第5章 矩阵的特征值与特征向量
线性代数第五章特征值和特征向量矩阵的对角化
(5)若f(x)是x的多项式,则f()是f(A)的特征值
特征向量保持不变
10
证：(2)∵AX=X A(AX)=A(X) =(AX)=(X)
A2X=2X
再继续施行上述步骤m2次,就得
AmX=mX m是矩阵Am的特征值,且X是Am的对应于 m的特征向量.
(4)当A可逆时, 0 ∵AX=X A1(AX)=A1(X) =A1X
1
1
1
1
3 2
3 1
3
3
1 3
2 3
5100 2
1 3
5100
5100
1 1
5100 1 5100 2 5100 1
5100 1 5100 1 5100 2
33
5.3 实对称矩阵的对角化 1.实对称矩阵特征值的相关性质 2.求正交矩阵的方法
34
共轭矩阵 如果A=(aij)为复矩阵时,用 aij 表示aij的
1=5: 解方程组 (5IA)X=0
4 2 2 1 0 1 5IA= 2 4 2 →0 1 1
2 2 4 0 0 0
1 基础解系: P1 1
1
对应于1=5的全部特征向量为: k1P1 (k10)
2=3= 1 : 解方程组 (IA)X=0
2 2 2 1 1 1 IA= 2 2 2 →0 0 0
k11+k22=0 (2) (2)2(1)k1(12)=0 ∵12 ,0 ∴k1=0 同理可得k2=0
∴与线性无关
推广 设1,2,,r是矩阵A的对应于不同特 征值1,2,,r的特征向量,则1,2,,r线性
无关.
定理 如果1,2,,r是矩阵A的不同特征值, 而(i=1i,12,,i2,,r)的, 线是性ikAi无的关对的应特于征特向征量值,则i向量组 也11线,性12,无,关1.k1,21,22,, 2k2,,r1,r2,,rkr
线性代数(同济大学第五版)矩阵的特征值与特征向量讲义、例题
第五章 矩阵的特征值与特征向量§1矩阵的特征值与特征向量一、矩阵的特征值与特征向量定义1：设A 是n 阶方阵,如果有数λ和n 维非零列向量x 使得x Ax λ=,则称数λ为A 的特征值,非零向量x 称为A 的对于特征值λ的特征向量.由x Ax λ=得0)(=-x E A λ,此方程有非零解的充分必要条件是系数行列式0=-E A λ,此式称为A 的特征方程,其左端是关于λ的n 次多项式,记作)(λf ,称为方阵A 特征多项式.设n 阶方阵)(ij a A =的特征值为n λλλ,,,21 ,由特征方程的根与系数之间的关系,易知：nn n a a a i +++=+++ 221121)(λλλA ii n =λλλ 21)(例1 设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式482-=A ,求λ. 解：482-=A 64823-=∴-=∴A Aλ⨯⨯=32A 又 1-=∴λ例2 设3阶矩阵A 的特征值互不相同,若行列式0=A , 求矩阵A 的秩.解：因为0=A 所以A 的特征值中有一个为0,其余的均不为零.所以A 与)0,,(21λλdiag 相似.所以A 的秩为2.定理1对应于方阵A 的特征值λ的特征向量t ξξξ,,,21 ,t ξξξ,,,21 的任意非零线性组合仍是A 对应于特征值λ的特征向量.证明 设存在一组不全为零的数t k k k ,,,21 且存在一个非零的线性组合为t t k k k ξξξ+++ 2211，因为t ξξξ,,,21 为对应于方阵A 的特征值λ的特征向量。
则有),,2,1(1t i k Ak i i i ==ξλξ所以)()(22112211t t t t k k k k k k A ξξξλξξξ+++=+++ 所以t t k k k ξξξ+++ 2211是A 对应于特征值λ的特征向量. 求n 阶方阵A 的特征值与特征向量的方法：第一步：写出矩阵A 的特征多项式,即写出行列式E A λ-.第二步：解出特征方程0=-E A λ的根n λλλ,,,21 就是矩阵A 的特征值.第三步：解齐次线性方程组0)(=-x E A i λ,它的非零解都是特征值i λ的特征向量.例3 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=201034011A 的特征值和特征向量.解 A 的特征多项式为2)1)(2(201034011λλλλλλ--=-----=-E A 所以,A 的特征值为1,2321===λλλ. 当21=λ时,解方程组0)2(=-x E A .由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000010001~2010340112E A ,得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001p ,所以特征值21=λ的全部特征向量为11p k ,其中1k 为任意非零数.当132==λλ时,解方程组0)(=-x E A .由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000210101~101024012E A ,得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1212p ,所以特征值132==λλ的全部特征向量为22p k ,其中2k 为任意非零数. 二、特征值与特征向量的性质与定理性质1 n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是矩阵A 的所有特征值均非零. 此性质读者可利用A n =λλλ 21可证明.定理 2 若21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p ,则21,p p 线性无关.证明 假设设有一组数21,x x 使得02211=+p x p x (1)成立. 以2λ乘等式(1)两端,得0222121=+p x p x λλ (2) 以矩阵A 左乘式(1)两端,得0222111=+p x p x λλ (3) (3)式减(2)式得0)(1211=-p x λλ 因为21,λλ不相等,01≠p ,所以01=x .因此(1)式变成022=p x . 因为02≠p ,所以只有02=x . 这就证明了21,p p 线性无关.性质2 设)(A f 是方阵A 的特征多项式,若λ是A 的特征值.对应于λ的特征向量为ξ,则)(λf 是)(A f 的特征值,而ξ是)(A f 的对应于)(λf 的特征向量,而且若O A f =)(,则A 的特征值λ满足0)(=λf ,但要注意,反过来0)(=λf 的根未必都是A 的特征值.例4 若λ是可逆方阵A 的特征值,ξ是A 的对应于特征值λ的特征向量,证明：1-λ是1-A 的特征值,ξ是1-A 对应于特征值1-λ的特征向量,证明 λ 是可逆方阵A 的特征值,ξ是A 的对应于特征值λ的特征向量λξξ=∴A ξξλ11--=∴Aξξλ11--=∴A A A ξξλ*1A A =∴-1-∴λ是1-A 的特征值,ξ是1-A 对应于特征值1-λ的特征向量, 1-λA 是*A 的特征值,ξ是*A 对应于特征值1-λA 的特征向量.例5 设3阶矩阵A 的特征值1,2,2,求E A --14.解：A 的特征值为1,2,2,,所以1-A 的特征值为1,12,12, 所以E A--14的特征值为4113⨯-=,41211⨯-=,41211⨯-=所以311341=⨯⨯=--E A .例6 若21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p ,证明21p p +一定不是A 的特征向量.证明 假设21p p +是矩阵A 的特征向量，对应的特征值为.λ根据特征值定义可知：)()(2121p p p p A +=+λ …………………(1) 21,λλ 又是n 阶方阵A 的特征值，对应的特征向量分别为21,p p .,111p Ap λ=∴ 222p Ap λ= (2)将(2)带入(1)式整理得：0)()(2211=-+-p p λλλλ因为21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p 线性无关.所以21λλλ==.与21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值矛盾. 所以假设不成立.例7 若A 为正交矩阵,则1±=A ,证明,当1-=A 时,A 必有特征值1-;当1=A 时,且A 为奇数阶时,则A 必有特征值1.证明 当1-=A 时.TT T A E A A E A AA A E A +=+=+=+)(A E A E T +-=+-=,所以 .0=+A E `所以1-是A 的一个特征值反证法：因为正交阵特征值的行列式的值为1，且复特征值成对出现，所以若1不是A 的特征值，那么A 的特征值只有-1，以及成对出现的复特征值。
线性代数学习指导第五章矩阵的特征值与特征向量
第五章 矩阵的特征值与特征向量一．内容提要1 . 特征值和特征向量定义1 设()ijn nA a ⨯=是数域P 上的n 阶矩阵，若对于数域P 中的数λ，存在数域P 上的非零n 维列向量X ，使得X AX λ=则称λ为矩阵A 的特征值，称X 为矩阵A 属于（或对应于）特征值λ的特征向量 注意：1）()ijn nA a ⨯=是方阵；2）特征向量 X 是非零列向量；3）方阵 ()ijn nA a ⨯= 与特征值λ 对应的特征向量不唯一4）一个特征向量只能属于一个特征值.2．特征值和特征向量的计算计算矩阵A 的特征值与特征向量的步骤为： （1） 计算n 阶矩阵A 的特征多项式｜λE －A ｜；（2） 求出特征方程｜λE －A ｜＝０的全部根，它们就是矩阵A 的全部特征值； （3） 设λ1 ，λ2 ，… ，λs 是A 的全部互异特征值。
对于每一个λi ，解齐次线性方程组()i E A X λ-=0，求出它的一个基础解系，该基础解系的向量就是A 属于特征值λi 的线性无关的特征向量，方程组的全体非零解向量就是A 属于特征值λi 的全体特征向量.3． 特征值和特征向量的性质性质1 （1）若X 是矩阵A 属于特征值λ的特征向量，则kX （0k ≠）也是A 属于λ的特征向量；（2）若12,,,s X X X 是矩阵A 属于特征值λ的特征向量，则它们的非零线性组合1122s s k X k X k X +++也是A 属于λ的特征向量；（3）若A 是可逆矩阵，λ是A 的一个特征值，则λ1是A —1的一个特征值，λ||A 是A *的一个特征值；（4）设λ是n 阶矩阵A 的一个特征值，f （x ）= a m x m + a m-1x m -1 + … + a 1x + a 0为一个多项式，则()f λ是f （A ）的一个特征值。
性质2（1） nn n a a a +⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++221121λλλ（2） || 21A n =⋅⋅⋅λλλ性质3 n 阶矩阵A 和它的转置矩阵T A 有相同的特征值 性质4 n 阶矩阵A 不同的特征值所对应的特征向量线性无关4. 相似矩阵定义2 设A 、B 为n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P ，使得Ｂ＝P ―1ＡP则称A 与B 相似。
矩阵的特征值与特征向量
综上所述,求矩阵A的特征值及特征向量的 步骤如下: 第一步 计算矩阵A特征多项式| lI A| ; 第二步 求出矩阵A的特征方程| lI A|=0的全部 根,即求得A的全部特征值l1， l1，--- ln，(其中可 能有重根）
第三步 对于A的每个特征值li ,求出对应的齐 次线性方程组 （ li I A）X=0的一个基础解系.
(1) 2 3 2 1
(1) 2/(1) 3 (1) 2 3 (2) 2/ 2 3 2 2 3
例7 主对角线上的元素为l1，l2---ln的n阶对角 矩阵或三角形矩阵A的n个特征值就是其主对角 线上的n个元素l1，l2---ln
定理4 n阶方阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值 证明 转置矩阵AT的特征多项式为 | lI AT |
m=1时 X1≠0 显然成立 设 m=s-1时 X1 X2 Xs-1线性无关 现证明 m=s时 X1 X2 Xs线性无关 设有常数k1 k2 ks 使 k1X1k2X2 ks Xs0
A (k1X1k2X2 ks Xs)0
l1k1X1l2k2X2 lsks Xs0
l1k1X1l2k2X2 lsks Xs0
由即（x2(42I )x3A当)其l基1000础l210解=14系101解可 齐取次为000线性100 方00程1组得(x42
I A) X x3 0
0
则X矩1 阵 xxxA132 对 应100于 特X征2 值 xxxl1321l2110=4的全体特征向量为
C1X1 C2 X 2 (C1, C2不全为零 0)
X i1, X i2 , X i3,... X is
矩阵A对应于特征值li 的全部特征向量为
C1 X i1 C2 X i2 C3 X i3 ... Cs X is
第五章 矩阵的特征值与特征向量
可知 λ1E − A 的秩为 r = 2, 有n − r = 3 − 2 = 1个自由未知量 1 x1 − 3 x3 = 0, 求得它的一个基础解系为 取为 x3 . 由 2 α1 = (1, −2,3)T . x2 + x3 = 0, 3 A 的属于特征值6 的全部特征向量为 k (1, −2,3)T , 所以 k 为任意非零数 为任意非零数. 对于λ2 = 2, 解齐次线性方程组 ( 2 E − A ) X = o, 由 1 1 −1 1 1 −1 −2 −2 2 → 0 0 0 , ( λ2 E − A) = 3 3述, 综上所述,求 n阶矩阵A的特征值与特征向量的步骤: 的全部特征值， 第一步 求 A 的全部特征值，即求特征方程 的全部根； | λE − A|= 0 的全部根； 第二步 的特征向量． 求 A 的特征向量
s
对于每一个特征值 λi，求出齐次线性方程组 求出齐次线性方程组
( λi E − A) X = o的一个基础解系ξ1,ξ2,L,ξs , 那么 X = ∑kiξi i= 1 的全部特征向量， 就是A 的属于 λi 的全部特征向量，其中 k1, k2 ,L, ks为不全
所以 A 的全部特征值为 λ1 = −1, λ2 = 1, λ3 = 3. 利用解齐次线性方程组, 可以求得: 利用解齐次线性方程组 可以求得 A的属于特征值 −1 的全部特征向量为 k1 (1, −1,0)T , 为任意非零数. 其中k1为任意非零数 A的属于特征值 1 的全部特征向量为 k2 (1, −1,1)T , 为任意非零数. 其中k2为任意非零数 A的属于特征值 3 的全部特征向量为 k3 (0,1, −1)T , 其中k3为任意非零数. 为任意非零数 (1, −1,0)T ,(1, −1,1)T ,(0,1, −1)T 线性无关 线性无关. 容易证明 该例中有三个不同的特征值, 注: 该例中有三个不同的特征值 相应的特征向量线 性无关. 性无关
《线性代数》教学教案—05矩阵的特征值与特征向量
3.设 为n阶实对称矩阵， 是 的特征方程的 重根，则矩阵 的秩 ，从而对应特征值 恰有 个线性无关的特征向量.
1．定理：设A为n阶实对称矩阵，则必存在n阶正交矩阵P，使得 = = ，其中 是 的n个特征值.
2．合同矩阵：给定两个n阶方阵 和 ,若存在可逆矩阵 ，使 = ，则称矩阵 与矩阵 合同，或 ， 是合同矩阵.
例2.设矩阵 是3阶实对称阵， 的特征值为 1，2，2， = 与 = 都是矩阵 的属于特征值2的特征向量.求 的属于特征值1的特征向量，并求出矩阵 .
例3.设某城市共有30万人从事农、工、商的工作，假定这个总人数在若干年内保持不变，而社会调查表明：
(1)在这30万就业的人员中，目前约有15万从事农业、9万人从事工业、6万人从事商业；
授课序号02
教 学 基 本 指 标
教学课题
第5章第2节相似矩阵
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件
教学难点
矩阵可相似对角化的方法
参考教材
同济版《线性代数》
作业布置
课后习题
大纲要求
理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件。
推论2.若n阶矩阵 与对角矩阵 = 相似，则 是 的全部n个特征值.
二．方阵的相似对角化
1.相似对角化:若方阵 能与一个对角阵 相似，则称 可以相似对角化，简称 可对角化.
2．定理：n阶方阵 可以相似对角化的充要条件是 有n个线性无关的特征向量．
推论1.如果n阶方阵 的n个特征值互不相等，则 与对角阵相似.
五、矩阵的特征值与特征向量
五、矩阵的特征值与特征向量（一）考试要求1．理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵的特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法。
2．理解相似矩阵的概念，掌握相似矩阵的性质，了解矩阵可对角化的必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法。
3．掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质以及实对称矩阵正交对角化的方法。
（二）基本内容1.特征值特征向量的概念A 为n 阶方阵，λ是一个数，若存在n 维非零列向量α，使λαα=A ，则称λ是A 的一个特征值，α为对应于特征值λ的特征向量。
由于O X A E =-)(λ有非零解，所以0=-A E λ的根就是A 的特征值。
若0λ是A 的一个特征值，O X A E =-)(0λ有非零解，它的所有非零解就是A 对应于特征值0λ的全部特征向量。
2.特征值与特征向量的求法。
①0=-A E λ的全部根就是A 的全部特征值；②对于A 的每一个特征值i λ，解齐次线性方程组O X A E i =-)(λ，它的基础解系为：t ηηη,,,21 ，则A 对应于特征值i λ的全部特征向量为t t k k k ηηη+++ 2211，t k k k ,,,21 不全为零。
3.特征值与特征向量的基本性质①任何矩阵A 与它的转置矩阵TA 具有相同的特征值；②设n 阶矩阵A 的n 个特征值分别为：n λλλ,,,21 则： )(221121A tr a a a nn n =+++=+++ λλλA n =⋅⋅⋅λλλ 21因此，n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是：A 的所有特征值均不等于零。
③若n λλλ,,,21 是A 的n 个特征值，对应的特征向量依次为：n ααα,,,21 ； 则k n k k λλλ,,,21 是k A 的n 个特征值，对应的特征向量依次为：n ααα,,,21 ； )(,),(),(21n f f f λλλ 是)(A f 的n 个特征值，对应的特征向量依次为n ααα,,,21 ； 其中)(A f 为多项式)(x f 所对应的矩阵多项式。
第5章矩阵特征值和特征向量
C C2 1
C0 C0
C
a a (k1) (k1)
pp
2a
(k 1) pq
tan
C
sgn(C) C2 1
t
cos 1
1 t2
sin t cos
if
a ( k -1) pq
a ( k -1) pp
a ( k -1) qq
,
we take t as
t
1 2C
a ( k 1) pq
sin
ai(pk -1)
另外，实际问题中的具体要求不同，有时只要求A 的绝对值最大的特征值（主特征值）及相应的特征 向量；有时又要求全部的特征值及特征向量。根据 这两种不同要求，求矩阵的特征值与特征向量的方 法也大致分为两类：迭代法（幂法反幂法）、变换 法。
关于矩阵特征值及特征向量的一些结论：
Th1. i （i=1,…,n）为A的特征值，则有
n 1
n
n 1
xn
k
xn
k
x1 max(
x1
)
对应1的特征向量x1 的规范化向量
vk
Ak v0 max Ak1v0
1k
1x1
2
2 1
k
x2
n
n 1
k
xn
k1 1
max
1
x1
2
2 1
k 1
x2
n
n 1
k
1
xn
max
vk
1k
max
1x1
做迭代 u0 v0
vk Auk1
uk
vk
max vk
有
uk
x1 ,
max x1
第五章矩阵的特征值与特征向量
第五章 矩阵的特征值与特征向量内容提要一、基本概念1.A 是一个n 阶方阵,如果存在一个数λ和一个n 维非零列向量α,使得λαα=A 成立,则称λ为矩阵A 的特征值，非零列向量α称为矩阵A 的属于特征值λ的特征向量.2.A 为n 阶方阵,λ为未知量,则矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=-nn n n n n a a a a a a a a a A E λλλλ212222111211称为矩阵A 的特征矩阵;其行列式A E f -=λλ)(为λ的n 次多项式,称为矩阵A 的特征多项式;0=-A E λ称为矩阵A 的特征方程.3.n 阶方阵A 的主对角线上的元素的和称为A 的迹,记作)(A t r ,即)(A t r nn a a a +++= 2211.4.对于n 阶方阵A 和B ,若存在n 阶可逆方阵P ,使B AP P =-1成立,则称A 与B 相似,记为B A ~.满足: (1)自身性 即A A ~;(2)对称性 若B A ~,则A B ~;(3)传递性 若B A ~,C B ~,则C A ~. 5.若矩阵A 与对角阵相似,则称A 可对角化.6.实矩阵A =n m ij a ⨯)(,如果0≥ij a ,),,2,1;,,2,1(n j m i ==,称A 为非负矩阵;如果ij a >0,),,2,1;,,2,1(n j m i ==,称A 为正矩阵.7.如果n 阶方阵A =n m ij a ⨯)(,可以经过一系列相同的行和列互换,化为 ⎪⎭⎫⎝⎛221211A OA A , 其中11A ,22A 为子方阵(不一定同阶),则称A 为可分解矩阵,否则称A 为不可分解的矩阵.8.若n λλλ,,,21 为n 阶方阵A 的特征值,则称=)(A P |}|,,||,|max{|21n λλλ 为A 的最大特征值(或为A 的谱半径). 二、几个结果1.特征值和特征向量的基本性质(1)n 阶矩阵A 与它的转置矩阵T A 有相同的特征值(但特征向量一般不同);(2)属于A 的不同特征值的特征向量必定线性无关(但属于相同特征值的特征向量不一定必相关);(3)属于同一特征值的特征向量的线性组合仍是属于该特征值的特征向量;(4)设n λλλ,,,21 为n 阶方阵A 的特征值,则有①nn n a a a ++=+++221121λλλ,即A 的特征值的和等于矩阵A 的主对角线的元素的和; ②||21A n =λλλ .推论 若矩阵A 可逆⇔矩阵A 的特征值全不为零.(5)若λ为矩阵A 的特征值,α是A 的属于λ的特征向量,则①λk 是kA 的特征值(k 为任意常数); ②m λ是m A 的特征值(m 为正整数);③当A 可逆时,1-λ是1-A 的特征值,λA是*A 的特征值;④)(0λP 是)(A P 的特征值,其中)(x P 为任一多项式.注意 α仍是矩阵kA 、m A 、1-A 、*A 、)(A P 对应于特征值λk 、m λ、1-λ、λA、)(0λP 的特征向量.)6(*若A 为实对称矩阵,则A 的所有特征值均为实数,且属于不同特征值的特征向量彼此正交. 2.相似矩阵的性质若A ～B ,则(1)B A =,)()(B r A r =,)()(B t A t r r =;(2)T A ～T B ,1-A ～1-B ,m A ～m B ,kA ～kB ,)(A P ～)(B P ;(3)||||B E A E -=-λλ,即相似矩阵有相同的特征多项式,因而也有相同的特征值,但特征向量不一定相同.3.矩阵可对角化的条件(1)n 阶方阵A 可对角化的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量;(2)n 阶方阵A 有n 个不同的特征值,则A 一定可对角化;)3(*实对称矩阵必可对角化,且存在正交矩阵P (1-=P P T ),使Λ=-AP P 1.例题解析例1 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011102124A ,则A 的对应于特征值2=λ的特征向量α为( ).(A )T )0,0,0( (B )T )0,1,1(- (C )T )2,1,1( (D )T )1,0,1(解 根据定义,只需验证选项中的向量α是否满足αα2=A )0(≠α,显然,零向量不是矩阵A 的特征向量,应排除(A ). 对于(B ),因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0112022011011102124αA , 所以,=α()T 0,1,1-是A 的对应于2=λ的特征向量,应选(B ).例2 设A 为n 阶矩阵,下述结论中正确的是( ). (A )矩阵A 有n 个不同的特征根(B )矩阵A 与T A 有相同的特征值和特征向量(C )矩阵A 的特征向量21,αα的线性组合2211ααc c +仍是A 的特征向量 (D )矩阵A 对应于不同特征值的特征向量线性无关解 对于选项(A ),矩阵A 有n 个特征根(在复数范围内),但这些特征根中可能有重根,故(A )错.对于选项(B ),A 与T A 有相同的特征值,但是,对应的特征向量不一定相同,故(B )错.对于选项(C ),未说明21,αα对应的特征值.如果21,αα是对应于A 的同一特征值λ的特征向量,则当21,c c 不全为零时,2211ααc c +仍是A 的对应于特征值λ的特征向量;如果21,αα是对应于A 的不同特征值21,λλ的特征向量,则2211ααc c +不是A 的特征向量(0,021≠≠c c 为任意常数).关于这一结论的证明,见例8.对于选项(D )是矩阵特征值、特征向量的性质.综上分析,应选(D ).例3 如果n 阶矩阵A 任意一行的n 个元素之和都是a ,则A 有一个特征值( ). (A )a (B )a - (C )0 (D )1-a解 在||A E -λ中,把第二列到第n 列都加到第一列上,则第一列有公因子αλ-,提出后可知αλ-是||A E -λ的因子,所以a 是A 的一个特征值.应选(A ).例4 设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=2221A ,则下面各矩阵中非奇异矩阵是( ).(A )A E +-2 (B )A E - (C )A E -2 (D )A E --3 解 矩阵A 的特征多项式为 )2)(3(2221-+=+-=-λλλλλA E ,故A 的特征值为31-=λ,22=λ.因为 02)1()2(22=--=--=+-A E A E A E ,即选项(A )是奇异矩阵,而1不是A 的特征值,必有0||≠-A E ,应选(B ). 例5 已知三阶方阵A 的三个特征值为1,-2,3,则=||A ,1-A 的特征值为 ,T A 的特征值为 ,*A 的特征值为 ,E A A ++22的特征值为 .解 因为6||321-==λλλA ,由||||T A E A E -=-λλ,知A 与T A 有相同的特征值,故T A 的特征值为1,2-,3.若设X 为A 属于λ的一个特征向量,则有XAX λ=,于是有XX A λ11=-,X AX A A X A λ==-1*,X X A kkλ=,从而推得1-A的特征值为λ1,*A 的特征值为λ||A .矩阵多项式)(A f 的特征值为)(λf ,从而可写出各自具体内容.应填6-;31,21,1-;3,2,1-;2,3,6--;16,1,4.例6 设A 是三阶方阵,并且0322=+=+=-E A E A E A ,则E A 32-* = .解 由0322=+=+=-E A E A E A ,可得A 的特征值分别为23,2,1--,所以 3)23()2(1=-⋅-⋅=A ,于是E A E A A E A 36323211-=-=---*的特征值分别为7,6,3--,故 126)7()6(332=-⨯-⨯=-*E A ,应填126.例7 设4阶方阵A 满足条件03=+A E ,E AA T 2=,0<A ,其中E 是4阶单位阵,则方阵A 的伴随矩阵*A 的一个特征值为_______.解 由0)3(3=--=+E A E A ,得A 的一个特征值3-=λ.又由条件有 16224===E E AA T , 162===A A A AA T T .因为0<A ,所以4-=A ,且知A 可逆.设A 的属于特征值3-=λ的特征向量为α,则αααααα3133111-=⇒-=⇒-=---A A A A A ,又因为0≠A ,所以11,31-*-=-=AA A A A A αα,故αα34=*A ,可知*A 的特征值为34.应填34.例8 设21,λλ是n 阶矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为21,αα,试证:2211ααc c +(01≠c ,02≠c ,任意常数)不是A 的特征向量. 证 反证法.设2211ααc c +为A 的对应于特征值λ的特征向量,于是 )()(22112211ααλααc c c c A +=+又由已知,有111αλα=A ,)0(1≠α,222αλα=A ,)0(2≠α.代入上式左边,得 22211122112211)(αλαλααααc c A c A c c c A +=+=+, 因此)(2211222111ααλαλαλc c c c +=+, 所以0)()(222111=-+-αλλαλλc c . 因21λλ≠,所以向量21,αα线性无关,故 0)(11=-λλc , 0)(22=-λλc , 其中21,c c 是不等于零的任意常数.由此可得λλ=1,λλ=2,即21λλ=,与已知条件矛盾!所以2211ααc c +不是A 的特征向量.例9 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110020112A 的特征值和特征向量. 解 A 的特征多项式)1()2(110201122--=-----=-λλλλλλA E ,所以,A 的特征值为11=λ,232==λλ.对于11=λ,解齐次线性方程组O X A E =-)(,因⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-000010101010010111)(A E ,由此可得同解方程组 ⎩⎨⎧==+00231x x x ,取3x 为自由未知量,令13=x ,得方程组的基础解系T -=)1,0,1(1α.于是A 的对应于特征值11=λ的全部特征向量为11αc (01≠c ,为任意常数).对于232==λλ,解齐次线性方程组0)2(=-X A E , 因⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000000110110000110)2(A E , 由此可得同解方程组 032=+x x . 取自由未知量⎪⎪⎭⎫⎝⎛31x x 分别为⎪⎭⎫ ⎝⎛01,⎪⎭⎫⎝⎛10可得方程组的基础解系TT-==)1,1,0(,)0,0,1(32αα于是,A 的对应于232==λλ的全部特征向量为3322ααc c +(32,c c 为不全为零的任意常数).注 1.求特征值、特征向量的基本方法:(1)计算矩阵A 的特征多项式()A E f -=λλ;(2)求出特征方程()0=-=A E f λλ的全部根,即A 的全部特征值; (3)对每一个特征值0λ,求出O X A E =-)(0λ的一个基础解系r n -ηηη,,,21 , 则A 的属于0λ的全部特征向量为r n r n k k k --+++ηηη 2211,其中r n k k k -,,,21 为不全为零的常数.2.这类计算题中,方程组()O X A E =-λ的系数矩阵常常出现零列(如此题中)2(A E -的第一列).应注意:凡是零列所对应的变量应取作自由未知量.例如,在本题中求O X A E =-)2(的基础解系时,取31,x x 为自由未知量.例10 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=122212221A ,(1)求A 的特征值;(2)求1-+A E 的特征值. 解 A 的特征多项式12122212221r r A E ++-+---+=-λλλλ12211221+-----+λλλλ)5()1(2+-=λλ.所以,A 的特征值为1,1,5-.由特征值性质可知,1-A 的特征值为1,1,51-,于是1-+A E 的特征值为2,2,54.例11 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0011100y xA 有三个线性无关的特征向量,求x 和y 应满足的条件.解 A 的特征多项式为λλλλ0111-----=-y xA E )1()1(2+-=λλ,所以,A 的特征值为 121=，λ,13-=λ. 只要121=，λ有两个线性无关的特征向量即可,即矩阵A E -⋅1的秩等于1. 因为A E -⋅1⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=1010101y x⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→00000101x y ,只要满足0=+y x 即可.例12 设向量TK )1,,1(=α是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=211121112A 的逆矩阵1-A 的特征向量,试求常数K 的值.分析 用特征值、特征向量的定义讨论.解 设λ是α所属的特征值,则λαα=-1A ,αλαA =,.即⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1121112111211K Kλ, 由此,得方程组 ⎩⎨⎧=+=+KK K )22(1)3(λλ,其解为11=λ,21-=K ;412=λ,12=K .于是,当2-=K 或1时,α是1-A 的特征向量.例13 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎝--=a c b A 0135,其行列式1-=A ,又A 的伴随矩阵 *A 有一个特征值0λ,属于0λ的一个特征向量为T )1,1,1(--=α,求c b a ,,和0λ的值.解 由题设知E E A AA -==*,αλα0=*A . 于是有αλααααA A A E AA 0)(==-=-=**. 即有0λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---11111101351a c b c a . 得⎪⎩⎪⎨⎧-=--=--=++-1)1( 1)2(1)1(000a c b c a λλλ.由此解得 10=λ,3-=b ,c a =.再代入1-=A 得2==c a .例14 设A 为n 阶方阵,任一非零的n 维向量都是A 的特征向量,试证明:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ00A , 即A 为数量矩阵.证 设),,2,1,(n j i a ij ⋅⋅⋅=是A 的第i 行、第j 列元素,因单位坐标向量,1εn εε,,2⋅⋅⋅也是A 的特征向量,设n λλλ,,,21 是对应的特征值,则有 i i A λεε= ),,1(n i ⋅⋅⋅=即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001i niiii i a a a A λε, ),,1(n i ⋅⋅⋅=.故 i ii a λ=,0=ji a (i j ≠).这样⎪⎪⎪⎪⎭ ⎝=n A λλ02 . 因为0≠+j i εε (i j ≠),也是A 的特征向量,设λ为对应的特征值,则由j i j i j i A λελεεελεε+=+=+)()(, j j i i j i j i A A A ελελεεεε+=+=+)(,有 0)()(=-+-j j i i ελλελλ.因j i εε,线性无关,故λλλ==j i .于是可得⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλ0 A . 例15 设B A ,均为n 阶方阵,试证AB 与BA 有相同的特征值.证 如果矩阵AB 是不可逆的,则0=AB ,所以 0==⋅=⋅=AB B A A B BA . 由此可得0)1(0=-=-AB AB E n , 0)1(0=-=-BA BA E n .即AB 与BA 都有特征值0.当AB 不可逆,且00≠λ为AB 的任一非零特征值时,需证0λ也是BA 的特征值.实际上,设AB 的对应于0λ的特征向量为)0(≠αα,则 αλα0=AB . 在上式两边左乘B ,得)()(0αλαB B BA =.令αηB =,则有ηλη0=BA ,只需证明0≠η.假设0==αηB ,于是0==αηAB A .这与00≠=αλαAB 矛盾.因此0≠η.即0λ是BA 的一个特征值,对应的特征向量为αB .由0λ的任意性可知,AB 的任一非零特征值都是BA 的特征值.类似可证BA 的任一非零特征值也是AB 的特征值.当矩阵AB 可逆时,AB 的任一特征值不等于零.类似于上面的证明可得AB 与BA 有相同的特征值.例16 设B A ,为n 阶矩阵,且A 与B 相似,E 为n 阶单位矩阵,则( ). (A )B E A E -=-λλ(B )A 与B 有相同的特征值和特征向量 (C )A 与B 都相似于一个对角阵(D )对任意常数t ,A tE -与B tE -相似解 由A 与B 相似,则存在可逆阵P ,使得 B AP P =-1,从而 B tE AP P P tP P A tE P -=-=----111)(, 即A tE -与B tE -相似.应选(D ).例17 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=300020002A ,则下述矩阵中与A 相似的矩阵是( ). (A )⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3001200121A(B )⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3000200122A (C )⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3000201023A(D )⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3110210024A 解 因矩阵A 已是对角形矩阵,而各选项中矩阵与A 有相同的特征值,故只需判断各选项中的矩阵可否对角化.对于选项(A ),特征多项式)3()2(21--=-λλλA E ,其特征值为221==λλ,33=λ.考察方程组O X A E =-)2(1,其系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-000100010100100010)2(1A E , 于是2)2(1=-A E r .方程组O X A E =-)2(1的基础解系中仅含1个向量,而=1λ22=λ是二重特征值,故矩阵1A 不能对角化,即1A 不与A 相似.对于选项(B )与(D ),用类似方法可判断矩阵42,A A 不可对角化,故42,A A 不与A 相似.对于选项(C ),矩阵3A 的特征多项式)3()2(23--=-λλλA E ,其特征值为221==λλ,33=λ.考虑方程组O X A E =-)2(3,其系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-000000100100000100)2(3A E ,故1)2(3=-A E r ,方程组O X A E =-)2(3的基础解系中恰恰含两个向量,故3A 可对角化.应选(C ).注 矩阵A 对角化的步骤:(1)求出A 的特征值:1λ,2λ, n λ,对于每一个特征值i λ,求出齐次线性方程组O X A E i =-)(λ的一个基础解系,若基础解系中所含向量的个数等于i λ的重数,则A 可对角化,否则A 不可对角化;(2)以A 的n 个线性无关的特征向量:n ααα,,,21 为列构造可逆矩阵=P),,,(21n ααα ,则有对角阵Λ=diag(n λλλ,,,21 )=AP P 1-.注意顺序:i α为属于i λ的特征向量.例18 三阶矩阵A 的特征值为1,2-,3,矩阵A A B 22-=,求: (1)B 的特征值;(2)B 是否可对角化,若可以,试写出其相似对角形矩阵; (3)行列式E A B 2-和的值.解 设λ为A 的任一特征值,对应的一个特征向量为α,则 λαα=A , )0(≠α. 所以αλαλα22==A A ,αλλλααλαα)2(2)2(222-=-=-=A A B ,即,对应于A 的一个特征值λ,B 对应的特征值为λλ22-.由此可知当A 的特征值为1,2-,3时,B 的特征值为1-,8,3.因为B 有三个不同的特征值,所以B 可与一对角阵相似,其相似对角形矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-300080001. 于是 2438)1(-=⨯⨯-=B ,63)2(1-=⨯-⨯=A .又因为)2(E A A B -=,所以46242=--==-AB E A .例19 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3212A ,求100A .分析 直接求100A 计算量过大,可设法利用对角矩阵进行计算. 解 A 的特征多项式)4)(1(2212--=----=-λλλλλA E ,故A 的特征值为11=λ,42=λ.当11=λ时,可求出一个基础解系:T )1,1(1-=α. 当42=λ时,可求出一个基础解系:T )2,1(2=α.令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2111P ,则⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-3/13/13/13/21P ,此时⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-40011AP P , 即有 14001-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=P P A 因此⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-3/13/13/13/24001211140011001100100PP A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+-+-+=100100100100421422414231. 例20 若三阶方阵A 的特征值为61=λ,32=λ,33=λ,其相应的特征向量为T )1,1,1(1=α,T )1,0,1(2-=α,T )1,2,1(3-=α,求矩阵A ,5A . 解 因为可逆矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P , 则Λ=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-3000300061AP P . 故A =1300030006-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛P P =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--6/13/16/12/102/13/13/13/130030006111201111=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛411141114. 因A ～Λ,故5A ～5Λ,即有 1555555555332336336⨯=⨯⨯==Λ=A .*例21 若三阶实对称矩阵A 的特征值为1,4,2-,且对于11=λ和42=λ的特征向量分别为T )2,1,2(1-=α,T )1,2,2(2-=α,求矩阵A ,5A .解 设23-=λ的特征向量为T c b a ),,(3=α,由于实对称矩阵的特征向量是相互正交的,故有0),(21=αα,0),(32=αα,即 ⎩⎨⎧=+-=-+022022c b a c b a ,解之可得 2c a =,c b =,c c =.令2=c ,即有1=a ,2=b .故T )2,2,1(3=α. 取⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==212221122),,(321αααP . 则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-221122212911P. 由于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-2411AP P , 所以1241-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=P P A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=22112221291241212221122 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022. 此时由A ～⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ241, 故5A ～⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ555)2(41. 因此1555)2(41-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=P P A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=221122212913210241212221122⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=9002178198021783969415819804158406891⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=100242220242441462220462452. *例22 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2110000010010y A . (1)已知A 的一个特征值为3,试求y ; (2)求矩阵,使)()(AP AP T 为对角阵.解 (1)由31=λ,代入特征方程0=-A E λ,得11130000310013-----y ()02811133113=-=-----=y y .所以2=y .(2)由)()(AP AP T P A P AAP P T T 2==,问题转化为2A 的对角化问题. 由于⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5445112A ,只要将⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54451A 对角化即可,由0910544521=+-=----=-λλλλλA E ,得11=λ,92=λ.求得相应特征向量为 ⎪⎭⎫⎝⎛-=111α, ⎪⎭⎫⎝⎛=112α.单位化⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11211β, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11212β. 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2121212111P 使⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=9111)()(AP AP T .注 由正交矩阵P 将实对称矩阵A 化为对角阵的步骤:(1)求出实对称阵A 的全部特征值:1λ,2λ, ,n λ;(2)对于每一个特征值i λ,求出齐次线性方程组0)(=-X A E i λ的一个基础解系;(3)利用施密特正交化法将基础解系正交化、单位化,求出属于i λ的一个标准正交组;(4)将所有正交化、单位化后的n 个特征向量作为列向量构成矩阵P ,则P 为所求正交矩阵,并可得对角阵AP P 1-=),,,(diag 21n λλλ .例23 设n 阶方阵A 有n 个互不相同的特征值,证明:A 的特征向量也是B 的特征向量的充分必要条件是B A ,可交换.证 必要性因为A 有n 个互不相同的特征值,故A 可对角化.即存在可逆阵P ,使11Λ=-AP P .由于A 的特征向量也是B 的特征向量,故对同样的P ,有21Λ=-BP P .于是1211211))((---ΛΛ=ΛΛ=P P P P P P AB ,1121112))((---ΛΛ=ΛΛ=P P P P P P BA . 而1221ΛΛ=ΛΛ,所以,BA AB =. 充分性设λαα=A ,0≠α.两边左乘B ,利用BA AB =,有 )()()(αλααB B A A B ==.若0≠αB ,由上式可知αB 也是A 的属于特征值λ的特征向量.由于A 的特征值两两不同,故属于特征值λ的线性无关的特征向量只有一个,因此α与αB 应成比例,即μαα=B ,即α为B 的特征向量;若0=αB ,则αα0=B )0(≠α,故α仍为B 的特征向量. 总之,A 的特征向量也是B 的特征向量.例24 已知矩阵A 与C 相似,矩阵B 与D 相似,证明分块矩阵 ⎪⎭⎫⎝⎛B OO A 与⎪⎭⎫⎝⎛D OO C 相似. 证 由条件知,存在可逆矩阵Q P ,使得 AP P C 1-=, BQ Q D 1-=. 取⎪⎭⎫⎝⎛=Q OO P X ,则X 可逆,且⎪⎪⎭⎫⎝⎛=---111Q O O P X.这时 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---Q OO P B OO AQ O O P X B OO A X111⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--D OO C BQ Q OOAPP 11, 即⎪⎭⎫⎝⎛B O O A 与⎪⎭⎫⎝⎛D O O C相似. 例25 设 矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b aA 为二阶实矩阵,且0>bc ,证明A 可与一对角矩阵相似.证 因A 的特征多项式 dcbaA E ----=-λλλ)()(2bc ad d a -++-=λλ,其判别式04)()(4)(22>+-=--+=∆bc d a bc ad d a 所以A 必有两个不同的特征值,故A 必可与一对角阵相似.练习题一.是非题1.( )A 是n 阶方阵,若有数λ与n 维列向量α满足λαα=A ,则λ是A 的特征值,α是A 的属于λ的特征向量.2.( )若21,αα是A 的分别属于21,λλ的特征向量,则21,αα一定线性无关.3.( )若21,αα是两个线性无关的特征向量,则它们一定是分别属于不同特征值的特征向量.4.( )若1α是A 的属于1λ的特征向量,则1αK 也是A 的属于1λ的特征向量.5.( )A 与T A 有相同的特征值和相同的特征向量.6.( )A 与T A 有相同的特征多项式.7.( )方程O X A E =-)(0λ的每一个解向量都是对应于特征值0λ的特征向量.8.( )若21,αα为方程O X A E =-)(0λ的一个基础解系,则2211ααc c +(,1c 2c 为非零常数)是A 的属于特征值0λ的全部特征向量.9.( )设21,αα为A 的二个特征向量,则2211ααc c +(21,c c 不全为零)也是A 的特征向量.10.( )若矩阵A ,B 有相同的特征多项式,则A ～B .11.( )若A ～B ，则存在唯一的可逆阵P ,使B AP P =-1. 12.( )若A ～B ,则A 与B 有相同的特征值. 13.( )若A ～B ,则A 与B 有相同的特征向量. 14.( )若A ～B ,则B E A E -=-T λλ.15.( )若A ～B ,则)(A E -λ～)(B E -λ.16.( )若矩阵A 有三重的特征值,则A 一定不能对角化. 17.( )若n 阶矩阵A 可对角化,则A 有n 个特征值.18.( )若n 阶矩阵A 可对角化,则A 有n 个线性无关的特征向量. 19.( )若n 阶矩阵A 可对角化,则T A 有n 个相异的特征值. 20.( )若n 阶矩阵A 可对角化,则A 有n 个不同的特征向量. 二.填空题1.设三阶矩阵A 的特征值为1-,1,2,则1-A 的特征值为 ,*A 的特征值为 ,)3(A E +的特征值为 .2.设三阶方阵A 有三个特征值1λ,2λ,3λ,如果36=A ,21=λ,32=λ则=3λ .3.已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=160420125A , 则A 的三个特征值的和是 ,积是 .4.已知三阶方阵A 有三个特征值1-,1,2,22)(2+-=x x x f ,则)(A f 的特征值是 ,=)(A f .5.设三阶矩阵O A =,则A 的全部特征向量为 .6.设A 为n 阶方阵,O AX =有非零解,则A 必有一个特征值是 .7.若A ～E ,则=A .8.若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 123122与⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321相似,则=x .9.若⎪⎪⎭⎫⎝⎛x y 3122与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321相似,则=x ,=y .10.设二阶实对称矩阵A 的特征值为1,2;对应于特征值1的特征向量为T-=)1,1(1α,则A 的对应于特征值2的特征向量=2α . 三.单项选择题1.设A 为n 阶方阵,以下结论中成立的是( ).(A )若A 可逆,则矩阵A 的属于特征值λ的特征向量也是矩阵1-A 的属于特征值λ1的特征向量(B )A 的特征向量即为方程O X A E =-)(λ的全部解 (C )A 的特征向量的线性组合仍为特征向量 (D )A 与T A 有相同的特征向量2.可逆矩阵A 与矩阵( )有相同的特征值. (A )T A (B )1-A (C )2A (D )E A +3.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=53342111a A ,且A的特征值为61=λ,232==λλ如果A 有三个线性无关的特征向量,则a 为( ).(A )2 (B )2- (C )4 (D )4- 4.与n 阶单位矩阵E 相似的矩阵是( ). (A )数量矩阵)1(≠K KE(B )对角矩阵Λ(主对角元素不为1) (C )E(D )任意n 阶可逆矩阵5.设B A ,均为n 阶矩阵,并且A ～B ,则下述结论中不正确的是( ). (A )A 与B 有相同的特征值和特征向量 (B )B A = (C ))()(B r A r = (D )1-A ～1-B6.已知矩阵A 相似于对角矩阵Λ,其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λ300020001,则下列各矩阵中是可逆矩阵的为( ).(A )A E + (B )A E - (C )A E -2 (D )A E -37.设A ,B 为n 阶矩阵,且A 可逆,A ～B ,则下列结论中正确的是( ). (A )A 与B 有相同的特征向量 (B )A ,B 都相似于一个对角矩阵 (C )AB ～BA (D )BA AB = *8.下列矩阵中,不是正交矩阵的为( ).(A )⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001(B )⎪⎪⎭⎫⎝⎛-θθθθcos sin sin cos (C )⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-23212123(D )⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-122221 四.计算题1.求矩阵A 的特征值和特征向量(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=122212221A ;(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=101410213A ;(3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a a a A;(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=031302120A .2.判断下列矩阵是否与对角矩阵相似,如果可与对角矩阵相似,试求出可逆矩阵P ,使AP P 1-为对角矩阵.(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6123020663A ; (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=022242111A ; (3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=266157113A . 3*.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=124222421A ,求正交矩阵Q ,使得AQ Q 1-为对角形矩阵.4.设B AP P =-1,其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100000001B ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=112012001P ,求A 和5A .5.设三阶矩阵A 的特征值为1,2,3,对应的特征向量分别为T =)1,1,1(1α,T=)1,0,1(2α,T =)1,1,0(3α,试求矩阵A .6*.设三阶实对称矩阵A 的特征值是1,2,3;属于特征值2,1的特征向量分别为T )1,1,1(1--=α,T )1,2,1(2--=α.(1)求属于特征值3的特征向量;(2)求矩阵A .7*.设三阶实对称矩阵A 的特征值11-=λ,132==λλ,A 的对应于1λ的特征向量为T =)1,1,0(1α,求A .8*.设二阶实对称矩阵A 的一个特征值为１,A 的对应于特征值1的特征向量为T )1,1(-.如果2-=A ,求:(1)A 的另一特征值和对应的特征向量; (2)正交矩阵AQ Q Q 1,-使为对角矩阵; (3)矩阵A . 五.证明题1.设0λ是n 阶矩阵A 的一个特征值,试证:(1)220A 是λ的特征值; (2)0λ-k 是矩阵A kE -的特征值 (k 为常数); (3)如果A 可逆,则11-A是λ的特征值;(4)如果A 可逆,则*AA是λ的特征值.2.若n 阶矩阵A 满足A A =2,则称A 为幂等矩阵.试证:幂等矩阵的特征值只能是1或零.3.设1λ,2λ为A 的两个不同的特征值,且21,αα分别是属于21,λλ的特征向量.试证21,αα线性无关.4.设2=λ是非奇异矩阵A 的一个特征值,则矩阵12)31(-A 有一特征值等于43.5*.设A 为正交矩阵,若1-=A ,试证明A 一定有特征值1-.6*.设A 为正交阵,试证明:A 的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1.7.设A ,B 均为n 阶矩阵,A ～B ,试证:k A ～k B (k 为正整数).8*.设A ,B 为两个实对称矩阵,证明:存在正交矩阵Q ,使B AQ Q =-1的充分必要条件是A ,B 具有相同的特征值.。
第五章 矩阵的特征值与特征向量
第五章矩阵的特征值与特征向量5.1矩阵的特征值与特征向量一、基本概念定义5.1设A 为n 阶矩阵，l 是一个数，如果存在n 维非零向量a ，使得A a la =，则称l 是A 的一个特征值，向量a 称为矩阵A 对应于特征值l 的特征向量.例如311,2,131A l a -æöæö===ç÷ç÷-èøèø可以验证31121213121A a -æöæöæöæö===ç÷ç÷ç÷ç÷-èøèøèøèø所以，2l =是A 的一个特征值，a 是A 对应于特征值2l =的特征向量。
特征值和特征向量的性质：如果a 是A 的对应于特征值l 的特征向量，则(0)k k a ¹也是A 的对应于l 的特征向量。
如果12,a a 都是A 的对应于特征值l 的特征向量，则1122(0)k k a a +¹也是A 的对应于l 的特征向量。
因为11221122()()A k k k k a a l a a +=+.由此可知A 的属于同一个特征值l 的有限个特征向量的非零线性组合仍然是矩阵A 的属于l 的特征向量。
注：矩阵A 的对应于一个特征值的特征向量有无限多个，但是A 的同一个特征向量不可能属于两个不同的特征值。
二、特征值和特征向量的计算由A 的特征值和特征向量的定义知A a la=或()0E A l a -=由于0a ¹，这说明a 是齐次线性方程组()0E A X l -=的非零解.根据齐次线性方程组有非零解的充要条件得到E A l -=这是一个关于l 的n 次方程，它的根与矩阵A 的特征值是一一对应的.所以我们有如下的定义.定义5.2设A 为n 阶方阵，含有未知量l 的矩阵E A l -称为A 的特征矩阵；特征矩阵的行列式E A l -是一个关于l 的n 次多项式，称为A 的特征多项式；0E A l -=称为A 的特征方程.特征方程的根也称为A 的特征根，其实就是A 的特征值。
第5章 特征值与特征向量
则k1x1+ k2x2(k1, k2不全为0)是A的属于1的全部特征向量。
对于2= 2，求解(2IA) x =0, 得基础解系： x3=(1, 2, 1)T
3 1 1 x1 0 即 2 0 2 x2 0 1 1 1 x3 0
对于矩阵A, 若存在可逆矩阵P，使 P1AP= , 称A为可对角化矩阵. 主要解决的问题： 1。可对角化的条件 2。矩阵可对角化时P=?, 对角阵 =?
定理5.5 n 阶矩阵A与对角阵相似的充要条件是A有n个 线性无关的特征向量。 证 必要性 设P1AP= diag(1, 2,, n) =, 即 AP=P 将矩阵P 按列分块为 P =(x1, x2,, xn), (1)式即为
例3 设
1 1 1 A 2 2 2 1 1 1
(1) 求A的特征值和特征向量；
(2) 求可逆矩阵P,使P1AP为对角阵。
解 (1)
1 0 1 1 0 1 1 1 1 I A 2 2 2 2 2 2 2 3 0 3 1 1 1 1 1
k+1 ( 1) (2) 得 a1(k+1 1) x1+ a2 (k+1 2)x2+…+ ak (k+1 k)xk=0
A1(A x)= A1( x)= (A1 x), 所以， (A1 x)= 1 x。
由性质1可证： 若是A的特征值, x 是A的属于 的特征向 量。则f()是f(A)的特征值，x 仍然是f(A)的对应于特征值 f()
的特征向量。
性质2 矩阵A和AT的特征值相同。 证： det(I A) =det ( I A)T = det (( I)TAT)= det ( I A T)
大学线性代数第五章第一节矩阵的特征值与特征向量
在解决实际问题时，特征值和特征向量可以帮助我们理解数据的变化趋势和模式，例如在图像处理、信 号处理等领域有广泛应用。
在矩阵分解中的应用
01
矩阵分解是将一个复杂的矩阵 分解为几个简单的、易于处理 的矩阵，例如三角矩阵、对角 矩阵等。
矩阵的分解，如三角分解、 QR分解等，都涉及到特征值 和特征向量的应用，它们是构 造这些分解的基础。
02
矩阵的特征值与特征向量的定义
特征值的概念
特征值是指一个矩阵在某个非零常数倍下的不变性，即当矩阵A 乘以一个非零向量x得到0时，称该非零向量x为矩阵A的对应于 特征值λ的特征向量。
特征值可以通过求解矩阵的特征多项式得到，即|λE-A|=0。
密切的关系。
02
特征值和特征向量的关系可以通过矩阵的行列式、转
置、共轭等运算得到进一步的理解。
03
特征值和特征向量的关系性质在解决实际问题中具有
广泛的应用，如信号处理、控制系统等领域。
05ห้องสมุดไป่ตู้
矩阵特征值与特征向量的应用
在线性变换中的应用
矩阵特征值与特征向量是线性变换的一个重要工具，它们可以描述一个线性变换对一个向量空间的影 响。
特征值和特征向量在解决线性方程组、矩阵的相似变换、矩阵的 分解等领域有广泛应用。
矩阵特征值与特征向量的重要性
在解决线性方程组时，特征值 和特征向量可以提供一种有效 的解法，特别是对于一些特殊 类型的线性方程组。
在矩阵的相似变换中，特征值 和特征向量是确定相似变换的 关键，有助于理解矩阵的性质 和行为。
大学线性代数第五章第一节矩 阵的特征值与特征向量
求矩阵的特征值与特征向量
(0) T
迭代条件：
y ( k ) y ( k 1)
1
计算结果：
1 mk
u1 y
k k x( k ) Ax( k 1) 11 u1 2k u 2 2 n nun )
k k 2 n k 1 1u1 2 u u n 2 n 1 1
xHale Waihona Puke k )5.1.2 幂法的计算公式
分三种情况讨论： (1) 1 为实根，
且 1 2
x 1 x
( k 1) i (k ) i
, u1 x
1 2
(k )
(2) 1 为实根， 且 1 2 及 2 3
xi( k 2 ) 1 ( k ) x i ( k 1) (k ) u1 x 1 x
给出初值x(0)，按迭代公式计算：x(k+1)=Ax(k) 根据迭代序列各分量的变化情况求根：
若各分量单调变化（相邻两个向量的各分量之比 趋向于常数c），则按情况一处理。
若奇序列、偶序列的各个分量比趋于常数，则按 情况二处理。 若序列的各分量表现为其它情况，则结束。
5.1.3 幂法的实际计算公式
Ax( k 1) x( k ) , k 0,1,
实际计算公式：
(1)先对A作LU分解；（ LU分解的要点: ??） (2)再解方程组： ( k 1) (k )
第五章 求矩阵特征值和特征向量
第五章 求矩阵特征值与特征向量n 阶方阵A 的n 个特征值就是其特征方程det()0λ-=A I的n 个根，方程A 属于特征值λ的特征向量x 是线性方程组λ=A x x的非零解。
本章讨论求方阵A 的特征值和特征向量的两个常用的数值方法。
以及求实对称矩阵特征值的对分法。
5.1 幂 法在实际问题中，矩阵的按模最大特征根起着重要的作用。
例如矩阵的谱半径即矩阵的按模最大特征根的值，它决定了迭代矩阵是否收敛。
本节先讨论求实方阵的按模最大特征根的常用迭代法：幂法。
5.1.1幂法的基本思想幂法是求实方阵A 按模最大特征值及其特征向量的一种迭代方法。
它的基本思想是：先任取非零初始向量0x ，然后作迭代序列1k k +=x A x ，0,1,k =⋅⋅⋅ （5。
1）再根据k 增大时，k x 各分量的变化规律：按模最大的特征向量会愈来愈突出，从而可求出方阵A 的按模最大特征值及其特征向量。
先看一个计算实例。
例1 设矩阵1221⎛⎫=⎪⎝⎭A 用特征方程容易求得A 的两个特征值为11-=λ，32=λ下面用幂法来计算，取初始向量()01,0T=x ，计算向量序列 1k k +=x A x ，0,1,k =⋅⋅⋅ 具体结果如表5.1所示.表5.1 幂法计算结果k()1k x()2k x0 1 01 2 3 1 5 13 2 4 14 4 5 6 741 121 365 109340 122 364 1094考察两个相邻向量对应分量之比：5)1(1)2(1=xx ,6.2)2(1)3(1=xx ,(4)1(3)13.154x x=,(5)1(4)12.951x x=,(6)1(5)13.016x x=，(7)1(6)12.994x x=2)1(2)2(2=x x ,5.3)2(2)3(2=x x ,(4)2(3)22.857x x =,(5)2(4)23.05x x =,(6)2(5)22.983x x =,(7)2(6)23.005x x =由上面计算看出，两相邻向量对应分量之比值，随k 的增大而趋向于一个固定值3，而且这个值恰好就是矩阵A 的按模最大的特征值。
第五章特征值与特征向量
设 λ1, λ2 是A的特征值,则
推论 A可逆的充要条件是A的所有特征值
|A|= λ1 λ2… λn
都不等于零.
特征值的其他简单性质：
一般地,定理5.1.3
1. 若λ是矩阵A的一个特征值，则
设λ是方阵A的特征值, 则
(1) kλ是矩阵kA的一个特征值；
f (λ)是f(A)的特征值.
对于 2I-A=
求方程组(2I-A)x = O的非零解.
同解方程组： x1= -x2+x3 令
得到方程组的基础解系：
每个都是A的特征向量.
对应于λ2=λ3=2的全部特征向量：c1v21+c2v22
其中，c1, c2不全为零.
命题1 任一 n 阶方阵在复数域内都有 n 个特征根.
命题2 若x是A的对应于特征值λ的特征向量，则kx(k≠0)也是 A的对应于λ的特征向量；
= 2λ
Ax = λx (1)
λx -Ax = O
(λI -A)x = O (2)
齐 次 线 性 方 程 组
(3)
矩阵A的对应于λ的特征向量就是方程组(3)或(2)的非零解.
定义5.1.2
为A的特征方程.
λI–A为A的特征矩阵, |λI-A|(λ的n次多项式)称为A的特征多项式.
特征方程的根叫做A的特征根，即A的特征值.
即是矩阵A的对应于特征值λi的特征向量.
例1
解： 矩阵A的特征多项式为
-2 -2
-3
-1
令| λI-A|=0得A的特征值为 ：
3I-A=
0 -1 1 -1 00
对应于特征值λ1=3的全部特征向量：
令x3=1得基础解系. 是属于
λ1=3的 一个特
线性代数第5章 特征值及特征向量
A 123 2, A A A1 2 A1
( A) A 3 A 2 E 2 A1 3 A 2 E
的三个特征值为 (i ) 21 3i 2 ( i 1,2,3) i 计算得 (1) 1, ( 1) 3, ( 2) 3
B 的特征值为 1 3, 2 3 3
对于 1 3 ，解方程组 (1 E B ) x 0
4 2 2 1 0 1 1 E B 3 E B 3 4 1 0 1 1 2 2 4 0 0 0
解 (1) a+2+2=4+1+1 |A|=4*1*1 (2) |A-4E|=0
|A-2E|=0
a 2 . b 1 a 3 . b 0
4 40 a 2 2 a 0 b 1 3 b 0
的特征值。
例1
解
设n阶方阵A有n个特征值1，2，….，n，求|A+3E|.
则 设A有特征值 ， A 3E
3
所以，A+3E的特征值： 4，5，…..，n+3
(n 3)! | A 3E | 3!
例2 设3阶矩阵A的三个特征值为 1,1,2
求 A 3 A 2 E 解 A的特征值全不为零，故A可逆。
第一节 方阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的定义 二、特征值与特征向量的性质 三、特征值与特征向量的求法
一、特征值与特征向量的定义 定义1 设 A 是 n 阶方阵，
若数 和 n维非零列向量 X，使得
注意
AX X 成立，则称 是方阵 A 的一个特征值， X 为方阵 A 的对应于特征值 的一个特征向量。 （1） A 是方阵
(完整版)线性代数第五章特征值与特征向量(自考经管类原创)
Ak
( PP 1 )k
Pk P1
0 P
k
5
P1
上例中，对二阶方阵AP，存在可逆矩阵P, 使得P1AP .
对角阵的对角元是A的特征值，可逆阵P 即为相应对角元位置的特征值的线性无关的特 征向量组成.
接下来，主要研究方阵化对角阵的问题.
定义 设 A, B 都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得 P1AP B
特征值， A 为 A 的一个特征值.
问题（ ：1）已知是A的特征值，求f (A)特征值
（2）已知f (A)=O，求A的特征值
例6 设3阶矩阵A的一个特征值是-3，则-A2必有 一个特征值 ___
例7
设A=
1 0
2 3
,求B=A2
-2A+3E 的所有特征值 2
例8 设三阶矩阵A的特征值分别为1，2，3, 则 A 2E __
4 1 3
( 1) 22 ,
令 ( 1) 22 0
得A的特征值为1 1,2 3 2.
当1 1时,解方程E A x 0.由
1 1 1 1 0 1
E
A
0
3
0
0
1
0
,
4 1 4 0 0 0
得基础解系
1 p1 0, 1
故对应于1 1的全体特征向量为
k p1
E A
a21
L
a22 L
LL
an1
an2 L
a1n
a2n
L
ann
称E A 为A的特征方阵 .
记 f E A ,它是 的 n 次多项式,
称其 为方阵 A的 特征多项式 .
称以 为未知数的一元n 次方程 E A 0
为A的特征方程 .
线性代数(慕课版)第五章 矩阵的特征值与特征向量
解得x 4.
故应填 4
14
有关特征值的性质
性质5.2 矩阵A与AT 有相同的特征值.
证 AT E ( A E)T A E
性质5.3 设A 是n 阶可逆矩阵， 为其特征值，则(1) 0;
(2) 1 是A1 的特征值.
证 (1) 假设 0，则由定义知A 0 0.
而矩阵A可逆，故上式两端同时左乘A1 得 A10 0.
(1) 12 n A ; (2) 1 2 n a11 a22 ann.
定义5.2 设矩阵A aij nn ，称a11 a22 ann为矩阵A 的迹.
7 4 1
例1
已知三阶矩阵A
4
7 1 有特征值1 2 3，
4 4 x
3 =12，则x ______ .
解 1 2 3 a11 a22 a33， 即3 3 12 7 7 x，
这与特征向量 0矛盾，故 0.
(2) 由条件知有非零向量 满足A ，两边左乘以A1 得 A1
因 0，于是有 A1 1 ①
所以 1 为A1的特征值.
15
有关特征值的性质
性质5.4 若是A 的特征值，则f ()是f ( A) 的特征值.
代数多项式 f (x) am xm am1xm1 a1x a，0 矩阵多项式 f ( A) am Am am1Am1 a1A a0E. 例2 已知三阶矩阵A 的特征值 1，1，2，求 A3 5A2 .
7
特征值与特征向量的定义
2 1 1
求矩阵的特征值与特征向量：A
0
2 0.
4 1 3
对2 3 2，解方程组( A 2E) X 0，
4 1 1 4 1 1
A
2E
0
0
0
线性代数 第五章第一节 矩阵的特征值与特征向量
第一步：写出矩阵A的特征方程，求出全 部特征值（注明重数）.
解
l 1 1 lE A 1 l 1 (l 2)( l 1) 2 1 1 l
l 代入齐次线性方程组
所以A的特征值为 l1 2, l2 l3 1.
第二步：对每个特征值
2 1 1 2 1 1 2 E A 1 2 1 1 2 1 1 1 2 0 0 0
A l E x 0, 求基础解系。 当l1 2 时,解方程组 (2 E A) x 0 . 由
1 1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
故l0 是矩阵A 的特征值, 且X 0是A
1
1
1
对应于l0 的特征向量.
1
如何求得矩阵A的特征值和特征 向量呢? 式子AX=lX(lE-A)X=0. 由于X是非零向量, 故齐次线性方 程组(lE-A)X=0有非零解, 而这等 价于 |λE-A|=0.
定义 称
为A的特征多项式, 它是以l为未知数的一 元n次多项式, 也记为f(l). 称|lEA|=0为A的特征方程. λE-A称为A的 特征矩阵。
若l0，使得 A（X 1 X 2） l0 X 1 X 2） （
则有
（l1 l0）X 1 l2 l0）X 2 0 （
A左乘 λ1左乘
式两端：l1 l0）l1 X 1 l0 l2）l2 X 2 0 （ （ （ （ 式两端：l1 l0）l1 X 1 l0 l2）l1 X 2 0
（l0 l2）l2 X 2 l0 l2）l1 X 2 （
l2 l1 , X 2 0
l0 l2
矩阵的特征值和特征向量
矩阵的特征值和特征向量文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]第五章矩阵的特征值和特征向量来源：线性代数精品课程组作者：线性代数精品课程组1．教学目的和要求：(1)理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量.(2)了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对角矩阵.(3)了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质.2．教学重点：(1)会求矩阵的特征值与特征向量.(2)会将矩阵化为相似对角矩阵.3．教学难点：将矩阵化为相似对角矩阵.4．教学内容：本章将介绍矩阵的特征值、特征向量及相似矩阵等概念，在此基础上讨论矩阵的对角化问题.§1矩阵的特征值和特征向量定义1设是一个阶方阵，是一个数，如果方程(1)存在非零解向量，则称为的一个特征值，相应的非零解向量称为属于特征值的特征向量．（1）式也可写成，(2)这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式, (3)即上式是以为未知数的一元次方程，称为方阵的特征方程．其左端是的次多项式，记作，称为方阵的特征多项式．===显然，的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，阶矩阵有个特征值．设阶矩阵的特征值为由多项式的根与系数之间的关系，不难证明（ⅰ）（ⅱ）若为的一个特征值，则一定是方程的根,因此又称特征根，若为方程的重根，则称为的重特征根．方程的每一个非零解向量都是相应于的特征向量，于是我们可以得到求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：第一步：计算的特征多项式；第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组：的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是（其中是不全为零的任意实数）．例1 求的特征值和特征向量.解的特征多项式为=所以的特征值为当=2时，解齐次线性方程组得解得令=1，则其基础解系为：=因此，属于=2的全部特征向量为：.当=4时，解齐次线性方程组得令=1，则其基础解系为：因此的属于=4的全部特征向量为[注]：若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定．反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值.例2求矩阵的特征值和特征向量.解的特征多项式为==，所以的特征值为==2（二重根），.对于==2，解齐次线性方程组．由，得基础解系为：因此，属于==2的全部特征向量为：不同时为零.对于，解齐次线性方程组．由，得基础解系为：因此，属于的全部特征向量为：由以上讨论可知，对于方阵的每一个特征值，我们都可以求出其全部的特征向量．但对于属于不同特征值的特征向量，它们之间存在什么关系呢这一问题的讨论在对角化理论中有很重要的作用．对此我们给出以下结论：定理1 属于不同特征值的特征向量一定线性无关.证明设是矩阵的不同特征值，而分别是属于的特征向量，要证是线性无关的.我们对特征值的个数作数学归纳法证明.当时,由于特征向量不为零,所以结论显然成立.当＞1时,假设时结论成立.由于是的不同特征值,而是属于的特征向量,因此如果存在一组实数使(3)则上式两边乘以得(4)另一方面,,即(5)(4)－(5)有由归纳假设,线性无关,因此而互不相同,所以．于是(3)式变为.因,于是．可见线性无关．课后作业：习题五５－12§２相似矩阵定义2设、都是阶方阵，若存在满秩矩阵，使得则称与相似，记作，且满秩矩阵称为将变为的相似变换矩阵．“相似”是矩阵间的一种关系，这种关系具有如下性质：⑴反身性：～；⑵对称性：若～，则～；⑶传递性：若～，～，则～．相似矩阵还具有下列性质：定理2相似矩阵有相同的特征多项式，因而有相同的特征值.证明设～，则存在满秩矩阵，使于是推论若阶矩阵与对角矩阵相似，则即是的个特征值．定理3设是矩阵的属于特征值的特征向量,且~,即存在满秩矩阵使,则是矩阵的属于的特征向量．证明因是矩阵的属于特征值的特征向量，则有于是所以是矩阵的属于的特征向量．下面我们要讨论的主要问题是：对阶矩阵，寻求相似变换矩阵，使为对角矩阵，这就称为把方阵对角化．定理4阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是：矩阵有个线性无关的分别属于特征值的特征向量（中可以有相同的值）．证明必要性设与对角矩阵相似，则存在满秩矩阵，使=设则由上式得即，因此所以是的特征值，是的属于的特征向量，又因是满秩的，故线性无关.充分性如果有个线性无关的分别属于特征值的特征向量，则有设则是满秩的，于是，即=[注]：由定理4，一个阶方阵能否与一个阶对角矩阵相似，关键在于它是否有个线性无关的特征向量．（1）如果一个阶方阵有个不同的特征值，则由定理1可知，它一定有个线性无关的特征向量，因此该矩阵一定相似于一个对角矩阵．.（2）如果一个阶方阵有个特征值（其中有重复的），则我们可分别求出属于每个特征值的基础解系，如果每个重特征值的基础解系含有个线性无关的特征向量，则该矩阵与一个对角矩阵相似.否则该矩阵不与一个对角矩阵相似．可见，如果一个阶方阵有个线性无关的特征向量，则该矩阵与一个阶对角矩阵相似，并且以这个线性无关的特征向量作为列向量构成的满秩矩阵，使为对角矩阵，而对角线上的元素就是这些特征向量顺序对应的特征值．例3 设矩阵，求一个满秩矩阵，使为对角矩阵．解的特征多项式为所以的特征值为.对于解齐次线性方程组，得基础解系，即为的两个特征向量对于=2，解齐次线性方程组，得基础解系，即为的一个特征向量.显然是线性无关的，取，即有.例4设，考虑是否相似于对角矩阵．解所以的特征值为.对于解齐次线性方程组，得基础解系即为一个特征向量，对于，解齐次线性方程组，得基础解系，即为的另一个特征向量.由于只有两个线性无关的特征向量，因此不能相似于一个对角矩阵．课后作业：习题五13－16§３向量组的正交性在解析几何中，二维、三维向量的长度以及夹角等度量性质都可以用向量的内积来表示，现在我们把内积推广到维向量中．定义3设有维向量，，令=，则称为向量和的内积．[注]：内积是向量的一种运算，若用矩阵形式表示，当和是行向量时，＝，当和都是列向量时，＝．内积具有下列性质（其中为维向量，为常数）：（1）=；（2）=；（3）=+；（4），当且仅当=0时等号成立．定义4令||=称||为维向量的模（或长度）．向量的模具有如下性质：（1）当≠0时，||＞0；当=0时，||=0；（2）||=|| ||，（为实数）；（3）||≤||||；（4）|≤||+||；特别地，当||=1时，称为单位向量.如果||≠0，由性质（2），向量是一个单位向量．可见，用向量的模去除向量，可得到一个与同向的单位向量，我们称这一运算为向量的单位化，或标准化．如果、都为非零向量，由性质（3）≤1，于是有下述定义：定义5当||≠0，||≠0时称为维向量、的夹角．特别地：当=0时，，因此有定义当=0时，称向量与正交．（显然，若=0，则与任何向量都正交）．向量的正交性可推广到多个向量的情形.定义6已知个非零向量，若=0，则称为正交向量组．定义7若向量组为正交向量组，且||=1，则称为标准正交向量组．例如，维单位向量组=，，是正交向量组．正交向量组有下述重要性质：定理5正交向量组是线性无关的向量组．定理的逆命题一般不成立，但是任一线性无关的向量组总可以通过如下所述的正交化过程，构成正交化向量组，进而通过单位化，构成标准正交向量组．定理6 设向量组线性无关，由此可作出含有个向量的正交向量组，其中，，，…….再取则为标准正交向量组．上述从线性无关向量组导出正交向量组的过程称为施密特（Schimidt）正交化过程．它不仅满足与等价，还满足：对任何，向量组与等价．例5把向量组=（1，1，0，0），=（1，0，1，0），=（-1，0，0，1）化为标准正交向量组．解容易验证，，是线性无关的.将，，正交化，令=，=，再把单位化，则即为所求的标准正交向量组．定理7若是维正交向量组，，则必有维非零向量，使，成为正交向量组．推论含有个（）向量的维正交（或标准正交）向量组，总可以添加个维非零向量，构成含有个向量的维正交向量组．例6已知，求一组非零向量，使，，成为正交向量组.解应满足方程=0，即.它的基础解系为把基础解系正交化，即为所求．亦即取其中于是得定义8如果阶矩阵满足（即），那么称为正交矩阵．正交矩阵具有如下性质：（1）矩阵为正交矩阵的充分必要条件是；（2）正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵；（3）两个正交矩阵的乘积仍是正交矩阵；（4）正交矩阵是满秩的，且|=1或．由等式可知，正交矩阵的元素满足关系式（其中）可见正交矩阵任意不同两行（列）对应元素乘积之和为0，同一行（列）元素的平方和为1，因此正交矩阵的行（列）所构成的向量组为标准正交向量组，反之亦然．于是有定理8一个阶矩阵为正交矩阵的充分必要条件是它的行（或列）向量组是一个标准正交向量组．课后作业：习题五1－4§４实对称矩阵的相似对角化在§２中，我们讨论了相似矩阵的概念和性质以及一般的阶矩阵与对角矩阵相似的问题．本节将进一步讨论用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵的问题．为此首先给出下面几个定理．定理9 实对称矩阵的特征值恒为实数．从而它的特征向量都可取为实向量．定理10 实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正交的．证明设是实对称矩阵的两个不同的特征值，即．是分别属于的特征向量，则，根据内积的性质有，又所以，因，故，即与正交.定理11 设为阶对称矩阵，是的特征方程的重根，则矩阵的秩从而对应特征值恰有个线性无关的特征向量．定理12 设为阶对称矩阵，则必有正交矩阵，使，其中是以的个特征值为对角元素的对角矩阵．例7设求一个正交矩阵，使为对角矩阵.解，所以的特征值，.对于，解齐次线性方程组，得基础解系，因此属于的标准特征向量为.对于，解齐次线性方程组，得基础解系这两个向量恰好正交，将其单位化即得两个属于的标准正交向量，.于是得正交矩阵易验证.课后作业：习题五17。
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第五章 矩阵的特征值与特征向量
一、矩阵的特征值与特征向量的概念、性质及方法 （一）矩阵的特征值与特征向量及其相关概念
特征向量为非零向量
的特征向量属于特征值是矩阵的特征值，称非零向量是矩阵成立，则称，使得维列向量及非零的阶矩阵，若存在数是设量的概念
矩阵的特征值与特征向λαλαλαααλA A A n n A )
0(.1≠=
的线性无关的特征向量
的基础解系就是是不可逆矩阵，因此的特征值，则是若个特征值的个根就是矩阵次方程，它的的是特征方程的特征方程称为矩阵的特征多项式，称为矩阵行列式征方程的概念
矩阵的特征多项式与特00000)(.2==-=-=-=--=λλλλλλλλλAx A E A E A n A n n A E A A E A A E f
（二）特征值与特征向量的性质
的特征向量
不再是的线性组合，的特征向量，则，分别是，的不同特征值，是矩阵，个，并且若
只有个，但线性无关的至多的特征向量虽有无穷多个特征值，故只有因个
的个数不超过的线性无关的特征向量属于
重特征根时，矩阵的是矩阵且当向量是线性无关的，并属于不同特征值的特征一个特征值一个特征向量只能属于的特征向量不唯一，但的特征向量仍属于非零时的线性组合，所对应的特征向量，则都是特征值，如果A k k A n A n A k A k A k k i i i i i 2
2112121212122112121.2)
()(.1ααααλλααλλλλλλααααλαα++的特征值
是，整数的特征值，则对任何正是矩阵若任一特征值均不等于可逆的充要条件是它的阶矩阵有相同的特征值和的它的转置矩阵阶矩阵行列式的值征值的乘积等于对角线上元素之和，特特征值的和等于矩阵主k k T A k A A n A A n A λλ.60.5.4.3
（三）特征值与特征向量的求法
是不全为零的任意常数
，，，其中的全部特征向量属于特征值则矩阵的线性无关的特征向量关于特征值即矩阵解系如果求出方程组的基础，设
分别解齐次方程组个不同的特征值有可能重根，然后对每的全部特征值，其中求出矩阵的应先由特征方程对于具体的数字矩阵，值的取值义及其性质推导出特征特征值与特征向量的定对于抽象矩阵，要根据i i
i
i
r n r n r n i r n i i i i i k k k k k k A A r A E r x A E A A E ----+++=-=-=-...,
...,,...,,)
(,)(0)(,,0.2.121221121ξξξλξξξλλλλλ
二、相似矩阵的概念与性质 （一）相似矩阵的概念
B A B A B AP P n B A ~,1相似，记为与则称矩阵阵阶矩阵，如存在可逆矩是，设=-
(二)相似矩阵的性质
B
A B r A r B A b a B A B E A E B
A n
i ii n
i ii =⇒=⇒=⇒-=-⇒∑∑==)()()
,(,~.11
1
有相同的迹有相同的特征值，从而如λλ
C
A C
B B A B A B A B A B A B A B P A P kE B P kE A P B AP P B A T
T n n ~,~~.5~,~.4~~.3;)(,~.21
-1
-1-1-1-则，如都可逆，则，且如，则如则，设如=+=+=
三、矩阵可相似对角化的充要条件及解题步骤 (一)矩阵可相似对角化的概念
向量
的每一列对对应的特征的全部特征值，对角线上的元素都是，则的相似标准型
是，并称可以相似对角化，记成相似，则称如果与对角矩阵阶矩阵P A AP P A A A A n ΛΛ=ΛΛΛ1-~
（二）矩阵可相似对角化的充要条件
是实对称矩阵
个不同的特征值；有条件
与对角矩阵相似的充分是否能对角化
来判断个向量，故可通过秩的基础解系应含有，即齐次方程组个线性无关的特征向量应用重特征根，则是，且如果，亦即秩重根数值的的个数恰好等于该特征其线性无关的特征向量重特征值的每一个对于矩阵个线性无关的特征向量
有条件与对角矩阵相似的充要A n A A A A E r n A E r n x A E n n A n n A E r n n A n A A i i i i
i i i i )2()1(.2)()(0)(~)(,)2()1(.100000-=--=-Λ-=-λλλλλλλ⎥
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣
⎡==Λn n n
n
AP P P A A λλλααααααλλλ...),...(......)(211-212121则，，，第三步，构造可逆矩阵，，，线性无关的特征向量第二步，再求所对应的，，，的特征值第一步，先求出的解题步骤为对角矩阵相似对角化三
骤为相似标准形的解题步正交矩阵化的实对称矩阵的特性及用四A )(
i
i i n n A E r n n -=-)()4()3()2()1(.1λ，或者说必有秩个线性无关的特征向量重特征值必有正交
不同特征值的特征互相向量都是实向量特征值全是实数，特征实对称矩阵必可对角化
实对称矩阵的特性
[]换化为对角形
仅实对称才能用正交变一起
，经常与二次型联系在称矩阵为对角形的方法掌握用正交变换化实对注构造出正交矩阵正交化方法处理，才能的特征向量用施密特
否正交，否则必须对时，要检查特征向量是当特征值有重根就可用来构造矩阵仅需把特征向量单位化的特征值互不相同时，当改造特征向量
为此求出特征向量后应是正交矩阵，，只是要保证三骤类同为相似标准形，解题步可用正交化变换话骤
为相似标准型的解题步用正交矩阵化P
P A P A A i i λλ)2()1()(.2
四、常考题型及其解题方法与技巧 题型一、求矩阵的特征值和特征向量
用相似
用定义法；求基础解系的特征向量再由求特征值由解题思路：)3()2(0)(,,0).1(=-=-x A E A E i i λλλ
题型二、n 阶矩阵A 能否相似对角化的判定
i
i i i n A E r n A E r A A E =---Λ=-)(),(;~,,0).1(λλλλ检查若求秩若特征值不同，则求特征值由解题思路：
题型三、求相似时的可逆矩阵P 题型四、求矩阵A 中的参数
题型五、用特征值和特征向量反求矩阵A 题型六、相似对角化的应用求n A 题型七、有关实对称矩阵的问题
题型八、有关特征值与特征向量的证明。