专题09三角形(第05期)2016年中考数学试题(附解析)

专题09 三角形（第05期）-2016年中考数学试题一、选择题1.（2016四川甘孜州第9题）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB=3，AD=1，则△AED的周长为（）A．2B．3C．4D．5【答案】C．考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．2.（2016贵州铜仁第9题）如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于（）A．1B． 2 C．4D．8【答案】B．【解析】试题分析：过点P作PE⊥OA于点E，∵OP是∠AOB的平分线，∴PE=PD．∵PC∥OB，∴∠POD=∠OPC，∴∠PCE=∠POC+∠OPC=∠POC+∠POD=∠AOB=30°，∴PE=12PC=2，∴PD=2．故选B．考点：角平分线的性质；含30度角的直角三角形．3.（2016湖南株洲第4题）如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到三角形A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC、A′B′交于点O，则∠COA′的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°【答案】B．考点：旋转的性质．4．（2016广西来宾第9题）如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，DE、DF是△ABC的中位线，则四边形BEDF的周长是（）A．5B．7C．8D．10【答案】D．【解析】试题分析：∵AB=4，BC=6，DE、DF是△ABC的中位线，∴DE=12AB=2，DF=12BC=3，DE ∥BF ，DF ∥BE ，∴四边形BEDF 为平行四边形，∴四边形BEDF 的周长为：2×2+3×2=10，故选D ．考点：三角形中位线定理．5.（2016福建莆田第6题）如图，OP 是∠AOB 的平分线，点C ，D 分别在角的两边OA ，OB 上，添加下列条件，不能判定△POC ≌△POD 的选项是（ ）A ．PC ⊥OA ，PD ⊥OB B ．OC =OD C ．∠OPC =∠OPD D ．PC =PD 【答案】D ．考点：角平分线的性质；全等三角形的判定．6.（2016福建莆田第9题）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =4，将△ABC 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 处，EF 为折痕，若AE =3，则sin ∠BFD 的值为（ ）A ．13 B C D ．35 【答案】A ． 【解析】试题分析：∵在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =4，∴∠A =∠B ，由折叠的性质得到：△AEF ≌△DEF ，∴∠EDF =∠A ，∴∠EDF =∠B ，∴∠CDE +∠BDF +∠EDF =∠BFD +∠BDF +∠B =180°，∴∠CDE =∠BFD ．又∵AE =DE =3，∴CE =4﹣3=1，∴在直角△ECD 中，sin ∠CDE=13CEED=．故选A．考点：翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；锐角三角函数的定义．7.（2016广西河池第4题）下列长度的三条线段不能组成三角形的是（）A．5，5，10B．4，5，6C．4，4，4D．3，4，5 【答案】A．考点：三角形三边关系．8.（2016贵州贵阳第7题）如图，在△ABC中，DE∥BC，13ADAB=，BC=12，则DE的长是（）A．3B．4C．5D．6 【答案】B．【解析】试题分析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC=13ADAB=，∵BC=12，∴DE=13BC=4．故选B．考点：相似三角形的判定与性质．9.（2016内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟第12题）如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为PQ，则线段BQ的长度为（）A．B．C．4 D．5【答案】C．【解析】试题分析：设BQ=x，则由折叠的性质可得DQ=AQ=9﹣x，根据中点的定义可得BD=3，在Rt△BQD中，根据勾股定理可得关于x的方程x2+32=（9﹣x）2，解得x=4，所以线段BQ 的长为4．故选C．考点：翻折变换（折叠问题）．10.（2016辽宁葫芦岛第9题）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE=30°，DF=4，则BF的长为（）A．4 B．8 C．D．【答案】D．考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．11.（2016辽宁营口第8题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点C为圆心，以相同的长（大于12AC）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．下列结论错误的是（）A．AD=CD B．∠A=∠DCE C．∠ADE=∠DCB D．∠A=2∠DCB【答案】D．【解析】试题分析：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA=DC，AE=EC，故A正确，∴DE∥BC，∠A=∠DCE，故B正确，∴∠ADE=∠CDE=∠DCB，故C正确，故选D．考点：作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．12.（2016黑龙江绥化第6题）如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在距她家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（）A．250米B．C米D．米【答案】A．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．a-+=，13.（2016江苏盐城第8题）若a、b、c为△ABC的三边长，且满足40则c的值可以为（）A．5B．6C．7D．8【答案】A．【解析】试题分析：∵40a-+=，∴a﹣4=0，a=4；b﹣2=0，b=2；则4﹣2＜c＜4+2，2＜c＜6，5符合条件；故选A．考点：三角形三边关系；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．14.（2016江苏盐城第7题）如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA 的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C．考点：相似三角形的判定；平行四边形的性质．15.（2016江苏常州第5题）如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，量得OM=8cm，ON=6cm，则该圆玻璃镜的半径是（）A B．5cm C．6cm D．10cm【答案】B．【解析】试题分析：如图，连接MN，∵∠O=90°，∴MN是直径，又OM=8cm，ON=6cm，∴MN（cm），∴该圆玻璃镜的半径是：12MN=5cm．故选B．考点：圆周角定理；勾股定理．16.（2016江苏常州第7题）已知△ABC中，BC=6，AC=3，CP⊥AB，垂足为P，则CP的长可能是（）A．2B．4C．5D．7【答案】A．【解析】试题分析：如图，根据垂线段最短可知：PC＜3，∴CP的长可能是2，故选A．考点：垂线段最短．17.（2016重庆A卷第8题）△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：16【答案】C．考点：相似三角形的性质．18.（2016重庆A卷第11题）某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB 行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树CD的高度约为（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（）A．8.1米B．17.2米C．19.7米D．25.5米【答案】A．【解析】试题分析：作BF⊥AE于F，如图所示，则FE=BD=6米，DE=BF，∵斜面AB的坡度i=1：2.4，∴AF=2.4BF，设BF=x米，则AF=2.4x米，在Rt△ABF中，由勾股定理得：222+=，解得：x=5，∴DE=BF=5米，AF=12米，∴AE=AF+FE=18米，在Rt△ACE(2.4)13x x中，CE=AE•tan36°=18×0.73=13.14米，∴CD=CE﹣DE=13.14米﹣5米≈8.1米；故选A．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．19.（2016四川南充第3题）如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P时直线MN上的点，下列判断错误的是（）A．AM=BM B．AP=BN C．∠MAP=∠MBP D．∠ANM=∠BNM【答案】B．考点：轴对称的性质．20.（2016四川南充第7题）如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为（）A．1B．2C D．【答案】A．【解析】试题分析：如图，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴AB=2BC=2．又∵点D、E分别是A C．BC的中点，∴DE是△ACB的中位线，∴DE=12AB=1．故选A．考点：三角形中位线定理；含30度角的直角三角形．21.（2016内蒙古巴彦淖尔第7题）如图，E为▱ABCD的边AB延长线上的一点，且BE：A B=2：3，△BEF的面积为4，则▱ABCD的面积为（）A．30B．27C．14D．32【答案】A．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．22.（2016内蒙古巴彦淖尔第8题）如图，某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘正在南海巡航的渔政船前往救援，当飞机到达海面3000m 的高空C 处时，测得A 处渔政船的俯角为45°，测得B 处发生险情渔船的俯角为30°，此时渔政船和渔船的距离AB 是（ ）A． B．1)m C．1)m D． 【答案】C ． 【解析】 试题分析：如图，由题意可知CE ∥BD ，∴∠CBA =30°，∠CAD =45°，且CD =3000m ，在Rt △ACD 中，AD =CD =3000m ，在Rt △BCD 中，BD =tan CD CBA ∠==m ，∴AB =BD ﹣AD=3000=1)（m ），故选C ．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．23.（2016四川南充第10题）如图，正五边形的边长为2，连结对角线AD ，BE ，CE ，线段AD 分别与BE 和CE 相交于点M ，N ．给出下列结论：①∠AME =108°；②2AN AM AD =⋅；③MN=3④1EBC S ∆=．其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C ．∵∠AEN =108°﹣36°=72°，∠ANE =36°+36°=72°，∴∠AEN =∠ANE ，∴AE =AN ，同理DE =DM ，∴AE =DM ，∵∠EAD =∠AEM =∠ADE =36°，∴△AEM ∽△ADE ，∴AE AMAD AE=，∴2AE =AM •AD ；∴2AN AM AD =⋅；故②正确；∵2AE =AM •AD ，∴22=（2﹣MN ）（4﹣MN ），∴MN =3在正五边形ABCDE中，∵BE =CE =AD =1，∴BH =12BC =1，∴EH =，∴S △EBC =12BC •EH =122⨯，故④错误； 故选C ．考点：相似三角形的判定与性质；正多边形和圆． 二、填空题1.（2016贵州遵义第14题）如图，在△ABC 中，AB =BC ，∠ABC =110°，AB 的垂直平分线DE 交AC 于点D ，连接BD ，则∠ABD = 度．【答案】35．考点：线段垂直平分线的性质．2.（2016四川甘孜州第13题）直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为．【答案】6．【解析】试题分析：∵直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，．该直角三角形的面积S=12×3×4=6．故答案为：6．考点：勾股定理．3.（2016四川甘孜州第23题）如图，点P1，P2，P3，P4均在坐标轴上，且P1P2⊥P2P3，P2P3⊥P3P4，若点P1，P2的坐标分别为（0，﹣1），（﹣2，0），则点P4的坐标为．【答案】（8，0）．考点：相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质．4.（2016湖南株洲第18题）已知点P 是△ABC 内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P 点叫△ABC 的费马点（Fermat point ），已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC 中，当∠APB =∠APC =∠BPC =120°时，P 就是△ABC 的费马点，若P 就是△ABC 的费马点，若点P DEF 的费马点，则PD +PE +PF = ．1． 【解析】试题分析：如图：等腰Rt △DEF 中，DE =DF D 作DM ⊥EF 于点M ，过E 、F分别作∠MEP =∠MFP =30°，则EM =DM =1，故cos 30°=EMEP ，解得：PE =PF 3，则PM =3，故DP =1﹣3，则PD +PE +PF =2×3+1﹣31．1．考点：解直角三角形；等腰直角三角形；新定义．5.（2016浙江台州第12题）如图，把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，则顶点C 平移的距离CC ′= ．【答案】．【解析】试题分析：∵把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，∴三角板向右平移了5个单位，∴顶点C平移的距离CC′=5．故答案为：5．考点：平移的性质．6.（2016福建莆田第16题）魏朝时期，刘徽利用下图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”，证明了勾股定理．若图中BF ＝1，CF＝2，则AE的长为__________．【答案】考点：勾股定理；相似三角形的判定与性质．7.（2016广西河池第18题）如图的三角形纸片中，AB=AC，BC=12cm，∠C=30°，折叠这个三角形，使点B落在AC的中点D处，折痕为EF，那么BF的长为cm．【答案】143．【解析】试题分析：过D作DH⊥BC，过点A作AN⊥BC于点N，∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°，根据折叠可得：D F=BF，∠EDF=∠B=30°，∵AB=AC，BC=12cm，∴BN=NC=6cm，∵点B落在AC的中点D处，AN∥DH，∴NH=HC=3cm，∴DH=3tan30°cm），设BF=DF=xcm，则FH =12﹣x ﹣3=9﹣x （cm ），故在Rt △DFC 中，222D F D H F H =+，故222)(9)x x =+-，解得：x =143，即BF 的长为：143cm ．故答案为：143．考点：翻折变换（折叠问题）．8.（2016贵州贵阳第15题）如图，∠BAC =45°，AB =8，要使满足条件的△ABC 惟一确定，那么BC 的长度x 的取值范围是 ．【答案】x ≥8．综上所述，∠BAC =45°，AB =8，要使△ABC 唯一确定，那么BC 的长度x 满足的条件是：x =或x 大于或等于8．故答案为：x ≥8．考点：全等三角形的判定；分类讨论．9．（2016福建泉州第11题）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，BC=8，则DE= ．【答案】4．【解析】试题分析：已知D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，根据三角形的中位线定理得到BC=4．DE=12考点：三角形中位线定理．10.（2016福建泉州第14题）如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AB=10，则CE=．【答案】5．【解析】1AB=5.试题分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CE=2考点：直角三角形斜边上的中线．11.（2016青海第6题）如图，已知∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC，且AD是∠EAC的平分线，若∠B=71°，则∠BAC=．【答案】38°．考点：三角形的外角性质；平行线的性质．12.（2016内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟第17题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，把△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A′B′C′，A′C′交AB于点E，若AD=BE，则△A′DE的面积是．【答案】3 2.考点：旋转的性质．13.（2016内蒙古通辽第14题）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为．【答案】69°或21°．【解析】试题分析：分两种情况讨论：①若∠A＜90°，如图1所示：∵BD⊥AC，∴∠A+∠ABD=90°，∵∠ABD=48°，∴∠A=90°﹣48°=42°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°﹣42°）÷2=69°；②若∠A＞90°，如图2所示：同①可得：∠DAB=90°﹣48°=42°，∴∠BAC=180°﹣42°=138°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°﹣138°）÷2=21°；综上所述：等腰三角形底角的度数为69°或21°．故答案为：69°或21°．考点：等腰三角形的性质；分类讨论．14.（2016黑龙江绥化第18题）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，将△DCB绕点C 顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，若AB=3，BC=4，则BD= （提示：可连接BE）【答案】5．考点：旋转的性质；推理填空题．15.（2016江苏盐城第17题）已知△ABC中，tanB=23，BC=6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD：C D=2：1，则△ABC面积的所有可能值为．【答案】8或24．【解析】试题分析：如图1所示：∵BC=6，BD：C D=2：1，∴BD=4，∵AD⊥BC，tanB=23，∴ADBD=23，∴AD=23BD=83，∴S△ABC=12BC•AD=12×6×83=8；如图2所示：∵BC=6，BD：C D=2：1，∴BD=12，∵AD⊥BC，tanB=23，∴ADBD=23，∴AD=23BD=8，∴S△ABC=12BC•AD=12×6×8=24；综上，△ABC面积的所有可能值为8或24，故答案为：8或24．考点：解直角三角形；分类讨论．16.（2016江苏常州第18题）如图，△APB中，AB=2，∠APB=90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是．【答案】1．试题解析：延长EP交BC于点F，∵∠APB=90°，∠AOE=∠BPC=60°，∴∠EPC=150°，∴∠CPF=180°﹣150°=30°，∴PF平分∠BPC，又∵PB=PC，∴PF⊥BC，设Rt△ABP中，AP=a，BP=b，则C F=12CP=12b，224a b+=，∵△APE和△ABD都是等边三角形，∴AE=AP，AD=AB，∠EAP=∠DAB=60°，∴∠EAD=∠PAB，∴△EAD≌△PAB（SAS），∴ED=PB=CP，同理可得：△APB≌△DCB（SAS），∴EP=AP=CP，∴四边形CDEP是平行四边形，∴四边形CDEP的面积=EP×CF=a×12b=12ab，又∵222()2a b a b ab-=+-≥0，∴2ab≤224a b+=，∴12ab≤1，即四边形PCDE面积的最大值为1．故答案为：1．考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；最值问题．17．（2016福建南平第16题）如图，等腰△ABC中，CA=CB=4，∠ACB=120°，点D在线段AB上运动（不与A、B重合），将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP 与△CBQ，给出下列结论：①CD=CP=CQ；②∠PCQ的大小不变；③△PCQ④当点D在AB的中点时，△PDQ是等边三角形，其中所有正确结论的序号是．【答案】①②④．③如图，过点Q 作QE ⊥PC 交PC 延长线于E ，∵∠PCQ =120°，∴∠QCE =60°，在Rt △QCE中，tan ∠QCE =QE CQ，∴QE =CQ ×tan ∠QCE =CQ ×tan 60°=CQ ，∵CP =CD =CQ ，∴S △PCQ =12CP ×QE =12CP 2，∴CD 最短时，S △PCQ 最小，即：C D ⊥AB 时，CD 最短，过点C 作CF ⊥AB ，此时CF 就是最短的CD ，∵AC =BC =4，∠ACB =120°，∴∠ABC =30°，∴CF =12BC =2，即：C D 最短为2，∴S △PCQ 最小=22=222=错误；④∵将△CAD 与△CBD 分别沿直线CA 、CB 翻折得到△CAP 与△CBQ ，∴AD =AP ，∠DAC =∠P AC ，∵∠DAC =30°，∴∠APD =60°，∴△APD 是等边三角形，∴PD =AD ，∠ADP =60°，同理：△BDQ 是等边三角形，∴DQ =BD ，∠BDQ =60°，∴∠PDQ =60°，∵当点D 在AB 的中点，∴AD =BD ，∴PD =DQ ，∴△DPQ 是等边三角形，∴④正确，故答案为：①②④． 考点：几何变换综合题；定值问题；最值问题；综合题；翻折变换（折叠问题）．18．（2016内蒙古巴彦淖尔第16题）如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，AB =BC =2，将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°，得到△DEC ，则AE 的长是_____________．考点：旋转的性质．三、解答题1.（2016贵州遵义第21题）某新农村乐园设置了一个秋千场所，如图所，秋千拉绳OB的长为3m，静止时，踏板到地面距离BD的长为0.6m（踏板厚度忽略不计）．为安全起见，乐园管理处规定：儿童的“安全高度”为hm，成人的“安全高度”为2m（计算结果精确到0.1m）（1）当摆绳OA与OB成45°夹角时，恰为儿童的安全高度，则h= m（2）某成人在玩秋千时，摆绳OC与OB的最大夹角为55°，问此人是否安全？（参考数据：1.41，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）【答案】（1）1.5；（2）成人是安全的．（2）如图，过C点作CM⊥DF，交DF于点M，在Rt△CEO中，∠CEO=90°，∴cos∠COE=OEOC，∴OE=OC•cos∠COF，∵OB=OC=3m，∠CON=55°，∴OE=3cos55°≈1.72m，∴ED=3+0.6﹣1.72≈1.9m，∴CM=ED≈1.9m，∵成人的“安全高度”为2m，∴成人是安全的．考点：解直角三角形的应用．2.（2016贵州遵义第24题）如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．（1）求证：C P=AQ；（2）若BP=1，PQ=AEF=45°，求矩形ABCD的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）8．（2）证明△BEP、△AEQ是等腰直角三角形，得出BE=BP=1，AQ=AE，求出PE得出EQ=PE+PQ=由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出AQ=AE=3，求出AB=AE ﹣BE=2，DQ=BP=1，得出AD=AQ+DQ=4，即可求出矩形ABCD的面积．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，∴∠E=∠F，∵BE=DF，∴AE=CF，在△CFP和△AEQ中，∵∠C=∠A，CF=AE，∠F=∠E，∴△CFP≌△AEQ（ASA），∴CP=AQ；（2）解：∵AD∥BC，∴∠PBE=∠A=90°，∵∠AEF=45°，∴△BEP、△AEQ是等腰直角三角形，∴BE=BP=1，AQ=AE，∴PE EQ=PE+PQ==，∴AQ=AE=3，∴AB=AE﹣BE=2，∵CP=AQ，AD=BC，∴DQ=BP=1，∴AD=AQ+DQ=3+1=4，∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2×4=8．考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质．3.（2016四川甘孜州第18题）如图，在一次测量活动中，小丽站在离树底部E处5m的B 处仰望树顶C，仰角为30°，已知小丽的眼睛离地面的距离AB为1.65m，那么这棵树大约有多高？（结果精确到0.1m 1.73）【答案】4.5．试题解析：过点A作AD⊥CE于点D，如图所示．∵AB⊥BE，DE⊥BE，AD⊥DE，∴四边形ABED为矩形，∴AD=BE=5，DE=AB=1.65．在Rt△ACD中，AD=5，∠CAD=30°，∴CD=AD•tan∠CAD=5 2.88，∴CE=CD+DE=2.88+1.65=4.53≈4.5．答：这棵树大约高4.5米．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．4.（2016贵州铜仁第22题）阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβtan（α±β）=tan tan 1tan tanαβαβ±利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．例：tan75°=tan（45°+30°）=tan45tan301tan45tan30+-1=2根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题：（1）计算：sin15°；（2）某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战士．李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度．已知李三站在离纪念碑底7米的C 处，在D点测得纪念碑碑顶的仰角为75°，DC【答案】（1）4；（2）14+（2）先根据锐角三角函数的定义求出BE的长，再根据AB=AE+BE即可得出结论．试题解析：（1）sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°1 2（2）在Rt△BDE中，∵∠BED=90°，∠BDE=75°，DE=AC=7米，∴BE=DE•tan∠BDE=DE•tan75°．∵tan75°=2+∴BE=7（2=14+∴AB=AE+BE14+14+（米）．答：纪念碑的高度为（14考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；阅读型．5.（2016浙江台州第19题）如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和G，H．（1）求证：△PHC≌△CFP；（2）证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，面积相等．试题解析：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，AD∥BC．∵PF∥AB，∴PF∥CD，∴∠CPF=∠PCH．∵PH∥AD，∴PH∥BC，∴∠PCF=∠CPH．在△PHC和△CFP中，∵∠CPF=∠PCH，PC=CP，∠PCF=∠CPH，∴△PHC≌△CFP（ASA）．（2）∵四边形ABCD为矩形，∴∠D=∠B=90°．又∵EF∥AB∥CD，GH∥AD∥BC，∴四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形．∵EF∥AB，∴∠CPF=∠CAB．在Rt△AGP中，∠AGP=90°，PG=AG•tan∠CAB．在Rt△CFP中，∠CFP=90°，CF=PF•tan∠CPF．S矩形DEPH=DE•EP=CF•EP=PF•EP•tan∠CPF；S矩形PGBF=PG•PF=AG•PF•tan∠CAB=EP•PF•tan∠CAB．∵tan∠CPF=tan∠CAB，∴S矩形DEPH=S矩形PGBF．考点：矩形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．6.（2016浙江台州第20题）保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过30cm，图1是一位同学的坐姿，把他的眼睛B，肘关节C和笔端A的位置关系抽象成图2的△ABC，已知BC=30cm，AC=22cm，∠ACB=53°，他的这种坐姿符合保护视力的要求吗？请说明理由．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）【答案】不符合．考点：解直角三角形的应用．7.（2016贵州铜仁第20题）如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上，求证：D E=DF．【答案】证明见解析．考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．8.（2016湖南株洲第23题）已知正方形ABCD中，BC=3，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，DF=BE，连接AE、AF，过点A作AH⊥ED于H点．（1）求证：△ADF≌△ABE；（2）若BE=1，求tan∠AED的值．【答案】（1）证明见解析；（2）9 13．【解析】（2）过点A作AH⊥DE于点H，在Rt△ABE中，∵AB=BC=3，∵BE=1，∴AEED，∵S△AED=12AD×BA=92，S△ADE=12ED×AH=92，解出AH=1.8，在Rt△AHE中，EH=2.6，∴tan∠AED=AMEM=1.82.6=913．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．9.（2016广西来宾第23题）如图，在正方形ABCD中，点E（与点B、C不重合）是BC 边上一点，将线段EA绕点E顺时针旋转90°到EF，过点F作BC的垂线交BC的延长线于点G，连接CF．（1）求证：△ABE≌△EGF；（2）若AB=2，S△ABE=2S△ECF，求BE．【答案】（1）证明见解析；（2）1．【解析】试题分析：（1）根据同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AE=EF，利用AAS得到三角形ABE与三角形EFG全等；（2）利用全等三角形的性质得出AB=EG=2，S△ABE=S△EGF，求出S EGF=2S△ECF，根据三角形面积得出EC=CG=1，根据正方形的性质得出BC=AB=2，即可求出答案．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．10.（2016福建莆田第20题）小梅家的阳台上放置了一个晒衣架如图1，图2是晒衣架的侧面示意图，A，B两点立于地面，将晒衣架稳固张开，测得张角∠AOB=62°，立杆OA=OB=140cm，小梅的连衣裙穿在衣架后的总长度为122cm，问将这件连衣裙垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由（参考数据：sin59°≈0.86，cos59°≈0.52，tan59°≈1.66）【答案】会．【解析】试题分析：过点O作OE⊥AB，根据等腰三角形的性质求得∠OAB，再在Rt△AEO中，利用三角函数sin∠OAB=OEOA，求得OE，即可作出判断．试题解析：过点O作OE⊥AB于点E，∵OA=OB，∠AOB=62°，∴∠OAB=∠OBA=59°，在Rt△AEO中，OE=OA•sin∠OAB=140×sin59°≈140×0.86=120.4，∵120.4＜122，∴这件连衣裙垂挂在晒衣架上会拖落到地面．考点：解直角三角形的应用．11.（2016福建莆田第25题）若正方形有两个相邻顶点在三角形的同一条边上，其余两个顶点分别在三角形的另两条边上，则正方形称为三角形该边上的内接正方形，△ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ，各边上的高分别记为a h ，b h ，c h ，各边上的内接正方形的边长分别记为a x ，b x ，c x ．（1）模拟探究：如图，正方形EFGH 为△ABC 的BC 边上的内接正方形，求证：111a aa h x +=； （2）特殊应用：若∠BAC =90°，b x =c x =2，求11b c+的值； （3）拓展延伸：若△ABC 为锐角三角形，b ＜c ，请判断b x 与c x 的大小，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）12；（3）b x ＞c x ．（3）先根据（1）中的结论得出111b b b h x +=和111c c c h x +=，变形得出b b bbh x b h =+，c c c ch x c h =+，再根据△ABC 得到b b h =c c h ， b h =csinA ，c h =bsinA ，最后代入代数式11b c x x -进行变形推导，即可得出b x 与c x 的大小关系．试题解析：∵正方形EFGH 中，EH ∥FG ，∴△AEH ∽△ABC ，∵AD ⊥BC ，∴EH AK BC AD =，即a a a a x h x a h -=，∴111a aa h x +=； （2）由（1）得：111b b b h x +=，∵∠A =90°，∴b h =c ，又∵b x =2，∴11b c +=12； （3）b x ＞c x ．证明：由（1）得：111b b b h x +=，111c c c h x +=，∴b b b bh x b h =+，c c c ch x c h =+，∵S =12b b h =12c c h ，∴2S =b b h =c c h ，又∵b h =csinA ，c h =bsinA ，∴11b cx x -=()2b c b h c h S +-+=sin (sin )2b c A c b A S +-+ =()(1sin )2b c A S --，∵b ＜c ，sinA ＜1，∴()(1sin )2b c A S --＜0，即11b cx x -＜0，∴b x ＞c x ． 考点：三角形综合题；相似三角形的判定与性质；探究型；和差倍分；压轴题．12.（2016广西河池第21题）如图，AE ∥BF ，AC 平分∠BAE ，交BF 于C ．（1）尺规作图：过点B 作AC 的垂线，交AC 于O ，交AE 于D ，（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的图形中，找出两条相等的线段，并予以证明．【答案】（1）作图见解解析；（2）AB =AD =BC ．（2）AB=AD=BC．证明如下：∵AE∥BF，∴∠EAC=∠BCA，∵AC平分∠BAE，∴∠EAC=∠BAC，∴∠BCA=∠BAC，∴BA=BC，∵BD⊥AO，AO平分∠BAD，∴AB=AD，∴AB=AD=BC．考点：作图—基本作图；作图题．13.（2016贵州贵阳第18题）（10分）如图，点E正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，连接CE、CF．（1）求证：△ABF≌△CBE；（2）判断△CEF的形状，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）△CEF是直角三角形．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABC=90°，∵△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，∴BE=BF，∴∠ABC﹣∠CBF=∠EBF﹣∠CBF，∴∠ABF=∠CBE．在△ABF和△CBE中，∵AB=CB，∠ABF=∠CBE，BF=BE，∴△ABF≌△CBE（SAS）．（2）解：△CEF是直角三角形．理由如下：∵△EBF是等腰直角三角形，∴∠BFE=∠FEB=45°，∴∠AFB=180°﹣∠BFE=135°，又∵△ABF≌△CBE，∴∠CEB=∠AFB=135°，∴∠CEF=∠CEB﹣∠FEB=135°﹣45°=90°，∴△CEF 是直角三角形．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．14.（2016贵州贵阳第21题）（8分）“蘑菇石”是我省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B点先乘坐缆车到达观景平台DE观景，然后再沿着坡脚为29°的斜坡由E点步行到达“蘑菇石”A点，“蘑菇石”A点到水平面BC的垂直距离为1790m．如图，DE∥BC，BD=1700m，∠DBC=80°，求斜坡AE的长度．（结果精确到0.1m）【答案】238.9m．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．15.（2016贵州贵阳第24题）（12分）（1）阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D 逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．中线AD的取值范围是；（2）问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC 于点F，连接EF，求证：B E+CF＞EF；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．【答案】（1）2＜AD＜8；（2）证明见解析；（3）BE+DF=EF．（3）延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，证出∠NBC=∠D，由SAS证明△NBC≌△FDC，得出CN=CF，∠NCB=∠FCD，证出∠ECN=70°=∠ECF，再由SAS证明△NCE≌△FCE，得出EN=EF，即可得出结论．试题解析：（1）解：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，如图①所示：∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，在△BDE和△CDA中，∵BD=CD，∠BDE=∠CDA，DE=AD，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE=AC=6，在△ABE中，由三角形的三边关系得：A B﹣BE＜AE＜AB+BE，∴10﹣6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16，∴2＜AD＜8；故答案为：2＜AD＜8；（2）证明：延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，如图②所示：同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），∴BM=CF，∵DE⊥DF，DM=DF，∴EM=EF，在△BME中，由三角形的三边关系得：B E+BM＞EM，∴BE+CF＞EF；（3）解：B E+DF=EF；理由如下：延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，如图3所示：∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°，∴∠NBC=∠D，在△NBC和△FDC中，∵BN=DF，∠NBC=∠D，BC=DC，∴△NBC≌△FDC（SAS），∴CN=CF，∠NCB=∠FCD，∵∠BCD=140°，∠ECF=70°，∴∠BCE+∠FCD=70°，∴∠ECN=70°=∠ECF，在△NCE和△FCE中，∵CN=CF，∠ECN=∠ECF，CE=CE，∴△NCE≌△FCE（SAS），∴EN=EF，∵BE+BN=EN，∴BE+DF=EF．考点：三角形综合题；探究型；和差倍分．16.（2016福建泉州第20题）如图，△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点E在AB上．求证：△CDA≌△CEB．【答案】详见解析.考点：全等三角形的判定；等腰直角三角形．17.（2016青海第23题）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．求证：（1）DE=BF；（2）四边形DEBF是平行四边形．【答案】详见解析.在△ADE 和△CBF 中，AD CB DAE BCF AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△CBF ，∴DE=BF ．（2）由（1），可得∴△ADE ≌△CBF ，∴∠ADE=∠CBF ，∵∠DEF=∠DAE+∠ADE ，∠BFE=∠BCF+∠CBF ，∴∠DEF=∠BFE ，∴DE ∥BF ，又∵DE=BF ，∴四边形DEBF 是平行四边形．考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．18.（2016青海第24题）如图，某办公楼AB 的后面有一建筑物CD ，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE ，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A 在地面上的影子F 与墙角C 有25米的距离（B ，F ，C 在一条直线上）． （1）求办公楼AB 的高度；（2）若要在A ，E 之间挂一些彩旗，请你求出A ，E 之间的距离．（参考数据：sin22°≈38，cos22°1516≈，tan22°25≈）【答案】(1) 教学楼的高20m;（2）A、E之间的距离约为48m.过点E作EM⊥AB，垂足为M．设AB为x．Rt△ABF中，∠AFB=45°，∴BF=AB=x，∴BC=BF+FC=x+25，在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB﹣BM=AB﹣CE=x﹣2，tan22°=AMME，则22255xx-=+，解得：x=20．即教学楼的高20m．（2）由（1）可得ME=BC=x+25=20+25=45．在Rt△AME中，cos22°=ME AE．∴AE=cos22oME，即A、E之间的距离约为48m考点：解直角三角形的应用．19.（2016内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟第20题）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=34，求sinC的值．【答案】12 13．考点：解直角三角形．20.（2016辽宁葫芦岛第22题）在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A，B两个凉亭之间的距离．如图，现测得∠ABC=30°，∠CBA=15°，AC=200米，请计算A，B两个凉亭之间的距离（结果精确到1米）1.414 1.732）【答案】A、B两个凉亭之间的距离约为283米．考点：解直角三角形的应用．21.（2016辽宁营口第22题）某居民楼紧挨一座山坡AB，经过地质人员勘测，当坡度不超过45°时，可以确保山体不滑坡，如图所示，已知AE∥BD，斜坡AB的坡角∠ABD=60°，．为防止滑坡，现对山坡进行改造，改造后，斜坡BC与地面BD成45°角，AC=20米．求斜坡BC的长是多少米？（结果精确到0.1 1.41 1.73）【答案】66.6．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题；探究型．22.（2016内蒙古通辽第20题）在我市十个全覆盖工作的推动下，某乡镇准备在相距3千米的A、B两个工厂间修一条笔直的公路，在工厂A北偏东60°方向、工厂北偏西45°方向有一点P，以P点为圆心，1.2千米为半径的区域是一个村庄，问修筑公路时，这个村庄是否1.4 1.7）【答案】修筑公路时，这个村庄有一些居民需要搬迁．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．23.（2016内蒙古通辽第21题）如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：A E=EF．【答案】证明见解析．【解析】试题分析：先取AB的中点H，连接EH，根据∠AEF=90°和ABCD是正方形，得出∠1=∠2，再根据E是BC的中点，H是AB的中点，得出BH=BE，AH=CE，最后根据CF是∠DCG 的角平分线，得出∠AHE=∠ECF=135°，从而证出△AHE≌△ECF，即可得出AE=EF．试题解析：取AB的中点H，连接EH．∵∠AEF=90°，∴∠2+∠AEB=90°，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠1+∠AEB=90°，∴∠1=∠2，∵E是BC的中点，H是AB的中点，∴BH=BE，AH=CE，∴∠BHE=45°，∵CF是∠DCG的角平分线，∴∠FCG=45°，∴∠AHE=∠ECF=135°，在△AHE和△ECF中，∵∠1=∠2，AH=EC，∠AHE=∠ECF，∴△AHE≌△ECF（ASA），。