高等数学经济应用数学基础(一)微积分课后习题答案
高等数学—微积分(1)01-第5章思考题详细答案
r2 r 2 0
对应的非齐次微分方程为 y y 2y f x， 将特解 y* xe x
所求
y* 1 xex y* 2 xex 代入方程得 f x ex 2xe x ，所以
方程为
y y 2y ex 2xe x 。
第五讲 答案：是欧拉方程。
中国大学慕课高等数学-微积分(山东大学)
中国大学慕课高等数学-微积分(山东大学)
第一讲 答案：
一阶微分方程
第五章 思考题 答案
第二讲 答案：
ຫໍສະໝຸດ Baidu
齐次方程
第三讲 答案： 错。因为 y1 和 y2 不一定是两个线性无关的解。
第四讲 答案：因为 y1 y2 e2x ex 是二阶常系数线性非齐次微分方程的通解，
所 以 1 2, 2 1 ， 对 应 的 齐 次 微 分 方 程 的 特 征 方 程 为
1
高等数学课后习题答案--第一章
《高等数学》习题参考资料
第一篇 一元函数微积分
第一章 极限与连续§1 函 数习 题
1.确定下列初等函数的定义域：
(1) 2
1
)(2−−+=x x x x f ；
(2)4)(2−=x x f ；(3) 21
arcsin )(−=x x f ；(4)2
)
5lg()(x x x f −=
；(5) 4lg )5lg()(2−−=x x x f ；
(6)x x x f cos sin )(−=。
1． 【答案】
(1) )},2()2,1()1,(|{:+∞∪−∪−−∞∈=x x D (2) )},2[]2,(|{:+∞∪−−∞∈=x x D (3) ]}
3,1[|{:;−∈=x x D (4) )}5,0()0,(|{:∪−∞∈=x x D (5) ]}
4,1[|{:∈=x x D (6)
+ +∈=+∞
−∞=U k k k x x D ππ452,412|:.
2. 作出下列函数的图象：
（1）|sin |sin )(x x x f −=；
(2)|1|2)(−−=x x f ；
（3）
+−−=,
1,1,2
1)(x x x x f .12,
21,
1||−<<−<<≤x x x 2 【答案】 (1)
2(2)
2 (3)
3.判断下列函数的奇偶性：（1）x x x f ++−=11)(；
（2）x
x
x f x x +−+−=11lg
110110)(；（3）x x a a x f x x sin )(++=−；（4）)1lg()(2x x x f ++=。
3. 【答案】 (1) 偶函数; (2) 偶函数; (3) 偶函数; (4) 奇函数 .
经济应用数学基础(一)微积分_试题及答案
lim x
x →1
=
f ( x)
；
13、设 f ( x ) 可微，则 d (2
)=
。
二、计算下列各题（每题 5 分，共 20 分） 1 1 lim( − ) x →1 ln x x −1 1、
' 2、 y = arcsin 1 − 3 x ， 求y ；
xy dy x =0 3、设函数 y = y ( x) 由方程 e = x − y 所确定，求 ；
设函数处处连续且在1处有1在2处不可导则xxxxfxxxfxa1及2都不是的极值点b只有1是的极值点xxfxxxxxfxc只有2是的极值点d1及2都可能是的极值点328
高等数学（上）模拟试卷一
一、 填空题（每空 3 分，共 42 分） 1、函数 y = 4 − x + lg( x − 1) 的定义域是
1 a = − , b =1 2 （C ）
2 2 6．当 x → 0 时，函数 e − ( ax + bx + 1) 是比 x 高阶的无穷小，则
1 a = , b =1 2 （A）
（ ）
（ B ） a = 1, b = 1
（ D ） a = −1, b = 1 ）
x = x1 处有 f ′( x1 ) = 0 ，在 x = x2 处不可导， 则（ 7．设函数 f ( x ) 处处连续， ，且在
专升本高等数学(一)-多元函数微积分学(一)_真题(含答案与解析)-交互
专升本高等数学(一)-多元函数微积分学(一) (总分93, 做题时间90分钟)
一、填空题
1.
求下列函数的定义域.
．
SSS_FILL
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:x＞0，y＞0．
2.
求下列函数的定义域.
u=ln(x2-y-1)．
SSS_FILL
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:y＜x2-1
3.
求下列函数的定义域.
．
SSS_FILL
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:x≥0，y≥1，x2+1≥y．
4.
求下列函数的定义域.
．
SSS_FILL
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:r2＜x2+y2≤R2．
5.
设，则=______．
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:
6.
设，则=______．
SSS_FILL
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:-2，先求出f(x，y)=x-
7.
设，则=______．
SSS_FILL
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:
8.
设，则=______．
SSS_FILL
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:-e．
9.
设函数，则=______，=______．
SSS_FILL
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:
10.
设函数，则=______．
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:
11.
函数z=ln(1+x2-y2)的全微分dz=______．
SSS_FILL
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:
12.
函数z=x2-2xy+y2的全微分=______．
SSS_FILL
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:-2dx+2dy
13.
=______．
SSS_FILL
微积分高等数学教材及答案
微积分高等数学教材及答案
微积分是现代高等数学的重要分支之一，对于理工科学生来说是必
修课程。一个优质的微积分教材不仅需要全面覆盖相关的知识点，还
应该具备讲解清晰、例题详细、习题丰富等特点。在学习微积分的过
程中，配套的答案也是不可或缺的。本文将介绍几本常用的微积分高
等数学教材，并建议相应的答案参考书。
1. 《微积分学教程》
《微积分学教程》是一本经典的高等数学教材，由吴大任、王成英
主编。该教材以深入浅出的方式介绍微积分的基本概念、定理和方法，并提供大量丰富的例题和习题。每个章节都有详细的讲解和逐步推导，便于学生理解和掌握。
针对《微积分学教程》，建议的答案参考书是《微积分学习指导与
习题解答》。该参考书的编写者在教学实践中总结了许多典型的解题
方法和技巧，能够帮助学生更好地理解和掌握微积分。
2. 《高等数学》
《高等数学》是高校普遍采用的一套教材，由同济大学数学系编写。该教材在理论阐述上通俗易懂，注重培养学生的数学思维能力和解决
实际问题的能力。书中的例题和习题种类繁多，能够帮助学生全面掌
握微积分的基本知识。
对于《高等数学》，推荐的答案参考书是《高等数学习题解答与讲解》。该参考书对每一章节的习题进行了逐一解答，并且给出了解题
的详细步骤和方法。学生可以通过参考这本书，更好地理解和掌握微
积分。
3. 《微积分》
《微积分》是美国著名数学家斯图尔特（James Stewart）编写的一
套高等数学教材。该教材在国内外都享有盛誉，内容全面、讲解清晰。书中的例题和习题有多个难度层次，能满足不同水平的学生需求。
对于《微积分》，推荐的答案参考书是《微积分习题与详解》。该
高等数学—微积分(1)01-第3章思考题详细答案
第三章 思考题 答案
第三章第一讲思考题答案
()()
F x f x x
=-证明：设第三章第二讲思考题答案
ξ(,)()()()()
()[,](,)()()
()
'()()0()0'()b a b a a b e e e
f b f a e e e f b a b a
f x a b a b f b f a f b a
f f x f f η
ηηηξξξηη∈=---'=--∈-'=-''≠≠=中值定理，存在，使得即又在上满足拉格朗日中值定理条件，故存在，使由题设知，，从而.
b a e e e b a
η
---
x
23
0022
22200tan tan 解
原式lim
lim
tan sec 11cos 11lim lim 333cos x x x x x x x x
x x x x x x x x
→→→→--==--==⋅=
ln ln ()ln ln ()
()ln 10()().()()0.ln ln b a
a b b a a b
f x x a a x x a a a
f x a x a f x x a x x
b a f b f a b a a b >>=-≥'=->-≥≥≥>>=>证要证，只须证令因为，所以在时单调增加于是，当时，有
即有
第三章第七讲思考题答案
高等数学微积分习题册上册答案
x→0−
x→0+
x→0
十、设 f (x) = sgn x ，求 lim f (x) ， lim f (x) 和 lim f (x) .
x→0−
x→0+
x→0
解 ： lim f (x) = −1, lim f (x) = 1, lim f (x) 不存在.
x→0−
x→0+
x→0
四川大学数学学院高等数学教研室编
（3）若数列{xn } 收敛，而数列{yn} 发散，则数列{xn + yn} 必发散.（√ ）
四、证明：对任一数列
{x
n
}
，若
lim
k →∞
x2
k
−1
=
a
且
lim
k →∞
x2
k
=
a
，则
lim
n→∞
x
n
=
a.
证明：根据
lim
k →∞
x2
k
−1
=a,
对任意ε，存在 N1>0,
当 k>N1 时 | x2k−1 − a |< ε
|
x2 − 2x2 +1
1 |= 2
1 2(2 x2
+ 1)
<
1 x2
<ε
→
高等数学上册教材答案北大
高等数学上册教材答案北大
第一章：微积分基础
1.1 极限与连续
1.1.1 极限的定义
根据微积分基础知识，极限是函数概念的核心之一。在数学中，我
们需要明确了解极限的定义。对于函数 f(x)，当 x 趋近于某一点 a 时，
如果 f(x) 的值趋近于一个常数 L，则我们称 L 为 f(x) 在 x=a 处的极限，记作lim(x→a) f(x) = L。
1.1.2 连续的概念与性质
连续是微积分中的另一个重要概念。对于函数 f(x)，如果在某一点
a 处，该函数的极限等于 f(a)，则我们称函数在点 a 处是连续的。连续
性具有以下性质：
- 连续函数的和、差、积均为连续函数；
- 两个连续函数的乘积仍为连续函数；
- 连续函数的复合函数仍为连续函数。
1.2 导数与微分
1.2.1 导数的概念
导数是微积分中的重要概念之一。对于函数 y=f(x)，如果函数在某
一点 x=a 处的极限值存在，则称该极限值为函数 y=f(x) 在 x=a 处的导
数，记作 f'(a) 或 df(x)/dx。导数的计算公式包括函数的基本运算法则、
常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数等。
1.2.2 微分的概念与应用
微分是导数的一种表现形式，也是微积分的重要概念之一。对于函
数 y=f(x)，如果δx 是 x 的增量，δy 是 y 的增量，则函数 y=f(x) 的微分
为 dy=f'(x)dx。微分的应用包括切线问题、极值问题、凹凸性判定等。
第二章：函数与极限
2.1 函数概念与基本运算
2.1.1 函数定义与表示法
函数是数学中最基本的概念之一。函数可以通过函数定义域、值域
高等数学—微积分(1)01-第3章随堂测验详细答案
第三章 中值定理与导数应用 随堂测验 答案
第一讲 罗尔定理 1.
2
()56[23](A )(B )f x x x =-+函数在区间，上满足罗尔定理的条件正确
错误
答案：正确
2.
(函 (已它(f
设11
(1)n
n a n g g a x
+
+
+=+=证在，由01-101
2
0110(1)0.(A )(B )n n n n a x a n x a n x
a ---=+-+⋅⋅⋅+=若有则方程必没有正根正确
错误
答案：错误
第二讲 拉格朗日中值定理 1.
11a rc s in a rc c o s (A )
(B )
(C )
(D )0
2
3
4
x x x π
π
π
-≤≤+=当时，
答案：A
.
01111)('arccos
arcsin
)(2
2
令，则
设解
x
x
x f x x x f =--
-=
+=(在解(函且 (当答案：正确
第三讲 柯西中值定理 1.
()s in ()c o s [0]2(A )(B )f x x g x x x π
==+函数、在区间，上不能使用柯西中值定理.
正确
错误
答案：错误
2.
证对一同存①(3.(设则解柯设(3则
第四讲 洛必达法则 1.
2
2
ln s in lim
(2)1111(A )(B )(C )
(D )2
2
8
8
x x x π
π→
=
--
-
答案：D
2.
1
(x x
=解 (x 解
+1ln (1)lim
a rc c o t (A )0(B )1
(C )1
(D )x x
x
→∞
+=
-∞
答案：B
1
1lim (
)1ln 1111(A )(B )(C )(D )2
4
2
3
x x x x
→-
=
----
答案：C
(
设
12
智慧树答案高等数学Ⅰ知到课后答案章节测试2022年
绪论
1.高等数学课程的主要学习内容是微积分（）。答案:对
第一章
1.函数的定义域是（）答案:；
2.函数是（）答案:奇函数；
3.函数的最小正周期是（）答案:4 ；
4.当时，下列函数哪一个是其它三个的高阶无穷小（）答案:；
5.设则当（）时有 .答案: ；
6.设f(x)=, 则 ( )答案:不存在 .
7.的反函数为（）。答案:对
8.是函数的可去间断点（）.答案:错
9.当时， = inx （）.答案:错
10.方程，其中至少有一个正根，并且它不超过（）。答案:对
第二章
1.曲线上切线斜率为6的点是（）答案:（2，5）
2.函数（）答案:在点x=0处连续可导
3.求指数函数的导数的方法有（）。答案:对数求导法则；;隐函数求导法则；;
反函数求导法则。
4.函数在点处可微，是在点处连续的充分但非必要条件。（）答案:对
5.函数的 ( )答案:对
6.（）答案:错
7.函数在点处可导，且（）答案:对
8.函数，则.（）答案:对
9.曲线与曲线相切，则.（）答案:对
第三章
1.若在可导且，则（）答案:对任意的，不一定能使.
2.已知在可导，且方程在有两个不同的根与，那么在（）.答案:必有；
3.若在上连续，在内可导，且时，，又,则（）.答案:在上单调增加，但的正
负号无法确定.
4.若，则k = （）答案:5;
5.是可导函数在点处有极值的（）.答案:必要条件;
6.若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小值，则（）.答案:极大值不一
定是最大值，极小值也不一定是最小值；
7.= （）答案:3;
8.如果函数在处可导且取得极值，则 0. （）答案:对
高等数学一元微积分学课后练习题含答案
高等数学一元微积分学课后练习题含答案概述
高等数学一元微积分是大学数学中的重要课程，掌握好微积分理论和应用，对
于理解和学习后续相关数学课程都有非常重要的作用。在学习一元微积分的过程中，做好练习题也是非常重要的一环。因此，本文档提供了一些高等数学一元微积分学课后练习题和答案，供大家练习和参考，希望能够帮助大家更好地掌握这门课程。
练习题与答案
题目 1
已知点A(0,1)和点B(2,5)，则过点 A 且斜率为 3 的直线方程为？
答案
利用两点式，设所求直线方程为y=kx+1，则有：
$$ k = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \\frac{5 - 1}{2 - 0} = 2 $$
因为所求直线的斜率为 3，所以有k=3，代入上式得：
y=3x+1
所以答案为y=3x+1。
题目 2
已知函数f(x)=x3−6x2+11x−6，求其零点。
答案
为了求出函数f(x)的零点，我们需要通过解方程f(x)=0来得到。对于一
个三次函数，我们可以通过因式分解或利用根的判别式来求解。
首先，我们尝试对f(x)进行因式分解：
f(x)=x3−6x2+11x−6=(x−1)(x−2)(x−3)因此，函数f(x)的零点为x=1,2,3。
题目 3
求函数f(x)=x3−3x+2在[−1,2]上的最大值和最小值。
答案
为了求出函数f(x)在[−1,2]上的最大值和最小值，我们需要使用微积分中的极值定理。
首先，求出函数f(x)的导数：
f′(x)=3x2−3=3(x+1)(x−1)
f′(x)在[−1,1]上是负数，在(1,2]上是正数，因此，f(x)在x=1处取得极大值，f(x)在x=−1和x=2处取得极小值。
《高等数学》第一部分微积分习题参考答案
文 科 高 等 数 学
第一部分 微 积 分
习题一：
1.（1）是；（2）不是；（3）不是。
2.（1）(,2)(2,1)(1,)-∞----+∞ ；（2）(3,1][1,)--+∞ ；（3）[1,3]； （4）(1,0)(0,1]- 。
3. sin ,,sin(),sin(sin )x
e x x e e e x 。 4. 1
()2f x x
=
+ (0)x ≠。 5．（1）0][0,)x ∈-∞∈+∞当（，时，函数单调减少；当x 时，函数单调增加。 (2 ) ][1,)x ∈-∞∈+∞当（，1时，函数单调减少；当x 时，函数单调增加。 （3）[0,
][,]332
x x π
ππ
∈∈当时，函数单调增加；当时，函数单调减少。
6.（1）奇；（2）奇；（3）非奇非偶；（4）偶；（5）非奇非偶。
7.（1）24y x =- (02)x ≤≤；(2)3arcsin 2
x
y = (03)x ≤≤
(3)41116ln x
x y x x x x e <⎧⎪
=≤≤⎨⎪>⎩
。
8. 2119
66
R x x =-
+。 9. (1000)(60.002)y x x =+- (03000,)x x N ≤<∈。 10. 题目有问题。
习题二：
1.（1）存在；（2）不存在；（3）存在；（4）存在；（5）不存在。
2. 不能，如1
(1),(1)n
n n n a b +=-=-。
3. 能，用反证法证明。
4.（1）2；（2）0；（3）2；（4）
15；（5）75；（6）0；（7）1；（8）0; （9）1
2
；（10）n;
（11）
12x
；（12）
高等数学习题及答案
高等数学习题及答案
高等数学学习题及答案
高等数学是大学数学课程中的一门重要学科，它涵盖了微积分、线性代数、概
率论等多个分支。在学习高等数学的过程中，习题是非常重要的一环。通过解题，可以巩固知识，提高解决问题的能力。本文将为大家提供一些高等数学学
习题及其答案，希望能对大家的学习有所帮助。
一、微积分
1. 求函数f(x) = x^3 - 2x^2 - 3x + 2的极值点和极值。
解：首先求导得到f'(x) = 3x^2 - 4x - 3。令f'(x) = 0，解得x = -1，x = 3/2。将
这两个解代入原函数，得到f(-1) = 8，f(3/2) = -25/8。所以极小值为-25/8，对
应的极小点为x = 3/2；极大值为8，对应的极大点为x = -1。
2. 计算曲线y = 2x^3 - 3x^2 + 2的弧长。
解：弧长公式为L = ∫√(1 + (dy/dx)^2) dx。首先求导得到dy/dx = 6x^2 - 6x。将dy/dx代入弧长公式，得到L = ∫√(1 + (6x^2 - 6x)^2) dx。对该积分进行计算，最后得到弧长L = √(1 + 36x^4 - 72x^3 + 36x^2) dx。
二、线性代数
1. 求矩阵A = [1 2; 3 4]的逆矩阵。
解：逆矩阵满足AA^-1 = A^-1A = I，其中I为单位矩阵。对矩阵A进行求逆
运算，得到逆矩阵A^-1 = [-2 1; 3/2 -1/2]。
2. 已知矩阵A = [1 2; 3 4]，矩阵B = [5 6; 7 8]，求矩阵A + B和矩阵AB。
经济应用数学基础(一)微积分-试题与答案
高等数学（上）模拟试卷二
一、填空题（每空 3 分，共 42 分）
1、函数 y = 4 − x2 + lg(x −1) 的定义域是
；
⎧ sin x
f
(
x)
=
⎪ ⎨
x
x<0
2、设函数
⎪⎩a − 2x
x ≥ 0 在点 x = 0 连续，则 a =
；
3、曲线 y = x3 − 4 在 (−1, −5) 处的切线方程是
8．函数 y = x3 + 3ax2 + 3bx + c 在 x = −1 处取极大值，点 (0,3) 是拐点，则（ ）
（A） a = −1, b = 0, c = 3
（B） a = 0, b = −1, c = 3
（C） a = 3,b = −1, c = 0
（D）以上均不对
Байду номын сангаас
∫ ∫ 9．设 f (x)dx = x2 + C ，则 xf (1− x2 )dx = （ ）
（A） −2(1− x2 )2 + C
。
二、计算下列各题（每题 5 分，共 20 分）
11 lim( − ) 1、 x→1 ln x x −1
2、 y = arcsin 1− 3x ，求 y' ；
3、设函数 y = y(x) 由方程 exy = x − y 所确定，求 dy x=0 ；
高等数学微积分习题册上册答案
0 <|
x−
x0
|< δ
,|
f (x)−
A |< ε
，所以 lim x→ x0
f (x) =
A。
(必要性)显然
九、设 f (x) =| x | ，求 lim f (x) ， lim f (x) 和 lim f (x) .
x→0−
x→0+
x→0
解 ： lim f (x) = 1, lim f (x) = 1, lim f (x) = 1.
x→−∞
x→+∞
x→∞
（3） lim ex ， lim ex 和 lim ex .
x→−∞
x→+∞
x→∞
解: lim ex = 0 ， lim ex = +∞ ， lim ex 不存在
x→−∞
x→+∞
x→∞
七、证明：若 lim x → x0
f (x) 存在，则函数
f (x) 在 x0 的某个去心邻域内有界.
学院
姓名
学号
一、根据数列极限的定义证明下列极限：
日期
1.2 数列的极限
（1）
lim
n→∞
(−1) n2
n
= 0；
证明：对任意ε，解不等式
|
(−1)n n2
−
0 |=
经济应用数学基础(一)-微积分-课后习题答案_高
第一章 函 数
习 题 一
（A）
１．解下列不等式，并用区间表示解集合（其中δ＞０）：
（１）（x－２）２＞９； （２）｜x＋３｜＞｜x－１｜；
（３）｜x－x０｜＜δ；（４）０＜｜x－x０｜＜δ．
解 （１）由（x－２）２＞９得｜x－２｜＞３，从而解得
x－２＞３ 或 x－２＜－３
由此得 x＞５或x＜－１．因此，解集合为
（－∞，－１）∪（５，＋∞）
（２）由绝对值的几何意义知，不等式｜x＋３｜＞｜x－１｜表示点x与－３的距离大于点x与１的距离，如下图所示：
因此，该不等式的解集合为
（－１，＋∞）
（３）由｜x－x０｜＜δ得－δ＜x－x０＜δ，由此得x０－δ＜x＜x０＋δ，因此，解集合为
（x０－δ，x０＋δ）
（４）由０＜｜x－x０｜知x≠x０，由｜x－x０｜＜δ知x０－δ＜x＜x０＋δ．因此，解集合为
（x０－δ，x０）∪（x０，x０＋δ）
２．证明如下不等式：
（１）｜a－b｜≤｜a｜＋｜b｜；（２）｜a－b｜≤｜a－c｜＋｜c－b｜
证 （１）由绝对值性质（４），有
｜a－b｜≤｜a｜＋｜－b｜＝｜a｜＋｜b｜．
（２）｜a－b｜＝｜a－c＋c－b｜≤｜a－c｜＋｜c－b｜．
３．判断下列各对函数是否相同，并说明理由：
（１）y＝x与y＝x２；
（２）y＝１－x２＋x与y＝（１－x）（２＋x）；
（３）y＝１与y＝ｓｉｎ２x＋ｃｏｓ２x；
（４）y＝２ｃｏｓx与y＝１＋ｃｏｓ２x；
（５）y＝ｌｎ（x２－４x＋３）与y＝ｌｎ（x－１）＋ｌｎ（x－３）；
（６）y＝ｌｎ（１０－３x－x２）与y＝ｌｎ（２－x）＋ｌｎ（５＋x）．
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第一章 函 数
习 题 一
（A）
１．解下列不等式，并用区间表示解集合（其中δ＞０）：
（１）（x－２）２＞９； （２）｜x＋３｜＞｜x－１｜；
（３）｜x－x０｜＜δ；（４）０＜｜x－x０｜＜δ．
解 （１）由（x－２）２＞９得｜x－２｜＞３，从而解得
x－２＞３ 或 x－２＜－３
由此得 x＞５或x＜－１．因此，解集合为
（－∞，－１）∪（５，＋∞）
（２）由绝对值的几何意义知，不等式｜x＋３｜＞｜x－１｜表示点x与－３的距离大于点x与１的距离，如下图所示：
因此，该不等式的解集合为
（－１，＋∞）
（３）由｜x－x０｜＜δ得－δ＜x－x０＜δ，由此得x０－δ＜x＜x０＋δ，因此，解集合为
（x０－δ，x０＋δ）
（４）由０＜｜x－x０｜知x≠x０，由｜x－x０｜＜δ知x０－δ＜x＜x０＋δ．因此，解集合为
（x０－δ，x０）∪（x０，x０＋δ）
２．证明如下不等式：
（１）｜a－b｜≤｜a｜＋｜b｜；（２）｜a－b｜≤｜a－c｜＋｜c－b｜
证 （１）由绝对值性质（４），有
｜a－b｜≤｜a｜＋｜－b｜＝｜a｜＋｜b｜．
1
（２）｜a－b｜＝｜a－c＋c－b｜≤｜a－c｜＋｜c－b｜．
３．判断下列各对函数是否相同，并说明理由：
（１）y＝x与y＝x２；
（２）y＝１－x２＋x与y＝（１－x）（２＋x）；
（３）y＝１与y＝ｓｉｎ２x＋ｃｏｓ２x；
（４）y＝２ｃｏｓx与y＝１＋ｃｏｓ２x；
（５）y＝ｌｎ（x２－４x＋３）与y＝ｌｎ（x－１）＋ｌｎ（x－３）；
（６）y＝ｌｎ（１０－３x－x２）与y＝ｌｎ（２－x）＋ｌｎ（５＋x）．
解 （１）因y＝x２＝｜x｜与y＝x的对应规则不同（值域也不同），故二函数不相同．
（２）因y＝１－x２＋x与y＝（１－x）（２＋x）的定义域均为D f＝［－２，１］，故此二函数相同．
（３）因ｓｉｎ２x＋ｃｏｓ２x≡１，x∈（－∞，＋∞），故此二函数相同．（４）因y＝１＋ｃｏｓ２x＝２ｃｏｓ２x＝２｜ｃｏｓx｜与y＝２ｃｏｓx的对应规则不同，可知此二函数不相同．
（５）因
y＝ｌｎ（x２－４x＋３）＝ｌｎ［（x－１）（x－３）］的定义域为D f＝（－∞，１）∪（３，＋∞）；y＝ｌｎ（x－１）＋ｌｎ（x－３）的定义域为D f＝（３，＋∞）．
因此，此二函数不相同．
（６）因
y＝ｌｎ（１０－３x－x２）＝ｌｎ［（２－x）（５＋x）］与y＝ｌｎ（２－x）＋ｌｎ（５＋x）
的定义域均为D f＝（－５，２），故此二函数相同．
４．求下列函数的定义域：
（１）y＝x２＋x－２； （２）y＝ｓｉｎ（x）；（２）y＝９－x２＋１ｌｎ（１－x）；（４）y＝ｌｎx２－９x１０；
（５）y＝１x－３x＋１０
x－１０；（６）y＝（x－１）（x－３）x－３．
解 （１）使该函数有定义的x应满足条件：
x２＋x－２＝（x－１）（x＋２）≥０由此解得x≥１或x≤－２．因此，该函数定义域为
D f＝（－∞，２］∪［１，＋∞）．（２）使该函数有定义的x应满足条件：
2
x≥０ 且 ｓｉｎx≥０
而由ｓｉｎx≥０得２kπ≤x≤（２k＋１）π，k＝０，１，２，…．
因此，该函数的定义域为
D f＝∪∞k＝０［（２kπ）２，（２k＋１）π２］．
（３）使该函数有定义的x应满足如下条件：
９－x２≥０， １－x＞０， １－x≠１
解得 ｜x｜≤３且x＜１且x≠０．因此，该函数定义域为
D f＝［－３，０）∪（０，１）．
（４）使该函数有定义的x应满足条件：
x２－９x１０≥１
由此得 x２－９x－１０＝（x＋１）（x－１０）≥０，解得
x≥１０或x≤－１
因此，该函数定义域为
D f＝（－∞，－１］∪［１０，＋∞）
（５）使该函数有定义的x应满足如下条件：
x－３≠０， x－１０≠０， x＋１０
x－１０≥０
由此解得x＞１０或x≤－１０．因此，该函数定义域为
D f＝（－∞，－１０］∪（１０，＋∞）．
（６）使该函数有定义的x应满足条件：
x－３≠０， （x－１）（x－２）
x－３≥０
即
（x－１）（x－２）≥０ 且 x－３＞０痴x＞３
（x－１）（x－２）≤０ 且 x－３＜０痴１≤x≤２
因此，该函数定义域为
D f＝［１，２］∪（３，＋∞）．
５．已知函数
f（x）＝q－x２，｜x｜≤３
x２－９，｜x｜＞３
求函数值f（０），f（±３），f（±４），f（２＋a）．
解 因为x＝０，x＝±３时，｜x｜≤３，所以
f（０）＝９＝３，
3
4
f （±３）＝９－（±３）２
＝０
又因为x ＝±４时，｜x ｜＞３，所以f （±４）＝（±４）２
－９＝７
当｜２＋a ｜≤３即－５≤a ≤１时，
f （２＋a ）＝q －（２＋a ）２
＝（１－a ）（５＋a ）当｜２＋a ｜＞３即a ＞１或a ＜－５时，
f （２＋a ）＝（２＋a ）２
－
９＝（a －１）（a ＋５）所以f （２＋a ）＝
（１－a ）（５＋a ），
－５≤a ≤１
（a －１）（５＋a ），a ＜－５或a ＞１．
６．讨论下列函数的单调性：
（１）y ＝１＋６x －x ２
； （２）y ＝ｅ
｜x ｜
．
解 （１）易知该函数定义域为D f ＝［０，６］．设
x １，x ２∈（０，６）， x １＜x ２
则
f （x １）－f （x ２）＝６x １－x ２
１－６x ２－x ２
２
＝（６x １－x ２
１）－（６x ２－x ２
２）
６x １－x ２１＋６x ２－x ２
２＝６（x １－x ２）－（x ２
１－x ２
２）６x １－x ２１＋６x ２－x ２
２
＝［６－（x １＋x ２）］（x １－x ２）６x １－x
２１＋６x ２－x ２
２
＜０，
０＜x １＜x ２＜３＞０，
３＜x １＜x ２＜６
所以该函数在区间（０，３）上单调增加，在区间（３，６）上单调减少．另解，因
６x －x ２
＝９－（x －３）２
，所以y ＝１＋６x －x ２
是圆（x －３）２
＋
（y －１）２
＝３２
的上半圆．由此可知，该函数在（０，３）上单调增加，在（３，６）上单调减少．
（２）因
y ＝ｅ
｜x ｜
＝
ｅx
，
x ≥０ｅ
－x
，
x ＜０
所以，该函数在［０，＋∞）上单调增加，在（－∞，０］上单调减少．
７．讨论下列函数是否有界：