋14sin 2θ－12sin 2θ＝34.6．先解答(1)，再根据结构类比解答(2)：(1)已知a ，b 为实数，且|a |<1，|b |<1，求证：ab ＋1>a ＋b .(2)已知a ，b ，c 均为实数，且|a |<1，|b |<1，|c |<1，求证：abc ＋2>a ＋b ＋c . (3)你能再用归纳推理方法猜想出更一般地结论吗？ 即x i ∈R ，|x i |<1(i ＝1,2，…，n )时，有________． 解：(1)证明：ab ＋1－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0. (2)证明：∵|a |<1，|b |<1，|c |<1，据(1)得(ab )·c ＋1>ab ＋c ， ∴abc ＋2＝[(ab )·c ＋1]＋1>(ab ＋c )＋1＝(ab ＋1)＋c >a ＋b ＋c . (3)x 1x 2…x n ＋n －1＞x 1＋x 2＋…＋x n .。
第六章第3课时知能演练轻松闯关
第六章第3课时知能演练轻松闯关1. 在直角坐标平面内, 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1y ≥00≤x ≤t所表示的平面区域的面积为32, 则t 的值为( )A. －3或 3B. －3或1C. 1D. 3解析：选C.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1y ≥00≤x ≤t所表示的平面区域如图中阴影部分所示. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1x ＝t解得交点B (t , t ＋1), 在y ＝x ＋1中, 令x ＝0得y ＝1, 即直线y ＝x ＋1与y 轴的交点为C (0, 1), 由平面区域的面积S ＝1＋t ＋1×t2＝32得t 2＋2t －3＝0, 解得t ＝1或t ＝－3(不合题意, 舍去), 故选C.2. O 为坐标原点, 点M 的坐标为(1,1), 若点N (x , y )的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2≤42x －y ≥0y ≥0则OM →·ON →的最大值为( ) A. 2 B. 2 2 C. 3D. 2 3解析：选B.如图, 点N 在图中阴影区域内, 当O 、M 、N 共线时, OM →·ON →最大, 此时N (2, 2), OM →·ON →＝(1,1)·(2, 2)＝22, 故选B.3. (2011·高考陕西卷)如图, 点(x , y )在四边形ABCD 内部和边界上运动, 那么2x －y 的最小值为________.解析：令b ＝2x －y , 则y ＝2x －b , 如图所示, 作斜率为2的平行线y ＝2x －b ,当经过点A 时, 直线在y 轴上的截距最大, 为－b , 此时b ＝2x －y 取得最小值, 为b ＝2×1－1＝1. 答案：14. 设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0x ＋y －3≥0y ≤2表示的平面区域为M , 若函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象经过区域M , 则实数k 的取值范围是________.解析：作出平面区域, 如图所示. 因为函数的图象是过点P (－1, 1), 且斜率为k 的直线l , 由图知, 当直线l 过点A (1,2)时, k 取最大值12; 当直线l 过点B (3,0)时, k 取最小值－14故k ∈[－14, 12]. 答案：[－14, 12]一、选择题1. 在平面直角坐标系中, 若点(－2, t )在直线x －2y ＋4＝0的上方, 则t 的取值范围是( )A. (－∞, 1)B. (1, ＋∞)C. (－1, ＋∞)D. (0,1)解析：选B.将x ＝－2代入直线x －2y ＋4＝0中, 得y ＝1.因为点(－2, t )在直线上方, ∴t >1.2. (2012·保定质检)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0y ≥a0≤x ≤3表示的平面区域是一个三角形, 则a 的取值范围是( ) A. a <5 B. a ≥8C. 5≤a <8D. a <5或a ≥8解析：选C.解⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5＝0x ＝0得(0,5),解⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5＝0x ＝3得(3,8),∴5≤a <8.3. (2011·高考山东卷)设变量x , y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0x －y －2≤0x ≥0则目标函数z＝2x ＋3y ＋1的最大值为( ) A. 11 B. 10 C. 9 D. 8.5解析：选B.作出不等式组表示的可行域, 如图阴影部分所示.又z ＝2x ＋3y ＋1可化为y ＝－23x ＋z 3－13, 结合图形可知z ＝2x ＋3y ＋1在点A 处取得最大值.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －5＝0x －y －2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝1故A (3,1).此时z ＝2×3＋3×1＋1＝10.4. 某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品, 由乙车间加工出B 产品, 甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时, 可加工出7千克A 产品, 每千克A 产品获利40元; 乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时, 可加工出4千克B 产品, 每千克B 产品获利50元. 甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工, 每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时, 甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( ) A. 甲车间加工原料10箱, 乙车间加工原料60箱B. 甲车间加工原料15箱, 乙车间加工原料55箱C. 甲车间加工原料18箱, 乙车间加工原料50箱D. 甲车间加工原料40箱, 乙车间加工原料30箱解析：选B.设甲车间加工原料x 箱, 乙车间加工原料y 箱, 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤7010x ＋6y ≤480x y ∈N,目标函数z ＝280x ＋200y , 结合图象可得：当x ＝15, y ＝55时, z 最大.5. 已知实数x , y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋18≥02x ＋3y ≥0x ≤3, 若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋8, 最小值为3a －2, 则实数a 的取值范围为( ) A. a ≥23B. a ≤－23C. －23≤a ≤23D. a ≥23或a ≤－23解析：选C.作出x , y 满足的可行域, 如图中阴影部分所示, 则z 在点A 处取得最大值, 在点C 处取得最小值. 又k BC ＝－23, k AB ＝23,∴－23≤－a ≤23, 即－23≤a ≤23.二、填空题6. 在平面直角坐标系中, 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0x －y ＋2≥0x ≤2表示的平面区域的面积为________.解析：作出可行域为△ABC (如图), 则S △ABC ＝4.答案：47. 设实数x , y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0x ＋2y －4≥02y －3≤0则y x的最大值为________.解析：y x 表示点(x , y )与原点(0,0)连线的斜率, 在点⎝⎛⎭⎫1，32处取到最大值. 答案：328. (2011·高考课标全国卷)若变量x , y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ＋y ≤96≤x －y ≤9则z ＝x ＋2y的最小值为__________.解析：作出不等式表示的可行域如图(阴影部分).易知直线z ＝x ＋2y 过点B 时, z 有最小值.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝9 2x ＋y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4 y ＝－5.所以z min ＝4＋2×()－5＝－6.答案：－6 三、解答题9. 若直线x ＋my ＋m ＝0与以P (－1, －1)、Q (2,3)为端点的线段不相交, 求m 的取值范围. 解：直线x ＋my ＋m ＝0将坐标平面划分成两块区域, 线段PQ 与直线x ＋my ＋m ＝0不相交, 则点P 、Q 在同一区域内, 于是, ⎩⎪⎨⎪⎧－1－m ＋m >02＋3m ＋m >0, 或⎩⎪⎨⎪⎧－1－m ＋m <02＋3m ＋m <0所以, m 的取值范则点P 、Q 在同一区域内, 于是, ⎩⎪⎨⎪⎧－1－m ＋m >02＋3m ＋m >0, 或⎩⎪⎨⎪⎧－1－m ＋m <02＋3m ＋m <0所以, m 的取值范围是m <－12.10. 已知关于x 、y 的二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4x －y ≤1x ＋2≥0.(1)求函数u ＝3x －y 的最大值和最小值; (2)求函数z ＝x ＋2y ＋2的最大值和最小值.解：(1)作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4x －y ≤1x ＋2≥0表示的平面区域, 如图：由u ＝3x －y , 得y ＝3x －u , 得到斜率为3, 在y 轴上的截距为－u , 随u 变化的一组平行线. 由图可知, 当直线经过可行域上的C 点时, 截距－u 最大, 即u 最小, 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝4x ＋2＝0, 得C (－2,3),∴u min ＝3×(－2)－3＝－9.当直线经过可行域上的B 点时, 截距－u 最小, 即u最大, 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝4x －y ＝1, 得B (2,1),∴u max ＝3×2－1＝5.∴u ＝3x －y 的最大值是5, 最小值是－9. (2)作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4x －y ≤1x ＋2≥0表示的平面区域如图：由z ＝x ＋2y ＋2, 得y ＝－12x ＋12z －1, 得到斜率为－12在y 轴上的截距为12z －1, 随z 变化的一组平行线, 由图可知, 当直线经过可行域上的A 点时, 截距12－1最小, 即z 最小, 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1x ＋2＝0, 得A (－2, －3), ∴z min ＝－2＋2×(－3)＋2＝－6.当直线与直线x ＋2y ＝4重合时, 截距12z －1最大, 即z 最大,∴z max ＝x ＋2y ＋2＝4＋2＝6.∴z ＝x ＋2y ＋2的最大值是6, 最小值是－6.11. 某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个, 生产一个卫兵需5分钟, 生产一个骑兵需7分钟, 生产一个伞兵需4分钟, 已知总生产时间不超过10小时. 若生产一个卫兵可获利润5元, 生产一个骑兵可获利润6元, 生产一个伞兵可获利润3元. (1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润w (元); (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大, 最大利润是多少？ 解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y , 所以利润w ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300. (2)约束条件为⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 5x ＋7y ＋4100－x －y ≤600100－x －y ≥0 x ≥0 y ≥0 x y ∈N.整理得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＋3y ≤200x ＋y ≤100x ≥0y ≥0 x y ∈N.目标函数为w ＝2x ＋3y ＋300.作出可行域. 如图所示：初始直线l 0：2x ＋3y ＝0, 平移初始直线经过点A 时, w 有最大值.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝200x ＋y ＝100得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50 y ＝50.最优解为A (50,50), 所以w max ＝550元.所以：每天生产卫兵50个, 骑兵50个, 伞兵0个时利润最大为550元.。
湘教版数学选修2-26.2.1知能演练轻松闯关.docx
1.(2012·渝北调研)已知a >b >0，则证明a －b <a －b 可选择的方法，以下最合理的是( )A ．综合法B ．分析法C ．类比法D ．归纳法解析：选B.首先，排除C 、D.然后，比较综合法、分析法． 我们选择分析法，欲证：a －b <a －b ，只需证：a <b ＋a －b ，即证：a <b ＋(a －b )＋2b （a －b ），只需证：0<2b （a －b ），显然成立，原不等式得证．2.在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，则三边a ，b ，c 应满足的条件为( )A ．a 2<b 2＋c 2B ．a 2＝b 2＋c 2C ．a 2>b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 2解析：选C.若∠A 为钝角，则由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc<0，即b 2＋c 2<a 2. 3.(2011·高考天津卷)已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．c >a >b解析：选B.∵2<3.6<4，∴log 23.6>1>log 43.6.又∵log 43.6>log 43.2，∴a >c >b .4.设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a 、b 、c 的大小关系为________．解析：∵b ＝47＋3，c ＝46＋2， 显然b <c .而a 2＝2，∴c 2＝(6－2)2＝8－212＝8－48<8－36＝2＝a 2，∴a >c ，∴a >c >b .答案：a >c >b一、选择题1.下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法．其中正确的语句有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个解析：选A.①②③④正确．2.(2011·高考北京卷)如果log 12x <log 12y <0，那么( )A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x 解析：选D.不等式转化为⎩⎪⎨⎪⎧log 12x <log 12y log 12y <0，⇒1<y <x .3.某同学证明不等式7－1＞11－5的过程如下： 要证7－1＞11－5，只需证7＋5＞11＋1，即证7＋27×5＋5＞11＋211＋1，即证35＞11，即证35＞11.因为35＞11成立，所以原不等式成立．这位同学使用的证明方法是( )A ．综合法B ．分析法C ．综合法，分析法结合使用D ．其他证法解析：选B.根据分析法的思维特点可判定出来．4.(2012·江北检测)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，A ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b (a >0，b >0)，则A ，B ，C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤BC ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A解析：选A.由于a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b， 又函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 在R 上为减函数，故f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b . 5.(2012·南川检测)已知A ，B 为△ABC 的两个内角，则A >B 是sin A >sin B 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.A >B ⇔a >b ⇔2R sin A >2R sin B ⇔sin A >sin B .6.若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系为( )A ．P >QB ．P ＝QC ．P <QD ．由a 的取值确定解析：选C.由于P >0，Q >0，所以要比较P 与Q 的大小，只须比较P 2与Q 2的大小． Q 2－P 2＝(a ＋3＋a ＋4)2－(a ＋a ＋7)2＝2a 2＋7a ＋12－2a 2＋7a .∵a 2＋7a ＋12>a 2＋7a ，∴a 2＋7a ＋12>a 2＋7a ，∴2a 2＋7a ＋12>2a 2＋7a ，∴Q 2>P 2，∴Q >P .二、填空题7.将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证____________，即证______________，由于______________显然成立，因此原不等式成立．答案：a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥08.(2011·高考天津卷)已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b 的最小值为________．解析：由log 2a ＋log 2b ≥1得log 2(ab )≥1，即ab ≥2，∴3a ＋9b ＝3a ＋32b ≥2×3a ＋2b 2(当且仅当3a ＝32b ，即a ＝2b 时“＝”号成立)．又∵a ＋2b ≥22ab ≥4(当且仅当a ＝2b 时“＝”成立)，∴3a ＋9b ≥2×32＝18.即当a ＝2b 时，3a ＋9b 有最小值18. 答案：189.已知x ，y ∈R ＋，当x 2＋y 2＝________时，有x 1－y 2＋y 1－x 2＝1.解析：要使x 1－y 2＋y 1－x 2＝1，只需x 2(1－y 2)＝1＋y 2(1－x 2)－2y 1－x 2， 即2y 1－x 2＝1－x 2＋y 2.只需使(1－x 2－y )2＝0，即1－x 2＝y ，∴x 2＋y 2＝1.答案：1三、解答题10.已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac a< 3. 证明：∵a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，∴a >0，c <0，要证原不等式成立，只要证b 2－ac <3a ，即证b 2－ac <3a 2，也即证(a ＋c )2－ac <3a 2，即(a －c )(2a ＋c )>0，∵a －c >0，2a ＋c ＝(a ＋c )＋a＝a －b >0.∴(a －c )(2a ＋c )>0成立，故原不等式成立．11.如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．(1)证明：CD ⊥AE ；(2)证明：PD ⊥平面ABE .证明：(1)在四棱锥P -ABCD 中，∵P A ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，故P A ⊥CD .∵AC ⊥CD ，P A ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面P AC .而AE ⊂平面P AC ，∴CD ⊥AE .(2)由P A ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝P A ，∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC .由(1)知，AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ，∴AE ⊥平面PCD .而PD ⊂平面PCD ，∴AE ⊥PD .∵P A ⊥底面ABCD ，PD 在底面ABCD 内的射影是AD ，AB ⊥AD ，∴AB ⊥PD ，又∵AB ∩AE ＝A ，综上得PD ⊥平面ABE .12.(创新题)已知非向零量a ⊥b ，求证：|a |＋|b ||a －b |≤ 2. 证明：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0.要证|a |＋|b ||a －b |≤2，只需证|a |＋|b |≤2|a －b |， 平方得|a |2＋|b |2＋2|a ||b |≤2(|a |2＋|b |2－2a ·b )，只需证|a |2＋|b |2－2|a ||b |≥0，即(|a |－|b |)2≥0，显然成立．故原不等式得证．。
第六章第2课时知能演练轻松闯关
一、选择题1.不等式(1＋x )(1－|x |)>0的解集为( )A ．{x |0≤x <1}B ．{x |x <0且x ≠－1}C ．{x |－1<x <1}D ．{x |x <1且x ≠－1}解析：选D.不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，（1＋x ）（1－x ）>0， 或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，（1＋x ）（1＋x ）>0.∴0≤x <1或x <0且x ≠－1.∴x <1且x ≠－1.2.(2012·高考重庆卷)不等式x －1x ＋2＜0的解集为( ) A ．(1，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(－2，1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：选C.原不等式化为(x －1)(x ＋2)＜0，解得－2＜x ＜1，∴原不等式的解集为(－2，1)．3.设a ＞0，不等式－c ＜ax ＋b ＜c 的解集是{x |－2＜x ＜1}，则a ∶b ∶c ＝( )A ．1∶2∶3B ．2∶1∶3C ．3∶1∶2D ．3∶2∶1解析：选B.∵－c ＜ax ＋b ＜c ，又a ＞0，∴－b ＋c a ＜x ＜c －b a. ∵不等式的解集为{x |－2＜x ＜1}，∴⎩⎪⎨⎪⎧－b ＋c a ＝－2c －b a＝1，∴⎩⎨⎧b ＝a 2c ＝32a ，∴a ∶b ∶c ＝a ∶a 2∶3a 2＝2∶1∶3. 4.(2013·石家庄模拟)不等式－3＜4x －4x 2≤0的解集为( )A ．{x |－12＜x ＜32} B ．{x |－12＜x ≤0或1≤x ≤32} C ．{x |－12＜x ≤0或1≤x ＜32} D ．{x |1≤x ＜32} 解析：选C.原不等式可化为：4x －4x 2＞－3，①且4x －4x 2≤0，②解①得：－12＜x ＜32， 解②得：x ≤0或x ≥1，①，②取交集得：－12＜x ≤0或1≤x ＜32， 所以原不等式的解集为{x |－12＜x ≤0或1≤x ＜32}． 5.若不等式mx 2＋2mx －4＜2x 2＋4x 对任意x 均成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2，2]B ．(－2，2)C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞)D ．(－∞，2]解析：选A.原不等式等价于(m －2)x 2＋2(m －2)x －4＜0，①当m ＝2时，对任意的x 不等式都成立；②当m －2＜0时，Δ＝4(m －2)2＋16(m －2)＜0，∴－2＜m ＜2，综合①②，得m ∈(－2，2]．二、填空题6.(2013·无锡模拟)不等式4x －2x ＋2＞0的解集为__________．解析：由4x －2x ＋2＞0得2x (2x －4)＞0.又因为2x ＞0，所以2x ＞4，解得x ＞2，故原不等式的解集为(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)7.若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a >0的解集是________． 解析：原不等式即(x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |a <x <1a 8.(2012·高考山东卷)若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝__________． 解析：∵|kx －4|≤2，∴－2≤kx －4≤2，∴2≤kx ≤6.∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2.答案：2三、解答题9.若不等式ax 2＋5x －2＞0的解集是{x |12＜x ＜2}． (1)求实数a 的值；(2)求不等式ax 2－5x ＋a 2－1＞0的解集．解：(1)由题意知a ＜0，且方程ax 2＋5x －2＝0的两个根为12，2，代入解得a ＝－2. (2)由(1)知不等式为－2x 2－5x ＋3＞0，即2x 2＋5x －3＜0，解得－3＜x ＜12， 即不等式ax 2－5x ＋a 2－1＞0的解集为(－3，12)． 10.某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家ISP 公司可供选择．公司A 每小时收费1.5元；公司B 在用户每次上网的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算)．假设该同学一次上网时间总是小于17小时，那么该同学如何选择ISP 公司较省钱？解：假设一次上网x (x ＜17)小时，则公司A 收取的费用为1.5x 元，公司B 收取的费用为1.7＋(1.7－0.1)＋(1.7－0.2)＋…＋[1.7－(x －1)×0.1]＝x （35－x ）20(元)．由x （35－x ）20＞1.5x (0＜x ＜17)， 整理得x 2－5x ＜0，解得0＜x ＜5，故当0＜x ＜5时，A 公司收费小于B 公司收费，当x ＝5时，A 、B 两公司收费相等，当5＜x ＜17时，B 公司收费低．所以当一次上网时间在5小时以内时，选择公司A 较省钱；为5小时时，选择公司A 与公司B 费用一样多；超过5小时小于17小时，选择公司B 较省钱．一、选择题1.(2013·潍坊模拟)若不等式f (x )＝ax 2－x －c ＞0的解集为{x |－2＜x ＜1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )解析：选B.依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2－c ＝0a －1－c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1c ＝－2， 所以f (x )＝－x 2－x ＋2，故f (－x )＝－x 2＋x ＋2，其图象开口向下，与x 轴交于点(2，0)，(－1，0)．故选B. 2.已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1，1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是( )A ．－1＜b ＜0B ．b ＞2C ．b ＜－1或b ＞2D ．不能确定解析：选C.由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )图象关于直线x ＝1对称，即a 2＝1得a ＝2. 又f (x )开口向下，所以当x ∈[－1，1]时，f (x )为增函数，∴f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立，解得b ＜－1或b ＞2.二、填空题3.某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是__________．解析：七月份：500(1＋x %)，八月份：500(1＋x %)2.所以一至十月份的销售总额为：3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]≥7 000，解得1＋x %≤－2.2(舍)或1＋x %≥1.2，∴x min ＝20.答案：204.已知存在实数x 使得不等式|x －3|－|x ＋2|≥|3a －1|成立，则实数a 的取值范围是__________．解析：由于||x －3|－|x ＋2||≤|(x －3)－(x ＋2)|＝5，|x －3|－|x ＋2|的值域是[－5，5]，因此依题意得|3a －1|≤5，－5≤3a －1≤5，由此解得－43≤a ≤2.因此，实数a 的取值范围是[－43，2]．答案：[－43，2] 三、解答题5.已知不等式mx 2－2x ＋m －2＜0.(1)若对于所有的实数x ，不等式恒成立，求m 的取值范围；(2)设不等式对于满足|m |≤2的一切m 的值都成立，求x 的取值范围．解：(1)对所有实数x ，不等式mx 2－2x ＋m －2＜0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x ＋m －2的图象全部在x 轴下方，当m ＝0时，－2x －2＜0，显然对任意x 不能恒成立；当m ≠0时，由二次函数的图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝4－4m （m －2）＜0，解得m ＜1－2，综上可知m 的取值范围是(－∞，1－2)．(2)设g (m )＝(x 2＋1)m －2x －2，它是一个以m 为自变量的一次函数，由x 2＋1＞0知g (m )在[－2，2]上为增函数，则由题意只需g (2)＜0即可，即2x 2＋2－2x －2＜0，解得0＜x ＜1.即x 的取值范围是(0，1)．。
第四节~第五节知能演练轻松闯关
1．(单选)下列说法中，不．正确的是()A．发射出去的无线电波，可以无损耗地传播到无限远处B．无线电波遇到导体，就可在导体中激起同频率的振荡电流C．波长越短的无线电波，越接近直线传播D．移动电话也是通过无线电波进行通讯的解析：选A.无线电波在传播过程中事实上都存在损耗；当无线电波遇到导体时，就可在导体中激起同频率的振荡电流；而波长越短越不易发生衍射就越接近直线传播；而移动电话不是通过有线传输的，而是通过无线电波进行通讯的．2．(单选)关于电磁波的调制技术，下列说法不．正确的是()A．使高频载波的振幅随信号改变的调制叫做调幅B．使高频载波的频率随信号改变的调制叫做调频C．中、短波段的无线电广播，使用的是调幅方式D．调幅波的优点是抗干扰能力强，传递过程中失真比较小解析：选D.调频波的振幅不变，抗干扰能力比较强，传递过程中失真比较小，所以不正确的是D.3．(单选)传播电视信号的电磁波是()A．无线电波 B．γ射线C．紫外线D．X射线解析：选A.电视信号利用的微波段属于无线电波．4．(单选)关于移动电话，下列说法不．正确的是()A．随身携带的移动电话(手机)内，只有无线电接收装置，没有无线电发射装置B．随身携带的移动电话(手机)内，既有无线电接收装置，又有无线电发射装置C．两个携带手机的人，必须通过固定的基地台转接，才能相互通话D．无线寻呼机(BP机)内只有无线电接收装置，没有无线电发射装置解析：选A.手机既有发射装置，又有接收装置．寻呼机只能被动接收信号，不能发射信号．5．请回答电磁污染的危害有哪些？答案：电磁污染的危害有：①在飞机上使用手机、电脑，会干扰飞机的通信系统．②配有心脏起搏器的人使用手机可能导致起搏器工作异常．③长期、过量的电磁辐射会损害人的中枢神经系统、心血管系统、内分泌系统、生殖系统等．表现出头晕、失眠、记忆力减退、情绪不佳等症状．一、单项选择题1．关于无线电波的发送和接收，下述说法中正确的是()A．为了将信号发送出去，先要进行调谐B．为了从各个电台发出的电磁波中将需要的选出来，就要进行调制C．为了从高频电流中取出声音信号，就要进行调频D．由开放电路可以有效地把电磁波发射出去解析：选D.要将信号发送出去，先要进行的是调制．要从各个电台发出的电磁波中将需要的选出来，要进行的是调谐．要从高频电流中把声音信号取出来，要进行的是解调．只有采用开放电路(天线和地线)才能有效地把电磁场的能量辐射出去，闭合的电路只能使电磁场的能量在电路内相互转换．2．为了实现全球的电视转播，下列措施中正确的是()A．只需发射一颗同步卫星，在赤道平面上空运行B．至少需发射三颗同步卫星，在赤道平面上空运行C．只需发射一颗同步卫星，绕着通过南、北极的上空运行D．至少需发射三颗同步卫星，绕着通过南、北极的上空运行解析：选B.同步卫星只能在赤道平面上空，通过南、北极上空运行的卫星不可能是同步卫星，C、D错．由于电视信号属微波段，只能够直线传播，为了覆盖全球，至少需发射三颗同步卫星，使它们位于正三角形的顶点，地球内切于这个正三角形，如图所示．3．下列关于电视的说法中错误的是()A．电视信号的发射、接收过程是：景物→电信号→电磁波→电信号→图像B．摄像机在一秒钟内要传递24张画面C．显像管是将电信号还原成景物的像的关键部件D．画面更换迅速和视觉暂留现象使人们在荧光屏上看到的是活动景象解析：选B.摄像机在1 s内要传送25张画面．4．关于雷达的特点，下列说法正确的是()A．雷达所用无线电波的波长比短波更短B．雷达只有连续发射无线电波，才能发现目标C．雷达的显示屏上不能直接读出障碍物的距离D．雷达在能见度低的黑夜将无法使用答案：A5．关于电视机，下列说法正确的是()A．图像信号是用调频波发射的，声音信号是用调幅波发射的B．图像信号和声音信号都是调频波C．图像信号是用调幅波发射的，声音信号是用调频波发射的D．图像信号和声音信号都是调幅波解析：选C.电视机的图像信号是用调幅波发射的，而声音信号是用调频波发射的，声音比较好听．6．电视机换台时，实际上是在改变()A．电视台的发射频率B．电视机的接收频率C．电视台发射的电磁波的波速D．电视机接收的电磁波的波速解析：选B.电视机接收电磁波是利用电磁波的频率不同收看的电视频道不同，所以改变的是电视机的接收频率，只有B对．7．下列关于信息传递的说法中，正确的是()A．声、光和电磁波中，只有电磁波能够传递信息B．固定电话、移动电话、广播和电视都是利用导线中的电流传递信息的C．摄像机拍得的物体图像，直接通过发射天线发射传播信息D．微波通信、卫星通信、光纤通信、网络通信都可以用来传递信息解析：选D.声音可以传递信息，人们非常的熟悉．光也可以传递信息，所以A错．移动电话、无线电广播和电视都是无线传递的，所以B错．摄像机拍得的物体图像，首先要转变为电信号，而不能直接通过发射天线发射，C错．只有D对．8．产生酸雨的祸首是()A．二氧化碳B．氟利昂C．二氧化硫D．一氧化碳解析：选C.酸雨的主要成分是亚硫酸，二氧化硫与空气中的水蒸气接触会生成亚硫酸，故选项C正确．二、双项选择题9．为了保护环境，控制大气污染，人们可以采取的措施有()A．在城镇采用集中供热B．普及使用煤气和天然气C．禁止使用一切化学燃料D．改进燃烧设备，加装消烟除尘装置答案：AD10．下列说法中正确的是()A．发射图像信号不需要调制过程B．接收到的图像信号要经过调谐、解调C．电视信号包括图像信号和伴音信号D．电视信号中的图像信号和伴音信号的传播速度不同解析：选BC.发射图像和声音信号都需调制，所以A错．电视信号中的图像信号和伴音信号都以无线电波的形式发送，所以传播速度相同，D错．选B、C.三、非选择题11．1943年7月24日深夜，一批英国轰炸机偷袭德国汉堡时，被德国雷达发现．但突然间出现了一种令人奇怪的现象，雷达荧光屏上的目标信号急剧增加，似有千万架飞机铺天盖地而来，德军束手无策，只好盲目迎战结果大受损失．试分析这种现象的原因．答案：英军飞机到达目的地上空时，洒下了无数的箔片，由于箔片具有很强的反射电磁波的本领，因此使雷达上产生了无数的目标，从而使雷达失去了作用．12．“为了您和他人的安全，请您不要在飞机上使用手机和手提电脑．”这句提醒警示语是乘坐飞机的游客都听到过的语言，因为有些空难事故就是由于某位乘客在飞行的飞机中使用手机造成的.1996、1998年都出现过此类事故.1999年广州白云机场飞机降落时，机上有四位旅客同时使用了手机，使飞机降落偏离了8度，险些造成事故．请问为什么在飞机上不能使用手机和手提电脑呢(包括游戏机)?答案：由于手机在使用时要发射电磁波，对飞机产生电磁干扰，而飞机上的导航系统是非常复杂的，抗干扰能力不是很强，所以如果飞机上的乘客使用了手机，对飞机产生电磁干扰，那么后果将十分可怕．所以，在飞机上不要使用手机和手提电脑．。
2014届北师大版高中数学必修二(高一)章节测试题：第一章§6.2知能演练轻松闯关
1．若两个平面互相垂直，在第一个平面内的一条直线a垂直于第二个平面内的一条直线b，那么()A．直线a垂直于第二个平面B．直线b垂直于第一个平面C．直线a不一定垂直于第二个平面D．过a的平面必垂直于过b的平面解析：选C.对于两平面，无论关系如何，在两平面内一定可以找到互相垂直的两条直线，因此直线a不一定是第二个平面的垂线，故选C.2．如果直线a与平面α不垂直，那么平面α内与直线a垂直的直线有()A．0条B．1条C．无数条D．任意条解析：选C.可构造图形，若a∥α，a′α，且a′∥a，则在平面α内有无数条直线垂直于a′，故平面α内有无数条直线垂直于直线a.3．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则()A．α∥γB．α⊥γC．α与γ相交但不垂直D．以上都有可能解析：选D.结合图形，可考虑出α与γ有以下几种情况：α∥γ或α⊥γ，也可以α与γ相交但不垂直，故选D.4．在三棱锥P ABC中，P A＝PB＝PC，且PO⊥平面ABC，O为垂足，则O是△ABC 的()A．外心B．内心C．垂心D．重心解析：选A.如图所示，可以证明Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，∴OA＝OB＝OC，即O为△ABC外接圆的圆心．故选A.5．如图(1)所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠DCB＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体A－BCD(如图(2)所示)，则在四面体A－BCD中，下列命题正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC解析：选D.因为∠BAD＝90°，所以AD⊥AB.又因为∠BCD＝45°，AB＝AD，∠BAD＝90°，AD∥BC，所以∠DBC＝45°，所以∠BDC＝90°，即BD⊥CD.而平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，所以CD⊥AB，所以AB⊥平面ACD，所以平面ABC⊥平面ADC.6.如图，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为__________．解析：△ACB，△ACO，△COB，△AOD，△BOD，△COD均为直角三角形．答案：67．已知α，β是两个平面，m，n是两条直线，给出如下四个论断：①m⊥α；②n∥β；③α⊥β；④m∥n.现以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，请写出一个正确的说法__________．解析：由m⊥α，m∥n可知n⊥α，结合n∥β可得α⊥β，应填①②④⇒③.答案：①②④⇒③8．已知P A垂直于平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，平行四边形ABCD一定是________．解析：易知，BD⊥平面P AC，∴BD⊥AC，又四边形ABCD是平行四边形，∴ABCD一定是菱形．答案：菱形9.(2013·吉林高一检测)如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，求证：平面DMN∥平面ABC.证明：∵M、N分别是EA与EC的中点，∴MN∥AC，又AC平面ABC，MN平面ABC，∴MN∥平面ABC.∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，∴BD∥EC，四边形BDEC为直角梯形．∵N为EC中点，EC＝2BD，∴NC BD，∴四边形BCND为矩形，∴DN∥BC，又∵DN平面ABC，BC平面ABC，∴DN∥平面ABC.又∵MN∩DN＝N，且MN、DN平面DMN，∴平面DMN∥平面ABC.10．已知：平面α⊥平面β，平面α⊥平面γ，且β∩γ＝l，求证：l⊥α.证明：法一：如图(1)，在α内任取一点P，过点P分别作β，γ与α交线的垂线，垂足分别为A，B.∵β⊥α，γ⊥α，∴P A⊥β，PB⊥γ.∴P A⊥l，PB⊥l.又∵P Aα，PBα，P A∩PB＝P，∴l⊥α.法二：如图(2)，在l上任取一点Q，作QC⊥α于C，∵β∩γ＝l，∴Q∈β.∵β⊥α，∴QCβ.同理可证QCγ.∴QC＝β∩γ.即QC与l重合，∴l⊥α.法三：如图(3)，在β，γ内分别取点M，N，过M，N分别作α，β的交线及α，γ的交线的垂线c，d，则c⊥α，d⊥α.∴c∥d.∴c∥γ.又β∩γ＝l，∴l∥c，∴l⊥α.1．(2011·高考浙江卷)下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β解析：选D.两个平面α，β垂直时，设交线为l，则在平面α内与l平行的直线都平行于平面β，故A正确；如果平面α内存在直线垂直于平面β，那么由面面垂直的判定定理知α⊥β，故B正确；两个平面都与第三个平面垂直时，易证交线与第三个平面垂直，故C正确；两个平面α，β垂直时，平面α内与交线平行的直线与β平行，故D错误．2．已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b在α上的射影有可能是(1)两条平行直线，(2)两条互相垂直的直线，(3)同一条直线，(4)一条直线及其外一点．在上面的结论中，正确结论的编号是________．(写出所有正确结论的编号)．解析：(1)当且仅当直线垂直于平面时，直线在平面上的射影是一点．(2)当一条线在平面上的射影是一直线时，则该线必在以这条直线为交线的该平面的垂面内．对(3)，可得a、b共面，故不正确，对(1)、(2)、(3)、(4)均可想象出或画出以射影直线为交线的α的垂面或以射影点为垂足的α的垂线．(1)、(2)、(4)三种情况都有可能出现(如图)．答案：(1)(2)(4)3．如图，已知矩形ABCD，沿对角线AC将其折起，使B点在平面ACD上的射影O恰落在AD上．求证：AB⊥平面BCD.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC.∵BO⊥平面ACD，∴平面ABD⊥平面ACD.又∵CD⊥AD，∴CD ⊥平面ABD ，∴AB ⊥CD .∴由AB ⊥BC ，AB ⊥CD 可得AB ⊥平面BCD .4.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，Q为AD 的中点．(1)若P A ＝PD ，求证：平面PQB ⊥平面P AD ；(2)点M 在线段PC 上，PM ＝tPC ，试确定t 的值，使P A ∥平面MQB .解：(1)证明：连接BD ，如图．∵四边形ABCD 为菱形，∴AB ＝AD ，又∠BAD ＝60°，∴△ABD 为等边三角形．∵Q 为AD 中点，∴AD ⊥BQ .又P A ＝PD ，∴PQ ⊥AD .又BQ ∩PQ ＝Q ，∴AD ⊥平面PQB ，而AD 平面P AD ，∴平面PQB ⊥平面P AD .(2)当t ＝13时，P A ∥平面MQB . 连接AC 交BQ 于N ，由AQ ∥BC 可得，△ANQ ∽△BNC ，∴AQ BC ＝AN NC ＝12. ∵P A ∥平面MQB ，P A 平面P AC ，平面P AC ∩平面MQB ＝MN ， ∴P A ∥MN ，∴PM MC ＝12. ∴t ＝PM PC ＝13.。
第六章第2课时知能演练轻松闯关
第六章第2课时知能演练轻松闯关1. 设M ＝{x |x 2－x ≤0}, N ＝{x |1x≤1}, 则M ∩N ＝( )A. ∅B. {1}C. {x |0<x ≤1}D. {x |x ≥1}解析：选B.∵M ＝{x |0≤x ≤1}, N ＝{x |x －1x≥0}＝{x |x <0或x ≥1}, ∴M ∩N ＝{1}. 2. 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1>a2x －4<2a有解, 则实数a 的取值范围是( )A. (－1,3)B. (－∞, －1)∪(3, ＋∞)C. (－3,1)D. (－∞, －3)∪(1, ＋∞)解析：选A.∵⎩⎪⎨⎪⎧x －1>a2x －4<2a ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >a 2＋1x <2a ＋4,由题意得a 2＋1<2a ＋4, 即a 2－2a －3<0, 解得－1<a <3.3. (2012·上海交大附中月考)不等式(x ＋2)x 2－9≤0的解集为________.解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≤0x 2－9≥0或x 2－9＝0,即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2x ≤－3或x ≥3或x ＝±3,即x ≤－3或x ＝3. 答案：(－∞, －3]∪{3}4. 若不等式－4<2x －3<4与不等式x 2＋px ＋q <0的解集相同, 则p q＝________. 解析：由－4<2x －3<4得－12<x <72,由题意得72－12＝－p ,(－12)×72＝q , ∴p q ＝127. 答案：127一、选择题1. 不等式(1＋x )(1－|x |)>0的解集为( ) A. {x |0≤x <1} B. {x |x <0且x ≠－1} C. {x |－1<x <1}D. {x |x <1且x ≠－1}解析：选D.不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥01＋x 1－x >0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0 1＋x 1＋x >0.∴0≤x <1或x <0且x ≠－1.∴x <1且x ≠－1.2. (2011·高考江西卷)若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}, B ＝{x |x －2x≤0}, 则A ∩B ＝( ) A. {x |－1≤x ＜0} B. {x |0＜x ≤1} C. {x |0≤x ≤2} D. {x |0≤x ≤1}解析：选B.∵A ＝{x |－1≤x ≤1}, B ＝{x |0＜x ≤2},∴A ∩B ＝{x |0＜x ≤1}.3. 若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－4,1), 则不等式b (x 2－1)＋a (x ＋3)＋c >0的解集为( ) A. (－43, 1)B. (－∞, 1)∪(43, ＋∞)C. (－1,4)D. (－∞, －2)∪(1, ＋∞)解析：选A.由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－4,1)知a <0, －4和1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根, ∴－4＋1＝－b a , －4×1＝c a, 即b ＝3a , c ＝－4a .故所求解的不等式为3a (x 2－1)＋a (x ＋3)－4a >0, 即3x 2＋x －4<0, 解得－43<x <1, 故选A.4. (2012·洛阳调研)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈(0, 12]成立, 则a 的最小值为( ) A. 0 B. －2 C. －52D. －3解析：选C.由已知a ≥－x －1x , 当x ∈(0, 12]时, (－x －1x )max ＝－52, ∴a ≥－52.a 的最小值为－52.5. 若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解, 则a 的取值范围是( ) A. (－235, ＋∞) B. [－235, 1] C. (1, ＋∞)D. (－∞, －235] 解析：选A.由Δ＝a 2＋8>0, 知方程恒有两个不等实根, 又知两根之积为负, 所以方程必有一正根、一负根. 于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0, 解得a >－235.二、填空题6. 不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集, 则实数a 的取值范围是________. 解析：x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集. 只需Δ＝a 2－16>0, ∴a <－4或a >4. 答案：a <－4或a >47. 若0<a <1, 则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a >0的解集是________.解析：原不等式即(x －a )⎝⎛⎫x －1a <0, 由0<a <1得a <1a , ∴a <x <1a.答案：{x |a <x <1a8. (2012·贵阳质检)对于在区间[a , b ]上有意义的两个函数m (x )与n (x ), 如果对于区间[a ,b ]中的任意x 均有|m (x )－n (x )|≤1, 则称m (x )与n (x )在[a , b ]上是“密切函数”, [a , b ]称为“密切区间”, 若函数m (x )＝x 2－3x ＋4与n (x )＝2x －3在区间[a , b ]上是“密切函数”, 则b －a 的最大值为________.解析：由题意知m (x )＝x 2－3x ＋4与n (x )＝2x －3在区间[a , b ]上是“密切函数”, 则|m (x )－n (x )|≤1,即|(x 2－3x ＋4)－(2x －3)|≤1,∴|x 2－5x ＋7|≤1,∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋7≤1x 2－5x ＋7≥－1, 解得x ∈[2,3],则(b －a )max ＝3－2＝1. 答案：1 三、解答题 9. 解下列不等式. (1)19x －3x 2≥6; (2)x ＋1≥2x.解：(1)法一：原不等式可化为3x 2－19x ＋6≤0, 方程3x 2－19x ＋6＝0的解为x 1＝13, x 2＝6.函数y ＝3x 2－19x ＋6的图象开口向上且与x 轴有两个交点(13, 0)和(6,0).所以原不等式的解集为{x |13≤x ≤6}.法二：原不等式可化为3x 2－19x ＋6≤0 ⇒(3x －1)(x －6)≤0⇒(x －13)(x －6)≤0.∴原不等式的解集为{x |13≤x ≤6}.(2)原不等式可化为x＋1－2x≥0⇒x2＋x－2x≥0⇒x＋2x－1x≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x x＋2x－1≥0x≠0.如图所示, 原不等式的解集为{x|－2≤x<0, 或x≥1}.10. (2012·宁夏银川二中月考)若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3<x<1}.(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0;(2)b为何值时, ax2＋bx＋3≥0的解集为R?解：(1)由根与系数的关系解得a＝3.所以不等式变为2x2－x－3>0,解集为(－∞, －1)∪(32, ＋∞).(2)由题意知, 3x2＋bx＋3≥0的解集为R, Δ＝b2－4×3×3≤0, 解得b的取值范围是[－6,6].11. 某商品在最近30天内的销售价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)＝t＋10(0<t≤30, t∈N); 销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)＝－t＋35(0<t≤30, t∈N), 记日销售金额为Φ(t)(单位：元), 若使该种商品日销售金额不少于450元, 求时间t满足的条件.解：由题意知Φ(t)＝f(t)g(t)＝(t＋10)(－t＋35)＝－t2＋25t＋350(0<t≤30, t∈N),由Φ(t)≥450得－t2＋25t＋350≥450⇔t2－25t＋100≤0⇔5≤t≤20.所以若使该种商品日销售金额不少于450元, 则时间t满足t∈[5,20](t∈N).。
专题六知能演练轻松闯关
1．(2012·高考天津卷)某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率．解：(1)由分层抽样定义知，从小学中抽取的学校数目为6×2121＋14＋7＝3；从中学中抽取的学校数目为6×1421＋14＋7＝2；从大学中抽取的学校数目为6×721＋14＋7＝1. 故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A 1，A 2，A 3,2所中学分别记为A 4，A 5，大学记为A 6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B )的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3种．所以P (B )＝315＝15. 2．(2013·福州市质量检测)已知A 、B 、C 三个箱子中各装有两个完全相同的球，每个箱子里有一个球标着号码1，另一个球标着号码2.现从A 、B 、C 三个箱子中各摸出一个球．(1)若用数组(x ，y ，z )中的x 、y 、z 分别表示从A 、B 、C 三个箱子中摸出的球的号码，请写出数组(x ，y ，z )的所有情形，并回答一共有多少种；(2)如果请您猜测摸出的这三个球的号码之和，猜中有奖．那么猜什么数获奖的可能性最大？请说明理由．解：(1)数组(x ，y ，z )的所有情形为：(1,1,1)，(1,1,2)，(1,2,1)，(1,2,2)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,2,1)，(2,2,2)，共8种．(2)记“所摸出的三个球的号码之和为i ”为事件A i (i ＝3,4,5,6)，易知事件A 3的基本结果有1种，事件A 4的基本结果有3种，事件A 5的基本结果有3种，事件A 6的基本结果有1种，所以，P (A 3)＝18，P (A 4)＝38，P (A 5)＝38，P (A 6)＝18. 所以所摸出的三个球的号码之和为4或5的概率相等且最大．故猜4或5获奖的可能性最大．3．某航空公司进行空乘人员的招聘，记录了前来应聘的6名男生和9名女生的身高，数据用茎叶图表示如下(单位：cm)．应聘者获知：男性身高在区间[174,182]，女性身高在区间[164,172]的才能进入招聘的下一环节．(1)求6名男生的平均身高和9名女生身高的中位数；(2)现从能进入下一环节的应聘者中抽取2人，求至多有一位男生的概率．解：(1)依题意得，6名男应征者的平均身高是178＋173＋176＋186＋180＋1936＝181 (cm)， 9名女应征者身高的中位数为168 cm.(2)能进入下一环节的男生有3名，女生有4名．记满足条件的3名男生分别为a 1，a 2，a 3，满足条件的4名女生分别为b 1，b 2，b 3，b 4，则从中任取2人可以表示为：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 1，b 4)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 2，b 4)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 3，b 3)，(a 3，b 4)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 1，b 4)，(b 2，b 3)，(b 2，b 4)，(b 3，b 4)，即基本事件共21个．满足至多有一位男生的基本事件共18个．∴至多有一位男生的概率P ＝1821＝67. 4．(2012·高考北京卷)近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a ，b ，c ，其中a ＞0，a ＋b ＋c ＝600.当数据a ，b ，c 的方差s 2最大时，写出a ，b ，c 的值(结论不要求证明)，并求此时s 2的值．(注：s 2＝1n[](x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2，其中x 为数据x 1，x 2，…，x n 的平均数)解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝23. (2)设生活垃圾投放错误为事件A ，则事件A 表示生活垃圾投放正确．事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P (A )约为400＋240＋601 000＝0.7， 所以P (A )约为1－0.7＝0.3.(3)当a ＝600，b ＝c ＝0时，s 2取得最大值．因为x ＝13(a ＋b ＋c )＝200， 所以s 2＝13[(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2] ＝80 000.5．(2013·衡阳调研)我市第一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的2×2列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为311.(1)(2)根据列表中的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到9号或10号的概率．参考公式与临界值表：K 2＝n (ad －bc )2解：(1)110×311＝30， 故列联表如下：(2)K 2＝110×(10×30－20×50)260×50×30×80≈7.486<10.828. 因此按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”．(3)设“抽到9号或10号”为事件A ，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(x ，y )．所有的基本事件有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、…、(6,6)，共36个．事件A 包含的基本事件有：(3,6)、(4,5)、(5,4)、(6,3)、(5,5)、(4,6)、(6,4)，共7个．所以P (A )＝736， 即抽到9号或10号的概率为736.。
第六章第4课时知能演练轻松闯关
1．当x >1时，关于函数f (x )＝x ＋1x －1，下列叙述正确的是( )A ．函数f (x )有最小值2B ．函数f (x )有最大值2C ．函数f (x )有最小值3D ．函数f (x )有最大值3 答案：C2．若直线ax ＋by ＋1＝0(a 、b >0)过圆x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0的圆心，则1a ＋4b的最小值为( )A ．8B ．12C ．16D ．20解析：选C.∵圆心(－4，－1)在所给直线上， ∴4a ＋b ＝1. ∴1a ＋4b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋4b (4a ＋b )＝8＋b a ＋16ab≥8＋216＝16.3．(2010·高考重庆卷)已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．解析：∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥2·t ·1t－4＝－2.∴y min ＝－2. 答案：－24．设0<x <32，则函数y ＝x (3－2x )的最大值是________．解析：∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝x (3－2x )＝12·2x (3－2x )≤12⎝⎛⎭⎫2x ＋3－2x 22＝98，∴y max ＝98.答案：981．若a ＋b ＝2，则3a＋3b的最小值是( ) A ．18 B ．6C ．2 3D ．243解析：选B.3a ＋3b ≥23a ·3b ＝23a ＋b ＝6. 2．下列函数中，最小值为4的函数是( )A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x (0<x <π)C ．y ＝e x ＋4e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 81解析：选C.对于A ，x ＋4x ≥4或者x ＋4x≤－4；对于B ，等号成立的条件不满足；对于D ，也是log 3x ＋log x 81≥4或者log 3x ＋log x 81≤－4，所以答案为C.3．已知a >0，b >0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．5解析：选C.∵1a ＋1b ＋2ab ≥2ab ＋2ab ≥22×2＝4.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ab ＝1时，等号成立，即a ＝b ＝1时，不等式取最小值4.4．已知x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy ( )A ．有最大值eB ．有最大值 eC ．有最小值eD ．有最小值 e解析：选C.∵x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，∴ln x ·ln y ＝14≤(ln x ＋ln y 2)2，∴ln x ＋ln y ≥1⇒xy ≥e.5．函数y ＝x 2x 4＋9(x ≠0)的最大值为__________，此时x 的值为________．解析：y ＝x 2x 4＋9＝1x 2＋9x2≤129＝16，当且仅当x 2＝9x2，即x ＝±3时取等号．答案：16±36．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．解析：每年购买次数为400x.∴总费用＝400x ·4＋4x ≥26400＝160，当且仅当1600x＝4x ，即x ＝20时等号成立，故x ＝20.答案：207．(1)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；(2)当点(x ，y )在直线x ＋3y －4＝0上移动时，求表达式3x ＋27y ＋2的最小值； (3)已知x ，y 都是正实数，且x ＋y －3xy ＋5＝0，求xy 的最小值．解：(1)∵0<x <32，∴3－2x >0.∴y ＝4x ·(3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2[2x ＋(3－2x )2]2＝92.当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∵34∈(0，32)， ∴函数y ＝4x (3－2x )(0<x <32)的最大值为92.(2)由x ＋3y －4＝0得x ＋3y ＝4， ∴3x ＋27y ＋2＝3x ＋33y ＋2≥2·3x ·33y ＋2＝2·3x ＋3y ＋2 ＝2·34＋2＝20，当且仅当3x ＝33y 且x ＋3y －4＝0，即x ＝2，y ＝23时等号成立．∴表达式3x ＋27y ＋2的最小值为20. (3)由x ＋y －3xy ＋5＝0得x ＋y ＋5＝3xy . ∴2xy ＋5≤x ＋y ＋5＝3xy . ∴3xy －2xy －5≥0，∴(xy ＋1)(3xy －5)≥0，∴xy ≥53，即xy ≥259，等号成立的条件是x ＝y .此时x ＝y ＝53，故xy 的最小值是259.1．“a ＝14”是“对任意的正数x ，均有x ＋ax≥1”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件解析：选A.∵a ＝14，x >0时，x ＋a x ≥2 x ·a x ＝1，等号在x ＝12时成立，又a ＝4时，x＋a x ＝x ＋4x ≥2 x ·4x ＝4也满足x ＋a x≥1，故选A.2．如图，在等腰直角△ABC 中，点P 是斜边BC 的中点，过点P 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则mn 的最大值为( )A.12B ．1C ．2D ．3解析：选B.以点A 为原点，以AC 、AB 为x 、y 轴建立直角坐标系，设等腰直角△ABC 的腰长为2，则P 点坐标为(1,1)，B (0，2)、C (2,0)，∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AM →＝AB →m ，AN →＝AC →n ，∴M ⎝⎛⎭⎫0，2m 、N ⎝⎛⎭⎫2n ，0， ∴直线MN 的方程为my 2＋nx2＝1，∵直线MN 过点P (1,1)， ∴m 2＋n2＝1，∴m ＋n ＝2， ∵m ＋n ≥2mn ，∴mn ≤(m ＋n )24＝1，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，∴mn 的最大值为1.3．设正数x ，y 满足log 2(x ＋y ＋3)＝log 2x ＋log 2y ，则x ＋y 的取值范围是________．解析：原式等价于x ＋y ＋3＝xy ≤(x ＋y 2)2(当且仅当x ＝y 时取等号)，所以x ＋y ＋3≤(x ＋y )24，即(x ＋y )2－4(x ＋y )－12≥0，所以x ＋y ≥6或x ＋y ≤－2(舍去)，故x ＋y ∈[6，＋∞)．答案：[6，＋∞) 4．(2012·无锡调研)设圆x 2＋y 2＝1的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，则AB 的最小值为________．解析：由条件知切线在两轴上的截距存在，且不为零，故设切线方程为x a ＋yb＝1，则aba 2＋b 2＝1，∴a 2b 2＝a 2＋b 2≥2ab ，切线与两轴交于点A (a,0)和(0，b )，不妨设a >0，b >0，∴ab ≥2，则AB ＝|AB |＝a 2＋b 2≥2ab ≥2.答案：25．若x ，y ∈R ，且满足(x 2＋y 2＋2)(x 2＋y 2－1)－18≤0. (1)求x 2＋y 2的取值范围； (2)求证：xy ≤2.解：(1)由(x 2＋y 2)2＋(x 2＋y 2)－20≤0， 得(x 2＋y 2＋5)(x 2＋y 2－4)≤0，因为x 2＋y 2＋5>0，所以有0≤x 2＋y 2≤4，即x 2＋y 2的取值范围为[0,4]．(2)证明：由(1)知x 2＋y 2≤4，由基本不等式得xy ≤x 2＋y 22≤42＝2，所以xy ≤2.6．已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知圆M 过定点D (0,2)，圆心M 在轨迹C 上运动，且圆M 与x 轴交于A 、B 两点，设|DA |＝l 1，|DB |＝l 2，求l 1l 2＋l 2l 1的最大值．解：(1)设P (x ，y )，则Q (x ，－1)， ∵QP →·QF →＝FP →·FQ →， ∴(0，y ＋1)·(－x,2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)．即2(y ＋1)＝x 2－2(y －1)，即x 2＝4y ， 所以动点P 的轨迹C 的方程为x 2＝4y .(2)设圆M 的圆心坐标为(a ，b )，则a 2＝4b ，① 圆M 的半径为|MD |＝a 2＋(b －2)2.圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝a 2＋(b －2)2. 令y ＝0，则(x －a )2＋b 2＝a 2＋(b －2)2， 整理得，x 2－2ax ＋4b －4＝0.②将①代入②得x 2－2ax ＋a 2－4＝0，解得x ＝a ±2， 不妨设A (a －2,0)，B (a ＋2,0)，∴l 1＝(a －2)2＋4，l 2＝(a ＋2)2＋4.∴l 1l 2＋l 2l 1＝l 21＋l 22l 1l 2＝2a 2＋16a 4＋64＝2(a 2＋8)2a 4＋64＝21＋16a 2a 4＋64③当a ≠0时，l 1l 2＋l 2l 1＝21＋16a 2＋64a 2≤21＋162×8＝2 2. 当且仅当a ＝±22时，等号成立．当a ＝0时，由③得，l 1l 2＋l 2l 1＝2.故当a ＝±22时，l 1l 2＋l 2l 1的最大值为2 2.。
第六节知能演练轻松闯关
1．(单选)关于电场力与洛伦兹力，以下说法正确的是()A．电荷只要处在电场中，就会受到电场力，而电荷静止在磁场中，只有可能受到洛伦兹力B．电场力对放在电场中的电荷一定会做功，而洛伦兹力对磁场中的电荷却不会做功C．电场力与洛伦兹力一样，受力方向都在电场线和磁感线上D．只有运动的电荷在磁场中才会受到洛伦兹力的作用解析：选D.静止的电荷在磁场中不可能受到洛伦兹力的作用，A错；尽管电场力对电荷可以做功，但如果电荷不动，则电场力做功为零，因此B也错；洛伦兹力的方向与磁感线及运动方向垂直，故C错，D正确．2．(单选)关于运动电荷和磁场的说法中，正确的是()A．运动电荷在某点不受洛伦兹力作用，这点的磁感应强度必为零B．电荷的运动方向、磁感应强度方向和电荷所受洛伦兹力的方向一定互相垂直C．电子射线由于受到垂直于它的磁场作用而偏转，这是因为洛伦兹力对电子做功的结果D．电荷与磁场没有相对运动，电荷就一定不受磁场的作用力解析：选D.运动电荷处于磁感应强度为零处，所受洛伦兹力为零，但当运动电荷的速度方向和磁场方向一致时(同向或反向)也不受洛伦兹力的作用；运动电荷受到的洛伦兹力垂直于磁场方向和电荷运动方向所决定的平面，即洛伦兹力既垂直磁场方向，又垂直于电荷的运动方向，但磁场方向和电荷运动方向不一定垂直；因为洛伦兹力一定垂直于电荷的运动方向，所以洛伦兹力永远不做功；运动电荷受洛伦兹力的作用做圆周运动，这里的运动应是与磁场的相对运动．3．(单选)如图所示，当一带正电q的粒子以速度v沿螺线管中轴线进入该通电螺线管时，若不计重力，则()A．带电粒子速度大小改变B．带电粒子速度方向改变C．带电粒子速度大小不变D．以上判断都不正确解析：选C.螺线管内的磁场沿着管的轴线，与粒子运动速度方向平行，所以粒子不受洛伦兹力，故粒子进入螺线管后做匀速直线运动，选项C正确．4．(单选)如图所示，磁场方向，正电荷的运动方向，电荷所受洛伦兹力的方向两两垂直，则下列选项正确的是()解析：选D.由左手定则可判定，A中力f应向下；B中力f应向右；C中力f应向右．5．三个粒子a、b、c(不计重力)以相同的速度射入匀强磁场中，运动轨迹如图所示，其中b 粒子做匀速直线运动，则a粒子带________电，c粒子带________电．解析：做曲线运动的粒子受力总是指向圆弧内侧，由左手定则和粒子运动轨迹可知，可以判断a带负电，c带正电．答案：负正一、单项选择题1．有关洛伦兹力和安培力的描述，正确的是()A．通电直导线在匀强磁场中一定受到安培力的作用B．安培力是大量运动电荷所受洛伦兹力的宏观表现C．带电粒子在匀强磁场中运动受到的洛伦兹力做正功D．通电直导线在磁场中受到的安培力与磁场方向平行解析：选B.导线与磁场方向平行时不受安培力，A错；洛伦兹力始终与速度方向垂直，始终不做功，C错；通电导线在磁场中受到的安培力方向始终与磁场垂直，D错．2．如图所示，在阴极射线管正上方平行放一通有强电流的长直导线，则阴极射线将() A．向纸内偏转B．向纸外偏转C．向下偏转D．向上偏转解析：选D.阴极射线管所处的磁场垂直纸面向外，用左手定则判定时要注意四指应指向负电荷运动的反方向，故阴极射线将向上偏转．3．在下图中，洛伦兹力的方向判断不．正确的是()解析：选C.由左手定则可以判定A、B、D正确，只有C不对，当电荷运动的方向与磁场平行时不受洛伦兹力．4．如图所示，一电子束沿电流方向运动，则电子束将()A．偏向导线 B．远离导线C．无偏转，做直线运动 D．不能确定解析：选B.此题关键是用右手定则判定好电流周围的磁场方向，电子运动处为垂直纸面向里的磁场，再用左手定则判定洛伦兹力的方向向右，所以电子远离导线运动．注意四指指向电子运动的反方向．5．来自宇宙的质子流，以与地球表面垂直的方向射向赤道上空的某一点，则这些质子在进入地球周围的空间时，将()A．竖直向下沿直线射向地面B．相对于预定地点，稍向东偏C．相地于预定地点，稍向西偏D．相地于预定地点，稍向北偏解析：选B.地球表面地磁场方向由南向北，质子是氢原子核，带正电．根据左手定则可判定，质子自赤道上空向下的过程中受到洛伦兹力方向向东，因此向东偏．所以只有B对．6．带电粒子垂直匀强磁场方向运动时，会受到洛伦兹力的作用．下列表述正确的是() A．洛伦兹力对带电粒子做功B．洛伦兹力不改变带电粒子的动能C．洛伦兹力的大小与速度无关D．洛伦兹力不改变带电粒子的速度方向答案：B7．一个长螺线管中通有方向不变但强度逐渐增加的电流，把一带电粒子沿管轴线射入管中，若粒子的重力不计，则粒子在管中将做()A．匀速运动B．匀加速直线运动C．圆周运动D．变加速运动解析：选A.螺线管中通有电流，管中产生磁场，粒子进入磁场时运动方向和磁场方向恰好平行，则粒子不受洛伦兹力的作用，又没有其他力作用在粒子上，所以粒子将会继续匀速运动．8．一长方形金属块放在匀强磁场中，今将金属块通以如图所示电流，M、N是金属块的上下表面，则MN两极的电势高低情况是()A．φM＝φN B．φM＞φNC．φM＜φN D．无法比较解析：选C.金属块通有向右的电流时，所受安培力方向应是竖直向上．因为金属块内运动的是电子，故电子受到向上的洛伦兹力的作用，M极聚集的是负电荷，所以电势必低于N 极．二、双项选择题9．关于安培力和洛伦兹力，下列说法中正确的是()A．洛伦兹力和安培力是性质完全不同的两种力B．安培力和洛伦兹力，其本质都是磁场对运动电荷的作用力C．安培力和洛伦兹力，二者是等价的D．安培力对通电导体能做功，但洛伦兹力对运动电荷不能做功解析：选BD.安培力是洛伦兹力的宏观表现，其本质都是磁场对运动电荷的作用，所以A 错，B对，C错．洛伦兹力总垂直于电荷的运动方向，所以不做功，而安培力却可以与运动方向不垂直，所以可以做功，D对．10．如图所示，用绝缘线拴一绝缘小球，线上端固定于O点，线长为l，小球带正电．当小球摆过竖直线OC时，便进入或离开匀强磁场，磁场的方向垂直于小球的摆动平面，摆球沿着圆弧来回摆动．下列说法中正确的是()A．A点和B点处在同一个水平面上B．A点和B点处线的拉力大小是相同的C．小球向右或向左摆过D点时，洛伦兹力相同D．小球向右或向左摆过D点时，线的拉力一样大解析：选AB.由于洛伦兹力不做功，此小球在摆动过程中只有重力做功，机械能守恒，故A和B处于同一水平面上，A项正确；由于A点和B点处于对称位置，速度又为零，绳对球的拉力和球的重力沿绳方向的合力大小相等，故B项正确；小球向左或向右经过D处的速度大小相等、方向相反，洛伦兹力大小相等、方向相反，故C项错误；而向左或向右经过D 处的速度方向相反，洛伦兹力方向相反，但向心力的大小却是相等的，所以拉力不一样大，故D项错误．三、非选择题11．在赤道上空，有一束电子流从东向西运动，地磁场对每个电子的洛伦兹力方向为________．解析：地磁场的方向为从地球南极指向北极，电子流从东向西运动，根据左手定则可以判断电子所受洛伦兹力方向竖直向上．答案：竖直向上12．判断下图所示的带电粒子刚进入磁场时所受的洛伦兹力方向．答案：甲：竖直向上；乙：垂直纸面向外；丙：竖直向下；丁：垂直纸面向里。
人教物理选修3-2：第六章第一节知能演练轻松闯关
1.关于传感器，下列说法正确的是()A．所有传感器都是由半导体材料做成的B．金属材料也可以制成传感器C．干簧管是一种能够感知电场的传感器D．传感器一定是通过感知电压的变化来传递信号的答案：B2.霍尔元件能转换哪个物理量()A．把温度这个热学量转换成电阻这个电学量B．把磁感应强度这个磁学量转换成电压这个电学量C．把力这个力学量转换成电压这个电学量D．把光照强弱这个光学量转换成电阻这个电学量答案：B图6－1－83.如图6－1－8为电阻R随温度T变化的图线，下列说法中正确的是()A．图线1是热敏电阻的图线，它是用金属材料制成的B．图线2是热敏电阻的图线，它是用半导体材料制成的C．图线1的材料化学稳定性好、测温范围大、灵敏度高D．图线2的材料化学稳定性差、测温范围小、灵敏度高解析：选BD.热敏电阻是由半导体材料制成的，其稳定性差，测温范围小，但灵敏度高，其电阻随着温度的升高而减小．金属电阻阻值随温度的升高而增大，图线1是金属电阻，图线2是热敏电阻．图6－1－94.(2012·大同一中高二月考)如图6－1－9所示，R3是光敏电阻，当开关S闭合后在没有光照射时，a、b两点等电势，当用光照射电阻R3时，则()A．R3的电阻变小，a点电势高于b点电势B．R3的电阻变小，a点电势低于b点电势C．R3的电阻变大，a点电势高于b点电势D．R3的电阻变大，a点电势低于b点电势解析：选A.光照射R3时，由光敏电阻特性，R3的电阻变小，通过R3的电流增加，R3的电压减小，R4的电压增加，a点电势高于b点电势，A正确．5.随着生活质量的提高，自动干手机已进入我们的生活．洗手后，将湿手靠近自动干手机，机内的传感器便驱动电热器加热，有热空气从机内喷出，将湿手烘干．手靠近干手机能使传感器工作，是因为()A．改变了湿度B．改变了温度C．改变了磁场D．改变了电容解析：选D.根据自动干手机工作的特征，即手靠近，电热器开始工作，手撤离，电热器停止工作，不难判断出传感器的种类．人是导体，可以和其他导体构成电容器，因此物理学上有人体电容之说，手靠近干手机相当于连接进一个电容器，故可以确认干手机内设置有电容式传感器，手靠近改变了电容．能否利用温度和湿度来驱使电热器工作呢？理论上可行，但作为干手机，这种传感器的设置有很大的缺陷，干手机周围的环境(如温度、湿度)一年四季都在变化，与手靠近无关，假如温度、湿度发生变化干手机就马上工作，岂不成了“室内烘干机”，故选D.一、选择题1.(2011·高考江苏卷)美国科学家Willard S．Boyle与George E．Smith因电荷耦合器件(CCD)的重要发明荣获2009年度诺贝尔物理学奖．CCD是将光学量转变成电学量的传感器．下列器件可作为传感器的有()A．发光二极管B．热敏电阻C．霍尔元件D．干电池解析：选BC.发光二极管有单向导电性，A错；热敏电阻和霍尔元件都可作为传感器，B、C对；干电池是电源，D错．2.传感器的种类多种多样，其性能也各不相同，空调机在室内温度达到设定的温度后，会自动停止工作，空调机内使用的传感器是()A．生物传感器B．红外传感器C．温度传感器D．压力传感器解析：选C.空调机根据温度调节工作状态，所以内部使用了温度传感器，故C正确．图6－1－103.如图6－1－10是观察电阻随温度变化情况的示意图．现在把杯中的水由冷水变为热水，关于欧姆表的读数变化情况正确的是()A．如果R为金属热电阻，读数变大，且变化非常明显B．如果R为金属热电阻，读数变小，且变化不明显C．如果R为热敏电阻(用半导体材料制作)，读数变化非常明显D．如果R为热敏电阻(用半导体材料制作)，读数变化不明显解析：选C.若为金属热电阻，温度升高后，电阻变大，读数变化不明显，A、B错误．若为热敏电阻，读数将明显变化，C对D错．4.如图6－1－11所示，R1为定值电阻，R2为热敏电阻，L为小灯泡，当温度降低时()图6－1－11A．R1两端的电压增大B．电流表的示数增大C．小灯泡的亮度变强D．小灯泡的亮度变弱解析：选C.热敏电阻的阻值随温度的降低而增大，R2与L并联后与R1串联，根据串、并联电路的特点，干路中总电阻变大，总电流变小，故电流表示数变小，R1两端的电压变小，小灯泡两端的电压变大，小灯泡的亮度变强，故C正确．图6－1－125.为监测某化工厂的污水排放量，技术人员在该厂的排污管末端安装了如图6－1－12所示的流量计．该装置由绝缘材料制成，长、宽、高分别为a、b、c，左右两端开口，在垂直于上下底面方向加磁感应强度大小为B的匀强磁场，在前后两个内侧面分别固定有金属板作为电极．污水充满管口从左向右流经该装置时，电压表将显示两个电极间的电压U.若用Q 表示污水流量(单位时间内排出的污水体积)，下列说法中正确的是()A．若污水中正离子较多，则前表面比后表面电势高B．若污水中负离子较多，则前表面比后表面电势高C．污水中离子浓度越高，电压表的示数将越大D．污水流量Q与U成正比，与a、b无关解析：选D.这个题目主要考查电磁感应知识，与课本中本节课介绍的霍尔元件工作原理相似，等效为金属杆切割类的问题，根据U＝Bb v，v为污水的流速，b为等效切割的长度，一定要注意这个等效关系，否则就会得出错误的结论．根据右手定则可以判断出，无论污水中正离子较多还是污水中负离子较多，总是后表面比前表面电势高，电压表的示数不仅仅与污水中离子浓度有关，还与流速等因素有关．由U＝Bb v和Q＝bc v可知Q＝cU/B，污水流量Q与U成正比，与a、b无关．图6－1－136.(2012·四川南充高中高二检测)如图6－1－13所示为一测定液面高低的传感器示意图，A 为固定的导体芯，B为导体芯外面的一层绝缘物质，C为导电液体，把传感器接到图示电路中，已知灵敏电流表指针偏转方向与电流方向相同．如果发现指针正向右偏转，则导电液体深度h 的变化为( )A ．正在增大B ．正在减小C ．不变D ．无法确定解析：选B.由电源极性及电流方向可知，A 、B 构成的电容器上的电荷量减小，据C ＝Q U，电容C 在减小，可推知正对面积S 减小，即h 在减小．图6－1－147.如图6－1－14所示为测定压力的电容式传感器，将平行板电容器、灵敏电流表(零刻度在中间)和电源串联成闭合电路，当压力F 作用于可动膜片电极上时，膜片发生形变，引起电容的变化，导致灵敏电流表指针偏转，在对膜片开始施加压力使膜片电极从图中的虚线推到图中实线位置并保持固定的过程中，灵敏电流表指针偏转情况为(电流从电流表正接线柱流入时指针向右偏)( )A ．向右偏到某一刻度后回到零刻度B ．向左偏到某一刻度后回到零刻度C ．向右偏到某一刻度后不动D ．向左偏到某一刻度后不动解析：选A.压力F 作用时，极板间距d 变小，由C ＝εr S 4πkd，电容器电容C 变大，又根据Q ＝CU ，极板带电荷量变大，所以电容器应充电，灵敏电流计中产生由正接线柱流入的电流，所以指针将右偏．F 不变时，极板保持固定后，充电结束，指针回到零刻度，故选A.图6－1－158.电容式话筒的工作原理如图6－1－15所示．D 是绝缘支架，薄金属膜M 和固定电极N 形成一个电容器，被直流电源充电，当声波使膜片振动时，电容发生变化，电路中形成变化的电流，当膜片向右运动的过程中有( )A ．电容变大B ．电容变小C ．导线AB 中有向左的电流D ．导线AB 中有向右的电流解析：选AC.当膜片向右运动的过程中，相当于电容器两板间距d 变小，由C ＝εr S 4πkd可知A 对，B 错．由Q ＝CU 知，电容器充电，所以C 对，D 错．9.如图6－1－16所示为光敏电阻自动计数器的示意图，其中R 1为光敏电阻，R 2为定值电阻．此光电计数器的基本工作原理是( )图6－1－16A ．当有光照射R 1时，信号处理系统获得高电压B ．当有光照射R 1时，信号处理系统获得低电压C ．信号处理系统每获得一次低电压就计数一次D ．信号处理系统每获得一次高电压就计数一次解析：选AC.当光照射到光敏电阻R 1上时，R 1电阻减小，电路中电流增大，R 2两端电压升高，信号处理系统得到高电压，计数器每由高电压转到低电压，就计一个数，从而达到自动计数目的，由以上分析选项A 、C 正确．10.(2012·广东省实验中学高二检测)有一种测量人体重的电子秤，其原理如图6－1－17中的虚线所示，它主要由三部分构成：踏板、压力传感器R (是一个阻值可随压力大小而变化的电阻器)、显示体重的仪表G(实质是理想电流表)．设踏板的质量可忽略不计，已知理想电流表的量程为3 A ，电源电动势为12 V ，内阻为2 Ω，电阻R 随压力变化的函数式为R ＝30－0.02F (F 和R 的单位分别是N 和Ω)．下列说法正确的是( )图6－1－17A ．该秤能测量的最大体重是1400 NB ．该秤能测量的最大体重是1300 NC ．该秤零刻度线(即踏板空载时的刻度线)应标在电流表G 刻度盘0.375 A 处D ．该秤零刻度线(即踏板空载时的刻度线)应标在电流表G 刻度盘0.400 A 处解析：选AC.设电流达到I max ＝3 A 时压力传感器的阻值为R m ，由闭合电路欧姆定律得I max＝E R m ＋r所以R m ＝E I max－r ＝⎝⎛⎭⎫123－2 Ω＝2 Ω 根据R ＝30－0.02F 得，与R m ＝2 Ω对应的压力为F max ＝30－R 0.02＝30－20.02N ＝1400 N ，选项A 正确，B 错误． 当压力为零时，压力传感器的电阻为R 0，则由R ＝30－0.02F 知R 0＝30 Ω.这时电流为I 0＝E R 0＋r ＝1230＋2A ＝0.375 A ，选项C 正确，D 错误． 二、非选择题图6－1－1811.计算机键盘上的每一个按键下面都有一个电容传感器．电容的计算公式是C ＝εS d ，其中常量ε＝9.0×10－12F ·m －1，S 表示两金属片的正对面积，d 表示两金属片间的距离．当某一键被按下时，d 发生改变，引起电容器的电容发生改变，从而给电子线路发出相应的信号．已知两金属片的正对面积为50 mm 2，键未被按下时，两金属片间的距离为0.60 mm.只要电容变化达0.25 pF ，电子线路就能发出相应的信号．那么为使按键得到反应，至少需要按下多大距离？解析：未按下时电容C 1＝0.75 pF ，再由C 1C 2＝d 2d 1得ΔC C 2＝Δd d 1和C 2＝1.00 pF ，得Δd ＝0.15 mm. 答案：0.15 mm12.一种半导体材料称为“霍尔材料”，用它制成的元件称为“霍尔元件”，这种材料有可定向移动的电荷，称为“载流子”，每个载流子的电荷量大小为1个元电荷量，即q ＝1.6×10－19 C ，霍尔元件在自动检测、控制领域得到广泛应用，如录像机中用来测量录像磁鼓的转速、电梯中用来检测电梯门是否关闭以及自动控制升降电动机的电源的通断等．在一次实验中，一块霍尔材料制成的薄片宽AB ＝1.0×10－2m 、长BC ＝4.0×10－2m 、厚h ＝1×10－3m ，水平放置在竖直方向上的磁感应强度B ＝1.5 T 的匀强磁场中，BC 方向通有I ＝3.0 A 的电流，如图6－1－19所示，沿宽度产生1.0×10－5 V 的横向电压．图6－1－19(1)假定载流子是电子，A 、B 两端中哪端电势较高？(2)薄板中形成电流I 的载流子定向运动的速率多大？解析：(1)根据左手定则可确定A 端电势高．(2)当霍尔元件内由于载流子有沿电流方向所在的直线定向运动时，受洛伦兹力作用而产生横向分运动，产生横向电场，横向电场的电场力与洛伦兹力平衡时，霍尔元件横向电压稳定．设载流子沿电流方向所在直线定向移动的速度为v ，横向电压为U AB ，横向电场强度为E ，电场力为F e ＝E ·e ＝U AB AB ·e ，洛伦兹力F B ＝e v B ，平衡时U AB AB ·e ＝e v B ，得v ＝U AB AB ·B＝6.7×10－4m/s.答案：(1)A (2)6.7×10－4 m/s。
高中数学 6.1.3~6.1.4知能演练轻松闯关 湘教版选修22
【优化方案】2013-2014学年高中数学 6.1.3~6.1.4知能演练轻松闯关湘教版选修2-21.下列说法正确的是()A．类比推理是由特殊到一般的推理B．演绎推理是由特殊到一般的推理C．归纳推理是由个别到一般的推理D．合情推理可以作为证明的步骤解析：选C.A错：因为类比推理是特殊到特殊的推理；B错：因为演绎推理是一般到特殊的推理；C正确：因为归纳推理是由特殊到一般或部分到整体的推理；D错：因为合情推理的结论不可靠，不能作为证明的步骤．2.(2012·奉节检测)“π是无限不循环小数，所以π是无理数”，以上推理的大前提是() A．实数分为有理数和无理数B．π不是有理数C．无理数都是无限不循环小数D．有理数都是有限循环小数解析：选C.演绎推理的结论蕴涵于前提之中，本题由小前提及结论知选C.3.下面几种推理过程是演绎推理的是()A．矩形对角线相等，正方形是矩形，所以，正方形的对角线相等B．我国地质学家李四光发现中国松辽平原和中亚西亚的地质结构类似，而中亚西亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油C．由6＝3＋3，8＝3＋5，10＝3＋7，12＝5＋7，14＝7＋7，…，得出结论：一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和D．由a1＝1，a n＝n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式解析：选A.A中“矩形的对角线相等”这是大前提，是真命题，该推理为三段论推理；B 中为类比推理；C、D都是归纳推理．4.(2012·大足调研)函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：大前提：______________________________________________________________________；小前提：______________________________________________________________________；结论：________________________________________________________________________. 解析：本题省略了大前提和小前提．答案：一次函数的图象是一条直线函数y ＝2x ＋5是一次函数函数y ＝2x ＋5的图象是一条直线一、选择题1.(2012·永川检测)下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三(1)班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数都超过50人C ．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式 解析：选A.大前提：两条直线平行，同旁内角互补．小前提：∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角．结论：∠A ＋∠B ＝180°.2.推理过程“大前提：________，小前提：四边形ABCD 是矩形，结论：四边形ABCD 的对角线相等．”应补充的大前提是( )A ．正方形的对角线相等B ．矩形的对角线相等C ．等腰梯形的对角线相等D ．矩形的对边平行且相等解析：选B.由三段论的一般模式知应选B.3.“因为对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提)，而y ＝log 13x 是对数函数(小前提)，所以y ＝log 13x 是增函数(结论)．”上面推理的错误是( )A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错解析：选A.大前提是错误的，因为对数函数y ＝log a x (0<a <1)是减函数．4.(2012·大渡口质检)“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数”，上述推理( )A ．完全正确B ．推理形式不正确C ．错误，因为大小前提不一致D ．错误，因为大前提错误解析：选A.大前提、小前提及推理形式都正确，所以推理也正确．5.对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l ( )A ．平行B ．相交C ．垂直D ．互为异面直线解析：选C.对于任意的直线l 与平面α，若l 在平面α内，则存在直线m ⊥l ；若l 不在平面α内，且l ⊥α，则平面α内任意一条直线都垂直于l ；若l 不在平面α内，且l 与α不垂直，则它的射影在平面α内为一条直线，在平面α内必有直线m 垂直于它的射影，则m 与l 垂直，综上所述，选C.6.设⊕是R 的一个运算，A 是R 的非空子集．若对于任意a ，b ∈A ，有a ⊕b ∈A ，则称A 对运算⊕封闭．那么下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( )A ．自然数集B ．整数集C ．有理数集D ．无理数集解析：选C.A 错：因为自然数集对减法不封闭；B 错：因为整数集对除法不封闭；C 对：因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D 错：因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭．二、填空题7.(2012·秀山检测)在求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是当a 有意义时，a ≥0；小前提是log 2x －2有意义；结论是________．解析：由大前提知log 2x －2≥0，解得x ≥4.答案：y ＝log 2x －2的定义域是[4，＋∞)8.由“(a 2＋a ＋1)x >3，得x >3a 2＋a ＋1”的推理过程中，其大前提是________． 解析：∵a 2＋a ＋1＝(a ＋12)2＋34>0. ∴(a 2＋a ＋1)x >3⇒x >3a 2＋a ＋1. 其前提依据为不等式的乘法法则：a >0，b >c ⇒ab >ac .答案：a >0，b >c ⇒ab >ac9.已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________． 解析：∵a ＝5－12∈(0，1)， ∴函数f (x )＝(5－12)x 是减函数． 故由f (m )>f (n )得m <n .答案：m <n三、解答题10.(2012·南开调研)规定C m x ＝x ·（x －1）·…·（x －m ＋1）m ×（m －1）×（m －2）×…×2×1，其中x ∈R ，m 是正整数，求C 5－15的值．解：规定C m x ＝x ·（x －1）·…·（x －m ＋1）m ×（m －1）×（m －2）×…×2×1，其中x ∈R ，m 是正整数(大前提)，C 5－15中，－15∈R ，5是正整数(小前提)，∴C 5－15＝（－15）（－16）（－17）（－18）（－19）5×4×3×2×1＝－11628(结论)．11.已知{a n }是各项均为正数的等差数列．lg a 1、lg a 2、lg a 4成等差数列，又b n ＝1a 2n(n ＝1，2，…)．证明：{b n }为等比数列．证明：∵lg a1、lg a2、lg a4成等差数列，∴2lg a2＝lg a1＋lg a4，即a22＝a1a4.若{a n}的公差为d，则(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，a1d＝d2，从而d(d－a1)＝0.①若d＝0，{a n}为常数列，相应{b n}也是常数列，{b n}是首项为正数，公比为1的等比数列．②若d＝a1≠0，则a2n＝a1＋(2n－1)d＝2n d，b n＝1a2n＝12n d.这时{b n}是首项b1＝12d，公比为12的等比数列．综上，{b n}为等比数列．12.(创新题)如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．求证：平面AEC⊥平面PDB.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，又∵AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB.。
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1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 4＝20，则S 6等于( ) A ．16 B ．24C ．36D ．48解析：选D.设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得4a 1＋4×32×d ＝20，即4×12＋4×32d ＝20， 解得d ＝3，∴S 6＝6×12＋6×52×3＝3＋45＝48. 2．(2019·高考辽宁卷)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( )A ．58B ．88C ．143D ．176解析：选B.S 11＝11×(a 1＋a 11)2＝11×(a 4＋a 8)2＝11×162＝88. 3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝( )A ．38B ．20C ．10D ．9解析：选C.因为{a n }是等差数列，所以a m －1＋a m ＋1＝2a m ，由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，得：2a m －a 2m ＝0，由S 2m －1＝38知a m ≠0，所以a m ＝2，又S 2m －1＝38，即(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝38. 即(2m －1)×2＝38，解得m ＝10，故选C.4．(2019·曲阜高二期中)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选A.设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋8d ＝－6，a 1＝－11，解得d ＝2，∴a n ＝2n －13∴当n ≤6时，a n <0，当n ≥7时，a n >0，∴当n ＝6时，S n 取得最小值．5．(2019·日照高二期中)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( ) A ．1 B ．－1C ．2 D.12解析：选A.S 9S 5＝92(a 1＋a 9)52(a 1＋a 5)＝9·2a 55·2a 3＝9a 55·a 3＝95×59＝1. 6．已知等差数列{a n }共有10项，其奇数项之和为10，偶数项之和为30，则其公差是________．解析：S 偶－S 奇＝5d,5d ＝20⇒d ＝4.答案：47．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋n ＋1，则其通项公式a n ＝________. 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝3当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n ＋1－(n －1)2－(n －1)－1＝2n ，∵a 1＝3不满足a n ＝2n ，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3， n ＝1，2n ，n ≥2. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧3， n ＝12n ， n ≥2 8．(2019·滨州质检)数列{a n }中，a n ＝2n －49，当数列{a n }的前n 项和S n 取得最小值时，n ＝________.解析：由a n ＝2n －49知{a n }是等差数列，a n ＞0⇒n ＞492， ∴n ＝24.答案：249．已知等差数列{a n }满足：a 3＝6，a 2＋a 5＝14，{a n }的前n 项的和为S n ，求a n 及S n .解：由⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝6，a 2＋a 5＝14得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝6，2a 1＋5d ＝14，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2，所以a n ＝2＋(n －1)×2＝2nS n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝2n ＋n (n －1)＝n 2＋n . 10．已知等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝15，a 2·a 5＝54，公差d <0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)求数列{a n }的前n 项和S n 的最大值及相应的n 的值．解：(1)∵{a n }为等差数列，∴a 2＋a 5＝a 3＋a 4， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a 5＝15a 2·a 5＝54， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝6a 5＝9(因d <0，舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝9a 5＝6⇒⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝－1，a 1＝10，∴a n ＝11－n .(2)∵a 1＝10，a n ＝11－n ，∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝－12n 2＋212n . 又－12<0，对称轴为212，故当n ＝10或11时，S n 取得最大值，其最大值为55. 1．(2019·东营市高二检测)等差数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列{S n n}的前10项和为( ) A ．120B ．70C ．75D ．100解析：选C.由等差数列前n 项和的性质知，数列{S n n }为等差数列，首项为S 11＝a 1＝3， 公差为S 22－S 11＝12(a 1＋a 2)－a 1 ＝12(a 2－a 1)＝12×2＝1. ∴{S n n }的前10项的和为：10×3＋10×92×1＝75. 2．已知两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝7n ＋14n ＋27(n ∈N *)，则a 11b 11＝________.解析：a 11b 11＝2a 112b 11＝a 1＋a 21b 1＋b 21＝21(a 1＋a 21)21(b 1＋b 21)＝21(a 1＋a 21)221(b 1＋b 21)2＝S 21T 21＝7×21＋14×21＋27＝148111＝43. 答案：433．若有穷数列a 1，a 2，…，a n (n 是正整数)，满足a 1＝a n ，a 2＝a n －1，…，a n ＝a 1即a i ＝a n －i ＋1(i 是正整数，且1≤i ≤n )，就称该数列为“对称数列”．(1)已知数列{b n }是项数为7的对称数列，且b 1，b 2，b 3，b 4成等差数列，b 1＝2，b 4＝11，试写出{b n }的每一项；(2)已知{c n }是项数为2k －1(k ≥1)的对称数列，且c k ，c k ＋1，…，c 2k －1构成首项为50，公差为－4的等差数列，数列{c n }的前2k －1项和为S 2k －1，则当k 为何值时，S 2k －1取到最大值？最大值为多少？解：(1)设b 1，b 2，b 3，b 4的公差为d ，则b 4＝b 1＋3d ＝2＋3d ＝11，解得d ＝3，∴数列{b n}为2,5,8,11,8,5,2.(2)S2k－1＝c1＋c2＋…＋c k－1＋c k＋c k＋1＋…＋c2k－1＝2(c k＋c k＋1＋…＋c2k－1)－c k＝2(－2k2＋52k)－50＝－4(k2－26k)－50＝－4(k－13)2＋4×132－50，∴当k＝13时，S2k－1取得最大值．S2k－1的最大值为626.。
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1.事件A、B是相互独立的，下列四个式子：其中正确的有( >A．1个B．2个C．3个D．4个解读：选D.事件A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也相互独立．2.对于分类变量A与B的统计量χ2，下列说法正确的是( > A．χ2越大，说明“A与B有关系”的可信度越小B．χ2越大，说明“A与B无关”的程度越大C．χ2越小，说明“A与B有关系”的可信度越小D．χ2接近于0，说明“A与B无关”的程度越小解读：选C.由独立性检验的定义及χ2的意义可知C正确．3.用χ2统计量进行独立性检验时，使用的表称为________，要求表中的四个数据均大于或等于________．b5E2RGbCAP解读：在使用χ2统计量作2×2列联表的独立性检验时，要求表中的4个数据大于或等于 5.在选取样本容量时一定要注意这一点．p1EanqFDPw答案：2×2列联表54.若两个分类变量X和Y的列联表为：则X与Y之间有关系的概率约为________．解读：χ2≈18.8＞6.635.故有99%的把握认为X与Y有关．答案：99%[A级基础达标]1.如果在犯错误的概率不超过0.05的前提下说事件A和B有关系，那么具体计算出的数据是( >A．χ2≥3.841 B．χ2≤3.841C．χ2≥6.635 D．χ2≤6.635解读：选A.比较χ2的值与临界值的大小，P(χ2≥3.841>≈0.05.2.提出统计假设H0，计算出χ2的值，则拒绝H0的是( >A．χ2＝6.635 B．χ2＝2.63C．χ2＝0.725 D．χ2＝1.832解读：选A.χ2的大小可以决定是否拒绝原来的统计假设H0，若χ2的值较大，就拒绝H0，即拒绝两个分类变量无关．DXDiTa9E3d 3.调查男女学生购买食品时，是否看出厂日期与性别有无关系，最有说明力的是( >A．期望B．方差C．正态分布D．独立性检验解读：选D.判断两个事件是否相关时，常用独立性检验．4.为了了解高中生是否喜欢上体育课与性别之间的关系，在某校随机调查了一些学生情况，具体数据如下表：假设是否喜欢上体育课与性别无关，根据表中的数据，可以得到χ2＝错误!≈7.782.因为χ2>6.635，所以判定是否喜欢上体育课与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为________．RTCrpUDGiT解读：因为χ2>6.635所以我们有99%的把握认为喜欢上体育课与性别有关系，从而判断出错的可能性为1%.5PCzVD7HxA答案：1%5.某卫生机构对366人进行健康体检，有阳性家族史者糖尿病发病的有16例，不发病的有93例，阴性家族史者糖尿病发病的有17例，不发病的有240例，则有________的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．jLBHrnAILg解读：列出2×2列联表：所以随机变量χ2的值为：χ2＝错误!≈6.067＞3.841.xHAQX74J0X所以有95%的把握认为糖尿病患者与遗传有关．答案：95%6.在一次恶劣气候的飞行航程中调查男女乘客在机上晕机的情况，共调查了89位乘客，其中男乘客有24人晕机，31人不晕机；女乘客有8人晕机，26人不晕机．根据此材料您是否认为在恶劣气候飞行中，男人比女人更容易晕机？LDAYtRyKfE解：由已知数据制成如下列联表：根据表中数据得χ2＝错误!≈3.689.Zzz6ZB2Ltk由于3.689<3.841，所以我们没有把握认为在本次飞机飞行中，晕机与男女有关．尽管这次航班中男人晕机的比例24∶55比女人晕机的比例8∶34高，但我们不能认为在恶劣气候中飞行，男人比女人更容易晕机．dvzfvkwMI1[B级能力提升]7.下面是一个2×2列联表：则表中a，b的值分别为( >A．94，96 B．52，50C．52，54 D．54，52解读：选C.∵a＋21＝73，∴a＝73－21＝52.又∵a＋2＝b，∴b＝52＋2＝54.8.考察棉花种子经过处理与得病之间的关系得到如下表数据根据以上数据，则( >A．种子经过处理跟是否生病有关B．种子经过处理跟是否生病无关C．种子是否经过处理决定是否生病D．以上都是错误的解读：选B.χ2＝错误!rqyn14ZNXI≈0.1641＜3.841，故种子是否经过处理与生病无关．9.(2018·青岛检测>调查者通过随机询问72名男女中学生喜欢文科还是理科，得到如下列联表(单位：名>：EmxvxOtOco性别与喜欢文科还是理科列联表估计中学生的性别和喜欢文科还是理科________关系．(填“有”或“没有”>解读：χ2＝错误!≈8.416＞6.635.故我们有99%的把握认为中学生的性别和喜欢文科还是理科有关系．SixE2yXPq5答案：有10.巴西医生马廷思收集犯有各种贪污、受贿罪的官员和廉洁官员寿命的调查资料：500名贪官中有348人的寿命小于平均寿命，152人的寿命大于或等于平均寿命；590名廉洁的官员中有93人的寿命小于平均寿命，497人的寿命大于或等于平均寿命．这里，平均寿命是指“当地人均寿命”．试分析官员在经济上是否清白与他们寿命的长短之间是否独立？6ewMyirQFL解：设寿命大于平均寿命为长寿，寿命小于平均寿命为短寿，根据题意有下列2×2列联表：由公式得χ2＝错误!≈325.635.kavU42VRUs因为325.635>6.635，所以我们有99%的把握说官员在经济上是否清白与他们寿命的长短之间有关系，即在经济上不清白的官员易过早死亡．y6v3ALoS8911.(创新题>有两个变量x与y，其一组观测值如下面的2×2列联表所示：其中a，15－a均为大于5的整数，则a取何值时，有95%的把握认为x与y之间有关系？解：查表可知，要使有95%的把握认为x与y之间有关系，则χ2>3.841，而χ2＝错误!M2ub6vSTnP＝错误!＝错误!.由χ2>3.841得a>7.688或a<1.543.又a>5且15－a>5，a∈Z，即a＝8，9，故a为8或9时，有95%的把握认为x与y之间有关系．0YujCfmUCw申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
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1. (2012·汕头调研)不等式x 2－x －6－x 2－1>0的解集是( ) A. {x |－2<x <3} B. {x |x ≤－2或x ≥3} C. {x |x <－2}D. {x |x >3}解析: 选A.不等式化为x 2－x －6x 2＋1<0,所以x 2－x －6<0⇒－2<x <3.2. (2011·高考上海卷)不等式1x <1的解集为__________.解析: 1x <1⇔1x 1<0⇔1－x x<0⇔x (x －1)>0,∴原不等式的解集为(－∞, 0)∪(1, ＋∞). 答案: (－∞, 0)∪(1, ＋∞)3. (2012·杭州质检)已知关于x 的不等式x ＋2x 2－(1＋a )x ＋a >0.(1)当a ＝2时, 求此不等式的解集; (2)当a >－2时, 求此不等式的解集.解: (1)当a ＝2时, 不等式可化为x ＋2(x －1)(x －2)>0,所以不等式的解集为{x |－2<x <1或x >2}. (2)当a >－2时, 不等式可化为x ＋2(x －1)(x －a )>0,当－2<a <1时, 解集为{x |－2<x <a 或x >1}; 当a ＝1时, 解集为{x |x >－2且x ≠1}; 当a >1时, 解集为{x |－2<x <1或x >a }.一、选择题1. (2010·高考大纲全国卷Ⅱ)不等式x －3x ＋2<0(a ≠0)的解集为( )A. {x |－2<x <3}B. {x |x <－2}C. {x |x <－2.或x >3}D. {x |x >3}解析: 选A.不等式x －3x ＋2<0可转化为(x ＋2)(x －3)<0, 解得－2<x <3.2. 不等式f (x )＝ax 2－x －c >0(a ≠0)的解集为{x |－2<x <1}, 则函数y ＝f (－x )的图像为图中的( )解析: 选B.由根与系数的关系1a ＝－2＋1, －c a＝－2, 得a ＝－1, c ＝－2.f (－x )＝－x 2＋x ＋2的图像开口向下, 与x 轴的两个交点为(－1,0), (2,0). 故选B. 3. 不等式x ＋5(x －1)2≥2的解集是( )A.⎣⎡⎦⎤－3，12B.⎣⎡⎦⎤－12，3C.⎣⎡⎭⎫12， 1∪(]1， 3D.⎣⎡⎭⎫－12， 1∪(]1， 3 解析: 选D.x ＋5(x －1)2≥2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5≥2(x －1)2x －1≠0⇔⎩⎨⎧－12≤x ≤3 x ≠1∴x ∈⎣⎡⎭⎫－12，1∪(]1， 3.4. (2012·焦作调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1， x ≥1x 2－2x －2， x <1若f (x 0)>1, 则x 0的取值范围为( )A. (－∞, －1)∪(1, ＋∞)B. (－∞, －1)∪[1, ＋∞)C. (－∞, －3)∪(1, ＋∞)D. (－∞, －3)∪[1, ＋∞) 解析: 选B.∵f (x 0)>1,∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0≥12x 0＋1>1或⎩⎨⎧x 0<1x 20－2x 0－2>1,解得x 0∈(－∞, －1)∪[1, ＋∞).5. (2012·合肥高三质检)a >1是不等式x 2－2x ＋a >0恒成立的( )A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分不必要条件解析: 选A.当a >1时, Δ＝(－2)2－4a ＝4(1－a )<0, 不等式x 2－2x ＋a >0恒成立; 反过来, 当不等式x 2－2x ＋a >0恒成立时, 有Δ＝(－2)2－4a ＝4(1－a )<0, a >1.因此, a >1是不等式x 2－2x ＋a >0恒成立的充要条件, 故选A. 二、填空题6. (2011·高考上海卷)不等式x ＋1x≤3的解集为__________.解析: x ＋1x 3⇔x ＋1x －3≤0⇔1－2x x ≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0 x (2x －1)≥0⇔x <0或x ≥12答案: (－∞, 0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞7. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1， x ≥01， x <0则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是__________.解析: f (1－x 2)>f (2x )等价于⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>02x >01－x 2>2x, 或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>02x ≤0,解得－1<x <－1＋ 2. 答案: (－1, 2－1)8. (2010·高考山东卷)若对任意x >0,xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立, 则a 的取值范围是__________.解析: 因为x >0, 所以x ＋1x 2(当且仅当x ＝1时取等号), 所以有x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12＋3＝15, 即x x 2＋3x ＋1的最大值为15, 故a ≥15. 答案: ⎣⎡⎭⎫15， ＋∞ 三、解答题9. 已知不等式ax 2＋4x ＋a >1－2x 2对一切实数x 恒成立, 求实数a 的取值范围. 解: 原不等式等价于(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1>0对一切实数恒成立, 显然a ＝－2时, 解集不是R, 因此a ≠－2,从而有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2>0Δ＝42－4(a ＋2)(a －1)<0整理, 得⎩⎪⎨⎪⎧a >－2(a －2)(a ＋3)>0所以⎩⎪⎨⎪⎧a >－2 a <－3或a >2所以a >2.故a 的取值范围是(2, ＋∞).10. 武汉东湖风景区有50辆自行车供游客租赁使用, 管理这些自行车的费用是每日115元. 根据经验, 若每辆自行车的日租金不超过6元, 则自行车可以全部租出; 若超出6元, 则每超过1元, 租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算, 每辆自行车的日租金x (元)只取整数, 并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用, 用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得).(1)求函数y ＝f (x )的解析式及其定义域;(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时, 才能使一日的净收入最多？ 解: (1)当x ≤6时, y ＝50x －115.令50x －115＞0, 解得x ＞2.3.∵x ∈N ＋, ∴x ≥3, ∴3≤x ≤6, x ∈N ＋, 当x ＞6时, y ＝[50－3(x －6)]x －115.令[50－3(x －6)]x －115＞0, 有3x 2－68x ＋115＜0, 上述不等式的整数解为2≤x ≤20(x ∈N ＋), ∴6＜x ≤20(x ∈N ＋).故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115－3x 2＋68x －115(3≤x ≤6 x ∈N ＋)(6＜x ≤20 x ∈N ＋).定义域为{x |3≤x ≤20, x ∈N ＋}.(2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6, x ∈N ＋). 显然当x ＝6时, y max ＝185(元), 对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3(x －3432＋8113(6＜x ≤20, x ∈N ＋).当x ＝11时, y max ＝270(元). ∵270＞185,∴当每辆自行车的日租金定在11元时, 才能使一日的净收入最多. 11. 已知二次函数f (x )的二次项系数为a , 且不等式f (x )>－2x 的解集为(1,3). (1)若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的实数根, 求f (x )的解析式; (2)若f (x )的最大值为正数, 求a 的取值范围. 解: (1)∵f (x )＋2x >0的解集为(1,3),f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3), 且a <0,因而f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x ＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a .① 由方程f (x )＋6a ＝0, 得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0.② 因为方程②有两个相等的实数根, 所以Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0, 即5a 2－4a －1＝0,解得a ＝1或a ＝－15.由于a <0, 舍去a ＝1, 将a ＝－15代入①得,f (x )的解析式f (x )＝－15x 2－65x －35.(2)由f (x )＝ax 2－2(1＋2a )x ＋3a ＝a ⎝⎛⎭⎫x －1＋2a a 2－a 2＋4a ＋1a及a <0, 可得f (x )的最大值为－a 2＋4a ＋1a.由⎩⎨⎧－a 2＋4a ＋1a>0a <0解得a <－2－3或－2＋3<a <0.故当f (x )的最大值为正数时, 实数a 的取值范围是(－∞, －2－3)∪(－2＋3, 0).。