广东省梅县东山中学2014届高三上学期期中数学文试题 Word版含答案

东山中学2013－2014学年度 第一学期高三文科数学中段试题一、选择题（5×10=50分）1．已知集合2{|230}M x x x =--=,{|24}N x x =-<≤，则M N =（ ） A. {|13}x x -<≤ B. {|14}x x -<≤ C. {3,1}- D. {1,3}- 2．若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．1-或13．已知点(1(1A B -,则直线AB 的倾斜角是（ ）A ．3π B ．6π C ．23π D ．56π4.函数()ln(1)f x x =+-的定义域是（ ）A. (0,)+∞B. (1,)+∞C. (0,1)D. (0,1)(1,)+∞5．设m ，n 是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若n m n m //,//,则αα⊂②βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n m③若,//,//,//n m n m m αβαβ⋂=则且 ④若βαβα//,,则⊥⊥m m 其中正确的命题是（ ） A ．① B ．②C ．③④D ．②④6．数列{}n a 是等差数列, 12324a a a ++=-, 1926a =, 则数列{}n a 前20项和等于（ ） A ．160 B ．180 C ．200 D ．220 7．在△ABC 中，,,A B C 所对的边长分别是,,a b c，且,1,3A a b π===则c ＝（ ）A ．1B ．2C ．3－1D ． 38. 平面向量a 与b 的夹角为060，2=a ，1=b ，则+=a b （ ）ABC ．3D ． 79．已知变量20,230,20x y x y x y z x y x -≤⎧⎪-+≥=+⎨⎪≥⎩满足则的最大值为（ ）A ．0B ．32C ．4D ．510．如图1，正四棱锥 (底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心) P ABCD -的底面边长为6cm ，侧棱长为5cm ，则它的正视图的面积等于（ ）A.B. C.12 D.24二、填空题（5×4=20分）（一）必做题（11~13题）11．sin ,05(),()_______(1)1,06x x f x f f x x π≤⎧==⎨-+>⎩ 已知则。

12．设等比数列{}n a 的公比为q ＝2，前n 项和为n S ，则42S a ＝ 。

13．已知关于x 的不等式()()11ax x -+＜0的解集是1(,1)(,)2-∞--+∞，则a = 。

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题，两道题都做的，只计14题的分）14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xoy 中, 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线2()1x t t y t=-+⎧⎨=-⎩为参数截圆22cos 30ρρθ+-=所得的弦长等于 。

15. （几何证明选讲选做题）如图2,ABC ∆中,D 、E 分别在边AB 、AC 上,CD 平分∠ACB ,DE ∥BC ,如果AC =10，AE =4，那么BC = 。

三、解答题（本大题共6小题，共80分.）16．（本小题满分12分）设函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0ω>,x R ∈)，且以π为最小正周期。

（1）求2f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）已知1021213f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求sin 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值。

17．（本小题满分13分）设向量(3,OA =，(cos ,sin )OB θθ=，其中02πθ≤≤。

（1）若13AB =，求tan θ的值； （2）在（1）条件下求△AOB 的面积。

18．（本小题满分13分）已知二次函数2()(,0)f x ax bx a b a =+≠为常数,且，满足条件(1)(1)f x f x +=-，且方 程()f x x =有两个相等实根。

（1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 在区间[,1]m m +上是单调函数，求m 的取值范围。

19．（本小题满分14分）,2P ABCD ABCD PD ABCD PD AB -⊥==如图所示,四棱锥中,底面为正方形,平面，,,,E F G H PC PD BC AD 分别是、、、的中点。

（1）求证：//PA EFG 平面； （2）求证：平面⊥PDA 平面EFG ；（3）求三棱锥P —EFG 的体积。

20．（本小题满分14分）设n S 为数列}{n a 的前n 项和，对任意的∈n N *，都有(n n S =且0)m >。

（1）求证：数列}{n a 是等比数列；（2）设数列}{n a 的公比()m f q =，数列{}n b 满足()1112,n n b a b f b -== (2n ≥，∈n N *)，求数列{}n b 的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求数列12n n b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 。

21．（本小题满分14分）已知a ∈R ，函数()()2f x xx a =-。

（1）若函数()x f 在区间20,3⎛⎫⎪⎝⎭内是减函数，求实数a 的取值范围； （2）求函数()f x 在区间[]1,2上的最小值()h a ； （3）对（2）中的()h a ，若关于a 的方程()12h a m a ⎛⎫=+⎪⎝⎭有两个不相等的实数解，求实数m 的取值范围。

东山中学2013－2014学年度 第一学期高三文科数学中段试题答卷班级 姓名 座号 成绩（一）必做题11 12 13 （二）选做题14 15三.解答题：本大题共6小题，共80分. 16（12分）17（13分）18（13分）19（14分）班级姓名座号20（14分）21（14分）东山中学2013－2014学年度第一学期高三文科数学中段试题答案二.填空题： 11.2 12. 213.-2 14.4 15.15三、解答题16. （12分）解：（1）∵2T ππω==, ∴2ω=, ∴()2sin(2)3f x x π=+ (3)分∴2sin 22sin 2sin 22333f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ …………5分 （2）∵102sin 22sin 2cos 2122123213f απαπππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∴5cos 13α=, ∵(,0)2πα∈- ∴12sin 13α==- …………9分∴sin()sin coscos sin444πππααα-=-1251313=--=……12分17. （13分）解：（1）依题意得，(cos 3,sin AB OB OA θθ=-=-+， (2)分()(222cos 3sin AB θθ∴=-+136cos 13θθ=-+=， (4)分3cos θθ=．cos 0θ≠， tan θ∴= (6)分（2）由02πθ≤≤，得3πθ=． 362A OB πππ∴∠=+= ……………………8分1sin 2AOB S OA OB AOB ∆∴=∠11sin 22π=⨯⨯=， …………………11分∴△AOB (12)分18. （13分）解：（1）∵f (1+x )=f (1-x ),∴f (x )的图象关于直线x =1对称。

∴f (x )的对称轴2bx a=-=1. ① -----------3分 又f (x )=x ，即ax 2+(b -1)x =0有等根 ∴2(1)0b ∆=-= ②-----------6分由①，②解得：1,12a b =-= ∴21()2f x x x =-+ -----------8分(2)∵22111()(1)222f x x x x =-+=--+， 且()f x 在区间[,1]m m +上是单调函数 ∴111m m +≤≥或即01m m ≤≥或 ∴(][)1,m ∞+∞的取值范围为-,0-----13分19. （14分）（1）证明：连接GH ，FHE ，F 分别为PC ，PD 的中点， //EF CD ∴G ，H 分别为BC ，AD 的中点， //.G H C D ∴ //,EF GH ∴∴E ，F ，H ，G 四点共面。

F ，H 分别为DP ，DA 的中点， //PA FH ∴PA ⊄平面EFG ，FH ⊂平面EFG ， //PA ∴平面EFG …………4分（2）证明：PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ,P D D C ∴⊥又AD ⊥DC ，且AD PD D ⋂= DC ∴⊥平面PDAE ，F 分别为PC ，PD 的中点 //EF CD ∴ EF ∴⊥平面PDA又EF ⊂平面EFG ， ∴平面PDA ⊥平面EFG 。

…………8分（3）解：PD ⊥平面ABCD ，GC ⊂平面ABCD ， .G C P D ∴⊥ABCD 为正方形，.GC CD ∴⊥ ,P D C D D G C ⋂=∴⊥平面PCD ，111,122PF PD EF CD ====， 1122PEF S EF PF ∆∴=⨯=111111123326P EFG G PEF PEF GC BC V V S GC --∆==∴==⋅=⨯⨯=∴1三棱锥P-EFG 的体积为6 ……14分20. （14分）（1）证明：当1=n 时，()1111a S m ma ==+-，解得11=a ． (1)分当2n ≥时，11n n n n n a S S ma ma --=-=-．即()11n n m a ma -+= ………2分 ∵m 为常数，且0m >， ∴11n n a ma m-=+()2n ≥． ……………3分∴数列}{n a 是首项为1，公比为1mm+的等比数列．……………4分（2）解：由（1）得，()m f q =1mm=+，1122b a ==． ………………5分 ∵()1111n n n n b b f b b ---==+， ∴1111n n b b -=+，即1111=--n n b b ()2n ≥．………………7分∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1是首项为12，公差为1的等差数列． ……………8分∴()11211122n n n b -=+-⋅=，即221n b n =-（*n ∈N ）． ……………9分 （3）解：由（2）知221n b n =-，则()12221n n nn b +=-． ……………10分所以2341123122222n n n n nT b b b b b +-=+++++， 即n T ()()1231123252232212n n n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅， ①则()()()23-112232252232212n n n n T n n n +=⋅+⋅++-⋅+-⋅+-⋅ 1 ② (12)分②－①得()()31341112(12)-2+2+2++2212=2+21212n n n n n T n n -+++-=--⋅--⋅-，()2311222212(32)26n n n n n +++=+---⋅=-⋅- (13)分()12326n n T n +∴=-+． (14)分21. （14分）（1）解：∵()32f x x ax =-，∴()2'32f x x ax =-. …………………1分∵函数()x f 在区间20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内是减函数， ∴()2'320f x x ax =-≤， 即32x a ≥在20,3⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，………3分 3321223x <⨯=， ∴1a ≥．即实数a 的取值范围为[)1,+∞． …………………4分1（2）解：∵()2'33f x x x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令()'0f x =得203x a =或． (5)分 ①若203a <，即0a ≤，则当12x ≤≤时，()'0f x >，∴()f x 在区间[]1,2上是增函数， ∴()()11h a f a ==-．………………………………………6分 ②若2013a <<，即302a <<，则当12x ≤≤时，()'0f x >，∴()f x 在区间[]1,2上是增函数， ∴()()11h a f a ==-．…………………………7分 ③若2123a ≤<，即332a ≤<，则当213x a <<时，()'0f x <；当223a x <<时，()'0f x >． ∴()f x 在区间21,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，在区间2,23a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数．∴()324327h a f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．………………………8分④若223a ≥，即3a ≥，则当12x <<时，()'0f x <，∴()f x 在区间[]1,2上是减函数． ∴()()284h a f a ==-．………………………9分 综上，函数()f x 在区间[]1,2的最小值()331,,243,3,27284, 3.a a h a a a a a ⎧-<⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩…………10分 （3）解：由题意()12h a m a ⎛⎫=+⎪⎝⎭即（2）中函数()h a 的图像与直线12y m a ⎛⎫=+⎪⎝⎭有两个不同的交点．………11分 而直线12y m a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭恒过定点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，由右图知实数m 的取值范围是()4,1--． (14)分。