00020高等数学(一)1201
2019年10月自考《高等数学(一)》真题及答案00020
全国2019年10月高等教育自学考试高等数学（一）试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共 30分）1. 下列函数为奇函数的是（ ）。
A. 2x sin x B. 2x cos xC. xsinxD. xcosx【正确答案】 D【答案解析】 已知奇函数满足()()f x f x =--，因为D 选项中令()cos f x x x =，有()cos f x x x -=-，满足奇函数条件，故选择D 。
参见教材P31。
【知 识 点】 函数的奇偶性。
2. 当0,0x y >>时，下列等式成立的是（ ）。
A.()ln ln ln xy x y = B. ()ln ln ln x y x y +=+C. ()ln ln ln xy x y =+D. ln ln ln x x y y= 【正确答案】 C【答案解析】 因为对数函数有log ()log log a a a xy x y =+的性质，故选C 。
参见教材P38。
【知 识 点】 对数函数。
3. 3342lim 2n n n n→∞+=+（ ）。
A. 1B. 2C. 3D. 4【正确答案】 B【答案解析】 3223421224lim lim lim 226112n n n n n n n n n n→∞→∞→∞+===++。
参见教材P96。
【知 识 点】 洛必达法则。
4. 10()020x e x f x x a x a x ⎧-≠⎪===⎨⎪=⎩，已知函数在点处连续，则 ， （ ）。
A. 0 B. 12C. 1D. 2【正确答案】 B【答案解析】 因为函数在0x =处连续，则有0lim ()x f x a →=，带入可得00011lim ()lim lim 222x x x x e x f x x x →→→-===，解得12a =，故选B 。
参见教材P63。
【知 识 点】 函数的连续性。
5. ()221,1y x x =-曲线在点处的切线方程为（ ）。
自考笔记 00020 高等数学(一) 完整免费版
自考笔记 00020 高等数学（一）完整免费版小薇笔记免费提供各科自考笔记，完整版请访问前言《高等数学一》共6章第一章函数 1.主要是对高中知识的复习; 2.为今后知识打下良好的基础; 3.本章知识在历年考题中所占的分值并不多，一般是5分左右. 第二章极限和连续主要是学习极限与连续的概念，是后面章节的基础; 本章内容在历年考题中所占分值为20左右. 第三章导数与微分主要是学习函数的导数和微分，这是高数的核心概念. 本章内容在历年考题中所占分值为15分左右. 第四章微分中值定理和导数的应用主要是掌握微分中值定理的应用，这一章容易出大题、难题; 本章在历年考题中所占分值为20分左右. 第五章一元函数积分学主要学习不定积分和定积分，这又是高数的核心概念; 本章内容在历年考题中所占分值为25分左右. 第六章多元函数微积分主要是学习多元函数的微积分的计算; 本章内容在历年考试题中所占分值为15分左右. 第一章函数1.1 预备知识 1.1.1 初等代数的几个问题 1.一元二次方程 2关于x的方程ax，bx，c,0(a?0)，称为一元二次方程，称为此方程的判别式. (1)求根公式: 当?,0时，方程有两个不同的实根: 当?,0时，方程有一个二重实根:当?,0时，方程有一对共轭复根: (2)根与系数的关系(韦达定理):2(3)一元二次函数(抛物线):y,ax，bx，c(a?0)，当a,0时，开口向上，当a,0时，开口向下. 对称轴顶点坐标 322例1.若x，x，ax，b能被x,3x，2整除，则a、b是多少, 结论:多项式f(x)，g(x).若f(x)能被g(x)整除，则g(x),0的根均为f(x),0的根. 2解:令x,3x，2,0，解得x,1或2，代入被除式得解得2.二元一次方程组两个未知量x，y满足的形如的方程组称为二元一次方程组. 当时，方程组有唯一解;当时，方程组无解;当时，方程组有无穷多解.例2.已知方程组 (1)若方程组有无穷多解，求a的值; (2)当a,6时，求方程组的解.解:(1)因为方程组有无穷多组解，所以, 解得a,4.(2)当,6是，原方程组变为, a解得 3.不等式 (1)一元二次不等式 22考虑不等式ax，bx，c,0，如果记一元二次方程ax，bx，c=0的两个不同实根分别为x，x，且x,x，根据一元二次函数的图形可知: 1212当a,0时，这个不等式的解集是{x?x,x或x,x}; 12当a,0时，它的解集是{x?x,x,x}. 12222用类似的方法可以求解不等式ax，bx，c?0，ax，bx，c,0和ax，bx，c?0. 2例3.解不等式x,5x，6?0. 2解:令,5，6,0,xx(x,2)(x,3),0, 得,2或=3, xx? 解集为(,?，2]?[3，，?). 2例4.解不等式x，(1,a)x,a,0. 2解:令x，(1,a)x,a,0, (x,a)(x，1),0, 得x,a或x,,1, ?若a,,1，解集为(a，,1), ?如a,,1，解集为Φ, ?若a,,1，解集为(,1，a). (2)绝对值不等式不等式?f(x)?,a,0等价于f(x),a或f(x),,a; 不等式?f(x)?,a等价于,a,f(x),a. 例5.解下列含有绝对值符号的不等式: (1)?2x,3??5 (2)?3x,1??7 解:(1)原不等式等价于,5?2x,3?5 解得:,1?x?4. 所以解集为[,1，4]. (2)原不等式等价于3x,1?,7或3x,1?7， 3x,1?,7的解集为x?,2，3x,1?7的解集为x?, 1小薇笔记免费提供各科自考笔记，完整版请访问所以解集为(,?，,2]?[，，?). 2例6.解不等式?x,2x,5?,3. 解:原不等式等价于2x,2x,5,,3的解集为(,?，]?[，，?)， 2x,2x,5,3的解集为(,2，4)，所以原不等式的解集为(,2，]?[，，4). 4.数列 (1)等差数列:相邻两项的差为定值，即a,a,d，d称为公差. n，1n通项公式:a,a，(n,1)d n1前n项和公式:当m，n,k，l时，a，a,a，a mnkl特别地有例7.设{a}是一个等差数列，且a，a，a，a,64，求a，a和S. 2310116712n解:因为 2，11,3，10,13 所以a，a,a，a,32, 211310又因为 6，7,13，所以a，a,32, 67S,(a，a)×12?2,6(a，a),6×32,192. 12112112(2)等比数列:相邻两项的商为定值，即，q称为公比. n-1通项公式:a,aq n1前n项和公式: 当m，n,k，l时，aa,aa mnkl特别地有例8.设{a}是一个等比数列，且a,12，a,48，求a，a和aa的值.n3511026解: 所以q,?25a,a?q,48×(?2),?1536 1055因为2，6,3，5,8 所以a?a,a?a,12×48,576. 26351.1.2 集合与逻辑符号 1.集合的概念集合是指由一些特定的对象汇集的全体，其中每个对象叫做集合的元素. 数集分类: N——自然数集Z——整数集 Q——有理数集R——实数集 C——复数集合 2.元素与集合的关系元素a在集合A中，就说a属于A，记为a?A;否则就说a不属于A，记为aA. 3.集合与集合的关系集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，称为A包含于B，或B包含A，也说A是B的子集，记为A?B或者B?A. 若A?B，且B?A，就称集合A与B相等，记作A,B. 2例9.A,{1，2}，C,{x?x,3x，2,0}，则A和C是什么关系, 2解:解方程x,3x，2,0，得x,1或x,2. 所以C,{1，2}，从而A,C. 4.空集不含任何元素的集合称为空集(记作Φ).规定空集为任何集合的子集. 2例10.{x?x?R，x，1,0},Φ 5.集合的表示方法:列举法，描述法一般的，有限集用列举法，无限集用描述法闭区间:[a，b],{x?a?x?b，x?R}; 开区间:(a，b),{x?a,x,b，x?R}; 半开半闭区间: 左开右闭区间:(a，b],{x?a,x?b，x?R}，左闭右开区间:[a，b),{x?a?x,b，x?R}; (,?，b],{x?x?b，x?R}，[a，，?],{x?x?a，x?R}; 点a的邻域:U(a，ε),(a,ε，a，ε)，ε,0，即U(a，ε)是一个以a为中心的开区间.在不强调邻域的大小时，点a的邻域也用U表示; a点a的去心邻域:N(a，ε),(a,ε，a)?(a，a，ε)，ε,0.点a的去心邻域也可以表示为N. a6.集合之间的运算 (1)并:由A、B中所有元素组成的集合称为A和B的并集，记为A?B. A?B,{x?x?A或x?B}，A?B,B?A. 例11.已知:A,{1，2，3，4}，B,{2，4，6，8，10，12}，求:A?B. 解:A?B,{1，2，3，4，6，8，10，12}. 例12.已知:,{?1,,5}，,{?,3,?2}，求:?. AxxBxxAB解:A?B,{x?,3,x,5}. (2)交:由既属于A又属于B的元素组成的集合称为A和B的交集，记为A?B. A?B,{x?x?A且x?B}，A?B,B?A 例13.已知:A,{1，2，3，4}，B,{2、4、6、8、10、12}，求:A?B. 解:A?B,{2，4}. 例14.已知:A,{x?1,x,4}，B,{x?,3,x?3}，求:A?B. 解:A?B,{x?1,x?3}. (3)余集(差集):由中不属于的元素组成的集合称为与的差集，记为,. ABABABA,B,{x?x?A但xB}. 例15.已知:A,{1，2，3，4}，B,{2，4，6，8，10，12}，求:A,B. 解:A,B,{1，3}. 7.一些逻辑符号p能推出q，记为pq，此时称p是q的充分条件，q是p的必要条件. 如果pq，qp 同时成立，就成p与q等价，或者说p与q互为充分必要条件(充要条件)，记作pq. 1.2 函数的概念与图形 1.2.1 函数的概念 1.定义设D是一个非空数集，f 是定义在D上的一个对应关系，如果对于任意的实数x?D，都有唯一的实数y通过f与之对应，则称f是定义在D上的一个函数，记作y,f(x)，x?D. 也称是的函数，其中称为自变量，称为因变量.当?时，称()为函数在点处的函数值.数集叫做这个函数的定义域，函数值全体组成的数,{?,()，?}称为函数的值域. yxxyxDfxxDWyyfxxD000例1.已知:，求:y的定义域、值域. 2解:令1,x?0，解得:,1?x?1, 所以定义域为[,1，1]. 2因为0?1,x?1，所以0??1，所以值域为[0，1].例2.已知:，求:y的定义域、值域.解:根据题意，得，解得,1,x,1，所以定义域为(,1，1)， 2小薇笔记免费提供各科自考笔记，完整版请访问因为 0,?1，从而，所以值域为[1，，?). 2.函数的三要素:定义域、对应法则、值域. 约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.在具体问题中定义域会根据实际需要而有所变化. 例3.判断下列两个函数是否相等，(1)y,x，3; (2).例4.求函数的定义域. 解:根据题意，得解得:2?x,3或3,x,5，所以定义域为[2，3)?(3，5). 3.函数的表示法:表达式法(解析法)、图形法、数表法. 1.2.2 函数的图形 1.函数图形的概念函数y,f(x)，x?D的图形是指在xOy平面上的点集{(x,y)?y,f(x)，x?D}. 常见的几个幂函数的图形:2.函数的性质 (1)有界性函数f(x)，x?D，存在两个实数m、M，满足条件:对于D中所有的x都有不等式m?f(x)?M，则称函数f(x)在D上有界，否则称无界.例5.判断下面函数在其定义域是否有界，(1)y=sinx， (2). (2)单调性设函数f(x)在区间D上有定义，如果对于区间D上任意两点x及x，当x,x时，恒有f(x),f(x)，则称函数f(x)在区间D上是单调增加，称f(x)是D上的单调增加函数，称D是函数f(x)的单调增加区间. 121212设函数及，当,时，恒有),)，则称函数f(x)在区间D上有定义，如果对于区间D上任意两点xxxxf(xf(xf(x)在区间D上是单调减少，称f(x)是D上的单调减少函数，称D是函数f(x)的单调减少区间. 1212122例6.求的单调性. y, x解:任取,,0， xx1222,,)(，),0, xx,(xxxx121212所以y,x在(,?，0)上单调减少.22同理可得:y, x在(0，，?)上单调增加. 例7.求y ,sinx的单调性. 解:y,sinx的图像如图，y=sinx在(2kπ,，2kπ，)上单调增加，在(2kπ，，2kπ，)上单调减少. (3)奇偶性设D关于原点对称，对于任意的x?D，有 f(,x),f(x)，称 f(x) 为偶函数;设D关于原点对称，对于任意的x?D，有 f(,x),,f(x)，称 f(x) 为奇函数.例8.判断下面函数的奇偶性(1)(2)解:(1)因为，所以定义域为R.3小薇笔记免费提供各科自考笔记，完整版请访问所以f(x)为奇函数.(2) x-x因为a,a?0，故x ?0，所以定义域为(,?，0)?(0，，?).所以()为奇函数. fx(4)幂函数的性质α形如y,x的函数为幂函数，其中α为任意常数. 性质: α对任意实数α，曲线y,x都通过平面上的点(1，1);αα,0时，y,x在(0，+?)单调增加; αα,0时，y,x在(0，+?)单调减少; ，+?); α为正整数时，幂函数的定义域是(,?αα为偶数时，,为偶函数; yxαα为奇数时，, 为奇函数; yxα为负整数时，幂函数的定义域是 (,?，0)?(0，+?). α幂函数y,x(α是常数)的图形:1.2.3 分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同的式子来表示的函数，称为分段函数. 例9.画出符号函数的图形:例10.画出下面分段函数的图形:例11.求下面分段函数定义域并画出图形.1.3 三角函数、指数函数、对数函数… … (剩余部分略)完整免费版请访问—— 1.4 函数运算 1.4.1函数的四则运算定义1.10 设函数f(x)，g(x)都在D上有定义，k?R，则对它们进行四则运算的结果还是一个函数，它们的定义域不变(除法运算时除数为0的点除外)，而函数值的对应定义如下: (1)加法运算 (f，g)(x),f(x)，g(x)，x?D . (2)数乘运算(kf)(x),kf(x)，x?D. (3)乘法运算 (fg)(x),f(x)g(x)，x?D .(4) 除法运算 g(x)?0， x?D. 其中等号左端括号表示对两个函数f，g 进行运算后所得的函数，它在x处的值等于右端的值.例1. 已知f(x)=ln(1，x)，g(x)=1,cosx，求 . 因为函数f(x)=ln(1，x)的定义域为(,1，+?)，函数g(x)=1,cosx 的定义域为(,?，+?)，且当x=2 kπ(k为整数)时，g(x)=0，所以，解，x?(,1， +?)\{2kπ}(k为整数) 1.4.2复合函数如有函数()和(),它们的定义域分别为和，值域分别是和当时，对于任意?,都有唯一的()?,，从而有唯一的(())?与?对应，这样就确定了一个从到的函数，此函数称fxgxDD ZZ.ZD xDgxZDfgxZxDDZfgf g.gfggffggf为 f和g的复合函数，记作重点是学会函数的分解与复合。
10月自考高等数学一(00020)试题及答案
20XX年10月高等教育自学考试全国统一命题考试高等数学(一) 试卷(课程代码 00020)本试卷共3页，满分l00分，考试时间l50分钟。
考生答题注意事项：1．本卷所有试题必须在答题卡上作答。
答在试卷上无效，试卷空白处和背面均可作草稿纸。
2．第一部分为选择题。
必须对应试卷上的题号使用2B铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑。
3．第二部分为非选择题。
必须注明大、小题号，使用0．5毫米黑色字迹签字笔作答。
4．合理安排答题空间。
超出答题区域无效。
第一部分选择题一、单项选择题(本大题共l0小题。
每小题3分，共30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题卡”的相应代码涂黑。
未涂、错涂或多涂均无分。
1．方程x2-3x+2=0的根为3. 极限A．-2 B．0 C．2 D. ∞4．函数的所有间断点是A．x=0 B. x=-1 C． z=0，z=1 D．x=-1，z=16．曲线y=sinx在点(0，O)处的切线方程是A，y=x B．y=-X C．y=1/2 x D．y=-1/2 x7．设函数f(x)可导，且f’(x0)=0，则f(x)在x=x0处A．一定有极大值 B．一定有极小值C．不～定有极值 D．一定没有极值8．曲线y=x3—3x2+2的拐点为A．(0，1) B．(1，O) C．(0，2) D．(2，O)9．不定积分A.see x+x B．sec x+x+C A．23．求不定积分24．计算二重积分，，其中D是由直线x=1、y=1及x轴、y轴所围成的平面区域．。
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自考笔记 00020 高等数学（一）完整免费版小薇笔记免费提供各科自考笔记，完整版请访问前言《高等数学一》共6章第一章函数 1.主要是对高中知识的复习; 2.为今后知识打下良好的基础; 3.本章知识在历年考题中所占的分值并不多，一般是5分左右. 第二章极限和连续主要是学习极限与连续的概念，是后面章节的基础; 本章内容在历年考题中所占分值为20左右. 第三章导数与微分主要是学习函数的导数和微分，这是高数的核心概念. 本章内容在历年考题中所占分值为15分左右. 第四章微分中值定理和导数的应用主要是掌握微分中值定理的应用，这一章容易出大题、难题; 本章在历年考题中所占分值为20分左右. 第五章一元函数积分学主要学习不定积分和定积分，这又是高数的核心概念; 本章内容在历年考题中所占分值为25分左右. 第六章多元函数微积分主要是学习多元函数的微积分的计算; 本章内容在历年考试题中所占分值为15分左右. 第一章函数1.1 预备知识 1.1.1 初等代数的几个问题 1.一元二次方程 2关于x的方程ax，bx，c,0(a?0)，称为一元二次方程，称为此方程的判别式. (1)求根公式: 当?,0时，方程有两个不同的实根: 当?,0时，方程有一个二重实根:当?,0时，方程有一对共轭复根: (2)根与系数的关系(韦达定理):2(3)一元二次函数(抛物线):y,ax，bx，c(a?0)，当a,0时，开口向上，当a,0时，开口向下. 对称轴顶点坐标 322例1.若x，x，ax，b能被x,3x，2整除，则a、b是多少, 结论:多项式f(x)，g(x).若f(x)能被g(x)整除，则g(x),0的根均为f(x),0的根. 2解:令x,3x，2,0，解得x,1或2，代入被除式得解得2.二元一次方程组两个未知量x，y满足的形如的方程组称为二元一次方程组. 当时，方程组有唯一解;当时，方程组无解;当时，方程组有无穷多解.例2.已知方程组 (1)若方程组有无穷多解，求a的值; (2)当a,6时，求方程组的解.解:(1)因为方程组有无穷多组解，所以, 解得a,4.(2)当,6是，原方程组变为, a解得 3.不等式 (1)一元二次不等式 22考虑不等式ax，bx，c,0，如果记一元二次方程ax，bx，c=0的两个不同实根分别为x，x，且x,x，根据一元二次函数的图形可知: 1212当a,0时，这个不等式的解集是{x?x,x或x,x}; 12当a,0时，它的解集是{x?x,x,x}. 12222用类似的方法可以求解不等式ax，bx，c?0，ax，bx，c,0和ax，bx，c?0. 2例3.解不等式x,5x，6?0. 2解:令,5，6,0,xx(x,2)(x,3),0, 得,2或=3, xx? 解集为(,?，2]?[3，，?). 2例4.解不等式x，(1,a)x,a,0. 2解:令x，(1,a)x,a,0, (x,a)(x，1),0, 得x,a或x,,1, ?若a,,1，解集为(a，,1), ?如a,,1，解集为Φ, ?若a,,1，解集为(,1，a). (2)绝对值不等式不等式?f(x)?,a,0等价于f(x),a或f(x),,a; 不等式?f(x)?,a等价于,a,f(x),a. 例5.解下列含有绝对值符号的不等式: (1)?2x,3??5 (2)?3x,1??7 解:(1)原不等式等价于,5?2x,3?5 解得:,1?x?4. 所以解集为[,1，4]. (2)原不等式等价于3x,1?,7或3x,1?7， 3x,1?,7的解集为x?,2，3x,1?7的解集为x?, 1小薇笔记免费提供各科自考笔记，完整版请访问所以解集为(,?，,2]?[，，?). 2例6.解不等式?x,2x,5?,3. 解:原不等式等价于2x,2x,5,,3的解集为(,?，]?[，，?)， 2x,2x,5,3的解集为(,2，4)，所以原不等式的解集为(,2，]?[，，4). 4.数列 (1)等差数列:相邻两项的差为定值，即a,a,d，d称为公差. n，1n通项公式:a,a，(n,1)d n1前n项和公式:当m，n,k，l时，a，a,a，a mnkl特别地有例7.设{a}是一个等差数列，且a，a，a，a,64，求a，a和S. 2310116712n解:因为 2，11,3，10,13 所以a，a,a，a,32, 211310又因为 6，7,13，所以a，a,32, 67S,(a，a)×12?2,6(a，a),6×32,192. 12112112(2)等比数列:相邻两项的商为定值，即，q称为公比. n-1通项公式:a,aq n1前n项和公式: 当m，n,k，l时，aa,aa mnkl特别地有例8.设{a}是一个等比数列，且a,12，a,48，求a，a和aa的值.n3511026解: 所以q,?25a,a?q,48×(?2),?1536 1055因为2，6,3，5,8 所以a?a,a?a,12×48,576. 26351.1.2 集合与逻辑符号 1.集合的概念集合是指由一些特定的对象汇集的全体，其中每个对象叫做集合的元素. 数集分类: N——自然数集Z——整数集 Q——有理数集R——实数集 C——复数集合 2.元素与集合的关系元素a在集合A中，就说a属于A，记为a?A;否则就说a不属于A，记为aA. 3.集合与集合的关系集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，称为A包含于B，或B包含A，也说A是B的子集，记为A?B或者B?A. 若A?B，且B?A，就称集合A与B相等，记作A,B. 2例9.A,{1，2}，C,{x?x,3x，2,0}，则A和C是什么关系, 2解:解方程x,3x，2,0，得x,1或x,2. 所以C,{1，2}，从而A,C. 4.空集不含任何元素的集合称为空集(记作Φ).规定空集为任何集合的子集. 2例10.{x?x?R，x，1,0},Φ 5.集合的表示方法:列举法，描述法一般的，有限集用列举法，无限集用描述法闭区间:[a，b],{x?a?x?b，x?R}; 开区间:(a，b),{x?a,x,b，x?R}; 半开半闭区间: 左开右闭区间:(a，b],{x?a,x?b，x?R}，左闭右开区间:[a，b),{x?a?x,b，x?R}; (,?，b],{x?x?b，x?R}，[a，，?],{x?x?a，x?R}; 点a的邻域:U(a，ε),(a,ε，a，ε)，ε,0，即U(a，ε)是一个以a为中心的开区间.在不强调邻域的大小时，点a的邻域也用U表示; a点a的去心邻域:N(a，ε),(a,ε，a)?(a，a，ε)，ε,0.点a的去心邻域也可以表示为N. a6.集合之间的运算 (1)并:由A、B中所有元素组成的集合称为A和B的并集，记为A?B. A?B,{x?x?A或x?B}，A?B,B?A. 例11.已知:A,{1，2，3，4}，B,{2，4，6，8，10，12}，求:A?B. 解:A?B,{1，2，3，4，6，8，10，12}. 例12.已知:,{?1,,5}，,{?,3,?2}，求:?. AxxBxxAB解:A?B,{x?,3,x,5}. (2)交:由既属于A又属于B的元素组成的集合称为A和B的交集，记为A?B. A?B,{x?x?A且x?B}，A?B,B?A 例13.已知:A,{1，2，3，4}，B,{2、4、6、8、10、12}，求:A?B. 解:A?B,{2，4}. 例14.已知:A,{x?1,x,4}，B,{x?,3,x?3}，求:A?B. 解:A?B,{x?1,x?3}. (3)余集(差集):由中不属于的元素组成的集合称为与的差集，记为,. ABABABA,B,{x?x?A但xB}. 例15.已知:A,{1，2，3，4}，B,{2，4，6，8，10，12}，求:A,B. 解:A,B,{1，3}. 7.一些逻辑符号p能推出q，记为pq，此时称p是q的充分条件，q是p的必要条件. 如果pq，qp 同时成立，就成p与q等价，或者说p与q互为充分必要条件(充要条件)，记作pq. 1.2 函数的概念与图形 1.2.1 函数的概念 1.定义设D是一个非空数集，f 是定义在D上的一个对应关系，如果对于任意的实数x?D，都有唯一的实数y通过f与之对应，则称f是定义在D上的一个函数，记作y,f(x)，x?D. 也称是的函数，其中称为自变量，称为因变量.当?时，称()为函数在点处的函数值.数集叫做这个函数的定义域，函数值全体组成的数,{?,()，?}称为函数的值域. yxxyxDfxxDWyyfxxD000例1.已知:，求:y的定义域、值域. 2解:令1,x?0，解得:,1?x?1, 所以定义域为[,1，1]. 2因为0?1,x?1，所以0??1，所以值域为[0，1].例2.已知:，求:y的定义域、值域.解:根据题意，得，解得,1,x,1，所以定义域为(,1，1)， 2小薇笔记免费提供各科自考笔记，完整版请访问因为 0,?1，从而，所以值域为[1，，?). 2.函数的三要素:定义域、对应法则、值域. 约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.在具体问题中定义域会根据实际需要而有所变化. 例3.判断下列两个函数是否相等，(1)y,x，3; (2).例4.求函数的定义域. 解:根据题意，得解得:2?x,3或3,x,5，所以定义域为[2，3)?(3，5). 3.函数的表示法:表达式法(解析法)、图形法、数表法. 1.2.2 函数的图形 1.函数图形的概念函数y,f(x)，x?D的图形是指在xOy平面上的点集{(x,y)?y,f(x)，x?D}. 常见的几个幂函数的图形:2.函数的性质 (1)有界性函数f(x)，x?D，存在两个实数m、M，满足条件:对于D中所有的x都有不等式m?f(x)?M，则称函数f(x)在D上有界，否则称无界.例5.判断下面函数在其定义域是否有界，(1)y=sinx， (2). (2)单调性设函数f(x)在区间D上有定义，如果对于区间D上任意两点x及x，当x,x时，恒有f(x),f(x)，则称函数f(x)在区间D上是单调增加，称f(x)是D上的单调增加函数，称D是函数f(x)的单调增加区间. 121212设函数及，当,时，恒有),)，则称函数f(x)在区间D上有定义，如果对于区间D上任意两点xxxxf(xf(xf(x)在区间D上是单调减少，称f(x)是D上的单调减少函数，称D是函数f(x)的单调减少区间. 1212122例6.求的单调性. y, x解:任取,,0， xx1222,,)(，),0, xx,(xxxx121212所以y,x在(,?，0)上单调减少.22同理可得:y, x在(0，，?)上单调增加. 例7.求y ,sinx的单调性. 解:y,sinx的图像如图，y=sinx在(2kπ,，2kπ，)上单调增加，在(2kπ，，2kπ，)上单调减少. (3)奇偶性设D关于原点对称，对于任意的x?D，有 f(,x),f(x)，称 f(x) 为偶函数;设D关于原点对称，对于任意的x?D，有 f(,x),,f(x)，称 f(x) 为奇函数.例8.判断下面函数的奇偶性(1)(2)解:(1)因为，所以定义域为R.3小薇笔记免费提供各科自考笔记，完整版请访问所以f(x)为奇函数.(2) x-x因为a,a?0，故x ?0，所以定义域为(,?，0)?(0，，?).所以()为奇函数. fx(4)幂函数的性质α形如y,x的函数为幂函数，其中α为任意常数. 性质: α对任意实数α，曲线y,x都通过平面上的点(1，1);αα,0时，y,x在(0，+?)单调增加; αα,0时，y,x在(0，+?)单调减少; ，+?); α为正整数时，幂函数的定义域是(,?αα为偶数时，,为偶函数; yxαα为奇数时，, 为奇函数; yxα为负整数时，幂函数的定义域是 (,?，0)?(0，+?). α幂函数y,x(α是常数)的图形:1.2.3 分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同的式子来表示的函数，称为分段函数. 例9.画出符号函数的图形:例10.画出下面分段函数的图形:例11.求下面分段函数定义域并画出图形.1.3 三角函数、指数函数、对数函数… … (剩余部分略)完整免费版请访问—— 1.4 函数运算 1.4.1函数的四则运算定义1.10 设函数f(x)，g(x)都在D上有定义，k?R，则对它们进行四则运算的结果还是一个函数，它们的定义域不变(除法运算时除数为0的点除外)，而函数值的对应定义如下: (1)加法运算 (f，g)(x),f(x)，g(x)，x?D . (2)数乘运算(kf)(x),kf(x)，x?D. (3)乘法运算 (fg)(x),f(x)g(x)，x?D .(4) 除法运算 g(x)?0， x?D. 其中等号左端括号表示对两个函数f，g 进行运算后所得的函数，它在x处的值等于右端的值.例1. 已知f(x)=ln(1，x)，g(x)=1,cosx，求 . 因为函数f(x)=ln(1，x)的定义域为(,1，+?)，函数g(x)=1,cosx 的定义域为(,?，+?)，且当x=2 kπ(k为整数)时，g(x)=0，所以，解，x?(,1， +?)\{2kπ}(k为整数) 1.4.2复合函数如有函数()和(),它们的定义域分别为和，值域分别是和当时，对于任意?,都有唯一的()?,，从而有唯一的(())?与?对应，这样就确定了一个从到的函数，此函数称fxgxDD ZZ.ZD xDgxZDfgxZxDDZfgf g.gfggffggf为 f和g的复合函数，记作重点是学会函数的分解与复合。
高等教育自学考试全国统一命题考试 高等数学(一)
高等教育自学考试全国统一命题考试高等数学(一)(课程代码 00020)本试卷共3页，满分l00分，考试时间l50分钟。
考生答题注意事项：1．本卷所有试题必须在答题卡上作答。
答在试卷上无效，试卷空白处和背面均可作草稿纸。
2．第一部分为选择题。
必须对应试卷上的题号使用2B铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑。
3．第二部分为非选择题。
必须注明大、小题号，使用0．5毫米黑色字迹签字笔作答。
4．合理安排答题空间。
超出答题区域无效。
第一部分选择题一、单项选择题(本大题共l0小题。
每小题3分，共30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题卡”的相应代码涂黑。
未涂、错涂或多涂均无分。
Q1．方程x2-3x+2=0的根为3. 极限A．-2 B．0 C．2 D. ∞4．函数的所有间断点是A．x=0 B. x=-1 C． z=0，z=1 D．x=-1，z=16．曲线y=sinx在点(0，O)处的切线方程是A，y=x B．y=-X C．y=1/2 x D．y=-1/2 x7．设函数f(x)可导，且f’(x0)=0，则f(x)在x=x0处A．一定有极大值 B．一定有极小值C．不～定有极值 D．一定没有极值8．曲线y=x3—3x2+2的拐点为A．(0，1) B．(1，O) C．(0，2) D．(2，O)9．不定积分A．see x+x B．sec x+x+CC．tan x+x D．tan x+x+C10．设函数A．6+e B．6+e-1 C．4+e D. 4+e-1第一分非选择题二、简单计算题 (本大题共5小题，每小题4分，共20分)请在答题卡上作答。
11．判断函数f(x)=2x一2-x的奇偶性．12．求极限13．求函数，f(x)=sin(2x2+3)的导数f’(x)．14．求极限15．求函数z=x2+y2—3x一5y一2的全微分dz.三、计算题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)请在答题卡上作答。
高数(一)00020所有章节总复习
第一章 函 数1. 1预备知识一元二次函数、方程和不等式不等式： 1大于取两边，大于大的，小于小的； 2 小于取中间。
绝对值不等式：|x|>a(a>0) x>a 或x<-a|x|<a 等价于 -a<x<a一元二次方程的两个根分别为x1,x2则有韦达定理：x 1+x 2= b a - x 1*x 2= c a 2b a-为曲线对称轴 不等式：算术平均值大于等于几何平均值：2a b+≥ a=b 时才相等. 因式分解与乘法公式22222222332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2)n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++++≥ 等差数列和等比数列()()()11111 22n n n n a a n d n a a n n n S S na d=+-+-==+1.等差数列 通项公式： 前项和公式或()()1100n n n GP a a qa q -=≠≠2.等比数列 通项公式，()()()11.1111n n n a q q S qna q ⎧-⎪≠=-⎨⎪=⎩前项和公式 求定义域：1:分式的分母不能为0 2:根号内的大于等于0 3:对数内的要大于0 （对数为分母时真数不等于1）y=sinx, 奇函数 y=cosx, 偶 定义域（-∞，+∞） 值域：-1 <= x <= 1y=tanx, 定义域{x | x ∈R, X ≠k π+2π} k 为整数 值域：（-∞，+∞）奇函数y=cotx 定义域{x | x ∈R, X ≠k π} k 为整数 值域：（-∞，+∞）奇函数判断奇偶性：f(-x)=f(x) 偶cosx,secx F(-x)=- f(x) 奇 sinx tanx cotx 等反函数：1先解出一个干净的Y ， 2 再把Y 写成X ，X 写成Y 就成了，复合函数要会看，谁是外衣，谁是内衣，P36页的公式要记住，初等函数的几个常见的图形要记住，初等数学基础知识 一、三角函数1．公式同角三角函数间的基本关系式：·平方关系： sin 2(α)+cos 2 (α)=1; tan 2 (α)+1=sec 2 (α); cot 2 (α)+1=csc^2(α) ·商的关系：tanα=sinα/cosα cotα=cosα/sinα ·倒数关系：tanα·cotα=1; sinα·cscα=1; cosα·secα=1 三角函数恒等变形公式： ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 倍角公式：sin(2x)=2sinx·cosxcos(2x)=cos 2(x)-sin 2 (α)=2cos 2(x)-1=1-2sin 2 (x) tan(2x)=2tanx / [1-tan^2(x)] ·半角公式：sin 2 (α/2)=(1-cosα)/2 cos 2 (α/2)=(1+cosα)/2tan 2 (α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα ·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan 2 (α/2)] cosα=[1-tan 2 (α/2)]/[1+tan 2 (α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan 2 (α/2)] ·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] ·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]2．特殊角的三角函数值只需记住这两个特殊的直角三角形的边角关系，依照三角函数的定义即可推出上面的三角值。
2019年10月自考考试00020高等数学(一)真题试卷及参考答案
全国2019年10月高等教育自学考试高等数学（一）试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 下列函数为奇函数的是（）。
A. 2x sin x B. 2x cos x C. xsinx D. xcosx【正确答案】D【答案解析】已知奇函数满足()()f x f x ，因为D 选项中令()cos f x x x ，有()cos f x x x ，满足奇函数条件，故选择D 。
参见教材P31。
【知识点】函数的奇偶性。
2. 当0,0x y 时，下列等式成立的是（）。
A.ln ln ln xy x y gB. ln ln ln x y x yC. ln ln ln xy xyD. ln lnln x x yy 【正确答案】C【答案解析】因为对数函数有log ()log log a a a xy x y 的性质，故选C 。
参见教材P38。
【知识点】对数函数。
3. 3342lim 2nn nn（）。
A. 1B. 2C. 3D. 4【正确答案】B【答案解析】3223421224limlimlim226112nnnn n n nnnn。
参见教材P96。
【知识点】洛必达法则。
4. 10()020xexf x x a x a x，已知函数在点处连续，则，（）。
A. 0B.12C. 1D. 2【正确答案】B【答案解析】因为函数在0x处连续，则有0lim ()x f x a ，带入可得0011lim ()lim lim 222xx x x ex f x xx，解得12a，故选B 。
参见教材P63。
【知识点】函数的连续性。
5. 221,1y x x 曲线在点处的切线方程为（）。
A. 32y xB. 34y xC. 22y xD. 24y x 【正确答案】A【答案解析】因为函数在一点处的导数值即为函数在该点处的切线斜率。
所以，先求导得()41f x x ，将1x 带入导数可得斜率(1)3k f 。
然后，设直线方程为，00()yy k xx ，将切线斜率3k和点(1,1)带入可得32yx 。
全国2013年10月自学考试00020《高等数学(一)》历年真题与答案
绝密★考试结束前全国2013年10月高等教育自学考试高等数学（一）试题课程代码：00020请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。
错涂、多涂或未涂均无分。
1．下列等式成立的是【】A．(e x)2=2x e B．(e x)2=e2xC．e2x D．e x2．下列函数为偶函数的是【】A．y=x sin x B．y=x cos xC．y=sin x+cos x D．y=x(sinx+cos x)3．极限22x3x9limx2x3→---=【】A．0 B．2 3C．32D．924．函数f(x)=1xex1-的所有间断点是【】A．x=0 B．x=1 C．X=0，x=-1 D．x=0，x=1 5．设函数f(x)=arctan(x2)，则导数f(1)'=【】A．-1 B．0C．1 D．26．某产品产量为q 时总成本C(q)=1100+2q 1200，则q=1200时的边际成本为【 】 A ．0 B ．12C ．1D ．27．已知函数f(x)=ax 2-4x+1在x=2处取得极值，则常数a=【 】A ．0B ．1C ．2D ．3 8．极限2x 0x ln(x 1)limx →-+=【 】 A ．-12 B ．0 C ．12D ．1 9．若f(x)是g(x)的一个原函数，则下列选项正确的是【 】A ．f (x)dx ⎰=g(x)+cB ．g(x)dx ⎰=f(x)+cC ．f (x)dx ⎰=g(x)D ．g(x)dx ⎰=f(x) 10．设函数z=ln(x 2+y 2)，则z z x y ∂∂+∂∂=【 】 A ．222(x y)x y ++ B ．222(x y)x y -+ C ．22x y x y ++ D ．22x y x y -+非选择题部分注意事项：用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
00020高等数学(经济数学一微积分)答案
经济应用数学一（微积分）综合测试题答案课程代码：00020一、单项选择题1-5DACAD 6-10BDDDC 11-15DBAAB 16-20ADCAC 21-25DDCCC 26-30CBCAB 二、计算题1.答案：原式2.答案：（型）3.答案：4.答案：5.答案：原式6.答案：原式7.答案：原式8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：解函数在连续，因此12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：方程两边对求导得：，，。
16.答案：解：因为x = 0处可导，所以在x = 0连续，于是所以：，又因为，所以。
17.答案：解18.答案：解：当时，单调减少, 当时，单调增加；故在x = 1处极小值。
19.答案：20.答案：解：原式=。
21.答案：解：22.答案：23.答案：24.答案：25.答案：26.答案：27.答案：28.答案：29.答案：30.答案：解：。
31.答案：解：，则，，所以、32.答案：方程两边对求导得：，，。
33.答案：34.答案：35.答案：两边同时对求导得到：，从而解得：。
36.答案：两边同时求导：，所以解得：，当时，，所以。
37.答案：解：。
38.答案：解：39.答案：三、填空题1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：，5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：一，可去9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：1 13.答案：14.答案：递增15.答案：16.答案：17.答案：18.答案：19.答案：20.答案：2 21.答案：422.答案：0 23.答案：0 24.答案：充分四、应用题1.答案：解：利润函数为：（1），所以最优价格；（2）此时最优产量为：Q*=1000 – 10p*=400=1—（1—）（1—）（1—）=2.答案：解：利润函数：所以，（台），最优利润：（万元）3.答案：解：总利润函数为，令上述等于零，得到驻点。
驻点唯一且实际问题有最大值，所以日产量分别为6，8辆时，总利润最多，为L(6,8)=10万元。
全国2012年04月自学考试00020《高等数学(一)》历年真题与答案
全国2012年4月自学考试高等数学（一）试题课程代码：00020一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.函数y=f(x)的图形如图所示，则它的值域为( ) A.[1,4） B.[1,4] C.[1,5) D.[1,5]2.当x →0时，下列变量为无穷小量的是( ) A.21sin x xB.1sin x xC.xe -3.设函数f(x)可导，且0(1)(1)lim1x f f x x→--=-，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为( )A.1B.0C.-1D.-24.曲线21(1)y x =-的渐近线的条数为 ( )A.1B.2C.3D.45.下列积分中可直接用牛顿-莱布尼茨公式计算的是( ) A.111dx x -⎰B.111d x x -⎰2（2+1）C.1211d x x-⎰D.1x -⎰二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.设函数2,||1(),1,||1x f x x ≤⎧=⎨⎩>则f [f(1)]=______.7.已知33lim 1nkn e n -→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则k=______.8.若级数1n n u ∞→∑的前n 项和1121n S n =-+,则该级数的和S=______. 9.设函数f(x)可微，则微分d[e f(x)]=______. 10.曲线y=3x 5-5x 4+4x-1的拐点是______.11.函数()arctan f x x x =-在闭区间[-1,1]上的最大值是______.12.导数20d sin 2d d xu u x ⎰=______.13.微分方程2()20x y xy y '''-+=的阶数是______. 14.设22{(,)|4}D x y x y =+≤，则二重积分d d Dx y =⎰⎰______.15.设函数(,)ln()2y f x y x =+，则偏导数(0,1)y f =＇______. 三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 16.设函数21()cos x f x e x-=，求导数()f x '. 17.求极限0tan limsin x x xx x→--.18.求函数3212()2333f x x x x =-++的极值.19.计算无穷限反常积分231=d 610I x x x +∞-++⎰.20.计算二重积分=(32)d d DI x y x y +⎰⎰，其中D 是由直线x+y=1及两个坐标轴围成的区域，如图所示.四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 21.确定常数a,b 的值，使函数3sin ,0()ln(1)0x x f x a x b x <⎧=⎨++≥⎩在点x=0处可导.22.设某商品的需求函数为Q(P)=12-0.5P （其中P 为价格）. （1）求需求价格弹性函数. （2）求最大收益.23.计算定积分2=I x .五、应用题（本题9分） 24.设曲线1y x=与直线y=4x,x=2及x 轴围成的区域为D ，如图所示.（1）求D 的面积A.（2）求D 绕x 轴一周的旋转体体积V x . 六、证明题（本题5分）25.设函数z=xy+f(u)，u=y 2-x 2，其中f 是可微函数. 证明：22z zyx x y x y∂∂+=+∂∂.全国2012年4月自考《高等数学（一）》试题答案详解课程代码：00020试卷总体分析：试卷详解：一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
00020高等数学1教材
00020高等数学1教材高等数学1教材高等数学1是大学本科数学专业的一门核心课程，它作为数学学科体系的重要组成部分，在培养学生的数学思维和解决问题的能力方面起着重要作用。
本文将从教材编写背景、内容概述、章节结构和教学目标等方面对《高等数学1》教材进行介绍。
一、教材编写背景《高等数学1》教材是按照国家教育部的要求，针对高等数学1这门课程的教学特点和学生的学习需求，由一批专业的数学教育专家和教师共同编写而成。
编写教材的目的是为了将数学理论与实际问题相结合，提高学生的数学应用能力和解决问题的能力。
二、内容概述《高等数学1》教材主要涵盖了函数、极限、微分和积分等几个重要的数学概念和方法。
通过这些内容的学习，学生可以深入了解数学的基本原理和应用方法，为以后的学习和研究打下坚实的基础。
具体而言，教材的内容包括以下几个方面：1. 函数理论：介绍了函数的概念、性质和常见的函数类型，如多项式函数、指数函数、对数函数等。
通过学习函数理论，可以帮助学生理解函数的图像、特点和变化规律。
2. 极限与连续：介绍了极限的定义、性质和计算方法，以及连续函数的概念和判定方法。
极限与连续是高等数学的重要基础，对于后续章节的学习具有重要意义。
3. 微分学：详细介绍了导数的概念、性质和运算法则，包括高阶导数和隐函数导数。
微分学是研究函数变化规律的数学分支，具有广泛的应用价值。
4. 积分学：包括不定积分和定积分两个部分，介绍了积分的概念、性质和计算方法，以及定积分的几何和物理应用。
积分学是求解曲线下面积、求解各种变化规律的重要工具。
三、章节结构《高等数学1》教材按照知识的逻辑关系和难易程度，分为若干个章节。
每个章节都有相应的知识点、例题和习题，以帮助学生理解和掌握知识。
比较典型的章节包括：1. 函数与极限：介绍了函数的概念和性质，以及极限的定义和计算方法。
2. 导数与微分：对导数的概念和性质进行了详细介绍，以及微分的基本概念和运算法则。
00020 高等数学(一)自考历年真题 (2)
来源于网络2012年10月高等教育自学考试《高等数学（一）》试题 课程代码：00020一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)1．在区间内，下列函数无界的是（ B ）。
C ． 23→∆x lim 0 C ． 4⎰f (B ．D ．5 C 二、6．已知函数xxx f +=12)(，则复合函数=)]([x f f xx314+。
7．极限()=⋅+∞→xx x 1sin1ln lim 0 。
8．某产品产量为q 时总成本22001200)(q q C +=，则100=q 时的边际成本为 1 。
9．极限=-→xx x x ln 1lim1 1 。
10．设函数xxy +=1sin 的铅直渐近线为1-=x 。
11．已知直线l 与X 轴平行且与曲线xex y -=相切，则切点坐标为 （0，-1） 。
12．函数)1ln()(2x x f +=在区间[-1，2]上最小值为 0 。
13．设函数⎰=Φxtdt t x 20cos )(，则=Φ)('x x x 2cos 4。
20．计算不定积分⎰+dx xx )1cos(2。
四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）21．设函数xxx y -=ln 的单调区间与极值。
22．求微分方程0)(=--dy dx y x 满足初始条件10-==x y的特解。
23．计算二重积分⎰⎰=Ddxdy yxy I sin，来源于网络其中区域D 由其线1,0,===y x x y 围成。
五、应用题（本大题9分）24．过点（1，2）作抛物线12+=x y 的切线，设该切线与抛物线及y 轴所围的平面区域为D. （1）求D 的面积A ；（2）求D 绕x 轴一周的旋转体体积x V 。
六、证明题（本大题5分）25．设函数)(x f 可导，且0)0(,cos sin )(sin '2=-=f xxx f ，证明21)(=x f。
2020年5月00020高等数学(一)自考试卷(含答案)
绝密★启用前2020年4月高等教育自学考试高等数学(一)试题和答案（课程代码00020）一、单项选择题(本大题共10小题，每小题3分，30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。
错涂、多涂或未涂均无分。
1.当x>0时，下列等式成立的是 （ A ）A.x ex =ln B.x e x 2ln 2= C.x e x212ln = D.x e x-=-ln 2.函数)1ln(5)(-+-=x x x f 的定义域为 （ C ） A.]5,(-∞B. [)5,1C. ]5,1(D. ),1(+∞ 3.极限=-∞→x x e lim （ B ）A.-∞B.0C.1D.+∞ 4.函数)2)(1(sin )(--=x x x x x f 的所有间断点为 （ D ） A. x=0,x=1B. x=0,x=2C. x=1,x=2D. x=0,x=1,x=2 5.曲线532+-=x xy 在点（2，3）处的切线斜率为 （ C ） A.-1B.0C.1D.2 6.设函数f(x)=cosx ，则极限=∆-∆+→∆x x f x x f x )()(lim000 （ D ） A.0cos xB. 0cos x -C.0sin xD. 0sin x - 7.曲线3x y =的拐点为 （ A ）A.（0，0）B.（0，1）C.（1，0）D.（1，1）8.曲线221x x x y ++=的水平渐近线为 （ B ） A. y=0B. y=1C. y=2D. y=3 9.函数533+-=x x y 的单调减少区间为 （ B ）A.（-∞，-1）B.（-1，1）C.（1，+∞）D.（-∞，+∞） 10.设⎰=+=)(则,)sin()(2x f C x dx x f （ C ） A.)cos(22x xB. )sin(22x xC.)cos(22x xD. )sin(22x x二、简单计算题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)11.判断函数x x x f cos )(3=的奇偶性。
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全国2012年1月高等教育自学考试《高等数学（一）》试题课程代码：00020第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 合计一、单项选择题（2*5） 2 2 4 2 0 0 10 二、填空题（3*10） 3 3 6 6 9 3 30 三、计算题（一）（5*5） 0 5 5 5 5 5 25 四、计算题(二)（7*3） 0 0 0 7 7 7 21 五、应用题（9*1） 0 0 0 0 9 0 9 六、证明题（5*1）0 0 0 5 0 0 5 合计5 10 1525 30 15 100一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.下列函数中为奇函数的是（ ）A.()2x xe ef x -+=B.()2x xe ef x --= C.3()cos f x x x =- D.5()sin f x x x =答案：B知识点：函数奇偶性解： ()()2x x e e f x f x -+-==故()2x xe ef x -+=为偶函数 ()()2x x e e f x f x ---==-，故()2x xe ef x --=为奇函数()()33()cos cos f x x x x x -=---=--，故3()cos f x x x =-为非奇非偶函数()()55()sin sin ()f x x x x x f x -=--==，故5()sin f x x x =为偶函数2.当0x +→时，下列变量为无穷小量的是（ ） A.1e xB.ln xC.x sin 1xD.1sin x x答案：C知识点： 无穷小量 解：10000lim e lim ln x=-1lim x sin =01lim sin xx x x x xx x++++→→→→=+∞∞=1 3.设函数f (x )=2ln(1), 0,, 0x x x x +≥⎧⎨<⎩则f (x )在点x =0处（ ）A.左导数存在，右导数不存在B.左导数不存在，右导数存在C.左、右导数都存在D.左、右导数都不存在答案：C知识点：导数的定义 解：2200000ln(1), 0(),, 0'(0)lim 00ln(1)0'(0)lim lim 10'(0)201'(0)11x x x x x x x f x x x x f x x xf x xf x f x-++-→+→→-=+=+≥⎧=⎨<⎩-==-+-===-====+法一： 法二： 所以原函数的左右导数都存在，但不可导4.曲线y =32x -在x =1处的切线方程为（ ） A.x -3y-4=0 B.x -3y +4=0 C.x +3y -2=0 D.x +3y +2=0答案：A知识点：曲线的切线方程 解：()()23111'233113340x y x y x x y -==-=---=所求切线斜率为：所求切线方程为+1=即5.函数f (x )=x 2+1在区间[1,2]上满足拉格朗日中值公式的中值ξ=（ ） A.1 B.65 C.54D.32答案：D知识点：拉格朗日中值公式解： 根据拉格朗日中值公式ξ'2121f(x )-f(x )f ()=x -x 得2()1,1,523221132f x x x x ξξ=+=-∴==-∴=12 =2 求解得到二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.函数f (x )=23215x -⎛⎫- ⎪⎝⎭的定义域为_________.答案：[]14-， 知识点：函数定义域解：[]23210514x -⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭根据题意得解得原函数定义域为-，7.设函数f (x )=2(1), 0cos , 0x x x a x x ⎧⎪+>⎨⎪≤⎩在点x =0处连续，则a =_________.答案：2e知识点：函数的连续性解：2221120002lim cos lim (1)lim (1)lim (1)(0)x xx xx x x a x a x x x e f a a e -+++→→→→=⎧⎫⎧⎫+=+=+=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭=∴= 又函数在x=0连续8.微分d (e -2+tanx )=_________.答案：2sec 2x dx x知识点：函数微分解： d (e -2+tan x )= d (e -2)+ d (tanx )=0+2secx d (x )=2sec 2xdx x9.设某商品的需求函数为Q =16-4p ，则价格p =3时的需求弹性为_________. 答案：3知识点：需求价格弹性 解：()()3333'431644p p p p EQ p p p Q p EpQ p p =====-=-⨯-==--10.函数f (x )=x -2cos x 在区间[0,2π]上的最小值是_________. 答案：-2知识点：函数最值'()12sin 0()02(0)2,()22()022f x x f x f f f x ππππ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦=-=⎡⎤⎢⎥⎣⎦解： 由得在，上无驻点和不可导点再由 故在，上的最小值为-11.曲线y =22231x x x ---的铅直渐近线为_________.答案：1x =知识点：曲线的渐近线2212223lim 12311x x x x x x x x →--=∞---∴=- 解： 曲线的铅直渐近线为 12.无穷限反常积分42d 1xx x +∞+⎰=_________. 答案：2π 知识点：无穷限反常积分 解：224400021d d arctan 112x x x x x x π+∞+∞+∞===++⎰⎰ 13.微分方程xy ′-2y =0的通解是_________. 答案：2Cx知识点：可分离变量的微分方程22:2ln dxxC y Cx ==+=dy 解原方程分离变量为 y 两边同时积分得 lny lnx 即原方程的通解为 14.已知函数f (x )连续，若Φ(x )=x 1x⎰f (t )d t ，则Φ′(x )=_________.答案：1()()xf t dt xf x +⎰知识点：变限积分的导数 解：()1'()()xx f t dt xf x Φ=+⎰15.设函数z=sin(xy 2)，则全微分d z =_________.答案： ()()2c o s 2y x yy d x x dy + 知识点：全微分解：()()()()2222d cos 2cos cos 2z z z dx dy x yy xy dx xy xy dy y xy ydx xdy ∂∂=+∂∂=+=+ 三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 16.求数列极限221lim(62)sin.31n n n →∞++答案：2知识点：数列极限 解：22222222221:lim(62)sin3162lim 3126lim1321:lim(62)sin311sin312lim 1312n n n n n n n n n n nn n n n →∞→∞→∞→∞→∞+++=++=+=+++=+=法一法二17.设函数f (x )=21x +arctan x -ln(x +21x +)，求导数f ′(1). 答案：42π知识点：函数导数()22222222222'()1arctan ln 1'1211arctan 1121111arctan 111arctan 1'(1)42f x x x x x xxx x x x x x x x x x x x x xx f π⎡⎤=+-++⎢⎥⎣⎦++=++-++++=+-+++=+∴=解： 18.求极限3sin lim11x x x x →-+-.答案：13知识点：洛必达法则 解：2303200sin 1cos limlim3112121cos lim31sin lim313x x x x x x x x x x xx xx →→→→--=+-+-=== 19.求不定积分3ln d x x x ⎰.答案： 441ln 416x x x C -+ 知识点：不定积分的分部积分法344344ln d 1ln d 411ln d 441ln 416x x xx x x x x x x x x C ==-=-+⎰⎰⎰ 20.设z =z (x ，y )是由方程xz +y 2+e z =e 所确定的隐函数，求偏导数(0,0)zx∂∂.答案：1e-知识点：隐函数求导21(0,0)(,,)''2'''110z z x y z x z z F x y z xz y e e F z F y F x e F z zx F x e zxe e=++-===+∂=-=-∂+∂=-=-∂+解： 设 则 ，， 所以 四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分) 21.确定常数a,b 的值，使得点(1,12)为曲线y =32114x ax bx +++的拐点. 答案：304a b =-=，知识点：曲线拐点11(1)1423"(1)20234f a b f a a b =+++==+==-=解： 由题意得 解得 ，22.计算定积分I =320cos cos d .x x x π-⎰答案：23知识点：定积分换元法 解：()322222022001321cos cos d cos 1cos d cos sin d sin cos d cos d cos cos d 2233x x x x x x x x xx x x x x x u u uu πππππ-=-===-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 令 23.计算二重积分I =411Dx +⎰⎰d x d y ，其中D 是由曲线y =x 3，x =l 及x 轴所围成的区域，如图所示. 答案：2-12知识点：二重积分 解：()3341400104013414401401d d 11d 11d 1=d 111d 1411122-12D x x I y x y x dy xx y x x x xxx x x =+=+=++=++=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰五、应用题（本题9分）24.设D 是由曲线y =e x ，y =e -x 及直线x =l 所围成的平面区域，如图所示. (1)求D 的面积A .(2)求D 绕x 轴一周的旋转体体积V x . 答案：12e e +-；22122e e π⎛⎫+- ⎪⎝⎭知识点：定积分的几何应用解：1101()2x x x x A e e dx e e e e --⎡⎤=-=+=+-⎣⎦⎰ ()1122222201()222x xxxx V e edx eee e πππ--⎛⎫=-=+=+- ⎪⎝⎭⎰ 备注：习题5.10第1题的第6）题六、证明题（本题5分）25.证明：当x >0时，e 2x >1+2x . 知识点：函数单调性 解：()()()()()()()2221200,'22'0012.x x x f x e x f f x e f x f x f x f e x =--==->>>+设，则其导数 因为当x>0时，所以当x>0时单调增加，从而当x>0时，即。