必修五等比数列及其前n项和讲义
等比数列及其前n项和讲义
等比数列及其前n 项和讲义课前双击巩固1.等比数列中的有关公式已知等比数列{a n }的首项为a 1,公比是q ,前n 项和为S n ,则 等比数列定义式 (n ≥2,q ≠0且q 为常数)等比中项G a =bG(G 是a 与b 的等比中项)通项公式 或前n 项和公式 当q=1时,S n = ;当q ≠1时,S n = = 2.等比数列的性质已知{a n }是等比数列,S n 是{a n }的前n 项和. (1)若m+n=p+q (m ,n ,p ,q ∈N *),则有a m a n = .(2)若q ≠-1,或q=-1且m 为奇数,则数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…成 数列,其公比为 .3.等比数列与函数的关系(1)等比数列的通项公式可以写成a n =a 1q q n(q ≠1),前n 项和公式可以写成S n =a 1q -1q n-a1q -1(q ≠1). (2)① 满足{a 1>0,q >1 或{a 1<0,0<q <1 时,{a n }是递增数列;②满足{a 1>0,0<q <1 或{a 1<0,q >1 时,{a n }是递减数列;③ 当q=1时,数列{a n }是常数列; ④ 当q<0时,数列{a n }为摆动数列. 常用结论1.若{a n },{b n }(项数相同)是等比数列,则{λa n }(λ≠0),{1a n},{a n 2},{a n ·b n },{anb n}仍是等比数列.2.在等比数列{a n }中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即a n ,a n+k ,a n+2k ,a n+3k ,…为等比数列,公比为q k.3.一个等比数列各项的k次幂,仍组成一个等比数列,新公比是原公比的k次幂.4.{a n}为等比数列,若a1·a2·…·a n=T n,则T n,T2nT n ,T3nT2n,…成等比数列.5.当q≠0,q≠1时,S n=k-k·q n(k≠0)是{a n}成等比数列的充要条件,此时k=a11−q.6.有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项的积相等.特别地,若项数为奇数时,还等于中间项的平方.题组一常识题1.[教材改编]已知数列{a n}是递增的等比数列,若a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比q=.2.[教材改编]已知等比数列{a n}的前n项和为S n,若a6=8a3,S3=2,则S6=.3.在14和4之间插入3个数,使它们与这两个数依次构成等比数列,则这3个数的积．为.题组二常错题◆索引:“G2=ab”是“a,G,b成等比数列”的必要不充分条件;运用等比数列的前n项和公式时,忽略q=1的情况;等比数列的性质应用不熟导致出错.4.在等比数列{a n}中,a3=4,a7=16,则a3与a7的等比中项为.5.数列{a n}的通项公式是a n=a n(a≠0),则其前n项和为S n=.6.若等比数列{a n}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+…+ln a20=.7.在等比数列{a n}中,a n>0,a5-a1=15,a4-a2=6,则a3=.课堂考点探究探究点一等比数列的基本运算1 (1)已知等比数列{a n}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a5= ( )A.1B.12C.14D.4(2)设等比数列{a n}的前n项和为S n,若a3=3,且a2016+a2017=0,则S101等于( )A.3B.303C.-3D.-303[总结反思](1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1,a n,q,n,S n,已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”).(2)运用等比数列的前n项和公式时,注意对q=1和q≠1的分类讨论.式题(1)在等比数列{a n}中,公比q=2,若a2与2a3的等差中项为5,则a1= ( )A.3B.2C.1D.-1(2)已知等比数列{a n}满足a1=12,a2a8=2a5+3,则a9= ( )A.-12B.98C.648D.18(3)已知数列{a n}为各项均为正数的等比数列且满足a6-a2=30,a3-a1=3,则数列{a n}的前5项和S5= ( )A.15B.31C.40D.121探究点二等比数列的性质及应用2 (1)在等比数列{a n}中,a6+a8=4,则a8(a4+2a6+a8)的值为()A.2B.4C.8D.16(2)等比数列{a n}的前5项的和S5=10,前10项的和S10=50,则它的前20项的和S20= ( )A.160B.210C.640D.850[总结反思](1)在等比数列的基本运算问题中,一般是利用通项公式与前n项和公式,建立方程组求解,但如果灵活运用等比数列的性质“若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则有a m a n=a p a q”,则可减少运算量.(2)等比数列的项经过适当的组合后组成的新数列也具有某种性质,例如在等比数列中,S k,S2k-S k,S3k-S2k,…也成等比数列,公比为k).式题(1)在等比数列{a n}中,a3,a15是方程x2-6x+8=0的根,则a1a17a9= ( )A.2√2B.2C.1D.-2(2)设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3=3,S 9-S 6=12,则S 6= . 探究点三 等比数列的判定与证明 3 已知数列{a n }的首项a 1=35,a n+1=3a n4a n +1,n ∈N *.(1)求证:数列{1a n-2}为等比数列;(2)记S n =1a 1+1a 2+…+1a n,若S n <100,求n 的最大值.[总结反思] 判定一个数列为等比数列的常见方法: (1)定义法:若a n+1a n=q (d 是常数),则数列{a n }是等比数列;(2)等比中项法:若a n+12=a n a n+2(n ∈N *),则数列{a n }是等比数列;(3)通项公式法:若a n =Aq n(p ,q 为常数),则数列{a n }是等比数列.式题 在数列{a n }中,a n+12+2a n+1=a n a n+2+a n +a n+2,且a 1=2,a 2=5. (1)证明:数列{a n +1}是等比数列; (2)求数列{a n }的前n 项和S n .课时作业一、填空题1．已知各项为正的等比数列{a n}满足a3·a9＝4a25，a2＝1，则a1＝________.2．在等比数列{a n}中，若a1＋a2＝1，a11＋a12＝4，则a21＋a22的值为________.3．公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10等于________.4．在等比数列{}a n中，a1＋a2＝324，a3＋a4＝36，则a5＋a6＝________.5．已知等比数列{a n}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝________.6．各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝2，S3n＝14，则S4n等于________.7．在等比数列{a n}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值为________.8．已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3·a9＝2a25，a2＝1，则a1＝________.9．已知{a n}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________.10．若三个正数a，b，c成等比数列，其中a＝5＋26，c＝5－26，则b＝________.11．在数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝2a n，S n为{a n}的前n项和．若S n＝126，则n＝________.二、解答题12．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{b n}中的b3，b4，b5.(1)求数列{b n}的通项公式；(2)数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n＋54}是等比数列．13．设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且数列{S n}是以2为公比的等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.。
《等比数列的前 n 项和》 讲义
《等比数列的前 n 项和》讲义一、等比数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示（q≠0）。
例如：数列 2，4，8，16，32，就是一个公比为 2 的等比数列。
二、等比数列的通项公式等比数列的通项公式为：＼（a_n ＝ a_1 ＼times q^｛n 1}＼），其中\（a_1\）为首项，＼（n\）为项数。
通项公式的作用在于，只要知道等比数列的首项和公比，就可以求出任意一项的值。
三、等比数列的前 n 项和公式推导我们先来考虑一个简单的等比数列：＼（a_1\），＼（a_1q\），＼（a_1q^2\），＼（a_1q^3\），，＼（a_1q^｛n 1}＼）。
其前 n 项和为：＼（S_n ＝ a_1 ＋ a_1q ＋ a_1q^2 ＋ a_1q^3 ＋＋a_1q^｛n 1}＼）①两边同乘以公比 q ，得到：＼（qS_n ＝ a_1q ＋ a_1q^2 ＋ a_1q^3 ＋＋ a_1q^｛n 1} ＋ a_1q^n\）②由②①，可得：＼＼begin{align}qS_n S_n&＝（a_1q ＋ a_1q^2 ＋ a_1q^3 ＋＋ a_1q^｛n 1} ＋a_1q^n) （a_1 ＋ a_1q ＋ a_1q^2 ＋ a_1q^3 ＋＋ a_1q^｛n 1}）＼＼（q 1)S_n&＝a_1q^n a_1\＼S_n&＝＼frac{a_1(q^n 1)｝｛q 1} （q ≠ 1)＼end{align}＼当 q ＝ 1 时，等比数列变为常数列，＼（S_n ＝ na_1\）。
四、等比数列前 n 项和公式的特点1、当q ≠ 1 时，等比数列的前 n 项和公式是一个关于 n 的指数型函数。
2、当 q ＝ 1 时，前 n 项和就是首项乘以项数。
五、等比数列前 n 项和公式的应用例 1：已知等比数列\（＼｛a_n\｝＼）的首项\（a_1 ＝ 2\），公比\（q ＝ 3\），求前 5 项的和\（S_5\）。
《等比数列的前 n 项和》 讲义
《等比数列的前 n 项和》讲义在数学的奇妙世界里，等比数列是一个充满魅力和挑战的概念。
而其中，等比数列的前 n 项和更是具有重要的地位和广泛的应用。
接下来，让我们一起深入探索等比数列的前 n 项和的奥秘。
一、等比数列的定义首先，咱们得清楚啥是等比数列。
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数就叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示（q≠0）。
比如说，数列 2，4，8，16，32 就是一个公比为 2 的等比数列。
二、等比数列的通项公式有了等比数列的定义，那怎么表示它的每一项呢？这就引出了等比数列的通项公式：an ＝ a1×q^（n 1) ，其中 a1 是首项，n 是项数。
举个例子，对于等比数列 2，4，8，16，32 ，首项 a1 ＝ 2 ，公比 q ＝ 2 ，那么第 5 项 a5 ＝ 2×2^（5 1) ＝ 32 。
三、等比数列的前 n 项和公式接下来，就是咱们的重点——等比数列的前 n 项和公式。
当公比 q ＝ 1 时，等比数列的前 n 项和 Sn ＝ na1 。
当公比q ≠ 1 时，等比数列的前 n 项和 Sn ＝ a1×（1 q^n) ／（1 q) 。
这个公式是怎么来的呢？咱们来推导一下。
设等比数列的首项为 a1 ，公比为 q ，其前 n 项和为 Sn 。
Sn ＝ a1 ＋ a2 ＋ a3 ＋＋ an ①qSn ＝ a2 ＋ a3 ＋ a4 ＋＋ an ＋ an+1 ②②①得：qSn Sn ＝ an+1 a1Sn(q 1) ＝ a1(q^n 1)所以，Sn ＝ a1×（1 q^n) ／（1 q) （q ≠ 1）四、公式的应用知道了公式，那得会用啊！咱们来看几个例子。
例 1：求等比数列 2，4，8，16，32 的前 5 项和。
这里首项 a1 ＝ 2 ，公比 q ＝ 2 ，项数 n ＝ 5 。
因为q ≠ 1 ，所以使用公式 Sn ＝ a1×（1 q^n) ／（1 q)S5 ＝ 2×（1 2^5) ／（1 2) ＝ 2×（1 32) ／（－1) ＝ 62例 2：一个等比数列的首项为 3 ，公比为 2 ，求它的前 10 项和。
高中数学讲义 等比数列及其前n项的和
等比数列及其前n 项的和【知识要点】1．等比数列的定义及特征从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列，它具有如下特征：1n n a q a +=（q 为不等于零的常数）或者211n n n na aa a +++=（*N n ∈）． 2．通项公式11n n a a q -=，推广：m n m n q a a -=． 3．前n 项和公式（1） 当给出的等比数列没有说明公比q 的取值，应用前n 项和的公式时，一定要区分11≠=q q 及时的两种不同情况.（2） 当公比1≠q 时，mnm n q q S S --=11. 4.等比中项若c b a 、、成等比数列，即b 为c a 、的等比中项，且ac b ±=，正数n m 、的等比中项为mn ±，几何平均数为mn ，要注意它们之间的区别．5.三个数成等比数列，通常设为xq x q x 、、；四个数成等比数列，通常设为33xq xq qxq x 、、、.6.数值不为零的常数列，既是等差数列又是等比数列．7.证明数列为等比数列的方法()*+∈=N n q a a nn 1⇔数列{}n a 为等比数列． 等比中项法，若()*++∈⋅=N n a a a n n n 221⇔数列{}n a 为等比数列．通项法：若()*∈⋅=N n q k q k a nn 为非零常数，、⇔数列{}n a 为等比数列． n 项和法：若()*∈-=N n k kq k S n n 为非零常数，⇔{}n a 为等比数列．),1(1=q na=n S()111(1)11n n a q a a q q q q --=≠--【例题讲解】例1.若正数c b a 、、依次成公比大于1的等比数列，则当1>x 时，x x x c b a log log log 、、（ ）A ．依次成等差数列B ．依次成等比数列C ．各项的倒数依次成等差数列D ．各项的倒数依次成等比数列例2.已知等差数列{}n a 的公差931,,,0a a a d 且≠成等比数列，则1042931a a a a a a ++++的值是 .例3.已知等比数列{}n a 中，,384,3103==a a 则该数列的通项n a = . 例4. 等比数列的前三项和为7552,42,168a a a a 、求=-的等比中项． 例5.nn 931和+分别是等比数列0122223,3,3,的第几项？例6.在等比数列{}n a 中，已知6,34321=+=+a a a a .（1） 求109a a +；（2） 求13121110a a a a +++.例7.已知{}n a 是等差数列，{}()10;768,393321<<-=+-=q q b a a a n 是公比为的无穷等比数列，{}n b b 且,21=的各项和为20.试写出{}n a 和{}n b 的通项公式．例8.已知{}n a 是各项为不同的正数的等差数列，421lg lg lg a a a 、、成等差数列.又21,1,2,3,nn b n a ==. （Ⅰ）证明{}n b 为等比数列； （Ⅱ）如果数列{}n b 前3项的和等于247，求数列{}n a 的首项1a 和公差d .【经典练习】1.若n S 是数列{}n a 的前n 项和，且{}n n a n S 则,2=是 （ ）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等比差数列2.等比数列{}n a 中，243,952==a a ，则{}n a 的前4项和为 （ ）A.81B.120C.168D.1923.在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项31=a ，前三项和为21，则543a a a ++等于（ ）A33 B.72 C.84 D.1894.已知等差数列{}n a 的公差为2，若431,,a a a 成等比数列，则2a =（ ）A.-4 B-6 C.-8 D.-10 5.据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%．”如果“十五”期间（2001-2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十五”末我国国内年生产总值约为 （ ）A.115000亿元B.120000亿元C.127000亿元D.135000亿元 6.（1）等差数列{}n a 中，100992019109,,a a b a a a a a +=+=+求；（2）等比数列{}n a 中，996399,77,2a a a S q +++== 求．7.已知数列{}n a 的前n 项和为()()*∈-=N n a S S n n n 131,． （Ⅰ）求21,a a ；（Ⅱ）求证：数列{}n a 是等比数列．8.设{}n a 是一个公差为()0≠d d 的等差数列，它的前10项和10124110,S a a a =且、、成等比数列． （Ⅰ）证明：d a =1；（Ⅱ）求公差d 的值和数列{}n a 的通项公式．9.已知数列{}n a 为等比数列，162,652==a a ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，证明：1221n n n S S S ++⋅≤.。
人教高中数学必修五等比数列的前n项和课件
人教A版必修五·新课标·数学
S 练习1. 根据下列条件，求相应的等比数列 an的
n
(1)a 3, q 2, n 6; 1
3 (1 26 )
S6 1 2 189.
(2)a1 2.4, q 1.5, n 5;
2.4 [1 (1.5)5 ] 33
S5
1 (1.5)
. 4
利用计算器得：
n
0.20 0.041
5
(年)
答：约5年内可以使总销售量达到30000台。
人教高中数学必修五2.5-等比数列的 前n项和 课件(共15张PPT)
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人教A版必修五·新课标·数学
练习2. 求等比数列 1，2，4，…从第5项到第10项的和.
1 27 q8 243
又由q 0,可得：
于是当n 8时
q 1
3
271
1
8
Sn
3 1 ( 1)
1640 81
3
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人教A版必修五·新课标·数学
解：根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同，
所以从第1年起，每年的销售量组成一个等比数列 { an}
其中 a1 5000, q 110 00 1.1 Sn 30000
可得：
Sn
5000(11.1n ) 11.1
30000
可得： 1.1n 1.6 两边取对数，得： n lg1.1 lg1.6
解：a1 1, q 2,
1 (1 24 ) S4 1 2 15.
等比数列及其前n项和讲义-高三数学一轮复习
等比数列及其前n项和一．学习目标1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.体会等比数列与指数函数的关系.二．知识整合1.等比数列的有关概念等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q(q≠0)表示，符号表示为a n+1a n=q(n∈N∗)等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时提醒：由a n+1=qa n，q≠0，并不能立即断定{a n}为等比数列，还要验证a1≠0.2.等比数列的有关公式通项公式a n=；推广：a n=a m⋅q n−m(m,n∈N∗)前n项和公式S n={ ,q=1,q≠1提醒：在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q=1与q≠1分类讨论，防止因忽略q=1这一特殊情况而导致解题失误.知识拓展：（1）当q≠0，q≠1时，S n=k−k⋅q n(k≠0)是{a n}成等比数列的充要条件，此时k=a11−q.（2）等比数列的单调性当{a 1＞0，q ＞1 或{a 1＜0，0＜q ＜1时，等比数列{a n } 是递增数列. 当{a 1＞0，0＜q ＜1 或{a 1＜0，q ＞1时，等比数列{a n } 是递减数列. 当q =1 时,等比数列{a n } 是常数列.当q =−1 时,等比数列{a n } 是摆动数列.三．典型例题考点一 等比数列基本量的运算例1（1） 已知等比数列{a n } 的前3项和为168，a 2−a 5=42 ，则a 6= ( )A. 14B. 12C. 6D. 3（2） 已知等比数列{a n } 的前n 项和为S n ，a 1=1 ，a 5=8a 2 ，若S n =31 ，则n = .方法感悟：等比数列基本量运算的解题策略（1）方程思想：等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a 1 ，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）求关键量a 1 和q ,问题便可迎刃而解.（2）分类讨论思想：等比数列{a n } 的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q =1 时，{a n } 的前n 项和S n =na 1 ；当q ≠1 时，{a n } 的前n 项和S n =a 1(1−q n )1−q =a 1−a n q 1−q .考点二 等比数列的判定与证明例2已知数列{a n } 的首项a 1=12 ，且满足a n+1=a n3−2a n (n ∈N ∗) .（1） 证明：{1a n −1} 是等比数列，并求数列{a n } 的通项公式；（2） 记b n =n (1a n −1) ，求{b n } 的前n 项和S n .变式：已知各项都为正数的数列{a n } 满足a n+1+a n =3⋅2n ，a 1=1 .（1） 若b n =a n −2n ，求证：{b n } 是等比数列；（2） 求数列{a n } 的通项公式.方法感悟：判定等比数列的四种常用方法定义法 若a n+1a n =q （q 为非零常数，n ∈N ∗ ）或a n a n−1=q （q为非零常数，且n ≥2 ,n ∈N ∗ ），则{a n } 是等比数列等比中项法 在数列{a n } 中，若a n ≠0 且a n+12=a n ⋅a n+2(n ∈N ∗) ，则{a n } 是等比数列通项公式法 若数列{a n } 的通项公式可以写成a n =c ⋅q n （c ,q均是不为0的常数，n ∈N ∗ ）的形式，则{a n } 是等比数列前n 项和公式法 若数列{a n } 的前n 项和S n =k ⋅q n −k （k 为常数，且k ≠0 ,q ≠0 ,q ≠1 ），则{a n } 是等比数列五．达标练习1．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( )A ．b ＝－3，ac ＝9B ．b ＝3，ac ＝9C ．b ＝－3，ac ＝－9D ．b ＝3，ac ＝－92．已知等比数列{a n }的前3项和为168，a 2－a 5＝42，则a 6＝ ( )A ．14B ．12C ．6D ．33．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S n a n＝( )A ．2n －1B ．2－21－nC ．2－2n －1D ．21－n －14．在数列{a n }中，满足a 1＝2，a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，S n 为{a n }的前n 项和．若a 6＝64，则S 7的值为( )A ．126B ．256C ．255D ．2545. 已知正项等比数列{a n}的首项为1，且4a5,a3,2a4成等差数列，则{a n}的前6项和为( )A. 31B. 3132C. 6332D. 636. 数列{a n}中，a1=2,a m+n=a m a n.若a k+1+a k+2+⋯+a k+10= 215−25，则k=( )A. 2B. 3C. 4D. 57. 已知等比数列{a n}，其前n项和为S n.若a2=4，S3=14，则a3=.8. 已知等比数列{a n}的公比为−1，前n项和为S n，若{S n−1}也是等比数列，则a1=.9．设等比数列{a n}满足a1+a2=4，a3−a1=8. 记S n为数列{log3a n}的前n项和.若S m+S m+1=S m+3，则m=.10．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S n=−a n+n(n∈N∗). （1）证明：数列{a n−12}为等比数列；（2）求数列{a n−1}的前n项和T n.。
高中数学人教A版必修5第二章：等比数列的前n项和ppt课件
1 P61 A组 第1、2、3题
已知等比数列 ,
4
4
P58 第1、2题
2、已知等比数列{an}的前n项和
国王赏麦的故事
如2何求、等比数列已的Sn: 知等比数列{an}的前n项和
Sn 3n 1 2a，求实数a的值.
1 a 2 ,S 1 4 .则 q a 2、已知等比数列{an}的前n项和
1 例1：求等比数列
例1：求等比数列
3 的前8项的和。
的前8项的和。
3
等差数列求和方法回顾:(倒序相加) 等差数列求和方法回顾:(倒序相加) 国王赏麦的故事
已知等比数列 ,
2或-3 8或18
2 a 1 , a 2 1 6 则 q -6 ,S 185 已知等比数列 ,
Sn
a1(1na1qn 1q
(q )
1) (q 1)
q 1时:
Sn
a1a1qn 1q
a1anq 1q
注意：
1、使用公式求和时，需注意对 q 1 和 q 1 的情
况加以讨论；
2、推导公式的方法： 错位相减法
a1、 q、 n、 an、 sn 知三求二
公式应用：
例1：求等比数列
1 , 1 , 1 , 248
国王赏麦的故事
1 2 2 2 2 3 2 6 3
S 6 41 2 4 8 2 6 22 63 ①
2 S 6 42 4 8 2 6 2 2 6 3 2 6②4
②—64
中间各 数均为0
国王能兑现自己的承诺吗？
如何求等比数列的Sn:
的前8项的和。
解:由 a11 2,q1 41 21 2,n8,得
Sn
1 [1 (1)8] 22
等比数列及其前n项和教学讲义
等比数列及其前n 项和教学讲义1．等比数列的有关概念 (1)等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q (q ≠0)表示．数学语言表达：a na n －1＝q (n ≥2)，q 为常数，q ≠0. (2)等比中项如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇔G 2＝ab .2．等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1；可推广为a n ＝a m q n －m .(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q. 3．等比数列的相关性质设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *.特别地，若2s ＝p＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中p ，s ，r ∈N *.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)．(3)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n (其中b ，p ，q 是非零常数)也是等比数列．(4)S m ＋n ＝S n ＋q n S m ＝S m ＋q m S n .(5)当q ≠－1或q ＝－1且k 为奇数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…是等比数列，公比为q k .当q ＝－1且k 为偶数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…不是等比数列．(6)若a 1·a 2·…·a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n，T 3nT 2n，…成等比数列．(7)若数列{a n }的项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q .1．概念辨析(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( )(3)如果数列{a n }为等比数列，则数列{lg a n }是等差数列．( )(4)若数列{a n }的通项公式是a n ＝a n ，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n)1－a.( )(5)若数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列． 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)× 2．小题热身(1)在等比数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝8，则a 5等于( ) A ．5 B ．±5 C ．4 D ．±4 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则q 4＝a 7a 3＝82＝4，q 2＝2，所以a 5＝a 3q 2＝2×2＝4.(2)在等比数列{a n }中，已知a 1＝－1，a 4＝64，则公比q ＝________，S 4＝________.答案 －4 51解析 q 3＝a 4a 1＝－64，q ＝－4，S 4＝a 1－a 4q 1－q ＝－1－64×(－4)1－(－4)＝51.(3)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和为________．答案 2n －1解析 因为数列{a n }是等比数列，所以a 1a 4＝a 2a 3＝8. 又a 1＋a 4＝9，所以a 1，a 4是方程x 2－9x ＋8＝0的两个根． 又因为a 1<a 4，所以a 1＝1，a 4＝8，所以q 3＝a 4a 1＝8，q ＝2.所以数列{a n }的前n 项和S n ＝1·(1－2n )1－2＝2n －1.(4)数列{a n }中a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和，若S n ＝126，则n ＝________.答案 6解析 因为a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，所以a n ≠0，故a n ＋1a n＝2.所以数列{a n }是公比为2的等比数列，因为S n ＝126，所以2(1－2n )1－2＝126，所以2n ＝64，故n ＝6.题型 一 等比数列基本量的运算1．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝6，a 4＋a 5＝48，则数列{a n }前8项的和S 8＝( )A ．510B ．126C ．256D ．512 答案 A解析 由a 1＋a 2＝6，a 4＋a 5＝48得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝6，a 1q 3＋a 1q 4＝48，得a 1＝2，q ＝2，则数列{a n }前8项的和S 8＝2(1－28)1－2＝510.2．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m . 解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1. 由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1.(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－(－2)n 3.由S m ＝63得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解． 若a n ＝2n －1，则S n ＝2n －1. 由S m ＝63得2m ＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.等比数列的基本运算方法及数学思想(1)等比数列的基本运算方法①对于等比数列问题一般要给出两个条件，可以通过列方程(组)求出a 1，q .如果再给出第三个条件就可以完成a n ，a 1，q ，n ，S n 的“知三求二”问题．如举例说明1.②对称设元法：一般地，连续奇数个项成等比数列，可设为…，xq ，x ，xq ，…；连续偶数个项成等比数列，可设为…，x q 3，xq ，xq ，xq 3，…(注意：此时公比q 2>0，并不适合所有情况)，这样既可减少未知量的个数，也使得解方程较为方便．(2)基本量计算过程中涉及的数学思想方法 ①方程思想，即“知三求二”．②分类讨论思想，即分q ＝1和q ≠1两种情况，此处是常考易错点，一定要引起重视．③整体思想．应用等比数列前n 项和公式时，常把q n ，a 11－q 当成整体求解．1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝32n －1＋r ，则r 的值为( ) A.13 B ．－13 C.19 D ．－19 答案 B解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32n －1＋r －32n －3－r ＝8·32n －3， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝32－1＋r ＝3＋r ， ∵数列是等比数列，∴当a 1满足a n ＝8·32n －3， 即8·32－3＝3＋r ＝83，即r ＝－13，故选B.2．(2018·滨海新区期中)已知递增等比数列{a n }的第三项、第五项、第七项的积为512，且这三项分别减去1,3,9后成等差数列．(1)求{a n }的首项和公比；(2)设S n ＝a 21＋a 22＋…＋a 2n ，求S n .解 (1)根据等比数列的性质，可得a 3·a 5·a 7＝a 35＝512，解得a 5＝8.设数列{a n }的公比为q ，则a 3＝8q 2，a 7＝8q 2， 由题设可得⎝ ⎛⎭⎪⎫8q 2－1＋(8q 2－9)＝2(8－3)＝10，解得q 2＝2或12.∵{a n }是递增数列，可得q ＞1，∴q 2＝2，得q ＝ 2. 因此a 5＝a 1q 4＝4a 1＝8，解得a 1＝2. (2)由(1)得{a n }的通项公式为 a n ＝a 1q n －1＝2×(2)n －1＝(2)n ＋1，∴a 2n ＝[(2)n ＋1]2＝2n ＋1，可得{a 2n }是以4为首项，公比等于2的等比数列．因此S n ＝a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4(1－2n )1－2＝2n ＋2－4. 题型 二 等比数列的判断与证明(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n ，设b n ＝a nn . (1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．解 (1)由条件可得a n ＋1＝2(n ＋1)na n .将n ＝1代入，得a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4. 将n ＝2代入，得a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列．由题设条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn ，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得a nn ＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.条件探究1 将举例说明条件改为“a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0，且a n >0”，求{a n }的通项公式．解 由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0得2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)． 因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12.故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列， 因此a n ＝12n －1.条件探究2 将举例说明条件改为“对任意的n ∈N *，有a n ＋S n ＝n .设b n ＝a n －1”，求证：数列{b n }是等比数列．证明 由a 1＋S 1＝1及a 1＝S 1，得a 1＝12.又由a n ＋S n ＝n 及a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1，得a n＋1－a n＋a n＋1＝1，∴2a n＋1＝a n＋1. ∴2(a n＋1－1)＝a n－1，即2b n＋1＝b n.∴数列{b n}是以b1＝a1－1＝－12为首项，12为公比的等比数列．等比数列的判定方法(1)定义法：若a n＋1a n＝q(q为非零常数，n∈N*)或a na n－1＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{a n}是等比数列．见举例说明(2)．(2)等比中项公式法：若数列{a n}中，a n≠0且a2n＋1＝a n·a n＋2(n∈N*)，则数列{a n}是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n＝c·q n(c，q均是不为0的常数，n ∈N*)，则{a n}是等比数列．(4)前n项和公式法：若数列{a n}的前n项和S n＝k·q n－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{a n}是等比数列．提醒：(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．1．已知{a n}，{b n}都是等比数列，那么()A．{a n＋b n}，{a n·b n}都一定是等比数列B．{a n＋b n}一定是等比数列，但{a n·b n}不一定是等比数列C．{a n＋b n}不一定是等比数列，但{a n·b n}一定是等比数列D．{a n＋b n}，{a n·b n}都不一定是等比数列答案 C解析a n＝1，b n＝(－1)n，则{a n}，{b n}都是等比数列，但{a n＋b n}不是等比数列；设等比数列{a n}的公比为p，等比数列{b n}的公比为q，则a n ＋1b n ＋1a n b n ＝a n ＋1a n ·b n ＋1b n＝pq .所以数列{a n ·b n }一定是等比数列．2．(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.解 (1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0. 由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1. (2)由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n. 由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132. 解得λ＝－1.题型 三 等比数列前n 项和及性质的应用角度1等比数列通项的性质1．若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________.答案50解析因为等比数列{a n}中，a10·a11＝a9·a12，所以由a10a11＋a9a12＝2e5，可解得a10·a11＝e5.所以ln a1＋ln a2＋...＋ln a20＝ln (a1.a2.. (20)＝ln (a10·a11)10＝10ln (a10·a11)＝10ln e5＝50.角度2等比数列的前n项和的性质2．数列{a n}是等比数列，前2018项中的奇数项之积是1，偶数项之积是m，则数列{a n}的公比为()A.1009m B ．m 1009 C ．±1009m D ．±m 1009答案 A解析 设数列{a n }的公比为q ，由已知得a 1a 3…a 2017＝1，a 2a 4…a 2018＝m ，则公比q 满足q 1009＝m ，解得q ＝1009m .角度3 等差数列与等比数列的综合3．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列． 解 (1)设{a n }的公比为q .由题设可得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝－6.解得q ＝－2，a 1＝－2. 故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n . (2)由(1)知a 1＝－2，q ＝－2， 所以S n ＋1＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1 ＝a 1＋qS n ＝－2－2S n .S n ＋2＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＋2＝a 1＋a 2＋q 2S n＝－2＋4＋4S n＝2＋4S n .所以S n ＋1＋S n ＋2＝(－2－2S n )＋(2＋4S n )＝2S n ，所以S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．1．掌握运用等比数列性质解题的两个技巧(1)在等比数列的基本运算问题中，一般是列出a 1，q 满足的方程组求解，但有时运算量较大，如果可利用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题的速度，要注意挖掘已知和隐含的条件．(2)利用性质可以得到一些新数列仍为等比数列或为等差数列，例如： ①若{a n }是等比数列，且a n >0，则{log a a n }(a >0且a ≠1)是以log a a 1为首项，log a q 为公差的等差数列．②若公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .如巩固迁移3.2．牢记与等比数列前n 项和S n 相关的几个结论(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{a n }中，公比为q .①若共有2n 项，则S 偶∶S 奇＝q ；②若共有2n ＋1项，则S 奇－S 偶＝a 1＋a 2n ＋1q 1＋q (q ≠1且q ≠－1)，S 奇－a 1S 偶＝q . (2)分段求和：S n ＋m ＝S n ＋q n S m ⇔q n＝S n ＋m －S n S m(q 为公比)．如举例说明3和巩固迁移1.1．(2018·青岛模拟)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6,3a 4，－a 5成等差数列，则S 4S 2＝( ) A ．3 B ．9 C ．10 D ．13答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 6,3a 4，－a 5成等差数列，所以6a 4＝a 6－a 5，所以6a 4＝a 4(q 2－q )． 由题意得a 4>0，q >0.所以q 2－q －6＝0，解得q ＝3，所以S 4S 2＝S 2＋q 2S 2S 2＝1＋q 2＝10. 2．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )A ．21B ．42C ．63D ．84答案 B解析 设{a n }的公比为q ，由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得1＋q 2＋q 4＝7，解得q 2＝2(负值舍去)．∴a 3＋a 5＋a 7＝a 1q 2＋a 3q 2＋a 5q 2＝(a 1＋a 3＋a 5)q 2＝21×2＝42.故选B.3．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( )A ．80B ．30C ．26D ．16答案 B解析 由题意知公比大于0，由等比数列的性质知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…仍为等比数列．设S 2n ＝x ，则2，x －2,14－x 成等比数列． 由(x －2)2＝2×(14－x )，解得x ＝6或x ＝－4(舍去)．∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…是首项为2，公比为2的等比数列． 又∵S 3n ＝14，∴S 4n ＝14＋2×23＝30.故选B.。
等比数列及其前n项和 高考考点精讲
1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)． 2．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －1.3．等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n .(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列．5．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q .6．等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n . 【知识拓展】 等比数列{a n }的单调性(1)满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，0<q <1时，{a n }是递增数列．(2)满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1时，{a n }是递减数列．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧a 1≠0，q ＝1时，{a n }为常数列．(4)当q <0时，{a n }为摆动数列． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( × ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( × )(3)如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( × ) (4)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( × )1．(教材改编)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )A ．－12B ．－2C ．2 D.12答案 D解析 由题意知q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝12.2．(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7等于( ) A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 答案 B解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，得3(1＋q 2＋q 4)＝21，解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42，故选B. 3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则S 6等于( ) A ．31 B ．32 C ．63 D ．64 答案 C解析 根据题意知，等比数列{a n }的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S 4－S 2)2＝S 2·(S 6－S 4)，即122＝3×(S 6－15)，解得S 6＝63.故选C.4．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 答案 27,81解析 设该数列的公比为q ，由题意知，243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.5．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________.答案 －11解析 设等比数列{a n }的公比为q ， ∵8a 2＋a 5＝0，∴8a 1q ＋a 1q 4＝0. ∴q 3＋8＝0，∴q ＝－2，∴S 5S 2＝a 1(1－q 5)1－q ·1－q a 1(1－q 2)＝1－q 51－q 2＝1－(－2)51－4＝－11.题型一 等比数列基本量的运算例1 (1)(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于( )A ．2B ．1 C.12 D.18(2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n ＝________.答案 (1)C (2)2n －1解析 (1)由{a n }为等比数列，得a 3a 5＝a 24，又a 3a 5＝4(a 4－1)，所以a 24＝4(a 4－1)， 解得a 4＝2.设等比数列{a n }的公比为q ， 则由a 4＝a 1q 3，得2＝14q 3，解得q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝12.故选C.(2)∵⎩⎨⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2＝52， ①a 1q ＋a 1q 3＝54， ②由①除以②可得1＋q 2q ＋q 3＝2，解得q ＝12，代入①得a 1＝2，∴a n ＝2×(12)n －1＝42n ，∴S n ＝2×[1－(12)n ]1－12＝4(1－12n )，∴S na n ＝4(1－12n )42n＝2n －1. 思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．(1)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )A.152B.314C.334D.172(2)(2015·湖南)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________. 答案 (1)B (2)3n －1解析 (1)显然公比q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 1(1－q 3)1－q ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，q ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9q ＝－13(舍去)，∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝4(1－125)1－12＝314.(2)由3S 1,2S 2，S 3成等差数列知，4S 2＝3S 1＋S 3， 可得a 3＝3a 2，所以公比q ＝3， 故等比数列通项a n ＝a 1q n －1＝3n －1.题型二 等比数列的判定与证明例2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式． (1)证明 由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2， 得a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2. ∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3.又⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＝4a n ＋2， ①S n ＝4a n －1＋2(n ≥2)， ② 由①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)(n ≥2)． ∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1(n ≥2)， 故{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列． (2)解 由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1，∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34， 故{a n 2n }是首项为12，公差为34的等差数列． ∴a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14， 故a n ＝(3n －1)·2n －2.引申探究若将本例中“S n ＋1＝4a n ＋2”改为“S n ＋1＝2S n ＋(n ＋1)”，其他不变，求数列{a n }的通项公式． 解 由已知得n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n . ∴S n ＋1－S n ＝2S n －2S n －1＋1， ∴a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，n ≥2，(*)又a 1＝1，S 2＝a 1＋a 2＝2a 1＋2，即a 2＋1＝2(a 1＋1)， ∴当n ＝1时(*)式也成立，故{a n ＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列， ∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －1.思维升华 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n ＝1时的情况进行验证．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明：{a n ＋12}是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.证明 (1)由a n ＋1＝3a n ＋1，得a n ＋1＋12＝3(a n ＋12)．又a 1＋12＝32，所以{a n ＋12}是首项为32，公比为3的等比数列．所以a n ＋12＝3n2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n －12.(2)由(1)知1a n ＝23n －1.因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1.于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32(1－13n )<32， 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.题型三 等比数列性质的应用例3 (1)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝12，则S 9S 3＝________.答案 (1)50 (2)34解析 (1)因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5， 所以a 10a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20 ＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)] ＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11) ＝10ln e 5＝50ln e ＝50.(2)方法一 ∵S 6∶S 3＝1∶2，∴{a n }的公比q ≠1. 由a 1(1－q 6)1－q ÷a 1(1－q 3)1－q＝12，得q 3＝－12，∴S 9S 3＝1－q 91－q 3＝34. 方法二 ∵{a n }是等比数列，且S 6S 3＝12，∴公比q ≠－1，∴S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)， 将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝34.思维升华 等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(1)已知在等比数列{a n }中，a 1a 4＝10，则数列{lg a n }的前4项和等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1(2)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18 B ．－18C.578D.558答案 (1)C (2)A解析 (1)前4项和S 4＝lg a 1＋lg a 2＋lg a 3＋lg a 4＝lg(a 1a 2a 3a 4)，又∵等比数列{a n }中，a 2a 3＝a 1a 4＝10， ∴S 4＝lg 100＝2.(2)因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且公比不等于－1，在等比数列中，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以有8(S 9－S 6)＝(－1)2，S 9－S 6＝18，即a 7＋a 8＋a 9＝18.13．分类讨论思想在等比数列中的应用典例 (12分)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：S n ＋1S n ≤136(n ∈N *)．思想方法指导 (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式； (2)求出前n 项和，根据函数的单调性证明． 规范解答(1)解 设等比数列{a n }的公比为q ， 因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4， 可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.[2分]又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .[3分] (2)证明 由(1)知，S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ， S n ＋1S n＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ＋11－⎝⎛⎭⎫－12n＝⎩⎨⎧2＋12n (2n ＋1)，n 为奇数，2＋12n(2n－1)，n 为偶数.[6分]当n 为奇数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136.[8分]当n 为偶数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512.[10分]故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤136.[12分]1．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3＝2－1，a 5＝2＋1，则a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7等于( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．8－4 2答案 C解析 在等比数列中，a 3a 7＝a 25，a 2a 6＝a 3a 5，所以a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝(2－1＋2＋1)2＝(22)2＝8.2．(2016·珠海模拟)在等比数列{a n }中，若a 1<0，a 2＝18，a 4＝8，则公比q 等于( ) A.32 B.23 C ．－23D.23或－23答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝18，a 1q 3＝8解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝27，q ＝23或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－27，q ＝－23. 又a 1<0，因此q ＝－23.3．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15答案 C解析 设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12， 可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q3n －3＝324， 因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14，故选C.*4.(2015·福建)若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 答案 D解析 由题意知：a ＋b ＝p ，ab ＝q ，∵p ＞0，q ＞0，∴a ＞0，b ＞0.在a ，b ，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a ，b ，－2；b ，a ，－2；－2，a ，b ；－2，b ，a ；成等比数列的情况有a ，－2，b ；b ，－2，a .∴⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝4，2b ＝a －2或⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝4，2a ＝b －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9，故选D.5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里 答案 B解析 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ＝12，依题意有a 1(1－126)1－12＝378，解得a 1＝192，则a 2＝192×12＝96，即第二天走了96里，故选B.6．(2016·铜仁质检)在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为( ) A.12 B.32C ．1D ．－32答案 B解析 因为a 3a 4a 5＝3π＝a 34，所以a 4＝π33. log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7＝log 3(a 1a 2…a 7)＝log 3a 74＝7log 3π33＝7π3， 所以sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝32. 7．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2，3S 2＝a 3－2，则公比q ＝________. 答案 4解析 因为⎩⎪⎨⎪⎧3S 3＝a 4－2， ①3S 2＝a 3－2， ②由①－②，得3a 3＝a 4－a 3，即4a 3＝a 4， 则q ＝a 4a 3＝4.8．设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40＝________. 答案 150解析 依题意，知数列{a n }的公比q ≠－1，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，即(S 20－10)2＝10(70－S 20)，故S 20＝－20或S 20＝30；又S 20>0，因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40，故S 40－S 30＝80，S 40＝150. 9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝1(n ∈N *)，则通项a n ＝________. 答案12n解析 ∵a n ＋S n ＝1，①∴a 1＝12，a n －1＋S n －1＝1(n ≥2)，②由①－②，得a n －a n －1＋a n ＝0，即a n a n －1＝12(n ≥2)，∴数列{a n }是首项为12，公比为12的等比数列，则a n ＝12×(12)n －1＝12n .10．已知数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n，若b 10·b 11＝2，则a 21＝________. 答案 1 024解析 ∵b 1＝a 2a 1＝a 2，b 2＝a 3a 2，∴a 3＝b 2a 2＝b 1b 2，∵b 3＝a 4a 3，∴a 4＝b 1b 2b 3，…，a n ＝b 1b 2b 3·…·b n －1， ∴a 21＝b 1b 2b 3·…·b 20＝(b 10b 11)10＝210＝1 024.11．已知{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，S n 表示{a n }的前n 项和． (1)求a n 及S n ；(2)设{b n }是首项为2的等比数列，公比q 满足q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，求{b n }的通项公式及其前n 项和T n .解 (1)因为{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1. 故S n ＝1＋3＋…＋(2n －1) ＝n (a 1＋a n )2＝n (1＋2n －1)2＝n 2. (2)由(1)得a 4＝7，S 4＝16.因为q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，即q 2－8q ＋16＝0， 所以(q －4)2＝0，从而q ＝4.又因为b 1＝2，{b n }是公比q ＝4的等比数列， 所以b n ＝b 1q n －1＝2·4n －1＝22n －1.从而{b n }的前n 项和T n ＝b 1(1－q n )1－q＝23(4n －1)．12．(2016·全国丙卷)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0. (1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．解 (1)由题意，得a 2＝12，a 3＝14.(2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0，得 2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)．因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12.故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n ＝12n －1.13．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n－1，n ∈N *. (1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ； (2)求T 2n .解 (1)∵a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n， ∴a n ＋1·a n ＋2＝⎝⎛⎭⎫12n ＋1， ∴a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n . ∵b n ＝a 2n ＋a 2n －1，∴b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12， ∵a 1＝1，a 1·a 2＝12，∴a 2＝12⇒b 1＝a 1＋a 2＝32.∴{b n }是首项为32，公比为12的等比数列．∴b n ＝32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝32n .(2)由(1)可知，a n ＋2＝12a n ，∴a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，以12为公比的等比数列，∴T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝3－32n .1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系． d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离． (2)代数法：――→判别式Δ＝b 2－4ac⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交；＝0⇔相切；<0⇔相离.2．圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)， 圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0).【知识拓展】1．圆的切线方程常用结论(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(3)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. 2．圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．(2)当两圆相交时，两圆方程(x 2，y 2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( × ) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( × )(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( × )(4)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ )(5)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则O ，P ，A ，B 四点共圆且直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ )1．(教材改编)圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝6与直线2x ＋y －5＝0的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．相交过圆心 D ．相离答案 B解析 由题意知圆心(1，－2)到直线2x ＋y －5＝0的距离d ＝|2×1－2－5|22＋1＝5<6且2×1＋(－2)－5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心．2．(2016·全国甲卷)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a 等于( )A ．－43B ．－34 C. 3 D ．2答案 A解析 由圆的方程x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得d ＝|1×a ＋4－1|1＋a 2＝1，解之得a ＝－43.3．(2016·西安模拟)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 C解析 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2， ∴|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.4．(2016·黑龙江大庆实验中学检测)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( ) A ．6－2 2 B ．52－4 C.17－1 D.17答案 B解析 圆C 1关于x 轴对称的圆C 1′的圆心为C 1′(2，－3)，半径不变，圆C 2的圆心为(3,4)，半径r ＝3，|PM |＋|PN |的最小值为圆C 1′和圆C 2的圆心距减去两圆的半径，所以|PM |＋|PN |的最小值为(3－2)2＋(4＋3)2－1－3＝52－4.5．已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1外切，则ab 的最大值为________． 答案 94解析 由两圆外切可得圆心(a ，－2)，(－b ，－2)之间的距离等于两圆半径之和， 即(a ＋b )2＝(2＋1)2，即9＝a 2＋b 2＋2ab ≥4ab ， 所以ab ≤94，当且仅当a ＝b 时取等号，即ab 的最大值是94.题型一 直线与圆的位置关系的判断例1 (1)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交 C ．相离D ．不确定(2)(2016·江西吉安月考)圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切C ．相交D ．以上都有可能答案 (1)B (2)C解析 (1)因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2>1，而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b 2＝1a 2＋b 2<1.所以直线与圆相交．(2)直线2tx－y－2－2t＝0恒过点(1，－2)，∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0，∴点(1，－2)在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内．直线2tx－y－2－2t＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交，故选C.思维升华判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．已知方程x2＋xtan θ－1sin θ＝0有两个不等实根a和b，那么过点A(a，a2)，B(b，b2)的直线与圆x2＋y2＝1的位置关系是________．答案相切解析由题意可知过A，B两点的直线方程为(a＋b)x－y－ab＝0，圆心到直线AB的距离d＝|－ab| (a＋b)2＋1，而a＋b＝－1tan θ，ab＝－1sin θ，因此d＝⎪⎪⎪⎪1sin θ⎝⎛⎭⎫－1tan θ2＋1，化简后得d＝1，故直线与圆相切．题型二圆与圆的位置关系例2(1)(2016·山东)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A．内切B．相交C．外切D．相离(2)(2017·重庆调研)如果圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值范围是______________________．答案(1)B(2)(－22，0)∪(0,22)解析(1)∵圆M：x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，∴圆心坐标为M(0，a)，半径r1为a，圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝|a|2，由几何知识得⎝⎛⎭⎫|a|22＋(2)2＝a2，解得a＝2.∴M(0,2)，r1＝2.又圆N的圆心坐标N(1,1)，半径r2＝1，∴|MN|＝(1－0)2＋(1－2)2＝2，r1＋r2＝3，r1－r2＝1. ∴r1－r2＜|MN|＜r1＋r2，∴两圆相交，故选B.(2)圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －a )2＝4，圆心坐标为(a ，a )，半径为2. 依题意得0<a 2＋a 2<2＋2，∴0<|a |<2 2. ∴a ∈(－22，0)∪(0,22)．思维升华 判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是 (1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求r 1＋r 2，|r 1－r 2|； (3)比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论．已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0.(1)m 取何值时两圆外切； (2)m 取何值时两圆内切；(3)求m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．解 两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ， 圆心分别为M (1,3)，N (5,6)，半径分别为11和61－m . (1)当两圆外切时，(5－1)2＋(6－3)2＝11＋61－m ， 解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因为定圆的半径11小于两圆圆心间距离5， 故只有61－m －11＝5，解得m ＝25－1011. (3)两圆的公共弦所在直线方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0， 即4x ＋3y －23＝0，所以公共弦长为 2(11)2－(|4×1＋3×3－23|42＋32)2＝27.题型三 直线与圆的综合问题 命题点1 求弦长问题例3 (2016·全国丙卷)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别做l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若|AB |＝23，则|CD |＝________. 答案 4解析 设AB 的中点为M ，由题意知，圆的半径R ＝23，|AB |＝23，所以|OM |＝3，解得m ＝－33，由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12解得A (－3，3)，B (0，23)，则AC 的直线方程为y －3＝－3(x ＋3)， BD 的直线方程为y －23＝－3x ，令y ＝0，解得C (－2,0)，D (2,0)，所以|CD |＝4. 命题点2 直线与圆相交求参数范围例4 (2015·课标全国Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎪⎫4－73，4＋73. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝4k (1＋k )1＋k 2＋8. 由题设可得4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2. 命题点3 直线与圆相切的问题例5 已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程． (1)与直线l 1：x ＋y －4＝0平行； (2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直； (3)过切点A (4，－1)．解 (1)设切线方程为x ＋y ＋b ＝0，则|1－2＋b |2＝10，∴b ＝1±25， ∴切线方程为x ＋y ＋1±25＝0. (2)设切线方程为2x ＋y ＋m ＝0， 则|2－2＋m |5＝10，∴m ＝±52， ∴切线方程为2x ＋y ±52＝0. (3)∵k AC ＝－2＋11－4＝13，∴过切点A (4，－1)的切线斜率为－3，∴过切点A (4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)， 即3x ＋y －11＝0.思维升华 直线与圆综合问题的常见类型及解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形． (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．(1)(2015·课标全国Ⅱ)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M 、N 两点，则|MN |等于( )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10(2)若直线x cos θ＋y sin θ－1＝0与圆(x －1)2＋(y －sin θ)2＝116相切，且θ为锐角，则该直线的斜率是( ) A ．－33 B ．－ 3 C.33D. 3 答案 (1)C (2)A解析 (1)由已知，得AB →＝(3，－1)，BC →＝(－3，－9)， 则AB →·BC →＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0， 所以AB →⊥BC →，即AB ⊥BC ，故过三点A 、B 、C 的圆以AC 为直径， 得其方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25， 令x ＝0，得(y ＋2)2＝24，解得y 1＝－2－26，y 2＝－2＋26， 所以|MN |＝|y 1－y 2|＝46，选C.(2)依题意得，圆心到直线的距离等于半径， 即|cos θ＋sin 2θ－1|＝14，|cos θ－cos 2θ|＝14，所以cos θ－cos 2θ＝14或cos θ－cos 2θ＝－14(不符合题意，舍去)．由cos θ－cos 2θ＝14，得cos θ＝12，又θ为锐角，所以sin θ＝32， 故该直线的斜率是－cos θsin θ＝－33，故选A.7．高考中与圆交汇问题的求解考点分析 与圆有关的最值问题及直线与圆相结合的题目是近年来高考高频小考点．与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化；直线与圆的综合问题主要包括弦长问题，切线问题及组成图形面积问题，解决方法主要依据圆的几何性质．一、与圆有关的最值问题典例1 (1)(2015·湖南)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9(2)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( ) A.33 B ．－33 C ．±33D ．－ 3 解析 (1)∵A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，∴AC 为圆的直径，故P A →＋PC →＝2PO →＝(－4,0)，设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1,1]，PB →＝(x －2，y )，∴P A →＋PB →＋PC →＝(x －6，y )．故|P A →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37， ∴当x ＝－1时有最大值49＝7，故选B. (2)∵S △AOB ＝12|OA ||OB |sin ∠AOB＝12sin ∠AOB ≤12. 当∠AOB ＝π2时，△AOB 面积最大．此时O 到AB 的距离d ＝22.设AB 方程为y ＝k (x －2)(k <0)，即kx －y －2k ＝0.由d ＝|2k |k 2＋1＝22得k ＝－33. (也可k ＝－tan ∠OPH ＝－33)． 答案 (1)B (2)B二、直线与圆的综合问题典例2 (1)(2015·重庆)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |等于( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210(2)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.45πB.34π C ．(6－25)π D.54π 解析 (1)由于直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，∴圆心C (2,1)在直线x ＋ay －1＝0上，∴2＋a －1＝0，∴a ＝－1，∴A (－4，－1)．∴|AC |2＝36＋4＝40.又r ＝2，∴|AB |2＝40－4＝36.∴|AB |＝6.(2)∵∠AOB ＝90°，∴点O 在圆C 上．设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，∴点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上，∴当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD |.又|OD |＝|2×0＋0－4|5＝45， ∴圆C 的最小半径为25，∴圆C 面积的最小值为π(25)2＝45π. 答案 (1)C (2)A1．(2017·广州调研)若点A (1,0)和点B (4,0)到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条答案 C解析 如图，分别以A ，B 为圆心，1,2为半径作圆．依题意得，直线l 是圆A 的切线，A 到l 的距离为1，直线l 也是圆B 的切线，B 到l 的距离为2，所以直线l 是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线)．2．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m 等于( )A ．21B ．19C ．9D ．－11答案 C解析 圆C 2的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m .又圆C 1：x 2＋y 2＝1，∴|C 1C 2|＝5.又∵两圆外切，∴5＝1＋25－m ，解得m ＝9.3．(2016·南昌二模)若圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )内切，则ab 的最大值为( )A. 2 B ．2 C ．4 D ．2 2答案 B解析 圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )．化为(x －a )2＋y 2＝9，圆心坐标为(a,0)，半径为3.圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )，化为x 2＋(y ＋b )2＝1，圆心坐标为(0，－b )，半径为1， ∵圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )内切，∴a 2＋b 2＝3－1，即a 2＋b 2＝4，ab ≤12(a 2＋b 2)＝2. ∴ab 的最大值为2.4．(2016·泰安模拟)过点P (3,1)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0答案 A 解析 如图所示：由题意知：AB ⊥PC ，k PC ＝12，∴k AB ＝－2，∴直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0.5．若直线l ：y ＝kx ＋1(k <0)与圆C ：x 2＋4x ＋y 2－2y ＋3＝0相切，则直线l 与圆D ：(x －2)2＋y 2＝3的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定答案 A解析 因为圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝2，所以其圆心坐标为(－2,1)，半径为2，因为直线l 与圆C 相切．所以|－2k －1＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝±1，因为k <0，所以k ＝－1，所以直线l 的方程为x ＋y －1＝0.圆心D (2,0)到直线l 的距离d ＝|2＋0－1|2＝22<3，所以直线l 与圆D 相交．6．已知A (－2,0)，B (0,2)，实数k 是常数，M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上两个不同点，P 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上的动点，如果M ，N 关于直线x －y －1＝0对称，那么△P AB 面积的最大值是( )A ．3－ 2B ．4C ．3＋ 2D ．6 答案 C解析 依题意得圆x 2＋y 2＋kx ＝0的圆心(－k 2，0)位于直线x －y －1＝0上， 于是有－k 2－1＝0，即k ＝－2，因此圆心坐标是(1,0)，半径是1. 由题意可得|AB |＝22，直线AB 的方程是x －2＋y 2＝1， 即x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到直线AB 的距离等于|1－0＋2|2＝322， 点P 到直线AB 的距离的最大值是322＋1，∴△P AB 面积的最大值为12×22×32＋22＝3＋2，故选C. 7．(2016·全国乙卷)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．答案 4π解析 圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0，即C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为C (0，a )，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2.又由|AB |＝23，得⎝⎛⎭⎫2322＋⎝⎛⎭⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以圆的面积为π(a 2＋2)＝4π.8．(2016·天津四校联考)过点(1，2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝________.答案 22 解析 ∵(1－2)2＋(2)2＝3<4，∴点(1，2)在圆(x －2)2＋y 2＝4的内部．当劣弧所对的圆心角最小时，圆心(2,0)与点(1，2)的连线垂直于直线l . ∵2－01－2＝－2，∴所求直线l 的斜率k ＝22. 9．(2015·山东)过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A →·PB →＝________.答案 32解析 由题意，圆心为O (0,0)，半径为1.如图所示，∵P (1，3)，∴PB ⊥x 轴，|P A |＝|PB |＝ 3.∴△POA 为直角三角形，其中|OA |＝1，|AP |＝3，则|OP |＝2，∴∠OP A ＝30°，∴∠APB ＝60°.∴P A →·PB →＝|P A →||PB →|·cos ∠APB ＝3×3×cos 60°＝32. 10．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．答案 43解析 圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0)．由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2， 即|4k －2|k 2＋1≤2.整理，得3k 2－4k ≤0.解得0≤k ≤43. 故k 的最大值是43. 11．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，设切点为M .(1)若点P 运动到(1,3)处，求此时切线l 的方程；(2)求满足条件|PM |＝|PO |的点P 的轨迹方程．解 把圆C 的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，∴圆心为C (－1,2)，半径r ＝2.(1)当l 的斜率不存在时，此时l 的方程为x ＝1，C 到l 的距离d ＝2＝r ，满足条件．当l 的斜率存在时，设斜率为k ，得l 的方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y ＋3－k ＝0， 则|－k －2＋3－k |1＋k 2＝2，解得k ＝－34. ∴l 的方程为y －3＝－34(x －1)， 即3x ＋4y －15＝0.综上，满足条件的切线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y －15＝0.(2)设P (x ，y )，则|PM |2＝|PC |2－|MC |2＝(x ＋1)2＋(y －2)2－4，|PO |2＝x 2＋y 2，∵|PM |＝|PO |，∴(x ＋1)2＋(y －2)2－4＝x 2＋y 2，整理，得2x －4y ＋1＝0，∴点P 的轨迹方程为2x －4y ＋1＝0.12．设M ＝{(x ，y )|y ＝2a 2－x 2，a >0}，N ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －3)2＝a 2，a >0}，且M ∩N ≠∅，求a 的最大值和最小值．解 M ＝{(x ，y )|y ＝2a 2－x 2，a >0}，即{(x ，y )|x 2＋y 2＝2a 2，y ≥0}，表示以原点O 为圆心，半径等于2a 的半圆(位于横轴或横轴以上的部分)．N ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －3)2＝a 2，a >0}，表示以O ′(1，3)为圆心，半径等于a 的一个圆．再由M ∩N ≠∅，可得半圆和圆有交点，故半圆和圆相交或相切．当半圆和圆相外切时，由|OO ′|＝2＝2a ＋a ，求得a ＝22－2；当半圆和圆相内切时，由|OO ′|＝2＝2a －a ，求得a ＝22＋2，故a 的取值范围是[22－2,22＋2]，a 的最大值为22＋2，最小值为22－2.*13.(2016·湖南六校联考)已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)设圆心C (a,0)(a >－52)， 则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)． 所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k (x －1)，得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1. 若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0 ⇒k (x 1－1)x 1－t ＋k (x 2－1)x 2－t＝0 ⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2(k 2－4)k 2＋1－2k 2(t ＋1)k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4， 所以当点N 为(4,0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．。
等比数列前N项和的性质知识讲解
例题讲解
4、若等 {an}的 比公 数 1 3， 比 列 a1且 为 a3a99 6,0
则 {an}的1前 0 项 0 和 80 为 。
解： 令 S 奇 a 1 a 3 a 9 9 60
S 偶 a 2a 4 a 100
由则 等 S100比 S奇 数 nS项 偶列 和前 性S质 偶知 q1：
化简S到 n1 3： 3n2a
1 3
2a
0
a 1 6
探究二：
我们知道，等差数列有这样的性质：
如 a n 果 为等 ， 则 差 S k,S 2 数 kSk,S 列 3 kS 2 k也成等
新的等差数列 Sk， 首 公项 差k为 为 2d。
那么，在等比数列中，也有类似的性质吗？ 怎么证 明？
等比数列前n项和的性质二：
法
二
：
根据题意S10，S20－S10，S30－S20成等比数列 → S10＝10，S20＝30 → S30
例题讲解
【解】 法一：设公比为 q，则
a111－－qq10＝10 a111－－qq20＝30 ② ② ①得 1＋q10＝3，∴q10＝2，
①
a1 10 1 q
例题讲解
∴S30＝a111－－qq30＝70. 法二：∵S10，S20－S10，S30－S20 仍成等比数列， 又 S10＝10，S20＝30， ∴S30－S20＝S30－30＝30－10102， 即 S30＝70.
课后作业
书上第62页，习题2.5 B组，第2题、第5题。
5 、在{a 等 n} 中 a 比 1 ， a n 数 6， 6 a 2列 a n 1 1， 2 前 n 项 S n 和 1， 2n 6 及 求 q 公 。比
解： a1ana2an 1128
等比数列及前n项和讲义
等比数列及前n 项和复习学习重难点：①掌握等比数列的定义及通项公式（累乘法） ②运用错位相减法求数列的前n 项和【知识回顾】1、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的_______等于同一个 常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫等比数列的______，通常 用字母_______表示。
其定义式可写为________________________2、通项公式：_______________________________ 例1：在等比数列}{n a 中, ,8,1641=-=a a 则=7a （ ）. A.-4 B.±4 C.-2 D.±2例2：在等比数列中，112a =，12q =，132n a =，则项数n 为（ ）A. 3B.4C.5D.6 例3：已知数列{}n a 为等比数列，13n na a +=-，11a =，则3a 及4S 的值分别为( ) A ．9,20- B. 9,20-- C.9,20 D. 9,20- 例4：{}n a 是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为（ ） ①{}2n a 也是等比数列 ②{}n ca (0c ≠)也是等比数列③1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是等比数列 ④{}ln n a 也是等比数列 A ．4B ．3C ．2D ．13、等比中项：若a ，G ，b 成等比数列，则G 叫a 与b 的等比中项，即ab G ±=性质：若q p n m +=+，则____________；特别的若p n m 2=+，则__________ 例5：已知两个数分别为12和2，则这两个数的等比中项为（ ） A ．1 B. 1- C. 1± D. 不存在 例6：等比数列{}n a 中，已知92a =-，则此数列前17项之积为（ ） A.162 B.162- C.172 D.172-例7：已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =（ ） A ．–4 B ．–6 C ．–8 D ．–104、前n 项和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q q q a q na S n n （求和时注意考虑公比是否等于1的情况）例8：试求数列,,,32a a a ···，n a 的前n 项和。
等比数列及其前n项和知识点讲解+例题讲解(含解析)
等比数列及其前n 项和一、知识梳理1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.数学语言表达式：a n a n －1＝q (n ≥2，q 为非零常数).(2)如果三个数a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，其中G ＝2.等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1； 通项公式的推广：a n ＝a m q n －m .(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q .3.等比数列的性质已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和. (1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则有a k ·a l ＝a m ·a n . (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ， a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .(3)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n .证明：（1）当q ≠-1且q ≠0时，A a a a a S n n =++++=...321，n n n n n n n n n n n Aq q a q a q a a a a a S S =+++=++++=-+++ (2123212)n n n n n n n n n n n Aq q a q a q a a a a a S S 222221332221223......=+++=++++=-+++所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n（2）当q= -1时，<1>、当n 为奇数时，1a S n=，132,0a S S n n ==1120a a S S n n -=-=-， 11230a a S S n n =-=-所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n<2>、当n 为偶数时，032===n n n S S S ，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n不能构成等比数列小结：1.若数列{a n }为等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 也是等比数列. 2.由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0. 3.在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)等比数列公比q 是一个常数，它可以是任意实数.( ) (2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( )(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( )(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列.( ) 解析 (1)在等比数列中，q ≠0.(2)若a ＝0，b ＝0，c ＝0满足b 2＝ac ，但a ，b ，c 不成等比数列. (3)当a ＝1时，S n ＝na .(4)若a 1＝1，q ＝－1，则S 4＝0，S 8－S 4＝0，S 12－S 8＝0，不成等比数列.答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2.已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( ) A.－12B.－2C.2D.12解析 由题意知q 3＝a 5a 2＝18，即q ＝12.答案 D3.在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________.解析 设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81. 答案 27，814.(2019·天津和平区质检)已知等比数列{a n }满足a 1＝1，a 3·a 5＝4(a 4－1)，则a 7的值为( ) A.2B.4C.92D.6解析 根据等比数列的性质得a 3a 5＝a 24，∴a 24＝4(a 4－1)，即(a 4－2)2＝0，解得a 4＝2.又∵a 1＝1，a 1a 7＝a 24＝4，∴a 7＝4. 答案 B5.(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( )A.32f B.322fC.1225fD.1227f解析 由题意知十三个单音的频率依次构成首项为f ，公比为122的等比数列，设此数列为{a n }，则a 8＝1227f ，即第八个单音的频率为1227f . 答案 D6.(2015·全国Ⅰ卷)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和.若S n ＝126，则n ＝________.解析 由a n ＋1＝2a n ，知数列{a n }是以a 1＝2为首项，公比q ＝2的等比数列，由S n ＝2（1－2n ）1－2＝126，解得n ＝6.答案 6考点一 等比数列基本量的运算【例1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________.(2)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.解析 (1)由{a n }为等比数列，设公比为q .由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝－1，①a 1－a 1q 2＝－3，② 显然q ≠1，a 1≠0，②①得1－q ＝3，即q ＝－2，代入①式可得a 1＝1， 所以a 4＝a 1q 3＝1×(－2)3＝－8.(2)设数列{a n }首项为a 1，公比为q (q ≠1)，则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1（1－q 3）1－q＝74，S 6＝a 1（1－q 6）1－q＝634，解得⎩⎨⎧a 1＝14，q ＝2， 所以a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.答案 (1)－8 (2)32规律方法 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.2.等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q.【训练1】 (1)等比数列{a n }中各项均为正数，S n 是其前n 项和，且满足2S 3＝8a 1＋3a 2，a 4＝16，则S 4＝( ) A.9B.15C.18D.30(2)(2017·北京卷)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________.解析 (1)设数列{a n }的公比为q (q >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2S 3＝2（a 1＋a 1q ＋a 1q 2）＝8a 1＋3a 1q ，a 1q 3＝16， 解得q ＝2，a 1＝2，所以S 4＝2（1－24）1－2＝30.(2){a n }为等差数列，a 1＝－1，a 4＝8＝a 1＋3d ＝－1＋3d ，∴d ＝3，∴a 2＝a 1＋d ＝－1＋3＝2.{b n }为等比数列，b 1＝－1，b 4＝8＝b 1·q 3＝－q 3，∴q ＝－2，∴b 2＝b 1·q ＝2，则a 2b 2＝22＝1.答案 (1)D (2)1考点二 等比数列的判定与证明【例2】 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.(1)证明 由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1， 得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n ，由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1. (2)解 由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n.由S 5＝3132，得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.【训练2】 (2019·广东省级名校联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4.(1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列； (2)求数列{S n }的前n 项和T n . (1)证明 因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)， 所以S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)， 则S n ＝2S n －1－n ＋4(n ≥2)，所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2](n ≥2)， 又由题意知a 1－2a 1＝－3， 所以a 1＝3，则S 1－1＋2＝4，所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2等比数列. (2)解 由(1)知S n －n ＋2＝2n ＋1， 所以S n ＝2n ＋1＋n －2，于是T n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)＋(1＋2＋…＋n )－2n＝4（1－2n ）1－2＋n （n ＋1）2－2n ＝2n ＋3＋n 2－3n －82.考点三 等比数列的性质及应用【例3】 (1)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( ) A.12B.10C.8D.2＋log 35(2)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12＝( ) A.40B.60C.32D.50解析 (1)由等比数列的性质知a 5a 6＝a 4a 7，又a 5a 6＋a 4a 7＝18，所以a 5a 6＝9，则原式＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝10.(2)数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即数列4，8，S 9－S 6，S 12－S 9是首项为4，公比为2的等比数列，则S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝16，S 12－S 9＝a 10＋a 11＋a 12＝32，因此S 12＝4＋8＋16＋32＝60. 答案 (1)B (2)B【训练3】 (1)(2019·菏泽质检)在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程x 2＋4x ＋2＝0的两根，则a 5的值是( ) A.－2B.－ 2C.± 2D.2(2)(一题多解)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝________.解析 (1)根据根与系数之间的关系得a 3＋a 7＝－4， a 3a 7＝2，由a 3＋a 7＝－4<0，a 3a 7>0， 所以a 3<0，a 7<0，即a 5<0， 由a 3a 7＝a 25，得a 5＝－a 3a 7＝－ 2.(2)法一 由等比数列的性质S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，由已知得S 6＝3S 3，∴S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3，即S 9－S 6＝4S 3，S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73.法二 因为{a n }为等比数列，由S 6S 3＝3，设S 6＝3a ，S 3＝a (a ≠0)，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等比数列，即a ，2a ，S 9－S 6成等比数列，所以S 9－S 6＝4a ，解得S 9＝7a ，所以S 9S 6＝7a 3a ＝73.答案 (1)B (2)73数学运算——等差(比)数列性质的应用1.数学运算是指在明析运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.本系列数学运算主要表现为：理解数列问题，掌握数列运算法则，探究运算思路，求得运算结果.通过对数列性质的学习，发展数学运算能力，促进数学思维发展.2.数学抽象是指能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则，能够在特例的基础上归纳形成简单的数学命题，能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法，体会其中的数学思想.类型1 等差数列两个性质的应用 在等差数列{a n }中，S n 为{a n }的前n 项和： (1)S 2n －1＝(2n －1)a n ；等差中项）(2)设{a n }的项数为2n ，公差为d ，则S 偶－S 奇＝nd .【例1】 (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________.(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则数列的公差d ＝________.解析 (1)由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0得2a m －a 2m ＝0，解得a m ＝0或2.又S 2m －1＝（2m －1）（a 1＋a 2m －1）2＝(2m －1)a m ＝38， 显然可得a m ≠0，所以a m ＝2.代入上式可得2m －1＝19，解得m ＝10.(2)设等差数列的前12项中奇数项和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d .由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162.又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5. 答案 (1)10 (2)5类型2 等比数列两个性质的应用在等比数列{a n }中，(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a n ·a m ＝a p ·a q ；(2)当公比q ≠－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等比数列(n ∈N *).【例2】 (1)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( )A.6B.5C.4D.3(2)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A.18B.－18C.578D.558 解析 (1)数列{lg a n }的前8项和S 8＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 1·a 8)4＝lg(a 4·a 5)4＝lg(2×5)4＝4.(2)因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18，所以a 7＋a 8＋a 9＝18.答案 (1)C (2)A类型3 等比数列前n 项和S n 相关结论的活用(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{a n }中，公比为q . 若共有2n 项，则S 偶∶S 奇＝q .(2)分段求和：S n ＋m ＝S n ＋q n S m (q 为公比).【例3】 (1)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.(2)已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为________. 解析 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160， 所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2. (2)设等比数列{a n }的公比q ，易知S 3≠0.则S 6＝S 3＋S 3q 3＝9S 3，所以q 3＝8，q ＝2.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，其前5项和为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116.答案 (1)2 (2)3116三、课后练习1.已知等比数列{a n }的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为T n ，且a 2a 4＝a 3，则使得T 1>1的n 的最小值为( )A.4B.5C.6D.7 解析 ∵{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 2a 4＝a 3，∴a 23＝a 3，∴a 3＝1.又∵q >1，∴a 1<a 2<1，a n >1(n >3)，∴T n >T n －1(n ≥4，n ∈N *)，T 1<1，T 2＝a 1·a 2<1，T 3＝a 1·a 2·a 3＝a 1a 2＝T 2<1，T 4＝a 1a 2a 3a 4＝a 1<1，T 5＝a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝a 53＝1，T 6＝T 5·a 6＝a 6>1，故n 的最小值为6. 答案 C 2.数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A.(3n －1)2B.12(9n －1)C.9n －1D.14(3n －1)解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1，∴当n ≥2时，a n ＝3n －3n －1＝2·3n －1，又n ＝1时，a 1＝2适合上式，∴a n ＝2·3n －1，故数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列.因此a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4(1－9n )1－9＝12(9n －1). 答案 B 3.(2019·华大新高考联盟质检)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3a 11＝2a 25，且S 4＋S 12＝λS 8，则λ＝______.解析 ∵{a n }是等比数列，a 3a 11＝2a 25，∴a 27＝2a 25，∴q 4＝2，∵S 4＋S 12＝λS 8，∴a 1（1－q 4）1－q ＋a 1（1－q 12）1－q ＝λa 1（1－q 8）1－q， ∴1－q 4＋1－q 12＝λ(1－q 8)，将q 4＝2代入计算可得λ＝83.答案 834.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋λ(λ为常数).(1)试探究数列{a n ＋λ}是不是等比数列，并求a n ；(2)当λ＝1时，求数列{n (a n ＋λ)}的前n 项和T n . 解 (1)因为a n ＋1＝2a n ＋λ，所以a n ＋1＋λ＝2(a n ＋λ). 又a 1＝1，所以当λ＝－1时，a 1＋λ＝0，数列{a n ＋λ}不是等比数列， 此时a n ＋λ＝a n －1＝0，即a n ＝1； 当λ≠－1时，a 1＋λ≠0，所以a n ＋λ≠0， 所以数列{a n ＋λ}是以1＋λ为首项，2为公比的等比数列， 此时a n ＋λ＝(1＋λ)2n －1，即a n ＝(1＋λ)2n －1－λ.(2)由(1)知a n ＝2n －1，所以n (a n ＋1)＝n ×2n ， T n ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，① 2T n ＝22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1，② ①－②得：－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2（1－2n ）1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2. 所以T n ＝(n －1)2n ＋1＋2.。
等比数列及其前n项和讲义
等比数列及其前n 项和讲义一、知识梳理1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)．2．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －1(a 1≠0，q ≠0)．3．等比中项如果在a 与b 中插入一个数G ，使得a ，G ，b 成等比数列，那么根据等比数列的定义，G a ＝b G，G 2＝ab ，G ＝±ab ，称G 为a ，b 的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n .(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1，{a 2n }，{a n ·b n }，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 仍是等比数列． 5．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q. 6．等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n . 注意：等比数列{a n }的单调性(1)满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1时，{a n }是递增数列． (2)满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1时，{a n }是递减数列． (3)当⎩⎪⎨⎪⎧ a 1≠0，q ＝1时，{a n }为常数列． (4)当q <0时，{a n }为摆动数列．二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( )(2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( )(3)如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( )(4)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( )(5)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a .( ) (6)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( )题组二：教材改编2．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝______. 3．在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．题组三：易错自纠4．若1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1－a 2b 2的值为________． 5．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________. 6．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 KB ，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB ＝210 KB)．三、典型例题题型一：等比数列基本量的运算1．已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于( ) A ．2 B ．1 C.12 D.182．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S n a n＝________. 思维升华：等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．题型二：等比数列的判定与证明典例 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．引申探究：若将本例中“S n ＋1＝4a n ＋2”改为“S n ＋1＝2S n ＋(n ＋1)”，其他不变，求数列{a n }的通项公式． 思维升华：(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n ＝1时的情况进行验证．跟踪训练：已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0.(1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式；(2)若S 5＝3132，求λ. 题型三：等比数列性质的应用1．已知等比数列{a n }，且a 6＋a 8＝4，则a 8(a 4＋2a 6＋a 8)的值为( )A ．2B ．4C ．8D ．162．已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12等于( )A ．40B ．60C ．32D ．50思维升华：等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形．(2)等比中项的变形．(3)前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． 注意：分类讨论思想在等比数列中的应用典例 (12分)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：S n ＋1S n ≤136(n ∈N *)． 四、反馈练习1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( ) A ．－3 B ．5 C ．－31 D ．332．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1等于( )A ．－2B ．－1 C.12 D.233．已知等比数列{a n }中，a 3＝2，a 4a 6＝16，则a 10－a 12a 6－a 8的值为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．164．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n ＋3)(n ∈N *)在函数y ＝3×2x 的图象上，等比数列{b n }满足b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N *)，其前n 项和为T n ，则下列结论正确的是( )A ．S n ＝2T nB ．T n ＝2b n ＋1C ．T n >a nD ．T n <b n ＋15．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10等于( )A ．5B ．9C ．log 345D ．106．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里7．已知{a n }是各项都为正数的等比数列，其前n 项和为S n ，且S 2＝3，S 4＝15，则a 3＝________.8．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．9．已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和为________．10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝1(n ∈N *)，则通项a n ＝________.11．已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．12．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝n )21(，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *.(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ；(2)求T 2n .13．若数列{a n ＋1－a n }是等比数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝5，则a n ＝________.14．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝12n (n ＝1,2,3，…)，则S 2n ＋3＝________. 15．已知等比数列{a n }的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为T n ，且a 2a 4＝a 3，则使得T n >1的n 的最小值为( )A ．4B ．5C ．6D ．716．设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋12n ＝(－1)n a n (n ∈N *)，则数列{S n }的前9项和为________．。
北师版数学必修5讲义： 第1章 3.2 第1课时 等比数列的前n项和
3.2 等比数列的前n 项和第1课时 等比数列的前n 项和1．掌握等比数列的前n 项和公式及其应用．(重点)2．会用错位相减法求数列的和．(重点)3．能运用等比数列的前n 项和公式解决一些简单的实际问题．(重点、难点)[基础·初探]教材整理 等比数列的前n 项和公式阅读教材P 26～P 27例5以上部分，完成下列问题．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)求等比数列{a n }的前n 项和时可直接套用公式S n ＝a 1(1－q n )1－q求和．( ) (2)首项为a 的数列既是等差又是等比数列的前n 项和为S n ＝na .( )(3)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则数列{S n }可能是函数y ＝－Aq x ＋A 图像上一些孤立的点．( )【解析】 (1)当q ＝1时不能直接应用，q ≠1时可直接应用．(2)既是等比数列又是等差数列的数列为常数列，前n 项和为S n ＝na .(3)由S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－a 11－q ·q n ＋a 11－q ，令A ＝a 11－q得S n ＝－Aq n ＋A ，又n ∈N ＋，故数列{S n }可能是函数y ＝－Aq x ＋A 图像上一些孤立的点．【答案】 (1)× (2)√ (3)√[小组合作型]在等比数列{a n }中，(1)在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝66，a 2·a n －1＝128，S n ＝126，求n 和q ；(2)若a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，求a 4和S 5；(3)若q ＝2，S 4＝1，求S 8.【精彩点拨】 根据等比数列的前n 项和公式，结合通项公式，列方程或方程组求解，注意整体代换思想的应用．【尝试解答】 (1)由等比数列性质知a 1a n ＝a 2a n －1＝128，联立方程组⎩⎨⎧ a 1＋a n ＝66，a 1a n ＝128，∴a 1，a n 为方程x 2－66x ＋128＝0的两根，又由此方程两根分别为2,64.∴⎩⎨⎧ a 1＝64，a n ＝2或⎩⎨⎧ a 1＝2，a n＝64. 当a 1＝64，a n ＝2时，又∵S n ＝a 1－a n q 1－q＝126，得q ＝12， 又由a n ＝a 1·q n －1，即2＝64·q n －1＝64·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1， ∴n ＝6；当a 1＝2，a n ＝64，又∵S n ＝a 1－a n q 1－q＝126，得q ＝2，。
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等比数列及其前n 项和一、等比数列的相关概念（一）等比数列的定义：如果一个数列从第．2．项起，．．．每一项与它的前一项的比等于．．．．．．．．．．．．．同一．．不为．．0．的．常数．．，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．．．．．．．．．．．，公比通常用字母q 表示（q ≠0）。
注意：1、在数列{n a }，若q a a nn =+1(q 为常数，q ≠0)对任意的都成立，则数列是等比数列。
2、等比数列中每一项均不能为0，因此q 也不能是0。
3、公比是每一项与前一项之比，不能颠倒次序。
4、常数列都是等差数列，但不一定是等比数列。
若常数列是项都是0的数列，它不是等比数列。
（二）等比数列的通项公式：设等比数列{n a }的首项为1a ，公比为q ，则它的通项n a ＝1a ×1-n q；或通项公式的变形：n a ＝mn m q a -⨯（三）等比中项：如果在a 与b 中间插一个数G ，使a 、G 、b 成等比数列，那么G ．叫做．．a 与．b ．的等比中项。
．．．．．．若G 是a 与b 的等比中项，则Gba G =，即G 2＝a ×b ，或b a G ⨯±= 注意：1、同号非零两数才有等比中项，等比中项有两个，它们互为相反数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．； 2、一个等比数列从第2项起，每一项（有穷等比数列末项除外）是前一项与后一项的等比中项。
即212++=⨯n n n a a a例1：已知数列{n a }满足1a ＝1，1+n a ＝32n a ，n ∈N*，则n a ＝( ) A ：1)32(-nB ：n)32(C ：1)23(-nD ：n)23(【解析】选A变式练习1：已知等比数列{n a }中，若1a ＝1，公比︱q ︱≠1，若m a ＝1a ×2a ×3a ×4a ×5a ， 则m 的值为（ ） 【基本量法】 A ：9 B ：10 C ：11 D ：12【解析】：a m ＝a 1×a 2×a 3×a 4×a 5＝q 10，则a m ＝a 1×q 10 C变式练习2：已知{n a }是等差数列，公差d 不为零.若2a ，3a ，7a 成等比数列，且21a ＋2a ＝1，则1a ＝______，d ＝______。
【解析】由题意可得，(a 1+2d)2＝(a 1+d)(a 1+6d)，故有3a 1+2d ＝0，又因为2a 1+a 2＝1，即3a 1+d ＝1，所以d ＝－1，a 1＝. 答案： －1变式练习3：公差不为0的等差数列第2，3，6项构成等比数列，则公比为________。
【解析】设等差数列为{a n }，公差为d ，首项为a 1，由题设知，等差数列{a n }中，=a 2·a 6，所以(a 1+2d)2=(a 1+d)(a 1+5d)，因为d ≠0，所以d=－2a 1， 所以a 1≠0.故公比q====3.答案：3变式练习4：公比为2的等比数列{n a }中，若sin(1a ×4a )＝52，则cos(2a ×5a )＝（ ）A ：－57B ：2517C ：57D ：257【解析】：2a ×5a ＝1a ×4a ×2，故cos2(1a ×4a )＝1－2sin 2(1a ×4a )＝2517B二、等比数列的性质1、当q ＞1，1a ＞0或0＜q ＜1，1a ＜0，则等比数列是递增数列；当q ＞1，1a ＜0或0＜q ＜1，1a ＞0，则等比数列是递减数列；当q ＝1时，等比数列是常数列；当．q ＜．0．时，．．等比数列是摆动数列．．．．．．．．．。
2、等比数列的通项：11-=n n q a a ＝m n m q a - (m 、n ∈N ＋)3、若p 、q 、m 、n ∈N ＋，且p ＋q ＝m ＋n ，则n m q p a a a a ⨯=⨯；特别地：当m ＋n ＝2p 时，有2p n m a a a =⨯。
例2：已知各项均为正数的等比数列{n a }中，)lg(1383a a a ＝6，则1a ×15a ＝_____。
【解析】 ∵lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝6，∴a 38＝106⇒a 8＝102＝100. 又a 1a 15＝a 28＝10 000.【答案】 10 000例3：已知数列{an}是等比数列，且2a ×6a ＝24a ，则3a ×5a ＝_____。
【解析】 ∵a 2a 6＝2a 4，由等比数列的性质可知，a 2a 6＝a 3a 5＝a 24，∴a 24＝2a 4，∴a 4＝2，∴a 3a 5＝4.【答案】 4变式练习1：已知在等比数列{n a }中，n a ＞0，设1a 、99a 是方程016192=+-x x 的两根，则12a ×50a ×88a 的值为（ ） A ：32 B ：64 C ：128 D ：256【解析】：1a ×99a ＝16 则20a ×50a ×80a ＝64 B变式练习2：已知等比数列{n a }满足n a ＞0，n ＝1，2，3，……，且n n a a 25252=⨯-(n ≥3)，则1223212log log log -+++n a a a 等于（ ） A ：n(2n －1) B ：(n ＋1)2 C ：n 2 D ：(n －1)2【解析】：∵n n a a 25252=⨯- ∴n n a 2=，得1223212log log log -+++n a a a ＝)2(log )2(log )2(log 1223212-+++n ＝1＋3＋……＋(2n －1) ＝n 2，C变式练习3：在等比数列{n a }中，若3a ＝4，9a ＝1，则6a ＝___________；若3a ＝4，11a ＝1，则7a ＝___________。
【解析】：336q a a ⨯= ±2 ； 0437>⨯=q a a 2变式练习4：等比数列{n a }中，3a 、15a 是方程0862=+-x x 的两根，则9171a a a ⨯＝___。
【解析】：3a ＋15a ＝6，3a ×15a ＝8＝29a ，9171a a a ⨯＝929a a ＝9a ＝±22。
∵9a ＝3a ×6q ＞0，故9a ＝±22三、等比数列前n 项和Sn1、公式： n S ＝⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--=)1(11)1()1(,111q q q a a q q a q na n n2、性质：连续m 项的和n S ，n S 2－n S ，n S 3－S 2m ，仍组成等比数列。
例4：设等比数列{n a }的前n 项和为n S ，且3S ＋6S ＝29S ，求3q 的值。
【解析】：－21例5：已知等比数列{n a }中，1a ＝3，1a ＋3a ＋5a ＝21，则3a ＋5a ＋7a ＝( ) A ：21 B ：42 C ：6 D ：84 【解析】：B变式练习1：设等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若336=S S ，则=69S S__________。
【解析】：37变式练习2：设等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知3S ＝8，6S ＝7，则7a ＋8a ＋9a ＝____。
【解析】：81变式练习3：在各项均为正数的等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若4S ＝10，12S ＝130，则8S ＝（ ）A ：－30B ：40C ：40或－30D ：40或－50 【解析】：B变式练习4：设等比数列{n a }满足，1a ＋3a ＝10，2a ＋4a ＝5，则1a ×2a ×……×n a 的最大值为___________________。
【解析】：64 ⎪⎩⎪⎨⎧==2181q a 故4)21(-=n na ，等比数列{a n }是递减数列，当n ≤4时，n a ≥1，当n ≥5时，n a ≤1。
∵当n ＝4时，1=n a ，故当n ＝3或4时，a 1×a 2×……×a n 有最大值，且最大值为41)21(-×42)21(-×43)21(-×44)21(-＝6)21(-＝64。
例6：已知{n a }是公差为3的等差数列，数列{n b }满足11=b ，312=b ，n n n n nb b b a =+++11。
（1）求{n a }的通项公式；（2）求{n b }的前n 项和。
（II ）由（I ）和11n n n n a b b nb +++= ,得13n n b b +=,因此{}n b 是首项为1,公比为13的等比数列.记{}n b 的前n 项和为n S ,则111()313.122313nn n S --==-⨯- 例7：记n S 为等比数列{n a }的前n 项和，已知2S ＝2，3S ＝－6。
（1）求{n a }的通项公式； （2）求n S ，并判断1+n S ，n S ，2+n S 是否成等差数列。
课 后 综 合 练 习1、已知{n a }是等比数列，2a ＝2，5a ＝41，则这个数列的公比为（ ） A ：－21 B ：－2 C ：2 D ：21 【解析】：D2、如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么（ ） A ：b ＝3 a ×c ＝9 B ：b ＝－3 a ×c ＝9 C ：b ＝3 a ×c ＝－9 D ：b ＝－3 a ×c ＝－9 【解析】：B3、公比为2的等比数列{n a }的各项都是正数，且3a 11a ＝16，则5a ＝( ) A ：1B ：2C ：4D ：8【解析】选A.因为=a3·a11，又各项都为正数，故a7=4，而a5q2=a7，所以a5=1.4、已知{n a }是等比数列，下面结论中正确的是（ ）A ：2312a a a ≥+B ：2223212a a a ≥+C ：若2131,a a a a ==则D ：若2431,a a a a ><则 【解析】：B5、在等比数列{n a }中，200720108a a =，则数列的公比为（ ） A ：2 B ：3 C ：4 D ：8 【解析】：A6、在等比数列{n a }中，nn n a a 161=⨯+，则公比为（ ）A ：±4B ：4C ：8D ：16 【解析】：B7、已知数列{n a }是正数组成的等比数列，n S 是它的前n 项和。