数字电路与逻辑设计 第二章 逻辑函数及其简化

四种：真值表、逻辑表达式、卡诺图、逻辑图
1、真值表 1）定义： 是用以描述逻辑函数各个输入变量的取 值组合与函数输出之间对应逻辑关系的 表格。
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1、真值表 2）形式： n 左边列出n个输入变量的全部 ( 2 个）排 列取值组合，右边列出每种组合所对应的输 出值 。
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2 、逻辑表达式：
1） 概念： 逻辑表达式是由与或非三种基本逻辑运算组成 的，用来描述输入、输出之间逻辑关系的表达式。 2） 逻辑表达式的一般形式：（不具唯一性） （1）与或式：Y AB BC （2）或与式： Y (A B)(B C) （3）与非——与非式： Y AB BC （4）或非——或非式： Y A B B C （5）与或非式： Y A B BC
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F AB A C AB A C
(2) 与或非式。 首先求出反函数
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F AB A C A B A C
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然后再取反一次即得与或非表达式
F A B AC
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（３） 或与式。 将与或非式用摩根定律展开， 即得或与表达式如下：
F A B A C A B A C ( A B)( A C )
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3、代入规则： 将逻辑等式中的同一变量以另一函数 来代替，等式不变。
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4、常用公式（ AB AB A
A AB A
前面讲过，复习一下）
( A B) ( A B) A
A ( A B) A
A AB A B
A( A B) AB
AB AC BC AB AC
① 最小项与最大项的定义和性质 ② 逻辑函数的标准形式
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4) 由表达式求真值表 a. 观察法 b.最小项法
3.逻辑图 由化简后的表达式得到 4.卡诺图 在化简法一节介绍
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《3》逻辑函数相等
若F（A1，A2，A3…An）为变量A1、A2、A3、…、
An的逻辑函数，G （A1，A2，A3…An）为变量A1、A2、 A3、…、An的另一逻辑函数，如果对应于A1、A2、A3、…、 An的任一组状态组合， F和G的值都相同，则称 F和G相等。记作F= G。
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二、基本逻辑运算： 1、与、或、非运算； 2、复合逻辑运算： F AB 1）与非： F AB 2）或非： 3）与或非： F AB CD 4）异或： F A B 5）同或： F AB
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3 、逻辑运算的优先级别
逻辑运算的优先级别决定了逻辑运算的先后顺序。 在求解逻辑函数时，应首先进行级别高的逻辑运算。各种 逻辑运算的优先级别，由高到低的排序如下：
长非号 异或 [乘] [加] 括号 同或
长非号是指非号下有多个变量的非号。
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三、逻辑函数及其表示方法：
《1》逻辑函数的建立：
例1 三个人表决一件事情，结果按“少数服从多数”的 原则决定，试建立该逻辑函数。
解： 第一步：设置自变量和因变量。
L
0 0 0 1 0 1 1 1
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一般地说，若输入逻辑变量A、B、C„的取值确定以后， 输出逻辑变量L的值也唯一地确定了，就称L是A、B、C的逻 辑函数，写作：
L=f（A，B，C„）
逻辑函数与普通代数中的函数相比较，有两个突出的 特点： （1）逻辑变量和逻辑函数只能取两个值0和1。 （2）函数和变量之间的关系是由“与”、“或”、 “非”三种基本运算决定的。
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注意
最大项与最小项的关系： 在变量个数相同的条件下，编号下标相同的 最小项与最大项互为反函数。
M6 A B C ABC m6
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②逻辑函数的标准形式
*常用的是最小项表达式； *求一个逻辑函数的最小项表达式（与或式 的一种）有以下2种方法： a .拆项法 b .真值表法: 对于输入F=1的各输入组合, “1”用原变量表示,“0”用反变量 表示,变量之间相与,输入各组 之间相或。 OR：输出F=1的各最小项相加。
异或调换律 若A ⊕B = C，则A ⊕ C = B， B ⊕ C = A
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2、常用公式： （1）吸收律：A+AB=A ； A AB A B 特点：一个乘积项是另一乘积项中的一 个因子或非因子，则有非的吸收非项， 无非的吸收异项。 （2）包含律： AB AC BC AB AC 特点：2个乘积项中分别有一个因子的 正、反变量，则由其他因子组成的因 子项多余。 推论： AB AC BCDE AB AC
( A B)(A C)(B C) ( A B)(A C)
AB AC ( A C)( A B) ( A B)( A C) AC AB
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六、 逻辑函数的标准形式：
—— 最大项表达式、最小项表达式
* 同一逻辑函数,用标准形式,则表达式是唯一的
①
最小项与最大项的定义和性质
第二步：状态赋值。
对于自变量A、B、C设： 同意为逻辑“1”， 不同意为逻辑“0”。 对于因变量L设： 事情通过为逻辑“1”， 没通过为逻辑“0”。
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第三步：根据题义及上述规定
列出函数的真值表。
三人表决电路真值表
A B C
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1
A⊕A = 1
A ·B = B ·A A ⊕B = B ⊕ A
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（3）交换律 A + B + C =（A + B ）+ C
A ·B · C =（A ·B ） · C A ⊙ B ⊙ C= （A ⊙ B ）⊙ C A ⊕B ⊕C = （A ⊕B）⊕C （4）分配律 A(B + C) =AB + AC A+BC =（A+B ） · （A + C ） A(B⊕ C) = AB ⊕ AC
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《2》逻辑函数的表示方法：
四种：真值表、逻辑表达式、卡诺图、逻辑图
1．真值表——将输入逻辑变量的各种可能取值和相应 的函数值排列在一起而组成的表格。 2．函数表达式——由逻辑变量和“与”、“或”、 “非”三种运算符所构成的表达式。 3．逻辑图——由逻辑符号及它们之间的连线而构成的图形。
?
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《2》逻辑函数的表示方法：
F= G
F和G的真值表相同
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四、逻辑代数的公式
1、基本公式和规律
（1）关于变量和常量关系的公式 A + 0 =A A· =0 0
A+1 = 1
A+A=1 A⊙ 0= A A⊙ 1 =A A ⊙A = 0 （2）交换律 A + B=B+ A A ⊙ B = B ⊙A
A· =A 1
A A· =0
A⊕ 1= A A⊕ 0=A
② 逻辑函数的标准形式
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① 最小项与最大项的定义和性质
1）最小项的定义: 在n变量的逻辑函数中,若m是由n各变量 组成的乘积项,且这n各变量均以原变量或 反变量的形式在 m中出现一次,则该乘积项 m为该组变量的最小项。
注意
* 提及最小项时，一定要指明变量数目； * n个变量有 2 n 个最小项。
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换算方法： （1） （2）：分配律、反演律 （1） （3）：二次取反 （1） （4）：（1） （2）再二次取反 （1） （5）：（1） （2）再二次取反+摩根定律
3） 逻辑函数的标准形式（放在后面讲） —— 最大项表达式、最小项表达式 * 同一逻辑函数,用标准形式,则表达式是唯一的
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第2章 逻辑函数及其简化 [要求掌握]
1、逻辑代数的基本定理、公式和运算规则； 2、逻辑函数的表示方法、逻辑函数五种一般 形式之间的转换； 3、对偶式、反函数的求法； 4、逻辑代数的化简。
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2.1 逻辑代数
* 逻辑代数又称为布尔代数，是分析与设计逻 辑电路（数字电路）的基础。 * 逻辑代数只有‘0’，‘1’两种逻辑值,即 逻辑变量均为二值量。 * 基本逻辑只有三种：与、或、非。
A+(B ⊙ C) =（A+B） ⊙ （A+C）
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（5）逻辑代数的特殊规律 重叠律 A + A=A A⊙A=1 反演律 A · A =A A⊕A=0
A B A B
AB A B
A ⊙B = A B
A B A⊙ B
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同或调换律 若A ⊙B = C，则A ⊙ C = B， B ⊙ C = A
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2 ） 最小项的性质: 1. n变量逻辑函数的全部最小项之和恒为1; 2. 任意两个最小项之积恒为0; 3. n个变量的每个最小项有n个“相邻”项， （两个最小项中,若仅有一个变量互补, 则称这两个变量为逻辑相邻项。）
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3）最大项的定义: 在 n变量的逻辑函数中,若m是n个变量的和 项,且这n个变量均以反变量的形式在m中出 现一次,则称m为该组变量的最大项。 4）性质: 1.n变量逻辑函数的全部最大项之积为0; 2.任意两个最大项之和为1; 3.n变量的每一个最大项有 n个相邻项。
1、数字信号在时间上和数值上均是离散的。 2、数字电路中用高电平和低电平分别来表示逻辑1和逻辑0， 它和二进制数中的0和1正好对应。因此，数字系统中常 用二进制数来表示数据。 3、不同数制之间的转换 R进制数 十进制数 M进制数 2k进制数 2m进制数 二进制数 4、常用BCD码有8421码、242l码、542l码、余3码等，其中
P 0 1 1 1
P A B
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（3） 非逻辑
电源
S
灯
开关S 断 合