矩阵的特征根的求法及应用

矩阵的特征根的求法及应用
摘要 本文主要讨论关于矩阵特征值的求法及矩阵特征值一些常见的证明方
法。

对于一般矩阵，我们通常是采用求解矩阵特征多项式根的方法。

关键字 矩阵 特征值 特征多项式
1.特征值与特征向量的定义及其性质；
1 矩阵特征值与特征向量的概念及性质
1.1 矩阵特征值与特征向量的定义
设A 是n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非零向量x ，使得x Ax λ=成立，则称
λ为A 的特征值，x 为A 的对应于特征值λ的特征向量.
1.2 矩阵特征值与特征向量的性质
矩阵特征值与特征向量的性质包括：
（1）若i i r A 的是λ重特征值，则i i s A 有对应特征值λ个线性无关的特征向量，其中i i r s ≤.
（2）若线性无关的向量21,x x 都是矩阵A 的对应于特征值0λ的特征向量，则当21,k k 不全为零时，2211x k x k +仍是A 的对应于特征值0λ的特征向量.
（3）若A n 是矩阵λλλ,,,21 的互不相同的特征值，其对应的特征向量分别是
n x x x ,,,21 ，则这组特征向量线性无关.
（4）若矩阵()n n ij a A ⨯=的特征值分别为n λλλ,,,21 ，则
nn n a a a +++=+++ 221121λλλ，A n =λλλ 21. （5）实对称矩阵A 的特征值都是实数，且对应不同特征值的特征向量正交. （6）若i λ是实对称矩阵A 的i r 重特征值，则对应特征值i λ恰有i r 个线性无关的特征向量.
（7）设λ为矩阵A 的特征值，()x P 为多项式函数，则()λP 为矩阵多项式()A P 的特征值.
2．特征值与特征向量的常规求法；
1.一般教科书[求特征值的传统方法是令特征多项式| λE- A| = 0, 求出A 的特征值, 对于A 的任一特征值λ, 特征方程(λE- A)X= 0的所有非零解X 即为矩阵A 的属于特征值 的特征向量. 两者的计算是分割的, 一个是计算行列式, 另一个是解齐次线性方程组, 且计算量都较大.下面介绍利用矩阵的初等变换求特征值与特征向量的两种方法.
1：特征方程(λE- A)X= 0进行行列式计算，求特征值与特征向量。

列1：求实数域上矩阵122212221A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
的特征值与特征向量。

传统解法；解
()()()
2
1
221422
1
223
2
2
210
1
1411523E A λλλλλλλλλλλλ+--+---=-+=-+-+-+-⎛⎫=-=-+ ⎪-+⎝⎭
令()()()()()
11i
j j i i i j
i i j c c r r kc r k k
c
kc r kr π↔↔⎛⎫
⎪⎝
⎭
+-0E A λ-=,得121λλ==（二重）
，35λ=-是A 的全部特征值。

当121λλ==时，对应的特征方程；
123123123222022202220
x x x x x x x x x --=⎧⎪
-++=⎨⎪-++=⎩
的基础解析为
1110ξ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2101ξ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
所以A 的属于121λλ==全部特征向量为1122k k ξξ+，其中1k ，2k 为不全为零的常数； 当35λ=时，对应的特征方程
123123123422024202240
x x x x x x x x x ---=⎧⎪
--+=⎨⎪-+-=⎩
的基础解析为
3111ξ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
所以A 的属于35λ=的全部特征向量为33k ξ其中3k 不为零. 定理1：A 是n 阶方阵, λ为待求特征值.若对矩阵(A- λE) 施行一系列行初等变换, 可得到上三角矩阵B ' (λ) , 令B ' (λ) 的主对角线上元素乘积为零, 求得 值即为矩阵A 的特征值. 例 求实数域上矩阵
122212221A -⎡⎤
⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
的特征值与特征向量. 解
()()()
()()|122...100212...010221...001221...001~212...010122...100221...001~011...01115300 (11)
2
2|T A E E D P λλ
λλλλλλλλ
λλλλλ⎡⎤-⎣⎦
---⎡⎤
⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥---⎣⎦---⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
⎡
⎤
⎢⎥
---⎢
⎥
--+-⎢⎥
⎢⎥-++⎢⎥
-⎢⎥⎣
⎦
=⎡⎤⎣⎦
令()D λ的主对角线元素之积为零, 即()()15λλ-+=0，特征值为121λλ==（二重）；
35λ=
121λλ==时；()()11|D P λλ⎡⎤⎣⎦=222...001000...011000...112--⎡⎤
⎢⎥-⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦。

()()11R D λ=，于是121λλ==对应的特征向量为
()
1111212T
η⎛⎫ ⎪=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ , ()2001111T η⎛⎫
⎪
=-= ⎪ ⎪-⎝⎭
所以A 的属于121λλ==全部特征向量为1122k k ηη+，其中1k ，2k 为不全为零的常数； 当35λ=时。

()()33|D P λλ⎡⎤⎣⎦=224...001066...011000...111-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
~1212...00211011 0
66000...111⎡
⎤-⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦
()()32R D λ=，于是35λ=对应的特征向量为33k η，其中3k 不为零。

2：列行互逆变换法
定义1:把矩阵的下列三种变换称为列行互逆变换; 1：互换i.j 两列()i j c c ↔，同时互换j.i 两行()j i r r ↔
2：第i 列乘以非零数k ()i kc ，同时i 行乘
11i r k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭
； 3：第i 列k 倍加到第j 列()j i c kc +，同时第J 行-k 倍加到第i 行()
i j r kr -。

定理1：A 为任意n 阶方阵，若T A J I P ⎛⎫
⎛⎫−−−−−−→ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
一系列列行互逆变换,其中
J=diag
{}1
2k 12j
(),(),...,()
n k k n j j λλλ是jordan 标准型矩阵，P=()1
...r
P P
证：任一矩阵必相似于jordan 标准型矩阵，有矩阵A 的转置矩阵T
A
相识于一
jordan 矩阵J ，即纯真可逆矩阵P ，使得()
1
T
T
T
P A
P J -=,故AP=P T
J ，其中
P=()1111.........r r βαβα ‘
11k 10...0001...00..................000...1000...0i i i i k J λλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 11k 00...0010...00..................000...0000...1i i T
i i k J λλλλ⎛⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝
⎭
所以A ()1111.........r r βαβα=()
1111.........r r βαβα1k k 0r T
T J J ⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭
固有()1...i i A i r αλα==。

所以i λ为A 的特征值，i i ik αβ=为A 对于的i λ的特征向量。

列1： 解
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢
⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10001000
131
2130112I A 13
31(1)
C C r r ++−−−→
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---10101000140013111121
12(2)
c c r r ++−−−→
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---111010011400121002
32
23
1
212(3)
c c r r -+−−−→
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---21112110211140002100
2−→
−33
2
12r c ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---111110111400021002 所以，特征值221==λλ，43=λ对应特征值221==λλ的特征向量为
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1111α，对应特征值43=λ的特征向量为⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=1113α。

注：解答过程中(1)处的K=-1是由方程2+3K+(2+k)(-K)=0确定的，（2）处的K=-1是由方程-1+K+(3K)(-K)=0确定的，（3）处的K=-1/2是由方程-1+2K+4（-K ）=0确定的。