第九章 9.7解析几何

1．抛物线的概念

平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质

【知识拓展】

1．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p

2，也称为抛物线的焦半径．

2．y 2＝ax 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a

4

.

3．设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 2

4

，y 1y 2＝－p 2.

(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p

sin 2α(α为弦AB 的倾斜角)．

(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．

(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦． 【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是(a

4，0)，准线方程

是x ＝－a

4

.( × )

(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × )

(4)AB 为抛物线y 2

＝2px (p >0)的过焦点F (p 2，0)的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 2

4

，y 1y 2

＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( √ )

1．(2016·四川)抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是( ) A ．(0,2) B ．(0,1) C ．(2,0) D ．(1,0)

答案 D

解析 ∵对于抛物线y 2＝ax ，其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫

a 4，0， ∴对于y 2＝4x ，焦点坐标为(1,0)．

2．(2016·甘肃张掖一诊)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( ) A ．9B ．8C ．7D ．6 答案 B

解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1. 根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.

3．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )

A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1] D ．[－4,4]

答案 C

解析 Q (－2,0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，

由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0， 解得－1≤k ≤1.

4．(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________________． 答案 y 2＝－8x 或x 2＝－y

解析 设抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)或x 2＝2py (p ≠0)．将P (－2，－4)代入，分别得方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y .

5．(2017·合肥调研)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为________． 答案 2

解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p 2，

圆x 2＋y 2－6x －7＝0，即(x －3)2＋y 2＝16， 则圆心为(3,0)，半径为4.

又因为抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，所以3＋p

2＝4，

解得p ＝2.

题型一 抛物线的定义及应用

例1 设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________． 答案 4 解析 如图，

过点B 作BQ 垂直准线于点Q ， 交抛物线于点P 1，

则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.

即|PB|＋|PF|的最小值为4.

引申探究

1．若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．

解由题意可知点(3,4)在抛物线的外部．

∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，

∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝42＋22

＝16＋4＝25，

即|PB|＋|PF|的最小值为2 5.

2．若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．

解由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．

点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，

所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.

易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为

|1＋5|

12＋(－1)2

＝32，

所以d1＋d2的最小值为32－1.

思维升华与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．

设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．

答案 5

解析如图，

易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，

由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．

于是，问题转化为在抛物线上求一点P，

使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，

显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，

此时最小值为[1－(－1)]2＋(0－1)2＝ 5.