例析函数模型的应用

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函数模型及其应用

函数模型及其应用1.几类函数模型2.三种函数模型的性质概念方法微思考请用框图概括解函数应用题的一般步骤. 提示解函数应用题的步骤题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.( × )(2)函数y ＝2x 的函数值比y ＝x 2的函数值大.( × ) (3)不存在x 0，使0xa <x n 0<log a x 0.( × )(4)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a ·b x ＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)增长速度越来越快的形象比喻.( × )题组二教材改编2.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( )A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1B.结余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D.前6个月的平均收入为40万元答案 D解析由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A 正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B 正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C 正确；由题图可知，前6个月的平均收入为16×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D 错误.3.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元).一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为万件. 答案 18解析利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值.4.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为 . 答案 3解析设隔墙的长度为x (0<x <6)，矩形面积为y ，则y ＝x ×24－4x2＝2x (6－x )＝－2(x －3)2＋18，∴当x ＝3时，y 最大.5.一枚炮弹被发射后，其升空高度h 与时间t 的函数关系为h ＝130t －5t 2，则该函数的定义域是 . 答案 [0,26]解析令h ≥0，解得0≤t ≤26，故所求定义域为[0,26]. 题组三易错自纠6.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 . 答案(p ＋1)(q ＋1)－1解析设年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(1＋p )(1＋q )， ∴x ＝(1＋p )(1＋q )－1.7.已知某种动物繁殖量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到只. 答案 200解析由题意知100＝a log 3(2＋1)，∴a ＝100， ∴y ＝100log 3(x ＋1).当x ＝8时，y ＝100log 39＝200.题型一用函数图像刻画变化过程1.高为H ，满缸水量为V 的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h 时水的体积为v ，则函数v ＝f (h )的大致图像是( )答案 B解析v＝f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.2.设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图像为()答案 D解析y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.3.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是()A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多C.甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油答案 D解析根据图像所给数据，逐个验证选项.根据图像知，当行驶速度大于40千米/时时，消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C 错；最高限速80千米/时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D 对. 思维升华判断函数图像与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图像. (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图像的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案. 题型二已知函数模型的实际问题例1 (1)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为分钟.答案 3.75解析根据图表，把(t ，p )的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，消去c 化简得⎩⎪⎨⎪⎧7a ＋b ＝0.1，9a ＋b ＝－0.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－15⎝⎛⎭⎫t 2－152t ＋22516＋4516－2＝－15⎝⎛⎭⎫t －1542＋1316，所以当t ＝154＝3.75时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟.(2)某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，销售量为Q 件，则销售量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( ) A.30元 B.60元 C.28 000元 D.23 000元答案 D解析设毛利润为L(p)元，则由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8 300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去).当p∈(0,30)时，L′(p)>0，当p∈(30，＋∞)时，L′(p)<0，故L(p)在p＝30时取得极大值，即最大值，且最大值为L(30)＝23 000.思维升华求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.(3)利用该模型求解实际问题.跟踪训练1(1)拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m>0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为元.答案 4.24解析∵m＝6.5，∴[m]＝6，则f(6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.(2)某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－120Q2，则总利润L(Q)的最大值是万元. 答案 2 500解析L(Q)＝40Q－120Q 2－10Q－2 000＝－120Q2＋30Q－2 000＝－120(Q－300)2＋2 500.则当Q＝300时，L(Q)的最大值为2 500万元.题型三构建函数模型的实际问题命题点1构造一次函数、二次函数模型例2(1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)之间的关系由如图所示的一次函数图像确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为kg.答案 19解析由图像可求得一次函数的解析式为y ＝30x －570，令30x －570＝0，解得x ＝19. (2)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )A.y ＝2x －2B.y ＝12(x 2－1)C.y ＝log 2xD.y ＝12log x答案 B解析由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y 的变化随x 的增大而增大的越来越快，分析选项可知B 符合，故选B.命题点2 构造指数函数、对数函数模型例3 一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？解 (1)设每年降低的百分比为x (0<x <1)，则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－11012⎛⎫⎪⎝⎭. (2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则a (1－x )m ＝22a ，即1012m ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1212⎛⎫ ⎪⎝⎭，即m 10＝12，解得m ＝5. 故到今年为止，该森林已砍伐了5年. 引申探究若本例的条件不变，试计算：今后最多还能砍伐多少年？解设从今年开始，以后砍了n 年，则n 年后剩余面积为22a (1－x )n . 令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24， 1012n ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥3212⎛⎫⎪⎝⎭，即n 10≤32，解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年. 命题点3 构造y ＝x ＋ax(a >0)型函数例4 (1)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (万元)与营运年数x 的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为.答案 5解析根据图像求得y ＝－(x －6)2＋11， ∴年平均利润yx＝12－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ， ∵x ＋25x ≥10，当且仅当x ＝5时等号成立.∴要使平均利润最大，客车营运年数为5.(2)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 3 平方米，且高度不低于 3 米.记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米.要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x ＝米.答案 2 3解析由题意可得BC ＝18x －x2(2≤x <6)，∴y ＝18x ＋3x 2≥218x ×3x2＝6 3. 当且仅当18x ＝3x2(2≤x <6)，即x ＝23时等号成立.命题点4 构造分段函数模型例5 已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为R (x )万美元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x－40 000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万只)的函数解析式；(2)当年产量为多少万只时，该公司在该款手机的生产中所获得的年利润最大？并求出最大年利润.解 (1)当0<x ≤40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－6x 2＋384x －40，当x >40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－40 000x －16x ＋7 360.所以W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40 000x －16x ＋7 360，x >40.(2)①当0<x ≤40时，W ＝－6(x －32)2＋6 104，所以W max ＝W (32)＝6 104；②当x >40时，W ＝－40 000x －16x ＋7 360，由于40 000x＋16x ≥240 000x×16x ＝1 600，当且仅当40 000x ＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，取等号，所以W 取最大值5 760.综合①②，当年产量为32万只时，W 取最大值6 104万美元.思维升华构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制.跟踪训练2 (1)某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤次才能达到市场要求.(参考数据：lg2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 答案 8解析设至少过滤n 次才能达到市场要求，则2%⎝⎛⎭⎫1－13n ≤0.1%，即⎝⎛⎭⎫23n ≤120，所以n lg 23≤－1－lg 2，所以n ≥7.39，所以n ＝8.(2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R (元)与门面经营天数x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x >400，则当总利润最大时，该门面经营的天数是 . 答案 300解析由题意，总利润y ＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2－100x －20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x >400，当0≤x ≤400时，y ＝－12(x －300)2＋25 000，所以当x ＝300时，y max ＝25 000；当x >400时，y ＝60 000－100x <20 000.综上，当门面经营的天数为300时，总利润最大为25 000元.用数学模型求解实际问题数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包括从数量，图形关系中抽象出数学概念，并且用数学符号和术语予以表征.例 (1)调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定，驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg /mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时50%的速度减少，则至少经过小时他才可以驾驶机动车.(精确到小时) 答案 4解析设n 小时后他才可以驾驶机动车，由题意得3(1－0.5)n ≤0.2，即2n ≥15，故至少经过4小时他才可以驾驶机动车.(2)已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3 000元时，这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租.设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设没有出租的房子不需要花这些费用)，则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为元. 答案 3 300解析设利润为y 元，租金定为3 000＋50x (0≤x ≤70，x ∈N )元.则y ＝(3 000＋50x )(70－x )－100(70－x )＝(2 900＋50x )(70－x )＝50(58＋x )(70－x )≤50⎝⎛⎭⎫58＋x ＋70－x 22，当且仅当58＋x ＝70－x ，即x ＝6时，等号成立，故每月租金定为3 000＋300＝3 300(元)时，公司获得最大利润.素养提升例题中通过用字母表示变量，将酒后驾车时间抽象为不等式问题，将租房最大利润抽象为函数的最值问题.1.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图像正确的是( )答案 A解析前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A ，C 图像符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.2.某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程. 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( )A.6升B.8升C.10升D.12升答案 B解析 5月1日到5月15日，汽车行驶了35 600－35 000＝600(千米)，实际耗油48升，所以该车每100千米平均耗油量为486＝8(升).3.将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为( ) A.85元 B.90元 C.95元 D.100元答案 C解析设每个售价定为x 元，则利润y ＝(x －80)[400－(x －90)·20]＝－20·[(x －95)2－225]，∴当x ＝95时，y 最大.4.国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p %，超过280万元的部分按(p ＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p ＋0.25)%，则该公司的年收入是( ) A.560万元 B.420万元 C.350万元 D.320万元答案 D解析设该公司的年收入为x 万元(x >280)，则有280×p %＋(x －280)(p ＋2)%x ＝(p ＋0.25)%，解得x ＝320.故该公司的年收入为320万元.5.某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( ) A.2017年 B.2018年 C.2019年 D.2020年答案 D解析设从2016年起，过了n (n ∈N ＋)年该民企全年投入的研发资金超过200万元，则130×(1＋12%)n ≥200，则n ≥lg2013lg 1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，由题意取n ＝4，则n ＋2 016＝2 020.故选D.6.某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m 3的，按每立方米m 元收费；用水超过10 m 3的，超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( ) A.13 m 3 B.14 m 3 C.18 m 3D.26 m 3答案 A解析设该职工用水x m 3时，缴纳的水费为y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ，0<x ≤10，10m ＋(x －10)·2m ，x >10，则10m ＋(x －10)·2m ＝16m ，解得x ＝13.7.某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是小时. 答案 24解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e b＝192，e 22k ＋b ＝48，∴e 22k ＝48192＝14，∴e 11k ＝12，∴x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b ＝⎝⎛⎭⎫123·192＝18×192＝24(小时). 8.某人根据经验绘制了2018年春节前后，从12月21日至1月7日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图像，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿千克.答案1909解析前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得⎩⎪⎨⎪⎧10＝k ＋b ，30＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.9.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为 m.答案 20解析设内接矩形另一边长为y m ，则由相似三角形性质可得x 40＝40－y40，解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0<x <40)，所以当x ＝20时，S max ＝400.10.“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数)，广告效应为D ＝a A －A .那么精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为 .(用常数a 表示) 答案 14a 2解析令t ＝A (t ≥0)，则A ＝t 2， ∴D ＝at －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －12a 2＋14a 2， ∴当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D 取得最大值.11.某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v km/h 的速度直达灾区，已知某市到灾区公路线长400 km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于⎝⎛⎭⎫v202 km ，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是 h.(车身长度不计) 答案 12解析设全部物资到达灾区所需时间为t h ，由题意可知，t 相当于最后一辆车行驶了⎣⎡⎦⎤36×⎝⎛⎭⎫v 202＋400 km 所用的时间，因此，t ＝36×⎝⎛⎭⎫v 202＋400v ≥12，当且仅当36v 400＝400v ，即v ＝2003时取“＝”.故这些汽车以2003km/h 的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间为12 h.12.一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v 的平方成正比，且比例系数为k ，除燃料费外其他费用为每小时96元.当速度为10海里/时时，每小时的燃料费是6元.若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为海里/时时，总费用最小. 答案 40解析设每小时的总费用为y 元，则y ＝k v 2＋96，又当v ＝10时，k ×102＝6，解得k ＝0.06，所以每小时的总费用y ＝0.06v 2＋96，匀速行驶10海里所用的时间为10v 小时，故总费用为W ＝10v y ＝10v (0.06v 2＋96)＝0.6v ＋960v ≥20.6v ×960v ＝48，当且仅当0.6v ＝960v ，即v ＝40时等号成立.故总费用最小时轮船的速度为40海里/时.13.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b (b >a )以及实数x (0<x <1)确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a ).这里，x 被称为乐观系数.经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项.据此可得，最佳乐观系数x ＝ . 答案5－12解析由题意得x ＝c －ab －a ，(c －a )2＝(b －c )(b －a )，∵b －c ＝(b －a )－(c －a )， ∴(c －a )2＝(b －a )2－(b －a )(c －a )，两边同除以(b －a )2，得x 2＋x －1＝0，解得x ＝－1±52.∵0<x <1，∴x ＝5－12. 14.某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会.据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到(15－0.1x )万套.现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格，问：(1)每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？ (2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？解 (1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，此时每套供货价格为30＋105＝32(元)，书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元).(2)每套丛书售价定为x 元时，由⎩⎪⎨⎪⎧15－0.1x >0，x >0，解得0<x <150. 依题意，单套丛书利润 P ＝x －⎝⎛⎭⎫30＋1015－0.1x＝x －100150－x－30，所以P ＝－⎣⎡⎦⎤(150－x )＋100150－x ＋120.因为0<x <150，所以150－x >0，则(150－x )＋100150－x≥2(150－x )·100150－x＝2×10＝20，当且仅当150－x ＝100150－x，即x ＝140时等号成立，此时，P max＝－20＋120＝100.所以每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元.15.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t (单位：min)后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )12th⎛⎫⎪⎝⎭，其中T a 称为环境温度，h 称为半衰期.现有一杯用85 ℃热水冲的速溶咖啡，放在21 ℃的房间中，如果咖啡降到37 ℃需要16 min ，那么这杯咖啡要从37 ℃降到29 ℃，还需要 min. 答案 8解析由题意知T a ＝21 ℃. 令T 0＝85 ℃，T ＝37 ℃，得37－21＝(85－21)·1612h⎛⎫⎪⎝⎭，∴h ＝8. 令T 0＝37 ℃，T ＝29 ℃，则29－21＝(37－21)·812t ⎛⎫⎪⎝⎭，∴t ＝8. 16.某禁毒机构测定，某种毒品服用后每毫升血液中的含毒量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线.(1)写出服用毒品后y 与t 之间的函数关系式；(2)据进一步测定，每毫升血液中含毒量不少于0.50微克时会有重度躁动状态，求服用毒品后重度躁动状态的持续时间.解 (1)由题中图像，设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －a ，t >1.当t ＝1时，由y ＝4，得k ＝4；由⎝⎛⎭⎫121－a＝4，得a ＝3. 所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －3，t >1.(2)由y ≥0.50，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤t ≤1，4t ≥0.50或⎩⎪⎨⎪⎧t >1，⎝⎛⎭⎫12t －3≥0.50，解得18≤t ≤4，因此服用毒品后重度躁动状态持续4－18＝318(小时).。

3.2.2 函数模型的应用举例

3.2.2 函数模型的应用举例
教学目标
1 能够写出函数解析式，确定函数模型； 2 能利用数据表格、函数图像讨论模型 3 注意限制条件，选出正确的函数模型
教学重难点
1用函数思想解决实际问题 2确定函数模型及利用表格，图象等讨论函数模型
教学方法
自主求学式
问题
王老师今天从市中心到梅中上课，来的时候坐了出租车。我们知道无锡出租车的价格，凡上车起步价为8元，行程不超过3km者均按此价收费，行程超过3km，按1.8元/km收费。市中心到梅中的路程是 25公里，问王老师今天坐车用了多少钱？市中心到梅中的路程是 x公里，问王老师今天坐车会用多少钱？
例3.为保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地矩形 ABCD（如下图所示）上规划出一块矩形地面建造住宅区小公园 POCR（公园的两边分别落在BC和CD上），但不能超过文物保护三角形AEF的红线EF．问如何设计才能使公园占地面积最大？并求出最大面积．已知AB＝CD＝200m，BC＝AD＝160m， AE＝60m，AF＝40m． 120≤x≤160 解析：设PR＝x m，
0
A
时间
0
B
时间
0
C
时间
0
D
时间
c对应的参考事件：我出发后感到时间较紧，所以加速前进，后来发现时间还很充裕，于是放慢了速度。
例题讲解
例1
某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：
销售单价/元日均销售量/桶
6 480
7
440
小结：
1.解题四步骤：设、列、解、答. 2.解题过程：从问题出发，引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义做出回答. 即建立数学模型，并推理演算求出数学模型的解，再结合实际做出回答.

高三数学高考中常用函数模型归纳及应用

○高○考中常用函数模型．．．．归纳及应用山东莘县观城中学郭银生岳红霞高中数学中，函数是重点内容，函数思想贯穿于数学的每一个领域，函数图象是数形结合的常用工具。

复杂的函数问题也是有简单的基本初等函数组合而成，熟练掌握常见的函数模型对解决函数综合问题大有裨益。

高考试题中，函数问题是“大块头”，各套试题所占比重在30%以上。

现归纳常用的函数模型及其常见应用如下：一．常数函数y=a判断函数奇偶性最常用的模型，a=0时，既是奇函数，又是偶函数，a ≠0时只是偶函数。

关于方程解的个数问题时常用。

例1．已知x ∈(0, π],关于方程2sin(x+3π)=a 有两个不同的实数解，则实数a 的取植范围是（）A ．[-2，2] B.[3,2] C.( 3,2] D.( 3,2)解析；令y=2sin(x+3π), y=a 画出函数y=2sin(x+3π)，y=a 图象如图所示，若方程有两个不同的解，则两个函数图象有两个不同的交点，由图象知( 3,2)，选D二．一次函数y=kx+b (k ≠0)函数图象是一条直线，易画易分析性质变化。

常用于数形结合解决问题，及利用“变元”或“换元”化归为一次函数问题。

有定义域限制时，要考虑区间的端点值。

例2．不等式2x 2+1≤m(x-1)对一切│m │≤2恒成立，则x 的范围是（）A ．-2≤x ≤2 B.431- ≤x ≤0 C.0≤x ≤471+ D. 471-≤x ≤413-解析：不等式可化为m(x-1)- 2x 2+1≥0设f(m)= m(x-1)- 2x 2+1若x=1, f(m)=-3＜0 (舍) 则x ≠1则f(m)是关于m 的一次函数，要使不等式在│m │≤2条件下恒成立，只需⎩⎨⎧≥-≥0)2(0)2(f f ，解之可得答案D 三．二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)二次函数是应用最广泛的的函数，是连接一元二次不等式和一元二次方程的纽带。

函数模型的应用实例课件

解：由题意，知将产量随时间变化的离散量分别抽象为 A(1，1)，B(2，1.2)，C(3，1.3)，D(4，1.37)这 4 个数据．
(1)设模拟函数为 y＝ax＋b 时，将 B，C 两点的坐标代入函数式，得32aa＋＋bb＝＝11..32，，解得ab＝＝01..1，
所以有关系式 y＝0.1x＋1. 由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下，产量会每月上升 1 000 双，这是不太可能的．
过筛选，以指数函数模型为最佳，一是误差小，二是由于厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而该指数函数模拟恰好反映了这种趋势．因此选用指数函数 y＝－0.8×0.5x＋1.4 比较接近客观实际．
类型 3 建立拟合函数解决实际问题(规范解答) [典例 3] (本小题满分 12 分)某个体经营者把开始六个月试销 A、B 两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列成下表：
(3)设模拟函数为 y＝abx＋c 时，
将 A，B，C 三点的坐标代入函数式，
得aabb2＋＋cc＝＝11，.2，
① ②
ab3＋c＝1.3. ③
由①，得 ab＝1－c，代入②③，
得bb2（（11－－cc））＋＋cc＝＝11.2.3，.
则cc＝＝1111..32－－－－bbbb22，，解得bc＝＝10..45.，则 a＝1－b c＝－0.8. 所以有关系式 y＝－0.8×0.5x＋1.4. 结论为：当把 x＝4 代入得 y＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35. 比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性．经
设 y＝kx＋b，取点(1，0.30)和(4，1.20)代入，得01..32＝＝k4＋ k＋b， b，解得kb＝＝00..3，所以 y＝0.3x.(8 分) 设第 7 个月投入 A，B 两种商品的资金分别为 x 万元、 (12－x)万元，总利润为 W 万元，那么 W＝yA＋yB＝－0.15(x－4)2＋2＋0.3(12－x)．所以 W＝－0.15(x－3)2＋0.15×9＋3.2.(10 分) 当 x＝3 时，W 取最大值，约为 4.55 万元，此时 B 商品的投资为 9 万元．(11 分)

3.2.2_函数模型的应用举例(1)

[精解详析] (1)当 0<x≤100 时，P＝60；
当 100<x≤500 时，P＝60－0.02(x－100)，所以 P＝f(x)＝62－5x0， 100<x≤500， (x∈N*)．
(6 分)
(2)设销售商一次订购量为 x 件时，工厂获得的利润为 L 元则，
返回
该经营者准备下月投入12万元经营这两种商品，但不知投资A、B两种商品各多少才最合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润．(结果保留两个有效数字)
[思路点拨] 先画出投资额与获利的图像，再选择函数模型．
返回
[精解详析] 设投资额为x万元时，获得的利润为y万元．在直角坐标系中画出散点图并依次连接各点，如图所示，观察散点图可知图像接近直线和抛物线，因此可考虑用二次函数描述投资A种商品的利润y万元与投资额x万元之间的函数关系；用一次函数描述投资 B种商品的利润y万元与投资额x万元之间的函数关系．
解析：(1)由图象可知，当 t≤3 时，电话费都是 3.6 元． (2)由图象可知，当 t＝5 时，y＝6，需付电话费 6 元． (3)当 t≥3 时，y 关于 x 的图象是一条直线，且经过(3,3.6) 和(5,6)两点，故设函数关系式为 y＝kt＋b，则35kk＋＋bb＝＝36.，6，解得kb＝＝10..2，故 y 关于 t 的函数关系式为 y＝1.2t(t≥3)
1.如图所示，这是某电信局规定的打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象，根据图象填空： (1)通话2分钟，需要付电话费__________元； (2)通话5分钟，需要付电话费________元； (3)如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为____________．

一次函数、二次函数、幂函数模型的应用实例

2.5 t 3.5,
150 50(t 3.5), 3.5 t 6.5.
它的图象如图：
2
车速v(km/h)与时间t(h)的函数关系式为：
60, v 0,
50,
它的图象如图：
0 t 2.5, 2.5 t 3.5, 3.5 t 6.5.
思路分析：完成全部任务的时间就是两组中需要用时较多的那组所用时间，因此要想最快完成任务，两组所用时间之差应为0或最小。
5
解：设x名工人制作课桌，(30 名x)工人制作椅子，
由题意知，一个工人制作一张课桌与制作一把椅子用时之比为10：7，则一个工人制7张桌子和制作10把椅子所用时间相等，不妨设为1个时间单位，那么
7 13
g(13)
200
1.18
10(30 13)
所以 t(13) 1.18
因为 t(12) t(13)
所以 x 1时3用时最少。
答：用13名工人制作课桌,17名工人制作椅子完成任务最快。
8
3
练习：某人如果将进货价为8元的商品按每件10元售出时
每天可销售50件,现在他采用提高价格销售,减少进货量的办法增加利润,己知商品每件售价每提高1元,其日销售量就减少5件,为使每天赚得的利润最大,该商品的定价应为多少元?
为使每天赚得的利润最大,该商品的定价应为14元.
4
例3:某车间有30名木工，要制作200把椅子和100张课桌，已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时之比为10：7，问30名工人应当如何分组（一组制作课桌，另一组制作椅子），才能保证完成全部任务最快？
解函数应用题的方法和步骤： 1．审题:（1）设出未知量;（2）找出量与量的关系. 2．建摸:建立函数关系式. 3．求解:用数学方法解出未知量.

函数模型的应用实例教案

函数模型的应用实例教案教案：函数模型的应用实例一、课程背景在数学教学中，函数是一个非常重要的概念，在实际生活中也有许多应用。

函数模型是数学中一种常用的模型方法，它可以很好地描述和解决一些实际问题。

本课程将以函数模型的应用实例为切入点，帮助学生理解函数模型的概念和运用方法。

二、教学目标1.知识与能力目标：-理解函数模型的基本概念；-掌握函数模型的建立方法；-运用函数模型解决实际问题。

2.过程与方法目标：-引导学生发现问题和解决问题的方法；-培养学生的创新思维和实际应用能力；-培养学生的合作学习和表达能力。

3.情感态度和价值观目标：-培养学生对数学的兴趣和热爱；-培养学生的团队协作和分享精神；-培养学生的实际问题解决能力。

三、教学过程1.引入（10分钟）-介绍函数的概念和作用，以及函数模型在实际中的应用；-分享一个有关函数模型的实际问题，如汽车行驶的距离与时间的关系。

2.探究（20分钟）- 提出一个问题：假设一辆汽车以60km/h的速度行驶，行驶时间为t小时，求行驶的距离d；-学生们自主讨论解决此问题的思路和方法；-指导学生建立函数模型：行驶距离d与行驶时间t之间的关系可以用函数d(t)表示，其中d(t)=60t。

3.拓展（30分钟）-提出更多有关函数模型的实际问题，如货物运输成本与距离的关系、人口增长与时间的关系等；-学生们自主讨论解决这些问题的方法，并建立相应的函数模型；-学生们分为小组，互相分享并比较各自的解决方法和函数模型。

4.总结（15分钟）-引导学生总结函数模型的建立方法：观察题目中的各种因素，确定变量及其之间的关系，建立函数模型；-引导学生总结函数模型的应用领域：经济、物理、生物等各个领域均有函数模型的应用。

5.展示（20分钟）-邀请几个学生上台演示他们解决实际问题的步骤和函数模型；-学生们展示自己的函数模型，分享成功的经验和困惑；-整理和归纳学生们的展示内容，进行点评和讨论。

六、教学评价1.形成性评价：观察学生的探究过程和成果，给予及时的反馈和指导；2.自评和互评：学生们根据课堂表现、参与度和拓展能力进行自我评价和互评；3.总结性评价：布置作业，让学生运用函数模型解决其他实际问题，并提交书面报告。

指数型、对数型函数模型的应用举例课件

类型三：数据拟合函数的应用例3 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表
身高 (cm) 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 体重 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 (kg)
⑴根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式．
⑵若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这一地区一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？
指数型、对数型函数模型的应用举例
1.指数函数模型 (1)表达形式：_f_(_x_)_=_a_b_x+_c_._ (2)条件：a,b,c为常数，a≠0,b>0,b≠1. 2.对数函数模型 (1)表达形式：f_(_x_)_=_m_l_o_g_a_x_+_n_. (2)条件：m,n,a为常数，m≠0,a>0,a≠1.
解：1期后本利和为：y1 a a r a(1 r)
2期后本利和 y2 a(1 r)2
为：
……
x期后，本利和为：yx a(1 r)x
将a=1 000元，r=2.25%，x=5代入上式：
y5 1 000 (1 2.25%)5 1 0001.022 55
由计算器算得：y≈1 117.68（元）
分析：(1)根据上表的数据描点画出图象（如下）
(2)观察这个图象，发现各点的连线是一条向上弯曲的曲线，根据这些点的分布情况，我们可以考虑用函数y=a•bx来近似反映.

《函数模型的应用实例》教案

《函数模型的应用实例》教案一、教学目标1. 理解函数模型在实际问题中的应用。

2. 学会构建函数模型解决实际问题。

3. 培养学生的数学建模能力和创新思维。

二、教学内容1. 函数模型概述2. 常见函数模型及其应用3. 函数模型的构建方法4. 函数模型在实际问题中的应用案例分析5. 函数模型的评估与优化三、教学重点与难点1. 教学重点：函数模型在实际问题中的应用，函数模型的构建方法。

2. 教学难点：函数模型的评估与优化。

四、教学方法1. 案例分析法：通过实际问题案例，引导学生学会构建函数模型解决问题。

2. 讨论法：分组讨论，分享不同函数模型在实际问题中的应用。

3. 实践操作法：让学生动手实践，优化函数模型。

五、教学准备1. 教学PPT2. 实际问题案例及解决方案3. 计算机软件（如MATLAB、Excel等）4. 练习题教案内容示例：第一课时：函数模型概述1. 导入：介绍函数模型在实际生活中的应用，如线性规划、最优化问题等。

2. 讲解：讲解函数模型的概念、特点和分类。

3. 案例分析：分析实际问题案例，引导学生理解函数模型。

4. 练习：让学生练习构建简单的函数模型。

第二课时：常见函数模型及其应用1. 导入：介绍常见函数模型，如线性函数、二次函数等。

2. 讲解：讲解常见函数模型的性质及其在实际问题中的应用。

3. 案例分析：分析实际问题案例，引导学生运用常见函数模型解决问题。

4. 练习：让学生运用常见函数模型解决实际问题。

后续课时依次讲解函数模型的构建方法、函数模型在实际问题中的应用案例分析、函数模型的评估与优化等内容。

教学反思：在教学过程中，关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏，确保学生能够掌握函数模型在实际问题中的应用。

注重培养学生的创新思维和动手实践能力，提高他们的数学建模能力。

六、教学活动设计1. 课堂讲解：介绍函数模型的基本概念和重要性。

2. 案例分析：分析实际问题，引导学生识别和构建函数模型。

高一数学函数模型的应用实例1

记得小时候，我家也常会泡些有山果的酒，但最受欢迎的还是金樱子酒。金樱子是一种蔷薇科植物，在老家的大山里随处可见，结纺锤形状小果，果皮有毛并且会带上摘金樱子的工具，不让小孩子去摘，怕弄伤了手，也怕被刺挂破了衣服，到头来得不偿失。小孩们却常偷偷去摘，果子摘下来后，放在地上，用鞋子搓去刺，剥开去籽，洗干净，放在嘴里嚼，味道酸酸甜甜，是我们孩提时一段美好的记忆。采摘回来的果子须先褪去毛刺，洗净后再用刀破成两半，剜掉内籽再放进酒缸里泡，当然也有人家会将其晒干后，再放进酒缸泡上几个月的。母亲常跟我们说，金樱子酒是药酒，补脾健胃、补益肝肾，还能止咳平喘，但小孩子不能喝得太多，说太补了。在老家的大山里，金樱子比较多，每年我家都会泡一两缸金樱子酒。在金樱子酒开封时，母亲也总会给我们三兄妹都倒上一点点，让我们尝一尝。我不能喝酒，每次喝
一点点，很快就脸红了，这时父亲就会在旁边得意地笑，说我没“酒福”。。嘎嘎影视。
我家的金樱子酒自己喝，也常分给别人喝，常常是别人喝得多，自己喝得反而少。在我记忆里，杀年猪时是我家喝金樱子酒比较多的时候。儿时的乡下，谁家杀年猪，邻居们都会来帮忙，这也是这家人感谢邻居们一年来的帮助，祝福邻居们在接下来的一年里和和美美、顺顺利利的好时机。主人把刚刚杀的年猪，那还冒着热气的猪肉、猪血、猪肝、猪杂……做成一碗碗丰盛的菜肴，拿出自家储藏的用来招待贵宾的好酒来招待邻居。我家杀年猪时，父亲就会拿出金樱子酒来招待邻居，餐桌上夹菜敬酒，推杯换盏，菜凉了再热，吃了再添，酒喝了一碗又一碗，上了一瓶再上一瓶，喝得大家酣畅淋漓，面红耳赤，喜形于色，酒后乡亲们话匣子也彻底打开了，即使平时邻里之间有点小矛盾的，这时也在金樱子酒里融化了，亲情、友情、乡情也在金樱子酒里升华。

中考数学：例析反比例函数的四个模型及其应用

例析反比例函数的四个模型及其应用近年来各省市中考都有考查反比例函数的难题，一般都放在选择题最后一题或填空题最后两个题的位置，属于中档偏上的题型.由于此类型的题目不仅要考察反比例函数的相关性质，而且常与其它几何图形相互结合考察几何图形特征，因此考察面较广又比较复杂，学生常常找不到解题突破口.笔者认为，这类题型解题方法是有章可循的.解决反比例函数的常用方法有:关键点法、模型法、设而不解法、面积不变性等.其中模型法的应用常常能让问题简单化，甚至能直接看出答案.下面笔者主要谈谈反比例函数的四个模型及其应用，供参考.一、反比例函数的四个模型(证明略)模型1(1)ABOC S k =矩形;(2)2ACO ABO ACN OBM kS S S S ∆∆∆∆====.图1图2模型2ABO AMNBS S ∆=梯形(1)(2)图3模型3AM BN =.模型4AM //BN .图4注以上四个模型中点A 、B 都是反比例函数上的任一点.二、模型的应用例1如图5，一次函数y ax b =+的图象与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，与反比例函数k y x=的图象交于C 、D 两点，过C 、D 两点分别作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E 、F ，连接,CF DE .有下列四个结论:①DEF ∆与CEF ∆的面积相等;②AOB ∆∽FOE ∆;③DCE ∆≌CDF ∆;④AC BD =.其中正确的结论是(填写序号).图5解析此题主要考察模型1,3.对结论①，,,,22DEF CEF DEF CEF kkS S S S ∆∆∆∆==∴=∴ ①正确;对结论②， DEF CEF S S ∆∆=，且两三角形同底，∴两三角形EF 边上的高相等，AB ∴∥,EF AOB ∴∆∽,FOE ∆∴②正确;结论③中，找不到全等条件，∴③错误;对于结论④，直接运用模型3可得AC DB =,∴④正确.例2已知反比例函数(0)k y k x=>的图象与一次函数6y x =-+相交与第一象限的A 、B 两点，如图6所示，过A 、B 两点分别作x 、y 轴的垂线，线段AC 、BD 相交与P .给出以下结论:①OA OB =;②OAM ∆∽OBN ∆;③若ABP ∆的面积是8，则5k =;④P 点一定在直线y x =上.其中正确的结论是(填写序号).图6解析对于结论①，先求出直线6y x =-+与两坐标轴的交点坐标，可得出OEF ∆是等腰直角三角形，由模型3可得AE BF =，即OAE ∆≌OBF ∆，所以OA OB =，故①正确;对于结论②，AM OE ⊥,BN OF ⊥，且由①AOM BON ∠=∠，知OAM ∆∽OBN ∆，故②正确;对于③，设A (x ,6一x )，则B (6一x ,x )，P (x ,6一2x ).再由三角形的面积公式求出x 的值，故可得出A 点坐标.再根据点A 在反比例函数的图象上即可求出反比例函数的解析式.故③正确;对于④，由②得AM BN =，所以PD PC =.又因为,AC OF BD OE ⊥⊥，所以点P 在线段AB 的垂直平分线上，所以点P 在直线y x =上，故④正确.例3如图7，反比例函数(0)k y k x =>的图象与矩形ABCO 的两边相交于E 、F 两点，若E 是AB 的中点，2BEF S ∆=，则k 的值为.图7解析由模型4，可得EF //AC ，所以BEF ∆∽BAC ∆.又因为E 是AB 的中点，2BEF S ∆=,即:1:4,16BEF BAC AOCB S S S ∆∆==矩形,所以182AOME AOCB S k S ===矩形矩形,即8k =.例4(2013年重庆中考题)如图8，在直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 与原点重合，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，反比例函数(0)k y k x=>的图象与正方形的两边AB 、BC 分别交于点M 、N ,ND x ⊥轴，垂足为D ，连结OM 、ON 、MN .下列结论:①OAM ∆≌OCN ∆;②四边形DAMN 与MON ∆面积相等;③若45,2MON MN ∠=︒=，则点C 的坐标为2+1).其中正确的结论是(填写序号)图8解析对于①，由模型1可得2ONC OMA kS S ∆∆==,而OC OA =，则NC AM =;再根据“SAS ”可判断OCN ∆≌OAM ∆,故①正确;对于②，由模型2可得OMN DAMN S S ∆=四边形,故②正确;对于③，作NE OM ⊥于E 点，则ONE ∆为等腰直角三角形.设NE x =，则2OM ON x ==,221)EM x x x =-=.在Rt NEM ∆中，利用勾股定理，可求出222x =+,所以222)42ON x ==+易得BMN ∆为等腰直角三角形，得到222BN MN ==.设正方形ABCO 的边长为a ，在Rt OCN ∆中，利用勾股定理，可求出a 的值为21+,从而得到C 点坐标为2+1).故③正确.总之，利用反比例函数的以上4个模型，是处理反比例函数问题的重要方法之一，我们在教学中应该重视这些几何模型的掌握和应用.。

课例“函数模型的实际应用”点评

课例“函数模型的实际应用”点评福州屏东中学周灵函数是高中数学的一条主线，为了使学生更好地理解函数的概念，感受建立函数模型的过程和方法，体会函数模型的广泛应用，新教材第一次将函数的应用独立成章。

函数模型的应用分为三个层次：一是已知函数模型，去解释实际问题；二是函数模型是确定的，求出这个函数模型，去解释实际问题；三是函数拟合，首先作数据的散点图——然后根据散点图考虑选择怎样的函数模型比较合适，通过拟合获得合适的函数模型，之后运用这个函数模型去解释实际问题。

福州屏东中学林宏老师的《函数模型的实际应用》是这一单元的第三课时，就是要实现上述第三层次的要求。

这一部分是新教材新增内容，如何在现代教育技术的支持下，使学生亲历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，是一个值得探讨的问题。

因而本节课是新教材的一个亮点，也是教学中的一个难点。

这节课在教学中进行了有益的尝试，我认为主要有以下几个优点：(1)信息技术的有效应用。

在过去的教材中，由于没有技术的支持，函数的应用形式上比较单一，都是模型已经给定的，虽然看起来是一个实际问题的应用，但因模型给定，实际上将其变成一种运算，学生既不知道所给模型是如何来的，也不知道所选的模型是否合适，运用函数模型解决问题的真实过程没有体现出来。

这节课中图形计算器为学生提供了一个探索数学，发现知识、探究知识和表达观点的有力工具，借助图形计算器，学生绘散点图，自主研究，发现所蕴含的规律，不断提出假设，选择比较合适的函数，方便快捷地拟合散点，并进行验证，直到解决问题。

学生通过自己的动手操作，对建立函数模型解决实际问题的过程有切身的感受，不但提高了教学效果，还增强了学生学习数学的兴趣和成就感，获得了对数学的良好感受。

这在没有技术支持的教学中是根本不可能实现的。

（2）本节课的实际问题的设计和选择恰当，能注意结合学生的实际，选择学生熟悉的背景。

首先从学生感兴趣的身高、体重的关系问题入手，创设问题情景，有利于激发学生的学习兴趣，激起学生探求函数模型的欲望，从而将问题的解决过程变为主动的探求过程．在解决实际问题的过程中引导学生归纳出数学建模的一般方法；接着抛出服装厂的定单问题，将学生置入一个现实环境中，让他们以一个“厂长助理”的身份对身边简单的经营问题进行决策，这有利于学生自觉地将所学的知识用于解决实际问题；最后给出一份拓展作业：收集相关数据，预测2010年福州的私家车拥有量，并对可能出现的问题给相关部门提出合理的建议。

函数模型在实际生活中的应用

函数模型在实际生活中的应用函数应用题涉及的题型比较多，下面谈谈函数模型在实际生活中的应用：一、一次函数模型例1 假如你计划买一部手机，而你的朋友给你推荐手机消费有三种可供选择，如下表：从经济角度考虑，哪一种手机卡更为合适？分析：这道题目的背景是消费问题，用表格的形式给出了已知条件，其中存在的数学等量关系为：月消费金额=月租费+每分钟通话费×月通话时间，从而建立月通话时间与月消费金额之间的一次函数关系式．解：设月通话总时间为x 分钟，则三种手机卡的月消费金额分别:连通卡：36.012+=y （)0≥x神州卡：x y 6.0=)0(≥x都市卡：x y 2.024+=)0(≥x 由 ⎩⎨⎧=+=x y x y 6.036.012 解得： ⎩⎨⎧==3050y x 由 ⎩⎨⎧+==x y x y 2.0246.0 解得： ⎩⎨⎧==3660y x 由 ⎩⎨⎧+=+=x y x y 36.0122.024 解得：⎩⎨⎧==3975y x 由图可知：①当500<≤x 时，选用神州行卡；② 当50=x 时，选用神州行卡或连通卡更为经济合适；③ 当7550<<x 时，选用连通卡更为经济合适；④ 当75=x 时，选用都市卡或连通卡；⑤ 当75>x 时选用都市卡更为经济合适．评注：在求解该问题时要注意找出其中数学量之间的关系，从而建立一定的函数关系式来求解．二、分段函数模型例2：某旅行社组团去风景旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到每张降为450元为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．（1）写出飞机票的价格关于人数的函数；（2）每团人数为多少时，旅行设可获得最大利润？分析：注意价格与人数之间的关系，从而确定函数的解析式．解：（1）设旅行团人数为x 人，由题得075x <≤飞机票价格为y 元，则90090010(30)y x ⎧=⎨--⎩0303075x x <≤<≤即900120010y x ⎧=⎨-⎩0303075x x <≤<≤ （2）设旅行社获利S 元则90015000(120010)15000x S x x -⎧=⎨--⎩0303075x x <≤<≤ 即29001500010(60)21000x S x -⎧=⎨--+⎩0303075x x <≤<≤故当60x =时，旅行设可获得最大利润．评注：在对分段函数进行求最值时，一定要注意分析自变量的范围．三、二次函数模型二次函数是出现的比较多的函数模型，求解此类问题常常通过对其单调区间的讨论来求解．例3：某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．（I ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系P=f(t)；写出图二表求援种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)；（II ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天）分析：这是一个分段函数与二次函数相结合的应用题，可以根据函数图象写出解析式，从而利用二次函数来确定函数的最值问题．解：（1）由图可得市场售价与时间的函数关系为： f （t ）＝⎩⎨⎧≤<-≤≤-;300200,3002,2000,300t t t t 由图2可得种植成本与时间的函数关系为：g （t ）＝2001（t －150）2＋100，0≤t ≤300．（2）设t 时刻的纯收益为h （t ），则由题意得h （t ）＝f （t ）－g （t ），即h （t ）＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-.300200,21025272001,2000,217521200122t t t t t t当0≤t ≤200时，配方整理得h （t ）＝－2001（t －50）2＋100，所以，当t ＝50时，h （t ）取得区间［0，200］上的最大值100；当200＜t ≤300时，配方整理得h （t ）＝－2001（t －350）2＋100，所以，当t ＝300时，h （t ）取得区间（200，300］上的最大值87.5．综上，由100＞87．5可知，h （t ）在区间［0，300］上可以取得最大值100，此时t ＝50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．评注：求本题的最值时一定要注意先求出每一定义域中每一段上的最值，然后来加以比较．四、函数()xb ax x f +=()0,>b a 模型这类函数的模型常常是通过均值定理或者函数的单调性求最值，此时要注意等号能否取到．例4：甲、乙两地相距120千米，汽车从甲地以速度v （千米／时）匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米／时.已知汽车每小时的运输成本（单位:元）由可变部分和固定部分组成：固定部分为64元；可变部分与速度 v 的平方成正比，比例系数为0.01. (1)求汽车每小时的运输成本w(元)(2)把全程运输成本y （元）表示为速度v （千米／时）的函数，并指出函数的定义域；(3)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？分析：本题可以先根据题意写出全程的运输成本，观察函数式的特点可以知道结合基本不等式来求解．解：（（1）分析可以得到6401.02+=v w ； (2)全程运输成本y （元）表示为速度v （千米／时）的函数关系式是：vv y 120)6401.0(2⋅+=，其中函数的定义域是]100,0(∈v ； (3)整理函数有)6401.0(120120)6401.0(2vv v v y +⋅=⋅+=, 根据基本不等式， 1926401.02120)6401.0(120=⋅⋅≥+⋅=v v v v y ，当且仅当]100,0(806401.0∈==v vv 即时，取等号成立，故汽车应以80千米／时的速度行驶，全程运输成本最小为192元．评注：对基本不等式的应用要注意“一正二定三相等”的特点．当然，涉及函数的应用问题还有很多，关键是确定用哪种类型的函数．。

高中数学：函数模型及其应用

应用函数模型解决实际问题通常有四个步骤：①阅读理解，认真审题；②引进数学符号，建立数学模型；③利用数学的方法，得到数学结果；④转译成具体问题作出解答。

其中关键是建立数学模型，下面谈一谈函数模型的应用。

一、二次函数模型例1、如图所示，某房地产公司在矩形拆迁地ABCD中规划一块矩形地面PQCR建造住宅小公园，为了保护文物，公园又不能超越文物保所区的界线EF，由实地测量知，米，米，米，米，问：怎样设计矩形公园的长和宽，才能使其面积最大？最大面积是多少？分析：由题意可知，点Q、R必定在边BC、CD上。

若点P在DF上，则矩形PQCR应为具有最大面积的矩形PQCD；若点P在BE上，则矩形PQCR应为具有最大面积的矩形EBCR。

因此只需求出点P在EF上时矩形PQCR的最大面积，然后加以比较便知。

解析：设点P在EF上，PQ=x，则。

延长QP交AF于G，则。

因为∽，故。

所以。

x，当时，最大，此时最大值约为24067。

而，所以。

故设计矩形公园的长PQ为190米，宽PR约为126.67米时，其面积最大，最大面积约为24067平方米。

说明：根据几何图形的形状，对点P的位置进行分类讨论，比较不同位置下面积的大小，从而求出最大面积时点P的位置。

此题借助于二次函数的最值研究方法，求出了矩形PQCR面积的最大值。

二、分段函数模型例2、一家报刊摊点，从报社买进报纸价格是每份0.24元，卖出是每份0.40元，卖不掉的报纸还可以每份0.08元的价格退回报社，在一个月的30天里，有20天每天可卖出300份，其余10天，每天卖出200份，但这30天里，每天从报社买进的份数必须相同，这家报刊摊点应该每天从报社进多少份报纸，才能获得最大利润？一个月可赚多少钱？解析：设这家报刊摊点第天从报社买进x份报纸，一个月可赚y元。

①当时，。

②当时，。

③当时，。

综上知，这家报刊摊点应该每天从报社进300份报纸，才能获得最大利润，一个月可赚1120元。

说明：函数模型为分段函数，求分段函数的最值，应先求出函数在各分段的最值，然后取各分段的最值中的最大者为整个函数的最大值，取各分段最值中的最小者为整个函数的最小值。

函数模型的应用举例

3、2、2、1 函数模型的应用举例一、【学习目标】（寄语教师：这节课任然是时间比较紧容量比较大，老师要把握好课堂的进度.)1、培养学生由实际问题转化为数学问题的建模能力，即根据实际问题进行信息综合列出函数解析式；2、会利用函数图象性质对函数解析式进行处理得出数学结论，并根据数学结论解决实际问题；3、通过学习函数基本模型的应用，体会实践与理论的关系，初步向学生渗透理论与实践的辩证关系.【教学效果】：教学目标的出示，有利于学生的学习效果的提高，有利于学生分配课堂学习时间.二、【自学内容和要求及自学过程】阅读材料，回答问题我们学习过的一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数，它们都与现实世界有着紧密的联系，有着广泛的应用.下面我们通过一些实例，来感受它们的广泛应用，体会解决实际问题中建立函数模型的过程. （寄语教师：材料一材料二是课堂的引入，不要把太多的时间花费在材料一、二的讲解上.)材料一：我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同.甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时.设在甲家租一张球台开展活动x 小时的收费为f(x)元(15≤x ≤40)，在乙家租一张球台开展活动x 小时的收费为g(x)元(15≤x ≤40)，试求f(x)和g(x). 结论：f(x)=5x(15≤x ≤40).g(x)=⎩⎨⎧≤<+≤≤4030,302,3015,90x x x材料二：A、B两城相距100km，在两地之间距A城xkm处D 地建一核电站给A、B两城供电，为保证城市安全.核电站距城市距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ=0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月.把月供电总费用y表示成x的函数，并求定义域. 结论：y=5x2+5.2(100—x)2(10≤x≤90)问题：你能说出材料一和材料二分别属于什么样的函数模型吗？结论：材料一含有两个函数模型，一次函数模型、分段函数模型；材料二为二次函数模型.【教学效果】：有了前面学习的铺垫，这一部分学生的学习效果还是很不错的.三、【练习与巩固】例1、一辆汽车在某段路程中行驶速率与时间关系如图<1>所示.<1>求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；<2>假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间t h 的函数解析式，并作出相应的图象.图<1> 图<2>结论：<1>阴影部分的面积为50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360.阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360 km.<2>这个函数的图象如图<2>所示.根据图，有例2、人口问题是当今世界各国遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：y=ye rt,表示t=0时的人口数，r表示人口的其中t表示经过的时间，y年平均增长率.下表是1950～1959年我国的人口数据资料：<1>如果以各年人口增长率的平均值作为这一时期人口增长率(精确到0.000 1),用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；<2>如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？结论：<1>设1951～1959年的人口增长率分别为r1,r2,r3,…,r9.由55196(1+r1)=56300，可得1951年的人口增长率为r1≈0.020 0.同理,可得r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250，r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276，r8≈0.0222，r9≈0.0184.于是，1950～1959年期间，我国人口的年平均增长率为r=(r1+r2+…+r9)÷9≈0.0221.令y0=55 196，则我国在1951～1959年期间的人口增长模型为y=55196e0.0221t,t∈N.根据表中的数据作出散点图，并作出函数y=55196e0.0221t(t∈N)的图象由图可看出，所得模型与1950～1959年实际人口数据基本吻合.<2>将y=130000代入y=55196e0.0221t,由计算器可得t≈38.76.所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力.【归纳】：用已知的函数模型刻画实际问题时，由于实际问题的条件与得出已知模型的条件会有所不同，因此往往要对模型进行修正.【教学效果】：因为课下预习，所以学习效果还不错.四、【作业】1、必做题：①拟定从甲地到乙地通话m分钟的通话费f(m)=1.06x(0.50x[m]+1)给出，其中m>0，[m]是大于或等于m的最小整数（如：[3]=3,[3.7]=4,[5.1]=6),则从甲地到乙地通话时间5.5分钟的通话费为②某市某种类型的出租车，规定3千米内起步价为8元（即行程不超过3千米，一律按8元），若超过3千米，除起步价外，超过部分再按1.5元/千米收费计价，若乘客与司机约定四舍五入以元计费不找零，下车后乘客付了16元，则乘客乘车里程的范围是千米；③某列火车从北京西站开往石家庄，全程277千米，火车出发10min开出13km后，以120km/h匀速行驶，试写出火车行驶路程s（km）与匀速行驶的时间t（h）之间的关系式，并求火车离开北京西站2h内行驶的路程.2、选做题：请同学们归纳总结本节课所学习的知识.五、【小结】这节课学习了基本函数模型的应用举例，关键是让学生有一个建模的思想，会把实际问题转化为数学模型来求解.六、【教学反思】总的来说对这节课的教学效果还是比较满意的.这节课是比较难上的一节课，对于学生和老师来说都是如此.应用性比较强，需要做好课堂教学的规划.。

高中数学-函数模型的应用实例

y0 55196，则我国在1951~1959年期间的人口增长模型为
y 55196e0.0221t，t N
从该图可以看出，所得模型与1950~1959 年的实际人口数据基本吻合。
y
70000 65000 60000 55000 50000
0
2
4
6
8
t
（2）将y=130 000代入
y 55196e0.0221t
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.0001)，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；
(2)如果按表中数据的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？
因为 Байду номын сангаасi
ai ai 1 ，所以可以得出 ai 1
路程前的读数为2004km，试建立汽车行
驶这段路程时汽车里程表读数 s km与时
间 t h的函y数解析式，并作出相应的图像。
90 80 70
60
50
40
30
20
10
t
123 45
y
2400 2300
2200
2100
2000
x
123 45
2:人口问题是当今世界各国普遍关注的问题。认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。早在1798 年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型:
函数模型的应用实例
1:一辆汽车在某段路程中的行驶速
度与时间的关系如图:
y (Km/h)
90
90
80
80
75
70
65
60 50 50

函数模型及其应用

1．几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)2.三种函数模型性质比较y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0) 在(0，＋∞)上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x值增大，图象与y轴接近平行随x值增大，图象与x轴接近平行随n值变化而不同常用结论“对勾”函数的性质形如f(x)＝x＋ax(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(－∞，－a)和(a，＋∞)上单调递增，在[－a，0)和(0，a]上单调递减．(2)当x>0时，x＝a时取最小值2a，当x<0时，x＝－a时取最大值－2a.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)幂函数增长比直线增长更快．()(2)不存在x0，使a x0<x n0<log a x0.()(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y ＝x a (a >1)的增长速度．( )(4)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a ·b x ＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× 二、易错纠偏常见误区| (1)对三种函数增长速度的理解不深致错； (2)建立函数模型出错；(3)分段函数模型的分并把握不准．1．已知f (x )＝x 2，g (x )＝2x ，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是 ( )A ．f (x )>g (x )>h (x )B ．g (x )>f (x )>h (x )C ．g (x )>h (x )>f (x )D ．f (x )>h (x )>g (x )解析：选B ．由图象知，当x ∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g (x )>f (x )>h (x )．故选B ．2．在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如表，则对x ，y A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2x解析：选D ．根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B ，C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．3．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km ，票价是0.5元/km ，如果超过100 km ，超过100 km 的部分按0.4元/km 定价，则客运票价y (元)与行程千米数x (km)之间的函数关系式是________．解析：由题意可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0<x ≤100，0.4x ＋10，x >100.答案：y ＝⎩⎨⎧0.5x ，0<x ≤100，0.4x ＋10，x >100利用函数图象刻画实际问题(师生共研)(2020·高考北京卷)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为W ＝f (t )，用－f （b ）－f （a ）b －a的大小评价在[]a ，b 这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论：①在[t 1，t 2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在t 2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在t 3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2.t 3]这三段时间中，在[0，t 1]的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是________．【解析】设y ＝－f （b ）－f （a ）b －a，由已知条件可得甲、乙两个企业在[t 1，t 2]这段时间内污水治理能力强弱的数值计算式为－f （t 2）－f （t 1）t 2－t 1，由题图易知y 甲>y 乙，即甲企业的污水治理能力比乙企业强，所以①对；由题意知在某一时刻企业污水治理能力的强弱由这一时刻的切线的斜率的绝对值表示，所以②对；在t3时刻，由题图可知甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，所以③对；由计算式－f（b）－f（a）b－a可知，甲企业在[0，t1]这段时间内污水治理能力最弱，所以④错．【答案】①②③正确理解题目所给的信息，并把信息翻译成数学问题是解决本题的第一个关键；理解一段时间内企业污水治理能力的强弱的计算式，并把这个计算式与函数图象在某点处切线的斜率联系起来是正确解决本题的第二个关键．1．(2020·河南信阳质量检测)如图1是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2，3所示．根据图象判断下列说法正确的是()①图2的建议为减少运营成本；②图2的建议可能是提高票价；③图3的建议为减少运营成本；④图3的建议可能是提高票价．A．①④B．②④C．①③D．②③解析：选A．根据题意和题图2知，两条直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0，但是支出变少了，说明此建议是降低成本而保持票价不变．由题图3知，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，也就是票价提高了，说明此建议是提高票价而保持成本不变，综上可得①④正确，②③错误．故选A．2．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是()A．消耗1 L汽油，乙车最多可行驶5 kmB．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80 km/h的速度行驶1 h，消耗10 L汽油D．某城市机动车最高限速80 km/h，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油解析：选D．对于A选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h 时的燃油效率大于5 km/L，故乙车消耗1 L汽油的行驶路程可大于5 km，所以A错误，对于B选项，由图可知甲车消耗汽油最少．对于C选项，甲车以80 km/h 的速度行驶时的燃油效率为10 km/L，故行驶1 h的路程为80 km，消耗8 L汽油，所以C错误，对于D选项，当最高限速为80 km/h且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D正确．已知函数模型解决实际问题(师生共研)(1)人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d(x)(单位：dB)与声音强度x(单位：W/m2)满足d(x)＝9lgx1×10－13.一般两人小声交谈时，声音的等级约为54 dB，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为63 dB，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的()A ．1倍B ．10倍C ．100倍D ．1 000倍(2)(2020·陇西咸阳二模)为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量y (mg/m 3)与时间t (h)的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ，0<t <12，1kt ，t ≥12(如图所示)，实验表明，当药物释放量y <0.75(mg/m 3)时对人体无害．求：①k ＝________；②为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过________分钟人方可进入房间．【解析】 (1)设老师上课时声音强度，一般两人小声交谈时声音强度分别为x 1 W/m 2，x 2 W/m 2，根据题意得d (x 1)＝9lg x 11×10－13＝63，解得x 1＝10－6， d (x 2)＝9lg x 21×10－13＝54，解得x 2＝10－7，所以x 1x 2＝10，所以老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍，故选B ．(2)①由题图可知，当t ＝12时，y ＝1，即1k ×12＝1⇒k ＝2.②由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧t ≥12，12t <0.75，解得t >23，故为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过23×60＝40(分钟)人方可进入房间．【答案】 (1)B (2)2 40求解所给函数模型解决实际问题的关键点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题．(2020·河南安阳模拟)5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C ＝W log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋S N .它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN 从1 000提升至2 000，则C 大约增加了( )A ．10 %B ．30 %C ．50 %D ．100 %解析：选A ．将信噪比SN 从 1 000提升至 2 000，C 大约增加了W log 2（1＋2 000）－W log 2（1＋1 000）W log 2（1＋1 000）＝log 22 001－log 21 001log 21 001≈10.967－9.9679.967≈10 %，故选A ．构建函数模型解决实际问题(多维探究) 角度一构造一次函数、二次函数模型(1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量x (kg)与其运费y (元)之间的关系由如图所示的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为______kg.(2)将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个．为了赚得最大利润，每个售价应定为______元．【解析】 (1)由图象可求得一次函数的解析式为y ＝30x －570，令30x －570＝0，解得x ＝19.(2)设每个售价定为x 元，则利润y ＝(x －80)·[400－(x －90)·20]＝－20[(x －95)2－225]．所以当x ＝95时，y 最大．【答案】 (1)19 (2)95角度二构建指数函数、对数函数模型某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2021年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A ．2023年 B ．2024年 C ．2025年D ．2026年【解析】根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2021年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n }，其中，首项a 1＝130，公比q ＝1＋12%＝1.12，所以a n ＝130×1.12n －1.由130×1.12n －1>200，两边同时取对数，得n －1>lg 2－lg 1.3lg 1.12，又lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，则n >4.8，即a 5开始超过200，所以2025年投入的研发资金开始超过200万元，故选C ．【答案】 C角度三构建函数y＝ax＋bx(a＞0，b＞0)模型某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．求该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．【解】设该养殖场x(x∈N*)天购买一次饲料可使平均每天支付的总费用最少，平均每天支付的总费用为y元．因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，所以x天饲料的保管费与其他费用共是6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝3x2－3x(元)．从而有y＝1x(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝300x＋3x＋357≥417，当且仅当300x ＝3x，即x＝10时，y有最小值．故该养殖场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．角度四构建分段函数模型某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？【解】(1)当x≤6时，y＝50x－115，令50x－115＞0，解得x＞2.3，因为x为整数，所以3≤x≤6，x∈Z.当x＞6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.令－3x 2＋68x －115＞0，有3x 2－68x ＋115＜0，结合x 为整数得6＜x ≤20，x ∈Z .所以y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115（3≤x ≤6，x ∈Z ），－3x 2＋68x －115（6＜x ≤20，x ∈Z ）.(2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z )，显然当x ＝6时，y max ＝185；对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113(6＜x ≤20，x ∈Z )，当x ＝11时，y max ＝270.因为270＞185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．但应关注以下两点：①分段要简洁合理，不重不漏；②分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值．(2)指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指数与对数的互化．1．(2020·四川绵阳模拟)2020年3月，国内新冠肺炎疫情得到有效控制，人们开始走出家门享受春光．某旅游景点为吸引游客，推出团体购票优惠方案如表：1 290元；若合并成一个团队购票，则需支付门票费990元，那么这两个旅游团队的人数之差为( )A ．20B ．30C ．35D ．40解析：选B ．设两个旅游团队的人数分别为a ，b 且a ，b ∈N *，不妨令a ≥b ，因为1 290不能被13整除，所以a ＋b ≥51.若51≤a ＋b ≤100，则11(a ＋b )＝990，得a ＋b ＝90，①由分别购票共需支付门票费为1 290元可知，11a ＋13b ＝1 290，② 联立①②解得b ＝150，a ＝－60，不符合题意；若a ＋b >100，则9(a ＋b )＝990，得a ＋b ＝110，③由分别购票共需支付门票费为1 290元可知，1≤b ≤50，51≤a ≤100，得11a ＋13b ＝1 290，④联立③④解得a ＝70，b ＝40. 所以这两个旅游团队的人数之差为70－40＝30.故选B ．2．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤______次才能达到市场要求．(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)解析：设至少过滤n 次才能达到市场要求，则2%⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ≤0.1%，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≤120，所以n lg 23≤－1－lg 2，所以n ≥7.39，所以n ＝8. 答案：83．为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地，第一年支出各种费用8万元，以后每年支出的费用比上一年多2万元，每年销售蔬菜的收入为26万元．设f (n )表示前n 年的纯利润，则从第________年开始盈利．[f (n )＝前n 年的总收入—前n 年的总费用支出—投资额]解析：由题意知f (n )＝26n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤8n ＋n （n －1）2×2－60＝－n 2＋19n －60. 令f (n )>0，即－n 2＋19n －60>0，解得4<n <15，所以从第5年开始盈利．答案：5高考新声音2 美育为魂，陶养身心“美”是景与情的交融，以美育人，让学生懂得爱、爱美，提高学生审美和人文素养，以美育为背景的考题，多以提高学生审美和人文素养为题材，常以图、文并用的方式表现，意在考查逻辑推理和数学运算等核心素养．(2019·高考全国卷Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5－12(5－12≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5－12.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是( )A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm【解析】 26＋26÷0.618＋(26＋26÷0.618)÷0.618≈178(cm)，故其身高可能是175 cm，故选B．【答案】 B本题涉及了“黄金比”和“断臂维纳斯”，并渗透了估值思想．以往高考试题中往往选择中国古代《九章算术》中的数学文化题，这一网红题选择大家熟悉的黄金分割为背景，通过设置真实情景，引导学生从“解题”到“解决问题”能力的培养，使学生能够灵活运用所学知识分析问题和解决问题．中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆的周长和面积同时平分的图象对应的函数称为这个圆的“优美函数”，给出下列命题：①对于任意一个圆O，其“优美函数”有无数个；②函数f(x)＝ln(x2＋x2＋1)可以是某个圆的“优美函数”；③函数y＝1＋sin x可以同时是无数个圆的“优美函数”；④函数y＝2x＋1可以同时是无数个圆的“优美函数”；⑤函数y＝f(x)是“优美函数”的充要条件为函数y＝f(x)的图象是中心对称图形．其中正确的命题是________．(填序号)解析：①对于任意一个圆O，其对称轴有无数条，所以其“优美函数”有无数个，①正确；②函数f(x)＝ln(x2＋x2＋1)的定义域为R，值域为[0，＋∞)，其图象关于y轴对称，且在x轴及其上方，故不可以是某个圆的“优美函数”，②错误；③根据y＝sin x的图象可知函数y＝1＋sin x的图象可以将圆的周长和面积平分，又y＝1＋sin x的图象可以延伸，所以可以同时是无数个圆的“优美函数”，③正确；④函数y ＝2x ＋1的图象只要过圆心，就可以同时是无数个圆的“优美函数”，④正确；⑤错误，有些中心对称图形对应的函数不一定是圆的“优美函数”，比如“双曲线”，故答案为①③④.答案：①③④[A 级基础练]1．(2020·江西南昌模拟)衡东土菜辣美鲜香，享誉三湘．某衡东土菜馆为实现100万元年经营利润目标，拟制订员工的奖励方案：在经济利润超过6万元的前提下奖励，且奖金y (单位：万元)随经营利润x (单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%.下列函数模型中，符合该要求的是( )(参考数据：1.015100≈4.432，lg 11≈1.041) A ．y ＝0.04x B ．y ＝1.015x －1 C ．y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 19－1D ．y ＝log 11(3x －10)解析：选D ．对于函数y ＝0.04x ，当x ＝100时，y ＝4>3，不符合题意；对于函数y ＝1.015x －1，当x ＝100时，y ≈3.432>3，不符合题意；对于函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 19－1，不满足在x ∈(6，100]上单调递增，不符合题意；对于函数y ＝log 11(3x －10)，满足在x ∈(6，100]上是增函数，且y ≤log 11(3×100－10)＝log 11290<log 111 331＝3，画出y ＝15x 与y ＝log 11(3x －10)的图象如图所示，符合题意，故选D ．2．已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量q (x )(单位：百件)关于每件衣服的利润x (单位：元)的函数解析式为q (x )＝⎩⎨⎧1 260x ＋1，0<x ≤20，90－35x ，20<x ≤180，则当该服装厂所获效益最大时，x ＝( )A ．20B ．60C ．80D ．40解析：选C ．设该服装厂所获效益为f (x )元，则f (x )＝100xq (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧126 000x x ＋1，0<x ≤20，100x （90－35x ），20<x ≤180.当0<x ≤20时，f (x )＝126 000x x ＋1＝126 000－126 000x ＋1， f (x )在区间(0，20]上单调递增，所以当x ＝20时，f (x )有最大值120 000. 当20<x ≤180时，f (x )＝9 000x －3005·x x ，则f ′(x )＝9 000－4505·x ，令f ′(x )＝0，得x ＝80，当20<x <80时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当80≤x ≤180时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，所以当x ＝80时，f (x )有极大值，也是最大值，为240 000.故选C ． 3．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对于进价)，则该家具的进价是( )A ．118元B ．105元C ．106元D ．108元解析：选D ．设进价为a 元，由题意知132×(1－10%)－a ＝10%·a ，解得a ＝108.故选D ．4．素数也叫质数，法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n －1”形式(n 是素数)的素数称为梅森素数．已知第20个梅森素数为P ＝24 423－1，第19个梅森素数为Q ＝24 253－1，则下列各数中与PQ 最接近的数为(参考数据：lg 2≈0.3)( )A ．1045B ．1051C ．1056D ．1059解析：选B ．由题知P Q ＝24 423－124 253－1≈2170.令2170＝k ，则lg 2170＝lg k ，所以170lg2＝lg k ．又lg 2≈0.3，所以51＝lg k ，即k ＝1051，所以与PQ 最接近的数为1051.故选B ．5．车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如图，且该图表示的函数模型为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧40sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋13，0≤x <2，90e －0.5x ＋14，x ≥2，则该人喝一瓶啤酒后至少经过多长时间才可以驾车(时间以整小时计算)？(参考数据：ln 15≈2.71，ln 30≈3.40)( )车辆驾驶人员血液酒精含量阈值驾驶行为类型阈值(mg/100 mL) 饮酒后驾车 ≥20，<80 醉酒后驾车≥80A ．5 hB ．6 hC ．7 hD ．8 h解析：选B ．由题意可知当酒精含量阈值低于20时才可以开车，结合分段函数建立不等式90e －0.5x ＋14<20，解得x ＞5.42，取整数，故为6个小时．故选B ．6．(2020·辽宁辽南协作校一模)考古学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的时间．当有机体生存时，会持续不断地吸收碳14，从而其体内的碳14含量会保持在一定的水平；但当有机体死亡后，就会停止吸收碳14，其体内的碳14含量就会逐渐减少，而且每经过大约5 730年后会变为原来的一半．假设有机体生存时碳14的含量为1，如果用y 表示该有机体死亡x 年后体内碳14的含量，则y 与x 的关系可以表示为________．解析：依题意可设y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax，当x ＝5 730时，y ＝12，即有12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 5 730a ，解得a＝15 730，故答案为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x5 730.答案：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x5 7307．(2020·安徽滁州定远4月模拟)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P (毫克/升)与时间t (小时)的关系为P ＝ P 0e －kt ，如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时．解析：由题意可知，(1－0.1)P 0 ＝P 0e －5k ，即0.9＝e －5k ，故－5k ＝ln 0.9，又(1－0.19)P 0＝P 0e －kt ，即0.81＝e －kt ，所以－kt ＝ln 0.81＝2ln 0.9＝－10k ，所以t ＝10.答案：108．为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，生长4年的树高为73米，如图所示的散点图记录了样本树的生长时间t (年)与树高y (米)之间的关系．请你据此判断，在下列函数模型：①y ＝2t －a ；②y ＝a ＋log 2t ；③y ＝12t ＋a ；④y ＝t ＋a 中(其中a 为正的常实数)，拟合生长年数与树高的关系最好的是________(填写序号)，估计该树生长8年后的树高为________米．解析：由散点图的走势，知模型①不合适．曲线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，73，则后三个模型的解析式分别为②y ＝13＋log 2t ；③y ＝12t ＋13；④y ＝t ＋13，易知拟合最好的是②.将t ＝8代入②得8年后的树高为103米．答案：② 1039．声强级Y (单位：分贝)由公式Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫I 10－12给出，其中I 为声强(单位：W/m 2)．(1)平常人交谈时的声强约为10－6W/m 2，求其声强级；(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到最低声强为多少？ (3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y ≤50分贝，已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5×10－7W/m 2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？解：(1)当声强为10－6W/m 2时，由公式Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫I 10－12得Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫10－610－12＝10lg 106＝60(分贝)． (2)当Y ＝0时，由公式Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫I 10－12得10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫I 10－12＝0.所以I 10－12＝1，即I ＝10－12W/m 2，则常人能听到的最低声强为10－12W/m 2. (3)当声强为5×10－7W/m 2时，声强级Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5×10－710－12＝10lg(5×105)＝50＋10lg 5，因为50＋10lg 5＞50，所以这两位同学会影响其他同学休息．10．某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到(15－0.1x )万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格，问：(1)每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？ (2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？解：(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，此时每套丛书的供货价格为30＋105＝32(元)，所以书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)．(2)每套丛书售价定为x 元时，由⎩⎪⎨⎪⎧15－0.1x ＞0，x ＞0，解得0＜x ＜150.依题意，设单套丛书的利润为P ，则P ＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫30＋1015－0.1x ＝x －100150－x －30，＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（150－x ）＋100150－x ＋120. 因为0＜x ＜150，所以150－x ＞0，则(150－x )＋100150－x≥2（150－x ）·100150－x＝2×10＝20，当且仅当150－x ＝100150－x，即x ＝140时等号成立，此时，P max ＝－20＋120＝100.所以每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元．[B 级综合练]11.某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100 ℃，水温y (℃)与时间t (min)近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度y (℃)与时间t (min)近似满足的函数关系式为y ＝80⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a10＋b (a ，b为常数)．通常这种热饮在40 ℃时口感最佳．某天室温为20 ℃时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为( )A ．35 minB ．30 minC ．25 minD ．20 min解析：选C ．由题意知，当0≤t ≤5时，函数图象是一条线段；当t ≥5时，函数的解析式为y ＝80⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a10＋b .将点(5，100)和点(15，60)代入解析式可得⎩⎨⎧100＝80⎝ ⎛⎭⎪⎫125－a10＋b ，60＝80⎝ ⎛⎭⎪⎫1215－a10＋b ，解得a ＝5，b ＝20，故函数的解析式为y ＝80⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －510＋20，t≥5.令y ＝40，解得t ＝25，所以最少需要的时间为25 min.故选C ．12．(2020·安徽淮北一中第五次月考)华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华王方法”等．他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”．“优选法”是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每1 6人为一组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者．某组16人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验是阳性)，若逐一检测可能需要15次才能确认感染者．现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性则认定在本组．继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要检测的次数为()A．3 B．4C．6 D．7解析：选B．先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性则认定在本组，此时进行了1次检测．继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性则认定在本组，此时进行了2次检测．继续把认定的这组的4人均分两组，选其中一组2人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性则认定在本组，此时进行了3次检测．选认定的这组的2人中一人进行样本检查，若为阴性则认定是另一个人；若为阳性则认定为此人，此时进行了4次检测．所以，最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测．故选B．13．某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝c(12)mt(c，m为常数)．(1)mc的值为________；(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm 为正常，则这个地下车库中的一氧化碳含量达到正常状态至少需排气________分钟．解析：(1)由题意可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧64＝c ⎝ ⎛⎭⎪⎫124m ，32＝c ⎝ ⎛⎭⎪⎫128m ，两式相除，解得⎩⎨⎧c ＝128，m ＝14，则mc ＝128×14＝32.(2)由题意可列不等式128⎝ ⎛⎭⎪⎫1214t ≤0.5，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1214t ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫128，即14t ≥8，解得t ≥32. 故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态．答案：(1)32 (2)3214．某旅游景点预计2021年1月份起前x 个月的旅游人数的和p (x )(单位：万人)与x 的关系近似为p (x )＝12x (x ＋1)·(39－2x )(x ∈N *，且x ≤12)．已知第x个月的人均消费额q (x )(单位：元)与x 的近似关系是q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧35－2x ，x ∈N *，且1≤x ≤6，160x，x ∈N * 且7≤x ≤12. (1)写出2021年第x 个月的旅游人数f (x )(单位：万人)与x 的函数关系式；(2)试问2021年第几个月的旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？解：(1)当x ＝1时，f (1)＝p (1)＝37，当2≤x ≤12，且x ∈N *时，f (x )＝p (x )－p (x －1)＝12x (x ＋1)(39－2x )－12x (x －1)(41－2x )＝－3x 2＋40x ，经验证x ＝1时也满足此式．所以f (x )＝－3x 2＋40x (x ∈N *，且1≤x ≤12)．(2)第x (x ∈N *)个月的旅游消费总额为。

函数模型的应用实例及课例反思(优秀版)word资料

函数模型的应用实例及课例反思（优秀版）word资料课题：函数模型的应用实例设计：陈秀君执教：陈秀君学科数学课型新授课使用年级高中一年级时间20XX年 11 月 1日地点65中教学目标1、能根据图象和表格提供的有关信息和数据，建立函数模型；2、会利用建立的函数模型解决实际问题；3、培养学生阅读理解、抽象概括、数据处理、语言转换、数学建模等数学能力.教学重点根据已知条件建立函数模型解决实际问题.教学难点如何根据图表信息建立函数模型学情分析学生已掌握了一些基本初等函数的相关知识，并在上一节《几类不同增长的函数模型》的学习中，初步体会了建立函数模型解决实际问题的过程，这为本节课的学习奠定了知识基础.但学生的应用意识、应用能力比较弱，且正确运用数学知识解决实际问题，需要有较高的抽象概括能力、整体驾驭能力和局部处理能力，这些能力要求对学生的学习造成了一定的困难.因此，本节课的教学难点是：将实际问题抽象为数学问题，完成从文字语言、图表语言向符号语言的转化，并建立函数模型.教学情境设计问题探究问题设计意图师生互动例1、一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图. （1）图中阴影部分面积是多少？并说明所求面积的实际含义；（2）你能写出行驶路程s与时间t的函数关系式吗？（3）若这辆汽车的里程表在行驶这段路程前的读数为2004km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km 与时间t h的函数关系，并作出相应的图像。

根据已知条件（图形）能够迅速确定该函数模型是我们熟悉的分段函数，但是学生直接找里程表读数与时间的关系时估计会存在困难，所以本题把问题分解成2步完成，利用从“易到难”的思想分析问题,从而化解难点.1.教师组织学生仔细观察图形，注意引导学生如何由图像建立函数模型？2.本题学生由已学的物理知识不难得出答案，总结规律：时间t行驶的路程就是t时刻对应阴影部分的面积。

3. 教师组织学生仔细分析表格数据，注意引导学生如何由图像建立函数模型？例2、某桶装水公司每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表（略）。

例析函数模型的应用

函数模型及其应用

3.2.2 函数模型的应用举例

高三数学高考中常用函数模型归纳及应用

函数模型的应用实例 课件

3.2.2_函数模型的应用举例(1)

一次函数、二次函数、幂函数模型的应用实例

函数模型的应用实例教案

指数型、对数型函数模型的应用举例 课件

《函数模型的应用实例》教案

高一数学函数模型的应用实例1

中考数学：例析反比例函数的四个模型及其应用

课例“函数模型的实际应用”点评

函数模型在实际生活中的应用

高中数学：函数模型及其应用

函数模型的应用举例

高中数学-函数模型的应用实例

函数模型及其应用

函数模型的应用实例及课例反思(优秀版)word资料

函数模型的应用实例课件

指数型、对数型函数模型的应用举例课件