第九章 解析几何 第一节 直线和圆
解析几何中的直线与圆的方程与关系
解析几何中的直线与圆的方程与关系直线与圆是解析几何中最基本的几何图形之一，它们在数学和物理学中有广泛的应用。
本文将讨论直线与圆的方程及它们之间的关系。
一、直线的方程直线的方程有多种表示方法，其中最常用的是一般式和点斜式。
1. 一般式方程直线的一般式方程表示为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A与B不全为零。
这种形式的方程可以描述任意一条直线，但不唯一。
例如，直线L1过点（2，3）和（4，5），我们可以通过以下步骤得到其一般式方程：1) 计算斜率k = (5 - 3) / (4 - 2) = 1；2) 代入其中一点的坐标（2，3），得到 2A + 3B + C = 0；3) 代入另一点的坐标（4，5），得到 4A + 5B + C = 0。
因此，直线L1的一般式方程为2A + 3B + C = 0或4A + 5B + C = 0。
2. 点斜式方程直线的点斜式方程表示为y - y1 = k(x - x1)，其中（x1，y1）为已知点，k为斜率。
这种形式的方程描述了一条直线及其斜率，方便进行几何推导。
例如，直线L2过点（2，3）且斜率为2，我们可以得到其点斜式方程为y - 3 = 2(x - 2)。
二、圆的方程圆的方程有多种表示方法，最常见的是标准式和一般式。
1. 标准式方程圆的标准式方程表示为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中（h，k）为圆心坐标，r为半径长度。
标准式方程可以直接表达圆的几何特征。
例如，圆C1的圆心为（2，3），半径为4，它的标准式方程为(x - 2)² + (y - 3)² = 16。
2. 一般式方程圆的一般式方程表示为x² + y² + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F为常数。
这种形式的方程也可用于描述圆。
例如，圆C2的圆心为（-3，4），半径为5，我们可以通过以下步骤得到其一般式方程：1) 将圆心代入方程中，得到(-3)² + 4² + D(-3) + E(4) + F = 0；2) 代入半径的平方值，得到9 + 16 - 3D + 4E + F = 25。
《直线与圆的位置关系》
2023-11-10
目 录
• 引言 • 直线与圆的位置关系概述 • 判断直线与圆的位置关系的方法 • 直线 复习与思考
01
CATALOGUE
引言
课程背景介绍
平面解析几何是数学的基础知识，而直线与圆的位置关系是解析几何中的重要内 容之一。
在物理学中，圆和直线是非常重要的概 念，它们被广泛应用于各种现象和实验
中。
例如，在力学中，圆被用来描述物体的 运动轨迹，而直线则被用来描述物体的 运动速度和方向。此外，在电磁学中， 圆和直线也被广泛应用于描述电磁波的
传播和电场线的分布。
另外，在光学中，直线则被用来描述光 的传播路径和光的干涉现象，而圆则被 用来描述光的衍射现象。因此，掌握直 线与圆的位置关系对于理解物理现象和
解决物理问题非常重要。
直线与圆在经济学中的应用
在经济学中，直线与圆的位置关系也 被广泛应用于各种经济理论和模型中 。
VS
例如，在供需模型中，直线被用来表 示供给曲线和需求曲线，而圆则被用 来表示市场均衡点。此外，在货币供 应和货币政策中，直线则被用来表示 货币供应量和利率之间的关系，而圆 则被用来表示通货膨胀率和失业率之 间的权衡关系。
对于练习题，需要仔细计算公共弦的长度，避免出错。
对于思考题，可以通过几何方法证明两点之间线段最短 ，也可以用解析几何的方法证明。
通过本章的学习，可以进一步加深对平面几何的认识和 理解，同时为后续学习空间几何打下基础。
THANKS
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相交直线的性质
01
02
03
相交直线的夹角
两条相交直线之间的夹角 是锐角或直角，且夹角的 大小取决于两条直线的倾 斜程度。
解析几何中的直线和圆
解析几何中的直线和圆引言：解析几何是数学中的一个重要分支，它研究了几何图形与坐标系的关系。
其中，直线和圆是解析几何中最基本的图形，它们在几何学和物理学等领域中都有广泛的应用。
本文将对解析几何中的直线和圆进行深入解析，探讨它们的性质、特点以及应用。
一、直线的性质与表示方法1. 直线的定义直线是两点之间的最短路径，它没有宽度和长度。
在解析几何中，直线可以用一元一次方程表示，即y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距。
2. 直线的斜率直线的斜率是直线上两点的纵坐标差与横坐标差的比值。
斜率可以用来描述直线的倾斜方向和程度。
当斜率为正时，直线向上倾斜；当斜率为负时，直线向下倾斜；当斜率为零时，直线水平。
3. 直线的截距直线的截距是指直线与坐标轴的交点坐标。
直线与x轴的交点称为x截距，直线与y轴的交点称为y截距。
直线的截距可以通过方程的形式直接读出。
4. 直线的性质直线的性质包括平行、垂直、相交等。
两条直线平行的条件是它们的斜率相等；两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积为-1；两条直线相交的条件是它们的斜率不相等。
二、圆的性质与表示方法1. 圆的定义圆是平面上所有到圆心距离相等的点的集合。
圆由圆心和半径确定，其中圆心是圆上所有点到圆心的距离相等的点，半径是圆心到圆上任意一点的距离。
2. 圆的方程圆的方程可以用两种形式表示：标准方程和一般方程。
标准方程是(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a,b)为圆心的坐标，r为半径的长度。
一般方程是x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F为常数。
3. 圆的性质圆的性质包括切线、弦、弧等。
切线是与圆相切且与圆的半径垂直的直线；弦是圆上任意两点之间的线段；弧是圆上两点之间的弯曲部分。
圆的切线与半径的夹角是直角。
三、直线与圆的关系1. 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系包括相离、相切和相交。
当直线与圆没有交点时，它们相离；当直线与圆有且仅有一个交点时，它们相切；当直线与圆有两个交点时，它们相交。
解析几何中的直线与圆
解析几何中的直线与圆解析几何是几何学的分支之一，它将代数工具引入几何问题的研究中，通过坐标系的建立以及运用代数的方法，使几何问题能够用代数的语言来描述和解决。
在解析几何中，直线和圆是两个基本的几何元素，它们之间的关系和性质是解析几何的重要内容之一。
本文将针对直线和圆的关系进行解析几何分析。
一、直线与圆的位置关系在解析几何中，直线与圆的位置关系有三种情况：直线与圆相切、直线穿过圆、直线与圆不相交。
1. 直线与圆相切当一条直线与圆相切时，直线与圆的切点是直线上距离圆心最近的点。
设直线的方程为ax+by+c=0，圆的方程为(x - p)^2 + (y - q)^2 = r^2，其中(a,b,c,p,q,r为已知常数)，则直线与圆相切的条件是：|ap+bq+c|/√(a^2+b^2) = r。
2. 直线穿过圆当一条直线穿过圆，即直线与圆有两个交点。
设直线的方程为ax+by+c=0，圆的方程为(x - p)^2 + (y - q)^2 = r^2，则直线穿过圆的条件是：(ap+bq+c)^2 > (a^2+b^2)(p^2+q^2-r^2)。
3. 直线与圆不相交当直线与圆不相交时，有两种情况：直线在圆的外部，直线在圆的内部。
设直线的方程为ax+by+c=0，圆的方程为(x - p)^2 + (y - q)^2 =r^2，则当(ap+bq+c)^2 < (a^2+b^2)(p^2+q^2-r^2) 时，直线在圆的外部；当 (ap+bq+c)^2 > (a^2+b^2)(p^2+q^2-r^2) 时，直线在圆的内部。
二、直线与圆的运算在解析几何中，直线和圆的运算包括直线与直线的位置关系、直线与直线的交点、直线与圆的交点等。
1. 直线与直线的位置关系两条直线的位置关系可以通过它们的方程来判断。
设直线1的方程为a1x + b1y + c1 = 0，直线2的方程为a2x + b2y + c2 = 0，则直线1与直线2的位置关系有以下几种情况：相交（斜交或垂直交）、平行、重合。
高一数学重要知识总结解析几何中的直线与圆的性质与应用
高一数学重要知识总结解析几何中的直线与圆的性质与应用高一数学重要知识总结：解析几何中的直线与圆的性质与应用解析几何是高中数学中的重要部分，涉及到直线、圆等几何元素的性质与应用。
掌握解析几何的基本概念和方法，将对我们在数学学习中的思维能力和问题解决能力起到很大的提升作用。
本文将重点总结直线与圆的性质以及在解析几何中的应用。
一、直线的性质在解析几何中，直线是最基本的几何元素之一。
直线可以通过确定两个点来定义，也可以用解析式表示。
下面是直线的主要性质：1. 两点确定一条直线：直线可以通过确定两个不重合的点来确定。
2. 两直线相交于一点或平行：两直线相交于一点时，称其为交点；两直线不相交时，称其为平行。
3. 直线的斜率：直线的斜率用k表示，斜率表示了直线的倾斜程度。
设直线上两点为A（x₁，y₁）和B（x₂， y₂），则直线的斜率k等于∆y/∆x=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)。
4. 垂直直线的斜率之积为-1：垂直的两条直线斜率之积为-1，即k₁x k₂ = -1。
二、圆的性质圆是解析几何中的另一个重要几何元素。
圆可以通过确定圆心和半径来定义，也可以用解析式表示。
下面是圆的主要性质：1. 圆的标准方程：圆的标准方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a, b)为圆心的坐标，r为圆的半径。
2. 弦和弧：弦是圆上两点间的线段，弧是弦所对应的圆上的一段路径。
弧可以通过角度或弧长来度量。
3. 切线与法线：切线是与圆相切于一点的直线，与圆的切点处切线垂直于半径。
法线是切线的垂直线。
4. 直径与半径：直径是通过圆心并且两端点在圆上的线段，直径等于半径的两倍。
三、直线与圆的应用直线与圆的性质可以应用于解析几何中的许多问题，例如：1. 确定直线与圆的位置关系：通过判断直线与圆的交点数来确定直线与圆的位置关系。
如果直线与圆相交于两个不同的点，则直线与圆相交；如果直线与圆相交于一个点，则直线与圆相切；如果直线与圆没有交点，则直线与圆相离。
直线与圆的方程知识点总结
直线与圆的方程知识点总结一、直线的方程1.直线的定义：直线是由一切与它上面两点P、Q相应的全体点构成的集合。
在坐标平面中，直线可以由一般式方程、对称式方程、斜截式方程、截距式方程等多种形式表示。
2.一般式方程：Ax+By+C=0，其中A、B、C为常数，A和B不同时为0。
一般式方程表示直线的一种常用形式，它能够直观地反映直线的方向和位置。
3.对称式方程：(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)，其中(x1,y1)和(x2,y2)为直线上的两个点。
对称式方程通过给出直线上两个点的坐标，从而确定直线的方程。
4. 斜截式方程：y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。
斜截式方程将直线的方程转化为了y和x的关系，便于直观地理解直线的特征。
5.截距式方程：x/a+y/b=1，其中a和b为直线与x轴和y轴的截距。
截距式方程能够直观地表达直线与坐标轴的交点，并通过截距反映直线的位置和倾斜情况。
二、圆的方程1.圆的定义：圆是平面上所有到定点的距离等于定长的点的轨迹。
在坐标平面中，圆可以由一般式方程、截距式方程、标准方程等多种形式表示。
2.一般式方程：(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心的坐标，r为半径的长度。
一般式方程为圆的一种常用形式，能够直观地描述圆的位置和形状。
3.截距式方程：(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心的坐标，r为半径的长度。
截距式方程通过圆的截距反映了圆的位置和形状。
4.标准方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D、E、F为常数。
通过圆的标准方程，可以直观地反映圆的位置、形状以及与坐标轴的交点等信息。
5. 圆的三角方程：由半径与直径、半径与斜边等关系来定义圆的方程，例如sinθ = r/l，其中θ为圆心角的弧度，l为圆弧的长度。
圆的三角方程常用于解决涉及圆的三角学问题。
平面解析几何直线与圆的位置关系
平面解析几何直线与圆的位置关系在平面解析几何中，直线和圆是两个基本的几何概念。
它们之间存在着不同的位置关系，这些位置关系在几何学中有着重要的应用。
本文将介绍直线与圆的七种位置关系，并探讨其几何特征和判别方法。
一、直线与圆相离直线与圆相离是指直线与圆不相交，且它们的最短距离大于圆的半径。
这种情况下，直线上的每个点到圆的距离都大于圆的半径。
图1是直线与圆相离的示意图。
判别方法：通过求直线到圆心的距离来判断，若距离大于半径，则直线与圆相离。
二、直线与圆相切直线与圆相切是指直线与圆有且只有一个公共的切点。
这个切点既在直线上，也在圆上。
图2是直线与圆相切的示意图。
判别方法：通过求直线到圆心的距离来判断，若距离等于半径，则直线与圆相切。
三、直线穿过圆直线穿过圆是指直线与圆有两个交点。
这种情况下，直线分为两部分，一部分在圆内，一部分在圆外。
图3是直线穿过圆的示意图。
判别方法：通过求直线到圆心的距离来判断，若距离小于半径，则直线穿过圆。
四、直线与圆相交但不穿过圆直线与圆相交但不穿过圆是指直线与圆有两个交点，但直线的一部分在圆的外部，另一部分在圆的内部。
图4是直线与圆相交但不穿过圆的示意图。
判别方法：通过求直线到圆心的距离来判断，若直线与圆相交但距离大于半径，则直线与圆相交但不穿过圆。
五、直线与圆内切直线与圆内切是指直线与圆有且只有一个公共切点，并且这个切点在直线的一侧。
图5是直线与圆内切的示意图。
判别方法：通过求直线到圆心的距离来判断，若直线与圆相切且距离小于半径，则直线与圆内切。
六、直线与圆外切直线与圆外切是指直线与圆有且只有一个公共切点，并且这个切点在直线的另一侧。
图6是直线与圆外切的示意图。
判别方法：通过求直线到圆心的距离来判断，若直线与圆相切且距离大于半径，则直线与圆外切。
七、直线在圆内直线在圆内是指直线的所有点都在圆的内部。
图7是直线在圆内的示意图。
判别方法：通过求直线到圆心的距离来判断，若直线到圆心的距离小于圆的半径，则直线在圆内。
平面解析几何中的直线与圆的性质
平面解析几何中的直线与圆的性质在平面解析几何中，直线和圆是两个重要的基本图形。
直线具有许多独特的性质，而圆也有其独特的性质。
本文将分别探讨直线和圆的性质，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、直线的性质直线是平面上最简单的图形之一，具有以下几个重要性质：1. 直线的定义：直线是由无数个点连成的，其中任意两点可以确定一条唯一的直线。
2. 直线的无限延伸性：直线没有起点和终点，可以无限延伸。
3. 直线的直角：直线可以与其他直线或线段相交，形成直角。
4. 直线的斜率：直线上的两点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，其斜率为m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)。
5. 直线的截距式方程：直线上的一点为(x₁, y₁)，在直线上的任意一点(x, y)，直线的方程可以表示为 y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
二、圆的性质圆是平面上的一条曲线，具有以下几个重要性质：1. 圆的定义：圆是平面上一组到定点的距离等于定长的所有点组成的曲线。
2. 圆心和半径：圆心是到圆上任意一点距离相等的点，半径是圆心到圆上任意一点的距离。
3. 圆的直径：圆上任意两点间的线段，经过圆心的线段称为圆的直径，直径是圆半径的2倍。
4. 圆的弦：圆上任意两点间的线段。
5. 圆的切线：与圆相切并且只与圆相切于一个点的线段。
6. 圆的面积和周长：圆的面积公式为A = πr²，周长公式为C = 2πr，其中r为圆的半径，π≈3.14。
综上所述，直线和圆是平面解析几何中的重要概念。
直线具有无限延伸性和直角等性质，可以通过斜率和截距式方程来描述。
而圆则是由到定点距离相等的所有点组成的曲线，具有圆心、半径、直径等重要性质。
对于解析几何中的直线和圆的性质的理解和运用，对于解决许多几何问题具有重要的意义。
希望本文对您的学习和理解有所帮助。
感谢阅读！。
解析几何中的直线与圆的性质与关系
解析几何中的直线与圆的性质与关系直线和圆是解析几何中的基本几何元素，它们在几何学的研究中起着重要的作用。
本文将解析几何中直线与圆的性质及二者之间的关系进行详细的解析和讨论。
一、直线的性质直线是一条无限延伸且宽度可以忽略不计的几何对象。
根据直线的定义，我们可以得到以下直线的性质：1. 直线上任意两点可以确定一条直线。
2. 直线上的任意一点到另一点的距离是最短的。
3. 直线无端点，可以无限延伸。
4. 两条直线可能平行，也可能相交，或者重合。
5. 两线夹角为180度，两个相交直线的夹角刚好为180度。
二、圆的性质圆是由平面上所有到圆心距离等于半径的点组成的集合。
根据圆的定义，我们可以得到以下圆的性质：1. 圆上的点到圆心的距离都相等。
2. 圆的直径是任意两点在圆上的连线经过圆心的线段。
3. 圆的半径垂直于它所在的切线。
4. 两个圆的相交与切线的关系是多种多样的，可以相交于两个交点，也可以内切、外切。
5. 在同一个圆上，两个弧所对的圆心角相等。
三、直线与圆的关系在解析几何中，直线与圆之间的关系有多种情况，下面我们将依次讨论这些情况：1. 直线与圆相离：当直线与圆没有任何交点时，称直线与圆相离。
2. 直线与圆相切：当直线与圆仅有一个交点时，称直线与圆相切。
3. 直线穿过圆：当直线与圆有两个不同的交点时，称直线穿过圆。
4. 直线在圆内部：当直线与圆有两个交点且这两个交点在圆的内部时，称直线在圆内部。
5. 直线在圆外部：当直线与圆有两个交点且这两个交点在圆的外部时，称直线在圆外部。
综上所述，解析几何中直线与圆的性质及二者之间的关系是非常重要的。
了解和掌握这些性质和关系对于解析几何问题的解决具有重要意义。
通过运用直线与圆的性质和关系，我们可以推导出更多几何定理，解决更复杂的几何问题。
总之，直线和圆作为解析几何中的基本几何元素，它们之间有着密切的联系。
几何问题的解决需要我们熟练掌握直线与圆的性质与关系，并能够合理运用它们。
数学解析几何中的直线与圆
数学解析几何中的直线与圆直线和圆是数学解析几何中的重要概念，它们在平面几何中具有广泛的应用。
直线是由无数个点无限延伸而成的，而圆则是平面上一组与给定点等距离的点的集合。
本文将介绍直线和圆的基本性质、方程和相互关系，并探讨它们在解析几何中的应用。
一、直线的性质和方程在解析几何中，直线通常是通过表示其上的点的坐标来进行研究的。
设平面上一点的坐标为(x, y)，则直线可表示为y = kx + b的形式，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。
直线的斜率是直线上任意两点的纵坐标之差除以横坐标之差，即k= (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)。
当直线过点(0, b)时，b为直线的截距，可表示为y = kx + b = mx，其中m = k + b。
直线的斜率可以判断直线的方向，当斜率k为正数时，直线向右上方倾斜；当斜率k为负数时，直线向右下方倾斜；当斜率k为0时，直线平行于x轴；当斜率不存在时，直线平行于y轴。
二、圆的性质和方程圆是平面上与给定点（圆心）等距离的点的集合。
圆的性质包括圆心、半径和直径等。
圆心是圆上任意一点到圆心的线段的中点，通常表示为点O。
圆的半径是圆心到圆上任意一点的距离，通常用字母r表示。
圆的直径是通过圆心并且两端点都在圆上的线段，即直径的长度为两倍的半径，通常用字母d表示。
圆可以通过圆心和半径来表示，圆的标准方程为(x - a)² + (y - b)² = r²，其中(a, b)为圆心的坐标。
若圆心为原点(0,0)，则圆的方程为x² + y² = r²。
三、直线与圆的位置关系在解析几何中，直线和圆之间有多种可能的位置关系，包括相切、相离和相交。
下面将详细介绍每种情况：1. 相切：当直线只与圆相切于一个点时，我们称其为切线。
切线与圆的切点与切线垂直。
在数学上，判断直线与圆相切的条件是直线的斜率等于圆心到直线的距离除以半径的负倒数。
直线与圆知识点归纳高三
直线与圆知识点归纳高三直线与圆知识点归纳直线和圆是解析几何中常见的两种几何图形，它们有着丰富的性质和联系。
本文将对直线和圆的相关知识点进行归纳总结，帮助高三学生复习和掌握这一部分内容。
一、直线的定义和性质1. 直线的定义：直线是由无数个点连成的路径，它没有宽度和长度，可以无限延伸。
2. 直线的性质：(1) 直线上的任意两点可以确定一条直线；(2) 任意一条直线可以通过两个点确定；(3) 直线可以延伸到无穷远，也可以延伸到无穷近。
二、圆的定义和性质1. 圆的定义：圆是由平面上距离某一点固定距离的所有点构成的图形。
2. 圆的性质：(1) 圆上任意两点都在圆周上；(2) 圆心到圆周上的任一点的距离都相等，称为半径；(3) 圆的直径是通过圆心，并且两端点都在圆上的线段，长度为半径的两倍；(4) 圆的周长是圆周的长度，记作C，公式为C = 2πr，其中r 为半径；(5) 圆的面积是圆内部的所有点构成的区域，记作S，公式为S = πr²。
三、直线与圆的关系1. 直线与圆的位置关系：(1) 直线可与圆相交，相切或不相交；(2) 如果直线与圆相交，可能有两个交点，一个交点或没有交点；(3) 如果直线与圆相切，有且只有一个切点；(4) 如果直线不与圆相交或切，那么直线与圆之间的距离等于直线到圆心的距离。
2. 判断直线与圆的位置关系的方法：(1) 利用勾股定理：如果直线与圆的距离小于半径，那么直线与圆相交；如果直线与圆的距离等于半径，那么直线与圆相切；如果直线与圆的距离大于半径，那么直线与圆不相交也不相切。
(2) 利用方程求解：已知直线和圆的方程，将直线方程代入圆的方程中，求解得到交点或切点。
四、直线和圆的相关定理1. 直径定理：如果一条直线通过圆的圆心，并且两个端点都在圆上，那么这条直线的长度等于圆的直径。
2. 切线定理：过圆外一点引一条直线与圆相交，那么这条直线与圆的切点到圆心的线段垂直于直线。
3. 弦切角定理：相交弦所夹的圆心角等于它们所对的弧所夹的圆心角的一半。
解析几何中的直线与圆的性质
解析几何中的直线与圆的性质直线和圆是解析几何中两种基本的几何概念，它们在平面上具有各自独特的性质和特点。
本文将深入探讨直线和圆的性质，并详细介绍它们之间的关系。
1. 直线的性质直线是由连续点组成的无限长的几何图形。
在解析几何中，直线具有以下性质：1.1 直线上的任意两点可以确定一条直线。
这是直线的基本定义，直线上的两点之间的线段被认为是直线的一部分。
1.2 任意两条不重合的直线，要么相交于一个点，要么平行于一条直线。
这是直线的平行性质，也是解析几何中的基本定理之一。
2. 圆的性质圆是由平面上到一个固定点距离相等的所有点组成的闭曲线。
在解析几何中，圆具有以下性质：2.1 圆上的任意一点到圆心的距离都相等。
这是圆的基本定义，圆的半径就是从圆心到圆上任意一点的距离。
2.2 圆上的直径是圆上任意两点之间的线段，同时也是通过圆心的直线的长度的两倍。
圆的直径还具有特殊性质，任意两条以圆心为端点的弦的中垂线都通过圆心。
3. 直线与圆的关系在解析几何中，直线与圆的关系有以下几种情况：3.1 直线与圆相切。
当一条直线与圆相切时，直线与圆只有一个交点，这个交点就是切点。
切线与圆的切点处相切，并且垂直于通过切点的半径。
3.2 直线与圆相交。
当一条直线和圆有两个交点时，这条直线称为圆的割线。
割线与圆相交于两个点，并与通过这两个交点和圆心的半径构成一个三角形。
3.3 直线与圆外切。
当一条直线与圆外切时，直线与圆的切点处相切，并且直线垂直于通过切点的半径。
3.4 直线与圆内切。
当一条直线与圆内切时，直线与圆只有一个交点，这个交点就是切点。
切线与圆的切点处相切，并且直线垂直于通过切点的半径。
从上述性质和关系可以看出，直线和圆在解析几何中有着密切的联系。
通过直线与圆的关系，我们可以推导出许多有关直线和圆的重要结论，并应用于实际问题的解决。
结论：直线和圆是解析几何中的基本概念，它们具有各自的性质和特点。
在解析几何中，直线与圆之间有着密切的关系，包括相切、相交、内切和外切等情况。
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系教学案 理 新人教A版-新
§9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系最新考纲考情考向分析1.能判断直线与圆的位置关系.2.能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的判断；根据位置关系求参数的X 围、最值、几何量的大小等.题型主要以选择、填空题为主，难度中等，但有时也会在解答题中出现.1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系.(最重要)d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离.(2)代数法：――――→判别式Δ＝b 2－4ac ⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交＝0⇔相切<0⇔相离2.圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)，O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0)方法位置关系几何法：圆心距d 与r 1，r 2的关系代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况外离 d >r 1＋r 2 无解 外切 d ＝r 1＋r 2一组实数解 相交 |r 1－r 2|<d <r 1＋r 2两组不同的实数解 内切 d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)一组实数解 内含0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)无解概念方法微思考1.在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？提示 应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆上则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，切线为零条.2.用两圆的方程组成的方程组有一解或无解时能否准确判定两圆的位置关系？提示 不能，当两圆方程组成的方程组有一解时，两圆有外切和内切两种可能情况，当方程组无解时，两圆有外离和内含两种可能情况.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号内打“√”或“×”) (1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心.( √ ) (2)若两圆相切，则有且只有一条公切线.( × )(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.( × )(4)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ ) 题组二 教材改编2.若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值X 围是( ) A.[－3，－1] B.[－1，3]C.[－3，1]D.(－∞，－3]∪[1，＋∞) 答案 C解析 由题意可得，圆的圆心为(a ，0)，半径为2， ∴|a －0＋1|12＋－12≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.3.圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A.内切B.相交C.外切D.外离 答案 B解析 两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17. ∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交.4.圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为________. 答案 2 2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得两圆公共弦所在直线为x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为22＝ 2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2，所以所求弦长为2 2.题组三 易错自纠5.若直线l ：x －y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0恒有公共点，则m 的取值X 围是( ) A.[－2，2]B.[－22，22]C.[－2－1，2－1]D.[－22－1，22－1] 答案 D解析 圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为(2，1)，半径为2，圆心到直线的距离d ＝|2－1＋m |2，若直线与圆恒有公共点，则|2－1＋m |2≤2，解得－22－1≤m ≤22－1，故选D.6.过点A (3，5)作圆O ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的切线，则切线的方程为__________. 答案 5x －12y ＋45＝0或x －3＝0解析 化圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0为标准方程得(x －1)2＋(y －2)2＝4，其圆心为(1，2)，半径为2， ∵|OA |＝3－12＋5－22＝13>2，∴点A (3，5)在圆外.显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x －3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y －5＝k (x －3)，即kx －y ＋5－3k ＝0.又圆心为(1，2)，半径r ＝2，而圆心到切线的距离d ＝|3－2k |k 2＋1＝2，即|3－2k |＝2k 2＋1， ∴k ＝512，故所求切线方程为5x －12y ＋45＝0或x －3＝0.直线与圆的位置关系命题点1 位置关系的判断例1 已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A.相切B.相交C.相离D.不确定 答案 B解析 因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2>1，而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b 2＝1a 2＋b 2<1.所以直线与圆相交.命题点2 弦长问题例2 若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( ) A.12B.1C.22D. 2 答案 D解析 因为圆心(0，0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b2＝|c |2|c |＝22，由勾股定理得，弦长的一半就等于12－⎝⎛⎭⎪⎫222＝22，所以弦长为 2. 命题点3 切线问题例3 (2020·某某部分重点中学联考)点P 为射线x ＝2(y ≥0)上一点，过P 作圆x 2＋y 2＝3的两条切线，若两条切线的夹角为90°，则点P 的坐标为( ) A.(2，1) B.(2，2) C.(2，2) D.(2，0) 答案 C 解析 如图所示.设切点为A ，B ，则OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，OA ＝OB ，AP ＝BP ，AP ⊥BP ， 故四边形OAPB 为正方形， 则|OP |＝6，又x P ＝2，则P (2，2).命题点4 直线与圆位置关系中的最值问题例4 过点(3，1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，则最短弦所在的直线方程为________. 答案 x －y －2＝0解析 设P (3，1)，圆心C (2，2)， 则|PC |＝2，半径r ＝2，由题意知最短弦过P (3，1)且与PC 垂直，k PC ＝－1，所以所求直线方程为y －1＝x －3，即x －y －2＝0. 思维升华 (1)判断直线与圆的位置关系常用几何法.(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形. (3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题. 跟踪训练1 (1)(2020·某某江淮十校联考)已知直线l ：x cos α＋y sin α＝1(α∈R )与圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交，则r 的取值X 围是 ( )A.0<r ≤1B.0<r <1C.r ≥1D.r >1 答案 D解析 圆心到直线的距离d ＝1cos 2α＋sin 2α＝1，故r >1. (2)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A.－2B.－4C.－6D.－8 答案 B解析 由圆的方程x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0可得，圆心为(－1，1)，半径r ＝2－a .圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ＝|－1＋1＋2|2＝2，由r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫422，得2－a ＝2＋4，所以a ＝－4.(3)(2019·某某)已知圆C 的圆心坐标是(0，m )，半径长是r ，若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A (－2，－1)，则m ＝________，r ＝________. 答案 －25解析 根据题意画出图形，可知A (－2，－1)，C (0，m )，B (0，3)，∵k AB ＝2，∴k AC ＝－12，∴直线AC 的方程为y ＋1＝－12(x ＋2)，令x ＝0，得y ＝－2， ∴圆心C (0，－2)，∴m ＝－2. ∴r ＝|AC |＝4＋－2＋12＝ 5.(4)从直线l ：x ＋y ＝1上一点P 向圆C ：x 2＋y 2＋4x ＋4y ＋7＝0引切线，则切线长的最小值为________. 答案462解析 方法一 圆C 的方程可化为(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1， 圆心为C (－2，－2)，半径r ＝1. 设直线l 上任意一点P (x ，y )， 则由x ＋y ＝1，得y ＝1－x . 则|PC |＝x ＋22＋y ＋22＝x ＋22＋1－x ＋22＝2x 2－2x ＋13.设过点P 的切线与圆相切于点Q ，则CQ ⊥PQ .故|PQ |2＝|PC |2－r 2＝(2x 2－2x ＋13)－1＝2x 2－2x ＋12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋232，所以当x ＝12时，|PQ |2取得最小值，最小值为232，此时切线长为|PQ |＝232＝462. 方法二 圆C 的方程可化为(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1， 圆心为C (－2，－2)，半径r ＝1.设过点P 的切线与圆相切于点Q ，则CQ ⊥PQ . 故|PQ |＝|PC |2－r 2＝|PC |2－1. 故当|PC |取得最小值时，切线长最小.显然，|PC |的最小值为圆心C 到直线l 的距离d ＝|－2－2－1|12＋12＝522， 所以切线长的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫5222－1＝462. 圆与圆的位置关系例5 已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0.求： (1)m 取何值时两圆外切？(2)m 取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？ (3)求m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.解 两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ， 圆心分别为M (1，3)，N (5，6)， 半径分别为11和61－m . (1)当两圆外切时，5－12＋6－32＝11＋61－m .解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，两圆圆心间距离等于两圆半径之差的绝对值.故有61－m －11＝5，解得m ＝25－1011. 因为k MN ＝6－35－1＝34，所以两圆公切线的斜率是－43.设切线方程为y ＝－43x ＋b ，则有⎪⎪⎪⎪⎪⎪43×1＋3－b ⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋1＝11.解得b ＝133±5311.容易验证，当b ＝133＋5311时，直线与圆x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0相交，舍去.故所求公切线方程为y ＝－43x ＋133－5311，即4x ＋3y ＋511－13＝0.(3)两圆的公共弦所在直线的方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0， 即4x ＋3y －23＝0.由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为2×112－⎝⎛⎭⎪⎫|4＋3×3－23|42＋322＝27. 思维升华 (1)判断两圆位置关系的方法常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法.重视两圆内切的情况，作图观察.(2)两圆相交时，公共弦所在直线方程的求法两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到. (3)两圆公共弦长的求法求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d ，半弦长l2，半径r 构成直角三角形，利用勾股定理求解.跟踪训练2 (1)(2020·某某模拟)圆C 1：(x ＋2)2＋(y －2)2＝4和圆C 2：(x －2)2＋(y －5)2＝16的位置关系是( ) A.外离B.相交 C.内切D.外切 答案 B解析 易得圆C 1的圆心为C 1(－2，2)，半径r 1＝2，圆C 2的圆心为C 2(2，5)，半径r 2＝4，圆心距|C 1C 2|＝[2－－2]2＋5－22＝5<2＋4＝r 1＋r 2且5>r 2－r 1，所以两圆相交.(2)若圆x 2＋y 2＝a 2与圆x 2＋y 2＋ay －6＝0的公共弦长为23，则a ＝________. 答案 ±2解析 两圆作差得公共弦所在直线方程为a 2＋ay －6＝0.原点到a 2＋ay －6＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a－a .∵公共弦长为23，∴a 2＝(3)2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a－a 2，∴a 2＝4，a ＝±2.1.已知a ，b ∈R ，a 2＋b 2≠0，则直线l ：ax ＋by ＝0与圆C ：x 2＋y 2＋ax ＋by ＝0的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.不能确定 答案 B解析 圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋b 22＝a 2＋b 24，圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－b 2，半径r ＝a 2＋b 22，圆心到直线ax ＋by ＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2×a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2×b a 2＋b 2＝a 2＋b 22＝r ，所以直线与圆相切.2.直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A.相交B.相切C.相离D.不确定 答案 A解析 方法一 由题意知，圆心(0，1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交.方法二 直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1，1)， 因为点(1，1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部， 所以直线l 与圆相交.3.若两圆x 2＋y 2＝m 和x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0有公共点，则实数m 的取值X 围是( ) A.(－∞，1) B.(121，＋∞) C.[1，121] D.(1，121) 答案 C解析 x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0化成标准方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝36. 圆心距为d ＝0＋32＋0－42＝5，若两圆有公共点，则|6－m |≤5≤6＋m ， 所以1≤m ≤121.故选C.4.(2019·某某八市重点高中联考)已知圆x 2＋y 2－2x ＋2y ＋a ＝0截直线x ＋y －4＝0所得弦的长度小于6，则实数a 的取值X 围为( ) A.(2－17，2＋17) B.(2－17，2) C.(－15，＋∞) D.(－15，2) 答案 D解析 圆心(1，－1)，半径r ＝2－a ，2－a >0，∴a <2， 圆心到直线x ＋y －4＝0的距离d ＝|1－1－4|2＝2 2.则弦长为22－a2－222＝2－a －6<6.解得a >－15，故－15<a <2.5.已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程为ax ＋by ＝r 2，那么( ) A.m ∥l ，且l 与圆相交 B.m ⊥l ，且l 与圆相切 C.m ∥l ，且l 与圆相离 D.m ⊥l ，且l 与圆相离 答案 C解析 ∵点P (a ，b )(ab ≠0)在圆内，∴a 2＋b 2<r 2. ∵圆x 2＋y 2＝r 2的圆心为O (0，0)，故由题意得OP ⊥m ， 又k OP ＝b a ，∴k m ＝－a b，∵直线l 的斜率为k l ＝－a b ＝k m ，圆心O 到直线l 的距离d ＝r 2a 2＋b 2>r 2r＝r ，∴m ∥l ，l 与圆相离.故选C.6.(2020·某某华附、省实、广雅、深中四校联考)过点A (a ，0)(a >0)，且倾斜角为30°的直线与圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点B ，且|AB |＝3，则△OAB 的面积是( ) A.12B.32C.1D.2答案 B解析 由切线的性质可得△ABO 是以点B 为直角顶点的直角三角形，在Rt△ABO 中，∠OAB ＝30°，AB ＝3，则OB ＝1，OA ＝2，△OAB 的面积是12×1×3＝32.7.已知直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，且△AOB 为等腰直角三角形，则实数a 的值为( ) A.6或－6B.5或－5C.6D. 5 答案 B解析 因为直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，且△AOB 为等腰直角三角形，所以O 到直线AB 的距离为1，由点到直线的距离公式可得|a |12＋－22＝1，所以a ＝± 5.8.(2020·西南地区名师联盟调研)以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的标准方程为________. 答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝9 解析 圆心到直线的距离为|3×2－4×－1＋5|5＝3，则所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.9.(2020·某某“荆、荆、襄、宜”四地七校联考)已知圆C 经过直线x ＋y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝4的交点，且圆C 的圆心在直线2x －y －3＝0上，则圆C 的方程为________.答案 (x －3)2＋(y －3)2＝34解析 方法一 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，x 2＋y 2＝4，解得交点坐标为A (－2，0)，B (0，－2).弦AB 的垂直平分线方程为y ＋1＝x ＋1即x －y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，2x －y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.弦AB 的垂直平分线过圆心，所以圆心坐标为(3，3)， 半径r ＝[3－－2]2＋32＝34， 故所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －3)2＝34.方法二 设所求圆的方程为(x 2＋y 2－4)＋a (x ＋y ＋2)＝0， 即x 2＋y 2＋ax ＋ay －4＋2a ＝0，∴圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a2，∵圆心在直线2x －y －3＝0上，∴－a ＋a2－3＝0，∴a ＝－6.∴圆的方程为x 2＋y 2－6x －6y －16＝0， 即(x －3)2＋(y －3)2＝34.10.若过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →＝______. 答案 32解析 由题意，得圆心为O (0，0)，半径为1.如图所示，∵P (1，3)，∴PB ⊥x 轴，|PA |＝|PB |＝ 3. ∵△POA 为直角三角形，其中|OA |＝1，|AP |＝3， 则|OP |＝2，∴∠OPA ＝30°，∴∠APB ＝60°.∴PA →·PB →＝|PA →||PB →|·cos∠APB ＝3×3×cos60°＝32.11.(2019·某某青山区模拟)已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程.解 (1)根据题意，圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，则圆C 的标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，其圆心为(0，4)，半径r ＝2，若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |1＋a 2＝2，解得a ＝－34. (2)设圆心C 到直线l 的距离为d ，则⎝⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝r 2，即2＋d 2＝4，解得d ＝2，则有d ＝|4＋2a |1＋a 2＝2，解得a ＝－1或－7，则直线l 的方程为x －y ＋2＝0或7x －y ＋14＝0.12.已知一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，求该圆的方程.解 方法一 ∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上， ∴设所求圆的圆心为(3a ，a )，又所求圆与y 轴相切，∴半径r ＝3|a |，又所求圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27， 圆心(3a ，a )到直线y ＝x 的距离d ＝|2a |2，∴d 2＋(7)2＝r 2，即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9， 即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0. 方法二 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则圆心(a ，b )到直线y ＝x 的距离为|a －b |2，∴r 2＝a －b22＋7，即2r 2＝(a －b )2＋14.①由于所求圆与y 轴相切，∴r 2＝a 2，②又∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，∴a －3b ＝0，③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，r 2＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－1，r 2＝9.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9， 即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0. 方法三 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F .在圆的方程中，令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0. 由于所求圆与y 轴相切，∴Δ＝0，则E 2＝4F .①圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2到直线y ＝x 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 22，由已知得d 2＋(7)2＝r 2， 即(D －E )2＋56＝2(D 2＋E 2－4F ).② 又圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2在直线x －3y ＝0上， ∴D －3E ＝0.③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－6，E ＝－2，F ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝2，F ＝1.故所求圆的方程为x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.13.(2019·某某师大附中月考)已知圆x 2＋(y －1)2＝2上任一点P (x ，y )，其坐标均使得不等式x ＋y ＋m ≥0恒成立，则实数m 的取值X 围是( ) A.[1，＋∞) B .(－∞，1] C.[－3，＋∞) D .(－∞，－3] 答案 A解析 如图，圆应在直线x ＋y ＋m ＝0的右上方，圆心C (0，1)到直线l 的距离为|1＋m |2，切线l 0应满足|1＋m |2＝2，∴|1＋m |＝2，m ＝1或m ＝－3(舍去)，从而－m ≤－1，∴m ≥1.14.由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为_______. 答案7解析 设直线上一点P ，切点为Q ，圆心为M ，M 的坐标为(3，0)，则|PQ |即为切线长，|MQ |为圆M 的半径，长度为1，|PQ |＝|PM |2－|MQ |2＝|PM |2－1，要使|PQ |最小，即求|PM |最小值，此题转化为求直线y ＝x ＋1上的点到圆心M 的最小距离， 设圆心到直线y ＝x ＋1的距离为d ， 则d ＝|3－0＋1|12＋－12＝22，∴|PM |的最小值为22， |PQ |＝|PM |2－1＝222－1＝7.15.已知圆O ：x 2＋y 2＝9，点P 为直线x ＋2y －9＝0上一动点，过点P 向圆O 引两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 过定点( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫49，89B.⎝ ⎛⎭⎪⎫29，49C.(1，2) D.(9，0) 答案 C解析 因为P 是直线x ＋2y －9＝0上的任一点，所以设P (9－2m ，m )，因为PA ，PB 为圆x 2＋y 2＝9的两条切线，切点分别为A ，B ，所以OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，则点A ，B 在以OP 为直径的圆(记为圆C )上，即AB 是圆O 和圆C 的公共弦，易知圆C 的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －9－2m 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －m 22＝9－2m2＋m24，①又x 2＋y 2＝9，②②－①得，(2m －9)x －my ＋9＝0，即公共弦AB 所在直线的方程是(2m －9)x －my ＋9＝0， 即m (2x －y )＋(－9x ＋9)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，－9x ＋9＝0得x ＝1，y ＝2.所以直线AB 恒过定点(1，2)，故选C.16.已知圆C 经过(2，4)，(1，3)两点，圆心C 在直线x －y ＋1＝0上，过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点. (1)求圆C 的方程；(2)①请问AM →·AN →是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由； ②若OM →·ON →＝12(O 为坐标原点)，求直线l 的方程. 解 (1)设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2＋4－b 2＝r 2，1－a 2＋3－b2＝r 2，a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，r ＝1，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1. (2)①AM →·AN →为定值.过点A (0，1)作直线AT 与圆C 相切，切点为T ， 易得|AT |2＝7，∴AM →·AN →＝|AM →|·|AN →|cos0°＝|AT |2＝7， ∴AM →·AN →为定值，且定值为7.②依题意可知，直线l 的方程为y ＝kx ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入(x －2)2＋(y －3)2＝1，并整理，得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，∴x 1＋x 2＝41＋k 1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2，∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k 1＋k1＋k2＋8＝12， 即4k1＋k1＋k2＝4，解得k ＝1， 又当k ＝1时Δ>0，∴k ＝1，∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.。
高中几何知识解析解析几何中的直线与圆的性质
高中几何知识解析解析几何中的直线与圆的性质几何学是数学中的一个重要分支，着重研究空间之内的形状、大小、相对位置以及它们之间的关系。
在高中阶段，学生们开始接触到更加复杂的几何知识，并深入学习线和圆的性质。
本文将解析解析几何中的直线与圆的性质。
1. 直线的性质直线是几何中最基本的对象之一，具有以下性质：（1）直线上的任意两点可以通过直线的方程进行表示。
一般形式为：y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
（2）直线上的两个点可以唯一确定一条直线。
反之亦成立，即任意两个不重合的直线必定相交于一点。
（3）直线可分为平行线和垂直线。
若两条直线的斜率相等且截距不相等，则两条直线平行；若两条直线的斜率相乘为-1，则两条直线垂直。
2. 圆的性质圆是平面上所有到圆心距离相等于半径的点集，具有以下性质：（1）圆心到圆上任意点的距离都相等，该距离称为半径。
（2）圆的周长由半径和π决定，即C = 2πr。
（3）圆内任意两点可以通过圆心进行表示，两点到圆心的距离相等。
（4）切线是与圆相切且垂直于半径的直线。
（5）弦是圆上的一条线段，且它的两个端点都在圆上。
直径是弦的特殊情况，直径的长度等于圆的半径的两倍。
3. 直线与圆的关系在解析几何中，直线与圆之间存在多种关系：（1）直线和圆相交：直线与圆相交于两个点，这两个点分别位于圆上。
（2）直线与圆相切：直线与圆只有一个公共点，这个点位于圆上。
（3）直线与圆相离：直线与圆没有公共点。
4. 直线与圆的判断问题当给定一个直线和一个圆时，我们可以通过以下几个步骤来进行判断：（1）判断直线和圆的位置关系：将直线的方程代入圆的方程，得到一个一元二次方程，求解该方程的根。
若判别式大于零，说明直线与圆相交；若判别式等于零，说明直线与圆相切；若判别式小于零，说明直线与圆相离。
（2）判断直线是否为圆的切线：求直线的斜率，然后计算该斜率与圆心到直线的距离的乘积。
若乘积等于圆的半径，则表示直线为圆的切线。
高考数学一轮复习专题九平面解析几何1直线方程与圆的方程综合篇课件新人教A版
3.直线方程的几种形式
名称 方程
说明
斜截式 y=kx+b
k是斜率,
b是纵截距
点斜式 y-y0=k(x-x0)
(x0,y0)是直线上的已知点, k是斜率
两点式
y y1 y2 y1
=
x x1 x2 x1
(x1≠x2,y1≠y2)
(x1,y1),(x2,y2)是直线上的两个已知点
适用条件 与x轴不垂直的直线
A
x1
2
x2
B
y1
2
y2
C
0, 可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2,y2)(其
A( y1 y2 ) B(x1 x2 ),
中A≠0,x1≠x2).
②直线关于直线的对称
此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决,有两种情况:一是已
知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行.
以下为教师用书专用
圆的方程
名称 标准方程 一般方程
考点二 圆的方程
方程
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0)
圆心 (a,b)
DE
- 2 ,- 2
半径
r
1 D2 E2 4F 2
温馨提示 (1)方程(x-a)2+(y-b)2=r2中,若没有给出r>0,则圆的半径为|r|,实 数r可以取负值.
(2)由已知设直线y=3x的倾斜角为α,则所求直线的倾斜角为2α.因为tan α=
3,所以tan 2α= 2 tan α =- 3 .
1 tan2α 4
又直线经过点A(-1,-3),因此所求直线方程为y+3=- 3 (x+1),即3x+4y+15=0.
解析几何中的直线与圆的位置关系
解析几何中的直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系是解析几何中的重要概念之一。
在空间几何中，直线和圆可以有多种相互位置的情况，包括相离、相切和相交。
本文将对直线与圆的不同位置关系进行解析和讨论。
一、直线和圆相离的情况当一条直线与一个圆没有任何交点时，我们称直线和圆相离。
此时，直线与圆之间的最短距离等于两者之间的半径差。
直线作为一个无限延伸的曲线，在与圆相离的情况下，可能与圆的外部或内部都不存在交点。
二、直线和圆相切的情况直线和圆相切意味着它们只有一个公共点，即相切点。
在这种情况下，直线与圆的切点即为它们的交点，且直线垂直于通过切点的半径。
直线与圆相切的情况分为两种，一种是直线与圆外切，另一种是直线与圆内切。
1. 直线与圆外切当一条直线与一个圆外切时，直线与圆相交于切点。
此时，直线与圆的半径垂直并且共线，且直线和圆之间的最短距离等于圆的半径。
直线从切点开始离开圆，没有任何交点。
外切情况下，直线与圆的位置关系可以通过切线与圆的关系来理解。
2. 直线与圆内切直线与圆内切意味着直线与圆只有一个公共点，并且直线在此切点处与圆的内部相切。
如外切情况一样，直线与圆内切时，直线与通过切点的半径垂直并且共线。
直线从切点开始进入圆内，没有任何其他交点。
三、直线和圆相交的情况直线和圆可能有两个交点或者无穷多个交点。
直线与圆相交的情况分为两种，一种是直线穿过圆内部，另一种是直线截取了圆的一部分。
1. 直线穿过圆内部当一条直线穿过一个圆的内部时，直线与圆的交点有两个。
此时直线与圆的位置关系是直线既与圆的内部相交，又与圆的外部相交。
直线穿过圆的内部时，直线与圆的交点处于圆的两侧。
2. 直线截取圆的一部分当一条直线截取了一个圆的一部分时，直线与圆的交点有两个。
此时直线与圆的位置关系是直线既与圆的内部相交，又与圆的外部相交。
直线截取圆的一部分时，直线的两个交点分别位于圆上，相交点将圆分成了两部分。
总结：直线和圆的位置关系在解析几何中是一个重要的概念。
平面解析几何中的直线与圆
平面解析几何中的直线与圆引言：解析几何是数学中的一门重要学科，涉及到直线、圆等基本几何元素的研究。
在平面解析几何中，直线与圆是最基本的图形，研究它们的性质和相互关系对于解析几何的学习具有重要意义。
本课将通过理论讲解和实例分析，引导学生深入理解直线与圆的概念及其相互关系，并能灵活运用解析几何方法进行解题。
一、直线的相关概念1. 直线的定义直线是由无数个点组成的，它的两个端点无法具体标定，且任意两点之间都位于直线上。
2. 直线的斜率斜率是直线的重要特征之一，表示直线上两个不同点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。
斜率的计算公式为：\[k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\]3. 直线的截距截距是直线与坐标轴交点的纵坐标值或横坐标值。
直线方程通常使用截距式、一般式或点斜式。
二、圆的相关概念1. 圆的定义圆由一个平面上与某一点的距离相等的所有点组成。
该点称为圆心，距离称为半径。
2. 圆的方程圆的方程通常有标准方程和一般方程，标准方程为：\[(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\]其中，(a,b)为圆心坐标，r为半径。
三、直线与圆的位置关系1. 直线与圆相切的情况当直线与圆只有一个交点时，它们相切。
此时需要满足直线方程和圆方程的解相等。
2. 直线与圆相离的情况当直线与圆没有交点时，它们相离。
此时直线方程和圆方程的解没有重合部分。
3. 直线与圆相交的情况当直线与圆有两个交点时，它们相交。
此时直线方程和圆方程的解有两个不同的解。
四、解析几何的应用示例1. 通过直线与圆的位置关系求解交点坐标给定一个圆的方程和直线的方程，通过联立直线和圆的方程，可以求出它们的交点坐标。
2. 判断直线是否为圆的切线通过计算直线方程与圆方程的解，并判断其数量，可以确定直线是否为圆的切线。
3. 确定直线与圆的关系通过判断直线和圆方程的解的位置，可以确定直线与圆的位置关系，如相切、相离或相交。
结论：在平面解析几何中，直线与圆是最基本的图形，研究它们的性质和相互关系有助于深入理解解析几何的概念和方法。
直线以及与圆的位置关系
相离
定义
直线与圆没有公共点。
性质
切线与过切点的直径不垂直，且切线 到圆心的距离大于圆的半径。
判定
若圆心到直线的距离大于圆的半径， 则直线与圆相离。
应用
在解析几何中，相离关系常用于解决 对称问题、极值问题等。
04
直线与圆的应用
几何作图
01 02
几何作图
直线与圆的位置关系在几何作图中有着广泛的应用。例如，在绘制地图、 建筑设计、艺术品创作等领域，常常需要利用直线与圆的位置关系来确 定物体的形状和位置。
圆的方程
总结词
圆的方程是描述圆的位置和形状的数学表达式。
详细描述
圆的方程通常表示为$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$，其中$(h, k)$是圆心的坐标，$r$是半径。这个方程描述了 一个以$(h, k)$为圆心，$r$为半径的圆。
圆的半径和直径
总结词
圆的半径是从圆心到圆上任意一点的距离，直径则是穿过圆心、连接圆上任意两 点的线段。
实验设计
在物理实验中，直线与圆的位置关系也有着重要的应用。例如，在测量光速、研究光的干 涉和衍射现象等实验中，需要利用直线与圆的位置关系来确定实验装置的位置和角度。
数值模拟
在物理学的数值模拟中，直线与圆的位置关系也是重要的基础。通过建立数学模型和算法 ，我们可以模拟物理现象和过程，并利用直线与圆的位置关系来进行数值分析和可视化呈 现。
05
直线与圆的特殊情况
直线与圆心重合
总结词
当直线与圆心重合时，直线是圆的直 径，此时直线与圆的位置关系是相交。
详细描述
当一条直线经过一个圆的中心点时， 该直线即为圆的直径。此时，直线与 圆有两个交点，即直线与圆相交。
【数学】2014版《6年高考4年模拟》：第9章-解析几何-第1节直线和圆
梯方在线高中数学【数学】2014版《6年高考4年模拟》第九章解析几何第一节直线和圆第一部分六年高考荟萃2013年高考题一、选择题1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））已知点(1,0),(1,0),(0,1)A B C-,直线(0)y ax b a=+>将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是（）A．(0,1)B．21(1,)22- ( C)21(1,]23-D．11[,)32答案：B由题意可得，三角形ABC 的面积为=1，由于直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣，0），由﹣≤0，可得点M在射线OA上．设直线和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为（，）．①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，则﹣=﹣1，且=，解得a=b=．②若点M在点O和点A之间，则点N在点B 和点C之间，由题意可得三角形NMB 的面积等于，即=，即=，解得a=＞0，故有b＜．③若点M在点A的左侧，则﹣＜﹣1，b＜a，设直线y=ax+b和AC的交点为P，则由求得点P的坐标为（，），此时，NP====•．此时，点C （0，1）到直线y=ax+b 的距离等于 ．由题意可得，三角形CPN 的面积等于，即•••=．化简可得2（1﹣b ）2=|a 2﹣1|．由于此时 0＜b ＜a ＜1，所以2（1﹣b ）2=|a 2﹣1|=1﹣a 2 ． 两边开方可得（1﹣b ）=＜1，所以1﹣b ＜，化简可得 b ＞1﹣．综合以上可得，b=可以，且b ＜，且b ＞1﹣，即b 的取值范围是，故选B2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））过点(3,1)作圆22(1)1x y -+=的两条切线,切点分别为A ,B ,则直线AB 的方程为 （ ）A ．230x y +-=B ．230x y --=C ．430x y --=D ．430x y +-= 答案：A由图象可知，(1,1)A 是一个切点，所以代入选项知，,B D 不成立，排除。
解析几何中的直线与圆
解析几何是几何学中的一门重要分支，主要研究点、线、面等几何元素之间的关系以及它们的性质。
在解析几何中，直线和圆是两个基本的几何图形，它们之间的相互关系和性质也是解析几何研究的重点之一。
直线是由无数个点连成的一条线段，而圆则是一个平面上到定点距离相等的点的集合。
直线和圆虽然形状截然不同，但它们在解析几何中的联系却非常密切。
首先，直线和圆可以相交。
当直线与圆相交时，可以产生三种情况：一是直线与圆相切，此时直线只和圆有一个公共点；二是直线与圆相交于两个点，此时直线穿过圆的内部；三是直线与圆没有交点，此时直线与圆相离。
其次，直线和圆之间有着几何量的关系。
例如，直径是连接圆上两个点并通过圆心的线段，在直线上的任意两点所成的线段若与圆相交，则其交点的连线也必然是直径；此外，直线与圆相交时，交点和圆心之间的连线与直线所成的角度等于交点的两个切线所成的角度的一半。
在计算直线和圆的交点时，可以利用坐标系和方程来解决。
将直线和圆的方程代入坐标系中，得到一个联立方程组，通过求解此方程组，可以求得直线和圆的交点坐标。
此外，直线和圆也可以通过几何变换相互关联起来。
例如，通过平移、旋转、镜像等几何变换，可以将直线变换成圆，或者将圆变换成直线。
这些变换不仅改变了几何图形的位置和形态，还保持了直线和圆之间的相对关系。
在实际应用中，直线和圆的相互关系经常被用于问题的求解。
例如，在工程设计中，常常需要确定一个点到给定直线或圆的距离，或者找到与直线或圆相切的直线等。
这些问题的解决需要借助解析几何中直线和圆的相互关系和性质。
总之，解析几何中的直线和圆是两个基本的几何图形，它们之间的相互关系和性质在解析几何的研究中占据了重要地位。
通过对直线和圆的研究和分析，我们可以深入理解几何图形的性质和几何问题的本质，为求解实际问题提供有力的工具和方法。
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第九章 解析几何 第一节 直线和圆第一部分 五年高考荟萃2009年高考题一、选择题1.（辽宁理，4）已知圆C 与直线x －y =0 及x －y －4=0都相切，圆心在直线x +y =0上，则圆C 的方程为A.22(1)(1)2x y ++-=B. 22(1)(1)2x y -++=C.22(1)(1)2x y -+-=D. 22(1)(1)2x y +++=【解析】圆心在x ＋y ＝0上,排除C 、D,再结合图象,或者验证A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径2即可. 【答案】B2.（重庆理，1）直线1y x =+与圆221x y +=的位置关系为（ ） A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心D ．相离【解析】圆心(0,0)为到直线1y x =+，即10x y -+=的距离2d ==，而01<<，选B 。
【答案】B3.（重庆文，1）圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ） A ．22(2)1x y +-= B ．22(2)1x y ++= C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．22(3)1x y +-=解法1（直接法）：设圆心坐标为(0,)b 1=，解得2b =，故圆的方程为22(2)1x y +-=。
解法2（数形结合法）：由作图根据点(1,2)到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为22(2)1x y +-=解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B ，D ，又由于圆心在y 轴上，排除C 。
【答案】A4.（上海文，17）点P （4，－2）与圆224x y +=上任一点连续的中点轨迹方程是 （ ） A.22(2)(1)1x y -++= B.22(2)(1)4x y -++= C.22(4)(2)4x y ++-= D.22(2)(1)1x y ++-=【解析】设圆上任一点为Q （s ，t ），PQ 的中点为A （x ，y ），解得：⎩⎨⎧+=-=2242y t x s ，代入圆方程，得（2x －4）2＋（2y ＋2）2＝4，整理，得：22(2)(1)1x y -++= 【答案】A5. （上海文，15）已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k 得值是（ ）A. 1或3B.1或5C.3或5D.1或2【解析】当k ＝3时，两直线平行，当k ≠3k －3，解得：k ＝5，故选C 。
【答案】C6. (上海文，18)过圆22(1)(1)1C x y -+-=：的圆心，作直线分 别交x 、y 正半轴于点A 、B ，AOB ∆被圆分成四部分（如图）， 若这四部分图形面积满足|||,S S S S I ∏+=+¥则直线AB 有（ ） （A ） 0条 （B ） 1条 （C ） 2条 （D ） 3条 【解析】由已知，得：,IV II III I S S S S -=-，第II ，IV 部分的面 积是定值，所以，IV II S S -为定值，即,III I S S -为定值，当直线 AB 绕着圆心C 移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线 AB 只有一条，故选B 。
【答案】B7.（陕西理，4）过原点且倾斜角为60︒的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为22224024x y y x y +-=⇔+-=∴∴解析：（），A(0,2),OA=2,A 到直线ON 的距离是1,弦长【答案】D 二、填空题8. （广东文，13）以点（2，1-）为圆心且与直线6x y +=相切的圆的方程是 . 【解析】将直线6x y +=化为60x y +-=,圆的半径r ==所以圆的方程为2225(2)(1)2x y -++= 【答案】2225(2)(1)2x y -++=9.（天津理，13）设直线1l 的参数方程为113x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），直线2l 的方程为y =3x +4则1l 与2l 的距离为_______【解析】由题直线1l 的普通方程为023=--y x ，故它与与2l 的距离为510310|24|=+。
【答案】5103 10. （天津文，14）若圆422=+y x 与圆)0(06222>=-++a ay y x 的公共弦长为32，则a =________.【解析】由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为ay 1=， 利用圆心（0，0）到直线的距离d 1|1|a =为13222=-，解得a =1.【答案】111.（全国Ⅰ文16）若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15 ②30 ③45 ④60 ⑤75其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）【解析】解：两平行线间的距离为211|13|=+-=d ，由图知直线m 与1l 的夹角为o 30，1l 的倾斜角为o45，所以直线m 的倾斜角等于0754530=+o或0153045=-o。
【答案】①⑤12.（全国Ⅱ理16）已知AC BD 、为圆O :224x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为(M ,则四边形ABCD 的面积的最大值为 。
【解析】设圆心O 到AC BD 、的距离分别为12d d 、,则222123d d OM ==+.四边形ABCD 的面积22121||||8()52S AB CD d d =⋅=≤-+= 【答案】513.（全国Ⅱ文15）已知圆O ：522=+y x 和点A （1，2），则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于【解析】由题意可直接求出切线方程为y -2=21-(x -1)，即x +2y -5=0,从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和25，所以所求面积为42552521=⨯⨯。
【答案】 25414.（湖北文14）过原点O 作圆x 2+y 2-－6x －8y ＋20=0的两条切线，设切点分别为P 、Q ，则线段PQ 的长为 。
【解析】可得圆方程是22(3)(4)5x y -+-=又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得4PQ =. 【答案】415.（江西理16）．设直线系:cos (2)sin 1(02)M x y θθθπ+-=≤≤,对于下列四个命题： A ．M 中所有直线均经过一个定点 B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上C ．对于任意整数(3)n n ≥，存在正n 边形,其所有边均在M 中的直线上D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．【解析】因为c o s (2)s i n x y θθ+-=所以点(0,2)P 到M 中每条直线的距离1d==即M为圆C:22(2)1x y+-=的全体切线组成的集合,从而M中存在两条平行直线,所以A错误；又因为(0,2)点不存在任何直线上,所以B正确；对任意3n≥,存在正n边形使其内切圆为圆C,故C正确；M中边能组成两个大小不同的正三角形ABC和AEF,故D错误,故命题中正确的序号是B,C.【答案】,B C三、解答题16.（2009江苏卷18）（本小题满分16分）在平面直角坐标系xoy中，已知圆221:(3)(1)4C x y++-=和圆222:(4)(5)4C x y-+-=.（1）若直线l过点(4,0)A，且被圆1C截得的弦长为线l的方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线1l和2l，它们分别与圆1C和圆2C相交，且直线1l被圆1C截得的弦长与直线2l被圆2C截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。
解(1)设直线l的方程为：(4)y k x=-，即40kx y k--=由垂径定理，得：圆心1C到直线l的距离1d==，1,=化简得：272470,0,,24k k k or k+===-求直线l的方程为：0y=或7(4)24y x=--，即0y=或724280x y+-=(2) 设点P坐标为(,)m n，直线1l、2l的方程分别为：1(),()y n k x m y n x mk-=--=--，即：110,0kx y n km x y n mk k-+-=--++=因为直线1l被圆1C截得的弦长与直线2l被圆2C截得的弦长相等，两圆半径相等。
由垂径定理，得：：圆心1C到直线1l与2C直线2l的距离相等。
41|5|n m --++=化简得：(2)3,(8)5m n k m n m n k m n --=---+=+-或 关于k 的方程有无穷多解，有：20,30m n m n --=⎧⎧⎨⎨--=⎩⎩m-n+8=0或m+n-5=0 解之得：点P 坐标为313(,)22-或51(,)22-。
2005—2008年高考题一、选择题1.（2008年全国Ⅱ理11）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20x y +-=与x -7y -4=0, 原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ）.A ．3B ．2C ．13-D ．12-答案 A解析 1,02:11-==-+k y x l ，71,047:22==--k y x l ，设底边为kx y l =:3 由题意，3l 到1l 所成的角等于2l 到3l 所成的角于是有371711112211+-=-+⇒+-=+-k k k k k k k k k k k再将A 、B 、C 、D 代入验证得正确答案 是A 。
2.（2008年全国Ⅱ文3）原点到直线052=-+y x 的距离为（ ）A ．1B ．3C ．2D ．5答案 D 解析 52152=+-=d 。
3.（2008四川４）将直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位长度，所得到的直线为( )A .1133y x =-+ B .113y x =-+ C .33y x =-D .113y x =+ 答案 A4.（2008上海15）如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．若点()P x y ，、点()P x y '''，满足x x '≤且y y '≥，则称P 优于P '．如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧 （ ） Ａ． B ．C ．D ．答案 D5.（2007重庆文）若直线 与圆122=+y x 相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°（其中O 为原点），则k 的值为（ ） A .-3或3 B .3 C .-2或2D .2答案 A6.（2007天津文）“2a =”是“直线20ax y +=平行于直线1x y +=”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C7．（2006年江苏）圆1)3()1(22=++-y x 的切线方程中有一个是（ ） A .x －y ＝0B .x ＋y ＝0C .x ＝0D .y ＝0答案 C8. （2005湖南文）设直线的方程是0=+By Ax ，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A 、 B 的值，则所得不同直线的条数是 （ ）A ．20B ．19C ．18D ．16 答案 C9. (2005全国Ⅰ文)设直线l 过点)0,2(-，且与圆122=+y x 相切，则l 的斜率是 工（ ）A .1±B .21±C .33±D .3±答案 C10.（2005辽宁）若直线02=+-c y x 按向量)1,1(-=平移后与圆522=+y x 相切，则c 的值为 （ ） A ．8或－2 B ．6或－4 C ．4或－6 D ．2或－8 答案 A11.（2005北京文）“m =21”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m －2)x +(m +2)y －3=0相互垂直”的( )A .充分必要条件B .充分而不必要条件C .必要而不充分条件D .既不充分也不必要条件 答案 B 二、填空题12. （2008天津文15，）已知圆C 的圆心与点(2,1)P -关于直线y =x +1对称，直线3x +4y -11=0与圆C 相交于B A ,两点，且6=AB ，则圆C 的方程为_______. 答案 22(1)18x y ++=13.（2008四川文14）已知直线:40l x y -+=与圆()()22:112C x y -+-=，则C 上各点到l 的距离的最小值为_______. 答案 214.（2008广东理11）经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线程是 ． 答案 10x y -+=15.（2007上海文）如图，A B ，是直线l 上的两点，且2=AB 与l 相切于A B ，点，C 是这两个圆的公共点，则圆弧面积S 的取值范围是 ．答案⎦⎤ ⎝⎛-22,0π16.（2007湖南理）圆心为(11)，且与直线4x y +=相切的圆的方程是 ．答案 (x -1)2+(y -1)2=2 17. ( 2006重庆理)已知变量x ,y 满足约束条件1≤x +y ≤4,-2≤x -y ≤2.若目标函数z =ax +y (其中a ＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为___. 答案 a ＞118.（2005江西）设实数x ,y 满足的最大值是则x y y y x y x ,03204202⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤-- .答案23 第二部分 三年联考汇编2009年联考题一、选择题1.(西南师大附中高2009级第三次月考)“a = 3”是“直线210a x y --=与直线640x y c -+=平行”的（ ）条件A ．充要B ．充分而不必要C ．必要而不充分D ．既不充分也不必要答案 C2.(重庆市大足中学2009年高考数学模拟试题)直线x +y +1=0与圆()2122=+-y x 的位置关系是 （ ） A .相交 B .相离 C .相切 D .不能确定答案 C3.(西南师大附中高2009级第三次月考)两圆32cos 3cos 42sin 3sin x x y y θθθθ=-+=⎧⎧⎨⎨=+=⎩⎩与的位置关系是（ ）A ．内切B ．外切C ．相离D ．内含答案 B4. (西南师大附中高2009级第三次月考)已知点P （x ，y ）是直线kx +y +4 = 0（k > 0）上一动点，PA 、PB 是圆C ：2220x y y +-=的两条切线，A 、B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为 （ ）A ．3BC ．D ．2答案 D5. (福建省南安一中、安溪一中、养正中学2009届高三期中联考)已知实系数方程x 2+ax +2b =0,的一个根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则21b a --的取值范围是 （ ） A ．（14，1）B ．（12，１） Ｃ．（－12，14） Ｄ．（０，13）答案 A6.(广东省华南师范附属中学2009届高三上学期第三次综合测试)点(4,)t 到直线431x y -=的距离不大于3，则t 的取值范围是 （ ）A ．13133t ≤≤ B ．100t << C ．100t ≤≤D ．0t <或10t >答案 C7. (四川省成都市2009届高三入学摸底测试)已知圆的方程为22680x y x y +--=，设圆中过点(2,5)的最长弦与最短弦分别为AB 、CD ，则直线AB 与CD 的斜率之和为( )A .1-B .0C . 1D .2-答案 B8.(湖南省长郡中学2009届高三第二次月考)直线)1(1:-=-x k y l 和圆0222=-+y y x 的关系是（ ） A .相离 B .相切或相交C .相交D .相切答案 C9. (福建省宁德市2009届高三上学期第四次月考)过点)2,1(M 的直线l 将圆(x -2)2+y 2=9分成 两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l 的方程是 （ ）A ．1=xB ．1=yC ．01=+-y xD ．032=+-y x答案 D二、填空题10.(广东省华南师范附属中学2009届高三上学期第三次综合测试)从圆(x -1)2+(y -1)2=1外一点(2,3)P 向这个圆引切线，则切线长为 ． 答案 211.(江苏省赣榆高级中学2009届高三上期段考)直线032=-+y x 与直线04=++b y ax关于点)0,1(A 对称，则b ＝___________。