【推荐】2013-2019高考理科数学分类汇编-第9章 直线与圆的方程

第九章 直线与圆的方程第1节 直线的方程与两条直线的位置关系1．（2017浙江11）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积， .1.解析 正六边形的面积为6个正三角形的面积和，所以. 题型102 倾斜角与斜率的计算——暂无1.（2013江西理9）过点0)引直线l 与曲线y =A ，B 两点，O 为坐标原点，当AOB △的面积取最大值时，直线l 的斜率等于（ ）. A B ． C ． D ．2．（2015山东理9）一条光线从点()23--，射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为( ).A ．53-或35-B ．32-或23- C ．54-或45- D ．43-或34- 2.解析 由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点()2,3-．设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为()32y k x +=-， 即230kx y k ---=．由题意，圆心()3,2-到此直线的距离等于圆的半径1， 1=，所以21225120k k ++=，解得43k =-或34k =-．故选D ．题型103 直线的方程——暂无1.（2013山东理9）过点()3,1作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（ ）.A. 230x y +-=B. 230x y --=C. 430x y --=D.πππ6S 6S =6133=611sin 6022S430x y +-=2.（2013江苏17）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l .设圆C 的半径为1，圆心在l 上.（1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.3．（2015广东理5）平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是（ ）.A ．250x y ++=或250x y +-= B．20x y ++=或20x y +-=C ．250x y -+=或250x y --= D．20x y -+=或20x y -=3.解析 设所求切线方程为20x y c ++==5c =±，所以所求切线的方程为20x y ++=或20x y +-=．故选A ．题型104 两直线位置关系的判定——暂无1．（2015广东理5）平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是（ ）.A ．250x y ++=或250x y +-= B．20x y ++=或20x y +-=C ．250x y -+=或250x y --= D．20x y -+=或20x y -=1.解析 设所求切线方程为20x y c ++==5c =±，所以所求切线的方程为20x y ++=或20x y +-=．故选A ．2．（2019江苏18）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．2.解析 解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.' 因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，联结AD ，由（1）知10AD ==，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求； 当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，CQ ===.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+. 解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H. 以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为2+y 2=25.从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-， 直线PB 的方程为42533y x =--.所以P （−13，9），15PB ==. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，联结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3）， 所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-.在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =<=，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求； 当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+所以Q （4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4321(13)17321PQ =+--=+.因此，d 最小时，P，Q 两点间的距离为17321+（百米）.题型105 有关距离的计算1.（2014 重庆理 13）已知直线20ax y +-=与圆心为C 的圆()()2214x y a -+-=相交于,A B 两点，且ABC △为等边三角形，则实数a =_________.2.（2014 新课标2理16）设点()0,1M x ，若在圆O ：221x y +=上存在点N ， 使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是 .3.（2014 新课标1理 6）如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ， 则()y f x =在[]0,π上的图像大致为（ ）.4.（2014 福建理 6）直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB △的面积为12”的（ ）. A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件5．（2015广东理5）平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是（ ）.A ．250x y ++=或250x y +-=B ．250x y ++=或250x y +-=C ．250x y -+=或250x y --=D ．250x y -+=或250x y --=5.解析 设所求切线方程为20x y c ++=，依题意有2200521c ++=+，解得5c =±，所以所求切线的方程为250x y ++=或250x y +-=．故选A ．1A.1B.1C.1D.PMA Ox6．（2015江苏理10）在平面直角坐标系xOy 中，以点()1,0为圆心且与直线210mx y m ---=()m ∈R 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ．6.解析 解法一（几何意义）：动直线210mx y m ---=整理得()()210m x y --+=，则l 经过定点()2,1M -，故满足题意的圆与l 切于M 时，半径最大， 从而r ==()2212x y -+=．解法二（代数法——基本不等式）：由题意r d=====12+=，当且仅当1m =时，取“=”．故标准方程为()2212x y -+=．解法三（代数法——∆判别式）：由题意r d===设22211m m t m ++=+，则()21210t m m t --+-=，因为m ∈R ，所以()()222410t ∆=---，解得02t ，即d ．7．（2015湖北理14）如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），且2AB =． (1)圆C 的标准．．方程为 ； (2)过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论： ①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=；③NB MA NAMB+=其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号） 7.解析（1）由条件可设圆C 的标准．．方程为2(1)()22x -+y -r r =(r 为半径)，因为2AB =，所以r ==，故圆C 的标准．．方程为(1)(222x +y -=. （2）在(1)(222x +y -=中令0x =得1),1)A B ,因为N 在圆22:1O x y +=上，所以由三角函数的定义可设(cos ,sin ),N θθ从而NA NB =1==.同理1MA MB =，故NA MA NBMB=，1)2NB MA NAMB-=，1)NB MA NAMB+==8．（2015全国II 理7）过三点()1,3A ，()4,2B ，()1,7C -的圆交于y 轴于,M N 两点， 则MN =（ ）．A.26B. 8C. 46D. 10 8. 解析 由题意得321143AB k -==--，27341CB k +==--，所以1AB CB k k =-， 所以AB CB ⊥，即ABC △为直角三角形，则外接圆的圆心为AC 的中点(1,2)-， 半径为5，所以外接圆方程为22(1)(2)25x y -++=，令0x =，则有2y =±，所以MN =C ．9．（2015广东理20）已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ，B .(1) 求圆1C 的圆心坐标；(2) 求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3) 是否存在实数k ,使得直线:(4)l y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.9. 解析 （1）由22650x y x +-+=得()2234x y -+=，所以圆1C 的圆心坐标为()3,0；（2）设(),M x y ．因为点M 为弦AB 中点，即1C M AB ⊥，所以11C M AB k k =-， 即13y yx x=--，所以线段AB 的中点M 的轨迹的方程为223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）由（2）知点M 的轨迹是以3,02C ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，32r =为半径的部分圆弧EF （不包括两端点），且53E ⎛ ⎝⎭，5,3F ⎛ ⎝⎭．又直线():4l y k x =-过定点()4,0D ， 当直线l 与圆C32=得34k =±．又05743DEDFkk ⎛- ⎝⎭=-=-=-，所以当3325,,447k ⎡⎧⎫∈--⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦时， 直线():4l y k x =-与曲线C 只有一个交点．10．（2015四川理10）设直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，与圆C ：()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）.A. ()1,3B. ()1,4C. ()2,3D. ()2,410. 解析 设直线l 的方程为x ty m =+，代入抛物线方程得2440y ty m --=， 则216160t m ∆=+>.又中点()22,2Mtm t +，则1MC l k k ⋅=-，即232m t =-.代入21616t m∆=+，可得230t ->，即203t <<. 又由圆心到直线的距离等于半径，可得2d r ====由203t <<，可得()2,4r ∈.故选D.11.（2015重庆理8）已知直线()10l x ay a +-=∈R ：是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点()4,A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB =（）. A. 2 B.C.6D.11. 解析 易知圆的标准方程()()22:214C x y -+-=，圆心O 为()2,1.又因为直线01:=-+ay x l 是圆的对称轴，则该直线一定经过圆心， 得知1a =-，(4,1)A --．又因为AB 直线与圆相切，则OAB △为直角三角形,OA ==2=OB ,622=-=OB OA AB ．12.（2016全国甲理4）圆的圆心到直线的距离为1，则（ ）. A. B.D.2 12.A 解析 将圆化为标准方程为：，故圆心为，所以，解得.故选A ．13.（2016上海理3），，则，的距离为．解析 由题意． 14.（2016全国丙理16）已知直线与圆交于，两点，过，分别做的垂线与轴交于，D 两点，若，则__________________.14.4 解析 解法一：根据直线与圆相交弦长公式有，又，得.因此圆心到直线：的距离，解得因此直线的方程为.所以直线的倾斜角为.如图所示，过点作于点，则.2228130x y xy +--+=10ax y +-=a =43-34-2228130x y x y+--+=()()22144x y -+-=()14，1d ==43a =-1:210l x y +-=2:210l x y ++=1l 2ld ==:30l mx y m ++=2212x y +=A B A B l x C AB =CD =AB =223r d -=212r =3d =()0,0O l 30mx y m ++=3d ==3m =-l 3y x =+l 30C CE BD ⊥E 234cos30cos303CE AB CD ====解法二：直线：，知直线过定点，又，所以为等边三角形,因为，所以，又知,所以点在轴上（直线的斜率存在）.所以得直线的倾斜角为，则. 2019年15.（2019北京理3）已知直线l 的参数方程为x =1+3t y =2+4tìíî （t 为参数），则点（1，0） 到直线l 的距离是（A ）15 （B ）25 （C ）45 （D ）6515，解析 由直线l 的参数方程消去t ，可得其普通方程为4320x y -+=． 则点（1，0）到直线l 的距离是d ==16.（2019江苏10）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点， 则点P 到直线+y =0的距离的最小值是 . 16. 解析 解法一：由4(0)y x x x =+>，得241y x'=-， 设斜率为1-的直线与曲线4(0)y x x x=+>切于0004(,)x x x +，由20411x-=-，解得000)x x =>． 所以曲线4(0)y x x x=+>上，点P 到直线0x y +=的距离最小，4=． 解法二：由题意可设点P 的坐标为4,x x x ⎛⎫+⎪⎝⎭()0x >，则点P 到直线0x y +=的距离 l 30mx y m ++-=l (A AB r==OAB △(A 30AOC ∠=60AOB ∠=B y l l 30234cos30cos303CE AB CD ====2222242xd⎛⎫+⎪==⨯⨯=，当且仅当x=所以点P到直线0x y+=的距离的最小值为4.17（2019江苏18）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求：线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆．．．．O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．17.解析解法一：（1）过A作AE BD⊥，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE为矩形，6,8DE BE AC AE CD=====.'因为PB⊥AB，所以84cos sin105PBD ABE∠=∠==.所以12154cos5BDPBPBD===∠.因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，联结AD ，由（1）知10AD ==，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求； 当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，CQ ===.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.解法二：（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，−3. 因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为2+y2=25.从而A（4，3），B（−4，−3），直线AB的斜率为3 4 .因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为43 -，直线PB的方程为42533 y x=--.所以P（−13，9），15PB==.因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（−4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，联结AD，由（1）知D（−4，9），又A（4，3），所以线段AD：36(44)4y x x=-+-.在线段AD上取点M（3，154），因为5OM=<=，所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a=4+所以Q（4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q（4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此，d 最小时，P ，Q两点间的距离为17+.第2节 圆的方程题型106 求圆的方程——暂无1.（2014 陕西理 12）若圆C 的半径为1，其圆心与点()1,0关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为_______.2．（2015江苏理10）在平面直角坐标系xOy 中，以点()1,0为圆心且与直线210mx y m ---=()m ∈R 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ．2.解析 解法一（几何意义）：动直线210mx y m ---=整理得()()210m x y --+=，则l 经过定点()2,1M -，故满足题意的圆与l 切于M 时，半径最大， 从而r ==()2212x y -+=．解法二（代数法——基本不等式）：由题意r d=====12+=，当且仅当1m =时，取“=”．故标准方程为()2212x y -+=．解法三（代数法——∆判别式）：由题意r d===设22211m m t m ++=+，则()21210t m m t --+-=，因为m ∈R ，所以()()222410t ∆=---，解得02t ，即d．3．（2015湖北理14）如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），且2AB =． (1)圆C 的标准．．方程为 ； (2)过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论： ①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=；③NB MA NAMB+=其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号） 3.解析（1）由条件可设圆C 的标准．．方程为2(1)()22x -+y -r r =(r 为半径)，因为2AB =，所以r ==，故圆C 的标准．．方程为(1)(222x +y -=. （2）在(1)(222x +y -=中令0x =得1),1)A B ,因为N 在圆22:1O x y +=上，所以由三角函数的定义可设(cos ,sin ),N θθ从而NA NB =1==.同理1MA MB =，故NA MA NBMB=，1)2NB MA NAMB-=，1)NB MA NAMB+==4．（2015全国II 理7）过三点()1,3A ，()4,2B ，()1,7C -的圆交于y 轴于,M N 两点， 则MN =（ ）．A.26B. 8C. 46D. 10 4. 解析 由题意得321143AB k -==--，27341CB k +==--，所以1AB CB k k =-， 所以AB CB ⊥，即ABC △为直角三角形，则外接圆的圆心为AC 的中点(1,2)-， 半径为5，所以外接圆方程为22(1)(2)25x y -++=，令0x =，则有2y =±，所以MN =C ．5.（2018全国2卷理科19）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．5.解析 （1）由题意得(1,0)F ，直线l 的方程为(1)(0)y k x k =->． 设11(,)A x y ,22(,)B x y ， 联立2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，整理得2222(24)0k x k x k -++=．因为216160k ∆=+>，故122224kx k x ++=． 由抛物线性质得，122244||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=． 所以22448k k+=，解得1k =-（舍去）或1k =． 因此l 的方程为1y x =-．（2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+． 设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则00220005(1)(1)162y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩或00116x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．题型107 与圆有关的轨迹问题——暂无1．（2015广东理20）已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ，B .（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ,使得直线:(4)l y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由.1. 解析 （1）由22650x y x +-+=得()2234x y -+=，所以圆1C 的圆心坐标为()3,0；（2）设(),M x y ．因为点M 为弦AB 中点，即1C M AB ⊥，所以11C M AB k k =-， 即13y yx x=--，所以线段AB 的中点M 的轨迹的方程为223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）由（2）知点M 的轨迹是以3,02C ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，32r =为半径的部分圆弧EF （不包括两端点），且5,33E ⎛⎝⎭，5,33F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．又直线():4l y k x =-过定点()4,0D ， 当直线l 与圆C32=得34k =±．又05743DEDFkk ⎛- ⎝⎭=-=-=-，所以当3325,,447k ⎡⎧⎫∈--⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦时， 直线():4l y k x =-与曲线C 只有一个交点．题型115 与圆有关的最值或取值范围问题1．（2015四川理10）设直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，与圆C ：()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）.A. ()1,3B. ()1,4C. ()2,3D. ()2,41. 解析 设直线l 的方程为x ty m =+，代入抛物线方程得2440y ty m --=， 则216160t m ∆=+>.又中点()22,2Mtm t +，则1MC l k k ⋅=-，即232m t =-.代入21616t m ∆=+，可得230t ->，即203t <<.又由圆心到直线的距离等于半径，可得2d r====由203t<<，可得()2,4r∈.故选D.第3节直线与圆、圆与圆的位置关系题型108 直线与圆的位置关系1.（2014 湖北理12）直线1:l y x a=+和2:l y x b=+将单位圆22:1C x y+=分成长度相等的四段弧，则22a b+=________.2.（2014 江西理9）在平面直角坐标系中，,A B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB 为直径的圆C与直线240x y+-=相切，则圆C面积的最小值为（）.A.45π B.34πC.(6-πD.54π3.（2014 福建理6）直线:1l y kx=+与圆22:1O x y+=相交于,A B两点，则"1"k=是“OAB△的面积为12”的（）.A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件4.（2014 大纲理15）直线1l和2l是圆222x y+=的两条切线，若1l与2l的交点为()1,3，则1l与2l的夹角的正切值等于.5．（2015山东理9）一条光线从点()23--，射出，经y轴反射后与圆()()22321x y++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为( ).A．53-或35-B．32-或23-C．54-或45-D．43-或34-5.解析由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点()2,3-．设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为()32y k x+=-，即230kx y k---=．由题意，圆心()3,2-到此直线的距离等于圆的半径1，1=，所以21225120k k++=，解得43k=-或34k=-．故选D．6．（2015广东理5）平行于直线210x y++=且与圆225x y+=相切的直线的方程是（ ）.A ．250x y ++=或250x y +-= B．20x y ++=或20x y +-=C ．250x y -+=或250x y --= D．20x y -+=或20x y -=6.解析 设所求切线方程为20x y c ++==5c =±，所以所求切线的方程为20x y ++=或20x y +-=．故选A ． 7．（2015江苏理10）在平面直角坐标系xOy 中，以点()1,0为圆心且与直线210mx y m ---=()m ∈R 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ．7.解析 解法一（几何意义）：动直线210mx y m ---=整理得()()210m x y --+=，则l 经过定点()2,1M -，故满足题意的圆与l 切于M 时，半径最大， 从而r ==()2212x y -+=．解法二（代数法——基本不等式）：由题意r d=====12+=，当且仅当1m =时，取“=”．故标准方程为()2212x y -+=．解法三（代数法——∆判别式）：由题意r d===设22211m m t m ++=+，则()21210t m m t --+-=，因为m ∈R ，所以()()222410t ∆=---，解得02t ，即d ．8．（2015湖北理14）如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），且2AB =． (1)圆C 的标准．．方程为 ； (2)过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论： ①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=；③NB MA NAMB+=其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号） 8.解析（1）由条件可设圆C 的标准．．方程为2(1)()22x -+y -r r =(r 为半径)，因为2AB =，所以r ==，故圆C 的标准．．方程为(1)(222x +y -=. （2）在(1)(222x +y -=中令0x =得1),1)A B ,因为N 在圆22:1O x y +=上，所以由三角函数的定义可设(cos ,sin ),N θθ从而NA NB =1==.同理1MA MB =，故NA MA NBMB=，1)2NB MA NAMB-=，1)NB MA NAMB+==9．（2015全国II 理7）过三点()1,3A ，()4,2B ，()1,7C -的圆交于y 轴于,M N 两点， 则MN =（ ）．A.26B. 8C. 46D. 10 9. 解析 由题意得321143AB k -==--，27341CB k +==--，所以1AB CB k k =-， 所以AB CB ⊥，即ABC △为直角三角形，则外接圆的圆心为AC 的中点(1,2)-， 半径为5，所以外接圆方程为22(1)(2)25x y -++=，令0x =，则有2y =±，所以MN =C ．10．（2015广东理20）已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ，B .（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ,使得直线:(4)l y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.10. 解析 （1）由22650x y x +-+=得()2234x y -+=，所以圆1C 的圆心坐标为()3,0；（2）设(),M x y ．因为点M 为弦AB 中点，即1C M AB ⊥，所以11C M AB k k =-，即13y yx x=--，所以线段AB 的中点M 的轨迹的方程为223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）由（2）知点M 的轨迹是以3,02C ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，32r =为半径的部分圆弧EF （不包括两端点），且5,33E ⎛⎝⎭，5,33F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．又直线():4l y k x =-过定点()4,0D ， 当直线l 与圆C32=得34k =±．又0543DEDFkk ⎛- ⎝⎭=-=-=-3325,,447k ⎡⎧⎫∈--⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦时， 直线():4l y k x =-与曲线C 只有一个交点．11．（2015四川理10）设直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，与圆C ：()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）.A. ()1,3B. ()1,4C. ()2,3D. ()2,411. 解析 设直线l 的方程为x ty m =+，代入抛物线方程得2440y ty m --=， 则216160t m ∆=+>.又中点()22,2Mtm t +，则1MC l k k ⋅=-，即232m t =-.代入21616t m∆=+，可得230t ->，即203t <<. 又由圆心到直线的距离等于半径，可得2d r ====由203t <<，可得()2,4r ∈.故选D.12.（2015重庆理8）已知直线()10l x ay a +-=∈R ：是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点()4,A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB =（ ）.A. 2B. C.6D.12. 解析 易知圆的标准方程()()22:214C x y -+-=，圆心O 为()2,1.又因为直线01:=-+ay x l 是圆的对称轴，则该直线一定经过圆心， 得知1a =-，(4,1)A --．又因为AB 直线与圆相切，则OAB △为直角三角形,OA ==2=OB ,622=-=OB OA AB ．13.（2016全国甲理4）圆的圆心到直线的距离为1，则( ). A. B.D.2 13.A 解析 将圆化为标准方程为：，故圆心为，所以，解得.故选A ．14.（2018上海12）已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=__________.14.解析 2211222212121 1 12x y x y x x y y ⎧⎪+=⎪+=⎨⎪⎪+=⎩ ①②③，由⨯①+②-2③得，()()2212121x x y y -+-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则1AB =.令z =，显然z 表示点A ，B 到直线10x y +-=的距离之和，如图所示，当点A ，B 所在直线与直线10x y +-=平行时，z 取最大值，此时OAB △为等边三角形.且点A ，B 到直线10x y +-=的距离为点O 到直线10x y +-=和直线AB 的距离之和，所以max22z ==2228130x y x y +--+=10ax y +-=a =43-34-2228130x y x y +--+=()()22144x y -+-=()14，1d ==43a =-15.（2018全国I 卷理科22）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2y k x =+．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=． （1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程．15.解析 （1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．（2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为22=，故0k =或43k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，1l 与2C 没有公共点． 综上所述，所求1C 的方程为4||23y x =-+．题型109 直线与圆的相交关系及其应用1.（2013江西理9）过点0)引直线l与曲线y =A ，B 两点，O 为坐标原点，当AOB △的面积取最大值时，直线l 的斜率等于（ ）. AB． C． D．2.（2014 重庆理 13）已知直线20ax y +-=与圆心为C 的圆()()2214x y a -+-=相交于,A B 两点，且ABC △为等边三角形，则实数a =_________.3.（2014 江苏理 9）在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆()()22214x y -++=截得的弦长为 ．4.（2016北京理11）在极坐标系中，直线圆交于两点， 则 _______.4. 解析 解法一：在平面直角坐标系中，题中的直线与圆的方程分别是，.可得两点的坐标，即为方程组的解， 用代入法可求得两点的坐标分别为，所以由两点的距离公式可求得.解法二：直线的直角坐标方程为，圆的直角坐标方程为. 圆心在直线上，因此为圆的直径，所以.5.（2016全国丙理14）在上随机地取一个数，则事件”直线与圆相交”发生的概率为 .5.解析 首先的取值空间的长度为2，由直线与圆相交，cos sin 10ρθθ--=与2cos ρθ=,A B AB =210x --=222x y x +=,A B (,)xy 221(1)1x x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩,AB 111,12222⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2AB=10x -=22(1)1x y -+=()1,0AB 2AB =[1,1]k y kx =22(5)9x y -+=34k kx y =22(5)9x y -+=，解得，所以得事件发生时的取值空间为，其长度为，利用几何概型可知，所求概率为. 6.（2016全国丙理16）已知直线与圆交于，两点，过，分别做的垂线与轴交于，两点，若，则__________.6.4 解析解法一：根据直线与圆相交弦长公式有得，又，得.因此圆心到直线：的距离，解得因此直线的方程为.所以直线的倾斜角为.如图所示，过点作于点， 则. 解法二：直线：，知直线过定点，又，所以为等边三角形,因为，所以,又知,所以点在轴上（直线的斜率存在）.所以得直线的倾斜角为，则. 7.（2018天津12）已知圆2220x y x +-=的圆心为C ，直线1,232⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y (t 为参数)与该圆相交于A，B 两点，则三角形ABC 的面积为 .7.解析 由题意可得圆的标准方程为：()2211x y -+=，3<3344k -k 33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2343=223:30l mx y m ++-=2212x y+=A B A B l x CD AB =CD=AB ==223r d -=212r =3d =()0,0O l 30mx y m ++=3d ==3m =-l 3y x =+l 30C CE BD ⊥E 234cos30cos303CE AB CD ====l 30mx y m ++-=l (A AB r ==OAB △(A 30AOC ∠=60AOB ∠=B y l l 30234cos30cos303CE AB CD ====直线的直角坐标方程为：()31y x -=-+，即20y x +-=，则圆心到直线的距离：2d ==，由弦长公式可得：2AB ==，则1122ABC S ==.题型110 直线与圆相切、相离关系及其应用1. （2013山东理9）过点()3,1作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（ ）.A. 230x y +-=B. 230x y --=C. 430x y --=D.430x y +-=2.（2013江苏17）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l .设圆C 的半径为1，圆心在l 上.（1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.3.（2014 江西理 9）在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（ ）. A.45π B.34πC.(6-πD.54π 4.（2014 大纲理 15）直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为()1,3，则1l 与2l 的夹角的正切值等于 .5.（2018全国III 卷理科6）直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是（ ）.A ．[]26，B ．[]48，C． D．⎡⎣ 5.解析 如图所示，过圆心()2,0作直线20x y ++=的垂线，交圆()2222x y -+=于点1P ，2P （设点1P 更接近直线），则1P ，2P 分别是圆上与直线20x y ++=距离最小和最大的点，即1ABP △ 的面积最小，2ABP △的面积最大.而圆心()2,0到20x y ++=的距离是=，AB =所以min d r ==，max d r ==.所以1122ABP S =△，2162ABP S =⨯△.故选A.6.（2018北京理7）在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离.当θ，m 变化时，d 的最大值为( ). （A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）46.解析 因为()cos ,sin P θθ，所以P 点的轨迹是圆。