武汉市2017届高三四月调研考试(理科)

武汉市2017届高中毕业生四月调研测试试卷理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数)3(2i i z -=，则复数z 在复平面内的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合}3,1{=A ，},21)1lg(0|{Z x x x B ∈<+<=，则=B A （ ） A ．}3,1{ B ．}3,2,1{ C ．}4,3,1{ D ．}4,3,2,1{3．若等差数列}{n a 的前n 项和n S 满足44=S ，126=S ，则=2S （ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．34．在长为cm 16的线段MN 上任取一点P ，以NP MP ,为邻边作一矩形，则该矩形的面积大于260cm 的概率为（ ）A ．41B ．21C ． 31D ．435．执行如图所示的程序框图，则输出的=k （ ）A ．7B ．8C ． 9D ．106．如图所示，某地一天6~14时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(ϕω，则这段曲线的函数解析式可以为（ ）A ．20)438sin(10++=ππx y ,]14,6[∈xB ．20)458sin(10++=ππx y ,]14,6[∈xC ． 20)438sin(10+-=ππx y ,]14,6[∈xD ．20)858sin(10++=ππx y ,]14,6[∈x 7．已知数列}{n a 满足11=a ，312=a ，若),2(3)2(1111*+-+-∈≥⋅=+N n n a a a a a n n n n n ，则数列}{n a 的通项=n a （ ）A ．121-nB ．121-n C ． 131-n D ．1211+-n8．已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤+≥-22420y x y x y x ，如果目标函数ay x z +=的最大值为316，则实数a 的值为（ ）A ．3B ．314 C ． 3或314 D ．3或311- 9．四棱锥ABCD P -的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．581πB ．2081πC ． 5101πD ．20101π10．已知圆C ：10)4()1(22=-+-y x 和点),5(t M ，若圆C 上存在两点B A ,，使得MB MA ⊥，则实数t 的取值范围为（ ） A ．]6,2[- B ．]5,3[- C ． ]6,2[ D ．]5,3[11．已知函数2)(+⋅+=-xx e a e x f （R a ∈，e 为自然对数的底数），若)(x f g =与))((x f f y =的值域相同，则a 的取值范围是（ ）A ．0<aB ．1-≤aC ． 40≤<aD ．0<a 或40≤<a12．记},,min{c b a 为c b a ,,中的最小值，若y x ,为任意正实数，则}1,1,2min{xy y x M +=的最大值是（ ）A ．21+B ．2C ． 22+D ．3第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．62)1(xx -的展开式中，常数项为 ．（用数字作答）14．在四面体ABC P -中，1====BC PC PB PA ，则该四面体体积的最大值为 ．15．已知直线MN 过椭圆1222=+y x 的左焦点F ，与椭圆交于N M ,两点，直线PQ 过原点O 与MN 平行，且PQ 与椭圆交于Q P ,两点，则=||||2MN PQ ． 16．已知ABC ∆的外接圆圆心为O ，且60=∠A ，若),(R AC AB AO ∈+=βαβα，则βα+的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17． 已知ABC ∆的三个内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足21=a ，723=-c b ， 60=A ． （1）求b 的值；（2）若AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，求线段AD 的长．18．某鲜花店根据以往某品种鲜花的销售记录，绘制出日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组区间的频率视为概率，且假设每天的销售量相互独立．（1）求在未来的连续4天中，有2天的日销售量低于100枝且另外2天不低于150枝的概率； （2）用ξ表示在未来4天里日销售量不低于100枝的天数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．19．如图，在三棱柱111C B A ABC -中，平面⊥11ACC A 平面ABC ，2==BC AB ，30=∠ACB ，1201=∠CB C ，C A BC 11⊥，E 为AC 的中点． （1）求证：⊥C A 1平面EB C 1；（2）求二面角C AB A --1的余弦值．20．已知圆O ：122=+y x 和抛物线E ：22-=x y ，O 为坐标原点．（1）已知直线l 和圆O 相切，与抛物线E 交于N M ,两点，且满足ON OM ⊥，求直线l 的方程； （2）过抛物线E 上一点),(00y x P 作两直线PR PQ ,和圆O 相切，且分别交抛物线E 于R Q ,两点，若直线QR 的斜率为3-，求点P 的坐标．21．已知函数R a x a x x f ∈-=,ln )()(2．（1）若e a 3=，其中e 为自然对数的底数，求函数xx f x g )()(=的单调区间； （2）若函数)(x f 既有极大值，又有极小值，求实数a 的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=2221)1(218k k y k k x （k 为参数）和直线l ：⎩⎨⎧+=+=θθsin 1cos 2t y t x （t 为参数）． （1）将曲线C 的方程化为普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于B A ,两点，且)1,2(P 为弦AB 的中点，求弦AB 所在的直线方程．23．选修4-5：不等式选讲（1）求不等式1|32||5|≥+--x x 的解集； （2）若正实数b a ,满足21=+b a ，求证：1≤+b a ．武汉市2017届高中毕业生四月调研测试理科数学试卷答案一、选择题1-5: DBBAC 6-10: ABDCC 11-12:AD二、填空题13．15 14．123 15．22 16．32 三、解答题17．解：（1）由余弦定理得A bc c b a cos 2222-+=，即bc c b -+=2221，联立723=-c b ，解得4,5==c b ．（2）35234521sin 21=⨯⨯⨯=⋅⋅=∆A AB AC S ABC ， ADAD BAD AD AB S ABD =⨯⨯⨯=∠⋅⋅=∆21421sin 21，AD AD CAD AD AC S ACD 4521521sin 21=⨯⨯⨯=∠⋅⋅=∆，由ACD ABD ABC S S S ∆∆∆+=，得AD AD 4535+=，∴3920=AD ．18．（1）设日销量为x ，有2天日销售量低于100枝，另外2天不低于150枝为事件A ．则4.050006.050002.0)100(=⨯+⨯=≤x P ，25.050005.0)150(=⨯=≥x P ，∴06.025.04.0)(2224=⨯⨯=C A P ． （2）日销售量不低于100枝的概率6.0=P ，则)6.0,4(~B ξ，于是)4,3,2,1,0(4.06.0)(44=⋅⋅==-k C k P k k k ξ，则分布列为 ξ 0 12 3 4P62516 62596 625216 62521662581 ∴4.262581462521636252162625961625160=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ．19．（1）证明：∵BC BA =，E 为AC 的中点，∴AC BE ⊥，又平面⊥11ACC A 平面ABC ，平面 11ACC A 平面AC ABC =，⊂BE 平面ABC ，∴⊥BE 平面11ACC A ，又⊂C A 1平面11ACC A ，∴C A BE 1⊥．又C A BC 11⊥，B BC BE =1 ，∴⊥C A 1面EB C 1．（2）方法一：由平面⊥11ACC A 平面ABC ，作AC M C ⊥1于M ，则⊥M C 1面ABC ．作BC MN ⊥于N ，连N C 1，则BC N C ⊥1，由11cos CC CNCN C =∠，11cos CC CM CM C =∠，CMCN NCM =∠cos 知=∠CN C 1cos ⋅∠CM C 1cos NCM ∠cos ，而601=∠CM C ，30=∠NCM ，故23cos 211⋅∠=CM C ，即33cos 1=∠CM C ．在四边形C C AA 11中，设x AA =1．则由余弦定理得12433322122221+-=⋅⋅-+=x x x x C A ． 32)33(3232221++=-⋅⋅⋅-+=x x x x E C ，设C A 1与E C 1交于点H ，则C A H A 1132=，E C H C 1132=，而⊥C A 1E C 1，则2112121C A H C H A =+．于是222)32()32(94)124(94=++++-x x x x ，即062=--x x ，∴3=x 或2-（舍） 容易求得：61=E A ，而21221AA AE E A =+．故AC E A ⊥1，由面⊥11ACC A 面ABC ，则⊥E A 1面ABC ，过E 作AB EF ⊥于F ，连F A 1，则FE A 1∠为二面角C AB A --1的平面角，由平面几何知识易得23=EF ，3231=F A ． ∴3123323cos 11===∠F A AE FE A ．方法二：以A 点为原点，AC 为y 轴，过点A 与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设x AA =1，θ=∠AC A 1，则)0,3,1(B ，)0,32,0(C ，)0,3,0(E ，)sin ,cos 32,0(1θθx x C +．∴)0,3,1(-=CB ，)sin ,cos ,0(1θθx x CC =．由21||||,cos 111-=⋅>=<CC CB CC CB CC CB ，得212cos 3-=⋅-x x θ，∴33cos =θ，则)36,33,0(1x x A ，)36,3332,0(1x x C +，于是)36,3332,0(1x x C A --=，)36,333,1(1x BC +-=，∵11BC C A ⊥，∴03636)3332)(333(=⋅--+x x x x ，即062=--x x ，解得3=x 或2-（舍），故31=AA ，则)6,3,0(1A ，)0,3,1(B ，于是)6,3,0(1=AA ，)0,3,1(=AB ，设平面AB A 1的法向量为),,(1z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00111AB n AA n 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+03063y x z y ，取1=y ，则3,22-=-=x z ，∴)22,1,3(1--=n ．不妨设平面ABC 的法向量)1,0,0(2=n ， 则3112922||||,cos 212121-=⨯-=⋅>=<n n n n n n ，故二面角C AB A --1的余弦值为31．20．（1）解：设b kx y l +=:，),(11y x M ，),(22y x N ，由l 和圆O 相切，得11||2=+k b ．∴122+=k b ． 由⎩⎨⎧-=+=22x y b kx y 消去y ，并整理得022=---b kx x ，∴k x x =+21，221--=b x x ． 由ON OM ⊥，得0=⋅ON OM ，即02121=+y y x x ．∴0))((2121=+++b kx b kx x x ．∴0)()1(221212=++++b x x kb x x k ，∴0)2)(1(222=++--+b b k b k ，∴0)1()2(222=+-+--b b b b b ．∴02=+b b ．∴1-=b 或0=b （舍）． 当1-=b 时，0=k ，故直线l 的方程为1-=y ．（2）设),(00y x P ，),(11y x Q ，),(22y x R ，则212122212121)2()2(x x x x x x x x y y k QR +=----=--=．∴321-=+x x ． 设)(:010x x k y y l QR -=-，由直线和圆相切，得11||21010=+-k x k y ，即012)1(201002120=-+--y k y x k x ．设)(:020x x k y y l PR -=-，同理可得：012)1(202002220=-+--y k y x k x ．故21,k k 是方程012)1(2000220=-+--y k y x k x 的两根，故12200021-=+x y x k k ． 由⎩⎨⎧-=-+=22101x y x k y x k y 得0200112=--+-y x k x k x ，故110k x x =+．同理220k x x =+，则212102k k x x x +=++，即123220000-=-x y x x ． ∴1)2(232202000--=-x x x x ，解330-=x 或3．当330-=x 时，350-=y ；当30=x 时，10=y ．故)35,33(--P 或)1,3(P ． 21．（1）xxa x x F ln )()(2-=，2222]ln ))[(()(ln )()('x a x x a x a x x a x x a x x F -++-=-+-= 由e a 3=知，2]3ln )3)[(3()('x e x x e x e x x F -++-=设e x x e x x m 3ln )3()(-++=，则23ln )('++=x e x x m ，22331)(''x ex x e x x m -=-=， ∴03)3ln()3(')('>+=≥e e m x m ，∴)(x m 在),0(+∞上单调递增，观察知0)(=e m ，∴当),0(e x ∈时，0)('>x F ，)(x F 单调递增； 当)3,(e e x ∈时，0)('<x F ，)(x F 单调递减； 当),3(+∞∈e x 时，0)('>x F ，)(x F 单调递增．（2）x a x x f ln )()(2-=，)ln 2)((1)(ln )(2)('2xa x x a x x a x x a x x f -+-=⋅-+-=， 由0ln 2=-+xax x ，得a x x x =+ln 2． 设x x x x h +=ln 2)(，则x x h ln 23)('+=，由0)('=x h ，得23-=e x ．当),0(23-∈ex 时，0)('<x h ，)(x h 单调递减；当),(23+∞∈-e x 时，0)('>x h ，)(x h 单调递增．∴2323min 2)()(---==ee h x h ． 又+→0x 时0)(→x h ，∞→x 时+∞→)(x h ，∴232--≥ea ，这是必要条件．检验：当232--=ea 时，)(x f 既无极大值，也无极小值；当0223<<--a e时，满足题意； 当0=a 时，)(x f 只有一个极值点，舍去；当0>a 时，则01ln 2≠-+aa a ，则1≠a ． 综上，符合题意的a 的范围为232-->ea 且0≠a 且1≠a ．22．解：（1）由221)1(2k k y +-=，得21212k y ++-=，即21212k y +=+，又218kkx +=，两式相除得42+=y x k ，代入218k k x +=，得x y x y x =+++⨯2)42(1428，整理得141622=+y x ，即为C 的普通方程． （2）将⎩⎨⎧+=+=θθsin 1cos 2t y t x 代入141622=+y x ， 整理得08)sin 8cos 4()cos sin 4(222=-+++t t θθθθ．由P 为AB 的中点，则0sin 4sin 8cos 422=++θθθθcso ． ∴0sin 2cos =+θθ，即21tan -=θ，故)2(211:--=-x y l AB ，即221+-=x y ，所以所求的直线方程为042=-+y x ．23．解：（1）当23-≤x 时，1325≥+++-x x ，解得7-≤x ，∴237-≤≤-x ； 当523<<-x 时，1325≥--+-x x ，解得31≤x ，∴3123≤<-x ；当5≥x 时，1)32(5≥+--x x ，解得9-≤x ，舍去．综上，317≤≤-x ．故原不等式的解集为}317|{≤≤-x x ．（2）证明：要证1≤+b a ，只需证12≤++ab b a ，即证212≤ab ，即证41≤ab ，而ab b a 221≥=+，所以41≤ab 成立，所以原不等式成立．。