人教版B数学选修1-2：2.2.2知能演练轻松闯关

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高中数学电子题库 1.2.1知能演练轻松闯关新人教B版选修21

人教版B数学选修2-1电子题库 1.2.1知能演练轻松闯关1.下列命题是真命题的是( )A．5＞2且7＞8 B．x2>0或x2＝0(x∈R)C．7－1≥7 D．方程x2－3x＋4＝0有实根解析：选B.显然，对∀x∈R，p：x2>0与q：x2＝0必有一个为真，所以p∨q为真命题．2.“xy≠0”指的是( )A．x≠0且y≠0 B．x≠0或y≠0C．x，y至少有一个不为0 D．不都是0解析：选A.x、y都不为0，即x≠0且y≠0.3.“10既是自然数又是偶数”为________形式．(填“p∧q”或“p∨q”)答案：p∧q4.命题“∀n∈R，n≤n”的构成形式是__________(填“p∧q”或“p∨q”)，该命题是________命题(填“真”或“假”)．答案：p∨q真[A级基础达标]1.如果命题“p∨q”是真命题，那么( )A．命题p与命题q都是真命题B．命题p与命题q同为真命题或同为假命题C．命题p与命题q只有一个是真命题D．命题p与命题q至少有一个是真命题答案：D2.下列命题中不是“p且q”形式的命题是( )A．函数y＝a x(a≠0且a>1)的图象一定过(0，1)B．3和－3是方程x2－9＝0的实数根C．1不是质数且不是合数D．正方形的四条边相等且四个角相等答案：A3.下列命题中是“p∧q”形式的命题是( )A．28是5的倍数或是7的倍数B．2是方程x2－4＝0的根又是方程x－2＝0的根C．函数y＝a x(a>1)是增函数D．函数y＝ln x是减函数解析：选B.选项A是由“或”联结构成的新命题，是“p∨q”形式的命题；选项B可写成“2是方程x2－4＝0的根且是方程x－2＝0的根”，是由逻辑联结词“且”联结构成的新命题，故选项B是“p∧q”形式的命题；选项C、D不是由逻辑联结词联结形成的新命题，故不是“p∧q”形式的命题．4.判断下列命题的形式(从“p∨q”、“p∧q”中选填一种)：(1)6≤8：________；(2)集合中的元素是确定的且是无序的：________．答案：p∨q p∧q5.命题“所有正多边形都有一个内切圆和一个外接圆”的构成形式是________，组成该命题的两个命题是____________，______________．答案：p ∧q 所有正多边形都有一个内切圆所有正多边形都有一个外接圆6.判断下列命题的真假：(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；(2)－1是偶数或奇数．解：(1)这个命题是p ∧q 的形式，其中p ：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q ：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边．因为p 为真命题，q 为真命题，所以p ∧q 为真命题，故原命题是真命题．(2)此命题是p ∨q 的形式，其中p ：－1是偶数，q ：－1是奇数．因为p 为假命题，q 为真命题，所以p ∨q 为真命题，故原命题为真命题．[B 级能力提升]7.(2012·沈阳高二检测)下列命题：①5>4或4>5；②9≥3；③命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”；④命题“菱形的两条对角线互相垂直”，其中假命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案：A8.若命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋5<0，命题q ：∀a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，则下列结论正确的是( )A ．“p ∨q ”为假B ．“p ∨q ”为真C ．“p ∧q ”为真D ．以上都不对解析：选B.x 2＋2x ＋5＝(x ＋1)2＋4>0，∴p 为假命题，又命题q 为真命题，∴p ∨q 为真．9.已知p ：函数f (x )＝a x －1(a >0，且a ≠1)的图象必过定点(1，1)；q ：函数g (x )＝x n (n ∈N )的图象必过定点(0，0)，则命题“p ∧q ”是________命题(填“真”或“假”)．解析：p 为真命题，q 为假命题，∴p ∧q 为假命题．答案：假10.分别指出由下列各组命题构成的“p ∨q ”“p ∧q ”形式的复合命题的真假．(1)p ：1＋2＝3，q ：3<2；(2)p ：4是合数，q ：3是9的约数；(3)p ：∅＝{0}，q ：∅⊆∅.解：(1)p 为真，q 为假，故p ∨q 为真，p ∧q 为假．(2)p 为真，q 为真，故p ∨q 为真，p ∧q 为真．(3)p 为假，q 为真，故p ∨q 为真，p ∧q 为假．11.(创新题)已知命题p ：关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负根．命题q ：关于x 的方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求m 的取值范围．解：由x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负根，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4>0－m <0，解得m >2，即若命题p 为真命题时，m >2.由4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，则16(m －2)2－16<0，解得1<m <3，即若命题q 为真命题时，1<m <3.∵p ∧q 为假，p ∨q 为真，∴p 与q 一真一假．若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧m >2m ≥3或m ≤1，所以m ≥3. 若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≤21<m <3，所以1<m ≤2. 所以m 的取值范围为{m |1<m ≤2或m ≥3}．。

人教版B数学选修1-2：3.1.2第二课时知能演练轻松闯关

1.当0<m <1时，z ＝(m ＋1)＋(m －1)i 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D.z ＝(m ＋1)＋(m －1)i 对应的点为(m ＋1，m －1)，∵0<m <1，∴1<m ＋1<2，－1<m －1<0，∴点(m ＋1，m －1)位于第四象限．2.若z 1＝(x －2)＋y i 与z 2＝3x ＋i(x ，y ∈R)互为共轭复数，则z 1对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选C.∵z 1与z 2互为共轭复数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3x ，y ＝－1，∴z 1＝－3－i.3.若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ＝__________．解析：由题意知sin θ＝cos θ，即tan θ＝1，∴θ＝k π＋π4k ∈Z.答案：k π＋π4k ∈Z)4.复数z ＝3a －6i 的模为40，则实数a 的值为__________．解析：由|z |＝（3a ）2＋（－6）2＝40得a ＝±23.答案：±23[A 级基础达标]1.在复平面内，复数z ＝sin2＋icos2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三角限D ．第四象限解析：选D.∵π2<2<π，∴sin2>0，cos2<0.∴复数z 在复平面内对应的点(sin2，cos2)位于第四象限．2.已知复数z 对应的点在第二象限，它的模是3，实部是－5，则z 是( )A ．－5＋2iB ．－5－2iC.5＋2iD.5－2i解析：选A.设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则x ＝－5，由|z |＝3得(－5)2＋y 2＝9，即y ＝±2，又因为复数z 对应的点在第二象限，所以y ＝2.3.若a ，b ∈R ，复数(a 2－3a ＋2)＋(b －1)i ＝0，则实数对(a ，b )表示的点的坐标为() A ．(1，－1) B ．(2，1)C ．(1，1)或(2，1)D ．(－1，－1)解析：选C.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋2＝0b －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1，故(a ，b )表示点(1，1)或(2，1)． 4.在复平面内，表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为__________．解析：由题意得(m －3，2m )在直线y ＝x 上，则有2m ＝m －3，解得m ＝9.答案：95.已知复数a ＋i ，2－i 在复平面内对应的点分别为A ，B ，若直线AB 的斜率为－1，则a ＝__________．解析：易知A (a ，1)，B (2，－1)，故k AB ＝－1－12－a＝－1⇒a ＝0. 答案：06.实数m 取什么值时，复数z ＝m (m －1)＋(m －1)i(1)表示复数z 的点位于第一象限；(2)表示复数z 的点位于直线y ＝2x 上？解：(1)由表示复数z 的点位于第一象限，可得⎩⎪⎨⎪⎧m （m －1）>0，m －1>0，解得m >1，即当m >1时，表示复数z 的点位于第一象限，故m 的取值范围是(1，＋∞)；(2)由表示复数z 的点位于直线y ＝2x 上，可得m －1＝2m (m －1)，解得m ＝1或m ＝12即当m ＝1或m ＝12时，表示复数z 的点位于直线y ＝2x 上． [B 级能力提升]7.在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1－2i ，点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为( )A ．－2－iB ．2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i解析：选B.点A (－1，－2)关于直线y ＝－x 的对称点为B (2，1)，则向量OB →对应的复数为2＋i.8.复数1＋cos α＋isin α(π＜α＜2π)的模为( )A ．2cos α2B ．－2cos α2C ．2sin α2D ．－2sin α2解析：选B.（1＋cos α）2＋sin 2α＝2＋2cos α＝2|cos α2|. ∵α∈(π，2π)，∴α2∈(π2，π)， ∴上式＝－2cos α2. 9.以非零实数a 、纯虚数b i(b ∈R)和复数a ＋b i 对应的点为顶点所构成的三角形必是__________．解析：在复平面作出各点如图．故△ABC 为直角三角形．答案：直角三角形10.已知复数z ＝(m 2－3m )＋(m 2－m －6)i ，求当实数m 为何值时，复数z 是：①实数；②z ＝4＋6i ；③对应的点在第三象限．解：∵z ＝(m 2－3m )＋(m 2－m －6)i ，①令m 2－m －6＝0⇒m ＝3或m ＝－2，即m ＝3或m ＝－2时，z 为实数．②⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝4m 2－m －6＝6⇒m ＝4； ③若z 所对应点在第三象限，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m <0m 2－m －6<0⇒ 0<m <3.11.(创新题)已知复数z ＝(2x ＋a )＋(2－x ＋a )i(x ，a ∈R)，当x 在(－∞，＋∞)内变化时，求|z |的最小值g (a )．解：|z |2＝(2x ＋a )2＋(2－x ＋a )2＝22x ＋2－2x ＋2a (2x ＋2－x )＋2a 2.令t ＝2x ＋2－x ，则t ≥2且22x ＋2－2x ＝t 2－2.从而|z |2＝t 2＋2at ＋2a 2－2＝(t ＋a )2＋a 2－2，当－a ≥2，即a ≤－2时，g (a )＝a 2－2；当－a <2，即a >－2时，g (a )＝（a ＋2）2＋a 2－2＝2|a ＋1|.。

高中数学电子题库 2.1.1知能演练轻松闯关新人教B版选修21

1.下列各对方程中，表示相同曲线的一对方程是( )A ．y ＝x 与y 2＝xB ．y ＝x 与xy＝1 C ．y 2－x 2＝0与|y |＝|x | D ．y ＝lg x 2与y ＝2lg x答案：C2.下面四个图中方程表示的曲线正确的是( )A B C D解析：选C.A 中方程应表示整个圆．B 中方程应表示两条直线，D 中x ，y 均为大于0，曲线应只在第一象限内．3.若P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，则a 的值为________．答案：134.已知k ∈R ，则直线y ＝3x ＋k 与圆x 2＋y 2＝16无公共点时，k 的取值范围为________．解析：无公共点时圆心到直线的距离大于半径，即|k |2>4，∴k >8或k <－8. 答案：k >8或k <－8[A 级基础达标]1.方程x 2＋xy ＝x 表示的曲线是( )A ．一个点B ．一条直线C ．两条直线D ．一个点和一条直线解析：选C.x 2＋xy ＝x 因式分解得x (x ＋y )＝x ，即x (x ＋y －1)＝0，即x ＝0或x ＋y －1＝0.所以方程x 2＋xy ＝x 表示的曲线是两条直线．2.已知方程2x 2－xy ＋1＝0表示的图形为C ，则下列点不在C 上的为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3 B ．(－3，5) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－92 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，92 答案：B3.曲线y ＝|x |与y ＝kx ＋1的交点情况是( )A ．最多有两个交点B ．有两个交点C ．仅有一个交点D ．没有交点解析：选A.数形结合知，有一个或两个交点，故选A.4.已知点A (a ，2)既是曲线y ＝mx 2上的点，也是直线x －y ＝0上的点，则m ＝________．解析：根据点A 在曲线y ＝mx 2上，也在直线x －y ＝0上，则⎩⎪⎨⎪⎧2＝ma 2a －2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2m ＝12. 答案：125.若曲线y ＝x 2－x ＋2与直线y ＝x ＋m 有两个交点，则实数m 的取值范围是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－x ＋2，y ＝x ＋m ，得x 2－2x ＋2－m ＝0，由题意知，Δ＝4－4(2－m )>0，∴m >1.答案：m >16.已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M (m 2，－m )在此方程表示的曲线上，求m 的值．解：(1)∵12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，∴点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上．(2)∵点M (m 2，－m )在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，∴x ＝m 2，y ＝－m 适合上述方程，即(m 2)2＋(－m －1)2＝10，解之得m ＝2或m ＝－185， ∴m 的值为2或－185. [B 级能力提升]7.已知0≤α<2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为( ) A.π3 B.5π3C.π3或5π3D.π3或π6解析：选C.由(cos α－2)2＋sin 2α＝3，得cos α＝12. 又0≤α<2π，∴α＝π3或5π3. 8.下列命题正确的是( )A ．方程xy －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距是2的直线 B ．△ABC 的顶点坐标分别为A (0，3)，B (－2，0)，C (2，0)，则中线AO 的方程是x ＝0C ．到x 轴距离为5的点的轨迹方程是y ＝5D ．曲线2x 2－3y 2－2x ＋m ＝0通过原点的充要条件是m ＝0解析：选D.对照曲线和方程的概念，A 中的方程需满足y ≠2；B 中“中线AO 的方程是x ＝0(0≤y ≤3)”；而C 中，动点的轨迹方程为|y |＝5，从而只有D 是正确的．9.曲线y ＝|x |－1与x 轴围成的图形的面积是________．解析：在y ＝|x |－1中，令x ＝0得y ＝－1，令y ＝0得x ＝±1，所以曲线y ＝|x |－1与x 轴围成的图形的面积为12×2×1＝1. 答案：110.判断下列结论的正误，并说明理由．(1)过点A (3，0)且垂直于x 轴的直线的方程为x ＝3；(2)到x 轴距离为2的点的轨迹方程为y ＝－2.解：(1)正确．理由如下：∵满足曲线方程的定义．∴结论正确．(2)错误．理由如下：∵到x 轴距离为2的点的轨迹方程还有一个为y ＝2，即不具备完备性．∴结论错误． 11.(创新题)已知点(a 1，b 1)、(a 2，b 2)均在直线2x －3y ＋1＝0上，求过点(b 1，a 1)、(b 2，a2)的直线的方程．解：∵点(a1，b1)、(a2，b2)均在直线2x－3y＋1＝0上．∴2a1－3b1＋1＝0，2a2－3b2＋1＝0.∴点(b1，a1)、(b2，a2)均在直线3x－2y－1＝0上．∴过点(b1，a1)、(b2，a2)的直线的方程为3x－2y－1＝0.。

人教版B数学选修1-2：2.1.1知能演练轻松闯关

1.下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合适( )A ．三角形B ．梯形C ．平行四边形D ．矩形解析：选C.只有平行四边形与平行六面体较为接近．2.由数列1，10，100，1000，…，猜测该数列的第n 项可能是( )A ．10nB ．10n －1C ．10n ＋1D ．10n －2解析：选B.数列各项依次为100，101，102，103……，由归纳推理可知，选B.3.在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为__________．解析：V 1V 2＝13S 1h 113S 2h 2＝S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18. 答案：1∶84.已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，计算得f (2)＝32f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，推测当n ≥2时，有__________．解析：通过观察归纳可得f (2n )>n ＋22. 答案：f (2n )>n ＋22[A 级基础达标]1.下列说法错误的是( )A ．归纳推理是指由特殊到一般的推理B ．类比推理是指由特殊到特殊的推理C ．合情推理包含归纳推理与类比推理D ．合情推理的结论一定是正确的解析：选D.合情推理的结论不一定是正确的，因此选D.2.观察下列数的特点，1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…中，第100项是( )A ．10B ．13C ．14D ．100解析：选C.由规律可得：数字相同的数个数依次为：1，2，3，4，…，n ，由n （n ＋1）2≤100，n ∈N *得，n ＝14，所以应选C.3.已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇等于( )A.r 22B.l 22C.lr 2D ．不可类比解析：选C.可将扇形的弧长与三角形的底边相类比，将扇形的半径与三角形的高相类比知C 正确，故选C.4.(2012·山东潍坊高二检测)观察下列各式：1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，……第n 个式子是__________________________________________________________．答案：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)25.下表中空白处应填写________________________________________________.答案：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥全面积的乘积的136.已知代数式11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n （n ＋1），写出n ＝1，2，3，4时代数式的值，归纳并猜想出结果．解：当n ＝1时，11×2＝12；当n ＝2时，11×2＋12×3＝23；当n ＝3时，11×2＋12×3＋13×4＝34；当n ＝4时，11×2＋12×3＋13×4＋14×5＝45. 猜想11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＝n n ＋1. [B 级能力提升]7.(2011·高考江西卷)观察下列各式：55＝3125，56＝15625，57＝78125，…，则52011的末四位数字为( )A ．3125B ．5625C ．0625D ．8125解析：选D.55＝3125，56＝15625，57＝78125，58＝390625，59＝1953125，可得59与55的后四位相同，…，由此可归纳出5m ＋4k 与5m (k ∈N *，m ＝5，6，7，8)后四位相同．又2011＝4×501＋7，所以52011与57后四位数字相同为8125，故选D.8.(2012·哈尔滨高二期末)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，直线l 为过P 且切于双曲线的直线，且平分∠F 1PF 2，过O 作与直线l平行的直线交PF 1于M 点，则|MP |＝a ，利用类比推理：若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，直线l 为过P 且切于椭圆的直线，且平分∠F 1PF 2的外角，过O 作与直线l 平行的直线交PF 1于M 点，则|MP |的值为( )A ．aB ．bC ．cD ．无法确定解析：选A.分别画出双曲线和椭圆的图形，由图中类比可知|MP |＝a ，选A.9.(2011·高考山东卷)设函数f (x )＝x x ＋2(x >0)，观察：f 1(x )＝f (x )＝x x ＋2， f 2(x )＝f [f 1(x )]＝x 3x ＋4， f 3(x )＝f [f 2(x )]＝x 7x ＋8， f 4(x )＝f [f 3(x )]＝x 15x ＋16， ……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f [f n －1(x )]＝__________．解析：由f (x )＝x x ＋2(x >0)得， f 1(x )＝f (x )＝x x ＋2， f 2(x )＝f [f 1(x )]＝x 3x ＋4＝x （22－1）x ＋22， f 3(x )＝f [f 2(x )]＝x 7x ＋8＝x （23－1）x ＋23， f 4(x )＝f [f 3(x )]＝x 15x ＋16＝x （24－1）x ＋24， ……∴当n ≥2且n ∈N *时，f n (x )＝f [f n －1(x )]＝x （2n －1）x ＋2n. 答案：x （2n －1）x ＋2n10.已知sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝32.通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并加以证明．解：一般形式：sin 2α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝32.其证明如下：左边＝1－cos2α2＋1－cos （2α＋120°）2＋1－cos （2α＋240°）2＝32－12[cos2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)]＝32－12(cos2α＋cos2αcos120°－sin2α·sin120°＋cos2αcos240°－sin2αsin240°)＝32－12⎝⎛⎭⎫cos2α－12cos2α－32α－12cos2α＋32sin2α＝32＝右边．∴原式得证． 11.(创新题)在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和．(1)写出相应的结论，判断该结论是否正确？并加以证明；(2)写出该结论一个更为一般的情形(不必证明)．解：(1)数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的．证明如下：∵等差数列{a n}的公差d＝3，∴(S30－S20)－(S20－S10)＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝10d＋10d＋…＋10d＝100d＝300，同理可得：(S40－S30)－(S30－S20)＝300，所以数列S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差数列，且公差为300.(2)对于∀k∈N＋，都有数列S2k－S k，S3k－S2k，S4k－S3k是等差数列，且公差为k2d.。

人教版A数学选修1-2：2.2.2知能演练轻松闯关

1.用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，假设正确的是()A．三个内角中至少有一个钝角B．三个内角中至少有两个钝角C．三个内角都不是钝角D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角解析：选B.“至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故假设为“至少有两个”．2.用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为()A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除D．a不能被5整除解析：选B.“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”．3.已知数列{a n}，{b n}的通项公式分别为a n＝an＋2，b n＝bn＋1(a，b是常数)，且a>b，那么两个数列中序号与数值均相同的项有________个．解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得a n＝b n，由题意a>b，n∈N*，则恒有an>bn，从而an＋2>bn＋1恒成立，∴不存在n使a n＝b n.答案：04.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．解析：由反证法证明数学命题的步骤可知，上述步骤的顺序应为③①②.答案：③①②[A级基础达标]1.下列命题错误的是()A．三角形中至少有一个内角不小于60°B．四面体的三组对棱都是异面直线C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点D．设a、b∈Z，若a＋b是奇数，则a、b中至少有一个为奇数解析：选D.a＋b为奇数⇔a、b中有一个为奇数，另一个为偶数．故D错误．2.(2012·东北师大附中高二检测)用反证法证明命题：“a，b，c，d∈R，a＋b＝1，c＋d＝1，且ac＋bd>1，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为()A．a，b，c，d全都大于等于0B．a，b，c，d全为正数C．a，b，c，d中至少有一个正数D．a，b，c，d中至多有一个负数解析：选A.至少有一个负数的否定是一个负数也没有，即a，b，c，d全都大于等于0.3.“M不是N的子集”的充要条件是()A ．若x ∈M ，则x ∈NB ．若x ∈N ，则x ∈MC ．存在x 1∈M 且x 1∈N ，又存在x 2∈N 且x 2∈MD ．存在x 0∈M 且x 0∉N解析：选D.假设M 是N 的子集，则M 中的任一个元素都是集合N 的元素，所以，要使M 不是N 的子集，只需存在x 0∈M 且x 0∉N .4.设实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a 、b 、c 中至少有一个数不小于________．解析：假设a 、b 、c 都小于13，则a ＋b ＋c ＜1与a ＋b ＋c ＝1矛盾．故a 、b 、c 中至少有一个不小于13. 答案：135.已知p 3＋q 3＝2，用反证法证明p ＋q ≤2时，得出的矛盾为________．解析：假设p ＋q >2，则p >2－q .∴p 3>(2－q )3＝8－12q ＋6q 2－q 3，将p 3＋q 3＝2代入得6q 2－12q ＋6<0，∴(q －1)2<0这不可能．∴p ＋q ≤2.答案：(q －1)2<06.已知a ，b ，c ∈(0，1)，求证(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不可能都大于14证明：假设三个式子同时大于14，即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14，三式相乘得(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c >143， ① 又因为0<a <1，所以0<a (1－a )≤(a ＋1－a 2)2＝14. 同理0<b (1－b )≤14，0<c (1－c )≤14，所以(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c ≤143， ② ①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．[B 级能力提升]7.设a ，b ，c 均为正实数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR >0”是“P 、Q 、R 同时大于零”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.首先若P 、Q 、R 同时大于零，则必有PQR >0成立．其次，若PQR >0且P 、Q 、R 不都大于零，则必有两个为负，不妨设P <0，Q <0，即a ＋b －c <0，b ＋c －a <0，∴b <0与b >0矛盾，故P 、Q 、R 都大于零．8.设x ，y ，z 都是正实数，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z c ＝z ＋1x，则a ，b ，c 三个数( ) A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2解析：选C.若a ，b ，c 都小于2，则a ＋b ＋c ＜6①，而a ＋b ＋c ＝x ＋1x y ＋1y ＋z ＋1z≥6②，显然①②矛盾，所以C正确．9.完成反证法证题的全过程．设a1，a2，…，a7是1，2，…，7的一个排列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．证明：反设p为奇数，则a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________________①＝________________②＝0.但0≠奇数，这一矛盾说明p为偶数．解析：将a1－1，a2－2，…，a7－7相加后，再分组结合计算．答案：(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)(a1＋a2＋...＋a7)－(1＋2＋ (7)10.(2012·佛山高二检测)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．证明：假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)，而f(0)，f(1)均为奇数，即c为奇数，a＋b为偶数，则a，b，c同时为奇数或a，b同时为偶数，c为奇数，当n为奇数时，an2＋bn为偶数；当n为偶数时，an2＋bn也为偶数，即an2＋bn＋c为奇数，与an2＋bn＋c＝0矛盾．∴f(x)＝0无整数根．11.(创新题)已知直线ax－y＝1与曲线x2－2y2＝1相交于P，Q两点，是否存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O？若存在，试求出a的值；若不存在，请说明理由．解：假设存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O，则OP⊥OQ.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1x1·y2x2＝－1，∴(ax1－1)(ax2－1)＝－x1·x2，即(1＋a2)x1·x2－a(x1＋x2)＋1＝0.由题意得(1－2a2)x2＋4ax－3＝0，∴x1＋x2＝－4a1－2a2，x1·x2＝－31－2a2.∴(1＋a2)·－31－2a2－a·－4a1－2a2＋1＝0，即a2＝－2，这是不可能的．∴假设不成立．故不存在实数a，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点O.。

高中数学电子题库 1.2.2知能演练轻松闯关新人教B版

人教版B数学选修2-1电子题库 1.2.2知能演练轻松闯关1.命题“2不是质数”的构成形式是( )A．p∧q B．p∨qC．¬p D．以上答案都不对答案：C2.(2011·高考北京卷)若p是真命题，q是假命题，则( )A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．¬p是真命题D．¬q是真命题答案：D3.(2012·西安一中高二期末)命题：∀x∈R，x>0的否定是________．答案：∃x∈R，x≤04.A⃘(A∪B)是________形式(填“p∧q”、“p∨q”或“¬p”)；该命题是________(填“真”“假”)命题．答案：¬p假[A级基础达标]1.(2011·高考辽宁卷)已知命题p：∃n∈N，2n＞1000，则¬p为( )A．∀n∈N，2n≤1000B．∀n∈N，2n＞1000C．∃n∈N，2n≤1000D．∃n∈N，2n＜1000答案：A2.(2012·重庆一中高二期末)已知命题“p∨q”为真，“¬p”为真，则( )A．p真q真B．p真q假C．p假q真D．p假q假解析：选C.¬p为真，∴p为假，又p∨q为真，∴q为真．∴p假q真．3.命题“一次函数都是单调函数”的否定是( )A．一次函数都不是单调函数B．非一次函数都不是单调函数C．有些一次函数是单调函数D．有些一次函数不是单调函数解析：选D.命题的否定只对结论进行否定，“都是”的否定是“不都是”，即“有些”．4.命题“△ABC是等腰三角形且是直角三角形”的否定是______________________．答案：△ABC不是等腰三角形或者不是直角三角形5.已知命题p：{y|y＝2|x|，x∈R}＝(0，＋∞)，q：{x|y＝lg x}＝R，则下列结论中正确的序号是________．①p或q为假命题；②p且q为假命题；③¬q为假命题；④¬p或¬q为假命题．解析：由于2|x|≥1，即y∈[1，＋∞)，所以命题p为假命题；而y＝lg x中，x>0，所以命题q为假命题．故p或q为假命题，p且q为假命题．答案：①②6.写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p ：不论m 取何实数，方程x 2＋mx －1＝0必有实数根；(2)p ：有些三角形的三条边相等；(3)p ：存在一个实数x ，使得3x <0.解：(1)这一命题可表述为p ：对任意的实数m ，方程x 2＋mx －1＝0必有实数根．其否定为¬p ：存在一个实数m ，使方程x 2＋mx －1＝0没有实数根．因为该方程的判别式Δ＝m2＋4>0恒成立，故¬p 为假命题．(2)¬p ：所有三角形的三条边不全相等．显然¬p 为假命题．(3)¬p ：对于所有的实数x ，都满足3x ≥0.显然¬p 为真命题．[B 级能力提升]7.已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是( )A ．(¬p )∨qB ．p ∧qC ．(¬p )∧(¬q )D ．(¬p )∨(¬q )解析：选D.p 为真，q 为假，所以¬q 为真，(¬p )∨(¬q )为真．8.下列命题的否定是假命题的是( )A ．p ：能被3整除的整数是奇数；¬p ：存在一个能被3整除的整数不是奇数B ．p ：每一个四边形的四个顶点共圆；¬p ：存在一个四边形的四个顶点不共圆C ．p ：有些三角形为正三角形；¬p ：所有的三角形都不是正三角形D ．p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0；¬p ：∀x ∈R ，都有x 2＋2x ＋2>0解析：选C.p 为真命题，则¬p 为假命题．9.(2012·南安一中高二期末)若命题“∃x ∈R ，2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：∵命题为假命题，则∀x ∈R ，2x 2－3ax ＋9≥0为真命题．∴Δ＝9a 2－4×2×9≤0.∴－22≤a ≤2 2.答案：[－22，22]10.写出下列命题的否定，并判断真假．(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)有些实数的绝对值是正数．解：(1)存在一个矩形不是平行四边形；假命题；(2)所有的实数的绝对值都不是正数；假命题．11.(创新题)已知命题p ：“至少存在一个实数x 0∈[1，2]，使不等式x 2＋2ax ＋2－a >0成立”为真，试求参数a 的取值范围．解：由已知得¬p ：∀x ∈[1，2]，x 2＋2ax ＋2－a ≤0.设f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，假设p 为真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≤0f （2）≤0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a ＋2－a ≤04＋4a ＋2－a ≤0，解得a ≤－3， ∵¬p 为假，∴a >－3，即a 的取值范围是(－3，＋∞)．。

人教版B数学选修1-2：3.2.2知能演练轻松闯关

1.(2011·高考江西卷)若z ＝1＋2i i，则复数z ＝( ) A ．－2－i B ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i解析：选D.z ＝1＋2i i ＝2＋1i ＝2－i ，z ＝2＋i. 2.(2012·山东济宁一中高二期末)复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则复数z 1z 2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A.z 1z 2＝3＋i 1－i＝1＋2i ，位于第一象限． 3.(2010·高考上海卷)若复数z ＝1－2i(i 为虚数单位)，则z ·z ＋z ＝________．解析：∵z ＝1－2i ，∴z ·z ＝|z |2＝5.∴z ·z ＋z ＝6－2i.答案：6－2i4.设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是__________．解析：法一：∵i(z ＋1)＝－3＋2i ，∴z ＝－3＋2i i－1＝－(－3i －2)－1＝1＋3i ，故z 的实部是1.法二：令z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，由i(z ＋1)＝－3＋2i 得i[(a ＋1)＋b i]＝－3＋2i ，－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i ，∴b ＝3，a ＝1，故z 的实部是1.答案：1[A 级基础达标]1.(2011·高考北京卷)复数i －21＋2i＝( ) A ．i B ．－iC ．－45－35iD ．－45＋35i 解析：选A.i －21＋2i ＝i （i －2）i （1＋2i ）＝i （i －2）i －2＝i ，故选A. 2.i 为虚数单位，则⎝⎛⎭⎫1＋i 1－i 2012＝( ) A ．－i B ．－1C ．iD ．1解析：选D.⎝⎛⎭⎫1＋i 1－i 2012＝i 2012＝i 503×4＝i 4＝1.故选D.3.(2012·山东微山一中高二月考)复数z ＝2－i 2＋i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D.z ＝2－i 2＋i ＝（2－i ）25＝35－45i. 4.(1＋i)6＋(1－i)6＝____________．解析：(1＋i)6＋(1－i)6＝[(1＋i)2]3＋[(1－i)2]3＝(2i)3＋(－2i)3＝0.答案：05.复数z 与(z ＋2)2－8i 均是纯虚数，则z ＝__________．解析：设z ＝a i(a ∈R 且a ≠0)，则(z ＋2)2－8i ＝z 2＋4z ＋4－8i ＝(－a 2＋4)＋(4a －8)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋4＝04a －8≠0解得a ＝－2， ∴z ＝－2i答案：－2i6.已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i （2＋i ）2. 求：(1)z 1·z 2；(2)z 1z 2. 解：∵z 2＝15－5i （2＋i ）2＝15－5i 3＋4i 5（3－i ）（3－4i ）25＝1－3i ， ∴(1)z 1·z 2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.(2)z 1z 2＝2－3i 1－3i ＝（2－3i ）（1＋3i ）10＝1110＋310i. [B 级能力提升]7.(2011·高考辽宁卷)a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( ) A ．2 B. 3C. 2 D ．1解析：选B.∵⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|a ＋i||i|＝a 2＋1＝2，∴a ＝±3，又a >0，∴a ＝ 3.8.设复数z ＝7＋i 3＋4i－isin θ，其中i 为虚数单位，θ∈R ，则|z |的取值范围是( ) A ．[1， 3 ] B ．[2，3]C ．[2， 5 ]D ．[1， 5 ]解析：选D.z ＝7＋i 3＋4i－isin θ＝1－i(1＋sin θ)，|z |＝1＋（1＋sin θ）2，所以|z |的最大值为5，最小值为1.9.已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z ＝________．解析：设z ＝b i(b ∈R ，b ≠0)，则z ＋21－i ＝b i ＋21－i ＝（b i ＋2）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2－b 2＋b ＋22i. ∵z ＋21－i 为实数，∴b ＋22＝0，∴b ＝－2，∴z ＝－2i. 答案：－2i10.已知z 是复数，z ＋z －3z ·z i ＝1－3i ，求z .解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)则z ＝a －b i ，∵z ＋z －3z ·z i ＝2a －3(a 2＋b 2)i ＝1－3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1－3（a 2＋b 2）＝－3，∴a ＝12，b ＝±32. 因此，z ＝12±32i. 11.(创新题)设△ABC 中的两个内角A ，B 所对的边分别为a ，b ，复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝cos A ＋icos B ．若复数z 1z 2为纯虚数，试判断△ABC 的形状，并说明理由．解：∵z 1＝a ＋b i ，z 2＝cos A ＋icos B ，∴z 1z 2＝(a cos A －b cos B )＋i(a cos B ＋b cos A )．又∵z 1z 2为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a cos A ＝b cos B ，a cos B ＋b cos A ≠0，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，得⎩⎪⎨⎪⎧sin 2A ＝sin 2B ，sin （A ＋B ）≠0.∴A ＝B 或A ＋B ＝π2， ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．。

高中数学电子题库 3.2.1知能演练轻松闯关新人教B版选修1-2

人教版B 数学选修1-2电子题库 3.2.1知能演练轻松闯关1.计算(3＋i)－(2＋i)的结果为( )A ．1B ．－iC ．5＋2iD ．1－i解析：选A.(3＋i)－(2＋i)＝1.2.向量OZ →1对应的复数是5－4i ，向量OZ →2对应的复数是－5＋4i ，则OZ →1＋OZ →2对应的复数是( )A ．－10＋8iB ．10－8iC ．0D ．10＋8i解析：选C.OZ →1＋OZ →2＝(5，－4)＋(－5，4)＝(0，0)．故OZ →1＋OZ →2对应的复数是0.3.若z －(1＋i)＝1＋i ，则z ＝__________．解析：由z －(1＋i)＝1＋i 得z ＝(1＋i)＋(1＋i)＝2＋2i.答案：2＋2i4.已知z 1＝a ＋i ，z 2＝2－a i(a ∈R)，且z 1－z 2在复平面内对应的点在直线y ＝2x ＋1上，则a ＝__________．解析：将z 1－z 2＝(a －2)＋(1＋a )i 所对应的点(a －2，1＋a )代入直线方程y ＝2x ＋1即可．答案：4[A 级基础达标]1.(5－i)－(3－i)＋(2＋3i)的计算结果为( )A ．5＋3iB ．6＋3iC ．4＋3iD ．4＋i解析：选C.原式＝(5－3＋2)＋[－1－(－1)＋3]i＝4＋3i.2.已知z 1＝2＋i ，z 2＝1＋2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.z ＝z 2－z 1＝1＋2i －(2＋i)＝－1＋i ，z 对应的点为(－1，1)在第二象限．3.在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →表示的复数分别为－2＋i ，3＋2i ，1＋5i ，则BC →表示的复数为( )A ．2＋8iB ．－6－6iC ．4－4iD ．－4＋2i解析：选C.BC →＝OC →－OB →＝OC →－(AB →＋OA →)＝(3，2)－(1，5)－(－2，1)＝(4，－4)．4.设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R)，且z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝__________．解析：由z 1＋z 2＝(x ＋3)＋(2－y )i ＝5－6i 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝52－y ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝8. ∴z 1－z 2＝(x －3)＋(2＋y )i ＝－1＋10i.答案：－1＋10i5.已知z 是复数，|z |＝3且z ＋3i 是纯虚数，则z ＝__________．解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，由题意知⎩⎨⎧x 2＋y 2＝3x ＝0y ＋3≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝3. 答案：3i6.已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R)．设z ＝z 1－z 2，且z ＝13＋2i ，求复数z 1和z 2.解：∵z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i]＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ，∴z ＝(5x －3y )－(x ＋4y )i.又∵z ＝13＋2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1. ∴z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i ，z 2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.[B 级能力提升]7.若|z －1|＝|z ＋1|，则复数z 对应的点在( )A ．实轴上B ．虚轴上C ．第一象限D ．第二象限解析：选B.∵|z －1|＝|z ＋1|，∴点Z 到(1，0)和(－1，0)的距离相等，即点Z 在以(1，0)和(－1，0)为端点的线段的中垂线上．8.A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则△AOB 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选B.根据复数加法、减法的几何意义知，以向量OA →、OB →为邻边的平行四边形是矩形，故△AOB 为直角三角形．9.复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)满足条件|z －4i|＝|z ＋2|，则2x ＋4y 的最小值为________．解析：由|z －4i|＝|z ＋2|可得复数z 所对应的点Z (x ，y )在直线x ＋2y ＝3上，又2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ＋2y ＝4 2.当且仅当2x ＝22y ，即x ＝32，y ＝34时，取等号．答案：4 210.在复平面内，A ，B ，C 三点对应的复数分别为1，2＋i ，－1＋2i.(1)求向量AB →，AC →，BC →对应的复数；(2)判断△ABC 的形状．解：(1)AB →＝OB →－OA →＝(2，1)－(1，0)＝(1，1)，AC →＝OC →－OA →＝(－1，2)－(1，0)＝(－2，2)，BC →＝OC →－OB →＝(－1，2)－(2，1)＝(－3，1)，所以AB →，AC →，BC →对应的复数分别为1＋i ，－2＋2i ，－3＋i.(2)因为|BC →|2＝10，|AC →|2＝8，|AB →|2＝2，所以有|BC →|2＝|AC →|2＋|AB →|2，所以△ABC 为直角三角形．11.(创新题)已知z1＝cosθ＋isinθ，z2＝cosα＋isinα(θ，α∈R)，求|z1＋z2|的取值范围．解：法一：∵z1＋z2＝cosθ＋isinθ＋cosα＋isinα＝(cosθ＋cosα)＋i(sinθ＋sinα)∴|z1＋z2|2＝(cosθ＋cosα)2＋(sinθ＋sinα)2＝2＋2(cosθcosα＋sinθsinα)＝2＋2cos(θ－α)∈[0，4]，∴|z1＋z2|∈[0，2]．法二：∵|z1|＝|z2|＝1，又||z1|－|z2||≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|，∴0≤|z1＋z2|≤2，即|z1＋z2|∈[0，2]．。

2021-2022年高中数学电子题库 2.3.2知能演练轻松闯关新人教B版选修2-1

2021-2022年高中数学电子题库 2.3.2知能演练轻松闯关新人教B 版选修2-11.(xx·重庆一中高二期末)如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么该双曲线的离心率是( )A.32 B ．3 C.62D ．2解析：选A.由已知a ＝2，c ＝3，∴e ＝c a ＝32.2.(xx·西安一中高二期末)已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 210－y 26＝1 D.x 26－y 210＝1 解析：选A.由已知c ＝4，e ＝c a＝2，∴a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝12，又焦点在x 轴上，∴双曲线方程为x 24－y 212＝1.3.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程是________．解析：由题意得2a ＋2b ＝22c ，即a ＋b ＝2c ，又因为a ＝2，c 2＝a 2＋b 2＝4＋b 2，所以b ＝2c －2，所以c 2＝4＋(2c －2)2，即c 2－42c ＋8＝0，所以c ＝22，b ＝2，所求的双曲线的标准方程是y 24－x 24＝1.答案：y 24－x 24＝14.设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为________．解析：由已知b ＝1，c ＝3，∴a 2＝c 2－b 2＝2，∴渐近线方程为y ＝±22x . 答案：y ＝±22x[A 级基础达标]1.(xx·西安一中高二期末)过点P (2，－2)且与x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.y 22－x 24＝1B.x 24－y 22＝1C.y 24－x 22＝1 D.x 22－y 24＝1 解析：选A.设所求双曲线方程为x 22－y 2＝λ(λ≠0)．将P (2，－2)代入方程得λ＝－2，∴所求方程为y 22－x 24＝1.2.若双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a 等于( )A ．2 B. 3 C.32D ．1解析：选D.∵c ＝a 2＋3，∴c a ＝a 2＋3a＝2，∴a ＝1.3.双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( )A ．－14B ．－4C ．4D.14解析：选A.由双曲线方程mx 2＋y 2＝1，知m <0，则双曲线方程可化为y 2－x 2－1m＝1，则a2＝1，a ＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b ＝2，∴－1m＝b 2＝4，∴m ＝－14，故选A.4.若双曲线x 24－y 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±32x ，则双曲线的焦点坐标是________．解析：由渐近线方程为y ＝±32x ，知m 2＝32，得m ＝3，c ＝7，且焦点在x 轴上，故焦点坐标为(±7，0)．答案：(±7，0) 5.若双曲线x 2k ＋4＋y 29＝1的离心率为2，则k 的值是________．解析：由已知a 2＝9，b 2＝－(k ＋4)，∴c 2＝－k ＋5.e 2＝c 2a 2＝－k ＋59＝4，∴k ＝－31.答案：－316.已知以原点O 为中心，F (5，0)为右焦点的双曲线C 的离心率e ＝52.求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程．解：设C 的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则由题意知c ＝5，e ＝c a ＝52，所以a ＝2，b ＝c 2－a 2＝1，双曲线C 的标准方程为x 24－y 2＝1.双曲线C 的渐近线方程为y ＝±12x .[B 级能力提升]7.(xx·高考湖南卷)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C.∵双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3ax ，即3x ±ay ＝0.又双曲线渐近线方程为3x ±2y ＝0，∴a ＝2.8.F 1，F 2是双曲线C 的左，右焦点，P 是双曲线右支上一点，且△F 1PF 2是等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为( )A ．1＋ 2B ．2＋ 2C ．3－ 2D ．3＋ 2 解析：选A.由△PF 1F 2为等腰直角三角形，又|PF 1|≠|PF 2|，故必有|F 1F 2|＝|PF 2|，即2c ＝b 2a ，从而得c 2－2ac －a 2＝0，即e 2－2e －1＝0，解之，得e ＝1±2， ∵e >1，∴e ＝1＋ 2.9.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为________，渐近线方程为________．解析：∵双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，∴c ＝4.∵e ＝c a＝2，∴a ＝2，∴b 2＝12，∴b ＝2 3. ∵焦点在x 轴上，∴焦点坐标为(±4，0)，渐近线方程为y ＝±b ax ，即y ＝±3x ，化为一般式为3x ±y ＝0. 答案：(±4，0) 3x ±y ＝0 10.如图所示，已知F 1，F 2为双曲线x 2a2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且∠PF 1F 2＝30°. 求双曲线的渐近线方程．解：法一：设F 2(c ，0)(c >0)，P (c ，y 0)代入方程得y 0＝±b 2a，∴|PF 2|＝b 2a.在Rt △F 1F 2P 中，∠PF 1F 2＝30°，∴|F 1F 2|＝3|PF 2|，即2c ＝3·b 2a .又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝2a 2.∴b a＝ 2.故所求双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . 法二：∵在Rt △PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝30°， ∴|PF 1|＝2|PF 2|.由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴|PF 2|＝2a .∴|F 1F 2|＝3|PF 2|.即2c ＝23a ，c 2＝3a 2＝a 2＋b 2.∴2a 2＝b 2.∴b a＝2，故所求双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . 11.(创新题)热电厂的冷却塔的外形是双曲线型，是双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所成的曲面，它的最小直径是24 m ，上口直径是26 m ，下口直径是50 m ，高是55 m ，建立如图所示的直角坐标系，求此双曲线的方程(精确到1 m)．解：设所求双曲线的方程是x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，那么AA ′＝2a ＝24，a ＝12，点B ，C的横坐标分别是－25，－13，设点B ，C 的坐标分别是(－25，y 1)，(－13，y 2)，(y 1<0，y 2>0)，所以解得：y 1＝－48112b ，y 2＝512b ，又因为塔高为55 m ，所以y 2－y 1＝55，即512b ＋48112b ＝55，b ≈25，故所求的双曲线的方程是x 2144－y 2625＝1.w22358 5756 坖35669 8B55 譕n. :21743 54EF 哯33074 8132 脲QjO23082 5A2A 娪。

人教版B数学选修1-2：2.2.2知能演练轻松闯关

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