数据插值方法
插值的概念和各种基本方法
插值的概念和各种基本方法
插值是一种基于已知数据点的函数关系来估计未知数据点的方法。在
实际应用中，由于各种原因，我们经常只能通过有限的数据点来描述一个
函数关系，而无法得到函数的精确表达式。因此，通过插值方法，我们可
以根据已知数据点推断出未知数据点的值，从而进行进一步的分析和预测。
插值的基本方法可以分为两类：多项式插值和非多项式插值。
1.多项式插值方法
多项式插值是通过已知数据点构造一个多项式函数，使得该函数经过
这些数据点，并且在插值区间内的其他位置也能够比较好地拟合实际数据。常用的多项式插值方法包括拉格朗日插值和牛顿插值。
- 拉格朗日插值：拉格朗日插值是利用拉格朗日多项式来进行插值的
方法。给定 n+1 个已知数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，拉
格朗日插值函数可以表示为：
L(x) = Σ(yi * li(x))
其中，li(x) = Π(x - xj) / Π(xi - xj)，i ≠ j，函数 L(x)即
为插值函数。
-牛顿插值：牛顿插值是通过对已知数据点进行差商运算来构造插值
多项式的方法。牛顿插值多项式可以表示为：
N(x) = f[x0] + Σ(f[x0, x1, ..., xi] * (x - x0) * (x - x1)
* ... * (x - xi-1))
其中，f[x0, x1, ..., xi]表示 x0, x1, ..., xi 对应的差商。
2.非多项式插值方法
非多项式插值方法是通过其他函数形式进行插值的方法，常用的非多项式插值方法包括分段线性插值和样条插值。
数据插值方法
数据插值方法
数据插值方法是用于填补数据缺失或缺失值的一种技术。常用的数据插值方法包括：
1. 线性插值法（Linear Interpolation）：通过已知数据点之间
的直线，对缺失值进行估算。
2. 多项式插值法（Polynomial Interpolation）：使用多项式函
数来拟合已知数据点，进而求得缺失值。
3. 样条插值法（Spline Interpolation）：通过光滑的曲线来插值，可分为线性样条插值、二次样条插值等。
4. K近邻插值法（K-nearest neighbor Interpolation）：基于已
知数据点的距离进行插值，找出最近的K个数据点，并计算
插值值。
5. 拉格朗日插值法（Lagrange Interpolation）：使用拉格朗日
插值多项式来估算缺失值。
6. 牛顿插值法（Newton Interpolation）：使用牛顿插值多项式
来估算缺失值。
7. 分段插值法（Piecewise Interpolation）：根据已知数据点的
特征，将数据范围划分为多个区间，并在每个区间内进行插值计算。
以上是常用的数据插值方法，每种方法都有其适用的场景和优缺点，选择适合的插值方法需要考虑数据的特点以及具体需求。
测绘技术中的数据插值方法介绍
测绘技术中的数据插值方法介绍
一、引言
测绘技术是一门涉及地理空间信息的科学技术，其应用范围广泛，包括地质、地理、工程等领域。而在测绘过程中，数据的采集和处理是至关重要的一环。数据插值方法是其中的一个重要环节，它可以将已知点的数据推算到未知点，从而形成连续的地表分布情况。本文就测绘技术中的数据插值方法进行介绍。
二、经验插值方法
1. 反距离加权法
反距离加权法是一种简单而常用的插值方法，其基本思想是假设未知点的属性值与其邻近已知点的属性值成正比，且与距离的倒数成正比。该方法根据已知点到未知点的距离进行插值计算，再根据距离进行加权。
2. 克里金插值法
克里金插值法是一种基于地理变量自相关性的插值方法。该方法认为，地表属性之间的相互影响是通过距离和方向的变化来进行传递的。克里金插值法可以根据已知点之间的空间关系进行插值计算，并且可以通过调整半方差函数来控制插值结果的平滑程度。
三、基于统计学的插值方法
1. 多项式插值法
多项式插值法是一种基于统计学原理的插值方法。它利用已知点的属性值拟合一个多项式函数，并利用该函数来进行插值计算。多项式插值法可以较好地拟合已知点的属性值，但在插值中容易产生过拟合或欠拟合的问题。
2. 最邻近插值法
最邻近插值法是一种简单而直观的插值方法。它基于已知点与未知点之间的距离，选取与未知点最近的已知点的属性值作为插值结果。最邻近插值法的优点是计算简单、速度快，但在空间平滑性上存在一定的问题。
四、地统计学插值方法
1. 变差函数插值法
变差函数插值法是一种基于地表特征的统计学插值方法。它通过建立变差函数
数据插值方法
最后计算的面积约为 2021/7/27
42差4值1方4法
平方公里。
2、多项式插值
设有 m 次多项式
P(x) a0 xm a1xm1 am1x am 通过所有 n 1个点 (x0 , y0 ),(x1, y1),,(xn , yn ) ，那么就有
a0 xi m a1xi m1 am1xi am yi , i 0,1,, n
差值方法
3、样条插值
这是最常用的插值方法。数学上所说的样条，实质上
是指分段多项式的光滑连接。设有
a x0 x1 xn b
称分段函数 S(x) 为 k 次样条函数,若它满足
(1) S(x) 在每个小区间上是次数不超过 k 次的多项式;
(2) S(x) 在[a,b]上具有直到 k 1阶的连续导数。 用样条函数作出的插值称为样条插值。工程上广泛采用三
20202020551313第十章第十章插值与拟合插值与拟合方法建模方法建模第十章第十章插值与拟合插值与拟合方法建模方法建模2020513在生产实际中常常要处理由实验或测量所得到的一批离散数据插值与拟合方法就是要通过这些数据去确定某一类已经函数的参数或寻求某个近似函数使之与已知数据有较高的拟合精度
数据插值方法
在生产实际中，常常要处理由实验或
测量所得到的一批离散数据，插值与拟合 方法就是要通过这些数据去确定某一类已 经函数的参数，或寻求某个近似函数使之 与已知数据有较高的拟合精度。插值与拟 合的方法很多，这里主要介绍线性插值方 法、多项式插值方法和样条插值方法，以 及最小二乘拟合方法在实际问题中的应用。 相应的理论和算法是数值分析的内容，这 里不作详细介绍，请参阅有关的书籍。
九种插值方法
九种插值方法
“Inverse Distance to a Power（反距离加权插值法）”、“Kriging（克里金插值法）”、“Minimum Curvature（最小曲率）”、“Modified Shepard's Method（改进谢别德法）”、“Natural Neighbor （自然邻点插值法）”、“Nearest Neighbor（最近邻点插值法）”、“Polynomial Regression （多元回归法）”、“Radial Basis Function（径向基函数法）”、“Triangulation with Linear Interpolation（线性插值三角网法）”、“Moving Average（移动平均法）”、“Local Polynomial （局部多项式法）”
1、距离倒数乘方法距离倒数乘方格网化方法是一个加权平均插值法，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。方次参数控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。对于一个较大的方次，较近的数据点被给定一个较高的权重份额，对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距离倒数成比例。当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1.0。当一个观测点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为1.0 的权重，所有其它观测点被给予一个几乎为0.0 的权重。换言之，该结点被赋给与观测点一致的值。这就是一个准确插值。距离倒数法的特征之一是要在格网区域内产生围绕观测点位置的"牛眼"。用距离倒数格网化时可以指定一个圆滑参数。大于零的圆滑参数保证，对于一个特定的结点，没有哪个观测点被赋予全部的权值，即使观测点与该结点重合也是如此。圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低"牛眼"影响。
数值分析插值知识点总结
数值分析插值知识点总结
一、插值的基本概念
插值是指在已知数据点的基础上，通过某种数学方法求得两个已知数据点之间的未知数值。插值方法的基本思想是在已知数据点之间找出一个合适的函数形式，使得该函数穿过已知
数据点，并预测未知点的数值。
插值问题通常出现在实际工程、科学计算中，比如天气预报、经济数据的预测、地震勘探
等领域。插值可以帮助人们预测未知点的数值，从而更好地了解数据之间的关系。
二、插值的分类
根据插值的基本原理，插值方法可以分为多种类型，常见的插值方法包括：拉格朗日插值、牛顿插值、分段插值、立方插值、样条插值等。
1. 拉格朗日插值
拉格朗日插值是一种通过拉格朗日多项式来实现数据插值的方法。该方法通过已知的数据
点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个n-1次的多项式P(x)，使得P(xi)=yi。
2. 牛顿插值
牛顿插值是利用牛顿插值多项式来实现数据插值的方法。该方法通过已知的数据点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个n-1次的多项式P(x)，使得P(xi)=yi。
3. 分段插值
分段插值是将插值区间分割成多个小区间，然后在每个小区间内采用简单的插值方法进行
插值。常见的分段插值方法包括线性插值和抛物线插值。
4. 立方插值
立方插值是一种通过构造三次多项式来实现数据插值的方法。该方法通过已知的数据点
(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个三次多项式P(x)，使得P(xi)=yi。
5. 样条插值
样条插值是一种通过构造分段三次多项式来实现数据插值的方法。该方法通过已知的数据
数据插值方法范文
数据插值方法范文
数据插值是指利用已知数据点来估算或预测未知数据点的方法。在实
际应用中，数据插值常常用于填补缺失数据、估算缺失数据以及生成光滑
曲线等任务。本文将介绍常用的数据插值方法。
1.线性插值方法：
线性插值是数据插值的一种简单且常用方法。它假设在两个已知数据
点之间的未知数据点的取值是线性变化的。线性插值的计算公式可以表示为：
y=y1+(x-x1)*(y2-y1)/(x2-x1)，其中x1和x2是已知数据点的位置，y1和y2是对应的取值，x是待插值点的位置，y是对应的待插值的值。
2.拉格朗日插值方法：
拉格朗日插值方法是一种高次插值方法。它通过构造一个多项式函数
来逼近已知数据点，然后利用多项式进行插值。拉格朗日插值的计算公式
可以表示为：
y = Σ(yi * L(xi))，其中xi和yi是已知数据点的位置和取值，
L(xi)是拉格朗日插值多项式的系数。
3.牛顿插值方法：
牛顿插值方法也是一种高次插值方法。与拉格朗日插值不同的是，牛
顿插值使用了差商的概念来构造插值多项式。牛顿插值的计算公式可以表
示为：
y=Σ(Di*ωi)，其中Di是差商，ωi是权重。牛顿插值可以通过迭
代计算差商并更新权重来求解。
4.三次样条插值方法：
三次样条插值方法是一种光滑插值方法，其主要思想是以每两个已知
数据点为节点，通过拟合三次多项式来进行插值。三次样条插值的计算公
式可以表示为：
S(x) = ai + bi(x-xi) + ci(x-xi)^2 + di(x-xi)^3，其中ai、bi、ci、di是多项式的系数，xi是已知数据点的位置。
各种插值方法比较
各种插值方法比较
插值是一种常见的数据处理技术，用于估计缺失数据或填充数据空缺。在数据分析、统计学和机器学习等领域中，插值可以帮助我们处理缺失数
据或者对连续数据进行平滑处理。常见的插值方法包括线性插值、多项式
插值、样条插值、Kriging插值等。
1.线性插值：
线性插值是一种简单但广泛使用的插值方法，基于原始数据中的两个
点之间的直线来估计缺失点的值。这种方法适用于数据分布较为均匀的情况，但对于非线性的数据，可能会导致估计值与实际值之间的较大误差。2.多项式插值：
多项式插值是通过使用多项式函数来拟合原始数据，从而估计缺失点
的值。多项式插值方法具有较高的灵活性，可以在不同的数据点之间产生
平滑曲线，但在数据点较多时，可能会导致过拟合问题。
3.样条插值：
样条插值是一种常见的插值方法，它通过使用分段多项式函数来拟合
数据，从而在数据点之间产生平滑曲线。样条插值方法克服了多项式插值
的一些问题，同时在数据点较少的情况下也能有效地估计缺失点的值。
4. Kriging插值：
Kriging插值是一种基于统计学和地理学原理的插值方法，它考虑了
数据点之间的空间关系，并使用半变异函数来估计缺失点的值。Kriging
插值方法适用于具有空间相关性的数据，例如地理信息系统中的地形数据
或环境监测数据。
除了上述常见的插值方法之外，还有一些其他的插值方法，如逆距离加权插值、最近邻插值、高阶插值等。
5.逆距离加权插值：
逆距离加权插值方法假设距离越近的数据点对估计值的贡献越大，它根据数据点之间的距离来计算权重，并将其与对应数据点的值进行加权平均来估计缺失点的值。逆距离加权插值方法适用于数据点密集、分布不均匀的情况，但对于噪声较大或异常值较多的数据，可能会导致估计值的不准确。
数值分析中的(插值法)
插值法的优缺点
优点
插值法是一种有效的数值分析方法，能够通 过已知的数据点构造出适合的插值函数，从 而对未知数据进行估计和预测。它具有简单 易行、计算量小、适用范围广等优点，因此 在科学计算、工程技术和数据分析等领域得 到了广泛应用。
缺点
插值法也存在一些局限性。例如，它假设数 据点之间是线性关系，但在实际应用中，这 种假设可能不成立。此外，插值法对于异常 值和离群点比较敏感，可能会导致估计结果 出现偏差。
插值法在数据拟合中能够通过已知数据点构造一个多项式函数，使得该函数在已知数据点上的取值与 实际数据一致，从而实现对数据的平滑拟合。
详细描述
插值法在数据拟合中应用广泛，例如在气象预报、金融数据分析、信号处理等领域，可以通过插值法 对离散数据进行拟合，得到连续的函数关系，提高数据的准确性和可靠性。
在函数逼近中的应用
插值法的历史与发展
插值法的起源可以追溯到古代数学， 当时主要用于解决一些实际问题，如 地图制作等。
随着计算机技术的发展，插值法在数 值分析中得到了广泛的应用，并发展 出了多种插值方法，如多项式插值、 样条插值、立方插值等。
插值法的应用场景
数据拟合
在数据分析和处理中，经常需要对数据进行拟合，以更好 地描述数据的分布和规律。插值法可以用于构造拟合函数 ，提高数据拟合的精度和效果。
总结词
插值法可以用于构造一个多项式函数来 逼近未知函数，通过已知数据点上的取 值来估计未知函数在其他点的取值。
插值的基本概念
插值的基本概念
插值（interpolation）是指在已知有限个数据点的情况下，通过某种数学方法构造出一个函数，使得这个函数在这些数据点上的函数值都与已知的数据相符合。插值方法常被用于曲线拟合，图像处理，计算机辅助设计，地图制作等领域。
插值方法主要分为三类：多项式插值法、样条插值法和分段线性插值法。以下分别介绍这三种方法的基本概念。
1. 多项式插值法
多项式插值法是指用一个n次多项式来逼近已知的n+1个数据点，从而得到一个插值函数。插值函数的形式为：
f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anxn
其中a0, a1, a2, ... , an是n+1个待求系数，取决于已知数据点的值。为了求得这些系数，需要使用某种算法，如拉格朗日插值法或牛顿插值法。这两种方法都能够精确地通过已知点，并可方便地计算任意点的函数值。但是，随着数据点的数量增加，多项式插值方法的计算量将急剧增加，可能导致算法不稳定或数值不可信。
2. 样条插值法
样条插值法是一种更为复杂的插值方法，它将插值函数分为若干个小区间，并在每个区间内用一个低次多项式来逼近已知的数据点。这些局部多项式的系数由已知数据点的值和导数共同决定，使得插值函数在各区间内的函数值和导数连续。这种连续性和光滑性可以使得插值函数更加符合实际情况，尤其是较大的数据集。
3. 分段线性插值法
分段线性插值法是一种简单而有效的插值方法，它在每两个连续的已知数据点间构造一条直线来逼近数据点，并用这些直线段拼接起来形成一个分段线性函数。虽然这种方法没有样条插值法那么精确，但它计算简单，不需要过多的计算资源。在实际应用中，分段线性插值法与其他插值方法搭配使用，以提高算法的效率和精度。
气象数据插值的方法
气象数据插值的方法
气象数据插值的方法有很多，比如以下几种：
1. 普通插值：也称线性插值，该方法基于两个已知的数据点之间的直线关系，通过计算出的一系列新的数据点来表示数据的变化趋势。
2. 多元插值：该方法基于多个已知的数据点之间的多元关系，利用插值公式计算出一系列新的数据点来表示数据的变化趋势。
3. 空间插值：该方法基于已知的数据点之间的空间关系，利用插值公式计算出一系列新的数据点来表示数据的变化趋势。常见的空间插值方法包括克里金法、协同克里金法等。其中，克里金法适用于具有空间相关性的数据插值，尤其适用于气象要素如温度、降雨量和高程的数据插值。协同克里金法则适用于具有其他相关因子，如温度、降雨量和高程的空间分布数据的插值。
4. 网格化插值：该方法将数据点映射到二维或三维的格子上，然后利用插值公式计算出每个格子中的数据。这种插值方法具有高精度、可计算等优点，可以很好地反映数据的空间结构性能。
5. 样条插值：该方法通过分段函数来拟合数据，可以较好地保持数据的光滑性和连续性。
6. 多项式插值：该方法通过多项式函数来拟合数据，可以较好地反映数据的变化趋势。然而，多项式插值在逼近数据趋势时可能会出现较大的插值误差，尤其是对于数据变化较为复杂的情况。
以上是一些常见的气象数据插值方法，不同的插值方法适用于不同的数据和问题，需要根据具体情况选择合适的插值方法。
插值法计算方法举例
插值法计算方法举例
插值法是一种数值逼近方法，用于在给定的一些数据点之间进行数值
求解。
插值法的基本思想是通过已知数据点的函数值来构建一个插值函数，
并利用该插值函数来估计未知数据点的函数值。以下是一些常见的插值方法。
1.线性插值：
线性插值是最简单的插值方法之一、假设我们有两个已知数据点 (x1, y1) 和 (x2, y2)，我们想要在这两个数据点之间估计一个新的点的函数值。线性插值方法假设这两个点之间的函数关系是线性的，即 y = f(x)
= mx + c，其中 m 是斜率，c 是截距。通过求解这两个点的斜率和截距，我们可以得到插值函数的表达式，从而计算出新点的函数值。
2.拉格朗日插值：
拉格朗日插值是一种经典的插值方法，它利用一个多项式函数来逼近
已知数据点之间的关系。对于一组已知数据点 (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，拉格朗日插值方法构建一个函数 L(x) 来逼近真实的函数
f(x)。L(x) 的表达式为 L(x) = y1 * L1(x) + y2 * L2(x) + ... + yn
* Ln(x)，其中 Li(x) 是拉格朗日插值基函数，定义为Li(x) = Π(j=1
to n, j≠i) (x - xj) / (xi - xj)。通过求解 L(x) 的表达式，我们可
以计算出任意新点的函数值。
3.牛顿插值：
牛顿插值是另一种常用的插值方法，它是通过一个递推的过程来构建插值函数。对于一组已知数据点 (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，牛顿插值方法定义一个差商表，然后根据该表构建一个递推的多项式函数来逼近真实的函数 f(x)。差商表的计算使用了递归的方式，其中第 i 阶差商定义为 f[xi, xi+1, ..., xi+j] = (f[xi+1, xi+2, ..., xi+j] - f[xi, xi+1, ..., xi+j-1]) / (xi+j - xi)。通过求解差商表，并构建递推的多项式函数，我们可以计算出任意新点的函数值。
数值分析中常用的插值方法
数值分析中常用的插值方法在数值计算中，许多问题都可以用插值方法来近似求解，比如曲线拟合、函数逼近和图像重建等。插值方法是指在已知数据点的情况下，通过一些数值计算技巧，在每个数据点处构造一个多项式函数，使得该函数在每个数据点处都能通过数据点。在数据点之间计算函数值时，就可以使用这个多项式函数进行估算。接下来，我们就来详细介绍一些常见的插值方法。
一、拉格朗日插值法
拉格朗日插值法是一个经典的插值方法，它的思想是通过给定的数据点，构造一个经过这些点的多项式函数进行逼近。具体来讲，拉格朗日插值法会首先构造一个基函数，该函数满足只在其对应的数据点处等于1，其余的数据点处等于0。然后，根据基函数和数据点，构造一个多项式函数，使得该函数在每个数据点处都能通过数据点。最终得到的多项式函数就是插值函数。
优点：简单易懂，使用较为广泛。
缺点：多项式次数较高时造成的误差会较大，且在数据点密集的区域可以出现龙格现象，使得插值函数在某些区间内呈现大幅度振荡。
二、牛顿插值法
牛顿插值法是一种递推式的插值方法，它通过利用已知的数据点和前面已经计算出来的差商，得到一个逐步逼近的插值函数。具体来讲，牛顿插值法会先将已知的数据点连成一条曲线，然后逐个向这条曲线添加新的数据点，每次添加一个新的数据点后，将差商计算出来并加入到之前的差商序列中，最终得到一个多项式函数，它在每个数据点处都能通过数据点。
牛顿插值法的优缺点与拉格朗日插值法相似，但是由于牛顿插值法是递推式的，可以方便的添加新的数据点，因此在数据点多变的情况下，牛顿插值法具有很大的优势。
常见插值方法及其的介绍
常见插值方法及其介绍
Inverse Distance to a Power （反距离加权
插值法）”、
“Kriging （克里金插值法）”、
“Minimum Curvature （最小曲率）”、
“Modified Shepard's Method （改进别德法）”、
“Natural Neighbor（自然邻点插值法）”、
“Nearest Neighbor （最近邻点插值法）”、
“Polynomial Regression （多元回归法）”、
“Radial Basis Function （径向基函数法）”、
“Triangulation with Linear Interpolation （线性插值三角网法）”、
“Moving Average （移动平均法）”、
“ Local Polynomial （局部多项式法）”
1、距离倒数乘方法
距离倒数乘方格网化方法是一个加权平均插值法，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。方次参数
控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。对于一个较大的方次，较近的数据点被
给定一个较高的权重份额，对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。
计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距
离倒数成比例。当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于
1.0。当一个
观测点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为1.0的权重，所有其它观测点
个几乎为0.0的权重。换言之，该结点被赋给与观测点一致的值。这就是一个准确插值。
数值分析中的插值方法
数值分析中的插值方法
在数值分析中，插值是一种通过在已知数据点之间估计未知数据点的方法。它是一种常见的数据处理技术，用于填补数据间的空白，揭示数据间的关联性，或者建立数据模型。在本文中，我们将讨论数值分析中的几种常见的插值方法。
一、拉格朗日插值
拉格朗日插值是一种基于多项式的插值方法。假设有n个离散数据点，我们想要在这些点之间插值得到未知数据点的值。拉格朗日插值可以通过构建一个n次多项式来实现。
例如，给定三个数据点(x0, y0)，(x1, y1)，(x2, y2)，我们可以假定插值多项式为：
P(x) = y0 * L0(x) + y1 * L1(x) + y2 * L2(x)
其中，L0(x)，L1(x)，L2(x)是拉格朗日插值多项式的基函数，由以下公式得到：
L0(x) = (x - x1) * (x - x2) / ((x0 - x1) * (x0 - x2))
L1(x) = (x - x0) * (x - x2) / ((x1 - x0) * (x1 - x2))
L2(x) = (x - x0) * (x - x1) / ((x2 - x0) * (x2 - x1))
利用这些基函数，我们可以得到插值多项式P(x)，从而计算出未知点的值。
二、牛顿插值
牛顿插值是另一种常见的插值方法，也是基于多项式的。与拉格朗
日插值不同的是，牛顿插值使用了差商的概念来构建插值多项式。
差商是一种表示数据间差异的指标，它可以用于计算插值多项式的
系数。对于n个数据点，差商可以由以下递归公式计算得到：f[x0] = f(x0)
常见的插值方法及其原理
常见的插值方法及其原理
插值是指在已知数据点的情况下，根据其中一种规则或算法，在这些
数据点之间进行预测或估计。常见的插值方法有：拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值、样条插值和Kriging插值等。
1.拉格朗日插值方法：拉格朗日插值是一种基于多项式的插值方法。
它假设已知数据点的函数曲线可以由一个多项式来表示。拉格朗日插值的
原理是，通过确定多项式的系数，使多项式在已知数据点上满足给定的函
数值。具体地说，对于给定的一组已知数据点和对应的函数值，拉格朗日
插值方法通过构造一个多项式，使得该多项式在每个数据点上的函数值等
于给定的函数值。然后，通过该多项式在插值点上的函数值来估计未知数
据点的函数值。
2.牛顿插值方法：牛顿插值也是一种基于多项式的插值方法，其原理
类似于拉格朗日插值。它也是通过确定多项式的系数，使多项式在已知数
据点上满足给定的函数值。不同的是，牛顿插值使用了差商的概念，将插
值多项式表示为一个累次求和的形式。具体地说，对于给定的一组已知数
据点和对应的函数值，牛顿插值方法通过差商的计算，得到一个多项式表
达式。然后，通过该多项式在插值点上的函数值来估计未知数据点的函数值。
3.分段线性插值方法：分段线性插值是一种简单而常用的插值方法。
它假设在两个相邻已知数据点之间的曲线是一条直线。分段线性插值的原
理是，通过连接相邻数据点之间的线段，构造一个连续的曲线。具体地说，对于给定的一组已知数据点和对应的函数值，分段线性插值方法将曲线划
分为若干小段，每一小段都是一条直线。然后，在每个数据点之间的区域上，通过线性插值来估计未知数据点的函数值。
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2020/4/15
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在生产实际中，常常要处理由实验或
测量所得到的一批离散数据，插值与拟合 方法就是要通过这些数据去确定某一类已 经函数的参数，或寻求某个近似函数使之 与已知数据有较高的拟合精度。插值与拟 合的方法很多，这里主要介绍线性插值方 法、多项式插值方法和样条插值方法，以 及最小二乘拟合方法在实际问题中的应用。 相应的理论和算法是数值分析的内容，这 里不作详细介绍，请参阅有关的书籍。
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凸轮高度的数据（单位：mm）
i 0 和 18
yi 502.8
i
6
yi 92.2
i
12
yi 236.0
1 525.0
7 59.6 13 280.5
2 514.3
8 62.2 14 324.9
3 451.0
9 102.7
15 369.4
4 326.5
10 147.1
16 413.8
次多项式（如 m>7）插值。
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例 2、在万能拉拨机中有一个园柱形凸轮，其底园半 径 R=300mm，凸轮的上端面不在同一平面上，而要 根据动杆位移变化的需要进行设计制造。按设计要 求，将底园周 18 等分，旋转一周。第 i 个分点对应柱 高 yi (i 0,1,2, ,18) ，数据见下表。为了数控加工，需要 计算出园周上任一点的柱高。
146.0 150.0 157.0 158.0];
y1=[44 45 47 50 50 38 30 30 34 36 34 41 45 46 43 37 33 28 32
65 55 54 52 50 66 66 68];
y2=[44 59 70 72 93 100 110 110 110 117 118 116 118 118 121
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§1 数据插值方法及应用
在生产实践和科学研究中，常常有这样的问题：
由实验或测量得到变量间的一批离散样点，要求由此
建立变量之间的函数关系或得到样点之外的数据。与
此有关的一类问题是当原始数据 (x0 , y0 ), (x1, y1), , (xn , yn ) 精度较高，要求确定一个初等函数 y P(x) （一般用多
项式或分段多项式函数）通过已知各数据点（节点），
即 yi P(xi ) , i 0,1, , n ，或要求得函数在另外一些点
（插202值0/4/1点5 ）处的数值，这便是插值问题。
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1、分段线性插值
这是最通俗的一种方法，直观上就是将各数据
点用折线连接起来。如果
a x0 x1 xn b
那么分段线性插值公式为
P(x)
x xi xi1 xi
yi1
x xi1 xi xi1
yi
, xi1
x
xi
, i 1,2,
,n
可以证明，当分点足够细时，分段线性插值是收敛
的。其缺点是不能形成一条光滑曲线。
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例 1、已知欧洲一个国家的地图，为了算出它的国土 面积，对地图作了如下测量：以由西向东方向为 x 轴，由南向北方向为 y 轴，选择方便的原点，并将 从最西边界点到最东边界点在 x 轴上的区间适当的 分为若干段，在每个分点的 y 方向测出南边界点和北 边界点的 y 坐标 y1 和 y2，这样就得到下表的数据（单 位：mm）。
次样条插值。
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例 3、某居民区的自来水是由一个园柱形的水塔提供。 水塔高 12.2 米，直径 17.4 米。水塔由水泵根据塔中水 位高低自动加水，一般每天水泵工作两次。按照设计， 当水塔内的水位降至约 8.2 米时，水泵自动启动加水； 当水位升至约 10.8 米时，水泵停止工作。现在需要了 解该居民区用水规律，这可以通过用水率（单位时间 的用水量）来反映。通过间隔一段时间测量水塔中的 水位来估算用水率。
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x 7.0 10.5 13.0 17.5 34.0 40.5 44.5 48.0 56.0 y1 44 45 47 50 50 38 30 30 34 y2 44 59 70 72 93 100 110 110 110 x 61.0 68.5 76.5 80.5 91.0 96.0 101.0 104.0 106.5 y1 36 34 41 45 46 43 37 33 28 y2 117 118 116 118 118 121 124 121 121 x 111.5 118.0 123.5 136.5 142.0 146.0 150.0 157.0 158.0 y1 32 65 55 54 52 50 66 66 68 y2 121 122 116 83 81 82 86 85 68
vi2
向前差商公式
2 vi
vi2 4vi1 3vi 2(ti1 ti )
向后差商公式
2 vi
3vi 4vi1 vi2 2(ti ti1 )
估算出水塔中水的流速（单位：立方米/小时）
见下表。 2020/4/15
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时刻 流速 时刻 流速 时刻 流速 时刻 流速
0 0.921 1.843 2.949 3.871 4.978 5.900
用二阶差商来估算 ti 时刻的水流速度，即 f (ti ) 2vi 。
具体地，因为所有数据被水泵两次工作分割成三
组数据，对每组数据的中间数据采用中心差商，前后
两个数据不能够采用中心差商，改用向前或向后差
商。
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中心差商公式
2 vi
vi2
8vi1 8vi1 12(ti1 ti )
时刻 19.959 20.839 22.015 22.958 23.880 24.986 25.908
水位 8.433 8.220 // 10.820 10.591 10.354 10.180
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先通过体积
公式
v
4
d
2
h
，利用上表中的水位高
h
，
得到不同时刻 ti 水塔中水的体积 vi 。为提高精度，采
5 188.6
11 191.6
17 458.3
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我们将园周展开，借助 MATLAB 软件画出对应的 柱高曲线散点图(下图)。 clear;close; x=linspace(0,2*pi*300,19); y=[502.8 ,525.0,514.3,451.0,326.5,188.6,92.2, 59.6,62.2,102.7,147.1,191.6,236.0,280.5,324.9 ,369.4,413.8,458.3,502.8]; plot(x,y,’o’); axis([0,2000,0,550]);
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plot(t,r,’b+’); % (t,r)表示时间和流速 title(‘流速散点图’); xlabel(’时间(小时)’); ylabel(‘流速(立方米/小时)’)
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wk.baidu.com
下表是某一天的测量记录数据，测量了 28 个时 刻（单位：小时）的水位（单位：米），但由于其中 有 3 个时刻正遇到水泵在向水塔供水，而无水位记录 （表中用符号//表示）。
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时刻
0 0.921 1.843 2.949 3.871 4.978 5.900
水位 9.677 9.479 9.308 9.125 8.982 8.814 8.686
124 121 121 121 122 116 83 81 82 86 85 68];
newx=7:0.1:158;
newy1=interp1(x,y1,newx,’linear’);
newy2=interp1(x,y2,newx,’linear’);
Area=sum((newy2- newy1)*0.1/18^2*1600)
71.686 60.190 68.333 59.217 52.011 56.626 63.023
19.959 20.839 22.015 22.958 23.880 24.986 25.908
54.859 55.439 // 57.602 57.766 51.891 36.464
先用 MATLAB 画出水流速散点图。
时刻 7.006 7.982 8.967 9.981 10.925 10.954 12.032
水位 8.525 8.388 8.220 //
// 10.820 10.500
时刻 12.954 13.875 14.982 15.903 16.826 17.931 19.037
水位 10.210 9.936 9.653 9.409 9.180 8.921 8.662
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可见，可以用三次多项式插值，下面给出借助
MATLAB 软件画出的柱高插值曲线图（下图）。 xi=0:2*pi*300; yi=interp1(x,y,xi,’cubic’); plot(xi,yi);
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3、样条插值
这是最常用的插值方法。数学上所说的样条，实质上
是指分段多项式的光滑连接。设有
a x0 x1 xn b
称分段函数 S(x) 为 k 次样条函数,若它满足
(1) S(x) 在每个小区间上是次数不超过 k 次的多项式;
(2) S(x) 在[a,b] 上具有直到 k 1阶的连续导数。 用样条函数作出的插值称为样条插值。工程上广泛采用三
54.516 42.320 38.085 41.679 33.297 37.814 30.748
7.006 7.982 8.967 9.981 10.925 10.954 12.032
38.455 32.122 41.718 //
// 73.686 76.434
12.954 13.875 14.982 15.903 16.826 17.931 19.037
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t=[0 0.921 1.843 2.949 3.871 4.978 5.9 7.006 7.982 8.967 10.954 12.032 12.954 13.875 14.982 15.903 16.826 17.931 19.037 19.959 20.839 22.958 23.88 24.986 25.908]; r=[54.516 42.320 38.085 41.679 33.297 37.814 30.748 38.455 32.122 41.718 73.686 76.434 71.686 60.19 68.333 59.217 52.011 56.626 63.023 54.859 55.439 57.602 57.766 51.891 36.464];
n
S
lim
n
[
i 1
f 2 (i )
f1 (i )]xi
式中，i [xi1, xi ] 。
这里2020/线4/15性插值和面积计算源程序如下：
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clear all
x=[7.0 10.5 13.0 17.5 34.0 40.5 44.5 48.0 56.0 61.0 68.5 76.5
80.5 91.0 96.0 101.0 104.0 106.5 111.5 118.0 123.5 136.5 142.0
可以证明当 m n 且 x0 x1 xn 时，这样的多项式 存在且唯一。若要求得到函数表达式，可直接解上 面方程组。
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若只要求得函数在插值点处数值，可用下列
Lagrange 插值公式
Pn (x)
n i0
n
yi (
j0, ji
x xj ) xi x j
多项式插值光滑但不具有收敛性，一般不宜采用高
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根据地图的比例，18 mm 相当于 40 km。
根据测量数据，利用 MATLAB 软件对上下边界
进行线性多项式插值，分别求出上边界函数 f2 (x) ，
下边界函数 f1(x) ，利用求平面图形面积的数值积分 方法—将该面积近似分成若干个小长方形，分别求
出这些长方形的面积后相加即为该面积的近似解。
最后计算的面积约为 42414 平方公里。
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2、多项式插值
设有 m 次多项式
P(x) a0 x m a1x m1 am1x am
通过所有 n 1个点 (x0 , y0 ), (x1, y1), , (xn , yn ) ，那么就有
a0 xi m a1xi m1 am1xi am yi , i 0,1, , n