第4章 基本形体的投影
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投影基本知识
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第一节投影的形成与分类
运用中心投影的原理绘制的具有逼真立体感的单面投影图称 为透视投影图，简称透视图。它具有真实、直观、有空间感 且符合人们视觉习惯的特点，但绘制较复杂，形体的尺寸不 能在投影图中度量和标注，不能作为施工的依据。仅用于建 筑及室内设计等方案的比较以及美术、广告等，如图2-8所示。
体，二是光线在穿透物体的同时能够反映其内部、外部的轮
廓(看不见的轮廓用虚线表示)，三是对形成投影的光线的射
向作相应的选择，以得到不同的投影。
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第一节投影的形成与分类
在制图上，把发出光线的光源称为投影中心，光线称为投影 线。光线的射向称为投影方向，将落影的平面称为投影面。 构成影子的内外轮廓称为投影。用投影表达物体的形状和大 小的方法称为投影法，用投影法画出物体的图形称为投影图。 习惯上也将投影物体称为形体。制图上投影图的形成如图2-1 所示。
仍然平行(ab//cd)，如图2-7 (a)所示。
通过两平行直线AB和CD的投影线所形成的平面ABba和CDdc平 行，而两平面与同一投影面P的交线平行，即ab //cd 。
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第一节投影的形成与分类
2.定比性
点分线段为一定比例，点的投影分线段的投影为相同的
比例，如图2-7 (b)所示，AC:CB=ac:cb。
空间图形相似。这种性质为类似性，如图2-7 ( d)所示，
ab<AB，
。
5.积聚性
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第一节投影的形成与分类
直线或平面图形平行于投影线(正投影则垂直于投影面)时， 其投影积聚为一点或一直线，如图2-7 (e)所示，该投影称 为积聚投影，这种特性称为积聚性。
机械制图第四章
画图步骤（参见下图）： 主视图的投射方向由例图可知，先画出未切割前圆柱体的三视图。 画切角的投影。切角的投影要先画主视图，再画俯视图，然后由主视图和俯视
4
画矩形切槽的投影。矩形切槽的投影要先画左视图，再画俯视图，主视图由俯视图
和左视图求出（主视图中，矩形切槽的底面不可见，因此要画成虚线）。 整理轮廓线，将切去的轮廓线擦除并加深图线。
1
基本几何体的投影
2
截交线
相贯线
4
3
截交线与相贯线测绘案例
5
在AutoCAD中绘制截交线和相贯线
1
1
圆柱体的投影及其表面上的点
如图所示，若圆柱体的轴线垂直于H面，则俯视图的可见轮廓为圆，这个圆反映了圆柱 体上、下底面的实形；主视图的可见轮廓为矩形，矩形的上下两边为圆柱体上下两底面的 投影，左右两边为圆柱面最左和最右两条素线的投影。这两条素线将圆柱面分为前后两部 分，前半个柱面可见，后半个柱面不可见，我们把这两条素线称为柱面对V面的转向轮廓线， 该转向轮廓线的水平投影积聚到圆的最左和最右点，侧面投影和轴线重合。 左视图的图形虽然和主视图相同， 但其左右两条边的含义和主视图不同， 这两条边表示柱面上最前和最后两条素 线的投影，即柱面对W面的转向轮廓线 ，该转向轮廓线的水平投影积聚到圆的 最前和最后点。此外，左视图中，V面 的转向轮廓线和轴线重合（不画）。 已知柱面上M点的V面投影m′，该点的其他两面投影可以求出来。即由于圆柱面的水平投影 积聚成圆，所以M点的水平投影一定在该圆上，又因为m′可见（不可见时，需用圆括号括起来）， 所以M点的水平投影一定在前半个柱面上；根据“长对正”即可求出M点的水平投影m；根据 “高平齐、宽相等”即可求出M点的侧面投影m''。因为M点在左半个柱面上，所以m''可见。
2.4 基本形体的投影图解读
绘制曲面体的投影时，不但要作出曲面边 界线的投影，还要作出轮廓素线的投影。 轮廓素线就是曲面向某一方向投射时，其 可见部分与不可见部分的分界线。 对于不同方向的投影，曲面上的轮廓素线 是不同的。
曲面体投影图的绘制
（1）绘制圆柱体的投影图 将圆柱体立放在三面投影体系中，使上、下底面平 行于H 面，圆柱面垂直于H 面。如图a所示。 先作H面投影图，如图b所示
例 已知正三棱锥侧表面SAB上点M 的V面投影 m′，如图a所示，求作点M的其他两面投影。
曲面体的投影
由曲面或曲面与平面所围成的形体称为曲面
体。 曲面(圆柱面、圆锥面、球面等)是直线或曲 线按一定规律运动形成的轨迹。 运动的线称为母线，母线的任一位置称为素 线。 旋转面：母线绕一条固定轴回转所形成的曲面。 纬圆：母线上的任意一点的轨迹都是一个圆，称 为纬圆，其圆心在回转轴。
根据“长 对 正” 和圆 柱的高作出 V面投影，它们 是由上、下底面的积聚投 影和最左、最右轮廓素线 围成的矩形。如图c所示。 根据“高 平 齐、 宽相 等”画出 W 面投影，它们 也是上、下底面的积聚投 影和最前、最后轮廓素线 围成的矩形。加深图线, 如 图d所示。
（2）绘制圆锥体的投影图
常见曲面体的投影图 1、圆柱
直观图
投影图
2、圆锥
直观图
投影图
3、圆台
直观图
投影图
4、球
直观图
投影图
曲面体表面上的点和线的投影
曲面体表面上点的投影作法： （ 1 ）处于特殊位置上的点，如圆柱和圆锥 的最前、最后、最左及最右轮廓素线，底边圆 周及球体平行于三个投影面的最大圆周等位置 的点，可直接利用轮廓线上求点的投影方法求 得。 （ 2 ）处于其他位置的点，可利用曲面体投 影的积聚性，用素线法或纬圆法求得。 曲面体表面上线的投影作法： （ 1 ）先作出线段首尾点及中间若干点的三 面投影。 （2）再用光滑的曲线连接起来即可。
建筑制图第四章讲义
O
Z p"
O
YW
p
p
H Y
YH
正平面：正面投影反映实形；水平投影和侧面投影积聚为 一条直线并平行于相应的投影轴。
Z
V
Z
p'
P X
p' p"
WX
O
p"
O
YW
p
p
H
YH
Y
侧平面：侧面投影反映实形；水平投影和正面投影积聚为 一条直线并平行于相应的投影轴。
Z V
p'
Z
p'
p"
P
p" W X
X
O
p
p
H Y
O
a
b
YH
Ha
b
侧面投影积聚为一点；水平投影
Y 及正面投影平行于OX轴，且反映实
长。
§4—3 直线上的点
直线上的点的特性：
1、直线上的点的投影，必落在该直线的同面投影上； 2、一直线上两线段长度之比，等于他们的投影长度之比。
C
B
C
B
A
A
AC ac
CB cb
a
a
c
b
c
b
从属性
定比性
例1：判断点K是否在线段AB上。
最为简便、快捷。
直角三角形法(求直线的实长及对水平投影面的夹角α)
a' X
b' m
α
A
AB0=ab BB0=AB两点的高度差
b'
AB
B
mα
m
a'
ab
B0
X
O
O
b
b
Z p"
O
YW
p
p
H Y
YH
正平面：正面投影反映实形；水平投影和侧面投影积聚为 一条直线并平行于相应的投影轴。
Z
V
Z
p'
P X
p' p"
WX
O
p"
O
YW
p
p
H
YH
Y
侧平面：侧面投影反映实形；水平投影和正面投影积聚为 一条直线并平行于相应的投影轴。
Z V
p'
Z
p'
p"
P
p" W X
X
O
p
p
H Y
O
a
b
YH
Ha
b
侧面投影积聚为一点；水平投影
Y 及正面投影平行于OX轴，且反映实
长。
§4—3 直线上的点
直线上的点的特性：
1、直线上的点的投影，必落在该直线的同面投影上； 2、一直线上两线段长度之比，等于他们的投影长度之比。
C
B
C
B
A
A
AC ac
CB cb
a
a
c
b
c
b
从属性
定比性
例1：判断点K是否在线段AB上。
最为简便、快捷。
直角三角形法(求直线的实长及对水平投影面的夹角α)
a' X
b' m
α
A
AB0=ab BB0=AB两点的高度差
b'
AB
B
mα
m
a'
ab
B0
X
O
O
b
b
第四章立体的投影
③判别可见性。
❖ ㈡两平面立体的表面交线
相交形体的表面交线称为相贯线。
两平面立体相贯线的特征：一般情况为空间折线，特殊情况为平面折线，每 段折线是两立体棱面的交线，每个折点是一立体棱线与另一立体的贯穿点。 立体的相贯形式有两种：
一是全贯，即一个立体完全穿过另一个立体，相贯线有两组； 二是互贯，两个立体各有一部分参与相贯，相贯线为一组。 求两平面体相贯线的方法：有两种 （1）交点法——先作出各个平面体的有关棱线与另一立体的交点，再将所有交 点顺次连成折线，即组成相贯线。连点的规则是：只有当两个交点对每个立体 来说，都位于同一个棱面上时才能相连，否则不能相连。 （2）交线法——直接作出两平面立体上两个相应棱面的交线，然后组成相贯线。
（3）投影分析
（二）棱锥体 （1）形体特征: 底面是多边形，棱 线交于一点，侧棱面均为三角形。 （2）安放位置: 底面△ABC平行于H面。 （3）投影分析
【例4-1】 作四棱台的正投影图 解：（1）分析
1）四棱台的上、下底面都与H面平行， 前、后两棱面为侧垂面，左、右两棱面 为正 垂面。 2）上、下两底面与H面平行，其水平投 影反映实形；其正面、侧面投影积聚为 直线。 3）前、后两棱面与W面垂直，其侧面投影积聚为直线；与H、V面倾斜，投 影为缩小的类似形。 4）左、右两个面与V面垂直，其正面投影积聚为直线；与H、W面倾斜，投 影为缩小的类似形。 5）四根斜棱线都是一般位置直线，其投影都不反映实长。
3）连点。 4）判断可见性。
❖ 三、同坡屋面交线的画法
单坡屋面 坡屋面 双坡屋面
四坡屋面 同坡屋面：既屋檐高度相等、各屋面与水平面倾角相等的屋面。 同坡屋面交线的画法，其实 质是求两平面交线的问题。
同坡屋面上各种交线的名称
❖ ㈡两平面立体的表面交线
相交形体的表面交线称为相贯线。
两平面立体相贯线的特征：一般情况为空间折线，特殊情况为平面折线，每 段折线是两立体棱面的交线，每个折点是一立体棱线与另一立体的贯穿点。 立体的相贯形式有两种：
一是全贯，即一个立体完全穿过另一个立体，相贯线有两组； 二是互贯，两个立体各有一部分参与相贯，相贯线为一组。 求两平面体相贯线的方法：有两种 （1）交点法——先作出各个平面体的有关棱线与另一立体的交点，再将所有交 点顺次连成折线，即组成相贯线。连点的规则是：只有当两个交点对每个立体 来说，都位于同一个棱面上时才能相连，否则不能相连。 （2）交线法——直接作出两平面立体上两个相应棱面的交线，然后组成相贯线。
（3）投影分析
（二）棱锥体 （1）形体特征: 底面是多边形，棱 线交于一点，侧棱面均为三角形。 （2）安放位置: 底面△ABC平行于H面。 （3）投影分析
【例4-1】 作四棱台的正投影图 解：（1）分析
1）四棱台的上、下底面都与H面平行， 前、后两棱面为侧垂面，左、右两棱面 为正 垂面。 2）上、下两底面与H面平行，其水平投 影反映实形；其正面、侧面投影积聚为 直线。 3）前、后两棱面与W面垂直，其侧面投影积聚为直线；与H、V面倾斜，投 影为缩小的类似形。 4）左、右两个面与V面垂直，其正面投影积聚为直线；与H、W面倾斜，投 影为缩小的类似形。 5）四根斜棱线都是一般位置直线，其投影都不反映实长。
3）连点。 4）判断可见性。
❖ 三、同坡屋面交线的画法
单坡屋面 坡屋面 双坡屋面
四坡屋面 同坡屋面：既屋檐高度相等、各屋面与水平面倾角相等的屋面。 同坡屋面交线的画法，其实 质是求两平面交线的问题。
同坡屋面上各种交线的名称
棱锥棱台等平面体的投影
分析其三面投影图。 H投影：为三个大小相等三角形。 V投影：为两个三角形。 W投影：为一个三角形。 正棱锥体投影特征为： 当底面平行于某一投影面时， 在该面上投影为实形正多边形 及其内部的n个共顶点等腰三角形， 另两个投影为一个或多个三角形。
2.棱台
分析其三面投影图： W投影：投影为三角形。 棱柱表面定点和定线 【例4-1】 如图4-5所示，已知三棱柱上直线AB、BC的V投影， 求另外两个投影。
【例4-2】 如图4-5所示，已知四棱柱表面上点K的V投影和点M的V投影， 求它们的另外两投影。
【例4-3】 如图4-10-1所示，已知三棱锥表面上点K的V投影k′ 和点M的H投影m′，求它们的另外两投影
【例4-4】 如图4-10-2所示已知三棱锥表面上线KL、LM的H投 影，求它们的另外两投影。
平面体投影图的识读：
1. 棱柱的三个投影，其中一个投影为多边形，另两 个投影分别为一个或若干个矩形，满足这样条件的 投影图为棱柱体的投影。 2. 棱锥的三个投影，一个投影外轮廓线为多边形， 另两个投影为一个或若干个有公共顶点的三角形， 满足这样条件的投影是棱锥体的投影。 3. 棱台的三个投影，一个投影为两个相似的多边形， 另两个投影为一个或若干个梯形，满足这样条件的 投影为棱台的投影 。
4.2.1 园柱
4.2.1.1 园柱投影特性及作图方法 圆柱的形成：直线AA1绕着与它平行的直线OO1旋转， 所得圆柱体如图4-11所示 。
4.2.1.2园柱表面定点和定线 对于回转曲面，就是利用回转曲面上的素线
（ 直母线 在 回转 面 上的 任 意位 置 ）或纬圆 （母线上任何一点的旋转轨迹皆是回转曲面 上的圆周）确定在其上的点的投影位置。前 者称为素线法，后者称为纬圆法。
建筑制图与识图--投影的基本知识
例3：如图所示，已知球面上K点的V面投影k' 可见，试求其另外两面投影k， k''
建筑识图与构造
4.2 曲面立体的投影
分析：过圆球面 上K点作一水平
的纬圆，该纬圆 的V面投影积聚 成水平线，而H
面投影反映实形 为一圆，点K 到
球的竖直轴线的 距离即为该圆的 半径。
k'
l'
o'
l
o k
k‘' o ‘'
建筑识图与构造
4.4 相贯型组合体
两平面立体相交的相贯线，一般情况下是由直线段组合 而成的空间折线多边形。构成相贯线折线的每一直线段， 都是两个平面体有关棱面的交线，每一个折点都是一平面 体的棱线对另一平面体的贯穿点。 求相贯线的一般步骤如下：
(1) 分析。认识两相贯体的形体特征，考察它们的相对位 置，研究它们哪些部分参与相贯，选择解题方法；
建筑识图与构造 第三章 投影的基本知识
第四节 基本形体的投影 第五节 轴测图的基本知识 第六节 视图的阅读
建筑识图与构造
第四节 基本形体的投影
4.1 平面立体的投影 定义：由平面构成的几何体称为平面几何体 。
平面几何体
各棱线相互平行的几何体（正方体、长方体、 棱柱体等）。
各棱线或其延长线交于一点的几何体（三棱锥、 四棱台等）。
建筑识图与构造
4.3 平面体的截交线
截平面：用来截立体的平面。
截交线：截平面与立体平面的交线。截交线是截平面和立 体表面的共有线，截交线是封闭的。截交线上的每个点都 是截平面和立体表面的共有点。
建筑识图与构造
4.3.1 棱柱的截交线
例题：如图所示，三棱柱被正垂面P截断，P面左下右上横向将三棱柱截切， 三棱线与截平面的交点是Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，求三棱柱的截交线。
建筑识图与构造
4.2 曲面立体的投影
分析：过圆球面 上K点作一水平
的纬圆，该纬圆 的V面投影积聚 成水平线，而H
面投影反映实形 为一圆，点K 到
球的竖直轴线的 距离即为该圆的 半径。
k'
l'
o'
l
o k
k‘' o ‘'
建筑识图与构造
4.4 相贯型组合体
两平面立体相交的相贯线，一般情况下是由直线段组合 而成的空间折线多边形。构成相贯线折线的每一直线段， 都是两个平面体有关棱面的交线，每一个折点都是一平面 体的棱线对另一平面体的贯穿点。 求相贯线的一般步骤如下：
(1) 分析。认识两相贯体的形体特征，考察它们的相对位 置，研究它们哪些部分参与相贯，选择解题方法；
建筑识图与构造 第三章 投影的基本知识
第四节 基本形体的投影 第五节 轴测图的基本知识 第六节 视图的阅读
建筑识图与构造
第四节 基本形体的投影
4.1 平面立体的投影 定义：由平面构成的几何体称为平面几何体 。
平面几何体
各棱线相互平行的几何体（正方体、长方体、 棱柱体等）。
各棱线或其延长线交于一点的几何体（三棱锥、 四棱台等）。
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4.3 平面体的截交线
截平面：用来截立体的平面。
截交线：截平面与立体平面的交线。截交线是截平面和立 体表面的共有线，截交线是封闭的。截交线上的每个点都 是截平面和立体表面的共有点。
建筑识图与构造
4.3.1 棱柱的截交线
例题：如图所示，三棱柱被正垂面P截断，P面左下右上横向将三棱柱截切， 三棱线与截平面的交点是Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，求三棱柱的截交线。
建筑制图----第四章--组合体的投影图
作图举例
【例4-1】 如图所示，按基本形体叠加方法作图。
（1）图面布置 一般情况下把正立面图画在图纸的左后方，平面图放在立
面图的正前方，左右对正；左侧立面图放在立面图的右边，上下齐平。各图之 间留有一定的空档，用以标注尺寸和注写图名。以上问题考虑好后，画出基准 线，如图b。
（2）画底稿线。用较硬的2H铅笔轻画底稿线，先画大的形体，再画较小的形
遵循三等规律：“长对正，高平齐，宽相等”
以上两种方法是互相联系，互为补充的。读图时应结合起来，灵活运用。
（1）将几个投影图联系起来看 一个投影图不能确定物体的形状
有时两个投影图也不能确定物体的形状
（2）有基本技能 熟练掌握基本几何体、较简单的组合体的形状特征和的 投影特征 （3）读图时应先从特征视图入手
第三节 组合体三面图的读法
读图——也称看图。 根据所画出的多面正投影图，运用投影规律
和画图规则，综合多面正投影图表达的信息，想 象出组合体的 空间形状。
画图——运用正投影法表达组合体； 读图——画图的逆过程。
画图是由物到图，读图则是由图到物。
一、读图应具备的基本知识
1.熟练地运用“三等”关系
在投影图中，形如何用好这三等关系是读图的关键。
5.线条、线框的含义
阅读组合体投影图时，必须先弄懂每条线段的含义
投影图上的一条线段可能表示： ①表示一条侧棱的投影 ②表示一个平面的积聚投影 ③表示一个曲面的转向轮廓线
投影图上一个封闭线框可能有下述几种含义： ①表示一个平面或曲面的投影； ②表示一个斜面的投影； ③表示一个孔洞的投影。
组合体投影图中相邻两线框的含义
【例】 试根据投影图想象出物体的形状。
【例】 试根据下图a所示投影图，想象出挡土墙的形状。
基本形体投影
如果只根据的水平投影施工，还可能作出A、 B、C或其他不同的形体。
一般形体需要两个或两个以 上的投影，才能确切而全面 地表达出该形体的形状和大 小，例如下图a的四棱台A， 它的水平投影是内外两个矩 形，其对应角相连。两个矩 形是四棱台上、下底面的实 形投影，四条连接的斜线是 棱台侧棱的投影。但根据这 样的水平投影，也可能造出 一个上部挖去了倒四棱台的 长方体，如图中的形体B。
但是，如果我们用上图的H 投影和V投影共同来表示一个 形体，那么，能有这样的H投 影同时兼有这样的V投影的形 体，就只能是如图上图所示的 四棱台A了。 把相互垂直的两个投影面连 接起来，可建立一个两投影面 体系。两投影面的交线称为投 影轴。H面与V面之间的投影轴 用OX标注。作出棱台的H和V投 影之后，将形体移开，再将两 投影面展开(图3—6b)。
例：读下图所示的组合形体投影图
1.先进行整体形状分析。从三个 投影来看，给出的组合形体可以 想象是由三个基本形式组合，左 边是两个叠放的大小不同的长方 体，右边是一个棱柱体。 2.分析其他细部，从W投影来看 并对照H和V投影，可知右边的棱 柱是一个长方体被切去一个三棱 柱而形成。 3.将每一步分析结果的立体草图 表示出来，可得到组合形体的整 体形象。
画出下列形体的H、V、W面投影
读下图所示的组合形体投影图，画出形体
作业
1.画出下列形体的H、V、W面投影
4．投影面展开之后， H、V两个投影左右对正， 称为“长对正”。V、W 投影都反映形体的高度。 展开后这两个投影上下Байду номын сангаас平齐，称为“高平齐”。 H、W投影都反映形体的 宽度，称为“宽相等”。 这三个重要的关系称为 正投影的投影关系。
5．形体有前、后、上、 下、左、有等六个方向 (如图a)，它们在投影图 上也有所反映，进行投 射时，若将形体周围这 六个字随同形体一齐投 射到三个投影面上，所 得投影图如图b所示。在 投影图上识别形体的方 向，对读图很有帮助。
【机械制图】第4章 立体的投影
表面求点只
k”
能用辅助圆 法！
M
m
（3）圆球表面上取点
完成圆球表面指定点的另两投影。
m’ (n’)
注意：圆球
m”
表面求点只
k”
能用辅助圆 法！
M
m
（3）圆球表面上取点
完成圆球表面指定点的另两投影。
m’ k’ (n’)
m”
k” (n ”)
注意：圆球 表面求点只 能用辅助圆
法！
(n) M
m k
4.3 立体的截交线
截交线为平面几边形？
——平面七边形
2、投影分析：
截交线的正面投影？
——落在截平面的积聚性投 影上；
截交线的水平投影？
——其中六条边落在六棱柱 棱面的积聚性投影上，另一 条边为截平面与棱柱顶面相 交的一条正垂线。
3、投影作图：
4、整理图线：
【例题3】求正四棱锥被截切后的水平和侧面投影。
6′5′7′
4′8′
Y 可见；反之为不可见。
棱柱表面上取点和取线
已知正六棱柱表面上点M的正面投影及点N的 水平投影，分别求它们的其余两面投影。
a’ d’ n’ m’
a” n” d” m” 请同学们思考：
b’ c’
如果将已知点
b”
c” 加上括号，会是
什么结果？
a
(b)
n
m
d(c)
2. 棱锥的投影
V
a'
X
Z
s'
s” S
n”
请同学们思考：
m’
m”
如果将已知点
a’ 2’ b’ c’ a”(c”)
加上括号，会是 b” 什么结果？
第五讲第4章立体投影(一)
第五讲第4章立体的投影（一）本讲的学习目标：掌握平面立体（棱柱、棱锥）的形状特点，掌握曲面立体（圆柱、圆锥、圆球）的形成原理；熟练掌握基本形体的投影特征以及形体表面上点和线的求解方法。
学习的重点：基本形体的投影特征以及形体表面上点和线的求解方法4.1 平面立体的投影图4-1 房屋形体的分析图4-2 水塔形体的分析基本形体：组成形体的最简单但又规则的几何体，叫做基本形体。
基本形体的分类：根据表面的组成情况，基本形体可分为平面立体和曲面立体两种。
平面立体：表面由若干平面围成的基本体，叫做平面立体。
平面立体类型：有棱柱、棱锥、棱台等。
平面体的投影：作平面立体的投影，就是作出组成平面立体的各平面的投影。
4.1.1 棱柱4.1.1.1 棱柱的投影如图4-3所示，有两个三角形平面互相平行，其余各平面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些平面所围成的基本体称为棱柱。
图4-3 三棱柱体当底面为三角形、四边形、五边形……时，所组成的棱柱分别为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
（a）立体图（b）投影图图4-4 三棱柱的三面投影分析其三面投影图：W投影：投影为三角形。
H投影：投影为两个矩形。
V投影：投影为一个矩形。
4.1.1.2 棱柱表面定点和定线【例4-1】如图4-5所示，已知三棱柱上直线AB、BC的V投影，求另外两个投影。
（a）已知条件（b）作图图4-5 三棱柱表面上的点和线【例4-2】如图4-5所示，已知四棱柱表面上点K的V投影和点M的V投影，求它们的另外两投影。
（a）立体图（b）已知条件（c）作图图4-6 四棱柱表面上的点4.1.2 棱锥定义：由一个多边形平面与多个有公共顶点的三角形平面所围成的几何体称为棱锥。
如图4-6所示为三棱锥。
图4-7-1 三棱锥根据不同形状的底面，棱锥有三棱锥、四棱锥和五棱锥等。
当棱锥底面为正n边形时，称为正n棱锥。
4.1.2.1 棱锥的投影1. 棱锥如图4-7所示为一正三棱锥,三棱锥底面ABC是水平面，后棱面SAC是侧垂面，其它两个侧面都是一般面；棱线SB为侧平线，其它两条棱线为一般线。
第4章 基本形体的投影
平面立体：由平面图形围成的立体。
4.1.1 平面立体的投影
1
棱柱
有两个相互平行的表面，其他面均为四边形，并且相邻两 四边形的公共边都相互平行，这些平面所围成的基本形体 称为棱柱。
顶点 顶面
侧面 （棱面）
侧棱 （棱线）
A B
C
底面
底边
棱柱分类：
直棱柱——侧棱都与底面垂直，则形成直棱柱。
斜棱柱——侧棱与底面不垂直则形成斜棱柱。 正棱柱——顶面和底面为正多边形的直棱柱。
a 注
利用表面投影的积聚性求点。
例：已知圆柱面上两点Ⅰ和Ⅱ的正面投影1′和（2′） ，求作其余两面投影。
(2') 1' (2")
分析：圆柱面上的点，利用 投影积聚性求出一面上的投 影，利用“三等”关系求另 一面上的投影；特殊素线上 的点，可直接利用素线求出。
1
1"
2
圆柱体的投影
练习：已知圆柱表面的点的投影1’、2’、3’、4，求 其它两面投影。
a
b
c c
a(c)
●
●
b
A
B
C
a
s
b
棱锥的投影特性：
正面投影由3个三角形组成，均不反映实形。底边a b c是底面△ABC的投影（积聚投影）。 s s S
a
A
B
C
b
c c
a(c)
●
●
b
a
s
b
棱锥的投影特性：
侧面投影是一个三角形，是左右两个侧面的投影，不反 映实形。后侧面△ SAC积聚为一条直线s a(c)，底面 s s 积聚为a(c) b。 S
a圆球立体图b圆球体投影直观图轴线球的投影球的3个投影为3个圆这3个圆是球面上3个轮廓圆的投影其中正面投影是球面上平行于v面的最大的正平圆前后半球的分界线的投影水平投影是平行于h面的最大的水平圆上下半球的分界线的投影侧面投影是平行于w面的最大的侧平圆左右半球的分界线的投影它们所在的平面均经过球心在其他两个面投影与对称中心线重合它们的圆心与球心的投影对称中心线的交点重合
建筑精品课件：基本形体的投影
V 画图方法
1.先画积聚的底面投影— 正六边形。
2.用“长对正”的投影规 律作出正立面的投影图。
3.用高平齐宽相等的投影 规律作出侧立面的投影图。
（二）棱锥
V
a' X
Z
正三棱锥的投影特性
s'
正三棱锥的底面△ABC为水
S
s"
平面，水平投影反映实形，正 面、侧面投影积聚成一条直线。
W
b'
Ca"
棱面△SAB、 △SBC是一般
一、知识回顾
三面正投影图的规律 点、线、面的投影特性
二、新课导入
三棱柱 四棱柱
三棱锥
三棱柱
四棱柱
房屋形体的分析
圆锥
圆柱 圆台
圆柱 圆台
水塔形体分析
我们把这些组成建筑形体的最简单但又规则 的几何体，叫做基本几何形体。
平
曲
面
面
体
体
三、新课教学
平面立体的各表面均为平面多边形，它们都是由直线 段（棱线 ）围成，而每一棱线都是由其两端点（顶点）所 确定的；
b' c'
a" d"
AD
E
e"
b"
c"
X
B
C
ab
dc
e
Y
正六棱柱的投影
棱柱的投影特性：棱柱的其他四个侧棱面都为铅垂 面，水平投影积聚为直线，正面投影和侧面投影为类似 形（矩形）
正六棱柱的三面投影图的画法
1 2(6) 3(5) 4 6(5) 1(4) 2(3)
高 平 齐
长对正
6
5
1 2
4
宽 相
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V
W
圆柱的三面投影
最左 素线 最右 素线 最后 素线
最前 素线
必须绘出
圆柱的一个 投影积聚成一个 圆，在另两个投 影上分别以两个 方向的轮廓素线 的投影表示。
画圆柱的正投影 图时，务必用点画线 画出圆柱轴线和圆的 对称中心线。
积聚投影
必须绘出
表面取点
d´ ´ a´ ´ (b´) ´ d″ ″ (c″) ″) b″ ″ 已知圆柱侧面上点的 一个投影，求其他两个投 影。 1.已知A点的正投影； 1.已知 点的正投影； 已知A 2.已知B点的正投影； 2.已知 点的正投影； 已知B 3.已知C点的正投影； 3.已知 点的正投影； 已知C 4.已知D点的水平投影。 4.已知 点的水平投影。 已知D
圆球投影
三个投影均为与圆球的直径相等的圆，它 们分别是圆球三个方向轮廓素线的投影。
V
W
表面取点
已知圆球面上点 的一个投影，求其他 (a″) 两个投影。 ″)
b″ ″ c″ ″
a´ ´ c´ ´ （b´） ´
1.已知A点的正投影； 1.已知 点的正投影； 已知A 2.已知B点的正投影； 2.已知 点的正投影； 已知B 3.已知C点的水平投影。 3.已知 点的水平投影。 已知C 纬圆
(b)
A
a c
圆球体表面上定点要利用纬圆法作图
b s c a
A B
圆锥体表面上定点要利用素线法作图
C
表面取点
纬 圆 法
已知点A的正面投影，求其他投影。 （1） 过点的正面 投影作纬圆的正面 a″） （a″） 投影（直线） 。 （2）求纬圆的水平 投影（圆）。
a´
A a
圆锥体表面上定点.2要利用纬圆法作图
圆球 圆球
是由一圆母线以它的直径为回转轴旋 转而成。
d´
c'
a"
c"
d"
b"
1.空间思考, 1.空间思考,判断 空间思考 点在锥体的什么位置， 点在锥体的什么位置， 哪个侧面上。 哪个侧面上。 2.利用平面上定 2.利用平面上定 点的方法， 点的方法，求作其他 投影。 投影。
2
c1´ d ´源自s b两种求侧 投影的方法
棱锥体表面上定点，关键利用其平面定点的方法。 棱锥体表面上定点，关键利用其平面定点的方法。
b c a 棱柱体表面上定点，关键利用其表面投影的积聚性。 棱柱体表面上定点，关键利用其表面投影的积聚性。
棱 锥
（以三棱锥为例） 以三棱锥为例）
投影
s′ s〞 〞 S c′ b′ a′ A a b s b B C c a〞 〞 c〞 〞 b〞 a' 〞 c' b' a" c" b" s' s"
V
W
V
W
s
s
圆锥的三面投影
最右素线 最左素线 s' 最后素线 s" 最前素线
s
无积聚性
在图示位置， 水平投影为一圆。 另两个投影为等边 三角形，三角形的 底边为圆锥底面的 投影，两腰分别为 圆锥面不同方向的 两条轮廓素线的投 影。
注意：圆锥轴线及圆中心线必须用点画线绘出。 ：圆锥轴线及圆中心线必须用点画线绘出。
c´ ´
（a"） a"）
b d a c
圆柱体表面上定点，关键利用其表面投影的积聚性。
圆锥（台）
S
O
圆锥由圆锥面和底面 组成。 圆锥面可看成是由直线 SA绕与它相交的轴线OO1 旋转形成的。
O1 A
S 称为锥顶，直线SA称
为母线。
素线
圆锥面上过锥顶的任一 直线称为圆锥面的素线。
投影
s' s'
s"
s" S
表面取点
s´ ´
素线法 已知圆锥侧面上点的 一个投影，求其他两个投 影。 1.已知A点的正投影； 1.已知 点的正投影； 已知A 2.已知B点的正投影； 2.已知 点的正投影； 已知B 3.已知C点的正投影； 3.已知 点的正投影； 已知C
s″ ″
(b´） ´ c´ ´
a´ ´ b″ ″
(a″) ″ c″ ″
a c
1.确定锥顶及锥高的投影； 确定锥顶及锥高的投影； 确定锥顶及锥高的投影 2.确定 、B、C各点的 、H、W投影； 确定A、 、 各点的 各点的V、 、 投影 投影； 确定 3.各顶点连线。 各顶点连线。 各顶点连线
表面取点
s' s"
（2´） ´ 1´ ´
(2″) )
(1") "
a' a
b'
平面立体的投影
以六棱柱为例） 棱柱 （以六棱柱为例）
V
W
长对正
高平齐 宽相等
投影
六棱柱由两个 六棱柱由两个 底面和六个侧棱 面组成。 面组成。
长对正
侧面积聚成直 积聚性） 线（积聚性） 实形
高平齐 宽相等
表面取点
在投影图中， 在投影图中，如果给出立体表面上某个点的一个投影就 可以求画出该点的其他投影。 可以求画出该点的其他投影。 a´ ´
V
A
a″ ″
W
a
a
棱柱体表面上定点，关键利用其表面投影的积聚性。 棱柱体表面上定点，关键利用其表面投影的积聚性。
求作六棱柱体表面上点的其余两面投影。 例1 求作六棱柱体表面上点的其余两面投影。
c´ ´ a´ ´ (b´) ´ b″ ″ c″ ″ a″ 1.已知A点的正投影； ″ 1.已知 点的正投影； 已知A 2.已知B点的正投影； 2.已知 点的正投影； 已知B 3.已知C点的水平投影； 3.已知 点的水平投影； 已知C
圆柱
A
圆柱面可看成是由 直线AA 直线 1绕与它平行的 轴线旋转而成。 轴线旋转而成。 母线。 直线AA 称为母线 直线 1称为母线。 圆柱由圆柱面和上、 圆柱由圆柱面和上、 由圆柱面和上 下两底面组成。 下两底面组成。
A1
素线
圆柱面上与轴线平 行的任一直线称为圆柱 面的素线 素线。 面的素线。
投影