高考数学(文科)二轮专题突破训练：专题六直线、圆、圆锥曲线专题能力训练15含答案

合集下载

高考数学(文科)二轮专题突破训练：专题六直线、圆、圆锥曲线专题能力训练15含答案

专题能力训练15直线与圆一、能力突破训练1.圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为()A.1B.2C.D.22.已知三点A(1,0),B(0,),C(2,),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A. B. C. D.3.直线y=kx+3与圆(x-1)2+(y+2)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2,则实数k的取值范围是()A. B.C. D.4.过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=()A.2B.8C.4D.105.(2018全国Ⅰ,文15)已知直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=.6.已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是,半径是.7.若直线=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.8.已知P是抛物线y2=4x上的动点,过P作抛物线准线的垂线,垂足为M,N是圆(x-2)2+(y-5)2=1上的动点,则|PM|+|PN|的最小值是.9.在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为圆心的圆与直线x-y=4相切.(1)求☉O的方程;(2)若☉O上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,且|MN|=2,求直线MN的方程;(3)设☉O与x轴相交于A,B两点,若圆内的动点P使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求的取值范围.10.已知☉O:x2+y2=4,点A(,0),以线段AB为直径的圆内切于☉O,记点B的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程;(2)直线AB交☉O于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线AB的方程.11.已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与☉C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.(1)求k的取值范围;(2)若=12,其中O为坐标原点,求|MN|.二、思维提升训练12.已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2.则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离13.(2018全国Ⅲ,文8)已知直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是()A.[2,6]B.[4,8]C.[,3]D.[2,3]14.在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若≤20,则点P的横坐标的取值范围是.15.在平面直角坐标系中,当P(x,y)不是原点时,定义P的“伴随点”为P';当P是原点时,定义P的“伴随点”为它自身.现有下列命题:①若点A的“伴随点”是点A',则点A'的“伴随点”是点A;②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上;③若两点关于x轴对称,则它们的“伴随点”关于y轴对称;④若三点在同一条直线上,则它们的“伴随点”一定共线.其中的真命题是.(写出所有真命题的序号)16.在平面直角坐标系xOy中,已知☉C1:(x+3)2+(y-1)2=4和☉C2:(x-4)2+(y-5)2=4.(1)若直线l过点A(4,0),且被☉C1截得的弦长为2,求直线l的方程;(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与☉C1和☉C2相交,且直线l1被☉C1截得的弦长与直线l2被☉C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.17.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得,求实数t的取值范围.专题能力训练15直线与圆一、能力突破训练1.C解析由题意可知圆心坐标为(-1,0),故圆心到直线y=x+3的距离d=,故选C.2.B解析由题意知,△ABC外接圆的圆心是直线x=1与线段AB垂直平分线的交点,设为P,而线段AB垂直平分线的方程为y-,它与x=1联立得圆心P坐标为,则|OP|=.3.B解析当|MN|=2时,在弦心距、半径和半弦长构成的直角三角形中,可知圆心(1,-2)到直线y=kx+3的距离为=1,即=1,解得k=-.若使|MN|≥2,则k≤-.4.C解析设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将点A,B,C代入,得解得则圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0.令x=0得y2+4y-20=0,设M(0,y1),N(0,y2),则y1,y2是方程y2+4y-20=0的两根,由根与系数的关系,得y1+y2=-4,y1y2=-20,故|MN|=|y1-y2|==4.5.2解析圆的方程可化为x2+(y+1)2=4,故圆心C(0,-1),半径r=2,圆心到直线y=x+1的距离d=,所以弦长|AB|=2=2=2.6.(-2,-4)5解析由题意,可得a2=a+2,解得a=-1或2.当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25,故圆心为(-2,-4),半径为5;当a=2时,方程为4x2+4y2+4x+8y+10=0,+(y+1)2=-不表示圆.7.8解析∵直线=1过点(1,2),∴=1.∵a>0,b>0,∴2a+b=(2a+b)=4+≥4+2=8.当且仅当b=2a时“=”成立.8.-1解析抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),圆(x-2)2+(y-5)2=1的圆心为C(2,5),根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离,进而推断出当P,C,F三点共线时,点P到点C的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值为|FC|=,故|PM|+|PN|的最小值是|FC|-1=-1.9.解(1)依题意,☉O的半径r等于原点O到直线x-y=4的距离,即r==2.所以☉O的方程为x2+y2=4.(2)由题意,可设直线MN的方程为2x-y+m=0.则圆心O到直线MN的距离d=.由垂径定理,得+()2=22,即m=±.所以直线MN的方程为2x-y+=0或2x-y-=0.(3)设P(x,y),由题意得A(-2,0),B(2,0).由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得=x2+y2,即x2-y2=2.因为=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=2(y2-1),且点P在☉O内,所以由此得y2<1.所以的取值范围为[-2,0).10.解(1)设AB的中点为M,切点为N,连接OM,MN,则|OM|+|MN|=|ON|=2,|AB|=|ON|-(|OM|-|MN|)=2-|OM|+|AB|,即|AB|+2|OM|=4.取A关于y轴的对称点A',连接A'B,则|A'B|=2|OM|,所以|AB|+2|OM|=|AB|+|A'B|=4>|A'A|.所以点B的轨迹是以A',A为焦点,长轴长为4的椭圆.其中,a=2,c=,b=1,故曲线Γ的方程为+y2=1.(2)因为B为CD的中点,所以OB⊥CD,则.设B(x0,y0),则x0(x0-)+=0.又=1,解得x0=,y0=±.则k OB=±,k AB=∓,则直线AB的方程为y=±(x-),即x-y-=0或x+y-=0.11.解(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.因为l与C交于两点,所以<1.解得<k<.所以k的取值范围为.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.所以x1+x2=,x1x2=.=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=+8.由题设可得+8=12,解得k=1,所以l的方程为y=x+1.故圆心C在l上,所以|MN|=2.二、思维提升训练12.B解析圆M的方程可化为x2+(y-a)2=a2,故其圆心为M(0,a),半径R=a.所以圆心到直线x+y=0的距离d= a.所以直线x+y=0被圆M所截弦长为2=2a,由题意可得a=2,故a=2.圆N的圆心N(1,1),半径r=1.而|MN|=,显然R-r<|MN|<R+r,所以两圆相交.13. A解析设圆心到直线AB的距离d==2.点P到直线AB的距离为d'.易知d-r≤d'≤d+r,即≤d'≤3.又AB=2,∴S△ABP=·|AB|·d'=d',∴2≤S△ABP≤6.14.[-5,1]解析设P(x,y),由≤20,易得x2+y2+12x-6y≤20.把x2+y2=50代入x2+y2+12x-6y≤20得2x-y+5≤0.由可得由2x-y+5≤0表示的平面区域及P点在圆上,可得点P在圆弧EPF上,所以点P横坐标的取值范围为[-5,1].15.②③解析对于①,若令P(1,1),则其伴随点为P',而P'的伴随点为(-1,-1),而不是P,故①错误;对于②,令单位圆上点的坐标为P(cos x,sin x),其伴随点为P'(sin x,-cos x)仍在单位圆上,所以②正确;③设A(x,y)与B(x,-y)为关于x轴对称的两点,则A的“伴随点”为A',B点的伴随点为B',A'与B'关于y轴对称,故③正确;对于④,取直线l:y=1.设其“伴随曲线”为C,其上任一点M(x,y),与其对应的直线l上的点为N(t,1).则由定义可知①2+②2得x2+y2==x,整理得x2+y2-x=0,显然不是一条直线.故④错误.所以正确的序号为②③.16.解(1)设直线l的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0,由垂径定理,得圆心C1到直线l的距离d==1.由点到直线距离公式,得=1,化简,得24k2+7k=0,解得k=0或k=-.当k=0时,直线l的方程为y=0;当k=-时,直线l的方程为y=-(x-4),即7x+24y-28=0.故所求直线l的方程为y=0或7x+24y-28=0.(2)设点P坐标为(m,n),直线l1,l2的方程分别为y-n=k(x-m)和y-n=-(x-m),即kx-y+n-km=0,-x-y+n+m=0.∵直线l1被☉C1截得的弦长与直线l2被☉C2截得的弦长相等,两圆半径相等,∴由垂径定理得圆心C1到直线l1与圆心C2到直线l2的距离相等.∴,化简,得(2-m-n)k=m-n-3或(m-n+8)k=m+n-5.∵关于k的方程有无穷多解,∴解得故点P坐标为.17.解圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,所以0<y0<7,于是圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为=2.设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,则圆心M到直线l的距离d=.因为BC=OA==2,而MC2=d2+,所以25=+5,解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2).因为A(2,4),T(t,0),,所以①因为点Q在圆M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25.②将①代入②,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25.于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上, 从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共点, 所以5-5≤≤5+5,解得2-2≤t≤2+2.因此,实数t的取值范围是[2-2,2+2].。

2019年高考数学(文科)二轮专题突破训练：六直线、圆、圆锥曲线专题能力训练16(含答案)

专题能力训练16椭圆、双曲线、抛物线一、能力突破训练1.(2018全国Ⅰ,文4)已知椭圆C:=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为()A.B.C.D.2.已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为()A.B.C.D.3.已知O为坐标原点,F是椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点,P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A. B. C. D.4.已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.-y2=1D.x2-=15.(2018全国Ⅱ,文11)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为()A.1-B.2-C. D.-16.设双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A,B两点,与双曲线的一个交点为P,设O为坐标原点.若=m+n(m,n∈R),且mn=,则该双曲线的离心率为()A. B.C. D.7.已知双曲线E:=1(a>0,b>0).矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是.8.已知直线l1:x-y+5=0和l2:x+4=0,抛物线C:y2=16x,P是C上一动点,则点P到l1与l2距离之和的最小值为.9.如图,已知抛物线C1:y=x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.(1)求点A,B的坐标;(2)求△PAB的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点. 10.如图,动点M与两定点A(-1,0),B(1,0)构成△MAB,且直线MA,MB的斜率之积为4,设动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设直线y=x+m(m>0)与y轴相交于点P,与轨迹C相交于点Q,R,且|PQ|<|PR|,求的取值范围.11.设椭圆=1(a>)的右焦点为F,右顶点为A.已知,其中O为原点,e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线l的斜率.二、思维提升训练12.(2018全国Ⅲ,文10)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A.B.2 C.D.213.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为()A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x14.在平面直角坐标系xOy中,双曲线-y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是.15.在平面直角坐标系xOy中,双曲线=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.16.已知圆C:(x+1)2+y2=20,点B(1,0),点A是圆C上的动点,线段AB的垂直平分线与线段AC交于点P.(1)求动点P的轨迹C1的方程;(2)设M,N为抛物线C2:y=x2上的一动点,过点N作抛物线C2的切线交曲线C1于P,Q两点,求△MPQ面积的最大值.17.已知动点C是椭圆Ω:+y2=1(a>1)上的任意一点,AB是圆G:x2+(y-2)2=的一条直径(A,B是端点),的最大值是.(1)求椭圆Ω的方程.(2)已知椭圆Ω的左、右焦点分别为点F1,F2,过点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆Ω于P,Q两点.在线段OF2上是否存在点M(m,0),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.专题能力训练16椭圆、双曲线、抛物线一、能力突破训练1.C解析因为椭圆C的一个焦点为(2,0),所以其焦点在x轴上,c=2,所以a2-4=c2,所以a2=8,a=2,所以椭圆C的离心率e=.2.D解析由c2=a2+b2=4,得c=2,所以点F的坐标为(2,0).将x=2代入x2-=1,得y=±3,所以PF=3.又点A的坐标是(1,3),故△APF的面积为×3×(2-1)=,故选D.3.A解析由题意知,A(-a,0),B(a,0),根据对称性,不妨令P,设l:x=my-a,∴M,E.∴直线BM:y=-(x-a).又直线BM经过OE的中点,∴,解得a=3c.∴e=,故选A.4.D解析∵双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),点A在双曲线的渐近线上,且△OAF是边长为2的等边三角形,不妨设点A在渐近线y=x上,∴解得所以双曲线的方程为x2-=1.故选D.5.D解析不妨设椭圆方程为=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则|PF1|+|PF2|=2a.∵∠F2PF1=90°,∠PF2F1=60°,∴c+c=2a,即(+1)c=2a.∴e=-1.6.C解析在y=±x中令x=c,得A,B,在双曲线=1中令x=c得P.当点P的坐标为时,由=m+n,得由(舍去),∴,∴,∴e=.同理,当点P的坐标为时,e=.故该双曲线的离心率为.7. 2解析由题意不妨设AB=3,则BC=2.设AB,CD的中点分别为M,N,如图,则在Rt△BMN中,MN=2,故BN=.由双曲线的定义可得2a=BN-BM==1,而2c=MN=2,所以双曲线的离心率e==2.8.解析在同一坐标系中画出直线l1,l2和曲线C如图.P是C上任意一点,由抛物线的定义知,|PF|=d2,∴d1+d2=d1+|PF|,显然当PF⊥l1,即d1+d2=|FM|时,距离之和取到最小值.∵|FM|=,∴所求最小值为.9.解(1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t),由消去y,整理得:x2-4kx+4kt=0,由于直线PA与抛物线相切,得k=t.因此,点A的坐标为(2t,t2).设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0),由题意知:点B,O关于直线PD对称,故解得因此,点B的坐标为.(2)由(1)知|AP|=t·和直线PA的方程tx-y-t2=0.点B到直线PA的距离是d=.设△PAB的面积为S(t),所以S(t)=|AP|·d=.10.解(1)设M的坐标为(x,y),当x=-1时,直线MA的斜率不存在;当x=1时,直线MB的斜率不存在.于是x≠1,且x≠-1.此时,MA的斜率为,MB的斜率为.由题意,有=4.整理,得4x2-y2-4=0.故动点M的轨迹C的方程为4x2-y2-4=0(x≠±1).(2)由消去y,可得3x2-2mx-m2-4=0.①对于方程①,其判别式Δ=(-2m)2-4×3(-m2-4)=16m2+48>0,而当1或-1为方程①的根时,m的值为-1或1.结合题设(m>0)可知,m>0,且m≠1.设Q,R的坐标分别为(x Q,y Q),(x R,y R),则x Q,x R为方程①的两根,因为|PQ|<|PR|,所以|x Q|<|x R|.因为x Q=,x R=,且Q,R在同一条直线上,所以=1+.此时>1,且≠2,所以1<1+<3,且1+,所以1<<3,且.综上所述,的取值范围是.11.解(1)设F(c,0).由,即,可得a2-c2=3c2,又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.所以,椭圆的方程为=1.(2)设直线l的斜率为k(k≠0),则直线l的方程为y=k(x-2).设B(x B,y B),由方程组消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.解得x=2,或x=,由题意得x B=,从而y B=.由(1)知,F(1,0),设H(0,y H),有=(-1,y H),.由BF⊥HF,得=0,所以=0,解得y H=.因此直线MH的方程为y=-x+.设M(x M,y M),由方程组消去y,解得x M=.在△MAO中,∠MOA=∠MAO⇔|MA|=|MO|,即(x M-2)2+,化简得x M=1,即=1,解得k=-,或k=.所以,直线l的斜率为-.二、思维提升训练12.D解析∵双曲线C的离心率为,∴e=,即c=a,a=b.∴其渐近线方程为y=±x,则(4,0)到C的渐近线距离d==2.13.C解析设点M的坐标为(x0,y0),由抛物线的定义,得|MF|=x0+=5,则x0=5-.因为点F的坐标为,所以以MF为直径的圆的方程为(x-x0)·+(y-y0)y=0.将x=0,y=2代入得px0+8-4y0=0,即-4y0+8=0,解得y0=4.由=2px0,得16=2p,解得p=2或p=8.所以C的方程为y2=4x或y2=16x.故选C.14.2解析该双曲线的右准线方程为x=,两条渐近线方程为y=±x,得P,Q,又c=,所以F1(-,0),F2(,0),四边形F1PF2Q的面积S=2=2.15.y=±x解析抛物线x2=2py的焦点F,准线方程为y=-.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1++y2+=y1+y2+p=4|OF|=4·=2p.所以y1+y2=p.联立双曲线与抛物线方程得消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.所以y1+y2==p,所以.所以该双曲线的渐近线方程为y=±x.16.解(1)由已知可得,点P满足|PB|+|PC|=|AC|=2>2=|BC|,所以动点P的轨迹C1是一个椭圆,其中2a=2,2c=2.动点P的轨迹C1的方程为=1.(2)设N(t,t2),则PQ的方程为y-t2=2t(x-t)⇒y=2tx-t2.联立方程组消去y整理,得(4+20t2)x2-20t3x+5t4-20=0,有而|PQ|=×|x1-x2|=,点M到PQ的高为h=,由S△MPQ=|PQ|h代入化简,得S△MPQ=,当且仅当t2=10时,S△MPQ可取最大值.17.解(1)设点C的坐标为(x,y),则+y2=1.连接CG,由,又G(0,2),=(-x,2-y),可得=x2+(y-2)2-=a(1-y2)+(y-2)2-=-(a-1)y2-4y+a+,其中y∈[-1,1].因为a>1,所以当y=≤-1,即1<a≤3时,取y=-1,得有最大值-(a-1)+4+a+,与条件矛盾;当y=>-1,即a>3时,的最大值是,由条件得,即a2-7a+10=0,解得a=5或a=2(舍去).综上所述,椭圆Ω的方程是+y2=1.(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点坐标为(x0,y0),则满足=1,=1,两式相减,整理,得=-=-,从而直线PQ的方程为y-y0=-(x-x0).又右焦点F2的坐标是(2,0),将点F2的坐标代入PQ的方程得-y0=-(2-x0),因为直线l与x轴不垂直,所以2x0-=5>0,从而0<x0<2.假设在线段OF2上存在点M(m,0)(0<m<2),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形,则线段PQ的垂直平分线必过点M,而线段PQ的垂直平分线方程是y-y0=(x-x0),将点M(m,0)代入得-y0=(m-x0),得m=x0,从而m∈.。

2023年高考数学二轮复习(新高考版) 第1部分专题突破专题6 微重点15 离心率的范围问题

跟踪演练3 (2022·长沙市雅礼中学等十六校联考)已知双曲线 C：ax22－by22＝ 1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，若 C 与直线 y＝x 有交点，且双曲线上存在不是顶点的点 P，使得∠PF2F1＝3∠PF1F2，则双曲线离心率的取值范围为____( __2_，__2_) __.
专题强化练
考点一
利用圆锥曲线的定义求离心率的范围
例1 (1)(2022·南京模拟)设 e1，e2 分别为具有公共焦点 F1 与 F2 的椭圆
和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足∠F1PF2＝π3，则
e1e2 的最小值为
√A.
3 2
B.32
C.
3 4
D.34
设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，不妨设|PF1|>|PF2|，由椭圆和双曲线的定义可得||PPFF11||＋－||PPFF22||＝＝22aa12，，得||PPFF12||＝＝aa11＋－aa22，，
A.0，12
B.0，
2
2
C.12，1
√
D.
22，1
如图所示，A为椭圆的上顶点.
依题意∠F1AF2≥90°，即∠OAF2≥45°，又|AF2|＝a，|AO|＝b，|OF2|＝c， ∴sin∠OAF2＝||OAFF22||＝ac＝e，
∵∠OAF2≥45°，
∴sin∠OAF2∈
22，1，即
√C.0，12
D.12，1
连接OP，当P不为椭圆的上、下顶点时，设直线PA，PB分别与圆O切于点A，B，∠OPA＝α， ∵存在M，N使得∠MPN＝120°， ∴∠APB≥120°，即α≥60°，又α<90°，∴sin α≥sin 60°，连接 OA，则 sin α＝||OOPA||＝|ObP|≥ 23，∴|OP|≤2 33b. 又 P 是 C 上任意一点，则|OP|max≤2 33b，又|OP|max＝a，∴a≤2 33b，

2020高考数学大二轮专题突破文科通用直线与圆圆锥曲线精选试题及答案解析(10页)

2020高考数学大二轮专题突破文科通用直线与圆圆锥曲线精选试题1.(节选)已知圆M:x2+y2=r2(r>0)与直线l1:x-y+4=0相切,设点A为圆上一动点,AB⊥x轴于B,且动点N满足=2,设动点N的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)略.2.(2019甘肃武威第十八中学高三上学期期末考试)已知圆C1:x2+y2-2x-6y-1=0和C2:x2+y2-10x-12y+45=0.(1)求证:圆C1和圆C2相交;(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.3.已知圆O:x2+y2=4,点A(,0),以线段AB为直径的圆内切于圆O,记点B的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程;(2)直线AB交圆O于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线AB的方程.4.(2019全国卷1,理19)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若=3,求|AB|.5.(2019天津河北区高三二模)已知椭圆C:=1(a>b>0)过点P(2,1),且短轴长为2.(1)求椭圆C的方程;(2)过点P作x轴的垂线l,设点A为第四象限内一点且在椭圆C上(点A不在直线l上),点A关于l的对称点为A',直线A'P与椭圆C交于另一点B.设O为坐标原点,判断直线AB与直线OP的位置关系,并说明理由.6.(2019天津第一中学高三下学期第五次月考)已知椭圆C1:=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,F2的坐标满足圆Q方程(x-)2+(y-1)2=1,且圆心Q满足|QF1|+|QF2|=2a.(1)求椭圆C1的方程;(2)过点P(0,1)的直线l1:y=kx+1交椭圆C1于A,B两点,过P与l1垂直的直线l2交圆Q于C,D两点,M为线段CD中点,若△MAB的面积为,求k的值.参考答案专题突破练24直线与圆及圆锥曲线1.解(1)设动点N(x,y),A(x0,y0),因为AB⊥x轴于B,所以B(x0,0).已知圆M的方程为x2+y2=r2,由题意得r==2,所以圆M的方程为x2+y2=4.由题意,=2,所以(0,-y0)=2(x0-x,-y),即将A(x,2y)代入圆M:x2+y2=4,得动点N的轨迹方程为+y2=1.(2)略.2.(1)证明圆C1的圆心C1(1,3),半径r1=,圆C2的圆心C2(5,6),半径r2=4, 两圆圆心距d=|C1C2|=5,r1+r2=+4,|r1-r2|=4-,所以|r1-r2|<d<r1+r2.所以圆C1和C2相交.(2)解将圆C1和圆C2的方程相减,得4x+3y-23=0,所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x+3y-23=0.因为圆心C2(5,6)到直线4x+3y-23=0的距离为d==3,故两圆的公共弦长为2-=2.3.解(1)设AB的中点为M,切点为N,连接OM,MN,则|OM|+|MN|=|ON|=2,|AB|=|ON|-(|OM|-|MN|)=2-|OM|+|AB|,即|AB|+2|OM|=4.取A关于y轴的对称点A',连接A'B,则|A'B|=2|OM|,故|AB|+2|OM|=|AB|+|A'B|=4.所以点B的轨迹是以A',A为焦点,长轴长为4的椭圆.其中a=2,c=,b=1,则曲线Γ的方程为+y2=1.(2)因为B为CD的中点,所以OB⊥CD,则.设B(x0,y0),则x0(x0-)+=0.又=1,解得x0=,y0=±.则k OB=±,k AB=∓,则直线AB的方程为y=±(x-),即x-y-=0或x+y-=0.4.解设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由题设得F,故|AF|+|BF|=x1+x2+,由题设可得x1+x2=.由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,则x1+x2=--.从而--,得t=-.所以l的方程为y=x-.(2)由=3可得y1=-3y2.由可得y2-2y+2t=0.所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入C的方程得x1=3,x2=.故|AB|=.5.解(1)由题意得解得∴椭圆C的方程为=1.(2)直线AB与直线OP平行,证明如下:由题意知,直线PA的斜率存在且不为零.PA,PA'关于l:x=2对称,则直线PA与PA'斜率互为相反数.设直线PA:y-1=k(x-2),PB:y-1=-k(x-2).设A(x1,y1),B(x2,y2).由消去y得(4k2+1)x2-(16k2-8k)x+16k2-16k-4=0, -∴2x1=--.∴x1=--.同理,x2=-.∴x1-x2=-.∵y1=k(x1-2)+1,y2=-k(x2-2)+1,∴y1-y2=k(x1+x2)-4k=-.∵A在第四象限,∴k≠0 且A不在直线OP上,∴k AB=-.-又k OP=,∴k AB=k OP.故直线AB与直线OP平行.6.解(1)因为F2的坐标满足圆Q方程(x-)2+(y-1)2=1,故当y=0时,x=,即F2(,0),故c=.因为圆心Q满足|QF1|+|QF2|=2a,所以点Q(在椭圆上,故有=1.联立方程组解得所以椭圆方程为=1.(2)因为直线l2交圆Q于C,D两点,M为线段CD的中点,所以QM与直线l2垂直.又因为直线l1与直线l2垂直,所以QM与直线l1平行.所以点M到直线AB的距离即为点Q到直线AB的距离.即点M到直线AB的距离为d=.设点A(x1,y1),B(x2,y2).联立方程组解得(1+2k2)x2+4kx-2=0,Δ=b2-4ac=16k2+8(2k2+1)=32k2+8>0,由韦达定理可得--则|x1-x2|=----.所以AB=|x1-x2|=.所以△MAB的面积为.所以.即·|k|=,两边同时平方,化简得,28k4-47k2-18=0,解得k2=2或k2=-(舍).故k=±.此时l2:y=±x+1.圆心Q到l2的距离h=-<1成立.综上所述,k=±.。

高三数学二轮复习《直线、圆、圆锥曲线》专题

高三数学二轮复习《直线、圆、圆锥曲线》专题专题热点透析解析几何是高中数学的重点内容之一，也是高考考查的热点。

高考着重考查基础知识的综合，基本方法的灵活运用，数形结合、分类整合、等价转化、函数方程思想以及分析问题解决问题的能力。

其中客观题为基础题和中档题，主观题常常是综合性很强的压轴题。

本专题命题的热点主要有：①直线方程；②线性规划；③直线与圆、圆锥曲线的概念和性质；④与函数、数列、不等式、向量、导数等知识的综合应用。

热点题型范例例112的距离，若2PM PN =解：的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长轴a 2知所以1.1在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，(0的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ．（Ⅰ）写出C 的方程；（Ⅱ）设直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．k 为何值时OA ⊥OB ？此时AB的值是多少？解：（Ⅰ）设P （x ，y ），由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0(0，为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴1b ==，故曲线C 的方程为2214y x +=．（Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，其坐标满足22141.y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得22(4)230k x kx ++-=，故1212222344k x x x x k k +=-=-++，． OA OB ⊥，即12120x x y y +=．而2121212()1y y k x x k x x =+++，于是222所以当k 而(例2（1（2例则3.1解：(Ⅰ)依题意，由a 2+b 2=4，得双曲线方程为1422=--aa （0＜a 2＜4)，将点（3，7）代入上式，得147922=--a a .解得a 2=18（舍去）或a 2＝2，故所求双曲线方程为.12222=-y x (Ⅱ)依题意，可设直线l 的方程为y =kx +2，代入双曲线C 的方程并整理，得(1－k 2)x 2－4kx －6=0.∵直线I 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ,∴⎩⎨⎧-±≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-⨯+-=∆≠-,33,10)1(64)4(,01222＜＜，＞k k k k k ∴k ∈(－1,3-)∪(1,3). 设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2)，则由①式得x 1+x 2=,16,142212kx x k k -=-于是 |EF |=2212221221))(1()()(x x k y y x x -+=-+-=，）的面积等于 2五、圆锥曲线中的定值、定点问题例6．设A 、B 为椭圆22143x y +=上的两个动点。

2019年高考数学(文科)二轮专题突破训练专题六直线、圆、圆锥曲线专题能力训练16 Word版含答案

专题能力训练椭圆、双曲线、抛物线一、能力突破训练.(全国Ⅰ,文)已知椭圆的一个焦点为(),则的离心率为().....已知是双曲线的右焦点是上一点,且与轴垂直,点的坐标是(),则△的面积为().....已知为坐标原点是椭圆(>>)的左焦点分别为的左、右顶点为上一点,且⊥轴.过点的直线与线段交于点,与轴交于点.若直线经过的中点,则的离心率为(). . . ..已知双曲线(>>)的右焦点为,点在双曲线的渐近线上,△是边长为的等边三角形(为原点),则双曲线的方程为().(全国Ⅱ,文)已知是椭圆的两个焦点是上的一点,若⊥,且∠°,则的离心率为()..设双曲线(>>)的右焦点为,过点作与轴垂直的直线交两渐近线于两点,与双曲线的一个交点为,设为坐标原点.若(∈),且,则该双曲线的离心率为().....已知双曲线(>>).矩形的四个顶点在上的中点为的两个焦点,且,则的离心率是..已知直线和,抛物线是上一动点,则点到与距离之和的最小值为..如图,已知抛物线,圆(),过点()(>)作不过原点的直线分别与抛物线和圆相切为切点.()求点的坐标;()求△的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点..如图,动点与两定点()()构成△,且直线的斜率之积为,设动点的轨迹为.()求轨迹的方程;()设直线(>)与轴相交于点,与轨迹相交于点,且<,求的取值范围..设椭圆(>)的右焦点为,右顶点为.已知,其中为原点为椭圆的离心率.()求椭圆的方程;()设过点的直线与椭圆交于点(不在轴上),垂直于的直线与交于点,与轴交于点.若⊥,且∠∠,求直线的斜率.二、思维提升训练.(全国Ⅲ,文)已知双曲线(>>)的离心率为,则点()到的渐近线的距离为()...设抛物线(>)的焦点为,点在上.若以为直径的圆过点(),则的方程为()或或或或.在平面直角坐标系中,双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点,其焦点是,则四边形的面积是..在平面直角坐标系中,双曲线(>>)的右支与焦点为的抛物线(>)交于两点,若,则该双曲线的渐近线方程为..已知圆:(),点(),点是圆上的动点,线段的垂直平分线与线段交于点.()求动点的轨迹的方程;。

山东专用2021新高考数学二轮复习专题限时集训6直线与圆抛物线椭圆双曲线含解析.doc

专题限时集训(六) 直线与圆、抛物线椭圆双曲线1．[多选](2020·新高考全国卷Ⅰ)已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1( ) A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m ＝n >0，则C 是圆，其半径为nC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝±－m nx D ．若m ＝0，n >0，则C 是两条直线ACD [对于选项A ，∵m >n >0，∴0<1m <1n ，方程mx 2＋ny 2＝1可变形为x 21m ＋y 21n ＝1，∴该方程表示焦点在y 轴上的椭圆，正确；对于选项B ，∵m ＝n >0，∴方程mx 2＋ny 2＝1可变形为x 2＋y 2＝1n ，该方程表示半径为1n的圆，错误；对于选项C ，∵mn <0，∴该方程表示双曲线，令mx 2＋ny 2＝0⇒y ＝±－mnx ，正确；对于选项D ，∵m ＝0，n >0，∴方程mx 2＋ny 2＝1变形为ny 2＝1⇒y ＝±1n，该方程表示两条直线，正确．综上选ACD ．] 2．(2020·全国卷Ⅱ)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( )A ．55 B ．255 C ．355 D ．455B [因为圆与两坐标轴都相切，点(2，1)在该圆上，所以可设该圆的方程为(x －a )2＋(y －a )2＝a 2(a >0)，所以(2－a )2＋(1－a )2＝a 2，即a 2－6a ＋5＝0，解得a ＝1或a ＝5，所以圆心的坐标为(1，1)或(5，5)，所以圆心到直线2x －y －3＝0的距离为|2×1－1－3|22＋(－1)2＝255或|2×5－5－3|22＋(－1)2＝255，故选B ．] 3．(2020·全国卷Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝( )A ．2B ．3C ．6D ．9C [法一：因为点A 到y 轴的距离为9，所以可设点A (9，y A )，所以y 2A ＝18p .又点A 到焦点⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离为12，所以⎝⎛⎭⎫9－p 22＋y 2A ＝12，所以⎝⎛⎭⎫9－p 22＋18p ＝122，即p 2＋36p －252＝0，解得p ＝－42(舍去)或p ＝6.故选C ．法二：根据抛物线的定义及题意得，点A 到C 的准线x ＝－p2的距离为12，因为点A 到y轴的距离为9，所以p2＝12－9＝3，解得p ＝6.故选C ．]4．(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8C [设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2. ∵|AB |＝42，|DE |＝25，抛物线的准线方程为x ＝－p 2，∴不妨设A ⎝⎛⎭⎫4p ，22，D ⎝⎛⎭⎫－p2，5. ∵点A ⎝⎛⎭⎫4p ，22，D ⎝⎛⎭⎫－p2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上， ∴⎩⎨⎧16p2＋8＝r 2，p24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p 24＋5，∴p ＝4(负值舍去)． ∴C 的焦点到准线的距离为4.]5．(2020·全国卷Ⅰ)已知⊙M ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，直线l ：2x ＋y ＋2＝0，P 为l 上的动点．过点P 作⊙M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，当|PM |·|AB |最小时，直线AB 的方程为( )A ．2x －y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x ＋y ＋1＝0D [法一：由⊙M ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0 ①，得⊙M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，所以圆心M (1，1)．如图，连接AM ，BM ，易知四边形P AMB 的面积为12|PM |·|AB |，欲使|PM |·|AB |最小，只需四边形P AMB 的面积最小，即只需△P AM 的面积最小．因为|AM |＝2，所以只需|P A |最小．又|P A |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4，所以只需直线2x ＋y ＋2＝0上的动点P 到M 的距离最小，其最小值为|2＋1＋2|5＝5，此时PM ⊥l ，易求出直线PM 的方程为x －2y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋2＝0，x －2y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，所以P (－1，0)．易知P ，A ，M ，B 四点共圆，所以以PM 为直径的圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝⎝⎛⎭⎫522，即x 2＋y 2－y －1＝0 ②，由①②得，直线AB 的方程为2x ＋y ＋1＝0，故选D ．法二：因为⊙M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，所以圆心M (1，1)．连接AM ，BM ，易知四边形P AMB 的面积为12|PM |·|AB |，欲使|PM |·|AB |最小，只需四边形P AMB 的面积最小，即只需△P AM 的面积最小．因为|AM |＝2，所以只需|P A |最小．又|P A |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4，所以只需|PM |最小，此时PM ⊥l .因为PM ⊥AB ，所以l ∥AB ，所以k AB ＝－2，排除A ，C ．易求出直线PM 的方程为x －2y ＋1＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋2＝0，x －2y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，所以P (－1，0)．因为点M 到直线x ＝－1的距离为2，所以直线x ＝－1过点P 且与⊙M 相切，所以A (－1，1)．因为点A (－1，1)在直线AB 上，故排除B ．故选D ．]6．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2，0)且斜率为23的直线与C交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8D [法一：过点(－2，0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23(x ＋2)，y 2＝4x ，得x 2－5x ＋4＝0，解得x ＝1或x ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，不妨设M (1，2)，N (4，4)，易知F (1，0)，所以FM →＝(0，2)，FN →＝(3，4)，所以FM →·FN →＝8.故选D ．法二：过点(－2，0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23(x ＋2)，y 2＝4x ，得x 2－5x＋4＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＞0，y 2＞0，根据根与系数的关系，得x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝4.易知F (1，0)，所以FM →＝(x 1－1，y 1)，FN →＝(x 2－1，y 2)，所以FM →·FN →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4x 1x 2＝4－5＋1＋8＝8.故选D ．]7．(2020·全国卷Ⅰ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2－y 23＝1的两个焦点，O 为坐标原点，点P在C 上且|OP |＝2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．72B ．3C ．52D ．2B [法一：设F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，则由题意可知F 1(－2，0)，F 2(2，0)，又|OP |＝2，所以|OP |＝|OF 1|＝|OF 2|，所以△PF 1F 2是直角三角形，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝16.不妨令点P 在双曲线C 的右支上，则有|PF 1|－|PF 2|＝2，两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝4，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝16，所以|PF 1|·|PF 2|＝6，则S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×6＝3，故选B ．法二：设F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，则由题意可知F 1(－2，0)，F 2(2，0)，又|OP |＝2，所以|OP |＝|OF 1|＝|OF 2|，所以△PF 1F 2是直角三角形，所以S △PF 1F 2＝b 2tan θ2＝3tan 45 °＝3(其中θ＝∠F 1PF 2)，故选B ．]8．(2020·全国卷Ⅲ)若直线l 与曲线y ＝x 和圆x 2＋y 2＝15都相切，则l 的方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x ＋12C ．y ＝12x ＋1D ．y ＝12x ＋12D [易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，则|b |k 2＋1＝55①，设直线l 与曲线y ＝x 的切点坐标为(x 0，x 0)(x 0＞0)，则y ′|x ＝x 0＝12x 0－12＝k ②，x 0＝kx 0＋b ③，由②③可得b ＝12x 0，将b ＝12x 0，k ＝12x 0－12代入①得x 0＝1或x 0＝－15(舍去)，所以k ＝b ＝12，故直线l 的方程为y ＝12x ＋12.]9．(2016·全国卷Ⅰ)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A ． 2B ．32C ． 3D ．2A [法一：如图，因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a .又sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝13，即|MF 2|＝3|MF 1|.由双曲线的定义得2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b 2a ，所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2，所以离心率e ＝ca＝ 2.法二：如图，因为MF 1⊥x 轴，所以|MF 1|＝b 2a .在Rt △MF 1F 2中，由sin ∠MF 2F 1＝13得tan ∠MF 2F 1＝24. 所以|MF 1|2c ＝24，即b 22ac ＝24，即c 2－a 22ac ＝24，整理得c 2－22ac －a 2＝0，两边同除以a 2得e 2－22e －1＝0. 解得e ＝2(负值舍去)．]10．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A ．32B ．3C ．2 3D ．4B [因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，所以∠MON ＝60°.不妨设过点F 的直线与直线y ＝33x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN ＝90°，则∠MFO ＝60°，又直线MN 过点F (2，0)，所以直线MN 的方程为y ＝－3(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3(x －2)，y ＝33x ，得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32，所以M ⎝⎛⎭⎫32，32，所以|OM |＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322＝3，所以|MN |＝3|OM |＝3，故选B ．]11．(2019·全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A ． 2B ． 3C ．2D ．5 A [如图，由题意，知以OF 为直径的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －c 22＋y 2＝c 24①，将x 2＋y 2＝a 2记为②式，①－②得x ＝a 2c ，则以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2的相交弦所在直线的方程为x ＝a 2c ，所以|PQ |＝2a 2－⎝⎛⎭⎫a 2c 2.由|PQ |＝|OF |，得2a 2－⎝⎛⎭⎫a 2c 2＝c ，整理得c 4－4a 2c 2＋4a 4＝0，即e 4－4e 2＋4＝0，解得e ＝2，故选A ．]12．(2020·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点．若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为( )A ．4B ．8C ．16D ．32B [由题意知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±ba x .因为D ，E 分别为直线x ＝a 与双曲线C的两条渐近线的交点，所以不妨设D (a ，b )，E (a ，－b )，所以S △ODE ＝12×a ×|DE |＝12×a ×2b＝ab ＝8，所以c 2＝a 2＋b 2≥2ab ＝16，当且仅当a ＝b ＝22时，等号成立，所以c ≥4，所以2c ≥8，所以C 的焦距的最小值为8，故选B ．]13．(2016·全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A ．13B ．12C ．23D ．34A [如图所示，由题意得A (－a ，0)，B (a ，0)，F (－c ，0)．由PF ⊥x 轴得P ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a . 设E (0，m )，又PF ∥OE ，得|MF ||OE |＝|AF ||AO |，则|MF |＝m (a －c )a. ①又由OE ∥MF ，得12|OE ||MF |＝|BO ||BF |，则|MF |＝m (a ＋c )2a. ②由①②得a －c ＝12(a ＋c )，即a ＝3c ，∴e ＝c a ＝13.故选A ．]14．(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A ．23B ．12C ．13D ．14D [由题意可得椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，设|F 1F 2|＝2c ，∵△PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P ＝120°，∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c .∵|OF 2|＝c ，∴点P 坐标为(c ＋2c cos 60°，2c sin 60°)，即点P (2c ，3c )．∵点P 在过点A ，且斜率为36的直线上，∴3c 2c ＋a ＝36，解得c a ＝14，∴e ＝14，故选D ．] 15．(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )A ．324B ．322C ．2 2D ．32A [不妨设点P 在第一象限，根据题意可知c 2＝6，所以|OF |＝ 6.又tan ∠POF ＝b a ＝22，所以等腰三角形POF 的高h ＝62×22＝32，所以S △PFO ＝12×6×32＝324.] 16．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A ．x 22＋y 2＝1B ．x 23＋y 22＝1C ．x 24＋y 23＝1D ．x 25＋y 24＝1B [由题意设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，连接F 1A (图略)，令|F 2B |＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝3m .由椭圆的定义知，4m ＝2a ，得m ＝a2，故|F 2A |＝a ＝|F 1A |，则点A 为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF 2＝θ(O 为坐标原点)，则sin θ＝1a .在等腰三角形ABF 1中，cos 2θ＝a23a 2＝13，所以13＝1－2⎝⎛⎭⎫1a 2，得a 2＝3.又c 2＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选B ．]17．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1，1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.2 [法一：由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x 消去y 得k 2(x －1)2＝4x ，即k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x消去x 得y 2＝4⎝⎛⎭⎫1k y ＋1，即y 2－4k y －4＝0，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4.由∠AMB ＝90°，得MA →·MB →＝(x 1＋1，y 1－1)·(x 2＋1，y 2－1)＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0，将x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1与y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4代入，得k ＝2.法二：设抛物线的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，则k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2.取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足分别为A ′，B ′，又∠AMB ＝90°，点M 在准线x ＝－1上，所以|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)．又M ′为AB 的中点，所以MM ′平行于x 轴，且y 0＝1，所以y 1＋y 2＝2，所以k ＝2.]18．(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________．2 [法一：因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，如图．所以|OF 1|＝|OB |，所以∠BF 1O ＝∠F 1BO ，所以∠BOF 2＝2∠BF 1O .因为F 1A →＝AB →，所以点A 为F 1B 的中点，又点O 为F 1F 2的中点，所以OA ∥BF 2，所以F 1B ⊥OA ，因为直线OA ，OB 为双曲线C 的两条渐近线，所以tan ∠BF 1O ＝a b ，tan ∠BOF 2＝ba .因为tan ∠BOF 2＝tan(2∠BF 1O )，所以b a ＝2×ab 1－⎝⎛⎭⎫a b 2，所以b 2＝3a 2，所以c 2－a 2＝3a 2，即2a ＝c ，所以双曲线的离心率e ＝ca ＝2. 法二：因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，在Rt △F 1BF 2中，|OB |＝|OF 2|，所以∠OBF 2＝∠OF 2B ，又F 1A →＝AB →，所以A 为F 1B 的中点，所以OA ∥F 2B ，所以∠F 1OA ＝∠OF 2B ．又∠F 1OA ＝∠BOF 2，所以△OBF 2为等边三角形．由F 2(c ，0)可得B ⎝⎛⎭⎫c 2，3c 2，因为点B 在直线y ＝b a x上，所以32c ＝b a ·c 2，所以ba ＝3，所以e ＝1＋b 2a2＝2.] 19．(2019·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为____________．(3，15) [不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M |＝2c ＝8，所以|F 2M |＝2a －8＝4.设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，|F 1M |2＝(x ＋4)2＋y 2＝64，x ＞0，y ＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝15，所以M 的坐标为(3，15)．一题多解：依题意得|F 1F 2|＝|F 1M |＝8，|F 2M |＝4，cos ∠MF 1F 2＝82＋82－422×8×8＝78，则tan ∠MF 1F 2＝157. 所以直线MF 1的方程为y －0＝157(x ＋4)．设M (6cos θ，25sin θ)，因为M 点在直线MF 1上，所以25sin θ＝157(6cos θ＋4)，结合sin 2θ＋cos 2θ＝1且sin θ＞0，cos θ＞0得cos θ＝12，sin θ＝32，即M 点的坐标为(3，15)．]1．(2020·武汉部分学校质量检测)已知双曲线E ：x 216－y 2m 2＝1的离心率为54，则双曲线E的焦距为( )A ．4B ．5C ．8D ．10D [因为a ＝4，离心率e ＝c a ＝54，所以c ＝5，所以双曲线的焦距2c ＝10，选D ．]2．(2020·中山模拟)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点、左顶点、左焦点分别为B ，A ，F ，中心为O ，其离心率为12，则S △ABF ∶S △BFO ＝( )A ．1∶1B ．1∶2C ．(2－3)∶2D ．3∶2A [由题意可知，S △ABF ＝12(a －c )·b ，S △BFO ＝12cb ，则S △ABF S △BFO＝12(a －c )b 12cb ＝a －cc ＝ac －1＝2－1＝1.故选A ．]3．(2020·惠州第一次调研)设双曲线的一条渐近线为直线y ＝2x ，且一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点相同，则此双曲线的方程为( )A ．54x 2－5y 2＝1B ．5y 2－54x 2＝1C ．5x 2－54y 2＝1D ．54y 2－5x 2＝1C [抛物线y 2＝4x 的焦点为点(1，0)，则双曲线的一个焦点为点(1，0)，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝212＝a 2＋b 2，得⎩⎨⎧a 2＝15b 2＝45，所以所求方程为5x 2－54y 2＝1，选C ．]4．(2020·长沙模拟)过坐标原点O 作圆(x －3)2＋(y －4)2＝1的两条切线，切点为A ，B ，直线AB 被圆截得的弦长为( )A ．265B ．465C ． 6D ．365B [设圆心为P ，由切线长定理可知|OA |＝|OB |，且OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，|OP |＝32＋42＝5，半径r ＝1，所以|OA |＝|OB |＝2 6.因为AB ⊥OP ，所以S 四边形OAPB ＝12|OP |·|AB |＝2S △OAP ，所以|AB |＝4S △OAP |OP |＝4×12×26×15＝465.选B ．] 5．(2020·太原模拟)设椭圆E 的两焦点分别为F 1，F 2，以F 1为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与椭圆E 交于P ，Q 两点．若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为( )A．2－1 B．5－12C．22D．2＋1A[不妨设椭圆E的焦点在x轴上，如图所示．∵△PF1F2为直角三角形，∴∠PF1F2＝90°，∴|PF1|＝|F1F2|＝2c，|PF2|＝22c，则|PF1|＋|PF2|＝2c＋22c＝2a，解得e＝ca＝2－1.故选A．]6．(2020·平顶山模拟)若倾斜角为60°的直线l与圆C：x2＋y2－6y＋3＝0交于M，N两点，且∠CMN＝30°，则直线l的方程为()A．3x－y＋3＋6＝0或3x－y＋3－6＝0B．3x－y＋2＋6＝0或3x－y＋2－6＝0C．3x－y＋6＝0或3x－y－6＝0D．3x－y＋1＋6＝0或3x－y＋1－6＝0A[依题意，圆C：x2＋(y－3)2＝6.设直线l：3x－y＋m＝0，由∠CMN＝30°，且圆的半径r＝6，得圆心C到直线l的距离d＝62＝|m－3|2，解得m＝3±6.故直线l的方程为3x－y＋3＋6＝0或3x－y＋3－6＝0.故选A．]7．(2020·郑州模拟)已知点A(－5，0)，B(－1，－3)，若圆C：x2＋y2＝r2(r＞0)上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为5，则r的取值范围是()A．(1，5) B．(1，5)C．(2，5) D．(2，5)B[由题意可得|AB|＝(－1＋5)2＋(－3－0)2＝5，根据△MAB和△NAB的面积均为5，可得两点M，N到直线AB的距离为2.由于直线AB 的方程为3x ＋4y ＋15＝0，若圆上只有一个点到直线AB 的距离为2，则有圆心(0，0)到直线AB 的距离|0＋0＋15|9＋16＝r ＋2，解得r ＝1；若圆上只有三个点到直线AB 的距离为2，则有圆心(0，0)到直线AB 的距离|0＋0＋15|9＋16＝r －2，解得r ＝5.所以实数r 的取值范围是(1，5)．故选B ．]8．(2020·厦门模拟)如图，已知圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与直线x ＋y －2＝0相交于A ，B 两点，C 为圆上的一点，OC 的中点D 在线段AB 上，且3AD →＝5DB →，则圆O 的半径r 为( )A ．11B ．103C ．10D ．23C [如图，过O 作OE ⊥AB 于E ，连接OA ，OB ，则OE ＝2，由垂径定理得|AE |＝|EB |.设|DE |＝x ，则由3AD →＝5DB →可知|AE |＝4x ，由勾股定理得(4x )2＋2＝r 2，x 2＋2＝r 24，解得r ＝10.故选C ．]9．(2020·洛阳尖子生第一次联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，若sin ∠F 1PF 2＝154，则该双曲线的离心率等于( )A ． 6B ．2C ．6或2D ．3＋1或6C [∵P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，∴由双曲线的定义|PF 1|－|PF 2|＝2a ，得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .在△PF 1F 2中，|PF1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c . ∵sin ∠F 1PF 2＝154，∴cos ∠F 1PF 2＝±14. 当cos ∠F 1PF 2＝14时，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2，即4c 2＝16a 2，∴e ＝2；当cos ∠F 1PF 2＝－14时，得4c 2＝24a 2，∴e ＝ 6.综上可知e ＝2或e ＝6，故选C ．]10．(2020·合肥调研)设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，斜率为k 的直线过焦点F 交C 于点A ，B ，AF →＝2FB →，则直线AB 的斜率为( )A ．2 2B ．2 3C ．±2 2D ．±23C [法一：由题意知k ≠0，F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，则直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2，代入抛物线方程消去x ，得y 2－2pky －p 2＝0.不妨设A (x 1，y 1)(x 1＞0，y 1＞0)，B (x 2，y 2)，因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2.又y 1y 2＝－p 2，所以y 2＝－22p ，x 2＝p4，所以k AB ＝－22p －0p 4－p 2＝2 2.根据对称性可得直线AB 的斜率为±22，故选C ．法二：如图，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为D ，E ，设直线AB 交准线于M ，由抛物线的定义知|AF |＝|AD |，|BF |＝|BE |，结合AF →＝2FB →，知|BE |＝12|AD |＝13|AB |，则BE 为△AMD的中位线，所以|AB |＝|BM |，所以|BE |＝13|BM |，所以|ME |＝|BM |2－|BE |2＝22|BE |，所以tan ∠MBE ＝|ME ||BE |＝22，即此时直线AB 的斜率为2 2.根据对称性可得直线AB 的斜率为±2 2.]11．(2020·临沂模拟)已知双曲线C ：x 216－y 2b 2＝1(b ＞0)，F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，过点F 2的直线l 交双曲线C 的左、右支分别于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，则|AB |＝( )A ．4B ．8C ．16D ．32C [如图，由双曲线可得a ＝4，设|AF 1|＝|BF 1|＝m ，由双曲线的定义可得|AF 2|＝|AF 1|＋2a ＝2a ＋m ，|BF 2|＝|BF 1|－2a ＝m －2a ，可得|AB |＝|AF 2|－|BF 2|＝2a ＋m －(m －2a )＝4a ＝16.故选C ．]12．(2020·贵阳模拟)已知点F 1是抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点，点F 2为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过F 2作抛物线C 的切线，设其中一个切点为A ，若点A 恰好在以F 1，F 2为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )A ．2－1B ．22－1C ．2＋1D ．6＋22C [由题意知F 1⎝⎛⎭⎫0，p 2，F 2⎝⎛⎭⎫0，－p 2，设直线F 2A 的方程为y ＝kx －p2，代入抛物线C ：x 2＝2py ，整理得x 2－2pkx ＋p 2＝0，∴Δ＝4k 2p 2－4p 2＝0，解得k ＝±1，不妨取A ⎝⎛⎭⎫p ，p2，则|AF 1|＝p ，|AF 2|＝p 2＋p 2＝2p .设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝(2－1)p ，2c ＝p ，∴双曲线的离心率e ＝c a ＝12－1＝2＋1.]13．(2020·德州模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点作两条互相垂直的弦AB ，CD ，则四边形ABCD 面积的最小值为( )A ．8B ．16C ．32D ．64C [焦点F 的坐标为(1，0)，所以可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x 并整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，所以x 1＋x 2＝2＋4k 2，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝4＋4k 2.同理可得|CD |＝4＋4k 2. 所以四边形ACBD 的面积S ＝12|AB ||CD |＝12·4(k 2＋1)k 2·4(k 2＋1)＝8·(k 2＋1)2k2＝8⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2＋2≥32，当且仅当k ＝±1时取等号．故选C ．]14．[多选](2020·淄博模拟)已知一族双曲线E n ：x 2－y 2＝n 2 019(n ∈N *，且n ≤2 019)，设直线x ＝2与E n 在第一象限内的交点为A n ，点A n 在E n 的两条渐近线上的射影分别为B n ，C n .记△A n B n C n 的面积为a n ，则下列说法正确的是( ) A ．双曲线的渐近线方程为y ＝±x B ．a n ＝n 2 019C ．数列{a n }为等差数列D ．a 1＋a 2＋…＋a 2 019＝5052ACD [因为双曲线的方程为x 2－y 2＝n2 019(n ∈N *，且n ≤2 019)，所以其渐近线方程为y＝±x ，设点A n (2，y n )，则4－y 2n ＝n2 019(n ∈N *，且n ≤2 019)．记A n (2，y n )到两条渐近线的距离分别为d 1，d 2，则S △A n B n C n ＝12d 1d 2＝12×|2＋y n |2×|2－y n |2＝|4－y 2n |4＝n2 0194＝n 4×2 019，故a n ＝n 4×2 019，因此{a n }为等差数列，故a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 019＝14×2 019×2 019＋14×2 019×2 019×2 0182＝5052.故选ACD ．]15．[多选](2020·聊城模拟)已知O 为坐标原点，过点P (a ，－1)作两条直线与抛物线C ：x 2＝4y 分别相切于点A ，B ，AB 的中点为M ，则下列结论中正确的是( )A ．直线AB 过定点(0，2) B ．直线PM 的斜率不存在C ．y 轴上存在一点N ，使得直线NA 与NB 始终关于y 轴对称D ．A ，B 两点到抛物线准线的距离的倒数之和为定值BCD [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为y ＝14x 2，所以y ′＝12x ，所以以A 为切点的切线方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，即y －14x 21＝12x 1x －12x 21，得y ＝12x 1x －14x 21 ①. 同理可得以B 为切点的切线方程为y ＝12x 2x －14x 22②，将(a ，－1)分别代入①②，可得－1＝a 2x 1－y 1，－1＝a2x 2－y 2，所以直线AB 的方程为a2x －y ＋1＝0，所以直线AB 过定点(0，1)，故A 错误．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，a 2x －y ＋1＝0，可得x 2－2ax －4＝0，Δ＝4a 2＋16＞0，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－4，所以点M 的横坐标为x 1＋x 22＝a ，所以PM ⊥x 轴，故B 正确．设N (0，b )，直线NA ，NB 的斜率分别为k 1，k 2. 由题意得x 1≠0，x 2≠0，所以k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－b x 2＝ax 1x 2＋(1－b )(x 1＋x 2)x 1x 2＝2a (－b －1)－4.当b ＝－1时，有k 1＋k 2＝0，则直线NA 与直线NB 关于y 轴对称，故C 正确．因为点A 到准线的距离为y 1＋1，点B 到准线的距离为y 2＋1，所以1y 1＋1＋1y 2＋1＝y 1＋y 2＋2(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1＋y 2＋2y 1y 2＋y 1＋y 2＋1＝y 1＋y 2＋2(x 1x 2)216＋y 1＋y 2＋1＝1，故D 正确．] 16．[多选](2020·菏泽模拟)已知双曲线x 2a 2－y 25＝1(a ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，P 是双曲线上一点，且满足|F 1F 2|＝2|OP |，tan ∠PF 2F 1＝2，则下列结论正确的是( )A ．点P 在双曲线的右支上B ．点⎝⎛⎭⎫－32，3在双曲线的渐近线上 C ．双曲线的离心率为5D ．双曲线上任一点到两渐近线距离之和的最小值等于4ABC [连接PF 1(图略)，由题意知|F 1F 2|＝2|OP |＝2c ，则PF 1⊥PF 2，因为tan ∠PF 2F 1＝2，所以|PF 1||PF 2|＝2，因此|PF 1|＞|PF 2|，故点P 在双曲线的右支上，A 项正确；由于|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，所以(4a )2＋(2a )2＝(2c )2，整理得c 2＝5a 2，则e ＝5，C 正确；又e ＝c a＝1＋b 2a2＝5，所以ba ＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，易知点⎝⎛⎭⎫－32，3在双曲线的渐近线上，故B 项正确；由于b 2＝5，所以a 2＝54，所以双曲线的方程为4x 25－y 25＝1，设M (x 0，y 0)为双曲线上任意一点，则点M 到渐近线y ＝2x 的距离d 1＝|2x 0－y 0|5，点M 到渐近线y ＝－2x 的距离d 2＝|2x 0＋y 0|5，因此d 1d 2＝|4x 20－y 20|5，又4x 205－y 205＝1，于是d 1d 2＝1，因此由基本不等式得d 1＋d 2≥2d 1d 2＝2，当且仅当d 1＝d 2时取等号，故双曲线上任一点到两渐近线距离之和的最小值等于2.故D 项错误．故选ABC ．]17．[多选](2020·青岛模拟)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴相交于点M ，经过M 且斜率为k 的直线l 与抛物线相交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1＞x 2，则下列结论正确的是( )A ．－1＜k ＜1B ．y 1y 2＝8x 1x 2C ．∠AFB 可能为直角D ．当k 2＝12时，△AFB 的面积为16CD [依题意知F (2，0)，M (－2，0)，直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k (x ＋2)，消去y 得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.因为直线l 与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2≠0，(4k 2－8)2－16k 4＞0，解得－1＜k ＜1且k ≠0，故A 选项错误；因为x 1x 2＝4k 2k2＝4，所以y 21y 22＝8x 1×8x 2＝64×4＝256，由于y 1，y 2同号，所以y 1y 2＝16，于是y 1y 2＝4x 1x 2，故B 选项错误；由于F A →＝(x 1－2，y 1)，FB →＝(x 2－2，y 2)，所以F A →·FB →＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2＝4－2·8－4k 2k 2＋4＋16＝32－16k 2，当k 2＝12时，F A →·FB→＝0，∠AFB 为直角，故C 选项正确；△AFB 的面积S ＝S △MF A －S △MFB ＝12|MF |·|y 1－y 2|＝2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2，当k 2＝12时，y 1＋y 2＝k (x 1＋2)＋k (x 2＋2)＝k (x 1＋x 2＋4)＝16k ，因此S ＝2(16k )2－4×16＝16，故选项D 正确．]18．(2020·安徽示范高中名校联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，以F 2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线PF 1恰好与圆F 2相切于点P ，则椭圆的离心率为________．3－1 [由题意可知PF 1⊥PF 2，且|PF 2|＝c ，所以|PF 1|＝3c ，根据椭圆的定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，即(3＋1)c ＝2a ，所以e ＝c a ＝23＋1＝3－1.]19．[一题两空](2020·临沂模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，两条渐近线的夹角为60°，则渐近线方程为________，过点F 1作x 轴的垂线，交双曲线的左支于M ，N 两点，若△MNF 2的面积为43，则该双曲线的方程为________．y ＝±33x x 29－y 23＝1 [因为双曲线C 的两条渐近线的夹角为60°，a ＞b ＞0，所以b a ＝33①，则渐近线方程为y ＝±33x .易知F 1(－c ，0)，所以直线MN 的方程为x ＝－c ，代入双曲线的方程得y ＝±b 2a ，所以△MNF 2的面积S ＝12|F 1F 2|·|MN |＝12×2c ×2b 2a ＝2b 2ca ＝43 ②.又a 2＋b 2＝c 2 ③，所以由①②③得a ＝3，b ＝3，c ＝23，故该双曲线的方程为x 29－y 23＝1.]20．[一题两空](2020·滨州模拟)已知M (a ，4)是抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)上一点，且位于第一象限，点M 到抛物线C 的焦点F 的距离为6，则a ＝________；若过点P (35，4)向抛物线C 作两条切线，切点分别为A ，B ，则|AF |·|BF |＝________.42 49 [由抛物线的定义得4＋p2＝6，解得p ＝4，所以抛物线C 的方程为x 2＝8y ，将(a ，4)代入，可得a ＝4 2.易知点P 不在抛物线上，设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．又y ′＝14x ，所以抛物线C 在点A 处的切线方程为y －y 1＝x 14(x －x 1)，将(35，4)代入并结合x 21＝8y 1，得35x 1－4y 1－16＝0，同理得抛物线C 在点B 处的切线方程为35x 2－4y 2－16＝0，于是直线AB 的方程为35x －4y －16＝0.将35x －4y －16＝0代入x 2＝8y ，整理得2y 2－29y ＋32＝0，所以y 1＋y 2＝292，y 1y 2＝16，故|AF |·|BF |＝(y 1＋2)·(y 2＋2)＝y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋4＝49.]21．(2020·石家庄模拟)已知点E 在y 轴上，点F 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，直线EF 与抛物线交于M ，N 两点，若点M 为线段EF 的中点，且|NF |＝12，则p ＝________.8 [如图，由题意知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0.∵M 为EF 的中点， ∴点M 的横坐标为p 4.设直线EF 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2，k ≠0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2y 2＝2px ，得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋k 2p 24＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝k 2p ＋2pk 2，x 1x 2＝p 24∵x 1＝p4，∴x 2＝p .当x ＝p 时，y 2＝2p 2，∴N (p ，±2p )． ∵|NF |2＝⎝⎛⎭⎫p －p22＋(±2p )2， ∴144＝p 24＋2p 2，∴p 2＝64，∵p ＞0，∴p ＝8.]22．(2020·济南模拟)已知点A (0，1)，抛物线C ：y 2＝ax (a ＞0)的焦点为F ，连接F A ，与抛物线C 相交于点M ，延长F A ，与抛物线C 的准线相交于点N ，若|FM |∶|MN |＝1∶2，则实数a 的值为________．433[法一：依题意得抛物线的焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，过M 作抛物线的准线的垂线，垂足为K ，由抛物线的定义知|MF |＝|MK |.因为|FM |∶|MN |＝1∶2，所以|KN |∶|KM |＝3∶1，又k FN ＝0－1a 4－0＝－4a ，k FN ＝－|KN ||KM |＝－3，所以－4a ＝－3，解得a ＝433.法二：因为A (0，1)，抛物线C ：y 2＝ax (a ＞0)的焦点为F ⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4，所以AF 的方程为4x ＋ay －a ＝0，所以N ⎝⎛⎭⎫－a4，2. 因为|FM |∶|MN |＝1∶2，所以|FM |＝13|FN |，所以x M ＝a 12，y M ＝23.因为(x M ，y M )在抛物线上，所以49＝a 212，得a ＝433.]1．设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两条渐近线的夹角为α，且cos α＝13，则C 的离心率为( )A ．52 B ．62 C ．72D ．2 B [∵a ＞b ＞0，∴渐近线y ＝b a x 的斜率小于1，∵两条渐近线的夹角为α，且cos α＝13，∴cos 2α2＝23，sin 2α2＝13，tan 2α2＝12，∴b 2a 2＝12，∴c 2－a 2a 2＝12，∴e 2＝32，e ＝62.故选B ．]2．若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆x 2＋(y －2)2＝2截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为( )A ． 3B ．2C ． 5D ．25B [设圆心到双曲线的渐近线的距离为d ，由弦长公式可得，22－d 2＝2，解得d ＝1，又双曲线C 的渐近线方程为bx ±ay ＝0，圆心坐标为(0，2)，故|0±2a |a 2＋b2＝1，即2ac ＝1，所以双曲线C 的离心率e ＝ca＝2.故选B ．]3．[多选]已知双曲线C 过点(3，2)且渐近线为y ＝±33x ，则下列结论正确的是( )A ．C 的方程为x 23－y 2＝1B ．C 的离心率为3C ．曲线y ＝e x －2－1经过C 的一个焦点 D ．直线x －2y －1＝0与C 有两个公共点AC [因为渐近线方程为y ＝±33x ，所以可设双曲线方程为x 29－y 23＝λ，代入点(3，2)，得λ＝13，所以双曲线方程为x 23－y 2＝1，选项A 正确；该双曲线的离心率为23≠3，选项B不正确；双曲线的焦点为(±2，0)，曲线y ＝e x －2－1经过双曲线的焦点(2，0)，选项C 正确；把x ＝2y ＋1代入双曲线方程，得y 2－22y ＋2＝0，解得y ＝2，故直线x －2y －1＝0与曲线C 只有一个公共点，选项D 不正确．]4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线，交双曲线右支于点M .若∠F 1MF 2＝45°，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±xD ．y ＝±2xA [如图，作OA ⊥F 1M 于点A ，F 2B ⊥F 1M 于点B ．因为F 1M 与圆x 2＋y 2＝a 2相切，∠F 1MF 2＝45°，所以|OA |＝a ，|F 2B |＝|BM |＝2a ，|F 2M |＝22a ，|F 1B |＝2b .又点M 在双曲线上．所以|F 1M |－|F 2M |＝2a ＋2b －22a ＝2a ，整理得b ＝2a .所以ba＝ 2.所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .故选A ．]5．如果圆C 1：(x ＋m )2＋(y ＋m )2＝8上总存在到点(0，0)的距离为2的点，则实数m 的取值范围是( )A ．[－3，3]B ．(－3，3)C ．(－3，－1]∪[1，3)D ．[－3，－1]∪[1，3]D [由题意知，圆C 1：(x ＋m )2＋(y ＋m )2＝8与圆C 2：x 2＋y 2＝2存在公共点，所以22－2≤(－m －0)2＋(－m －0)2≤22＋2，解得－3≤m ≤－1或1≤m ≤3.故选D ．]6．已知F 2为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，直线y ＝kx 交双曲线C 于A ，B 两点．若∠AF 2B ＝2π3，S △AF 2B ＝23，则双曲线C 的虚轴长为( )A ．1B ．2C ．2 2D ．23C [设双曲线C 的左焦点为F 1，连接AF 1，BF 1(图略)，由对称性可知四边形AF 1BF 2是平行四边形，所以S △AF 1F 2＝23，∠F 1AF 2＝π3.设|AF 1|＝r 1，|AF 2|＝r 2，则4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos π3. 又|r 1－r 2|＝2a ，故r 1r 2＝4b 2.又S △AF 1F 2＝12r 1r 2sin π3＝23，所以b 2＝2，则该双曲线的虚轴长为2 2.故选C ．]7．已知抛物线y 2＝4x 的焦点F ，点A (4，3)，P 为抛物线上一点，且点P 不在直线AF 上，则当△P AF 周长取最小值时，线段PF 的长为( )A ．1B ．134C ．5D ．214B [如图，求△P AF 周长的最小值，即求|P A |＋|PF |的最小值．设点P 在准线上的投影为D ，根据抛物线的定义，可知|PF |＝|PD |，因此|P A |＋|PF |的最小值，即|P A |＋|PD |的最小值，可得当D ，P ，A 三点共线时，|P A |＋|PD |最小，此时P ⎝⎛⎭⎫94，3，F (1，0)，线段PF 的长为94＋1＝134.故选B ．]8．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆C 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆C 的离心率的取值范围为( )A ．⎝⎛⎦⎤0，32 B ．⎣⎡⎭⎫32，1 C ．⎝⎛⎦⎤0，34 D ．⎣⎡⎭⎫34，1A [如图所示，设F ′为椭圆C 的左焦点，连接AF ′，BF ′，则四边形AFBF ′是平行四边形，∴4＝|AF |＋|BF |＝|AF ′|＋|AF |＝2a ，∴a ＝2.不妨取M (0，b )，∵点M 到直线l 的距离不小于45，∴|－4b |32＋(－4)2≥45，解得b ≥1，∴e ＝c a＝1－b 2a2≤1－122＝32，即椭圆C 的离心率的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，32.故选A ．] 9．双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1作一条直线与双曲线E 的两条渐近线分别相交于A ，B 两点．若F 1B →＝2F 1A →，|F 1F 2|＝2|OB |，则双曲线的离心率为( )A ． 2B ． 3C ．2D ．3C [如图所示，连接F 2B ．|F 1F 2|＝2|OB |，且O 为F 1F 2的中点，所以∠F 1BF 2＝90°.因为F 1B →＝2F 1A →，即|F 1B →|＝2|F 1A →|，所以A 为线段F 1B 的中点．又由于O 为F 1F 2的中点，所以OA ∥F 2B ，所以OA ⊥F 1B ，所以∠AOF 1＝∠AO B ．又由直线OA 与OB 是双曲线的两条渐近线，则∠AOF 1＝∠BOF 2，所以∠BOF 2＝60°，则b a ＝tan ∠BOF 2＝3，所以双曲线的离心率e ＝c a＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝2.故选C ．]10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，实轴长为6，渐近线方程为y ＝±13x ，动点M 在双曲线左支上，点N 为圆E ：x 2＋(y ＋6)2＝1上一点，则|MN |＋|MF 2|的最小值为( )A ．8B ．9C ．10D ．11B [由题意可得2a ＝6，即a ＝3，渐近线方程为y ＝±13x ，即有b a ＝13，即b ＝1，可得双曲线方程为x 29－y 2＝1，焦点为F 1(－10，0)，F 2，(10，0)．由双曲线的定义可得|MF 2|＝2a ＋|MF 1|＝6＋|MF 1|.由圆E ：x 2＋(y ＋6)2＝1可得圆心E (0，－6)，半径r ＝1，|MN |＋|MF 2|＝6＋|MN |＋|MF 1|. 如图，连接EF 1，交双曲线于M ，交圆于N ，可得|MN |＋|MF 1|取得最小值，且|EF 1|＝6＋10＝4，则|MN |＋|MF 2|的最小值为6＋4－1＝9.故选B ．]11．已知抛物线x 2＝12y 的焦点为F ，M ，N 是抛物线上两点，若|MF |＋|NF |＝32，则线段MN 的中点P 到x 轴的距离为( )A ．32B ．34C ．58D ．54C [抛物线x 2＝12y 的焦点为⎝⎛⎭⎫0，18，准线为y ＝－18. 如图，过点M ，N ，P 分别作准线的垂线，则|MM ′|＝|MF |，|NN ′|＝|NF |，所以|MM ′|＋|NN ′|＝|MF |＋|NF |＝32，所以中位线|PP ′|＝|MM ′|＋|NN ′|2＝34，所以中点P 到x 轴的距离为|PP ′|－18＝34－18＝58.故选C ．]12．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知F 1，F 2是一对相关曲线的焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当∠F 1PF 2＝60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是( )A ． 3B ． 2C ．233D ．2A [设椭圆、双曲线的离心率分别为e 1，e 2，椭圆的长半轴长为a 1，椭圆的半焦距为c ，双曲线的实半轴长为a 2，|PF 1|＝x ，|PF 2|＝y ，x ＞y .由椭圆、双曲线的定义得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2a 1x －y ＝2a 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 1＋a 2y ＝a 1－a 2.在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝x 2＋y 2－(2c )22xy＝cos 60°，∴2(a 21＋a 22)－4c 22(a 21－a 22)＝12，∴a 21＋3a 22＝4c 2. 又e 1·e 2＝c a 1·c a 2＝1，∴c 2＝a 1a 2，∴a 21＋3a 22＝4a 1a 2，即(a 1－a 2)(a 1－3a 2)＝0，∴a 1＝3a 2，∴3a 22＝c 2，∴e 2＝c a 2＝ 3.故选A ．] 13.已知F 是抛物线C ：y ＝2x 2的焦点，N 是x 轴上一点，线段FN 与抛物线C 相交于点M ，若2FM →＝MN →，则|FN |＝( )A ．58B ．12C ．38D ．1A [法一：因为抛物线C ：y ＝2x 2，所以F ⎝⎛⎭⎫0，18，抛物线C 的准线方程为y ＝－18. 如图，过点M 作抛物线准线的垂线，交x 轴于点A ，交抛物线C 的准线于点B ，则MA ∥OF ，所以|MA ||OF |＝|MN ||FN |.因为2FM →＝MN →，所以|MA |＝23×18＝112，|MF |＝|MB |＝112＋18＝524，|FN |＝3|FM |＝58，故选A ．法二：因为抛物线y ＝2x 2，所以F ⎝⎛⎭⎫0，18. 设N (x 0，0)，则由2FM →＝MN →，可得M ⎝⎛⎭⎫13x 0，112，代入抛物线方程，得112＝2⎝⎛⎭⎫13x 02，解得x 20＝38，则|FN |＝|ON |2＋|OF |2＝38＋164＝58，故选A ．] 14．如图，F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 2的直线与双曲线交于A ，B 两点．若|AB |∶|BF 1|∶|AF 1|＝3∶4∶5，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±23xB ．y ＝±22xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2xA [由题意可设|AB |＝3k ，则|BF 1|＝4k ，|AF 1|＝5k ，则易得BF 1⊥BF 2，由双曲线的定义可知|AF 1|－|AF 2|＝2a ，则可得|AF 2|＝5k －2a ，|BF 2|＝8k －2a ，再根据双曲线的定义得|BF 2|－|BF 1|＝2a ，得k ＝a ，即|BF 1|＝4a ，|BF 2|＝6a ，|F 1F 2|＝2c ，在直角三角形BF 1F 2中，得16a 2＋36a 2＝4c 2＝4(a 2＋b 2)，则ba＝23，双曲线的渐近线方程为y ＝±23x ，故选A ．]15．[多选]已知双曲线C ：x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)虚轴的一个端点到它的一条渐近线的距离为32，则下列说法正确的是( )A ．b 的值为3B ．C 的离心率为2C ．抛物线y 2＝8x 与C 有一个相同的焦点D ．C 的两条渐近线均与圆(x －2)2＋(y －3)2＝1相交 ABC [双曲线x 2－y 2b 2＝1的一条渐近线的方程为bx ＋y ＝0，易知其虚轴的一个端点为(0，b )，由题意可得b b 2＋1＝32，得b ＝3，A 正确；又a ＝1，所以c ＝2，故离心率e ＝ca＝2，B 正确；抛物线焦点为(2，0)，故C 正确；双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，圆的圆心为(2，3)，半径为1，根据点到直线的距离可判断，渐近线y ＝3x 与圆相交，y ＝－3x 与圆相离，故D 错误，选ABC ．]16．[多选]抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，交抛物线C 的准线于D 点，若BD →＝2BF →，|F A |＝2，则( )A ．F (3，0)B ．直线AB 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32C ．点B 到准线的距离为6D ．△AOB (O 为坐标原点)的面积为33BCD [如图，不妨令点B 在第一象限，设点K 为准线与x 轴的交点，分别过点A ，B 作抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线的垂线，垂足分别为G ，E ，∵BD →＝2BF →，∴点F 为BD 的中点，又|BE |＝|FB |，∴|BE |＝12|BD |，∴在Rt △EBD 中，∠BDE ＝30°，∴|AD |＝2|AG |＝2|AF |＝2×2＝4，∴|DF |＝|AD |＋|F A |＝6，∴|BF |＝6，则点B 到准线的距离为6，故C 正确；∵|DF |＝6，∴|KF |＝3，∴p ＝3，则F ⎝⎛⎭⎫32，0，故A 错误；由∠BDE ＝30°，易得∠BFx ＝60°，所以直线AB 的方程为y ＝tan 60°·⎝⎛⎭⎫x －32＝3⎝⎛⎭⎫x －32，。

2019年高考数学(文科)二轮专题突破训练：专题六直线、圆、圆锥曲线专题能力训练16Word版含答案

专题能力训练16椭圆、双曲线、抛物线一、能力突破训练1.(2018全国Ⅰ,文4)已知椭圆C:=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为()A.B.C.D.2.已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF 的面积为()A.B.C.D.3.已知O为坐标原点,F是椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点,P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A. B. C. D.4.已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.-y2=1D.x2-=15.(2018全国Ⅱ,文11)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为()A.1-B.2-C. D.-16.设双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A,B两点,与双曲线的一个交点为P,设O为坐标原点.若=m+n(m,n∈R),且mn=,则该双曲线的离心率为()A. B.C. D.7.已知双曲线E:=1(a>0,b>0).矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是.8.已知直线l1:x-y+5=0和l2:x+4=0,抛物线C:y2=16x,P是C上一动点,则点P到l1与l2距离之和的最小值为.9.如图,已知抛物线C1:y=x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.(1)求点A,B的坐标;(2)求△PAB的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.10.如图,动点M与两定点A(-1,0),B(1,0)构成△MAB,且直线MA,MB的斜率之积为4,设动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设直线y=x+m(m>0)与y轴相交于点P,与轨迹C相交于点Q,R,且|PQ|<|PR|,求的取值范围. 11.设椭圆=1(a>)的右焦点为F,右顶点为A.已知,其中O为原点,e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线l的斜率.二、思维提升训练12.(2018全国Ⅲ,文10)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A.B.2 C.D.213.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为()A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x14.在平面直角坐标系xOy中,双曲线-y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是.15.在平面直角坐标系xOy中,双曲线=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.16.已知圆C:(x+1)2+y2=20,点B(1,0),点A是圆C上的动点,线段AB的垂直平分线与线段AC交于点P.(1)求动点P的轨迹C1的方程;(2)设M,N为抛物线C2:y=x2上的一动点,过点N作抛物线C2的切线交曲线C1于P,Q两点,求△MPQ面积的最大值.17.已知动点C是椭圆Ω:+y2=1(a>1)上的任意一点,AB是圆G:x2+(y-2)2=的一条直径(A,B是端点),的最大值是.(1)求椭圆Ω的方程.(2)已知椭圆Ω的左、右焦点分别为点F1,F2,过点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆Ω于P,Q两点.在线段OF2上是否存在点M(m,0),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.专题能力训练16椭圆、双曲线、抛物线一、能力突破训练1.C解析因为椭圆C的一个焦点为(2,0),所以其焦点在x轴上,c=2,所以a2-4=c2,所以a2=8,a=2,所以椭圆C的离心率e=.2.D解析由c2=a2+b2=4,得c=2,所以点F的坐标为(2,0).将x=2代入x2-=1,得y=±3,所以PF=3.又点A的坐标是(1,3),故△APF的面积为×3×(2-1)=,故选D.3.A解析由题意知,A(-a,0),B(a,0),根据对称性,不妨令P,设l:x=my-a,∴M,E.∴直线BM:y=-(x-a).又直线BM经过OE的中点,∴,解得a=3c.∴e=,故选A.4.D解析∵双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),点A在双曲线的渐近线上,且△OAF是边长为2的等边三角形,不妨设点A在渐近线y=x上,∴解得所以双曲线的方程为x2-=1.故选D.5.D解析不妨设椭圆方程为=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则|PF1|+|PF2|=2a.∵∠F2PF1=90°,∠PF2F1=60°,∴c+c=2a,即(+1)c=2a.∴e=-1.6.C解析在y=±x中令x=c,得A,B,在双曲线=1中令x=c得P.当点P的坐标为时,由=m+n,得由(舍去),∴,∴,∴e=.同理,当点P的坐标为时,e=.故该双曲线的离心率为.7. 2解析由题意不妨设AB=3,则BC=2.设AB,CD的中点分别为M,N,如图,则在Rt△BMN中,MN=2,故BN=.由双曲线的定义可得2a=BN-BM==1,而2c=MN=2,所以双曲线的离心率e==2.8.解析在同一坐标系中画出直线l1,l2和曲线C如图.P是C上任意一点,由抛物线的定义知,|PF|=d2,∴d1+d2=d1+|PF|,显然当PF⊥l1,即d1+d2=|FM|时,距离之和取到最小值.∵|FM|=,∴所求最小值为.9.解(1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t),由消去y,整理得:x2-4kx+4kt=0,由于直线PA与抛物线相切,得k=t.因此,点A的坐标为(2t,t2).设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0),由题意知:点B,O关于直线PD对称,故解得因此,点B的坐标为.(2)由(1)知|AP|=t·和直线PA的方程tx-y-t2=0.点B到直线PA的距离是d=.设△PAB的面积为S(t),所以S(t)=|AP|·d=.10.解(1)设M的坐标为(x,y),当x=-1时,直线MA的斜率不存在;当x=1时,直线MB的斜率不存在.于是x≠1,且x≠-1.此时,MA的斜率为,MB的斜率为.由题意,有=4.整理,得4x2-y2-4=0.故动点M的轨迹C的方程为4x2-y2-4=0(x≠±1).(2)由消去y,可得3x2-2mx-m2-4=0.①对于方程①,其判别式Δ=(-2m)2-4×3(-m2-4)=16m2+48>0,而当1或-1为方程①的根时,m的值为-1或1.结合题设(m>0)可知,m>0,且m≠1.设Q,R的坐标分别为(x Q,y Q),(x R,y R),则x Q,x R为方程①的两根,因为|PQ|<|PR|,所以|x Q|<|x R|.因为x Q=,x R=,且Q,R在同一条直线上,所以=1+.此时>1,且≠2, 所以1<1+<3,且1+,所以1<<3,且.综上所述,的取值范围是.11.解(1)设F(c,0).由,即,可得a2-c2=3c2,又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.所以,椭圆的方程为=1.(2)设直线l的斜率为k(k≠0),则直线l的方程为y=k(x-2).设B(x B,y B),由方程组消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.解得x=2,或x=,由题意得x B=,从而y B=.由(1)知,F(1,0),设H(0,y H),有=(-1,y H),.由BF⊥HF,得=0,所以=0,解得y H=.因此直线MH的方程为y=-x+.设M(x M,y M),由方程组消去y,解得x M=.在△MAO中,∠MOA=∠MAO⇔|MA|=|MO|,即(x M-2)2+,化简得x M=1,即=1,解得k=-,或k=.所以,直线l的斜率为-.二、思维提升训练12.D解析∵双曲线C的离心率为,∴e=,即c=a,a=b.∴其渐近线方程为y=±x,则(4,0)到C的渐近线距离d==2.13.C解析设点M的坐标为(x0,y0),由抛物线的定义,得|MF|=x0+=5,则x0=5-.因为点F的坐标为,所以以MF为直径的圆的方程为(x-x0)·+(y-y0)y=0.将x=0,y=2代入得px0+8-4y0=0,即-4y0+8=0,解得y0=4.由=2px0,得16=2p,解得p=2或p=8.所以C的方程为y2=4x或y2=16x.故选C.14.2解析该双曲线的右准线方程为x=,两条渐近线方程为y=±x,得P,Q,又c=,所以F1(-,0),F2(,0),四边形F1PF2Q的面积S=2=2.15.y=±x解析抛物线x2=2py的焦点F,准线方程为y=-.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1++y2+=y1+y2+p=4|OF|=4·=2p.所以y1+y2=p.联立双曲线与抛物线方程得消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.所以y1+y2==p,所以.所以该双曲线的渐近线方程为y=±x.16.解(1)由已知可得,点P满足|PB|+|PC|=|AC|=2>2=|BC|,所以动点P的轨迹C1是一个椭圆,其中2a=2,2c=2.动点P的轨迹C1的方程为=1.(2)设N(t,t2),则PQ的方程为y-t2=2t(x-t)⇒y=2tx-t2.联立方程组消去y整理,得(4+20t2)x2-20t3x+5t4-20=0,有而|PQ|=×|x1-x2|=,点M到PQ的高为h=,由S△MPQ=|PQ|h代入化简,得S△MPQ=,当且仅当t2=10时,S△MPQ可取最大值.17.解(1)设点C的坐标为(x,y),则+y2=1.连接CG,由,又G(0,2),=(-x,2-y),可得=x2+(y-2)2-=a(1-y2)+(y-2)2-=-(a-1)y2-4y+a+,其中y∈[-1,1].因为a>1,所以当y=≤-1,即1<a≤3时,取y=-1,得有最大值-(a-1)+4+a+,与条件矛盾;当y=>-1,即a>3时,的最大值是,由条件得,即a2-7a+10=0,解得a=5或a=2(舍去).综上所述,椭圆Ω的方程是+y2=1.(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点坐标为(x0,y0),则满足=1,=1,两式相减,整理,得=-=-,从而直线PQ的方程为y-y0=-(x-x0).又右焦点F2的坐标是(2,0),将点F2的坐标代入PQ的方程得-y0=-(2-x0),因为直线l与x轴不垂直,所以2x0-=5>0,从而0<x0<2.假设在线段OF2上存在点M(m,0)(0<m<2),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形,则线段PQ的垂直平分线必过点M,而线段PQ的垂直平分线方程是y-y0=(x-x0),将点M(m,0)代入得-y0=(m-x0),得m=x0,从而m∈.。

2019年高考数学(文科)二轮专题冲破操练专题六直线圆圆锥曲线专题能力操练15 Word版含答案

专题能力训练15 直线与圆一、能力突破训练1.圆(x+1)2+y 2=2的圆心到直线y=x+3的距离为( ) A .1 B .2 C .√2 D .2√22.已知三点A (1,0),B (0,√3),C (2,√3),则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A. B.√213C.2√53D.3.直线y=kx+3与圆(x-1)2+(y+2)2=4相交于M ,N 两点,若|MN|≥2√3,则实数k 的取值范围是( )A.(-∞,-125)B.(-∞,-125]C.(-∞,125)D.(-∞,125]4.过三点A (1,3),B (4,2),C (1,-7)的圆交y 轴于M ,N 两点,则|MN|=( ) A.2√6 B.8 C.4√6 D.105.(2018全国Ⅰ,文15)已知直线y=x+1与圆x 2+y 2+2y-3=0交于A ,B 两点,则|AB|= .6.已知a ∈R ,方程a 2x 2+(a+2)y 2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是 ,半径是 .7.若直线x a +yb =1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b 的最小值为 .8.已知P 是抛物线y 2=4x 上的动点,过P 作抛物线准线的垂线,垂足为M ,N 是圆(x-2)2+(y-5)2=1上的动点,则|PM|+|PN|的最小值是 .9.在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为圆心的圆与直线x-√3y=4相切. (1)求☉O 的方程;(2)若☉O 上有两点M ,N 关于直线x+2y=0对称,且|MN|=2√3,求直线MN 的方程;(3)设☉O 与x 轴相交于A ,B 两点,若圆内的动点P 使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围. 10.已知☉O :x 2+y 2=4,点A (√3,0),以线段AB 为直径的圆内切于☉O ,记点B 的轨迹为Γ. (1)求曲线Γ的方程;(2)直线AB 交☉O 于C ,D 两点,当B 为CD 的中点时,求直线AB 的方程.11.已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与☉C :(x-2)2+(y-3)2=1交于M ,N 两点. (1)求k 的取值范围;(2)若OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12,其中O 为坐标原点,求|MN|. 二、思维提升训练12.已知圆M :x 2+y 2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2√2.则圆M 与圆N :(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离13.(2018全国Ⅲ,文8)已知直线x+y+2=0分别与x 轴、y 轴交于A ,B 两点,点P 在圆(x-2)2+y 2=2上,则△ABP 面积的取值范围是( ) A .[2,6] B .[4,8] C .[√2,3√2] D .[2√2,3√2]14.在平面直角坐标系xOy 中,A (-12,0),B (0,6),点P 在圆O :x 2+y 2=50上.若PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤20,则点P 的横坐标的取值范围是 .15.在平面直角坐标系中,当P (x ,y )不是原点时,定义P 的“伴随点”为P'(yx 2+y 2,-xx 2+y 2);当P 是原点时,定义P 的“伴随点”为它自身.现有下列命题:①若点A 的“伴随点”是点A',则点A'的“伴随点”是点A ; ②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上;③若两点关于x 轴对称,则它们的“伴随点”关于y 轴对称; ④若三点在同一条直线上,则它们的“伴随点”一定共线. 其中的真命题是 .(写出所有真命题的序号) 16.在平面直角坐标系xOy 中,已知☉C 1:(x+3)2+(y-1)2=4和☉C 2:(x-4)2+(y-5)2=4.(1)若直线l 过点A (4,0),且被☉C 1截得的弦长为2√3,求直线l 的方程;(2)设P 为平面上的点,满足:存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2,它们分别与☉C 1和☉C 2相交,且直线l 1被☉C 1截得的弦长与直线l 2被☉C 2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P 的坐标. 17.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知以M 为圆心的圆M :x 2+y 2-12x-14y+60=0及其上一点A (2,4). (1)设圆N 与x 轴相切,与圆M 外切,且圆心N 在直线x=6上,求圆N 的标准方程; (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ,C 两点,且BC=OA ,求直线l 的方程;(3)设点T (t ,0)满足:存在圆M 上的两点P 和Q ,使得TA ⃗⃗⃗⃗⃗ +TP⃗⃗⃗⃗⃗ =TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求实数t 的取值范围. 专题能力训练15 直线与圆一、能力突破训练1.C 解析由题意可知圆心坐标为(-1,0),故圆心到直线y=x+3的距离d=|-1-0+3|√2=√2,故选C .2.B 解析由题意知,△ABC 外接圆的圆心是直线x=1与线段AB 垂直平分线的交点,设为P ,而线段AB 垂直平分线的方程为y-√32=√33(x -12),它与x=1联立得圆心P 坐标为(1,2√33),则|OP|=√12+(2√33)2=√213.3.B 解析当|MN|=2√3时,在弦心距、半径和半弦长构成的直角三角形中,可知圆心(1,-2)到直线y=kx+3的距离为√4-(√3)2=1,即√1+k =1,解得k=-12.若使|MN|≥2√3,则k ≤-12.4.C 解析设圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,将点A ,B ,C 代入,得{D +3E +F +10=0,4D +2E +F +20=0,D -7E +F +50=0,解得{D =-2,E =4,F =-20.则圆的方程为x 2+y 2-2x+4y-20=0. 令x=0得y 2+4y-20=0,设M (0,y 1),N (0,y 2),则y 1,y 2是方程y 2+4y-20=0的两根,由根与系数的关系,得y 1+y 2=-4,y 1y 2=-20,故|MN|=|y 1-y 2|=√(y 1+y 2)2-4y 1y 2=√16+80=4√6.5.2√2 解析圆的方程可化为x 2+(y+1)2=4,故圆心C (0,-1),半径r=2,圆心到直线y=x+1的距离d=|0-(-1)+1|√2=√2,所以弦长|AB|=2√r 2-d 2=2√4-2=2√2.6.(-2,-4) 5 解析由题意,可得a 2=a+2,解得a=-1或2.当a=-1时,方程为x 2+y 2+4x+8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25,故圆心为(-2,-4),半径为5;当a=2时,方程为4x 2+4y 2+4x+8y+10=0,(x +1)2+(y+1)2=-不表示圆. 7.8 解析 ∵直线x a +yb =1过点(1,2),∴1a +2b =1.∵a>0,b>0,∴2a+b=(2a+b )(1a +2b )=4+(b a +4a b )≥4+2√b a ·4ab =8. 当且仅当b=2a 时“=”成立.8.√26-1 解析抛物线y 2=4x 的焦点为F (1,0),圆(x-2)2+(y-5)2=1的圆心为C (2,5),根据抛物线的定义可知点P 到准线的距离等于点P 到焦点的距离,进而推断出当P ,C ,F 三点共线时,点P 到点C 的距离与点P 到抛物线的焦点距离之和的最小值为|FC|=√(2-1)2+(5-0)2=√26,故|PM|+|PN|的最小值是|FC|-1=√26-1.9.解 (1)依题意,☉O 的半径r 等于原点O 到直线x-√3y=4的距离,即r=√1+3=2.所以☉O 的方程为x 2+y 2=4. (2)由题意,可设直线MN 的方程为2x-y+m=0. 则圆心O 到直线MN 的距离d=√5.由垂径定理,得m 25+(√3)2=22,即m=±√5.所以直线MN 的方程为2x-y+√5=0或2x-y-√5=0. (3)设P (x ,y ),由题意得A (-2,0),B (2,0). 由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得√(x +2)2+y 2·√(x -2)2+y 2=x 2+y 2,即x 2-y 2=2.因为PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2-x ,-y )·(2-x ,-y )=2(y 2-1),且点P 在☉O 内,所以{x 2+y 2<4,x 2-y 2=2.由此得y 2<1.所以PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为[-2,0). 10. 解 (1)设AB 的中点为M ,切点为N ,连接OM ,MN ,则|OM|+|MN|=|ON|=2,|AB|=|ON|-(|OM|-|MN|)=2-|OM|+|AB|,即|AB|+2|OM|=4.取A 关于y 轴的对称点A',连接A'B ,则|A'B|=2|OM|, 所以|AB|+2|OM|=|AB|+|A'B|=4>|A'A|.所以点B 的轨迹是以A',A 为焦点,长轴长为4的椭圆.其中,a=2,c=√3,b=1,故曲线Γ的方程为x 24+y 2=1. (2)因为B 为CD 的中点,所以OB ⊥CD , 则OB⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .设B (x 0,y 0), 则x 0(x 0-√3)+y 02=0.又x 024+y 02=1,解得x 0=3,y 0=±√23.则k OB =±√22,k AB =∓√2,则直线AB 的方程为y=±√2(x-√3),即√2x-y-√6=0或√2x+y-√6=0.11.解 (1)由题设,可知直线l 的方程为y=kx+1.因为l 与C 交于两点,所以√1+k <1.解得4-√73<k<4+√73.所以k 的取值范围为(4-√73,4+√73).(2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2).将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1, 整理得(1+k 2)x 2-4(1+k )x+7=0. 所以x 1+x 2=4(1+k )1+k2,x 1x 2=71+k2.OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2 =(1+k 2)x 1x 2+k (x 1+x 2)+1=4k (1+k )1+k2+8.由题设可得4k (1+k )1+k2+8=12,解得k=1,所以l 的方程为y=x+1.故圆心C 在l 上,所以|MN|=2.二、思维提升训练12.B 解析圆M 的方程可化为x 2+(y-a )2=a 2,故其圆心为M (0,a ),半径R=a.所以圆心到直线x+y=0的距离d=√1+1=√22a.所以直线x+y=0被圆M 所截弦长为2√R 2-d 2=2√a 2-(√22a)2=√2a ,由题意可得√2a=2√2,故a=2. 圆N 的圆心N (1,1),半径r=1. 而|MN|=√(1-0)2+(1-2)2=√2, 显然R-r<|MN|<R+r ,所以两圆相交. 13. A 解析设圆心到直线AB 的距离d=|2+0+2|√2=2√2. 点P 到直线AB 的距离为d'.易知d-r ≤d'≤d+r ,即√2≤d'≤3√2.又AB=2√2,∴S △ABP =12·|AB|·d'=√2d', ∴2≤S △ABP ≤6.14.[-5√2,1] 解析设P (x ,y ),由PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤20,易得x 2+y 2+12x-6y ≤20. 把x 2+y 2=50代入x 2+y 2+12x-6y ≤20得2x-y+5≤0.由{2x -y +5=0,x 2+y 2=50,可得{x =-5,y =-5或{x =1,y =7.由2x-y+5≤0表示的平面区域及P 点在圆上,可得点P 在圆弧EPF 上,所以点P 横坐标的取值范围为[-5√2,1].15.②③ 解析对于①,若令P (1,1),则其伴随点为P'(12,-12),而P'(12,-12)的伴随点为(-1,-1),而不是P ,故①错误;对于②,令单位圆上点的坐标为P (cos x ,sin x ),其伴随点为P'(sin x ,-cos x )仍在单位圆上,所以②正确;③设A (x ,y )与B (x ,-y )为关于x 轴对称的两点,则A 的“伴随点”为A'(y x 2+y 2,-xx 2+y 2),B 点的伴随点为B'(-y x 2+y 2,-xx 2+y 2),A'与B'关于y 轴对称,故③正确;对于④,取直线l :y=1.设其“伴随曲线”为C ,其上任一点M (x ,y ),与其对应的直线l 上的点为N (t ,1).则由定义可知{x =1t 2+1, ①y =-tt 2+1,②①2+②2得x 2+y 2=1+(-t )2(t 2+1)2=11+t 2=x , 整理得x 2+y 2-x=0,显然不是一条直线. 故④错误.所以正确的序号为②③.16.解 (1)设直线l 的方程为y=k (x-4),即kx-y-4k=0,由垂径定理,得圆心C 1到直线l 的距离d=√22-(2√32)2=1.由点到直线距离公式,得√k +1=1,化简,得24k 2+7k=0,解得k=0或k=-724.当k=0时,直线l 的方程为y=0;当k=-724时,直线l 的方程为y=-724(x-4),即7x+24y-28=0.故所求直线l 的方程为y=0或7x+24y-28=0.(2)设点P 坐标为(m ,n ),直线l 1,l 2的方程分别为y-n=k (x-m )和y-n=-1(x-m ),即kx-y+n-km=0,-1k x-y+n+1k m=0.∵直线l 1被☉C 1截得的弦长与直线l 2被☉C 2截得的弦长相等,两圆半径相等, ∴由垂径定理得圆心C 1到直线l 1与圆心C 2到直线l 2的距离相等.∴|-3k -1+n -km |√k +1=|-4k -5+n+1km |√1k2+1,化简,得(2-m-n )k=m-n-3或(m-n+8)k=m+n-5. ∵关于k 的方程有无穷多解,∴{2-m -n =0,m -n -3=0或{m -n +8=0,m +n -5=0.解得{m =52,n =-12或{m =-32,n =132. 故点P 坐标为(52,-12)或(-32,132).17.解圆M 的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M (6,7),半径为5.(1)由圆心N 在直线x=6上,可设N (6,y 0). 因为圆N 与x 轴相切,与圆M 外切, 所以0<y 0<7,于是圆N 的半径为y 0, 从而7-y 0=5+y 0,解得y 0=1.因此,圆N 的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因为直线l ∥OA ,所以直线l 的斜率为4-02-0=2.设直线l 的方程为y=2x+m ,即2x-y+m=0, 则圆心M 到直线l 的距离 d=|2×6-7+m |√5=|m+5|√5. 因为BC=OA=√22+42=2√5, 而MC 2=d 2+(BC 2)2, 所以25=(m+5)25+5,解得m=5或m=-15.故直线l 的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0. (3)设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2).因为A (2,4),T (t ,0),TA⃗⃗⃗⃗⃗ +TP ⃗⃗⃗⃗⃗ =TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以{x 2=x 1+2-t ,y 2=y 1+4. ①因为点Q 在圆M 上, 所以(x 2-6)2+(y 2-7)2=25. ② 将①代入②,得(x 1-t-4)2+(y 1-3)2=25.于是点P (x 1,y 1)既在圆M 上,又在圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上, 从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共点, 所以5-5≤√[(t +4)-6]2+(3-7)2≤5+5, 解得2-2√21≤t ≤2+2√21.因此,实数t 的取值范围是[2-2√21,2+2√21].。

2019年高考数学(文科)二轮专题突破训练：专题六直线、圆、圆锥曲线专题能力训练17 Word版含答案

专题能力训练17直线与圆锥曲线一、能力突破训练1.过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为()A.B.2C.2D.32.与抛物线y2=8x相切倾斜角为135°的直线l与x轴和y轴的交点分别是A和B,那么过A,B两点的最小圆截抛物线y2=8x的准线所得的弦长为()A.4B.2C.2D.3.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为()A.y=x-1或y=-x+1B.y=(x-1)或y=-(x-1)C.y=(x-1)或y=-(x-1)D.y=(x-1)或y=-(x-1)4.在平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p>0)交于点O,A,B.若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为.5.(2018全国Ⅱ,文20)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程.(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.6.已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.7.在平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:=1(a>b>0)右焦点的直线x+y-=0交M于A,B两点,P 为AB的中点,且OP的斜率为.(1)求M的方程;(2)C,D为M上两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.8.已知椭圆C的中心在坐标原点,右焦点为F(1,0),A,B是椭圆C的左、右顶点,D是椭圆C上异于A,B 的动点,且△ADB面积的最大值为.(1)求椭圆C的方程.(2)是否存在一定点E(x0,0)(0<x0<),使得当过点E的直线l与曲线C相交于M,N两点时,为定值?若存在,求出定点和定值;若不存在,请说明理由.二、思维提升训练9.(2018全国Ⅲ,文20)已知斜率为k的直线l与椭圆C:=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).(1)证明:k<-;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且=0.证明:2||=||+||.10.已知椭圆E:=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程;(2)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,证明:|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.11.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.(1)求椭圆E的标准方程;(2)若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.专题能力训练17直线与圆锥曲线一、能力突破训练1.C解析由题意可知抛物线的焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,可得直线MF:y=(x-1),与抛物线y2=4x联立,消去y得3x2-10x+3=0,解得x1=,x2=3.因为M在x轴的上方,所以M (3,2).因为MN⊥l,且N在l上,所以N(-1,2).因为F(1,0),所以直线NF:y=-(x-1).所以M到直线NF的距离为=2.2.C解析设直线l的方程为y=-x+b,联立直线与抛物线方程,消元得y2+8y-8b=0.因为直线与抛物线相切,所以Δ=82-4×(-8b)=0,解得b=-2,故直线l的方程为x+y+2=0,从而A(-2,0),B(0,-2).因此过A,B两点的最小圆即为以AB为直径的圆,其方程为(x+1)2+(y+1)2=2,而抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,此时圆心(-1,-1)到准线的距离为1,故所截弦长为2=2.3.C解析由题意可得抛物线焦点F(1,0),准线方程为x=-1.当直线l的斜率大于0时,如图,过A,B两点分别向准线x=-1作垂线,垂足分别为M,N,则由抛物线定义可得,|AM|=|AF|,|BN|=|BF|.设|AM|=|AF|=3t(t>0),|BN|=|BF|=t,|BK|=x,而|GF|=2,在△AMK中,由,得,解得x=2t,则cos∠NBK=,∴∠NBK=60°,则∠GFK=60°,即直线AB的倾斜角为60°.∴斜率k=tan 60°=,故直线方程为y=(x-1).当直线l的斜率小于0时,如图,同理可得直线方程为y=-(x-1),故选C.4.解析双曲线的渐近线为y=±x.由得A.由得B.∵F为△OAB的垂心,∴k AF·k OB=-1,即=-1,解得,∴,即可得e=.5.解(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).设A(x1,y1),B(x2,y2).由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=;由题设知=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则解得因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.6.(1)解设椭圆C的方程为=1(a>b>0).由题意得解得c=.所以b2=a2-c2=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).由题设知m≠±2,且n≠0.直线AM的斜率k AM=,故直线DE的斜率k DE=-.所以直线DE的方程为y=-(x-m),直线BN的方程为y=(x-2).联立解得点E的纵坐标y E=-.由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2.所以y E=-n.又S△BDE=|BD|·|y E|=|BD|·|n|,S△BDN=|BD|·|n|,所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.7.解(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则=1,=1,=-1,由此可得=-=1.因为x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,,所以a2=2b2.又由题意知,M的右焦点为(,0),所以a2-b2=3.所以a2=6,b2=3.所以M的方程为=1.(2)由解得因此|AB|=.由题意可设直线CD的方程为y=x+n,设C(x3,y3),D(x4,y4).由得3x2+4nx+2n2-6=0.于是x3,4=.因为直线CD的斜率为1,所以|CD|=|x4-x3|=.由已知,四边形ACBD的面积S=|CD|·|AB|=.当n=0时,S取得最大值,最大值为.所以四边形ACBD面积的最大值为.8.解(1)设椭圆的方程为=1(a>b>0),由已知可得△ADB的面积的最大值为·2a·b=ab=.①∵F(1,0)为椭圆右焦点,∴a2=b2+1.②由①②可得a=,b=1,故椭圆C的方程为+y2=1.(2)过点E取两条分别垂直于x轴和y轴的弦M1N1,M2N2,则,即,解得x0=,∴E若存在必为,定值为3.证明如下:设过点E的直线方程为x=ty+,代入C中得(t2+2)y2+ty-=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=-=-,y1y2=-,====3.综上得定点为E,定值为3.二、思维提升训练9.证明(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,=1.两式相减,并由=k得·k=0.由题设知=1,=m,于是k=-.由题设得0<m<,故k<-.(2)由题意得F(1,0).设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m<0.又点P在C上,所以m=,从而P,||=.于是||===2-.同理||=2-.所以||+||=4-(x1+x2)=3.故2||=||+||.10.(1)解由已知,a=2b.又椭圆=1(a>b>0)过点P,故=1,解得b2=1.所以椭圆E的方程是+y2=1.(2)证明设直线l的方程为y=x+m(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),由方程组得x2+2mx+2m2-2=0,①方程①的判别式为Δ=4(2-m2).由Δ>0,即2-m2>0,解得-<m<.由①得x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2.所以M点坐标为,直线OM方程为y=-x.由方程组得C,D.所以|MC|·|MD|=(-m+)·+m)=(2-m2).又|MA|·|MB|=|AB|2=[(x1-x2)2+(y1-y2)2]=[(x1+x2)2-4x1x2]=[4m2-4(2m2-2)]=(2-m2).所以|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.11.解(1)设椭圆的半焦距为c.因为椭圆E的离心率为,两准线之间的距离为8,所以=8,解得a=2,c=1,于是b=,因此椭圆E的标准方程是=1.(2)由(1)知,F1(-1,0),F2(1,0).设P(x0,y0),因为P为第一象限的点,故x0>0,y0>0.当x0=1时,l2与l1相交于F1,与题设不符.当x0≠1时,直线PF1的斜率为,直线PF2的斜率为.因为l1⊥PF1,l2⊥PF2,所以直线l1的斜率为-,直线l2的斜率为-,从而直线l1的方程:y=-(x+1),①直线l2的方程:y=-(x-1).②由①②,解得x=-x0,y=,所以Q.因为点Q在椭圆上,由对称性,得=±y0,即=1或=1.又P在椭圆E上,故=1.由解得x0=,y0=无解.因此点P的坐标为.。

高三数学文科圆锥曲线大题训练(20个)(含答案)

高三数学文科圆锥曲线大题训练（含详细解答）1．已知椭圆22:416C x y +=. （1）求椭圆C 的离心率;（2）设椭圆C 与y 轴下半轴的交点为B ,如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点,E F ,且,,B E F 构成以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形,判断直线EF 与圆2212x y +=的位置关系.2．已知椭圆的中心在坐标原点O，长轴长为离心率2e =，过右焦点F 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点．（1）求椭圆的方程；（2）当直线l 的斜率为1时，求POQ ∆的面积；（3）若以,OP OQ 为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l 的方程.3．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为(2,0)A -（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 过点A ，过O 作l 的平行线交椭圆C 于P ，Q 两点，如果以PQ 为直径的圆与直线l 相切，求l 的方程．4．已知离心率为2的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与直线2x =相交于,P Q 两点（点P 在x 轴上方），且2PQ =．点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，且APQ BPQ ∠=∠．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求四边形APBQ 面积的取值范围．5．已知椭圆的一个顶点为)1,0(-A ，焦点在x 轴上，若右焦点到直线022=+-y x 的距离为3. （1）求椭圆的标准方程；（2）设直线()0y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点M 、N ，当AM AN =时，求m 的取值范围.6．已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线222:12x C y -=的顶点，直线0=x 与椭圆1C 交于A ，B 两点，且点A的坐标为(1)，点P 是椭圆1C 上异于点A ,B 的任意一点，点Q 满足0AQ AP ⋅=，0BQ BP ⋅=，且A ，B ，Q 三点不共线.（1）求椭圆1C 的方程；（2）求点Q 的轨迹方程；（3）求ABQ ∆面积的最大值及此时点Q 的坐标.7．如图，B A ,分别是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右顶点，F 为其右焦点，2是AF 与FB 的等差中项，3是AF 与FB 的等比中项．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点P 是椭圆C 上异于B A ,的动点，直线l 过点A 且垂直于x 轴，若过F 作直线FQ 垂直于AP ，并交直线l 于点Q ．证明：B P Q ,,三点共线．8．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>()0,1．圆22221:C x y a b +=+.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l ():0y kx m k =+≠与椭圆C 有且只有一个公共点M ，且l 与圆1C 相交于,A B 两点，问AM BM +=0是否成立？请说明理由．9．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于,M N 两点,且8MN =．（1）求抛物线C 的方程；（2）设直线l 为抛物线C 的切线，且l ∥MN ,P 为l 上一点，求PM PN ⋅的最小值．10．已知动圆C 过定点）（2,0M ，且在x 轴上截得弦长为4．设该动圆圆心的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 方程；（2）点A 为直线l ：20x y --=上任意一点，过A 作曲线C 的切线，切点分别为P 、 Q ，APQ ∆面积的最小值及此时点A 的坐标.11．已知点)1,2(A 在抛物线:E 2x ay =上，直线1:l 1y kx =+（R k ∈，且0k ≠）与抛物线E 相交于C B ,两点，直线AC AB ,分别交直线2:l 1y =-于点S ，T ．（1）求a 的值；（2）若S T =1l 的方程；（3）试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2（1）求椭圆C 的方程；（2）B A ,为椭圆C 上满足AOB ∆E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P ，设OP tOE =，求实数t 的值.13．已知点()2,1P 在抛物线()21:20C x py p =>上，直线l 过点()0,2Q 且与抛物线1C 交于A 、B 两点。

2019年高考数学(文科)二轮专题突破训练专题六直线、圆、圆锥曲线专题能力训练15 Word版含答案

专题能力训练直线与圆一、能力突破训练.圆()的圆心到直线的距离为()..已知三点()(,)(,),则△外接圆的圆心到原点的距离为(). ....直线与圆()()相交于两点,若≥,则实数的取值范围是().....过三点()()()的圆交轴于两点,则().(全国Ⅰ,文)已知直线与圆交于两点,则..已知∈,方程()表示圆,则圆心坐标是,半径是..若直线(>>)过点(),则的最小值为..已知是抛物线上的动点,过作抛物线准线的垂线,垂足为是圆()()上的动点,则的最小值是. .在平面直角坐标系中,以坐标原点为圆心的圆与直线相切.()求☉的方程;()若☉上有两点关于直线对称,且,求直线的方程;()设☉与轴相交于两点,若圆内的动点使成等比数列,求的取值范围..已知☉,点(),以线段为直径的圆内切于☉,记点的轨迹为Γ.()求曲线Γ的方程;()直线交☉于两点,当为的中点时,求直线的方程..已知过点()且斜率为的直线与☉:()()交于两点.()求的取值范围;()若,其中为坐标原点,求.二、思维提升训练.已知圆(>)截直线所得线段的长度是.则圆与圆:()()的位置关系是().内切.相交.外切.相离.(全国Ⅲ,文)已知直线分别与轴、轴交于两点,点在圆()上,则△面积的取值范围是().[] .[].[] .[].在平面直角坐标系中()(),点在圆上.若≤,则点的横坐标的取值范围是..在平面直角坐标系中,当()不是原点时,定义的“伴随点”为';当是原点时,定义的“伴随点”为它自身.现有下列命题:①若点的“伴随点”是点',则点'的“伴随点”是点;②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上;③若两点关于轴对称,则它们的“伴随点”关于轴对称;④若三点在同一条直线上,则它们的“伴随点”一定共线.其中的真命题是.(写出所有真命题的序号).在平面直角坐标系中,已知☉:()()和☉:()().()若直线过点(),且被☉截得的弦长为,求直线的方程;()设为平面上的点,满足:存在过点的无穷多对互相垂直的直线和,它们分别与☉和☉相交,且直线被☉截得的弦长与直线被☉截得的弦长相等,试求所有满足条件的点的坐标..如图,在平面直角坐标系中,已知以为圆心的圆及其上一点().()设圆与轴相切,与圆外切,且圆心在直线上,求圆的标准方程;()设平行于的直线与圆相交于两点,且,求直线的方程;()设点()满足:存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范围.专题能力训练直线与圆一、能力突破训练。

高考数学(文科)二轮专题突破课件：专题六直线、圆、圆锥曲线 6.2

命题热点一
命题热点二
考情分析
高频考点
命题热点三命题热点四
核心归纳
-12 -
题后反思1 .求轨迹方程时,先看轨迹的形状能否预知,若能预先
知道轨迹为何种圆锥曲线,则可考虑用定义法求解或用待定系数法
求解;否则利用直接法或代入法. 2 .讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应,要注意字母的取值
范围.
命题热点一
命题热点一
命题热点二
考情分析
高频考点
命题热点三命题热点四
核心归纳
-17 -
考情分析
高频考点
核心归纳
-18 -
命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四
圆锥曲线与圆相结合的问题【思考】圆锥曲线与圆相结合的题目经常用到圆的哪些性质?
例4
命题热点一
命题热点二
考情分析
高频考点
命题热点三命题热点四
a,b ,c的关系,然后将b 用a,c代换,求
的值;另外要注意双曲线
的渐近线与离心率的关系.圆锥曲线的性质常与等差数列、等比数
列、三角函数、不等式等问题联系在一起,一般先利用条件转化为
单一知识点的问题再求解.
3 .求曲线的轨迹方程时,先看轨迹的形状是否预知,若能依据条
件确定其形状,可用定义法或待定系数法求解;若动点P与另一动点
命题热点一
命题热点二
考情分析
高频考点
命题热点三命题热点四
核心归纳
-24 -
命题热点一
命题热点二
考情分析
高频考点
命题热点三命题热点四
核心归纳
-25 -
命题热点一
命题热点二
考情分析
高频考点

高考数学(文科)二轮专题突破课件：专题六直线、圆、圆锥曲线6.2

（2014全国/,文4）（2014 全国 /,文10）（2015全国/,文5）（2015 全国〃，文15）（2016全国也文12）（2017 全国 /，文12）（2017 全国〃，文12）（2017全国也文14）（2018全国〃，文选择题填空题解答题从近五年的高考试题来看，圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等是咼考考查的重点,也是高考命题的基本元素. 考查的角度有:对圆锥曲线的定义的理解及定义的应用，求圆锥曲线的标准方程，求圆锥曲线的离心率，以及向量、直线、圆锥曲线的小综合.抓住考查的主要题目类型进行训练,重点是依据圆锥曲线的几何性质求离心率;根据圆锥曲线的定义求标准方程;圆锥曲线与向量的小综合;两种圆锥曲线间的小综合;直线与圆锥曲线的小综合;圆锥曲线的综合应用等.圆锥曲线的定义的应用【思考】什么问题可考虑应用圆锥曲线的定义?求圆锥曲线标准方程的基本思路是什么？2 2例1已知椭圆C 汾+ g=l(a>b>0)的左、右焦点为几甩离心率为罟，过Fi 的直线/交C 于4,B 两点.若AAFiB 的周长为4苗,则C 的方程为(A 兀2A •亍 + T=1C 兰+疋—I f 2十8解析由题意知4a=4V£ •:a=V^・乓2 2又 e=—, /.c=l, /.b 2=a 2-c 2=2,故椭圆的方程为才 + y=l.咒2 咗+鬥 D 兰+疋-1 U ・12十4题后反思1 •涉及椭圆（或双曲线）两焦点间的距离或焦点弦的问题, 以及到抛物线焦点（或准线）距离的问题，可优先考虑圆锥曲线的定义.2.求圆锥曲线标准方程时“先定型，后计算”，即先确定是何种曲线, 焦点在哪个轴上，然后利用条件求Clbp的值.■考情分析［高频考点I核心归纳命题热点一■命题热点二命题热点三命题热点四对点训练1己知抛物线C:y2=x的焦点为F40wo）是C上一点，5IAFI二瓦％则兀0二（A ）A.lB.2C.4D.8解析由抛物线方程y2=x知,2p= 1,| =扌，即其准线方程为^=4 因为点A在抛物线上，由抛物线的定义知\AF\ =x o+|=^o+i 于是#xo=xo+#,解得xo=l.故选A.命题热点二y 夕丄求圆锥曲线的离心率【思考】求圆锥曲线离心率的基本思路是什么？例2若cl,则双曲线~y2=l的离心率的取值范围是(A.(V2,+oo)B.(V2,2)C.(1,V2) D・(l，2)解析由题意得以=缶=—^—= 1 + 士.因为">1,所以1<1+士<2.所以l<e<>j2.故选C.题后反思解决椭圆和双曲线的离心率的求值或范围问题，其关键就是先确立一个关于均为正数）的方程或不等式，再根据a.b.c 的关系消掉b得到d,c的关系式•建立关于％的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.对点训练2直线I经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到/的距离为其短轴长的壬则该椭圆的离心率为(B )B -C -D -S 2 3 4解析不妨设直线/经过的椭圆的一个顶点坐标为(00)，一个焦点坐标为(c,0),则直线I的方程为彳+半=1，即bx+cy-bc=0,短轴长为2么由题意得I “= ^x2b,师4与沪+工二/联立得a=2c,故幺=*・乙求轨迹方程【思考】求轨迹方程的基本策略是什么？例3已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线Z‘2分别交C于4B两点，交C的准线于两点.⑴若F在线段AB上,R是P0的中点，证明ARWFQ-(2)若△PQF的面积是AABF的面积的两倍，求中点的轨迹方程.解由题设知F（|,0）.设h：y=a」2：y=b，则°舜0,且A（才,a）,B（学b）,P（-*,a）,0（弓,b）,7?（记过两点的直线为I,贝H / 的方程为2x-（a+b）y+ab=0.⑴证明:由于F在线段AB上，故l+ab=O.记47?的斜率为k』Q的斜率为◎b + 2则WW 亠b=k2.a所以AR // FQ.⑵设/与x轴的交点为P(xi,O),则S^A BF=^b-a\\FD\二扣-“I”1-孑二罟. 由题设可得2x^\b-a\ 所以兀1=0(舍去)/1 = 1.设满足条件的4B的中点为E(x,y). (分类讨论)当AB与x轴不垂直时，由k AB=k D E可得云二三a+b x-1 而号^二％所以y2=^-i(#i)«当AB与兀轴垂直时左与D重合. 所以，所求轨迹方程为护=十1・题后反思L求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预知，若能预先知道轨迹为何种圆锥曲线,则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解;否则利用直接法或代入法.2 •讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应，要注意字母的取值2 2对点训练3已知椭圆話+詁=l(a>b>0)的左焦点为F(-c,O),I 2右顶点为4点E的坐标为(O,c),AEFA的面积为亍(1)求椭圆的离心率；(2)设点Q在线段AE上,IF0=|c,延长线段F0与椭圆交于点P,点M,N在兀轴上,PM〃0V,且直线PM与直线QN间的距离为G四边形PQNM的面积为3c・0求直线FP的斜率；②求椭圆的方程.解（1）设椭圆的离心率为e.121由已知，可得-(c+a)c=—.又由b2=a2-c2,^得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-l=0.又因为Ovevl,解得e今.所以，椭圆的离心率为（2）0依题意,设直线FP 的方程为x=my-c （m>0）, 则直线FF 的斜率为丄.m由⑴知a=2c ，可得直线AE 的方程为彩+三=1，即 x+2y-2c=0, 与直线FF 的方程联立，可解得“嚅9為即点。

2019年高考数学(文科)二轮专题突破训练专题六直线、圆、圆锥曲线专题能力训练17 Word版含答案

专题能力训练直线与圆锥曲线一、能力突破训练.过抛物线的焦点,且斜率为的直线交于点(在轴的上方)为的准线,点在上且⊥,则到直线的距离为()..与抛物线相切倾斜角为°的直线与轴和轴的交点分别是和,那么过两点的最小圆截抛物线的准线所得的弦长为()..设抛物线的焦点为,直线过且与交于两点.若,则的方程为()或()或()()或()()或().在平面直角坐标系中,双曲线(>>)的渐近线与抛物线(>)交于点.若△的垂心为的焦点,则的离心率为..(全国Ⅱ,文)设抛物线的焦点为,过点且斜率为(>)的直线与交于两点.()求的方程.()求过点且与的准线相切的圆的方程..已知椭圆的两个顶点分别为()(),焦点在轴上,离心率为.()求椭圆的方程;()点为轴上一点,过作轴的垂线交椭圆于不同的两点,过作的垂线交于点.求证:△与△的面积之比为∶..在平面直角坐标系中,过椭圆(>>)右焦点的直线交于两点为的中点,且的斜率为.()求的方程;()为上两点,若四边形的对角线⊥,求四边形面积的最大值..已知椭圆的中心在坐标原点,右焦点为()是椭圆的左、右顶点是椭圆上异于的动点,且△面积的最大值为.()求椭圆的方程.()是否存在一定点()(<<),使得当过点的直线与曲线相交于两点时,为定值?若存在,求出定点和定值;若不存在,请说明理由.二、思维提升训练.(全国Ⅲ,文)已知斜率为的直线与椭圆交于两点,线段的中点为()(>).()证明<;()设为的右焦点为上一点,且.证明..已知椭圆(>>)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点在椭圆上. ()求椭圆的方程;()设不过原点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点,线段的中点为,直线与椭圆交于,证明··..如图,在平面直角坐标系中,椭圆(>>)的左、右焦点分别为,离心率为,两准线之间的距离为.点在椭圆上,且位于第一象限,过点作直线的垂线,过点作直线的垂线.()求椭圆的标准方程;()若直线的交点在椭圆上,求点的坐标.专题能力训练直线与圆锥曲线一、能力突破训练解析由题意可知抛物线的焦点(),准线的方程为,可得直线(),与抛物线联立,消去得,解得.因为在轴的上方,所以().因为⊥,且在上,所以().因为(),所以直线().所以到直线的距离为.。

2019年高考数学(文科)二轮专题突破训练：专题六直线、圆、圆锥曲线专题能力训练16

专题能力训练16　椭圆、双曲线、抛物线一、能力突破训练1.(2018全国Ⅰ,文4)已知椭圆C :=1的一个焦点为(2,0),则C 的离心率为( )x 2a2+y 24A .B .C .D .222232.已知F 是双曲线C :x 2-=1的右焦点,P 是C 上一点,且PF 与x 轴垂直,点A 的坐标是(1,3),则△APF 的面积y 23为( )A .B .C .D .3.已知O 为坐标原点,F 是椭圆C :=1(a>b>0)的左焦点,A ,B 分别为C 的左、右顶点,P 为C 上一点,且x 2a2+y 2b 2PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E.若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为( )A. B. C. D.4.已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F ,点A 在双曲线的渐近线上,△OAF 是边长为2的等边三角形x 2a 2‒y 2b 2(O 为原点),则双曲线的方程为( )A.=1B.=1x 24‒y 212x 212‒y 24C.-y 2=1 D.x 2-=1x 23y 235.(2018全国Ⅱ,文11)已知F 1,F 2是椭圆C 的两个焦点,P 是C 上的一点,若PF 1⊥PF 2,且∠PF 2F 1=60°,则C 的离心率为( )A.1-B.2-323C.D.-13-1236.设双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F ,过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A ,B 两点,与双曲x 2a2‒y 2b 2线的一个交点为P ,设O 为坐标原点.若=m +n (m ,n ∈R ),且mn=,则该双曲线的离心率为( )OP OA OB A. B.322355C. D.3247.已知双曲线E :=1(a>0,b>0).矩形ABCD 的四个顶点在E 上,AB ,CD 的中点为E 的两个焦点,且x 2a 2‒y 2b 22|AB|=3|BC|,则E 的离心率是 .8.已知直线l 1:x-y+5=0和l 2:x+4=0,抛物线C :y 2=16x ,P 是C 上一动点,则点P 到l 1与l 2距离之和的最小值为 .9.如图,已知抛物线C 1:y=x 2,圆C 2:x 2+(y-1)2=1,过点P (t ,0)(t>0)作不过原点O 的直线PA ,PB 分别与抛物线C 1和圆C 2相切,A ,B 为切点.(1)求点A ,B 的坐标;(2)求△PAB 的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.10.如图,动点M 与两定点A (-1,0),B (1,0)构成△MAB ,且直线MA ,MB 的斜率之积为4,设动点M 的轨迹为C.(1)求轨迹C 的方程;(2)设直线y=x+m (m>0)与y 轴相交于点P ,与轨迹C 相交于点Q ,R ,且|PQ|<|PR|,求的取值范围.|PR ||PQ |11.设椭圆=1(a>)的右焦点为F ,右顶点为A.已知,其中O 为原点,e 为椭圆x 2a2+y 2331|OF |+1|OA |=3e |FA |的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上),垂直于l 的直线与l 交于点M ,与y 轴交于点H.若BF ⊥HF ,且∠MOA=∠MAO ,求直线l 的斜率.二、思维提升训练12.(2018全国Ⅲ,文10)已知双曲线C :=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4,0)到C 的渐近线的距离为x 2a2‒y 2b 22( )A .B .2C .D .22322213.设抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,点M 在C 上,|MF|=5.若以MF 为直径的圆过点(0,2),则C 的方程为( )A.y 2=4x 或y 2=8x B.y 2=2x 或y 2=8x C.y 2=4x 或y 2=16x D.y 2=2x 或y 2=16x14.在平面直角坐标系xOy 中,双曲线-y 2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ,其焦点是F 1,F 2,则x 23四边形F 1PF 2Q 的面积是 .15.在平面直角坐标系xOy 中,双曲线=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2=2py (p>0)交于A ,B x 2a 2‒y 2b 2两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 .16.已知圆C :(x+1)2+y 2=20,点B (1,0),点A 是圆C 上的动点,线段AB 的垂直平分线与线段AC 交于点P.(1)求动点P 的轨迹C 1的方程;(2)设M,N 为抛物线C 2:y=x 2上的一动点,过点N 作抛物线C 2的切线交曲线C 1于P ,Q 两点,求△MPQ 面(0,15)积的最大值.17.已知动点C 是椭圆Ω:+y 2=1(a>1)上的任意一点,AB 是圆G :x 2+(y-2)2=的一条直径(A ,B 是端点),x 2a 的最大值是.CA ·CB 314(1)求椭圆Ω的方程.(2)已知椭圆Ω的左、右焦点分别为点F 1,F 2,过点F 2且与x 轴不垂直的直线l 交椭圆Ω于P ,Q 两点.在线段OF 2上是否存在点M (m ,0),使得以MP ,MQ 为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求实数m 的取值范围;若不存在,请说明理由.专题能力训练16　椭圆、双曲线、抛物线一、能力突破训练1.C 解析因为椭圆C 的一个焦点为(2,0),所以其焦点在x 轴上,c=2,所以a 2-4=c 2,所以a 2=8,a=2,所以椭圆2C 的离心率e=.c a =222.D 解析由c 2=a 2+b 2=4,得c=2,所以点F 的坐标为(2,0).将x=2代入x 2-=1,得y=±3,所以PF=3.又点Ay 23的坐标是(1,3),故△APF 的面积为×3×(2-1)=,故选D .3.A 解析由题意知,A (-a ,0),B (a ,0),根据对称性,不妨令P,(-c ,b 2a )设l :x=my-a ,∴M,E .(-c ,a -c m )(0,am )∴直线BM :y=-(x-a ).a -cm (a +c )又直线BM 经过OE 的中点,∴,解得a=3c.(a -c )a (a +c )m =a2m ∴e=,故选A .c a =134.D 解析 ∵双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F (c ,0),点A 在双曲线的渐近线上,且△OAF 是边长为2x 2a 2‒y 2b 2的等边三角形,不妨设点A 在渐近线y=x 上,∴解得所以双曲线的方程为x 2-=1.故选D .{c =2,ba=tan60°,a 2+b 2=c 2,{a =1,b =3.y 235.D 解析不妨设椭圆方程为=1(a>b>0),F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦点,则|PF 1|+|PF 2|=2a.x 2a2+y 2b 2∵∠F 2PF 1=90°,∠PF 2F 1=60°,∴c+c=2a ,即(+1)c=2a.33∴e=-1.c a =23+1=2(3-1)(3-1)(3+1)=36.C 解析在y=±x 中令x=c ,得A,B ,在双曲线=1中令x=c 得P .(c ,bc a )(c ,-bc a )x 2a 2‒y 2b 2(c ,±b 2a )当点P 的坐标为时,由=m +n ,(c ,b 2a )OP OA OB得{c =(m +n )c ,b 2a =mbc a -nbc a ,则{m +n =1,m -n =b c .由(舍去),{m +n =1,mn =29,得{m =23,n =13或{m =13,n =23∴,b c =13∴,c 2-a 2c2=19∴e=.324同理,当点P 的坐标为时,e=.(c ,-b 2a )324故该双曲线的离心率为.3247. 2　解析由题意不妨设AB=3,则BC=2.设AB ,CD 的中点分别为M ,N ,如图,则在Rt △BMN 中,MN=2,故BN=.BM 2+MN2=(32)2+22=52由双曲线的定义可得2a=BN-BM==1,52‒32而2c=MN=2,所以双曲线的离心率e==2.2c2a 8.　解析在同一坐标系中画出直线l 1,l 2和曲线C 如图.922P 是C 上任意一点,由抛物线的定义知,|PF|=d 2,∴d 1+d 2=d 1+|PF|,显然当PF ⊥l 1,即d 1+d 2=|FM|时,距离之和取到最小值.∵|FM|=,922∴所求最小值为.9229.解 (1)由题意知直线PA 的斜率存在,故可设直线PA 的方程为y=k (x-t ),由消去y ,整理得:x 2-4kx+4kt=0,{y =k (x -t ),y =14x 2由于直线PA 与抛物线相切,得k=t.因此,点A 的坐标为(2t ,t 2).设圆C 2的圆心为D (0,1),点B 的坐标为(x 0,y 0),由题意知:点B ,O 关于直线PD 对称,故解得{y 02=-x 02t+1,x 0t -y 0=0,{x 0=2t1+t 2,y 0=2t 21+t2.因此,点B 的坐标为.(2t1+t 2,2t 21+t 2)(2)由(1)知|AP|=t·和直线PA 的方程tx-y-t 2=0.1+t 2点B 到直线PA 的距离是d=.t 21+t 2设△PAB 的面积为S (t ),所以S (t )=|AP|·d=.12t 3210.解 (1)设M 的坐标为(x ,y ),当x=-1时,直线MA 的斜率不存在;当x=1时,直线MB 的斜率不存在.于是x ≠1,且x ≠-1.此时,MA 的斜率为,MB 的斜率为.y x +1yx -1由题意,有=4.y x +1·y x -1整理,得4x 2-y 2-4=0.故动点M 的轨迹C 的方程为4x 2-y 2-4=0(x ≠±1).(2)由消去y ,可得3x 2-2mx-m 2-4=0.①{y =x +m ,4x 2-y 2-4=0对于方程①,其判别式Δ=(-2m )2-4×3(-m 2-4)=16m 2+48>0,而当1或-1为方程①的根时,m 的值为-1或1.结合题设(m>0)可知,m>0,且m ≠1.设Q ,R 的坐标分别为(x Q ,y Q ),(x R ,y R ),则x Q ,x R 为方程①的两根,因为|PQ|<|PR|,所以|x Q |<|x R |.因为x Q =,x R =,且Q ,R 在同一条直线上,m -2m 2+33m +2m 2+33所以=1+.此时>1,且≠2,|PR ||PQ |=|x Rx Q |=21+3m 2+121+3m2-1221+3m2-11+3m 21+3m 2所以1<1+<3,221+3m2-1且1+,221+3m2-1≠53所以1<<3,且.|PR ||PQ |=|x R x Q ||PR ||PQ |=|x R x Q |≠53综上所述,的取值范围是.|PR ||PQ |(1,53)∪(53,3)11.解 (1)设F (c ,0).由,即,可得a 2-c 2=3c 2,1|OF |+1|OA |=3e |FA |1c +1a =3ca (a -c )又a 2-c 2=b 2=3,所以c 2=1,因此a 2=4.所以,椭圆的方程为=1.x 24+y 23(2)设直线l 的斜率为k (k ≠0),则直线l 的方程为y=k (x-2).设B (x B ,y B ),由方程组消去y ,整理{x 24+y 23=1,y =k (x -2)得(4k 2+3)x 2-16k 2x+16k 2-12=0.解得x=2,或x=,由题意得x B =,从而y B =.8k 2-64k 2+38k 2-64k 2+3-12k4k 2+3由(1)知,F (1,0),设H (0,y H ),有=(-1,y H ),.FH BF =(9-4k 24k 2+3,12k4k 2+3)由BF ⊥HF ,得=0,所以=0,解得y H =.因此直线MH 的方程为y=-BF ·FH 4k 2-94k 2+3+12ky H 4k 2+39-4k 212k x+.1k 9-4k 212k 设M (x M ,y M ),由方程组消去y ,解得x M=.在△MAO 中,{y =k (x -2),y =-1k x +9-4k 212k 20k 2+912(k 2+1)∠MOA=∠MAO ⇔|MA|=|MO|,即(x M -2)2+,化简得x M =1,即=1,解得k=-,或k=.y 2M =x 2M +y 2M 20k 2+912(k 2+1)6464所以,直线l 的斜率为-.64或64二、思维提升训练12.D 解析 ∵双曲线C 的离心率为,2∴e=,即c=a ,a=b.ca =22∴其渐近线方程为y=±x ,则(4,0)到C 的渐近线距离d==2.|4|2213.C 解析设点M 的坐标为(x 0,y 0),由抛物线的定义,得|MF|=x 0+=5,则x 0=5-.因为点F 的坐标为,(p 2,0)所以以MF 为直径的圆的方程为(x-x 0)·+(y-y 0)y=0.(x -p2)将x=0,y=2代入得px 0+8-4y 0=0,即-4y 0+8=0,解得y 0=4.y 202由=2px 0,得16=2p ,y 20(5-p 2)解得p=2或p=8.所以C 的方程为y 2=4x 或y 2=16x.故选C .14.2　解析该双曲线的右准线方程为x=,两条渐近线方程为y=±x ,得P,Q 3310=3101033(31010,3010),又c=,所以F 1(-,0),F 2(,0),四边形F 1PF 2Q 的面积S=2=2.(31010,-3010)10101010×3010315.y=±x 解析抛物线x 2=2py 的焦点F ,准线方程为y=-.22(0,p2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AF|+|BF|=y 1++y 2+=y 1+y 2+p=4|OF|=4·=2p.p 2p 2p2所以y 1+y 2=p.联立双曲线与抛物线方程得{x 2a2-y 2b2=1,x 2=2py ,消去x ,得a 2y 2-2pb 2y+a 2b 2=0.所以y 1+y 2==p ,2pb 2a2所以.b2a2=12所以该双曲线的渐近线方程为y=±x.2216.解 (1)由已知可得,点P 满足|PB|+|PC|=|AC|=2>2=|BC|,5所以动点P 的轨迹C 1是一个椭圆,其中2a=2,2c=2.5动点P 的轨迹C 1的方程为=1.x 25+y 24(2)设N (t ,t 2),则PQ 的方程为y-t 2=2t (x-t )⇒y=2tx-t 2.联立方程组消去y 整理,得(4+20t 2)x 2-20t 3x+5t 4-20=0,{y =2tx -t 2,x 25+y 24=1,有{Δ=80(4+20t 2-t 4)>0,x 1+x 2=20t 34+20t 2,x 1x 2=5t 4-204+20t2.而|PQ|=×|x 1-x 2|=,点M 到PQ 的高为h=,1+4t 21+4t 2×80(4+20t 2-t 4)4+20t 215+t 21+4t 2由S △MPQ =|PQ|h 代入化简,得12S △MPQ =,当且仅当t 2=10时,S △MPQ 可取最大值.510-(t 2-10)2+104≤510×104=1305130517.解 (1)设点C 的坐标为(x ,y ),则+y 2=1.x 2a 连接CG ,由,又G (0,2),=(-x ,2-y ),CA =CG +GA ,CB =CG +GB =CG ‒GA CG 可得=x 2+(y-2)2-=a (1-y 2)+(y-2)2-=-(a-1)y 2-4y+a+,其中y ∈[-1,1].CA ·CB =CG 2‒GA 2949474因为a>1,所以当y=≤-1,即1<a ≤3时,42(1-a )取y=-1,得有最大值-(a-1)+4+a+,与条件矛盾;CA ·CB 74=274当y=>-1,即a>3时,的最大值是,42(1-a )CA ·CB 4(1-a )(a +74)-164(1-a )由条件得,4(1-a )(a +74)-164(1-a )=314即a 2-7a+10=0,解得a=5或a=2(舍去).综上所述,椭圆Ω的方程是+y 2=1.x 25(2)设点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),PQ 的中点坐标为(x 0,y 0),则满足=1,=1,两式相减,x 215+y 21x 225+y 22整理,得=-=-,y 2-y 1x 2-x 1x 2+x 15(y 2+y 1)x 05y 0从而直线PQ 的方程为y-y 0=-(x-x 0).x 05y 0又右焦点F 2的坐标是(2,0),将点F 2的坐标代入PQ 的方程得-y 0=-(2-x 0),x 05y 0因为直线l 与x 轴不垂直,所以2x 0-=5>0,从而0<x 0<2.x 20y 20假设在线段OF 2上存在点M (m ,0)(0<m<2),使得以MP ,MQ 为邻边的平行四边形是菱形,则线段PQ 的垂直平分线必过点M ,而线段PQ 的垂直平分线方程是y-y 0=(x-x 0),将点M (m ,0)代入得-y 0=(m-x 0),得m=x 0,5y 0x 05y 0x 045从而m ∈.(0,85)。

2021新高考数学二轮复习专题限时集训6直线与圆、抛物线椭圆双曲线

专题限时集训（六)直线与圆、抛物线椭圆双曲线1．[多选]（2020·新高考全国卷Ⅰ）已知曲线C：mx2＋ny2＝1( ) A．若m>n〉0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为nC．若mn〈0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±错误!xD．若m＝0,n〉0，则C是两条直线ACD[对于选项A，∵m〉n>0，∴0<错误!〈错误!，方程mx2＋ny2＝1可变形为错误!＋错误!＝1，∴该方程表示焦点在y轴上的椭圆,正确；对于选项B，∵m＝n>0,∴方程mx2＋ny2＝1可变形为x2＋y2＝1n，该方程表示半径为错误!的圆，错误；对于选项C，∵mn〈0,∴该方程表示双曲线，令mx2＋ny2＝0⇒y＝±错误!x，正确；对于选项D,∵m＝0，n>0，∴方程mx2＋ny2＝1变形为ny2＝1⇒y＝±错误!,该方程表示两条直线，正确．综上选ACD．］2．（2020·全国卷Ⅱ)若过点(2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为( ）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!B［因为圆与两坐标轴都相切,点(2，1）在该圆上，所以可设该圆的方程为（x－a）2＋(y－a）2＝a2（a>0)，所以（2－a)2＋（1－a）2＝a2，即a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，所以圆心的坐标为（1，1)或(5，5），所以圆心到直线2x－y－3＝0的距离为错误!＝错误!或错误!＝错误!，故选B．]3．(2020·全国卷Ⅰ）已知A为抛物线C：y2＝2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝( ) A．2 B．3 C．6 D．9C[法一:因为点A到y轴的距离为9，所以可设点A(9，y A），所以y错误!＝18p.又点A到焦点错误!的距离为12，所以错误!＝12，所以错误!错误!＋18p＝122，即p2＋36p－252＝0，解得p＝－42（舍去）或p＝6.故选C．法二:根据抛物线的定义及题意得，点A到C的准线x＝－错误!的距离为12,因为点A到y轴的距离为9，所以错误!＝12－9＝3，解得p ＝6。

高考数学(文科)二轮专题突破训练：专题六直线、圆、圆锥曲线专题能力训练15含答案