2011年数学竞赛模拟训练试题(8)详细解答

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2011年全国初中数学竞赛试题参考答案及解析

2011年全国初中数学竞赛试题参考答案及解析一、选择题 1．A 解：因为1a =，1a += 262a a =-，所以322312612362126261261260662126024.a a a a a a a a a a a +--=-+---=--+=---+=（）（）（）2. B3. D 4．C解：由已知得2310x x ++=，于是 2222(1)(2)(3)(3)(32)(31)1 1.x x x x x x x x x x +++=+++=++-=-5．B解：依定义的运算法则，有ux vy u vx uy v +=⎧⎨+=⎩，，即(1)0(1)0u x vy v x uy -+=⎧⎨-+=⎩，对任何实数u v ，都成立. 由于实数u v ，的任意性，得（x y ，）=（1，0）．6．D解：由 25325x y z x y z +-=⎧⎨--=-⎩，，可得 312.x z y z =-⎧⎨=+⎩，于是 22221125x y z z z ++=-+．因此，当111z =时，222x y z ++的最小值为5411．7．C解：由题设可知1y y x -=，于是341yy x yxx-==，所以 411y -=，故12y =，从而4x =．于是92x y +=．8．C解：两式相加，得2358t t +=，解得1t =，或83t =-（舍去）．当1t =时，4530A B =︒=︒，满足等式，故1t =．所以，实数t 的所有可能值的和为1. 9．C解：如图，连接D E ，设1D E F S S ∆'=，则1423S S EF S BFS '==，从而有1324S S S S '=．因为11S S '>，所以1324S S S S >．10．A解：当2 3 2011k = ，，，，因为 ()()()32111112111kk k k k k k ⎡⎤<=-⎢⎥-+-⎣⎦，所以 333111111511123201122201120124S ⎛⎫<=++++<+-< ⎪⨯⎝⎭ ，于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．二、填空题 11．3＜m ≤4解：易知2x =是方程的一个根，设方程的另外两个根为12 x x ，，则124x x +=，12x x m=．显然1242x x +=>，所以122x x -<， 164m∆=-≥0，即2，164m∆=-≥0，所以2， 164m∆=-≥0，解之得 3＜m ≤4.12．19解：在36对可能出现的结果中，有4对：（1，4），（2，3），（2，3），（4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是41369=.13．6解：如图，设点C 的坐标为a b （，），点D 的坐标为c d （，）,则点A 的坐标为a a （，），点B 的坐标为.c c （，）因为点C D ，在双曲线1y x=上，所以11ab cd ==，．由于AC a b =-，BD c d =-，又因为2B D A C =，于是22222242c d a b c cd d a ab b -=--+=-+，（），所以 22224826a b c d ab cd +-+=-=（）（），即224OC OD -=6.14．32解：由1x -≥0，且12x -≥0，得12≤x ≤1．21122y =+=+由于13124<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =．当12x =或1时，2y 取到最小值12，故2b =．所以，2232a b +=．15．84解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ，则22235a b +=＝1225． ①又Rt △AFE ∽Rt △ACB ，所以F E A F C BA C=，即1212b a b-=，故12()a b ab +=． ②由①②得2222122524a b a b a b a b+=++=++（）（），解得a ＋b ＝49（另一个解－25舍去），所以493584a b c ++=+=．三、解答题16．解：设方程20x a x b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得()()11a a αβαβ+=-++=，，两式相加得 2210αβαβ+++=，即 (2)(2)3αβ++=，所以 2123αβ+=⎧⎨+=⎩，；或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得 11αβ=-⎧⎨=⎩，；或53.αβ=-⎧⎨=-⎩，又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（），所以 012a b c ==-=-，，；或者8156a b c ===，，，故3a b c ++=-，或29.17．证明：如图，延长A P 交⊙2O 于点Q ，连接 AH BD QB QC QH ，，，，.因为A B 为⊙1O 的直径，所以∠A D B =∠BDQ =90°，故BQ 为⊙2O 的直径. 于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，.又因为点H 为△ABC 的垂心，所以.AH BC BH AC ⊥⊥，所以A H ∥CQ ，A C ∥HQ ，四边形ACQH 为平行四边形.所以点P 为C H 的中点.18．解：（1）如图，分别过点P Q ，　作y 轴的垂线，垂足分别为C D ，　. 设点A 的坐标为（0，t ），则点B 的坐标为（0，-t ）. 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,并设P Q ，的坐标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）.由 223y kx t y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，，得 2203x kx t --=，于是 32P Qx x t=-，即 23P Q t x x =-.于是222323P P Q Q x t y tBCBD y tx t++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P QQ P QQ Q P x x x x x x x x x x x x x x --===---又因为P Qx PC Q Dx =-，所以BC PC BDQD=.因为∠B C P =∠90BDQ =︒，所以△B C P ∽△BDQ ，故∠A B P =∠ABQ .（2）解法一设P C a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0，由（1）可知∠A B P =∠30ABQ =︒，B C，B D，所以 A C=2-，A D=2-.因为P C ∥DQ ，所以△AC P ∽△ADQ . 于是PC AC D QAD=，即a b=所以a b +=．由（1）中32P Qx x t=-，即32ab -=-，所以322ab a b =+=，于是可求得2a b ==将2b =代入223y x=，得到点Q 2，12）.再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得3k =-所以直线PQ 的函数解析式为13y =-+.根据对称性知，所求直线PQ 的函数解析式为13y =-+，或13y x =+.解法二设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,其中1t =. 由（1）可知，∠A B P =∠30ABQ =︒，所以2BQ DQ =.故 2Q x =将223Q Qy x =代入上式，平方并整理得4241590Q Q x x -+=，即22(43)(3)0Q Q x x --=.所以 2Q x =又由 (1)得3322P Q x x t =-=-，32PQ x x k+=.若2Q x =代入上式得 P x = 从而 2()33P Q k x x =+=.同理，若Q x = 可得2P x =-从而 2()33P Q k x x =+=.所以，直线PQ 的函数解析式为13y =-+，或13y x =+.19．解：如图，作△ABQ ，使得QAB PAC ABQ ACP ∠=∠∠=∠，，则△ABQ ∽△ACP .由于2A B A C =，所以相似比为2. 于是224A Q A P B Q C P ====．60QAP QAB BAP PAC BAP BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒.由:2:1AQ AP =知，90APQ ∠=︒，于是3PQ ==．所以 22225BP BQ PQ ==+，从而90BQP ∠=︒．于是222()28AB PQ AP BQ =++=+.故 213s i n 60282ABC S AB AC AB ∆=⋅︒==．不同见解，敬请海涵。

2011年全国大学生数学竞赛非数学类试题解答

x (1+ x ) - e (1- ln(1+ x )) e x ln(1+x ) ln(1+x )-2 - e x e x x = 2e lim 1+ x = 2e lim x ®0 x ®0 x 2x × cos 2 × × cos n , 求 lim a n . 2 2 2解：若q = 0, 则lim a n = 1. 若q ¹ 0 ，则当 n 充分大，使得 2 >|k | 时，时， a n = cos × cos 2 × × cos n = cos × cos 2 × × cos n n × q q qq q qq 1qsin n× cos 2 × × cos n -1 × sin n -1 × qsin n= sin q × cos 2 × × cos n -2 2 sin n -2 × q q q q 1 q q2 sin n sin n 这时这时,, lim a n = lim sin q sin qq q n ®¥ n ®¥2 sin n1第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷参考答案及评分标准（非数学类，2011）一、（本题共 4 小题，每题 6 分，共 24 分）计算题2 (1+ x ) x -e 2 (1- ln(1+ x )) 1. lim .x ®0 解：因为2 2 x = 2 l n(1+x ) x - e 2 (1- l n(1+ x )) x,lim x ®0 e 2 ln(1+ x ) x= e 2,………………………………………………3 分lim x ®0 e 2 x 2 = e 2 lim x ®0 2 -12 = e 2 lim x x ®0ln(1+ x ) - 2 x2 ln(1+ x ) - x 2 2 1 -1= -e 2 , ………………5 分所以lim x ®0 2 (1+ x ) x - e 2 (1- ln(1+ x )) x=0. ………………………………6 分2. 设 a n = cos q q qn ®¥n ®¥ ……………………1 分n×s in 2222222 2q qq q 1= cos . ………………………4 分2 2 2 2 2 2= cos × 2 2 2 2 2 n 2 2= . ………………………6 分n 21£ x £ 2, 0 £ y £ }£ x £2, dxdxdy = 1+ ò ò òòòòòò 2n -1 2n -2 2n -1 å 的和函数，并求级数 åx 2 n =1 2 解：令 S (x ) = å2n -1 2n -2 x x æ x 2 ö 2n -1 2n -2 S (t )dt = å ò t dt = åå=n 1ç 2 ÷ò001=n2n -1x3. 求òòsgn(xy -1)dxdy ，其中 D = {(x , y ) | 0 £ x £ 2, 0 £y£ 2} D解：设 D 1 = {(x , y ) | 0 £ x £ 1 2,0 £ y £ 2} D 2 = {(x , y ) | 1 12 xD 3 = {(x , y ) | 1 12 x £ y £ 2} ……………………………2 分 D 1ÈòD 2 2 1 x = 1+ 2 ln 2 ， òò dxdy =3 - 2 ln 2 . D 3………………………4 分 2sg n(x y-1)dx d y =d x d y -DD 3D 2ÈD3dxdy= 2 - 4 l n 2 . ………………………6 分4. 求幂级数¥¥n =1n2n -1的和的和..¥n =12nx ，则其的定义区间为 (- 2, 2) . "x Î(- 2, 2) ，æ ö¢ 2 + x 2 è 2 - x ø ， x Î (- 2, 2) . 于是， S (x ) = ç÷ = (2 - x ) 2n -1 2n -1 æ 1 ö æ 1 ö 10 ¥¥å=n1 2 2n çèø÷èn1. 如果 lim a n = a ，则lim 2. 如果存在正整数p ，使得 lim(a n + p n) = l，则 lim a n l n ®¥n p 证明：证明：1.1. 由 lim a n = a ， $M > 0 使得 | a n |£ M ，且 "e > 0, $N 1 Î，当 n > N 1 时， | a n -a |< e因为 $N 21 ，当n > N 2 时， N 1(M + | a |) e a 1 + +a n N 1(M + | a |) e (n - N 1) e222 2…………………………4 分2n-2n =12 2 ø 9 . ………………………………6 分二、（本题 2 两问，每问 8 分，共 16 分）设{a n }¥=0 为数列， a , l为有限数，求证： n ®¥ n ®¥a 1 + a 2 + + a n n= a ;-a = .n ®¥n ®¥. ……………………………………4 分2>N < .n2于是，- a £ + < e ,n n n 222.2.对于对于 i = 0,1, , p -1，令 A n = a (n +1) p +i -a np +i ，易知{A n } 为{a n + p - a n } 的子列的子列.. 由 lim(a n + p - a n ) = l ，知 lim A n = l ，从而 lim A 1 + A 2i ) + + A ni ) 而 A + A 2 + + A n = a (n +1) p +i - a p +i .所以， lim n a (n +1) p +i l a m lf ¢¢(0) + f ¢¢(0) - m £ ( f ¢¢¢(h 1 2 )) £ M )+ f ¢¢¢(hf ¢¢¢(x 0 12 )) =3 . ………………………15 分) = ( f ¢¢¢(h ) + f ¢¢¢(h所以，limn ®¥a 1 + a 2 + +a n n=a . …………………………………………8 分 (i ) (i ) n ®¥ n ®¥ n ®¥ (i ) (i ) n= l.(i ) (i ) (i )n ®¥a (n +1) p +i - a p +i n= l . 由 lim n ®¥ a p +i n= 0 .知 lim n ®¥a (n +1) p +i n = l. ………………………………………12 分从而 lim n ®¥ a (n +1) p +i (n +1) p + i= lim × = n ®¥ (n +1) p +i n p"m Î , $n , p , i Î ， (0 £ i £ p -1) ，使得 m = np + i ，且当 m ® ¥ 时， n ® ¥.所以， lim = .…………………………………………………………16 分m ®¥ m p三、（15 分）设函数f (x )在闭区间[-1,1]上具有连续的三阶导数，且 f (-1) = 0 ， f (1) = 1， f ¢(0) = 0 .求证：在开区间 (-1,1) 内至少存在一点 x 0 ，使得 f ¢¢¢( x 0 ) =3证. 由马克劳林公式，得f ( x ) = f (0) + 1 2!f ¢¢(0)x 2+ 1 3!f ¢¢¢(h )x 3 ，h 介于 0 与 x 之间， x Î[-1, 1] …3 分在上式中分别取 x = 1 和 x = -1, 得1 = f (1) = f (0) + 1 12! 3! f ¢¢¢(h 1 ) , 0 < h 1< 1. ………………………5 分 0 = f (-1) = f (0) + 1 1 2! 3!f ¢¢¢(h 2 ) , -1 < h 2 < 0 . ………………………7 分两式相减，得f ¢¢¢(h 1) + f ¢¢¢(h 2 ) =6 . ………………………10 分由于f ¢¢(x )在闭区间[-1,1] 上连续，因此 f ¢¢¢(x )在闭区间在闭区间[[h 2 ,h 1 ]上有最大值 M 最小值 m ，从而 12…………………………………13 分再由连续函数的介值定理，至少存在一点 x 0 Î[h 2 ,h 1 ] Ì (-1,1) ，使得 123解：在 x 轴的 x 处取一小段 dx , 其质量是 rdx ，到质点的距离为 h + x , 这一小段与质点的引力是 Gm r xdxGm r d (x 2 )2 -1/ 2 +¥ òa(h 2+ x 2 )3/ 2= - Gm r (h + x ) Gm r hdxh sec t Gm r æ a ö , z - ) = 0 确定的隐函数，其中 F 具有连续的二阶偏导数， ¶x ¶x ¶y ¶y, z - ) =0 两边分别关于 x 、 y 求偏导，得 - 2 )F u v = 0 ， + ¶x x ¶x+ 2 )F v = 0 . = 2 2 = + F ) ¶y y (F + F四、（15 分）在平面上分）在平面上,, 有一条从点 (a ,0) 向右的射线向右的射线,,线密度为 r. 在点 (0, h ) 处（其中 h > 0）有一质量为 m 的质点的质点.. 求射线对该质点的引力求射线对该质点的引力..2 2dF =Gm r dxh 2 +x 2 （其中 G 为引力常数）为引力常数）.. …………………5 分这个引力在水平方向的分量为 dF x = Gm r x dx (h 2 + x 2)3 2. 从而F x =+¥òòa(h 2+ x 2 )3/ 2= 2+¥2a=Gm r h 2 +a 2……10 分而 dF 在竖直方向的分量为 dF y =Gm r hdx (h 2 + x 2)3 2 ,故F y = +¥òa (h 2 + x 2 )3/ 2 = p/ 2 ò arctan a h Gm r h 2 sec 2 dt 3 3 = Gm r h p / 2 òcos tdt = a arctan hç1 - s in a rctan ÷ h è h ø 所求引力向量为 F = (F x , F y ) . …………………………15 分五、（15 分）设 z = z (x , y ) 是由方程 F (z +1 1x y且 F u (u , v ) = F v (u , v ) ¹ 0 .求证： x 2¶z ¶x + y 2 ¶z ¶y = 0 和 x 2 2 2 + xy (x + y ) + y 3 2 2 = 0 .解：在方程 F (z +1 1x y ( ¶z 1 ¶z F ¶z ¶y F u + ( ¶z 1 ¶y y…………………5 分由此解得，¶z ¶x F u ¶z -F v, x (F u vu v )所以， x2 ¶z ¶x + y 2 ¶z ¶y= 0 …………………………10 分对上式两边关于 x 和 y 分别求偏导，得4¶x ¶x ¶y ¶y + xy (x + y ) + y 3 六、（15 分）设函数 f (x ) 连续， a , b , c 为常数， S是单位球面 x + y + z = 1. 记第一型曲面积分这部分摊开可以看成一个细长条这部分摊开可以看成一个细长条.. 这个细长条的长是 2p 1 -u ，宽是 x 2¶2 z 2 + y 2¶2z ¶y ¶x= -2x ¶z ¶x ，x + y 2 2 = -2 y¶z ¶y 上面第一式乘以 x 加上第二式乘以 y ，并注意到 x 2 ¶z ¶x + y 2 ¶z ¶y= 0 ，得到 x 3 ¶2z ¶2z ¶2z ¶x 2 ¶x ¶y ¶y 2= 0…………………………………………15 分2 2 2 1 I = òò f (ax + by + cz )dS . 求证： I = 2p òf ( a 2 + b 2 + c 2 u )du S-1解：由 S的面积为 4p 可见：当 a , b , c 都为零时，等式成立都为零时，等式成立.. …………………2 分当它们不全为零时当它们不全为零时,, 可知：原点到平面 ax + by + cz + d =0 的距离是 | d |a 2 +b 2 +c 2. …………………………5 分设平面 P u : u =ax + by +cz a 2 + b 2 +c 2 ，其中 u 固定固定.. 则 | u | 是原点到平面 P u的距离，从而-1 £ u £1 . …………………………8 分两平面 P u 和 P u +du截单位球 S 的截下的部分上的截下的部分上,, 被积函数取值为 f ( a 2 + b 2 + c 2 u ). (10)分2 du 1 -u 2，它的面积是 2p du ，故我们得证我们得证..…………………………15 分5。

2011 AMC8真题含答案

2011AMC8Problem1Margie bought apples at a cost of cents per apple.She paid with a5-dollar bill.How muchchange did Margie receive?Margie买了3个苹果，每个50美分。

她付了5美元，那么她应该找回多少零钱？Problem2Karl's rectangular vegetable garden is feet by feet,and Makenna's is feet by feet.Whichof the following statements are true?Karl的长方形蔬菜园的尺寸是20英尺ｘ45英尺，Makenna的菜园是25英尺ｘ40英尺。

下面哪句话是对的？（A）Karl’s garden is larger by100square feet．|Karl的莱园比Makenna的大100平方英尺。

（B）Karl’s garden is larger by25square feet．｜Karl的菜园比Makenna的大25平方英尺。

（C）The gardens are the same size.｜两人的菜园一样大。

（D）Makenna’s garden is larger by25square feet.|Makenna的菜园比Karl的大25平方英尺。

（E）Makenna’s garden is larger by100square feet.|Makenna的菜园比Karl的大100平方英尺。

Problem3Extend the square pattern of8black and17white square tiles by attaching a border of black tiles around the square.What is the ratio of black tiles to white tiles in the extended pattern?把下图所示的有8块黑色和17块白色方形瓷砖组成的正方形图案，通过围绕着这个大正方形的外周贴一圈黑色的瓷砖而进行拓展。

2011年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答

2011年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答一、填空题（共8题，每题10分，计80分）1、2011是这样的一个四位数，它的各位数字之和为4；像这样各位数字之和为4的四位数总共有个．答案：20．解：这种四位数1234x x x x 的个数，就是不定方程12344x x x x +++=满足条件11x ≥，234,,0x x x ≥的整解的个数；即12343y x x x +++=的非负整解个数，其中111y x =-，易知这种解有413341620C C -+-==个，即总共有20个这样的四位数． 2、设数列{}n a 满足:121,2a a ==,且对于其中任意三个连续项11,,n n n a a a -+,都有: 11(1)(1)2n n n n a n a a n -+-++=.则通项n a = ．答案：23n-．解：由条件得，112(1)(1)n n n na n a n a -+=-++，所以，11(1)()(1)()n n n n n a a n a a +-+-=--，故1111n n n n a a n a a n +---=-+，而211a a -=； 1132121112211231()1113n n n n n n n n n n a a a a a a n n n a a a a a a a a a a n n n +-+----------=⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅---+- 2(1)n n =+；于是12112()(1)1n n a a n n n n --==---；由此得，11221112()()()2(1)13n n n n n a a a a a a a a n n ---=-+-++-+=-+=-. 3、以抛物线2y x =上的一点()1,1M 为直角顶点，作抛物线的两个内接直角三角形MAB ∆与MCD ∆，则线段AB 与CD 的交点E 的坐标为．答案：(1,2)-．解：设221122(,),(,)A x x B x x ，则22121212111,111MA MB x x k x k x x x --==+==+--， 22121212ABx x k x x x x -==+-，直线AB 方程为21121()()y x x x x x -=+-，即1212()y x x x x x =+-，因为MA MB ⊥，则12(1)(1)1x x ++=-，即12122()x x x x -=++，代人方程得122()(1)y x x x -=++，于是点(1,2)-在直线AB 上；同理，若设223344(,),(,)C x x D x x ，则CD 方程为342()(1)y x x x -=++，即点(1,2)-也在直线CD 上，因此交点E 的坐标为(1,2)E -．4、设,,,1x y z R x y z +∈++=，则函数23(,,)f x y z xy z =的最大值是．答案：1432．解：由122333y y z z z x y z x =++=+++++≥ 623114276xy z ⎛⎫≤ ⎪⋅⎝⎭，即23431123432xy z ≤=⋅，当1236y z x ===，即 111,,632x y z ===时取得等号． 5、sin 6sin 42sin 66sin 78︒︒︒︒= ．答案：116．解： cos6sin 6cos 48cos 24cos12sin 6cos 48cos 24cos12cos6︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒= sin12cos12cos 24cos 48sin 24cos 24cos 48sin 48cos 482cos64cos68cos6︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒=== sin 96116cos 616︒︒==． 6、满足2272011x y +=的一组正整数(,)x y = ．答案：(38,9)．解：由于2011是43N +形状的数，所以y 必为奇数，而x 为偶数，设2x m =， 21y n =+，代人得2428(1)2004m n n ++=，即27(1)501m n n ++= ……①．而(1)n n +为偶数，则2m 为奇数，设21m k =+，则24(1)1m k k =++，由①得，(1)(1)71254n n k k +++⋅= ……②，则(1)4n n +为奇数，且,1n n +中恰有一个是4的倍数，当4n r =，为使(1)77(41)4n n r r +⋅=+为奇数，且7(41)125r r +<，只有1r =，②成为(1)35125k k ++=，即(1)90k k +=，于是4,9,38,9n k x y ====；若14n r +=，为使(1)77(41)4n n r r +⋅=-为奇数，且7(41)125r r -<，只有1r =， ②成为(1)21125k k ++=，即(1)104k k +=，它无整解；于是(,)(38,9)x y =是唯一解：2238792011+⋅=．（另外，也可由x 为偶数出发，使22220112009(2)7287(2)x x x -=--=⨯--为7的倍数，那么22x -是7的倍数，故x 是73k ±形状的偶数，依次取1,3,5k =，检验相应的六个数即可．）7、正三棱锥D ABC -的底面边长为4，侧棱长为8，过点A 作与侧棱,DB DC 都相交的截面AEF ∆，那么，AEF ∆周长的最小值是．答案：11．解1：作三棱锥侧面展开图，当1,,,A E F A 共线且EF ∥BC 时，AEF ∆周长最小，于是等腰DEF AEB ∆∆，4AE AB ==， 12BE AB AB DA ==，即2BE =，6DE =， 6384EF DE BC DB ===，所以3EF =，由14A F AE ==，则1111AA AE EF FA =++=．解2：作三棱锥侧面展开图，易知当1,,,A E F A 共线时，AEF ∆周长最小，设ADB θ∠=,则2228847cos .2888θ+-==⋅⋅37cos34cos 3cos ,128θθθ∴=-= 2221788288121,128AA ∴=+-⋅⋅⋅=111.AA ∴= A 1F E FE D C B AD C B A8、用()S n 表示正整数n 的各位数字之和，则20111()n S n ==∑ ．答案：28072．解：添加自然数0，这样并不改变问题性质；先考虑由0到999这一千个数，将它们全部用三位数表示，得到集{}000,001,,999M =，易知对于每个{}0,1,,9a ∈，首位为a 的“三位数”恰有100个：00,01,,99a a a ，这样，所有三位数的首位数字和为100(019)45100⋅+++=⋅；再将M 中的每个数abc 的前两位数字互换，成为bac ，得到的一千个数的集合仍是M ，又将M 中的每个数abc 的首末两位数字互换，成为cba ，得到的一千个数的集合也是M ，由此知，99999910()()30045n n S n S n ====⋅∑∑．今考虑四位数：在1000,1001,,1999中，首位（千位）上，共有一千个1，而在 0000,0001,,0999中，首位（千位）上，共有一千个0，因此， 19991999999100()()10002()10006004528000n n n S n S n S n =====+=+⋅=∑∑∑；其次，易算出，20112000()72n S n ==∑。

(免费)2011年高考数学模拟试卷(8)附答案-打印版

2011年高考数学模拟试卷（8）附答案（打印版）一．填空题1．设集合2{||1|1},{|0},A x x x B x x x A B =+=+=+<=则___________.2．复数Z 满足1(1)z z i -=+，则Z 的值是__________.3．双曲线221kx y -=的一条渐进线与直线210x y ++=垂直，则此双曲线的离心率是___________.4．某校数学教研组为来了解学生学习教学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二680人、高三720人中，抽取50人进行问卷调查，则高一、高二、高三抽取的认数分别是___________.5. 按下列程序框图来计算：如果x=5,应该运算_______次才停止。

6．使奇函数f(x)=sin(2x+θ)+3cos(2x+θ)在[4π-,0]上为减函数的θ值为 ___________.7．如果实数x y 、满足430352501x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，目标函数z kx y =+的最大值为12，最小值3，那么实数k 的值为___________.8．为了确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明（解密），已知加密规则为：明文,,,a b c d 对应密文2,2,5,2a b b c c d d +++，例如，明文1,2,3,4对应密文4,7,23,8，当接收方收到密文7,13,38,14时，则解密得到的明文是___________.9. 在数列{a n }中，a 1 = 2，a n + 1 = a n + l n (1 + 1n )，则a n =10. 已知在平面直角坐标系),(),1,2(),1,1(),2,1(),0,0(,y x M C B A O xOy 动点中--满足条件 ⎪⎩⎪⎨⎧≤⋅≤≤⋅≤-,21,22OB OM OA OM则OC OM ⋅的最大值为___________11．设函数21()122x x f x =-+，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数[()][()]y f x f x =+-的值域为 ___________否开始结束是x=3×x －2 输入x x>200输出x12．如图所示，是一个由三根细铁杆,,PA PB PC 组成的支架，三根铁杆的两两夹角都是600，一个半径为1的球放在支架上，则球心到P 的距离为 ___________.13. 在),(41,,,,,,222a cb Sc b a C B A ABC -+=∆若其面积所对的边分别为角中 A ∠则= 。

2011年全国初中数学竞赛试题+参考答案

“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设71a =-，则代数式32312612a a a +--的值为(A ).（A ）24 （B ）25 （C ）4710+（D ）4712+解：因为71a =-， 17a +=， 262a a =-，所以322312612362126261261260662126024.a a a a a a a a a a a +--=-+---=--+=---+=（）（）（）2．对于任意实数a b c d ，，，，定义有序实数对a b （，）与c d （，）之间的运算“△”为：（a b ，）△（c d ，）＝（ac bd ad bc ++，）．如果对于任意实数u v ，，都有（u v ，）△（x y ，）＝（u v ，），那么（x y ，）为(B ).（A ）（0，1）（B ）（1，0）（C ）（﹣1，0）（D ）（0，-1）解：依定义的运算法则，有ux vy u vx uy v +=⎧⎨+=⎩，，即(1)0(1)0u x vy v x uy -+=⎧⎨-+=⎩，对任何实数u v ，都成立. 由于实数u v ，的任意性，得（x y，）=（1，0）． 3．若1x >，0y >，且满足3y yx xy x xy==，，则x y +的值为(C ).（A ）1 （B ）2 （C ）92（D ）112解：由题设可知1y y x -=，于是341y y x yx x -==，所以 411y -=，故12y =，从而4x =．于是92x y +=．4．点D E ，分别在△ABC 的边A B A C ，上，B E C D ，相交于点F ，设1234BD F BC F C EF EAD F S S S S S S S S ∆∆∆====四边形，，，，则13S S 与24S S 的大小关系为(C ).解：如图，连接D E ，设1D E F S S ∆'=，则1423S S EF S BFS '==，从而有1324S S S S '=．因为11S S '>，所以1324S S S S >．（A ）1324S S S S < （B ）1324S S S S = （C ）1324S S S S > （D ）不能确定 5．设3333111112399S =++++，则4S 的整数部分等于(A ).（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7解：当2 3 99k = ，，，时，因为()()()32111112111kk k k k k k ⎡⎤<=-⎢⎥-+-⎣⎦，所以 3331111115111239922991004S ⎛⎫<=++++<+-< ⎪⨯⎝⎭ . 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是3＜m ≤4.解：易知2x =是方程的一个根，设方程的另外两个根为12 x x ，，则124x x +=，12x x m=．显然1242x x +=>，所以122x x -<， 164m∆=-≥0，即 ()2121242x x x x +-<，164m∆=-≥0，所以1642m -<， 164m∆=-≥0，解之得 3＜m ≤4.7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是19.解：在36对可能出现的结果中，有4对：（1，4），（2，3），（2，3），（第4题）（4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是41369=.8．如图，点A B ，为直线y x =上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1y x=（x ＞0）于C D ，两点. 若2B D A C =，则224OC OD - 的值为6.解：如图，设点C 的坐标为a b （，），点D 的坐标为c d （，）,则点A 的坐标为a a （，），点B 的坐标为.c c （，）因为点C D，在双曲线1y x=上，所以11ab cd ==，．由于AC a b =-，BD c d =-，又因为2B D A C =，于是22222242c d a b c cd d a ab b -=--+=-+，（），所以 22224826a b c d ab cd +-+=-=（）（），即224OC OD -=6. 9．若112y x x =-+-的最大值为a ，最小值为b ，则22a b +的值为32.解：由1x -≥0，且12x -≥0，得12≤x ≤1．22213113122()2222416y x x x =+-+-=+--+．由于13124<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =．当12x =或1时，2y 取到最小值12，故22b =．所以，2232a b +=．10．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于 △ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为84.解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ，则22235a b +=＝1225． ①又Rt △AFE ∽Rt △ACB ，所以F E A F C BA C=，即1212b a b-=，故 12()a b ab +=． ②（第8题）（第10题）由①②得 2222122524a b a b a b a b+=++=++（）（），解得a ＋b ＝49（另一个解－25舍去），所以 493584a b c ++=+=．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.解：设方程20x ax b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得()()11a a αβαβ+=-++=，，两式相加得 2210αβαβ+++=，即(2)(2)3αβ++=，所以 2123αβ+=⎧⎨+=⎩，；或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得 11αβ=-⎧⎨=⎩，；或53.αβ=-⎧⎨=-⎩，又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（），所以 012a b c ==-=-，，；或者8156a b c ===，，，故3a b c ++=-，或29.12．如图，点H 为△ABC 的垂心，以A B 为直径的⊙1O 和△B C H 的外接圆⊙2O 相交于点D，延长A D 交C H 于点P ，求证：点P 为C H 的中点.证明：如图，延长A P 交⊙2O 于点Q ，连接 AH BD QB QC QH ，，，，.因为A B 为⊙1O 的直径，所以∠A D B =∠BDQ =90°，故BQ 为⊙2O 的直径. 于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，.又因为点H 为△ABC 的垂心，所以.AH BC BH AC ⊥⊥，所以A H ∥CQ ，A C ∥HQ ，四边形ACQH 为平行四边形. 所以点P 为C H 的中点.13．如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线223y x=于P ，Q 两点.（1）求证：∠A B P =∠ABQ ；（2）若点A 的坐标为（0，1），且∠PBQ =60º，试求所有满足条件的直线PQ 的函数解析式.解：（1）如图，分别过点P Q ，　作y 轴的垂线，垂足分别为C D ，　. 设点A 的坐标为（0，t ），则点B 的坐标为（0，-t ）.设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,并设P Q ，的坐标分别为P P x y （，）,Q Q x y （，）.由223y kx t y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，，得 2203x kx t --=，于是 32P Qx x t=-，即 23P Q t x x =-.于是222323P P Q Q x t y tBCBD y tx t++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P QQ P QQ Q P x x x x x x x x x x x x x x --===---又因为P Qx PC Q Dx =-，所以BC PC BDQD=.因为∠B C P =∠90BDQ =︒，所以△B C P ∽△BDQ ，故∠A B P =∠ABQ .（2）解法一设P C a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0，由（1）可知∠A B P =∠30ABQ =︒，B C =3a，B D =3b，所以 A C =32a -，A D =23b-.因为P C ∥DQ ，所以△AC P ∽△ADQ . 于是PC AC D QAD=，即3223a a bb-=-，所以3a b ab+=．由（1）中32P Qx x t=-，即32ab -=-，所以33322ab a b =+=，，于是可求得2 3.a b ==将32b =代入223y x=，得到点Q 的坐标（32，12）.再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得3.3k =-所以直线PQ 的函数解析式为313y x =-+.根据对称性知，所求直线PQ 的函数解析式为313y x =-+，或313y x =+.解法二设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,其中1t =. 由（1）可知，∠A B P =∠30ABQ =︒，所以2BQ DQ =. 故 222(1)Q Q Q x x y =++.将223Q Qy x =代入上式，平方并整理得4241590Q Q x x -+=，即22(43)(3)0Q Q x x --=.所以 32Q x =或 3.又由 (1)得3322P Q x x t =-=-，32PQ x x k+=.若32Q x =，代入上式得 3P x =-，从而 23()33P Q k x x =+=-.同理，若3Q x =，可得32P x =-，从而 23()33P Q k x x =+=.所以，直线PQ 的函数解析式为313y x =-+，或313y x =+.14．如图，△ABC 中，60B A C ∠=︒，2A B A C =．点P 在△ABC 内，且352PA PB PC ===，，，求△ABC的面积．解：如图，作△ABQ ，使得QAB PAC ABQ ACP ∠=∠∠=∠，，则△ABQ ∽△ACP .由于2A B A C =，所以相似比为2. 于是22324A Q A P B Q C P ====，．60QAP QAB BAP PAC BAP BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒.由:2:1AQ AP =知，90APQ ∠=︒，于是33PQ AP ==．所以 22225BP BQ PQ ==+，从而90BQP ∠=︒．于是222()2883AB PQ AP BQ =++=+ . 故 213673s i n 60282ABC S AB AC AB ∆+=⋅︒==．。

2011年数学建模模拟训练大题目

2011年数学建模模拟训练题目第1题A 越野长跑团体赛记分规则的公平性越野长跑团体赛的记分规则是这样的：每个参赛团体由7名队员组成，取该团体跑在前面的5个队员在所有参赛选手中的排名顺序之和为该团体的得分，然后根据各参赛队得分（由小到大）的顺序决定比赛排名。

试回答以下问题：（1）此规则是否存在不公平的地方？如果存在，举例说明。

（2）试讨论在不计时、仅考虑各位参赛选手的排序信息的前提下，公平的记分规则应满足哪些性质？（3）试根据（2）中的讨论，构造你们认为更合理的规则，对你们得到的结论需说明理由。

B 新股申购策略当前股市中有一部分投资者以“打新”为主要投资手段。

由于新股开盘价大多都高于申购价，而申购新股不需要任何交易成本，如果策略得当，每年的收益可以超过 10％，大大高于其他无风险收益（银行存款和国债年收益率都低于 4％）。

因此，打新股成为一种风险较低的理财投资方式。

股民们对于新股申购的热情也是一浪高过一浪。

但同时新股的发行速度也越来越快，有时甚至一天内同时有四五个新股可以申购，这也使得一些股民产生茫然，有的分散资金投资，有的集中一个投资。

那么，到底应当采用何种投资策略呢？新形势下申购新股的收益又会有多少呢？新股的申购分为网下询价申购和网上定价申购两种模式。

网下申购限于专用资金（比如某证券公司、基金公司等），所配售的新股一般在其上市以后三个月才能流通；网上申购限于非专用资金（一般指的是个人资金），所中签的新股上市首日即可买卖交易，具体的申购流程及手续可参见。

现在你被授权管理一笔私人资金，用于投资新股。

该资金仅限用于上海证券交易所和深圳证券交易所A 股的网上申购，具体时间范围规定为自 2010年下半年发行的所有新股（所有数据可以参阅）。

请建模分析，解决如下问题：（1）你管理一笔私人资金，数目为50 万人民币，用于网上申购新股，对于中签的新股，要求在其上市首日即卖出。

问：应当如何投资才能获得最大的收益，并计算你的收益率。

2011年第三届全国大学生数学竞赛预赛试题及答案

2

1
x 1 2
x 2 ；
1 2n 1 10 S 22 n1 9 . 2 n 1
二、（本题共 16 分）设an n0 为数列， a, 为有限数，

求证：（1）如果 lim an a ，则 lim
n
a1 a2 an a. n n
5
记第一型曲面积分 I 求证：I 2 f
1

1
f ax by cz dS .

a 2 b 2 c 2 u du . h o

x, y , z a, b, c
dS
解
I

f ax by cz dS f f
a, b, c x, y, z dS
2011 年第三届全国大学生数学竞赛预赛试题及答案（非数学类）一、（本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分）计算下列各题（要求写出重要步骤）（1） lim
x 0
1 x
2 x
2 x
e 2 1 ln 1 x x
2ln 1 x
解 lim
x 0
上具有连续的三阶偏导数，再利用连续函数介值定理）；即 f ''' x0 3 .
4
四、（本题共 15 分）在平面上，有一条从点 a,0 向右的射线，其线密度为，在 0, h 点处（其中 h 0 ）有一质量为 m 的质点.求射线对该质点的引力. 解如图建立坐标系，在区间
lim
2

解
sgn xy 1dxdy
D

(完整word版)2011年全国高中数学联赛试题及答案

（2）对任意正整数，及任意个互不相同的正整数，均有
．
3.（50分）设是给定的正实数，．对任意正实数，满足的三元数组的个数记为．
证明：．
4.（50分）设A是一个的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A中的一个的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．
，
故，于是集合的四个元素分别为5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5＝0，5－8＝－3，因此，集合．
2． .提示：设，且，则
．
设，则，且，所以．
3．-1.提示：由，得．又
，
即
．
于是
．
再由不等式中等号成立的条件，得．与联立解得或
故．
4． .提示：不等式
等价于
.
又是上的增函数，所以，故
当时， C ，在C 中，同样可求得中因数2的个数为88, 中因数2的个数为105,故C 中因数2的个数为，故不是整数．
因此，整数项的个数为．
9．因为，所以
，
所以或，又因为，所以，所以．
又由有意义知，从而
，
于是
．
所以
．
从而
．
又
，
所以
，
故．解得或（舍去）．
把代入解得．
8．15.提示： C ．
要使为整数，必有均为整数，从而．
当 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时，和均为非负整数，所以为整数，共有14个．
当时， C ，在C 中，中因数2的个数为

2011年全国高中数学联赛广东省预赛试题及答案

2 n 2 + 3n + 2 = n 20 > n+3 ． 10 n+2 n ≥ 3 成立． 10
所以结论对 n + 1 时亦成立．由归纳法原理及 1, 2 可知 an ≥ 因此 an ≥
n+2 n > n ≥ 3 成立． 10 10
从而本题得证．
7
1.答案：8041. 由题意， a2 a1 3 ， a3 a2 5 ，且 an an1 an2 an3 (n 4). ∴ a2n a2n1 3， a2n1 a2n 5 n N * . ∴ a2n1 a2n1 8 ，∴ a2011 (a2 k 1 a2 k 1 ) a1 1005 8 1 8041
1 . 4
证明：由已知得 (n 1)an 2(a0 a1 ... an 2 ) ，在上式中以 n 1 代替 n 得到
nan1 2(a0 a1 ... an1 )，
两式相减得 nan1 (n 1)an 2an1 ，此式对所有整数 n 3 均成立. 设 bn
1 1 1 37 二.1.解：当 n 3 时， . 4 5 6 60 1 1 1 37 ... . 假设 n k k 3 时, k 1 k 2 2k 60 则当 n k 1 时， 1 1 1 1 1 ... k 2 k 3 2k 2k 1 2 k 2 1 1 1 1 1 1 ... k 1 k 2 2k 2k 1 2k 2 k 1 1 1 1 1 1 ... k 1 k 2 2k 2k 1 2k 2 1 1 1 ... k 1 k 2 2k 37 . 60 37 因此，所求最小值为 . 60 2.解：令 a, b 和 c 为一个三角形的三边，则 a+b>c, b+c>a 和 c+a>b.不妨设

2011年全国高中数学联赛模拟试题八

2011年全国高中数学联赛模拟试题八第一试一．填空题1. 已知数列{}n a 满足()+113+=41,9n n a a n a ≥=且，其前n 项之和为S n 。

则满足不等式|S n -n -6|<1251的最小整数n 是____________.2. 若1sin sin =+y x ，则y x cos cos +的取值范围是．3. 有10个不同的球，其中，2个红球、5个黄球、3个白球。

若取到一个红球得5分，取到一个白球得2分，取到一个黄球得1分，那么，从中取出5个球，使得总分大于10分且小于15分的取法种数为_______________.4. 设函数:,(0)1f R R f →=满足，且对任意,,x y R ∈都有(1)()()()2f xy f x f y f y x +=--+，则()f x =_____________________；5. 在四面体ABCD中1,AB AC AD BC BD CD =====则AD 与BC 所成的角为 .6. 已知2432()34,(())318506948f x x x f g x x x x x =-+=++++，那么整系数多项式函数()g x 的各项系数和为__________.7. 不等式2281042222<+--+-<-x x x x 的解集为 __________________.8. .若[]x 表示不超过x 的最大整数（如[]11.31,234⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦等等）则++++ ＝____________________．二．解答题9. 对2n n ∈≥N *，，令2411nn k kS k k ==++∑，33211nn k k T k =-=+∏，求证：13n n S T =.10. 已知圆C:222440x y x y +-+-=,直线:l y x b =+。

（１）若直线l 与圆C 相切，求实数b 的值；（２）是否存在直线l ，使l 与圆C 交于,A B 两点，且以,A B 为直径的圆过原点？如果存在，求出直线l 的方程，如果不存在，说明理由．11. 设函数38)(2++=x ax x f ).(R a ∈（1）若)(),()(x f x xf x g =与)(x g 在x 同一个值时都取得极值，求a 的值.（2）对于给定的负数a ，有一个最大的正数()M a ，使得)](,0[a M x ∈时，恒有.5|)(|≤x f①()M a 的表达式； ②()M a 的最大值及相应的a 值.二试一. 直角三角形ABC 中，,E F 分别是直角边,AB AC 上的任意点，自A 向,,,BC CE EF FB 引垂线，垂足分别是,,,M N P Q 。

2011年株洲市初中数学竞赛初二试卷和答案

1002004002011年株洲市初中数学竞赛试卷（初二年级）时量：120分钟总分：100分注意事项：1、用黑色、蓝色钢笔或圆珠笔作答；2、在密封线内答题，答题内容不要超过密封线；3、不准使用计算器。

1．直线23y x =-不经过A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知2222()8 ()12 a b a b a b +=-=+，，则的值为 A ．4 B ． 8 C ．10 D ．203. 某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则至少可打A.7折B.8折C.9折D.9.5折4. 星期天晚饭后，小红从家里出去散步，如图描述了她散步过程中离家的距离s （米）与散步所用时间t （分）之间的函数关系，依据图象，下面描述符合小红散步情景的是A ．从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了B ．从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了C ．从家出发，一直散步（没有停留），然后回家了D ．从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18分钟后才开始返回 5．为了加强食品安全管理，有关部门对某大型超市的甲、乙两种品牌食用油共抽取18瓶进行检测，检测结果分成“优秀”、“合格”、“不合格”三个等级，数据处理后制成以下条形统计图和扇形统计图．则抽取的乙种品牌中优秀的有（）瓶。

A ．10 B ． 8 C ．6 D ． 4两种品牌食用油检测结果直方图甲种品牌食用油检测结果扇形分布图图⑴图⑵ （第4题图）F( 图2 ）ED CBA6．如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，AD 平分∠BAC ，E 在AD 的延长线上，且B F A E ⊥，则结论①AD=BF ，② AC+CD=AB ，③ BE=CF ，④BF=2BE ，其中正确的结论的个数是A ．1B ．2C ．3D ．47. 有四个命题，其中错误的命题是A ．有两条边及其中一边上的中线对应相等的两三角形全等B ．有两角及另一角的角平分线对应相等的两三角形全等C ．有两条边及其中一边所对的钝角对应相等的两三角形全等D ．有两边以及另一边上的高对应相等的两个三角形全等8. 如图，每个立方体的6个面上分别写有1到6这个自然数，并且任意两个相对面上所写两个数字之和为7，把这样的7个立方体一个挨着一个地连接起来，紧挨着的两个面上的数字之和为8，则图中“﹡”所在面上的数字是A ．4B ．3C ．2D ．19．已知12n n a b-与223ma b-(m 是正整数)是同类项，那么(2)nm n -= ．10.已知有理数x 满足：31752233x xx -+-≥-，则化简12x x --+=。

2011年全国高中数学联赛试题及解答

2011年全国高中数学联合竞赛第一试一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上．1．设集合{}1234,,,A a a a a =，若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为{}1,3,5,8B =-，则集合．2．函数()f x =的值域为．3．设为正实数，11a b+≤()()234a b ab -=，则．4．如果()5533cos sin 7sin cos θθθθ-<-，[)0,2θπ∈，那么的取值范围是．5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为．（用数字作答）6．在四面体中，已知60ADB BDC CDA ∠=∠=∠=︒，3AD BD ==，2CD =，则四面体的外接球的半径为．7．直线210x y --=与抛物线24y x =交于,A B 两点，C 为抛物线上的一点，90ACB ∠=︒，则点C 的坐标为．8．已知()2002001,2,,95nnnn a C n -=⋅⋅=，则数列{}n a 中整数项的个数为．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．设函数()()lg 1f x x =+，实数(),a b a b <满足()12b f a f b +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，()106214lg 2f a b ++=，求,a b 的值．10．已知数列满足：()1231a t t t =-∈≠±R 且，()()()112321121n n n n n n t a t t a n a t ++-+--=∈+-N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若0t >，试比较与的大小．11．作斜率为13的直线l 与椭圆C ：221364x y +=交于A 、B 两点（如图所示），且(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△P AB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若60APB ∠=︒，求△P AB 的面积．加试一、（本题满分40分）如图，P,Q分别是圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD的中点．若∠=∠．∠=∠，证明：AQB CQBBPA DPA二、（本题满分40分）证明：对任意整数，存在一个次多项式()1110n n n f x x a x a x a --=++++具有如下性质：（1）011,,,n a a a -均为正整数；（2）对任意正整数，及任意()2k k ≥个互不相同的正整数12,,,k r r r ，均有()()()()21k f m f r f r f r ≠．三、（本题满分50分）设()12,,,4n a a a n ≥是给定的正实数，12n a a a <<<．对任意正实数，满足()1j i k ja a r i j k n a a -=≤<<≤-的三元数组(),,i j k 的个数记为()n f r ．证明：()24n n f r <．四、（本题满分50分）设A是一个39⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个()⨯≤≤≤≤方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A中的一个的m n m n13,19小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．。

2011年大学生数学竞赛试题及答案

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四、 (本题 10 分) 对于 ∆ABC , 求 3 sin A + 4 sin B + 18 sin C 的最大值. 解答: 三角形三个角 A, B, C 的取值范围为 (A, B, C ) ∈ D ≡ {(α, β, γ )|α + β + γ = π, α > 0, β > 0, γ > 0} . 我们首先考虑 3 sin A + 4 sin B + 18 sin C 在 D 的闭包 E = {(α, β, γ )|α + β + γ = π, α ≥ 0, β ≥ 0, γ ≥ 0} 上的最大值. 我们有 max (3 sin A + 4 sin B + 18 sin C ) ....................................................... (1 分)
这时 2 −√ < yn+1 − yn < 0; n+1 ................................................................... 而当 yn < 2α 时, 我们有 yn+1 − yn √ yn n + 1 = √ − yn n+1 √ √ n + 1 + n − yn √ = √ √ ; n + 1( n + 1 + n) (12 分)
(A,B,C )∈E
= =
( ) max (3 + 4 cos C ) sin A + +4 sin C cos A + 18 sin C 0≤C ≤π 0≤A≤π −C ) (√ (3 + 4 cos C )2 + 16 sin2 C + 18 sin C = max 0≤C ≤π √ = max ( 25 + 24 cos C + 18 sin C ). max