4-4角函数(二倍角)
二倍角公式
二倍角公式
在高中理科的学习中是非常重要的，常言道“数理化不分家”，学好数学对学习其他理科学科有非常大的帮助。
数学公式是学习数学需要掌握的基础知识，下面大家整理了二倍角公式，供大家参考。
二倍角公式：sin2=2sincos。
cos2=cos^2-sin^2=2cos^2-1=1-2sin^2。
tan2=2tan/1-tan^2。
倍角公式，是中非常实用的一类公式。
就是把二倍角的三角函数用本角的三角函数表示出来。
在计算中可以用来化简计算式、减少求三角函数的次数，在工程中也有广泛的运用。
倍角公式是三角函数中非常实用的一类公式。
三角学中”正弦”和”余弦”的概念就是由印度数学家首先引进的，他们还造出了比托勒密更精确的正弦表。
我们已知道，托勒密和希帕克造出的弦表是圆的全弦表，它是把圆弧同弧所夹的弦对应起来的。
印度数学家不同，他们把半弦AC与全弦所对弧的一半AD相对应，即将AC与∠AOC对应。
sin2等于2sincos。
这其实是由两角和的正弦公式，由siny=sincosycossiny得到。
三角函数中和差化积公式
1、sinθsinφ=2sin
2、sinθ-sinφ=2cos
3、cosθcosφ=2cos
4、cosθ-cosφ=-2sin
5、tanAtanB=sinAB/cosAcosB=tanAB1-tanAtanB
6、tanA-tanB=sinA-B/cosAcosB=tanA-B1tanAtanB
以上二倍角公式的内容到这里就结束了，希望帮助同学们复习。
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二倍角公式的理解与应用PPT
03
二倍角公式的应用举例
在三角函数中应 用二倍角公式
理解公式来源 二倍角公式源于对三角函数的观察与总结，如sin2θ=2sinθcosθ。 简化复杂运算 利用二倍角公式可将复杂的三角函数关系简化为易于处理的二次关系。 应用广泛 在物理，工程，计算机图形等领域，二倍角公式的应用十分普遍。 举例说明 例如，求解三角形角度时，可以利用二倍角公式快速求得答案。
二倍角公式的构成元素
二倍角公式的由来 二倍角公式起源于17世纪，由数学家欧拉提出，用以简化三角函数运算。 正弦和余弦的关系 在二倍角公式中，正弦与余弦是一对核心元素，二者的关系为 sin2θ=2sinθcosθ。 二倍角公式的应用广泛 在物理、电气工程等领域，二倍角公式被广泛应用于解决各种复杂的三 角函数问题。 半角公式与二倍角公式的联系 二倍角公式可以看作是半角公式的推广，即当θ=π/2时，二倍角公式就 变成了半角公式sinθ=±1或cosθ=0。
在解方程过程中使用二倍角公式
二倍角公式的简化运算
通过使用二倍角公式，我们可以将复 杂的三角函数运算简化为简单的加减 乘除，如2sinxcosx=sin2x。
二倍角公式在解方程中的有效性
在解决包含正弦、余弦等三角函数的 复杂方程时，利用二倍角公式可以大 大减少计算量，提高解题效率。
二倍角公式的广泛应用
如何处理复杂Βιβλιοθήκη 二倍角公式问题理解二倍角公式
二倍角公式是三角函数中的重 要工具，它简化了复杂的角度 运算。
掌握公式应用
通过实例演示，如计算 sin36°=2×sin18°等，可以加 深对二倍角公式的理解和应用 。
解决实际问题
利用二倍角公式，我们可以轻 松解决一些涉及复杂角度的数 学和物理问题。
二倍角公式课件
描述
通过二倍角公式，我们可以将一个角 度的三角函数值转化为两个较小角度 的三角函数值的组合，从而简化计算 过程。
二倍角公式的推导过程
推导
二倍角公式的推导主要基于三角函数的加法定理和倍角公式。通过将一个角度的三角函数值表示为两个较小角度的三 角函数值的和或差，再利用三角函数的加法定理进行化简，最终得到二倍角公式。
02
03
04
题目一
计算sin(45°)的值。
答案解析
通过二倍角公式，可以将45° 转换为2×22.5°，然后利用已 知的三角函数值进行计算。
题目二
求cos(135°)的值。
答案解析
利用二倍角公式，将135°转 换为2×67.5°，然后利用已知
的三角函数值进行计算。
THANKS
感谢观看
二倍角公式ppt课件
目录
• 二倍角公式的定义 • 二倍角公式的形式 • 二倍角公式的扩展 • 二倍角公式的应用 • 总结与回顾
01
二倍角公式的定义
Chapter
什么是二倍角公式
定义
二倍角公式是三角函数中一系列用于 计算二倍角度Leabharlann 正弦、余弦和正切的 公式。举例
二倍角公式中最常用的有正弦二倍角 公式、余弦二倍角公式和正切二倍角 公式。
二倍角公式的应用场景
应用领域
二倍角公式在数学、物理、工程等领域都有广泛的 应用。例如，在求解振动问题、波动问题、电磁学 问题等过程中，常常需要用到二倍角公式来化简角 度或计算相关量。
举例说明
在求解振动问题时，常常需要用到正弦二倍角公式 来计算振幅、频率等参数；在求解波动问题时，需 要用到余弦二倍角公式来计算波速、波长等参数； 在求解电磁学问题时，需要用到正切二倍角公式来 计算电场强度、磁场强度等参数。
二倍角的三角函数公式课件-2022-2023学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册
9
4
＝
−(2×25−1)×(−5)
3
5
28
＝− 75.
高中数学
必修第二册
北师大版
sin
sin 2+2sin2 sin 2+2sin cos · cos
（方法2） 1−tan ＝
＝sin
1−tan
17π
∵ 12 < <
π
7π
5π
，∴
4
3
1+tan
π
π
2 · 1−tan ＝−cos( 2 + 2)tan( 4 + ).①
1
8
1
8
1
8
＝ cos 70°·cos 10°·cos 50°＝ cos 10°cos 50°cos 70°＝ .
1
1
∵ ≠0，∴ ＝8，即sin 10°sin 50°sin 70°＝8.
tan2 5°−1 sin 20°
2
（4）原式＝2·2tan 5° ·1+cos 20°＝− tan 10°·tan
必修第二册
北师大版
反思
感悟
反思感悟
（1）整体思想是三角函数求值中的常见思想，本题的前两种方法尤为值得注意，更为重要的是本题中的
π
角“2”与“ 4 +”的变换方法，即sin
π
π
π
2＝−cos( 2 +
π
π
2)＝−cos[2( 4
π
π
+ )]＝1-2cos 2 ( 4 +
π
( + )
)＝2sin2 4 -1.
（3）因式分解变形
二倍角公式
复数的除法： (a1+b1i)/(a2+ b2i)=(a1*a2+ b1*b2)/(a2^2 +b2^2)+(b1* a2a1*b2)/(a2^2
+0b2^2)i 4
微积分中的实例
导数的计算：利 用二倍角公式简 化导数的计算过 程
积分的计算：利 用二倍角公式将 积分转化为更容 易计算的形式
级数的求和：利 用二倍角公式求 解某些级数的和
级数：利用二倍 角公式进行级数 展开，方便求解
微分方程：利用 二倍角公式求解 微分方程，提高 求解速度
04
二倍角公式的应用方法
利用二倍角公式化简表达式
引入二倍角公式：cos(2x) = 2cos^2(x) - 1
举例说明：化简表达式 cos(2x) + cos(x)
应用二倍角公式：cos(2x) = 2cos^2(x) - 1， cos(x) = cos^2(x) sin^2(x)
求解sin(π/3)和cos(π/3)的值 c. 代入二倍角公式求解 sin(2π/3)的值
利用二倍角公式证明等式
引入二倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
设定等式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x) = 2sin(x)cos(x) 利用二倍角公式证明等式：将等式两边同时除以2，得到sin(x)cos(x) = sin(x)cos(x) 得出结论：等式成立，证明完毕。
单击此处输入你的智能图形项 正文
步骤： a. 利用二倍角公式将sin(2π/3) 转化为sin(π/3)和cos(π/3) b. 利用
三角函数值表或计算器求解sin(π/3)和 cos(π/3)的值 c. 代入二倍角公式求解
二倍角正弦余弦正切的公式
二倍角正弦余弦正切的公式二倍角公式是指将一个角的两倍角的正弦、余弦和正切表示为该角的正弦、余弦和正切的形式。
二倍角公式在三角函数的计算和证明中非常有用。
下面将详细介绍二倍角公式的推导和应用。
首先，我们先来看二倍角的定义。
对于一个角θ，它的两倍角是2θ。
也就是说，如果我们将角θ扩大2倍，得到的角度就是2θ。
接下来，我们来推导二倍角公式。
我们先从三角函数的角和公式开始。
三角函数的角和公式是指，当两个角的正弦、余弦和正切已知时，可以通过这个公式计算出这两个角的和的正弦、余弦和正切。
设角α和角β的正弦、余弦和正切分别为sinα、sinβ、cosα、cosβ、tanα和tanβ，则有以下关系式：sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβcos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβtan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanαtanβ)我们将角α和角β分别设为相同角θ，即α = β = θ，则上述公式可以简化为：sin(2θ) = sinθcosθ + cosθsinθ = 2sinθcosθcos(2θ) = cosθcosθ - sinθsinθ = cos^2θ - sin^2θ = 1 - 2sin^2θ = 2cos^2θ - 1tan(2θ) = (tanθ + tanθ) / (1 - tanθtanθ) = 2tanθ / (1 - tan^2θ)这就是二倍角公式的三种形式。
其中，sin(2θ) = 2sinθcosθ是二倍角正弦的公式，cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ = 1 -2sin^2θ = 2cos^2θ - 1是二倍角余弦的公式，tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan^2θ)是二倍角正切的公式。
二倍角公式的应用非常广泛，下面将介绍一些常见的应用场景。
1. 角的加倍：通过二倍角公式可以将一个角的两倍角表示为该角的正弦、余弦和正切的形式。
二倍角公式ppt(说课)
6 (3) 1 tan2 2 1 tan 2 2
2 tan
练习： 5 3 ) 1、已知 cos , ( , 13 2 求 sin 2 , cos 2 , tan 2 的值。 2、求下列各式的值：
(1) 2 sin 22 .5 cos 22 .5
注
,2
2
k
4
k k Z
余弦公式的另外两种形式
cos 2 cos sin 2 2cos 1 2 1 2sin
2 2
（只含 （只含
cos ）
sin ）
3 例1：已知 s in , ( , ) 5 2
tan tan tan( ) 1 tan tan
二、 二倍角公式 的推导
sin( ) sin cos cos sin sin 2 2sin cos cos( ) cos cos sin sin 2 2 cos2 cos sin tan tan tan( ) 1 tan tan 2 tan tan2 2 1 tan
求
sin 2 , cos 2 , tan 2
的值
2
sin cos 1
2
例2：求下列各式的值
(1) sin 15 cos15
2
( 2Байду номын сангаас 2 sin 22 .5 1 tan 22 .5 (3) 2 1 tan 22 .5
公式的逆用
例3：化简下列各式
(1)4 sin cos (2)2 cos ( ) 1 4 2
二倍角公式教案
二倍角公式教案二倍角公式是高中数学中的一个重要概念，它与三角函数的性质密切相关。
本教案将以通俗易懂的方式，帮助学生理解和掌握二倍角公式的概念和应用。
一、教学目标1. 理解二倍角公式的定义及其推导过程；2. 能够熟练运用二倍角公式求解相关问题；3. 能够将二倍角公式应用于实际问题的解决；4. 提高学生对数学的抽象思维能力和计算能力。
二、教学步骤步骤一：引入知识（10分钟）教师可设计一个小游戏或提出一个引人入胜的问题，引起学生的兴趣，来激发学生学习的积极性。
例如，可以出示一个三角形的角度ABC，让学生猜测角度BAC是多大，并给出合理的解释。
步骤二：概念解释与推导过程（15分钟）1. 教师通过对前一步骤的问题的解答，引出二倍角的概念。
2. 教师通过几何图形的引入，解释正弦、余弦和正切函数以及角度的概念。
3. 教师通过将角度的一半和角度的两倍的对比，引出二倍角公式的概念。
4. 教师通过几何图形的推导，解释二倍角公式的推导过程。
步骤三：公式的证明与性质（15分钟）1. 教师通过使用数学恒等式，根据三角函数的性质，证明二倍角公式的正确性。
2. 教师解释二倍角公式的几何意义，即角度的一半和两倍之间的关系。
3. 教师提出二倍角公式的数学性质，让学生通过举例来验证。
步骤四：公式的应用与问题解决（20分钟）1. 教师提供一些二倍角公式的应用问题，并引导学生运用二倍角公式进行计算。
2. 教师通过对问题的解答过程的讲解，让学生理解二倍角公式在解决实际问题中的应用。
3. 教师设计一些扩展问题，让学生发散思维，拓展应用二倍角公式的能力。
步骤五：小结与巩固（10分钟）教师对本节课的内容进行小结，强调二倍角公式的重要性和实用性。
并布置相关练习，巩固学生对二倍角公式的理解和应用。
三、教学重点和难点1. 理解二倍角公式的定义及其推导过程；2. 能够熟练运用二倍角公式求解相关问题。
四、教学方式1. 引导式教学：通过问题引导学生主动思考，激发他们的学习兴趣。
数学二倍角公式有哪些
数学二倍角公式有哪些数学中的二倍角公式是指将一个角度的度数加倍后得到的角度，可以用于简化求解三角函数、三角方程等各种数学问题。
以下是数学中常用的二倍角公式及其推导过程。
1. 正弦函数的二倍角公式sin 2θ = 2 sin θ cos θ该公式表示一个角度的正弦值的二倍等于该角度的正弦值的两倍角（即sin 2θ），等于该角度的正弦值与余弦值的积的两倍（即2 sin θ cos θ）。
可以通过以下步骤推导出该公式：根据正弦函数的定义，sin θ = 对边 / 斜边，即 sin θ = a / c。
则有：sin 2θ = sin (θ + θ)用三角恒等式sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β，将sin 2θ 分解成两个角度的正弦值乘积之和，即: sin 2θ = sin (θ + θ) = sin θ cos θ + cos θ sin θ = 2 sin θ cos θ2. 余弦函数的二倍角公式cos 2θ = cos² θ - sin² θ该公式表示一个角度的余弦值的二倍等于该角度的余弦值的平方减去正弦值的平方（即cos 2θ），等于1减去2倍该角度正弦值的平方（即cos 2θ=1-2sin² θ）。
可以通过以下步骤推导出该公式：根据余弦函数的定义，cos θ = 邻边 / 斜边，即 cos θ = b / c。
则有：cos 2θ = cos (θ + θ)用三角恒等式cos (α + β) = cos α cos β - sin αsin β，将cos 2θ 分解成两个角度的余弦值乘积之差，即：cos 2θ = cos (θ + θ) = cos ²θ − sin ²θ3. 正切函数的二倍角公式tan 2θ = (2 tan θ) / (1 - tan² θ)该公式表示一个角度的正切值的二倍等于2倍该角度的正切值除以1减去该角度的正切值的平方（即tan 2θ=2tanθ / (1-tan² θ)）。
角函数与双曲函数基本公式对照表
圆函数（三角函数）1.基本性质：sin tan cos x x x =,cos cot sin xx x = 1sec cos x x =,1csc sin x x =tan cot 1x x =sin csc 1x x = sec cos 1x x =22sin cos 1x x +=221tan sec x x +=,221cot csc x x +=2.奇偶性：sin()sin x x -=- cos()cos x x -= tan()tan x x -=-3.两角和差公式sin()sin cos cos sin x y x y x y ±=± cos()cos cos sin sin x y x y x y ±=m tan tan tan()1tan tan x yx y x y±±=m4.二倍角公式 sin 22sin cos x x x =2222cos 2cos sin 2cos 112sin x x xx x=-=-=-22tan tan 21tan xx x=-双曲函数1.基本性质：sh th ch x x x =,ch cth sh xx x= 1sech ch x x =,1csch sh x x =th cth 1x x = sh csch 1x x = sech ch 1x x =22ch sh 1x x -=221th sech x x -=,221cth csch x x -=-2.奇偶性：sh()sh x x -=- ch()ch x x -= th()th x x -=-3.两角和差公式sh()sh ch ch sh x y x y x y ±=± ch()ch ch sh sh x y x y x y ±=± th th th()1th th x yx y x y±±=±4.二倍角公式 sh 22sh ch x x x =2222ch 2ch +sh 2ch 112sh x x xx x==-=+ 22th th 21th xx x=+5.半角公式 21cos sin 22x x -=,21cos cos 22x x += sin 1cos tan 21cos sin x x xx x-==+ 21cos 2sin 2x x -=,21cos 2cos 2x x +=6.万能公式22tan2sin 1tan 2xx x=+,221tan 2cos 1tan 2x x x -=+ 22tan2tan 1tan 2x x x=-7.三倍角公式3sin33sin 4sin x x x =-3cos34cos 3cos x x x =-8.积化和差公式()()1sin cos sin sin 2x y x y x y =++-⎡⎤⎣⎦()()1cos sin sin sin 2x y x y x y =+--⎡⎤⎣⎦ ()()1cos cos cos cos 2x y x y x y =++-⎡⎤⎣⎦()()1sin sin cos cos 2x y x y x y =-+--⎡⎤⎣⎦9.和差化积公式sin sin 2sin cos 22x y x yx y +-+=sin sin 2cos sin22x y x yx y +--=cos cos 2cos cos22x y x yx y +-+=cos cos 2sin sin22x y x yx y +--=- 5.半角公式2ch 1sh 22x x -=,2ch 1ch 22x x +=sh ch 1th 2ch 1sh x x x x x-==+2ch 12sh 2x x -=,2ch 12ch 2x x +=6.万能公式22th2sh 1th 2xx x =-,221th 2cos 1th 2x x x +=- 22th2th 1th 2x x x =+7.三倍角公式3sh 33sh 4sh x x x =+ 3ch34ch 3ch x x x =-8.积化和差公式()()1sh ch sh sh 2x y x y x y =++-⎡⎤⎣⎦()()1ch sh sh sh 2x y x y x y =+--⎡⎤⎣⎦ ()()1ch ch ch ch 2x y x y x y =++-⎡⎤⎣⎦()()1sh sh ch ch 2x y x y x y =+--⎡⎤⎣⎦9.和差化积公式sh sh 2shch 22x y x yx y +-+=sh sh 2ch sh22x y x yx y +--=ch ch 2ch ch22x y x yx y +-+=ch ch 2sh sh22x y x yx y +--=。
《二倍角的正弦、余弦、正切公式》三角函数
在化学中，三角函数也有着广泛的应 用，如化学键的形成、分子轨道的能 级等。在化学键的形成过程中，原子 之间的相互作用力可以用三角函数来 表示。在分子轨道的能级计算中，也 可以利用三角函数来描述电子的运动 状态。
在工程中，三角函数的应用更是无处 不在，如建筑设计、机械振动、信号 处理等。在建筑设计领域，建筑物的 形状、尺寸和结构都可以用三角函数 来表示。在机械振动领域，振动的周 期、振幅和相位都可以用三角函数来 描述。在信号处理领域，信号的调制 和解调、滤波和放大等都可以利用三 角函数来实现。
图像特征
正弦函数、余弦函数和正切函数 的图像都是周期性的，并且具有 对称性。
性质分析
通过观察三角函数的图像，可以 分析其性质，如最值、零点、对 称轴等。
三角函数图像的变换规律及性质应用
变换规律
通过平移、伸缩等变换，可以得到其他三角函数的图像。
性质应用
利用三角函数的性质，可以解决一些实际问题，如振动问题 、波动问题等。
将$\cos(2\theta)$ 表示为 $2\cos(\theta)\cos( \theta)$
二倍角余弦公式的应用举例
计算二倍角的余弦值
例如，计算$\cos(45^\circ)$，可以 将其表示为$\cos(2 \times 22.5^\circ)$，然后利用二倍角余弦 公式进行计算。
化简三角函数表达式
在使用二倍角余弦公式时，需要注意 角度的取值范围，避免出现错误的结 果。
04
二倍角的正切公式
二倍角正切公式的推导过程
定义二倍角
对于任意角θ，其二倍角定义为2θ，即 θ+θ=2θ。
利用正切的定义
tan(θ)=sin(θ)/cos(θ)。
利用三角函数的和差公式
三角公式总结正弦定理余弦定理诱导公式二倍角公式半角公式积化和差公式和差化积公式
三角公式总结正弦定理余弦定理诱导公式二倍角公式半角公式积化和差公式和差化积公式三角公式是解决三角形问题的基本工具，包括正弦定理、余弦定理、诱导公式、二倍角公式、半角公式、积化和差公式和和差化积公式等。
下面我们详细介绍这些公式。
1. 正弦定理（Sine Rule）：在一个三角形ABC中，边长a、b、c与其对应的角A、B、C满足如下关系：a/sinA = b/sinB = c/sinC这个公式可以用于求解已知三角形任意两边及其夹角，求解三角形内外角和的问题。
2. 余弦定理（Cosine Rule）：在一个三角形ABC中，边长a、b、c 与其对应的角A、B、C满足如下关系：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC这个公式可以用于求解已知三角形两边及其夹角，求解三角形内外角和的问题。
3. 诱导公式（Tangent Addition Formula）：对于角A和角B，有如下关系：tan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA*tanB)tan(A-B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA*tanB)这个公式可以用于求解角的和与差的正切值。
4. 二倍角公式（Double Angle Formula）：对于角A，有如下关系：sin(2A) = 2*sinA*cosAcos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A)tan(2A) = 2*tanA / (1 - tan^2(A))这个公式可以用于求解角的两倍角的正弦、余弦和正切值。
5. 半角公式（Half Angle Formula）：对于角A，有如下关系：sin(A/2) = ±√[(1 - cosA) / 2]cos(A/2) = ±√[(1 + cosA) / 2]tan(A/2) = ±√[(1 - cosA) / (1 + cosA)]这个公式可以用于求解角的半角的正弦、余弦和正切值。
二倍角公式
二倍角公式
二倍角公式是三角函数中的一种重要的公式，它用于计算角度的倍数。
在三角函数中，角度的一倍被称为原角，两倍被称为二倍角。
二倍角公式可以通过原角的余弦、正弦或正切来表示。
下面我们将介绍正弦、余弦和正切的二倍角公式。
1. 正弦的二倍角公式：
根据三角函数的定义，正弦函数表示一个角的对边与斜边的比值。
正弦的二倍角公式可以表示为：
sin(2θ) = 2sinθcosθ
2. 余弦的二倍角公式：
余弦函数表示一个角的邻边与斜边的比值。
余弦的二倍角公式可以表示为：
cos(2θ) = cos²θ - sin²θ
或者
cos(2θ) = 2cos²θ - 1
或者
cos(2θ) = 1 - 2sin²θ
3. 正切的二倍角公式：
正切函数表示一个角的对边与邻边的比值。
正切的二倍角公式可以表示为：
tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan²θ)
这些二倍角公式可以用于计算二倍角的正弦、余弦和正切值。
在实际问题中，二倍角公式在三角函数的求解和应用中具有广泛的应用。
例如，在解三角方程、证明三角恒等式和计
算三角函数值等方面都会用到二倍角公式。
总结起来，二倍角公式是三角函数中的重要公式，包括正弦、余弦和正切的二倍角公式。
它们可以通过原角的正弦、余弦或正切来计算二倍角的值。
这些公式在解决实际问题和证明三角恒等式时起到了重要的作用。
二倍角公式的灵活应用
二倍角公式
一、教学目标
1、知识与技能：
① 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。
② 运用上述公式进行简单的三角函数式求值、化简。
2、过程与方法：
① 理解二倍角公式引入的意义。
② 研究三角函数化简求值的方法。
3、情感态度与价值观：
鼓励学生大胆猜想，勇于实践的探索精神。
二、教学重点
二倍角公式的推导、C2的两种变形公式及应用。
（四）、问题变形
学生自主探究。
设计意图
遗忘的规律是先快后慢，过程的再现是深刻记忆的重要途径，在经历思考问题－观察发现－到一般化结论的探索过程，从特殊到一般，数形结合，学生对知识的理解与掌握以深入脑中，此时以类同问题的提出，大胆的放手让学生分组讨论，重现了探索的整个过程，加深了知识的深刻记忆，对学生无形中鼓舞了气势，增强了自信，加大了挑战.而新知识点的自主探讨，对教师驾驭课堂的能力也充满了极大的挑战.彼此相信，彼此信任，产生了师生的默契，师生共同进步.展示学生自主探究的结果给出本节课的课题 ：三角函数公式。设计意图
cos22cos21，cos212sin2.二、应用训练 ㈠、公式的正用：
已知cos34,1800,2700,求sin2、cos2的值.解：因为cos3,1800,2700,43132
所以，sin1cos2144,所以，sin22sincos21334439,82cos22cos21234来自5.8㈡公式的反用：求下列各式的值
sinsincoscossincoscoscossinsin
tantantan1tantan
要求：
掌握三个公式的形式与结构并熟记公式 新授：
一、二倍角的正弦、余弦以及正切公式的导出
在上述正弦、余弦以及正切的和角公式中
二倍角公式用法
二倍角公式用法二倍角公式是解析几何中一种非常重要的公式，它常用于求解角的正弦、余弦、正切等三角函数值的问题。
在几何学、物理学、工程学等学科中，二倍角公式都有广泛的应用。
下面我们来详细介绍一下二倍角公式的用法。
首先，我们先给出二倍角公式的表达式：sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ)tan(2θ) = 2tan(θ) / (1 - tan²(θ))从上述公式可以看出，二倍角公式可以将一个角的三角函数值与一个或两个同名三角函数值相乘、相加、相除等形式进行转化。
这种转化可以将原问题转化为一个更简单的问题，从而更方便地求解。
接下来我们来看看二倍角公式的具体用法。
首先，二倍角公式可以用来求解正弦、余弦函数值。
假设我们已知一个角θ的正弦函数值为0.5，那么利用sin(2θ) =2sin(θ)cos(θ)公式，我们可以得到sin(2θ)的值为1。
同样地，如果我们已知cos(θ)的值为0.8，那么利用cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ)公式，我们可以得到cos(2θ)的值为0.36。
其次，二倍角公式还可以用来求解正切函数值。
假设我们已知一个角θ的正切函数值为1，那么利用tan(2θ) = 2tan(θ) / (1 - tan²(θ))公式，我们可以得到tan(2θ)的值为2/3。
除了求解三角函数值外，二倍角公式还可以应用于解析几何问题中。
例如，在直角三角形中，如果我们已知一个角θ的值，可以通过二倍角公式推导出另一个角2θ的值。
这样，我们就能够更全面地了解直角三角形的性质，进而解决与之相关的几何问题。
此外，在物理学和工程学中，二倍角公式也经常用于求解周期性现象。
例如，当要分析一个振动系统的运动规律时，可以利用二倍角公式将正弦函数或余弦函数进行转化，以便更加方便地描述和计算系统的振动特性。
二倍角公式三角函数公式
二倍角公式三角函数公式
三角函数是数学中非常重要的一类函数，它们可以用来表示和解决许多与三角形相关的问题。
它们是一组通用的函数，用来表示各种物理和几何问题，是数学中最基本的函数。
三角函数公式是在三角形中常用的一组公式，用于解决和描述三角形边长、角度和其他特性之间的关系。
三角函数公式还可以用来解决一些更复杂的问题，例如求解向量、圆形和椭圆形等复杂几何图形的一些特性。
其中最常用的是余弦定理，它可以用来解决三角形的三边长度和三角形内角之间的关系。
此外，三角函数公式还有一种叫做二倍角公式的特殊形式，它可以用来解决一些更复杂的问题，例如三角函数的值的计算、三角函数的反函数的求解等问题。
二倍角公式的定义是：若θ
为任意角，则cos2θ=cos2*cosθ-sin2*sinθ，sin2θ=2sinθ*cosθ。
二倍角公式的应用非常广泛，可以用来求解多边形的面积、求解三角形的面积等问题。
它可以用来解决许多复杂几何问题，也可以用来解决物理问题，比如求解力学问题中的物体运动轨迹。
总而言之，三角函数公式和二倍角公式是数学中非常重要的一类函数，它们可以用来解决各种物理和几何问题，也可以用来解决一些更复杂的问题，因此它们是非常重要的数学工具。
二倍角公式和差化积
二倍角公式和差化积二倍角公式和差化积是高中数学中重要的公式和化简技巧，用于简化三角函数的表达式。
在本文中，我们将介绍二倍角公式和差化积的概念、推导过程以及应用。
一、二倍角公式二倍角公式是指将一个角的两倍表示为该角的函数的形式。
我们以正弦函数为例进行讨论。
1. 正弦函数的二倍角公式对于任意角θ，正弦函数的二倍角公式可以表示为：sin(2θ) = 2sinθcosθ这个公式可以通过将sin(2θ)展开为sin(θ+θ)并利用和差化积的公式推导得到。
具体推导过程如下：sin(2θ) = sin(θ+θ)= sinθcosθ + cosθsinθ= 2sinθcosθ2. 余弦函数的二倍角公式对于任意角θ，余弦函数的二倍角公式可以表示为：cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ这个公式可以通过将cos(2θ)展开为cos(θ+θ)并利用和差化积的公式推导得到。
具体推导过程如下：cos(2θ) = cosθcosθ - sinθsinθ= cos^2θ - sin^2θ其他三角函数如正切函数、余切函数、正割函数、余割函数等也存在对应的二倍角公式，读者可以通过类似的推导过程得到。
二、差化积差化积是一种通过将三角函数的和差化为积的方法，从而简化三角函数的表达式。
在差化积中，最常见的应用是将两个三角函数的和差表示为一个三角函数的形式。
以正弦函数为例，差化积的公式可以表示为：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB - cosAsinB这些公式可以通过将sin(A+B)和sin(A-B)展开为对应的和差形式，并利用和差化积的公式推导得到。
三、应用二倍角公式和差化积在解决三角函数的问题和化简三角函数的表达式时非常有用。
1. 解三角函数的问题通过使用二倍角公式，我们可以将原问题中的角度转化为角度的函数形式，从而更方便地进行计算。
例如，在计算sin(120°)时，我们可以将120°表示为60°的二倍角，即sin(120°) = sin(2×60°) = 2sin60°cos60°。
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
二 化简三角函数式
【例3】 化简下列各式： (1)1s－inα2csoins2αα； (2)1－1tanθ2－1＋1tanθ2. 【分析】 本题主要考查二倍角公式和三角恒等变形与代 数恒等变形能力，重点考查逆用公式的能力．
1 【解】 (1)1s－inα2csoins2αα＝2csoisn22αα＝12tan2α. (2)解法1：原式＝1＋tan1θ2－－tan12θ2－tanθ2
∴定义域不关于原点对称．
∴原函数不具有奇偶性.
cos4π＋x＝sin2π－π4＋x
＝sinπ4－x＝153，
120 ∴原式＝1659＝2143.
13
解法二：原式＝scionsπ24π＋＋2xx ＝2sinπ4c＋osx4π·＋coxs4π＋x＝2sinπ4＋x. ∵sinπ4－x＝cos4π＋x＝153，且0<x<4π， ∴π4＋x∈π4，π2，
(4)原式＝2sin20°cos22s0in°2co0s°40°cos80° ＝2sin40°4csoins4200°°cos80° ＝2sin88s0in°2co0s°80°＝s8isni1n6200°°＝18.
规律技巧 解答此类题目一方面要注意角的倍数关系，另 一方面要注意函数名称的转化方法，同角三角函数的关系及诱 导公式是常用方法.
三 给值化简求值
【例4】，0<x<
π 4
，求
cos2x cos4π＋x
的
【分析】 解答本题可先化简所求式子，由化简的结果再
去寻求条件得出结论，或直接寻求条件，分析与所求式子的联
系，灵活求解．
【解】 解法一：∵x∈0，4π，∴4π－x∈0，4π. ∵sinπ4－x＝153，∴cos4π－x＝1123. 又cos2x＝sin2π－2x ＝2sinπ4－xcos4π－x ＝2×153×1123＝112609，
初中二倍角解题思路
初中二倍角解题思路1. 什么是二倍角在初中数学中，我们学习了三角函数，其中包括正弦、余弦和正切等。
而二倍角是指一个角的两倍大小的角。
我们可以用一些公式来表示二倍角：•正弦的二倍角公式：sin (2θ)=2sinθcosθ •余弦的二倍角公式：cos (2θ)=cos 2θ−sin 2θ • 正切的二倍角公式：tan (2θ)=2tanθ1−tan 2θ 2. 解题思路当遇到需要计算二倍角的问题时，我们可以根据上述公式来求解。
下面将针对不同类型的题目给出解题思路。
2.1 已知一个角，求其二倍角的值如果已知一个角 θ 的值，要求计算其二倍角 2θ 的值，可以直接利用上述公式进行计算。
已知 θ=30∘，我们希望计算 2θ 的值。
根据正弦的二倍角公式：sin (2θ)=2sinθcosθ代入 θ=30∘：sin (60∘)=2sin30∘cos30∘我们知道 sin (60∘)=√32，sin30∘=12，cos30∘=√32代入上述值进行计算：√32=2⋅12⋅√32可以得到：√32=√322θ=60∘2.2 已知一个角的正弦或余弦值，求其二倍角的值如果已知一个角的正弦或余弦值，要求计算其二倍角的值，我们可以利用正弦和余弦的二倍角公式。
已知 sinθ=14，我们希望计算 sin (2θ) 的值。
根据正弦的二倍角公式：sin (2θ)=2sinθcosθ代入已知条件：sinθ=14可以得到：sin (2θ)=2⋅14cosθ我们还需要找到 θ 对应的余弦值。
可以利用三角函数中的关系来求解。
由于 sin 2θ+cos 2θ=1，我们可以用已知的 sinθ 的值来求解 cosθ 的值。
sin 2θ+cos 2θ=1(14)2+cos 2θ=1 116+cos 2θ=1 cos 2θ=1516 cosθ=±√154注意，由于已知的是正弦值为正数，所以 cosθ 的值也应该取正数。
代入已知条件：sin (2θ)=2⋅14⋅√154可以得到：sin (2θ)=√158 2.3 已知一个角的正切值，求其二倍角的值如果已知一个角的正切值，要求计算其二倍角的值，我们可以利用正切的二倍角公式。
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1．已知x ∈(－π2，0)，cos x ＝45，则tan2x ＝( )A ．－247 B ．－724 C.724 D.2472．已知450°<α<540°，则12＋1212＋12cos2α的值是( ) A ．－sin α2 B ．cos α2 C ．sin α2 D ．－cos α23．已知θ是第三象限的角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，那么sin2θ的值为( )A.223 B ．－223 C.23 D ．－234．已知函数f (x )＝sin x －cos x 且f ′(x )＝2f (x )，f ′(x )是f (x )的导函数，则1＋sin 2xcos 2x －sin2x＝( )A ．－195 B.195 C.113 D ．－1135．若cos2αsin (α－π4)＝－22，则sin α＋cos α的值为( ) A ．－72 B ．－12 C.12 D.726．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35 C.35 D.457．设sin(π4＋θ)＝13，则sin2θ＝( )A ．－79B ．－19 C.19 D.798．已知sin x ＝5－12，则sin2(x －π4)＝________. 9．设α为第四象限的角，若sin3αsin α＝135，则tan2α＝__________.10．已知sin α＝cos2α，α∈(π2，π)，则tan α＝________.11．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β＝________.12．已知tan(π4＋θ)＝3，则sin2θ－2cos 2θ＝__________.13．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ·tan B ，且sin A ·cos A ＝34，则此三角形为________． 14．已知tan(x ＋π4)＝2，则tan x tan2x的值为________．15．化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan (π4－x )·sin 2(π4＋x ).16．已知0＜α＜π2，π2＜β＜π且tan α2＝12，sin(α＋β)＝513.(1)分别求cos α与cos β的值； (2)求tan α－β2的值．17．已知3π4<α<π，tan α＋cot α＝－103，(1)求tan α的值； (2)求5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82sin (α－π4)的值．18．在△ABC 中，三内角分别为A 、B 、C ，若4sin A sin B ＝3cos A cos B ，a ＝(7cos C2，－cos A －B 2)，求|a |.19．已知函数f (x )＝tan(2x ＋π4)，(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈(0，π4)，若f (α2)＝2cos2α，求α的大小．20．已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，OM →＝(sin B ＋cos B ，cos C )，ON →＝(sin C ，sin B －cos B )， OM →·ON →＝－15. (1)求tan2A 的值； (2)求2cos 2A2－3sin A －12sin (A ＋π4)的值．21．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π，且f (π4)＝ 2.(1)求ω，φ的值；(2)若f (α2)＝－65(0<α<π)，求cos2α的值．课时作业(二十)1．已知x ∈(－π2，0)，cos x ＝45，则tan2x ＝( )A ．－247 B ．－724 C.724 D.247答案 A 解析 方法一 ∵x ∈(－π2，0)，∴sin x <0，∴sin x ＝－35，∴sin2x ＝2sin x cos x ＝－2425，cos2x ＝2cos 2x －1＝725，∴tan2x ＝sin2x cos2x ＝－247.方法二 由方法一知：sin x ＝－35，∴tan x ＝－34，∴tan2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－247. 2．已知450°<α<540°，则12＋1212＋12cos2α的值是( ) A ．－sin α2 B ．cos α2 C ．sin α2 D ．－cos α2答案 A 解析 原式＝12＋121＋cos2α2＝12－12cos α＝|sin α2|. ∵450°<α<540°，∴225°<α2<270°.∴原式＝－sin α2.3．已知θ是第三象限的角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，那么sin2θ的值为( )A.223 B ．－223 C.23 D ．－23答案 A 解析 ∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴(sin 2θ＋cos 2θ)2＝sin 4θ＋2sin 2θcos 2θ＋cos 4θ＝1， ∴2sin 2θcos 2θ＝49，∴(sin2θ)2＝89.∵2k π＋π<θ<2k π＋3π2，∴4k π＋2π<2θ<4k π＋3π，∴sin2θ>0，∴sin2θ＝223. 4．已知函数f (x )＝sin x －cos x 且f ′(x )＝2f (x )，f ′(x )是f (x )的导函数，则1＋sin 2xcos 2x －sin2x＝( )A ．－195 B.195 C.113 D ．－113答案 A 解析 f ′(x )＝cos x ＋sin x ，由f ′(x )＝2f (x )即cos x ＋sin x ＝2(sin x －cos x )，得tan x ＝3，所以1＋sin 2x cos 2x －sin2x ＝1＋sin 2x cos 2x －2sin x cos x ＝2sin 2x ＋cos 2x cos 2x －2sin x cos x ＝2tan 2x ＋11－2tan x ＝－195.5．若cos2αsin (α－π4)＝－22，则sin α＋cos α的值为( ) A ．－72 B ．－12 C.12 D.72答案 C 解析 cos2αsin (α－π4)＝sin (π2－2α)sin (α－π4)＝2sin (π4－α)cos (π4－α)sin (α－π4)＝－2cos(π4－α)＝－2(22sin α＋22cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－22. 所以sin α＋cos α＝12.6．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35 C.35 D.45答案 B 解析 由角θ的终边在直线y ＝2x 上可得tan θ＝2，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35. 7．设sin(π4＋θ)＝13，则sin2θ＝( )A ．－79B ．－19 C.19 D.79答案 A 解析 sin2θ＝－cos(π2＋2θ)＝2sin 2(π4＋θ)－1＝2×(13)2－1＝－79.8．已知sin x ＝5－12，则sin2(x －π4)＝________. 答案 2－5解析 sin2(x －π4)＝sin(2x －π2)＝－cos2x ＝－(1－2sin 2x )＝2sin 2x －1＝2－ 5.9．设α为第四象限的角，若sin3αsin α＝135，则tan2α＝__________.答案 －34解析 sin3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝sin2αcos α＋cos2αsin αsin α＝135.∴2cos 2α＋cos2α＝135，2cos 2α－1＋cos2α＝85.∴cos2α＝45. ∵2k π－π2<α<2k π，∴4k π－π<2α<4k π，又∵cos2α＝45>0，∴2α为第四象限的角．sin2α＝－1－cos 22α＝－35，∴tan2α＝－34.10．已知sin α＝cos2α，α∈(π2，π)，则tan α＝________.答案 －33解析 sin α＝1－2sin 2α，∴2sin 2α＋sin α－1＝0， ∴(2sin α－1)(sin α＋1)＝0，∵α∈(π2，π)，∴2sin α－1＝0.∴sin α＝12，cos α＝－32，∴tan α＝－33.11．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β＝________.答案13解析 解法一： (cos αcos β－sin αsin β)(cos αcos β＋sin αsin β)＝13，∴cos 2αcos 2β－sin 2αsin 2β＝13，∴cos 2α(1－sin 2β)－(1－cos 2α)sin 2β＝13，∴cos 2α－sin 2β＝13.解法二：cos(α＋β)cos(α－β)＝12[cos2α＋cos2β]＝13，即12[2cos 2α－1＋1－2sin 2β]＝13，∴cos 2α－sin 2β＝13.12．已知tan(π4＋θ)＝3，则sin2θ－2cos 2θ＝__________.答案 －45解析 解法一：sin2θ－2cos 2θ＝sin2θ－cos2θ－1，sin2θ＝－cos2(θ＋π4)＝－1－tan 2(θ＋π4)1＋tan 2(θ＋π4)＝45，cos2θ＝sin2(θ＋π4)＝2tan (θ＋π4)1＋tan 2(θ＋π4)＝35，∴原式＝45－35－1＝－45.解法二：tan(π4＋θ)＝3，1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12，sin2θ－2cos 2θ＝2sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ－2tan 2θ＋1＝－45. 13．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ·tan B ，且sin A ·cos A ＝34，则此三角形为________． 答案 等边三角形解析 ∵tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，∴tan(A ＋B )＝－3，得A ＋B ＝120°， 又由sin A cos A ＝34，得sin2A ＝32，∴A ＝60°(A ＝30°舍去)，所以△ABC 为等边三角形． 14．已知tan(x ＋π4)＝2，则tan xtan2x的值为________．答案 49解析 由tan(x ＋π4)＝tan x ＋tanπ41－tan x tanπ4＝2，得tan x ＝13，tan2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝34，故tan x tan2x ＝13×43＝49. 15．化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan (π4－x )·sin 2(π4＋x ).解析 原式＝2cos 2x (cos 2x －1)＋122tan (π4－x )sin 2(π4＋x )＝12－2cos 2x sin 2x 2sin (π4－x )cos (π4－x )·sin 2(π4＋x )＝12－12(sin2x )22cos (π4＋x )sin (π4＋x )·sin 2(π4＋x )＝12cos 22xsin (π2＋2x )＝12cos2x .16．已知0＜α＜π2，π2＜β＜π且tan α2＝12，sin(α＋β)＝513.(1)分别求cos α与cos β的值； (2)求tan α－β2的值．解析 (1)cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin 2α2＝1－tan 2α21＋tan2α2＝35，∵0＜α＜π2，∴sin α＝45.∵α＋β∈(π2，3π2)，sin(α＋β)＝513，∴cos(α＋β)＝－1213，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝(－1213)·35＋513·45＝－1665. (2)∵2cos 2β2－1＝cos β＝－1665且β2∈(π4，π2)，∴cos β2＝7130，∴sin β2＝9130，∴tan β2＝97.∴tan α－β2＝tan α2－tan β21＋tan α2tanβ2＝－1123.17．已知3π4<α<π，tan α＋cot α＝－103，(1)求tan α的值；(2)求5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82sin (α－π4)的值．解析 (1)∵tan α＋cot α＝－103，∴3tan 2α＋10tan α＋3＝0， 解得tan α＝－3或tan α＝－13，∵3π4<α<π，∴－1<tan α<0.∴tan α＝－13. (2)∵tan α＝－13，∴5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82sin (α－π4)＝5(sin 2α2＋cos 2α2)＋4sin α＋6·1＋cos α2－8sin α－cos α＝5＋4sin α＋3＋3cos α－8sin α－cos α＝4sin α＋3cos αsin α－cos α＝4tan α＋3tan α－1＝－54.18．在△ABC 中，三内角分别为A 、B 、C ，若4sin A sin B ＝3cos A cos B ，a ＝(7cos C2，－cos A －B 2)，求|a |.答案 2解析 ∵4sin A sin B ＝3cos A cos B ，∴7(cos A cos B －sin A sin B )＝cos A cos B ＋sin A sin B ， ∴7cos(A ＋B )＝cos(A －B )，又A ＋B ＋C ＝π，∴－7cos C ＝cos(A －B )， ∴|a |＝7cos 2C2＋cos 2A －B 2＝72(1＋cos C )＋12[1＋cos (A －B )]＝2. 19．已知函数f (x )＝tan(2x ＋π4)，(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈(0，π4)，若f (α2)＝2cos2α，求α的大小．解析 (1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π8＋k π2，k ∈Z ，所以f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠π8＋k π2，k ∈Z }．f (x )的最小正周期为π2. (2)由f (α2)＝2cos2α，得tan(α＋π4)＝2cos2α，sin (α＋π4)cos (α＋π4)＝2(cos 2α－sin 2α)，整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．因为α∈(0，π4)，所以sin α＋cos α≠0.因此(cos α－sin α)2＝12，即sin2α＝12.∴2α＝π6，∴α＝π12.20．已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，OM →＝(sin B ＋cos B ，cos C )，ON →＝(sin C ，sin B －cos B )， OM →·ON →＝－15. (1)求tan2A 的值； (2)求2cos 2A2－3sin A －12sin (A ＋π4)的值．解 (1)∵OM →·ON →＝(sin B ＋cos B )sin C ＋cos C (sin B －cos B )＝sin(B ＋C )－cos(B ＋C )＝－15，∴sin A ＋cos A ＝－15，① 两边平方并整理得2sin A cos A ＝－2425，∵－2425<0，∴A ∈(π2，π)，∴sin A －cos A ＝1－2sin A cos A ＝75.② 联立①②得sin A ＝35，cos A ＝－45，∴tan A ＝－34，∴tan2A ＝2tan A 1－tan 2A＝－321－916＝－247. (2)∵tan A ＝－34，∴2cos 2A 2－3sin A －12sin (A ＋π4)＝cos A －3sin A cos A ＋sin A ＝1－3tan A 1＋tan A＝1－3×(－34)1＋(－34)＝13.21．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π，且f (π4)＝ 2.(1)求ω，φ的值；(2)若f (α2)＝－65(0<α<π)，求cos2α的值．解 (1)由函数f (x )的周期为π，可知2πω＝π，所以ω＝2.又由f (π4)＝2，得2sin(π2＋φ)＝2， 所以cos φ＝22.又φ∈(0，π)，所以φ＝π4. (2)方法一：由f (α2)＝－65，得sin(α＋π4)＝－35.因为α∈(0，π)，所以α＋π4∈(π4，5π4)．又sin(α＋π4)＝－35<0，所以α＋π4∈(π，5π4)．所以cos(α＋π4)＝－45.所以cos2α＝sin(π2＋2α)＝2sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝2425.方法二：由f (α2)＝－65，得sin(α＋π4)＝－35.因为α∈(0，π)，所以α＋π4∈(π4，5π4)．又sin(α＋π4)＝－35<0，所以α＋π4∈(π，5π4)．所以cos(α＋π4)＝－45.所以cos α＝cos[(α＋π4)－π4]＝cos(α＋π4)cos π4＋sin(α＋π4)sin π4＝－7210.所以cos2α＝2cos 2α－1＝2×(－7210)2－1＝2425.。