八年级数学下册第二章知识点

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初中数学初二数学课件第二章不等式的解集

不等式的解集
不等式解集的表示
用简单不等式表示将解集在数轴上表示
课后作业
作业内容
教材作业从课后习题中选取
自主安排配套练习册练习
∴m+n=9. 把m+n=9代入不等式(m+n)x＞18中，得9x＞18，解得x＞2.
课堂检测
能力提升题
1、请写出满足下列条件的一个不等式. (1)0是这个不等式的一个解:___x_<_1_(_答__案__不__唯__一__)___. (2)-2,-1,0,1都是不等式的解:____________________. (3)0不是这个不等式的解:_____x_<_2_(_答__案__不__唯__一__)_. (4)与x≤-1的解集相同的不等式x<:0_(_答__案__不__唯__一__)___________.
北师大版八年级数学下册
2.3不等式的解集
导入新知
思考：我们在燃放烟花时，为了确保安全，我们需要注意哪些呢？
在安全距离、引火线的燃烧速度和燃放着离开的速度为一定时，还应注意引火线的长度，那引火线究竟需要多长呢？这节课我们一起讨论一下吧！
素养目标
3.能正确地在数轴上表示出不等式的解集，领悟数形结合思想．
不等式的解
满足一个不等式的未
定义知数的某个值
不等式的解集
满足一个不等式的未知数的所有值
区别特点
形式
如:x=3是2x-3<7的一个解
全体
如:x<5是2x-3<7的解集
联系某个解定是解集中的一员解集一定包括了某个解
探究新知
素养考点 1 识别不等式的解与不等式的解集
例下列说法正确的是( ) B A.x=-3是不等式x>-2的一个解 B.x=-1是不等式x>-2的一个解 C.不等式x>-2的解是x=-3 D.不等式x>-2的解集是x=-1

八年级数学下册知识点重点总结重点难点

第一章一元一次不等式和一元一次不等式组一. 不等关系1. 一般地,用符号“<”或“≤”, “>”或“≥”连接的式子叫做不等式.2. 区别方程与不等式：方程表示是相等的关系,不等式表示是不相等的关系;3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数 <===> 大于等于0≥0 <===> 0和正数 <===> 不小于0 非正数 <===> 小于等于0≤0 <===> 0和负数 <===> 不大于0 二. 不等式的基本性质1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:1 不等式的两边加上或减去同一个整式,不等号的方向不变,即: 如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.2 不等式的两边都乘以或除以同一个正数,不等号的方向不变,即如果a>b,并且c>0,那么ac>bc,cb c a >. 3 不等式的两边都乘以或除以同一个负数,不等号的方向改变,即: 如果a>b,并且c<0,那么ac<bc,cb c a < 2. 比较大小:a 、b 分别表示两个实数或整式一般地: 如果a>b,那么a-b 是正数;反过来,如果a-b 是正数,那么a>b; 如果a=b,那么a-b 等于0;反过来,如果a-b 等于0,那么a=b; 如果a<b,那么a-b 是负数;反过来,如果a-b 是正数,那么a<b;即:a>b <===> a-b>0 a=b <===> a-b=0 a<b <===> a-b<0 由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了. 三. 不等式的解集:1. 能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.2. 不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.3. 不等式的解集在数轴上的表示:用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:①边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈;②方向:大向右,小向左四. 一元一次不等式:1. 只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式.2. 解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.3. 解一元一次不等式的步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1不等号的改变问题 4. 一元一次不等式基本情形为ax>b 或ax<b ①当a>0时,解为abx >;②当a=0时,且b<0,则x 取一切实数;当a=0时,且b ≥0,则无解;③当a<0时, 解为ab x <; 5. 不等式应用的探索利用不等式解决实际问题列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:①审: 认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义; ②设: 设出适当的未知数;③列: 根据题中的不等关系,列出不等式; ④解: 解出所列的不等式的解集;⑤答: 写出答案,并检验答案是否符合题意. 五. 一元一次不等式组1. 定义: 由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组.2. 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这些不等式的解集无公共部分,就说这个不等式组无解.几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定. 3. 解一元一次不等式组的步骤:1分别求出不等式组中各个不等式的解集;2利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集.两个一元一次不等式组的解集的四种情况a 、b 为实数,且a<b第二章分解因式一. 分解因式1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.2. 因式分解与整式乘法是互逆关系;因式分解与整式乘法的区别和联系: 1整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式; 2因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘. 二. 提公共因式法1. 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.如: )(c b a ac ab +=+2. 概念内涵:1因式分解的最后结果应当是“积”;2公因式可能是单项式,也可能是多项式;3提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: )(c b a m mc mb ma -+=-+3. 易错点点评:1注意项的符号与幂指数是否搞错;2公因式是否提“干净”; 3多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉. 三. 运用公式法1. 如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.2. 主要公式:1平方差公式: ))((22b a b a b a -+=-2完全平方公式: 222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+- 3. 因式分解要分解到底.如))((222244y x y x y x -+=-就没有分解到底.4. 运用公式法:1平方差公式: ①应是二项式或视作二项式的多项式;②二项式的每项不含符号都是一个单项式或多项式的平方;③二项是异号.2完全平方公式:①应是三项式;②其中两项同号,且各为一整式的平方; ③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍. 5. 因式分解的思路与解题步骤:1先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;2再看能否使用公式法;3用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;4因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;5因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止. 四. 分组分解法:1. 分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.如: ))(()()(n m b a n m b n m a bn bm an am ++=+++=+++2. 概念内涵:分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式.3. 注意: 分组时要注意符号的变化. 五. 十字相乘法:1.对于二次三项式c bx ax ++2,将a 和c 分别分解成两个因数的乘积,21a a a ⋅= , 21c c c ⋅=, 且满足1221c a c a b +=,往往写成c 2a 2c 1a 1的形式,将二次三项式进行分解.如: ))((22112c x a c x a c bx ax ++=++ 2. 二次三项式q px x ++2的分解:3. 规律内涵:1理解:把q px x ++2分解因式时,如果常数项q 是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数p 的符号相同.2如果常数项q 是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数p 的符号相同,对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数p.4. 易错点点评:1十字相乘法在对系数分解时易出错;2分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确.第三章分式一. 分式1. 两个整数不能整除时,出现了分数;类似地,当两个整式不能整除时,就出现了分式. 整式A 除以整式B,可以表示成B A 的形式.如果除式B 中含有字母,那么称BA为分式,对于任意一个分式,分母都不能为零.2. 整式和分式统称为有理式,即有: ⎩⎨⎧分式整式有理式3. 进行分数的化简与运算时,常要进行约分和通分,其主要依据是分数的基本性质: 分式的分子与分母都乘以或除以同一个不等于零的整式,分式的值不变.4. 一个分式的分子分母有公因式时,可以运用分式的基本性质,把这个分式的分子分母同时除以它的们的公因式,也就是把分子、分母的公因式约去,这叫做约分. 二. 分式的乘除1. 分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;分式除以以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.即:BD AC D C B A =⋅, CB DA C DB A DC B A ⋅⋅=⋅=÷ 2. 分式乘方,把分子、分母分别乘方. 即: )(为正整数n B A B A nn n=⎪⎭⎫⎝⎛逆向运用nn n B A B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=,当n 为整数时,仍然有n n nB A B A =⎪⎭⎫⎝⎛成立.3. 分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式. 三. 分式的加减法1. 分式与分数类似,也可以通分.根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.2. 分式的加减法: 分式的加减法与分数的加减法一样,分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减.1同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减; 上述法则用式子表示是:CBA CBC A ±=± 2异号分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减;上述法则用式子表示是:BDBCAD BD BC BD AD D C B A ±=±=±3. 概念内涵: 通分的关键是确定最简分母,其方法如下:最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;最简公分母的字母,取各分母所有字母的最高次幂的积,如果分母是多项式,则首先对多项式进行因式分解. 四. 分式方程1. 解分式方程的一般步骤:①在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化成整式方程;②解这个整式方程;③把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,使最简公母为零的根是原方程的增根,必须舍去. 2. 列分式方程解应用题的一般步骤:①审清题意;②设未知数;③根据题意找相等关系,列出分式方程; ④解方程,并验根;⑤写出答案.第四章相似图形一. 线段的比1. 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD 的长度分别是m 、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n ,或写成nm B A =. 2. 四条线段a 、b 、c 、d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比,即dcb a =,那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段,简称比例线段.3. 注意点: ①a:b=k,说明a 是b 的k 倍;②由于线段 a 、b 的长度都是正数,所以k 是正数;③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致;④除了a=b 之外,a:b ≠b:a, b a 与ab互为倒数;⑤比例的基本性质:若d c b a =, 则ad=bc; 若ad=bc, 则dc b a = 二. 黄金分割1. 如图1,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果ACBCAB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比. 1:618.0215:≈-=AB AC 2.黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点. 四. 相似多边形1. 一般地,形状相同的图形称为相似图形.2. 对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比. 五. 相似三角形_ 图1 _B_C _A1. 在相似多边形中,最为简简单的就是相似三角形.2. 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.3. 全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1. 注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.4. 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.5. 相似三角形周长的比等于相似比.6. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 六.探索三角形相似的条件 1. 相似三角形的判定方法:基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边或两边的延长线相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似.2. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图2, l 1EF BCDE AB3. 平行于三角形一边的直线与其他两边或两边的延长线相交,所构成的三角形与原三角形相似.八. 相似的多边形的性质相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平方.九. 图形的放大与缩小1. 如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形; 这个点叫做位似中心; 这时的相似比又称为位似比.2. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.3. 位似变换: ①变换后的图形,不仅与原图相似,而且对应顶点的连线相交于一点,并且对应点到这一交点的距离成比例.像这种特殊的相似变换叫做位似变换.这个交点叫做位似中心. ②一个图形经过位似变换后得到另一个图形,这两个图形就叫做位似形. ③利用位似的方法,可以把一个图形放大或缩小.第五章数据的收集与处理_ 图2 _F_E _D_C_B _A _l _3_l _2 _l _1一. 每周干家务活的时间1. 所要考察的对象的全体叫做总体;把组成总体的每一个考察对象叫做个体;从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本.2. 为一特定目的而对所有考察对象作的全面调查叫做普查;为一特定目的而对部分考察对象作的调查叫做抽样调查.二. 数据的收集1. 抽样调查的特点: 调查的范围小、节省时间和人力物力优点.但不如普查得到的调查结果精确,它得到的只是估计值.而估计值是否接近实际情况还取决于样本选得是否有代表性.第六章证明一一. 定义与命题1. 一般地,能明确指出概念含义或特征的句子,称为定义.定义必须是严密的.一般避免使用含糊不清的术语,例如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定义中出现.2. 可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题.正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题.3. 数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的,并且把它们作为判断其他命题真假的原始依据,这样的真命题叫做公理.4. 有些命题可以从公理或其他真命题出发,用逻辑推理的方法判断它们是正确的,并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理.5. 根据题设、定义以及公理、定理等,经过逻辑推理,来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫做证明.二. 为什么它们平行1. 平行判定公理: 同位角相等,两直线平行.并由此得到平行的判定定理2. 平行判定定理: 同旁内互补,两直线平行.3. 平行判定定理: 同错角相等,两直线平行.三. 如果两条直线平行1. 两条直线平行的性质公理: 两直线平行,同位角相等;2. 两条直线平行的性质定理: 两直线平行,内错角相等;3. 两条直线平行的性质定理: 两直线平行,同旁内角互补.四. 三角形和定理的证明1. 三角形内角和定理: 三角形三个内角的和等于180°2. 一个三角形中至多只有一个直角3. 一个三角形中至多只有一个钝角4. 一个三角形中至少有两个锐角五. 关注三角形的外角1. 三角形内角和定理的两个推论:推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.。

甘肃省酒泉市第三中学八年级数学下册第二章一元一次不等式与一元一次不等式组复习教学案1(无答案)(新版

甘肃省酒泉市第三中学八年级数学下册第二章一元一次不等式与一元一次不等式组复习教学案1（无答案）（新版）北师大版一、引入（问题引入）：问题1：本章我们学习的1种关系是？1种式子是？ 3条性质？问题2：一元一次不等式的解与解集的区别是？一元一次不等式解集在数轴表示的方法是？二、认定目标（学习目标）：1.掌握不等式及其基本性质；2.理解不等式的解及解集的含义；3.会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集.学习重点：通过梳理本章内容，进一步体会类比的思想方法.教学难点：体会类比的思想方法.三、本章知识结构图四、引导梳理知识点：知识点（1）：不等关系：（1）、用表示不等关系的式子，叫做不等式. 1、x 与y 的差的5倍与2的和是一个非负数,可表示为。

2、“x 的2倍与3的差不大于8”列出的不等式是( )A.2x －3≤8B.2x －3≥8C.2x －3D.2x －3＞8知识点（2）：不等式的基本性质（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向；（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向；（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向 .1、指出下面变形根据的是不等式的哪一条基本性质.（1）由5a ＞4,得a ＞54；（2）由a+3＞0,得a ＞－3；（3）由－2a ＜1,得a ＞－21；（4）由3a ＞2a+1,得a ＞1. 2、用“＜”“=”“＞”号填空.（1）如果a ＞b ，那么a －b __________0；（2）如果a =b ，那么a －b __________0；（3）如果a ＜b ，那么a －b _______0.3、若x ＞ｙ，则ax ＞ay ，那么a 一定为（）A ．a ＞０B ．ａ＜０C ．ａ≥0D ．a ≤04、若m ＜ｎ，则下列各式中正确的是（）A ．m －3＜ｎ－3 B.3m ＜3n C.－3m ＞－3n D.5－2m ＜5－2n知识点（3）：不等式的解集（1）、能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.所以大多数不等式的解不唯一，有无数个解.（2）、满足不等式的所有解集合在一起，组成不等式的解集.在数轴上表示不等式的解集时应注意：（有点无圈，大右小左）大于向右画，小于向左画；有等号的画实心圆点，无等号的画空心圆圈.1、－3x ≤6的解集是（） 0-1-2 0-1-2 012 012A 、B 、C 、D 、2、用不等式表示图中的解集,其中正确的是( )A. x ≥－2B. x ＞－2C. x ＜－2D. x ≤－23、下列说法中,错误的是( )A.不等式x ＜5的整数解有无数多个B.不等式x ＞－5的负整数解有4个C.不等式－2x ＜8的解集是x ＞－4D. x ＝－40是不等式2x ＜－8的解集4、不等式x －3＞1的解集是。

人教版八年级下册数学知识点(精选5篇)

人教版八年级下册数学知识点〔精选5篇〕篇1：八年级数学知识点下册人教版初二数学下册知识点归纳第一章一元一次不等式和一元一次不等式组一、一般地，用符号(或)，(或)连接的式子叫做不等式.能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.不等式的解不，把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集.求不等式解集的过程叫解不等式.由几个一元一次不等式组所组成的不等式组叫做一元一次不等式组不等式组的解集：一元一次不等式组各个不等式的解集的公共局部.等式根本性质1：在等式的两边都加上(或减去)同一个数或整式，所得的结果仍是等式.根本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数(除数不为0)，所得的结果仍是等式.二、不等式的根本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变.(注：移项要变号，但不等号不变.)性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.不等式的根本性质1、假设ab，那么a+cb+c;2、假设ab，c0那么acbc假设c0，那么ac不等式的其他性质：反射性：假设ab，那么bb，且bc，那么ac三、解不等式的步骤：1、去分母;2、去括号;3、移项合并同类项;4、系数化为1.四、解不等式组的步骤：1、解出不等式的解集2、在同一数轴表示不等式的解集.五、列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤：(1)审题;(2)设未知数，找(不等量)关系式;(3)设元，(根据不等量)关系式列不等式(组)(4)解不等式组;检验并作答.六、常考题型：1、求4x-67x-12的非负数解.2、3(x-a)=x-a+1r的解合适2(x-5)8a，求a的范围.3、当m取何值时，3x+m-2(m+2)=3m+x的解在-5和5之间.第二章分解因式一、公式：1、ma+mb+mc=m(a+b+c)2、a2-b2=(a+b)(a-b)3、a22ab+b2=(ab)2二、把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式.1、把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.2、把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解.3、ma+mb+mcm(a+b+c)4、因式分解与整式乘法是相反方向的变形.三、把多项式的各项都含有的一样因式，叫做这个多项式的各项的公因式.提公因式法分解因式就是把一个多项式化成单项式与多项式相乘的形式.找公因式的一般步骤：(1)假设各项系数是整系数，取系数的公约数;(2)取一样的字母，字母的指数取较低的;(3)取一样的多项式，多项式的指数取较低的.(4)所有这些因式的乘积即为公因式.四、分解因式的一般步骤为：(1)假设有-先提取-，假设多项式各项有公因式，那么再提取公因式.(2)假设多项式各项没有公因式，那么根据多项式特点，选用平方差公式或完全平方公式.(3)每一个多项式都要分解到不能再分解为止.五、形如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称为完全平方式.分解因式的方法：1、提公因式法.2、运用公式法.第三章分式注：1对于任意一个分式，分母都不能为零.2分式与整式不同的是：分式的分母中含有字母，整式的分母中不含字母.3分式的值为零含两层意思：分母不等于零;分子等于零.(中B0时，分式有意义;分式中，当B=0分式无意义;当A=0且B0时，分式的值为零.)常考知识点：1、分式的意义，分式的化简.2、分式的加减乘除运算.3、分式方程的解法及其利用分式方程解应用题.八年级数学知识点1、在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。

北师大数学八年级下册第二章-含参数一元一次不等式(组)经典讲义

第03讲_含参数一元一次不等式（组）知识图谱含参数一元一次不等式（组）知识精讲含字母的一元一次不等式（组）未知数的系数含有字母或常数项含有字母的一元一次不等式（组）未知数的系数含有字母若0a >，axb >的解为b x a >；若0a <，ax b >的解为bx a<；若0a =，则当0b ≥时，ax b >无解，当0b <时，ax b >的解为任何实数已知23a ≠，解关于x 的不等式()()14321a x a x ++<-- 原不等式化为：()()13214a x a x +--<--()325a x -<-（1）当320a ->时，即23a >时，不等式的解为523x a <-；（2）当320a -<，即23a <时，不等式的解为523x a >-参数取值范围首先把不等式的解集用含有字母的代数式表示出来，然后把它与已知解集联系起来求解，在求解过程中可以利用数轴进行分析.五．易错点1.注意参数取值范围导致的变号问题．2.分清参数和未知数，不要混淆.3.解连续不等式时要注意拆分为不等式组.三点剖析一．考点：含参的一元一次方程（组）．二．重难点：参数与解集之间的关系，整数解问题，不等式与方程综合．三．易错点：注意参数取值范围导致的变号问题．解含参一元一次不等式（组）例题1、解关于x 的不等式：ax ﹣x ﹣2＞0．【答案】当a ﹣1=0，则ax ﹣x ﹣2＞0为空集，当a ﹣1＞0，则x ＞21a -，当a ﹣1＜0，则x ＜21a -【解析】 ax ﹣x ﹣2＞0．（a ﹣1）x ＞2，当a ﹣1=0，则ax ﹣x ﹣2＞0为空集，当a ﹣1＞0，则x ＞21a -，当a ﹣1＜0，则x ＜21a -．例题2、已知a 、b 为常数，解关于x 的不等式22ax x b ->+ 【答案】 2a >时，()212b x a +>- 2a <时，()212b x a +<-2a =时，①如果10b +≥，不等式无解；②如果10b +<，则不等式的解为任何实数【解析】原不等式可化为()()221a x b ->+，（1）当20a ->，即2a >时，不等式的解为()212b x a +>-；（2）当20a -<，即2a <时，不等式的解为()212b x a +<-；（3）当20a -=，即2a =时，有 ①：如果10b +≥，不等式无解；②如果10b +<，则不等式的解为任何实数．例题3、已知a 、b 为常数，若0ax b +>的解集为23x >，则0bx a -<的解集是（） A.32x >B.32x <C.32x >-D.32x <-【答案】 C 【解析】该题考查的是解不等式．0ax b +>的解集为23x >，化简得2=3b a - 且a>00bx a -<的解集为a x b >，32x >-．所以该题的答案是C ．例题4、已知23a ≠，解关于x 的不等式()()14321a x a x ++<--【答案】当23a >时，不等式的解为523x a <-；当23a <时，不等式的解为523x a >-【解析】原不等式化为：()()13214a x a x +--<-- ()325a x -<-，因为23a ≠，所以320a -≠，即32a -为正数或负数.（1）当320a ->时，即23a >时，不等式的解为523x a <-；（2）当320a -<，即23a <时，不等式的解为523x a>-例题5、已知关于x 的不等式22m mx -＞12x ﹣1．（1）当m=1时，求该不等式的解集；（2）m 取何值时，该不等式有解，并求出解集．【答案】（1）x ＜2（2）当m≠﹣1时，不等式有解，当m ＞﹣1时，不等式解集为x ＜2；当x ＜﹣1时，不等式的解集为x ＞2【解析】（1）当m=1时，不等式为22x -＞2x﹣1，去分母得：2﹣x ＞x ﹣2，解得：x ＜2；（2）不等式去分母得：2m ﹣mx ＞x ﹣2，移项合并得：（m+1）x ＜2（m+1），当m≠﹣1时，不等式有解，当m ＞﹣1时，不等式解集为x ＜2；当m ＜﹣1时，不等式的解集为x ＞2．随练1、解关于x 的不等式22241x x a a a-≥+．【答案】当2a >-且0a ≠时，有2x a ≤-；当2a =-时，x 为任意数不等式都成立；当2a <-时，有2x a ≥-【解析】因为0a ≠，所以20a >，将原不等式去分母，整理得()224a x a +≤-．当2a >-且0a ≠时，有2x a ≤-；当2a =-时，x 为任意数不等式都成立；当2a <-时，有2x a ≥-．随练2、已知23a ≠，解关于x 的不等式()()14321a x a x ++<--．【答案】当23a >时，不等式的解为523x a <-；当23a <时，不等式的解为523x a >-【解析】原不等式化为：()325a x -<-，因为23a ≠，所以320a -≠，即32a -为正数或负数. （1）当320a ->时，即23a >时，不等式的解为523x a <-；（2）当320a -<，即23a <时，不等式的解为523x a >-随练3、解下列关于x 的不等式组：()23262111x a x x x +⎧->⎪⎨⎪+>-⎩；【答案】 13a >时，32x a >+；13a ≤时，3x >【解析】原不等式组可化为323x a x >+⎧⎨>⎩．当323a +>，即13a >时，不等式组的解集为32x a >+．当323a +≤，即13a ≤时，不等式组的解集为3x >随练4、已知a ，b 为实数，若不等式ax ＋b ＜0的解集为12x >，则不等式b （x －1）－a ＜0的解集为（）A.x ＞－1B.x ＜－1C.a b x b +>D.a b x b+< 【答案】 B【解析】暂无解析随练5、已知关于x 的不等式()2340a b x a b -+->的解集是1x >.则关于x 的不等式()4230a b x a b -+->的解集是____________.【答案】 13x <-【解析】 ()2340a b x a b -+->，移项得：()232a b x a b ->-，由已知解集为1x >，得到20a b ->，变形得：322a bx a b ->-，可得：3212a ba b-=-，整理得：a b =， ()4230a a x a a ∴-+->，即0a >，∴不等式()4230a b x a b -+->可化为()4230a a x a a -+->. 两边同时除以a 得：31x ->，解得：13x <-.随练6、已知实数a 是不等于3的常数，解不等式组2x 3311x 2a x 022-+-⎧⎪⎨-+⎪⎩≥（）＜，并依据a 的取值情况写出其解集．【答案】当a ＞3时，不等式组的解集为x ≤3，当a ＜3时，不等式组的解集为x ＜a【解析】 2x 3311x 2a x 022-+-⎧⎪⎨-+⎪⎩≥（①②）＜，解①得：x ≤3，解①得：x ＜a ，∵实数a 是不等于3的常数，∴当a ＞3时，不等式组的解集为x ≤3，当a ＜3时，不等式组的解集为x ＜a ．随练7、关于x 的不等式组2131x a x +>⎧⎨->⎩．（1）若不等式组的解集是1＜x ＜2，求a 的值；（2）若不等式组无解，求a 的取值范围．【答案】（1）a=3；（2）a≤2【解析】（1）解不等式2x+1＞3得：x ＞1，解不等式a ﹣x ＞1得：x ＜a ﹣1， ∵不等式组的解集是1＜x ＜2，∴a ﹣1=2，解得：a=3；（2）∵不等式组无解， ∴a ﹣1≤1，解得：a≤2．参数与解集之间的关系例题1、若关于x 的一元一次不等式组011x a x x ->⎧⎨->-⎩无解，则a 的取值范围是．【答案】 a≥2．【解析】由x ﹣a ＞0得，x ＞a ；由1﹣x ＞x ﹣1得，x ＜1， ∵此不等式组的解集是空集， ∴a≥1．例题2、已知关于x 的不等式组301(2)342x a x x -≥⎧⎪⎨->+⎪⎩有解，求实数a 的取值范围，并写出该不等式组的解集．【答案】 a ＜﹣6，3a≤x ＜﹣2．【解析】解不等式3x ﹣a≥0，得：x≥3a，解不等式12（x ﹣2）＞3x+4，得：x ＜﹣2，由题意得：3a＜﹣2，解得：a ＜﹣6，∴不等式组的解集为3a≤x ＜﹣2．例题3、如果关于x 的不等式（a+1）x ＞a+1的解集为x ＜1，那么a 的取值范围是（） A.a ＜﹣1 B.a ＜0 C.a ＞﹣1 D.a ＞0或a ＜﹣1 【答案】 A【解析】（a+1）x ＞a+1，当a+1＞0时，x ＞1，当a+1＜0时，x ＜1， ∵解集为x ＜1， ∴a+1＜0， a ＜﹣1．故选：A ．例题4、当1≤x≤4时，mx ﹣4＜0，则m 的取值范围是（） A.m ＞1 B.m ＜1 C.m ＞4 D.m ＜4 【答案】 B【解析】设y=mx ﹣4，由题意得，当x=1时，y ＜0，即m ﹣4＜0，解得m ＜4，当x=4时，y ＜0，即4m ﹣4＜0，解得，m ＜1，则m 的取值范围是m ＜1，例题5、若不等式（a ﹣3）x ＞1的解集为x ＜13a -，则a 的取值范围是．【答案】 a ＜3．【解析】 ∵（a ﹣3）x ＞1的解集为x ＜13a -， ∴不等式两边同时除以（a ﹣3）时不等号的方向改变， ∴a ﹣3＜0， ∴a ＜3．故答案为：a ＜3．例题6、如果关于x 的不等式()122a x a +>+的解集是2x <，则a 的取值范围是（） A.0a < B.1a <-C.1a >D.1a >-【答案】 B【解析】将原不等式与其解集进行比较，在不等式的变形过程中利用了不等式的性质三，因此有10a +<，故1a <-例题7、若不等式组()322110b x x a -<--⎧⎨->⎩的解集为﹣2＜x ＜4，求出a 、b 的值．【答案】 a=﹣10，b=3．【解析】解不等式10﹣x ＜﹣（a ﹣2），得：x ＞a+8，解不等式3b ﹣2x ＞1，得：x ＜312b -，∵解集为﹣2＜x ＜4， ∴314282a b ⎧⎪⎨-=+=-⎪⎩，解得：a=﹣10，b=3．随练1、已知关于x 的不等式（m －2）x ＞2m －4的解集为x ＜2，则m 的取值范围是________．【答案】 m ＜2【解析】不等式（m －2）x ＞2m －4的解集为x ＜2， ∴m －2＜0，m ＜2．随练2、关于x 的不等式组()3141x x x m ⎧->-⎪⎨<⎪⎩的解集为x ＜3，那么m 的取值范围是．【答案】 m≥3【解析】 ()3141x x x m ->-⋅⋅⋅⎧⎪⎨<⋅⋅⋅⎪⎩①②，解①得x ＜3，∵不等式组的解集是x ＜3， ∴m≥3．故答案是：m≥3．随练3、若关于x 的一元一次不等式组202x m x m -<⎧⎨+>⎩有解，则m 的取值范围为（）A.23m >-B.23m ≤C.23m >D.23m ≤-【答案】 C【解析】 202x m x m -<⎧⎨+>⎩①②，解不等式①得，x ＜2m ，解不等式②得，x ＞2－m ， ∵不等式组有解， ∴2m ＞2－m ，∴23m >．随练4、若不等式组0422x a x x +⎧⎨->-⎩≥有解，则实数a 的取值范围是（）A.a≥－2B.a ＜－2C.a≤－2D.a ＞－2【答案】 D【解析】 0422x a x x +⎧⎨->-⎩≥，解不等式x ＋a≥0得，x≥－a ，由不等式4－2x ＞x －2得，x ＜2，∵不等式组：不等式组0422x a x x +⎧⎨->-⎩≥有解，∴a ＞－2，随练5、已知不等式31（x ﹣m ）＞2﹣m ．（1）若上面不等式的解集为x ＞3，求m 的值．（2）若满足x ＞3的每一个数都能使上面的不等式成立，求m 的取值范围．【答案】（1）23（2）m≥23 【解析】（1）解不等式可得x ＞6﹣2m ，∵不等式的解集为x ＞3， ∴6﹣2m=3，解得m=23；（2）∵原不等式可化为x ＞6﹣2m ，满足x ＞3的每一个数都能使不等式成立， ∴6﹣2m≤3，解得m≥23．整数解问题例题1、关于x 的不等式－1＜x≤a 有3个正整数解，则a 的取值范围是________．【答案】 3≤a ＜4【解析】 ∵不等式－1＜x≤a 有3个正整数解， ∴这3个整数解为1、2、3，则3≤a ＜4．例题2、关于x 的不等式0x b ->恰有两个负整数解，则b 的取值范围是（） A.32?b -<<- B.32?b -<≤- C.32b -≤≤- D.32b -≤<- 【答案】 D【解析】本题主要考查一元一次不等式及其解法。

八年级下册数学江苏知识点

八年级下册数学江苏知识点数学是一门既有趣味性也有挑战性的学科，在学习数学的路上，我们需要掌握基础，打好基础是非常重要的，下面为大家介绍一些八年级下册数学江苏知识点。

第一章一次函数一次函数是指函数的最高项次数为一的函数，一次函数的解析式为 y=kx+b。

其中k是斜率，用来描述函数的变化率，即斜率越大，函数的增量也越大；b是截距，用来表示曲线与y轴的交点。

在学习一次函数的时候，你需要了解以下几个知识点：1. 点斜式公式。

当给出直线上一点和斜率时，可使用点斜式公式来求得一次函数的解析式。

2. 截距式公式。

当给出直线在y轴上的截距和斜率时，可使用截距式公式来求得一次函数的解析式。

3. 两点式公式。

当知道曲线上两点时，可使用两点式公式来求得一次函数的解析式。

4. 换底公式。

当需要将指数式的底数换成10或e时，可使用换底公式。

第二章图形的变换在学习图形的变换时，可以使用平移、旋转、对称等方式来进行变换。

大家可以根据下面的几个知识点来学习图形变换：1. 平移变换。

平移变换是指在平面上将一个点或图形按照平行线的方向移动，需要了解横坐标、纵坐标的变化以及图形的位置变化。

2. 旋转变换。

旋转变换是指将一个点或图形沿着某个点或某条线旋转一定角度，需要了解角度和旋转中心的位置。

3. 对称变换。

对称变换是指将一个点或图形沿着一条对称轴对称，需要了解对称轴的位置和图形的镜像位置。

第三章矩形与平行四边形矩形与平行四边形是初中数学中比较基础的图形，大家可以根据以下知识点进行学习：1. 矩形的性质。

矩形是一个既有特殊性质，又有一般性质的图形，因为矩形是一种特殊的平行四边形，所以矩形也拥有平行四边形的性质，如平行四边形的边相等、对角线相等等。

2. 平行四边形的性质。

平行四边形必须满足对边平行和对边相等，同时它还拥有一般四边形的性质，如对角线互相平分、对角线相交角度相等等。

3. 矩形和平行四边形之间的关系。

因为矩形和平行四边形都拥有平行四边形的性质，所以可以用平行四边形的性质来证明矩形的性质，同时也可以用矩形的性质证明平行四边形的性质。

沪科版数学八年级下册知识点汇总

沪科版数学八年级下册知识点汇总沪科版数学八年级下册知识点汇总沪科版数学八年级下册的课程是中学数学学习的重要环节，是数学学习的一次实践和提高的重要阶段，具有很高的学习难度和知识密集度。

在这个过程中，我们要用心学习，才能有所收获。

下面是本文为大家整理出的沪科版数学八年级下册知识点汇总，希望对大家的学习能够有所帮助。

第一章代数基础知识1.1 一元一次方程的基本概念和解法1.2 一元一次不等式的基本概念和解法1.3 解一元一次方程和一元一次不等式组合的问题第二章几何图形的性质与计算2.1 平面角的概念和判定2.2 同位角、内错角、同旁内角、对顶角、余角的概念和计算2.3 梯形、平行四边形、矩形、正方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、全等三角形、相似三角形的基本概念和性质2.4 利用图形的性质解决几何问题第三章数列的基本概念和运算3.1 数列概念和主要计算方法3.2 等差数列和等比数列概念3.3 等差数列和等比数列初步应用第四章函数的概念和初步应用4.1 什么是函数4.2 函数基本图像和简单性质4.3 函数的初步应用 - 分段函数、最大最小值问题、函数的单调性第五章数据统计的应用5.1 统计数据的分类和整理5.2 统计结论的叙述和应用第六章空间几何的初步应用6.1 空间直线和平面的方程6.2 点与直线、点与平面之间的位置关系6.3 直线与平面的位置关系以上是沪科版数学八年级下册的知识点汇总，学生们在学习这些知识点的过程中，应该注意理论和实际相结合，注重实践和体验，时刻与课本、教材保持联系，互相补充、互相弥补，才能够更好地掌握数学知识，取得更好的成绩。

总的说来，掌握了这些知识点，大家就可以更好地运用数学知识解决实际问题，并在高中数学中更好地学习和成长。

希望同学们认真学习、理解每一章节的知识点，多进行综合思考和巩固练习，尽快达到本章的学习目标，取得更好的学习成果。

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八年级数学上册第二章复习要点
重点、难点: 重点：一次函数图象及性质，一次函数模型的建立。难点：函数的概念，数学建模的方法（待定系数法）。一、知识框架图：二、重要知识点一）、知识点提示： 1、函数的概念及三种表示方法，例举函数的实例。 2、一次函数的定义、图象、性质，及与正比例函数的联系与区别。 3、建立一次函数模型的方法（待定系数法）及用图象法求二元一次方程组的解。 4、求函数解析式的一般步骤：实际问题——建立一次函数模型——用待定系数法求出方程（组）的解，得到一次函数的解析式。二）知识点函数及它的表示法： 1、函数是研究一些量之间确定性依赖关系的数学模型。 2、概念：如果变量y随着变量x而变化，并且对于x取的每一个值，y都有唯一的一个值与它对应，那么称y是x的函数。记作y＝f（x）。X叫作自变量，y叫因变量。对于自变量x取的每一个值a，因变量y的对应值就叫函数值，记作f（a） 3、函数的表示方法： ①、图像法（可直观地看出因变量如何随自变量的变化而变化） ②、列表法（自变量取的值与因变量的对应值看得很清楚） ③、公式法（即函数解析式（方便计算函数值）一次函数及它的图像： 1、概念：如果函数的解析式中自变量的次数为1，那么这样的函数称为一次函数。它的一般形式是y＝kx+b（k≠0）特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx+b（k≠0）也叫正比例函数。
它的一般形式是y＝kx（k≠0）
2、一次函数的图象是一条直线。（正比例函数的图象是一条经过原点的直线）
注：①、自变量的取值范围应视具体的环境而定；
②、根据自变量的取值范围一次函数的图象也可能是一条线段或射线。

3、一次函数与x轴的交点坐标为（kb，0）与y轴的交点坐标为（0，b）
4、一次函数中k与b决定图象的位置和趋势：k的符号决定函数图象是上升还是下降，
b的符号决定函数图象是交y轴于正半轴还是负半轴。
① k＞0 ② k ＞0
b＞0 b＜0

一次函数y＝kx+b（k≠0），当k＞0时，函数值随着自变量的增加而增大，图象上升；
③ k＜0 ④ k＜0
b＜0 b ＞0

一次函数y＝kx+b（k≠0），当k＜0时，函数值随着自变量的增加而减小，图象下降。
常见计算题型有：
1、用待定系数法求函数解析式（见教科书第49页例题）
2、用图象法求二元一次方程组的解（见教科书第53页例题）
3、画函数图象的一般步骤（见教科书第41页例题）
第二单元检测题
一、填空（每题3分共30分）
1.已知一个正比例函数的图象经过点（－2，4），则这个正比例函数的表达式是 .
2.若函数y＝－2xm＋2是正比例函数，则m的值是 .
3.已知一次函数y＝kx＋5的图象经过点（－1，2），则k＝ .
4．一次函数y＝－2x＋4的图象与x轴交点坐标是，与y轴交点坐标是，
图象与坐标轴所围成的三角形面积是 .
6.某种储蓄的月利率为0.15%，现存入1000元，则本息和y（元）与所存月数x之间
的函数关系式是.
7.某人用充值50元的IC卡从A地向B地打长途电话，按通话时间收费，3分钟内收费
2.4元，以后每超过1分钟加收1元，若此人第一次通话t分钟（3≤t≤45），则IC卡
上所余的费用y（元）与t（分）之间的关系式是 .
10、Y＝5x-3与x轴的交点是_______,与y轴的交点是________。直线与两坐标轴所围
成的三角形面积为_________.
二．选择题（每题3分，共30分）
1．已知一次函数y=（m+3）x+（2-n）的图像经过原点，则m，n的
值为（）.
（A） m≠-3，n=2（B）m≠-3，n≠2（C）m≠-3，n≠2 （D）m≠-3，n=2
2．函数的自变量x的取值范围是（）.
（A）全体实数（B）x＞0 （C）x＜0 （D）x≠0
3．当k＞0，b＜0时，一次函数y=kx+b的图像经过（）.
（A）第一、三、四象限（B）第二、三、四象限
（C）第一、二、三象限（D）第一、二、四象限

4．下列函数（1）y＝πx（2）y＝2x－1（3）y＝1x （4）y＝2－1－3x（5）y＝x2－1中，
是一次函数的有（）
（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个

5．已知点（1，y1），（2，y2）都在直线y＝－12 x＋2上，则y1y2大小关系是（）
（A）y1>y2 （B）y1＝y2 （C）y1

6.一支蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧5厘米，燃烧时剩下的高度n（厘米）与
燃烧时间t（时）的函数关系的图象是（）
（A）（B）（C）（D）
7.已知一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则k，b的符号是（）
（A）k>0，b>0 （B）k>0，b<0
（C）k<0，b>0 （D）k<0，b<0
三、解答题（共0分）
１.在同一坐标系中,作出函数y= －2x与y= 12 x+1的图象

2.一个正比例函数的图象经过点(4,-5),写出这个函数的表达式.
3.已知某同学将父母给的钱按每月相等的数额存在储蓄盒内,准备捐给希望工程,盒内原
有25元,2个月后盒内有55元.（共15分）
1）求盒内钱数y(元)与存钱月数x(个)之间的函数关系式.（10分）
2）按上述方法,该同学几个月能够存160元?（5分）

4、已知函数y＝（2m＋1）x＋m－3
（1）若函数图象经过原点，求m的值
（2）若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围.