2019高考数学难点题型拔高练一理含解析20190522398

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2019年全国统一高考数学试卷(理科)以及答案解析(全国1卷)

绝密★启用前2019年高考普通高等学校招生全国统一考试（全国1卷）理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3}B．{x|﹣4＜x＜﹣2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|2＜x＜3} 2．（5分）设复数z满足|z﹣i|＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A．（x+1）2+y2＝1B．（x﹣1）2+y2＝1C．x2+（y﹣1）2＝1D．x2+（y+1）2＝13．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm5．（5分）函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．8．（5分）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）A．A＝B．A＝2+C．A＝D．A＝1+9．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（）A．a n＝2n﹣5B．a n＝3n﹣10C．S n＝2n2﹣8n D．S n＝n2﹣2n 10．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝111．（5分）关于函数f（x）＝sin|x|+|sin x|有下述四个结论：①f（x）是偶函数②f（x）在区间（，π）单调递增③f（x）在[﹣π，π]有4个零点④f（x）的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③12．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（）A．8πB．4πC．2πD．π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年高考全国卷Ⅰ高考压轴卷数学(理)试题及答案解析

绝密★启用前2019年高考全国卷Ⅰ高考压轴卷数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合402x A x x ⎧-⎫=∈≥⎨⎬+⎩⎭Z，1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =I （） A ．{}12 x x -≤≤B ．{}1,0,1,2- C ．{}2,1,0,1,2-- D ．{}0,1,22．已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于（） A ．2-B ．1-C 2D ．13．“0a ≤”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点到渐近线的距离等于实轴长,则此双曲线的离心率为（）A 2B 3C 5D 55．若221m n >>,则（） A ．11m n> B ．1122log log m n >C ．()ln 0m n ->D ．1m n -π>6．已知平面向量a ,b ,满足(3=a ,3=b ,()2⊥-a a b ,则-=a b （） A ．2B ．3C ．4D ．67．执行右边的程序框图,输出的2018ln =S ,则m 的值为（） A ．2017 B ．2018 C ．2019D ．20208．据统计,连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0055．,连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为019．,现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病,则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为（）S ＝S ＋⎰i ＋1i1x d x开始否 i ＜m ？结束是i ＝1，S ＝0 i ＝i ＋1输出SA．6 7B．335C．1135D．019．9．已知一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A．163π+B．112π+C．1123π+D．143π+ 10．将()2sin22cos21f x x x=-+的图像向左平移π4个单位,再向下平移1个单位,得到函数()y g x=的图像,则下列关于函数()y g x=的说法错误的是（）A．函数()y g x=的最小正周期是πB．函数()y g x=的一条对称轴是π8x=C．函数()y g x=的一个零点是3π8D．函数()y g x=在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减11．焦点为F的抛物线2:8C y x=的准线与x轴交于点A,点M在抛物线C上,则当MAMF 取得最大值时,直线M A的方程为（）A．2y x=+或2y x=--B．2y x=+C．22y x=+或22y x=-+D．22y x=-+12．定义在R上的函数()f x满足()()22f x f x+=,且当[]2,4x∈时,()224,232,34x x xf x xxx⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩,()1g x ax=+,对[]12,0x∀∈-,[]22,1x∃∈-使得()()21g x f x=,则实数a的取值范围为（）A．11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-+∞⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭U B．11,00,48⎡⎫⎛⎤-⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦UC．(]0,8D．11,,48⎛⎤-∞-+∞⎥⎪⎝⎦⎡⎫⎢⎣⎭U二、填空题：本大题共4小题,每小题5分． 13．已知1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 若21)(=αf 则=-)(αf 14．在()31nx x x ⎛++ ⎪⎝⎭的展开式中,各项系数之和为256,则x 项的系数是__________．15.知变量x ,y 满足条件236y xx y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩,则目标函数223x y z x y-=+的最大值为16．如图,在ABC △中,3sin2ABC ∠=,点D 在线段AC 上,且2AD DC =,43BD =,则ABC △的面积的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：113a b ==,24b a =, 且1a ,4a ,13a 成等比数列．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令nn na cb =,求数列{}n c 的前n 项和n S ． 18．（本小题满分12分）某市举行“中学生诗词大赛”,分初赛和复赛两个阶段进行,规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格,某校有800名学生参加了初赛,所有学生的成绩均在区间(]30,150内,其频率分布直方图如图．（1）求获得复赛资格的人数；（2）从初赛得分在区间(]110,150的参赛者中,利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流,那么从得分在区间(]110,130与(]130,150各抽取多少人？（3）从（2）抽取的7人中,选出3人参加全市座谈交流,设X 表示得分在区间(]130,150中参加全市座谈交流的人数,求X 的分布列及数学期望()E X ．19．（本小题满分12分）如图,底面ABCD 是边长为3的正方形,DE ⊥平面ABCD ,//AF DE ,3DE AF =,BE 与平面ABCD 所成角为60︒．（1）求证：AC ⊥平面BDE ；（2）求二面角F BE D --的余弦值．20．（本小题满分12分）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 的直线与抛物线在第一象限的交点为A ,与抛物线准线的交点为B ,点A 在抛物线准线上的射影为C ,若AF FB =u u u r u u u r,ABC △的面积为83（1）求抛物线的标准方程；（2）过焦点F 的直线与抛物线交于M ,N 两点,抛物线在M ,N 点处的切线分别为1l ,2l ,且1l 与2l 相交于P 点,1l 与x 轴交于Q 点,求证：2FQ l ∥．21．（本小题满分12分）设函数()(ln f x x x =-+．（1）探究函数()f x 的单调性；（2）若0x ≥时,恒有()3f x ax ≤,试求a 的取值范围；请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分． 22.(本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中,圆C 的普通方程为2246120x y x y +--+=．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭（1）写出圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴和y 轴的交点分别为A ,B ,P 为圆C 上的任意一点,求PA PB ⋅u u u r u u u r的取值范围．23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】设函数()21f x x =-．（1）设()()15f x f x ++<的解集为A ,求集合A ；（2）已知m 为（1）中集合A 中的最大整数,且a b c m ++=（其中a ,b ,c 为正实数）,求证：1118a b ca b c---⋅⋅≥．2019年高考全国卷Ⅰ高考压轴卷数学（理）试题答案解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B 【解析】集合{}{}40241,0,1,2,3,42x A x x x x ⎧-⎫=∈≥=∈-<≤=-⎨⎬+⎩⎭Z Z ,{}14224B x x x x ⎧⎫=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭,则{}1,0,1,2A B =-I ,故选B ．2．【答案】D 【解析】i 1ia +-是纯虚数,i 1+(+1)i=1i 2a a a +--,则要求实部为0,即1a =．故选D ． 3．【答案】C ．【解析】当0a =时,()|(1)|||f x ax x x =-=在区间(0,)+∞上单调递增；当0a <时,结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上单调递增,如图1-7(a)所示；当0a >时,结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上先增后减再增,不符合条件,如图1-7(b)所示.所以要使函数()|(1)|f x ax x =-在(0,)+∞上单调递增,只需0a ≥,即“0a ≥”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的充要条件.故选C.4．【答案】C【解析】由题意可设双曲线C 的右焦点(),0F c ,渐进线的方程为by x a=±,可得2d b a ===,可得c =,可得离心率ce a=故选C ． 5．【答案】D【解析】因为221m n >>,所以由指数函数的单调性可得0m n >>, 因为0m n >>,所以可排除选项A ,B ；32m =,1n =时,可排除选项C , 由指数函数的性质可判断1m n -π>正确,故选D ． 6．【答案】B【解析】由题意可得：2==a ,且：()20⋅-=a a b ,即220-⋅=a a b ,420-⋅=a b ,2⋅=a b ,由平面向量模的计算公式可得：3-===a b ．故选B ．7．【答案】B【解析】第一次循环,2,2ln ==i S 第二次循环,3,3ln ln 2ln 12ln 3232==+=+=⎰i x dx xS 第三次循环,4,4ln ln 2ln 13ln 4343==+=+=⎰i x dx xS 第四次循环,5,5ln ln 4ln 14ln 5454==+=+=⎰i x dx xS ……推理可得m=2018,故选B ．8．【答案】A【解析】设事件A 为48h 发病,事件B 为72h 发病,由题意可知：()0055P A =．,()019P B =．,则()0945P A =．,()081P B =．, 由条件概率公式可得：()()()()()0816|09457P AB P B P B A P A P A ====．．．故选A ． 9．【答案】C【解析】观察三视图可知,几何体是一个圆锥的14与三棱锥的组合体,其中圆锥的底面半径为1,高为1．三棱锥的底面是两直角边分别为1,2的直角三角形,高为1．则几何体的体积21111π1π111213432123V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+．故本题答案选C ．10．【答案】D【解析】由题意可知：()12sin 4π21f x x x x ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭,图像向左平移π4个单位,再向下平移1个单位的函数解析式为： ()ππ2sin 2112sin 244π4g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．则函数()g x 的最小正周期为2ππ2T ==,A 选项说法正确；当π8x =时,22ππ4x +=,函数()y g x =的一条对称轴是π8x =,B 选项说法正确；当3π8x =时,2π4πx +=,函数()y g x =的一个零点是3π8,C 选项说法正确；若5π,128πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则5π3π2,4122πx ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调,D 选项说法错误；故选D ． 11．【答案】A 【解析】过M 作M P 与准线垂直,垂足为P ,则11cos cos MA MA MFMPAMP MAF ===∠∠,则当MA MF取得最大值时,MAF ∠必须取得最大值,此时直线AM 与抛物线相切,可设切线方程为()2y k x =+与28y x =联立,消去y 得28160ky y k -+=,所以264640k ∆=-=,得1k =±．则直线方程为2y x =+或2y x =--．故本题答案选A ．12．【答案】D【解析】因为()f x 在[]2,3上单调递减,在(]3,4上单调递增,所以()f x 在[]2,3上的值域是[]3,4,在(]3,4上的值域是119,32⎛⎤⎥⎝⎦,所以函数()f x 在[]2,4上的值域是93,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦,因为()()22f x f x +=,所以()()()112424f x f x f x =+=+,所以()f x 在[]2,0-上的值域是39,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦,当0a >时,()g x 为增函数,()g x 在[]2,1-上的值域为[]21,1a a -++, 所以3214918a a ≥-+≤+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩,解得18a ≥；当0a <时,()g x 为减函数,()g x 在[]2,1-上的值域为[]1,21a a +-+, 所以3149218a a ≥+⎧⎪≤+⎨-⎪⎪⎪⎩,解得14a ≤-,当0a =时,()g x 为常函数,值域为{}1,不符合题意,综上,a 的范围是11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ,故选D ．二、填空题：本大题共4小题,每小题5分． 13．【答案】23【解析】解析：因为1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 的定义域为R,关于原点对称,21sin )1lg(1sin )1lg()()(22=+-++++++-+=-+）（x x x x x x f f αα故221)(=+-αf 则=-)(αf 2314．【答案】7【解析】令1x =可得各项系数和：()31112561n⎛+⨯= ⎝,据此可得：7n =,73x x ⎛+ ⎝展开式的通项公式为：()721732177C C r r rr r r T xx x --+==, 令72102r -=可得：6r =,令72112r -=可得：407r =,不是整数解,据此可得：x 项的系数是67C 7=． 15.3【解析】作出236y x x y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩,表示的可行域,如图变形目标函数,()1,2cos x y zθ-⋅===,其中θ为向量)1=-a 与(),x y =b 的夹角,由图可知,()2,0=b 时θ有最小值6π, (),x y =b 在直线y x =上时,θ有最大值56412π+=ππ,即5612θπ≤≤π,5612θπ≤≤π,目标函数z=故选C ．16．【答案】【解析】由sin2ABC ∠=可得：cos 2ABC ∠=, 则sin 2sin cos 22ABC ABC ABC ∠∠∠==．由sin2ABC ∠<452ABC ∠<︒,则90ABC ∠<︒,由同角三角函数基本关系可知：1cos 3ABC ∠=．设AB x =,BC y =,()30,0,0AC z x y z =>>>,在ABD △中由余弦定理可得：()22162cosz x BDA +-∠=,在CBD △中由余弦定理可得：2216cos z y BDC +-∠=由于180BDA BDC ∠+∠=︒,故cos cos BDA BDC∠=-∠,()222216162z x z y +-+-=整理可得：22216620z x y +--=．①在ABC △中,由余弦定理可知：()2221233x y xy z +-⨯=,则：2222246339z x y xy =+-,代入①式整理计算可得：2214416339x y xy ++=,由均值不等式的结论可得：4161699xy xy ≥=, 故9xy ≤,当且仅当x =,y 时等号成立,据此可知ABC △面积的最大值为：()max max 11sin 922S AB BC ABC =⨯⨯⨯∠=⨯= 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）【答案】（1）()32121n a n n =+-=+,3n n b =；（2）223n n n S +=-．【解析】（1）设{}n a 的公差为d ,则由已知得21134a a a =,即()()2331233d d +=+,解之得：2d =或0d =（舍）,所以()32121n a n n =+-=+；因为249b a ==,所以{}n b 的公比3q =,所以3n n b =．（2）由（1）可知213n nn c +=, 所以23357213333n n n S +=++++．．．,21572133333n n n S -+=++++．．．, 所以12111211112121243323234133333313n n n n n n n n n S --⎛⎫⋅- ⎪+++⎛⎫⎝⎭=++++-=+-=- ⎪⎝⎭-．．．, 所以223n nn S +=-． 18.（本小题满分12分）【答案】（1）520人；（2）5人,2人；（3）()67E X =．【解析】（1）由题意知[)90,110之间的频率为：()1200.00250.0050.007520.01250.3-⨯++⨯+=,()0.30.01250.0050200.65++⨯=,获得参赛资格的人数为8000.65520⨯=人．（2）在区间(]110,130与(]130,150，0.0125:0.00505:2=，在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人，分在区间(]110,130与(]130,150各抽取5人，2人．结果是5人，2人．（3）X 的可能取值为0，1，2，则：()305237C C 20C 7P X ===；()215237C C 41C 7P X ===；()125237C C 12C 7P X ===；故X 的分布列为： X0 1 2 P 27 47 17 ()20127777E X =⨯+⨯+⨯=． 19．（本小题满分12分）【答案】（1）见解析（213 （1）证明：∵DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴DE AC ⊥，又∵底面ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥．∵BD DE D =I ，∴AC ⊥平面BDE ．（2）解：∵DA ，DC ，DE 两两垂直，∴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，∵BE 与平面ABCD 所成角为60︒，即60DBE ∠=︒， ∴3ED DB=，由3AD =，可知32BD =36DE =6AF = 则(3,0,0)A ，6)F ，(0,0,36)E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ，∴(0,6)BF =-u u u r ，(3,0,26)EF =-u u u r ．设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则0,0,n BF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r 即360,360,y z x z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ 令6z =(4,6)n =r ．∵AC ⊥平面BDE ，∴CA u u u r 为平面BDE 的一个法向量，∴(3,3,0)CA =-u u u r ，∴||cos,||||n CAn CAn CA⋅<>===⋅r u u u rr u u u rr u u u r∵二面角F BE D--为锐角，∴二面角F BE D--．20.（本小题满分12分）【答案】（1）24x y=；（2）证明见解析．【解析】（1）因为AF FB=u u u r u u u r，所以F到准线的距离即为三角形ABC△的中位线的长，所以2AC p=，根据抛物线的定义AC AF=，所以24AB AC p==，BC=，122ABCS p=⋅⋅=△解得2p=，所以抛物线的标准方程为24x y=．（2）易知直线MN的斜率存在，设直线:1MN y kx=+，设()11,M x y，()22,N x y 联立241x yy kx=+⎧⎪⎨⎪⎩=消去y得2440x kx--=，得124x x=-，24xy=，'2xy=，设()11,M x y，()22,N x y，111:22l y y xx+=，222:22l y y xx+=，()22212212112121121212442,22,12444p p px xy y x x x x x x x x y x yx x x x⎛⎫-⎪-++⎝⎭===+⋅===---，得P点坐标21,12x xP+⎛⎫-⎪⎝⎭，由111:22l y y xx+=，得1,02xQ⎛⎫⎪⎝⎭，12QFkx=-，221141222lxkx x-==⋅=-，所以2QF lk k=，即2PQ l∥．21.（本小题满分12分）【答案】（1）增函数；（2）1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）见解析．【解析】（1）函数()f x的定义域为R．由()'10f x=≥，知()f x是实数集R上的增函数．（2）令()()(33lng x f x ax x x ax=-=--，则()2131'axg x--，令())2131h x ax =--，则()()23169169'x a ax a x ax h x ⎡⎤----==．（i ）当16a ≥时，()'0h x ≤，从而()h x 是[)0,+∞上的减函数，注意到()00h =，则0x ≥时，()0h x ≤，所以()'0g x ≤，进而()g x 是[)0,+∞上的减函数，注意到()00g =，则0x ≥时，()0g x ≤时，即()3f x ax ≤．（ii ）当106a <<时，在⎡⎢⎣上，总有()'0h x >，从而知，当x ⎡∈⎢⎣⎭时，()3f x ax >；（iii ）当0a ≤时，()'0h x >，同理可知()3f x ax >，综上，所求a 的取值范围是1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.（本小题满分10分）【答案】（1）2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，20x y +-=；（2）44PA PB -⋅≤+u u u r u u u r 【解析】（1）圆C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=（θ为参数）．直线l 的直角坐标方程为20x y +-=．（2）由直线l 的方程20x y +-=可得点()2,0A ，点()0,2B ．设点(),P x y ，则()()222,,2222412PA PB x y x y x y x y x y ⋅=--⋅--=+--=+-u u u r u u u r ．由（1）知2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，则()4sin 2cos 44PA PB θθθϕ⋅=++=++u u u r u u u r ．因为θ∈R，所以44PA PB -≤⋅≤+u u u r u u u r23．（本小题满分10分）【答案】（1）55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）见解析．【解析】（1）()()15f x f x ++<即21215x x -++<，当12x <-时，不等式化为12215x x ---<，∴5142x -<<-；当1122x -≤≤时，不等式化为12215x x -++<，不等式恒成立；当12x >时，不等式化为21215x x -++<，∴1524x <<．综上，集合55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭．（2）由（1）知1m =，则1a b c ++=．则1a b c a a -+=1b b -≥1c c -≥则1118a b c a b c ---⋅⋅≥=，即8M ≥．。

2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(理)：专题03 导数及其应用 (含解析).docx

专题03导数及其应用1. [2019年高考全国III 卷理数】已知曲线y = ae x +xlnx 在点(1, ae)处的切线方程为y=2x+b,贝9 A. a = e, b = —1 B. a=e, b=l C. a — e _1, b = lD. a = e"1 > b = -\【答案】D【解析】T y' = ae* + lnx+l,切线的斜率 k = y' |Y=1= ae+1 = 2,a = e _1，将(1,1)代入 y = 2x + b,得 2 + b = l,b = -l. 故选D.【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a, b 的等式，从而求解，属于常考题型.了2 O XTTV 2d V* V 12. [2019年高考天津理数】已知tzeR ，设函数/(%)=' _ '若关于X 的不等式/(x)>0在R 上x-alnx, x>l.恒成立，则a 的取值范围为A. [0,1]B. [0,2]C. [0,e]D. [l,e]【答案】C【解析】当兀=1时，/(1) = 1 —2a + 2a = l>0恒成立;当 x<l 时，/(%) = x 2-2ajc + 2a>0^ 2a>^-恒成立,x-1令g(x) =—7x-1(1 —兀―1)2_ (1—兀)2—2(1 —兀)+ 1 1 — X 1 — X当1 —兀=丄，即x = 0时取等号,1-X贝0g(x) = ——1-X2a= 0,则a>0.Y当 x 〉l 时，f(x) = x-a\nx>0,即a< ---------------- 11 成立,lnx当x>e 时,h'(x) >0,函数〃(x)单调递增, 当0<x<e 时，h'(x) <0,函数力(x)单调递减, 则x = e 时，〃(x)取得最小值A(e) = e,•■- a<h(x)nin =e,综上可知，a 的取值范围是［0,e ］. 故选C.【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成立问题.x,x<03. (2019浙江)已知a,bwR ，函数/(%) = < 1 1 2.若函数f(x)-ax-b 恰有3个零点, —X ——(Q + 1)兀 + ax, X > 0 13 2A. a<-\, b<0 C. tz>—1, Z?<0D. a>—1, Z?>0【答案】C【解析】当 x<0 时，y=f (x) -ax - b=x - ax - b= (1 - a) x - b=0,得 x= 丿丿 l-a则y=f (x) -ax-b 最多有一个零点；当 x>0 时，y=f (兀)-ax - b= -x 3—- (a+1) x^+ax - ax - b= -x 3—- (a+1) x 2 - b, —)J3 2 3 2y = x 2-(€l + l)x,当 a+lwo,即來-1 时，y>0, y=f (x) -ax-b 在［0, +oo)上单调递增，则y =f -ax-b 最多有一个零点，不合题意；当a+l>0,即°>-1时，令y'>0得兀丘@+1, +oo),此时函数单调递增，令WVO 得用［0, d+1),此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y=f (x) -ax-b 恰有3个零点o 函数y=f (x) - ax - b 在(-oo, 0)上有一个零点，在［0, +oo)令〃(x)=—, lnx则 h\x)=lnx-1(In x)2 B. a<-l, b>0上有2个零点,如图：b—b>01-a (a + l)3 - j (a + l)(a + l)2- b<0解得b<0, 1 - a>0, b> -- (a+1) 3,6则a>-l, b<0.故选C・【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当兀V0时，y=f (x) -ax - b=x - ax - b= (l-°) x~ b最多有一个零点；当空0时，y=/(x) -ax-b=^-\ (a+1) - b,利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解.4.[2019年高考全国I卷理数】曲线y = 3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为_________________ .【答案】3x-y-0【解析】y = 3(2x+l)e A + 3(x2 + x)e r = 3(x2 +3x+l)e r,所以切线的斜率k = y' |x=0=3,则曲线y = 3(x2 + x)^在点(0,0)处的切线方程为y = 3x,即3x — y = 0 .【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误•求导要“慢”, 计算要准，是解答此类问题的基本要求._ 45.[2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y = x + —(无>0)上的一个动点，则点P到直线x+ y = 0的距离的最小值是一▲•【答案】44 4【解析】由y = x （x〉0）,得丁' = 1 ——,X X4 4设斜率为一1的直线与曲线_y = x + -（x>0）切于（x0,x0+—）,x 勺由1一一 =一1得x0 = A/2（x0=-A/2舍去），x o曲线y = x + -（x>o）±,点P（V2,3A/2）到直线x+y = o的距离最小，最小值为故答案为4 .【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到己知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法，利用数形结合和转化与化归思想解题.6.[2019年高考江苏】在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnr上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e, -l）（e 为自然对数的底数），则点A的坐标是▲.【答案】（e, 1）【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标.设点A（x0,y0）,则y Q =lnx0.又# =丄，X则曲线y = InX在点A处的切线为y - ％=丄（X —勺），即yin”。

2019全国卷Ⅰ高考压轴卷数学理科 Word版含解析

最新2019全国卷Ⅰ高考压轴卷数学理科一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合402x A x x ⎧-⎫=∈≥⎨⎬+⎩⎭Z，1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =（）A ．{}12 x x -≤≤B ．{}1,0,1,2-C ．{}2,1,0,1,2--D ．{}0,1,22．已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于（） A．B ．1-CD ．13．“0a ≤”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为（）ABCD5．若221m n >>，则（） A ．11m n> B ．1122log log m n >C ．()ln 0m n ->D ．1m n -π>6．已知平面向量a ，b，满足(=a ，3=b ，()2⊥-a a b ，则-=a b （） A ．2B ．3C ．4D ．67．执行右边的程序框图，输出的2018ln =S ,则m 的值为（） A ．2017 B ．2018 C ．2019D ．20208．据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0055．，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为019．，现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为（）A ．67B ．335C ．1135D ．019．9．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．163π+ B ．112π+ C ．1123π+ D ．143π+ 10．将()1f x x x =-+的图像向左平移π4个单位，再向下平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，则下列关于函数()y g x =的说法错误的是（）A ．函数()y g x =的最小正周期是πB ．函数()y g x =的一条对称轴是π8x = C ．函数()y g x =的一个零点是3π8D ．函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减11．焦点为F 的抛物线2:8C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当MA MF取得最大值时，直线MA 的方程为（） A ．2y x =+或2y x =-- B ．2y x =+ C ．22y x =+或22y x =-+D ．22y x =-+12．定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，对[]12,0x ∀∈-，[]22,1x ∃∈-使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为（）A ．11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ B ．11,00,48⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C ．(]0,8D ．11,,48⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎪⎝⎦⎡⎫⎢⎣⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 若21)(=αf 则=-)(αf 14．在()31nx x ⎛++ ⎝的展开式中，各项系数之和为256，则x 项的系数是__________． 15.知变量x ，y 满足条件236y xx y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩，则目标函数z =的最大值为16．如图，在ABC △中，sin2ABC ∠，点D 在线段AC 上，且2AD DC =，BD =，则ABC △的面积的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：113a b ==，24b a =，且1a ，4a ，13a 成等比数列．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 18．（本小题满分12分）某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间(]30,150内，其频率分布直方图如图．（1）求获得复赛资格的人数；（2）从初赛得分在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流，那么从得分在区间(]110,130与(]130,150各抽取多少人？（3）从（2）抽取的7人中，选出3人参加全市座谈交流，设X 表示得分在区间(]130,150中参加全市座谈交流的人数，求X 的分布列及数学期望()E X ．19．（本小题满分12分）如图，底面ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，//AF DE ，3DE AF =，BE 与平面ABCD 所成角为60︒．（1）求证：AC ⊥平面BDE ；（2）求二面角F BE D --的余弦值．20．（本小题满分12分）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 的直线与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若AF FB =，ABC △的面积为（1）求抛物线的标准方程；（2）过焦点F 的直线与抛物线交于M ，N 两点，抛物线在M ，N 点处的切线分别为1l ，2l ，且1l 与2l 相交于P 点，1l 与x 轴交于Q 点，求证：2FQ l ∥．21．（本小题满分12分）设函数()(ln f x x x =-+．（1）探究函数()f x 的单调性；（2）若0x ≥时，恒有()3f x ax ≤，试求a 的取值范围；请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.(本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，圆C 的普通方程为2246120x y x y +--+=．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭（1）写出圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴和y 轴的交点分别为A ，B ，P 为圆C 上的任意一点，求PA PB ⋅的取值范围．23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】设函数()21f x x =-．（1）设()()15f x f x ++<的解集为A ，求集合A ；（2）已知m 为（1）中集合A 中的最大整数，且a b c m ++=（其中a ，b ，c 为正实数），求证：1118a b ca b c---⋅⋅≥．最新2019全国卷Ⅰ高考压轴卷数学理科答案解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】集合{}{}40241,0,1,2,3,42x A x x x x ⎧-⎫=∈≥=∈-<≤=-⎨⎬+⎩⎭ZZ ，{}14224B x x x x ⎧⎫=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，则{}1,0,1,2AB =-，故选B ．2．【答案】D 【解析】i 1ia +-是纯虚数，i 1+(+1)i=1i 2a a a +--，则要求实部为0，即1a =．故选D ． 3．【答案】C ．【解析】当0a =时，()|(1)|||f x ax x x =-=在区间(0,)+∞上单调递增；当0a <时，结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上单调递增，如图1-7(a)所示；当0a >时，结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上先增后减再增，不符合条件，如图1-7(b)所示.所以要使函数()|(1)|f x ax x =-在(0,)+∞上单调递增，只需0a ≥，即“0a ≥”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的充要条件.故选C.4．【答案】C【解析】由题意可设双曲线C 的右焦点(),0F c ，渐进线的方程为by x a=±，可得2d b a ===，可得c =，可得离心率ce a=C ．5．【答案】D【解析】因为221m n >>，所以由指数函数的单调性可得0m n >>，因为0m n >>，所以可排除选项A ，B ；32m =，1n =时，可排除选项C ，由指数函数的性质可判断1m n -π>正确，故选D ． 6．【答案】B【解析】由题意可得：2=a ，且：()20⋅-=a a b ，即220-⋅=a a b ，420-⋅=a b ，2⋅=a b ，由平面向量模的计算公式可得：3-=a b ．故选B ．7．【答案】B【解析】第一次循环，2,2ln ==i S 第二次循环，3,3ln ln 2ln 12ln 3232==+=+=⎰i x dx xS 第三次循环，4,4ln ln 2ln 13ln 4343==+=+=⎰i x dx xS 第四次循环，5,5ln ln 4ln 14ln 5454==+=+=⎰i x dx xS ……推理可得m=2018，故选B ．8．【答案】A【解析】设事件A 为48h 发病，事件B 为72h 发病，由题意可知：()0055P A =．，()019P B =．，则()0945P A =．，()081P B =．，由条件概率公式可得：()()()()()0816|09457P AB P B P B A P A P A ====．．．故选A ． 9．【答案】C【解析】观察三视图可知，几何体是一个圆锥的14与三棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为1，高为1．三棱锥的底面是两直角边分别为1，2的直角三角形，高为1．则几何体的体积21111π1π111213432123V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+．故本题答案选C ．10．【答案】D【解析】由题意可知：()12sin 4π21f x x x x ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，图像向左平移π4个单位，再向下平移1个单位的函数解析式为： ()ππ2sin 2112sin 244π4g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．则函数()g x 的最小正周期为2ππ2T ==，A 选项说法正确；当π8x =时，22ππ4x +=，函数()y g x =的一条对称轴是π8x =，B 选项说法正确；当3π8x =时，2π4πx +=，函数()y g x =的一个零点是3π8，C 选项说法正确；若5π,128πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则5π3π2,4122πx ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调，D 选项说法错误；故选D ． 11．【答案】A 【解析】过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，则11cos cos MA MA MFMPAMP MAF ===∠∠，则当MA MF取得最大值时，MAF ∠必须取得最大值，此时直线AM 与抛物线相切，可设切线方程为()2y k x =+与28y x =联立，消去y 得28160ky y k -+=，所以264640k ∆=-=，得1k =±．则直线方程为2y x =+或2y x =--．故本题答案选A ．12．【答案】D【解析】因为()f x 在[]2,3上单调递减，在(]3,4上单调递增，所以()f x 在[]2,3上的值域是[]3,4，在(]3,4上的值域是119,32⎛⎤ ⎥⎝⎦，所以函数()f x 在[]2,4上的值域是93,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为()()22f x f x +=，所以()()()112424f x f x f x =+=+，所以()f x 在[]2,0-上的值域是39,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当0a >时，()g x 为增函数，()g x 在[]2,1-上的值域为[]21,1a a -++，所以3214918a a ≥-+≤+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得18a ≥；当0a <时，()g x 为减函数，()g x 在[]2,1-上的值域为[]1,21a a +-+，所以3149218a a ≥+⎧⎪≤+⎨-⎪⎪⎪⎩，解得14a ≤-，当0a =时，()g x 为常函数，值域为{}1，不符合题意，综上，a 的范围是11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，故选D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】23【解析】解析：因为1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 的定义域为R,关于原点对称，21sin )1lg(1sin )1lg()()(22=+-++++++-+=-+）（x x x x x x f f αα故221)(=+-αf 则=-)(αf 2314．【答案】7【解析】令1x =可得各项系数和：()3111256n⎛+⨯= ⎝，据此可得：7n =，73x ⎛+ ⎝展开式的通项公式为：()721732177C C r r rr r r T xx --+==，令72102r -=可得：6r =，令72112r -=可得：407r =，不是整数解，据此可得：x 项的系数是67C 7=． 15.【解析】作出236y x x y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩，表示的可行域，如图变形目标函数，()1,2cos x y zθ-⋅===，其中θ为向量)1=-a 与(),x y =b 的夹角，由图可知，()2,0=b 时θ有最小值6π， (),x y =b 在直线y x =上时，θ有最大值56412π+=ππ，即5612θπ≤≤π，5612θπ≤≤π，目标函数z=C ．16．【答案】【解析】由sin2ABC ∠=可得：cos 2ABC ∠=，则sin 2sin cos 22ABC ABC ABC ∠∠∠==．由sin2ABC ∠<452ABC ∠<︒，则90ABC ∠<︒，由同角三角函数基本关系可知：1cos 3ABC ∠=．设AB x =，BC y =，()30,0,0AC z x y z =>>>，在ABD △中由余弦定理可得：()22162cos z x BDA +-∠=，在CBD △中由余弦定理可得：2216cos z y BDC +-∠=由于180BDA BDC ∠+∠=︒，故cos cos BDA BDC ∠=-∠，()222216162z x z y +-+-=22216620z x y +--=．①在ABC △中，由余弦定理可知：()2221233x y xy z +-⨯=，则：2222246339z x y xy =+-，代入①式整理计算可得：2214416339x y xy ++=，由均值不等式的结论可得：4161699xy xy ≥=，故9xy ≤，当且仅当x =y =时等号成立，据此可知ABC △面积的最大值为：()max max 11sin 922S AB BC ABC =⨯⨯⨯∠=⨯= 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）【答案】（1）()32121n a n n =+-=+，3n n b =；（2）223n nn S +=-．【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，则由已知得21134a a a =，即()()2331233d d +=+，解之得：2d =或0d =（舍），所以()32121n a n n =+-=+；因为249b a ==，所以{}n b 的公比3q =，所以3n n b =．（2）由（1）可知213n nn c +=，所以23357213333n n n S +=++++．．．，21572133333n n n S -+=++++．．．，所以12111211112121243323234133333313n n n n n n n n n S --⎛⎫⋅- ⎪+++⎛⎫⎝⎭=++++-=+-=- ⎪⎝⎭-．．．，所以223n nn S +=-． 18.（本小题满分12分）【答案】（1）520人；（2）5人，2人；（3）()67E X =．【解析】（1）由题意知[)90,110之间的频率为：()1200.00250.0050.007520.01250.3-⨯++⨯+=，()0.30.01250.0050200.65++⨯=，获得参赛资格的人数为8000.65520⨯=人．（2）在区间(]110,130与(]130,150，0.0125:0.00505:2=，在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人，分在区间(]110,130与(]130,150各抽取5人，2人．结果是5人，2人．（3）X 的可能取值为0，1，2，则：()305237C C 20C 7P X ===；()215237C C 41C 7P X ===；()125237C C 12C 7P X ===；故X 的分布列为：()20127777E X =⨯+⨯+⨯=． 19．（本小题满分12分）【答案】（1）见解析（2）13（1）证明：∵DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴DE AC ⊥，又∵底面ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥．∵BD DE D =，∴AC ⊥平面BDE ．（2）解：∵DA ，DC ，DE 两两垂直，∴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，∵BE 与平面ABCD 所成角为60︒，即60DBE ∠=︒，∴ED DB=，由3AD =，可知BD =DE =AF =则(3,0,0)A，F，E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ，∴(0,BF =-，(3,0,EF =-．设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n BF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即30,30,y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩令z =(4,n =．∵AC ⊥平面BDE ，∴CA 为平面BDE 的一个法向量，∴(3,3,0)CA =-，∴||cos ,||||32n CA n CA n CA ⋅<>===⋅ ∵二面角F BE D --为锐角，∴二面角F BE D --的余弦值为13． 20.（本小题满分12分）【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析．【解析】（1）因为AF FB =，所以F 到准线的距离即为三角形ABC △的中位线的长，所以2AC p =，根据抛物线的定义AC AF=，所以24AB AC p ==，BC =，122ABC S p =⋅⋅=△ 解得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =．（2）易知直线MN 的斜率存在，设直线:1MN y kx =+，设()11,M x y ，()22,N x y联立24 1x y y kx =+⎧⎪⎨⎪⎩=消去y 得2440x kx --=，得124x x =-， 24x y =，'2x y =，设()11,M x y ，()22,N x y ，111:22l y y xx +=，222:22l y y xx +=，()22212212112121121212442,22,12444p p p x x y y x x x x x x x x y x y x x x x ⎛⎫- ⎪-++⎝⎭===+⋅===---，得P 点坐标21,12x x P +⎛⎫- ⎪⎝⎭，由111:22l y y xx +=，得1,02x Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 12QF k x =-，221141222l x k x x -==⋅=-，所以2QF l k k =，即2PQ l ∥． 21.（本小题满分12分）【答案】（1）增函数；（2）1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）见解析．【解析】（1）函数()f x 的定义域为R ．由()'10f x =≥，知()f x 是实数集R 上的增函数．（2）令()()(33ln g x f x ax x x ax =-=-+-，则()2131'ax g x --，令())2131h x ax =--，则()23169'x a ax h x ⎡⎤--==．（i ）当16a ≥时，()'0h x ≤，从而()h x 是[)0,+∞上的减函数，注意到()00h =，则0x ≥时，()0h x ≤，所以()'0g x ≤，进而()g x 是[)0,+∞上的减函数，注意到()00g =，则0x ≥时，()0g x ≤时，即()3f x ax ≤．（ii ）当106a <<时，在⎡⎢⎣上，总有()'0h x >，从而知，当x ⎡∈⎢⎣⎭时，()3f x ax >；（iii ）当0a ≤时，()'0h x >，同理可知()3f x ax >，综上，所求a 的取值范围是1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.（本小题满分10分）【答案】（1）2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，20x y +-=；（2）44PA PB -⋅≤+ 【解析】（1）圆C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=（θ为参数）．直线l 的直角坐标方程为20x y +-=．（2）由直线l 的方程20x y +-=可得点()2,0A ，点()0,2B ．设点(),P x y ，则()()222,,2222412PA PB x y x y x y x y x y ⋅=--⋅--=+--=+-．由（1）知2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，则()4sin 2cos 44PA PB θθθϕ⋅=++=++．因为θ∈R ，所以44PA PB -≤⋅≤+23．（本小题满分10分）【答案】（1）55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）见解析．【解析】（1）()()15f x f x ++<即21215x x -++<，当12x <-时，不等式化为12215x x ---<，∴5142x -<<-；当1122x -≤≤时，不等式化为12215x x -++<，不等式恒成立；当12x >时，不等式化为21215x x -++<，∴1524x <<．综上，集合55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭．（2）由（1）知1m =，则1a b c ++=．则1a b c a a -+=1b b -≥1c c -≥则1118a b c a b c ---⋅⋅≥=，即8M ≥．。

2019年全国统一高考数学试卷(理科)真题解析(解析版)

状元考前提醒拿到试卷：熟悉试卷刚拿到试卷一般心情比较紧张，建议拿到卷子以后看看考卷一共几页，有多少道题，了解试卷结构，通览全卷是克服“前面难题做不出，后面易题没时间做”的有效措施，也从根本上防止了“漏做题”。

答题策略答题策略一共有三点：1. 先易后难、先熟后生。

先做简单的、熟悉的题，再做综合题、难题。

2. 先小后大。

先做容易拿分的小题，再做耗时又复杂的大题。

3. 先局部后整体。

把疑难问题划分成一系列的步骤，一步一步的解决，每解决一步就能得到一步的分数。

立足中下题目，力争高水平考试时，因为时间和个别题目的难度，多数学生很难做完、做对全部题目，所以在答卷中要立足中下题目。

中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要构成，学生能拿下这些题目，实际上就是有了胜利在握的心理，对攻克高档题会更放得开。

确保运算正确，立足一次性成功在答卷时，要在以快为上的前提下，稳扎稳打，步步准确，尽量一次性成功。

不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。

试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，格式是否规范。

要学会“挤”分考试试题大多分步给分，所以理科要把主要方程式和计算结果写在显要位置，文科尽量把要点写清晰，作文尤其要注意开头和结尾。

考试时，每一道题都认真思考，能做几步就做几步，对于考生来说就是能做几分是几分，这是考试中最好的策略。

检查后的涂改方式要讲究发现错误后要划掉重新写，忌原地用涂黑的方式改，这会使阅卷老师看不清。

如果对现有的题解不满意想重新写，要先写出正确的，再划去错误的。

有的同学先把原来写的题解涂抹了，写新题解的时间又不够，本来可能得的分数被自己涂掉了。

考试期间遇到这些事，莫慌乱！绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

2019高考数学难点题型拔高练一理含解析

难点题型拔高练(一)．过抛物线＝的焦点的直线交抛物线于，两点，点在直线＝－上，若△为正三角形，则其边长为( )．．．．解析：选由题意可知，焦点()，易知过焦点的直线的斜率存在且不为零，设为(≠)，则该直线方程为＝＋(≠)，联立方程得(\\(＝()，＝＋，))∴＝(＋)，即－－＝，设(，)，(，)，∴＋＝，＝－，设线段的中点为，则(，＋)，＝＝＝(＋)，设(，－)，连接，∵△为等边三角形，∴＝＝－，＝＋，点(，－)到直线＝＋的距离＝＝，∴＝×(＋)，∴＝(＋)，∴＝，∴＝±，∴＝(＋)＝.．已知函数()＝(ω＋φ)(ω><φ<π)，＝，＝，且()在(，π)上单调．下列说法正确的是( )．ω＝．＝．函数()在上单调递增．函数()的图象关于点中心对称解析：选由题意得函数()的最小正周期＝，因为()在(，π)上单调，所以＝≥π，得<ω≤.因为＝，＝，所以()在(，π)上单调递减，又<φ<π，<ω≤，所以(\\((ωπ)＋φ＝(π)，,(ωπ)＋φ＝π，))解得(\\(ω＝()，,φ＝(π)，))所以()＝.选项显然不正确．因为＝－×＋＝＝，所以不正确．因为当－π≤≤－时，≤＋≤，所以函数()在上单调递增，故正确．因为＝＝≠，所以点不是函数()图象的对称中心，故不正确．．已知函数()＝，()＝)，若函数＝(())＋有三个不同的零点，，(其中<<)，则()＋()＋()的取值范围为．解析：∵()＝)，∴′()＝).当<<时，′()>，()单调递增；当>时，′()<，()单调递减．作出函数()的大致图象如图所示，令()＝，由()＋＝＋＝，得关于的一元二次方程＋(－)＋－＝，又(())＋＝有三个根，，，且<<，∴结合()的图象可知关于的一元二次方程有两个不等实根，不妨设为，，且<，则<<，＝或<<<，＋＝－，由Δ＝(－)－(－)>，得－<或－>.当<<，＝时，<＋<，不符合题意，舍去．∴<<<，∴()＝，()＝()＝，∴()＋()＋()＝＋＝(＋)＝(－)．令λ＝－，φ()＝＋(－)＋－＝－λ＋λ，由<<<可知，即(\\(λ<，,()－λ×()＋λ>，))解得<λ<.综上，()＋()＋()的取值范围为.答案：．已知椭圆：＋＝(>>)的左、右焦点分别为，，且离心率为，为椭圆上任意一点，当∠＝°时，△的面积为.()求椭圆的方程；()已知是椭圆上异于椭圆顶点的一点，连接并延长，，分别与椭圆交于点，，设直线的斜率为，直线的斜率为(为坐标原点)，求证：·为定值．解：()设＝，＝，由题意，得∴＝，＝，则＝－＝，∴椭圆的方程为＋＝.()证明：易知直线，的斜率均不为.设(，)，(，)，当直线的斜率不存在时，不妨令，则，又(－)，()，∴直线的方程为＝－(－)，将其代入＋＝，整理可得－－＝，∴＝，＝－，则，∴直线的斜率＝＝，直线的斜率＝－，∴·＝×＝－.当直线的斜率不存在时，同理可得·＝－.当直线，的斜率都存在且不为时，设(，)，则≠，则直线的方程为＝(＋)，联立，得(\\(＝(＋)＋，,()＋＝，))消去可得，[(＋)＋]＋＋－(＋)＝，又＋＝，∴＝－，∴(＋)＋(－)－－＝，∴·＝，∴＝，则＝＝－，∴.直线的方程为＝(－)，同理可得，，∴直线的斜率＝＝＝，∵直线的斜率＝，∴·＝·＝＝＝－.综上，·为定值，且定值为－. .已知函数()＝(＋)(－)(>)的图象在点(－，(－))处的切线方程为(－)＋＋－＝.()求，；()若方程()＝有两个实数根，，且<，证明：－≤＋.解：()由题意得(－)＝，所以(－)＝(－＋)＝，所以＝或＝.又′()＝(＋＋)－，所以′(－)＝－＝－＋，若＝，则＝－<，与>矛盾，故＝，＝.()证明：由()可知()＝(＋)(－)，()＝，(－)＝，设曲线＝()在点(－)处的切线方程为＝()，则()＝(＋)，令()＝()－()，则()＝(＋)(－)－(＋)，′()＝(＋)－，当≤－时，′()＝(＋)－≤－<，当>－时，设()＝′()＝(＋)－，则′()＝(＋)>，故函数′()在(－，＋∞)上单调递增，又′(－)＝，所以当∈(－∞，－)时，′()<，当∈(－，＋∞)时，′()>，所以函数()在区间(－∞，－)上单调递减，在区间(－，＋∞)上单调递增，故()≥(－)＝，所以()≥()，所以()≥()．设()＝的根为′，则′＝－＋，又函数()单调递减，且(′)＝()≥()，所以′≤，设曲线＝()在点()处的切线方程为＝()，易得()＝，令()＝()－()＝(＋)(－)－，′()＝(＋)－，当≤－时，′()＝(＋)－≤－<，当>－时，设()＝′()＝(＋)－，则′()＝(＋)>，故函数′()在(－，＋∞)上单调递增，又′()＝，所以当∈(－∞，)时，′()<，当∈(，＋∞)时，′()>，所以函数()在区间(－∞，)上单调递减，在区间(，＋∞)上单调递增，所以()≥()＝，所以()≥()，所以()≥()．设()＝的根为′，则′＝，又函数()单调递增，且(′)＝()≥()，所以′≥.又′≤，所以－≤′－′＝－))＝＋.。

2019年全国卷Ⅲ高考压轴卷数学理科Word版含解析

2019全国卷Ⅲ高考压轴卷数学理科一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．12i 2i+=-+（）A ．41i 5-+B ．4i 5-+C ．i -D ．i2.221a b +=是sin cos 1a b θθ+≤恒成立的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ， 1log ab 的大小关系为（）A. 1log log b a b aa b a b >>> B. 1log log a b b ab a b a >>>C. 1log log b a b aa ab b >>> D. 1log log a b b aa b a b>>>4.圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（）（A ）43-（B ）34- （C ）3 （D ）2 5．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的一条渐近线与直线053=+-y x 垂直，则双曲线C 的离心率等于（）A ．2B ．310C ．10D ． 22 6．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A ．310π B ． 320π C ． 3110π- D ． 3120π- 7．长方体1111ABCD A B C D -，1AB =，2AD =，13AA =，则异面直线11A B 与1AC 所成角的余弦值为（）A ．14B ．83C ．13D ．138．下图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的值分别为8，10，0，则输出和i 的值分别为（）A ． 2，4B ． 2，5C ． 0，4D ． 0，59.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是（）（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π10．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2sin cos 0B A C +=，则当cos B 取最小值时，ac=（）A ．2B ．3C ．33D ．2211．已知为抛物线x y C 4:2=的焦点，C B A ,,为抛物线C 上三点，当0=++时，称ABC ∆为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（）A ． 0个B ． 1个C ． 3个D ．无数个12．已知定义在R 上的偶函数()y f x =的导函数为()f x '，函数()f x 满足：当0x >时，()x f x '⋅()1f x +>，且()12018f =．则不等式()20171f x x<+的解集是（）A ．()1,1-B ．(),1-∞C ．()()1,00,1-UD ．()(),11,-∞-+∞U二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．若()201512x -=2015012015a a x a x ++⋯+（x R ∈），则20151222015222a a a ++⋯+的值为．14．如果点P 在平面区域22021020x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩上，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，那么PQ的最小值为．15．要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有__________种（用数字作答）.16．直三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接球的体积为32π3，则该三棱柱体积的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本题满分12分）已知函数()()21cos 3sin cos 06662f x x x x ωωωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，满足()1f α=-，()0f β=，且αβ-的最小值为4π．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上的单调区间和最大值、最小值．18．（本题满分12分）由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从湖口中学随机抽取16名学生，经校医用视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如下：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若视力测试结果不低于5.0则称为“好视力”，求校医从这16人中选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“好视力”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望．19．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90ABC PAD ∠=∠=o ，2PA AB BC ===，90ABC ∠=o ，1AD =，M 是棱PB 中点且2AM =（1）求证：//AM 平面PCD ；（2）设点N 是线段CD 上一动点，且DN DC λ=，当直线MN 与平面PAB 所成的角最大时，求λ的值.20．（本题满分12分）已知双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.（1）求椭圆C 的方程；（2）设动点M ，N 在椭圆C 上，且433MN =，记直线MN 在y 轴上的截距为m ，求m 的最大值.21．（本题满分12分）已知函数()ln xf x ax b x=-+在点()(),e f e 处的切线方程为2y ax e =-+. （1）求实数b 的值；（2）若存在20,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，满足()014f x e ≤+，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xoy 中，已知曲线1C 、2C 的参数方程分别为1C ：()2cos 3x y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数， 2C ：()1cos sin x t t y t θθ=+⎧⎨=⎩为参数．（1）求曲线1C 、2C 的普通方程；（2）已知点()1,0P ，若曲线1C 与曲线2C 交于A 、B 两点，求PB PA +的取值范围． 23．（本题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()2f x x a x =-++．（1）当1a =时，求不等式()3f x ≤的解集；（2）0x ∃∈R ，()03f x ≤，求a 的取值范围．2019全国卷Ⅲ高考压轴卷数学理科答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C 【解析】()()()()12i 2i 12i 5ii 2i 2i 2i 5+--+-===--+-+--，故选C ． 2.【答案】A 【解析】设(){sin cos sin cos cos sin sin +1a cos a b b sin αθθθαθαθαα=⇒+=+=≤= 成立；反之， 22sin cos 101a b a b a b θθ+≤⇒==⇒+≠ ，故选A.3．【答案】D【解析】因为01a b <<<，所以10a a b b a a >>>>.log log 1b b a b >>.01a <<,所以11a >,1log 0ab <. 综上： 1log log a b b aa b a b >>>. 4.【答案】A【解析】圆的方程可化为22(x 1)(y 4)4-+-=，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得：24111a d a +-==+，解得43a =-，故选A ．5．【答案】B【解析】∵双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的渐近线方程为x a by -=，又直线053=+-y x 斜率为3，∴31=a b 故91222=-a a c ，双曲线的离心率310==a c e ，故选B. 6．【答案】．D【解析】由题意可知：直角三角向斜边长为17，由等面积，可得内切圆的半径为：815381517r ⨯==⇒++落在内切圆内的概率为2331208152r ππ⨯==⨯⨯，故落在圆外的概率为3120π- 7．【答案】A【解析】∵1111C D A B ∥，∴异面直线11A B 与1AC 所成的角即为11C D 与1AC 所成的角11AC D ∠．在11Rt AC D △中，111C D =，2212313AD =+=，222112314AC =++=， ∴11111114cos 1414C D AC D AC ∠===．故选A ． 8．【答案】B【解析】模拟执行程序框图，可得，，不满足，不满足；满足；满足；满足；不满足，满足，输出的值为2，i 的值为，故选B.9.【答案】A[QQ 群 545423319:QQ 群 545423319ZXXK] 【解析】该几何体直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的18,设球的半径为R ,则37428V R 833ππ=⨯=,解得R 2=,所以它的表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=1784S πππ⨯⨯⨯⨯故选A ．10．【答案】C【解析】由正弦定理得222202a b c b a ab +-+⋅= ，∴22220a b c +-=，2222c a b -=，∴22222333cos 2444a c b a c a c B ac ac c a +-+===⋅+ 当344a c c a =，即3a c =时cos B 取最小值．故选C ． 11．【答案】D【解析】抛物线方程为x y C 4:2=,C B A ,,为曲线上三点，当0=++时，F 为ABC ∆的重心，用如下办法构造ABC ∆，连接AF 并延长至D ，使AF FD 21=，当D 在抛物线内部时，设),(00y x D 若存在以D 为中点的弦BC ，设),(),,(2211n m C n m B ，则0210212,2y n n x m m =+=+，2121m m n n k BC --=则⎪⎩⎪⎨⎧==22212144m n m n ，两式相减化为，021212124y n n m m n n k BC =+=--=，所以总存在以D 为中点的弦BC ，所以这样的三角形有无数个，故选D. 12．【答案】C【解析】当0x >时，()()1x f x f x '⋅+>，∴()()10x f x f x '⋅+->，令()()()()1F x x f x x x f x =⋅-=-，则()()()10F x x f x f x ''=⋅+->，即当0x >时，()F x 单调递增．又()f x 为R 上的偶函数，∴()F x 为R 上的奇函数且()00F =，则当0x <时，()F x 单调递增．不等式()20171f x x<+，当0x >时，()2017x f x x ⋅<+，即()2017x f x x ⋅-<，()()1112017F f =-=，即()()1F x F <，∴01x <<；当0x <时，()2017x f x x -⋅<-+，()2017x f x x ⋅->-，()()112017F F -=-=-，即()()1F x F >-，∴10x -<<．综上，不等式()20171f x x<+的解集为()()1,00,1-U ．故选C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】-1【解析】在二项式展开式中，令12x =，得201501201511022a a a ⎛⎫=++⋯+ ⎪⎝⎭，令0x =得01a =，所以2015120220151222a a aa ++⋯+=-=-，故选C.14.51【解析】析画出可行域如图7-14所示阴影部分（含边界），设圆心为'O 到直线210x y -+=的距离为d ，则55d ==，所以min 151PQ d =-=，故选A.15．【答案】120【解析】先选一个插入甲乙之间（甲乙需排列），再选一个排列即可. 详解：先从除了甲乙以外的6人中选一人，安排在甲乙中间，有种，最后再选出一人和刚才的三人排列得：.故答案为：120.16．【答案】42【解析】设三棱柱底面直角三角形的直角边为a ，b ，则棱柱的高22h a b =+，设外接球的半径为r ，则3432ππ33r =，解得2r =，∵上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，∴224h r ==．∴22h =22282a b h ab +==≥，∴4ab ≤．当且仅当2a b ==时“=”成立．∴三棱柱的体积12422V Sh abh ab ==≤．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本题满分12分）【答案】（1）()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）1，12-．【解析】（1）()1cos 2133cos 26262x f x x x ωωωπ⎛⎫+- ⎪πππ⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1cos 2133sin 2662x x x ωωωπ⎛⎫+- ⎪ππ⎛⎫⎛⎫⎝⎭=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 312cos 2323x x ωωππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =sin 2sin 2366x x ωωπππ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()1f α=-，()0f β=，且αβ-的最小值为4π，则44T π=， ∴周期22T ωπ==π，则1ω=，∴()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭； ()2245BD αϕ++=4245BD +，O ' CyAB220x y -+=O 图 7-14210x y -+=20x y +-=x即49BD ≥，23BD ≥，则3BD ≥3sin 5α=，203c =．（2）∵02x π≤≤，∴52666x πππ-≤-≤，令2662x πππ-≤-≤得03x π≤≤，令52266x πππ≤-≤得32x ππ≤≤，∴()f x 的增区间为03π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,，减区间为32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,．∵()f x 在区间03π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上单调递增，在区间上32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上单调递减，又∵()102f =-，122f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()()min 102f x f ==-，()max 13f x fπ⎛⎫== ⎪⎝⎭． 18．（本题满分12分）【答案】（1）众数：4.6和4.7；中位数：4.75；（2）121140；（3）34．【解析】（1）众数：4.6和4.7；中位数：4.75．（2）设i A 表示所取3人中有i 个人是“好视力”，至多有1人是“好视力”记为事件A ，则()()()3121241201331616C C C 121140C C P A P A P A =+=+=．（3）一个人是“好视力”的概率为14，ξ的可能取值为0，1，2，3．()33402746P ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭=，()2131327C 44641P ξ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭=， ()223139C 44426P ξ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭=，()3114634P ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭=，ξ的分布列为()27279130123646464644E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．19．（本题满分12分）明（2）23λ=【答案】（1）见证【解析】（1）取PC中点K ，连接MK ，KD ，因为M 为PB 的中点，所以//MK DC 且12MK BC AD ==，所以四边形AMKD 为平行四边形，所以//AM DK ，又因为DK ⊂平面PDC ，AM ⊄平面PDC ，所以//AM 平面PCD .（2）因为M 为PB 的中点，设PM MB x ==，在PAB ∆中，∵PMA AMB π∠+∠=，设PMA θ∠=，则AMB πθ∠=-，所以cos cos 0PMA AMB ∠+∠=，ζ 0 1 23P64276427 649 641由余弦定理得222222022PM AM PA BM AM AB PM AM BM AM+-+-+=⋅⋅，即222424044x x x x+-+-+=，所以x =PB =222PA AB PB +=，所以PA AB ⊥，∵PA AD ⊥，AP AB ⊥且AB AD A =I ，所以PA ⊥平面ABCD ，且90BAD ABC ∠=∠=o ，以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,0,0D ，()0,2,0B ，()2,2,0C ，()0,0,2P ，()0,1,1M ，因为点N 是线段CD 上一点，可设()1,2,0DN DC λλ==u u u r u u u r， ()()()()()()1,0,01,2,01,2,01,2,00,1,11,21,1AN AD DN MN AN AM λλλλλλλ⎧=+=+=+⎪⎨=-=+-=+--⎪⎩u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，又面PAB 的法向量为()1,0,0，设MN与平面PAB所成角为θ，则sin θ=====，所以当1315λ=+时，即533λ=+，23λ=时，sin θ取得最大值. 所以MN 与平面PAB 所称的角最大时23λ=. 20．（本题满分12分）【答案】（1）2216x y +=（2【解析】（1）双曲线2215x y -=的焦点坐标为()，离心率为5.因为双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22221(0)x ya b a b +=>>的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以a ==1b =.故椭圆C 的方程为2216x y +=.（2）因为2MN =>，所以直线MN 的斜率存在. 因为直线MN 在y 轴上的截距为m ，所以可设直线MN 的方程为y kx m =+.代入椭圆方程2216x y +=得()()2221612610k x kmx m +++-=. 因为()()()2221224161km km∆=-+-()2224160k m =+->，所以2216m k <+.设()11,M x y ，()22,N x y ，根据根与系数的关系得1221216kmx x k -+=+，()21226116m x x k -=+则12MN x =-==因为MN ==.整理得 ()42221839791k k m k -++=+. 令211k t +=≥，则21k t =-.所以221875509t t m t -+-=15075189t t ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦75230593-⨯≤=. 等号成立的条件是53t =，此时223k =，253m =满足2216m k <+，符合题意.故m 的最大值为3. 21．（本题满分12分）【答案】（1）e （2）211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）函数()f x 的定义域为()()0,11,+∞U ，因为()ln xf x ax b x=-+，所以()2ln 1'ln x f x a x-=-.所以函数()f x 在点()(),e f e 处的切线方程为y e ae b ax e --+=--，即y ax e b =-++.已知函数()f x 在点()(),e f e 处的切线方程为2y ax e =-+，比较求得b e =.所以实数b 的值为e .（2）由()014f x e ≤+，即0001ln 4x ax e e x -+≤+.所以问题转化为11ln 4a x x≥-在2,e e ⎡⎤⎣⎦上有解.令()11ln 4h x x x=-，2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，则 ()2222211ln 4'4ln 4ln x xh x x x x x x -=-=(22ln ln 4ln x x x x+-=. 令()ln p x x =-2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，有()1'0p x x ==<. 所以函数()p x 在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减，所以()()ln 0p x p e e <=-<.所以()'0h x <，即()h x 在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减.所以()()22221111ln 424h x h e e e e≥=-=-. 所以实数a 的取值范围为211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】【答案】（1）1C ：13422=+y x ，2C ：1=x ；（2）[]3,4．【解析】（1）曲线1C 的普通方程为：13422=+y x ，当2k θπ≠+π，k ∈Z 时，曲线2C 的普通方程为：θθtan tan -=x y ，当2k θπ=+π，k ∈Z 时，曲线2C 的普通方程为：1=x ；（或曲线2C ：0sin cos sin =--θθθy x ）（2）将2C ：()1cos sin x t t y t θθ=+⎧⎨=⎩为参数代入1C ：13422=+yx 化简整理得： ()22sin 36cos 90tt θθ++-=，设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，1226cos sin 3t t θθ-+=+，1229sin 3t t θ-=+ 则()2236cos 36sin 31440∆θθ=++=>恒成立，∴1212212sin 3PA PB t t t t θ+=+=-+，∵[]2sin 0,1θ∈，∴[]3,4PA PB +∈．23．（本题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】【答案】（1）{}21x x -≤≤；（2）[]5,1-．【解析】（1）当1a =时，()12f x x x =-++，①当2x ≤-时，()21f x x =--，令()3f x ≤，即213x --≤，解得2x =-， ②当21x -<<时，()3f x =，显然()3f x ≤成立，∴21x -<<， ③当1x ≥时，()21f x x =+，令()3f x ≤，即213x +≤，解得1x ≤，综上所述，不等式的解集为{}21x x -≤≤．（2）∵()()()222f x x a x x a x a =-++≥--+=+，∵0x ∃∈R ，有()3f x ≤成立，∴只需23a +≤，解得51a -≤≤，∴a 的取值范围为[]5,1-．。

2019年全国卷Ⅲ高考压轴卷数学理科试题(含解析)

2019全国卷Ⅲ高考压轴卷数学理科一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．12i 2i+=-+（）A ．41i 5-+B ．4i 5-+C ．i -D ．i2.221a b +=是sin cos 1a b θθ+≤恒成立的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ， 1log ab 的大小关系为（）A. 1log log b a b aa b a b >>> B. 1log log a b b ab a b a >>>C. 1log log b a b aa ab b >>> D. 1log log a b b aa b a b>>>4.圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（）（A ）43-（B ）34- （C ）3 （D ）2 5．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的一条渐近线与直线053=+-y x 垂直，则双曲线C 的离心率等于（）A ．2B ．310C ．10D ． 22 6．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A ．310π B ． 320π C ． 3110π- D ． 3120π- 7．长方体1111ABCD A B C D -，1AB =，2AD =，13AA =，则异面直线11A B 与1AC 所成角的余弦值为（）A ．1414B ．8314C ．1313 D ．138．下图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的值分别为8，10，0，则输出和i 的值分别为（）A ． 2，4B ． 2，5C ． 0，4D ． 0，59.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是（）（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π10．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2sin cos 0B A C +=，则当cos B 取最小值时，ac=（）A ．2B ．3C ．33D ．2211．已知为抛物线x y C 4:2=的焦点，C B A ,,为抛物线C 上三点，当0=++FC FB FA 时，称ABC ∆为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（）A ． 0个B ． 1个C ． 3个D ．无数个12．已知定义在R 上的偶函数()y f x =的导函数为()f x '，函数()f x 满足：当0x >时，()x f x '⋅()1f x +>，且()12018f =．则不等式()20171f x x<+的解集是（）A ．()1,1-B ．(),1-∞C ．()()1,00,1-D ．()(),11,-∞-+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．若()201512x -=2015012015a a x a x ++⋯+（x R ∈），则20151222015222a a a ++⋯+的值为．14．如果点P 在平面区域22021020x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩上，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，那么PQ 的最小值为．15．要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有__________种（用数字作答）.16．直三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接球的体积为32π3，则该三棱柱体积的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本题满分12分）已知函数()()21cos 3sin cos 06662f x x x x ωωωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，满足()1f α=-，()0f β=，且αβ-的最小值为4π．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上的单调区间和最大值、最小值．18．（本题满分12分）由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从湖口中学随机抽取16名学生，经校医用视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如下：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若视力测试结果不低于5.0则称为“好视力”，求校医从这16人中选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“好视力”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望．19．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90ABC PAD ∠=∠=，2PA AB BC ===，90ABC ∠=，1AD =，M 是棱PB 中点且2AM =（1）求证：//AM 平面PCD ；（2）设点N 是线段CD 上一动点，且DN DC λ=，当直线MN 与平面PAB 所成的角最大时，求λ的值.20．（本题满分12分）已知双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.（1）求椭圆C 的方程；（2）设动点M ，N 在椭圆C 上，且43MN =记直线MN 在y 轴上的截距为m ，求m 的最大值.21．（本题满分12分）已知函数()ln xf x ax b x=-+在点()(),e f e 处的切线方程为2y ax e =-+. （1）求实数b 的值；（2）若存在20,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，满足()014f x e ≤+，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xoy 中，已知曲线1C 、2C 的参数方程分别为1C ：()2cos 3x y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数， 2C ：()1cos sin x t t y t θθ=+⎧⎨=⎩为参数．（1）求曲线1C 、2C 的普通方程；（2）已知点()1,0P ，若曲线1C 与曲线2C 交于A 、B 两点，求PB PA +的取值范围． 23．（本题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()2f x x a x =-++．（1）当1a =时，求不等式()3f x ≤的解集；（2）0x ∃∈R ，()03f x ≤，求a 的取值范围．2019全国卷Ⅲ高考压轴卷数学理科答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C 【解析】()()()()12i 2i 12i 5ii 2i 2i 2i 5+--+-===--+-+--，故选C ． 2.【答案】A 【解析】设(){sin cos sin cos cos sin sin +1a cos a b b sin αθθθαθαθαα=⇒+=+=≤= 成立；反之， 22sin cos 101a b a b a b θθ+≤⇒==⇒+≠ ，故选A.3．【答案】D【解析】因为01a b <<<，所以10a a b b a a >>>>.log log 1b b a b >>.01a <<,所以11a >,1log 0ab <. 综上： 1log log a b b aa b a b >>>. 4.【答案】A【解析】圆的方程可化为22(x 1)(y 4)4-+-=，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得：24111a d a +-==+，解得43a =-，故选A ．5．【答案】B【解析】∵双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的渐近线方程为x aby -=，又直线053=+-y x 斜率为3，∴31=a b 故91222=-a a c ，双曲线的离心率310==a c e ，故选B. 6．【答案】．D【解析】由题意可知：直角三角向斜边长为17，由等面积，可得内切圆的半径为：815381517r ⨯==⇒++落在内切圆内的概率为2331208152r ππ⨯==⨯⨯，故落在圆外的概率为3120π- 7．【答案】A【解析】∵1111C D A B ∥，∴异面直线11A B 与1AC 所成的角即为11C D 与1AC 所成的角11AC D ∠．在11Rt AC D △中，111C D =，2212313AD =+=，222112314AC =++=， ∴11111114cos 1414C D AC D AC ∠===．故选A ． 8．【答案】B【解析】模拟执行程序框图，可得，，不满足，不满足；满足；满足；满足；不满足，满足，输出的值为2，i 的值为，故选B. 9.【答案】A[QQ 群 545423319:QQ 群 545423319ZXXK] 【解析】该几何体直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的18,设球的半径为R ,则37428V R 833ππ=⨯=,解得R 2=,所以它的表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=1784S πππ⨯⨯⨯⨯故选A ．10．【答案】C【解析】由正弦定理得222202a b c b a ab +-+⋅= ，∴22220a b c +-=，2222c a b -=，∴22222333cos 2444a c b a c a c B ac ac c a +-+===⋅+≥当344a c c a =，即3a c =时cos B 取最小值．故选C ． 11．【答案】D【解析】抛物线方程为x y C 4:2=,C B A ,,为曲线上三点，当0=++FC FB FA 时，F 为ABC ∆的重心，用如下办法构造ABC ∆，连接AF 并延长至D ，使AF FD 21=，当D 在抛物线内部时，设),(00y x D 若存在以D 为中点的弦BC ，设),(),,(2211n m C n m B ，则0210212,2y n n x m m =+=+，2121m m n n k BC --=则⎪⎩⎪⎨⎧==22212144m n m n ，两式相减化为，021212124y n n m m n n k BC =+=--=，所以总存在以D 为中点的弦BC ，所以这样的三角形有无数个，故选D. 12．【答案】C【解析】当0x >时，()()1x f x f x '⋅+>，∴()()10x f x f x '⋅+->，令()()()()1F x x f x x x f x =⋅-=-，则()()()10F x x f x f x ''=⋅+->，即当0x >时，()F x 单调递增．又()f x 为R 上的偶函数，∴()F x 为R 上的奇函数且()00F =，则当0x <时，()F x 单调递增．不等式()20171f x x <+，当0x >时，()2017x f x x ⋅<+，即()2017x f x x ⋅-<，()()1112017F f =-=，即()()1F x F <，∴01x <<；当0x <时，()2017x f x x -⋅<-+，()2017x f x x ⋅->-，()()112017F F -=-=-，即()()1F x F >-，∴10x -<<．综上，不等式()20171f x x<+的解集为()()1,00,1-．故选C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】-1【解析】在二项式展开式中，令12x =，得201501201511022a a a ⎛⎫=++⋯+ ⎪⎝⎭，令0x =得01a =，所以2015120220151222a a aa ++⋯+=-=-，故选C.14.51【解析】析画出可行域如图7-14所示阴影部分（含边界），设圆心为'O 到直线210x y -+=的距离为d ，则55d ==，所以min 151PQ d =-=，故选A.15．【答案】120【解析】先选一个插入甲乙之间（甲乙需排列），再选一个排列即可. 详解：先从除了甲乙以外的6人中选一人，安排在甲乙中间，有种，最后再选出一人和刚才的三人排列得：.故答案为：120.16．【答案】2【解析】设三棱柱底面直角三角形的直角边为a ，b ，则棱柱的高22h a b +，设外接球的半径为r ，则3432ππ33r =，解得2r =，∵上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，224h r ==．∴22h =22282a b h ab +==≥，∴4ab ≤．当且仅当2a b ==时“=”成立．∴三棱柱的体积12422V Sh abh ab ===≤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本题满分12分）【答案】（1）()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）1，12-．【解析】（1）()1cos 2133cos 26262x f x x x ωωωπ⎛⎫+- ⎪πππ⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1cos 2133sin 2662x x x ωωωπ⎛⎫+- ⎪ππ⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 312cos 2323x x ωωππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =sin 2sin 2366x x ωωπππ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()1f α=-，()0f β=，且αβ-的最小值为4π，则44T π=， ∴周期22T ωπ==π，则1ω=，∴()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭； O ' CyAB 220x y -+=O图 7-14210x y -+=20x y +-=x()2245BD αϕ++=4245BD +≥，即49BD ≥，23BD ≥，则3BD ≥3sin 5α=，203c =．（2）∵02x π≤≤，∴52666x πππ-≤-≤，令2662x πππ-≤-≤得03x π≤≤，令52266x πππ≤-≤得32x ππ≤≤，∴()f x 的增区间为03π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,，减区间为32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,．∵()f x 在区间03π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上单调递增，在区间上32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上单调递减，又∵()102f =-，122f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()()min 102f x f ==-，()max 13f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭．18．（本题满分12分）【答案】（1）众数：4.6和4.7；中位数：4.75；（2）121140；（3）34．【解析】（1）众数：4.6和4.7；中位数：4.75．（2）设i A 表示所取3人中有i 个人是“好视力”，至多有1人是“好视力”记为事件A ，则()()()3121241201331616C C C 121140C C P A P A P A =+=+=．（3）一个人是“好视力”的概率为14，ξ的可能取值为0，1，2，3． ()33402746P ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭=，()2131327C 44641P ξ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭=， ()223139C 44426P ξ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭=，()3114634P ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭=，ξ的分布列为()27279130123646464644E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．19．（本题满分12分）明（2）23λ=【答案】（1）见证中点K ，连接【解析】（1）取PCMK ，KD ，因为M 为PB 的中点，所以//MK DC 且12MK BC AD ==，所以四边形AMKD 为平行四边形，所以//AM DK ，又因为DK ⊂平面PDC ，AM ⊄平面PDC ，所以//AM 平面PCD .（2）因为M 为PB 的中点，设PM MB x ==，在PAB ∆中，∵PMA AMB π∠+∠=，设PMA θ∠=，ζ 0 1 23P64276427 649 641则AMB πθ∠=-，所以cos cos 0PMA AMB ∠+∠=，由余弦定理得222222022PM AM PA BM AM AB PM AM BM AM+-+-+=⋅⋅，即222424044x x x x+-+-+=，所以x =则PB =所以222PA AB PB +=，所以PA AB ⊥，∵PA AD ⊥，AP AB ⊥且ABAD A =，所以PA ⊥平面ABCD ，且90BAD ABC ∠=∠=，以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,0,0D ，()0,2,0B ，()2,2,0C ，()0,0,2P ，()0,1,1M ，因为点N 是线段CD 上一点，可设()1,2,0DN DC λλ==，()()()()()()1,0,01,2,01,2,01,2,00,1,11,21,1AN AD DN MN AN AM λλλλλλλ⎧=+=+=+⎪⎨=-=+-=+--⎪⎩，又面PAB 的法向量为()1,0,0，设MN与平面PAB所成角为θ，则sin θ=====，所以当1315λ=+时，即533λ=+，23λ=时，sin θ取得最大值. 所以MN 与平面PAB 所称的角最大时23λ=. 20．（本题满分12分）【答案】（1）2216x y +=（2【解析】（1）双曲线2215x y -=的焦点坐标为().因为双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22221(0)xy a b a b +=>>的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以a =6a =，解得1b =.故椭圆C 的方程为2216x y +=.（2）因为23MN =>，所以直线MN 的斜率存在. 因为直线MN 在y 轴上的截距为m ，所以可设直线MN 的方程为y kx m =+. 代入椭圆方程2216x y +=得()()2221612610k x kmx m +++-=. 因为()()()2221224161km k m ∆=-+-()2224160k m =+->，所以2216m k <+.设()11,M x y ，()22,N x y ，根据根与系数的关系得1221216km x x k -+=+，()21226116m x x k -=+则12MN x =-==因为3MN =3=.整理得 ()42221839791k k m k -++=+. 令211k t +=≥，则21k t =-. 所以221875509t t m t -+-=15075189t t ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦75230593-⨯≤=. 等号成立的条件是53t =，此时223k =，253m =满足2216m k <+，符合题意.故m 的. 21．（本题满分12分）【答案】（1）e （2）211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）函数()f x 的定义域为()()0,11,+∞，因为()ln x f x ax b x=-+，所以()2ln 1'ln x f x a x-=-.所以函数()f x 在点()(),e f e 处的切线方程为y e ae b ax e --+=--，即y ax e b =-++.已知函数()f x 在点()(),e f e 处的切线方程为2y ax e =-+，比较求得b e =.所以实数b 的值为e .（2）由()014f x e ≤+，即0001ln 4x ax e e x -+≤+.所以问题转化为11ln 4a x x≥-在2,e e ⎡⎤⎣⎦上有解. 令()11ln 4h x x x=-，2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，则 ()2222211ln 4'4ln 4ln x x h x x x x x x -=-=(22ln ln 4ln x x x x+-=. 令()ln p x x =-2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，有()11'0p x x x ==<. 所以函数()p x 在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减，所以()()ln 0p x p e e <=-<.所以()'0h x <，即()h x 在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减.所以()()22221111ln 424h x h e e e e ≥=-=-. 所以实数a 的取值范围为211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】【答案】（1）1C ：13422=+y x ，2C ：1=x ；（2）[]3,4．【解析】（1）曲线1C 的普通方程为：13422=+y x ，当2k θπ≠+π，k ∈Z 时，曲线2C 的普通方程为：θθtan tan -=x y ，当2k θπ=+π，k ∈Z 时，曲线2C 的普通方程为：1=x ；（或曲线2C ：0sin cos sin =--θθθy x ）（2）将2C ：()1cos sin x t t y t θθ=+⎧⎨=⎩为参数代入1C ：13422=+y x 化简整理得： ()22sin 36cos 90t t θθ++-=，设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，1226cos sin 3t t θθ-+=+，1229sin 3t t θ-=+ 则()2236cos 36sin 31440∆θθ=++=>恒成立，∴1212212sin 3PA PB t t t t θ+=+=-=+，∵[]2sin 0,1θ∈，∴[]3,4PA PB +∈．23．（本题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】【答案】（1）{}21x x -≤≤；（2）[]5,1-．【解析】（1）当1a =时，()12f x x x =-++，①当2x ≤-时，()21f x x =--，令()3f x ≤，即213x --≤，解得2x =-， ②当21x -<<时，()3f x =，显然()3f x ≤成立，∴21x -<<， ③当1x ≥时，()21f x x =+，令()3f x ≤，即213x +≤，解得1x ≤，综上所述，不等式的解集为{}21x x -≤≤．（2）∵()()()222f x x a x x a x a =-++≥--+=+，∵0x ∃∈R ，有()3f x ≤成立，∴只需23a +≤，解得51a -≤≤，∴a 的取值范围为[]5,1-．。

2019年全国卷Ⅰ高考压轴卷数学理科Word版含解析

2019全国卷Ⅰ高考压轴卷数学理科一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合402x A x x ⎧-⎫=∈≥⎨⎬+⎩⎭Z，1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =I （） A ．{}12 x x -≤≤B ．{}1,0,1,2- C ．{}2,1,0,1,2-- D ．{}0,1,22．已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于（） A．B ．1- CD ．13．“0a ≤”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为（）ABCD5．若221m n >>，则（） A ．11m n> B ．1122log log m n >C ．()ln 0m n ->D ．1m n -π>6．已知平面向量a ，b，满足(=a ，3=b ，()2⊥-a a b ，则-=a b （） A ．2B ．3C ．4D ．67．执行右边的程序框图，输出的2018ln =S ,则m 的值为（） A ．2017 B ．2018 C ．2019D ．20208．据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0055．，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为019．，现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为（）A ．67B ．335C ．1135D ．019．9．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．163π+ B ．112π+ C ．1123π+ D ．143π+ 10．将()2sin22cos21f x x x =+的图像向左平移π4个单位，再向下平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，则下列关于函数()y g x =的说法错误的是（）A ．函数()y g x =的最小正周期是πB ．函数()y g x =的一条对称轴是π8x = C ．函数()y g x =的一个零点是3π8D ．函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减11．焦点为F 的抛物线2:8C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当MA MF取得最大值时，直线M A 的方程为（）A ．2y x =+或2y x =--B ．2y x =+C ．22y x =+或22y x =-+D ．22y x =-+12．定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，对[]12,0x ∀∈-，[]22,1x ∃∈-使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为（）A ．11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭UB ．11,00,48⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦UC ．(]0,8D ．11,,48⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎪⎝⎦⎡⎫⎢⎣⎭U二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 若21)(=αf 则=-)(αf 14．在()311nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数之和为256，则x 项的系数是__________．15.知变量x ，y 满足条件236y xx y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩，则目标函数223x y z x y-=+的最大值为16．如图，在ABC △中，3sin23ABC ∠=，点D 在线段AC 上，且2AD DC =，433BD =，则ABC △的面积的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：113a b ==，24b a =，且1a ，4a ，13a 成等比数列．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 18．（本小题满分12分）某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间(]30,150内，其频率分布直方图如图．（1）求获得复赛资格的人数；（2）从初赛得分在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流，那么从得分在区间(]110,130与(]130,150各抽取多少人？（3）从（2）抽取的7人中，选出3人参加全市座谈交流，设X 表示得分在区间(]130,150中参加全市座谈交流的人数，求X 的分布列及数学期望()E X ．19．（本小题满分12分）如图，底面ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，//AF DE ，3DE AF =，BE 与平面ABCD 所成角为60︒．（1）求证：AC ⊥平面BDE ；（2）求二面角F BE D --的余弦值．20．（本小题满分12分）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 的直线与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若AF FB =u u u r u u u r，ABC △的面积为83（1）求抛物线的标准方程；（2）过焦点F 的直线与抛物线交于M ，N 两点，抛物线在M ，N 点处的切线分别为1l ，2l ，且1l 与2l 相交于P 点，1l 与x 轴交于Q 点，求证：2FQ l ∥．21．（本小题满分12分）设函数()(2ln 1f x x x x =-++．（1）探究函数()f x 的单调性；（2）若0x ≥时，恒有()3f x ax ≤，试求a 的取值范围；请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.(本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，圆C 的普通方程为2246120x y x y +--+=．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（1）写出圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴和y 轴的交点分别为A ，B ，P 为圆C 上的任意一点，求PA PB ⋅u u u r u u u r的取值范围．23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】设函数()21f x x =-．（1）设()()15f x f x ++<的解集为A ，求集合A ；（2）已知m 为（1）中集合A 中的最大整数，且a b c m ++=（其中a ，b ，c 为正实数），求证：1118a b ca b c---⋅⋅≥．2019全国卷Ⅰ高考压轴卷数学理科答案解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】集合{}{}40241,0,1,2,3,42x A x x x x ⎧-⎫=∈≥=∈-<≤=-⎨⎬+⎩⎭ZZ ，{}14224B x x x x ⎧⎫=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，则{}1,0,1,2A B =-I ，故选B ．2．【答案】D 【解析】i 1ia +-是纯虚数，i 1+(+1)i=1i 2a a a +--，则要求实部为0，即1a =．故选D ． 3．【答案】C ．【解析】当0a =时，()|(1)|||f x ax x x =-=在区间(0,)+∞上单调递增；当0a <时，结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上单调递增，如图1-7(a)所示；当0a >时，结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上先增后减再增，不符合条件，如图1-7(b)所示.所以要使函数()|(1)|f x ax x =-在(0,)+∞上单调递增，只需0a ≥，即“0a ≥”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的充要条件.故选C.4．【答案】C【解析】由题意可设双曲线C 的右焦点(),0F c ，渐进线的方程为by x a=±，可得2d b a ===，可得c =，可得离心率ce a==C ． 5．【答案】D【解析】因为221m n >>，所以由指数函数的单调性可得0m n >>，因为0m n >>，所以可排除选项A ，B ； 32m =，1n =时，可排除选项C ，由指数函数的性质可判断1m n -π>正确，故选D ． 6．【答案】B【解析】由题意可得：2==a ，且：()20⋅-=a a b ，即220-⋅=a a b ，420-⋅=a b ，2⋅=a b ，由平面向量模的计算公式可得：3-==a b ．故选B ．7．【答案】B【解析】第一次循环，2,2ln ==i S 第二次循环，3,3ln ln 2ln 12ln 3232==+=+=⎰i x dx xS 第三次循环，4,4ln ln 2ln 13ln 4343==+=+=⎰i x dx xS 第四次循环，5,5ln ln 4ln 14ln 5454==+=+=⎰i x dx xS ……推理可得m=2018，故选B ．8．【答案】A【解析】设事件A 为48h 发病，事件B 为72h 发病，由题意可知：()0055P A =．，()019P B =．，则()0945P A =．，()081P B =．，由条件概率公式可得：()()()()()0816|09457P AB P B P B A P A P A ====．．．故选A ． 9．【答案】C【解析】观察三视图可知，几何体是一个圆锥的14与三棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为1，高为1．三棱锥的底面是两直角边分别为1，2的直角三角形，高为1．则几何体的体积21111π1π111213432123V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+．故本题答案选C ．10．【答案】D【解析】由题意可知：()2sin22cos212sin 4π21f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，图像向左平移π4个单位，再向下平移1个单位的函数解析式为： ()ππ2sin 2112sin 244π4g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．则函数()g x 的最小正周期为2ππ2T ==，A 选项说法正确；当π8x =时，22ππ4x +=，函数()y g x =的一条对称轴是π8x =，B 选项说法正确；当3π8x =时，2π4πx +=，函数()y g x =的一个零点是3π8，C 选项说法正确；若5π,128πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则5π3π2,4122πx ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调，D 选项说法错误；故选D ． 11．【答案】A 【解析】过M 作M P 与准线垂直，垂足为P ，则11cos cos MA MA MFMPAMP MAF ===∠∠，则当MA MF取得最大值时，M AF ∠必须取得最大值，此时直线AM 与抛物线相切，可设切线方程为()2y k x =+与28y x =联立，消去y 得28160ky y k -+=，所以264640k ∆=-=，得1k =±．则直线方程为2y x =+或2y x =--．故本题答案选A ．12．【答案】D【解析】因为()f x 在[]2,3上单调递减，在(]3,4上单调递增，所以()f x 在[]2,3上的值域是[]3,4，在(]3,4上的值域是119,32⎛⎤ ⎥⎝⎦，所以函数()f x 在[]2,4上的值域是93,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为()()22f x f x +=，所以()()()112424f x f x f x =+=+，所以()f x 在[]2,0-上的值域是39,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当0a >时，()g x 为增函数，()g x 在[]2,1-上的值域为[]21,1a a -++，所以3214918a a ≥-+≤+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得18a ≥；当0a <时，()g x 为减函数，()g x 在[]2,1-上的值域为[]1,21a a +-+，所以3149218a a ≥+⎧⎪≤+⎨-⎪⎪⎪⎩，解得14a ≤-，当0a =时，()g x 为常函数，值域为{}1，不符合题意，综上，a 的范围是11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ，故选D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】23【解析】解析：因为1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 的定义域为R,关于原点对称，21sin )1lg(1sin )1lg()()(22=+-++++++-+=-+）（x x x x x x f f αα故221)(=+-αf 则=-)(αf 2314．【答案】7【解析】令1x =可得各项系数和：()31112561n⎛+⨯+= ⎝，据此可得：7n =，73x x ⎛+ ⎝展开式的通项公式为：()721732177C C r r rr r r T xx x --+==，令72102r -=可得：6r =，令72112r -=可得：407r =，不是整数解，据此可得：x 项的系数是67C 7=． 15.3【解析】作出236y x x y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩，表示的可行域，如图变形目标函数，()()()2222223,1,32cos 31x y x y z x yx y θ-⋅-===++-⋅+，其中θ为向量()3,1=-a 与(),x y =b 的夹角，由图可知，()2,0=b 时θ有最小值6π， (),x y =b 在直线y x =上时，θ有最大值56412π+=ππ，即5612θπ≤≤π，5612θπ≤≤π，目标函数223x y z x y-=+3C ．16．【答案】32【解析】由3sin2ABC ∠6cos 2ABC ∠=，则22sin 2sin cos 223ABC ABC ABC ∠∠∠==．由32sin22ABC ∠=<可知：452ABC ∠<︒，则90ABC ∠<︒，由同角三角函数基本关系可知：1cos 3ABC ∠=．设AB x =，BC y =，()30,0,0AC z x y z =>>>，在ABD △中由余弦定理可得：()22162cos z x BDA +-∠=，在CBD △中由余弦定理可得：2216cos z y BDC +-∠=由于180BDA BDC ∠+∠=︒，故cos cos BDA BDC ∠=-∠，()222216162z x z y +-+-=22216620z x y +--=．①在ABC △中，由余弦定理可知：()2221233x y xy z +-⨯=，则：2222246339z x y xy =+-，代入①式整理计算可得：2214416339x y xy ++=，由均值不等式的结论可得：4161699xy xy ≥=，故9xy ≤，当且仅当x =y =时等号成立，据此可知ABC △面积的最大值为：()max max 11sin 922S AB BC ABC =⨯⨯⨯∠=⨯=三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）【答案】（1）()32121n a n n =+-=+，3n n b =；（2）223n nn S +=-．【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，则由已知得21134a a a =，即()()2331233d d +=+，解之得：2d =或0d =（舍），所以()32121n a n n =+-=+；因为249b a ==，所以{}n b 的公比3q =，所以3n n b =．（2）由（1）可知213n nn c +=，所以23357213333n n n S +=++++．．．，21572133333n n n S -+=++++．．．，所以12111211112121243323234133333313n n n n n n n n n S --⎛⎫⋅- ⎪+++⎛⎫⎝⎭=++++-=+-=- ⎪⎝⎭-．．．，所以223n nn S +=-． 18.（本小题满分12分）【答案】（1）520人；（2）5人，2人；（3）()67E X =．【解析】（1）由题意知[)90,110之间的频率为：()1200.00250.0050.007520.01250.3-⨯++⨯+=，()0.30.01250.0050200.65++⨯=，获得参赛资格的人数为8000.65520⨯=人．（2）在区间(]110,130与(]130,150，0.0125:0.00505:2=，在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人，分在区间(]110,130与(]130,150各抽取5人，2人．结果是5人，2人．（3）X 的可能取值为0，1，2，则：()305237C C 20C 7P X ===；()215237C C 41C 7P X ===；()125237C C 12C 7P X ===；故X 的分布列为：()20127777E X =⨯+⨯+⨯=． 19．（本小题满分12分）【答案】（1）见解析（2 （1）证明：∵DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴DE AC ⊥，又∵底面ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥．∵BD DE D =I ，∴AC ⊥平面BDE ．（2）解：∵DA ，DC ，DE 两两垂直，∴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，∵BE 与平面ABCD 所成角为60︒，即60DBE ∠=︒，∴3ED DB=，由3AD =，可知32BD =36DE =6AF = 则(3,0,0)A ，6)F ，(0,0,36)E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ， ∴(0,6)BF =-u u u r ，(3,0,26)EF =-u u u r ．设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则0,0,n BF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r 即360,360,y z x z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩ 令6z =(4,6)n =r ．∵AC ⊥平面BDE ，∴CA u u u r 为平面BDE 的一个法向量，∴(3,3,0)CA =-u u u r ， ∴||13cos ,13||||3226n CA n CA n CA ⋅<>===⋅⨯r u u u r r u u u r r u u u r ． ∵二面角F BE D --为锐角，∴二面角F BE D --的余弦值为1313． 20.（本小题满分12分）【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析．【解析】（1）因为AF FB =u u u r u u u r ，所以F 到准线的距离即为三角形ABC △的中位线的长，所以2AC p =，根据抛物线的定义AC AF =，所以24AB AC p ==， ()()224223BC p p -=，1223832ABC S p =⋅⋅=△ 解得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =．（2）易知直线MN 的斜率存在，设直线:1MN y kx =+，设()11,M x y ，()22,N x y联立24 1x y y kx =+⎧⎪⎨⎪⎩=消去y 得2440x kx --=，得124x x =-， 24x y =，'2x y =，设()11,M x y ，()22,N x y ，111:22l y y xx +=，222:22l y y xx +=，()22212212112121121212442,22,12444p p p x x y y x x x x x x x x y x y x x x x ⎛⎫- ⎪-++⎝⎭===+⋅===---，得P 点坐标21,12x x P +⎛⎫- ⎪⎝⎭，由111:22l y y xx +=，得1,02x Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 12QF k x =-，221141222l x k x x -==⋅=-，所以2QF l k k =，即2PQ l ∥． 21.（本小题满分12分）【答案】（1）增函数；（2）1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）见解析．【解析】（1）函数()f x 的定义域为R ．由()'10f x =≥，知()f x 是实数集R 上的增函数．（2）令()()(33ln g x f x ax x x ax =-=-+-，则()2131'ax g x --=，令())2131h x ax --，则()()23169169'x a ax a x ax h x ⎡⎤----（i ）当16a ≥时，()'0h x ≤，从而()h x 是[)0,+∞上的减函数，注意到()00h =，则0x ≥时，()0h x ≤，所以()'0g x ≤，进而()g x 是[)0,+∞上的减函数，注意到()00g =，则0x ≥时，()0g x ≤时，即()3f x ax ≤．（ii ）当106a<<时，在⎡⎢⎣上，总有()'0h x>，从而知，当x ⎡∈⎢⎣⎭时，()3f x ax >；（iii ）当0a ≤时，()'0h x >，同理可知()3f x ax >，综上，所求a 的取值范围是1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.（本小题满分10分）【答案】（1）2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，20x y +-=；（2）44PA PB -⋅≤+u u u r u u u r【解析】（1）圆C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=（θ为参数）．直线l 的直角坐标方程为20x y +-=．（2）由直线l 的方程20x y +-=可得点()2,0A ，点()0,2B ．设点(),P x y ，则()()222,,2222412PA PB x y x y x y x y x y ⋅=--⋅--=+--=+-u u u r u u u r ．由（1）知2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，则()4sin 2cos 44PA PB θθθϕ⋅=++=++u u u r u u u r ．因为θ∈R ，所以44PA PB -≤⋅≤+u u u r u u u r23．（本小题满分10分）【答案】（1）55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）见解析．【解析】（1）()()15f x f x ++<即21215x x -++<，当12x <-时，不等式化为12215x x ---<，∴5142x -<<-；当1122x -≤≤时，不等式化为12215x x -++<，不等式恒成立；当12x >时，不等式化为21215x x -++<，∴1524x <<．综上，集合55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭．（2）由（1）知1m =，则1a b c ++=．则1a b c a a -+=≥1b b -≥1c c -≥则1118a b c a b c ---⋅⋅≥=，即8M ≥．。

2019年高考押题卷理科数学(一)含答案解析

理科数学（一）本试题卷共6页，23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数z 是一元二次方程2220x x -+=的一个根，则z 的值为（） A ．1BC ．0D ．22．已知集合{}|14x x A =<<，集合{}|2,B y y x x A ==-∈，集合2|ln 1x C x y x -⎧⎫==⎨⎬+⎩⎭，则集合B C =（）A ．{}|11x x -<<B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|12x x -<<D ．{}|12x x -<≤3．已知等差数列{}n a ，36S =，9111360a a a ++=，则13S 的值为（） A ．66B ．42C ．169D ．1564．世界最大单口径射电望远镜FAST 于2016年9月25日在贵州省黔南州落成启用，它被誉为“中国天眼”，从选址到启用历经22年，FAST 选址从开始一万多个地方逐一审查．为了加快选址工作进度，将初选地方分配给工作人员．若分配给某个研究员8个地方，其中有三个地方是贵州省的，问：某月该研究员从这8个地方中任选2个地方进行实地研究，则这个月他能到贵州省的概率为（） A ．328B ．1528C ．37D ．9145．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是（） A ．43B．7 C．5D．7+（第5题图）（第6题图）6．如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥面BCD ，45ACB ∠=︒，30ADB ∠=︒，120BCD ∠=︒，40CD =，则AB =（） A ．10B ．20C ．30D ．407．已知函数()y f x =，满足()y f x =-和()2y f x =+是偶函数，且()π13f =，设()()F x f x =+()f x -，则(3)F =（） A ．π3 B ．2π3C ．πD ．4π38．已知抛物线()220y px p =>，过点()4,0C -作抛物线的两条切线CA ，CB ，A 、B 为切点，若直线AB 经过抛物线22y px =的焦点，CAB △的面积为24，则以直线AB 为准线的抛物线标准方程是（） A ．24y x =B ．24y x =- C ．28y x =D ．28y x =-9．根据右边流程图输出的值是（） A ．11B ．31C ．51D ．7910．在长方体1111ABCD A B C D -中，11111,2AA A D a A B a ===，点P 在线段1AD 上运动，当异面直线CP 与1BA 所成的角最大时，则三棱锥11C PA D -的体积为（）A ．34aB ．33aC ．32aD ．3a（第9题图）11．已知函数()sin()f x x ωϕ=+π0,,02ωϕ⎛⎫⎡⎤>∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的周期为π，将函数()f x 的图像沿着y 轴向上平移一个单位得到函数()g x 图像．设()1g x <，对任意的ππ,312x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭恒成立，当ϕ取得最小值时，π4g ⎛⎫⎪⎝⎭的值是（） A ．12B ．1C ．32D ．212．已知函数()2ln xf x x x=-，有下列四个命题； ①函数()f x 是奇函数； ②函数()f x 在()(),00,-∞+∞是单调函数；③当0x >时，函数()0f x >恒成立； ④当0x <时，函数()f x 有一个零点，其中正确的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2019年全国卷Ⅰ理科数学高考真题及答案解析(word精编)

D． 6
13．曲线 y 3(x2 x)ex 在点 (0，0) 处的切线方程为____________．
14．记
Sn 为等比数列{an}的前
n
项和．若 a1
1 3
，a42
a6
，则
S5=____________．
15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 4∶1 获胜的概率是____________．
A． 5 16
B． 11 32
C． 21 32
D． 11 16
7．已知非零向量 a，b 满足 | a | 2 | b | ，且 (a b) b，则 a 与 b 的夹角为
A． π 6
B． π 3
C． 2π 3
8．如图是求
2
1 1
2 1
的程序框图，图中空白框中应填入
2
D． 5π 6
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试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应
位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2019高考数学难点题型拔高练五理含解析20190522399

难点题型拔高练(五)1．函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)的图象在[0,1]上恰有两个极大值点，则ω的取值范围为( )A ．[2π，4π] B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π，9π2C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13π6，25π6D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π，25π6 解析：选C 法一：由函数f (x )在[0,1]上恰有两个极大值点，及正弦函数的图象可知ω＋π3∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π＋π2，4π＋π2，则13π6≤ω＜25π6.法二：取ω＝2π，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π3，由2πx ＋π3＝π2＋2k π，k ∈Z ，得x ＝112＋k ，k ∈Z ，则在[0,1]上只有x ＝112，不满足题意，排除A 、B 、D ，故选C.2．过点P (2，－1)作抛物线x 2＝4y 的两条切线，切点分别为A ，B ，PA ，PB 分别交x 轴于E ，M 两点，O 为坐标原点，则△PEM 与△OAB 的面积的比值为( )A.32B.33C.12D.34解析：选C 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，不妨令x 1＜x 2，则y 1＝x 214，y 2＝x 224，由y ＝14x 2得y ′＝12x ，则直线PA 的方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，即y －x 214＝12x 1(x －x 1)，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1，0，将P (2，－1)代入得x 1－y 1＋1＝0，同理可得直线PB 的方程为x 2－y 2＋1＝0，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2，0，∴直线AB 的方程为x －y ＋1＝0，则AB 过定点F (0,1)，S △AOB ＝12|OF |(x 2－x 1)＝12(x 2－x 1)，S △PEM ＝12×1×⎝⎛⎭⎪⎫12x 2－12x 1＝14(x 2－x 1)， ∴S △PEM S △OAB ＝12. 3．在四面体ABCD 中，AD ＝DB ＝AC ＝CB ＝1，则当四面体的体积最大时，它的外接球半径R ＝________.解析：当平面ADC 与平面BCD 垂直时，四面体ABCD 的体积最大，因为AD ＝AC ＝1，所以可设等腰三角形ACD 的底边CD ＝2x ，高为h ，则x 2＋h 2＝1，此时四面体的体积V ＝13×12×2x ×h 2＝13x (1－x 2)，则V ′＝13－x 2，令V ′＝0，得x ＝33，从而h ＝63，则CD ＝AB ＝233，故可将四面体ABCD 放入长、宽、高分别为a ，b ，c 的长方体中，如图，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，b 2＋c 2＝1，a 2＋c 2＝43，解得a 2＝c 2＝23，b 2＝13，则长方体的体对角线即四面体ABCD 的外接球直径，(2R )2＝a 2＋b 2＋c 2＝53，R ＝156.答案：1564．已知椭圆Γ∶x 24＋y 22＝1，过点P (1,1)作斜率互为相反数的两条不同直线l 1，l 2，设l 1与椭圆Γ交于A ，B 两点，l 2与椭圆Γ交于C ，D 两点．(1)若P (1,1)为AB 的中点，求直线l 1的方程； (2)记λ＝|AB ||CD |，求λ的取值范围．解：(1)易知直线l 1的斜率存在且不为0，设直线AB 的斜率为k ，则其方程为y －1＝k (x －1)，代入x 2＋2y 2＝4中，得x 2＋2[kx －(k －1)]2－4＝0，∴(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2(k －1)2－4＝0.判别式Δ＝[4(k －1)k ]2－4(2k 2＋1)[2(k －1)2－4] ＝8(3k 2＋2k ＋1)＞0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4kk －2k 2＋1，x 1x 2＝k －2－42k 2＋1.∵AB 的中点为P (1,1)， ∴12(x 1＋x 2)＝2k k －2k 2＋1＝1，则k ＝－12.∴直线l 1的方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.(2)由(1)知|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k 2·k 2＋2k ＋2k 2＋1.由题可得直线l 2的方程为y －1＝－k (x －1)(k ≠0)，同理可得|CD |＝1＋k 2·k 2－2k ＋2k 2＋1，∴λ＝|AB ||CD |＝3k 2＋2k ＋13k 2－2k ＋1(k ≠0)， ∴λ2＝1＋4k 3k 2＋1－2k ＝1＋43k ＋1k－2.令t ＝3k ＋1k，则g (t )＝1＋4t －2，t ∈(－∞，－2 3 ]∪[23，＋∞)．易知g (t )在(－∞，－2 3 ]，[23，＋∞)上单调递减， ∴2－3≤g (t )＜1或1＜g (t )≤2＋3，故2－3≤λ2＜1或1＜λ2≤2＋3，即λ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫6－22，1∪⎝ ⎛⎦⎥⎤1，6＋22.5．已知函数f (x )＝x e x－a (ln x ＋x )，a ∈R. (1)当a ＝e 时，判断f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求实数a 的取值范围．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝e 时，f ′(x )＝＋xx e x －x，令f ′(x )＝0，得x ＝1，∴f (x )在(0,1)上为减函数；在(1，＋∞)上为增函数．(2)记t ＝ln x ＋x ，则t ＝ln x ＋x 在(0，＋∞)上单调递增，且t ∈R. ∴f (x )＝x e x－a (ln x ＋x )＝e t－at ，令g (t )＝e t－at .∴f (x )在x ＞0上有两个零点等价于g (t )＝e t－at 在t ∈R 上有两个零点． ①当a ＝0时，g (t )＝e t，在R 上单调递增，且g (t )＞0，故g (t )无零点； ②当a ＜0时，g ′(t )＝e t －a ＞0，g (t )在R 上单调递增，又g (0)＝1＞0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝e 1a －1＜0，故g (t )在R 上只有一个零点； ③当a ＞0时，由g ′(t )＝e t－a ＝0可知g (t )在t ＝ln a 时有唯一的一个极小值g (ln a )＝a (1－ln a )．若0＜a ＜e ，g (t )极小值＝a (1－ln a )＞0，g (t )无零点；若a ＝e ，g (t )极小值＝0，g (t )只有一个零点；若a ＞e ，g (t )极小值＝a (1－ln a )＜0，而g (0)＝1＞0，由y ＝ln x x在x ＞e 时为减函数，可知当a ＞e 时，e a ＞a e ＞a 2，从而g (a )＝e a －a 2＞0， ∴g (x )在(0，ln a )和(ln a ，＋∞)上各有一个零点．综上，当a ＞e 时，f (x )有两个零点，即实数a 的取值范围是(e ，＋∞)．。

2019高考数学难点题型拔高练三理含答案解析

难点题型拔高练(三)1．已知函数f (x )＝exx2＋2k ln x －kx ，若x ＝2是函数f (x )的唯一极值点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，e 24 B ． ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，e 2 C ．(0,2]D ．[2，＋∞)解析：选A 由题意可得f ′(x )＝exx －x 3＋k －xx＝x －x－kx2x 3，x >0，令f ′(x )＝0，得x ＝2或e x＝kx 2(x >0)，由x ＝2是函数f (x )的唯一极值点知e x ≥kx 2(x >0)恒成立或e x ≤kx 2(x >0)恒成立，由y ＝e x(x >0)和y ＝kx 2(x >0)的图象可知，只能是e x ≥kx 2(x >0)恒成立．法一：由x >0知，e x≥kx 2，则k ≤e xx2，设g (x )＝exx2，则k ≤g (x )min .由g ′(x )＝exx －x 3，得当x >2时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当0<x <2，g ′(x )<0，g (x )单调递减，所以g (x )min ＝g (2)＝e 24，所以k ≤e24.法二：e x ≥kx 2(x >0)恒成立，则y ＝e x (x >0)的图象在y ＝kx 2(x >0)的图象的上方(含相切)， ①若k ≤0，易知满足题意；②若k >0，设y ＝e x(x >0)与y ＝kx 2(x >0)的图象在点(x 0，y 0)处有相同的切线，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝e x 0，y 0＝kx 20，e x 0＝2kx 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，y 0＝e 2，k ＝e 24，数形结合可知，0<k ≤e24.综上，k 的取值范围是(－∞，0]∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，e 24＝⎝⎛⎦⎥⎤－∞，e 24. 2．定义“有增有减”数列{a n }如下：∃t ∈N *，a t <a t ＋1，且∃s ∈N *，a s >a s ＋1.已知“有增有减”数列{a n }共4项，若a i ∈{x ，y ，z }(i ＝1,2,3,4)，且x <y <z ，则数列{a n }共有( )A ．64个B ．57个C ．56个D ．54个解析：选D 法一：不妨设x ＝1，y ＝2，z ＝3，则a i ∈{1,2,3}(i ＝1,2,3,4)，所以a i ＝1或2或3.考虑反面，即数列{a n }不是“有增有减”数列，此时有三种情况：常数数列、不增数列(a 1≥a 2≥a 3≥a 4，且等号不同时成立)及不减数列(a 1≤a 2≤a 3≤a 4，且等号不同时成立)．①常数数列，有1,1,1,1；2,2,2,2；3,3,3,3，共3个． ②不减数列，含1,2,3中的任意两个数或三个数，若含两个数，则有C 23＝3种情况，以含有1,2为例，不减数列有1,1,1,2；1,1,2,2； 1,2,2,2，共3个，所以含两个数的不减数列共有3×3＝9个．若含三个数，则不减数列有1,1,2,3；1,2,3,3；1,2,2,3，共3个．所以不减数列共有9＋3＝12个． ③不增数列，同理②，共有12个．综上，数列{a n }不是“有增有减”数列共有3＋12×2＝27个．所以，数列{a n }是“有增有减”数列共有34－27＝54个．法二：根据题设“有增有减”数列的定义，数列{a n }共有两类．第一类：数列{a n }的4项只含有x ，y ，z 中的两个，则有C 23＝3种情况，以只含x ，y 为例，满足条件的数列{a n }有x ，y ，x ，x ；x ，x ，y ，x ；y ，x ，y ，y ；y ，y ，x ，y ；x ，y ，x ，y ；y ，x ，y ，x ；x ，y ，y ，x ；y ，x ，x ，y ，共8个，所以此类共有3×8＝24个．第二类：数列{a n }的4项含有x ，y ，z 中的三个，必有两项是同一个，有C 13＝3种情况，以两项是x ，另两项分别为y ，z 为例，满足条件的数列{a n }有x ，x ，z ，y ；x ，y ，x ，z ；x ，z ，x ，y ；x ，y ，z ，x ；x ，z ，y ，x ；y ，x ，x ，z ；y ，x ，z ，x ；y ，z ，x ，x ；z ，x ，x ，y ；z ，x ，y ，x ，共10个，所以此类共有3×10＝30个．综上，数列{a n }共有24＋30＝54个．3．如图，等腰三角形PAB 所在平面为α，PA ⊥PB ，AB ＝4，C ，D 分别为PA ，AB 的中点，G 为CD 的中点．平面α内经过点G 的直线l 将△PAB 分成两部分，把点P 所在的部分沿直线l 翻折，使点P 到达点P ′(P ′∉平面α)．若点P ′在平面α内的射影H 恰好在翻折前的线段AB 上，则线段P ′H 的长度的取值范围是________．解析：在等腰三角形PAB 中，∵PA ⊥PB ，AB ＝4， ∴PA ＝PB ＝2 2.∵C ，D 分别为PA ，AB 的中点， ∴PC ＝CD ＝2且PC ⊥CD . 连接PG ，P ′G ，∵G 为CD 的中点，∴PG ＝P ′G ＝102. 连接HG ，∵点P ′在平面α内的射影H 恰好在翻折前的线段AB 上， ∴P ′H ⊥平面α，∴P ′H ⊥HG ， ∴HG ＜P ′G ＝102. 易知点G 到线段AB 的距离为12，∴HG ≥12，∴12≤HG ＜102.又P ′H ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1022－HG 2，∴0＜P ′H ≤32. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 4．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l .已知以F 为圆心，半径为4的圆与l 交于A ，B 两点，E 是该圆与抛物线C 的一个交点，∠EAB ＝90°.(1)求p 的值；(2)已知点P 的纵坐标为－1且在抛物线C 上，Q ，R 是抛物线C 上异于点P 的两点，且满足直线PQ 和直线PR 的斜率之和为－1，试问直线QR 是否经过一定点？若是，求出定点的坐标；否则，请说明理由．解：(1)连接AF ，EF ，由题意及抛物线的定义，得|AF |＝|EF |＝|AE |＝4，即△AEF 是边长为4的正三角形，所以∠FAE ＝60°，设准线l 与x 轴交于点D ，在Rt △ADF 中，∠FAD ＝30°，所以p ＝|DF |＝12|AF |＝12×4＝2.(2)由题意知直线QR 的斜率不为0，设直线QR 的方程为x ＝my ＋t ，点Q (x 1，y 1)，R (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y 2＝4x ，得y 2－4my －4t ＝0，则Δ＝16m 2＋16t >0，y 1＋y 2＝4m ，y 1·y 2＝－4t . 又点P ，Q 在抛物线C 上，所以k PQ ＝y P －y 1x P －x 1＝y P －y 1y 2P 4－y 214＝4y P ＋y 1＝4y 1－1，同理可得k PR ＝4y 2－1.因为k PQ ＋k PR ＝－1，所以4y 1－1＋4y 2－1＝y 1＋y 2－8y 1y 2－y 1＋y 2＋1＝16m －8－4t －4m ＋1＝－1，则t ＝3m －74.由⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16m 2＋16t >0，t ＝3m －74，14≠m －＋3m －74，解得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－72∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞)，所以直线QR 的方程为x ＝m (y ＋3)－74，则直线QR 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－74，－3. 5．已知函数f (x )＝e 2x(x 3＋ax ＋4x cos x ＋1)，g (x )＝e x－m (x ＋1)． (1)当m ≥1时，求函数g (x )的极值；(2)若a ≥－72，证明：当x ∈(0,1)时，f (x )>x ＋1.解：(1)由题意可知g ′(x )＝e x－m ，当m ≥1时，由g ′(x )＝0得x ＝ln m ，由x >ln m 得g ′(x )>0，g (x )单调递增；由x <ln m 得g ′(x )<0，g (x )单调递减．所以函数g (x )只有极小值，且极小值为g (ln m )＝m －m (ln m ＋1)＝－m ln m . (2)证明：当x ∈(0,1)时，要证f (x )>x ＋1，即证x 3＋ax ＋4x cos x ＋1>x ＋1e2x.由(1)得，当m ＝1时，g (x )＝e x－(x ＋1)≥0，即e x≥x ＋1，所以e 2x≥(x ＋1)2，所以x ＋1e2x<1x ＋1，x ∈(0,1)， x 3＋ax ＋4x cos x ＋1－x ＋1e2x>x 3＋ax ＋4x cos x ＋1－1x ＋1＝x 3＋ax ＋4x cos x ＋x x ＋1＝x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋4cos x ＋a ＋1x ＋1令h (x )＝x 2＋4cos x ＋a ＋1x ＋1，则h ′(x )＝2x －4sin x －1x ＋2，令I (x )＝2x －4sin x ，则I ′(x )＝2－4cos x ＝2(1－2cos x )，当x ∈(0,1)时，cos x >cos 1>cos π3＝12，所以1－2cos x <0，所以I ′(x )<0，所以I (x )在(0,1)上为减函数，所以当x ∈(0,1)时，I (x )<I (0)＝0，h ′(x )<0，所以h (x )在(0,1)上为减函数，因此，当x ∈(0,1)时，h (x )>h (1)＝a ＋32＋4cos 1，因为4cos 1>4cos π3＝2，而a ≥－72，所以a ＋32＋4cos 1>0，所以当x ∈(0,1)时，h (x )>0，所以x 3＋ax ＋4x cos x ＋1>x ＋1e2x成立，所以当x ∈(0,1)时，f (x )>x ＋1成立．。

2019高考数学难点题型拔高练(一)(理)(含解析)

难点题型拔高练(一)1．过抛物线y ＝14x 2的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在直线y ＝－1上，若△ABC为正三角形，则其边长为( )A ．11B ．12C ．13D ．14解析：选B 由题意可知，焦点F (0,1)，易知过焦点F 的直线的斜率存在且不为零，设为k (k ≠0)，则该直线方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 2，y ＝kx ＋1，∴x 2＝4(kx ＋1)，即x 2－4kx －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，设线段AB 的中点为M ，则M (2k ，2k 2＋1)，|AB |＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝1＋k216k 2＋16＝4(1＋k 2)，设C (m ，－1)，连接MC ，∵△ABC 为等边三角形，∴k MC ＝2k 2＋22k －m ＝－1k ，m ＝2k 3＋4k ，点C (m ，－1)到直线y ＝kx ＋1的距离|MC |＝|km ＋2|1＋k 2＝32|AB |，∴|km ＋2|1＋k 2＝32×4(1＋k 2)，∴2k 4＋4k 2＋21＋k 2＝23(1＋k 2)，∴1＋k 2＝3，∴k ＝±2，∴|AB |＝4(1＋k 2)＝12.2．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，且f (x )在(0，π)上单调．下列说法正确的是( )A ．ω＝12B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝6－22 C ．函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上单调递增D ．函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫3π4，0中心对称解析：选C 由题意得函数f (x )的最小正周期T ＝2πω，因为f (x )在(0，π)上单调，所以T 2＝πω≥π，得0<ω≤1.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，所以f (x )在(0，π)上单调递减，又0<φ<π，0<ω≤1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ωπ8＋φ＝3π4，ωπ2＋φ＝π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝23，φ＝2π3，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋2π3.选项A 显然不正确．因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝2sin －23×π8＋2π3＝2sin 7π12＝6＋22，所以B 不正确．因为当－π≤x ≤－π2时，0≤23x ＋2π3≤π3，所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上单调递增，故C正确．因为f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×3π4＋2π3＝2sin 7π6≠0，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0不是函数f (x )图象的对称中心，故D 不正确．3．已知函数f (x )＝x 2－x ＋1x －1，g (x )＝ln xx ，若函数y ＝f (g (x ))＋a 有三个不同的零点x 1，x 2，x 3(其中x 1<x 2<x 3)，则2g (x 1)＋g (x 2)＋g (x 3)的取值范围为__________．解析：∵g (x )＝ln x x ，∴g ′(x )＝1－ln xx2.当0<x <e 时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x >e 时，g ′(x )<0，g (x )单调递减．作出函数g (x )的大致图象如图所示，令g (x )＝t ，由f (t )＋a ＝t 2－t ＋1t －1＋a ＝0，得关于t 的一元二次方程t 2＋(a －1)t ＋1－a ＝0，又f (g (x ))＋a ＝0有三个根x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，∴结合g (x )的图象可知关于t 的一元二次方程有两个不等实根，不妨设为t 1，t 2，且t 1<t 2，则0<t 1<1e ，t 2＝1e 或t 1<0<t 2<1e ，t 1＋t 2＝1－a ，由Δ＝(a －1)2－4(1－a )>0，得1－a <0或1－a >4.当0<t 1<1e ，t 2＝1e时，0<t 1＋t 2<4，不符合题意，舍去．∴t 1<0<t 2<1e，∴g (x 1)＝t 1，g (x 2)＝g (x 3)＝t 2，∴2g (x 1)＋g (x 2)＋g (x 3)＝2t 1＋2t 2＝2(t 1＋t 2)＝2(1－a )．令λ＝1－a ，φ(t )＝t 2＋(a －1)t ＋1－a ＝t 2－λt ＋λ，由t 1<0<t 2<1e可知，⎩⎪⎨⎪⎧φ0<0，φ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e >0，即⎩⎪⎨⎪⎧λ<0，1e2－λ×1e ＋λ>0，解得1e －e2<λ<0.综上，2g (x 1)＋g (x 2)＋g (x 3)的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫2e －e 2，0.答案：⎝⎛⎭⎪⎫2e －e 2，04．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且离心率为22，M 为椭圆上任意一点，当∠F 1MF 2＝90°时，△F 1MF 2的面积为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知A 是椭圆C 上异于椭圆顶点的一点，连接并延长AF 1，AF 2，分别与椭圆交于点B ，D ，设直线BD 的斜率为k 1，直线OA 的斜率为k 2(O 为坐标原点)，求证：k 1·k 2为定值．解：(1)设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝22，r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2，12r 1·r 2＝1，∴a ＝2，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：易知直线AF 1，AF 2的斜率均不为0.设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，当直线AF 1的斜率不存在时，不妨令A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，22，则B ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－22，又F 1(－1,0)，F 2(1,0)，∴直线AF 2的方程为y ＝－24(x －1)，将其代入x 22＋y 2＝1，整理可得5x 2－2x －7＝0，∴x 2＝75，y 2＝－210，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫75，－210，∴直线BD 的斜率k 1＝－210－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2275－－1＝26，直线OA 的斜率k 2＝－22， ∴k 1·k 2＝26×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－16. 当直线AF 2的斜率不存在时，同理可得k 1·k 2＝－16.当直线AF 1，AF 2的斜率都存在且不为0时，设A (x 0，y 0)，则x 0y 0≠0，则直线AF 1的方程为y ＝y 0x 0＋1(x ＋1)，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 0x 0＋1x ＋1，x22＋y 2＝1，消去y 可得，[(x 0＋1)2＋2y 20]x 2＋4y 20x ＋2y 20－2(x 0＋1)2＝0，又x 202＋y 20＝1，∴2y 20＝2－x 20， ∴(3＋2x 0)x 2＋2(2－x 20)x －3x 20－4x 0＝0， ∴x 1·x 0＝－3x 20－4x 03＋2x 0，∴x 1＝－3x 0－43＋2x 0，则y 1＝y 0x 0＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x 0－43＋2x 0＋1＝－y 03＋2x 0， ∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x 0＋42x 0＋3，－y 02x 0＋3.直线AF 2的方程为y ＝y 0x 0－1(x －1)，同理可得D 3x 0－42x 0－3，y 02x 0－3，∴直线BD 的斜率k 1＝y 02x 0－3＋y 02x 0＋33x 0－42x 0－3＋3x 0＋42x 0＋3＝4x 0y 012x 20－24＝x 0y 03x 20－6，∵直线OA 的斜率k 2＝y 0x 0，∴k 1·k 2＝x 0y 03x 20－6·y 0x 0＝y 203x 20－6＝1－x 2023x 20－6＝－16.综上，k 1·k 2为定值，且定值为－16.5.已知函数f (x )＝(x ＋b )(e x－a )(b >0)的图象在点(－1，f (－1))处的切线方程为(e －1)x ＋e y ＋e －1＝0.(1)求a ，b ；(2)若方程f (x )＝m 有两个实数根x 1，x 2，且x 1<x 2，证明：x 2－x 1≤1＋m 1－2e1－e.解：(1)由题意得f (－1)＝0，所以f (－1)＝(－1＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －a ＝0，所以a ＝1e 或b ＝1.又f ′(x )＝(x ＋b ＋1)e x－a ，所以f ′(－1)＝b e －a ＝－1＋1e，若a ＝1e，则b ＝2－e<0，与b >0矛盾，故a ＝1，b ＝1.(2)证明：由(1)可知f (x )＝(x ＋1)(e x－1)，f (0)＝0，f (－1)＝0，设曲线y ＝f (x )在点(－1,0)处的切线方程为y ＝h (x )，则h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －1(x ＋1)，令F (x )＝f (x )－h (x )，则F (x )＝(x ＋1)(e x－1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －1(x ＋1)，F ′(x )＝(x ＋2)e x －1e，当x ≤－2时，F ′(x )＝(x ＋2)e x－1e ≤－1e<0，当x >－2时，设G (x )＝F ′(x )＝(x ＋2)e x －1e ，则G ′(x )＝(x ＋3)e x>0，故函数F ′(x )在(－2，＋∞)上单调递增，又F ′(－1)＝0，所以当x ∈(－∞，－1)时，F ′(x )<0，当x ∈(－1，＋∞)时，F ′(x )>0，所以函数F (x )在区间(－∞，－1)上单调递减，在区间(－1，＋∞)上单调递增，故F (x )≥F (－1)＝0，所以f (x )≥h (x )，所以f (x 1)≥h (x 1)．设h (x )＝m 的根为x 1′，则x 1′＝－1＋m e1－e，又函数h (x )单调递减，且h (x 1′)＝f (x 1)≥h (x 1)，所以x 1′≤x 1，设曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝t (x )，易得t (x )＝x ，令T (x )＝f (x )－t (x )＝(x ＋1)(e x－1)－x ，T ′(x )＝(x ＋2)e x－2，当x ≤－2时，T ′(x )＝(x ＋2)e x －2≤－2<0，当x >－2时，设H (x )＝T ′(x )＝(x ＋2)e x－2，则H ′(x )＝(x ＋3)e x>0，故函数T ′(x )在(－2，＋∞)上单调递增，又T ′(0)＝0，所以当x ∈(－∞，0)时，T ′(x )<0，当x ∈(0，＋∞)时，T ′(x )>0，所以函数T (x )在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，所以T (x )≥T (0)＝0，所以f (x )≥t (x )，所以f (x 2)≥t (x 2)．设t (x )＝m 的根为x 2′，则x 2′＝m ，又函数t (x )单调递增，且t (x 2′)＝f (x 2)≥t (x 2)，所以x 2′≥x 2. 又x 1′≤x 1，所以x 2－x 1≤x 2′－x 1′＝m －⎝⎛⎭⎪⎫－1＋m e 1－e ＝1＋m 1－2e 1－e .。

2019高考数学难点题型拔高练三理含解析201905223101

2019高考数学难点题型拔高练三理含解析 1．已知函数f (x )＝e xx 2＋2k ln x －kx ，若x ＝2是函数f (x )的唯一极值点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，e 24 B ． ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，e 2 C ．(0,2]D ．[2，＋∞) 解析：选A 由题意可得f ′(x )＝e x x －2x 3＋k 2－x x ＝x －2e x －kx 2x 3，x >0，令f ′(x )＝0，得x ＝2或e x ＝kx 2(x >0)，由x ＝2是函数f (x )的唯一极值点知e x ≥kx 2(x >0)恒成立或e x ≤kx 2(x >0)恒成立，由y ＝e x (x >0)和y ＝kx 2(x >0)的图象可知，只能是e x ≥kx 2(x >0)恒成立．法一：由x >0知，e x ≥kx 2，则k ≤e xx2，设g (x )＝e xx2，则k ≤g (x )min . 由g ′(x )＝e x x －2x 3，得当x >2时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当0<x <2，g ′(x )<0，g (x )单调递减，所以g (x )min ＝g (2)＝e 24，所以k ≤e 24. 法二：e x ≥kx 2(x >0)恒成立，则y ＝e x (x >0)的图象在y ＝kx 2(x >0)的图象的上方(含相切)， ①若k ≤0，易知满足题意；②若k >0，设y ＝e x (x >0)与y ＝kx 2(x >0)的图象在点(x 0，y 0)处有相同的切线，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝e x 0，y 0＝kx 20，e x 0＝2kx 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2，y 0＝e 2，k ＝e 24，数形结合可知，0<k ≤e 24.综上，k 的取值范围是(－∞，0]∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，e 24＝⎝⎛⎦⎥⎤－∞，e 24. 2．定义“有增有减”数列{a n }如下：∃t ∈N *，a t <a t ＋1，且∃s ∈N *，a s >a s ＋1.已知“有增有减”数列{a n }共4项，若a i ∈{x ，y ，z }(i ＝1,2,3,4)，且x <y <z ，则数列{a n }共有( )A ．64个B ．57个C ．56个D ．54个解析：选D 法一：不妨设x ＝1，y ＝2，z ＝3，则a i ∈{1,2,3}(i ＝1,2,3,4)，所以a i ＝1或2或3.考虑反面，即数列{a n}不是“有增有减”数列，此时有三种情况：常数数列、不增数列(a1≥a2≥a3≥a4，且等号不同时成立)及不减数列(a1≤a2≤a3≤a4，且等号不同时成立)．①常数数列，有1,1,1,1；2,2,2,2；3,3,3,3，共3个．②不减数列，含1,2,3中的任意两个数或三个数，若含两个数，则有C23＝3种情况，以含有1,2为例，不减数列有1,1,1,2；1,1,2,2；1,2,2,2，共3个，所以含两个数的不减数列共有3×3＝9个．若含三个数，则不减数列有1,1,2,3；1,2,3,3；1,2,2,3，共3个．所以不减数列共有9＋3＝12个．③不增数列，同理②，共有12个．综上，数列{a n}不是“有增有减”数列共有3＋12×2＝27个．所以，数列{a n}是“有增有减”数列共有34－27＝54个．法二：根据题设“有增有减”数列的定义，数列{a n}共有两类．第一类：数列{a n}的4项只含有x，y，z中的两个，则有C23＝3种情况，以只含x，y 为例，满足条件的数列{a n}有x，y，x，x；x，x，y，x；y，x，y，y；y，y，x，y；x，y，x，y；y，x，y，x；x，y，y，x；y，x，x，y，共8个，所以此类共有3×8＝24个．第二类：数列{a n}的4项含有x，y，z中的三个，必有两项是同一个，有C13＝3种情况，以两项是x，另两项分别为y，z为例，满足条件的数列{a n}有x，x，z，y；x，y，x，z；x，z，x，y；x，y，z，x；x，z，y，x；y，x，x，z；y，x，z，x；y，z，x，x；z，x，x，y；z，x，y，x，共10个，所以此类共有3×10＝30个．综上，数列{a n}共有24＋30＝54个．3．如图，等腰三角形PAB所在平面为α，PA⊥PB，AB＝4，C，D分别为PA，AB的中点，G为CD的中点．平面α内经过点G的直线l将△PAB分成两部分，把点P所在的部分沿直线l翻折，使点P到达点P′(P′∉平面α)．若点P′在平面α内的射影H恰好在翻折前的线段AB上，则线段P′H的长度的取值范围是________．解析：在等腰三角形PAB中，∵PA⊥PB，AB＝4，∴PA＝PB＝2 2.∵C，D分别为PA，AB的中点，∴PC＝CD＝2且PC⊥CD.连接PG ，P ′G ，∵G 为CD 的中点，∴PG ＝P ′G ＝102. 连接HG ，∵点P ′在平面α内的射影H 恰好在翻折前的线段AB 上，∴P ′H ⊥平面α，∴P ′H ⊥HG ，∴HG ＜P ′G ＝102. 易知点G 到线段AB 的距离为12， ∴HG ≥12，∴12≤HG ＜102. 又P ′H ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1022－HG 2，∴0＜P ′H ≤32. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 4．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l .已知以F 为圆心，半径为4的圆与l 交于A ，B 两点，E 是该圆与抛物线C 的一个交点，∠EAB ＝90°.(1)求p 的值；(2)已知点P 的纵坐标为－1且在抛物线C 上，Q ，R 是抛物线C 上异于点P 的两点，且满足直线PQ 和直线PR 的斜率之和为－1，试问直线QR 是否经过一定点？若是，求出定点的坐标；否则，请说明理由．解：(1)连接AF ，EF ，由题意及抛物线的定义，得|AF |＝|EF |＝|AE |＝4，即△AEF 是边长为4的正三角形，所以∠FAE ＝60°，设准线l 与x 轴交于点D ，在Rt △ADF 中，∠FAD ＝30°，所以p ＝|DF |＝12|AF |＝12×4＝2. (2)由题意知直线QR 的斜率不为0，设直线QR 的方程为x ＝my ＋t ，点Q (x 1，y 1)，R (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my ＋t ，y 2＝4x ，得y 2－4my －4t ＝0，则Δ＝16m 2＋16t >0，y 1＋y 2＝4m ，y 1·y 2＝－4t .又点P ，Q 在抛物线C 上，所以k PQ ＝y P －y 1x P －x 1＝y P －y 1y 2P 4－y 214＝4y P ＋y 1＝4y 1－1，同理可得k PR ＝4y 2－1.因为k PQ ＋k PR ＝－1，所以4y 1－1＋4y 2－1＝4y 1＋y 2－8y 1y 2－y 1＋y 2＋1 ＝16m －8－4t －4m ＋1＝－1，则t ＝3m －74. 由⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝16m 2＋16t >0，t ＝3m －74，14≠m ×－1＋3m －74，解得m ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－72∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞)，所以直线QR 的方程为x ＝m (y ＋3)－74，则直线QR 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－74，－3. 5．已知函数f (x )＝e 2x (x 3＋ax ＋4x cos x ＋1)，g (x )＝e x －m (x ＋1)．(1)当m ≥1时，求函数g (x )的极值；(2)若a ≥－72，证明：当x ∈(0,1)时，f (x )>x ＋1. 解：(1)由题意可知g ′(x )＝e x －m ，当m ≥1时，由g ′(x )＝0得x ＝ln m ，由x >ln m 得g ′(x )>0，g (x )单调递增；由x <ln m 得g ′(x )<0，g (x )单调递减．所以函数g (x )只有极小值，且极小值为g (ln m )＝m －m (ln m ＋1)＝－m ln m . (2)证明：当x ∈(0,1)时，要证f (x )>x ＋1，即证x 3＋ax ＋4x cos x ＋1>x ＋1e 2x .由(1)得，当m ＝1时，g (x )＝e x －(x ＋1)≥0，即e x ≥x ＋1，所以e 2x ≥(x ＋1)2，所以x ＋1e 2x <1x ＋1，x ∈(0,1)， x 3＋ax ＋4x cos x ＋1－x ＋1e 2x >x 3＋ax ＋4x cos x ＋1－1x ＋1＝x 3＋ax ＋4x cos x ＋x x ＋1＝x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋4cos x ＋a ＋1x ＋1令h (x )＝x 2＋4cos x ＋a ＋1x ＋1，则h ′(x )＝2x －4sin x －1x ＋12，令I (x )＝2x －4sin x ，则I ′(x )＝2－4cos x ＝2(1－2cos x )，当x ∈(0,1)时，cos x >cos 1>cos π3＝12，所以1－2cos x <0，所以I ′(x )<0，所以I (x )在(0,1)上为减函数，所以当x ∈(0,1)时，I (x )<I (0)＝0，h ′(x )<0，所以h (x )在(0,1)上为减函数，因此，当x ∈(0,1)时，h (x )>h (1)＝a ＋32＋4cos 1，因为4cos 1>4cos π3＝2，而a ≥－72，所以a ＋32＋4cos 1>0，所以当x ∈(0,1)时，h (x )>0，所以x 3＋ax ＋4x cos x ＋1>x ＋1e 2x 成立，所以当x ∈(0,1)时，f (x )>x ＋1成立．。

2019高考数学难点题型拔高练二理含解析

)难点题型拔高练(二CDADBDBCABCDOABAC8.，＝，5，，四点均在以点4为球心的球面上，且＝＝21．已知＝＝＝，21OOBCDO)( 若球相切，则球在球内且与平面直径的最大值为2122 ． B A．18．C．4D222BCDCDBCBDBCBD为等腰直角三角，所以，所以△＝解析：选D 由题意，得⊥＋BOrAOOCDOBCD，＝4.形．如图，设的中点为的外心，且外接圆半径，则连接为△，222BOAOABAOBOAOACADBOAOCD，＝2，又＝4，所以＝，所以＝＋25，所以⊥⊥＝，因为222RrOOAOBCDOAOOR，＋在直线，则有上．设球所以⊥平面＝，所以球心的半径为11122OBCDROORR相切，且与球＝5.即16＋(当球－2)＝与平面，解得直径最大时，球122OOOOROAO8.四点共线，所以球＋内切，此时直径的最大值为，，＝，11223baaxaba,fxx) 的取值范围是则( ]上的值域为[2．已知函数－(2)＝(－－2)－3＋ (0]>0)在[－1，，[0,2] A．[0,3] ．B1,3]－[2,3]C．D．(2axfxxfxxaaxa或′(1)＝0＋1)(，得－解析：选A 由题意，得＋′(－)＝3(1)－－)3＝3(．由－＝axfaxaxafxxaxafx，)在((＝1－，所以当＋－1<1<时，＋1时，1′(′()<0，当<，所以函数－1或)>0>－aaaaafafa＋＝－(221)＝－－－∞，＋1)上单调递减，在(－－1)，(2＋1，＋∞)上单调递增．又，(1)＋33xxxfafaaaafx＝31－＋)3＋(＝－2＋－2，则1＝1，此时，且()＝()－1)－2.若(－1)＝－22－，即(－bxxxxfxxf，]；由上的值域为()＝0，解得[＝0或－＝3.因为函数4,0](在)[－1－4时，或＝－1，＝2baaaxffb2－2，因为－>0，所以－－1>1，要使函数](上的值域为)在[－1所以0≤，≤3.若(－1)>－2[af ，－2－－2??babaa,，所以，此时－1∈[－1－20]，需，＋1≤]?af－，??3aaa，－2＋32－1－>－＋??b无解．综上所述，．即的取值范围是[0,3]?a＋2≤0，2－??ADABCDABACBCBDBDBC的最小值为________，⊥，则，3．在平面四边形．中，1＝，＝2＝5π2BCABCABCBACABD中，由余弦定理，得在△))，则∠＝β＋解析：设∠.＝α，∠(＝ββ∈(0，π2ACBCα5sin 22BCACABABAC.cos α＝6－25cos ＝α＋，由正弦定理，得－2·＝，即＝βsin cos απ????＋βsin ??22222BCABABDADDBABDBBC)25cos αβcos ＝1在△＋中，由余弦定理，得＝4(6＋－21·cos β＝＋4－4－55sin α2θ＝，cos （其中α＝8β＝25－－5cos α45sin α25－20sin(＋θ)sin －4·θ·cos 5cos β55522ADAD的最小值5，所以α，sin 1＝)＋sin(），所以当αθ＝，即α＝cos ＝时，取得最小值5555.为5答案：22yxABCBEabAF，直线，．椭圆4|：＋＝1(，>＝>0)的右顶点为|，右焦点为，上、下顶点分别是722baDADBDCFAB|.，且|2||交线段＝于点E的标准方程；(1)求lBMNllMNF的方程；若不(2)是否存在直线恰是△，使得两点，且交椭圆于的垂心？若存在，求，存在，说明理由．bc,Aa,bCBF 0)，)(，0)(0(0，解：(1)法一：由题意知，－()，，yxAB 1，所以直线的方程为＋＝bayxCF，的方程为－＝1直线bc yx??，1＋＝baac2?x. 得，＝由D ca＋yx??1＝－bc →→――DABDDABD，＝|，所以因为|2|＝2|ac222→→――aBDBA |，得＝所以，＝| ca33＋22ccacab.＝，所以3－解得2＝＝22cABba77，所以因为||7＝7，，即＝＋＝bca＝2，，3所以，＝1＝22yxE1. 的标准方程为＋所以椭圆＝34BGEG的左焦点为，法二：如图，设椭圆，连接CFBG ∥，由椭圆的对称性得BDGF|||| 则＝＝2，DAFA||||FAGF＝2||即|，|cFc,GF由题意知2(，则0)|，|＝cFAa |＝|，－cccaa，＝2(－2)，得所以2＝22cabc.－＝所以3＝22cbABa＝77，＝7，即7＋＝，即|因为|bac 3＝，，，所以＝1＝222yxE1.＋的标准方程为所以椭圆＝34．MNBFlFBMNBFMF，的垂心，连接，并延长，如图，则(2)假设存在直线，并延长，连接，使得⊥是△BNMF.⊥FB，3)(0，(1,0)由(1)知，，kBF，所以直线＝－的斜率3BF3klkkk＝＝－易知1的斜率存在，设为，则，所以·，BF33yxmMlyxyNx设)的方程为，＝，，)，＋(，(21123?3?mxy，＝＋3?22myxmx，＋12(－3)由消去＝得13＋83022yx??，1＝＋3422mm－(833)>0)－4×13×12(由Δ得，＝3939m. －<<332mm－83xxxx.＝－，＝＋22111313→――→BNMFMFBN 0，所以，·因为＝⊥→→――yxyMFxBN 3)，(1－，，－)，－＝因为(＝2121yyxx，(1－－)3)－＝0(所以2121??????333??????xx 0，－即(1＝)＋－3mmxmxx＋＋＋21112??????333??432??mxxmxx＝－0整理得＋(3＋)－，m－121123??32m ????34－12m3382????mm·所以0，·－＋3－＝m－1－133????1332mm＝整理得210－53，－48316mm.解得或＝－＝321BmMN＝3时，或当重合，不符合题意，舍去；与3933916mm.当<＝－时，满足－<32133163xBMNFlyl－，使得是△＝的垂心，. 所以存在直线的方程为321x2axfaxx2. ＝5．已知函数()(＋－＋21)e xf的单调区间；)(讨论(1)．1xfax)<0.(2)若时，<－，求证：当(≥07x2axaxfx＋2，＋1)e)＝(－解：(1)因为2(x2aaxfxax＋1)e＋42所以＋′(，)＝(2aaxaxux 41＋令2(，)＝＋＋xffauxx (－∞，＋∞)．0时，)(，)>0的单调递增区间为′(()>0①当，所以＝2aaaaaa，)－4－(21)＋1)＝4②当>0时，Δ＝(4(222aaaaaa－＋－－22－21－2xxuaxxx.＝，0，得，且(ⅰ)当Δ>时，>0，令<(＝)＝2211aa2xfxxxux′(，，＋∞)时，，(所以当(∈－∞，)>0)∪()>021xuxxxxf )<0(′(当)<0∈(，，，)时，2122????aaaaaa－＋－2－2－－22????xf，单调递减区间为 )所以的单调递增区间为(，，＋∞－∞，aa????22??aaaaaa－2－－22＋－2－??. ，aa??1xauxf (′(当0<)≥0，≤时，Δ≤0，所以)≥0，(ⅱ)2xf )的单调递增区间为((－∞，＋∞)．所以22aaaaaa－－22－＋－2－2xxxxxua，得<＝，，③当<0时，Δ>0，令＝(，且)＝01212aaxxxxuxf )>0，)时，′(所以当(∈(，，)>012xfxxuxx′((，)<0当，∈(－∞，)<0)∪(，＋∞)时，1222??aaaaaa－－－22＋2－2－??xf－，单调递减区所以间为(区)的单调递增间为，aa??22????aaaaaa－－＋22－－22－????.，，＋∞∞，aa????22????1aaaaaa－－22－2＋－2－????xaf，单调递减(综上，当，)>时，的单调递增区间为，＋∞－∞，2aa????22??aaaaaa－－2－222－＋－??区间为；，aa??1xfa(－∞，＋∞)；)的单调递增区间为当0≤≤时，(222??aaaaaa－－－－2＋222－??xaf为区间单调区调递增间为当递<0时，减(，)的单，aa??22????aaaaaa－2－－22＋2－－????.，，＋∞－∞，aa????xxx22xxaaxfxax )＋e－2(2)证明：＝()＝(＋2＋1)e－2，e(＋2xx2xaax 2＋e－，2＝φ令()e(＋)x2xxx )≥0，2＋(e时，≥0显然当．??x??aa－2.x2xx12e1＋<－时，φ(－)<φ＋e＝－所以当??777xfxx≥0时，时，，只需证当( 所以要证当)<0≥0x2xx2e＋x－2≤0，＋e－7x2xxx－7)＋14≥0.＋2即证当≥0时，e(x2xxgx，7)e(＋＋2令14(－)＝xx2xgxxxx，(＋＋4＝－5)(5)e－1)(则′(e)＝xxggx )<0，上单调递减，(在)(0,1)所以当∈(0,1)时，′(xgxxg，＋∞)上单调递增，)当，＋∞)时，∈(1在′()>0，(1(ggxx)≥＝(1)14－4e>0，所以当≥0时，(xfx)<0. 从而当≥0时，(。