高等数学II 2.2 函数极限 极限
大学高等数学教材目录
大学高等数学教材目录1. 导言2. 函数与极限2.1 实数与数轴2.2 函数的概念2.3 函数的极限2.4 极限的性质2.5 极限的计算2.6 无穷小量与无穷大量2.7 极限存在准则3. 导数与微分3.1 导数的定义3.2 微分的定义3.3 高阶导数及其应用3.4 隐函数与参数方程的导数3.5 微分中值定理3.6 泰勒公式与高阶导数的应用4. 微分中值定理与导数的应用4.1 罗尔中值定理4.2 拉格朗日中值定理4.3 柯西中值定理4.4 极值与最值4.5 函数的单调性与曲线的凹凸性4.6 曲线的渐近线与图形的描绘5. 不定积分5.1 基本积分公式5.2 不定积分的计算方法5.3 定积分的概念5.4 反常积分5.5 积分中值定理与平均值定理6. 定积分6.1 可积性及其判定6.2 定积分的计算方法6.3 定积分的应用7. 微分方程7.1 微分方程的基本概念7.2 一阶微分方程7.3 高阶微分方程7.4 微分方程的解法7.5 应用问题8. 多元函数微积分8.1 二元函数的概念8.2 二元函数的极限8.3 偏导数与全微分8.4 多元函数的极值与条件极值 8.5 多元函数积分8.6 可变上限积分与重积分9. 无穷级数9.1 数项级数的概念与性质9.2 收敛级数的判定方法9.3 幂级数及其收敛域9.4 函数展开成幂级数9.5 泰勒级数与麦克劳林级数10. 向量代数与空间解析几何 10.1 基本概念10.2 向量的运算10.3 空间曲线与曲面10.4 向量值函数及其导数10.5 多元函数积分10.6 曲线积分10.7 曲面积分10.8 可变上限积分与重积分。
函数的极限(高等数学课件
极限存在的充分条件
通过研究极限存在的充分条件，我们能够判断函数极限是否存在，从而分析函数的性质。
极限不存在的充分条件
极限不存在的充分条件揭示了函数在某一点无法达到收敛状态的原因，帮助我们理解函数的特性。
极限的计算方法
通过掌握极限的计算方法，我们能够简化复杂函数的分析，快速求得函数在某一点的极限值。
无穷远处的极限研究函数在无穷远处的行为，了解函数在无穷远的趋势和特征。
函数连续的定义
函数连续的定义是描述函数在一个区间内各点之间没有突变，平滑过渡的性质。
极限的性质
通过研究极限的性质，我们能够推导出一些重要的定理和计算方法，深入理解函数的行为。
夹逼定理
夹逼定理是一种重要的判断函数极限存在与计算的方法，让我们能够找到极限或证明其不存在。
极限的唯一性
极限的唯一性告诉我们，函数在某一点的极限只可能有一个确定的值，没有 歧义性。
极限的应用：导数和积分的概念
函数极限的应用非常广泛，例如在微积分中，导数和积分的概念都是基于极限的。
中值定理
中值定理是一组重要的定理，它揭示了函数在某一区间内的行为特点，是函 数研究的重要工具。
极值和最值的定义
极限与无的行为，探讨函数的无限增长和无限减小。
极限与无穷小
极限与无穷小研究函数在某一点附近的变化，帮助我们分析函数的微小变化 和趋势。
L'Hôpital法则
L'Hôpital法则是一种处理函数极限的重要方法，适用于特定的极限计算。
渐近线的定义与分类
渐近线研究函数在无穷远处的趋势，分为水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近 线三种。
函数的极限(高等数学课 件)
探索函数极限的奥秘，从基本的概念到应用、定理和计算方法，打开数学世 界的大门。
高等数学 函数的极限课件
函数极限的定义可以用数学符号表示为：lim f(x) = A，表示当x趋近 于某个值时，f(x)趋近于A。
函数极限的性质
01
唯一性
函数的极限是唯一的，即如果 lim f(x) = A和lim f(x) = B，则
A = B。
02
有界性
函数的极限是有界的，即存在 一个正数M，使得当x在某点附 近时，f(x)的绝对值小于M。
高等数学 函数的极限课件
目录
• 函数极限的基本概念 • 函数极限的运算性质 • 无穷小与无穷大 • 函数的连续性 • 极限的应用
01
函数极限的基本概念
函数极限的定义
01
02
函数极限的定义是高等数学中的基本概念，它描述了函数在某一点的 变化趋势。具体来说，如果当自变量趋近于某一值时，函数值无限接 近于一个确定的数，则称该数为函数的极限。
求复合函数极限的方法
通过将复合函数分解为基本初等函数或已知极限的函数，利用极限的四则运算性质和已知极限，求得 复合函数的极限。
反函数的极限
反函数极限的定义
设函数y=f(x)在点x0有定义且f'(x0)=1，其反函数为x=g[f(x)]，如果lim(y→y0) x=lim(y→y0) g[f(x)]，则称反函 数在点y0处存在极限。
03
局部保号性
如果lim f(x) = A且A > 0，则 在某点附近存在一个正数δ， 使得当x满足一定条件时，f(x)
> 0。
函数极限的存在性定理
函数极限的存在性定理是高等数学中一个重要的定理，它给出了函数极限存在的 充分条件。根据这个定理，如果函数在某点的左右极限存在且相等，则函数在该 点有极限。
连续性的几何意义
高等数学中函数极限的求法技巧解析
高等数学中函数极限的求法技巧解析
函数极限是高等数学中的重要概念，也是其他数学领域的基础。
在计算函数极限时，有一些常用的技巧和方法，可以帮助我们更快地求解极限问题。
下面是一些常用的函数极限求法技巧。
1. 代入法：当函数极限中存在形如"0/0"或"无穷大/无穷大"的不定型时，可以尝试使用代入法求解。
即将函数中的变量逐渐靠近极限值进行代入，计算出函数在极限点附近的取值，进而得到极限结果。
2. 无穷小代换法：当函数极限中含有无穷大或无穷小的项时，可以使用无穷小代换法进行求解。
即将无穷大或无穷小项替换为相应的无穷小量，对含有无穷大或无穷小的函数进行化简，再进行极限计算。
3. 分子分母除以最高幂次法：当函数极限中含有多项式的幂次较高时，可以尝试使用分子分母除以最高幂次的方法进行化简。
将函数中的每一项均除以该最高幂次，使得函数的分子和分母变为相对较小的多项式，从而更便于求解极限。
4. 辅助函数法：当函数极限较复杂时，可以尝试构造一个辅助函数来辅助求解。
通过适当选择辅助函数，将原函数转化为一个更简单的形式，再求解极限。
5. 夹逼定理：夹逼定理是函数极限求解的重要工具，适用于求解某些特殊的函数极限。
当函数的上下界均存在且极限相等时，可以通过夹逼定理求出函数的极限。
6. 泰勒级数展开法：当函数极限中含有三角函数、指数函数等特殊函数时，可以尝试使用泰勒级数展开法进行求解。
通过将特殊函数展开为无穷级数的形式，可以将原函数转化为一个容易求解的形式，再进行极限计算。
高等数学第2课数列的极限、函数的极限2
课题数列的极限、函数的极限课时2课时（90 min）教学目标知识技能目标：（1）理解数列的极限。
（2）掌握收敛数列的性质。
（3）理解函数的极限，会计算函数的极限，包括函数在某点的左极限、右极限。
（4）理解函数极限的性质。
思政育人目标：通过数学史和数学文化的记载，提出极限思想，让学生充分感觉到我国深厚的文化底蕴，激发学生的爱国情怀；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到学以致用的目的教学重难点教学重点：数列极限的定义、收敛数列的性质、函数极限的概念和性质教学难点：计算函数的极限、左极限和右极限教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（33 min）→问题讨论（10 min）第2节课：知识讲解（30 min）→问题讨论（10min）→课堂小结（5 min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤（2 min）⏹【教师】清点上课人数，记录好考勤⏹【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解（33 min）⏹【教师】通过庄子的“截杖问题”和刘徽的“割圆术”，引出并讲解数列以及数列的极限案例1“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．分析这是战国时期哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》中的一句话，意思是“一根长为一尺的木棒，每天截去一半，永远取不尽”．我们把每天取后剩下的部分用算式表示可得数列：通过数学史和数学文化的记载，提出极限思想，让学生充分感觉到我国深厚的文化底蕴，激发学生的爱国情怀。
学习数列极限的定义和收敛数列的性质。
边做边讲，及时巩固练习，实现教学211112482n ，，，，，． 随着时间的推移，剩下的木棒长度越来越短，显然，当天数n 无限增大时，剩下的木棒长度将无限缩短，即剩下的木棒长度12n越来越接近于数0． 案例2 刘徽称“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失亦”．分析 “割圆术”求圆面积的作法和思路是：先作圆的内接正六边形，把它的面积记为1A ；再作圆的内接正十二边形，其面积记为2A ；再作圆的内接正二十四边形，其面积记为3A ；照此下去，把圆内接正162n -⨯边形的面积记为n A ，这样得到一个数列：1A ，2A ，3A ，，n A ，如图1-18所示．图1-18由图1-18可以看出，随着圆内接正多边形的边数无限增加，圆内接正多边形的面积与圆的面积越来越接近．当边数n 无限增大时，圆内接正162n -⨯边形的面积n A 会无限接近圆的面积A ．对于一些数列，如1123nn n n ⎧⎫+⎪⎪⎧⎫⎧⎫⎛⎫⎨⎬⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎩⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭，，，若当n 无限增加时，一般项无限接近于某一个常数，则这个常数称为数列的做一体化3极限．在数学上，需要从定量角度定义数列的极限． 给定一个数列{}n a 和常数a ，为证明{}n a 的极限为a ，需要证明n 越来越大时，||n a a -越来越趋于0．为了定量描述随n 增大||n a a -逐渐接近于0，{}n a 与a 的接近程度可用||n a a ε-<（ε为任意小的正数）代替．ε越小，{}n a 越接近于a ，满足||n a a ε-<成立的n a 的项数n 越大．因此，给定一个正数ε，就存在一个正整数N +∈Z ，当n N >时，||n a a ε-<，ε越小，N 就越大，如图1-19所示．图1-19定义1 设{}n a 是数列，a 为常数，若对任意给定的正数ε，总可以找到正整数N ，使得所有满足n N >的自然数n ，都有||n a a ε-<成立，则称数列{}n a 收敛于a ，a 称为数列{}n a 的极限，记为lim n n a a →∞=．例1 对数列(1)n n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，当取10.1ε=，20.01ε=，求满足1(1)0n n ε--<，2(1)0nnε--<的n 的范围，并证明(1)lim 0n n n→∞-=． 解 因为(1)10n n n--=，所以要使1(1)00.1n n ε--<=，只要10.1n<，即10n >即可．同理，要满足2(1)00.01,nnε--<=，只要100n >即可． 现证明(1)lim 0nn n→∞-=．4对任意给定的0ε>，要使(1)10n n n ε--=<，只要1n ε>，因此，可以取11N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦（1ε⎡⎤⎢⎥⎣⎦可能为0）．当n N >时，就有(1)0n n ε--<，故(1)lim 0nn n→∞-=．如果数列{}n a 没有极限，则称该数列发散．我们还可以用数列极限的定义证明如下重要极限：lim n C C →∞=（C 为常数），1lim 0n n →∞=，lim 0(||1)n n a a →∞=<，1lim 1(0)nn a a →∞=>，lim 1n n n →∞=．⏹ 【学生】理解数列及数列的极限⏹ 【教师】讲解收敛数列的性质定理1（极限的唯一性） 如果数列{}n a 收敛，那么它的极限唯一．证明 用反证法．假设同时有lim n n a a →∞=和lim n n a b →∞=，且a b <，取2b aε-=． 因为lim n n a a →∞=，故∃正整数1N ，当1n N >时，不等式||2n b aa a --<（1） 成立．同理，因为lim n n a b →∞=，故∃正整数2N ，当2n Ν>时，不等式||2n b aa b --<（2） 也成立．取12max{}N N N =，（表示N 是1N 和2N 中较大的5那个数），则当n N >时，（1）式及（2）式同时成立．但由（1）式有2n a b a +<，由（2）式有2n a ba +>，这是矛盾的，故假设不成立．定义2 对于数列{}n a ，如果存在正数M ，使得对于一切n a 都满足不等式||n a M ，则称数列{}n a 是有界的；否则称数列{}n a 是无界的．定理2（收敛数列的有界性） 如果数列{}n a 收敛，那么数列{}n a 一定有界．证明 设数列{}n a 收敛于a ，根据数列极限的定义，对于1ε=，存在正整数N ，当n N >时，不等式||1n a a -<成立．于是，当n N >时，有||||||||1||n n n a a a a a a a a =-+-+<+．取12max{||||||1||}N n M a a a a =+，，，，，则数列{}n a 中的一切n a 都满足不等式||n a M ．这就证明了数列{}n a 是有界的．定理3（收敛数列的保号性） 如果数列{}n a 收敛于a ，且0a >（或0a <），那么存在正整数N ，当n N >时，有0n a >（或0n a <）．当0a >时，根据极限定义，只要取02aε=>，即可证明结论．推论 如果数列{}n a 从某项起有0n a （或0na ），且数列{}n a 收敛于a ，则0a （或0a ）．证明 就0na 情形证明．设数列{}n a 从1N 项起，即当1n N >时有0na ．现在用反证法证明，若0a <，则由定理3知，2N +∃∈Z ，当2n N >时，有0n a <，取12max()N N N =，，则当n N >时，有0na 与0n a <同时成立，矛盾，所以0a．6对于0na 的情形，可以类似地证明．定义3 在数列{}n a 中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列{}n a 中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列{}n a 的子数列（或子列）．设在数列{}n a 中，第一次抽取1n a ，第二次在1n a 后抽取2n a ，第三次在2n a 后抽取3n a ，，这样无休止的抽取下去，得到一个数列1n a ，2n a ，，k n a ，，这个数列{}k n a 就是数列{}n a 的一个子数列．⏹ 【学生】掌握收敛数列的性质问题讨论 （10 min ）⏹ 【教师】组织学生讨论以下问题1．若lim n n a a →∞=，能否得到结论：对任意给定的正数ε，总可以找到正整数N ，使得所有满足n N >的自然数n ，都有||2n a a ε-<（或2ε）成立？2．在数列极限定义的N ε-语言中对任意给定的正数ε，可否规定01ε<<？3．有界数列是否一定收敛？发散的数列是否一定无界？ 4．如果数列{}n a 收敛于a ，且n ∀∈N ，有0n a >（或0n a <），则是否一定有0a >（或0a <）？5．若数列的任何子数列都收敛，那么此数列是否一定收敛？发散数列的子数列都发散吗？⏹ 【学生】发言通过课堂讨论，活跃课堂气氛，加深学生对知识点的理解第二节课知识讲解（30 min）【教师】讲解函数极限的概念，并通过例题讲解介绍其应用1．自变量趋于无穷时函数的极限当x→+∞时，函数()f x的极限定义与数列极限定义相似，因此可以给出当x→+∞时，()f x极限的Mε-定义．定义1设()f x在()a+∞，上有定义，A为实常数，若对ε∀>，0(||)M M a∃>>，当x M>时，有|()|f x Aε-<，则称函数()f x当x趋于+∞时，以A为极限，记为+lim()xf x A→∞=或()()f x A x→→+∞．定义1'设()f x在()a-∞，上有定义，A为实常数，若对ε∀>，0()M M a∃>-<，当x M<-时，|()|f x Aε-<，则称函数()f x当x→-∞时，以A为极限，记为lim()xf x A→-∞=或()()f x A x→→-∞．定义1"设()f x在()()a a-∞+∞，，上有定义，A为实常数，若对0ε∀>，0M∃>(||)M a>，当||x M>时，|()|f x Aε-<，则称函数()y f x=在x→∞时，以A为极限，记为lim()xf x A→∞=．定理1lim()xf x A→∞=lim()xf x→+∞⇔lim()xf x→-∞=A=．证明必要性显然．下证充分性．lim()lim()x xf x f x A→+∞→-∞==时，0ε∀>，1M∃>，使当1x M>时|()|f x Aε-<；2M∃>，使当2x M<-时|()|f x Aε-<．取12max{}M M M=，，则当x M>或x M<-，即||x M>时，同时有|()|f x Aε-<，所以lim()xf x A→∞=．例1求21lim1x x→∞⎛⎫+⎪⎝⎭．78解 考察函数21()1f x x =+，如图1-21所示．图1-21当x →+∞时，函数211x +无限趋于常数1；当x →-∞时，函数211x +同样无限趋于1，所以 21lim 11x x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 例2 考察函数()arctan f x x =当x →+∞和x →-∞时的极限，并说明它在x →∞时的极限是否存在．解 如图1-22所示，当x →+∞时，函数()arctan f x x =无限趋于常数2π，所以 lim arctan 2x x →+∞π=． 当x →-∞时，函数()arctan f x x =无限趋于常数2π-，所以 lim arctan 2x x →-∞π=-． 由于lim arctan lim arctan x x x x →+∞→-∞≠，所以limarctan x x →∞不存在．9图1-222．自变量趋于有限值时函数的极限对于函数21()1x f x x -=-，()f x 在1x =无意义．当1x ≠时，()1f x x =+，如图1-23和表1-2所示，当1x →时，()2f x →．这样对0ε∀>，要使|()2||1|f x x ε-=-<，定有|1|x -在确定的范围内，即0δε=>，0|1|x δ<-<．ε越小，δ越小，δ由ε确定．这样我们可以得到，当0x x →时，函数()f x 极限的εδ-定义．图1-23表1-2x … 0.9 0.99 0.999 … 1 … 1.001 1.01 1.1 … y… 1.91.991.999… 2 … 2.0012.012.1…定义2 设()f x 在0x 的某个去心邻域o01()U x δ，上有定义，A 为实常数，若对0ε∀>，10()δδδ∃><，当00||x x δ<-<时，|()|f x A ε-<，则称函数()f x 当x 趋于0x 时，以A 为极限，记作lim ()x x f x A →=或0()()f x A x x →→．定义2' 设()f x 在0x 的某个去心右邻域o01()U x δ+，上有定义．A 为一实常数，若对0ε∀>，10()δδδ∃><，当1000||x x δ<-<时，|()|f x A δ-<，则称A 为函数()f x 在x趋于0x +时的右极限，记作lim ()x x f x A +→=或0()()f x A x x +→→．定义2" 设()f x 在0x 的某个去心左邻域o01()U x δ-，上有定义，A 为一实常数，若对0ε∀>，10()δδδ∃><，当00||x x δ<-<时，|()|f x A δ-<，则称A 为函数()f x 在x趋于0x -时的左极限，记作lim ()x x f x A -→=或0()()f x A x x -→→．定理2 0lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔==．证明与定理1类似．例3 设21()31x x f x x x +⎧=⎨<⎩，，，，试判断1lim ()x f x →是否存在．解 先分别求()f x 当1x →时的左、右极限，11lim ()lim33x x f x x --→→==，11lim ()lim(2)3x x f x x ++→→=+=， 因为左、右极限各自存在且相等，所以1lim ()x f x →存在，且1lim ()3x f x →=．⏹ 【学生】理解函数的极限，会计算函数的极限，包括函数在某点的左极限、右极限⏹ 【教师】讲解函数极限的性质定理3（极限的唯一性） 如果0lim ()x x f x →存在，则极限lim ()x x f x →是唯一的．定理4（局部有界性） 如果0lim ()x x f x A →=，则存在常数0M >和0δ>，使得当00||x x δ<-<时，有|()|f x M <．2数列的极限、函数的极限 第 课 11 局部有界性是指函数在0x 的去心邻域o 0()U x δ，内有界．定理5（局部保号性） 设0lim ()x x f x A →=，如果0A >（或0A <），则0δ∃>，使当00||x x δ<-<时，()0f x >（或()0f x <）．推论 如果在0x 的某去心邻域内()0f x （或()0f x ），且0lim ()x x f x A →=，则0A （或0A ）．⏹ 【学生】理解函数极限的性质问题讨论（10 min ） ⏹ 【教师】组织学生讨论以下问题1．证明如下函数极限，并指出这些函数的极限有什么特点？（1）0lim x x C C →=（C 为常数）； （2）00lim x x x x →=； （3）00lim sin sin x x x x →=； （4）00lim cos cos x x x x →=． 2．从函数极限定义的角度考虑，若令()n f n a =，数列极限还可以怎样叙述？3．若对o0()U x δ，，()0f x >，且0lim ()x x f x A →=，是否一定有0A >⏹ 【学生】讨论、发言课堂小结（5 min ） ⏹ 【教师】简要总结本节课的要点本节课学习了数列极限的定义、收敛数列的性质、函数极限的概念、函数极限的性质的相关知识及其应用。
高等数学极限知识点讲解
高等数学极限知识点讲解在数学的学习过程中，极限是一项非常重要且基础的概念。
它是研究函数和数列的性质时经常用到的一个数学工具。
本文将对高等数学中的极限知识点进行系统的讲解，帮助读者更好地理解和掌握这一部分内容。
极限的概念在数学中，极限是研究函数在某一点附近的性质时的重要概念。
简而言之，当自变量趋于某一值时，函数的取值趋于一个确定的值或者无穷大，这个值就是极限。
通常用符号$\\lim$表示，表示当自变量趋于某一点时，函数的极限值。
一元函数的极限对于一元函数f(f)而言，其在f=f处的极限定义如下：$$ \\lim_ {x \\to a} f(x) = L $$其中f是一个常数，表示当f接近f时，f(f)的值趋近于f。
极限的性质重要性质1.极限的唯一性：函数在某一点的极限值唯一。
2.有界性：如果函数在某一点有极限，那么该函数在该点附近是有界的。
3.保号性：如果函数在某一点的左右极限值不相等，那么函数在该点不连续。
极限的运算1.一元函数极限的四则运算法则：两个可导函数的极限和、差、积、商的性质。
2.复合函数的极限：复合函数的极限等于内层函数的极限乘以外层函数的极限。
极限存在的条件极限存在的条件包括分式函数在极限点处不为零、边界点无穷远点等情况。
极限的计算方法无穷小与无穷大的比较当f趋于无穷大时，无穷小量与无穷大量的比较的方法。
夹逼准则夹逼准则是求解一些复杂极限的有效方法，通过找到比所求函数更简单的两个函数界，求出极限。
单调有界准则单调有界准则是判断函数是否有极限的一种方法，如果函数单调有界，那么函数一定有极限。
结语通过本文的讲解，读者应该对高等数学中极限的一些重要知识点有所理解。
极限是数学中的基础概念，对于理解函数的性质和数列的收敛性都有重要的意义。
希望读者能够认真学习并掌握这些知识，为后续的学习打下坚实的基础。
极限的公式总结
极限的公式总结极限是高等数学中的重要概念，它在数学、物理和工程等领域中都有着广泛的应用。
极限的公式可以帮助我们求解一些复杂的问题和优化计算。
在本文中，我们将总结一些常见的极限公式，包括函数极限、无穷极限和级数极限等。
一、函数极限公式1. 一次函数极限：若 f(x) = ax + b（a≠0），则当x→a 时，f(x) 的极限为f(a)=a*a+b。
2. 二次函数极限：若 f(x) = ax² + bx + c（a≠0），则当x→a 时，f(x) 的极限为f(a)=a*a²+b*a+c。
3. 幂函数极限：若 f(x) = x^a（a为实数），则当x→∞ 或x→-∞ 时，f(x) 的极限为：- 若 a > 0，则极限为∞ 或 -∞，具体取决于 x 的正负；- 若 a = 0，则极限为 1；- 若 a < 0，则极限为 0。
4. 指数函数极限：α 为常数，若f(x) = α^x，则当x→∞ 或x→-∞ 时，f(x) 的极限为：- 若α > 1，则极限为∞ 或 0，具体取决于 x 的正负；- 若0 < α < 1，则极限为 0 或∞，具体取决于 x 的正负； - 若α = 1，则极限为 1。
5. 对数函数极限：若f(x) = logₐ(x)（a>0 且a≠1），则当x→0 或x→∞ 时，f(x) 的极限为：- 当 a > 1 时，极限为 -∞ 或∞，具体取决于 x 的趋势；- 当 0 < a < 1 时，极限为∞ 或 -∞，具体取决于 x 的趋势。
6. 三角函数极限：- sin(x) 的极限为 1，当x→0 时；- cos(x) 的极限为 1，当x→0 时；- tan(x) 的极限为∞ 或 -∞，当x→(nπ/2)(n为整数) 时；- cot(x) 的极限为∞ 或 -∞，当x→nπ(n为整数) 时；- sec(x) 的极限为∞ 或 -∞，当x→(2n+1)(π/2)(n为整数) 时； - csc(x) 的极限为∞ 或 -∞，当x→nπ(n为整数) 时。
高等数学系列经典学习资料2.2函数的极限2
x
lim 无穷小：若 x→ x f ( x ) = 0
0
特点: (1+ “ f(x)” )的“ f(x) 的倒数”次方， 则其极限为e.
华东师范大学软件学院xlq
15
计算此类极限问题中常使用指数公式
(i)
a xy = a
( )
x y
= a kx
( )
y k
(ii)
a x = a x + k − k = a x −k ⋅ a k
1 1 = 1 ⋅ ⋅1 = 2 2
华东师范大学软件学院xlq
6
例.
1 求 lim x sin . x x →∞
解:
1 sin 1 x =1 lim x sin = lim x x →∞ 1 x →∞ x
1 lim x sin = 1 x→∞ x
比较:
1 lim x sin = 0 x→0 x
和
华东师范大学软件学院xlq
x ⋅k ⎞k
=e
k
17
华东师范大学软件学院xlq
例. 解:
求 lim (1 −
x→0
k x) x . k x) x
lim (1 −
x→0
=
k lim (1 + (− x)) x x →0
=
1 − ⋅( − k ) lim (1 + (− x)) x x →0
=
1 −k ⎡ − ⎤ lim ⎢(1 + (− x)) x ⎥ x →0
华东师范大学软件学院xlq
3
sin 3 x 例. 求 lim x →0 x
解:
sin 3 x sin 3 x lim = lim 3 ⋅ x →0 x →0 x 3x
第二节 函数极限的定义
x − x0 =
任给 ε > 0, 要使 f ( x ) − A < ε ,
只要 x − x 0 <
x − x0 x − x0 , ≤ x0 x + x0
x 0 ε 且不取负值 . 取δ = min{ x 0 , x 0 ε },
当0 < x − x 0 < δ时,
δ = x0
o o
x0
δ = x0ε
23
[注意] 注意] 求分段函数的极限的方法就是计算它在指定点的 求分段函数的极限的方法就是 计算它在指定点的 左极限和右极限是否存在并且是否相等。 左极限和右极限是否存在并且是否相等。 例如： 例如：判断下列函数在指定点的是否存在极限
x +1, x > 2 x → 2 ⑵ sin x, x < 0 x → 0 ⑴ y = 1 y = 3 x, x > 0 解： x, x < 2 3 ⑴ ∵ lim− y = 2 , lim+ y = 3 ，lim y ≠ lim y
x → x0
x 例8 验证 lim 不存在. x→0 x
x −x lim lim 证 x → −0 = x → −0 x x
= lim ( −1) = −1
x → −0
y
1
o
−1
x
x x lim = lim = lim 1 = 1 x → +0 x → +0 x x+0 x
左右极限存在但不相等, 左右极限存在但不相等 ∴ lim f ( x ) 不存在. x →0
4
[人影长度 ]
考虑一个人沿直线走向路灯 的正下方时其影子的长度． 的正下方时其影子的长度．若目 标总是灯的正下方那一点， 标总是灯的正下方那一点，灯与 地面的垂直高度为 H。由日常生 。 活知识知道，当此人直向目标时， 活知识知道，当此人直向目标时， 其影子长度越短， 其影子长度越短，当人越来越接 近终点（数学上如何描述） 近终点（数学上如何描述）时， 其影子的长度逐渐趋于0（ 其影子的长度逐渐趋于 （ 数学 上如何描述 ）。
高等数学中的极限与函数
高等数学中的极限与函数引言在高等数学的学习过程中，极限与函数是非常重要的概念。
极限是数学中的基础概念之一，而函数则是极限的应用之一。
本教案将重点讲解高等数学中的极限与函数的概念、性质以及应用。
一、极限的概念与性质1.1 极限的定义极限是描述数列或函数趋向于某个确定值的概念。
在数学中，我们用极限来描述数列或函数在某个点或无穷远处的行为。
极限的定义可以分为数列极限和函数极限两种。
1.2 极限的性质极限具有一些重要的性质，包括保号性、局部有界性、唯一性等。
这些性质在数学推导和证明中起到了重要的作用，帮助我们更好地理解和应用极限的概念。
二、函数的极限与连续性2.1 函数的极限函数的极限是指函数在某个点处的极限。
通过函数的极限，我们可以描述函数在某个点的趋势和特性。
函数的极限与数列的极限有着密切的联系，是数学中的重要概念之一。
2.2 函数的连续性函数的连续性是指函数在某个区间上的连续性。
连续函数是数学中非常重要的一类函数，它在实际问题中有着广泛的应用。
函数的连续性与函数的极限密切相关，通过函数的极限可以判断函数的连续性。
三、极限的应用3.1 极限的应用于导数导数是函数在某点处的变化率，是极限的一种应用。
通过求导数，我们可以求出函数的斜率、切线以及函数的最值等重要信息。
导数在物理、经济等领域有着广泛的应用。
3.2 极限的应用于积分积分是函数的反导数，是极限的另一种应用。
通过求积分，我们可以计算曲线下的面积、函数的累积变化等重要信息。
积分在物理、统计学等领域也有着广泛的应用。
结语极限与函数是高等数学中的重要概念，对于学习和应用数学都具有重要意义。
通过深入理解极限与函数的概念、性质以及应用，我们可以更好地掌握高等数学的基本原理和方法。
希望本教案能够帮助学生们更好地理解和应用极限与函数的知识。
高等数学系列教材目录
高等数学系列教材目录第一册：微积分基础1.数集与函数1.1 数集的表示与运算1.2 函数的定义与性质1.3 常用函数及其图像2.极限与连续2.1 数列与极限2.2 函数的极限2.3 连续函数与间断点3.导数与微分3.1 导数的定义与计算3.2 微分的概念与应用3.3 高阶导数与高阶微分4.一元函数的应用4.1 函数的单调性与极值4.2 函数的凹凸性与拐点4.3 泰勒公式及其应用第二册：多元函数微积分1.二元函数与偏导数1.1 二元函数的定义与性质1.2 偏导数与全微分1.3 隐函数与参数方程求导2.多元函数的极值与条件极值2.1 多元函数的极值2.2 隐函数极值与参数方程极值2.3 条件极值与拉格朗日乘子法3.重积分3.1 二重积分的计算3.2 三重积分的计算3.3 积分次序与坐标变换4.曲线与曲面积分4.1 曲线积分的计算4.2 曲面积分的计算4.3 斯托克斯定理与高斯公式第三册：级数与常微分方程1.级数的收敛性与性质1.1 数项级数的概念与性质1.2 正项级数的审敛法1.3 交错级数与绝对收敛2.幂级数与函数展开2.1 幂级数的收敛域与收敛半径 2.2 幂级数的运算与逐项求导2.3 函数的泰勒级数展开3.常微分方程基础3.1 微分方程的基本概念3.2 一阶线性微分方程3.3 高阶线性微分方程4.常微分方程应用4.1 古典物理问题的建模与求解 4.2 生物、经济与工程领域的应用4.3 相图与稳定性分析第四册：向量与解析几何1.向量代数基础1.1 向量的定义与运算1.2 向量的线性相关性与线性无关性1.3 向量的内积与外积2.空间直线与平面2.1 三维空间的点、直线与平面2.2 直线的方向向量与法向量2.3 空间直线与平面的位置关系3.空间曲线与曲面3.1 曲面的参数方程与一阶偏导数 3.2 流形与曲率3.3 空间曲线、曲面与切线法向第五册：数学分析基础1.度量空间与拓扑1.1 度量空间的定义与性质1.2 拓扑空间的概念与特征1.3 开集、闭集与连通性2.泛函分析2.1 功能空间与泛函空间2.2 线性算子与线性泛函2.3 无穷维空间与紧性理论3.微分流形3.1 流形的定义与性质3.2 曲线与曲面的切空间3.3 切向量场与流形上的积分4.测度论基础4.1 测度空间的定义与测度函数4.2 测度的可测性与测度的完备性4.3 测度函数与积分运算这是《高等数学系列教材》的目录，详细介绍了每一册的章节内容。
大学《《高等数学Ⅱ》考试大纲汇总
大学《《高等数学Ⅱ》考试大纲汇总第一部分：总要求考生应按本大纲的要求，了解或理解“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程的基本概念与基本理论；学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。
应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。
第二部分：考试内容一、函数、极限与连续(一)函数1．知识范围(1)函数的概念：函数的定义、函数的表示法、分段函数、隐函数。
(2)函数的简单性质：单调性、奇偶性、有界性、周期性。
(3)反函数：反函数的定义，反函数的图象。
(4)函数的四则运算与复合运算。
(5)基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
(6)初等函数2. 要求(1)理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值。
了解分段函数的概念。
(2)理解函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。
(3)了解函数)(x f y =与其反函数)(1x f y -=之间的关系(定义域、值域、图象)，会求单调函数的反函数。
(4)理解和掌握函数的四则运算与复合运算。
(5)掌握基本初等函数的简单性质及其图象。
(6)了解初等函数的概念。
(7)会建立简单实际问题的函数关系。
(二)极限1．知识范围(1)数列极限的概念：数列，数列的极限。
(2)数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列的极限存在定理。
(3)函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左、右极限及其与极限的关系，x趋于无穷(x→∞，x→+∞，x→-∞)时函数的极限。
(4)函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理。
(5)无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较。
高等数学教材极限讲解
高等数学教材极限讲解在高等数学学习中，极限是一个非常重要的概念。
理解和掌握极限的概念和计算方法对于学习其他数学分支，特别是微积分，有着至关重要的作用。
本文将对高等数学教材中关于极限的内容进行讲解，以帮助读者更好地理解和应用极限概念。
一、极限的定义在高等数学中，极限的定义是：对于一个函数f(x)，当自变量x无限接近一个特定的值a时，即x趋近于a，函数的输出值f(x)也趋近于一个特定的值L。
这个值L就是函数f(x)在x趋近于a时的极限，记作：lim[f(x)](x→a) = L。
举个例子，考虑函数f(x) = 2x + 1。
当x趋近于2时，函数f(x)的值也会趋近于5。
因此，我们可以说lim[2x+1](x→2) = 5。
二、极限的性质高等数学教材中还介绍了一些关于极限的基本性质，如以下几点：1. 极限的唯一性：如果函数f(x)在x趋近于a时有极限L，则这个极限是唯一确定的。
2. 四则运算法则：对于两个函数f(x)和g(x)，在它们的极限存在的情况下，存在以下四则运算法则：(1) 两个函数的和（差）的极限等于它们各自极限的和（差）：lim[f(x)±g(x)](x→a) = lim[f(x)](x→a) ± lim[g(x)](x→a)。
(2) 两个函数的积的极限等于它们各自极限的乘积：lim[f(x)g(x)](x→a) = lim[f(x)](x→a) · lim[g(x)](x→a)。
(3) 一个函数与一个常数的乘积的极限等于函数的极限与常数的乘积：lim[cf(x)](x→a) = c · lim[f(x)](x→a)。
(4) 一个函数与一个有界函数的乘积的极限等于函数的极限与有界函数的乘积：lim[f(x)·h(x)](x→a) = lim[f(x)](x→a) · lim[h(x)](x→a)。
3. 夹逼准则：如果函数f(x)、g(x)和h(x)满足在某一区间内，对于所有的x，有f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)，并且lim[f(x)](x→a) = lim[h(x)](x→a) = L，那么lim[g(x)](x→a)也等于L。
高等数学极限知识点总结
高等数学极限知识点总结
以下是高等数学极限知识点总结：
1. 极限的定义：极限是描述函数在某一点的行为的数学工具。
它包括数列的极限和函数的极限。
2. 极限的性质：包括唯一性，有界性，和收敛性。
3. 极限的四则运算法则：如果lim f(x)，lim g(x)存在，那么对于加减乘除四种运算，极限都存在。
4. 极限的夹逼定理：如果一个数列被两个已知极限的数列夹在中间，那么这个数列的极限就是这两个数列的极限。
5. 函数极限的运算法则：如果lim f(x)存在，那么lim [f(x) + c] = lim f(x) + lim c，lim [f(x) c] = lim f(x) lim c，其中c是一个常数。
6. 无穷小和无穷大的概念：无穷小是一个趋于0的变量，无穷大是一个趋于无穷的变量。
7. 洛必达法则：当分子和分母的极限都存在时，可以求出函数的极限。
8. 泰勒级数：将一个函数表示为其各阶导数的无限和的方法。
9. 单侧极限和双侧极限：函数在某一点的单侧极限是指函数在该点的左侧或右侧的极限；双侧极限是指函数在这一点左侧和右侧的极限。
10. 连续性和可微性：如果一个函数在某一点的极限值等于该点的函数值，则称该函数在该点连续；如果一个函数在某一点的导数存在，则称该函数在该点可微。
以上就是高等数学极限的基本知识点，希望对你有所帮助。
函数的极限
趋于 1，所以
limxBiblioteka 11 x21．
1.1 函数极限的概念
例 2 考察函数 f (x) arctan x 当 x 和 x 时的极限，并说明它在 x 时的极限是否存在．
解 如图所示，当 x 时，函数 f (x) arctan x 无限趋于常数 ， 2
所以 lim arctan x ．
x 时， f (x) 极限的 M 定义． 定 义 1 设 f (x) 在 (a ， ) 上 有 定 义 ， A 为 实 常 数 ， 若 对 0 ，
M 0 (M | a |) ，当 x M 时，有 | f (x) A | ，则称函数 f (x) 当 x 趋于 时， 以 A 为极限，记为
1.1 函数极限的概念
定 义 1' 设 f (x) 在 ( ，a) 上 有 定 义 ， A 为 实 常 数 ， 若 对 0 ， M 0 (M a) ，当 x M 时，| f (x) A| ，则称函数 f (x) 当 x 时，以 A
为极限，记为
lim f (x) A或 f (x) A (x ) ．
lim f (x) lim 3x 3 ， lim f (x) lim(x 2) 3，
x1
x1
x1
x1
因为左、右极限各自存在且相等，所以 lim f (x) 存在，且 lim f (x) 3 ．
x1
x1
综上，我们讨论了当 x ，x ，x ，x x0 ，x x0 ，x x0 六 种情况时，函数 f (x) 的极限．
x M ，即 | x | M 时，同时有| f (x) A| ，所以 lim f (x) A ． x
1.1 函数极限的概念
例1
求
lim
x
1
高等数学中函数极限的求法技巧解析
高等数学中函数极限的求法技巧解析【摘要】高等数学中函数极限是一个重要的概念，在数学领域有着广泛的应用。
本文首先介绍了函数极限的基本概念，包括函数极限的定义和性质。
然后详细解析了函数极限的求法技巧，包括利用代数运算、夹逼准则等方法。
通过例题详解，读者可以更好地理解函数极限的求解过程。
对常用方法进行总结，为读者提供了解题的指导。
在我们对本文内容进行了总结归纳，并展望了函数极限在未来的研究方向。
通过本文的阐述，读者可以更深入地了解函数极限，并掌握有效的求解方法。
【关键词】高等数学、函数极限、求法技巧、大纲、引言、基本概念、性质、例题、常用方法、总结、结论、展望未来1. 引言1.1 引言概述函数极限是高等数学中一个非常重要的概念，它在微积分以及其他数学领域中都有着广泛的应用。
函数极限的求法技巧在数学学习中起着至关重要的作用，它不仅能够帮助我们更深入地理解函数的性质，还能够帮助我们解决复杂的数学问题。
本文将通过对函数极限的基本概念解析、性质分析、求法技巧探讨、例题详解以及常用方法总结，来帮助读者更好地掌握函数极限的求解方法，提高数学分析能力。
通过本文的学习，读者将能够深入了解函数极限的定义及其性质，掌握函数极限的求法技巧和方法，通过例题的讲解来加深对函数极限相关知识的理解，最终能够总结出常用的函数极限求解方法，并能够灵活运用于数学问题的解决中。
本文的内容将为读者提供一个全面而系统的函数极限学习平台，为提高数学分析能力和解题水平提供有力支持。
1.2 研究意义函数极限是高等数学中非常重要的一个概念，它在许多数学问题和实际应用中都起着至关重要的作用。
函数极限的研究意义主要包括以下几个方面：函数极限是建立数学分析的基础。
在数学分析的学习中，函数极限是最基本的概念之一，它是后续学习微积分和实变函数等内容的前提。
只有深入理解和掌握函数极限的求法技巧，才能更好地理解微积分的相关知识。
函数极限在研究数学问题和物理问题中具有广泛的应用。
高等数学第二册教材答案
高等数学第二册教材答案解答：第一章：函数与极限1.1 函数的基本概念和性质1.2 极限的定义和性质1.3 极限的运算法则1.4 函数的连续性第二章：导数与微分2.1 导数的定义2.2 函数的导数与可导性2.3 常用函数的导数2.4 高阶导数与高阶微分2.5 隐函数的导数与高阶导数第三章：微分中值定理与导数的应用3.1 罗尔中值定理3.2 拉格朗日中值定理3.3 柯西中值定理3.4 导数的应用：函数的单调性与极值第四章：不定积分4.1 不定积分的定义4.2 基本积分公式与换元积分法4.3 分部积分法4.4 有理函数的积分4.5 特殊函数的积分第五章：定积分5.1 定积分的概念与性质5.2 反常积分5.3 微积分基本定理5.4 定积分的换元法5.5 定积分的分部积分法5.6 定积分的应用：几何应用与物理应用第六章：定积分的几何应用6.1 曲线的弧长与曲面的面积6.2 平面区域的面积第七章：多元函数微分学7.1 多元函数的定义与极限7.2 偏导数与全微分7.3 隐函数的偏导数与全微分7.4 多元函数的极值与条件极值第八章：多元函数积分学8.1 重积分的概念与性质8.2 二重积分的计算8.3 三重积分的计算8.4 曲线积分和曲面积分第九章：无穷级数9.1 数项级数的概念与性质9.2 收敛级数的性质9.3 幂级数与函数展开9.4 函数的傅里叶级数展开第十章：常微分方程10.1 微分方程的基本概念与解的存在唯一性10.2 一阶线性微分方程10.3 可降阶的高阶微分方程10.4 齐次线性微分方程与常系数齐次线性微分方程10.5 非齐次线性微分方程与常系数非齐次线性微分方程以上是高等数学第二册教材各章节的答案。
希望能帮助你更好地理解和应用数学知识。