人教版九年级数学上册教案：24.1 圆(3)

1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？
2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？
3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？
（学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言．
老师点评：
1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个．
2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的．
3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．
a
b
c
即 sinA= ，sinB= ，sinC= ，因此，十分明显要在直角三角形中进行．
2R
2R
2R
证明：连接 CO 并延长交⊙O 于 D，连接 DB
∵CD 是直径
∴∠DBC=90°
又∵∠A=∠D
BC
a
在 Rt△DBC 中，sinD= ，即 2R=
DC
sin A
b
c
同理可证：
=2R，
=2R
sin B sin C
2
2
2
现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB′C，同样可证得它等于同弧上圆心角一半，
因此，同弧上的圆周角是相等的．
从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理：
2
在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 进一步，我们还可以得到下面的推导： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目． 例 1．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长 BD 到 C，使 AC=AB，BD 与 CD 的大 小有什么关系？为什么？
分析：BD=CD，因为 AB=AC，所以这个△ABC 是等腰，要证明 D
是 BC 的中点，只要连结 AD 证明 AD 是高或是∠BAC 的平分线即可．
解：BD=CD
理由是：如图 24-30，连接 AD
∵AB 是⊙O 的直径
∴∠ADB=90°即 AD⊥BC
又∵AC=AB
∴BD=CD
三、巩固练习
1．教材 思考题．
2．教材 练习．
四、应用拓展
例 2．如图，已知△ABC 内接于⊙O，∠A、∠B、∠C 的对边分别设为 a，b，c，⊙O 半
abc
径为 R，求证：
=
=
=2R．
sin A sin B sin C
abc
a
b
c
分析：要证明
=
=
=2R，只要证明
=2R，
=2R，
=2R，
sin A sin B sin C
sin A sin B sin C
O
ABC．
Bห้องสมุดไป่ตู้
C
（3）如图，圆周角∠ABC 的两边 AB、AC 在一条直
1
径 OD 的同侧，那么∠ABC= ∠AOC 吗？请同学们独立完成证明．
2
老师点评：连结 OA、OC，连结 BO 并延长交⊙O 于 D，那么∠AOD=2∠ABD，∠COD=2∠
1
1
1
CBO，而∠ABC=∠ABD-∠CBO= ∠AOD- ∠COD= ∠AOC
六、布置作业
1．教材 综合运用 9、10、11 拓广探索 12、13．
2．选用课时作业设计．
第三课时作业设计
一、选择题 1．如图 1，A、B、C 三点在⊙O 上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（ ）．
A．140° B．110° C．120° D．130°
24.1 圆(第 3 课时)
教学内容 1．圆周角的概念． 2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弦所对 的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的 应用． 教学目标 1．了解圆周角的概念． 2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条 弧所对的圆心角的一半． 3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对 的弦是直径． 4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用． 设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予 逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决 一些实际问题． 重难点、关键 1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题． 2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理． 3．关键：探究圆周角的定理的存在． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们口答下面两个问题． 1．什么叫圆心角？ 2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？ 老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角． （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们 所对的其余各组量都分别相等． 刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的 位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解 决的问题． 二、探索新知
1
∴∠ABC= ∠AOC
B
2
（2）如图，圆周角∠ABC 的两边 AB、AC 在一条直径 OD 的两侧，那
1
么∠ABC= ∠AOC 吗？请同学们独立完成这道题的说明过程．
2
A D
老师点评：连结 BO 交⊙O 于 D 同理∠AOD 是△ABO 的外角，∠COD 是
△BOC 的外角，那么就有∠AOD=2∠ABO，∠DOC=2∠CBO，因此∠AOC=2∠
3
abc
∴
=
=
=2R
sin A sin B sin C
五、归纳小结（学生归纳，老师点评）
本节课应掌握：
1．圆周角的概念；
2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都相等这条弧所
对的圆心角的一半；
3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
4．应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题．
下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数
恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．”
（1）设圆周角∠ABC 的一边 BC 是⊙O 的直径，如图所示
∵∠AOC 是△ABO 的外角
∴∠AOC=∠ABO+∠BAO ∵OA=OB
A
C
∴∠ABO=∠BAO
∴∠AOC=∠ABO
O
问题：如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设 E、F 是球门，设球员们只能在 E»F 所
在的⊙O 其它位置射门，如图所示的 A、B、C 点．通过观察，我们可以发现像∠EAF、∠ EBF、∠ECF 这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
1
现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题．