2015年秋九年级数学上册 24.4 解直角三角形(第3课时)教案 (新版)华东师大版
华师大版数学九年级上册24.4《直角三角形的性质》教学设计
华师大版数学九年级上册24.4《直角三角形的性质》教学设计一. 教材分析《直角三角形的性质》是华师大版数学九年级上册第24章《三角形的性质》的最后一节内容，也是整个初中数学中关于三角形性质的重要部分。
本节内容主要介绍直角三角形的性质，包括直角三角形的边角关系、勾股定理及其应用。
通过本节的学习，学生能进一步理解直角三角形的特征，掌握直角三角形的相关性质，提高解题能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了锐角三角形和钝角三角形的性质，对三角形的性质有一定的了解。
但是，对于直角三角形的性质，特别是勾股定理的理解和应用，部分学生可能还存在困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习差异，针对性地进行教学。
三. 教学目标1.理解直角三角形的性质，掌握直角三角形的边角关系。
2.掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力，提高解题能力。
4.激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识和探究精神。
四. 教学重难点1.教学重点：直角三角形的性质，勾股定理的推导和应用。
2.教学难点：勾股定理的理解和应用，解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究直角三角形的性质。
2.运用多媒体辅助教学，直观展示直角三角形的性质，提高学生的空间想象能力。
3.采用合作学习的方式，让学生在讨论中解决问题，培养学生的合作意识。
4.通过举例讲解，引导学生学会运用勾股定理解决实际问题。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件和教学素材。
2.准备练习题和拓展题，以便进行课堂练习和课后巩固。
3.准备黑板和粉笔，以便进行板书。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的直角三角形，如教室的黑板、楼梯的台阶等，引导学生关注直角三角形的存在。
提问：这些直角三角形有什么特殊的性质吗？2.呈现（10分钟）通过PPT展示直角三角形的性质，包括直角三角形的边角关系、勾股定理。
在展示过程中，引导学生思考这些性质是如何得出的。
华师大版九年级数学上24.4解直角三角形优秀教学案例
本案例的作业设计紧密结合课堂所学，既注重巩固基础知识，又强调实际应用。通过设计具有挑战性的实际问题，让学生在课后继续探讨，培养他们学以致用的能力。同时，学习心得的撰写也使学生能够反思自身的学习过程，不断提高学习能力。
五、案例亮点
1.情境教学法的巧妙运用
本案例通过将实际生活中的问题引入课堂，使学生能够身临其境地感受数学知识的应用。这种情境教学法有助于激发学生的学习兴趣，提高他们的学习积极性。同时，紧密联系生活实际的案例，使学生能够深刻体会到数学知识的实用性和价值。
2.问题驱动的教学策略
本案例以一系列由浅入深的问题为导向，引导学生主动思考、积极探索。这种问题驱动法有助于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力，使他们在不断解决问题的过程中掌握解直角三角形的技巧。
2.运用问题驱动法，设计不同难度的问题，引导学生逐步深入探讨，培养学生分析问题、解决问题的能力。
3.结合小组合作学习，让学生在实践中相互启发、共同成长，提高合作意识和团队精神。
4.利用现代教育技术手段，如多媒体、网络资源等，辅助教学，提高课堂教学效果。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣和热情，让他们认识到数学知识在解决实际问题中的重要性，增强学习数学的自信心。
华师大版九年级数学上24.4解直角三角形优秀教学案例
一、案例背景
在我国初中数学教育中，解直角三角形是九年级学生必须掌握的重要知识点。华师大版九年级数学上册第24.4节，正是围绕这一主题展开。本案例旨在通过优秀的教学设计，让学生在实际问题中运用解直角三角形的技巧，培养他们的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
（二）问题导向
在教学过程中，我将采用问题导向法，引导学生主动思考、积极探索。设计一系列由浅入深的问题，如：
华东师大版九年级数学上册24.4解直角三角形第3课时教学设计
1.教学活动设计：
在课堂练习环节，我会提供以下几道题目：
（1）已知直角三角形的两边，求解第三边和两个锐角。
（2）实际问题：测量旗杆的高度、建筑物的高度等。
学生在练习过程中，我会巡回指导，解答学生的疑问。
2.教学内容关联：
通过课堂练习，让学生在实际问题中运用解直角三角形的方法，提高解题能力和应用意识。
4.利用计算器进行计算，提高学生的计算速度和准确性，培养学生的信息技术素养。
（三）情感态度与价值。
2.培养学生勇于探索、善于思考的良好学习习惯，增强学生的自信心。
3.培养学生在实际生活中发现数学问题，运用数学知识解决问题的意识。
4.通过解直角三角形的过程，让学生体会到数学在生活中的广泛应用，增强学生的应用意识。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计：
本节课开始时，我将向学生展示一座高楼和一座距离高楼一定距离的观测塔。提出问题：“如何通过测量地面到观测塔的高度和观测塔到高楼顶部的距离，计算出高楼的高度？”这个问题与学生的日常生活紧密相关，能够激发他们的好奇心和学习兴趣。
2.教学内容关联：
通过这个实际问题，引导学生回顾直角三角形的性质和勾股定理。在此基础上，导入本节课的教学内容——解直角三角形。
在教学过程中，注重知识、技能、过程、方法、情感态度与价值观的有机统一，使学生在掌握知识的同时，提高能力，培养良好的学习态度和价值观。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对直角三角形的概念和性质有了初步的了解，掌握了勾股定理及其应用。在此基础上，学生对解直角三角形的学习具备以下特点：
1.学生已经熟悉了三角函数的概念，但对三角函数在实际问题中的应用还需进一步巩固和拓展。
华东师大版九年级数学上册《24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 解直角三角形》公开课教案_20
课题：直角三角形与勾股定理一、课标呈现:了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理;探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.二、题组练习：题组练习一（问题习题化）：1.在一个直角三角形中，有一个锐角等于°40，则另一个锐角的度数是 （ ）A. °40 B ．°50 C ．°60 D ．°70２．如图，ABC Δ中，,12,30,90=°=∠°=∠AB A C 则=BC （ ）A. ６ B ． 26 C ．36 D ．１２３．如图，在ABC Rt Δ中，E 是斜边AB 的中点，若10=AB ，则=CE ___________.４．直角三角形的斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为____________. ５．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是 ( )A. 4, 5, 6 B ． 1.5 , 2 , 2.5 C ．2, 3, 4 D ．1 ,2 , 3 题组练习二（知识网络化）：6.如图，,,90AB CD ACB ⊥°=∠垂足为D ，下列结论错误的是（ ） A. 图中有三个直角三角形B. 21∠=∠C. 1∠和B ∠都是A ∠的余角D. A ∠=∠27.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边长cm BC cm AC 8,6==，将ABC Δ折叠，使，点B 与点A 重合，折痕为DE ，则=CD ___________.8.如图，ABC Δ中，°=∠90ABC 分别以BC ，AB ，AC 为边向外作正方形，面积分别记为，,,,321S S S 若,6,432==S S 则=1S ______________.9.如图，正方形网格中的ABC Δ，若小方格边长为1，则ABC Δ是什么三角形？并加以证明。
10.如图，°=∠90ABC 四边形ABCD 中，,13,12,3,4cm DA cm CD cm BC cm AB ====且，则四边形ABCD 的面积为________________.11.如图，已知圆柱的底面直径π6=BC ，高，3=AB ，小虫在圆柱表面爬行，从C 点爬到A 点，然后再沿另一面爬回C 点，则小虫爬行的最短路程为 （ ）A. 23 B ． 53 C ．56 D ．26三、课堂小结：。
华东师大版九年级数学上册24.4解直角三角形第3课时优秀教学案例
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解解直角三角形的概念和方法，能够运用勾股定理和三角函数解决实际问题。
1.学生能够熟练掌握解直角三角形的方法，并能够运用到实际问题中。
2.学生能够积极参与课堂讨论，表现出良好的逻辑思维能力和创新思维能力。
3.学生能够养成良好的学习习惯，形成积极向上的学习态度。
三、教学策略
（一）情景创设
1.生活情境：以实际生活中的问题为背景，创设一个与学生生活经验相关的情境，引发学生的兴趣和好奇心。例如，可以引入一个测量土地面积的问题，让学生思考如何利用直角三角形的知识来解决这个问题。
5.教学内容的全面性与深度：本节课涵盖了解直角三角形的概念、方法和应用，不仅注重知识的传授，还注重学生能力的培养。通过解决实际问题，学生能够将所学的知识运用到实际生活中，提高了他们的应用能力和解决实际问题的能力。
3.解直角三角形的应用：介绍解直角三角形在实际生活中的应用，如测量、建筑、制作家具等，让学生明白数学与生活的紧密联系。
（三）学生小组讨论
1.组织学生分组讨论：将学生分成小组，让他们合作解决一个实际问题，需要运用解直角三角形的方法。
2.引导学生积极讨论：鼓励学生积极发表自己的观点和思考，与组员进行交流和合作。教师巡回指导，给予学生必要的帮助和提示。
2.学生小结：让学生在课后对自己的学习进行小结，反思自己在本节课中学到了什么，有哪些收获和需要改进的地方。
五、案例亮点
1.生活情境的创设：本节课通过引入一个测量土地面积的实际问题，让学生感受到数学与生活的紧密联系。这样的情境创设不仅激发了学生的兴趣，还使学生能够更好地理解和应用所学的知识。
华师版九年级数学上册教案：第24章 解直角三角形4 解直角三角形(3课时)
24.4解直角三角形第1课时解直角三角形一、基本目标理解直角三角形中五个元素的关系,会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.二、重难点目标【教学重点】直角三角形的解法．【教学难点】三角函数在解直角三角形中的灵活运用．环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P111～P113的内容,完成下面练习．【3 min反馈】1．任何一个三角形都有__六__个元素,三条边、三个角,在直角三角形中,已知有一个角是直角,我们把利用已知的元素求出__未知__元素的过程,叫做解直角三角形．2．在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c.(1)两锐角互余,即∠A＋∠B＝__90°__；(2)三边满足__勾股定理__,即a2＋b2＝c2；(3)边与角关系sin A＝cos B＝ac,cos A＝sin B＝bc,tan A＝ab,tan B＝ba.3．Rt△ABC中,若∠C＝90°,sin A＝45,AB＝10,那么BC＝__8__,tan B＝__34__.环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,且a＝20,∠B ＝35°,解这个三角形．(精确到0.1,参考数据：sin 35°≈0.57,cos 35°≈0.82,tan 35°≈0.70)【互动探索】(引发学生思考)已知直角三角形中的两个元素,要求解直角三角形,一般从直角三角形的性质出发,结合勾股定理与锐角三角函数的定义进行解题．【解答】∵在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠B＝35°,∴∠A＝55°.∵BC＝20,∠B＝35°,∴tan 35°＝AC20≈0.7,解得AC≈14.cos 35°＝BCAB＝20AB≈0.82,解得AB≈24.4.【互动总结】(学生总结,老师点评)在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,解直角三角形有以下基本类型：基本类型选择的关系式已知两边斜边和一直角边(c、a)b＝c2－a2；由sin A＝ac,求∠A；∠B＝90°－∠A 两直角边(a、b)c＝a2＋b2；由tan A＝ab,求∠A；∠B＝90°－∠A已知边和角斜边和一锐角(c、∠A)∠B＝90°－∠A；由sin A＝ac,求a＝c·sin A；由cos A＝bc,求b＝c·cos A一直角边和一锐角(a、∠A)∠B＝90°－∠A；由tan A＝ab,求b＝atan A；由sin A＝ac,求c＝asin A【例2】某数学兴趣小组想测量河流的宽度AB,河流两岸AC、BD互相平行,河流对岸有两棵树A和C,且A、C之间的距离是60米,他们在D处测得∠BDC＝36°,前行140米后测得∠BP A＝45°,请根据这些数据求出河流的宽度．(结果精确到0.1米,参考数据：tan 36°≈0.73,sin 36°≈0.59,cos 36°≈0.81)【互动探索】(引发学生思考)已知一边与一角,求其他边→利用锐角三角函数的定义求解→需作辅助线,构造直角三角形．【解答】作CH⊥BD,则BH＝AC＝60米,设AB为x米,则CH为x米．在Rt△ABP中,tan 45°＝1,∴BP＝x米,∴HD ＝BP ＋PD －BH ＝x ＋140－60＝(x ＋80)(米)． 在Rt △CHD 中,∵tan ∠CDH ＝CH HD ,∴x ＋80＝xtan 36°,∴x ＝(x ＋80)tan 36°,∴x ≈216.3. 即河流的宽度约为216.3米．【互动总结】(学生总结,老师点评)解决此类题目一般是据题目已知特点选用适当锐角三角函数去解直角三角形,得到数学问题的答案,再转化得到实际问题的答案．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图,在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AB ＝15,sin A ＝13,则BC 等于( B )A ．45B ．5 C.15D ．1452．如图,AD ⊥CD ,∠ABD ＝60°,AB ＝4 m,∠ACB ＝45°,则AC ＝__26__m__.3．在△ABC 中,∠C ＝90°,∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知c ＝10,∠B ＝30°,解这个直角三角形．解：∠A ＝90°－∠B ＝90°－30°＝60°.∵cos B ＝a c ,∴a ＝c ·cos B ＝10·cos 30°＝10×32＝5 3.∵sin B ＝b c ,∴b ＝c ·sin B ＝10·sin 30°＝10×12＝5.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图,在锐角△ABC 中,BC ＝a ,AC ＝b .探究a sin A 与bsin B之间的关系．【互动探索】观察几何图形→作垂线,构造直角三角形→表示出sin A 、sin B →转化形式得出结论．【解答】如图,过点C 作CH ⊥AB ,垂足为H .∴∠CHB ＝∠CHA ＝90°. 在Rt △BCH 中,sin A ＝CH AC ＝CH b ,∴CH ＝b ·sin A . 同理可得CH ＝a ·sin B . ∴b ·sin A ＝a ·sin B . 即a sin A ＝bsin B.【互动总结】(学生总结,老师点评)添加辅助线,构造两个直角三角形是解题的关键． 环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)解直角三角形⎩⎪⎨⎪⎧概念理论依据⎩⎪⎨⎪⎧两锐角互余勾股定理锐角三角函数常见类型⎩⎪⎨⎪⎧已知两边已知一边和一角请完成本课时对应练习！第2课时 仰角与俯角一、基本目标1．理解仰角、俯角的含义,能准确运用这些概念来解决一些实际问题． 2．培养学生将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的能力． 二、重难点目标 【教学重点】理解仰角和俯角的概念． 【教学难点】能解与直角三角形有关的实际问题．环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P113～P114的内容,完成下面练习．【3 min反馈】1．在进行测量时,从下向上看,视线与水平线的夹角叫做__仰角__；从上往下看,视线与水平线的夹角叫做__俯角__.2. 如图,下列角中为俯角的是(C)A．∠1 B．∠2C．∠3 D．∠43. 如图所示,在建筑物AB的底部a米远的C处,测得建筑物的顶端A点的仰角为α,则建筑物AB的高可表示为__a tan_α__米．环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图,两建筑物的水平距离为32.6 m,从点A测得点D的俯角α为35°12′,测得点C的俯角β为43°24′,求这两个建筑物的高．(精确到0.1 m)【互动探索】(引发学生思考)确定俯角α与∠ADE、俯角β与∠ACB的关系→解直角三角形．【解答】根据题意,得∠ACB＝β＝43°24′,∠ADE＝α＝35°12′,DE＝BC＝32.6 m.在Rt△ABC中,∵tan∠ACB＝AB BC,∴AB＝BC·tan∠ACB＝32.6×tan 43°24′≈30.83(m)．在Rt△ADE中,∵tan∠ADE＝AEDE,∴AE＝DE·tan∠ADE＝32.6×tan 35°12′≈23.00(m)．∴DC ＝BE ＝AB －AE ＝30.83－23.00≈7.8(m)． 即两个建筑物的高分别约为30.8 m 、7.8 m.【互动总结】(学生总结,老师点评)将题目中的两个俯角分别转化到Rt △ABC 和Rt △ADE 中,转化为解直角三角形问题是解题的关键．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图,在地面上的点A 处测得树顶B 的仰角α＝75°,若AC ＝6米,则树高BC 为( D )A ．6sin 75°米B ．6cos 75°米C.6tan 75°米 D ．6tan 75°米2．某中学初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动,他们要测量一幢建筑物AB 的高度．如图,他们先在点C 处测得建筑物AB 的顶点A 的仰角为30°,然后向建筑物AB 前进10 m 到达点D 处,又测得点A 的仰角为60°,那么建筑物AB 的高度是__53__m.3. 如图,热气球探测器显示,从热气球A 处看一栋楼顶部B 处的仰角为30°,看这栋楼底部C 处的俯角为60°,热气球与楼的水平距离AD 为100米,试求这栋楼的高度BC .解：由题意,得α＝30°,β＝60°,AD ＝100米,∠ADC ＝∠ADB ＝90°.∴在Rt △ADB 中,α＝30°,AD ＝100米,∴tan α＝BD AD ＝BD 100＝33,∴BD ＝10033米．在Rt △ADC 中,β＝60°,AD ＝100米,∴tan β＝CD AD ＝CD 100＝3,∴CD ＝1003米．∴BC ＝BD ＋CD ＝10033＋1003＝40033(米),即这栋楼的高度BC 是40033米．活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】如图,某大楼顶部有一旗杆AB ,甲乙两人分别在相距6米的C 、D 两处测得B 点和A 点的仰角分别是42°和65°,且C 、D 、E 在一条直线上．如果DE ＝15米,求旗杆AB 的长大约是多少米？(结果保留整数,参考数据：sin 42°≈0.67,tan 42°≈0.9,sin 65°≈0.91,tan65°≈ 2.1)【互动探索】分析法：要求AB ,先求出AE 与BE →解Rt △ADE 、Rt △BCE . 【解答】在Rt △ADE 中,∠ADE ＝65°,DE ＝15米, 则tan ∠ADE ＝AEDE ,即tan 65°＝AE15≈2.1,解得 AE ≈31.5米．在Rt △BCE 中,∠BCE ＝42°,CE ＝CD ＋DE ＝21米, 则tan ∠BCE ＝BE CE ,即tan 42°＝BE21≈0.9, 解得 BE ≈18.9米．则AB ＝AE －BE ＝31.5－18.9≈13(米)． 即旗杆AB 的长大约是13米．【互动总结】(学生总结,老师点评)首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形△ADE 、△CBE ,利用AB ＝AE －BE 可求出答案．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)仰角与俯角⎩⎨⎧仰角⎩⎪⎨⎪⎧ 概念应用俯角⎩⎪⎨⎪⎧概念应用请完成本课时对应练习！第3课时 坡度与坡角一、基本目标1．理解坡度与坡角的概念．2．会运用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角等有关的实际问题． 二、重难点目标【教学重点】解决有关坡度的实际问题．【教学难点】理解坡度的概念和有关术语．环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P115～P116的内容,完成下面练习．【3 min反馈】1．坡度通常写成1∶__m__的形式．2．一斜坡的坡角为30°,则它的坡度为__1∶3__.3．利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程：(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题,也就是建立适当的函数模型)；(2)根据条件的特点,适当选用锐角三角函数,运用解直角三角形的有关性质,解直角三角形；(3)得到数学答案；(4)得到实际问题的答案．环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图,铁路路基的横断面是四边形ABCD,AD∥BC,路基顶宽BC＝9.8 m,路基高BE＝5.8 m,斜坡AB的坡度i＝1∶1.6,斜坡CD的坡度i′＝1∶2.5,求铁路路基下底宽AD的值(精确到0.1 m)与斜坡的坡角α和β(精确到1°)的值．【互动探索】(引发学生思考)读懂题意→作垂线,构造直角三角形→解直角三角形,得出结论．【解答】过点C作CD⊥AD于点F,则CF＝BE,EF＝BC,∠A＝α,∠D＝β.∵BE＝5.8 m, i＝1∶1.6, i′＝1∶2.5,∴AE＝1.6×5.8＝9.28(m),DF＝2.5×5.8＝14.5(m)．∴AD＝AE＋FE＋DF＝9.28＋9.8＋14.5≈33.6(m)．由tan α＝i＝1∶1.6,tan β＝i′＝1∶2.5,得α≈32°,β≈22°.即铁路路基下底宽为33.6 m,斜坡的坡角分别为32°和22°.【互动总结】(学生总结,老师点评)利用坡度与坡角解决实际问题的关键是将坡度与坡角放入可解的直角三角形中,没有直角三角形一般要添加辅助线(垂线)构造直角三角形．活动2巩固练习(学生独学)1．为抗洪需修筑一坡度为3∶4的大坝,如果此大坝斜坡的坡角为α,那么α的正切值__0.75__.2．如图,防洪大坝的横断面是梯形,坝高AC为6米,背水坡AB的坡度i＝1∶2,则斜坡AB 的长为__65__米.3．某人沿着有一定坡度的坡面前进了10 m,此时他与出发地的垂直距离为6 m,则这个坡面的坡度为__3∶4__.4. 如图是一座人行天桥,天桥的高12米,坡面的坡比为＝1∶1,为了方便行人推车过天桥,市政府决定降低坡度,使新的斜坡的坡角为30°,问离原坡底8米处的大型广告墙M要不要拆除？解：广告牌M要拆除．活动3拓展延伸(学生对学)【例2】如图,小明于堤边A处垂钓,河堤AB的坡比为1∶3,坡长为3米,钓竿AC的倾斜角是60°,其长为6米,若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角为60°,求浮漂D与河堤下端B之间的距离．【互动探索】实际问题,转化为几何问题→作辅助线,构造直角三角形→延长CA交DB 延长线于点E,过点A作AF⊥EB→解直角三角形得AE长→利用三角形性质得出结论．【解答】如图,延长CA交DB延长线与点E,过点A作AF⊥EB,交EB于点F.则∠CED＝60°.∵AB 的坡比为1∶3, ∴∠ABE ＝30°, ∴∠BAE ＝90°. ∵AB ＝3米,∴AE ＝AB tan ∠ABE ＝3×33＝3米,BE ＝2AE ＝23米． ∵∠C ＝∠CED ＝60°, ∴△CDE 是等边三角形． ∵AC ＝6米,∴DE ＝CE ＝AC ＋AE ＝(6＋3)米,则BD ＝DE －BE ＝6＋3－23＝(6－3)(米), 即浮漂D 与河堤下端B 之间的距离为(6－3)米．【互动总结】(学生总结,老师点评)本题既考查了解直角三角形,也考查了等边三角形的性质,根据题目的已知条件构造出直角三角形及等边三角形是关键．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)坡度与坡角⎩⎪⎨⎪⎧坡度的概念—通常写成比的形式坡角的概念—坡角越大，坡面就越陡坡度与坡角在解直角三角形中的应用请完成本课时对应练习！。
九年级数学上册24解直角三角形复习教案(新版)华东师大版
解直角三角形【知识与技能】1.通过复习，使学生系统地掌握本章知识，熟练应用三角函数进行计算.2.了解仰角、俯角、坡度等相关概念，掌握直角三角形的边与边、角与角、边与角的关系，能应用这些关系解决相关问题.【过程与方法】应用锐角三角函数的有关知识解决实际问题，进一步培养学生应用知识解决问题的能力.【情感态度】通过解直角三角形的复习，体会数学在解决实际问题中的作用，激发学生学习数学的热情.【教学重点】解直角三角形及其应用.【教学难点】解直角三角形及其应用.一、知识结构框图，整体把握二、释疑解惑，加深理解1.直角三角形的边角关系：在Rt△ABC中，∠A+∠B=90°,a2+b2=c2，sinA=cosB=,cosA=sinB=,tanA=,tanB=.2.互余两角三角函数间的关系：如∠A+∠B=90°,sinA=cosB，cosA=sinB,tanA·tanB=1,3.同角三角函数间的关系：sin2A+cos2A=1.4.特殊角的三角函数5.解直角三角形的基本类型及其解法如下表：解直角三角形注意：（1）一些较复杂的解直角三角形的问题可以通过列方程或方程组的方法求解.（2）解直角三角形的方法可概括为“有弦（斜边）用弦（正弦、余弦），无弦有切（正切），宁乘毋除，取原避中”.其意指：当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦；无斜边时，就用正切；当所求元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据来求解时，则取原始数据，忌用中间数据.6.应用题解题步骤度量工具、工程建筑、测量距离等方面应用题的解题步骤可概括为如下几步：第一步，审清题意，要弄清仰角、俯角、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水平等概念的意义.第二步，构造出要求解的直角三角形，对于非直角三角形的图形可作适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）.第三步，选择合适的边角关系式，使运算尽可能简便，不易出错.第四步，按照题目中已知数的精确度进行近似计算，并按照题目要求的精确度确定答案及注明单位.三、典例精析，复习新知例1（内蒙古呼和浩特中考）如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地经过C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶.已知AC=10千米，∠A=30°,∠B=45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果保留根号）例2（湖南娄底中考）2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两处探测到C处有生命迹象.已知A、B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°（如图），试确定生命所在点C的深度.（精确到0.1米，参考数据：≈1.414,≈1.732）解：过点C作CD⊥AB于点D.设CD=xm.在Rt△CBD中，∵∠CBD=45°,∠D=90°,∴BD=CD=xm.在Rt△ACD中，∵tan∠CAD,∵∠CAD=30°,∴.解得x=2+2≈5.5.答：生命所在点C的深度约是5.5m.四、复习训练，巩固提高1.（江苏连云港中考）在Rt△ABC中，∠C=90°,若sinA=513，则cosA的值是（）A.512B.813C.23D.12132.（广东深圳中考）如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是（）第2题图第3题图3.（湖北荆门中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,D是AB的中点，过D点作AB 的垂线交AC于点E，BC=6,sinA=35,则DE=_______.4.如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD,小明在山坡的坡角A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶点C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1∶，AB=10米，AE=15米，求这块宣传牌CD的高度.（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据:≈1.414,≈1.732）【答案】1.D 2.D 3.154 4.2.7米五、师生互动，课堂小结本节课你学到了哪些知识？还有哪些知识没有掌握？1.布置作业：从教材本章“复习题”中选取.2.完成练习册中本课时练习.本节课通过学习归纳本章内容，让学生系统掌握锐角三角函数的有关知识，熟练应用三角函数的有关知识解决实际问题，进一步培养学生应用知识的能力，在解决问题时，注意方程思想、构造直角三角形思想的应用.。
九年级数学上册第24章解直角三角形24.4解直角三角形2用解直角三角形解视角问题教案新版华东师大版
用解直角三角形解视角问题【知识与技能】1.理解仰角、俯角的含义，准确运用这些概念来解决一些实际问题.2.培养学生将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的能力.【过程与方法】通过本章的学习培养同学们的分析、研究问题和解决问题的能力.【情感态度】在探究学习过程中，注重培养学生的合作交流意识，体验从实践中来到实践中去的辩证唯物主义思想，激发学生学习数学的兴趣.【教学重点】理解仰角和俯角的概念.【教学难点】能解与直角三角形有关的实际问题.一、情境导入，初步认识如图，为了测量旗杆的高度BC，小明站在离旗杆10米的A处，用高1.50米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角α=52°，然后他很快就算出旗杆BC的高度了.（精确到0.1米）你知道小明是怎样算出的吗？二、思考探究，获取新知想要解决刚才的问题，我们先来了解仰角、俯角的概念.【教学说明】学生观察、分析、归纳仰角、俯角的概念.现在我们可以来看一看小明是怎样算出来的.【分析】在Rt△CDE中，已知一角和一边，利用解直角三角形的知识即可求出CE的长，从而求出CB的长.解：在Rt△CDE中，∵CE=DE·tanα=AB·tanα=10×tan52°≈12.80，∴BC=BE+CE=DA+CE≈12.80+1.50=14.3（米）.答：旗杆的高度约为14.3米.例如图，两建筑物的水平距离为32.6m，从点A测得点D的俯角α为35°12′,测得点C的俯角β为43°24′，求这两个建筑物的高.（精确到0.1m）解:过点D作DE⊥AB于点E，则∠ACB=β=43°24′,∠ADE=35°12′,DE=BC=32.6m.在Rt△ABC中，∵tan∠ACB=ABBC,∴AB=BC·tan∠ACB=32.6×tan43°24′≈30.83（m）.在Rt△ADE中，∵tan∠ADE=AEDE,∴AE=DE·tan∠ADE=32.6×tan35°12′≈23.00（m）.∴DC=BE=AB-AE=30.83-23.00≈7.8（m）答：两个建筑物的高分别约为30.8m，7.8m.【教学说明】关键是构造直角三角形，分清楚角所在的直角三角形，然后将实际问题转化为几何问题解决.三、运用新知，深化理解1.如图，一只运载从地面L处发射，当卫星达到A点时，从位于地面R处的雷达站测得AR的距离是6km，仰角为43°，1s后到达B点，此时测得BR的距离是 6.13km，仰角为45.54°，这个从A到B的平均速度是多少？（精确到0.01km/s）2.如图所示，当小华站在镜子EF前A处时，他看自己的脚在镜中的像的俯角为45°；如果小华向后退0.5米到B处，这时他看到自己的脚在镜中的像的俯角为30°.求小华的眼睛到地面的距离.（结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.73）【答案】1.0.28km/s 2.1.4米四、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么？你有何体会？2.这节课你还存在什么问题？1.布置作业：从教材相应练习和“习题24.4”中选取.2.完成练习册中本课时练习.本节课从学生接受知识的最近发展区出发，创设了学生最熟悉的旗杆问题情境，引导学生发现问题、分析问题.在探索活动中，学生自主探索知识，逐步把生活实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的学习方法，养成交流与合作的良好习惯.让学生在学习过程中感受到成功的喜悦，产生后继学习的激情，增强学数学的信心.。
华东师大版)九年级数学上册《24.4解直角三角形》教学设计
2.提问：“我们已经学习了勾股定理，那么如何利用勾股定理来解决直角三角形中的未知问题呢？”通过这个问题，引发学生对解直角三角形方法的思考。
3.引导学生回顾Βιβλιοθήκη 股定理的内容，为新课的学习做好知识铺垫。
c.正切函数：在直角三角形中，对于角A，正切函数定义为对边与邻边的比值，即tanA =对边/邻边。
2.通过具体实例，讲解如何运用三角函数解决直角三角形中的未知问题，如求角度和边长。
3.结合计算器，让学生学会计算三角函数的值，并解决实际问题。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成小组，每组讨论以下问题：
a.如何利用三角函数解决实际问题？
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解并掌握三角函数的定义和性质，特别是正弦、余弦、正切函数在实际问题中的应用。
2.能够运用勾股定理和三角函数解决直角三角形中的未知角度和边长问题，以及解决一些实际问题。
3.培养学生运用数形结合、分类讨论等数学思想方法分析和解决问题的能力。
（二）教学设想
1.教学导入：通过生活中的实例，如测量旗杆高度、楼间距等，引出解直角三角形的问题，激发学生的学习兴趣，使其认识到数学与现实生活的紧密联系。
4.教学策略：
a.分层教学：针对学生的不同水平，设计不同难度的练习题，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
b.适时反馈：在教学过程中，及时关注学生的学习情况，给予针对性的指导和鼓励，提高学生的学习信心。
5.教学评价：
a.过程性评价：关注学生在课堂讨论、实践操作等方面的表现，鼓励学生积极参与，培养其探究精神和创新能力。
华东师大版数学九年级上册24.4解直角三角形教学设计
4.设计丰富的例题和练习，让学生在实际操作中巩固所学知识，提高解题能力。
5.注重知识间的联系，引导学生将解直角三角形与勾股定理、相似三角形等知识进行整合，形成完整的知识体系。
（三）情பைடு நூலகம்态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣和热情，激发学生主动学习的欲望。
3.重点：培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
难点：激发学生的创新思维，提高学生的应用意识和解决实际问题的能力。
（二）教学设想
1.教学方法：
（1）采用情境教学法，创设与学生生活密切相关的问题情境，引导学生主动探究解直角三角形的原理和方法。
（2）运用问题驱动法，引导学生提出问题，通过合作、讨论、探究等方式解决问题，培养学生的逻辑思维能力和团队合作精神。
2.教学内容：针对学生的个体差异，进行个性化辅导。
教学过程：关注学生的解题过程，针对不同学生的需求，给予个性化的辅导和指导。鼓励学生提问，解答学生的疑惑，提高学生的解题能力。
（五）总结归纳
1.教学内容：对本节课的重点知识进行梳理和总结。
教学过程：教师带领学生回顾本节课所学的知识点，如解直角三角形的原理、三角函数的应用、计算器使用等。通过提问、解答等方式，强化学生对知识点的记忆。
（3）优秀学生：完成课本习题24.4第5题，并撰写解题报告，探讨解直角三角形在实际问题中的应用。
5.预习作业：布置下一节课的相关预习内容，让学生提前了解下节课的知识点，为课堂学习做好准备。
作业要求：
1.学生在完成作业时，要认真审题，规范书写，确保解题过程的准确性。
2.鼓励学生在解题过程中相互讨论、交流，提高解题效率。
2015年秋季新版华东师大版九年级数学上学期24.4、解直角三角形教案4
24.4.1解直角三角形教学目标:1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．2、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．3、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯思想方法：1、数形结合思想：用锐角三角函数解直角三角形，主要是从“数”上去研究的.在具体解题时，要画出它的平面或截面示意图，按照图中边角之间的关系去进行数的运算.2、方程的思想：在解直角三角形时，常常通过设未知数列方程求解，使问题变得清楚明了.3、转化的思想：在求三角函数值和解直角三角形时，常利用三角函数的意义，可以实现边和角的互化，利用互余角的三角函数关系可以实现“正弦”与“余弦”的互化.教学重点：1、锐角三角函数2、特殊角的三角函数值3、直角三角形的解法．教学难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．一、复习回顾直角三角形二、经典例题例1：在相距500m的东，西两座炮台B,A同时发现入侵敌舰C，B炮台测得该敌舰在B炮台正南方向1200处，则敌舰距A炮台多远？在例1中，我们还可以利用直角三角形的边角关系求出另外两个锐角，像这样，在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。
例2，如图，在相距500m的东，西两座炮台B,A处同时发现入侵敌舰C，在炮台A处测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，在炮台B处测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离。
（精确到1m）概括1、在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三形；2、在解决实际问题时,应“先画图,再求解”；3、在直角三角形中，如果已知两条边的长度，那么就可利用勾股定理求出另外的一条边。
如果已知一边一角也可以求出另外两边。
4、在直角三角形中，如果已知两条边的长度，能否求出另外两个锐角？三、练一练练习1：如图，在相距500m的东，西两座炮台A,B处同时发现入侵敌舰C，在炮台B处测得敌舰C在其正南1200m处，求敌舰C在炮台A的东偏南几度的方向上？(精确到1′)注意:在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，除特别说明外，本教科书中的角度都精确到1′解直角三角形的两种情况：(1)已知两条边；(求另外一条边或另外两个锐角)(2)已知一条边和一个锐角。
九年级数学上册 24.4 解直角三角形(第3课时)教案 (新版)华东师大版
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，有
i＝ =tana
显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.
学做思二：
例 如图6，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基 的坡面与地面的倾角分别是32°和28°．求路基下底的宽．（精确到0.1米）
——————————新学期新成绩新目标新方向——————————
解直角三角形
课题名称
解直角三角形（3）
三维目标
1.巩固勾股定理，熟练运用勾股 定理。
2.学会运用三角函数解直角三角形。
3.掌握解直角三角形的几种情况。
4.学习坡度
重点目标
使学生养成“先画图，再求解”的习惯
难点目标
灵活的运用有关知识在实际问题情境下解直角三角形
导入示标
1.巩固勾股定理，熟练运用勾股定理。
2.学会运用三角函 数解直角三角形。
3.掌握解目标三导
学做思一：
情境导入：读一读
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.
如图5，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）.记作i,即i= .
达标检测
一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝 顶宽6 .2米，坝高23.5米，斜坡AB的坡度i1＝1∶3，斜坡CD 的坡度i2=1∶2.5.求：
（1）斜坡AB与坝底AD的长度；（精确到0.1米）
（2）斜坡CD的 坡角α.（精确到1°）
反思总结
1.知识建构
2.能力提高
3.课堂 体验
课后练习
秋九年级数学上册24解直角三角形复习教案新版华东师大版
解直角三角形【知识与技能】1.通过复习，使学生系统地掌握本章知识，熟练应用三角函数进行计算.2.了解仰角、俯角、坡度等相关概念，掌握直角三角形的边与边、角与角、边与角的关系，能应用这些关系解决相关问题.【过程与方法】应用锐角三角函数的有关知识解决实际问题，进一步培养学生应用知识解决问题的能力. 【情感态度】通过解直角三角形的复习，体会数学在解决实际问题中的作用，激发学生学习数学的热情. 【教学重点】解直角三角形及其应用.【教学难点】解直角三角形及其应用.一、知识结构框图，整体把握二、释疑解惑，加深理解1.直角三角形的边角关系：在Rt△ABC中，，°∠A+∠B=90a, sinA=cosB=cb, cosA=sinB=cab,tanB=tanA=. ab2. 222 ,a+b=c互余两角三角函数间的关系：如∠A+∠B=90°,sinA=cosB，cosA=sinB,tanA·tanB=1,3.同角三角函数间的关系：特殊角的三角函数22A=1. sinA+cos 4.5.解直角三角形的基本类型及其解法如下表：解直角三角形注意：（1）一些较复杂的解直角三角形的问题可以通过列方程或方程组的方法求解.（2）解直角三角形的方法可概括为“有弦（斜边）用弦（正弦、余弦），无弦有切（正切），宁乘毋除，取原避中”.其意指：当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦；无斜边时，就用正切；当所求元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据来求解时，则取原始数据，忌用中间数据.6.应用题解题步骤度量工具、工程建筑、测量距离等方面应用题的解题步骤可概括为如下几步：第一步，审清题意，要弄清仰角、俯角、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水平等概念的意义. 第二步，构造出要求解的直角三角形，对于非直角三角形的图形可作适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）.第三步，选择合适的边角关系式，使运算尽可能简便，不易出错.2第四步，按照题目中已知数的精确度进行近似计算，并按照题目要求的精确度确定答案及注明单位.三、典例精析，复习新知两地之间有一座B（内蒙古呼和浩特中考）如图，A、例1行驶，现BC→地经过C地沿折线A→山，汽车原来从A地到B千米，∠AC=10.已知开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶地比原来少走多少千米？（结果保留根BA地到,∠B=45°，则隧道开通后，汽车从A=30°号）月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该32（湖南娄底中考）2013年例两B地救援队立即赶赴现场救援，救援队利用生命探测仪在地面A、米，探测线与地面4、B两点相距处探测到C处有生命迹象.已知A米，参考数.（精确到0.14530°和°（如图），试确定生命所在点C的深度的夹角分别是231.732≈）1.414,≈据：D. AB于点解：过点C作CD⊥中，△CD=xm.在RtCBD设, °°,∠D=90∵∠CBD=45BD=CD=xm.∴xCD??, CAD∠ACD中，∵tan△在Rt4x?AD x3?. ,∵∠CAD=30°∴4x?335.5.x=2+2≈解得5.5m. 的深度约是C答：生命所在点四、复习训练，巩固提高 31.（江苏连云港中考）在Rt△ABC中，∠C=90°,若sinA=513，则cosA的值是（）A.5/12B.8/13C.2/3D.12/132.（广东深圳中考）如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是（）3题图题图第第23.（湖北荆门中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,D 是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6,sinA=3/5,则DE=_______.4.如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智的仰DA处测得宣传牌底部求真”的宣传牌CD,小明在山坡的坡角°，的仰角为45C°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶点角为603米，求这块宣传米，AE=15，AB=10已知山坡AB的坡度i=1∶米，参考0.1的高度.（测角器的高度忽略不计，结果精确到牌CD231.732≈≈1.414, ）数据:1.D2.D3.15/44.2.7米【答案】五、师生互动，课堂小结本节课你学到了哪些知识？还有哪些知识没有掌握？. 布置作业：从教材本章“复习题”中选取1..2.完成练习册中本课时练习熟练应用三让学生系统掌握锐角三角函数的有关知识，本节课通过学习归纳本章内容，注意方进一步培养学生应用知识的能力，在解决问题时，角函数的有关知识解决实际问题，.程思想、构造直角三角形思想的应用 420XX—019学年度第一学期生物教研组工作计划指导思想以新一轮课程改革为抓手，更新教育理念，积极推进教学改革。
【新华东师大版】九年级数学上册：24.4《解直角三角形3》教案+导学案
24.4 解直角三角形（3）教学目标：弄清铅垂高度、水平长度、坡高（或坡比）、坡角等概念； 教学重点：理解坡度和坡角的概念教学难点：利用坡度和坡角等条件，解决有关的实际问题 教学过程：一、复习提问： 什么叫仰角、俯角？ 二、坡度、坡角的概念 几个概念：1、铅垂高度h 2、水平长度l3、坡度（坡比）i :坡面的铅垂高度h 和水平长度l 的比αtan 11====m hl l h i 4、坡角α：坡面与水平面的夹角α. αtan ==lhi 显然，坡度i 越大，坡角α就越大，坡面就越陡。
练习：1、沿山坡前进10米，相应升高5米，则山坡坡度31，坡角 30°，2、若一斜坡的坡面的余弦为10103，则坡度31=i ， 3、堤坝横断面是等腰梯形，（如图所示）①若AB=10，CD=4，高h=4，则坡度i =34，AD= 5②若AB=10，CD=4 ，51=i ，则=h 2 ， 例1、书P 115 例4例2、如图，水库堤坝的横断面成梯形ABCD ，DC ∥AB ，迎水坡AD 长为32米，上底DC 长为2米，背水坡BC 长也为2米，又测得∠DAB=30°，∠CBA=60°，求下底AB 的长.解：过D 、C 分别作DE ⊥AB 于E ，CF ⊥AB 于F ， 在直角△ADE 中，∠A=30°，AD=32∴DE=AD s in30°=3，AE=AD cos30°=3. 30° 60° 在直角△CBF 中，BF=BC cos60°=1 ∴AB=AE+EF+BF=3+2+1=6ABC D EFA B CD E F答：下底的长为6米。
思考：延长两腰或平移一腰能求出下底的长吗？说明：以上解法体现了“转化”思想，把梯形的有关问题转化为解直角三角形可多角度的分析，添加辅助线，灵活、恰当地构造直角三角形，使解法合理化。
例3.铁道路基的横断面是等腰梯形，其尺寸如图所示，其中i =1:1.5是坡度每修1m 长的这种路基，需要土石多少立方?解:过A 、D 分别作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F.则AE=DF=1.2m. ∵i =1:1.5.ABCD 为等腰梯形. ∴BE=CF=1.8m∴BC=1.8+10+1.8=13.6m∴SABCD=16.142.1)6.1310(21=⨯+㎡∴V=1×14.16=14.163m 答:需要土面14.16立方米。
(秋)九年级数学上册 24.4 解直角三角形教案 (新版)华东师大版
课题
24.4解直角三角形(1)
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目标
知识与能力
理解解直角三角形的概念，并能熟练地根据题目中的已知条件解直角三角形养学生分析问题解决问题的能力
情感态度与价值观
在教学中逐步培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数形结合的数学思想和方法
解：（略）
五、归纳小结、巩固练习
1、解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程
2、解直角三角形的类型：1、已知两条边2、已知一条边和一个角
3、在解题前：（1）图形（2）根据已知分清类型
4、练习：书113EX1、2
板书
24.4解直角三角形(1)
引入解直角三角形例1：
探究例2：
解直角三角形的类型
两锐角互余：（角与角的关系）
锐角三角函数：sinA= cosA= tanA=
sinB= cosB= tanB= (边角关系)
在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形
二、提出问题、探索新知
在解直角三角形中，只有下面2种情况：
1、已知两条边
2、已知一条边和一个角
（交流讨论如何解直角三角形）（分类讨论思想）
作业设计
:1、书117习题1题
2、练习册69-70页
教后
反思
试一试：
在RT△ABC中，∠C=90°，由下列条件解RT△ABC：
（1）
（2）∠A=30°，a=106
三、合作交流、尝试练习
例1：如图(书112图24.4.1)一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，则大树在折断之前高多少？
分析：图形已知2边，求第三边（勾股定理）
九年级数学24.4 解直角三角形教学设计 第3课时
24.4 解直角三角形第3课时教学目标1．理解并掌握坡度、坡比的定义；2．学会用坡度、坡比解决实际问题．教学重难点教学重点：坡度、坡比的定义.教学难点：用坡度、坡比解决实际问题.教学过程一、复习稳固：1、什么叫解直角三角形在直角三角形中,除直角外,由两元素〔必有一边〕求其余未知元素的过程叫解直角三角形.2、解直角三角形的依据（1）三边关系：222c b a =+〔勾股定理〕（2）两锐角之间的关系:∠ A ＋ ∠ B ＝ 90º（3）边角之间的关 c a A =sin ，c b A =cos ，b a A =tan ，ab A =cot二、情境导入在现实生活中，测量某些量可以采取不同的方法，某斜面的截面如下图，两位同学分别选取不同的点进行测量．从F 处进行测量和从A 处进行测量的数据如下图．你能否通过所学知识求得该坡面的铅直高度？三、探索新知1、坡角坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α2、坡度〔或坡比〕如下图，坡面的铅垂高度〔h 〕和水平长度〔l 〕的比叫做坡面的坡度〔或坡比〕,记作i, 即lh i = ，坡度通常写成1∶m 的形式，如i=1∶3.3、坡度与坡角的关系αtan ==l h i ，即坡度等于坡角的正切值4、概念稳固 ①斜坡的坡度是3:1，则坡角α=______度。
②斜坡的坡角是450 ，则坡比是 _______。
③斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______。
5、例题讲解例1：水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m ，坝高23m ，斜坡AB 的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：〔1〕坝底AD 与斜坡AB 的长度。
〔精确到0.1m 〕〔2〕斜坡CD 的坡角α。
〔精确到1°〕分析：〔1〕由坡度i 会想到产生铅垂高度，即分别过点B 、C 作AD 的垂线。
（2）垂线BE 、CF 将梯形分割成Rt △ABE ，Rt △CFD 和矩形BEFC ，则AD=AE+EF+FD ， EF=BC=6m ，AE 、DF 可结合坡度,通过解Rt △ABE 和Rt △CDF 求出。
华师大数学九上24.4《解直角三角形》教学设计
24．4 解直角三角形【教学目标】一、知识目标1、巩固直角三角形中的三角函数定义。
2、选取多样性的问题，引导学生合理地选择关系式（可以用不同的三角函数关系解决问题）。
二、能力目标1.应尽量把解直角三角形与实际问题联系起来，减少单纯解直角三角形的习题，在解决实际问题时，应使学生养成“先画图，再求解”的习惯。
2.将解直角三角形的应用分为几种问题类型，注意问题选取的多样性，有时解决一个问题，往往可以用不同的三角函数关系式，这时应引导学生合理地选择关系式，培养学生合情推理、数学说理及转化思想。
三、情感态度目标经历观察、操作、归纳与猜想，体会科学发现这一重要方法。
【重点难点】重点：使学生养成“先画图，再求解”的习惯难点：灵活地运用有关知识在实际问题情境下解直角三角形。
疑点：一题多解时多种方法中的灵活选择与运用。
【教学设想】课型：新授课教学思路：观察操作-概括归纳-应用提高。
【课时安排】2课时。
【教学设计】第一课时【本课目标】1.巩固勾股定理，熟练运用勾股定理。
2.学会运用三角函数解直角三角形。
3.掌握解直角三角形的几种情况。
【教学过程】1.情境导入大屏幕展示课本第112页例1。
2、课前热身分组练习，互问互答巩固上节课的内容。
3、合作探究（1）整体感知从复习直角三角形的相关性质和锐角三角函数入手，让学生对解直角三角形的必备知识做一个必要的回顾；从例1的一棵大树的高度引出利用勾股定理解直角三角形；从战争的需要引出利用锐角三角函数解直角三角形；最后归纳总结解直角三角形的两种情况：已知两条边；已知一条边和一个锐角。
（2）四边互动互动1：师：展示如图19-4-1的所示的图形，根据图填空：sinA= ，cosA= ，tanA= ，cotA= 。
∠A= － , =2c ＋生：独立思考，交流。
明确：sin A=斜边的对边A ∠叫∠A 的正弦, cos A=斜边的邻边A ∠叫∠A 的余弦,tan A=的邻边的对边A A ∠∠叫∠A 的正切, cot A= 的对边的邻边A A ∠∠叫∠A 的余切一般地，在直角三角形ABC 中，当∠C=090时，sinA=c a ，c b A =cos ，tanA=ba ，cotA=a b。
华东师大版九年级数学上册《24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 解直角三角形》公开课教案_15
《解直角三角形的应用》复习教学目标：1、进一步理解有关解直角三角形的概念。
2、能运用解直角三角形的相关知识解决生活中的实际问题。
3、学会利用解直角三角形的知识来解决实际应用问题的方法，提高学生分析解决实际问题的能力。
教学重点：进一步理解有关解直角三角形的概念，并能运用解直角三角形的相关知识解决生活中的实际问题。
教学难点：掌握利用解直角三角形的知识来解决实际应用问题的方法。
教学过程：一、复习提示：（一）利用解直角三角形的知识来解决实际应用问题，是中考的一大类型题，主要涉及测量、航空、航海、工程等领域，解答好此类问题要先理解以下几个概念：1 仰角、俯角；2 方向角；3 坡角、坡度；4 水平距离、垂直距离等。
再依据题意画出示意图，根据条件求解。
（二）解实际问题常用的两种思维方法：（1）切割法：把图形分成一个或几个直角三角形与其他特殊图形的组合；（2）粘补法：此方法大都通过延长线段来实现。
（三）考点一 解直角三角形的相关概念1．仰角、俯角：如图①，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角．2．坡度(坡比)、坡角：如图②，坡面的高度h 和水平距离l 的比叫坡度(或坡比)，即i ＝tan α＝h l，坡面与水平面的夹角α叫坡角．3．方向角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．如图③，表示北偏东60°方向的一个角．注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西右东．（四）考点二 解直角三角形的相关概念日常生活中的很多问题可以转化为直角三角形的问题，因此，直角三角形的边角关系在解决实际问题中有较大的作用，在应用时要注意以下几个环节：(1)审题，认真分析题意，将已知量和未知量弄清楚，找清已知条件中各量之间的关系，根据题目中的已知条件，画出它的平面图或截面示意图．(2)明确题目中的一些名词、术语的含义，如仰角、俯角、跨度、坡角、坡度、方位角等．(3)是直角三角形的，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形，把实际问题转化为直角三角形进行解决．(4)确定合适的边角关系，细心推理计算．(5)在解题过程中，既要注意解有关的直角三角形，也应注意到有关线段的增减情况．二、针对训练（一）中考典例分析1、(2013山西中考第10题）如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上），为了测量B、C两地之间的距离，某工程队乘坐热气球从C地出发垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的仰角为30º，则BC两地间的距离为（）m。
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解直角三角形
【知识与技能】
1.使学生掌握测量中坡角、坡度的概念；
2.掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解与坡度有关的实际问题.
【过程与方法】
经历利用解直角三角形的知识解与坡度有关的实际问题的过程，进一步培养分析问题、解决问题的能力.
【情感态度】
渗透数形结合的思想方法，进一步培养学生应用数学的意识.
【教学重点】
解决有关坡度的实际问题.
【教学难点】
解决有关坡度的实际问题.
一、情境导入，初步认识
读一读
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.
如图，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比），记作i，
即i=h
l
.坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，
有i=h
l
=tanα.
显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.
二、思考探究，获取新知
例1如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底宽为12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°，求路基下底的宽.（精确到0.1米）
例2 学校校园内有一小山坡AB,经测量，坡角∠ABC =30°,斜坡
AB 长为12米，为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD 的坡
比是1∶3（即CD 与BC 的长度之比）.A 、D 两点处于同一铅垂线上，
求开挖后小山坡下降的高度AD.
解：在Rt △ABC 中，∠ABC=30°,
则易求AC=6米，BC=63米.
在Rt △BDC 中，i=13
DC BC =.
易得DC=13
BC =.
∴AD=AC-DC=（.
三、运用新知，深化理解
1.已知一坡面的坡度i=1则坡角α为（ ）
A.15°
B.20°
C.30°
D.45°
2.彬彬沿坡度为150米，则他离地面的高度为（ ）
B.50米
C.25米
3.某水库大坝某段的横断面是等腰梯形，坝顶宽6米，坝底宽126米，斜坡的坡比是1∶
______米.
4.如图，一束光线照在坡度为1
射成与地面平行的光线，则这束光线与坡面的夹角α是______.
5.如图，已知在山脚的C 处测得山顶A 的仰角为45°，沿着坡角为30°的斜坡前进400m 到点D 处，测得点A 的仰角为60°，求AB 的高度.
四、师生互动，课堂小结
1.本节学习的数学知识：利用解直角三角形的知识解决实际问题.
2.本节学习的数学方法：数形结合的思想和数学建模的思想.
1.布置作业：从教材相应练习和“习题24.4”中选取.
2.完成练习册中本课时练习.
养学生应用数学的意识.。