五种插值法的对比研究开题报告
五种插值法的对比研究毕业论文
题目：五种插值法的对比研究xxx大学本科生毕业论文开题报告表论文（设计）类型：A—理论研究；B—应用研究；C—软件设计等；五种插值法的对比研究 (3)一插值法的历史背景 (5)二五种插值法的基本思想 (5)（一）拉格朗日插值 (5)（二）牛顿插值 (6)（三）埃尔米特插值 (7)（四）分段线性插值 (7)（五）样条插值 (8)三五种插值法的对比研究 (9)四插值法在matlab中的应用 (15)五参考文献 (17)五种插值法的对比研究摘要：插值法是数值分析中最基本的方法之一。
在实际问题中碰到的函数是各种各样的，有的甚至给不出表达式，只提供了一些离散数据，例如，在查对数表时，要查的数据在表中找不到，就先找出它相邻的数，再从旁边找出它的修正值，按一定关系把相邻的数加以修正，从而找出要找的数，这种修正关系实际上就是一种插值。
在实际应用中选用不同类型的插值函数，逼近的效果也不同。
本文详细介绍了拉格朗日插值、牛顿插值、分段插值、埃尔米特插值、样条插值法，并从五种插值法的基本思想和具体实例入手，探讨了五种插值法的优缺点和适用范围。
.通过对五种插值法的对比研究及实际应用的总结，从而使我们在以后的应用中能够更好、更快的解决问题。
关键词：插值法对比实际应用Abstract: interpolation numerical analysis of one of the most basic method. Function is a wide variety of practical problems encountered, and some even not give expression provides only a number of discrete data, e.g., in the the checker number table, to check the data is not found in the table , first find out the number next to it, from the side to find the correction value, a certain relationship between the adjacent number to be amended, and to find to find the number, this correction relationship is actually an interpolation . Selection of different types of interpolation functions in practical applications, the approximation of the effect is different. This paper describes the Lagrange interpolation, Newton interpolation, piecewise interpolation, Hermite interpolation, spline interpolation, and start from the basic idea of the five interpolation and specific examples to explore the advantages of the five interpolation shortcomings and the scope of application. The comparative study and practical application of the summary by the the five interpolation method of application so that we can better and faster to solve the problem.引言在许多实际问题中，常常需要根据一张函数表推算该函数在某些点上的函数值，或要求解决与该函数有关的一些问题，例如分析函数的性态，求导数、积分、零点与极值点等。
插值法实验报告
插值法实验报告插值法实验报告一、引言插值法是一种常用的数值分析方法，用于通过已知数据点的函数值来估计在其他位置的函数值。
它在科学计算、图像处理、工程设计等领域有广泛的应用。
本实验旨在通过实际操作，深入理解插值法的原理和应用。
二、实验目的1. 掌握拉格朗日插值法和牛顿插值法的原理和计算方法；2. 通过实验比较不同插值方法的精度和效率；3. 分析插值法在实际问题中的应用。
三、实验步骤1. 收集实验数据：在实验室内设置几个测量点，记录它们的坐标和对应的函数值；2. 使用拉格朗日插值法计算其他位置的函数值：根据已知数据点，利用拉格朗日插值公式计算其他位置的函数值；3. 使用牛顿插值法计算其他位置的函数值：根据已知数据点，利用牛顿插值公式计算其他位置的函数值；4. 比较不同插值方法的精度和效率：通过计算误差和运行时间，比较拉格朗日插值法和牛顿插值法的性能差异；5. 分析插值法在实际问题中的应用：结合实验结果，探讨插值法在实际问题中的优势和局限性。
四、实验结果与分析1. 拉格朗日插值法的计算结果：根据已知数据点，利用拉格朗日插值公式计算其他位置的函数值；2. 牛顿插值法的计算结果：根据已知数据点，利用牛顿插值公式计算其他位置的函数值；3. 误差分析：比较插值结果与真实函数值之间的误差，分析误差的来源和影响因素；4. 运行时间分析：比较不同插值方法的运行时间，分析其效率和适用场景。
五、实验结论1. 拉格朗日插值法和牛顿插值法都是常用的插值方法，它们在不同场景下有各自的优势；2. 插值法在实际问题中的应用需要考虑数据的分布、函数的性质和计算效率等因素；3. 本实验结果表明，拉格朗日插值法和牛顿插值法在精度和效率上存在差异，具体选择哪种方法应根据实际需求进行权衡。
六、实验总结通过本次实验，我们深入了解了插值法的原理和应用。
实验结果表明，插值法在科学计算和工程设计中具有重要的作用。
在实际应用中，我们需要根据具体问题的要求和数据的特点选择合适的插值方法，以达到更好的效果。
几种插值法的对比研究1
几种插值法的对比研究1插值法是一种常用的数据处理方法，特别在数字信号处理和数值计算中广泛应用。
在实际应用中，选择合适的插值方法对数据的良好处理有着重要的作用。
本文将对几种常用的插值方法进行对比研究。
1. 线性插值法线性插值法是最简单也是最常用的插值方法。
它假设函数在两个已知点之间是一条直线，根据该直线与自变量的位置，即可得到插值的函数值。
线性插值法的计算简便，适用于各种连续变化的函数，但是对曲率较大的函数，有时可能会出现较大的误差。
2. 多项式插值法多项式插值法是一种高效的插值方法。
它通过已知的数据点和插值点，构造一个多项式函数。
这个多项式函数与所需求函数一样，在插值点处取相同的函数值。
多项式插值法插值精度较高，但对于高次多项式的构造和计算，不仅容易出现数值不稳定的问题，而且计算量也比较大，往往在实际应用中给计算机带来较大的负担。
样条插值法是一种优秀的插值方法。
样条插值法将整个插值区间划分为若干小区间，每个小区间内部通过一个样条函数连接在一起。
样条函数既可以满足插值的要求，又可以保持函数在区间内的连续性。
这样可以产生较好的插值效果。
相对于线性插值和多项式插值，样条插值法的误差一般较小，满足一定的平滑性要求，而且计算相对简单。
在实际应用中广泛使用。
4. 径向基函数插值法径向基函数插值法是一种数值稳定性较高的方法。
它利用径向基函数的性质，即可以逼近各种连续的函数，将一个函数表示为各个径向基函数的线性组合，建立待插值函数与径向基函数之间的关系。
当插值点趋近于数据点时，径向基函数插值法可以达到较高的精度。
径向基函数插值法的计算方法较为复杂，需要选取合适的径向基函数和其它参数，定位问题更加困难，但是计算结果却更为准确。
综合各种插值方法的优缺点，我们可以根据不同的实际需求选择不同的插值方法。
在插值研究中，需要注意插值方法的数值稳定性、计算效率、精度和平滑性等各个方面的综合考虑，以达到最优的插值效果。
各种插值法的对比研究
各种插值法的对比研究插值法是指通过已知数据点来估计两个数据点之间的未知数值。
在实际生活和科学研究中，经常会遇到需要插值的情况，例如气象预测、金融分析、图像处理等。
本文将对比介绍几种常见的插值方法，包括线性插值、多项式插值、样条插值和逆距离加权插值。
1.线性插值：线性插值是最简单的插值方法，假设两个数据点之间的值变化是线性的。
根据已知数据点的坐标和对应的值，通过线性方程推断两个数据点之间的值。
优点是计算简单快速，但缺点是对数据变化较快的情况下估计效果较差。
2.多项式插值：多项式插值假设两个数据点之间的值变化是一个多项式函数。
通过已知数据点的坐标和对应的值，使用多项式拟合方法求解多项式函数的系数，再根据该多项式求解两个数据点之间的值。
多项式插值可以准确拟合已知数据点，但在插值点较多时容易出现振荡现象，且对数据点分布敏感。
3.样条插值：样条插值是一种平滑的插值方法，通过构建分段连续的多项式函数来逼近整个数据集。
根据已知数据点的坐标和对应的值，通过求解一组多项式函数的系数，使得在相邻区间之间函数值连续，导数连续。
样条插值可以减少振荡现象，对于插值点密集的情况能更好地逼近原始数据。
4.逆距离加权插值：逆距离加权插值是一种基于距离的加权插值方法，根据已知数据点与插值点之间的距离，对每个已知数据点进行加权平均得到插值点的值。
该方法认为距离较近的数据点对插值结果的影响更大。
逆距离加权插值简单易用，对数据点的分布不敏感，但对于距离较远的数据点容易受到较大的干扰。
在实际应用中，选择合适的插值方法需要根据数据的特点和要求来决定。
若数据变化较简单、平滑，可以选择线性插值或多项式插值；若数据变化复杂，存在振荡现象，可以选择样条插值；若数据点分布较稀疏，可以选择逆距离加权插值。
此外，还有一些其他的插值方法，如Kriging插值、径向基函数插值等，它们根据不同的假设和模型进行插值，具有一定的特点和适用范围。
综上所述，对于选择合适的插值方法，需要根据具体问题和数据特点来综合考虑，结合不同方法的优缺点进行比较研究，以得到更准确和可靠的插值结果。
插值运算实验报告
#### 一、实验目的1. 理解插值运算的基本概念和原理。
2. 掌握几种常见的插值方法，如拉格朗日插值、牛顿插值等。
3. 通过实验，验证插值方法在数值计算中的应用效果。
4. 培养动手能力和分析问题的能力。
#### 二、实验原理插值运算是指根据已知数据点，构造一个近似函数来描述这些数据点之间的变化规律。
常见的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值等。
#### 三、实验内容1. 数据准备准备一组数据点，例如：```x: [1, 2, 3, 4, 5]y: [2, 4, 6, 8, 10]```2. 拉格朗日插值根据给定的数据点，构造拉格朗日插值多项式。
以三次拉格朗日插值为例，其公式如下：```L(x) = y0 ((x - x1) (x - x2) (x - x3)) / ((x0 - x1) (x0 - x2) (x0 - x3))+ y1 ((x - x0) (x - x2) (x - x3)) / ((x1 - x0) (x1 - x2) (x1 - x3))+ y2 ((x - x0) (x - x1) (x - x3)) / ((x2 - x0) (x2 - x1) (x2 - x3))+ y3 ((x - x0) (x - x1) (x - x2)) / ((x3 - x0) (x3 - x1)(x3 - x2))```将数据点代入上述公式，得到拉格朗日插值多项式。
3. 牛顿插值根据给定的数据点，构造牛顿插值多项式。
以三次牛顿插值为例，其公式如下：```N(x) = y0 + (x - x0) (y1 - y0) / (x1 - x0) + (x - x0) (x - x1) (y2 - y1) / ((x1 - x0) (x2 - x1)) + (x - x0) (x - x1) (x - x2) (y3 - y2) / ((x1 - x0) (x2 - x1) (x3 - x2))```将数据点代入上述公式，得到牛顿插值多项式。
各种插值法的对比研究
各种插值法的对比研究插值法是一种利用已知数据点推算缺失数据点的方法，常用于信号处理、图像处理和数据分析等领域。
在实际应用中，选择合适的插值方法非常重要，因为它直接影响到结果的准确性和可靠性。
本文将对常见的插值方法进行对比研究。
线性插值是最简单和最常用的插值方法之一、它假设数据点之间的变化是线性的，根据已知数据点之间的斜率和距离，可以推算出缺失数据点的值。
线性插值的优点是计算简单，适用于等间距的数据点。
然而，线性插值可能会导致插值曲线不光滑，并且在非等间距数据点或缺失数据点较多的情况下效果不佳。
拉格朗日插值是一种基于多项式插值的方法。
它通过构造一个满足已知数据点的多项式函数，然后根据该函数求解出缺失数据点的值。
拉格朗日插值的优点是可以精确地通过所有已知数据点，适用于非等间距和较稀疏的数据。
然而，拉格朗日插值存在“龙格现象”，即在数据点较多或高次插值时，插值函数会出现大幅度振荡。
牛顿插值与拉格朗日插值相似，也是基于多项式插值的方法。
不同之处在于，牛顿插值使用被称为“差商”的系数来构建插值多项式。
牛顿插值的优点是计算简单，可以实时更新插值多项式以适应新的数据点。
然而，牛顿插值也存在“龙格现象”。
样条插值是通过连接已知数据点来构建平滑的插值曲线的方法。
它通过选择适当的插值函数和控制点，保持插值曲线在已知数据点间的连续、光滑性。
样条插值的优点是可以抑制龙格现象，产生更平滑的插值曲线，并且适用于非线性变化的数据。
然而，样条插值的缺点是计算复杂度较高，可能导致过度拟合和过度平滑的问题。
Kriging 插值是一种基于地理空间的插值方法，它利用已知数据点的空间关联性来推算未知数据点的值。
Kriging 插值的优点是可以利用数据点之间的空间自相关性，适用于地理信息系统和地质学等领域的数据插值。
然而，Kriging 插值的缺点是计算复杂度高，并且对数据点的空间分布和空间自相关性的假设要求较高。
总的来说，选择合适的插值方法需要综合考虑数据的特点、插值精度和计算复杂度等因素。
插值方法_实验报告
肖建 计科三班 20095420开课学院、实验室： 数统学院实验时间 ：2011年 5 月 8 日实验项目类型课程名称数学实验实验项目名 称插值方法验证演示综合设计其他指导教师李东成 绩实验5 插值方法一、实验目的及意义[1] 了解插值的基本原理[2] 了解拉格朗日插值、线性插值、样条插值的基本思想； [3] 了解三种网格节点数据的插值方法的基本思想；[4] 掌握用MATLAB 计算三种一维插值和两种二维插值的方法；[5] 通过范例展现求解实际问题的初步建模过程；通过自己动手作实验学习如何用插值方法解决实际问题，提高探索和解决问题的能力。
通过撰写实验报告，促使自己提炼思想，按逻辑顺序进行整理，并以他人能领会的方式表达自己思想形成的过程和理由。
提高写作、文字处理、排版等方面的能力。
二、实验内容1．编写拉格朗日插值方法的函数M 文件；2．用三种插值方法对已知函数进行插值计算，通过数值和图形输出，比较它们的效果；3．针对实际问题，试建立数学模型，并求解。
三、实验步骤1．开启软件平台——MATLAB ，开启MATLAB 编辑窗口； 2．根据各种数值解法步骤编写M 文件3．保存文件并运行；4．观察运行结果(数值或图形)；5．写出实验报告，并浅谈学习心得体会。
四、实验要求与任务根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会）基础实验1. 一维插值 利用以下一些具体函数，考察分段线性插值、三次样条插值和拉格朗日多项式插值等三种插值方法的差异。
1），x ∈[-5,5]； 2）sin x , x ∈[0,2π]; 3）cos 10x , x ∈[0,2π]．211x+M 文件：（1）clcx=linspace(-5,5,11);y=1./(1+x.^2);x0=linspace(-5,5,101);y0=1./(1+x.^2);y1=interp1(x,y,x0,'spline')y2=interp1(x,y,x0);A=[ones(11,1) x' (x.^2)' (x.^3)' (x.^4)' (x.^5)' (x.^6)' (x.^7)' (x.^8)' (x.^9)' (x.^10)']a=A\y';y3=a(1)+a(2).*x0+a(3).*x0.^2+a(4).*x0.^3+a(5).*x0.^4+a(6).*x0.^5+a(7).*x0.^6+a(8).*x0.^7+a(9).*x0.^8+a(10).*x0.^9+a(11).*x0.^10;plot(x0,y3,'r'),gtext('Lagr.'),hold on ,plot(x0,y2,'b'),gtext('Pies.Lin.'),hold on ,plot(x0,y1,'m'),gtext('Spline')hold off（2）x=linspace(0,2*pi,11); y=cos(x);x0=linspace(0,pi,101);y0=cos(x0);剩余代码和（1）中相同（3）x=linspace(0,pi,11);y=cos(x).^10;x0=linspace(0,pi,101);y0=cos(x0).^10;剩余代码和（1）中相同注意：适当选取节点及插值点的个数；比较时可以采用插值点的函数值与真实函数值的差异，或采用两个函数之间的某种距离。
各种插值法的对比研究
各种插值法的对比研究目录1.引言 (1)2.插值法的历史背景 (1)3.五种插值法的基本思想 (2)3.1拉格朗日插值 (2)3.2牛顿插值 (3)3.3埃尔米特插值 (3)3.4分段线性插值 (4)3.5三次样条插值 (5)4.五种插值法的对比研究 (5)4.1拉格朗日插值与牛顿插值的比较 (5)4.2多项式插值法与埃尔米特插值的比较 (6)4.3多项式插值法与分段线性插值的比较 (6)4.4 分段线性插值与样条插值的比较 (6)5.插值法在实际生活中的应用 (6)6.结束语 (6)致谢 (7)参考文献 (7)各种插值法的对比研究摘要：插值法是一种古老的数学方法,也是数值计算中的一个算法.插值法不仅是微分方程、数值积分、数值微分等计算方法的基础,而且在医学、通讯、精密机械加工等领域都涉及到了它.本文首先介绍了插值的背景以及常用的五种插值法的基本思想,然后通过拉格朗日插值与牛顿插值、多项式插值与埃尔米特插值、多项式插值与分段线性插值、分段线性插值和样条函数插值给出相应的算法与MATLAB 程序,根据已学的知识对五种插值方法与被插函数的逼近程度进行对比研究,找出不同方法间的联系与区别,分析出它们的优缺点,最后在此基础上进一步研究插值法的实际应用,以提高插值法的实用性,从而能让我们在以后的应用中看到一个问题,就知道哪种方法更适合于它,然后大大地快速的提高效率.关键词：多项式插值;样条函数插值;MATLAB 程序;应用1.引言在很多解题以及应用生活中,常常需要用数量关系来反映问题,但是有时没有办法通过数学语言准确地表达出来.已知有些变量之间存在一种函数关系,但没法用函数的表达式表示出来.比如,)(x f 在某个区间上[]b a ,是存在某种数量关系的,但是根据观察和测量或者实验只能得到有限个函数值,我们可以利用这几点来确定函数表达式.或者有一些函数表达式是已经知道的,但是它们的计算是十分繁琐复杂的,不容易发现它的本质,而且它的使用方法也比较局限.函数是表达数与数之间的联系,为了能很好地用数学语言表达出函数的关系,一般通过给定的数据构造一个函数)(x P ,这样既能反映函数)(x f 的特点,又方便计算,用)(x P 近似)(x f .通常选一个简单的函数)(x P ,而且=)(i x P )(i x f ()n i ,...,2,1,0=成立,这个时候的)(x P ,从要表达的函数规律来看,就是我们需要的插值函数[1].所用方法就是插值法,由于所选用的)(x P 的多样化,得到不同的插值法.2.插值法的历史背景插值法的历史源远流长,在很早的时候就涉及到了它.它是数值计算中一个古老的分支,它来源于生产实践.因为牛顿力学的物理理论知识在一千年前没有出现,所以我们的祖先没有办法用很准确的数学解析式来表达日月五星的运行规律.后来,古代的人们有着聪慧的头脑,想出了插值方法,然后发现了日月五星的运行规律.例如唐朝数学家张遂提出了插值法的概念以及不等距节点的插值,并将其应用在天文历法观测中.现代工业革命以后欧洲著名的数学家拉格朗日给出了拉格朗日插值法的概念以及应用.微积分产生后,插值法的基本理论和结果进一步得到改善.3.五种插值法的基本思想如果一个函数)(x f y =在区间[]b a ,上有定义,且已知在点b x x x a n ≤<<<≤...10上的值0y ,1y ,2y , ,n y ,若存在一简单函数)(x P ,使得成立,)(x P 为插值函数,点0x ,1x ,2x , ,n x 称为插值节点,插值节点的区间[]b a ,称为插值区间,求插值函数)(x P 的方法称为插值法.若)(x P 的多项式次数不超过n ,即有)(x P n n x a x a x a a ++++= (2210)3.1拉格朗日插值拉格朗日插值是n 次多项式插值,它是用构造插值基函数的办法来解决n 次多项式插值的问题.拉格朗日插值多项式可以表示为=)(x L n ∑=n k k k x ly 0)(,)(x l k 为插值基函数,表达式为=)(x l k ))...()()...(())...()()...((110110n k k k k k k n k k x x x x x x x x x x x x x x x x --------+-+-,n k ,,1,0 = 截断误差为)()()(x L x f x R n n -=,也是插值余项.关于插值余项,估计有以下定理[2]:设)(x f n 在[]b a ,上连续,)(1x f n +在()b a ,内存在,节点b x x x x a n≤<<<<≤ 210,)(x L n 是满足条件(1.4)的插值多项式,则对任何[]b a x ,∈,插值余项)()!1()()()()(1)1(x n f x L x f x R n n n n +++=-=ωξ 余项表达式的应用有它的局限性,一般只适合于)(x f 高阶导数存在的情况下.若设1)1()(max ++≤≤=n n b x a M x f ,则误差为)()!1()(11x w n M x R n n n +++≤.3.2牛顿插值牛顿插值的基本思想是对n 次插值多项式)(x P n 进行逐次生成,然后用插值条件求出)(x P n 系数[3].因此,提出了均差（即差商）的概念.设 称有函数)(x f ,1x ,2x ,3x , ,n x 是一系列不相等的点,则[]=k x x f ,000)()(x x x f x f k k --为函数)(x f 关于点0x ,2x 的一阶均差; []=k x x x f ,,10[]1100],[,x x x x f x x f k k -- 称为)(x f 的二阶均差; []=k x x x f ,...,,10[][]1110210,...,,,,...,,-----k k k k k x x x x x f x x x x f 为)(x f )的k 阶均差. 我们先求出1次多项式,2次多项式,然后类推出n 次多项式,构造出n 次代数插值多项式的另外一种表达形式—牛顿插值多项式=)(x P n +)(0x f []10,x x f +-)(0x x []210,,x x x f )(0x x -+-)(1x x … []n x x x x f ,...,,,210+)(0x x -))...((11---n x x x x ,=)(x R n []n x x x x x f ,...,,,,210)(0x x -))...((1n x x x x --, =)(x f +)(x P n )(x R n . )(x P n 为牛顿插值多项式,)(x R n 为余项.3.3埃尔米特插值有的时候解决函数)(x f 的问题,不仅要在某些点上知道函数值,而且已知在一些点上的导数值.那么这时插值函数)(x P ,它在某些点处的导数值和函数值与原表达式的值相等的.那么我们从几何这个方面来思考这个问题,求出插值多项式的曲线,不但通过已知点组,而且在这些点处与原曲线＂相切＂[4].(一)、泰勒插值定义 [][])(,lim ,0'0000x f x x f x x f x x ==→为一阶重节点均差;[][])(21,,lim ,,0''2100000201x f x x x f x x x f x x x x ==→→为二阶重节点均差; 则n 阶重节点均差为[][])(!1,,,lim ,,,0100000x f n x x x f x x x f n n x x i ==→ . 当0x x i →时,牛顿插值公式的极限为=)(x P n +)(0x f )(0'x f +-)(0x x ...！n x f n )(0)(nx x )(0-. 称为泰勒插值多项式.它满足条件=)(0)(x P k n )(0)(x f k ,),...,2,1,0(n k =（二）、两点三次埃尔米特插值若)(x f 在k x ,1+k x 的函数值为k y ,1+k y ,k k m x f =)(',11')(++=k k m x f ,我们可以构造出一个次数不超过3的多项式,)(3x H 为插值函数.设=)(3x H +k k y x a )(+++11)(k k y x a +k k m x )(β11)(++k k m x β,k a ,1+k a ,k β,1+k β为插值基函数.可得结果 =)(3x H 2111))(21(+++----+k k k k k k x x x x x x x x k y 2111))(21(kk k k k k x x x x x x x x ----+++++++1k y )(k x x -+--++k k k k m x x x x 211)(121)(++--k k k k m x x x x , =)(3x R 2124)())((41+--k k x x x x f ξ！,),(1+∈k k x x ξ. 3.4分段线性插值分段线性插值:一般描述,如给定[]上b a ,1+n 个节点b x x x x a n =<<<<= 210和相应的函数值)(i f f i =),...,2,1,0(n i =,记k k k x x h -=+1,k kh h max =. 构造)(x I h 满足:(1)[]b a C x I h ,)(∈;(2)k k h f x I =)(),,2,1,0(n k =;(3))(x I h 在每个小区间[]1,+k k x x 上是线性函数.由以上条件直接可得)(x I h 在小区间[]1,+k k x x 上的表达式为=)(x I h +--++k k k k f x x x x 1111++--k kk k f x x x x , )1,,2,1,0(-=n k 误差估计 -)(x f =)(x I h ))((!2)(1)(''+--k k k x x x x x f ξ))((max 2121+≤≤--≤+k k x x x x x x x M k k . 当∞→h 时,0)()()(→-=x I x f x R h ,)(x I h 在[]b a ,上一致收敛到)(x f .3.5三次样条插值三次样条插值（Spline 插值）的具体要求是:函数[]b a C x S ,)(2∈,并在每个小区间[]1,+j j x x 上是一个三次多项式,其中b x x x x a n =<<<<=...210是给定节点,如果对给定的节点函数值有j y )(j x f =),...,2,1,0(n j =,并且=)(j x S j y ,),...,2,1,0(n j =成立,这时我们就把)(x S 称为三次样条插值函数.4.五种插值法的对比研究通过讨论插值法的相关内容,可以让我们更好的了解插值法.现在我们先从插值多项式的形式上、用途上、计算方法上、精确度上等进行对比研究,比较各自优缺点,然后再通过实例验证之.4.1拉格朗日插值与牛顿插值的比较（一）拉格朗日插值多项式步骤衔接紧密,条理清晰,在理论中十分重要.但是计算比较复杂,因为每添加一个点,所以的公式都要重新计算,这样计算步骤较多会导致计算量变大,反而会导致出现误差与原来的目的背道而驰.（二）牛顿插值多项式的计算量小,步骤简洁.当添加一个节点时,它仍然可以使用,即具有“承袭性”也叫“继承”,所以此类方法应用灵活.但是我们根据正常的想象和观察插值余项,我们一般局部地总是认为当原函数给出的点是越来越多时,我们借助的辅助函数的次数越高,它就和原函数越来越近,误差越来越小.然而事实并非如此,当遇到插值节点等距分布的情况时,只要求函数点值相等不能够充分反映插值函数的性质[5].4.2多项式插值法与埃尔米特插值的比较多项式插值要求在插值节点上函数值相等,计算简单,条件不怎么苛刻.但是如果有的时候一方面要在节点处函数值相等,另一方面要导数值相等,这时多项式插值否则不满足此类情况.埃尔米特插值不仅算法简单而且它具有强烈收敛性.但是它的光滑度不高,而且它的使用条件,也有局限性.在一些特定的限制条件下,有时函数的导数值在这点是完全没有必要知道的.因此,知道节点处的导数的插值函数成为能否运用Hermite插值的一个重要因素[6].4.3多项式插值法与分段线性插值的比较多项式插计算简单,比较方便,但是节点增加的同时就会出现龙格现象,图形波动较大[7].分段线性插值能够克服龙格现象,有收敛性,但是在区间内有转折点,光滑性不好.4.4 分段线性插值与样条插值的比较样条插值的插值函数算法稳定,而且插值函数光滑,收敛性强,误差小.但是它不能局部确定,常常需要解线性方程组.5.插值法在实际生活中的应用插值法是数值逼近中一个非常重要的部分,其次它在实际生活中起着不容小觑的作用,比如天文学以及数学.6.结束语插值法在解决实际问题中有很大的应用.插值方法是各种各样的,它包含拉格朗日插值法、牛顿插值法、Hermite插值法、分段线性插值法以及三次样条插值法等.我们不论使用哪个插值法,它的原理都是一样的.本课题首先介绍了插值的背景以及各类方法的基本思想;然后通过解题、画图、一道题用几种不同方法来解答,让我们哪种方法适合解答哪种类型的题,再然后进行对比,探讨出它们的优缺点,最后文章举个例子来说明插值法有很大的作用,它和我们是相连的,同时利用MATLAB给出了模拟图,通过这种数与形的结合,更好地了解各类插值法的应用于特征.致谢本论文在苏晓琴老师的悉心指导下完成的，同样也是我第一次写这样的文章。
插值数值实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 理解并掌握插值法的基本原理和常用方法。
2. 学习使用拉格朗日插值法、牛顿插值法等数值插值方法进行函数逼近。
3. 分析不同插值方法的优缺点，并比较其精度和效率。
4. 通过实验加深对数值分析理论的理解和应用。
二、实验原理插值法是一种通过已知数据点来构造近似函数的方法。
它广泛应用于科学计算、工程设计和数据分析等领域。
常用的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、样条插值法等。
1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法。
其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是一种基于插值多项式的差商的插值方法。
其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等，并且满足一定的差商条件。
三、实验内容1. 拉格朗日插值法（1）给定一组数据点，如：$$\begin{align}x_0 &= 0, & y_0 &= 1, \\x_1 &= 1, & y_1 &= 4, \\x_2 &= 2, & y_2 &= 9, \\x_3 &= 3, & y_3 &= 16.\end{align}$$（2）根据拉格朗日插值公式，构造插值多项式：$$P(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)}y_0 + \frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)}y_1 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)}y_2 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)}y_3.$$（3）计算插值多项式在不同点的函数值，并与实际值进行比较。
数值分析实验报告(插值法)
武汉理工大学学生实验报告书实验课程名称数值分析开课学院计算机科学与技术学院指导老师姓名学生姓名学生专业班级2010—2010学年第一学期实验课程名称：数值分析第二部分：实验调试与结果分析（可加页）一、调试过程（包括调试方法描述、实验数据记录，实验现象记录，实验过程发现的问题等）（1）用拉格朗日插值法计算时，输入及运行结果如下：拉格朗日插值法牛顿插值法（2）利用二次插值计算时，输入及运行结果如下：拉格朗日插值法牛顿插值法（3）用艾尔米特插值法计算时,f(x)的插值多项式H5(x)=(1+4*x)*(x-0.5)*(x-0.5)*(x-2)*(x-2)+(3.90807-6.03838*x)*(x-2)*(x-2)*x*x+(2.34573-4.16674*x)*x*x*(x-0.5)*(x-0.5)（4）各插值算法的精度差异比较经过比较，拉格朗日插值法要比牛顿插值法算法的计算量多一些，拉格朗日插值法后一次计算时用到了前一次计算的结果，提高了运算的效率，但拉格朗日插值法在构造艾尔米特插值法时很方便，将坐标点和对应的导数结合起来的精度比线性插值的精度又要高一些。
但从实验数据来看，在坐标不是很多的情况下，已知的点越多精度也就相对较高。
对于实验要求的第二组数据用拉格朗日插值法（或者牛顿插值法）实验结果如下：一下分别是二阶、三阶、四阶、五阶插值得到的结果以上只是实验结果的一部分，改变插值的位置时，得到的实验结果精度也是有所不同的。
由以上结果分析可知，插值次数并不是越多越好，多了反而会让结果更加偏离真实结果，这充分说明了高次插值存在“病态性质”，在已知点很多的情况下应该采用分段低次插值，将拉格朗日插值法和牛顿插值法运用到分段低次插值法当中，这样得到的结果可能胡更加精确。
各种插值法的对比研究报告
各种插值法的对比研究报告各种插值法的对比研究目录_Toc4852335651.引言 (2)2.插值法的历史背景 (2)3.五种插值法的基本思想 (2)3.1拉格朗日插值 (2)3.2牛顿插值 (2)3.3埃尔米特插值 (2)3.4分段线性插值 (2)3.5三次样条插值 (2)4.五种插值法的对比研究 (2)4.1拉格朗日插值与牛顿插值的比较 (2)4.2多项式插值法与埃尔米特插值的比较 (2)4.3多项式插值法与分段线性插值的比较 (2)4.4 分段线性插值与样条插值的比较 (2)5.插值法在实际生活中的应用 (2)6.结束语 (2)致谢 (2)参考文献 (2)各种插值法的对比研究摘要：插值法是一种古老的数学方法,也是数值计算中的一个算法.插值法不仅是微分方程、数值积分、数值微分等计算方法的基础,而且在医学、通讯、精密机械加工等领域都涉及到了它.本文首先介绍了插值的背景以及常用的五种插值法的基本思想,然后通过拉格朗日插值与牛顿插值、多项式插值与埃尔米特插值、多项式插值与分段线性插值、分段线性插值和样条函数插值给出相应的算法与MATLAB 程序,根据已学的知识对五种插值方法与被插函数的逼近程度进行对比研究,找出不同方法间的联系与区别,分析出它们的优缺点,最后在此基础上进一步研究插值法的实际应用,以提高插值法的实用性,从而能让我们在以后的应用中看到一个问题,就知道哪种方法更适合于它,然后大大地快速的提高效率. 关键词：多项式插值;样条函数插值;MATLAB 程序;应用1.引言在很多解题以及应用生活中,常常需要用数量关系来反映问题,但是有时没有办法通过数学语言准确地表达出来.已知有些变量之间存在一种函数关系,但没法用函数的表达式表示出来.比如,)(x f 在某个区间上[]b a ,是存在某种数量关系的,但是根据观察和测量或者实验只能得到有限个函数值,我们可以利用这几点来确定函数表达式.或者有一些函数表达式是已经知道的,但是它们的计算是十分繁琐复杂的,不容易发现它的本质,而且它的使用方法也比较局限.函数是表达数与数之间的联系,为了能很好地用数学语言表达出函数的关系,一般通过给定的数据构造一个函数)(x P ,这样既能反映函数)(x f 的特点,又方便计算,用)(x P 近似)(x f .通常选一个简单的函数)(x P ,而且=)(i x P )(i x f ()n i ,...,2,1,0=成立,这个时候的)(x P ,从要表达的函数规律来看,就是我们需要的插值函数[1].所用方法就是插值法,由于所选用的)(x P 的多样化,得到不同的插值法.2.插值法的历史背景插值法的历史源远流长,在很早的时候就涉及到了它.它是数值计算中一个古老的分支,它来源于生产实践.因为牛顿力学的物理理论知识在一千年前没有出现,所以我们的祖先没有办法用很准确的数学解析式来表达日月五星的运行规律.后来,古代的人们有着聪慧的头脑,想出了插值方法,然后发现了日月五星的运行规律.例如唐朝数学家张遂提出了插值法的概念以及不等距节点的插值,并将其应用在天文历法观测中.现代工业革命以后欧洲著名的数学家拉格朗日给出了拉格朗日插值法的概念以及应用.微积分产生后,插值法的基本理论和结果进一步得到改善.3.五种插值法的基本思想如果一个函数)(x f y =在区间[]b a ,上有定义,且已知在点b x x x an ≤<<<≤...10上的值0y ,1y ,2y , ,n y ,若存在一简单函数)(x P ,使得成立,)(x P 为插值函数,点0x ,1x ,2x , ,n x 称为插值节点,插值节点的区间[]b a ,称为插值区间,求插值函数)(x P 的方法称为插值法.若)(x P 的多项式次数不超过n ,即有 )(x P n n x a x a x a a ++++= (2210)3.1拉格朗日插值拉格朗日插值是n 次多项式插值,它是用构造插值基函数的办法来解决n 次多项式插值的问题.拉格朗日插值多项式可以表示为=)(x L n ∑=nk kk x ly 0)(,)(x l k 为插值基函数,表达式为=)(x l k ))...()()...(())...()()...((110110n k k k k k k n k k x x x x x x x x x x x x x x x x --------+-+-,n k ,,1,0 =截断误差为)()()(x L x f x R n n -=,也是插值余项.关于插值余项,估计有以下定理[2]: 设)(x f n 在[]b a ,上连续,)(1x f n +在()b a ,内存在,节点b x x x x a n ≤<<<<≤ 210,)(x L n 是满足条件(1.4)的插值多项式,则对任何[]b a x ,∈,插值余项)()!1()()()()(1)1(x n f x L x f x R n n n n +++=-=ωξ 余项表达式的应用有它的局限性,一般只适合于)(x f 高阶导数存在的情况下.若设1)1()(max ++≤≤=n n bx a M x f ,则误差为)()!1()(11x w n M x R n n n +++≤.3.2牛顿插值牛顿插值的基本思想是对n 次插值多项式)(x P n 进行逐次生成,然后用插值条件求出)(x P n 系数[3].因此,提出了均差（即差商）的概念.设称有函数)(x f ,1x ,2x ,3x , ,n x 是一系列不相等的点,则 []=k x x f ,000)()(x x x f x f k k --为函数)(x f 关于点0x ,2x 的一阶均差;[]=k x x x f ,,10[]1100],[,x x x x f x x f k k -- 称为)(x f 的二阶均差;[]=k x x x f ,...,,10[][]1110210,...,,,,...,,-----k k k k k x x x x x f x x x x f 为)(x f )的k 阶均差.我们先求出1次多项式,2次多项式,然后类推出n 次多项式,构造出n 次代数插值多项式的另外一种表达形式—牛顿插值多项式=)(x P n +)(0x f []10,x x f +-)(0x x []210,,x x x f )(0x x -+-)(1x x …[]n x x x x f ,...,,,210+)(0x x -))...((11---n x x x x ,=)(x R n[]n x x x x x f ,...,,,,210)(0x x -))...((1n x x x x --,=)(x f +)(x P n )(x R n .)(x P n 为牛顿插值多项式,)(x R n 为余项.3.3埃尔米特插值有的时候解决函数)(x f 的问题,不仅要在某些点上知道函数值,而且已知在一些点上的导数值.那么这时插值函数)(x P ,它在某些点处的导数值和函数值与原表达式的值相等的.那么我们从几何这个方面来思考这个问题,求出插值多项式的曲线,不但通过已知点组,而且在这些点处与原曲线＂相切＂[4]. (一)、泰勒插值定义 [][])(,lim ,0'0000x f x x f x x f x x ==→为一阶重节点均差;[][])(21,,lim ,,0''2100000201x f x x x f x x x f x x x x ==→→为二阶重节点均差; 则n 阶重节点均差为[][])(!1,,,lim ,,,0100000x f n x x x f x x x f nn x x i ==→ . 当0x x i →时,牛顿插值公式的极限为=)(x P n +)(0x f )(0'x f +-)(0x x ...！n x f n )(0)(nx x )(0-.称为泰勒插值多项式. 它满足条件=)(0)(x P k n )(0)(x f k ,),...,2,1,0(n k =（二）、两点三次埃尔米特插值若)(x f 在k x ,1+k x 的函数值为k y ,1+k y ,k k m x f =)(',11')(++=k k m x f ,我们可以构造出一个次数不超过3的多项式,)(3x H 为插值函数.设=)(3x H +k k y x a )(+++11)(k k y x a +k k m x )(β11)(++k k m x β,k a ,1+k a ,k β,1+k β为插值基函数.可得结果=)(3x H 2111))(21(+++----+k k k k k k x x x x x x x x k y 2111))(21(kk k k k k x x x x x x x x ----+++++++1k y )(k x x -+--++k k k k m x x x x 211)(121)(++--k kk k m x x x x,=)(3x R 2124)())((41+--k k x x x x f ξ！,),(1+∈k k x x ξ.3.4分段线性插值分段线性插值:一般描述,如给定[]上b a ,1+n 个节点b x x x x a n =<<<<= 210和相应的函数值)(i f f i =),...,2,1,0(n i =,记k k k x x h -=+1,k kh h max =.构造)(x I h 满足: (1)[]b a C x I h ,)(∈;(2)k k h f x I =)(),,2,1,0(n k =;(3))(x I h 在每个小区间[]1,+k k x x 上是线性函数.由以上条件直接可得)(x I h 在小区间[]1,+k k x x 上的表达式为=)(x I h +--++k k k k f x x x x 1111++--k kk kf x x x x , )1,,2,1,0(-=n k误差估计-)(x f =)(x I h ))((!2)(1)(''+--k k k x x x x x f ξ))((max 2121+≤≤--≤+k k x x x x x x x M k k . 当∞→h 时,0)()()(→-=x I x f x R h ,)(x Ih 在[]b a ,上一致收敛到)(x f .3.5三次样条插值三次样条插值（Spline 插值）的具体要求是:函数[]b a C x S ,)(2∈,并在每个小区间[]1,+j j x x 上是一个三次多项式,其中b x x x x a n =<<<<=...210是给定节点,如果对给定的节点函数值有j y )(j x f =),...,2,1,0(n j =,并且=)(j x S j y ,),...,2,1,0(n j =成立,这时我们就把)(x S 称为三次样条插值函数.4.五种插值法的对比研究通过讨论插值法的相关内容,可以让我们更好的了解插值法.现在我们先从插值多项式的形式上、用途上、计算方法上、精确度上等进行对比研究,比较各自优缺点,然后再通过实例验证之.4.1拉格朗日插值与牛顿插值的比较（一）拉格朗日插值多项式步骤衔接紧密,条理清晰,在理论中十分重要.但是计算比较复杂,。
五次PH曲线插值及其外形优化方法的研究的开题报告
五次PH曲线插值及其外形优化方法的研究的开题报告一、研究背景及意义随着科技的进步和工业的发展，PH值作为一种重要的物理量，已经成为了许多行业和领域中必不可少的参数。
在水处理、环境保护、化工生产等领域中，PH值的测量和控制对于保障产品质量和生态环境的安全至关重要。
因此，如何高效准确地获取PH值信息，成为了目前研究的重点之一。
而在实际测量中，许多PH值传感器只能测量离散数据点，因此需要通过插值技术来推断出PH值的完整曲线。
目前已有许多插值方法，如拉格朗日插值、牛顿插值、三次样条插值等，但这些方法都存在一定的局限性，如曲线过度拟合、过度平滑等问题。
因此，本文将从五次PH曲线插值及其外形优化入手，研究如何提高插值效果，以期为实际应用提供一定的参考和帮助。
二、研究内容与方法（一）研究内容：1. 建立五次PH曲线插值模型；2. 分析五次PH曲线插值中的误差来源，制定相应的优化措施；3. 设计五次PH曲线的外形优化方法，提高曲线光滑度和拟合精度；4. 验证所提出的新方法的实际效果，并与其他常用插值方法进行比较。
（二）研究方法：1. 理论分析法：对五次PH曲线插值理论进行深入研究，并分析其误差来源；2. 算法设计法：根据误差分析结果，设计五次PH曲线插值和外形优化的算法；3. 数值仿真法：利用MATLAB等数学仿真工具，对设计的算法进行仿真测试和效果验证。
三、预期研究结果通过本研究，预期能够：1. 建立五次PH曲线插值模型，提高插值精度和稳定性；2. 分析五次PH曲线插值中的误差来源，提出相应的优化措施；3. 设计五次PH曲线的外形优化方法，提高曲线光滑度和拟合精度；4. 验证所提出的新方法的实际效果，并与其他常用插值方法进行比较，为实际应用提供参考和帮助。
四、研究难点与挑战1. 插值算法的高精度和稳定性设计；2. 五次PH曲线外形优化的精细控制；3. 仿真测试和实际应用效果验证的可靠性和准确性。
五、研究计划与进度（一）研究计划：1. 文献综述：对PH值测量和插值方法进行系统综述和分析；2. 理论分析：建立五次PH曲线插值模型，并分析其误差来源；3. 算法设计：制定五次PH曲线插值和外形优化的算法，提高插值效果；4. 仿真测试：利用MATLAB等仿真工具，对算法进行仿真测试和效果验证；5. 实际应用：将所提出的算法应用到实际PH值测量中，进行效果验证和比较。
各种插值方法比较
各种插值方法比较插值是一种常见的数据处理技术，用于估计缺失数据或填充数据空缺。
在数据分析、统计学和机器学习等领域中，插值可以帮助我们处理缺失数据或者对连续数据进行平滑处理。
常见的插值方法包括线性插值、多项式插值、样条插值、Kriging插值等。
1.线性插值：线性插值是一种简单但广泛使用的插值方法，基于原始数据中的两个点之间的直线来估计缺失点的值。
这种方法适用于数据分布较为均匀的情况，但对于非线性的数据，可能会导致估计值与实际值之间的较大误差。
2.多项式插值：多项式插值是通过使用多项式函数来拟合原始数据，从而估计缺失点的值。
多项式插值方法具有较高的灵活性，可以在不同的数据点之间产生平滑曲线，但在数据点较多时，可能会导致过拟合问题。
3.样条插值：样条插值是一种常见的插值方法，它通过使用分段多项式函数来拟合数据，从而在数据点之间产生平滑曲线。
样条插值方法克服了多项式插值的一些问题，同时在数据点较少的情况下也能有效地估计缺失点的值。
4. Kriging插值：Kriging插值是一种基于统计学和地理学原理的插值方法，它考虑了数据点之间的空间关系，并使用半变异函数来估计缺失点的值。
Kriging插值方法适用于具有空间相关性的数据，例如地理信息系统中的地形数据或环境监测数据。
除了上述常见的插值方法之外，还有一些其他的插值方法，如逆距离加权插值、最近邻插值、高阶插值等。
5.逆距离加权插值：逆距离加权插值方法假设距离越近的数据点对估计值的贡献越大，它根据数据点之间的距离来计算权重，并将其与对应数据点的值进行加权平均来估计缺失点的值。
逆距离加权插值方法适用于数据点密集、分布不均匀的情况，但对于噪声较大或异常值较多的数据，可能会导致估计值的不准确。
6.最近邻插值：最近邻插值方法简单和直观，它假设与缺失点距离最近的已知点的值与缺失点的值相同。
这种方法适用于数据点之间的空间相关性较强，但在数据点分布不均匀或者缺失点周围的数据点值变化较大的情况下，可能会导致估计值的不准确。
几种插值法的对比研究1
几种插值法的对比研究1插值法是一种在数据缺失、信号平滑和曲线拟合等方面广泛应用的技术。
在实际应用中，人们常常需要对不连续或缺失的数据进行插值处理，以获得连续的数据序列。
常见的插值方法包括多项式插值、样条插值和径向基函数插值等。
本文将对这些方法的原理和优缺点进行介绍和分析。
1.多项式插值多项式插值是最早被使用的一种插值方法。
可以通过已有数据点之间的连续函数来计算其它位置的值。
多项式插值的主要优点是计算简单，直观易懂。
但是，当插值多项式的次数过高时，会出现插值误差增大和震荡等问题。
2.样条插值样条插值是一种较为高级的插值方法，其不同于多项式插值将整个区间看作一个整体来进行插值，而是将区间划分为多个小区间，对每个小区间进行插值。
每个小区间内的插值函数为一次或二次多项式，这些小区间的多项式函数共同构成了一个光滑的曲线。
样条插值方法的缺点是计算复杂性高，同时需要确定分段函数的节点和边界条件，且容易产生超调（overshoot）现象等问题。
3.径向基函数插值径向基函数插值（Radial Basis Function Interpolation）是一种较为新的插值方法，利用径向基函数对数据进行拟合。
径向基函数具有高精度、自适应性和较强的通用性，可以在低次次数的情况下进行快速拟合，且可以适用于大多数类型的数据。
径向基函数插值的缺点是对噪声和异常值较为敏感，同时需要确定径向基函数的数量和类型。
综上所述，多项式插值、样条插值和径向基函数插值各有优缺点，应根据实际应用的需求和数据特点选择合适的插值方法。
在选用插值方法时，应考虑插值精度、计算复杂度、对噪声的稳健性等问题，以获得最可靠的插值结果。
五种插值法的对比研究
1.研究现实状况:
多项式插值Lagrange公式, Newton（包含等距基点情况）和Hermite公式,形式不一样,可用于不一样场所,通常来说,前两种形式适适用于理论应用,后两种形式适于计算,带导数插值使插值函数与被插值函数更为密贴,优点是显著。
毕业论文开题汇报
题目五种插值法对比研究
学生姓名陈飞学号
所在院(系)数学与计算机科学学院
专业班级信计081班
指导老师权双燕
3月7日
题目
五种插值法对比研究
一、选题目及研究意义全文用五号宋体
在数值计算方法中,插值法是计算方法基础,数值微分、数值积分和微分方程数值解都建立在此基础上。插值法有大量实际应用。我们学习过五种基础插值方法,即插值、值、分段线性插值、分段三次插值、样条插值函数。不过这五种插值方法与被插函数迫近程度在现有文件中没有给出清楚描述,为此,可依据已学知识对这五种插值方法与被插函数迫近程度进行对比研究。
黄友谦,李岳生.（第二版）.北京:高等教育出版社, 1987
蒋尔雄,赵凤光.数值迫近.上海:复旦大学出版社, 1996
五、毕业论文进程安排
3月4日-----3月8日查阅资料,列出提要,完成开题汇报;
3月8日-----4月10日查阅材料;
4月10日----5月5日阅读资料,撰写论文,完成论文初稿;
5月5日-----5月27日指导老师审阅,定稿后打印。
[2]韩中庚.数学建模方法及其应用[M].北京:高等教育出版社, .
[3]胡运权.运筹学教程第三版[M].清华大学出版社, .
[4]齐欢.数学模型方法[M].武汉:华中理工大学出版社, 1996.
五种插值法的对比研究
• 它的优点就是公式紧凑，在理论分析中十分方便，但是 它不能随意的增加插值点。又如牛顿插值多项式的构造：
当前工作的进度
• 通过上网、图书馆及自己做的习题等方式 已经查找了一些关于数学期望在经济决策 中应用的一些文献，并初步阅读这些文献。 • 通过自己查阅的资料，对几种插值的有了 更充分的认识。 • 根据几种插值的解题思路，解决一些实际 问题。
目前已查阅文献出处
• 石东洋 数值计算方法 郑州大学出版社 • 陈传璋 数学分析（第二版上册）高等教育 出版社 • 数值计算方法 冯康等编 数值计算方法 国 防工业出版社
下一步进展计划
• 细致的研读已有的资料和文献，学习基本 的科研的思想和方法。 • 通过上网、在图书馆中查询、向老师请教 等方式，进一步丰富资料。 • 对已有的资料进行提炼、融合，并结合自 己的思考，在老师的指导下写出自己的论 文。
有关题目的一些想法
• 插值是数值计算中的重要一部分，而五种插值又是我们常常见到 的，本课题就是对他们之间的差异和关系通过举例或证明得到自 己对他们的认识。
• 通过自己的举例和证明从中找到它们的优点、不足. 例如朗格朗日它的构造公式： n
( x x )( x x ) ( x x )( x x ) 1 2 k 1 n g ( x ) ( x x )( x x ) ( x x )( x x ) k 1 k 2 k k 1 k n k 1
f ( x ) f [ x ] f [ x , x ]( x x ) f [ x , x x ]( x x )( x x ) ( x x ) R ( X ) 0 0 1 0 0 1 n 0 1 n 1 n
而它的优点就是可以随意的增加一个或多个插值你只需 在它后面增加相应的想就行了他克服了上式的缺点，也 加快了了你的计算速度。
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五种插值法的对比研究1. 选题依据1.1 选题背景插值法是一种古老的数学方法，插值法历史悠久。
据考证，在公元六世纪时， 我国焯(zhuo) 已经把等距二次插值法应用于天文计算。
十七世纪时，Newton 和 Gregory(格雷格里) 建立了等距节点上的一般插值公式，十八世纪时，Lagrange(拉格朗日) 给出了更一般的非等距节点插值公式。
而它的基本理论是在微积分产生以后逐渐完善的，它的实际应用也日益增多，特别是在计算机工程中。
许多库函数的计算实际上归结于对逼近函数的计算。
1.2 研究的目的和意义插值法是数值分析中最基本的方法之一。
在实际问题中碰到的函数是各种各样的，有的甚至给不出表达式，只提供了一些离散数据，例如，在查对数表时， 要查的数据在表中找不到，就先找出它相邻的数，再从旁边找出它的修正值， 按一定关系把相邻的数加以修正，从而找出要找的数，这种修正关系实际上就是一种插值。
在实际应用中选用不同类型的插值函数，逼近的效果也不同。
在数值计算方法中，我们学习过五种基本的插值方法，即Lagrange 插值、Newton 插值、分段线性插值、分段三次Hermite 插值、样条插值函数。
所以通过从这五种插值法的基本思想、特征、性质和具体实例入手，探讨五种插值法的优缺点和适用围，让学习者能够迅速而准确的解决实际问题，掌握插值法的应用。
2. 研究的方法从具体实例入手并结合Matlab 在科学计算中的优势，通过实验对它们的精度和效率进行比较分析。
3. 论文结构3.1 论文的总体结构第一部分 导言主要介绍选题的背景、目的及意义、研究现状、文献综述等。
第二部分 五种插值法的基本思想、性质及特点在数值计算方法中，插值法是计算方法的基础，数值微分、数值积分和微分方程数值解都建立在此基础上。
插值问题的提法是：已知f(x)(可能未知或非常复杂函数)在彼此不同的n+1 个实点0x ,1x ,…n x 处的函数值是f(0x )，f(1x )，…,f(n x )，这时我们简单的说f(x)有n+1 个离散数据对0n i i )}y ,{(x i .要估算f(x)在其它点x 处的函数值，最常见的一种办法就是插值，即寻找一个相对简单的函数y(x)，使其满足下列插值条件：y(i x )=f(i x )，i=0,1,…,n.，并以y(x)作为f(x)的近似值.其中y(x)称为插值函数，f(x)称为被插函数。
多项式插值是最常见的一种函数插值.在一般插值问题中，由插值条件可以唯一确定一个次数不超过n 的插值多项式满足上述条件.从几何上看可以理解为：已知平面上n+1 个不同点，要寻找一条次数不超过n 的多项式曲线通过这些点.插值多项式一般有两种常见的表达形式，一个是拉格朗日（Lagrange ）插值多项式，另一个是牛顿（Newton ）插值多项式. 且Lagrange 插值公式恒等于Newton 插值公式.分段线性插值与样条插值可以避免高次插值可能出现的大幅度波动现象，在实际应用常采用分段低次插值来提高近似程度，比如可用分段线性插值或分段三次埃尔米特插值来逼近已知函数，但它们的总体光滑性较差.为了克服这一缺点，一种全局化的分段插值方法———三次样条插值成为比较理想的工具.（1）拉格朗日插值Lagrange 插值是n 次多项式插值，其成功地利用构造插值基函数的方法解决了求n 次多项式插值函数问题。
对Lagrange n 次插值多项式，首先构造n+1个插值点0x 1x ,....,n x 上的n 次插值基函数)(x l i ))...()()...(())...()()...(110110n i i i i i i n i i x x x x x x x x x x x x x x x x --------=+-+-（，)...,2,1,0(n i =有了这n+1个n 次插值基函数，n 次Lagrange 插值多项式就容易写出来了，具体表达式为)()()(0x l x f x Ln i n i i ∑==。
表1 插值数值表Lagrange 插值的方法是：对给定的n 个插值节点,0x 1x ,....,n x 及对应的函数值n y y y y ,......,,,210，利用n 次Lagrange 插值多项式，则对插值区间任意的x 的函数值y 可以通过下式Ln （x ）来求解。
表（1）中的n 次Lagrange 插值多项式Ln （x ）的数学公式为：)()()(0x l x f x Ln i n i i ∑==。
其中，)(x l i （i=0,1,2,3...,n ）是插值基函数，且∏=--=n j j i j i x x x x x l 0)(。
Lagrange 插值多项式的余项为R(x)=)()()!1(1)()()1(x f n x L x f n n ωξ++=-,其中))()(()(10n x x x x x x x ---=ω。
（2）牛顿插值Newton 插值也是n 次多项式插值，它提出另一种构造插值多项式的方法，与Lagrange 插值相比，具有承袭性和易于变动节点的特点。
Newton 插值的方法：由表（1）构造的牛顿插值多项式为],...,,[))...((...],,[))((],[)()()(1010210101000n n x x x f x x x x x x x f x x x x x x f x x x f x N ---++--+-+=用它插值时，首先要计算各阶差商，而各阶差商的计算可归结为一阶差商的逐次计算，一般的111022010),...,,(),,...,,(),...,,(-----=k k k k k n x x x x x f x x x x f x x x f其余项为：),...,,()()()(10n x x x f x N x f x Rn =-=。
（3）分段线性插值分段线性插值函数,记为y(x),y(x)具有下列性质:①y(x) 可以分段表示,在每个小区间],[1i i x x -上,它是线性函数`)(x y i ;②)(x y i i i f x f ==)(,(i=0,1,2,3...,n ）.③ 在整个区间[a,b]上,y(x) 连续.作分段线性插值的目的在于克服Lagrange 插值方法可能发生的不收敛性缺点.所谓分段线性插值就是利用每两个相邻插值基点作线性插值，即可得如下分段线性插值函数：11)()()(+++=i i i i f x l f x l x y ，],[1+∈i i x x x ，i=0,1,...n.其中11)(++--=i i i i x x x x x l ，i i ii x x x x x l --=++11)(.特点：插值函数序列具有一致收敛性，克服了高次Lagrange 插值方法的缺点，故可通过增加插值基点的方法提高其插值精度. 但存在基点处不光滑、插值精度低的缺点.从几何上看所谓分段线性插值就是通过插值基点用折线段连接起来逼近原曲线，这也是计算机绘制图形的基本原理.（4）分段三次Hermite 插值对于函数f(x),常常不仅知道它在一些点的函数值，而且还知道它在这些点的导数值。
这时的插值函数P （x ），自然不仅要求在这些点等于f(x)的函数值，而且要求P （x ）的导数在这些点也等于f （x ）的导数值。
这就是埃尔米特插值问题，也称带导数的插值问题。
从几何上看，这种插值要寻找的多项式曲线不仅要通过平面上的一直点组，而且在这些点（或者其中一部分）与原曲线“密切”，即它们有相同的斜率。
设已知函数f(x)在插值区间[a,b]上n+1个互异的节点i x ),...,1,0(n i =处的函数值i i f x f =)(及一阶导数值),...,2,1,0()(n i f x f i i ='='，若存在函数H(x)满足条件：①H(x)是一个次数不超过2n+1次的多项式；②)()(i i x f x H =，)()(i i x f x H '='),...,1,0(n i =.则称H(x)为f （x ）在n+1个节点i x 上的埃尔米特插值多项式。
（5）样条插值函数分段低次插值函数都有一致收敛性， 但光滑性较差； 对于像高速飞机的机翼形线， 船体放样等等型值线往往要求有二阶光滑度， 即有二阶连续导数， 早期工程师制图时， 把富有弹性的细长木条用压铁固定在样点上， 在其他地方让它自由弯曲， 然后画下长条的曲线， 称为样条曲线。
它实际上是由分段三次曲线并接而成， 在连接点即样点上要求二阶连续可导， 从数学上加以概括得到数学样条这一概念。
给定区间[a,b]上n+1个节点b x x x n =<<<=...a 10和这些点上的函数值n i y x f i i ,...,1,0,)(==，若函数s(x)满足：①s(x)在每个子区间],[1i i x x -),...,2,1(i n =上是不高于三次的多项式；②s(x),)(),(x s x s '''在[a,b]上连续；满足插值条件),...,1,0()(n i y x s i i ==，则称s(x)为函数f(x)关于节点10,x x ,...,n x 的三次样条插值函数。
第三部分 五种插值法的对比研究从具体例题出发，讨论五种插值法的优缺点及适用围。
拉格朗日插值法的公式结构整齐紧凑， 在理论分析中十分方便， 然而在计算中， 当插值点增加或减少一个时， 所对应的基本多项式就需要全部重新计算， 于是整个公式都会变化，非常繁琐，而且当插值点比较多的时候，拉格朗日插值多项式的次数可能会很高，因此具有数值不稳定的特点，也就是说尽管在已知的几个点取到给定的数值，但在附近却会和“实际上”的值之间有很大的偏差.牛顿插值公式是 n 次插值多项式的又一种构造形式，但它克服了拉格朗日插值多项式的缺点，它的一个明显优点是，每增加一个插值节点，只要在原牛顿 12插值公式中增添一项便可形成高一次的插值公式。
而且在实际应用中，经常会遇到插值节点是等距分布的情况，这时，牛顿插值公式可以进一步简化，得到等距节点的插值公式，从而能够大大的缩短实际运算的时间。
但是这种代数插值，只要求插值多项式在插值节点处与被插值函数有相同的函数值，但是这种插值多项式往往还不能全面反映被插值函数的性态，许多实际问题不但要求插值函数与被插值函数在各节点的函数值相同，而且还要求插值多项式在某节点或全部节点上与被插值函数的导数值也相等，甚至要求高阶导数值也相等。
而这时拉格朗日插值与牛顿插值就不满足这种要求了。
埃尔米特插值是我们知道了函数在某些点出的函数值，而且插值函数在这些点处的导数也和被插函数一致，所以在几何上，这种插值函数不仅和被插函数在插值节点处有相同的函数值“过点”，而且和被插函数在节点处有相同的切线“相切”。