第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
及三角函数模型的简单应用
基础知识 自主学习
要点梳理
1.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简
图时，要找五个特征点.如下表所示.
x
0
2
3 2
2
x
0
2
3
2
2
y
Asin(x )
0
A
0 -A
0
2.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)
6 坐标缩短到原来的
1
倍（纵坐标不变）
C.向左平移
3 个单位长度，再把所得各点的横
6 坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
D.向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐
6 标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
解析 将y=2sin x的图象向左平移 个单位得到
6
y=2sin (x )的图象，将y=2sin (x )图象上各
表示一个振动时，A叫做 振幅 ，T 2 叫做
周期
，f
1 T
叫做 频率，ωx+φ叫做 相位
，
φ叫做 初相 .
4.三角函数的图象和性质.
5.三角函数模型的应用 (1)根据图象建立解析式或根据解析式作出图象. (2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函 数模型. (3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点 图进行函数拟合，从而得到函数模型.
22
2
图象如图所示，直线 y 1 与该
图象有两个交点.
2
题型分类 深度剖析
题型一 作y=Asin(ωx+φ)的图象
【例1】
已知函数
y
2sin(2x
4-4函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用
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4．三角函数模型的应用 (1)根据图像建立解析式或根据解析式作出图像． (2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型． (3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数 拟合，从而得到函数模型.
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基 础 自 测
π c＝(m，n)|m|< 2 平移后
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得到函数 y＝f(x)的图像，求实数 m、n 的值．
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[解析] f(x)＝a· b＝2cos2x＋ 3sin2x ＝cos2x＋ (1)由
π 3sin2x＋1＝2sin2x＋ 6 ＋1.
π π π － ， ，∴x＝－ . ∵x∈ 3 3 4
(2)y＝2sin2x 图像按(m，n)平移得到 π 图像，∴m＝－ ，n＝1. 12
π y＝2sin2x＋ 6 ＋1
的
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函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像
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再把所得各点的横坐标 伸长
1 时)到原来的ω倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标 伸长 (当 A>1 时)或 缩短 标不变)而得到的． (当 0<A<1 时)到原来的 A 倍(横坐
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3．当函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈(0，＋∞))表示 2π 周期 ，f＝ 1 叫做 频率 一个振动时，A 叫做 振幅，T＝ ω 叫做 T ，ωx＋φ 叫做 相位 ，φ 叫做 初相 ．
第三章 第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
)
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2π 解析：最小正周期为 ＝ 解析：最小正周期为T＝ π ＝6； ； 3 1 π 由2sin φ＝1，得sin φ＝2，φ＝6. ＝ ， ＝ ＝
答案： 答案： A
返回
3．将函数y＝sin x的图象向左平移 ≤φ＜2π)个单位后，得到函 ．将函数 ＝ 的图象向左平移φ(0≤ ＜ 个单位后 个单位后， 的图象向左平移 π － 的图象， 数y＝sin x－6的图象，则φ等于 ＝ 等于 ( ) 11π π B. 6 A.6 7π 5π C. 6 D. 6
返回
2．平移变换中的平移量 ． |φ| 从y＝sin ωx(ω>0)到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的变换中平移量为 ω ＝ 到 ＝ ＋ 的变换中平移量为 (φ>0时，向左；φ<0时，向右 而不是 平移的距离是针对 的 时 向左； 而不是|φ|.平移的距离是针对 时 向右)而不是 平移的距离是针对x的 变化量而言的． 变化量而言的．
解析： ＝ 解析：y＝cos
π 2x＋ ＝cos ＋6
π 2x＋ 的图象，只需将函数 ＋ 6 的图象，
( π B．向右平移12个单位 ． π D．向左平移12个单位 ．
π ＋ 2x＋12.
)
答案： 答案： D
返回
2．(2011·北京西城区期末 函数 f(x)＝sin xcos ． 北京西城区期末)函数 北京西城区期末 ＝
返回
返回
一、y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 ＝ ＋ 的有关概念 y＝Asin(ωx ＝ ＋φ)(A>0， ， ω>0)， ， x∈[0，＋ ∈ ，＋ ，＋∞) 表示一个振 动量时 A
2π T＝ ω ＝
ω 1 f＝ T ＝ 2π ωx＋φ ＝
第三章 第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
得
π 5sin6＋φ＝5， ，
π π π ∴ ＋φ＝2kπ＋ ，∴φ＝2kπ＋ (k∈Z)． ＝ ＋ ＝ ＋ ∈ ． 6 2 3 π 又|φ|<π，∴φ＝ . ， ＝ 3
法三：(起始点法 法三： 起始点法) 起始点法 的图象一般由“ 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象一般由“五点法”作出，而起 ＝ ＋ 的图象一般由 五点法”作出， 始点的横坐标 x 正是由 ωx＋φ＝0 解得的．故只要找出起 ＋ ＝ 解得的． π 始点横坐标 x0，就可以迅速求得角 φ.由图象易得 x0＝－ ， 由图象易得 2 2 π π ＝－ωx ∴φ＝－ 0＝－ ×－2 ＝ . ＝－ 3 3
3 3 ＋ 2 sin4πcosx＋cos4πsinx ＝
2
3 y＝ 2sinx 的图象向左平移 π 个长度单位． 个长度单位． ＝ 4
答案： 答案：B
3．将函数 y＝sinx 的图象向左平移 φ(0≤φ<2π)个单位后，得 ． 个单位后， ＝ ≤ 个单位后 π 的图象， 到函数 y＝sin(x－ )的图象，则 φ 等于 ＝ － 的图象 6 π A. 6 7π C. 6 5π B. 6 11π D. 6 ( )
答案： 答案：B
2．函数 y＝cosx－sinx 的图象可由函数 y＝ 2sinx 的图象 ． ＝ － ＝ ( π A．向左平移 个长度单位 ． 4 π C．向右平移 个长度单位 ． 4
解 析 ： y ＝ cosx － sinx ＝
3 ＋ sinx＋4π，可由
)
3π B．向左平移 个长度单位 ． 4 3π D．向右平移 个长度单位 ． 4
第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
2π 2π 3cos －sin 3 3
3 ＝10. 2
故实验室上午 8 时的温度为 10 ℃. (2)因为 f(t)
＝10－2
3 π 1 π cos t＋ sin t 2 12 2 12
π π ＝10－2sin12t＋3 ，
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m 个单位 y 轴对
长度后，得到
1 1 π y＝sin2x＋2m＋6的图象，此图象关于
1 π π 2π 称．则2m＋6＝kπ＋2(k∈Z)；m＝2kπ＋ 3 (k∈Z)，又 m＞0， 2π ∴m 的最小值为 3 . 2π 答案： 3
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函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 及三角函数模型的简单应用
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函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 及三角函数模型的简单应用
结束
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函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用
基础盘查一 2 3 4π π －4
基础盘查二
π 7π 13π ，0，(2π，2)， ，0，(5π，－2)， ，0 2 2 2
结束
3．解析：将函数
π π y＝tan ωx＋4 (ω＞0)的图象向右平移 6个单位长 π ωπ y＝tanωx＋4－ 6 (ω＞0)的图象，与函数
度后，得到函数
y k
π π ωπ π ＝tan ωx＋6 的图象重合，所以 4－ 6 ＝6＋kπ(k∈Z)，所以
1 ＝0 时，ω 的最小值为2. 1 答案：2
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函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用 精讲附配套练习
第四节函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用[考纲传真] 1.了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．1．y＝A sin (ωx＋φ)的有关概念2.用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示3.由y＝sin x的图象变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象先平移后伸缩先伸缩后平移⇓⇓1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．( )(2)将y ＝3sin 2x 的图象左移π4个单位后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.( )(3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．( )(4)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(2016·四川高考)为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，只需把函数y ＝sin x的图象上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度 B ．向右平行移动π3个单位长度 C ．向上平行移动π3个单位长度 D ．向下平行移动π3个单位长度A [把函数y ＝sin x 的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度就得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象．]3．若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图3-4-1，则ω＝( )图3-4-1A ．5 B.4 C.3D.2B [由图象可知，T 2＝x 0＋π4－x 0＝π4， 所以T ＝π2＝2πω，所以ω＝4.]4．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4 B.π4 C.0D.－π4B [把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ的一个可能取值是π4.] 5．(教材改编)电流I (单位：A)随时间t (单位：s)变化的函数关系式是I ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，t ∈[0，＋∞)，则电流I 变化的初相、周期分别是________．π3，150 [由初相和周期的定义，得电流I 变化的初相是π3，周期T ＝2π100π＝150.]已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，x ∈R .(1)画出函数f (x )在一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？ [解] (1)列表取值：(2)先把y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图象.12分[规律方法] 1.变换法作图象的关键是看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω确定平移单位．2．用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，描点得出图象．如果在限定的区间内作图象，还应注意端点的确定．[变式训练1] (1)(2016·全国卷Ⅰ)将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 B.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4D.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3(2)(2016·全国卷Ⅲ)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．(1)D (2)2π3 [(1)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位长度，所得图象对应的函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D. (2)因为y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，所以把y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象至少向右平移2π3个单位长度可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象．]图3-4-2如图3-4-2所示，则( ) A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(2)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2(1)A (2)D [(1)由图象知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图象的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，故φ＝2k π－π6(k ∈Z )，结合选项可知y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.故选A.(2)由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的最大值为4，最小值为0，可知b ＝2，A ＝2.由函数的最小正周期为π2，可知2πω＝π2，得ω＝4.由直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，可知4×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，从而φ＝k π－5π6，k ∈Z ，故满足题意的是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2.][规律方法] 确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法 (1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2； (2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT ； (3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.[变式训练2] (2017·石家庄一模)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图3-4-3所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24的值为( )图3-4-3A ．－62 B.－32 C.－22D.－1D [由图象可得A ＝2，最小正周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，则ω＝2πT ＝2.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝－2，解得φ＝－5π3＋2k π(k ∈Z )，即k ＝1，φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＋π3＝2sin 5π4＝－1，故选D.](2016·天津高考)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪π2－x ·cos ⎝ ⎭⎪⎫x －π3－ 3. (1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．[解](1)f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z.2分f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.6分(2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k∈Z .由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π， 得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .8分设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4. 所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减.12分[规律方法] 讨论函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数．[变式训练3] 设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.【导学号：01772119】(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值．[解] (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.3分因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2π2ω＝4×π4，因此ω＝1.5分(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.6分当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，则－1≤f (x )≤32.10分故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.12分数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ [解] (1)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，2分又0≤t ＜24，所以π3≤π12t ＋π3＜7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.4分当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.6分 (2)依题意，当f (t )＞11时实验室需要降温． 由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3， 故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＞11，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＜－12.9分又0≤t ＜24，因此7π6＜π12t ＋π3＜11π6，即10＜t ＜18. 故在10时至18时实验室需要降温.12分[规律方法] 1.三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：一是用已知的模型去分析解决实际问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型解决问题，其关键是合理建模．2．建模的方法是认真审题，把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程．[变式训练4] (2015·陕西高考)如图3-4-4，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )图3-4-4A ．5 B.6 C.8D.10C [根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.][思想与方法]1．由图象确定函数解析式由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)时，φ的确定是关键，尽量选择图象的最值点代入；若选零点代入，应根据图象升降找“五点法”作图中第一个零点．2．对称问题函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与x 轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x ，±A )的点与x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻对称中心的距离)．[易错与防范]1．要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象．2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．3．由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x 而言的．4．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在x ∈[m ，n ]上的最值可先求t ＝ωx ＋φ的范围，再结合图象得出y ＝A sin t 的值域．课时分层训练(七) 二次函数与幂函数A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )【导学号：01772040】A.12 B.1 C.32D.2C [由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.]2．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－∞，－2]时，f (x )是减函数，则f (1)的值为( )A ．－3 B.13 C.7D.5B [函数f (x )＝2x 2－mx ＋3图象的对称轴为直线x ＝m4，由函数f (x )的增减区间可知m4＝－2，∴m ＝－8，即f (x )＝2x 2＋8x ＋3，∴f (1)＝2＋8＋3＝13.]3．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( )A ．－1≤m ≤2 B.m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2D.m ＝1B [由幂函数性质可知m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝2或m ＝1.又幂函数图象不过原点，∴m 2－m －2≤0，即－1≤m ≤2，∴m ＝2或m ＝1.]4．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )【导学号：01772041】A B C DD [由a ＋b ＋c ＝0，a ＞b ＞c 知a ＞0，c ＜0，则ca ＜0，排除B ，C.又f (0)＝c ＜0，所以也排除A.]5．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( ) A ．－1 B.1 C.2D.－2B [∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线，∴函数的最大值在区间的端点取得． ∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎨⎧ －a ≥4－3a ，－a ＝1，或⎩⎨⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1.] 二、填空题6．(2017·上海八校联合测试改编)已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a ＞0)．若f (x )在[2,3]上的最大值为4，最小值为1，则a ＝________，b ＝________.1 0 [因为函数f (x )的对称轴为x ＝1，又a ＞0， 所以f (x )在[2,3]上单调递增，所以⎩⎨⎧f (2)＝1，f (3)＝4，即⎩⎨⎧a ·22－2a ·2＋1＋b ＝1，a ·32－2a ·3＋1＋b ＝4，解方程得a ＝1，b ＝0.] 7．已知P ＝2，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253，R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是________.【导学号：01772042】P ＞R ＞Q [P ＝2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫223，根据函数y ＝x 3是R 上的增函数且22＞12＞25，得⎝ ⎛⎭⎪⎫223＞⎝ ⎛⎭⎪⎫123＞⎝ ⎛⎭⎪⎫253，即P ＞R ＞Q .] 8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，则实数a 的取值范围是________．[2,3] [f (x )＝(x －a )2＋5－a 2，根据f (x )在区间(－∞，2]上是减函数知，a ≥2，则f (1)≥f (a ＋1)，从而|f (x 1)－f (x 2)|max ＝f (1)－f (a )＝a 2－2a ＋1， 由a 2－2a ＋1≤4，解得－1≤a ≤3， 又a ≥2，所以2≤a ≤3.] 三、解答题9．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围．[解] 幂函数f (x )经过点(2，2)， ∴2＝2(m 2＋m )－1，即2＝2(m 2＋m )－1，∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2.4分 又∵m ∈N *，∴m ＝1.∴f (x )＝x ，则函数的定义域为[0，＋∞)， 并且在定义域上为增函数．由f (2－a )＞f (a －1)，得⎩⎨⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a ＞a －1，10分解得1≤a ＜32.∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.12分10．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3，(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值． [解] (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]， 对称轴x ＝－32∈[－2,3]，2分 ∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15， ∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15.5分(2)对称轴为x ＝－2a －12. ①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意；8分 ②当－2a －12＞1，即a ＜－12时， f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．综上可知a ＝－13或－1. 12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·江西九江一中期中)函数f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，若a ，b ∈R ，且a＋b ＞0，ab ＜0，则f (a )＋f (b )的值( )【导学号：01772043】A ．恒大于0 B.恒小于0 C ．等于0D.无法判断A [∵f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，指数4×29－25－1＝2 015＞0，满足题意．当m ＝－1时，指数4×(－1)9－(－1)5－1＝－4＜0，不满足题意， ∴f (x )＝x 2 015.∴幂函数f (x )＝x 2 015是定义域R 上的奇函数，且是增函数． 又∵a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，∴a ＞－b ， 又ab ＜0，不妨设b ＜0，则a ＞－b ＞0，∴f (a )＞f (－b )＞0， 又f (－b )＝－f (b )，∴f (a )＞－f (b )，∴f (a )＋f (b )＞0.故选A.]2．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2 [由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，－2，故当m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．]3．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的范围． [解] (1)由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝－1，f (－1)＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2.2分所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，由f (x )＝(x ＋1)2知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1].6分(2)由题意知，x 2＋2x ＋1＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k ＜x 2＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立，8分令g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，由g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34知g (x )在区间[－3，－1]上是减函数，则g (x )min ＝g (－1)＝1，所以k ＜1，即k 的取值范围是(－∞，1).12分第三节 基本不等式[考纲传真] 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号且不为零)； (3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4.( )(3)x >0，y >0是x y ＋yx ≥2的充要条件．( ) (4)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a .( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b ≥2D [∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误；对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，∵ab >0，∴b a ＋ab ≥2b a ·a b ＝2.]3．(2016·安徽合肥二模)若a ，b 都是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为( )A ．7 B.8 C ．9D.10C [∵a ，b 都是正数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4ab ＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号，故选C.]4．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) 【导学号：01772209】A ．1＋ 2 B.1＋ 3 C ．3D.4C [当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，选C.]5．(教材改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m 2.25 [设矩形的一边为x m ，矩形场地的面积为y ， 则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ， 则y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(10－x )22＝25， 当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.](1)(2015·湖南高考)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A.2B.2 C ．2 2D.4(2)(2017·郑州二次质量预测)已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是__________．(1)C (2)3 [(1)由1a ＋2b ＝ab 知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab ，即ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.(2)由x 2＋2xy －3＝0得y ＝3－x 22x ＝32x －12x ，则2x ＋y ＝2x ＋32x －12x ＝3x 2＋32x≥23x 2·32x ＝3，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以2x ＋y 的最小值为3.] [规律方法] 1.利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．2．在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式．[变式训练1] (1)(2016·湖北七市4月联考)已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝1，若不等式2a ＋1b ≥m 恒成立，则m 的最大值等于( )A ．10 B.9 C ．8D.7(2)(2016·湖南雅礼中学一模)已知实数m ，n 满足m ·n >0，m ＋n ＝－1，则1m ＋1n 的最大值为__________．(1)B (2)－4 [(1)∵2a ＋1b ＝2(2a ＋b )a ＋2a ＋b b ＝4＋2b a ＋2a b ＋1＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋2×2b a ×a b ＝9，当且仅当a ＝b ＝13时取等号．又2a ＋1b ≥m ，∴m ≤9，即m的最大值等于9，故选B.(2)∵m ·n >0，m ＋n ＝－1，∴m <0，n <0， ∴1m ＋1n ＝－(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≤－2－2n m ·mn ＝－4，当且仅当m ＝n ＝－12时，1m ＋1n 取得最大值－4.]已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab ≥8； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. [证明] (1)1a ＋1b ＋1ab ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ，∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2＝4，3分∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立).5分(2)法一：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a ，同理1＋1b ＝2＋a b ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9，10分 ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立).12分 法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ， 由(1)知，1a ＋1b ＋1ab ≥8，10分故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ≥9.12分 [规律方法] 1.“1”的代换是解决问题的关键，代换变形后能使用基本不等式是代换的前提，不能盲目变形．2．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到．[变式训练2] 设a ，b 均为正实数，求证：1a 2＋1b 2＋ab ≥2 2.【导学号：01772210】[证明] 由于a ，b 均为正实数，所以1a 2＋1b 2≥21a 2·1b 2＝2ab ，3分 当且仅当1a 2＝1b 2，即a ＝b 时等号成立，又因为2ab ＋ab ≥22ab ·ab ＝22，当且仅当2ab ＝ab 时等号成立，所以1a 2＋1b 2＋ab ≥2ab ＋ab ≥22，8分当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 1a 2＝1b 2，2ab ＝ab ，即a ＝b ＝42时取等号.12分制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．[解] (1)设所用时间为t ＝130x (h)， y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50,100].2分 所以这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x＋2×130360x ，x ∈[]50，100. (或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[]50，100).5分(2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥26 10， 当且仅当130×18x＝2×130360x ， 即x ＝1810，等号成立.8分故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元.12分[规律方法] 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．2．根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．3．在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．[变式训练3]某化工企业2016年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)．(1)用x表示y；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．[解](1)由题意得，y＝100＋0.5x＋(2＋4＋6＋ (2x)x，即y＝x＋100x＋1.5(x∈N*).5分(2)由基本不等式得：y＝x＋100x＋1.5≥2x·100x＋1.5＝21.5，8分当且仅当x＝100x，即x＝10时取等号．故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备.12分[思想与方法]1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．2．基本不等式的两个变形：(1)a2＋b22≥⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22≥ab(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)．(2)a2＋b22≥a＋b2≥ab≥21a＋1b(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号)．[易错与防范]1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．2．“当且仅当a ＝b 时等号成立”的含义是“a ＝b ”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽视它往往会导致解题错误．3．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．课时分层训练(七) 二次函数与幂函数A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( ) 【导学号：01772040】A.12B.1C.32D.2C [由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.]2．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－∞，－2]时，f (x )是减函数，则f (1)的值为( )A ．－3B.13C.7D.5B [函数f (x )＝2x 2－mx ＋3图象的对称轴为直线x ＝m 4，由函数f (x )的增减区间可知m 4＝－2，∴m ＝－8，即f (x )＝2x 2＋8x ＋3，∴f (1)＝2＋8＋3＝13.]3．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( )A ．－1≤m ≤2B.m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2 D.m ＝1B [由幂函数性质可知m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝2或m ＝1.又幂函数图象不过原点，∴m 2－m －2≤0，即－1≤m ≤2，∴m ＝2或m ＝1.]4．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )【导学号：01772041】A B C DD [由a ＋b ＋c ＝0，a ＞b ＞c 知a ＞0，c ＜0，则c a ＜0，排除B ，C.又f (0)＝c ＜0，所以也排除A.]5．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( )A ．－1B.1C.2D.－2B [∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线，∴函数的最大值在区间的端点取得．∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎨⎧ －a ≥4－3a ，－a ＝1，或⎩⎨⎧ －a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1.] 二、填空题6．(2017·上海八校联合测试改编)已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a ＞0)．若f (x )在[2,3]上的最大值为4，最小值为1，则a ＝________，b ＝________.1 0 [因为函数f (x )的对称轴为x ＝1，又a ＞0，所以f (x )在[2,3]上单调递增，所以⎩⎨⎧f (2)＝1，f (3)＝4，即⎩⎨⎧a ·22－2a ·2＋1＋b ＝1，a ·32－2a ·3＋1＋b ＝4，解方程得a ＝1，b ＝0.] 7．已知P ＝2，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253，R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是________. 【导学号：01772042】P ＞R ＞Q [P ＝2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫223，根据函数y ＝x 3是R 上的增函数且22＞12＞25， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫223＞⎝ ⎛⎭⎪⎫123＞⎝ ⎛⎭⎪⎫253，即P ＞R ＞Q .] 8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，则实数a 的取值范围是________．[2,3] [f (x )＝(x －a )2＋5－a 2，根据f (x )在区间(－∞，2]上是减函数知，a ≥2，则f (1)≥f (a ＋1)，从而|f (x 1)－f (x 2)|max ＝f (1)－f (a )＝a 2－2a ＋1，由a 2－2a ＋1≤4，解得－1≤a ≤3，又a ≥2，所以2≤a ≤3.]三、解答题9．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围．[解] 幂函数f (x )经过点(2，2)，∴2＝2(m 2＋m )－1，即2＝2(m 2＋m )－1，∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2.4分又∵m ∈N *，∴m ＝1.∴f (x )＝x ，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数． 由f (2－a )＞f (a －1)，得⎩⎨⎧ 2－a ≥0，a －1≥0，2－a ＞a －1，10分解得1≤a ＜32.∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.12分 10．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3，(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．[解] (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，对称轴x ＝－32∈[－2,3]，2分∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15，∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15.5分 (2)对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意；8分②当－2a －12＞1，即a ＜－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．综上可知a ＝－13或－1. 12分B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(2017·江西九江一中期中)函数f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，若a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，ab ＜0，则f (a )＋f (b )的值( )【导学号：01772043】A ．恒大于0B.恒小于0C ．等于0 D.无法判断A [∵f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，指数4×29－25－1＝2 015＞0，满足题意．当m ＝－1时，指数4×(－1)9－(－1)5－1＝－4＜0，不满足题意，∴f (x )＝x 2 015.∴幂函数f (x )＝x 2 015是定义域R 上的奇函数，且是增函数．又∵a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，∴a ＞－b ，又ab ＜0，不妨设b ＜0，则a ＞－b ＞0，∴f (a )＞f (－b )＞0，又f (－b )＝－f (b )，∴f (a )＞－f (b )，∴f (a )＋f (b )＞0.故选A.]2．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2 [由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，－2， 故当m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．]。
数学配套：第3章第4节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及3角函数模型的简单应用
第四节函数y＝A sin（ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用【考纲下载】1．了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义;能画出y＝A sin（ωx＋φ）的图象，了解参数A,ω,φ对函数图象变化的影响．2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．1．用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝A sin（ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示:x－错误!－错误!＋错误!错误!错误!－错误!错误!ωx＋φ0错误!π3π22πy＝A sin（ωx＋φ）0A0－A02．函数y＝sin x的图象变换得到y＝A sin（ωx＋φ)(A>0,ω〉0）的图象的步骤法一法二步骤1错误!错误!错误!横坐标变为,原来的错误!倍错误!错误!得到y＝A sin(ωx＋φ）的图象步骤4错误!错误!横坐标变为,原来的错误!倍错误!步骤2向左（右）平移,错误!个单位长度错误!步骤3错误!3．函数y＝A sin（ωx＋φ）(A＞0，ω＞0，x∈[0，＋∞))的物理意义(1）振幅为A.(2)周期T＝错误!.(3）频率f＝1T＝错误!。
（4)相位是ωx＋φ.(5）初相是φ。
1．用五点法作y＝A sin(ωx＋φ)的图象，应首先确定哪些数据？提示：先确定ωx＋φ，即先使ωx＋φ等于0，错误!，π，错误!，2π,然后求出x的值．2．在图象变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径，向左或向右平移的单位长度个数为什么不一样？提示:可以看出，前者平移｜φ｜个单位长度，后者平移错误!个单位长度，原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x而言的，因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误．1．y＝2sin错误!的振幅、频率和初相分别为( )A．2,错误!，－错误!B．2，错误!,－错误!C．2，错误!,－错误!D．2，错误!，－错误!解析：选A 由振幅、频率和初相的定义可知，函数y＝2sin错误!的振幅为2，周期为π，频率为错误!,初相为－错误!.2．函数y＝cos x（x∈R)的图象向左平移错误!个单位长度后，得到函数y＝g（x)的图象，则g(x)的解析式应为g（x)＝( ）A．－sin x B．sin x C．－cos x D．cos x解析：选A 将y＝cos x向左平移错误!个单位长度得y＝cos错误!＝－sin x.3．将函数y＝sin错误!的图象向右平移错误!个单位长度后得到的函数图象的对称轴是( ）A．x＝错误!＋错误!,k∈Z B．x＝错误!＋错误!，k∈ZC．x＝错误!－错误!，k∈Z D．x＝kπ－错误!，k∈Z解析：选B y＝sin错误!的图象向右平移错误!个单位长度,得y＝sin 错误!＝sin错误!。
2020高考数学(文)新一轮复习：第四章第四节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用含答案
第四节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用[考纲要求]1．了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响．2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．突破点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象[基本知识]1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：φπφπ－φ3πφ2π－φ3.[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．( ) (2)将y ＝3sin 2x 的图象左移π4个单位后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.( ) 答案：(1)× (2)× 二、填空题1．函数y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋π4的振幅为__________，周期为________，初相为________． 答案：13 4π3 π42．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是________．答案：y ＝1＋cos 2x3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象如图，则点(ω，φ)的坐标是________．答案：⎝⎛⎭⎫4，2π3[全析考法]考法一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换1．“五点法”画图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)． (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)． 2．三角函数图象的变换函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)中，参数A ，ω，φ，k 的变化引起图象的变换： (1)A 的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换； (2)ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；(3)φ的变化引起左右平移变换，k 的变化引起上下平移变换．图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”． [例1] (2019·大庆实验中学期初)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ6(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象( ) A ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向左平移π3个单位长度得到B ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π3个单位长度得到C ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向左平移π6个单位长度得到D ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到[解析] 由已知得，ω＝2ππ＝2，则f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到，故选D.[答案] D[例2] (2019·景德镇测试)已知函数f (x )＝4cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋a 的最大值为2. (1)求a 的值及f (x )的最小正周期； (2)画出f (x )在[0，π]上的图象． [解] (1)f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋a ＝4cos x ·⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＋a ＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1＋a ， ∵f (x )的最大值为2， ∴a ＝－1，最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，列表：[方法技巧] 三角函数图象变换的两个要点考法二 由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式[例3] (1)(2018·怀仁期末联考)若函数f (x )＝sin(ωx －φ)⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2的部分图象如图所示，则ω和φ的值是( )A ．ω＝1，φ＝π3B ．ω＝1，φ＝－π3C ．ω＝12，φ＝π6D ．ω＝12，φ＝－π6⎝⎛⎭⎫A >0，0<φ<π2，y ＝f (x )(2)(2019·武邑中学调研)已知函数f (x )＝A sin (π3x ＋φ )的部分图象如图所示，P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点，作PR ⊥x 轴于点R ，点R 的坐标为(1,0)．若∠PRQ ＝2π3，则f (0)＝( ) A.12 B.32 C.34D.24[解析] (1)由图象可知，函数的周期为4[ 2π3－⎝⎛⎭⎫－π3 ]＝4π，所以ω＝2π4π＝12，将⎝⎛⎭⎫2π3，1代入y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －φ，又|φ|≤π2，得φ＝－π6，故选D.(2)过点Q 作QH ⊥x 轴于点H .设P (1，A )，Q (a ，－A )．由函数图象得2|a －1|＝2ππ3＝6，即|a －1|＝3.因为∠PRQ ＝2π3，所以∠HRQ ＝π6，则tan ∠QRH ＝A 3＝33，解得A ＝ 3.又P (1，3)是图象的最高点，所以π3×1＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z.又因为0<φ<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π6，f (0)＝3sin π6＝32.故选B. [答案] (1)D (2)B [方法技巧]确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法(1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2； (2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT ； (3)求φ：常用的方法有代入法和五点法．①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．[集训冲关]1.[考法一]将函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度后得到函数F (x )的图象，则下列说法中正确的是( )A ．F (x )是奇函数，最小值是－2B ．F (x )是偶函数，最小值是－2C ．F (x )是奇函数，最小值是－ 2D ．F (x )是偶函数，最小值是－ 2解析：选C f (x )＝cos 2x －sin 2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则F (x )＝2cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋π4＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－2sin 2x ，故选C.2.[考法一]已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为6π，将其图象向右平移2π3个单位长度后得到函数g (x )＝sin ωx 的图象，则φ等于( )A.4π9 B.2π9 C.π6D.π3解析：选B 由题意得2πω＝6π，∴ω＝13.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋φ.将其图象向右平移 2π3个单位长度后得到的 函数图象的解析式为g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤13⎝⎛⎭⎫x －2π3＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫13x －2π9＋φ＝sin 13x ，∴φ－2π9＝2k π(k ∈Z)．解得φ＝2k π＋2π9(k ∈Z)，∵|φ|<π2，∴φ＝2π9.故选B. 3.[考法一、二]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( A >0，ω>0，|φ|<π2 )的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为( )A ．y ＝－cos 2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 解析：选C 设函数f (x )的最小正周期为T .由题图知，34T ＝1112π－π6，得T ＝π＝2πω，∴ω＝2；由f (x )的最大值为1，得A ＝1，∴f (x )＝sin ()2x ＋φ，将⎝⎛⎭⎫π6，1的坐标代入可得sin ( π3＋φ )＝1，又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.f (x )的图象向左平移π3个单位长度，可得g (x )＝sin [ 2( x ＋π3 )＋π6]＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6的图象．故选C. 突破点二 三角函数模型的简单应用三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则．(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．[典例感悟]塔斯马尼亚·琼斯试图寻回丢失的Zambeji 钻石．钻石是埋在死亡峡谷内4公里的一个地方，这里被野蛮的昆虫所侵扰．为了寻回钻石，塔斯马尼亚将要闯入这个峡谷，挖取钻石，并从原路返回．在这个峡谷中，昆虫密度是时间的一个连续函数．密度记为C ，是指每平方米的昆虫数量，这个C 的函数表达式为C (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 000⎣⎡⎦⎤cos π(t －8)2＋22－1 000，8≤t ≤16，m ，0≤t <8或16<t ≤24，这里的t 是午夜后的小时数，m 是一个实常数． (1)求m 的值；(2)求出昆虫密度的最小值和出现最小值时的时间t ；(3)如果昆虫密度超过1 250只/平方米，那么昆虫的侵扰将是致命性的，午夜后几点，昆虫的密度首次出现非致命性的侵扰．解：(1)因为C (t )是一个连续的函数，所以当t ＝8时，得到C (8)＝1 000×(1＋2)2－1 000＝8 000＝m ，即m ＝8 000. (2)当cosπ(t －8)2＝－1时，C 达到最小值．即π(t －8)2＝(2k ＋1)π，k ∈Z ，解得t ＝10,14.所以在10：00和14：00时，昆虫密度达到最小值，最小值为0.(3)令1 000⎣⎡⎦⎤cosπ(t －8)2＋22－1 000≤1 250， 则⎣⎡⎦⎤cosπ(t －8)2＋22≤2.25，∴cos π(t －8)2≤－0.5. 即2k π＋23π≤π(t －8)2≤2k π＋43π，k ∈Z ，4k ＋283≤t ≤4k ＋323，k ∈Z. 又8≤t ≤16，∴t min ＝283，即上午9：20，昆虫的密度首次出现非致命性的侵扰． [方法技巧]解决三角函数实际应用题的4个注意点(1)活用辅助角公式准确化简；(2)准确理解题意，实际问题数学化； (3)“ωx ＋φ”整体处理；(4)活用函数图象性质，数形结合．[针对训练]1．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28 ℃，12月份的平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.解析：依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)，当x ＝10时，y ＝23＋5cos ( π6×4 )＝20.5.答案：20.52.如图，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2.(1)求这一天的最大用电量及最小用电量． (2)写出这段曲线的函数解析式． 解：(1)最大用电量为50万kW·h ， 最小用电量为30万kW·h.(2)由图象可知，8～14时的图象是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象， ∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40.∵12×2πω＝14－8，∴ω＝π6. ∴y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋40. 将x ＝8，y ＝30代入上式，解得φ＝π6.∴所求解析式为y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8,14]．[课时跟踪检测][A 级 基础题——基稳才能楼高]1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的振幅、频率和初相分别为( ) A ．2，1π，π4B ．2，12π，π4C ．2，1π，π8D ．2，12π，－π8解析：选A 由振幅、频率和初相的定义可知，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的振幅为2，频率为1π，初相为π4. 2．(2019·七台河联考)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则以下判断中正确的是( ) A ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π8个单位长度得到B ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π4个单位长度得到C ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2sin 2x 的图象向右平移3π8个单位长度得到 D ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移3π4个单位长度得到 解析：选A 因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以函数f (x )的图象可由函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π8个单位长度得到，故选A.3．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值是( ) A ．－3 B.33C ．1D. 3解析：选D 由题意可知该函数的周期为π2，∴πω＝π2，ω＝2，f (x )＝tan 2x . ∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝tan π3＝ 3. 4.(2019·贵阳检测)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则φ的值为( )A ．－π3B.π3 C ．－π6D.π6解析：选B 由题意，得T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2，所以T ＝π，由T ＝2πω，得ω＝2，由图可知A ＝1，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)．又因为f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0，－π2<φ<π2，所以φ＝π3.5.(2019·武汉一中模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的部分图象如图所示，则f (2 019)＝( )A ．1 B.32 C.12D.34解析：选C 由函数图象可知最小正周期T ＝4，所以f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)，观察图象可知f (3)＝12，所以f (2 019)＝12.故选C.6．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ( A >0，ω>0，|φ|<π2)的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元．则7月份的出厂价格为________元．解析：作出函数简图如图：三角函数模型为：y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，由题意知：A ＝2000，B ＝7 000，T ＝2×(9－3)＝12，∴ω＝2πT ＝π6.将(3，9 000)看成函数图象的第二个特殊点，则有π6×3＋φ＝π2，∴φ＝0，故f (x )＝2 000sin π6x ＋7 000(1≤x ≤12，x ∈N *)．∴f (7)＝2000×sin 7π6＋7 000＝6 000.故7月份的出厂价格为6 000元．答案：6 000[B 级 保分题——准做快做达标]1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 令x ＝0，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32，排除B 、D.由f ⎝⎛⎭⎫－π3＝0，f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，排除C ，故选A. 2．(2018·天津高考)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间⎣⎡⎦⎤3π4，5π4上单调递增 B ．在区间⎣⎡⎦⎤3π4，π上单调递减 C ．在区间⎣⎡⎦⎤5π4，3π2上单调递增 D ．在区间⎣⎡⎦⎤3π2，2π上单调递减解析：选A 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度后的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π10＋π5＝sin 2x ，则函数y ＝sin 2x 的一个单调递增区间为⎣⎡⎦⎤3π4，5π4，一个单调递减区间为⎣⎡⎦⎤5π4，7π4.由此可判断选项A 正确． 3．(2019·大同一中质检)将函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(0<ω<10)的图象向右平移π6个单位长度之后与函数f (x )的图象重合，则ω＝( )A ．9B ．6C ．4D ．8解析：选B 函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象向右平移π6个单位长度后所得图象对应的函数解析式为f (x )＝tan ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ6＋π3，∵平移后的图象与函数f (x )的图象重合，∴－ωπ6＋π3＝π3＋k π，k ∈Z ，解得ω＝－6k ，k ∈Z.又0<ω<10，∴ω＝6.故选B.4.(2019·日照一模)函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，为了得到g (x )＝A sin ωx 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向左平移π12个单位长度C ．向右平移π6个单位长度D ．向右平移π12个单位长度解析：选B 由题图知A ＝2，T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2，∴T ＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝2cos(2x ＋φ)，将⎝⎛⎭⎫π3，2代入得cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝1，∵－π<φ<0，∴－π3<2π3＋φ<2π3，∴2π3＋φ＝0，∴φ＝－2π3，∴f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12，故将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位长度可得到g (x )的图象．5．(2019·郑州一中入学测试)定义运算：⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3，将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪3 sin ωx 1 cos ωx (ω>0)的图象向左平移2π3个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是( )A.14B.54C.74D.34解析：选B 依题意得f (x )＝3cos ωx －sin ωx ＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，且函数f ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＝2cos [ ω⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＋π6 ]＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋2ωπ3＋π6是偶函数，于是有2ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ，即ω＝32⎝⎛⎭⎫k －16，k ∈Z.又ω>0，所以ω的最小值是32⎝⎛⎭⎫1－16＝54，选B. 6．(2019·绵阳一诊)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)图象的最高点与相邻最低点的距离是17，若将y ＝f (x )的图象向右平移16个单位长度得到y ＝g (x )的图象，则函数y ＝g (x )图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝56B ．x ＝13C ．x ＝12D ．x ＝0解析：选B 函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的最大值为2，由(17)2－42＝1可得函数f (x )的周期T ＝2×1＝2，所以ω＝π，因此f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π3.将y ＝f (x )的图象向右平移16个单位长度得到的图象对应的函数解析式为g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤π⎝⎛⎭⎫x －16＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6，当x ＝13时，g ⎝⎛⎭⎫13＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π6＝2，为函数的最大值，故直线x ＝13为函数y ＝g (x )图象的一条对称轴．故选B.7.(2019·涞水波峰中学期中)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)( ω>0，φ∈⎣⎡⎦⎤π2，π )的部分图象如图所示，其中f (0)＝1，|MN |＝52，将f (x )的图象向右平移1个单位长度，得到函数g (x )的图象，则g (x )的解析式是( )A ．g (x )＝2cos π3xB ．g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋2π3 C ．g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π3x ＋π3D ．g (x )＝－2cos π3x解析：选A 设函数f (x )的最小正周期为T .由题图及|MN |＝52，得T 4＝32，则T ＝6，ω＝π3.又由f (0)＝1，φ∈⎣⎡⎦⎤π2，π得sin φ＝12，φ＝5π6.所以f (x )＝2sin ( π3x ＋5π6 ).则g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤π3(x －1)＋5π6＝2cos π3x .故选A. 8.(2019·北京东城期中)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，其中A ，B 两点间距离为5，则ω＋φ＝________.解析：∵AB ＝5＝T 24＋16，∴T ＝6＝2πω，∴ω＝π3.∵f (2)＝－2，∴23π＋φ＝2k π＋32π，k ∈Z.又∵0<φ<π，∴φ＝56π，∴φ＋ω＝76π.答案：76π9．(2019·临沂重点中学质量调研)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的一个最高点和与它相邻的一个最低点的距离为22，且图象过点⎝⎛⎭⎫2，－12，则函数f (x )＝____________. 解析：依题意得22＋⎝⎛⎭⎫πω2＝22，ω>0，所以ω＝π2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ.因为该函数图象过点⎝⎛⎭⎫2，－12，所以sin(π＋φ)＝－12，即sin φ＝12.因为－π2≤φ≤π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π6. 答案：sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π610．已知函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1( A >0，ω>0，0<φ<π2 )的最大值为3，f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＋f (2 018)＝________.解析：∵函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1＝A ·1＋cos (2ωx ＋2φ)2＋1＝A 2cos(2ωx ＋2φ)＋1＋A 2( A >0，ω>0，0<φ<π2 )的最大值为3，∴A 2＋1＋A 2＝3，∴A ＝2.根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即2π2ω＝4，∴ω＝π4.再根据f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，可得cos 2φ＋1＋1＝2，∴cos 2φ＝0，又0<φ<π2，∴2φ＝π2，φ＝π4.故函数f (x )的解析式为f (x )＝cos ( π2x ＋π2 )＋2＝－sin π2x ＋2，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＋f (2 018)＝－( sin π2＋sin 2π2＋sin 3π2＋…＋sin 2 017π2＋sin 2 018π2 )＋2×2 018＝－504×0－sin π2－sin π＋4 036＝－1＋4 036＝4 035. 答案：4 03511.(2019·天津新四区示范校期末联考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示． (1)求函数f (x )的解析式；(2)若α为第二象限角且sin α＝35，求f (α)的值．解：(1)由题图可知，函数f (x )的最小正周期T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π，∴ω＝2πT ＝2. 又∵函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫5π12，0，且点⎝⎛⎭⎫5π12，0处于函数图象下降部分， ∴2×5π12＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝π6＋2k π，k ∈Z.∵0<φ<π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. ∵函数图象过点(0,1)，∴A sin π6＝1，∴A ＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)∵α为第二象限角且sin α＝35，∴cos α＝－45，∴sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝725，∴f (α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝2( sin 2αcos π6＋cos 2αsin π6 )＝2⎝⎛⎭⎫－2425×32＋725×12＝7－24325. 12．(2019·西安长安区质检)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 3－π6－2cos 2π6x . (1)试说明y ＝f (x )的图象由函数y ＝3sin π3x 的图象经过怎样的变化得到；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，当x ∈[0,1]时，求函数y ＝g (x )的最值．解：(1)∵函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 3－π6－2cos 2πx 6＝sin π3x cos π6－cos π3x sin π6－cos π3x －1＝32sin π3x －32cos π3x －1＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3x －π3－1，∴把函数y ＝3sin πx3的图象向先右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数y ＝f (x )的图象．(2)∵函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称， ∴g (x )＝f (4－x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤π3(4－x )－π3－1＝3sin π3x －1. 当x ∈[0,1]时，π3x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，故当x ＝0时，函数y ＝g (x )取得最小值－1；当x ＝1时，函数y ＝g (x )取得最大值12. [C 级 难度题——适情自主选做]1．(2019·惠州调研)将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向左平移π12个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到g (x )的图象，若g (x 1)·g (x 2)＝9，且x 1，x 2∈[－2π，2π]，则2x 1－x 2的最大值为( )A.25π6 B.49π12 C.35π6D.17π4解析：选B 由题意可得，g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1，所以g (x )max ＝3，又g (x 1)·g (x 2)＝9，所以g (x 1)＝g (x 2)＝3，由g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1＝3，得2x ＋π3＝π2＋2k π(k ∈Z)，即x ＝π12＋k π(k ∈Z)，因为x 1，x 2∈[－2π，2π]，所以(2x 1－x 2)max ＝2×⎝⎛⎭⎫π12＋π－⎝⎛⎭⎫π12－2π＝49π12，故选B.2．设定义在R 上的函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)( ω>0，－π12<φ<π2 )，给出以下四个论断：①f (x )的最小正周期为π；②f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π6，0上是增函数；③f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称；④f (x )的图象关于直线x ＝π12对称．以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题(写成“p ⇒q ”的形式)__________．(用到的论断都用序号表示)解析：若f (x )的最小正周期为π，则ω＝2，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)．同时若f (x )的图象关于直线x ＝π12对称，则sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝±1，又－π12<φ<π2，∴2×π12＋φ＝π2， ∴φ＝π3，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，②③成立，故①④⇒②③.若f (x )的最小正周期为π，则ω＝2，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，同时若f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称，则2×π3＋φ＝k π，k ∈Z ，又－π12<φ<π2，∴φ＝π3，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，②④成立，故①③⇒②④.答案：①④⇒②③或①③⇒②④3.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点A (33，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设P 的坐标为(x ，y )，其纵坐标满足y ＝f (t )＝R sin(ωt ＋φ)⎝⎛⎭⎫t ≥0，ω>0，|φ|<π2. 则下列叙述正确的是________． ①R ＝6，ω＝π30，φ＝－π6；②当t ∈[35,55]时，点P 到x 轴的距离的最大值为6； ③当t ∈[10,25]时，函数y ＝f (t )单调递减； ④当t ＝20时，|PA |＝6 3.解析：①由点A (33，－3)，可得R ＝6，由旋转一周用时60秒，可得T ＝2πω＝60，则ω＝π30，由点A (33，－3)，可得∠AOx ＝π6，则φ＝－π6，故①正确；②由①知，f (t )＝6sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π6， 当t ∈[35,55]时，π30t －π6∈⎣⎡⎦⎤π，5π3， 即当π30t －π6＝3π2时，点P (0，－6)，点P 到x 轴的距离的最大值为6，故②正确； ③当t ∈[10,25]时，π30t －π6∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，由正弦函数的单调性可知，函数y ＝f (t )在[10,25]上有增有减，故③错误；④f (t )＝6sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π6，当t ＝20时，水车旋转了三分之一周期， 则∠AOP ＝2π3，所以|PA |＝63，故④正确．答案：①②④。
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及角函数模型的简单应用 2019高考数学 考点精讲
因为 y＝sin x 的对称中心为(kπ，0)，k∈Z， π kπ π 令 2x＋6＝kπ，k∈Z，解得 x＝ 2 －12，k∈Z， 即
kπ π y＝g(x)图象的对称中心为 2 －12，0，k∈Z， π 最近的对称中心为－12，0.
其中离原点 O
突 破 点
一
突
点
一
突
破
点
二
课时达标检测
函数 y ＝ A sin(ω x ＋ φ ) 的图象及三角函数模型的简单应用
结
束
考点贯通
抓高考命题的“形”与“神”
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 1.“五点法”画图
(1)y＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0)， π 3π ，1，(π，0)， ，－1，(2π，0)，图象如图①所示． 2 2
(2)y＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)， π 3π ，0，(π，－1)， ，0，(2π，1)，图象如图②所示． 2 2
突 破 点 一 突 破 点 二 课时达标检测
函数 y ＝ A sin(ω x ＋ φ ) 的图象及三角函数模型的简单应用
结
束
突破点(一)
基础联通
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象
抓主干知识的“源”与“流”
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)， 振幅 A 周期 频率 相位 初相 φ
2π 1 ω ωx ＋φ ______ f＝T＝ ω 2π T＝____
突
破
点
一
突
破
点
二
课时达标检测
第四章 第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
23ωπ －ωφ
2π－φ ω
ωx＋φ
_0__
π
2
_π__
3π 2
_2_π_
y＝Asin(ωx＋φ) 0
A
0
－A
0
返回
3.由函数 y＝sin x 的图象变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0， ω>0)的图象的两种方法
返回
[基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后
变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变 方法
换其自变量 x，如果 x 的系数不是 1，则需把 x 的系数
提取后再确定平移的单位长度和方向
可以把判断的两函数变为同名的函数，且 x 的系数变
为一致，通过列方程求解，如 y＝sin 2x 变为 y＝sin( 2x
方程 思想
＋π3 )，可设平移 φ 个单位长度，即由 2(x＋φ)＝2x＋π3 解得 φ＝π6，向左平移π6，若 φ＜0 说明向右平移|φ|个单 位长度
3 ∠HRQ＝π6，则 tan∠QRH＝A3＝ 33，解得 A＝ 3.又 P(1， 3)是 图象的最高点，所以π3×1＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z.又因为 0<φ<π2，所 以 φ＝π6，所以 f(x)＝ 3sinπ3x＋π6，f(0)＝ 3sin π6＝ 23.故选 B.
[答案] B
[方法技巧]
返回
考法二 由图象求函数 y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
[例 3] (1)(2018·怀仁期末联考)若函数 f(x)＝sin(ωx－φ)
|φ|≤π2的部分图象如图所示，则 ω 和 φ 的值是
()
A．ω＝1，φ＝π3 C．ω＝12，φ＝π6
第三章 第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
4
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考点一 考点二 考点三
⑨再把所得图象上的所有点的横坐标变为原来的ω1 (ω>0)倍，纵坐标不变，得到 y
＝sin(ωx＋φ)；
⑫最后把所有点的纵坐标变为原来的 A(A>0)倍，横坐标不变，就得到 y＝Asin(ωx
＋φ)的图象．
6
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考点一 考点二 考点三
[四基自测]
1．(教材改编)电流 i(单位：A)随时间 t(单位：s)变化的函数关系是 i＝5sin100πt＋π3，
t∈[0，＋∞)，则电流 i 变化的初相、周期分别是( )
A．π3，510
B．π6，1100
3．y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义
y ＝ Asin(ωx ＋ φ)(A>0 ， 振幅 周期
频率
相位 初相
ω>0)， x∈[0， ＋ ∞)表 示 A
一个振动量时
2π T＝_ω__
f＝T1＝2ωπ ω__x_＋__φ_
φ
5
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考点一 考点二 考点三
_ωπ_－__ωφ__ 0 0__
3π 2
_23_ωπ_－__ωφ__ －1 _－__A_
2π
2_ωπ_－___ωφ_ 0 _0 _
2
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考点一 考点二 考点三
(2)描点：_－__ωφ__，__0_ ，_2π_ω_－__ωφ__，__A_，_ωπ_－__ωφ__，__0_，_23_ωπ_－__ωφ__，__－__A__，_2ω_π_－__ωφ__，__0_ ． (3)连线：把这 5 个点用光滑曲线顺次连接，就得到 y＝Asin(ωx＋φ)在区间长度为一 个周期内的图象．
高考数学总复习第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
重点保分型考点——师生共研
某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜π2 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ
0
π 2
π
3π 2
2π
x
π
5π
3
6
Asin(ωx＋φ)
0
5
－5
0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ) 振幅 周期
(A＞0，ω＞0)
A
T＝
2π ω
频率 相位 初相 f＝T1＝2ωπ ωx＋φ φ
返回
2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五 个关键点，如下表所示：
返回
考点三 三角函数的图象和性质的综合问题
重点保分型考点——师生共研 [典例引领]
(2018·“绿色联盟”模拟)已知函数f(x)＝sin x·(cos x＋ 3sin x)． (1)求f(x)的最小正周期；
解：f(x)＝12sin
2x－
3 2 cos
2x＋
23＝sin2x－π3＋
23，
故函数f(x)的最小正周期为T＝22π＝π.
x
－ωφ
－ωφ＋2πω
π－φ ω
ωx＋φ
__0_
π 2
__π_
y＝Asin(ωx＋φ) 0
A
0
23ωπ －ωφ
2π－φ ω
3π _2_π__ 2
Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用课件 理
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝ Asin(ωx＋ φ) (A>0，
ω>0)，
振幅 周期 频率 2π
A T＝_ω__ f＝T1＝2ωπ
相位 _ω_x_＋__φ_
初相 φ
2.用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
答案：y＝2sin4x＋π6＋2
2．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) x∈R，ω>0，0<φ<π2 的部 分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________．
解析：由题图知，最小正周期T＝2×1112π－51π2＝π， 所以ω＝2Tπ＝2. 因为点51π2，0在函数图象上， 所以Asin2×51π2＋φ＝0， 即sin56π＋φ＝0. 又0<φ<π2，所以56π<56π＋φ<43π.从而56π＋φ＝π，即φ＝π6.又点(0,1)在 函数图象上，所以Asin π6＝1，得A＝2.故f(x)＝2sin2x＋π6. 答案：f(x)＝2sin2x＋π6
解析：由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的最大值为4，最小值为
0，可知b＝2，A＝2.由函数的最小正周期为
π 2
，可知
2π ω
＝
π2，得ω＝4.由直线x＝π3是其图象的一条对称轴，可知4×π3
＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，从而φ＝kπ－56π，k∈Z.又0<φ<π2，所
以φ＝π6，故函数解析式是y＝2sin4x＋π6＋2.
再将图象上的各点的横坐标缩短为原来的一半，那么 所得图象的函数表达式为________________．
解析：将函数f(x)＝sin
2x－π3
第三章 第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用重点精选课件 文课件
x＋m＋π 3
的图象，此图象关于 y 轴对称，则 x＝0
时，y＝±2，即
2sin
m＋π 3
＝±2，所以
m＋ π 3＝π 2＋kπ，k∈Z ，由于
m>0，所以
mmin
＝π. 6
【答案】 B
高频考点全通关——函数 y =Asin（ωx+φ）图象与性质的综合应用
闯关二：典题针对讲解——图象变换与函数解析式的综合问题
高频考点全通关——函数 y =Asin（ωx+φ）图象与性质的综合应用
闯关二：典题针对讲解——函数图象与性质的综合问题
[例 3]
(2012·重庆 高考改 编)设函 数 f(x)＝Asin(ωx＋φ )
(其中 A>0，ω>0，－ π<φ≤ π)在 x＝π处取 得最大 值 2， 6
其图 象与 x 轴的 相邻两 个交点 的距离 为π，求 f(x)的解 析式． 2
∴－ 3≤f(x)≤2，故 f(x)的值域为[－ 3，2]．
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(1)图象变换与函数的性质的综合问题； (2)图象变换与函数解析式的综合问题； (3)函数图象与性质的综合问题．
高频考点全通关——函数 y =Asin（ωx+φ）图象与性质的综合应用
闯关二：典题针对讲解——图象变换与函数性质的综合问题
[例 1]
(2013·湖北 高考)将函 数 y＝
3cos x＋sin x(x∈ R )的
图象 向左平 移 m(m＞ 0)个单 位长度 后，所 得到的 图象关 于
y 轴对 称，则 m 的最 小值是 (
)
A. π 12
B. π 6
C. π 3
D.5 π 6
【解析】 y＝
第3章 第4节 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用ppt-2015届高考苏教版数学(理)大一轮复
∴T＝23π，ω＝3，∴f(x)＝2sin(3x＋φ)， 设D点的坐标为(xD,2)，则由已知得点M的坐标为(－xD，0)， ∴xD－(－xD)＝14T＝14×23π，则xD＝1π2，
则点M的坐标为－1π2，0，∴sinπ4－φ＝0. ∵0<φ<π2，∴φ＝π4，∴函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin3x＋π4.
2，即 y＝sin(2x＋φ)．因为图像过点π3，0，即 sin23π＋φ＝0，所
以23π＋φ＝kπ(k∈Z)．又 0<φ≤π2，所以 φ＝π3. 答案：π3
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第四节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及三角 结束 函数模型的简单应用
[ 典 例 ] (2013·安 徽 望 江 中 学 模 拟 ) 如 图 是 函 数 f(x) ＝ Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，0<φ<π2的部分图像，M，N 是它与 x 轴的两个交点，D，C 分别为它的最高点和最低点，点 F(0,1) 是线段 MD 的中点， MD·MN ＝1π82.
[解] (1)列表取值：
x 12x－π4
f(x)
π 2
3 2π
5 2π
7 2π
9 2π
0
π 2
π
3 2π
2π
0
3
0
－3
0
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第四节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及三角 结束 函数模型的简单应用
描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的 简图．
(2)先把 y＝sin x 的图像向右平移π4个单位，然后把所有 点的横坐标扩大为原来的 2 倍，再把所有点的纵坐标扩大 为原来的 3 倍，得到 f(x)的图像．
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函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及三角函数模型的 简单应用
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[针对训练]
解：(1)由题意可得
π f(x)＝4sinx－3 ，
π ∴g(x)＝4sinx－3 cos 1 ＝4 2sin
x＋ 3
3 x－ cos xcos x＋ 3 2
φ π － ＋ ω 2ω
π－φ ω
3π φ － 2ω ω
2π－φ ω
0
π 2
π
1 ∴只要将函数 y＝cos 2x 的图像向左平移 个单位即可． 2 答案：C π 2π ，1 2. 6，0 3
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7π 5π ，0 ，－1 6 3
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考点三
[典例] 解：(1)由已知 F(0,1)是线段 MD 的中点，可知 A＝2，
T T π2 2π ∵ MD · MN ＝ · ＝ (T 为 f(x)的最小正周期)，∴T＝ ，ω＝3， 4 2 18 3 ∴f(x)＝2sin(3x＋φ)， 设 D 点的坐标为(xD,2)，则由已知得点 M 的坐标为(－xD，0)， 1 1 2π ∴xD－(－xD)＝ T＝ × ， 4 4 3
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2
＝2(sin xcos x－ 3cos x)＋
π 3＝2sin2x－3 .
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π (2)∵x∈－12，θ0，
π π π ∴2x－ ∈－2 ，2θ0－3 ， 3 要使函数
π sin2x＋3 ，得最小正周期为
π，振幅为 1.
答案：A π 2．解析：把函数 y＝sin(2x＋φ)的图像向左平移 个单位后，得到的 8 图像的解析式是 y＝sin
π 2x＋ ＋φ，该函数是偶函数的充要条件 4
π π π 是 ＋φ＝kπ＋ ， k∈Z， 根据选项检验可知 φ 的一个可能取值为 . 4 2 4 答案：B
结束
π [一题多变] 解： 把 y＝sin x 的图像上所有的点向左平移 个单 3 位，得到
π y＝sinx＋3 的图像，再把 π y＝sinx＋3 的图像上的点
π 1 的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)， 得到 y＝sin2x＋3的 2
图像，最后把
π y＝sin2x＋3 上所有点的纵坐标伸长到原来的 π y＝2sin2x＋3 的图像．
2
倍(横坐标不变)，即可得到
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[针对训练]
π π 1．解析：y＝cos(2x＋φ)的图像向右平移 个单位得到 y＝cos2x－2 ＋φ 2
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π y＝2sin4x＋6 ＋2.
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考点二 [典例] 解：(1)列表取值：
x
1 π x－ 2 4
π 2
3 π 2
π 2
5 π 2
0
π
7 π 2 3 π 29 π 22πf(x)0
3
0
－3
0
描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．
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1 3 3 3 5．解：(1)因为 f(x)＝sin x＋ sin x＋ cos x＝ sin x＋ cos x＝ 3 2 2 2 2
π sinx＋6 ，
π π 2π 所以当 x＋ ＝2kπ－ ， 即 x＝2kπ－ (k∈Z)时， f(x)取最小值－ 3. 6 2 3
π g(x)在－12，θ0上的最大值为
2，
π π 5 当且仅当 2θ0－ ≥ ，解得 θ0≥ π. 3 2 12 5 故 θ0 的最小值为 π. 12
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迁移应用· 练透 3 1 3 1．解析：由 f(x)＝sin xcos x＋ cos 2x＝ sin 2x＋ cos 2x＝ 2 2 2
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(2)由(1)得
π f(x)＝cos2x－3 ，列表：
x
0
π 5 π 6 12 π 2 0
2 π 3 π －1
11 π 12 3 π 2 0
π 5 π 3 1 2
π π 2x－ － 0 3 3 f(x) 图像如图所示． 1 2 1
13π ，0 6
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热点命题· 悟通 考点一 5π π 2π 3 5π 1．解析：因为 － －3 ＝ ω ·，所以 ω＝2，又因为 2× ＋ 12 4 12 π φ＝ ＋2kπ(k∈Z)， 2 π π π 且－ <φ< ，所以 φ＝－ ，故选 A. 2 2 3 答案：A
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2．解析：由函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的最大值为 4，最小 π 值为 0，可知 k＝2，A＝2.由函数的最小正周期为 ，可 2 2π π π 知 ω ＝ ，得 ω＝4.由直线 x＝ 是其图像的一条对称轴， 2 3 π π 5 可知 4× ＋φ＝kπ＋ ，k∈Z，从而 φ＝kπ－ π，k∈Z， 3 2 6 故满足题意的是 答案：D
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π (2)先把 y＝sin x 的图像向右平移 个单位，然后把所有 4 点的横坐标扩大为原来的 2 倍， 再把所有点的纵坐标扩 大为原来的 3 倍，得到 f(x)的图像．
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3．解析：由已知得△ABC 是等腰直角三角形，且∠C＝90° ， 1 ∴ |AB|＝ymax－ymin＝1－(－1)＝2，即|AB|＝4，而 T＝|AB| 2 2π π ＝ ω ＝4，解得 ω＝ ，故选 A. 2 答案：A 4．解析：由函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图像可知： T π 2 π ＝－3 －－3π＝ ， 2 3 2 2π 2 则 T＝ π.∵T＝ ω ＝ π，∴ω＝3. 3 3 答案：3
π π 则 xD＝ ，则点 M 的坐标为－12，0， 12 π π π ∴sin4－φ＝0.∵0<φ< ，∴φ＝ ， 2 4 π ∴函数 f(x)的解析式为 f(x)＝2sin3x＋4 .
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2 此时 x 的取值集合为 x x 2k , k Z. 3
(2)先将 y＝sin x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 3倍(横坐 标不变)，得 y＝ 3sin x 的图像；再将 y＝ 3sin x 的图像上所有的 π 点向左平移 个单位，得 y＝f(x)的图像． 6
的图像，整理得 y＝cos(2x－π＋φ)． ∵其图像与
π y＝sin2x＋3 的图像重合，
π π ∴φ－π＝ － ＋2kπ， 3 2 π π ∴φ＝ ＋π－ ＋2kπ. 3 2 5π 5π 即 φ＝ ＋2kπ.又∵－π≤φ<π，∴φ＝ . 6 6 5π 答案： 6
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2π 2．解：(1)最小正周期 T＝ ω ＝π，∴ω＝2.
π π ∵f4 ＝cos2× 4＋φ π ＝cos2 ＋φ＝－sin
3 φ＝ ， 2
3 π π ∴sin φ＝－ .∵－ <φ<0，∴φ＝－ . 2 2 3
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第四节 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用 备考基础· 查清 φ 2π 1. ωx＋ φ 2.－ ω ω 3π 2π 2 [试一试] 1.A 2.C [练一练]
1 x ＋ 1．解析：∵y＝cos(2x＋1)＝cos 2 2 ，
结束
π π π (2)由 2kπ－ ≤3x＋ ≤2kπ＋ (k∈Z)， 2 4 2 3π π 得 2kπ－ ≤3x≤2kπ＋ (k∈Z)， 4 4 2kπ π 2kπ π 得 － ≤x≤ ＋ (k∈Z)， 3 4 3 12 ∴函数 f(x)的单调递增区间为